České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
EXPERIMENTÁLNÍ METODY CERTIFIKACE STROJŮ (EXPERIMENTÁLNÍ PRUŽNOST A PEVNOST)
Jan Řezníček
Praha 2015
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STROJNÍ ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI
(ČÁST EXPERIMENTÁLNÍ PRUŽNOST A PEVNOST) BAKALÁŘSKÝ STUDIJNÍ PROGRAM STROJÍRENSTVÍ obor KONSTRUOVÁNÍ PODPOROVANÉ POČÍTAČEM přednáší
Jan Řezníček akademický rok
2014/2015 Praha 5. února 2015 3. verze (pro LS akademického roku 2014/2015) - text neprošel jazykovou ani redakční úpravou © Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2013, 2014 a 2015
2
STR - KPP
KDO PSAL HISTORII PRUŽNOSTI A PEVNOSTI 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.
1452 – 1519 1564 – 1642 1620 – 1684 1635 – 1703 1623 – 1662 1642 – 1727 1654 – 1705 1700 – 1782 1707 – 1783 1717 – 1783 1736 – 1806 1749 – 1827 1773 – 1829 1781 – 1840 1797 – 1886 1814 – 1885 1818 - 1889 1819 – 1914 1820 – 1872 1821 – 1891 1823 – 1892 1823 – 1892 1824 – 1887 1830 – 1903 1831 – 1879 1833 – 1872 1835 – 1888 1835 – 1918 1841 – 1912 1871 – 1945 1872 – 1950 1878 – 1972 1878 – 1909 1883 – 1953 1885 – 1951 1847 – 1884 1875 – 1953 1880 – 1942 1905 – 1956 1908 – 1968 1918 – 1991 1919 – 2000 1921 – 2009
Leonardo da Vinci Galileo Galilei Edme Mariotte Robert Hooke Blasie Pascal Isaac Newton Jakob Bernoulli Daniel Bernoulli Leonard Euler JeanJean-Baptiste Le Rond d'Alembert CharlesCharles-Augustin de Coulomb Piere Simon Laplace Thomas Young Simeon Denis Poisson Adhémar JeanJean-Claude Barré de SaintSaint-Vénant Henri Edouard Tresca James Prescott Joule August Wöhler William John Macquorn Rankin Dmitrij Dmitrij Ivanovi; Žuravskij Enrico Betti Johann Wilhelm Schwedler Gustav Robert Kirchhoff Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona James Clerk Maxwell Alfred Clebsch Emil Winkler Winkler Christian Otto Mohr Josef Šolín Boris Grigorgijevi; Grigorgijevi; Galerkin Tytus Maksymilian Huber ŠtEpán Prokofje Prokofjevi; jevi; Timošenko Walther Ritz Richard von Mises Heinrich Heinrich Hencky Carlo Alberto Castigliano Ludwig Prandtl Viktor Felber Ferdinand Budinský Lev Davidovi; Landau Emanuel Hájek Clifford Ambrose Truesdell Olgierd Olgierd (Oleg) Cecil Zienkiewicz
EMCS/PP
3
P R U Ž N O S T
A
P E V N O S T
PMednáší: Jan Oezní;ek, studijní oddElení místnost 45 (místnost prodEkana pro pedagogiu) Skripta:
Michalec, J. a kol.: Pružnost a pevnost I, skriptum FS RVUT Oezní;kovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – PMíklady I, skriptum FS RVUT Oezní;kovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – PMíklady II, skriptum FS RVUT Oezní;kovi, J. a J.: Pružnost a pevnost v technické praxi – PMíklady III, skriptum FS RVUT Zařazení pružnosti a pevnosti:
Pružnost a pevnost jako pMírodní vEda je sou;ástí FYZIKY, resp. její ;ásti MECHANIKY Klasická pružnost a pevnost vs. moderní výpo;tové (numerické) metody Historie pružnosti a pevnosti:
Pružnost a pevnost jako pMírodní vEda platí od vzniku svEta, a tak historie v našem pojetí pojednává pouze o úrovni poznání resp. vývoji pružnosti a pevnosti jako samostatného vEdního oboru. Proto také seznam jmen uvedený na za;átku tEchto pMednášek je jen výbErem tEch nejvýznamnEjších vEdcU, kteMí nejvíce ovlivnili pružnost a pevnost. Základní pojmy:
SÍLY
VnEjší - zatEžující
VnitMní
1) Síly povrchové - osamElé × spojitE rozložené vnitMní síly = napEtí 2) Síly objemové (tíhová síla tElesa v gravita;ním poli) 1) Zatížení statické/quazistatické (žádné nebo velmi pomalé zmEny) 2) Zatížení dynamické (dEje s rychle se mEnícím zatížením) 1) Zatížení místnE stálé (upevnEní stroje k základu) 2) Zatížení pohyblivé (pojezd mostového jeMábu) Statická rovnováha vnějších sil (všech):
Všechna uvažovaná zatížení musí splXovat podmínku statické rovnováhy vnEjších sil (v;etnE sil reak;ních vznikajících v uložení tElesa). Složité soustavy se pMevedou postupným uvolXováním na jednoduché pMi zachování pUvodních okrajových podmínek. V pMípadE nerovnomErného pohybu tElesa nebo soustavy se do stavu rovnováhy zahrnují i setrva;né síly (d´AlambertUv princip). t
VNITŘNÍ SÍLY:
Poddajné tEleso se vlivem vnEjších sil, které musí být podle pMedchozího pMedpokladu v rovnováze, deformuje a tím vznikají v tElese VNITONÍ SÍLY.
F4 F2
dT
dF n
F2
2 1 F3
1
dN dA
F1
F1 Je-li v rovnováze celé tEleso, je také v rovnováze i každá jeho odMíznutá ;ást. Musí tedy být v rovnováze i samotná ;ást v tomto pMípadE zajišťují vnitMní ú;inky pUsobící v místE Mezu.
. Rovnováhu
4
STR - KPP
Intenzita vnitřní síly ≡ napětí [N⋅m-2] ≡ [Pa] ... pascal resp. [N⋅mm-2] ≡ {MPa] ... megapascal obecné
ν=
normálové
dF dA
σ=
smykové
dN dA
τ=
dT dA
Poznámka:
Zejména v anglosaské odborné literatuMe se zásadnE uvádí mechanické napEtí v základních jednotkách N⋅m-2 resp. N⋅mm-2 (napM. automobilky Ford nebo BMW uvádEjí ve všech technických pMedpisech a dílenských manuálech pevnosti šroubU v N⋅mm-2). Jednotky Pa resp. MPa pMípadnE kPa jsou používány pro ozna;ování tlakU plynU a kapalin. DEFORMACE TĚLESA:
ε
γ
[1]
pomErné prodloužení (kladné) pomErné zkrácení (záporné) ε=
∆l l0
resp. ε =
∆dx dx
[1]
zkos (zmEna kolmosti hran elementu) ve starších knihách se používá výraz „pomErné posunutí“
PRUŽNOST TĚLESA = schopnost tElesa vrátit se po odleh;ení do pUvodního stavu TUHOST TĚLESA = odolnost tElesa proti deformaci ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP:
1. PMedpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozmEry) 2. Platnost lineární závislosti mezi napEtím a deformací (HookUv zákon) 3. Platnost Saint-Vénantova principu (zmEna zatížení se roznese na „malé“ vzdálenosti do celého prUMezu sou;ásti a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme) 4. Existence ideálního materiálu
- homogenní (bez vmEstkU, otvorU, ...) - isotropní (ve všech smErech stejné vlastnosti)
Skutečná součást
Výpočtový model
Experiment velice ;asto provádíme pMímo na skute;né sou;ásti nebo na skute;ném modelu, který však nemusí být totožný s výpo;tovým modelem. Proto mohou být mezi experimentem a výpo;tem zna;né rozdíly
Pro výpo;ty v pružnosti a pevnosti využí-váme tzv. výpo;tový model, který vznikne za použití rUzných zjednodušujících pMedpokla-dU (;ím vEtší je zjednodušení tím nepMesnEj-ší jsou výsledky vzhledem ke skute;nosti)
F
EMCS/PP
5
PMíkladU výpo;tových modelU lze ur;itE najít celou Madu. Vždy však není úplnE jednoduché sestavit ten model tak, aby byl „rozumnE“ Mešitelný a pMitom stále odpovídal skute;nosti. Oadu výpo;tových modelU ke zcela známým a v bEžném životE používaným vEcem jsme se pokusili sestavit ve skriptech Jan a Jitka Oezní;kovi: „Pružnost a pevnost v technické praxi – PMíklady I“, „PMíklady II“ a „PMíklady III“, Nakladatelství RVUT v Praze, 2005, 2006 a 2007. Jak se nám to povedlo, to již musíte posoudit vy sami.
OBSAH EMCS - KPP: 1. Odporová tenzometrie 2. Optické metody 2.1 Fotoelasticimetrie 2.2 Metoda moiré 2.3 Metoda S.P.A.T.E. 3. Základy teorie podobnosti
6
STR - KPP
ÚVOD DO EXPERIMENTÁLNÍ P&P Tento u;ební text doplXuje základní znalosti o experimentálních metodách získané v pMedmEtu Pružnost a pevnost I resp. bEhem laboratorních cvi;ení v pMedmEtu Pružnost a pevnost II. Budeme se zde vEnovat zejména odporové tenzometrii a optickým metodám stanovení napEtí resp. deformací pružného tElesa pMi zatížení. Rást vEnovaná odporové tenzometrii je pMehledem toho nejdUležitEjšího, co je tMeba o této oblasti vEdEt. Rást vEnovanou optickým metodám ;erpá ze starších skript Pružnost a pevnost – Laboratorní cvi;ení a je doplnEna o moderní poznatky z rUzných zdrojU a pracovišť zabývajících se optickými metodami.
1 ODPOROVÁ TENZOMETRIE Historie tenzometrie: Máme-li hovoMit o odporové tenzometrii, je tMeba vrátit se hodnE do minulosti. Musíme si pMi té pMíležitosti pMipomenout jednotlivá významná data, dUležitá i pro Madu jiných vEdních oborU než jen pružnost a pevnost. Sou;asné trendy jsou zamEMeny zejména na zpMesXování mEMení a následnE na oblast vyhodnocovací. To však neznamená, že by byla odporová tenzometrie uzavMenou experimentální metodou, spíše naopak. Stále se objevují nová Mešení zejména v oblasti zpracování mEMeného signálu a tenzometrická mEMení se stala bEžnými na MadE pracovišť.
EMCS/PP
7
... jak to vlastně všechno začalo?
Rok
Obrázek
Událost
Ná;rt od Leonarda da Vinci
Jedním z prvních u;encU, kteMí se zabývali otázkami pevnosti, byl italský renesan;ní umElec, myslitel a vynálezce Leonardo da VINCI (1452 - 1519), který Madu svých návrhU doplXoval jednoduchými pevnostními kontrolami. Opravdový za;átek pružnosti a pevnosti jako vEdní disciplíny je však spojen až se jménem italského vEdce Galileo GALILEI (1564 - 1642), který pUsobil v PadovE jako profesor matematiky a byl prvním, kdo se zabýval otázkou pevnosti nosníkU a provedl i celou Madu praktických experimentU zatEžování vetknutých nosníkU až do jejich porušení. Další vEdci již nedosahovali vEhlasu tEchto dvou.
XV. až XVII. stol.
1660 a 1807
Britský pMírodovEdec a fyzik Robert HOOKE (1635 – 1703) jako první objevil závislost mezi napEtím a deformací (1660), kterou roku 1807 popsal Thomas YOUNG (1773 – 1829) a je známa jako HookUv zákon a jeho nejznámEjší tvar je pro jednoosou napjatost:
σ
σPt σK σu ≈E
ε
Tahový diagram konstrukční oceli
ε=
σ E ,
kde E zna;í modul pružnosti nebo YoungUv modul pružnosti.
... jak to šlo dál?
