¨ ¨ LOR ´ AND ´ ´ EOTV OS TUDOMANYEGYETEM
Bebes Andr´as
Hat´ ekony portf´ oli´ ok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o kock´ azati m´ ert´ ekek szerint
T´emavezet˝o: M´adi-Nagy Gergely BSc szakdolgozat
Term´eszettudom´anyi Kar Matematika BSc szakon
2011. j´ unius 2.
¨ ¨ LOR ´ AND ´ ´ EOTV OS TUDOMANYEGYETEM
Kivonat Term´eszettudom´anyi Kar Matematika BSc
A p´enz¨ ugyi vil´ agban rendk´ıv¨ ul nagy jelent˝os´eggel b´ır, hogy p´enz¨ unket milyen form´aban, hol ´es hogyan fektess¨ uk be. A befektet´esek kialak´ıt´as´anak els˝o ´es legfontosabb szempontja a befektet˝ o p´enz¨ ugyi viselked´ese, hogy mekkora kock´azatot hajland´o v´allalni, illetve, hogy mekkora hozamot v´ ar el az adott befektet´est˝ol. A szakdolgozat a portf´oli´ok´epz´es, gyakorlati alkalmaz´ asait mutatja be n´eh´any alapvet˝o modell seg´ıts´eg´evel. A portf´oli´ o elm´elet alapja a portf´ oli´ o, ami t¨ obbf´ele ´ert´ekpap´ır egy kosar´at jelenti. Az egyes ´ert´ekpap´ırok tetsz˝ oleges s´ ullyal szerepelhetnek a kos´arban, c´elunk, hogy a befektet˝o ig´enyeinek megfelel˝ oen optim´ alis legyen az adott portf´oli´o. Teh´at, adott kock´azat mellett a v´arhat´ o hozam maxim´ alis, illetve adott hozam mellett a kock´azat minim´alis legyen. A v´allalt kock´ azat, illetve az elv´ art hozam pedig a befektet˝o magatart´as´at´ol f¨ ugg˝oen v´altozik. Az els˝ o fejezetben bemutatjuk a portf´oli´o alapvet˝o tulajdons´agait. Megmutatjuk, hogy mik´ent cs¨ okkentheti a diverzifik´ aci´o, teh´at a portf´oli´oban szerepl˝o eszk¨oz¨ok cs¨okkent´es´ere ir´anyul´ o magatart´ as, a kock´ azatot. A portf´oli´o elm´elet t´emak¨or´evel el˝osz¨or Harry Markowitz foglalkozott 1952-ben megjelent cikk´eben. A cikk a k¨ovetkez˝o feltev´esen alapul: egy befektet˝ o min´el magasabb v´arhat´o hozam´ u, de min´el alacsonyabb hozamsz´or´as´ u portf´ oli´ ora v´ agyik. Ezut´ an defini´aljuk a Markowitz-f´ele hat´ekony portf´oli´okat. A m´ asodik fejezetben defini´ alunk n´eh´any a kock´azat m´er´es´ere alkalmas m´ert´eket. Majd ezek seg´ıts´eg´evel fel´ırunk n´eh´ any alapvet˝o modellt, amely a hat´ekony portf´oli´o kialak´ıt´ as´ara alkalmas. A harmadik fejezetben r¨ oviden bemutatjuk a szimplex algoritmus m˝ uk¨od´es´et, amely a line´ aris programoz´ asi feladat megold´as´ara alkalmas, valamint ennek a m´odos´ıtott v´altozat´ at, amely a programoz´asban optim´alisabb a t´arhelyig´eny cs¨okkent´ese miatt. Az ´altal´ anos´ıtott reduk´ alt gradiens m´odszer a nemline´aris programoz´asi feladatokra ad megold´ asi algoritmust. A fejezet v´eg´en a kor´abban fel´ırt modelleket olyan alakra hozzuk, hogy tudjuk r´ ajuk alkalmazni a k¨ ul¨onf´ele algoritmusokat. Az utols´ o fejezet t´em´ aja egy konkr´et modellen bemutatni a kor´abban le´ırt m´odszereket. A kor´ abbi ´evek adatai rendelkez´es¨ unkre ´allnak, ´ıgy azokat rendszerezve k´epesek vagyunk kialak´ıtani saj´ at magunk sz´ am´ara egy olyan adatb´azist, amelyet azt´an felhaszn´alva megoldhatjuk a portf´ oli´ o probl´em´at.
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Szeretn´ek k¨ osz¨ onetet mondani mindazoknak, akik seg´ıtett´ek munk´amat. K¨ ul¨on¨osk´eppen t´emavezet˝ omnek, M´ adi-Nagy Gergelynek, akinek ideje nem volt dr´aga, hogy foglalkozzon velem, s k´erd´eseimmel b´ armikor nyugodtan fordulhattam hozz´a. Szeretn´em m´eg megk¨ osz¨onni Biszak El˝ odnek a seg´ıts´eget, amit a dolgozat meg´ır´asa k¨ozben ny´ ujtott, valamint Drusz´ amnak, illetve bar´ ataimnak, hogy v´egig mellettem ´alltak. Ezenfel¨ ul szeretn´ek k¨osz¨ onetet mondani csal´ adomnak, k¨ ul¨on¨osk´eppen Tam´asovics Rit´anak, aki mindv´egig mellettem ´ allt.
ii
Tartalomjegyz´ ek Kivonat
i
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as
ii
´ ak jegyz´ Abr´ eke
v
T´ abl´ azatok jegyz´ eke
vi
1. Hat´ ekony portf´ oli´ o 1.1. A portf´ oli´ o fogalma, alapvet˝o tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Diverzifik´ aci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Hat´ekony portf´ oli´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Portf´ oli´ o probl´ ema 2.1. A kock´ azat m´ert´ekei . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Portf´ oli´ o kock´ azat´anak sz´am´ıt´asa . 2.2. A probl´ema modellez´ese . . . . . . . . . . 2.2.1. Az ´ atlag-variancia probl´ema . . . . 2.2.2. Az ´ atlagos abszol´ ut-elt´er´es modell 2.2.3. Az ´ atlag negat´ıv-elt´er´es probl´ema .
1 1 2 4
. . . . . .
5 5 6 8 9 10 10
3. Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as 3.1. Megold´ asi m´ odszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Szimplex algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. M´ odos´ıtott szimplex algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Reduk´ alt gradiens m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A modellek megfelel˝ o alakra hoz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Az ´ atlag abszol´ ut-elt´er´es modell, mint line´aris programoz´asi feladat 3.2.2. Az ´ atlag negat´ıv-elt´er´es modell, mint line´aris programoz´asi feladat
12 12 13 13 15 17 17 18
4. A hat´ ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa 4.1. Az adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. R´eszv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Elv´ art hozam . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A probl´ema megold´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Az ´ atlag-variancia modell megold´asa . . . . 4.2.2. Az ´ atlag abszol´ ut-elt´er´es modell megold´asa 4.2.3. Az ´ atlag negat´ıv-elt´er´es modell megold´asa .
20 20 20 22 23 23 27 31
iii
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Contents
iv
¨ 4.3. Osszegz´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A. Adatgy˝ ujt˝ o program
34
Irodalomjegyz´ ek
35
´ ak jegyz´ Abr´ eke 1.1. A kock´ azat alakul´ asa a diverzifik´aci´o hat´as´ara . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.
Az Az Az Az Az Az Az Az
´tlag-variancia modell kezdeti ´allapota . . . . . . . . . . a atlag-variancia probl´ema megold´asa Emin mellett . . . . ´ atlag-variancia probl´ema megold´asa E´atlag mellett . . . . ´ atlag-variancia probl´ema megold´asa Emax mellett . . . . ´ atlag abszol´ ´ ut-elt´er´es modell (alapfeladat) . . . . . . . . atlag abszol´ ´ ut-elt´er´es modell megold´asa (Emin mellett) . atlag abszol´ ´ ut-elt´er´es modell megold´asa (E´atlag mellett) atlag abszol´ ´ ut-elt´er´es modell megold´asa (Emax mellett) .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
3 23 24 25 26 27 28 29 30
A.1. tozsde.pl implement´ aci´oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
v
T´ abl´ azatok jegyz´ eke 1.1. Diverzifik´ aci´ o hat´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.1. Kezdeti szimplex t´ abla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´ 4.1. A BET-en 10 ´eve jelen l´ev˝o r´eszv´enyek v´arhat´o hozama . . . . . . . 4.2. Elv´ art hozamok a dolgozatban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. R´eszv´enyek eloszl´ asa a portf´oli´oban Emin mellett (variancia probl.) . 4.4. R´eszv´enyek eloszl´ asa a portf´oli´oban E´atlag mellett (variancia probl.) 4.5. R´eszv´enyek eloszl´ asa a portf´oli´oban Emax mellett (variancia probl.) . 4.6. R´eszv´enyek eloszl´ asa a portf´oli´oban Emin mellett (abszol´ ut-elt´er´es) . 4.7. R´eszv´enyek eloszl´ asa a portf´oli´oban E´atlag mellett (abszol´ ut-elt´er´es) . 4.8. R´eszv´enyek eloszl´ asa a portf´oli´oban Emax mellett (abszol´ ut-elt´er´es) . ¨ 4.9. Osszes´ıtett t´ abl´ azat (abszol´ ut-elt´er´es) . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.10. Osszes´ ıtett t´ abl´ azat (negat´ıv-elt´er´es) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Eredm´enyek ¨ osszes´ıt´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
22 22 25 26 27 28 29 29 31 33 33
1. fejezet
Hat´ ekony portf´ oli´ o A fejezethez sz¨ uks´eges adatokat, illetve defin´ıci´okat a [1] k¨onyv felhaszn´al´as´aval gy˝ ujt¨ottem ¨ ossze.
