´ nd Tudoma ´ nyegyetem E¨ otv¨ os Lora ´szettudoma ´ nyi Kar Terme
Ikvahidi Adrienn Matematika BSc. Elemz˝o matematikus szakir´any
´si fu ´nyek, popula ´ cio ´ no ´si ¨ vekede ¨ ggve ¨ vekede No ˝ differencia ´ legyenletek modellekben szereplo
Szakdolgozat
T´emavezet˝o : Pfeil Tam´as Alkalmazott Anal´ızis ´es Sz´am´ıt´asmatematikai Tansz´ek
Budapest, 2014.
Tartalomjegyz´ ek Bevezet´ es
2
1. Alapfogalmak
3
2. Nevezetes fu enyek ¨ ggv´
7
2.1. Logisztikus f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. Gompertz-f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3. Bertalanffy-f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4. Weibull-f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5. Richards-f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6. Morgan-Mercer-Flodin-f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3. Differenci´ alegyenletek
21
3.1. Logisztikus differenci´alegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2. Gompertz-f´ele differenci´alegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3. Bertalanffy-f´ele differenci´alegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.4. Richards-f´ele differenci´alegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as
30
Hivatkoz´ asok
32
1
Bevezet´ es Szakdolgozatom t´em´aja a n¨oveked´esi f¨ uggv´enyek ´es popul´aci´on¨oveked´esi modellekben szerepl˝o differenci´alegyenletek. El˝osz¨or p´ar k´es˝obb haszn´aland´o defin´ıci´ot mutatok be. Ut´ana nevezetes f¨ uggv´enyek vizsg´alat´aval foglalkozok, ellen˝orz¨om, hogy eleget tesznek-e a n¨oveked´esi f¨ uggv´eny felt´eteleinek, majd tov´abbi tulajdons´agokat mutatok be. A harmadik fejezetben a kor´abban bemutatott nevezetes f¨ uggv´enyeket el˝oa´ll´ıt´o differenci´alegyenletek k¨oz¨ ul n´eh´anyat vizsg´alok, majd megkeresem a f¨ uggv´enyek ´es a differenci´alegyenletek k¨ozti kapcsolatot.
2
1. fejezet Alapfogalmak 1.1 Defin´ıci´ o Legyen az f val´os f¨ uggv´eny ´ertelmezve az a pont egy k¨ornyezet´eben. Azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny az a pontban differenci´alhat´o, ha a f (t) − f (a) t→a t−a
lim
(1.1)
v´eges hat´ar´ert´ek l´etezik, ´es az val´os sz´am. Az (1.1) hat´ar´ert´ek az f f¨ uggv´eny a pontbeli differenci´alh´anyadosa vagy deriv´altja, jele f 0 (a). 1.2 Defin´ıci´ o Az f val´os f¨ uggv´eny monoton n¨ovekv˝o (monoton cs¨okken˝o) az A ⊂ D(f ) halmazon, ha minden t1 , t2 ∈ A, t1 < t2 eset´en f (t1 ) ≤ f (t2 )
(f (t1 ) ≥ f (t2 )).
(1.2)
Ha a (1.2) egyenl˝otlens´eg helyett f (t1 ) < f (t2 ), illetve f (t1 ) > f (t2 ) a´ll fenn, akkor az f f¨ uggv´enyt szigor´ uan monoton n¨ovekv˝onek (illetve szigor´ uan monoton cs¨okken˝onek) nevezz¨ uk. A monoton n¨ovekv˝o vagy monoton cs¨okken˝o f¨ uggv´enyeket r¨oviden monoton f¨ uggv´enyeknek h´ıvjuk. 1.3 Defin´ıci´ o Az f val´os f¨ uggv´eny konvex az I ⊂ D(f ) intervallumon, ha minden a, b ∈ I ´es a < t < b eset´en f (t) ≤
f (b) − f (a) (t − a) + f (a). b−a 3
(1.3)
Ha az (1.3) egyenl˝otlens´eg helyett f (t) ≥
f (b)−f (a) (t b−a
− a) + f (a) a´ll, akkor az f f¨ uggv´enyt
az I intervallumon konk´avnak nevezz¨ uk. Ha pedig f (t) <
f (b)−f (a) (t−a)+f (a), b−a
illetve f (t) >
f (b)−f (a) (t−a)+f (a) b−a
´all, akkor az f
f¨ uggv´enyt az I intervallumon szigor´ uan konvexnek, illetve szigor´ uan konk´avnak nevezz¨ uk. 1.4 Defin´ıci´ o Azt mondjuk, hogy az f val´os f¨ uggv´enynek az a pontban lok´alis maximuma (illetve minimuma) van, ha az a pontnak van olyan U k¨ornyezete, amelyben f ´ertelmezve van, ´es minden x ∈ U eset´en f (x) ≤ f (a) (illetve f (x) ≥ f (a)). Ekkor az a pontot az f f¨ uggv´eny lok´alis maximumhely´enek (illetve lok´alis minimumhely´enek) nevezz¨ uk. 1.5 T´ etel Ha az f f¨ uggv´eny differenci´alhat´o az a pontban ´es ott lok´alis sz´els˝o´ert´eke van, akkor f 0 (a) = 0. Ez a lok´alis sz´els˝o´ert´ek l´etez´es´enek sz¨ uks´eges felt´etele. 