Rok
Obrázek
Událost
HuggenbergerUv tenzometr
Vztah deformace - napEtí je využíván pro vyhodnocování hodnot namEMených mechanickými "tenzometry". Ty pracují na principu pákových pMevodU zvEtšujících deformace do sledovatelné velikosti. Základní nevýhody tEchto sníma;U jsou: • vzhledem k velikosti základny nelze mEMit lokální hodnoty, • mEMený objekt musí být vzhledem k pozorovateli v klidu, • vzhledem ke zpUsobu ode;tu lze mEMit jen statické dEje, • k mEMenému povrchu musí být relativnE dobrý a volný pMístup, • není možná automatizovaná registrace mEMených hodnot a jejich následné zpracování
Následné období
1843 a 1856 ~ Schéma Wheastoneova mUstku
V polovinE XIX. století je objevena elektrická energie a její vlastnosti. OkamžitE dochází ke snahám využít tyto vlastnosti k mEMení rUzných veli;in, a tedy i deformací. Pro další vývoj mEly význam zejména dva objevy, které se po mnoha letech uplatnily v tenzometrii. Brit Charles WHEASTONE (1802 - 1875) popsal princip mUstkového zapojení odporU a jeho aplikaci ve fyzice, Brit William THOMSON (1824 – 1905), známý spíše jako Lord Kelvin, popsal ThomsonUv jev vedení proudu vodi;em.
8
STR - KPP
... jak to šlo ještě dál?
Rok
Obrázek
Událost
1931 až
1 mEMící vinutí lepené na papíMe 2 ochranná krycí látka 3 izolátory s vyvedenými vodi;i 4 pomocná výztuha (odstraní se) 5 pMívodní vodi;e
V USA pracují dva vEdci zabývající se problematikou mEMení mechanických veli;in pomocí elektrického proudu, kteMí prakticky ve stejné dobE docházejí k principu funk;ního odporového tenzometru: Edward E. SIMONS v Kalifornii nalepil tenký drát na povrch vále;ku a sledoval elektrickou odezvu na zatížení vále;ku,
4
1938 2
1
3
5
Rugeho tenzometr
M120
10 mm
1941
Drátkový tenzometr (Mikrotechna M120) 10 mm
1952 Fóliový tenzometr (HBM 1-LY11-6/120)
Arthur C. RUGE v Massachusetts jako první použil skute;né odporové tenzometry, které lepil na dna nádrží. Celý vývoj dovedl až do fáze praktické aplikace, a to i na dynamické problémy. V EvropE probíhaly pokusy na bázi Thomsonova efektu zejména v NEmecku. Elektrotechnická spole;nost AEG zde provádEla pokusy s mEMením pomocí uhlíkových páskU, ale tato metoda se neosvEd;ila. Lete;tí konstruktéMi velice brzy za;ali využívat odporové tenzometry pMi zkouškách nových konstrukcí, a tak za;íná sériová výroba tenzometrU. V roce 1941 je bEhem dvou mEsícU v USA vyrobena série 50 000 kusU tenzometrU v podobE, která pMežila Madu následujících let s minimem úprav až do sou;asnosti. U nás dMíve drátkové tenzometry vyrábEl podnik Mikrotechna Praha. NEmecký inženýr Paul EISLER poprvé pMedvedl technologii tištEných spojU. Tato technologie se okamžitE uplatnila i v odporové tenzometrii, kdy již nebylo tMeba na nosné médium lepit meandr vytvoMený z drátku, ale bylo možno pMímo na nosné médium (nej;astEji fólie z plastu) nanést "vinutí" požadovaného tvaru podle potMeby ur;ení tenzometru.
... jak je to v současnosti?
Rok
Obrázek 0,02 mm
1954
Událost ∅ 0,1 mm
6 mm
Polovodi;ový tenzometr (VZLÚ SP-17-6-12) Následné období
10 mm
až XXI. století
„Sníma;ový“ tenzometr (HBM 1-KY41-6/350)
Ameri;an C. S. SMITH popsal piezoelektrický efekt polovodi;U. Tento efekt byl následnE využit k mEMení malých deformací. Nejprve to byly tenké pásky germania a pozdEji kMemíku. Tyto tenzometry jsou používány dodnes a jejich pMedností je velká citlivost a tedy použitelnost pMi mEMení velmi malých deformací. Nevýhodou je vyšší cena a kvalitativnE vyšší nároky na mEMící aparaturu., zejména na její pMesnost Stále nové technologie nacházejí uplatnEní v mEMících metodách. Sem patMí napM. technologie „napaMování“, kdy je mEMící vrstva pMímo nanesena na mEMený povrch sou;ásti. Jedná se však spíše o ojedinEle používaný zpUsob mEMení. Firma HBM zase uvedla na trh v devadesátých letech tenzometry tMídy K, které jsou ur;eny pro výrobu pMesných mEMících prvkU. Dnes již existuje celá typová Mada tenzometrU této tMídy. Postup instalace tEchto tenzometrU je shodný s bEžným fóliovým tenzometrem. Další vývoj se zamEMuje zejména na zpMesnEní mEMící aparatury a na následné zpracování dat.
EMCS/PP
9
Princip odporového tenzometru: Slovo „tenzometr“ sice vychází z latinského slova „tensó“, což v pMekladu znamená napEtí, ale jak záhy zjistíte o napEtí zde ve skute;nosti nepUjde. NEkterá cizojazy;ná vyjádMení téhož zaMízení jsou podstatnE šťastnEjší a výstižnEjší, ale nEkterá jsou stejnE zavádEjící jako v ;eštinE: ... jak to kdo říká?
Kdo?
Jak?
A co to doslova znamená?
Angli;an
Strain gauge
sníma; deformace
NEmec
der Dehnungmeßstreif (DMS)
pásek mEMící prodloužení
Slovák
tenzometer
mEMi; napEtí
Francouz
le tensiomètre
mEMi; napEtí
Rus
тензометер [tjenzométEr]
mEMi; napEtí
Základní princip tenzometru je postaven na znalostech z po;átkU pružnosti a pevnosti a na znalostech z po;átkU klasické elektrotechniky. Simeon Denis POISSON žil v letech 1781 až 1840. Autor mUstkového zapojení Charles WHEASTONE žil v letech 1802 - 1875 a Lord KELVIN, který popsal ThomsonUv jev, žil v letech 1824 - 1905. NicménE ke vzájemnému „propojení“ tEchto poznatkU došlo až o mnoho let pozdEji. Ameri;ané Edward E. SIMONS v Kalifornii a Arthur C. RUGE v Massachusetts v letech 1931 a 1939 nezávisle na sobE využili zmEny odporu vodi;e v dUsledku jeho deformace k praktickým mEMením. A až teprve v roce 1941 byla poprvé zahájena velkosériová výroba a zbytek je vlastnE už sou;asnost a obecnE lze tedy princip odporového tenzometru odvodit na základE matematiky, elektrotechniky a pružnosti.
10
STR - KPP
... jak to funguje?
Elektrotechnika l , A kde: ρ je mErný odpor [Ω⋅m] l je délka vodi;e [m] A je plocha prUMezu [m2] Také ale platí: ρ = ρ(T) , kde T je teplota. Pak tedy: ∂ρ ≠0 ∂T
Odpor vodi;e: R = ρ ⋅
Pružnost a pevnost PoissonUv zákon: ε př = − µ ⋅ ε pod , εpod εpř µ Pak tedy: ∆l = ε pod ⋅ l
kde:
je podélná deformace je pMí;ná deformace je Poissonovo ;íslo
[1] , [1] , [1] .
a ∆a = ε př ⋅ a resp. ∆b = ε př ⋅ b .
∆a = − µ ⋅ ε pod ⋅ a
a resp. ∆b = − µ ⋅ ε pod ⋅ b .
Matematika Dojde-li k zatížení vodi;e v podélném smEru, dojde v tomto smEru k jeho prodloužení a v pMí;ném smEru k jeho zkrácení. Tím se samozMejmE zmEní jeho výsledný odpor. Tuto zmEnu mUžeme zapsat ve tvaru: l l l dl ⋅ A − l ⋅ dA l dR = d ρ ⋅ = dρ ⋅ + ρ ⋅ d = dρ ⋅ + ρ ⋅ A A A A2 A PMedpokládáme-li nezávislost ρ na zatížení a nedojde-li bEhem uvažovaného dEje ke zmEnE teploty T, budeme tedy moci uvažovat dρ = 0 a pak tedy: dR = ρ ⋅
dl ⋅ A − l ⋅ dA A2
resp. v diferencích
∆R = ρ ⋅
∆l ⋅ A − l ⋅ ∆A . A2
Pro A = a⋅b platí ∆A =∆a⋅b + a⋅∆b + ∆a⋅∆b a pMi zanedbání diferencí vyšších MádU dostáváme: ∆A =∆a⋅b + a⋅∆b.
Pružnost a pevnost + elektrotechnika + matematika dohromady ZmEna prUMezu bude pMi využití Poissonova zákona tedy rovna: ∆A = − µ ⋅ ε pod ⋅ a ⋅ b + a ⋅ (− µ ⋅ ε pod ⋅ b) = −2 ⋅ µ ⋅ ε pod ⋅ A Nyní vše dosadíme do rovnice pro zmEnu odporu: ε pod ⋅ l ⋅ A − l ⋅ (− 2 ⋅ µ ⋅ ε pod ⋅ A) l ∆R = ρ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ ) 2 A A Zavedeme-li nyní pomErnou zmEnu odporu jako pomEr zmEny odporu ∆R ku pUvodní hodnotE R dostáváme: l ρ ⋅ ⋅ ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ ) ∆R A = = ε pod ⋅ (1 + 2 ⋅ µ ) l R ρ⋅ A
Odporová tenzometrie ∆R = k ⋅ ε pod R Veli;ina k se nazývá k-faktor tenzometru. Za pMedpokladu „plastického“ chování materiálu, ze kterého je vyrobeno vinutí tenzometru, lze pMedpokládat hodnotu Poissonova ;ísle µ → 0,5. Pak ale (1+2⋅µ) → 2. PMesnou velikost kfaktoru udává každý výrobce individuálnE nej;astEji pro jednotlivé balení.
EMCS/PP
11
Instalace tenzometru: V první MadE je tMeba uvést na pravou míru formulaci „nalepení tenzometru“. Lepí se známky na dopisy, ale tenzometry si „instalují“, což je širší pojem a lepení je jen jednou z jeho ;ástí. Tenzometr je tMeba propojit s aparaturou a náležitE zabezpe;it proti všem možným nástrahám prostMedí. Instalace tedy znamená sled ur;itých dEjU, které by mEly být provádEny v daném poMadí a s nejvyšší možnou pe;livostí. Již od prvních krokU instalace se totiž rozhoduje o pMesnosti následujícího mEMení. Není proto vhodné tuto fázi uspEchat na úkor pe;livosti, neboť ;asový zisk v tomto okamžiku je jen zdánlivý a mnohonásobnE se nám vymstí pMi vlastním mEMení a následném zpracování namEMených hodnot. ... jak tedy na tenzometr?
Prvotní rozmEMení sou;ásti
Je-li mEMený objekt nehybný, je tMeba si v okolí mEMených míst vytvoMit dostate;ný prostor pro „snadný“ pMístup k tEmto místUm (napM. odstranEním izolace, odpojení pMípojných zaMízení – pokud to situace dovoluje, …). Poté provedeme prvotní rozmEMení, kdy si ozna;íme místa, kam chceme instalovat tenzometry. Také musíme zkontrolovat, jestli tato místa nekolidují s jinými prvky (napM. poškození povrchu v dUsledku manipulace, ...).
A P
R
A
V
Popis
PMíprava mEMeného objektu
Í O P
Obrázek
V této fázi se snažíme pMibližné mEMené místo zbavit nejhorších ne;istot, kterými mUže být v pMípadE mEMení v terénu napM. i hlína. Je potMeba s rozmyslem umístit mEMený objekt tak, aby by byl možný dobrý pMístup ke všem plánovaným mEMeným místUm. Musíme také vést v patrnosti, zda nebude tMeba objekt pMed vlastním mEMením vrátit do pUvodní polohy nebo ho dokonce transportovat na jiné místo, kde probEhne vlastní mEMení.
(
I
)
Akce
Hrubá pMíprava povrchu
Zejména pMi mEMení v provozních podmínkách mUže být povrch výraznE zkorodovaný nebo napM. opatMen silnou vrstvou ochranného nátEru. V takovýchto pMípadech musíme nejprve nahrubo odstranit rez nebo barvu. Používáme k tomu ru;ní brusky s kotou;i rUzné hrubosti, ocelové kartá;e a rUzná rozpouštEdla nebo Medidla. I po broušení bruskou povrch o;istíme (setMeme) acetonem nebo jiným Medidlem.