1.1. A portf´ oli´ o fogalma, alapvet˝ o tulajdons´ agai 1. Defin´ıci´ o. (Portf´ oli´ o ) P´enz¨ ugyben a portf´oli´o t¨obbf´ele befektet´esi lehet˝os´eg egy csoportj´ at jelenti, amelyet egy int´ezm´eny vagy egy´enek birtokolhatnak. Az egyik legfontosabb szempont a k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekpap´ırok ¨osszev´alogat´asakor a m´ ultb´eli adatok felhaszn´ al´ asa. Az ´ert´ekpap´ır egy adott id˝ointervallum alatt megfigyelhet˝o viselked´ese j´ o es´ellyel mutatja, hogy az ´ert´ekpap´ır hogyan fog viselkedni a j¨ov˝oben. Persze ez az elv´ art viselked´es egy´ altal´ an nem biztos, hiszen nem tudhatjuk, hogy a befektet˝ ok magatart´ asa nem v´ altozott-e olyan mark´ansan, hogy a m´ ultb´eli adatok mutatta v´arhat´ o hozamok alakul´ asa relev´ ansan megv´altozik. Ez ugyan mindig hordoz mag´aban kisebbnagyobb kock´ azatot, ´ am egy adott eszk¨oznek a m´ ultban megfigyelhet˝o mozg´asa m´egis seg´ıts´eg¨ unkre lehet. Az elm´ ult ´evek k¨ ul¨onb¨oz˝o eszk¨ozeinek mozg´asa pedig t¨obb helyen is dokument´ alva van, ´ıgy t¨ obb lehet˝os´eg¨ unk is akad ezek ¨osszegy˝ ujt´es´ere, elemz´es´ere. 2. Defin´ıci´ o. (Hozam) P´enz- vagy t˝okepiacon alkalmazott befektet´esek eredm´enyek´ent ´ ekpap´ır ´altal biztos´ıtott t´enyleges j¨ovedelem, amelyet a n´evleges el´ert t˝ oken¨ ovekm´eny. Ert´ kamat ´es ´ arfolyamnyeres´eg, ill. a pap´ır megszerz´eskori piaci ´arfolyam´anak ar´anya hat´aroz meg. 3. Defin´ıci´ o. (Re´ alhozam) Megmutatja, hogy adott id˝oszak alatt t´enylegesen mennyit n˝ott befektet´es¨ unk ´ert´eke. A mindenkori nomin´alis kamatl´abak ´ert´ek´eb˝ol az aktu´alis infl´aci´ os ´ert´eket levonva kapjuk meg az adott id˝oszakra ´erv´enyes re´alhozamot.
1
1. fejezet Hat´ekony portf´ oli´ o
2
4. Defin´ıci´ o. (V´ arhat´ o hozam) A lehets´eges hozamok val´osz´ın˝ us´egekkel s´ ulyozott ´atlaga. Jel¨olje: E. Egy portf´ oli´ o¨ ossze´ all´ıt´ asakor t¨ obbfajta befektet´esi eszk¨oz k¨oz¨ ul is v´alaszthatunk, ´am a dolgozat csak a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ert´ekpap´ırokra koncentr´al. Ezek k¨oz¨ ul az al´abbiakban csak a k¨ovetkez˝ okkel foglalkozunk: kincst´arjegy, ´allamk¨otv´eny, v´allalati k¨otv´eny, nagyv´allalatok r´eszv´enyei, illetve kisv´ allalatok r´eszv´enyei. A k¨ ul¨onb¨oz˝o fajta ´ert´ekpap´ırok mind k¨ ul¨onb¨ oz˝ o kock´ azati szinteket k´epviselnek. A kock´azat n¨ovel´es´evel a v´arhat´o hozam is n¨ovekszik. M´ıg a kincst´ arjegy teljes´ıtm´enye ´eppen csak meghaladja az infl´aci´o ´ert´ek´et, addig a kisv´ allalati r´eszv´enyek megt´er¨ ul´esi r´at´aja j´ocsk´an felette teljes´ıt.
1.1.1. Diverzifik´ aci´ o 5. Defin´ıci´ o. (Diverzifik´ aci´ o ) A diverzifik´aci´o egy befektet˝oi magatart´as, amely a portf´ oli´o kock´ azat´ anak cs¨ okkent´es´ere ir´anyul, m´egpedig a portf´oli´oban szerepl˝o ´ert´ekpap´ırok sz´am´ anak n¨ ovel´es´evel. Fontos k´erd´es azonban, hogy mi´ert cs¨okkenti a diverzifik´aci´o a portf´oli´o kock´azat´at. A v´alasz pedig, hogy a diverzifik´ aci´o cs¨okkenti a v´altoz´ekonys´agot, teh´at a hozamingadoz´ast. Val´ oj´ aban m´ ar kisfok´ u diverzifik´aci´oval jelent˝os cs¨okken´est lehet el´erni. Hat´asa az´ert ilyen jelent˝ os, mert a k¨ ul¨ onb¨oz˝o pap´ırok ´arfolyamai nem mozognak egy¨ utt, vagyis nem korrel´ alnak. Figyelj¨ uk meg a diverzifik´ aci´ o hat´as´at a k¨ovetkez˝o egyszer˝ ubb p´eld´an. Vegy¨ unk k´et gy´arat, az egyik es˝ okab´ atot, m´ıg a m´asik naperny˝ot gy´art. A kereslet nyilv´anval´oan id˝oj´ar´ asf¨ ugg˝ o, ´ıgy most feltessz¨ uk, hogy egy adott szezonban k´etf´ele eset lehets´eges, azonos val´ osz´ın˝ us´eggel. Vagy es˝os az id˝o a szezonban, vagy napos. A k¨ovetkez˝o t´abl´azat mutatja a megfelel˝ o r´eszv´eny hozam´at, 1 doll´arnyi r´eszv´eny v´as´arl´asa eset´en:
es˝ os (50%) napos (50%) E(r) σ(r)
es˝ okab´ at gy´ar 0,5 0,1 0,3 0,2
naperny˝o gy´ar 0,1 0,5 0,3 0,2
diverzifik´aci´o (50%/50%) 0,3 0,3 0,3 0
´ bla ´ zat. Diverzifik´aci´o hat´asa 1.1. ta
Az els˝ o k´et sor jel¨ oli a hozamunkat, amennyiben es˝os, illetve napos id˝onk volt a szezonban. A harmadik sorban kisz´ amoltuk, hogy megfelel˝o ar´any´ u befektet´es mellett milyen v´arhat´ o hozamra sz´ am´ıthatunk, m´ıg az utols´o sorban a befektet´esek sz´or´as´at sz´amoltuk ki. Az oszlopok jelzik, hogy milyen ar´anyban fektetj¨ uk be a p´enz¨ unket. Az els˝o k´et oszlopban 100%-ban a p´enz¨ unket vagy az es˝okab´at gy´arba, vagy a naperny˝o gy´arba
1. fejezet Hat´ekony portf´ oli´ o
3
fektetj¨ uk, a harmadik oszlop jelzi, hogy mi t¨ort´enik, ha befektet´es¨ unket megosztjuk, teh´at diverzifik´ aljuk, a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o r´eszv´enyek k¨oz¨ott. K¨onnyen leolvashat´o, hogy m´ıg a v´arhat´ o hozam mindenhol ugyanannyi, addig a diverzifik´alt portf´oli´oban a sz´or´as 0, teh´at nincs kock´ azata a hozamnak. Term´eszetesen a fent felv´ azolt p´eld´aban a k´et r´eszv´eny korrel´aci´oja teljesen ellent´etes, ´ıgy lehets´eges, hogy azonos megoszt´as mellett nem cs¨okken a v´arhat´o hozam, m´ıg a kock´ azat elt˝ unik. A val´ os´ agban a k¨ ul¨onf´ele ´ert´ekpap´ırok egym´ashoz val´o viszonya enn´el l´enyegesen ´ arnyaltabb. A kock´ azatcs¨okken´es azonban nem korl´atlan. Diverzifik´aci´oval a portf´ oli´ o hozam´ anak sz´ or´ asa k¨ or¨ ulbel¨ ul a fel´ere cs¨okkenthet˝o, ez a javul´as azonban m´ ar viszonylag csek´ely sz´ am´ u r´eszv´ennyel, 15 − 20 a portf´oli´oban szerepl˝o pap´ırral el´erhet˝ o.
´ bra. A kock´azat alakul´asa a diverzifik´aci´o hat´as´ara 1.1. a
A diverzifik´ aci´ oval cs¨ okkenthet˝o kock´azatot egyedi kock´azatnak nevezz¨ uk. Ez a fajta kock´ azat az egyedi v´ allalatok k¨ ozvetlen kock´azat´at jelenti, teh´at a piac eg´esz´ere vonatkoz´o kock´ azati t´enyez˝ o k¨ ul¨ onb¨ ozik ett˝ol.
Ezt a piac eg´esze ´altal gener´alt kock´azatot
azonban nem lehet diverzifik´ aci´ oval cs¨okkenteni. Piaci kock´azatnak h´ıvjuk azt a kock´azatot, amelyre a diverzifik´ aci´ o nincs hat´assal. J´ol diverzifik´ alt portf´ oli´ onak azt nevezz¨ uk, amelyre csak a piaci kock´azat hat. Teh´at, ahol az egyedi kock´ azatot kik¨ usz¨ob¨olt¨ uk. ´Igy egy j´ol diverzifik´alt portf´oli´ora val´oj´aban csak a piac v´ altoz´ asa van hat´ assal, teh´at csak a piaci fellend¨ ul´es illetve hanyatl´as jelent kock´ azatot.
1. fejezet Hat´ekony portf´ oli´ o
4
1.2. Hat´ ekony portf´ oli´ o Ahogy azt kor´ abban meg´ allap´ıtottuk a r´eszv´enyek k¨ ul¨onb¨oz˝o ar´any´ u kever´es´evel, s a diverzifik´ aci´ oval az el´erhet˝ o kock´ azatok ´es hozamok l´enyegesen sz´elesebb v´alaszt´eka j¨ohet sz´oba. De mi a c´el? A c´elunk, hogy u ´gynevezett hat´ekony portf´oli´ot hozzunk l´etre. Hat´ekonynak egy portf´ oli´ ot akkor nevez¨ unk, ha teljes¨ ulnek r´a a k¨ovetkez˝o tulajdons´agok:
1. nem ´ all´ıthat´ o el˝ o a portf´ oli´o´en´al nem kisebb v´arhat´o hozam´ u, de kisebb kock´azat´ u portf´ oli´ o, 2. nem ´ all´ıthat´ o el˝ o a portf´oli´o´en´al nem nagyobb kock´azat´ u, de nagyobb v´arhat´ o hozam´ u portf´ oli´ o.