1.6 T´ etel Ha az f f¨ uggv´eny differenci´alhat´o a t0 pont egy k¨ornyezet´eben ´es f 0 (t0 ) = 0, emellett t0 eml´ıtett k¨ornyezet´eben f 0 el˝ojelet v´alt, akkor az f f¨ uggv´enynek a t0 pont el˝obbi k¨ornyezet´eben lok´alis sz´els˝o´ert´eke van. Ez a lok´alis sz´els˝o´ert´ek l´etez´es´enek el´egs´eges felt´etele. 1.7 Defin´ıci´ o Azt mondjuk, hogy az a pont az f val´os f¨ uggv´enynek inflexi´os pontja, ha az f f¨ uggv´eny differenci´alhat´o az a pontban, ´es van olyan δ ∈ R+ , hogy f konvex az (a − δ, a] intervallumon ´es konk´av az [a, a + δ) intervallumon, vagy ford´ıtva. 1.8 T´ etel Ha f k´etszer differenci´alhat´o f¨ uggv´eny a t0 pontban ´es ott inflexi´oja van, akkor f 00 (t0 ) = 0. Teh´at k´etszer differenci´alhat´o f f¨ uggv´eny t0 pontbeli inflexi´oj´anak sz¨ uks´eges felt´etele f 00 (t0 ) = 0. 1.9 T´ etel Ha az f f¨ uggv´eny k´etszer differenci´alhat´o a t0 pont egy k¨ornyezet´eben, f 00 (t0 ) = = 0 ´es f 00 el˝ojelet v´alt a t0 pontban, akkor az f f¨ uggv´enynek inflexi´oja van a t0 pontban. Ez pedig a vizsg´alt pontbeli inflexi´o el´egs´eges felt´etele. 4
1.10 Defin´ıci´ o Legyen f k´etv´altoz´os folytonos f¨ uggv´eny, D(f ) ¨osszef¨ ugg˝o ny´ılt halmaz, ekkor az f f¨ uggv´eny a´ltal meghat´arozott els˝orend˝ u explicit k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet: x0 (t) = f (t, x(t)). 1.11 Defin´ıci´ o Egy els˝orend˝ u explicit k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet maxim´alis megold´asa olyan megold´as, melynek nincs olyan val´odi kiterjeszt´ese, amelyik megold´as lenne. 1.12 Defin´ıci´ o Ha az els˝orend˝ u explicit k¨oz¨ons´eges x0 (t) = f (t, x(t)) differenci´alegyenlethez az x(t0 ) = x0 kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝o x megold´asf¨ uggv´enyt keres¨ unk, akkor kezdeti´ert´ek-feladatr´ol besz´el¨ unk. Ha van ilyen x f¨ uggv´eny, akkor a kezdeti´ert´ek-feladat megoldhat´o. Egy kezdeti´ert´ekfeladat megold´asa egy´ertelm˝ u, ha pontosan egy maxim´alis megold´asa van. 1.13 Defin´ıci´ o Legyen f k´etv´altoz´os folytonos f¨ uggv´eny, D(f ) ¨osszef¨ ugg˝o ny´ılt halmaz. Ha az I ⊂ R ny´ılt intervallumra, ´es az y : I → Rn differenci´alhat´o f¨ uggv´enyre teljes¨ ul, hogy (t, y(t)) ∈ D(f ) minden t ∈ I eset´en,
(1.4)
y 0 (t) = f (t, x(t)) minden t ∈ I eset´en,
(1.5)
y(t0 ) = p0
(1.6)
akkor az y f¨ uggv´enyt az I intervallumon az f jobb oldal´ u explicit k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet megold´as´anak nevezz¨ uk az y(t0 ) = p0 kezdeti felt´etel mellett. 1.14 Defin´ıci´ o Az f val´os f¨ uggv´eny eleget tesz a Lipschitz-felt´etelnek az A ⊂ D(f ) halmazon, ha van olyan K ≥ 0 konstans, hogy |f (x1 ) − f (x0 )| ≤ K · |x1 − x0 | minden x0 , x1 ∈ A eset´en. 5
1.15 T´ etel (Picard-Lindel¨ of-t´ etel) Ha a k´etv´altoz´os val´os ´ert´ek˝ u f f¨ uggv´eny a H ⊂ R2 korl´atos z´art halmazon folytonos ´es ezen a halmazon b´armely r¨ogz´ıtett els˝o v´altoz´o eset´en a m´asodik v´altoz´oj´aban eleget tesz a Lipschitz-felt´etelnek, akkor az x0 (t) = f (t, x(t)) differenci´alegyenlethez ´es a H halmaz tetsz˝oleges bels˝o pontj´ahoz tartoz´o kezdeti´ert´ekfeladat megold´asa egy´ertelm˝ u.
6
2. fejezet Nevezetes fu enyek ¨ ggv´ A tel´ıt˝od´esi vagy m´as n´even korl´atos n¨oveked´esi f¨ uggv´enyek az id˝o m´ ul´as´aval n¨ovekv˝o ´es fels˝o korl´attal rendelkez˝o mennyis´egek id˝obeli alakul´as´anak le´ır´as´ara szolg´alnak. E f¨ uggv´enyek ´ertelmezve vannak a nemnegat´ıv val´os sz´amok halmaz´an, valamint h´arom fontos tulajdons´aggal rendelkeznek: – nemnegat´ıvak, – szigor´ uan monoton n¨ovekv˝oek, – a +∞ helyen a hat´ar´ert´ek¨ uk pozit´ıv val´os sz´am. A tel´ıt˝od´esi f¨ uggv´enyeket a demogr´afusok ´es a biztos´ıt´asi szakemberek a n´epesed´esi ´es t´ ul´el´esi folyamatok, a biol´ogusok a popul´aci´odinamik´aban korl´atos n¨oveked´es˝ u popul´aci´ok le´ır´as´ara ´es k¨ozel´ıt´es´ere haszn´alj´ak.