12
STR - KPP
... jak pokračovat dál?
Akce
O;ištEní potMebného potMebného náMadí
V
A
(
I I
)
PMíprava potMebného vybavení
Nejprve si pMipravíme všechny potMebné pomUcky do blízkosti mEMeného místa, abychom již nemuseli zbyte;nE pMerušovat instalaci. Co tedy budeme potMebovat: • jemný smirkový papír, • odmašťovací roztok, tampony, • tenzometrické lepidlo, tenzometry, • fólii k zakrytí tenzometru pMi vytvrzování • nUžky, pinzetu, rýsovací jehlu, • izolepu, mEMítko nebo pravítko. Od tohoto okamžiku je tMeba bEhem celé instalace dbát na ;istotu, která výraznE ovlivXuje kvalitu pMipravovaného mEMení. Je vhodné jednak pMed vlastní instalací a v pMípadE dlouhotrvající instalace i v jejím prUbEhu o;istit veškeré nástroje, které používáme. StejnE tak bychom mEli o;istit i místo, kam budeme nástroje pokládat. DUležitá je i ;istota rukou, a proto je vhodné i je o;istit pMed za;átkem instalace a nebo i následnE bEhem ní.
Jemná pMíprava povrchu
Orýsování mEMených míst
Je-li tMeba orýsovat vy;ištEný prostor, je tMeba to provádEt rýsovací jehlou, ale jen tak, abychom na obroušeném povrchu nevytvoMili nové ostré hrany. Toto orýsování by již mElo odpovídat pMesnE plánovaným místUm pro instalaci tenzometrU, protože podle tEchto zna;ek budeme orientovat vlastní tenzometry pMi jejich lepení do zvolených míst. RozmEry takto orýsovaného povrchu bychom si mEli zapsat do dokumentace, resp. do protokolu o mEMení.
A R
Popis
V této fázi je tMeba vyhladit nahrubo o;ištEný povrch, zbavit ho všech ostrých hran a zbylých mechanických a korozních ne;istot. K tomuto ú;elu je vhodné použít jemný smirkový papír pMípadnE jemné brusné kotou;ky. Snažíme se pMi tom brousit pouze o;ištEnou oblast, abychom si z okolního neo;ištEného povrchu nenanesli zpEt ne;istoty. Je vhodné i pMi jemném broušení ;istit obroušený povrch mezi jednotlivými broušeními pomocí odmašťovacího roztoku.
P
O
Í
P
Obrázek
EMCS/PP
13
... jak pokračovat dál?
POÍPRAVA (II)
Akce
Kone;né odmaštEní a o;ištEní povrchu
Nanesení tenké vrstvy lepidla
L
E
P
E
N
Í
(
I
)
PMenos a kone;ná lokalizace tenzometru
Vlastní lepení
Obrázek
Popis Zde již používáme ;isticí roztoky, které doporu;uje výrobce tenzometrU. NEkteré firmy dodávají univerzální ;isticí roztoky, jiné kombinují napM. dva roztoky. Povrch ;istíme tampóny vždy jen v jednom smEru a pro nové nanesení roztoku použijeme vždy nový tampón. Použití vaty nebo obdobných prostMedkU není vhodné, neboť zanechávají na povrchu drobné chloupky nebo ;ásti vláken, které zpUsobí špatné pMilepení tenzometru. PMi této operaci se snažíme ustavit tenzometr do správného místa a fixovat jeho orientaci pro následné lepení a pMi tom minimalizovat možnost jeho poškození nebo kontaktu s rukou. Používáme k tomu izolepu, na kterou pMiložíme tenzometr horním povrchem a manipulujeme pouze s touto izolepou. Pro fixaci zvolené polohy izolepu na jedné stranE pevnE pMitiskneme a druhou necháme volnou pro manipulaci pMi nanášení lepidla a pMi vlastním lepení. Volný konec izolepy nadzvedneme tak, aby byl pMístup ke spodní stranE tenzometru a hlavnE k mEMenému povrchu. Na povrch pak naneseme malé množství lepidla, které roztáhneme do tenké vrstvy pod celým tenzometrem. Je tMeba, aby vrstva byla co možná nejten;í, ale zároveX v celé ploše. PMípadná volná místa totiž vyplní vzduchové bubliny, které znehodnocují nalepení ale i celé mEMení. Malé množství lepidla, které vyte;e mimo okraj tenzometru, není na závadu. Plynule pMiklápíme tenzometr pomocí nalepené izolepy k povrch a pMi tom prstem (nejlépe palcem) pMitla;ujeme pMes krycí fólii tenzometr k mEMenému povrchu a zároveX vyma;káváme pMebyte;né lepidlo. Tlak prstu vyvozujeme pokud možno kolmo k povrchu, abychom nezpUsobili bo;ní posuv tenzometru z pMedem zvoleného místa. Tlak provádíme nejlépe pMes slabou plastovou fólii (dMíve se užíval tenký cigaretový papír), abychom se sami "nepMilepili".
14
STR - KPP
... jak pokračovat dál?
Akce
OdstranEní izolepy
Nyní by mEl být tenzometr již pevnE fixován k mEMenému povrchu a pomocná izolepa již není tMeba. U tenzometrU bez vývodU by bránila pMístupu ke svorkovnicím a u všech tenzometrU komplikuje jejich zakrytí laky a krycími prostMedky. OdstraXujeme ji táhlým pomalým pohybem, abychom tím nepoškodili tenzometr, zejména pokud má již pMívodní drátky. Je to první test kvality nalepení, protože zUstane-li tenzometr na izolepE, byl „nalepen špatnE“!
PMipojení vodi;U
U tenzometrU bez pMívodních vodi;U se kabely letují pMímo na svorkovnice, které jsou sou;ástí tenzometru. Tyto vodi;e je pak vhodné v blízkosti tenzometru fixovat k povrchu sou;ásti, aby je nebylo možno snadno odtrhnout ze svorkovnice. U tenzometrU s vývody je vhodné nalepit do blízkosti tenzometru pomocnou svorkovnici, k níž dosáhnou vývody, a teprve k ní pMipojit pMívodní vodi;e k aparatuMe. Vývody tenzometru ke svorkovnicí je vhodné odizolovat.
N
Í
(
II
) Vytvrzení Vytvrzení lepidla
E P E
Popis Každé lepidlo vyžaduje ur;itou dobu ke svému vytvrzení, kterou udává výrobce v návodu. Tato doba je závislá na druhu použitého lepidla a zejména na teplotE. Lepidla pro bEžné ú;ely se vytvrzují pMi bEžných teplotách po dobu zhruba 1 minuty. PMi nižších teplotách pak doba vytvrzování roste. Lepidla pro speciální ú;ely vyžadují delší dobu vytvrzování pMi vyšších teplotách. Zde pak používáme rUzné pomUcky k fixaci po celou dobu vytvrzování.
L ( I ) D O K O N R O V Á N Í
Obrázek
Kontrola tenzometru
PMi manipulaci s tenzometrem mUže dojít v prUbEhu instalace k porušení vinutí nebo ke vzniku „studeného“ spoje pMi letování. Proto je vhodné tenzometr i jeho pMívodní vodi;e pMekontrolovat ohmmetrem. Výrobcem je udáván nominální odpor tenzometru (120 nebo 350Ω), který nesmí instalace výraznE ovlivnit. Toto není kontrola správné instalace tenzometru, ale jen kontrola elektrické funk;nosti nalepeného tenzometru.
EMCS/PP
15
... jak všechno dokončit?
D O K O N R O V Á N Í
( II
)
Akce
PMipojení tenzometru k aparatuMe
Zakrytí tenzometru
Obrázek
Popis Nyní již mUžeme nalepený a odzkoušený funk;ní tenzometr pMipojit k tenzometrické aparatuMe. Pro správný zpUsob pMipojení je tMeba znát pokyny výrobce dodávané k použité aparatuMe. V dnešní dobE je bEžné vícedrátové pMipojení každého mEMicího místa. Díky této technologii si mEMicí aparatura sama separuje odpor pMívodních vodi;U, které mohou tak být „hodnE“ dlouhé, od odporu vlastního tenzometru a tím výraznE zpMesní mEMení. Tato operace má nEkolik dUvodU: • chrání tenzometr proti mechan. poškození, • chrání pMed vlivem vzdušné vlhkosti, • pUsobí jako ;áste;ná tepelná ochrana. K zakrytí se používají rUzné vosky a tmely nebo rychleschnoucí pružné laky a nebo pMípravky na bázi silikonové gumy. Takto chránEný tenzometr je možno ještE dále zakrýt pro lepší teplotní a mechanickou ochranu plastovou nebo kovovou fólií, kterou dodávají rUzní výrobci.
Poznámky: • V pMípadE jakékoliv pochybnosti o kvalitE nainstalovaného tenzometru je vhodné
ihned v této fázi tenzometr odstranit a na jeho místo nainstalovat nový tenzometr. Tento postup vyžaduje sice další práci s instalací, ale tato vynaložená práce se bohatE vrátí pMi zpracovávání "spolehlivých" výsledkU získaných z kvalitnE nainstalovaných tenzometrU. • PMi odstraXování a reinstalaci tenzometru je tMeba dbát zvýšené pozornosti,
abychom nepoškodili okolní tenzometry, ale naopak povrch mEMené sou;ásti je tMeba pMipravit stejnE pe;livE nebo ještE pe;livEji než pMi první instalaci a je tMeba vyvarovat se chyb, které znehodnotili první instalaci. HBM 1-LY11-6/120
HBM 1-LY11-3/120 Vishay CEA-XX-375UW-120
HBM 1-XY41-6/120 (vše zvEtšeno cca 5×)
16
STR - KPP
Tenzometrické aparatury HBM PMi laboratorních cvi;eních na za;átku výuky pMedmEtu Pružnost a pevnost II budete v laboratoMích mimo jiné používat statickou tenzometrickou aparaturu UPM 60. 60. Tato aparatura je prezentována jako „mnohomístný mEMící pMístroj", což je doslovný pMeklad nEmeckého originálu „Vielstellen-Messgerät". U nás je bEžnEjší ozna;ení „mEMící ústMedna" a toto ozna;ení bude používáno i nadále. ÚstMedna UPM 60 je jednou z Mady ústMeden firmy HBM ozna;ených UPM 40A, 40A UPM 60 a UPM 100. 100. PMímým pokra;ovatelem tMídy UPM je aparatura Centipade 100 (viz obr.). Ríslo v názvu ústMedny ur;uje po;et mEMících kanálU. VzestupnE je také uspoMádán komfort ovládání jednotlivých aparatur. Nejjednodušší ústMednou je UPM 40A a má proti nejsložitEjší UPM 100 možnosti zna;nE omezenEjší.
HOTTINGER BALDWIN MESSTECHNIK
UPM 40 A
UPM 60 UPM 100 POWER
TRANSFER
ERROR
Centipade 100 Tenzometrické aparatury HBM
MEMící ústMedna UPM 60 je konstruována pro pMipojení maximálnE 60 mEMených míst. N r.
HBM
MV 3239
N r.
HBM
D 20
-MESSGERÄT UPM 60 VIELSTELLEN
e xt
in t.
.
25 +
2358
DATE 16.08.94 TIME 14:22:15 TIME 14 : 55 : 21 00 + 24578 UM/M 01 - 7897 UM/M 02 ERROR 4 03 + 5324 UM/M
225 Hz
5 kHz
UMH 3209 N r.
6 zesilovačů UMH
UMH 3209 N r.
UMH 3209 N r.
Centrální zesilovač
ÚstMedna UPM 60
UMH 3209 N r.
UMH 3209 N r.
UMH 3209 N r.