J´ol l´ athat´ o, hogy a probl´em´ aval csak akkor ´erdemes foglalkozni, ha az ´ert´ekpap´ırok k¨oz¨ott megtal´ alhat´ o olyan is, amelynek v´arhat´o hozama el˝ore v´eletlen. Hiszen, ha minden ´ert´ekpap´ır hozama egy´ertelm˝ u lenne, akkor csak azokat v´alogatn´ank a portf´oli´onkba, amelyek hozama a legmagasabb. A probl´em´ aval el˝ osz¨ or Harry Markowitz foglalkozott. Az ezzel kapcsolatos els˝o cikket 1952-ben publik´ alta, majd 1959-ben b˝ovebben kidolgozva ”Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment” c´ımen k¨onyv form´aj´aban jelentetett meg. A m˝ u az´ota is a t´emak¨ or alapj´ aul szolg´ al. K¨onnyen l´ athat´ o, hogy att´ ol f¨ ugg˝oen, mekkora kock´azatot v´allal vagy mekkora hozamot v´ar el a befektet˝ o, t¨ obb hat´ekony portf´oli´o is k´epezhet˝o, e szempontok figyelembe v´etel´evel. Ezen portf´ oli´ ok ´ altal alkotott halmazt hat´ekony hat´arg¨orb´enek nevezz¨ uk.
2. fejezet
Portf´ oli´ o probl´ ema Az el˝ oz˝ o fejezetben felv´ azolt probl´ema megold´as´ara t¨obb alkalmas modell is sz¨ uletett. Az al´ abbiakban bevezetj¨ uk a kock´azat m´ert´ekeit, majd bemutatunk n´eh´any, a hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ as´ ara alkalmas modellt. A fejezetben defini´alt kock´azati m´ert´ekeket, illetve a modellek bemutat´ as´ ahoz sz¨ uks´eges inform´aci´ok ¨osszegy˝ ujt´es´ehez a [1] iletve [2] forr´asokat haszn´ altam.
2.1. A kock´ azat m´ ert´ ekei 6. Defin´ıci´ o. (Variancia) A hozam varianci´aja a v´arhat´o piaci hozamt´ol val´o elt´er´es n´egyzet´enek v´ arhat´ o ´ert´eke. K´eplete: V ar(˜ rm ) = E(˜ rm − rm )2 , ahol r˜m az aktu´ alis piaci hozam, rm = E[˜ rm ] pedig a v´arhat´o piaci hozam. Jel¨ol´ese: σ 2 7. Defin´ıci´ o. (Sz´ or´ as) A sz´ or´ as a variancia n´egyzetgy¨oke. Jel¨ol´ese: σ A piaci bizonytalans´ ag ´ altal´ anosan haszn´alt m´ert´ekei teh´at a sz´or´as ´es a variancia. Azonban a k¨ ul¨ onf´ele modellek meg´ert´es´ehez m´eg sz¨ uks´eg van n´eh´any tov´abbi, a kock´azat m´er´es´ere haszn´ alhat´ o m´ert´ek bevezet´es´ere. 8. Defin´ıci´ o. (Benchmark) A p´enz¨ ugy ter¨ ulet´en a benchmark (m´as n´even referenciaindex) egy viszony´ıt´ asai alap, egy k¨ usz¨obsz´am, melynek seg´ıts´eg´evel ¨osszehasonl´ıthat´ov´ a v´alnak az elt´er˝ o p´enzpiaci befektet´esek adatai. A negat´ıv-elt´er´es fogalm´ at a m´ ultbeli hozam statisztik´ak seg´ıts´eg´evel vezetj¨ uk be. Legyen rti az i-edik ´ert´ekpap´ır hozama a t-edik megfigyel´esi peri´odusban, ahol i = 1, . . . , n 5
2. fejezet Portf´ oli´ o probl´ema
6
valamint t = 1, . . . , T . Legyen bmt a benchmark hozam a t-edik peri´odusban, t = 1, . . . , T . El˝ ofordulhat, hogy bmt = c konstans ∀t-re. B´armely x portf´oli´o vektor ´es E eset´en: 9. Defin´ıci´ o. Az ´ atlaghoz viszony´ıtott negat´ıv-elt´er´es: T n 1X X SE (x) = rti xi − E T t=1
!− ,
i=1
a benchmarkhoz viszony´ıtott negat´ıv-elt´er´es: T n 1X X Sbm (x) = rti xi − bmt T t=1
!− ,
i=1
ahol ( −
z =
|z| , ha z < 0, 0, ha z ≥ 0.
10. Defin´ıci´ o. Az ´ atlag abszol´ ut-elt´er´est a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk: T n 1 X X Sn (x) = rti xi − E , T t=1 i=1
ahol a param´eterek megegyeznek a fentiekkel.
2.1.1. Portf´ oli´ o kock´ azat´ anak sz´ am´ıt´ asa Adott portf´ oli´ o v´ arhat´ o hozam´anak sz´am´ıt´asa k¨onny˝ u, hiszen annak ´ert´eke egyszer˝ uen a benne szerepl˝ o r´eszv´enyek v´ arhat´o hozam´anak s´ ulyozott ´atlaga:
Portf´ oli´o v´arhat´o hozama =
N X
xi ri ,
i=1
valamint
PN
i=1 xi
= 1, ahol
ri jel¨ oli az i-edik ´ert´ekpap´ır v´ arhat´o hozam´at, xi pedig az i-edik ´ert´ekpap´ır s´ uly´at a portf´ oli´ oban. A portf´ oli´ o kock´ azata azonban kor´antsem ilyen egyszer˝ u, hiszen amennyiben ott is ezt a becsl´est venn´enk, akkor azt felt´etelezn´enk, hogy a portf´oli´oban szerepl˝o pap´ırok ´arfolyamai teljesen egy¨ utt mozognak. De pont amiatt, hogy a r´eszv´enyek mozg´asa nem
2. fejezet Portf´ oli´ o probl´ema
7
azonos, lehets´eges, hogy a diverzifik´aci´o cs¨okkenti a kock´azatot. Azonban, hogy pontosan l´assuk az ¨ osszef¨ ugg´eseket a portf´oli´oban szerepl˝o r´eszv´enyek k¨oz¨ott ´ıgy sz¨ uks´eges bevezetni a kovariancia, illetve a korrel´aci´o fogalm´at. 11. Defin´ıci´ o. (Kovariancia) Az X Y ´ert´ekpap´ırok kovarianci´aja, melyet a cov(X, Y ) jel¨ol, egyenl˝ o az E((X − rX )(Y − rY )) kifejez´essel, ahol rX , rY az X, Y v´arhat´o ´ert´eke. Ha X, Y f¨ uggetlenek egym´ast´ol, akkor cov(X, Y ) = 0. 12. Defin´ıci´ o. (Korrel´ aci´ o ) K´et ´ert´ekpap´ır korrel´aci´oja annak m´ert´eke, hogy az egyik pap´ır megv´ altoz´ asa mennyire mutat ¨osszef¨ ugg´est a m´asik pap´ır megv´altoz´as´aval. A korrel´ aci´ o magas vagy alacsony att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a k´et ´ert´ekpap´ır k¨ozti kapcsolat szoros vagy sem. Azonos ir´ any´ u megv´altoz´asok eset´en a pap´ırok pozit´ıvan korrel´alnak, m´ıg ellent´etes ir´ any´ u megv´ altoz´asok eset´en negat´ıvan. Egym´ast´ol f¨ uggetlen ´ert´ekpap´ırok korrel´ aci´ oja z´erus. A korrel´ aci´ o m´ert´eke a korrel´aci´os egy¨ utthat´o : cov(X, Y ) ρ := p D2 (X)D2 (Y ) Ezek seg´ıts´eg´evel m´ ar k´epesek vagyunk kisz´amolni egy portf´oli´o kock´azat´at. Egy olyan portf´ oli´ o eset´en, amely N db r´eszv´enyt tartalmaz, a kisz´amol´ashoz vegy¨ unk egy m´atrixot, ahol minden oszlop egy adott r´eszv´enyt jelent, teh´at a m´atrix i-edik oszlopa a portf´oli´ oban szerepl˝ o i-edik r´eszv´eny. Ugyan´ıgy a sorok is ugyanezt jelentik. Ekkor az i-edik sor i-edik eleme jelenti az i-edik r´eszv´eny s´ ulyozott varianci´aj´at (σi2 ), ahol a s´ uly a portf´ oli´ oban szerepl˝ o r´eszv´eny ar´any´anak n´egyzete (x2i ). Illetve az i-edik sor j-edik eleme (ahol i 6= j) jelenti a k´et r´eszv´eny, az el˝obbiekhez hasonl´oan, s´ ulyozott kovarianci´aj´ at (xi xj σij ). A portf´ oli´ o varianci´ aj´ahoz pedig a m´atrix elemeit kell ¨osszeadnunk. 2 σPortf´ oli´ o =
N X N X
! xi xj σij
i=1 i=1
K¨onnyen meggondolhat´ o, hogy ha N r´eszv´enybe fektet¨ unk be u ´gy, hogy minden r´eszv´enyb˝ ol egyenl˝ o ar´ anyban vesz¨ unk, akkor amennyiben N 7−→ ∞, akkor a portf´oli´ o varianci´ aja az ´ atlagos kovarianci´ahoz tart. Teh´at, ha az ´atlagos kovariancia nulla lenne, akkor minden kock´ azatot ki tudn´ank k¨ usz¨ob¨olni kell˝oen nagy mennyis´eg˝ u ´ert´ekpap´ır tart´as´ aval. Azonban a r´eszv´eny´arfolyamok nem egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul mozognak, ami ´ıgy korl´ atozza a diverzifik´ aci´ o lehet˝os´egeit. A j´ol diverzifik´alt portf´oli´o kock´azata nem tartalmaz specifikus kock´ azatot, hanem kiz´ar´olag piaci kock´azatb´ol ´all.