2.1. Logisztikus fu eny ¨ ggv´ A logisztikus f¨ uggv´enyt alkalmazhatjuk adott eltart´ok´epess´eg˝ u ´el˝ohelyen n¨ovekv˝o popul´aci´o m´eret´ere az id˝o f¨ uggv´eny´eben. P´eldak´ent eml´ıthetj¨ uk m´eg az internet-el˝ofizet˝ok sz´am´anak alakul´as´at szint´en az id˝o f¨ uggv´eny´eben. Egy felm´er´esben ez a fv. j´ol k¨ozel´ıthet˝o volt logisztikus f¨ uggv´ennyel. 7
2.1 Defin´ıci´ o Logisztikus f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk az a , D(L) := R 1 + be−kt
L(t) :=
(2.1)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol a, b, k ∈ R+ . El˝osz¨or megmutatjuk, hogy a logisztikus f¨ uggv´eny eleget tesz a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelnek, tov´abb´a +∞-ben val´os hat´ar´ert´eke van. E f¨ uggv´eny k´etszer differenci´alhat´o ´es nyilv´an pozit´ıv ´ert´ek˝ u. Szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o az L0 (t) =
abke−kt > 0, t ∈ R (1 + be−kt )2
(2.2)
egyenl˝otlens´eg szerint, hiszen a, b, k > 0 ´es az exponenci´alis f¨ uggv´eny ´ert´ekei pozit´ıvak. V´eg¨ ul lim
t→+∞
a = a. 1 + be−kt
Vizsg´aljuk meg, hogy a (2.1) alak´ u f¨ uggv´eny a param´eterek mely ´ert´ekeire tesz eleget a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelnek, emellett mikor van val´os hat´ar´ert´eke +∞-ben. k = 0 eset´en az L f¨ uggv´eny konstansf¨ uggv´eny, ´ıgy nem szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o. Ha k < 0, akkor pedig lim L(t) = 0,
t→+∞
teh´at k > 0 sz¨ uks´eges felt´etel. Ha a = 0, akkor L konstansf¨ uggv´eny, ha pedig a < 0, akkor lim L(t) = a < 0,
t→+∞
ez´ert a > 0 is sz¨ uks´eges felt´etel. Ezut´an k, a > 0 eset´en az L0 deriv´altf¨ uggv´eny (2.2) alakja mutatja, hogy L szigor´ u monoton n¨oveked´ese csak b > 0 mellett teljes¨ ulhet. Ha a, b, k > 0, akkor a (2.1) f¨ uggv´eny teljes´ıti mindh´arom elv´art tulajdons´agot. Vizsg´aljuk tov´abb a logisztikus f¨ uggv´enyt! L00 (t) = abk
−ke−kt (1 + be−kt )2 − e−kt · 2(1 + be−kt )be−kt (−k) (1 + be−kt )4
8
=
abk 2 e−kt (be−kt − 1) , t ∈ R. (1 + be−kt )3
(2.3)
Ez a h´anyados akkor nulla, amikor a sz´aml´al´o utols´o t´enyez˝oje nulla, hiszen az exponenci´alis f¨ uggv´eny mindenhol pozit´ıv, ez´ert a m´asodik deriv´alt t z´erushely´ere fenn´all be−kt − 1 = 0. Ezt a´trendezve kapjuk a t=
ln(b) k
, ´es L00 (t) < 0, ha t > ln(b) , ez´ert megold´ast. A (2.3) formula szerint L00 (t) > 0, ha t < ln(b) k k h i h L konvex a 0, ln(b) , +∞ intervallumon. Ebb˝ol k¨ovetkezik, intervallumon, konk´av a ln(b) k k hogy t =
ln(b) k
inflexi´os pontja az L f¨ uggv´enynek.
Az al´abbi t´abl´azatban foglaljuk ¨ossze a logisztikus f¨ uggv´enyre kapott eredm´enyeket: ln(b) ln(b) D(L) (−∞,0) 0 0, ln(b) , +∞ k k k L0
+
+
+
+
+
L00
+
+
+
0
−
mono
ton
n¨o
vek
v˝o
ko
nv
ex
inflexi´o
konk´av
L
A logisztikus f¨ uggv´eny a = b = k = 1 eset´en
9
2.2. Gompertz-fu eny ¨ ggv´ A Gompertz-f¨ uggv´enyt Benjamin Gompertz (1779-1865) brit matematikusr´ol nevezt´ek el. A demogr´afusok ´es a biztos´ıt´asi szakemberek gyakran haszn´alj´ak k¨ ul¨onb¨oz˝o n´epesed´esi ´es t´ ul´el´esi folyamatok k¨ozel´ıt˝o le´ır´asakor. P´eldak´ent eml´ıthetj¨ uk m´eg a tumorok n¨oveked´es´enek modellez´es´et. A tumorok behat´arolt ter¨ uleten n˝onek, ahol v´eges a rendelkez´es¨ ukre ´all´o t´apanyag. A Gompertz-f¨ uggv´eny a tumorok m´eret´enek n¨oveked´es´er˝ol ad inform´aci´ot. 2.2 Defin´ıci´ o Gompertz-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk a kt
G(t) := aebe , D(G) := R
(2.4)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol a ∈ R+ , b, k ∈ R− . Vizsg´aljuk meg, milyen param´eterekre teljes´ıti a (2.4) alak´ u f¨ uggv´eny a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelt, emellett mikor van val´os hat´ar´ert´eke +∞-ben. Az a param´eter csak pozit´ıv lehet, mert ha negat´ıv vagy nulla lenne, akkor a f¨ uggv´eny´ert´ekek nem voln´anak nemnegat´ıvak, vagy a f¨ uggv´eny nem volna szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o az R+ intervallumon. Ha b vagy k nulla lenne, akkor a f¨ uggv´eny konstansf¨ uggv´eny lenne, nem volna szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o. Ha pedig b ´es k el˝ojele k¨ ul¨onb¨ozik, akkor a f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton cs¨okken˝o, nem szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o. Ha a, b, k > 0, akkor kt
lim aebe = +∞,
t→+∞
ha pedig b, k < 0, akkor kt
lim aebe = a,
t→+∞
ami a > 0 eset´en pozit´ıv val´os hat´ar´ert´ek. A vizsg´alt f¨ uggv´eny k´etszer differenci´alhat´o, tekints¨ uk a deriv´altj´at: kt
G0 (t) = abkekt ebe , t ∈ R. 10
Ha a > 0 ´es b, k < 0, akkor a deriv´alt minden¨ utt pozit´ıv, ez´ert G szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o f¨ uggv´eny. Ha a param´eterek el˝ojele ilyen, akkor mindh´arom felt´etelt teljes´ıti a (2.4) f¨ uggv´eny. Megjegyz´ es. Ha a > 0, valamint b ´es k ellent´etes el˝ojel˝ u, akkor G szigor´ uan monoton cs¨okken˝o f¨ uggv´eny, melynek hat´ar´ert´eke +∞-ben nulla. Ilyen f¨ uggv´eny eleny´esz´esi folyamatban ´ırhatja le a vizsg´alt mennyis´eget az id˝o f¨ uggv´eny´eben. Vizsg´aljuk tov´abb a Gompertz-f¨ uggv´enyt! kt
