Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék

A Z EVOLUTÁK VILÁGA BSc szakdolgozat

Készítette:

Témavezet˝o:

Somlói Zsófia matematika BSc tanári szakirány

Dr. Moussong Gábor adjunktus

Budapest, 2013.

Tartalomjegyzék 1. Bevezet˝o

3

2. Görbeseregek, burkológörbék 2.1. Néhány differenciálgeometriai alapfogalom 2.1.1. Síkgörbék megadása . . . . . . . . 2.1.2. Síkgörbék érint˝oi, ívhossza . . . . . 2.2. Görbeseregek . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Burkológörbék . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Kúpszeletek mint burkológörbék . . Parabola . . . . . . . . . . . . . . . Ellipszis és hiperbola . . . . . . . . 2.3.2. Néhány ciklois mint burkológörbe . Asztrois . . . . . . . . . . . . . . . Kardioid . . . . . . . . . . . . . . Pascal-csigák . . . . . . . . . . . . Nefroid . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze? 3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája . . . 3.1.1. "A hasonlóság megmarad" . . Közönséges ciklois . . . . . . A szív görbéje . . . . . . . . Nefroid . . . . . . . . . . . . Asztrois . . . . . . . . . . . . 3.1.2. További szemléletes evoluták . Ellipszis . . . . . . . . . . . . Parabola . . . . . . . . . . . . 3.2. Az evoluták mint burkológörbék . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

4. Az evoluta "testvére": az evolvens 4.1. A lefejtési görbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Néhány ismert evolvens . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Néhány szó az ortogonális trajektóriákról . . . . . . . . . . . 4.2.1. Az ortogonális trajektória fogalma, néhány szép példa 4.2.2. Az evolvensek, mint ortogonális trajektóriák . . . . . 5. Összegzés

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 5 6 7 8 8 9 10 11 12 14 15 16

. . . . . . . . . .

19 19 20 20 21 22 23 25 25 26 27

. . . . .

30 30 31 33 33 36 37

1

Ábrák jegyzéke 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16.

Egyparaméteres körseregek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabola mint szakaszfelez˝o mer˝olegesek burkolója . . . . . . . . . Parabola érint˝oi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipszis mint egyenessereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperbola mint egyenessereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . Egység hosszú létra csúszása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kardioid mint körök burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kardioid és inverz parabolája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciklois érint˝ojének forgása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kardioid mint egyenessereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . Pascal-csigák mint körseregek burkolói . . . . . . . . . . . . . . . Nefroid mint egyenessereg, illetve körsereg burkolója . . . . . . . . Nefroid mint körsereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciklois kausztikája az alapra mer˝oleges megvilágítás esetén . . . . . Kör kausztikája a kör kerületi pontjából megvilágítva . . . . . . . . Kör kausztikája az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak esetén

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 8 10 10 11 12 13 13 14 15 15 16 17 17 18

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12.

Közönséges ciklois (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . Kardioid (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . Nefroid (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . Asztrois (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . Ellipszis (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . Parabola (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . Közönséges ciklois evolutája mint a normálisok burkolója Kardioid evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . Nefroid evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . Asztrois evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . Ellipszis evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . Parabola evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

20 22 23 24 26 26 28 28 28 29 29 29

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Görbe evolvensének származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . Körevolvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koncentrikus körsereg ortogonális trajektóriái . . . . . . . . . . Körsereg ortogonális körserege . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elliptikus és hiperbolikus körsor mint ortogonális görbeseregek . Közös fókuszú ellipszisek és hiperbolák ortogonális görbeserege Közös fókuszú parabolák ortogonális görbeserege . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

30 31 33 34 34 35 35

2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1. fejezet Bevezet˝o A geometria, és ezen belül a differenciálgeometria a matematika azon ága, mellyel alapszinten már kisgyermek korában megismerkedhet az ember, minden matematikai tudás nélkül akár m˝uvészként vagy mérnökként is alkalmazhatja tapasztalatait. Dolgozatom témájául e tetsz˝oleges szinten m˝uvelhet˝o geometriai terület egy vékony szeletének elemi bemutatását választottam. Különböz˝o szint˝u iskolai tanulmányaink során megismerkedhetünk néhány alapvet˝o görbével - az egyenest˝ol a kúpszeleteken át néhány függvény grafikonjáig - és érint˝oik tulajdonságaival. A görbék végtelen világa azonban még számos titkot rejteget, amelyek egy része akár középiskolai keretek közt is tanítható lenne. Természetesen nem gondolom, hogy e szakdolgozat anyaga teljes mértékben tárgyalható lenne gimnáziumi keretek közt, de bizonyos részei akár egy informatikai órán felbukkanhatnának rajzoló programok alkalmazásával vagy a fizika körébe tartozó fényjelenségek vizsgálatakor. A dolgozatban található számtalan példa részletes bemutatása lehet˝oséget teremt a téma alaposabb megismerésére, valamint egy-egy villanás erejéig a középiskolába való felbukkanásra. A könnyen tárgyalhatóság érdekében dolgozatomban maradok a síkgörbék körében, hiszen már a síkon is számos gyönyör˝u példa található. Bár a tárgyalt fogalmak a térben is teljesen hasonlóan felépíthet˝ok, szakdolgozatomban a szemléletesség, "elképzelhet˝oség" érdekében ett˝ol eltekintettem. Törekszem az elemi geometriai eszközök használatára, ezáltal is bemutatva, hogy a görbék világa számos geometriai területhez szorosan kapcsolódik. A teljes tárgyalás érdekében természetesen a téma differenciálgeometriai oldalát is feltárom. Témámul az evoluták bemutatását választottam, némi kitekintéssel. Az evoluta differenciálgeometriai származtatásán túl bizonyítom burkológörbeként való el˝oállását is. Kés˝obb az evolutával szoros kapcsolatban álló evolvens görbéket is bemutatom. Szakdolgozatom néhány alapvet˝o differenciálgeometriai fogalom bevezetése után a burkológörbék fogalmának szemléletes bevezetésével folytatódik, számos gyönyör˝u példával a kúpszeletek, valamint a ciklois-félék köréb˝ol, illetve a geometriai optika területér˝ol. Az evolutát mint a görbületi középpontok pályáját tekintem, és ismertetem néhány speciális görbe evolutáját. Igazolom, hogy az evoluták a görbe normálisainak burkolói, ezáltal megteremtve a kapcsolatot a korábban tárgyalt burkológörbékkel. Az evoluták ismertetését követi az evolvens fogalmának bevezetése, melyet els˝o körben lefejtési görbeként definiálok, majd bizonyítom, hogy a görbe érint˝oinek ortogonális trajektóriája.

3

1. Bevezet˝o

Mindvégig törekedtem a szemléletesség meg˝orzésére, így dolgozatomban számos illusztráció található a különböz˝o jelenségek, fogalmak, görbék ábrázolására. Az ábrák egyetlen kivételt˝ol eltekintve a GeoGebra nev˝u program segítségével készültek - remélve, hogy segítik a dolgozat követhet˝oségét, érthet˝oségét. A téma iránti érdekl˝odésemet els˝osorban témavezet˝om, Dr. Moussong Gábor élvezetes differenciálgeometriai el˝oadásaink köszönhetem. A felvillantott evoluta fogalmát rendkívül izgalmasnak találtam, számos gyönyör˝u evoluta bukkant fel a már megismert görbék körében. Leny˝ugözött, hogy egy "látszólag" önkényesen származtatt pont pályája szintén könnyen leírható. Ezért döntöttem úgy, hogy a görbületi középpontok pályájával szeretnék részletesebben foglalkozni. Az alapvet˝o származtatáson túl ezért vizsgáltam másfajta megközelítést, valamint az evoluta testvérének tekinthet˝o evolvenseket is. Ezúton is szeretném köszönetemet kifejezetni Moussong Gábornak, aki több éves geometria el˝oadásaival megszeretette velem a matematika ezen ágát. Témavezet˝omként mindvégig hasznos tanácsokkal látott el, ötletek adott a különböz˝o részek példáihoz. Köszönöm kitartását, türelmét, és lankadatlan éberségét a hibák megtalálásában!

4

2. fejezet Görbeseregek, burkológörbék 2.1.

Néhány differenciálgeometriai alapfogalom

A differenciálgeometria a matematika egy olyan területe, amely többek között a differenciálés integrálszámítás felhasználásával kutat geometriai problémákat. Kialakulásakor a XVIII. században els˝osorban sík- illetve térgörbék, valamint a háromdimenziós euklideszi térbe ágyazott felületek vizsgálatához használták. Bár mára er˝osen köt˝odik a topológiához, dolgozatomban a "klasszikus" differenciálgeometriai eszközöket fogom alkalmazni.

2.1.1.

Síkgörbék megadása

A középiskolában megismert görbéket explicit (y = x2 ), illetve implicit ((x − u)2 + (y − v)2 − r2 = 0) módon definiáltuk. Vizsgálódásaink során nagy hasznát fogjuk venni a görbéknek egy ezekt˝ol eltér˝o megadási módjának, az ún. paraméteres megadásnak. Ennek során olyan egyenletrendszert adunk meg, amely a görbe tetsz˝oleges pontjának koordinátáit segédváltozók segítségével fejezi ki. A legelterjedtebb alkalmazási mód, amikor egy síkgörbe vonalát valamilyen menetrend szerint bejárjuk. Ekkor paraméterül az id˝ot választjuk (szokásos jelölés: t), majd a görbe minden egyes pontjára megadjuk az eléréshez szükséges id˝ot a kiindulási ponttól számítva. Már a leírásból látható, hogy egy görbét sokféle módon lehet paraméterezni, els˝osorban feladatfügg˝o, hogy mikor melyik paraméterezést célszer˝u választani. 1. Definíció. Adott egy I ⊆ R intervallum. Egy r : I → R2 függvény paraméteres síkgörbe, ha r kell˝o mértékben differenciálható.

2.1.2.

Síkgörbék érint˝oi, ívhossza

Ha adott egy r : I → R2 paraméteres síkgörbe, és egy t0 ∈ I bels˝o pont, akkor kíváncsiak lehetünk r(t0 ) ponton áthaladó szel˝ok határhelyzetére. Ha tekintjük ezeknek a szel˝ok0) -t, akkor adódik, hogy a határhelyzet nek egy önkényesen választott irányvektorát: r(t)−r(t t−t0 irányvektora ezen irányvektoroknak a határértéke lesz. 2. Definíció. Az r : I → R2 paraméteres síkgörbe sebességvektora a t0 ∈ I pontban r0 (t0 ). Sebessége ebben a pontban: v(t0 ) = |r0 (t0 )|. 3. Definíció. Az r paraméteres síkgörbe reguláris a t0 ∈ I pontban, ha r0 (t0 ) 6= 0.