2. fejezet Portf´ oli´ o probl´ema
8
2.2. A probl´ ema modellez´ ese Hat´ekony portf´ oli´ okb´ ol a befektet˝o ig´enyei szerint t¨obbf´ele is el˝o´all´ıthat´o. Feladatunk, hogy adott kock´ azat mellett maximaliz´aljuk a v´arhat´o hozamot, illetve, hogy adott v´arhat´ o hozam mellett minimaliz´aljuk a kock´azatot. Az ilyen portf´oli´okat hat´ekony portf´ oli´ oknak nevezz¨ uk. Ezeknek egy halmaza egy g¨orb´en ´abr´azolhat´o, amelyet hat´ekony hat´arg¨ orb´enek h´ıvunk. Markowitz modellj´eben a portf´oli´o kock´azat´at annak varianci´aj´aval m´erte. ´Igy a probl´em´ara a programoz´ asi modellek egy v´altozat´at, az u ´n. kvadratikus programoz´asi feladatot kapta. Az al´ abbiakban ennek bemutat´as´ara tesz¨ unk k´ıs´erletet. Jel¨olje a j-edik ´ert´ekpap´ır hozam´at a ξj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, xj pedig a j-edik pap´ırba fektetett p´enzmennyis´eget, j = 1, . . . , n. M legyen a rendelkez´es¨ unkre ´all´o t˝oke. Ebb˝ ol kisz´amolhatjuk a portf´ oli´ o v´ arhat´o hozam´at: E(ξ T x) = µT x, ahol ξ = (ξ1 , . . . , ξn )T µ = (µ1 , . . . , µn )T x = (x1 , . . . , xn )T µi = E(ξi ), i = 1, . . . , n. Legyen C a ξ kovariancia m´ atrixa: C = (cij ), C = E[(ξ − µ)(ξ − µ)T ]. Innen a variancia: V ar(ξ T x) = E[(ξ − µ)T x]2 = = E[xT (ξ − µ)(ξ − µ)T x] = xT Cx A portf´ oli´ o probl´ema kvadratikus programoz´asi feladatk´ent a k¨ovetkez˝ok´ent ´ırhat´o fel:
min xT Cx n X
µj xj ≥ pM
j=1 n X
(2.1) xj = M
j=1
0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n megszor´ıt´ asokkal, ahol uj , j = 1, . . . , n el˝o´ırt fels˝o korl´atok, p pedig a befektet˝o ´altal elv´art hozam.
2. fejezet Portf´ oli´ o probl´ema
9
A (2.1) feladat gyakorlati alkalmaz´as´ahoz sz¨ uks´eges n(n + 1)/2 kovariancia ismerete. Ezeket a rendelkez´esre ´ all´ o m´ ultb´eli adatok seg´ıts´eg´evel sz´amolhatjuk ki. Azonban, ha pl. n = 500, akkor ez rengeteg id˝obe telik, s ennyi ´ert´ekpap´ır mellett a megold´as is rengeteg id˝ obe telik. A portf´ oli´ o probl´ema m´ asik megfogalmaz´asa a k¨ovetkez˝o: max
n X
µj x j
j=1
xT Cx ≤ v n X
(2.2) xj = M
j=1
0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n A v param´etert megfelel˝ oen v´ altoztatva kisz´amolhat´ok a hat´ekony hat´arg¨orbe elemei. A probl´ema fel´ır´ asa parametrikus kvadratikus programoz´asi feladatk´ent: n
X 1T Cx − λ µj xj min 2 j=1
(2.3)
tekintve 0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n λ ∈ [0, ∞) felt´eteleket, ahol λ egyfajta ´ atv´alt´asi param´eter a v´arhat´o hozam ´es kock´azat k¨oz¨ott, melyet (megfelel˝ oen) v´ altoztatva megkaphatjuk a hat´ekony hat´arg¨orbe pontjait.
2.2.1. Az ´ atlag-variancia probl´ ema Az ´atlag-variancia probl´ema a klasszikus Markowitz-f´ele modellnek nevezett portf´oli´ o keres´esi feladat, amelyben a kock´azatot a portf´oli´o hozam´anak varianci´aj´aval m´erj¨ uk. Parametrikus kvadratikus programoz´asi feladatk´ent a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o fel:
min V ar = xT Cx tekintve µT x = E, Ax = b
(2.4)
x≥0 felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, ahol az x n-dimenzi´ os vektor koordin´at´ai a portf´oli´oban tartott egyes ´ert´ekpap´ırokba fektetett ¨ osszegek sz´ ulyait, a µ n-dimenzi´os vektor az ´ert´ekpap´ırok hozam´anak v´arhat´ o
2. fejezet Portf´ oli´ o probl´ema
10
´ert´ekeit jel¨ oli, az A(n × m)-es m´atrix illetve a b m-dimenzi´os vektor pedig a line´aris megszor´ıt´ o felt´eteleket hat´ arozza meg. E jel¨oli a portf´oli´ot´ol elv´art hozamot, Emax a maxim´ alisan el´erhet˝ o E-t, m´ıg Emin a minim´alis varianci´ahoz tartoz´o E-t.
2.2.2. Az ´ atlagos abszol´ ut-elt´ er´ es modell Az ´atlagos abszol´ ut elt´er´es modellj´et Konno ´es Yamakazi vezett´ek be:
min Sn (x) tekintve, hogy µT x = E, Ax = b,
(2.5)
x ≥ 0. felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, ahol a param´eterek ugyanazt jelentik, mint (2.4)-ben.
2.2.3. Az ´ atlag negat´ıv-elt´ er´ es probl´ ema A probl´ema megk¨ ozel´ıthet˝ o m´ as szempontb´ol is, ha a befektet˝o csak a v´arhat´o hozam alulteljes´ıtetts´ege miatt agg´ odik. Ilyenkor az ´atlagt´ol val´o negat´ıv elt´er´est minimaliz´alhatjuk. Fel´ırhat´ o az ´ atlag negat´ıv elt´er´es probl´ema k´et megfelel˝o v´altozat´at:
min SE (x) tekintve a µT x = E, Ax = b
(2.6)
x≥0 felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, ahol minden param´eter ugyanazt jelenti, mint (2.4)-ben, Emin kiv´etel´evel, amely most a minim´ alis negat´ıv elt´er´es˝ u portf´oli´o hozam´at jelenti. A m´asik v´altozata a probl´em´anak a k¨ovetkez˝ o:
2. fejezet Portf´ oli´ o probl´ema
11
min Sbm (x) tekintve a µT x = E, Ax = b x≥0 felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, ahol a param´eterek ugyanazt jelentik, mint az el˝obb.
(2.7)
3. fejezet
Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as 3.1. Megold´ asi m´ odszerek 13. Defin´ıci´ o. (Line´ aris programoz´asi feladat) Meghat´arozand´o egy adott line´aris c´elf¨ uggv´eny optimuma egy adott line´aris egyenl˝otlens´egrendszer megold´asainak halmaz´ an ´es keres¨ unk egy hozz´ a tartoz´ o optim´alis megold´ast is. (LP) 14. Defin´ıci´ o. (Kvadratikus programoz´asi feladat) Kvadratikus programoz´asi feladatban a felt´etelek els˝ ofok´ uak, a c´elf¨ uggv´enyben a v´altoz´o m´asodfokon is szerepel. (QP) Az ´ıgy fel´ırt feladatok megold´ as´ahoz az Excel Solver-t fogjuk majd haszn´alni a k¨ovetkez˝ o fejezetben. A Solver a line´ aris programoz´asi feladat megold´as´ahoz a szimplex algoritmust alkalmazza, m´ıg a kvadratikus programoz´asi feladathoz a ´altal´anos´ıtott reduk´alt gradiens m´odszert alkalmazza. A Microsoft Excel 2007 probl´emamegold´o b˝ov´ıtm´enye azonban nem k´epes bonyolultabb modellek megold´as´ara, ugyanis nem tud nagyobb m´eret˝ u vektorv´altoz´ okkal sz´ amolni. A probl´ema elker¨ ul´ese ´erdek´eben a line´aris programoz´asi feladatokat, ahol sz¨ uks´eg van a nagyobb vektorv´altoz´ora, a ny´ılt forr´ask´od´ u OpenOffice.org program t´ abl´ azatkezel˝ oj´enek a Calc-nak Solver b˝ov´ıtm´eny´evel fogjuk megoldani. A Calc Solver az LP feladatok megold´as´ahoz a jav´ıtott szimplex algoritmust vagy az u ´gynevezett El´ agaztat´ as ´es korl´atoz´as m´odszer (Branch and Bound (BB)) haszn´alja. Ez ut´ obbit azonban csak eg´esz´ert´ek˝ u programoz´asi feladatok eset´eben alkalmazza, ez´ert a m´odszerrel k¨ ul¨ on nem foglalkozunk a szakdolgozatban.
12
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
13
3.1.1. Szimplex algoritmus A line´ aris programoz´ asi feladat kanonikus alakja:
min cx Ax = b
(3.1)
x≥0 Ilyenkor a szimplex algoritmus a k¨ovetkez˝o l´ep´esekb˝ol ´all:
1. Ha a tekintett lehets´eges kanonikus alak´ u feladat c´elf¨ uggv´enye nem tartalmaz negat´ıv egy¨ utthat´ ot, akkor v´ege az elj´ar´asnak, a feladat b´azismegold´asa optim´alis megold´ as. Ellenkez˝ o esetben a 2. l´ep´es k¨ovetkezik. 2. Vegy¨ uk a negat´ıv cs -ek minimum´at. Jel¨olje cj a minimummal megegyez˝o cs -ek k¨ oz¨ ul a legkisebb index˝ ut. Ha arj ≥ 0(r = 1, ..., n), akkor v´ege az elj´ar´asnak, a c´elf¨ uggv´eny alulr´ ol nem korl´atos a lehets´eges megold´asok halmaz´an. Ellenkez˝ o esetben a 3. l´ep´es k¨ ovetkezik. 3. Ha min {br /arj : arj > 0, 1 ≤ r ≤ n} = bk1 /ak1 j = ... = bks /aks j , akkor v´alasszuk az akt j (t = 1, ..., s) elemek k¨oz¨ ul a legkisebb sorindex˝ ut gener´al´o elemk´ent, majd hajtsuk v´egre a k¨ ovetkez˝ o ´atalak´ıt´asokat: rk0 = ri0 = ri −
1 akj rk
aij rk (1 ≤ i ≤ n, i 6= k) ak j cj z0 = z − rk , akj
ahol ri jel¨ oli a kanonikus feladat i. egyenlet´et, z a c´elf¨ uggv´eny egyenlet´et, ri0 ´es z 0 pedig az u ´j feladat i. egyenlet´et, illetve c´elf¨ uggv´eny´et. Az ´ıgy kapott lehets´eges kanonikus alak´ u feladattal folytassuk az elj´ar´ast az 1. l´ep´esn´el.