kt
kt
G00 (t) = abk(kekt ebe + ekt ebe bkekt ) = abk 2 ekt ebe (1 + bekt ), t ∈ R. Tudjuk, hogy a > 0, b, k < 0 ´es az exponenci´alis f¨ uggv´eny sehol sem 0, ez´ert G00 (t) z´erushelye az 1 + bekt = 0 egyenlet megold´asa, vagyis ln(− 1b ) t= . k Mivel G00 (t) el˝ojelet v´alt ezen a helyen, a kapott sz´am inflexi´os pont. Az al´abbi t´abl´azatban foglaljuk ¨ossze a Gompertz-f¨ uggv´enyre kapott eredm´enyeket: D(G)
−∞,
ln(− 1b ) k
ln(− 1b ) k
ln(− 1b ) , +∞ k
G0
+
+
+
G00
+
0
−
szigor´ uan
monoton
n¨ovekv˝o
konvex
inflexi´o
konk´av
G
11
A Gompertz-f¨ uggv´eny a = 1, b = k = −1 eset´en
2.3. Bertalanffy-fu eny ¨ ggv´ A Bertalanffy-f¨ uggv´enyt Ludwig von Bertalanffy (1901-1972) magyar sz´armaz´as´ u osztr´ak biol´ogusr´ol nevezt´ek el. A Bertalanffy-f¨ uggv´ennyel a c´ap´ak testhossz´anak n¨oveked´es´et pr´ob´alt´ak le´ırni, e n¨oveked´es szint´en egy tel´ıt˝od´esi szinthez tart´o folyamat. Bertalanffy modellje (ld. a 2.3. pontot) szerint minden c´apa egy kezdeti testhosszal sz¨ uletik, majd elkezd n¨ovekedni, ´es a testhossz´anak, mint az ´eletkor f¨ uggv´eny´enek val´os hat´ar´ert´eke lenne +∞-ben, ha az egyed ¨or¨okk´e ´elne. 2.3 Defin´ıci´ o Bertalanffy-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk a B(t) := a(1 − be−kt ), D(B) := R
(2.5)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol a, k ∈ R+ , b ∈ (0,1]. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy a Bertalanffy-f¨ uggv´eny eleget tesz a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelnek, tov´abb´a +∞-ben val´os hat´ar´ert´eke van. E f¨ uggv´eny a nemnegat´ıv sz´amok halmaz´an nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u, ha b ∈ (0,1], mert t ≥ 0 eset´en e−kt ≤ 1. Szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o a B 0 (t) = abk · e−kt > 0, t ∈ R
(2.6)
egyenl˝otlens´eg szerint, hiszen a, b, k > 0 ´es az exponenci´alis f¨ uggv´eny ´ert´ekei pozit´ıvak. V´eg¨ ul lim a(1 − be−kt ) = a.
t→+∞
12
Vizsg´aljuk meg, hogy a (2.5) alak´ u f¨ uggv´eny a param´eterek mely ´ert´ek´ere tesz eleget a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelnek, emellett mikor van val´os hat´ar´ert´eke +∞ eset´en. Ha k = 0, akkor a B f¨ uggv´eny konstansf¨ uggv´eny, ´ıgy nem szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o. Ha k < 0, akkor pedig lim a(1 − be−kt ) = −∞
t→+∞
lenne, teh´at k > 0. Ebben az esetben lim B(t) = a, teh´at a > 0 sz¨ uks´eges felt´etel. t→+∞
Ha b = 0, akkor a B f¨ uggv´eny konstansf¨ uggv´eny, ´ıgy nem szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o. Ha b < 0, akkor pedig (2.6) szerint B 0 negat´ıv lenne, azaz a f¨ uggv´eny nem lenne monoton n¨ovekv˝o, teh´at b > 0 is sz¨ uks´eges felt´etel. Ekkor B(0) = a(1 − b) ≥ 0 miatt b ≤ 1 is sz¨ uks´eges. Ha a, k > 0 ´es 0 < b ≤ 1, akkor a vizsg´alt f¨ uggv´eny teljes´ıti mindh´arom felt´etelt. Vizsg´aljuk tov´abb a Bertalanffy-f¨ uggv´enyt!
B 00 (t) = −abk 2 e−kt , t ∈ R. Ez a f¨ uggv´eny sehol nem veszi fel a nulla ´ert´eket, ´ıgy a Bertalanffy-f¨ uggv´enynek nincs inflexi´os pontja, ´es minden t ∈ R eset´en konk´av f¨ uggv´eny.
A Bertalanffy f¨ uggv´eny a = 2, b = 18 , k = 1 eset´en Megjegyz´ es. A Bertalanffy-f¨ uggv´enyt b = 1 eset´en a Mitscherlich-f¨ uggv´enynek is nevezik. A Bertalanffy-f¨ uggv´eny speci´alis esete a most k¨ovetkez˝o Weibull-f¨ uggv´enynek. 13
2.4. Weibull-fu eny ¨ ggv´ A Weibull-f¨ uggv´eny a Weibull-f´ele eloszl´as eloszl´asf¨ uggv´eny´et ´altal´anos´ıtja. Ezt az eloszl´ast t¨obbek k¨oz¨ott a megb´ızhat´os´agi anal´ızisben haszn´alj´ak, ilyen p´eld´aul egy berendez´es meghib´asod´as´aig eltelt id˝o v´arhat´o ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa. 2.4 Defin´ıci´ o Weibull-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk a c
W (t) := a(1 − be−(kt) ), D(W ) := [0, +∞)
(2.7)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol a, c, k ∈ R+ , b ∈ (0,1]. Megmutatjuk, hogy a Weibull-f¨ uggv´eny teljes´ıti a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨ovekec
d´esi felt´etelt, valamint a hat´ar´ert´eke +∞-ben val´os sz´am. Ha t ≥ 0, akkor e−(kt) ≤ 1 miatt W (t) ≥ 0, tov´abb´a c
lim a(1 − be−(kt) ) = a > 0.
t→+∞
A f¨ uggv´eny folytonos, tov´abb´a k´etszer differenci´alhat´o az R+ intervallumon ´es ott a deriv´altja c
c
W 0 (t) = a(−b)e−(kt) (−c)(kt)c−1 k = abce−(kt) k c · tc−1 . Ez minden t ∈ R+ eset´en pozit´ıv, ´ıgy a W f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o a [0, +∞) intervallumon. Vizsg´aljuk tov´abb a Weibull-f¨ uggv´enyt c 6= 1 eset´en! c c W 00 (t) = k c · abc e−(kt) (−c)(kt)c−1 k · tc−1 + e−(kt) (c − 1)tc−2 = c
= k c · abc · e−(kt) tc−2 ((−c)(kt)c + c − 1), t ∈ R+ .