5

2. Görbeseregek, burkológörbék

2.2. Görbeseregek

4. Definíció. Tegyük fel, hogy az r paraméteres síkgörbe reguláris a t0 ∈ I pontban. A görbe t0 -hoz tartozó érint˝ojén azt az egyenest értjük, amely áthalad az r(t0 ) ponton, és amelynek irányvektora az r0 (t0 ) sebességvektor. A görbék érint˝oin túl érdekelhet minket a görbe hossza két pontja közt, például, ha a bejárt útra vagyunk kíváncsiak. Ennek mérésére szolgál a görbe úgynevezett ívhossza. Rb 5. Definíció. Az r paraméteres síkgörbe a és b paraméterértékek közti ívhosszán az a v(t)dt számot értjük. 1. Megjegyzés. Mint már megállapítottuk, egy-egy görbe többféle módon is paraméterezhet˝o. Belátható, hogy az érint˝o, valamint az ívhossz is a görbék geometriai tulajdonságai közé tartoznak, azaz függetlenek a paraméterezés választásától. A görbék jól jellemezhet˝ok azzal, hogy mennyire térnek el az egyenest˝ol, azaz mennyire görbülnek. Egy autóút építésekor fontos szempont lehet olyan kanyarok építése, amelyek az adott úttípuson megengedett sebességgel bevehet˝ok. Ennek mérésére szolgál a görbület. A görbület szemléletesen származtatható körök segítségével. Legyen P egy rögzített pont a görbén, vegyünk további három pontot a görbén, és tekintsük a rájuk illeszked˝o kört (esetleg egyenest). Vegyük ezeknek a köröknek a határhelyzetét, amikor mindhárom pont P -hez tart a görbe mentén. Ezt nevezik a görbe P pontbeli simulókörének. A görbület 0, ha P -beli simulókör nem létezik, egyébként pedig a simulókör sugarának reciproka. A görbület másik származtatási módja adja kezünkbe a számoláshoz szükséges eszközöket, ez ugyanis a görbületet az érint˝o irányának megváltozásaként tekinti. 6. Definíció. Ha r : I → R2 síkgörbe, akkor r görbületén a κ(t) = értjük.

det(r0 (t),r00 (t)) v(t)3

függvényt

7. Definíció. A t0 -beli f˝onormális vektor az érint˝oirányú egységvektor +90◦ -os elforgatottja. Jele: n(t0 ) 8. Definíció. Tegyük fel, hogy κ(t) 6= 0, ekkor a síkgörbe simulókörén az r(t0 ) + középpontú,

1 |κ(t0 )|

1 n(t0 ) κ(t)

sugarú kört értjük.

9. Definíció. A simulókör középpontja ((r(t0 ) + zéppont.

1 n(t0 ))) κ(t0 )

a t0 -hoz tartozó görbületi kö-

Az alapfogalmak tisztázása után megkezdhetjük vizsgálódásainkat a görbék csodálatos világában. Bár már egyetlen görbe is rendkívül izgalmas, szakdolgozatom következ˝o fejezetében végtelen sok görbe együttesét fogjuk tekinteni. Bizonyos görbeseregek mintha egy másik görbét határolnának, ezekkel a határ vonalakkal fogunk részletesebben és precízebben megismerkedni.

2.2.

Görbeseregek

Ebben a fejezetben görbeseregekr˝ol lesz szó, és az általuk létrehozott érdekes határokról. Egy óvodás rajzát is tekinthetjük görbeseregnek, de vizsgálódásaink során els˝osorban olyan görbeegyüttesek kerülnek szóba, amelyek valamilyen módon megragadhatók, valamilyen közös tulajdonság segítségével leírhatók. A paraméteres megadás segítségével egyszer˝uen

6


2.3. Burkológörbék

származtathatunk görbeseregeket, például ha az r(t) görbét egy a görbe paraméterét˝ol független p paramétert˝ol is függ˝ové tesszük. A szokásos jelölésnek megfelel˝oen ekkor r(t, p) írja le a görbét, ahol t a futó paraméter (jellemz˝oen id˝o), míg p a seregparaméter. Ilyen görbesereg keletkezik például akkor, ha egy görbét egy rögzített pontjánál fogva egy másik görbe mentén mozgatunk, vagy ha a görbe valamely definiáló adatát például a kör sugarát változtatjuk. 1. Példa. Legyen adott egy origó középpontú, ρ sugarú kör: r(t) = (ρ · cos(t), ρ · sin(t)). Egyparaméteres görbesereget kapunk, ha ezen kör középpontját az x tengely mentén mozgatjuk egyenletesen. Ekkor a görbesereg egyenlete: r1 (t, p) = (ρ·cos(t)+p, ρ·sin(t)). Ehhez hasonlóan egy egyparaméteres körsereget kapunk, ha a kiindulási kör sugarát változtatjuk, például a paraméter függvényeként: r2 (t, p) = ((ρ+p)·cos(t), (ρ+p)·sin(t)). A két változás összeköthet˝o, azaz a kör középpontja az x tengelyen mozog, míg sugara a paraméter lineáris függvényeként változik: r3 (t, p) = ((ρ + p) · cos(t) + p, (ρ + p) · sin(t)). Az így keletkez˝o körseregek néhány eleme látható a következ˝o ábrákon.

2.1. ábra. Egyparaméteres körseregek

2.3.

Burkológörbék

Bár lényegében bármilyen görbesereg elképzelhet˝o, a könny˝u kezelhet˝oség érdekében els˝osorban egyenesseregekkel, illetve körseregekkel fogunk foglalkozni. Lássunk is egy példát olyan egyenesseregre, amely valamilyen szép görbét határol. Ezt a határgörbét a szakirodalomban burkológörbének nevezik. 10. Definíció. Az egyenessereg burkolója a síkon egy g görbe, ha a g minden pontjában érinti valamely egyenesét. A definíció analóg módon kiterjeszthet˝o más görbeseregekre is. 11. Definíció. Egy görbesereg burkolója a síkon a g görbe, ha g érinti a sereg minden egyedét, és g minden pontjához tartozik a görbeseregnek olyan tagja, amely ott érint. A burkoló létezésének és egyértelm˝uségének vizsgálatához az analízis széles fegyvertára áll rendelkezésünkre (els˝osorban differenciálegyenletek szükségesek), de jelen dolgozatnak ez nem képezi tárgyát. Visszaemlékezve a görbeseregek bevezetésénél mutatott egyszer˝u körseregekre, könnyen megállapíthatjuk, hogy az r1 (t) seregnek létezik burkolója: két párhuzamos egyenes y = ±ρ egyenlettel. A bevezet˝o példában emlegetett r2 , illetve r 3 alkotta körseregek viszont nem rendelkeznek burkoló görbével.

7


2.3.1.


Kúpszeletek mint burkológörbék

Parabola Tekintsünk a síkon egy rögzített egyenest (v), valamint egy rá nem illeszked˝o pontot (F ). Ekkor az egyenes pontjai és a rögzített F pont által meghatározott szakaszok felez˝o mer˝olegeseinek egyenesei sereget alkotnak, a 2.2. ábrának megfelel˝oen.

2.2. ábra. Parabola mint szakaszfelez˝o mer˝olegesek burkolója Az így kapott egyenesek mintha egy parabolát határolnának. A fenti példában szemléletesen adódik, hogy az egyenesek burkolója olyan parabola, melynek vezéregyenese a rögzített v egyenes, fókusza pedig a rögzített F pont. Ennek belátásához a sereg egyeneseinek érint˝o tulajdonságát kell megmutatnunk.

2.3. ábra. Parabola érint˝oi A parabola érint˝oinek szakaszfelez˝o mer˝oleges tulajdonságát belátva nyilvánvaló, hogy akkor a szakaszfelez˝o mer˝olegesek a parabola érnt˝oi. Tekintsünk egy tetsz˝oleges parabolát (v vezéregyenessel és F fókuszponttal), és egy tetsz˝oleges érint˝ojét (e) az érintési ponttal (E). Mivel E a parabola egy pontja, így a fókuszponttól és a vezéregyenest˝ol mért távolsága megegyezik (parabola definíció), azaz |EF | = |EV | a 2.3. ábra jelöléseit használva. V F

8



egyenes és e metszéspontja legyen T . Kúpszeletek érint˝oinek szögfelez˝o tulajdonsága miatt V ET ∠ = T EF ∠, így V ET háromszög egybevágó F ET háromszöggel, így V T = T F . Az érint˝o tehát valóban az F V szakasz felez˝omer˝olegese. Tehát az egyenessereg szakaszfelez˝o mer˝olegesei valóban a parabola érint˝oi, így a sereg burkolója olyan parabola, melynek a rögzített pont a fókuszpontja, a rögzített egyenes pedig vezéregyenese. A sereg egyedeinek érint˝otulajdonságát koordináta geometriai eszközök és némi számolás segítségével is könnyen beláthatjuk. Legyenek F pont koordinátái (u, v + p2 ), v pedig az y = v − p2 egyenlettel adott. A parabola egyenlete: (x − u)2 = 2 · p · (y − v). Ekkor Q ∈ v pont koordinátái a következ˝oképpen alakulnak: (q, v − p2 ). Az F Q szakasz felez˝omer˝olegesének egyenletének felírásához felhasználjuk a szakaszfelez˝opont (M ), valamint F~Q-t, ami a szakaszfelez˝o mer˝oleges egyenesének normálvektora. M=