3.1.2. M´ odos´ıtott szimplex algoritmus Programoz´ asi feladatokhoz azonban nem a fenti algoritmust haszn´alj´ak, hanem annak egy m´ odos´ıtott v´ altozat´ at. A m´odos´ıtott szimplex l´enyegesen kevesebb t´arhelyet foglal. Az alap¨ otlet azon alapszik, hogy a m´odos´ıtott szimplex t´abl´aba nem ker¨ ul be minden v´altoz´ o, hanem csak az ´eppen haszn´alt b´azisv´altoz´ok. Az algoritmus ennek megfelel˝oen a k¨ovetkez˝ o l´ep´esekb˝ ol ´ all:
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
14
• El˝ ok´esz´ıt˝ o r´esz: v = 0. Ahol a kezd˝o szimplex t´abla a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki: b v´ alt. x1 .. . xn v=0
b(v)
x1 , . . . , x n
xn+1 , . . . , xn+m
b(0)
E
A¯
−α
0, . . . , 0
c¯
´ bla ´ zat. Kezdeti szimplex t´abla 3.1. ta
• Iter´ aci´ os r´esz (v-edik iter´ aci´o). 1. Ha c(v) ≥ 0, akkor v´ege az elj´ar´asnak, a v-edik feladat b´azismegold´asa optim´ alis megold´ as. Ellenkez˝o esetben a 2. l´ep´es k¨ovetkezik. (v)
(v)
2. Vegy¨ uk a negat´ıv cs -k minimum´at. Jel¨olje cj (v) cs
a minimummal megegyez˝ o
egy¨ utthat´ ok k¨ oz¨ ul a legkisebb index˝ ut. Hat´arozzuk meg az xj -hez tartoz´ o, (v)
a v-edik feladatban szerepl˝o egy¨ utthat´okat az Aj
(0)
= Bv−1 Aj
¨osszef¨ ugg´es
alapj´ an, majd k´epezz¨ uk a ( ∆ = min
)
(v)
br
(v)
arj
:
(v) arj
> 0, 1 ≤ r ≤ n
mennyis´eget. Ha ez a minimum nem l´etezik, akkor v´ege az elj´ar´asnak, a c´elf¨ uggv´eny alulr´ ol nem korl´atos a lehets´eges megold´asok halmaz´an. Ellenkez˝ o esetben a 3. l´ep´es k¨ ovetkezik. 3. Ha ∆ =
(v) 1 (v) ak j 1
bk
(v)
= ... =
bkw
(v) akw j
(v)
, akkor v´alasszuk az akt j (t = 1, ..., w) elemek k¨oz¨ ul
a legkisebb sorindex˝ ut gener´al´o elemk´ent. K´epezz¨ uk a v´alasztott gener´al´ o (v)
elem ´es Aj
felhaszn´al´as´aval a Q(v) m´atrixot. Hat´arozzuk meg az aktu´alis
b´ azisv´ altoz´ okat, ´es az illet˝o v´altoz´oknak megfelel˝o dv+1 vektort. Sz´am´ıtsuk ki −1
−1 (0) −1 −1 b A(0) , bv+1 = Bv+1 a Bv+1 = Q(v)Bv m´atrixot, a c(v+1) = c(0) − dv+1 Bv+1 −1 (0) vektorokat, ´es az α(v+1) = α(0) + dv+1 Bv+1 b konstanst, ahol d k-adik (v)
komponense cj
a t¨ obbi pedig 0, tov´abb´a Q(v) :
(v)
..
(v)
−a1j /akj .. .
1 .
1 (v)
1/akj
1 .. . (v) (v) −anj /akj
..
. 1
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
15
m´ atrixot jel¨ oli, ahol a felt¨ untetett elemekt˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o elemek rendre 0-val egyenl˝ ok. Ezt k¨ ovet˝ oen n¨ovelj¨ uk 1-gyel v ´ert´ek´et, ´es folytassuk az elj´ar´ast a k¨ ovetkez˝ o iter´ aci´ os l´ep´essel.
3.1.3. Reduk´ alt gradiens m´ odszer A m´ odszer a k¨ ovetkez˝ o probl´ema megold´as´ara koncentr´al:
min f (x) tekintve a Ax = b
(3.2)
x ≥ 0, ahol rang(A) = m ´es f ∈ C 2 x = (v, w) part´ıci´ ot vessz¨ uk, ahol v jel¨oli a b´azisvektorokat, w pedig a f¨ uggetlen v´altoz´ okat. Vessz¨ uk tov´ abb´ a az A = [BC], oly m´odon, hogy a matematikai program ekvivalens legyen a k¨ ovetkez˝ ovel:
min f (v, w) tekintve a Bv + Cw = b
(3.3)
(v, w) ≥ 0, A m´ odszer felt´etelezi, hogy B nemszingul´aris (invert´alhat´o), valamint v > 0 (nemdegenerat´ıv felt´etelez´es). Jel¨ olje dw a f¨ uggetlen v´altoz´ok elt´er´es´et, valamint legyen dv = −B −1 [Cdw], m´egpedig u ´gy, hogy x + dx = (v + dv, w + dw)-re teljes¨ ulj¨on A[x + dx] = A[x] + A[dx] = b + 0 = b.
A m´odszer l´enyege, hogy vesz egy ir´anyt a f¨ uggetlen
v´altoz´ oknak, amelyek meghat´ arozz´ak majd a b´azisv´altoz´ok ir´any´at. Gyakorlatban teh´ at dw ´ert´eke az f (B −1 [b − Cw, w]) gradiense. Ezt az ´ert´eket (tekintettel w-re) nevezik reduk´ alt gradiensnek: r = gradw f (x) − gradv f (x)B −1 C, ha x=(v,w). Ekkor dw = r lez´ arja az iter´aci´o els˝o r´esz´et. A m´asodik r´esze az iter´aci´onak, hogy meghat´ arozzuk a m´eretet. Fontos, hogy ne s´er¨ ulj¨on v nem-negativit´asi felt´etele. Az iter´ aci´ os l´ep´es hat´ as´ ara f ´ert´eke cs¨okken.
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
16
´ Altal´ anos´ıtott reduk´ alt gradiens m´ odszer Az ´altal´ anos´ıtott reduk´ alt gradiens m´odszer kiterjeszti a reduk´alt gradiens m´odszert nemline´ aris modellekre, illetve megengedve, hogy a v´altoz´oink tetsz˝oleges hat´arokon bel¨ ul mozogjanak:
min f (x) tekintve a h(x) = 0
(3.4)
L ≤ x ≤ U, ahol h dimenzi´ oja m, x = (v, w) part´ıcion´alhat´o, u ´gy hogy, • v dimenzi´ oja m • v ´ert´ekei szigor´ uan a hat´ arokon bel¨ ul van: Lv < v < Uv (nemdegenerat´ıv felt.) • gradv h(x) nemszingul´ aris (x = (v, w)) Mint ahogy a line´ aris esetben is, ∀w∃v(w), hogy h(v(w), w) = 0 (implicit fv. t´etel), amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy dv/dw = gradv h(x)−1 gradw h(x). Az ¨otlet, hogy dw-t a k¨ovetkez˝ok´eppen v´ alasszuk meg: gradw (f (x) − yh(x)), ahol y = dv/dw Ezut´ an megv´ alasztjuk a m´eretet, majd egy korrekci´os l´ep´es sz¨ uks´eges, hogy visszakapjuk h(x) = 0-t.
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
17
3.2. A modellek megfelel˝ o alakra hoz´ asa Az ´atlag-variancia probl´em´ an (2.4) l´atszik, hogy ez m´ar eredetileg is kvadratikus alakban van fel´ırva, ´ıgy itt nincs sz¨ uks´eg tov´abbi ´atalak´ıt´asra. Azonban az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert a k¨ovetkez˝ o ekvivalens alakban fogjuk haszn´alni:
T n 1X X min rti xi − E T t=1
!2
i=1
tekintve µT x = E, (3.5) Ax = b x≥0 felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra,
3.2.1. Az ´ atlag abszol´ ut-elt´ er´ es modell, mint line´ aris programoz´ asi feladat Az ´atlag abszol´ ut-elt´er´es modellj´et a kor´abbi fejezetben a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırtuk fel: T n 1 X X min r x − E ti i T t=1 i=1
T
tekintve, hogy µ x = E, Ax = b,
(3.6)
x ≥ 0. felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, A feladat ´ atalak´ıthat´ o line´ aris programoz´asi feladatt´a, ha az abszol´ ut ´ert´eken bel¨ uli ´ert´eket felbontjuk k´et nemnegat´ıv r´eszre. Ekkor sz¨ uks´eges m´eg tov´abbi korl´atoz´o felt´eteleket bevezetn¨ unk. zt+ illetve zt− (t ∈ {1, . . . , T }) v´altoz´ok fogj´ak korl´atozni az elv´art hozamt´ ol val´ o negat´ıv illetve pozit´ıv elt´er´eseket. ´Igy v´eg¨ ul az ´atalak´ıt´as ut´an a feladat a k¨ovetkez˝ o:
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
18
T 1X + zt + zt− min T t=1
T
tekintve, hogy µ x = E, n X
rti xi − E ≤ zt−
i=1
−
n X
(3.7)
! rti xi − E
≤
zt+
i=1
Ax = b, x, zt− , zt+ ≥ 0. felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, ahol a param´eterek ugyanazok, mint kor´abbiakban. Az ´ıgy fel´ırt feladat m´ ar line´ aris programoz´asi feladat. Megold´as´ara a szimplex algoritmust haszn´ alhatjuk.