(2.8)
Ez a szorzat akkor nulla, amikor a szorzat utols´o t´enyez˝oje nulla, hiszen az exponenci´alis f¨ uggv´eny ´es a pozit´ıv alap hatv´anya mindenhol pozit´ıv, ez´ert (−c)(kt)c + c − 1 = 0. Ezt a´trendezve kapjuk, hogy akkor van pozit´ıv megold´as, ha c > 1, m´egpedig 1 1 c−1 c t= . k c 14
1 c−1 1c , ´es W 00 (t) < 0, ha Ekkor a (2.8) formula szerint c > 1 eset´en W 00 (t) > 0, ha t < k c 1 c−1 1c 1 c−1 1c 1 c−1 1c t> , ez´ert W (t) konvex a 0, intervallumon, konk´av a , +∞ k c k c k c 1 c−1 1c intervallumon. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy t = inflexi´os pontja a W f¨ uggv´enynek. k c Az al´abbi t´abl´azatban foglaljuk ¨ossze a Weibull-f¨ uggv´enyre kapott eredm´enyeket a c > 1 esetben: 1 0, k
c−1 c
1c
1 k
c−1 c
1c
1 k
c−1 c
1c
, +∞
D(W )
0
W0
+
+
+
+
W 00
+
+
0
−
szigo
r´ uan
monoton
n¨ovekv˝o
kon
vex
inflexi´o
konk´av
W
A Weibull-f¨ uggv´eny a = b = k = 1, c =
3 2
eset´en
A 0 < c ≤ 1 esetben a Weibull-f¨ uggv´eny konk´av a [0, +∞) intervallumon.
A Weibull-f¨ uggv´eny a = b = k = 1, c =
15
1 2
eset´en
Megjegyz´ es. A j, λ ∈ R+ param´eter˝ u Weibull-eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye j j t j−1 e−( λt ) , ha t ≥ 0 λ λ f (t) := 0, ha t < 0. Sz´amoljuk ki az f f¨ uggv´eny improprius integr´alj´at a val´os sz´amok halmaz´an! Z+∞ Z0 Z+∞ Z+∞ j−1 t j j t f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = 0 + e−( λ ) dt = λ λ −∞
−∞
0
ZT = lim
T →+∞
j λ
0
j−1 h iT t j t j t = e−( λ ) dt = lim −e−( λ ) T →+∞ λ 0
0
= lim
T →+∞
T
j
−e−( λ )
− (−e0 ) = 1.
Az f f¨ uggv´eny nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u ´es szakaszonk´ent folytonos, ez´ert t´enyleg egy val´osz´ın˝ us´egeloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. A Weibull-eloszl´as F eloszl´asf¨ uggv´eny´ere Zt F (t) =
Zt f (τ )dτ =
0
t j j τ j−1 −( λτ )j dτ = 1 − e−( λ ) , t ∈ R+ . e λ λ
0
Minden eloszl´asf¨ uggv´eny nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u, balr´ol folytonos ´es monoton n¨ovekv˝o f¨ uggv´eny, melynek hat´ar´ert´eke +∞-ben 1. Mivel f pozit´ıv az R+ intervallumon ´es folytonos a [0, +∞) intervallumon, ez´ert F szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o a [0, +∞) halmazon. F speci´alis esete a fentebb defini´alt Weibull-f¨ uggv´enynek, hiszen ha a (2.7) k´epletben a := b := 1, akkor c
W (t) = 1 − e−(kt) , t ∈ [0, +∞), ´es a k := λ1 , c := j v´alaszt´assal t j
W (t) = 1 − e−( λ ) = F (t), t ∈ [0, +∞). A Weibull-eloszl´ast Maurice Fr´echet (1878-1973) fedezte fel 1927-ben, ´es 1933-ban alkalmazt´ak el˝osz¨or granul´alt r´eszecsk´ek eloszl´as´anak le´ır´as´ara. Az eloszl´ast Waloddi Weibullr´ol 16
(1887-1979) nevezt´ek el, aki 1951-ben ´ırta le r´eszletesen. Alkalmaz´asi ter¨ uletei igen soksz´ın˝ uek, p´eldak´ent eml´ıthetj¨ uk a hibaanal´ızist, radark´epek ki´ert´ekel´es´et, mobilkommunik´aci´oban a csatorn´ak a´thall´asvizsg´alat´at, id˝oj´ar´as el˝orejelz´es´et, ezen bel¨ ul is a sz´elsebess´egeloszl´ast.
2.5. Richards-fu eny ¨ ggv´ 2.5 Defin´ıci´ o Richards-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk az R(t) := a(1 − be−kt )c , D(R) := [0, +∞)
(2.9)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol a, c, k ∈ R+ , b ∈ (0,1] vagy a, k ∈ R+ ´es b, c ∈ R− . Megmutatjuk, hogy a Richards-f¨ uggv´eny teljes´ıti a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelt, valamint a hat´ar´ert´eke +∞-ben val´os sz´am. Ha 0 < a, c, k ´es 0 < b ≤ 1, akkor t ≥ 0 eset´en e−kt > 0 miatt R(t) ≥ 0, ha pedig a, k > 0 ´es b, c < 0, akkor t ≥ 0 eset´en 0 < e−kt ´es b < 0 miatt 1 < 1 − be−kt , ez´ert R(t) > 0. Mindk´et esetben lim a(1 − be−kt )c = a > 0.
t→+∞
A f¨ uggv´eny folytonos, k´etszer differenci´alhat´o az R+ halmazon ´es a deriv´altja R0 (t) = abck · e−kt (1 − be−kt )c−1 , t ∈ R+ , ez´ert a deriv´altf¨ uggv´eny mindk´et esetben minden¨ utt pozit´ıv, ´ıgy a f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o. Vizsg´aljuk tov´abb a Richards-f¨ uggv´enyt! Ha c = 1, akkor a Bertalanffy-f¨ uggv´eny [0, +∞) intervallumra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´es´et kapjuk. Ha c 6= 1, akkor
R00 (t) = −abck 2 e−kt (1 − be−kt )c−2 (1 − bce−kt ), t ∈ R+ ,
17
(2.10)
mely csak abban az esetben lehet nulla, ha (2.10) jobb oldal´anak valamelyik t´enyez˝oje nulla. (1 − be−kt )c−2 t´enyez˝o pozit´ıv, mert a hatv´any alapja minden t ∈ R sz´amra mindk´et esetben pozit´ıv. Eszerint inflexi´os pontot az utols´o t´enyez˝o z´erushelyek´ent kaphatunk: 1 − bce−kt = 0, melynek az egyetlen val´os megold´asa t =
(2.11)
ln bc , k
ami bc > 1 eset´en pozit´ıv. Ekkor a (2.10) formula szerint R00 (t) > 0, ha t < lnkbc , ´es R00 (t) < 0, ha t > lnkbc , ez´ert R konvex a 0, lnkbc intervallumon, konk´av a lnkbc , +∞ intervallumon. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy t = lnkbc inflexi´os pontja az R f¨ uggv´enynek. Ha pedig 0 < bc ≤ 1, akkor az (2.11) egyenletnek nincs pozit´ıv megold´asa, ´es R00 < 0
az R+ intervallumon, ez´ert R konk´av f¨ uggv´eny.