CPU + rozhraní
220 V 50 Hz
EMCS/PP
17
Zpracování naměřených hodnot: Jestliže se nám podaMilo tenzometricky namEMit požadovaná data, nastává otázka, co s nimi dál. Existují samozMejmE pMípady, kdy pMímo namEMené deformace jsou výsledkem a pak již není tMeba je dál zpracovávat, ale sta;í je jen vhodnE prezentovat, což bude popsáno v následujících kapitolách. RastEjší jsou však pMípady, kdy tenzometricky namEMené deformace jsou pouze prostMedkem k získání dalších informací o chování sou;ásti. Nej;astEjším pMípadem je popis pole napjatosti v mEMených místech. V tEchto pMípadech musíme zjistit, zda vyšetMovaný stav bude ještE v elastické - lineární oblasti nebo již bude v plastické - nelineární oblasti. V prvním pMípadE existuje pomErnE jednoduchý nástroj pMevodu namEMených deformací na napEtí - HookUv zákon, a to ať v jednoduché podobE vhodné pro jednoosou napjatost tak v rozšíMeném tvaru vhodném pro víceosou napjatost. Ve druhém pMípadE již tak jednozna;ný postup neexistuje a pro vyhodnocení namEMených deformací v plastické oblasti je tMeba pMijmout nEkterou z obecnEjších teorií, které jsou však zna;nE složité a v rámci tEchto skript se jim nebudeme vEnovat. … jak vyhodnotit signál z jednotlivého tenzometru?
Napjatost
Obrázek
Výpo;tové vztahy
σ
Jednoosá známe smEr
Popis
HookUv zákon:
σ
ε Poznámka:
Pokud bychom neznali smEr napEtí σ, museli bychom postupovat jako pMi obecné dvojosé napjatosti.
Nejjednodušší pMípad napjatosti, který vzniká napM. pMi ;istém tahu σ = E ⋅ε nebo tlaku nebo pMi ohybu a pMi ε … namEMená deformace jejich vhodné kombinaci. V tEchto E … modul pružnosti v tahu pMípadech vysta;íme s instalací Poznámka: jednoduchých tenzometrU. Výsledný Budou-li namEMené deformace ε v signál je pMímo použitelný pro další [µi] je výhodné modul pružnosti zpracování a výpo;ty napEtí. pMevést E na exponenciální tvar s exponentem 6. Ve výpo;tu se tak mocniny zkrátí a ten bude napM. pro ocel: σ [MPa] = 0,21⋅ε [µi].
… jak vyhodnotit signál z tenzometrického kříže?
Napjatost
Obrázek
Výpo;tové vztahy RozšíMený HookUv zákon
σ2
Dvojo Dvojosá známé smEry KMíž
E ⋅ (ε1 + µ ⋅ ε 2 ) 1− µ2 E σ2 = ⋅ (ε 2 + µ ⋅ ε1 ) 1− µ2
σ1 =
σ1 ε2 ε1 σ1
0°- 90°
σ2
ε1 … namEM. def. ve smEru „1“ ε2 … namEM. def. ve smEru „2“ E … modul pružnosti v tahu µ … Poissonovo ;íslo Poznámka:
Platí totéž co v pMípadE jednoosé napjatosti, protože µ [1] výpo;et rozmErovE nijak neovlivní.
Popis Napjatost, která vzniká napM. ve stEnE tenkostEnných ale i silnostEnných nádob v dostate;né vzdálenosti od den a hrdel. V tEchto pMípadech je tMeba instalovat dva tenzometry nebo tenzometrický kMíž se dvEma kolmými vinutími. Výsledné signály dosazujeme pMímo do rozšíMeného Hookova zákona.
18
STR - KPP
… jak vyhodnotit signál z tenzometrické růžice?
Napjatost
Obrázek
Výpo;tové vztahy
Popis
Výpo;et hlavních deformací s=
Dvojo Dvojosá neznámé smEry
σ1
0°- 45°-90°
ε 0 + ε 90 2
ε −ε r = 0 90 + γ 2 2 ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 γ= 2 ε1 = s + r a ε 2 = s − r . 2
σ2
ε45
ε90
RUžice
Obecný pMípad napjatosti, která vzniká ve složitEjších konstrukcích. V tEchto pMípadech je tMeba instalovat tMi samostatné tenzometry nebo tenzometrickou rUžici se tMemi vinutími (po 45°nebo po 60°). Výsledné signály dosazujeme nejprve do transforma;ních vztahU a teprve poté vypo;tené hlavní deformace do rozšíMeného Hookova zákona.
ε 0 … namEM. def. ve smEru 0° ε45 …namEM. def. ve smEru 45° ε90 …namEM. def. ve smEru 90° s …. stMed Mohrovy kružnice r …. polomEr Mohrovy kružnice
ε0
σ2
σ1
Tyto rUžice nejsou tak bEžné jako pMedchozí, a proto uvedeme jen základní vztahy:
RUžice
, kde s = ε 0 + ε 60 + ε120 a r = 2 ⋅ε 0 − ε 60 − ε 120 + 1 ⋅ (ε 60 − ε 120 )2 0°-60°-120° ε1, 2 = s ± r 3 3 3 ε0, ε60 a ε120 jsou namEMené pomErné deformace ve smErech 0°, 60° a 120°. 2
Graficky lze výpo;ty hlavních deformací ε1 a ε2 z tenzometrické rUžice 0°– 45°– 90°vyjádMit pomocí Mohrovy kružnice v souMadnicích σ-γγ/2: γ/2 ε1 ε 0 + ε 90 2
ε2
ε 0 − ε 90 2
S
ε
0
ε 0 + ε 90
ε90
2
ε45
ε 0 + ε 90
− ε 45
2
r
ε0
− ε 45
EMCS/PP
19
Nyní, když známe velikosti hlavních deformací, je tMeba ještE stanovit jejich orientaci podle vztahu: tg 2ϕ =
ε 0 − 2 ⋅ε 45 + ε 90 , ε 0 − ε 90
který stanoví velikost úhlu mezi pUvodními smEry „0°“ resp. „90°“ a smEry hlavní deformace . Orientace úhlu ϕ je dána velikostmi vstupních hodnot deformací ε0, ε90 a ε45. Orientace úhlu ϕ se ur;uje v závislosti na velikosti ;itatele a jmenovatele základního vztahu: … jak se otáčí hlavní rovina? ε − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 tg 2ϕ = 0 ε 0 − ε 90
R
I
(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) < 0
T
A
L
(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) > 0
90° 45°
ϕ
90° 45°
0°
45°
0°
ϕ
0°
T
E
L
E
(ε 0 − 2 ⋅ ε 45 + ε 90 ) = 0
90°
(ε 0 − ε 90 ) > 0
T
90°
A
(ε 0 − ε 90 ) = 0
N
O
V
Všechny namEMené deformace ε0, ε45 a ε90 jsou ϕ = 45° stejné, a tedy kterýkoliv smEr je hlavní. 0° Úhel ϕ tak mUže nabývat jakékoliv hodnoty.
90°
90°
45°
E
(ε 0 − ε 90 ) < 0
0°
ϕ = 45° 90°
45°
45°
45°
0°
0°
J
M
90°
45°
0°
ϕ
ϕ
V pMípadE vyhodnocení obecné rovinné napjatosti vždy musíme použít rozšíMený HookUv zákon a pMedpoklad, že smEry hlavních deformací a smEry hlavních napEtí jsou totožné (viz PP I): σ1 =
E ⋅ (ε1 + µ ⋅ ε 2 ) 1− µ 2
a
σ2 =
E ⋅ (ε 2 + µ ⋅ ε1 ) . 1− µ2
ε1 ε2
… vypo;tená první hlavní deformace (smEr ), … vypo;tená druhá hlavní deformace (smEr ), E a µ … modul pružnosti v tahu a Poissonovo ;íslo. Poznámka:
Platí totéž co v pMípadE jednoosé napjatosti, protože µ [1] výpo;et rozmErovE nijak neovlivní.
20
STR - KPP
Rozměr tenzometru a měření Nevýhodou je „reálný“ rozmEr vinutí tenzometru, které tím pádem mEMí integrální hodnotu deformace po celé své délce. To mUže být nevýhodné zejména v pMípadech velkých gradientU napEtí resp. deformací v mEMeném tElese tak, jak je to nazna;eno pro tenzometry se základnou 10 a 3 mm. ε
chyba
εměř. 3
chyba
Rozdíl výsledků
εměř. 10
ε
l [mm]
l [mm]
10 mm
3 mm
PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – VYHODNOCENÍ NAMĚŘENÝCH DAT):
P
45°
Dáno: Při měření tenzometrickou růžicí (0°–45°–90°) byly v daném místě zkoumané součásti naměřeny deformace: ε0 = 694 µi, ε45 = –218 µi a ε90 = –252 µi. Tato součást je vyrobena z oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2, µ = 0,3 a σK = 240 N⋅mm-2). Určit: Hlavní napětí σ1,2 a redukované napětí σred. podle teorie τMAX včetně směrů a celkovou bezpečnost kK vůči mezi kluzu.
ϕ
90°
0°
Řešení: NamEMené deformace je zvykem uvádEt v „mikrojednotkách“ (1 µi ≡ 1 µm/m ≡ 1⋅10-6) a do
vztahU pro výpo;et napEtí musíme dosazovat skute;né hodnoty po pMepo;tu: ε1, 2
2 2 866 ⋅ 10 −6 694 + (−252) 694 − ( − 252 ) 694 + ( − 252 ) . = ± − (−218) ⋅ 10− 6 = + 2 2 2 − 424 ⋅ 10− 6
tan(2 ⋅ ϕ ) =
σ 1, 2 =
694 − 2 ⋅ (−218) + (−252) = 0,928118 694 − (−252)
E ⋅ ( ε + µ ⋅ ε ) = 1, 2 2 ,1 1− µ2
Poznámka:
ϕ = 21°26′ .
2,1 ⋅ 105 ⋅ [866 + 0,3 ⋅ (−424)] ⋅ 10− 6 = 170,5 N ⋅ mm − 2 2 1 − 0,3 . 2,1 ⋅ 105 −6 −2 ⋅ [(−424) + 0,3 ⋅ 866] ⋅ 10 = −37,9 N ⋅ mm 1 − 0,32
σ τred . = σ max − σ min = 170,5 − (−37,9) = 208,4 N ⋅ mm −2 MAX
⇒
⇒
k Kτ MAX =
240 ≈ 1,15 . 208,4
NezapomeXte, že Mešíme rovinnou napjatost (σ3 = 0), mohou také nastat další dva pMípady: Pro σ1 > σ2 > 0 bude σred = σ1 – 0, resp. pro σ2 < σ1 < 0 bude σred = 0 – σ2 .
EMCS/PP
21
P PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly Fmax = 150 000 N, jeho základní rozměry jsou: D = 110 mm, d = 100 mm a je vyroben z běžné oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2, µ = 0,3 a Re = 235 N⋅mm-2). Určit: Maximální velikost výstupního signálu UA max , je-li snímač napájen konstantním napětím UB = 5 V. Při výrobě byly použity čtyři shodné jednoduché fóliové tenzometry s k-faktorem k = 2,05. Řešení: Sníma; využívá celomostového zapojení s využitím Poissonova vztahu. RtyMi tenzometry jsou
instalovány na vnitMním povrchu stMední ;ásti mezikruhového profilu. Velikost plochy prUMezu v tomto místE je: 2 2 π ⋅ D 2 d π ⋅ 1102 100 2 A= ⋅ 1 − = ⋅ 1 − ≈ 1 650 mm . 4 D 4 110
Základní vztah popisující pomEr výstupního ku vstupnímu napEtí má pro celomostové zapojení tvar: UA R1 + ∆R1 R4 + ∆R4 = − . U B R1 + ∆R1 + R2 + ∆R2 R3 + ∆R3 + R4 + ∆R4
Pro malé zmEny odporU ∆Ri, pMi použití vztahU platných pro tenzometry ∆Ri Ri = k i ⋅ ε i a pro stejné k-faktory použitých tenzometrU (k1 ≈ k2 ≈ k3 ≈ k4 ≈ k) dostáváme pomEr vstupního a výstupního napEtí již jako funkci ;tyM tenzometry mEMených deformací ε1, ε2, ε3 a ε4: UA k = ⋅ (ε 1 − ε 2 + ε 3 − ε 4 ) UB 4
.