3.2.2. Az ´ atlag negat´ıv-elt´ er´ es modell, mint line´ aris programoz´ asi feladat A feladatot az el˝ oz˝ o fejezetben a k¨ovetkez˝ok´eppen fogalmaztuk meg:
T n 1X X rti xi − bmt min T t=1
!−
i=1
T
tekintve a µ x = E, (3.8) Ax = b x≥0 felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, A k¨ovetkez˝ o´ atalak´ıt´ asokra lesz sz¨ uks´eg¨ unk, hogy a feladat megoldhat´o legyen a szimplex m´odszerrel. Az el˝ oz˝ o modellhez teljesen hasonl´oan az elv´art hozamt´ol val´o negat´ıv elt´er´es kezel´es´ere bevezetj¨ uk a zt− v´ altoz´ot ∀t ∈ {1, . . . T }, a v´altoztat´as hat´as´ara a k¨ovetkez˝ o ekvivalens modellt kapjuk:
3. fejezet Line´ aris, illetve kvadratikus programoz´ asi feladatt´ a alak´ıt´ as
19
T 1X − zt min T t=1
T
tekintve, hogy µ x = E, n X
rti xi − bmt ≤ zt−
(3.9)
i=1
Ax = b, x, zt− ≥ 0. felt´eteleket ∀E ∈ [Emin , Emax ] − ra, ahol a param´eterek ugyanazok, mint kor´abbiakban. ´Igy megfogalmazva a feladat m´ ar line´aris programoz´asi feladat, teh´at alkalmazhatjuk r´ a a szimplex m´ odszert.
4. fejezet
A hat´ ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa Az utols´ o fejezetben a fel´ırt probl´em´akat fogjuk megoldani. A megold´ashoz a Budapesti ´ ekt˝ Ert´ ozsde bizonyos r´eszv´enyeit fogjuk felhaszn´alni. A modellek gyakorlati alkalmaz´ as´ahoz sz¨ uks´eges adatok megszerz´es´ehez a [7] forr´ast haszn´altam, m´ıg az algoritmusok m˝ uk¨ od´es´ehez a [4]-t vettem u ´tmutat´oul, a hi´anyz´o r´eszeket pedig a [5] illetve [6] oldalak seg´ıts´eg´evel p´ otoltam. A gyakorlati alkalmaz´ashoz nagy seg´ıts´eget ny´ ujtott a [3] oldal.
4.1. Az adatok 4.1.1. R´ eszv´ enyek A megold´ ashoz, s azok elemz´es´ehez sz¨ uks´eg¨ unk van egy adatb´azisra, amelyb˝ol v´arhat´ o ´ ekt˝ozsde honlapj´an (http://www.bet.hu) hozamot tudunk sz´ amolni. A Budapesti Ert´ az elm´ ult t´ız ´ev adatai megtal´ alhat´oak. A feladathoz csak a t˝ozsd´en t´ız ´eve jelen l´ev˝ o r´eszv´enyeket fogjuk felhaszn´ alni. H´onapos adatokkal fogunk sz´amolni. 15. Defin´ıci´ o. (Likvidit´ as) Egy befektet´es azon tulajdons´aga, hogy milyen id˝o- ´es hozamvesztes´eggel ”sz´ amolhat´ o fel”, ´ert´ekes´ıthet˝o, milyen k¨onnyen forgathat´o, mennyire megb´ızhat´ o a m´ asodlagos piaca. M´ask´ent a t˝oke k´eszp´enzz´e t´eteli k´epess´eg´et, illetve m´ as megfogalmaz´ as szerint a p´enzeszk¨oz¨okkel val´o megfelel˝o ell´atotts´agot jelent. Fontos, hogy a r´eszv´enyek, amelyekkel foglalkozunk kell˝oen kis likvidit´asi kock´azattal legyenek kereskedhet˝ oek, hiszen szeretn´enk elker¨ ulni egy-egy eszk¨oz alacsony piaci forgalm´ ab´ ol ered˝ o kock´ azatot. A szakdolgozatban nem sz´amolunk k¨ ul¨on ezzel a kock´azattal is, ez´ert a k¨ ul¨ on¨ osen kis forgalm´ u r´eszv´enyeket egyszer˝ uen kihagyjuk a felhaszn´aland´ o eszk¨oz¨ ok list´ aj´ ab´ ol.
20
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
21
Miel˝ ott azonban tov´ abbmenn´enk fontos felh´ıvni a figyelmet a bet.hu bizonyos hi´anyoss´agaira. Az adatok let¨ olt´esekor felt˝ unt, hogy n´eh´any havi jelent´es hi´anyzik, let¨olt´eskor az el˝ oz˝ o havit kapjuk k´ezhez. Ezen hib´aval a szakdolgozat nem foglalkozik, egyszer˝ uen helyben hagytuk, s a havi adatot a let¨olt¨ott rossz (kor´abbi) jelent´est helyesnek felt´etelezt¨ uk. ´Igy el˝ ofordul, hogy a r´eszv´enyek n´emely havi hozama teljesen megegyezik ´ a hiba kor´ egym´ assal. Am antsem volt akkora, hogy sz´amottev˝o probl´em´at okozhasson, a let¨ olt¨ ott 110 havi jelent´esb˝ ol, mind¨ossze 2 bizonyult az ˝ot megel˝oz˝o h´onappal megegyez˝ onek.
Adatok ¨ osszegz´ ese ´ ekt˝ A Budapesti Ert´ ozsde (b´et) honlapj´ar´ol let¨olthet˝o havi adatok azonban igencsak szerte´ agaz´ oak, sokr´et˝ uek, r´ aad´ asul sz´amunkra a probl´ema lejegyz´es´ehez, az adathalmaz igencsak csek´ely r´esz´ere van sz¨ uks´eg¨ unk. Az adatok kiv´alogat´as´ara, a gyorsabb megold´ as el´er´ese ´erdek´eben egy egyszer˝ ubb programot ´ırtunk Perlben. A nyelv egyik legfontosabb r´esze a regul´ aris kifejez´esek sz´eles k¨or˝ u t´amogat´asa ´es alkalmaz´asa, ez´altal kiv´al´oan alkalmas nagym´eret˝ u sz¨ oveg- vagy adatf´ajlok egyszer˝ u feldolgoz´as´ara. Feladatunkat alaposabban meggondolva k¨onnyen l´athat´o, hogy a let¨olt¨ott havi jelent´esekben szerepl˝ o inform´ aci´ o igencsak eleny´esz˝o h´anyad´ara tartunk csak ig´enyt. Eg´eszen pontosan a R´eszv´enypiaci Adatok munkaf¨ uzet Jegyzett ’A’ illetve Jegyzett ’B’ t´abl´ azatainak mind¨ osszesen k´et oszlopa sz¨ uks´eges: • A r´eszv´enyek neveire felt´etlen sz¨ uks´eg¨ unk van, hiszen ebb˝ol tudjuk sz´amon tartani melyik r´eszv´enyr˝ ol besz´el¨ unk, illetve k¨ovetni akarjuk azt is, hogy az adott r´eszv´eny az elm´ ult t´ız ´evben mindv´egig a t˝ozsd´en volt. • A k¨ ul¨ onf´ele r´eszv´enyek havi hozam´ara is sz¨ uks´eg¨ unk van, hiszen ezekb˝ol az adatokb´ ol tudunk majd k´es˝ obb v´arhat´o hozamot sz´amolni (szerencs´enkre ezt nem kell k¨ ul¨ on kisz´ amolnunk, a let¨olt¨ott f´ajlban m´ar kisz´amolt´ak helyett¨ unk). Miel˝ ott azonban a programmal foglalkoztunk volna, a sz´amunkra fontos t´abl´azatokat kimentett¨ uk egy nagyobb f´ ajlba. A programnak majd ezt adjuk meg inputk´ent, s ezen adatsorokb´ ol v´ alogatja majd ki a sz´amunkra relev´ans inform´aci´okat. Fontos m´eg itt megjegyezni, hogy az elm´ ult ´evekben t¨obb esetben is el˝ofordult olyan, hogy a t˝ozsd´en jegyzett r´eszv´eny n´evv´ altoz´ ason esett ´at, aminek okaira most nem t´er¨ unk ki, ´am figyelemmel k´ıs´ert¨ uk ezen v´ altoz´ asokat, ´ıgy emiatt nem maradt ki r´eszv´eny a felsorol´asb´ol. A program (A.1) m˝ uk¨ od´ese ezek ut´an m´ar nagyon egyszer˝ u, soronk´ent veszi az input f´ ajl adatait, majd ezekb˝ ol kikeresi a l´enyeges r´eszeket, s azokat elt´arolja a megfelel˝o d´atum al´a.
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
22
Felhaszn´ alt r´ eszv´ enyek Az al´ abbi t´ abl´ azatban teh´ at a t´ız ´eve folyamatosan a b´eten l´ev˝o r´eszv´enyek l´athat´oak, amelyekkel legal´ abb havi szinten volt keresked´es. A p´aros sorokban pedig a v´arhat´ o hozam (havi) l´ athat´ o, amit az elm´ ult t´ız ´ev adataib´ol sz´amoltunk ki.
N´ ev: µi (%) : MOL 2,14 RICHTER 1,47 EMASZ 1,50
DANUBIUS 0,43 MTELEKOM -0,12 SYNERGON 0,27 GENESIS 3,06
ECONET -0,48 OTP 2,18 TVK 0,56 KONZUM -0,32
EGIS 0,87 PANNERGY 0,51 ZWACK 1,02 NUTEX -2,13
FOTEX 1,84 PHYLAXIA 5,54 BIF 1,26 PFLAX 1,06
LINAMAR 0,91 RABA -0,10 ELMU 1,55
´ ´ bla ´ zat. A BET-en 4.1. ta 10 ´eve jelen l´ev˝o r´eszv´enyek v´arhat´o hozama
4.1.2. Elv´ art hozam A befektet˝ o preferenci´ ait is sz¨ uks´eges sz´am´ıt´asba venni, ´ıgy fontos el˝ore meghat´arozni milyen elv´ art hozamokkal fogunk sz´amolni.