A Richards-f¨ uggv´eny a = 2, b = 21 , c = k = 1 eset´en
A Richards-f¨ uggv´eny a = 1, b = 21 , k = 1, c = 4 eset´en
18
2.6. Morgan-Mercer-Flodin-fu eny ¨ ggv´ 2.6 Defin´ıci´ o Morgan-Mercer-Flodin-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk az b M (t) := a 1 − , D(M ) := [0, +∞) 1 + (kt)c
(2.12)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol a, c, k ∈ R+ ´es b ∈ (0,1]. Megmutatjuk, hogy a Morgan-Mercer-Flodin f¨ uggv´eny teljes´ıti a nemnegativit´asi ´es a szigor´ u n¨oveked´esi felt´etelt, valamint a hat´ar´ert´eke +∞-ben val´os sz´am. A defin´ıci´oban szerepl˝o param´eterek mellett M nemnegat´ıv a [0, +∞) intervallumon ´es pozit´ıv az R+ intervallumon, tov´abb´a lim a 1 − t→+∞
b 1 + (kt)c
= a > 0.
A f¨ uggv´eny folytonos a [0, +∞) intervallumon, k´etszer differenci´alhat´o az R+ intervallumon ´es deriv´altja M 0 (t) = abck
(kt)c−1 , t ∈ R+ . (1 + (kt)c )2
A deriv´altf¨ uggv´eny pozit´ıv ´ert´ek˝ u, emiatt az M f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o a [0, +∞) intervallumon. Vizsg´aljuk tov´abb a Morgan-Mercer-Flodin-f¨ uggv´enyt! M 00 (t) = abck 2 (kt)c−2
(c − 1)(1 + (kt)c ) − 2c(kt)c , t ∈ R+ . c 3 (1 + (kt) )
(2.13)
Ez a f¨ uggv´eny akkor nulla, amikor a h´anyados sz´aml´al´oja nulla, vagyis amikor (c − 1)(1 + (kt)c ) − 2c(kt)c = 0. Az egyenletnek pontosan akkor van pozit´ıv megold´asa, ha c > 1, m´egpedig 1 1 c−1 c t= . k c+1 1c A c > 1 esetben a (2.13) formula szerint 0 < M 00 (t), ha 0 < t < k1 c−1 , ´es M 00 (t) < 0, c+1 h i h 1 1 1 1 c−1 c 1 c−1 c 1 c−1 c ha t > k c+1 , ez´ert M konvex a 0, k c+1 intervallumon, konk´av a k c+1 , +∞ 1c intervallumon. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy t = k1 c−1 inflexi´os pontja az M f¨ uggv´enynek. c+1 19
c−1 c+1
1c
1 k
c−1 c+1
1c
1 k
c−1 c+1
1c
D(M )
0
M0
+
+
+
+
M 00
+
+
0
−
szigo
r´ uan
monoton
n¨ovekv˝o
kon
vex
inflexi´o
konk´av
M
0,
1 k
, +∞
A Morgan-Mercer-Flodin-f¨ uggv´eny a = b = k = 1, c = 2 eset´en Ha c ≤ 1, akkor M 0 > 0 ´es M 00 ≤ 0 a (0, +∞) intervallumon, azaz a f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨ovekv˝o ´es konk´av, nincs inflexi´os pontja.
A Morgan-Mercer-Flodin-f¨ uggv´eny a = b = k = c = 1 eset´en
20
3. fejezet Differenci´ alegyenletek 3.1. Logisztikus differenci´ alegyenlet 3.1 Defin´ıci´ o A logisztikus differenci´alegyenlet y(t) 0 y (t) = k · y(t) 1 − a
(3.1)
alak´ u, ahol k ∈ R\{0}. A (3.1) differenci´alegyenlet sz´etv´alaszthat´o differenci´alegyenlet, a sz´etv´alaszt´as ut´an az Z Z 1 dy = k dt y(1 − ay ) 6= 0 semelyik t ∈ D(y) eset´en sem. egyenletet kapjuk abban az esetben, ha y(t) 1 − y(t) a A bal oldali primit´ıv f¨ uggv´enyt parci´alis t¨ortekre bont´assal sz´amolhatjuk ki: 1 1 1 a = + y(1 − ay ) y 1−
y a
=
1 1 + , y a−y
teh´at Z
1 dy = y(1 − ay )
Z
1 1 + dy = y a−y
Z k dt.
Ez´ert a primit´ıv f¨ uggv´enyeket kisz´amolva alkalmas p ∈ R mellett a k¨ovetkez˝o egyenletet kapjuk: ln |y(t)| − ln |a − y(t)| = kt + p, 21
y(t) = kt + p. ln a − y(t) Ezt a´trendezve kapjuk, hogy a , ahol b := ±e−p . −kt 1 + be A (3.1) egyenlet sz´etv´alaszt´asakor feltett¨ uk, hogy y(t) 1 − y(t) =
y(t) a
6= 0 semelyik t ∈ D(y)
eset´en sem. Most vizsg´aljuk meg a kihagyott esetet! Megold´as a 0 ´es az a ´ert´ek˝ u minden¨ utt ´ertelmezett konstansf¨ uggv´eny, m´as kihagyott maxim´alis megold´as pedig a Picard-Lindel¨oft´etel miatt nincs. Teh´at a differenci´alegyenlet maxim´alis megold´asai y(t) = 0 mellett y(t) =
a , b ∈ R, 1 + be−kt
ahol b ≥ 0 eset´en D(y) = R, b < 0 eset´en pedig D(y) = −∞, − k1 ln(− 1b ) vagy D(y) = = − k1 ln(− 1b ), +∞ . Megjegyz´ es. Ha a, b, k ∈ R+ , akkor 2.1 Defin´ıci´obeli logisztikus f¨ uggv´enyeket kapunk.