PMi dosazení vztahU platných pro tah/tlak: ε 1,3 = σ 1,3 E a ε 2, 4 = − µ ⋅ σ 1,3 E dostáváme výsledek: U A k σ1,3 = ⋅ ⋅ 2 ⋅ (1 + µ) . UB 4 E
Maximální síla vyvolá ve stMední ;ásti napEtí: σ 1,3 = − Fmax A
=−
150 000 ≈ −91 N ⋅ mm −2 . 1 650
Hledané výstupní napEtí pak bude mít velikost: k σ 2,05 − 91 U A max = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ (1 + µ) ⋅U B = ⋅ ⋅ 2 ⋅ (1 + 0,3) ⋅ 5 = −0,002887 V . 4 E 4 2,1⋅105
22
STR - KPP
PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Rozměry ocelového (E = 2,1⋅10 N⋅mm a µ = 0,3) snímače krouticího momentu jsou D = 60 mm a d = 40 mm. Podle obrázku byl ve střední části nainstalován speciální tenzometrický kříž pro měření smykových napětí (k-faktor obou vinutí je k = 1,98). Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly Fmax = 150 000 N, jeho základní rozměry jsou: D = 110 mm, d = 100 mm a je vyroben z běžné oceli (E = 2,1⋅105 N⋅mm-2, µ = 0,3 a Re = 235 N⋅mm-2). 5
-2
Určit: Stanovte velikost přenášeného krouticího momentu MK snímačem, jestliže na měřicí aparatuře bylo naměřeno výstupní napětí UA = 0,002 V při napájecím napětí UB = 10 V. Řešení: V tomto pMípadE jsou pouze dva aktivní tenzometry zapojené do polovi;ního mostu a zbý-vající
dva odpory do celého mostu doplXuje již tenzometrická aparatura. Výsledný vztah proto je: U A k 2 ⋅ (1 + µ ) = ⋅ ⋅τ max . UB 4 E
Protože velikost hledaného krouticího momentu závisí na velikosti τmax a WK podle vztahu: M K = τ max ⋅ WK ,
Musíme ur;it nejprve modul prUMezu v kroucení: WK =
π ⋅ D3 16
d 4 π ⋅ 60 3 ⋅ 1 − = 16 D
40 4 ⋅ 1 − ≈ 34 034 mm 3 . 60
Pro toto polomostové zapojení využijeme vlastnosti napjatosti ;istého smyku, kdy platí: σ 1 = +τ max = +
MK WK
a
σ 4 = −τ max = −
MK . WK
Odkud po dosazení zadaných hodnot vychází: MK =
UA 4 E 0,002 4 2,1⋅105 ⋅ ⋅ ⋅ WK = ⋅ ⋅ ⋅ 34 034 = 1,11 ⋅10 6 N ⋅ mm = 1,11 kN ⋅ m . U B k 2 ⋅ (1 + µ ) 10 1,98 2 ⋅ (1 + 0,3)
P
EMCS/PP
23
P PŘÍKLAD (TENZOMETRIE – NÁVRH SILOMĚRU NA BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Tenzometrický snímače síly založeného na principu zatěžování tenkého rámu ve tvaru kružnice podle obrázku. Snímač je osazen čtyřmi odporovými tenzometry zapojenými do celého mostu. Základní rozměry snímače jsou: poloměr rámu r = 50 mm, tloušťka rámu t = 5 mm a šířka rámu b = 12 mm. Snímač je vyroben ze speciální oceli o modulu pružnosti v tahu E = 2,05⋅105 N⋅mm–2 a mezi kluzu σK = 320 N⋅mm–2 a jsou na něj nainstalovány čtyři lineární tenzometry s k-faktorem k = 2,06. Určit: Stanovte obecně přibližnou převodní charakteristiku tohoto snímače a poté závislost měřené síly na výstupním napětí při napájecím napětí UB = 5 V. Řešení: V tomto pMípadE jsou všechny ;tyMi tenzometry aktivní zapojené do celého mostu.
Nejprve musíme sestavit výpo;tový model, abychom ur;ili namáhání v místech nainstalovaných tenzometrU R1 až R4. Podle teorie tenkých kMivých prutU a rámU sta;í z pUvodního tenkého rámu vzhledem k symetrii Mešit pouze kMivý prut ve tvaru jedné ;tvrtiny pUvodního rámu. Tato úloha je vzhledem k symetrii k vodorovné i svislé ose jedenkrát staticky neur;itá. Díky tEmto dvEma symetriím také mUžeme pMímo ur;it velikost svislé síly NA a velikost te;né síly F NA = , TA = 0 a M A = ? . TA. Vznikající moment MA pUsobící v bodE A pak pro nás 2 zUstává v tomto pMípadE jedinou neznámou: Neznámý moment MA ur;íme z deforma;ní podmínky, která pro tento symetrický prut musí zaru;it, že se v bodE A prut vzniklý rozdElením (uvolnEním) pUvodního rámu nesmí nato;it: ϕA = 0 . Tuto deforma;ní podmínku vyjádMíme pomocí Mohrova integrálu jako: ϕA =
1 ⋅ E ⋅ Jz
π 2
∫ − M 0
A
+
F ⋅ r ⋅ (1 − cosψ ) ⋅ ["1"]⋅ [r ⋅ dψ ] = 0 . 2
Z této rovnice pro E⋅Jz ≠ 0 vyplývá, že neznámý moment MA je: MA = F ⋅r⋅
π−2 ≈ 0,18169 ⋅ F ⋅ r . 2⋅ π
24
STR - KPP
Nyní již mUžeme vyjádMit velikosti napEtí vznikajících v místE A tohoto tenkého rámu: 1. tahové napEtí: σt =
2. ohybové napEtí: σ o max =
NA 1 F 1 F = ⋅ = ⋅ = 0,00833 ⋅ F , A b ⋅ t 2 12 ⋅ 5 2
M A 0,18169 6 ⋅ 0,18169 = ⋅F ⋅r = ⋅ F ⋅ 50 = 0,18169 ⋅ F . 2 1 Woz 12 ⋅ 5 2 ⋅b ⋅t 6
Výsledná redukovaná napEtí na vnitMním resp. vnEjším povrchu tenkého rámu vypo;teme jako sou;et resp. rozdíl vypo;tených napEtí: 1. vnitMní povrch (místo tenzometru R1): σ R = σ t + σ o max = (0,00833 + 0,18169) ⋅ F = +0,19002 ⋅ F , 1
2. vnEjší povrch (místo tenzometru R2): σ R = σ t − σ o max = (0,00833 − 0,18169) ⋅ F = −0,17336 ⋅ F . 2
Vzhledem k obecné symetrii Mešeného tenkého rámu mUžeme napEtí na vnitMním resp. vnEjším povrchu v místE B ur;it pomocí napEtí v místE A jako: σ R = σ R = +0,19002 ⋅ F 3
resp.
1
σ R = σ R = −0,17336 ⋅ F . 4
2
Obecný výraz pro podíl výstupního ku vstupnímu napEtí pomocí (mechanického) napEtí bude:
(
)
(
)
(
)
UA k k k = ⋅ ε R1 − ε R2 + ε R3 − ε R4 = ⋅ 2 ⋅ σ R1 − 2 ⋅ σ R2 = ⋅ σ R1 − σ R2 . UB 4 4⋅ E 2⋅ E
Ten již mUžeme vyjádMit pomocí vypo;tených napEtí jako: UA 2,06 = ⋅ [0,19002 − (−0,17336)] ⋅ F = 1,8258 ⋅10 −6 ⋅ F . U B 2 ⋅ 2,05 ⋅105
Pro maximální velikost síly Fmax bude podíl výstupního ku vstupnímu napEtí: U A V mV = 1,7736 ⋅ 10 −6 ⋅ 1 100 = 2,00838 ⋅ 10−3 ≈ 2 . U V V B max
Tato hodnota pMibližnE odpovídá standardu, který se postupem ;asu ustálil pro lineární charakteristiky sníma;U 2 mV/V. Teoretická charakteristika navrženého sníma;e síly na bázi ohybu tenkého rámu ve tvaru kružnice je patrná z obrázku. Rovnici závislosti zatEžující síly F na výstupním napEtí UA této ideální charakteristiky lze pro zadané napájecí napEtí UB = 5 V psát jako: F=
1 ≈ 112 765 ⋅ U A . 1,7736 ⋅10 −6 ⋅ 5
EMCS/PP
25
Poznámky: •
Nakonec bychom mEli zkontrolovat namáhání sníma;e v pMípadE zatížení maximální silou: σ max = σ R = +0,19002 ⋅ Fmax = 210 N ⋅ mm −2 . 1
Znamená to, že bezpe;nost k silomEru vU;i mezi kluzu σK je: k=
•
320 σK = ≈ 1,52 . σ max 210
Tento výpo;et ur;il pMibližnou charakteristiku sníma;e, ale pro praktické mEMení by bylo tMeba tento sníma; po zkompletování cejchovat za pomoci napM závaží známé hmotnosti nebo jiného silomEru se známou charakteristikou. Až takto stanovená kone;ná charakteristika bude použitelná pMi praktickém nasazení tohoto sníma;e, protože již postihuje všechny odchylky od ideálníého stavu s nímž po;ítal výpo;tový model tohoto sníma;e.
PMíklady komer;ních sníma;U na bázi odporových tenzometrU
26
STR - KPP
2. OPTICKÉ METODY 2.1 FOTOELASTICIMETRIE Optický efekt, na kterém je tato metoda založena, je znám již od po;átku XIX. století. PMi pokusech s polarizovaným svEtlem se zjistilo, že pMi prUchodu tohoto svEtla sklem, které bylo zatíženo - tudíž do nEho byla vnesena mechanická napEtí - vznikly rUznobarevné obrazce. VEdci nejprve využívali tento efekt ke stanovení hrani;ních napEtí rovinných modelU, ale následnE vznikla metodika vyšetMování napjatosti rovinné a postupem ;asu i prostorové úlohy. PMi fotoelasticimetrii mUžeme i prostým okem pomErnE zMetelnE pozorovat dEje, ke kterým dochází ve zkoumaném objektu (sta;í k tomu jednoduchý optický filtr a mUžeme se podívat, co zbylo ve školním trojúhelníku jako dUsledek jeho výroby. Princip fotoelasticimetrie: Principem fotoelasticimetrie je tzv. do;asný dvojlom, ke kterému dochází u opticky anizotropních materiálU v dUsledku napjatosti. PMi dvojlomu se každý svEtelný paprsek rozloží na dva, které se liší rychlostí i orientací. Tato orientace odpovídá orientaci hlavních smErU Mešené napjatosti. Protože pMedpokládáme zejména rovinné modely a tedy rovinnou napjatost, jedná se o dva navzájem kolmé smEry vzhledem k optické ose mEMení. Rozlišujeme dva druhy fotoelasticimetrie:
PMímá – veškeré sou;ásti mEMicího MetEzce leží v jedné pMímé optické ose 5 4 3 2
1
1 – zdroj svEtla, 2 – polarizátor, 3 – model v zatEžovacím rámu, 4 – depolarizátor (analyzátor), 5 – sníma; (pozorovatel)
EMCS/PP
27
Reflexní – využívá se odrazu paprsku od mEMeného povrchu a sou;ásti MetEzce neleží v pMímce 1 – mEMená sou;ást, 9 2 – reflexní vrstva (sta;í leštEný povrch nebo nástMik), 8 3 – vrstva fotoelasticky citlivého materiálu, 7 4 – dopadající polarizovaný paprsek, 5 – polarizátor, 6 6 – zdroj svEtla, 5 4 7 – odražený paprsek již po dvojlomu v optické vrstvE, 3 8 - depolarizátor (analyzátor), 2 9 – sníma; (pozorovatel). 1 PMístroj, kterým se provádí fotoelasticimetrické mEMení, se nazývá POLARISKOP. POLARISKOP Polariskop pro přímou fotoelasticimetrii
Hlavní ;ásti jsou: a) Zdroj svEtla – mUže to být zdroj monochromatického svEtla nebo oby;ejného bílého svEtla (zdrojem monochromatického – jednofrekven;ního – svEtla mUže být napM. sodíková lampa) b) Polarizátor – optický filtr, který usmErní svEtelné paprsky. Pokud usmErXuje paprsky pouze do jedné roviny nazývá se tato polarizace pMímková. Pokud složíme dvE kolmé pMímkovE polarizované vlny se stejnou frekvencí i amplitudou, které se liší pouze fázovým posuvem o π/2, pak hovoMíme o kruhové polarizaci. c) Model a zatEžovací rám – samotný zkušební model je vyroben ze speciálního prUhledného fotoelasticimetrického materiálu a zatEžovací rám má za úkol vytvoMit na modelu požadované zatížení a dosáhnout v modelu požadované napjatosti. d) Depolarizátor (analyzátor) – druhý optický filtr, který opEt usmErní svEtelné paprsky. Jeho vlastnosti jsou shodné s vlastnostmi polarizátoru. e) Sníma; – nejjednodušším „sníma;em“ bylo v minulosti zejména lidské oko, pozdEji ho nahradil objektiv fotoaparátu a dnes to mUže být jakýkoliv digitální sníma; obrazu, který zajistí jeho uložení a snadný pMenos k dalšímu zpracování. Polariskop pro reflexní fotoelasticimetrii
Hlavní ;ásti jsou: a) Zdroj svEtla – shodný s pMímým polariskopem b) Polarizátor – shodný s pMímým polariskopem c) Skute;ná sou;ást, která má upravený povrch tak, aby co nejlépe odrážel svEtelné paprsky (leštEní, nástMik, ...). Na takto upravený povrch je nalepena tvarovaná vrstva opticky citlivého materiálu, který se deformuje spolu s povrchem skute;né sou;ásti v dUsledku jejího zatížení. Vlastní paprsek tak prochází optickou vrstvou dvakrát: pMi dopadu i pMi odrazu. d) Depolarizátor (analyzátor) – shodný s pMímým polariskopem. e) Sníma; – shodný s pMímým polariskopem.