F +Q q+u =( , v) 2 2

~n = F Q = (q − u, −p) Az egyenes egyenlete: (q − u) · x − p · y =

(q − u) · (q + u) −v·p 2

A parabolával való közös pont(ok) vizsgálatakor a következ˝o egyenlet adódik: (

q+u p·y−v·p + − u)2 = 2 · p · (y − v). 2 q−u

Algebrai átalakítások során y koordinátára a következ˝o másodfokú egyenletet kapjuk: (q − u)4 + p2 · v 2 + p · v · (q − u)2 = 0 4 (q − u)4 2 2 2 2 2 2 2 D = (2 · p · v + p(q − u) ) − 4 · p · + p · v + p · v · (q − u) 4

p2 · y 2 − (2 · p2 · v + (q − u)2 · p) · y +

D = 4p4 v 2 + (q − u)4 p2 + 4p3 v(q − u)2 − p2 (q − u)4 − 4p4 v 2 − 4p3 v(q − u)2 = 0 A diszkrimináns éppen 0, így az egyenessereg egy egyedének és a vizsgált parabolának egyetlen közös pontja van. Ennek megfelel˝oen a sereg egyedei érintik a parabolát, így a parabola valóban burkolója ennek az egyenesseregnek. Ellipszis és hiperbola A kúpszeletek családjába tartozó ellipszis, illetve hiperbola a parabolához hasonlóan el˝oállítható bizonyos egyenesseregek burkolójaként. 2. Példa. Vegyünk egy 2 · a (a ∈ R, 0 < a) sugarú kört F1 középponttal, és egy rögzített bels˝o pontját F2 . Ekkor a kör pontjai és a rögzített pont által meghatározott szakaszok felez˝omer˝olegeseinek burkolója éppen egy F1 , F2 fókuszú, 2 · a nagytengely˝u ellipszis. Kihasználva, hogy a kúpszelet fókuszának a kúpszelet tetsz˝oleges érint˝ojére való tükörképe

9



rajta van a másik fókusz körüli vezéralakzaton, az egyenessereg burkolója azonnal adódik, hiszen F2 -nek a szakaszfelez˝omer˝olegesekre vonatkozó tükörképe nyilván rajta van az F1 középpontú, 2 · a sugarú vezérkörön, azaz a szakaszfelez˝o mer˝olegesek egyben érint˝ok is.

2.4. ábra. Ellipszis mint egyenessereg burkolója 3. Példa. A hiperbola burkolóként való megjelenése csupán annyiban különböz˝oik az ellipszisét˝ol, hogy a rögzített F2 pont a kör külsején található, a bizonyítás teljesen analóg.

2.5. ábra. Hiperbola mint egyenessereg burkolója

2.3.2.

Néhány ciklois mint burkológörbe

A kúpszeleteken kívül is számos különleges görbe létezik, de ezekkel középiskolai keretek közt már ritkábban találkozhatunk. Például a görbék egyik szép csoportja az ún. cikloisok családja. A cikloisok olyan görbék, amelyeket egy irányított görbén csúszás nélkül gördül˝o kör egy meghatározott pontja ír le. A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van nagy jelent˝osége, melyeknél az irányított görbe egyenes vagy kör. Egyenesen csúszásmentesen gördül˝o kör esetében közönséges ciklois keletkezik, míg körön való gördüléskor epi-, illetve hipociklois, attól függ˝oen, hogy a gördül˝okör a rögzített kör külsején vagy belsejében gördül-e.

10



Asztrois A cikloisok családjába tartoznak az asztroidok (más néven asztroisok) is. Ezek olyan síkgörbék, melyeket egy rögzített körön belül csúszás nélkül gördül˝o négyszer kisebb sugarú kör egy rögzített pontja ír le, így speciális hipocikloisoknak tekinthet˝ok. Az asztrois a kúpszeletekhez hasonlóan el˝oállítható szakaszok burkológörbéjeként. Állítás: Az r(t) = (cos3 (t), sin3 (t)) egyenlet˝u asztrois bármely érint˝oegyenesének a koordinátatengelyek közé es˝o szakasza egységnyi. Bizonyítás: Az r(t) = (cos3 (t), sin3 (t)) egyenlet˝u asztrois érint˝ojének irányvektora: r0 (t) = (3 · cos2 (t) · (− sin(t)), 3 · sin2 (t) · cos(t)) Ebb˝ol az érint˝o egyenesének normálvektora: r0 (t)n = (−3 · sin2 (t) · cos(t), −3 · cos2 (t) · sin(t)) Az egyenes egyenlete egy pontjának és normálvektorának segítségével: −3 · cos(t) · sin2 (t) · (x − cos3 (t)) − 3 · sin(t) · cos2 (t) · (y − sin3 (t)) = 0 −3 · cos(t) · sin2 (t) · x − 3 · sin(t) · cos2 (t) · y + 3 · cos4 (t) · sin2 (t) + 3 · cos2 (t) · sin4 (t) = 0 −3 · cos(t) · sin2 (t) · x − 3 · sin(t) · cos2 (t) · y + 3 · sin2 (t) · cos2 (t) · (cos2 (t) + sin2 (t)) = 0 Osztva −3 · cos2 (t) · sin2 (t)-vel (ez a szorzat éppen az asztrois csúcspontjaiban lenne 0, ott pedig az érint˝o valamelyik koordináta-tengely, tehát valóban egységnyi hosszú érint˝oszakaszokról beszélhetünk): y x + −1=0 cos(t) sin(t) A koordináta-tengelyekkel vett metszéspontok: x-tengellyel (y = 0) : x = cos(t), azaz a metszéspont koordinátái (cos(t), 0). y-tengellyel (x = 0): y = sin(t), koordinátái (0, sin(t)). p azaz a metszéspont 2 2 A két pont távolsága éppen cos (t) + sin (t) = 1, azaz az érint˝o koordináta-tengelyek közti szakasza valóban egységnyi hosszú. Tehát ha képzeletben egy egységnyi hosszú létrát támasztunk a falnak függ˝olegesen, majd a létra alja fokozatosan csúszik a talajon, akkor a létrák (azaz szakaszok) burkolója éppen egy asztrois lesz.

2.6. ábra. Egység hosszú létra csúszása

11



Kardioid Szintén a cikloisok családjába tartozik a kardioid, mely nevét az alakjáról kapta1 . Kardioid keletkezik, ha egy R sugarú körön kívül csúszásmentesen gördül˝o ugyanakkora sugarú kör egy rögzített pontjának pályáját nézzük. A kardioid - az asztroissal szemben - az epicikloisok családjába tartozik, hiszen a gördül˝o kör az alapkör külsején helyezkedik el. Rögzítsünk a síkon egy kört és ennek egy pontját. Tekintsük azokat a köröket, amelyeknek középpontja a rögzített körön van, és átmennek a rögzített ponton.

2.7. ábra. Kardioid mint körök burkolója Állítás: Ezen körök burkolója éppen egy kardioid. Bizonyítás: Els˝o lépésként lássuk be, hogy ha a kardioidot invertáljuk a csúcspontjára, akkor parabolát kapunk, melynek fókusza az inverzió pólusa. Származtassuk a kardioidot mint az alapkör egy rögzített C pontjának az alapkör összes érint˝ojére vonatkozó tükörképét. Ezek a pontok nyilván a C csúcsú kardioid pontjai, hiszen a kardioid generálásakor az alap- és a gördül˝okör azonos sugarú, így a generáló ábrán BC és BP ívek egyenl˝oek, ráadásul a közös B-beli érint˝ore tükrösek. Inverzió során a póluson áthaladó kör képe egyenes, amely párhuzamos a kör pólusbeli érint˝ojével. A kör K középpontjának inverze K 0 pedig a pólus tükörképe a kör inverzegyenesére. Az ábrának megfelel˝oen legyen k póluson áthaladó kör inverze a k 0 egyenes, T inverze T 0 ∈ k 0 . Az inverzió definíciója miatt CK · CK 0 = r2 = CT · CT 0 Mivel CT = 2 · CK, így CK 0 = 2 · CT 0 , azaz K inverze valóban a pólus egyenesre vett tükörképe. Eme tudás birtokában invertálva a kardioid el˝oz˝o származtatási elrendezését, kapjuk, hogy az alapkör (ami nyilván átmegy a C póluson) inverze az ei egyenes. Az e érint˝o inverze olyan póluson áthaladó kör, mely érinti ei -t, hiszen az inverzió érintkezéstartó. A kardioid P pontja éppen tükörképe a C pólusnak az érint˝ore vonatkozóan, így o˝ se az e egyenes inverz-körének középpontjának, a fentebb belátott tulajdonság alapján (póluson áthaladó kör középpontjának inverze, a pólusnak a kör inverz-egyenesére vonatkozó tükörképe). Tehát a kardioid pontjainak inverzei olyan körök középpontjai, melyek érintik az ei egyenest, és átmennek a C póluson. Ismert tény, hogy az ilyen körök középpontjai éppen a C fókuszú, ei vezéregyenes˝u parabola pontjai. Tehát a kardioid csúcspontra vonatkozó inverze valóban parabola, melynek fókusza a csúcspont, ezzel beláttuk az els˝o lépést. Ezek után invertáljuk a vizsgálandó körsereget a kardioid csúcspontjára, azaz arra a rögzített 1

latinul a szív cordis

12



pontra, amelyen minden kör átmegy. Minden kör egy egyenesbe megy át, továbbá a K körközéppontok K 0 képei az alapkör ei képére kell, hogy essenek, végül pedig a K 0 és C 0 = C pontoknak tükrösnek kell lenniük a képegyenesre. A képegyesekre megkövetelt tulajdonságok éppen a parabola érint˝oit jellemzik, a parabola pedig valóban az érint˝o egyeneseinek burkolója (mint minden görbe), így a kardioid is burkolója a fentebb leírt köröknek.

2.8. ábra. Kardioid és inverz parabolája A kardioid azonban nemcsak körök burkolójaként állítható el˝o, hanem egyenessereg burkológörbéjenként is. A ciklois érint˝oire vonatkozó általános tétel segítségével a kardioid egyenessereg burkolójaként való származtatása könnyen adódik. Állítás: A cikloisok érint˝oje fele akkora sebességel forog, mint a generálókör. Bizonyítás: Legyen az érint˝o elfordulása a függ˝olegeshez képest α. Kihasználva, hogy a P beli érint˝o mindenkor átmegy a gördül˝okör tet˝opontján, A-n (érintkezési ponttal átellenes pont), a P -beli normális - azaz az érint˝ore mer˝oleges egyenes - pedig a gördül˝okör és a rögzített görbe (amin a gördül˝okör gördül) B érintkezési pontján, kapjuk, hogy a P B normálisra mer˝olegest bocsátjva O-ból a T OB∠ váltószöge α-nak. Ugyanakkor T OB∠ éppen fele a P OB∠ szögnek, hiszen P OB háromszög egyenl˝oszárú, és OT az alapra bocsátott mer˝oleges, ami egyben a szárszög szögfelez˝oje is. Felhasználva ezt a tudást, induljunk ki az egyenletes sebességel mozgó A pontból, és forgassunk körülötte egy egyenest, de csak fele akkora szögsebességgel, mint ami az A haladó mozgásához tartozó tiszta gördülésé lenne (el˝oz˝o tételb˝ol származtatva). Ekkor az egyenes minden pillanatban érinteni fog egy cikloist.