A logisztikus differenci´alegyenlet n´eh´any megold´asa a, k = 2 param´eterekre
22
3.2. Gompertz-f´ ele differenci´ alegyenlet 3.2 Defin´ıci´ o A Gompertz-f´ele differenci´alegyenlet a 0 y (t) = p y(t) ln y(t)
(3.2)
alak´ u, ahol a, p ∈ R\{0}. A differenci´alegyenlet jobb oldal´anak ´ertelmez´esi tartom´anya a ∈ R+ eset´en R × R+ , a ∈ R− eset´en R × R− . A (3.2) differenci´alegyenlet sz´etv´alaszthat´o, a sz´etv´alaszt´as ut´an a k¨ovetkez˝o alakot a kapjuk abban az esetben, amikor ln y(t) 6= 0 semelyik t ∈ D(y) eset´en sem: dy = p dt. ln ay y Z Z 1 dy = p dt. ln ay y
(3.3)
A bal oldali primit´ıv f¨ uggv´enyeket a k¨ovetkez˝o helyettes´ıt´essel sz´amoljuk ki: a 1 u := ln , du = − dy. y y Z Z 1 a 1 dy = − du = − ln |u| + q = − ln ln + q, q ∈ R. u y ln ay y A (3.3) egyenlet szerint a = pt + q ∗ , q ∗ ∈ R, − ln ln y(t) ezt rendezve kapjuk az y(t) = ae±e
−pt−q ∗
, q∗ ∈ R
(3.4)
megold´asokat. A (3.2) egyenlet sz´etv´alaszt´asakor feltett¨ uk, hogy ln
a y(t)
6= 0 semelyik t ∈ D(y)
eset´en sem. Vizsg´aljuk meg most ezt az esetet! A Picard-Lindel¨of-t´etel szerint maxim´alis megold´ask´ent csak az y(t) = a, D(y) = R 23
konstansf¨ uggv´enyt kapjuk. Teh´at a differenci´alegyenlet maxim´alis megold´asai y(t) = aebe
−pt
, D(y) = R,
ahol b ∈ R. Megjegyz´ es. A megold´asok a, p ∈ R+ , b ∈ R− eset´en 2.2 Defin´ıci´obeli Gompertz-f¨ uggv´enyek.
A Gompertz-f´ele differenci´alegyenlet n´eh´any megold´asa a, b = 2 param´eterekre
24
3.3. Bertalanffy-f´ ele differenci´ alegyenlet 3.3 Defin´ıci´ o A Bertalanffy-f´ele differenci´alegyenlet y 0 (t) = k(a − y(t))
(3.5)
alak´ u, ahol a, k ∈ R\{0}. A (3.5) egyenlet line´aris differenci´alegyenlet, ez´ert az y 0 (t) + ky(t) = ka alakra hozva, majd az egyenlet mindk´et oldal´at beszorozva ekt , t ∈ D(y) f¨ ugv´ennyel y 0 (t)ekt + ky(t)ekt = kaekt . A bal oldalon szorzat deriv´altj´at kapjuk, ez´ert (y(t)ekt )0 = kaekt . A jobb oldal primit´ıv f¨ uggv´enyei Z
kaekt dt = aekt + c, c ∈ R,
amib˝ol k¨ovetkezik c y(t) = a + ce−kt = a 1 + e−kt , c ∈ R. a A b :=
c a
∈ R v´alaszt´assal a differenci´alegyenlet maxim´alis megold´asai y(t) = a(1 − be−kt ), D(y) = R,
(3.6)
ahol b ∈ R. Megjegyz´ es. A differenci´alegyenlet maxim´alis megold´asai a, k ∈ R+ , b ∈ (0,1] eset´en 2.3 Defin´ıci´obeli Bertalanffy-f¨ uggv´enyek.
25
A Bertalanffy-f´ele differenci´alegyenlet n´eh´any megold´asa a, k > 0 ´es b ∈ (0,1] param´eterekre A Bertalanffy-f´ele differenci´alegyenlettel el˝osz¨or c´ap´ak testhossz´anak n¨oveked´es´et modellezt´ek. Ha nem a testhosszt, hanem a testt¨omeget szeretn´enk le´ırni az id˝o f¨ uggv´eny´eben (z), akkor felt´etelezve, hogy a testt¨omeg egyenesen ar´anyos a testhossz k¨ob´evel, az el˝obbire vonatkoz´o differenci´alegyenlet: z 0 (t) = K z(t)
2 3
1−
z(t) A
13 ! ,
(3.7)
ahol A, K ∈ R\{0}. (Bertalanffy modellj´eben term´eszetesen a, k ∈ R+ , illetve A, K ∈ R+ .) ´Irjuk fel, milyen differenci´alegyenlet ´erv´enyes a z(t) := γy 3 (t), D(z) := D(y) f¨ uggv´enyre, ahol γ ∈ R\{0}. Ekkor y(t) =
z(t) γ
13
, y 0 (t) = 26
z 0 (t) 1
2
3γ 3 z(t) 3
.
A z f¨ uggv´enyt helyettes´ıtve a (3.7) differenci´alegyenletbe 1 ! 1 2 z(t) 3 0 z (t) = 3akγ 3 z(t) 3 1 − . γa3 A K := 3akγ
1 3
´es A := γ a3 v´alaszt´assal a (3.7) differenci´alegyenletet kapjuk meg.
A (3.7) differenci´alegyenlet b´armely A, K ∈ R\{0} eset´en sz´etv´alaszthat´o, a sz´etv´alaszt´as ut´an a k¨ovetkez˝o alakhoz jutunk, ha z(t) 6= 0 ´es z(t) 6= A semelyik t ∈ D(z) eset´en sem: dz z
2 3
Z
z A
1−
Z
1 z
2 3
1−
13 = K dt.
z A
31 dz =
K dt.