28
STR - KPP
Příprava měření: NejdUležitEjším krokem pMípravy mEMení je výroba vhodného modelu, který je zhotoven ze speciálního prUhledného dostate;nE opticky citlivého materiálu. Tento materiál musí mít vhodné mechanické vlastnosti, které jsou úmErné jeho optickým vlastnostem. PMi výrobE modelu (opracování, ohýbání, ...) nesmíme do modelu vnést vnitMní napEtí, která by celé mEMení zkreslila. PMi reflexní fotoelasticimetrii musíme vyrobit plátky opticky citlivého materiálu, které vErnE kopírují povrch mEMené sou;ásti, a pak je spolehlivE pMilepit na pMedem pMipravený „odrazivý“ povrch. Vlastní měření: Vyrobený model umístíme do pracovního prostoru mezi polarizátor a depolarizátor do zatEžovacího rámu. Nejprve zkontrolujeme stav bez zatížení, nejsou-li do modelu vnesena zbytková napEtí v dUsledku výroby. Poté pomocí zatEžovacího rámu zajistíme zatížení modelu odpovídající požadovaným podmínkám. Na sníma;i pak zaznamenáváme stav svEtelných paprskU po prUchodu celou optickou osou: zdroj svEtla – polarizátor – zatížený model – depolarizátor (analyzátor). Zpracování naměřených dat: Vlivem zatížení vzniká v modelu napjatost, která zpUsobí deformaci jednotlivých ;ástí struktury materiálu modelu. V jejich dUsledku dochází v modelu k dvojlomu, kdy se paprsek rozloží do dvou kolmých smErU odpovídajícím hlavním napEtím a sou;asnE nastane mezi nimi fázový posun v dUsledku rychlejšího šíMení jednoho z paprskU modelem. Velikost fázového posuvu je úmErná rozdílu hlavních napEtí v Mešeném místE. Na záznamech z mEMení mUžeme sestrojit dva druhy ;ar: Izoklíny:
To jsou kMivky spojující body se stejným sklonem hlavních napEtí. Izochromy:
To jsou kMivky spojující body se stejným rozdílem hlavních napEtí. Nejjednodušeji lze výsledky vyjádMit vztahy: I = I 0 ⋅ sin 2 (2 ⋅ α ) ⋅ sin 2 (π ⋅ n) ,
(σ 1 − σ 2 ) = n ⋅ c , t
kde: I0 ... je intenzita svEtla vycházejícího ze zdroje, I ... je intenzita svEtla pMicházejícího na sníma;, α ... je úhel mezi hlavním napEtím a osami polarizátoru a depolarizátoru, n ... je Mád izochromatické ;áry (0, 1, 2, ...), c ... je optická citlivost materiálu modelu, t ... je tloušťka modelu ve smEru optické osy.
EMCS/PP
29
Poznámka:
Stále nesmíme zapomínat, že oba zpUsoby mEMení popisují rovinnou napjatost σ1,2 kde σ3 = 0. Pokud bude σ1 = σmax > 0 a σ2 = σmin < 0, odpovídá vypo;tený rozdíl (σ1 – σ2) pMímo teorii τMAX. Problémem mEMení nastává tehdy, budou-li obE napEtí kladná σ1 > σ2 > 0, protože z hlediska pevnosti podle teorie τMAX je rozhodující rozdíl (σ1 – 0) nebo budou-li obE napEtí záporná σ2 < σ1 < 0, kdy je z hlediska pevnosti podle teorie τMAX je rozhodující rozdíl (0 – σ2). Příklady měření pomocí fotoelasticimetrie:
Fotoelasticimetrie mUže být pojata i jako jistý druh umEní (foto HGB Allersma a Jan Paták)
Výsledky mEMení koncentrace v okolí kruhového otvoru, polariskop a pMíklad modelu oka závEsu
30
STR - KPP
Metoda „zmražených“ deformací: Používané opticky citlivé materiály na bázi organických plastických hmot mají z hlediska použití ještE jednu zajímavou vlastnost. Tou je pomErnE velký rozdíl mezi dolní a horní pMechodovou teplotou. To znamená, že pMi zatížení vzorku pMi teplotE vyšší než je pMechodová teplota v nEm zUstanou uchovány veškeré deformace i po odleh;ení. K jejich opEtnému uvolnEní by došlo až pMi dalším pMekro;ení pMechodové teploty. Princip metody: Vyrobíme z opticky anizotropního citlivého materiálu (litím, opracováním, lepením, …) prostorový model, který odpovídá skute;né sou;ásti. Vlastní model mUže být kombinací materiálU, když z fotoelasticimetrického materiálu vyrobíme jen ;ásti, které jsou pro experiment dUležité. V tomto pMípadE je tMeba ale zajistit správné uspoMádání celého modelu vzhledem k možným rozdílným sou;initelUm teplotní roztažnosti materiálU jednotlivých ;ástí. Tento model zatížíme tak, aby to odpovídalo zatížení skute;né sou;ásti a umístíme ho do ohMívacího zaMízení. Po dostate;ném „prohMátí“ celého modelu ho mUžeme již vyndat, odleh;it a dál ho uchovávat jen pMi pokojové teplotE, protože existující deformace jsou v modelu již zafixovány. Poté mUžeme celý model nebo jeho ;ásti rozebrat nebo rozMezat na tenké plátky, které lze vložit do polariskopu a prosvítit svEtlem a zaznamenat pole deformací. Jen je tMeba pMi Mezání dbát zvýšené opatrnosti, aby nedošlo k nadmErnému ohMátí Mezné plochy a tím k dosažení horní pMechodové teploty, což by mElo za následek uvolnEní „zmrazených“ deformací a znehodnocení celého experimentu. Další příklady měření pomocí fotoelasticimetrie:
Tyto dva obrázky jsem použil z u;ebního textu pánU JiMího Vrby a Petra Frantíka „ÚVOD DO FOTOELASTICIMETRIE“, který je ur;en poslucha;Um druhého ro;níku stavební fakulty VUT v BrnE pro seznámení s fotoelasticimetrií. Jsou na nich zobrazené jednotlivé izochromy pMi zatížení poloroviny osamElou silou a rozložení radiálního kontaktního napEtí po délce hmoždinky.
EMCS/PP
31
2.2 METODA MOIRÉ Tato metoda je založená moiré efektu, který patMí mezi základní optické efekty procházejícího svEtla. V MadE lidských ;inností má tento efekt negativní vliv na výsledné snažení. Jedná se zejména o oblasti, kde se pracuje s rastrovým zpracováním obrazu jako je digitální fotografie, televizní vysílání a video, PC monitory, ale také tiskárny nebo scannery). Prakticky to znamená, že politik v TV studiu v jemnE kostkovaném saku vytváMí na sobE i pMi sebemenším pohybu rUzné prostodivné obrazce, protože princip snímání obrazu je po Mádcích (buď 576 nebo 720 nebo dokonce 1080). Poznámka:
Tuto metodu znáte prakticky všichni, i když se nedíváte na politiky v TV nebo se nezabýváte digitální fotografií. Sta;í, pokud máte doma záclony vyrobené z tenkých vláken. PMi jejich pMekrývání vznikají pohybem rUzné futuristické obrazce, které ještE umocXuje pMímo dopadající slune;ní svEtlo. Princip metody moiré: Metoda moiré pMedstavuje jakési „optické zesílení“ mEMené deformace. Principem metody je existence dvou mMížek – pevné pozorovací a pohyblivé spojené s mEMeným objektem. PMi prUchodu svEtla spolu tyto dvE mMížky interferují a i nepatrný pohyb jedné z mMížek pMedstavuje významné okem postMehnutelné zmEny ve svEtelných pomErech na pozorovací mMížce.
po;áte;ní stav
posun o 0,1 mm
posun o 0,2 mm
posun o 0,3 mm
po;áte;ní stav
pooto;ení o 1°
pooto;ení o 2°
pooto;ení o 3°
Poznámka:
Moiré efekt se projeví i pMi zobrazení a zejména tisku této stránky, protože mMížky interferují s rastrem monitoru resp. s rastrem použité tiskárny. PMesto vEMím, že výsledek efektu je alespoX trochu patrný.
32
STR - KPP
Velice ;asto se k tvorbE mMížky na zkušebním tElese využívá promítnutí pevné mMížky na povrch zkoušeného tElesa nebo i promítnutí dvou navzájem posunutých nebo pooto;ených mMížek, které pak v rUzných výškách 3D objektu spolu rUznE interferují.
Příklady měření (zobrazení) pomocí metody moiré:
Metoda moiré aplikovaná na 3D objekty
Další aplikace metody moiré
EMCS/PP
33
2.3 METODA S.P.A.T.E. (Stress Pattern Analysis by Thermal Emissions)
Princip této metody spo;ívá v pMedpokladu, že každý dEj (i elastický) není ideální – tedy bezztrátový. V prUbEhu zatEžování vzniká v dUsledku deformací ur;ité množství tepla, které se „ztrácí“ na povrchu sou;ásti. Až dosud jsme tento dEj neuvažovali, protože vznikající teplotní zmEny jsou tak malé, že výsledný stav „neovlivní“. I v praxi nebylo možno vzhledem k technickým možnostem toto uvolnEné teplo pozorovat a zaznamenat. První pokusy s mEMením v infra;erveném poli pocházejí z oblasti zbrojního a kosmického programu. PostupnE se však metody infra;erveného vidEní rozvinuly i do bEžnEjších oblastí lidského života. Jednak to je uplatnEní v lékaMství a jednak to zejména souvisí s úsporami energií. Pomocí infra;ervených snímkU je možné pozorovat „nemocná“ místa na lidském tEle resp. odhalit abnormality v teplotE povrchu tEla a v technické praxi odhalit místa se zvýšenou teplotou – nej;astEji místa špatnE izolovaná. Tyto obrázky jste ur;itE již nEkdy vidEli a jsou velice ilustrativní a efektní.
Záznam úniku tepla z obytné budovy, záznam rozložení teplot v horském údolí a záznam rozložení teplot v lidské dlani
34
STR - KPP
V oblasti mEMení dissipovaného (uvolnEného) tepla v dUsledku deformací sou;ásti je situace o to komplikovanEjší, protože vznikající ohMevy jsou v Mádech setin až desetin stupnE celsia a v dUsledku odvodu tepla bezprostMednE po deformaci „vymizí“ – dissipují do okolí.
a)
b) PMíklady rozložení teplotního pole v okolí: a) kolmé trhliny, b) šikmé trhliny, c) kruhového otvoru
c)
Nej;astEji se tak tato metoda využívá pMi cyklickém namáhání, kde se teplo uvolXuje pMi každém cyklu a nedochází tak k jeho rychlému odvodu do okolí. Ale i tak je tato metoda velice citlivá na podmínky provedení, kvalitu mEMícího zaMízení a pMesnost celého mEMení. Obrázky výsledku infra;erveného testu (S.P.A.T.E.) pro vzorek z titanové slitiny komer;nE zna;ené 21S. MEMítko je provedeno v bezrozmErných jednotkách odpovídajících teplotní amplitudE získané infra;ervenou kamerou. Realizace mEMícího MetEzce pro metodu S.P.A.T.E. a po;íta;ové zpracování namEMených hodnot. P. Brémond, Cedip Infrared Systéme, Croissy Beaubourg, France
v obou úrovních.