2.9. ábra. Ciklois érint˝ojének forgása

13



A fentieket a kardioid esetére alkalmazva tehát egy 3·R sugarú körpályán kering˝o A pont körül 32 -szeres sebeséggel forgó egyenes érinti a kardioidot, tehát ennek az egyenesseregnek a burkolója éppen egy kardioid. Ez az egyenes könnyen el˝oállítható ha az alapkörön csúszásmentesen gördül˝o, kétszer akkora sugarú kör egy rögzített átmér˝ojét követjük nyomon. Ezen átmér˝ok burkolója egy kardioid, ez látható a 2.10. ábrán.

2.10. ábra. Kardioid mint egyenessereg burkolója Pascal-csigák A cikloisok családjának egy másik szép példánya is el˝ollítható körök burkolójaként. A Pascal-csigák lényegében nyújtott, illetve hurkolt egycsúcsú epicikloisok. A kardioidhoz nagyon hasonlóak, csupán annyiban térnek el t˝ole, hogy nem a gördül˝okör egy kerületi pontja, hanem egy a belsejében, illetve a külsején lév˝o pont írja le o˝ ket. Ennek megfelel˝oen a kardioid számos tulajdonsága érvényes a Pascal-csigákra is, ezek közül az egyik az, hogy körsereg burkológörbéjenként is el˝oállítható. Tekintsük azokat a köröket, melyek középpontjai egy rögzített alapkörre esnek, és átmennek a kör belsejében, illetve külsején elhelyezked˝o rögzített ponton. Az ábráknak megfelel˝oen hurkolt-, illetve nyújtott Pascal-csigát kapunk burkolóként. Érdemes megemlítenünk, hogy ha az említett körseregeket invertáljuk a csúcspontra (amelyen minden kör áthalad), akkor éppen a 3., illetve 4. példában említett egyenesseregeket nyerjük. A póluson át nem haladó kör képe (rögzített alapkör) póluson át nem haladó kör, k 0 . Mivel a körsereg egyedei a póluson áthaladnak, így ezek képei egyenesek, melyekre nézve a körök Ki középpontjai éppen a pólus tükörképei. Tehát az inverzió olyan egyenessereget származtat, amelynek egyedei felez˝omer˝olegesei egy rögzített kör pontjainak és egy rögzített pontnak. Attól függ˝oen, hogy a rögzített pont a kör belsejében, illetve külsején található kapunk ellipszist, illetve hiperbolát. Megállapíthatjuk, hogy Pascal-csigák inverzei ellipszisek, illetve hiperbolák bizonyos speciális pólusok esetén. Ez bizonyítja azt is, hogy a példában írt körseregek burkolója valóban Pascal-csiga, hiszen az inverz elrendezés esetén már bizonyítottuk, hogy a megfelel˝o egyenesseregek burkolója ellipszis, illetve hiperbola, az inverzió pedig érintkezéstartó.

14



2.11. ábra. Pascal-csigák mint körseregek burkolói Nefroid A cikloisok családjának következ˝o képvisel˝oje a nefroid, mely nevét veseszer˝u alakjáról kapta. Nefroidot akkor kapunk, ha a gördül˝okör sugara fele az alapkör sugarának, így ennek a görbének két csúcsa van. A ciklois érint˝oinek forgási tulajdonságából adódóan a nefroid is könnyen származtatható mint egyenessereg burkoló görbéje. Egy R sugarú alapkörön gördül˝o ugyanakkora sugarú kör átmér˝oi éppen az érint˝ok seregét generálják, hiszen feleakkora sebességgel forognak, mint a tiszta gördülés szögsebessége.

2.12. ábra. Nefroid mint egyenessereg, illetve körsereg burkolója A nefroid az eddigi cikloisfélékhez hasonlóan nemcsak egyenessereg, hanem körsereg burkológörbéjeként is származtatható. Tekintsünk a síkon egy rögzített kört (alapkört), és vizsgáljuk azoknak a köröknek a seregét, amelyek középpontja az alapkörre esik, és érintik az alapkör egy rögzített átmér˝ojét. Ezen körök burkolója éppen egy nefroid, mint az a fenti ábrán látható. Ennek igazolásához azt kell belátnunk, hogy a nefroid minden, a fentieknek megfelel˝o kört pontosan egy pontban érint. Ez a generálást bemutató ábra segítségével könnyen bizonyítható. A P -beli nefroidérint˝ot (így a nefroidot is) érinti az a kör, melynek középpontja B-ben, a P -beli normálison van. COB∠ = ϕ esetén a csúszásmentes gördülés miatt CB és BP ívek egyenl˝ok, így BGP ∠ = 2ϕ. Ekkor B távolsága az átmér˝ot˝ol: BT = R · sin ϕ. BP távolságra a koszinusz-tételt alkalmazva BGP ∆-ben: R R R R BP 2 = ( )2 + ( )2 − 2 · · · cos(2ϕ) 2 2 2 2

15


2.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze?

Ezt átalakítva adódik, hogy BP = R · sin ϕ. Azaz a vizsgált kör valóban érinti a nefroidot is, és az átmér˝ot is.

2.13. ábra. Nefroid mint körsereg burkolója

2.4.

Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze?

A burkolók fogalmának áttekintése után számos szép példát láttunk különböz˝o görbeseregre (egyenes- és körseregekre), melyek ismert burkológörbével rendelkeznek. A burkoló görbék azonban nem csak "elméletben" létez˝o fogalmak, hanem a mindennapokban is felbukkannak. A geometriai optika egyik legfontosabb kérdése, hogy valamilyen görbér˝ol vagy felületr˝ol hogyan ver˝odnek vissza (vagy törnek meg) a ráes˝o fénysugarak. A visszavert (vagy megtört) fénysugarak bizonyos speciális elrendez˝odések esetén egyetlen pontba fókuszálódnak (péládul ezen az elven m˝uködnek a gy˝ujt˝olencsék), általában azonban "csak" egy görbét burkolnak, amit kausztikának vagy fókuszvonalnak szokás nevezni. A burkológörbék fogalma tehát korántsem annyira elvont, mint els˝ore gondolnánk, hiszen a reggeli teás- vagy kávéscsészénkben is felbukkanhatnak megfelel˝o megvilágítás mellett. A következ˝okben két nevezetes görbe kausztikáját fogom röviden áttekinteni. 4. Példa. Állítás: Ha az alapra mer˝oleges irányból világítunk meg egy közönséges cikloist, akkor a kausztikája két feleakkora ciklois lesz. Bizonyítás: Ennek igazolásához azt kell belátnunk, hogy a visszavert fénysugár érinti valamelyik kis cikloist. Mer˝oleges visszaver˝odés esetén ez akkor teljesül, ha a bees˝o sugár és a kis ciklois érint˝oje által bezárt szög szögfelez˝oje éppen a megvilágított ciklois normálisa. Emlékezzünk vissza a ciklois egyik származtatási módjára, az együtt gördül˝o R illetve 2R sugarú körpárra. A kisebbik kör P pontja leírja a kis cikloisokat, a nagy kör P 0 pontja pedig a

16



nagy cikloist. Közben P P 0 mindvégig érinti a kis cikloist P -ben, hiszen P P 0 a nagy kör egy átmér˝oje. A kis kör A tet˝opontja (amelyen áthalad a P P 0 érint˝o) egyben a nagy kör középpontja. A nagy ciklois P 0 -beli normálisa áthalad a körök közös B talppontján (mivel minden pillanatban a csúszásmentes gördülés éppen egy, az érintkezési pont körüli forgatásnak tekinthet˝o, így P 0 elmozdulási iránya mer˝oleges BP 0 -re). A keletkez˝o BAP 0 ∆ egyenl˝oszárú (AB = AP 0 = 2R), így AP 0 B∠ = ABP 0 ∠, de ABP 0 ∠ éppen váltószöge a normális által kettéosztott P 0 -nél lév˝o másik félszögnek, így a normális valóban szögfelez˝o.

2.14. ábra. Ciklois kausztikája az alapra mer˝oleges megvilágítás esetén

5. Példa. A következ˝o gyönyör˝u példa a körhöz kapcsolódik. Egy kör kerületére helyezett pontszer˝u fényforrásból kiinduló sugarak a körön visszaver˝odve egy kardioidot súrolnak. Ez jól megfigyelhet˝o fényes kausztika görbét eredményez például egy pohár sötétebb folyadék felszínén. Ezt a jelenséget akár a saját bögrénkben is megfigyelhetjük egy napfényes reggelen (vagy a lámpa alatt). A csészében megjelen˝o kardioid - és a következ˝o példában emlegetett nefroid - esetében fontos szerepet játszik a csésze kúpos kialakítása, hiszen a térben a kúp egy alkotójának irányából bees˝o fény úgy ver˝odik vissza a kúpfelületr˝ol a térben, hogy a kávé síkjában kardioidnak látszik (sajnos az illusztráció nem pontszer˝u fényforrással készült, ugyanakkor a jelenséget szépen illusztrálja).

2.15. ábra. Kör kausztikája a kör kerületi pontjából megvilágítva

17



6. Példa. Kör kausztikájaként azonban nemcsak kardioid állhat el˝o, hanem nefroid is. Ha a körre az optikai tengellyel párhuzamos sugárnyaláb esik, akkor a kör kausztikája nefroid lesz. Az el˝oz˝o, valamint ez az állítás is könnyen származtatható a következ˝o epicikloist rajzoló módszerb˝ol. Egy kör kerületén kössünk össze minden pontot - ϕ középponti szöggel - a k · ϕ szög˝uvel, ahol k alkalmas racionális szám. Ekkor a húrok egy epicikloist érintenek, k = 2 illetve k = 3 esetén kardioidot, illetve nefroidot kapunk. Bár az állítás különösebb nehézségek nélkül igazolható, jelen dolgozatban ett˝ol eltekintek. Ennek felhasználásval azonban a kardioid kausztikaként való el˝oállításának bizonyítása csupán annyi, hogy ha egy fénysugár a ϕ szögben érkezik a pohár falára, akkor visszaver˝odés után éppen a 2ϕ irányú kerületi pont felé fog továbbhaladni, így a bels˝o falról visszaver˝od˝o sugarak kardioidot érintenek. A nefroid kausztikaként való el˝oállításához tekintsük a következ˝o ábrát. OD legyen az optikai tengely, a vizsgált optikai tengellyel párhuzamos fénysugár messe a kört P -ben, tükröz˝odjön M -ben, és haladjon tovább a körön fekv˝o P 0 pont irányába. Ekkor α = DGP ∠ = GP M ∠ = P M G∠ = GM P 0 ∠ = M P 0 G∠. Így DGM ∠ = 180◦ − α és DGP 0 ∠ = DGM ∠ + M GP 0 ∠ = 360◦ − 3α. Tekinthetjük tehát úgy, hogy a 180◦ − α szögnél lév˝o M pontot köti össze a visszever˝od˝o sugár a háromszor akkora szögnél lév˝o P ponttal, az ilyen húrokról pedig már megállapítottuk (bizonyítás nélkül), hogy nefroid a burkolójuk.