A bal oldali primit´ıv f¨ uggv´enyeket a k¨ovetkez˝o helyettes´ıt´essel sz´amoljuk ki: 1 1 u := z 3 , du = 2 dz. 3z 3 Z Z √ √ 3 1 3 3 dz = du = −3 A ln | A − u| + b1 = 1 u 2 √ z 1 − 3 3 3 z 1− A A √ √ √ 3 3 = −3 A ln | A − 3 z| + b1 , b1 ∈ R.
Ez´ert −3
√ 3
√ √ 3 A ln | A − 3 z| = kt + b, b ∈ R.
Ezt rendezve kapjuk a z(t) =
√ 3
A±e
− kt+b √ 3 3
A
3
, b∈R
megold´ast. A (3.7) egyenlet sz´etv´alaszt´asakor feltett¨ uk, hogy 13 ! 2 z(t) z(t) 3 1 − 6= 0 A semelyik t ∈ D(z) eset´en sem. Az ekkor elvesztett maxim´alis megold´asok a 0 ´es az A ´ert´ek˝ u minden¨ utt ´ertelmezett konstansf¨ uggv´enyek. Ez´ert a differenci´alegyenlet maxim´alis megold´asai az y(t) = 0, D(y) = R konstansf¨ uggv´eny mellett a √ 3 − Kt+b √ 3 z(t) = A + e 3 3 A , D(z) := R 27
f¨ uggv´enyek.
3.4. Richards-f´ ele differenci´ alegyenlet 3.4 Defin´ıci´ o A Richards-f´ele differenci´alegyenlet r y(t) 0 y (t) = py(t) 1 − a
(3.8)
alak´ u, ahol p, a, r ∈ R\{0}. A (3.8) differenci´alegyenlet sz´etv´alaszthat´o, a sz´etv´alaszt´as ut´an a k¨ovetkez˝o alakot kapjuk r 6= 0 semelyik t ∈ D(y) eset´en sem: abban az esetben, amikor y(t) 1 − y(t) a Z
dy r = y 1 − ay
Z p dt.
A sz´etv´alaszt´as ut´an a bal oldali primit´ıv f¨ uggv´enyeket ´altal´aban nem tudjuk meghat´arozni. Ha r pozit´ıv eg´esz, akkor a bal oldali integrandus racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny, de annak a primit´ıv f¨ uggv´enyeit sem tudjuk param´eteres alakban megadni. Behelyettes´ıt´essel ellen˝orizz¨ uk, hogy 1
y(t) := a(1 − be−prt )− r , D(y) := [0, +∞) minden b ∈ R, b ≤ 1 mellett megold´asa (3.8) differenci´alegyenletnek: 1 1 0 y (t) = a − (1−be−prt )− r −1 bpre−prt = r = −abpe
−prt
−prt − 1+r r
(1−be
)
+
, t∈R .
A differenci´alegyenlet jobb oldal´aba a vizsg´alt f¨ uggv´enyt helyettes´ıtve pedig a !r ! −prt − r1 1 a(1 − be ) ap(1 − be−prt )− r 1 − = a = −abpe
−prt (1
1
1+r − be−prt )− r = −abpe−prt (1 − be−prt )− r , t ∈ R+ −prt 1 − be
28
(3.9)
(3.10)
f¨ uggv´enyt kapjuk, ami egyenl˝o a (3.10) deriv´altf¨ uggv´ennyel, teh´at a (3.9) f¨ uggv´enyek t´enyleg megold´asai a (3.8) differenci´alegyenletnek minden b ∈ R, b ≤ 1 mellett. K¨onnyen meggy˝oz˝odhet¨ unk arr´ol, hogy az y(t) = 0, t ∈ R konstansf¨ uggv´eny maxim´alis megold´as. Megjegyz´ es. A c := − 1r ´es k := pr v´alaszt´assal l´atjuk, hogy a megold´asf¨ uggv´enyek 2.5 Defin´ıci´obeli Richards-f¨ uggv´enyek az al´abbi k´et esetben: – a > 0, r, p < 0 ´es b ∈ (0,1], hiszen pontosan akkor a, c, k ∈ R+ ´es b ∈ (0,1], – a, r, p > 0 ´es b < 0, mert pontosan akkor a, k > 0 ´es b, c < 0.
A Richards-f´ele differenci´alegyenlet n´eh´any megold´asa a = 2, b = 0,5 param´eterekre
29
A Richards-f´ele differenci´alegyenlet n´eh´any megold´asa a = 2 ´es b = −7 param´eterekre
30
Ko an´ıt´ as ¨szo ¨netnyilv´ Ez´ uton szeretn´em megk¨osz¨onni t´emavezet˝omnek, Pfeil Tam´asnak hasznos seg´ıts´eg´et, tan´acsait ´es prec´ız munk´aj´at. K¨osz¨on¨om bar´ataimnak, akik v´egig mellettem ´alltak ´es t´amogattak.
31
Irodalomjegyz´ ek [1] Bicz´ok Gyula, Tolner L´aszl´o, B´ek´essy Andr´as, Kr´amli Andr´as, Ruda Mih´aly, Solt´esz J´anos: A n¨ov´enyi fejl˝od´es n´eh´any modellez´esi lehet˝os´eg´enek ¨osszehasonl´ıt´o vizsg´alata, ´ NAK, MTA SZTAKI(k´ezirat), MEM http://www.mkk.szie.hu/ tolner/1982/Biczok.pdf [2] Fokasz Nikosz: N¨oveked´esi f¨ uggv´enyek, t´arsadalmi diff´ uzi´o, t´arsadalmi v´altoz´as, Szociol´ogiai Szemle 2006/3, 19-51. [3] Hunyadi L´aszl´o : A logisztikus f¨ uggv´eny ´es a logisztikus eloszl´as, Statisztikai Szemle, 82. ´evfolyam, 2004. 10-11. sz´am [4] Lackovich Mikl´os – T. S´os Vera: Anal´ızis I., Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 2006. [5] Lackovich Mikl´os – T. S´os Vera: Anal´ızis II., Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 2006. [6] Sikolya Eszter: Anal´ızis jegyzet Matematikatan´ari Szakosok r´esz´ere, Budapest, 2013, http://tankonyvtar.ttk.bme.hu/pdf/161.pdf [7] T´oth J´anos, Simon P´eter: Differenci´alegyenletek, TYPOTEX Kiad´o, Budapest, 2004.
32