EMCS/PP
35
3. ZÁKLADY TEORIE PODOBNOSTI Ne vždy nám situace umožní provádEt experimenty na skute;ných sou;ástech a za skute;ných provozních podmínek. V tEchto pMípadech pak provádíme experimenty za zmEnEných podmínek na „modelu“ a jejich výsledky je tMeba pMenést na skute;nou sou;ást = „dílo“. A právE jasnE popsaný vztah mezi modelem a dílem je základem teorie podobnosti používané v experimentální pružnosti a pevnosti (ale i v jiných experimentálních oborech). Z pohledu veli;in sledovaných v pružnosti a pevnosti (zejména pMi tenzometrických mEMeních) je nejdUležitEjší: 1. podobnost zatížení (silová, momentová, ...), 2. podobnost rozmErová (geometrie tElesa, poloha zatížení, ...), 3. podobnost materiálová (modul pružnosti, Poissonovo ;íslo, mezní hodnoty, ...), 4. podobnost fyzikálních vlastností (hustota, teplotní roztažnost, ...). PODOBNOST ZATÍŽENÍ PMi vEtšinE výpo;tU zejména v geometricky lineární pružnosti (malé deformace) je závislost vEtšiny veli;in na síle nebo momentu také lineární: σ=
M M F , σ o max = o , τ max = K , A Wo WK
∆l =
F ⋅l E⋅A
, ϕ A −B =
M K ⋅ l A −B , ... G ⋅ JK
Jestliže tedy na model budeme pUsobit silovým ú;inkem, který bude ξF-krát menší/vEtší než ú;inek pUsobící na dílo, budou také sledované veli;iny ξF-krát menší/vEtší. PMevod mezi modelem a dílem mUžeme jednoduše vyjádMit pro: ξF =
Fmodel σ ∆l jako: σ skut. = σ dílo = model , ..., ∆l skut . = ∆l dílo = model , atd. Fdílo ξF ξF
PMi spojitém zatížení q vznikajícím „rozložením“ síly na ur;itý délkový úsek, resp. momentech M vznikajících jako síla na ur;itém délkovém rameni je situace komplikovanEjší, protože do výpo;tu musí vstupovat i podobnost rozmErová (viz dále). PODOBNOST ROZMĚROVÁ VEtšina experimentU se realizuje na 3D-modelech.
36
STR - KPP
Znamená to tedy Mešení vztahu model-dílo ve všech tMech smErech x-y-z. Vztahy jednotlivých veli;in jsou však v MadE výpo;tU závislé na celkové orientaci. Nejjednodušší je pMípad stejné podobnosti ve všech tMech smErech (zmenšení/zvEtšení celého modelu oproti pUvodnímu dílu). PMi zachování stejné podobnosti i v pMípadE ramen momentU bude možné pMevod mezi modelem a dílem vyjádMit pro: ξL =
Lmodel σ ∆l jako: σ skut . = σ dílo = model , ..., ∆l skut . = ∆l dílo = model , atd. 2 Ldílo ξL ξL
Rasto však dochází k odlišným mEMítkUm v podélném a v pMí;ných smErech (do zkušebního stroje se nám vejde pUvodní profil sou;ásti, ale ne v celé délce nebo naopak délku jsme schopni splnit, ale prUMez musíme zmEnit). V tEchto pMípadech je tMeba zavádEt místo jednoho mEMítka dvE nebo i tMi. Výpo;et pak musí respektovat tato dvE resp. tMi mEMítka. Pro rozdílné mEMítko v ose sou;ásti a shodná pMí;ná mEMítka bude možné vyjádMit vztah model-dílo pro: ξx =
X model Y Z a ξ yz = model = model jako: X dílo Ydílo Z dílo
a) pro namáhání prostým tahem/tlakem (délka modelu odpovídá pomEru ξx): σ skut . = σ dílo =
σ model ∆l ⋅ξ ale ∆l skut . = ∆l dílo = model2 x . 2 ξ yz ξ yz
b) pro namáhání ohybem nebo krutem (délka modelu i ramena momentU odpovídají pomEru ξx): σ skut . = σ dílo
σ ⋅ξ τ ⋅ξ = model3 x , τ skut . = τ dílo = model3 x ξ yz ξ yz
ale
ϕ A −B skut . = ϕ A −B dílo
ϕ A −B model ⋅ ξ x2 . = ξ yz4
c) pro namáhání ohybem nebo krutem (délka modelu odpovídají pomEru ξx, ale rameno momentu ξyz): τ skut . = τ dílo =
τ model ξ yz2
ale
ϕ A −B skut . = ϕ A −B dílo =
ϕ A −B model ⋅ ξ x . ξ yz3
d) pro rozdílné pomEry ve všech tMech smErech je tMeba dUslednE dbát na orientaci zatížení a mEMených veli;in, protože mUže platit jak: σ skut . = σ dílo = 1 6
σ model ⋅ ξ x ξ y2 ⋅ ξ z
, tak také σ skut . = σ dílo =
σ model ⋅ ξ x , ξ y ⋅ ξ z2
1 6
protože Woy = ⋅ Y 2 ⋅ Z ale Woz = ⋅ Y ⋅ Z 2 . PMi výpo;tu deformací (prUhybU) záleží výsledná hodnota pMi ohybu na osovém kvadratickém momentu prUMezu (Jy nebo Jz) a pMi výpo;tu nakroucení na polárním kvadratickém momentu (Jp). V pMípadE stejného mEMítka v obou pMí;ných smErech bude: J y , z , p model = ξ yz4 ⋅ J y , z , p dílo , a proto: vskut . = vdílo =
vmodel
ξ yz4
.
V pMípadE rozdílných mEMítek záleží zejména pMi ohybu na orientaci vU;i zatížení: J y , z model = ξ y3 ⋅ ξ z ⋅ J y , z dílo nebo J y , z model = ξ y ⋅ ξ z3 ⋅ J y , z dílo , 1 3 1 ⋅ Y ⋅ Z nebo J y , z = ⋅ Y ⋅ Z 3 . 12 12 v Proto bude platit: vskut . = vdílo = 3model ξy ⋅ξz
protože J y , z =
nebo
vskut . = vdílo =
vmodel . ξ y ⋅ ξ z3
EMCS/PP
37
PODOBNOST MATERIÁLOVÁ Pokud provádím experimenty na modelech vyrobených ze shodného materiálu s originální sou;ástí, nemusím se touto podobností vUbec zabývat. RastEji se ale k výrobE modelU používají odlišné materiály napM. z dUvodu lepší dostupnosti, snadnEjší obrobitelnosti nebo snadnEjšího odlévání. Rasto u tEchto modelU pUvodní svaMování lze nahradit lepením nebo pouhým pájením. Ve všech tEchto pMípadech musíme znát minimálnE vztahy mezi modulem pružnosti modelu a díla a pMípadnE mezi Poissonovým ;ísly: ξE =
ν Emodel resp. ξν = model . Edílo ν dílo
E 2 ⋅ (1 + ν ) Emodel ξ E ⋅ Edílo = . nutné pMepo;ítávat modul pružnosti ve smyku podle vztahu: Gmodel = 2 ⋅ (1 + ν model ) 2 ⋅ (1 + ξν ⋅ν dílo )
Pro namáhání smykem bude vzhledem k platnosti vztahu:
G=
Vzhledem k tomu, že vEtšina bEžných pMírodních materiálU má ν ≈ 0,3, budeme pMi všech dalších výpo;tech uvažovat pMibližnE stejná Poissonova ;ísla (νmodel ≈ νdílo ≈ ν). Za tohoto pMedpokladu sta;í uvažovat pouze jeden pomEr modulU pružnosti pro tah/tlak i krut/smyk a bude platit: ξG =
Gmodel = ξE . Gdílo
Ve vztazích pro výpo;ty deformací (∆l, v(x), ϕA-B, ...) se modul pružnosti (E nebo G) objevuje vždy ve jmenovateli, a tak bude platit: ∆l skut. = ∆l dílo =
∆l model
ξE
nebo vskut. = vdílo =
vmodel
ξE
resp. ϕ A−B skut. = ϕ A−B dílo =
ϕ A−B model ϕ A−B model . = ξG ξE
Tenzometrická mEMení primárnE mEMí pomErné deformace vyvolané napjatostí v sou;ásti. Pokud je tedy zatížení a jím vyvolané napEtí v modelu shodné s dílem, budou namEMené deformace v pomEru modulU pružnosti, protože jsou vázány Hookovým zákonem: ε1 model =
ε model =
σ model Emodel
=
σ dílo
ξE ⋅ Edílo
resp. ε 2 model = ε 3 model =
1 Emodel 1 Emodel 1 Emodel
⋅ [σ1 −ν ⋅ (σ 2 + σ 3 )]model =
1 ⋅ [σ −ν ⋅ (σ 2 + σ 3 )]dílo ξ E ⋅ Edílo 1
⋅ [σ 2 −ν ⋅ (σ 3 + σ1 )]model =
1 ⋅ [σ −ν ⋅ (σ 3 + σ 1 )]dílo . ξ E ⋅ Edílo 2
⋅ [σ 3 −ν ⋅ (σ1 + σ 2 )]model =
1 ⋅ [σ 3 −ν ⋅ (σ1 + σ 2 )]dílo ξ E ⋅ Edílo
PMi vyhodnocování tenzometrických mEMení pro výpo;et napEtí z namEMených deformací se také využívá jednoduchého Hookova zákona nebo rozšíMeného Hookova zákona upraveného pro rovinnou napjatost: σ 1 model = σ model = Emodel ⋅ ε model
resp.
σ 2 model
Emodel ⋅ (ε 1 model + ν ⋅ ε 2 model ) 2 1 − ν model
Emodel = ⋅ (ε 2 model + ν ⋅ ε 1 model ) 2 1 − ν model
.
Spojením pMedchozích vztahu je patrné, že tato podobnost splXuje pMi uvažování pMibližnE stejných Poissonových ;ísel (νmodel ≈ νdílo ≈ ν) základní pMedpoklad: σ dílo = ξ E ⋅ Emodel ⋅ ε model = σ model .
38
STR - KPP
PMi používání modelU z jiných materiálU než vlastní dílo je tMeba nezapomenout na rozdílné mezní hodnoty, a to hlavnE mez kluzu a mez pevnosti. Zejména u modelU z plastU bývají tyto hodnoty výraznE nižší než napM. u pUvodní oceli. Této skute;nosti je následnE tMeba pMizpUsobit i zatížení, aby nedošlo k poškození modelu. PODOBNOST FYZIKÁLNÍCH VLASTNOSTÍ a) Pokud provádím experimenty na modelech vyrobených ze shodného materiálu s originální sou;ástí, je tMeba se zabývat vlivem teploty jen z pohledu pomEru délkových rozmErU a celkových absolutních deformací modelu a díla: ∆xskut . = ∆xdílo = ∆xmodel ⋅ ξ x
∆l skut. = ∆l dílo = ∆l model ⋅ ξ L
resp.
∆y skut . = ∆ydílo = ∆ymodel ⋅ ξ y . ∆z skut . = ∆z dílo = ∆z model ⋅ ξ z
V pMípadE rozdílných sou;initelU lineární teplotní roztažnosti bude pro: ξα =
α model platit: α dílo
∆l skut . = ∆l dílo = ∆l model ⋅ ξα .
b) Vztah mezi hustotami materiálU modelu a díla hraje roli pouze pMi uvažování setrva;ných ú;inkU. Tento vztah pak bude muset být i ve vztahu k rozmErové podobností, protože setrva;né ú;inky jsou vždy vázány na hmotnost a nikoliv jen hustotu. Pro vlastní tíhu platí: a pro odstMedivou sílu platí: Pro ξ ρ =
dG = ρ ⋅ g ⋅ dV dO = ρ ⋅ dV ⋅ r ⋅ ω 2
ρ model mUžeme psát: Gskut . = Gdílo = Gmodel ⋅ ξ ρ ρ dílo
resp. resp.