2.16. ábra. Kör kausztikája az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak esetén

Még számos példát találhatunk a burkolók felbukkanására a mindennapi életben, akár kausztikaként, akár másmilyen formában, de ezek vizsgálata már nem tartozik a dolgozat témájához. Itt csupán a szemléletesség kedvéért mutattam be néhány izgalmas példát, a teljesség igénye nélkül. A burkológörbék definícióján túl számos konkrét egyenes-, illetve körsereg burkológörbéjét vizsgáltam, amelyek ismert görbéket eredményeztek. A következ˝okben megismerkedünk majd egy adott görbe segítségével származtható legegyszer˝ubb görbékkel, amelyek ismét kapcsolatba kerülnek az eddig részletesen bemutatott burkoló fogalmával.

18

3. fejezet Evoluták 3.1.

A görbületi középpontok pályája

Mint azt a differenciálgeometriai alapfogalmak bevezetésénél láthattuk, a görbék jellemezhet˝ok az ún. görbülettel, ami azt méri, hogy a görbe mennyire tér el az egyenest˝ol, azaz mennyire görbül. Ennek gyakorlati jelent˝osége is igen nagy, de ezen túl is számos érdekes dolog származtatható a görbület segítségével. Ebben a fejezetben olyan görbékr˝ol lesz szó, amelyek az eredeti görbéb˝ol származtathatók. A korábban már áttekintett differenciálgeometriai fogalmakra a következ˝okben nagy szükségünk lesz, ezért a legfontosabb fogalmakat és szokásos jelölésüket gyorsan áttekintem. Regulárisnak tekintettünk egy görbét a t0 pontban, ha r0 (t0 ) 6= 0. Ekkor a görbe t0 -beli érint˝oje az az egyenes, amely áthalad az r(t0 ) ponton, és irányvektora r0 (t0 ). Az érint˝oirányú egységvektor (e(t0 )) r0 (t0 ) normalizáltja, a f˝onormális egységvektor (n(t0 )) pedig az érin0 )×r00 (t0 ) képlet segítségével t˝oirányú egységvektor +90◦ -os elforgatottja. A görbületet a r (t0v(t) 3 számolhatjuk ki. A simulókör az adott pontban a görbét legjobban közelít˝o kör, középpontja az adott pontbeli normálison fekszik, sugara pedig a görbület reciproka. Nyilván a simulókör létezésének feltétele, hogy a görbe reguláris legyen az adott pontban, azaz létezzen érint˝oje, valamint, hogy a görbület ne legyen nulla (κ(t) 6= 0). A simulókör középpontját görbületi középpontnak nevezzük. Egy-egy síkgörbe vizsgálatakor érdekes kérdés lehet, hogy a görbületi középpontok milyen pályát írnak le. Számos ismert görbe esetén a görbületi középpontok is nagyon "szép" pályán mozognak, a következ˝okben ezekkel fogunk részletesebben megismerkedni. 12. Definíció. Egy síkgörbe evolutája görbületi középpontjainak a halmaza. A definícióból könnyen származtatható az evoluta paraméterezése, hiszen a görbületi középpont helye felírható az eddigi fogalmak segítségével: re (t) = r(t) +

1 n(t) κ(t)

Az eddig megismert görbék közül számos görbe rendelkezik nevezetes evolutával, azaz az evolutája is valamilyen ismert görbe. A következ˝okben néhány látványos példát tekintek át - az evolutát a differenciálgeometriai eszközök segítségével származtatva. Nyilván a görbületi középpont létezésének feltételei azonosak a simulókör létezésének feltételeivel (hiszen annak a középpontja). Vizsgálódásaink során azonban érdemes enyhíteni ezeken a feltételeken, hiszen nem csak minden pontjukban reguláris görbékkel foglalkozunk (gondoljunk a

19

3. Evoluták

3.1. A görbületi középpontok pályája

cikloisokra). Célszer˝u úgy tekintetünk, hogy valahányszor az eredeti görbének olyan szin1 guláris pontja van, ahol a görbület végtelenhez tart, κ(t) -t 0-nak tekintjük, és az evolutához ezt a pontot is hozzáértjük. Ez az "engedmény" logikusan illeszkedik az evoluta származtatásába, ugyanakkor sokkal kényelmesebbé teszi a vizsgálódást. A következ˝okben ismert görbe-evoluta párosokat tekintek át, melyek közül az els˝o néhány esetében a két görbe egybevágó vagy hasonló, azaz az evoluta ugyanolyan típusú görbe, mint a kiindulási.

3.1.1.

"A hasonlóság megmarad"

Közönséges ciklois Talán az egyik leglátványosabb példa a már sokat emlegetett közönséges ciklois, amelynek evolutája eltoltja az eredeti cikloisnak, így egybevágó azzal. r(t) = (t − sin(t), 1 − cos(t)) r0 (t) = (1 − cos(t), sin(t)) r00 (t) = (sin(t), cos(t)) q p v(t) = |r (t)| = (1 − cos(t))2 + sin2 (t) = 2 − 2 · cos(t) 0

1 n(t) = p (− sin(t), 1 − cos(t)) 2 − 2 cos(t) det(r0 (t), r00 (t)) (1 − cos(t)) cos(t) − sin2 (t) p κ(t) = p = = 2 − 2 cos(t) 2 − 2 cos(t) cos(t) − (cos2 (t) + sin2 (t)) cos(t) − 1 p = =p 2 − 2 cos(t) 2 − 2 cos(t) p ( 2 − 2 cos(t))3 1 p re (t) = r(t)+ n(t) = (t−sin(t), 1−cos(t))+ (− sin(t), 1−cos(t)) κ(t) (cos(t) − 1) 2 − 2 cos(t) re (t) = (t + sin(t), cos(t) − 1) Az eredeti görbe t + π helyen vett (π, −2)-vel való eltoltja: r(t+π)+(π, −2) = (t+π−sin(t+π), 1−cos(t+π))+(π, −2) = (t+π+sin(t), 1+cos(t))+(π, −2) r(t) = (t + sin(t), cos(t) − 1) Ez éppen a fenti evoluta egyenlete, így beláttuk, hogy a közönséges ciklois evolutája eltoltja az eredeti görbének, amelyet a 3.1. ábrán láthatunk.

3.1. ábra. Közönséges ciklois (piros) és evolutája (kék)

20

3. Evoluták


A szív görbéje A cikloisok családjának következ˝o, már emlegetett képvisel˝oje a kardioid vagy más néven "szív-görbe". A kardioid evolutája szintén kardioid, az eredeti görbéhez képest fordított állású, és 13 -ára kicsinyített. Ennek igazolása differenciálgeometriai eszközök felhasználásával könnyen lehetséges. A kardioid egy lehetséges paraméterezése: r(t) = R(2 cos(t) − cos(2t), 2 sin(t) − sin(2t)) r0 (t) = R(2 sin(2t) − 2 sin(t), 2 cos(t) − 2 cos(2t)) q v(t) = R 4 sin2 (t) + 4 sin2 (2t) − 8 sin(t) sin(2t) + 4 cos2 (t) + 4 cos2 (2t) − 8 cos(t) cos(2t) = p p p = R 8 − 8(cos(2t) cos(t) + sin(2t) sin(t) = R 8 − 8 cos(2t − t) = R 8(1 − cos(t)) n(t) =

R(2 cos(2t) − 2 cos(t), 2 sin(2t) − 2 sin(t)) p R 8(1 − cos(t)

r00 (t) = R(4 cos(2t) − 2 cos(t), 4 sin(2t) − 2 sin(t)) det(r0 (t), r00 (t)) = R2 (8 sin2 (2t) − 4 sin(t) sin(2t) − 8 sin(t) sin(2t) + 4 sin2 (t)− −8 cos(t) cos(2t) + 8 cos2 (2t) + 4 cos2 (t) − 4 cos(t) cos(2t)) = = R2 (12 − 12 sin(t) sin(2t) − 12 cos(t) cos(2t)) = 12R2 (1 − cos(t)) 12R2 (1 − cos(t) 3 p p = (R 8(1 − cos(t)))3 2R 8(1 − cos(t)) p 2R 8(1 − cos(t)) 1 ·p re (t) = R(2 cos(t) − cos(2t), 2 sin(t) − sin(2t)) + 3 8(1 − cos(t) κ(t) =

1 (2 cos(2t) − 2 cos(t), 2 sin(2t) − 2 sin(t)) = R(2 cos(t) + cos(2t), 2 sin(t) + sin(2t) 3 Az eredeti görbe π-vel elforgatva (fordított állás miatt), és 13 -ára kicsinyítve: 1 1 − R(2 cos(t) − cos(2t), 2 sin(t) − sin(2t)) = R(cos(2t) − 2 cos(t), sin(2t) − 2 sin(t)) 3 3 Az evoluta a t + π helyen pedig: 1 re (t + π) = R(−2 cos(t) + cos(2t), −2 sin(t) + sin(2t)) 3 Ezzel beláttuk, hogy a kardioid evolutája egy fordított állású, 13 -ára kicsinyített kardioid, és ezt láthatjuk a 3.2. ábrán.