A feladatokban ¨osszesen h´arom elv´art
hozammal fogunk sz´ amolni, m´egpedig a k¨ovetkez˝okkel:
%
Emin 1,00487
E´atlag 1,04673
Emax 4,54124
´ bla ´ zat. Elv´art hozamok a dolgozatban 4.2. ta
ahol: • Emin = {MNB alapkamat} • E´atlag =
1 n
Pn
i=1 µi
• Emax = max {µ1 , ..., µn } − 1% Jelen esetben a Magyar Nemzeti Bank alapkamata ´eves szinten 6%, n = 22, hiszen ¨osszesen 22 r´eszv´ennyel sz´ amolunk.
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
23
4.2. A probl´ ema megold´ asa Fontos megjegyezni, hogy a feladatokban az Ax = b felt´etel egyszer˝ uen csak a r´eszv´enyek ¨osszs´ uly´ at hat´ arozza meg, teh´ at 1T x = 1. Az Excel illetve Openoffice t´abl´azatok felt¨olt´ese adatokkal, a v´ altoz´ ok, valamint a f¨ uggv´enyek ´attekinthet˝o fel´ır´as´anak m´odj´aban nagyon sokat seg´ıt a k¨ ovetkez˝ o honlap: http://www.math.bme.hu/˜gnagy/ExcelSolver.htm Ezen fel´ır´ as r´eszleteibe nem is bocs´atkozunk most bele.
4.2.1. Az ´ atlag-variancia modell megold´ asa A feladat kezdeti ´ allapot´ aban a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki:
´ bra. Az ´atlag-variancia modell kezdeti ´allapota 4.1. a
A feladat m´erete miatt sajnos csak kiragadott r´eszletek bemutat´as´ara van es´ely. Azonban a jobb ´ attekinthet˝ os´eg ´erdek´eben a l´enyeges mez˝oket k¨ ul¨onf´ele sz´ınekkel sz´ıneztem. Ugyanezen megfontol´ asb´ ol a t´ abl´azat valamennyi ´ert´ek´et %-ban adtam meg. A portf´ oli´ oban szerepl˝ o r´eszv´enyek s´ ulyoz´asa (x) a D3 −Y3 mez˝okben tal´alhat´o, kezdetben ez az ´ert´ek 0. A portf´ oli´ o hozamm´atrixa a D10 − Y119 mez˝okben lett elt´arolva, RT ×n (T = 110, n = 22), ahol rti jel¨ oli a i. r´eszv´eny t. id˝opontban el´ert hozam´at. A v´arhat´ o
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
24
hozamvektor (µ) ´ert´ekeit a D5 − Y5 mez˝okben r¨ogz´ıtettem, az i. r´eszv´eny ´ert´ekeit a k¨ovetkez˝ o egyenlet adta: T 1X rti . µi = T t=1
A D7 −D9 mez˝ okben a befektet˝ o ´altal elv´art hozam, mellette pedig a hozz´ajuk kapcsol´od´ o korl´atoz´ o felt´etelek E = µT x. A H9 − J9 mez˝ok ˝orzik a helyes s´ ulyoz´asra vonatkoz´ o felt´etelt (1T x = 1). A10 − A119 mez˝okben az al´abbi egyenletek tal´alhat´oak: n X i=1
tti xi −
n X
µi x i
i=1
A mellette tal´ alhat´ o mez˝ okben (B10 − B119 ) ezen ´ert´ekek n´egyzetei tal´alhat´oak. V´eg¨ ul pedig a pirossal kiemelt J7 -es mez˝oben a minimaliz´aland´o mennyis´eg a B10 −B119 mez˝ ok ¨osszege tal´ alhat´ o. Els˝ok´ent a minim´ alis elv´ art hozammal fogunk sz´amolni: 1, 00487 = µT x felt´etelt vessz¨ uk be a feladatba:
´ bra. Az ´ 4.2. a atlag-variancia probl´ema megold´asa Emin mellett
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
25
Az al´ abbi t´ abl´ azat a portf´ oli´ oban szerepl˝o r´eszv´enyek s´ uly´at adja meg, valamint r¨ogz´ıtettem az ´ıgy kapott varianci´ at is:
N´ ev: xi (%) : MOL 0,21 RICHTER 13,86 EMASZ 16,80
DANUBIUS 13,09 MTELEKOM 0,80 SYNERGON 0,00 GENESIS 0,00
ECONET 0,00 OTP 0,00 TVK 6,87 KONZUM 5,55
EGIS 2,77 PANNERGY 0,00 ZWACK 25,43 NUTEX 0,00
FOTEX 0,00 PHYLAXIA 0,00 BIF 8,70 PFLAX 2,97
LINAMAR 0,39 RABA 0,00 ELMU 2,57 z 0,16179
´ bla ´ zat. R´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban Emin mellett (variancia probl.) 4.3. ta
Ha az ´ atlagos hozam az amit elszeretn´enk ´erni, akkor a feladat megold´asa a k¨ovetkez˝ ok´eppen alakul:
´ bra. Az ´ 4.3. a atlag-variancia probl´ema megold´asa E´atlag mellett
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
26
Ebben az esetben a r´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban: (az utols´o helyre ism´et a kapott varianci´ at ´ırtam)
N´ ev: xi (%) : MOL 1,71 RICHTER 13,98 EMASZ 17,41
DANUBIUS 12,47 MTELEKOM 0,00 SYNERGON 0,00 GENESIS 0,00
ECONET 0,00 OTP 0,00 TVK 6,61 KONZUM 5,23
EGIS 2,58 PANNERGY 0,00 ZWACK 24,85 NUTEX 0,00
FOTEX 0,00 PHYLAXIA 0,00 BIF 9,09 PFLAX 3,03
LINAMAR 0,15 RABA 0,00 ELMU 2,89 z 0,16467
´ bla ´ zat. R´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban Ea´tlag mellett (variancia probl.) 4.4. ta
K¨onnyen l´ athat´ o, hogy az ´ıgy kapott portf´oli´o varianci´aja alig kisebb, mint az´e, amelyikn´el az alapkamattal sz´ amoltunk, azonban ´eves szintre vet´ıtve a k´et portf´oli´o v´arhat´ o hozama l´enyegesen elt´er. Emin -nel sz´amolva az ´eves kamatunk 6%, azonban, ha elv´arjuk, hogy havi szinten megkapjuk a portf´oli´oban szerepl˝o r´eszv´enyek v´arhat´o ´ert´ek´enek ´atlag´at, akkor ez ´eves szintre vet´ıtve v´arhat´oan 73%, ami l´enyegesen magasabb. Ha az elv´ art hozamnak a kor´ abban fel´ırt Emax -ot vessz¨ uk, akkor a modell megold´asa a k¨ovetkez˝ o:
´ bra. Az ´ 4.4. a atlag-variancia probl´ema megold´asa Emax mellett
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
27
Ebben az esetben a portf´ oli´ oba csak k´et r´eszv´enyb˝ol v´alogatunk:
N´ ev: xi (%) :
PHYLAXIA 59,72
GENESIS 40,28
´ bla ´ zat. R´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban Emax mellett (variancia probl.) 4.5. ta
Ahogy az fenti ´ abr´ an is l´ athat´ o a variancia j´oval magasabb, mint az el˝oz˝o k´et esetben. Ennek oka a kev´es sz´ am´ u r´eszv´enyben keresend˝o, hiszen itt nem ´erz˝odik olyan er˝ovel a diverzifik´ aci´ o hat´ asa. L´ athat´ o tov´abb´a az is, hogy a v´arhat´o hozam n¨ovel´es´evel megn˝ o a kock´ azat is.