G = ρ ⋅ g ⋅V O = ρ ⋅V ⋅ r ⋅ω 2 .
resp.
Oskut . = Odílo = Omodel ⋅ ξ ρ .
z archívu Polského muzea dopravy
z archívu RVUT v Praze Není model jako model
EMCS/PP
39
P PŘÍKLAD (PODOBNOST – MĚŘENÍ MODELU NOSNÍKU POMOCÍ TENZOMETRŮ): Dáno: Původní nosník tvořený prutem obdélníkového průřezu není možné měřit přímo za provozu, protože je součástí mechanizmu otvírání posuvných vrat. Základní rozměry tohoto „dvojnosníku“ byly: l = 15 m, b = 30 mm, h = 120 mm a maximální síla působící na tento nosník byla uprostřed jeho délku velikosti F = 20 000 N. Pro vlastní měření byl vytvořen model poloviny „dvojnosníku“ z polymetylmetakrylátu (plexiskla), kde bylo vetknutí realizováno přilepením nosníku k tuhému tělesu a druhé uložení bylo realizováno ve shodě se skutečností „tuhým“ hrotem. F K měření byly použity tenzometry HBM 1-LY18-3/350 a indukční snímač polohy HBM WA20. l
Materiál skutečného nosníku je ocel o hustotě ρFe = 7 850 kg⋅m-3, modulu pružnosti EFe = 2,1⋅105 N⋅mm-2, mezi kluzu Re Fe = 240 N⋅mm-2 a mezi pevnosti Rm Fe = 430 N⋅mm-2. Polymetylmetakrylát použitý na výrobu modelu má hustotu ρPMMA = 1 190 kg⋅m-3, modul pružnosti EPMMA = 3,2⋅103 N⋅mm-2, mez kluzu Re PMMA = 45 N⋅mm-2 a mez pevnosti Rm PMMA = 75 N⋅mm-2. Do zatěžovacího zařízení je možné vložit těleso maximální délky pouze 750 mm a velikost zatěžovací síly lze volit v rozsahu 0 ÷ 500 N.
Snímač WA20
Určit: Stanovte na základě změřených hodnot a teorie podobnosti maximální namáhání skutečného nosníku a jeho průhyb uprostřed při maximálním zatížení.
hydraulický válec rám zkušebního stroje půlválcová hlava zatěžovacího členu A
B
C
model zkoumaného nosníku 3 tenzometry HBM 1-LY18-3/350 indukční snímač polohy HBM WA20
500 mm max 750 mm
pracovní deska zatěžovacího stroje základ stroje (pevné uložení)
Schéma zatEžování modelu nosníku
40
STR - KPP
Řešení: Vzhledem k maximálním rozmErUm zkušebního prostoru pod zatEžovací hlavou byla zvolena délka modelu nosníku L = 500 mm. Aby bylo možné nainstalovat tenzometry 1-LY18-3/350, které mají šíMku d = 4,3 mm musíme použít k výrobE modelu polymetylmetakrylátovou desku o tloušťce b = 5 mm a úmErnE tomuto rozmEru pro zachování stejného pMí;ného mEMítka v obou smErech byl vytvoMen nosník o výšce h = 20 mm.
V první fázi musíme ur;it maximální pMípustnou sílu, aby nedošlo pMi maximálním zatížení k poškození modelu. Z pMedmEtu Pružnost a pevnost I víme, že u tohoto staticky neur;itého nosníku vzniká maximální namáhání ohybovým momentem v místE vetknutí. Velikost tohoto momentu je: M o max = M o (l) = −
6 6 ⋅F ⋅l = ⋅ F ⋅l , 32 32
(uprostMed nosníku pod silou F vznikne menší moment o velikosti: PMi mEMení chceme, aby maximální napEtí bylo menší než mez kluzu: Modul prUMezu v ohybu modelového nosníku je:
Wo model =
M o F = M o ( l / 2) = +
5 ⋅ F ⋅ l ). 32
σo max model ≤ Re PMMA.
1 1 ⋅ b ⋅ h 2 = ⋅ 5 ⋅ 20 2 = 333,33 mm 3 . 6 6
Z pevnostní podmínky dostáváme: Fmax model = Fe model =
32 ⋅ Re PMMA ⋅ Wo model 6 ⋅ l model
=
32 ⋅ 45 ⋅ 333,33 = 159 N . 6 ⋅ 500
Na základE tohoto rozboru volíme maximální sílu pro model: Fmax model = 150 N. Maximální ohybové napEtí ve vetknutí bude:
σ o max model (l) = 42,2 N ⋅ mm −2 .
Maximální ohybové napEtí pod silou bude:
σ o max model (l / 2) = 35,2 N ⋅ mm −2 .
Maximální deformace ve spodním vláknu uprostMed nosníku pod silou tak bude: ε o max model (l / 2) =
σ o max model (l / 2) E PMMA
=
35,2 = 0,011 = 1,1% (tenzometry 1-LY18-3/350 mEMí ±5%). 3,2 ⋅ 103
Nyní stanovíme jednotlivá mEMítka pro používané veli;iny: ξF =
a) síla:
150 = 0,0150 2 000 2
(protože mEMíme jen ½ „dvojnosníku“, uvažujeme také jen ½ pUsobící síly F), b) rozmEry:
ξx =
500 = 0,0333 15 000
a
ξ yz =
5 20 = = 0,1667 , 30 120
c) materiál:
ξE =
3,2 ⋅ 10 3 = 0,0152 2,1 ⋅ 105
a
ξR =
45 = 0,1875 . 240
e
PMepo;et napEtí vyjádMíme ze známých vztahU pMi použití napM. maximálního momentu Mo max : σ o max dílo =
M o max dílo Wo dílo
6 Fmodel l model 6 6 ⋅ ⋅ ⋅ Fdílo ⋅ l dílo ⋅ Fmodel ⋅ l model ξ 3 ξ ξ 32 F x 32 = 32 = = ⋅ yz . 2 1 1 ξF ⋅ξx 2 2 1 bmodel hmodel ⋅ bdílo ⋅ hdílo ⋅ bmodel ⋅ hmodel ⋅ ⋅ 6 6 6 ξ yz ξ yz
EMCS/PP
41
Odtud dostáváme vztah pro pMepo;et napEtí získaného na modelu na skute;né hodnoty na díle: σ o max dílo = σ o max model ⋅
0,167 3 = σ o max model ⋅ 9,3243 0,0150 ⋅ 0,0333
Protože skute;ná zatEžující síla smí vyvolat na díle maximální napEtí rovné nebo menší než mez kluzu (σo max dílo ≤ Re) dostáváme podmínku pro maximální použitelnou hodnotu napEtí na modelu: σ o max model ≤
Re Fe 240 = = 25,7 N ⋅ mm − 2 . 9,3243 9,3243
Vzhledem k lineární závislosti σ-F upravíme maximální hodnotu síly, kterou má smysl zatEžovat model: F max model ≤ Fmax model ⋅
25,7 σ o max model = 150 ⋅ = 91,3 N . σ o max model 42, 2
Proto budeme model zatEžovat maximální silou „jen“: Maximální ohybové napEtí na modelu ve vetknutí bude: Maximální ohybové napEtí na modelu pod silou bude:
F max model = 90 N .
σ o max model (l) = 25,3 N ⋅ mm −2 . σ o max model (l / 2) = 21,1 N ⋅ mm −2 .
Skute;ná maximální deformace ve spodním vláknu uprostMed pod silou tak bude: ε o max model (l / 2) =
σ o max (l / 2) E PMMA
=
25,3 = 0,079 = 0,8% . 3, 2 ⋅ 103
Obdobný postup jako pMi výpo;tu napEtí nyní provedeme i s výpo;tem deformace (prUhybu) nosníku v(x) s použitím poddajnosti δ: v( x ) = F ⋅ δ .
Poddajnost δ je (podle PP I) pMi zatížení osamElou silou F pMímo úmErná tMetí mocninE délky nosníku l a nepMímo úmErná modulu pružnosti E a osovému kvadratickému momentu prUMezu Jz:
l3dílo = Edílo ⋅ J z dílo
δ dílo = f
l3dílo = f d a δ model = f 3 Edílo ⋅ bdílo ⋅ hdílo
l3model = f Emodel ⋅ J model
l3model = f m . f 3 Emodel ⋅ bmodel ⋅ hmodel
Po dosazení jednotlivých pomErU (ξx, ξyz a ξE)do vztahu pro poddajnost díla δdílo dostaneme:
δ dílo
3 l model ξ x = = f 3 E b h model ⋅ model ⋅ model ξE ξ yz ξ yz
ξ E ⋅ ξ yz4 . ξ E ⋅ ξ yz4 l3model f ⋅ = f ⋅ m 3 3 ξ x3 Emodel ⋅ bmodel ⋅ hmodel ξ x
Deformace pak budeme pMepo;ítávat pomErem: vdílo ( x ) = Fdílo ⋅ δ dílo =
Fmodel
ξF
⋅ fm ⋅
ξ E ⋅ ξ yz4 ξ E ⋅ ξ yz4 . = F ⋅ f ⋅ model m ξ x3 ξ F ⋅ ξ x3
Skute;ný prUhyb na díle vypo;teme z prUhybu zjištEného na modelu jako: vdílo ( x ) = vmodel ( x) ⋅
0,0152 ⋅ 0,1667 4 0,0150 ⋅ 0,03333
= vmodel ( x ) ⋅ 21,1915 .
42
STR - KPP
PMi realizaci mEMení na modelu byly získány tyto hodnoty: εA model = 2 350 µi , εB model = 3 896 µi , εC model = 2 567 µi a v model (l/2) = 2,26 mm.
Nejprve pMepo;teme pomocí Hookova zákona namEMené deformace na napEtí: σA model = EPMMA⋅εA model = 3,2⋅103⋅3 075 ≈ 9,8 N⋅mm-2 , σB model = EPMMA⋅εB model = 3,2⋅103⋅7 820 ≈ 24,4 N⋅mm-2 , σC model = EPMMA⋅εC model = 3,2⋅103⋅ 918 ≈ 2,9 N⋅mm-2 ,
Skute;ná napEtí na reálném nosníku (díle) pak budou: σA dílo = σA model⋅9,3243 = 9,8⋅9,3243 ≈ 91 N⋅mm-2 , σB dílo = σB model⋅9,3243 = 24,4⋅9,3243 ≈ 228 N⋅mm-2 , σC dílo = σC model⋅9,3243 = 2,9⋅9,3243 ≈ 27 N⋅mm-2 .
Skute;nou deformaci uprostMed skute;ného nosníku ur;íme jako: v F dílo = vdílo (l / 2) = vmodel ( x ) ⋅ 21,1915 = 2,26 ⋅ 21,1915 = 47,89 mm .
EMCS/PP
43
POZNÁMKY:
KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL? Narodil jsem se v roce 1957. Základní devítiletou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově. V letech 1976 - 1981 jsem studoval na Fakultě strojní ČVUT v Praze obor Aplikovaná mechanika. Od roku 1982 učím na FS hlavně předměty: Pružnost a pevnost I a II, Pevnost letadel a motorů, Experimentální analýza napětí, Vybrané statě z mechaniky a pružnosti a nově také Experimentální metody certifikace strojů. V letech 1983 - 1984 jsem absolvoval stáž ve výpočetním oddělení SVÚSS v Praze Běchovicích, kde jsem se věnoval výpočtům potrubí. Po vzniku Fakulty dopravní na ČVUT jsem v letech 1995 - 1998 učil předmět Pružnost a pevnost i budoucí dopravní bakaláře.
Jan Řezníček
EXPERIMENTÁLNÍ METODY CERTIFIKACE STROJŮ STROJŮ PŘEDNÁŠKY LS 2014 2014/2015 /2015 Podklad pro přednášky v bakalářském bakalářském studijním studijním programu programu „Strojírenství „Strojírenství“ Strojírenství“ – obor KPP Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 166 07 Praha 6, Vystaveno dne 5. února 2015 2015 na: http://www.pruznost.unas.cz Vydání třetí pro akademický akademický rok 201 2014/2015 /2015 (první vydání 1. února 2013) 2013) 37 stran, 90 obrázků. obrázků.