21

3. Evoluták


3.2. ábra. Kardioid (piros) és evolutája (kék) Nefroid A kardioidhoz hasonlóan a nefroid evolutája is hasonló a kiindulási nefroidhoz. Állítás: A nefroid evolutája egy 90◦ -kal elforgatott, feleakkora nefroid. Bizonyítás: Az eddigiekhez hasonló módon, az evoluta paraméteres egyenlete segítségével könnyen beláthatjuk a fenti állítást. A nefroid egy paraméterezése: r(t) = R(3 cos(t) − cos(3t), 3 sin(t) − sin(3t)) A t-beli érint˝o irányvektora, azaz a derivált: r0 (t) = R(3 sin(3t) − 3 sin(t), 3 cos(t) − 3 cos(3t)) q v(t) = R 9 sin2 (t) + 9 sin2 (3t) − 18 sin(t) sin(3t) + 9 cos2 (t) + 9 cos2 (3t) − 18 cos(t) cos(3t) = p p = R 18 − 18 cos(3t − t)) = R 18(1 − cos(2t)) n(t) =

R(3 cos(3t) − 3 cos(t), 3 sin(3t) − 3 sin(t)) p R 18(1 − cos(2t)) r0 (t) × r00 (t) = 36R2 (1 − cos(2t))

36R2 (1 − cos(2t)) 2 p = p (R 18(1 − cos(2t))) R 18(1 − cos(2t)) p R 18(1 − cos(2t)) 1 re (t) = R(3 cos(t) − cos(3t), 3 sin(t) − sin(3t)) + ·p 2 18(1 − cos(2t)) κ(t) =

1 ·(3 cos(3t) − 3 cos(t), 3 sin(3t) − 3 sin(t) = R(3 cos(t) + cos(3t), 3 sin(t) + sin(3t)) 2 π Ennek következtében az evoluta a t − 2 helyen: re (t −

π 1 π 3π π 3π ) = R(3 cos(t − ) + cos(3t − ), 3 sin(t − ) + sin(3t − )) = 2 2 2 2 2 2 1 = R(3 sin(t) − sin(3t), cos(3t) − 3 cos(t)) 2

22

3. Evoluták


Az eredeti nefroid 12 -szeresére kicsinyítve, illetve π2 -vel forgatva: 1 1 0 −1 R (3 cos(t)−cos(3t), 3 sin(t)−sin(3t)) = R(3 sin(t)−sin(3t), cos(3t)−3 cos(t)) 1 0 2 2 Ez éppen az evoluta a t − π2 helyen, így a nefroid evolutája valóban egy felére kicsinyített, π -vel elforgatott nefroid, ahogy az a következ˝o ábrán látható is. 2

3.3. ábra. Nefroid (piros) és evolutája (kék)

Asztrois Az asztrois (asztroid) evolutája szintén hasonló az eredeti görbéhez. Állítás: Az asztroid evoluája egy 45◦ -kal elforgatott, kétszer akkora asztroid. Bizonyítás: Az asztroid szokásos paraméterezése: r(t) = R(cos3 (t), sin3 (t)) Ekkor a t-beli érint˝o irányvektora, azaz a derivált: r0 (t) = R(3 cos2 (t)(− sin(t)), 3 sin2 (t) cos(t)) q v(t) = |r0 (t)| = R · 9 cos4 (t) sin2 (t) + 9 sin4 (t) cos2 (t) = q = R · 9 sin2 (t) cos2 (t)(cos2 (t) + sin2 (t)) = 3 · R · sin(t) · cos(t) n(t) =

(−3 sin2 (t) cos(t), −3 sin(t) cos2 (t)) 3 sin(t) cos(t)

r00 (t) = R(6 sin2 (t) cos(t) − 3 cos3 (t), 6 sin(t) cos2 (t) − 3 sin3 (t)) det(r0 (t), r00 (t)) = −9R2 sin2 (t) cos2 (t)

23

3. Evoluták


κ(t) =

−9R2 sin2 (t) cos2 (t) 1 =− 3 (3R sin(t) cos(t)) 3R sin(t) cos(t)

re (t) = R(cos3 (t), sin3 (t)) − 3R sin(t) cos(t) ·

(−3R sin2 (t) cos(t), −3R sin(t) cos2 (t)) 3R sin(t) cos(t)

= R(3 cos(t) − 2 cos3 (t), 3 sin(t) − 2 sin3 (t)) A fentiek fényében az evoluta a t −

π 4

helyen:

π π π π π ) = R(3 cos(t − ) − 2 cos3 (t − ), 3 sin(t − ) − 2 sin3 (t − )) = 4 4 4 4 4 " √ # √ √ √ T 3( √22 cos(t) + √22 sin(t)) − 2( √22 cos(t) + √22 sin(t))3 =R = 3( 22 sin(t) − 22 cos(t)) − 2( 22 sin(t) − 22 cos(t))3 #T " √ √ 3 √22 (cos(t) + sin(t)) − 2( √22 )3 (cos(t) + sin(t))3 = =R 3 22 (sin(t) − cos(t)) − 2( 22 )3 (sin(t) − cos(t))3 " √ #T 2 2 (cos(t) + sin(t))(3 − (cos(t) + sin(t)) ) = R √22 = (sin(t) − cos(t))(3 − (sin(t) − cos(t))2 ) 2 #T " √ 2 (cos(t) + sin(t))(2(1 − cos(t) sin(t))) = = R √22 (sin(t) − cos(t))(2(1 + sin(t) cos(t))) 2 √ T 2(cos(t) − cos2 (t) sin(t) + sin(t) − sin2 (t) cos(t)) √ =R = 2(sin(t) + sin2 (t) cos(t) − cos(t) − sin(t) cos2 (t))) √ T 2(sin(t)(1 − cos2 (t)) + cos(t)(1 − sin2 (t))) √ =R = 2(sin(t)(1 − cos2 (t)) − cos(t)(1 − sin2 (t)))) √ √ = R( 2(cos3 (t) + sin3 (t)), 2(sin3 (t) − cos3 (t)))

re (t −

Az eredeti asztroidot 45◦ -kal elforgatva, és kétszeresére nyújtva pedig ugyanez a képlet adódik: " √ √ # 2 √ −√ 22 3 3 2 √ 2R (cos (t), sin (t)) = R 2(cos3 (t) + sin3 (t), sin3 (t) − cos3 (t)) 2 2 2

2

Ez pontosan az evoluta a t − π4 helyen vett pontjával egyezik meg, így valóban az asztroid evolutája is hasonló az eredeti görbéhez, annak 45◦ -os elforgatottja, kétszeres nagyítása, mint az ábrán is látható.

3.4. ábra. Asztrois (piros) és evolutája (kék)

24

3. Evoluták

3.1.2.


További szemléletes evoluták

Az eddigiek során olyan görbéket mutattam be, melyek evolutája hasonló az eredeti görbéhez, attól csak méretezésben és orientációban tér el, azaz másmilyen állású. A legszebb példa a közönséges ciklois, melynek evolutája egy vele egybevágó, eltolt közönséges ciklois. A cikloisok családjába tartozó kardioid esetén a görbületi középpontok pályája egy fordított állású, 13 -ára kicsinyített kardioid, míg nefroid esetén egy π2 -vel elforgatott, feleakkora nefroid. Az asztrois evolutája egy π4 -gyel elforgatott, kétszer akkora asztrois. Ezen állításokat differenciálgeometriai eszközök segítségével igazoltam, ábrával szemléltettem. A következ˝okben olyan görbéket és evolutáikat ismertetem, melyek nem hasonlóak egymáshoz, de mindkét görbe "ismert". Ellipszis A kúpszeletek családjáról már a burkológörbék körében is sok szó esett, és az evolutákkal kapcsolatban is érdemes pár szót ejtenünk róluk, els˝oként az ellipszisr˝ol. Állítás: Az ellipszis evolutája egy asztrois affin képe. Bizonyítás: Az ellipszis szokásos paraméterezése (a, b ∈ R nagy-, illetve kistengely paraméteretek) r(t) = (a cos(t), b sin(t)) r0 (t) = (−a sin(t), b cos(t)) q v(t) = a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t) (−b cos(t), −a sin(t)) n(t) = p a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t) r00 (t) = (−a cos(t), −b sin(t)) r0 (t) × r00 (t) = ab sin2 (t) + ab cos2 (t) = ab ab κ(t) = p 2 ( a2 sin (t) + b2 cos2 (t))3 p a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t))3 re (t) = (a cos(t), b sin(t)) + p (−b cos(t), −a sin(t)) = ab a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t) a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t) = (a cos(t), b sin(t)) + (−b cos(t), −a sin(t)) = ab −a2 sin2 (t) cos(t) − b2 cos3 (t) −a2 sin3 (t) − b2 cos2 (t) sin(t) = (a cos(t), b sin(t)) + ( , )= a b a2 cos(t) − a2 sin2 (t) cos(t) − b2 cos3 (t) b2 sin(t) − a2 sin3 (t) − b2 cos2 (t) sin(t) =( , )= a b a2 cos(t)(1 − sin2 (t)) − b2 cos3 (t) b2 sin(t)(1 − cos2 (t)) − a2 sin3 (t) =( , )= a b a2 − b 2 b2 − a2 =( cos3 (t), sin3 (t)) a b Az ellipszis evolutájának egyenlete tehát valóban egy asztrois affin képe, ahogy az a következ˝o ábrákon is látható.

25

3. Evoluták


3.5. ábra. Ellipszis (piros) és evolutája (kék) Parabola A kúpszeletek közé tartozó parabola evolutája egy 23 kitev˝oj˝u hatványgörbe affin képe, amelynek paraméteres egyenlete az el˝oz˝oekhez hasonló módon levezethet˝o. 2

t ) , r0 (t) = (1, pt ), r00 (t) = (0, p1 ) r(t) = (t, 2p

s v(t) = |r0 (t)| =

1+

t2 p2

( −t , 1) p n(t) = q 2 1 + pt 2 r0 (t) × r00 (t) = 1 · κ(t) = q 2

t re (t) = ((t, ) + 2p

q ( 1+ 1 p

t2 3 ) p2

t 1 1 −0· = p p p 1 p

1+

1 q 1+

t2 p2

t2 p2

(

−t −t3 3t2 , 1)) = ( 2 , p + ) p p 2p

3.6. ábra. Parabola (piros) és evolutája (kék)

26

3. Evoluták

3.2.