4.2.2. Az ´ atlag abszol´ ut-elt´ er´ es modell megold´ asa Az alapfeladat a k¨ ovetkez˝ ok´eppen n´ez ki:
´ bra. Az ´atlag abszol´ 4.5. a ut-elt´er´es modell (alapfeladat) + − Az u ´jdons´ ag az el˝ oz˝ o feladathoz k´epest a z + = (z1+ , . . . , z110 ) illetve a z − = (z1− , . . . , z110 )
v´altoz´ ok, amelyek elemeinek ¨ osszege v´eg¨ ul gener´alja a c´elf¨ uggv´enyt. Valamint a z + -t ´es z − -t korl´ atoz´ o felt´etelek: n X i=1
rti xi − E ≤ z + , ∀t ∈ {1, . . . , T }
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
−
n X
28
! rti xi − E
≤ z − , ∀t ∈ {1, . . . , T }
i=1
A h´arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o oszlopban (D, E, F ), a h´aromf´ele elv´art hozamra mind fel´ırtuk ezeket az egyenl˝ otlens´egeket. A megold´askor term´eszetesen majd csak a megfelel˝o oszlopot vessz¨ uk be a korl´ atoz´ o felt´etelek k¨oz´e. A feladatnak megadva az Emin felt´etelt, valamint lefuttatva az algoritmust a k¨ovetkez˝ o megold´ ast l´ athatjuk:
´ bra. Az ´ 4.6. a atlag abszol´ ut-elt´er´es modell megold´asa (Emin mellett)
Az ´ıgy kapott eredm´enyeket t´ abl´azatba helyezve:
N´ ev: xi (%) : MOL 0,00 RICHTER 13,05 EMASZ 19,08
DANUBIUS 10,95 MTELEKOM 0,00 SYNERGON 0,00 GENESIS 0,18
ECONET 0,00 OTP 0,00 TVK 7,25 KONZUM 6,06
EGIS 0,00 PANNERGY 0,69 ZWACK 32,20 NUTEX 0,00
FOTEX 0,00 PHYLAXIA 0,00 BIF 5,42 PFLAX 2,03
LINAMAR 2,69 RABA 0,00 ELMU 0,40 z 2,96057
´ bla ´ zat. R´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban Emin mellett (abszol´ 4.6. ta ut-elt´er´es)
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
29
Az E´atlag felt´etellel sz´ amolva a k¨ovetkez˝o megold´ast kapjuk:
´ bra. Az ´ 4.7. a atlag abszol´ ut-elt´er´es modell megold´asa (Ea´tlag mellett)
Az eredm´enyt az al´ abbi t´ abl´ azat jegyzi:
N´ ev: xi (%) : MOL 0,49 RICHTER 13,70 EMASZ 20,59
DANUBIUS 9,27 MTELEKOM 0,00 SYNERGON 0,00 GENESIS 0,29
ECONET 0,00 OTP 0,00 TVK 6,46 KONZUM 5,39
EGIS 0,00 PANNERGY 1,22 ZWACK 33,25 NUTEX 0,00
FOTEX 0,00 PHYLAXIA 0,00 BIF 6,88 PFLAX 2,10
LINAMAR 0,36 RABA 0,00 ELMU 0,00 z 2,98344
´ bla ´ zat. R´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban E´atlag mellett (abszol´ 4.7. ta ut-elt´er´es)
Emax -val sz´ amolva l´enyeges elt´er´eseket tapasztalhatunk. Az eredm´eny t´abl´azatban:
N´ ev: xi (%) :
MOL 24,09
OTP 2,82
PHYLAXIA 69,58
GENESIS 3,51
´ bla ´ zat. R´eszv´enyek eloszl´asa a portf´oli´oban Emax mellett (abszol´ 4.8. ta ut-elt´er´es)
A feladat kock´ azata: z = 14, 73037. OpenOffice-ban a megold´as ´ıgy n´ez ki:
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
30
´ bra. Az ´ 4.8. a atlag abszol´ ut-elt´er´es modell megold´asa (Emax mellett)
Az eredm´enyeket ¨ osszefoglalva j´ol l´athat´o, hogy a v´arhat´o hozam n¨ovel´es´evel egy¨ utt a v´allalt kock´ azat is n¨ ovekszik. Mint ahogy a variancia probl´ema eset´eben is, az els˝ o k´et (E´atlag ,Emin ) esetben a k´et portf´oli´o k¨ozti k¨ ul¨onbs´eg igencsak csek´ely, ennek az oka, hogy az elv´ art hozam nagyon k¨ozel esik egym´ashoz, s szemben az utols´o esettel itt van lehet˝ os´eg¨ unk mindenf´ele r´eszv´enyb˝ol v´alogatni. Ha kiugr´oan magas (mint n´alunk is) az elv´art hozam, akkor abban az esetben a haszn´alhat´o r´eszv´enyek sz´ama sokkal kevesebb. L´athat´ o az is, hogy a kock´ azatunk az utols´o esetben sokszorosa az m´asik k´et esetben el´ert kock´ azatnak, ennek oka, hogy kev´es sz´am´ u r´eszv´eny ker¨ ult a portf´oli´onkba, ´ıgy erre sokkal ink´ abb hat az egy´eni kock´azat. (min)
Az al´ abbi t´ abl´ azatban l´ athat´ oak az eredm´enyek ¨osszes´ıtve, ´ertelemszer˝ uen xi
(%) az
i. r´eszv´eny Emin elv´ art hozam melletti s´ uly´at jelenti az adott portf´oli´oban, az utols´ o sorba pedig a megfelel˝ o elv´ art hozamhoz tartoz´o kock´azatokat ´ırtuk:
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa N´ ev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z
(min)
xi
(%) : 10,95 0,00 0,00 0,00 2,69 0,00 0,00 0,00 0,69 0,00 0,00 13,05 0,00 7,25 32,20 5,42 0,40 19,08 0,18 6,06 0,00 2,03 2,96057
31 (´ atlag)
xi
(%) : 9,27 0,00 0,00 0,00 0,36 0,49 0,00 0,00 1,22 0,00 0,00 13,70 0,00 6,46 33,25 6,88 0,00 20,59 0,29 5,39 0,00 2,10 2,98344
(max)
xi
(%) : 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 24,09 0,00 2,82 0,00 69,58 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,51 0,00 0,00 0,00 14,73037
¨ ´ bla ´ zat. Osszes´ 4.9. ta ıtett t´abl´azat (abszol´ ut-elt´er´es)
4.2.3. Az ´ atlag negat´ıv-elt´ er´ es modell megold´ asa Az ´atlag negat´ıv-elt´er´es modellj´enek implement´aci´oja teljesen hasonl´o, mint az ´atlag abszol´ ut-elt´er´es modellj´enek le´ır´asa. A k¨ ul¨onbs´eg, hogy itt csak zt− (∀t ∈ {1, . . . , T }), teh´at az elv´ art hozamt´ ol val´ o negat´ıv elt´er´est vessz¨ uk figyelembe. Egy m´ asik l´enyeges v´ altoz´ as az el˝obbi modellhez k´epest, hogy ez esetben a benchmarkhoz viszony´ıtunk. A szakdolgozatban az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert bmt = c, teh´at t-t˝ol f¨ uggetlen¨ ul hat´arozzuk meg ezt az ´ert´eket. Ez a meghat´arozott ´ert´ek egyszer˝ uen annyit jelent, hogy van egy bizonyos elv´ art hozam, s ”b¨ untetj¨ uk”, ha ez al´a megy¨ unk. Jelen esetben legyen ez az ´ert´ek Emin . A modell ´ıgy a k¨ ovetkez˝ ok´eppen n´ez ki:
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa
min
T X
32
zt−
t=1
tekintve, hogy µT x = E, n X
rti xi − Emin ≤ zt−
(4.1)
i=1
Ax = b, x, zt− ≥ 0. felt´eteleket ∀E ∈ {Emin , E´atlag , Emax } − ra, ahol minden ugyanaz, mint a kor´abbiakban. Els˝ok´ent vegy¨ uk azt az esetet, ha az elv´art hozam Emin . 4.1. Lemma. Ha az a ´tlag negat´ıv-elt´er´es modellben bmt = E ⇒ 2Sbm (x) = Sn (x) Bizony´ıt´ as: Tudjuk, hogy µi =
T 1X rti T t=1
Fejezz¨ uk ki E-t: T
E=µ x=
n X i=1
T n 1 XX rti xi x i µi = T t=1 i=1
´ Irjuk fel az elt´er´esek o ¨sszeg´et: T n X X t=1
! rti xi − E
=
T X n X
rti xi − T E,
t=1 i=1
i=1
amibe E-t helyettes´ıtve 0-t kapunk. Mivel T n X X t=1
! rti xi − E
=
T X
(. . .)+ +
t=1
i=1
T X
− (. . .)−
t=1
ez´ert l´ athat´ o, hogy a negat´ıv elt´er´esek ¨ osszege ugyanannyi, mint a pozit´ıv elt´er´esek ¨ osszege ⇒ 2
T n X X t=1
i=1
!− rti xi − E
T X n X r x − E = ti i t=1 i=1
4.2. K¨ ovetkezm´ eny. Ebben az esetben az a ´tlagos negat´ıv-elt´er´es modellnek nincs semmi el˝ onye az ´ atlagos abszol´ ut-elt´er´es modellj´evel szemben. A negat´ıv-elt´er´es modell megold´asa innent˝ol kezdve teljesen hasonl´oan megy a kor´abbiakhoz. Az eredm´enyeket t´ abl´ azatba rendezve a k¨ovetkez˝oket l´athatjuk:
4. fejezet A hat´ekony portf´ oli´ o kialak´ıt´ asa N´ ev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z
(´ atlag)
xi
33
(%) : 9,75 0,00 0,00 0,00 0,10 0,39 0,00 0,00 0,85 0,00 0,00 13,44 0,00 5,65 33,80 6,67 0,00 21,37 0,23 5,61 0,00 2,14 1,51385
(max)
xi
(%) : 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 27,64 0,00 0,20 0,00 69,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,18 0,00 0,00 0,00 8,66582
¨ ´ bla ´ zat. Osszes´ 4.10. ta ıtett t´abl´azat (negat´ıv-elt´er´es)
¨ 4.3. Osszegz´ es A k¨ ul¨ onf´ele modellek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o befektet˝oi preferenci´akat testes´ıtenek meg. Kock´ azat Variancia Abszol´ ut-elt´er´es Negat´ıv-elt´er´es
Emin 0,16179 2,96057 -
E´atlag 0,16467 2,98344 1,51385
Emax 26,99604 14,73037 8,66582
´ bla ´ zat. Eredm´enyek ¨osszes´ıt´ese 4.11. ta
´ Altal´ anoss´ agban leolvashat´ o, hogy az elv´art hozam n¨ovel´es´evel n˝o a v´allalt kock´azat. A portf´ oli´ o¨ ossze´ all´ıt´ asakor a legfontosabb szempontok mindig is a befektet˝o elv´ar´asai. Ezek szerint k¨ ul¨ onb¨ oztett¨ uk meg a h´aromf´ele modellt, s ezek lettek v´eg¨ ul az eredm´enyek m´er˝osz´ amai is. Teh´ at tulajdonk´epp az elv´art hozamok illetve v´allalt kock´azatok sz´eles sk´al´aj´ an rengetegf´ele hat´ekony portf´oli´ot k´epezhet¨ unk. Ezen megold´asok mind rajta vannak a hat´ekony hat´ arg¨ orb´en.
A. f¨ uggel´ ek
Adatgy˝ ujt˝ o program
´ bra. tozsde.pl implement´aci´oja A.1. a
34
Irodalomjegyz´ ek [1] Brealey-Myers: Modern v´ allalati p´enz¨ ugyek 2005, Panem K¨onyvkiad´o, Budapest [2] http://www.math.bme.hu/˜gnagy/diplij.pdf [3] http://www.math.bme.hu/˜gnagy/ExcelSolver.htm [4] http://gazdasz2.atw.hu/opkut jegyzet nemme.pdf [5] http://en.wikipedia.org/ [6] http://google.co.uk/ [7] http://bet.hu/
35