3.2. Az evoluták mint burkológörbék

Az evoluták mint burkológörbék

Mint az az eddig felvonultatott példákból is látható, a görbületi középpontok pályája, azaz az evoluta néhány görbe esetén ismert görbét ad. Bár még számos példa található "szép" görbe-evoluta kapcsolatra, szakdolgozatom els˝odleges célja nem ezen kapcsolatok feltárása. A következ˝okben rátérek egy fontos tételre, amely a korábban bemutatott burkológörbék fogalmát összekapcsolja az evolutáéval. 7. Tétel. Ha az eredeti r(t) görbének sem a görbülete, sem annak deriváltja nem t˝unik el, akkor az re (t) evoluta a görbe normálisaiból álló egyenessereg burkolója. 1. Bizonyítás. Az evoluta a görbületi középpontok pályája, melyek a görbe normálisain találhatók, így nyilvánvalóan az evolutának és a normálisoknak létezik közös pontja. A burkoló tulajdonság igazolásához azt kell belátnunk, hogy a közös pontban a normális és az evoluta érint˝oje közös. Az egyenesek érint˝ojének iránya a görbe normálisa: n(t), az evolutáé pedig a paraméterezés segítségével: r0e (t) = (r(t) +

1 0 1 0 1 n(t))0 = r0 (t) + ( ) n(t) + n (t) κ(t) κ(t) κ(t)

Az el˝oz˝o lépésben csupán az összeg, illetve szorzat deriválására vonatkozó szabályokat alkalmaztam. A következ˝o lépés a második Frenet-formula (n0 (t) = −κ(t)v(t)e(t)) felhasználásával adódik: r0e (t) = e(t)v(t) + (

1 1 0 1 0 ) n(t) + − κ(t)v(t)e(t) = ( ) n(t) κ(t) κ(t) κ(t)

Ez pedig csupán skalárszorosa n(t)-nek, így az egyenesek érint˝ojének, valamint az evoluta érint˝oinek irányvektora nyilván azonos, közös ponttal is rendelkeznek, tehát az evoluta valóban burkolója az eredeti görbe normálisainak - amennyiben az evoluta reguláris. A fenti tétel újabb megközelítést kínál az evoluta fogalmára, hiszen az evolutát akár a normálisok burkolójaként is definiálhattuk volna. Dolgozatomban azonban a hagyományosabbnak tekinthet˝o megközelítést választottam (az evoluta mint görbületi középpontok pályája). Az evoluta tehát kétféleképpen is származtatható az eredeti görbéb˝ol, a fejezet végén található ábrák szemléltetik a kétféle származtatás ekvivalenciáját a korábban már bemutatott példákon keresztül. Dolgozatomban az evolutát mint a görbületi középpontok pályáját definiáltuk. A gördülékenyebb tárgyalás érdekében az eredeti görbe olyan szingularitási pontjaiban, ahol a görbület 1 -t) 0-nak tekintettük, így a pont az evoluta egy végtelennek adódik, a görbületi sugarat ( κ(t) pontja is. Erre azért volt szükség, mert általánosságban a görbék nem minden pontjukban regulárisak (például ciklois vagy asztrois csúcsai). A cikloisok, illetve kúpszeletek közül számos példa segítségével illusztráltuk az evoluta "differenciálgeometriai"származtatását. Az evoluta azonban nem csak a görbületi középpontok pályája, hanem egyben a normálisok burkoló görbéje is - az általános tétel bizonyítása után a korábbi görbe-evoluta párosokat tekintettük át. Az evoluta azonban nem az egyetlen görbékhez rendelhet˝o speciális görbe, a következ˝okben még egy ilyen görbefajtával ismerkedhetünk meg.

27

3. Evoluták


3.7. ábra. Közönséges ciklois evolutája mint a normálisok burkolója

3.8. ábra. Kardioid evolutája mint a normálisok burkolója

3.9. ábra. Nefroid evolutája mint a normálisok burkolója

28

3. Evoluták


3.10. ábra. Asztrois evolutája mint a normálisok burkolója

3.11. ábra. Ellipszis evolutája mint a normálisok burkolója

3.12. ábra. Parabola evolutája mint a normálisok burkolója

29

4. fejezet Az evoluta "testvére": az evolvens 4.1.

A lefejtési görbe

Az evoluták mellett számos különböz˝o görbét rendelhetünk egy-egy konkrét görbéhez. Ezek közül az egyik az evolvens, vagy más néven lefejtési görbe, amely szoros kapcsolatban áll az evolutával. 13. Definíció. Adott egy differenciálható görbe a síkon, melynek deriváltja sehol sem 0 (azaz reguláris). Fejtsük le egy rögzített Q pontjától kezdve a görbét, azaz minden P pontjában a P -beli érint˝ore mérjük fel a görbe Q-tól P -ig terjed˝o ívhosszát. A kapott Q0 pontok alkotta görbét a Q ponthoz tartozó evolvensnek, vagy lefejtési görbének nevezzük. 2. Megjegyzés. A regularitás azért szükséges, hogy a görbén ne legyenek törések, azaz minden pontjában létezzen érint˝oje. Egy görbének sokféle evolvense van, attól függ˝oen, hogy melyik pontjából kezdjük a lefejtést. Az evolvensek azonban szoros kapcsolatban állnak egymással: az egyik evolvens normálisai az összes többinek is normálisai, az egy normálison lév˝o pontok távolsága pedig mindig ugyanannyi, nevezetesen a kezd˝opontok ívhosszban mért távolsága a kiindulási görbe mentén. Szemléletesen úgy tekinthetjük, hogy a különböz˝o evolvensek "párhuzamosak".

4.1. ábra. Görbe evolvensének származtatása Az evolvens definíciójából adódik a paraméterezése az eddigi jelölések segítségével, ahol e(t) az érint˝o irányú egységvektor: Z t p(t) = r(t) − ( v(s)ds)e(t) t0

30

4. Az evoluta "testvére": az evolvens

4.1. A lefejtési görbe

Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy természetes paraméterezés˝u (ívhossz szerint paraméterezett) görbékr˝ol beszélünk, hiszen minden görbe átparaméterezhet˝o természetes paraméterezés˝uvé, így ezzel nem sz˝ukítjük a vizsgálódási körünket. Ekkor az evolvens paraméterezése: p(t) = r(t) − (t − t0 )e(t) Állítás: Egy görbe evolvensének evolutája az eredeti görbe. Bizonyítás: Az evolvens paraméterezését kihasználva az érint˝o irányvektora a következ˝onek adódik: p0 (t) = r0 (t) − (t − t0 )e0 (t) − e(t) A természetes paraméterezés miatt v(t) = 1, így e(t) = r0 (t). κ(t) = |e0 (t)|, és n(t) = Ekkor: p0 (t) = r0 (t) − (t − t0 )e0 (t) − e(t) = (t0 − t)e0 (t)

e0 (t) . |e0 (t)|

Azaz az evolvens érint˝oi éppen az eredeti görbe normálisai. Mivel az evoluta a normálisok burkolója, így az evolvens evolutája az eredeti görbe érint˝oinek burkoló görbéje, ami nyilván maga a görbe. Ezzel beláttuk az evoluta és az evolvens közt fennálló szoros kapcsolatot. A következ˝okben néhány látványos és ismert példát mutatok evolvensekre.

4.1.1.

Néhány ismert evolvens

8. Példa. Talán az egyik leghíresebb evolvens a körevolvens, amely nevében hordozza származtatását, látványra egy spirálhoz hasonlít. Tekintsünk egy origó középpontú, r sugarú kört. Ennek egyenlete: r(t) = (r cos(t), r sin(t)) r0 (t) = (−r sin(t), r cos(t)) q 0 v(t) = |r (t)| = r2 (sin2 (t) + cos2 (t)) = r e(t) =

(−r sin(t), r cos(t)) = (− sin(t), cos(t)) r Z t Z t v(s)ds = rds = tr t0

0

p(t) = (r cos(t), r sin(t))−tr(− sin(t), cos(t)) = (r cos(t)+tr sin(t), r sin(t)−tr cos(t)) = p(t) = r(cos(t) + t sin(t), sin(t) − t cos(t))

4.2. ábra. Körevolvens

31


4.1. A lefejtési görbe

9. Példa. A cikloisok családjából a kardioidot választottam, hogy illusztráljam a differenciálgeometriai eszközökkel való származtatást, a többi görbe esetén egy kis ügyeskedéssel kapjuk majd az evolvenst. Korábban láttuk, hogy a kardioid evolutája egy fordított állású, 1 -ára kicsinyített kardioid. 3 Állítás: A kardioid evolvense egy fordított állású, háromszor akkora kardioid megfelel˝o pontból kezdve az evolvenst. Bizonyítás: Az evoluta meghatározásánál már kiszámított értékek felhasználásával: r(t) = R(2 cos(t) − cos(2t), 2 sin(t) − sin(2t)) r0 (t) = R(2 sin(2t) − 2 sin(t), 2 cos(t) − 2 cos(2t)) p v(t) = R 8(1 − cos(t)) (2 sin(2t) − 2 sin(t), 2 cos(t) − 2 cos(2t)) p 8(1 − cos(t)) Z t Z tp p √ √ s v(s)ds = R 8 1 − cos(s)ds = R 8[−2 1 − cos(s)ctg( )]t0 = 2 0 0 p t = −2R 8(1 − cos(t)ctg( ) 2 p T 8(1 − cos(t))ctg( 2t ) (2 sin(2t) − 2 sin(t) T 2 cos(t) − cos(2t) +2R p p(t) = R = 2 sin(t) − sin(2t)) 2 cos(t) − 2 cos(2t)) 8(1 − cos(t)) T 2 cos(t) − cos(2t) + 4ctg( 2t ) sin(2t) − 4ctg( 2t ) sin(t) =R 2 sin(t) − sin(2t) + 4ctg( 2t ) cos(t) − 4( 2t ) cos(2t)) e(t) =

Ebb˝ol algebrai átalakításokkal adódik: p(t) = 3(2 cos(t) + cos(2t), 2 sin(t) + sin(2t)) Kihasználva, hogy beláttuk az evoluta meghatározásánál a π-vel való forgatás eredményét, ez valóban egy fordított állású, háromszor akkora kardioid paraméteres egyenlete. Ezt már az evoluta ismeretében tudhattuk volna, hiszen már láttuk, hogy az evolvens evolutája az eredeti görbe. Az eredeti görbénk jelen esetben egy kardioid, annak pedig ismerjük az evolutáját. Olyan görbét keresünk, aminek az evolutája a mi kardioidunk. Nyilván az evoluta származtatásához használt transzformációk inverzét kell vennünk, azaz egy háromszor akkora, fordított állású kardioidból kiindulnunk. Ekkor ennek az evolutája − 13 · ((−3)r(t)) = r(t). Mintha az evoluták származtatásánál használt ábrákat fordított szereposztásban tekintenénk: a kék evoluta-görbéket tekintenénk az eredeti görbének és a pirosakat evolvensnek (hiszen az evolvens evolutája az eredeti görbe). Az el˝oz˝o "okoskodás" felhasználásával már különösebb számolás nélkül megkaphatjuk a korábban részletesen vizsgált és bizonyított görbék evolvenseit a lefejtés kezd˝opontját jól megválasztva. A nefroid evolutája egy π2 -vel elforgatott feleakkora nefroid, így evolvense egy kétszer akkora, − π2 -vel (ugyanazt eredményezi, mintha π2 -vel forgatnánk) elforgatott nefroid. A közönséges ciklois evolvense is egybevágó az eredeti görbével, annak csupán eltoltja. Az asztrois evolvense így egy π4 -gyel elforgatott, feleakkora asztroisnak adódik. Az affin asztroisok evolvensei pedig ellipszisek lesznek.

32


4.2. Néhány szó az ortogonális trajektóriákról

4.2.

Néhány szó az ortogonális trajektóriákról

4.2.1.

Az ortogonális trajektória fogalma, néhány szép példa

Az evolutához hasonlóan az evolvens sem csak lefejtési görbeként származtatható, hanem ún. ortogonális trajektóriaként is. 14. Definíció. Az olyan görbéket, amelyek egy görbesereg minden egyedét mer˝olegesen metszik, ortogonális trajektóriáknak nevezzük. Bár az elnevezés ijeszt˝onek t˝unhet, a burkológörbékhez hasonlóan ortogonális trajektóriákra is számos szemléletes példa létezik. Az egyik legismertebb talán a koncentrikus körök esete, melyek ortogonális trajektóriái a közös középponton áthaladó egyenesek. Ezt még lényegében középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hiszen ismert, hogy az érintési pontba húzott sugár mer˝oleges az érint˝ore, tehát a sugár egyenese mer˝olegesen metszi a vizsgált köröket. Ezt szemlélteti a következ˝o ábra. Nyilván ha egy görbeseregnek ortogonális trajektóriája egy másik görbesereg, akkor ez megfordítva is igaz, azaz az ortogonális görbesereg ortogonális trajektóriái a kiindulási görbesereg egyedei. Tehát egy ponton átmen˝o egyenesek ortogonális trajektóriái az "egy pont" körüli koncentrikus körök.

4.3. ábra. Koncentrikus körsereg ortogonális trajektóriái Az ortogonális trajektóriák számolása számos esetben differenciálegyenletek megoldásához vezet. Egy g(x, y) = C, ahol C konstans, görbesereghez keressünk azt az f (x, y) görbét, melyre ∇f · ∇g = 0 - azaz a görbék mer˝olegesek egymásra. Ezen parciális differenciálegyenlet megoldása szolgáltatja számunkra az ortogonális trajektóriát, trajektóriákat. Paraméteres görbe esetén az r0 (t) = ∇g differenciálegyenlet segítségével kaphatjuk az ortogonális görbék seregét. Bár a differenciálegyenletek megoldhatók, szakdolgozatomnak nem ez a célja, így a következ˝okben néhány szemléletes ábra segítségével mutatok be ortogonális görbeseregeket.

33



Képzeljünk el olyan köröket, amelyek középpontja az x-tengelyen van, és érintik az ytengelyt. Ilyen körsereget generál például x2 + y 2 = 2cx, ahol c ∈ R. Ezen körsereg ortogonális görbeserege egy olyan körsereg, amelyek középpontjai az y-tengelyen vannak, és érintik az x-tengelyt, mint az alábbi ábrákon látható. Az el˝oz˝o példához hasonlóan itt is kölcsönösen egymás mer˝oleges görbeserege a két körsereg.

4.4. ábra. Körsereg ortogonális körserege Az ortogonális görbeseregek egyik legismertebb példája a körsorokhoz kapcsolódik. Rögzítsünk két pontot a síkon (A és B), ekkor egyfel˝ol az A-n és B-n áthaladó körök (és az egyenes) alkotják az A, B tartópontú hiperbolikus körsort, másfel˝ol az A-hoz és B-hez mint alappontokhoz tartozó Apollóniosz-körök (és a felez˝omer˝oleges) alkotják az A, B pontpárhoz tartozó elliptikus körsort. Nevezetes elemi geometriai tény, hogy a két körsor egymás ortogonális trajektóriáiból áll (lásd például Hajós György: Bevezetés a geometriába). A következ˝o ábrán a kék körök az A-hoz, illetve B-hez tartozó elliptikus körsor egyedei, míg a pirosak az A, B tartópontú hiperbolikus körsor példányai.

4.5. ábra. Elliptikus és hiperbolikus körsor mint ortogonális görbeseregek Az ortogonális görbesereg témáját boncolgatva nem hagyhatjuk ki a kúpszeletek körében felmerül˝o két egyszer˝u példát.

34



10. Példa. Állítás: Vegyünk a síkon két rögzített pontot (F1 , F2 ), és tekintsük az ilyen fókuszú ellipsziseket. Ezen ellipszissereg mer˝oleges görbeserege az ugyanilyen rögzített fókuszú hiperbolák serege. Bizonyítás: Az állítás bizonyítása egyszer˝uen adódik a kúpszeletek érint˝oinek szögfelez˝o tulajdonságából. Az ábra színezésének megfelel˝oen a két "kék-íves" szög egyenl˝o (α), mert e1 az ellipszis érint˝oje, és így az érintési pontból a fókuszokhoz húzott szakaszok és az érint˝o által bezárt szögek megegyeznek. Hasonlóan egyenl˝o a két "fekete-íves" szög (β) a hiperbola érint˝oinek szögfelez˝o tulajdonsága miatt. A négy említett szög együttesen egyenesszöget alkot, azaz 2α + 2β = 180◦ , ahonnan adódik, hogy α + β = 90◦ , ami éppen a két görbe mer˝oleges állását igazolja.

4.6. ábra. Közös fókuszú ellipszisek és hiperbolák ortogonális görbeserege A kúpszeletek családjából a következ˝o szemléletes példa a parabolákhoz kapcsolódik. Rögzítsünk egy F fókuszt a síkon, valamint egy irányított tengelyt (t). Az F fókuszú, t irányított tengely˝u parabolák ortogonális görbeserege a szintén F fókuszú, −t tengely˝u parabolák, azaz ellentétes tengely˝uek. Az el˝oz˝oekhez hasonlóan ez egyszer˝uen igazolható a parabola érint˝oinek szögfelez˝o tulajdonságával, ahogy az a következ˝o ábrán is látható.

4.7. ábra. Közös fókuszú parabolák ortogonális görbeserege

35


4.2.2.


Az evolvensek, mint ortogonális trajektóriák

Az ortogonális trajektóriák azért érdekesek a számunkra, mert az evolvensek is tekinthet˝ok ortogonális trajektóriáknak. 11. Tétel. Az evolvens a görbe érint˝oinek ortogonális trajektóriája. 2. Bizonyítás. Ennek belátásához csupán azt kell igazolnunk, hogy az evolvens mer˝olegesen metszi a görbe érint˝oit. Amikor beláttuk, hogy az evolvens evolutája az eredeti görbe, igazoltuk, hogy az evolvens normálisai egyben az eredeti görbe érint˝oi (pontosabban azt láttuk be, hogy az evolvens érint˝oi az eredeti görbe normálisai, de π2 -vel forgatva kapjuk bel˝ole, hogy az evolvens normálisai az eredeti görbe érint˝oi). Ez pedig éppen azt jelenti, hogy az eredeti görbe érint˝oi mer˝olegesek az evolvenssel vett metszéspontbeli evolvens érint˝ore, tehát az evolvens valóban ortogonális trajektóriája a kiindulási görbe érint˝oinek.

36

5. fejezet Összegzés Szakdolgozatomban bepillantást nyerhetünk az evoluták különleges világába, kitekintve a pusztán differenciálgeometriai származtatásból. A dolgozat elején áttekintettem a témához kapcsolódó alapvet˝o fogalmakat, majd bevezettem a burkológörbe fogalmát. Ezek a "határgörbék" számos ismert görbét származtatnak, ezeket vettem sorba a fogalom tisztázása során. A követhet˝oség érdekében saját ábráimmal illusztráltam a leírt jelenségeket, görbéket. Kitértem a geometriai optikában jelent˝os kausztikagörbékre, amelyek való életbeli megjelenései a burkológörbéknek. Az evolutát, mint a görbületi középpontok pályáját tekintettem, majd kiszámoltam néhány ismert görbe (kúpszeletek, cikloisok) evolutáját. Bebizonyítottam, hogy az evoluta egyúttal a görbe normálisainak burkolója, és a korábban vizsgált példáknál szemléltettem a burkolóként való mgjelenést. Az evolutákhoz szorosan kapcsolódnak az evolvensek, amelyek szintén a görbéb˝ol származtathatók. Els˝o körben mint lefejtési görbéket definiáltam o˝ ket, majd megmutattam, hogy egyúttal a görbe érint˝oinek ortogonális trajektóriái is. Néhány példa erejéig az ortogonális görbeseregek világába is bepillantottam. Mindvégig törekedtem az elemi indoklásokra, így számos különböz˝o terület eszközei felbukkannak a dolgozatban. Dolgozatom els˝odleges célja a differenciálgeometria egy vékony szeletének szemléletes bemutatása volt. Az elemi tárgyalásoknak köszönhet˝oen néhány mozzanat akár középiskolai keretekbe is beférhet, ezt leend˝o tanárként fontosnak tartottam. Az evoluták világában való bolyongás során számos görbével és tulajdonságaikkal ismerhettünk meg, melyek a gyakorlati életben is nagy jelent˝oséggel bírnak. Bár Poincaré szerint "a geometria az a m˝uvészet, amely hibás rajzokból helyes következtetéseket von le", én törekedtem helyes rajzokból helyes következtetéseket levonni.

37

5. Összegzés

Nyilatkozat

Név: Somlói Zsófia ELTE-Természettudományi Kar, Szak: Matematika BSc, tanári szakirány NEPTUN-azonosító: JF7EOR Szakdolgozat címe: Az evoluták világa

A szakdolgozat szerz˝ojeként fegyelmi felel˝osségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel˝o idézés nélkül nem használtam fel.

Budapest, 2013. május 31.

38

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013

Recommend Documents