Kockázati mértékek összehasonlítása. BSc Szakdolgozat

Kockázati mértékek összehasonlítása BSc Szakdolgozat Írta:

Kertész Mónika Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető:

Zempléni András egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2015

1

Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Zempléni Andrásnak, hogy figyelemmel kísérte szakdolgozatom készülését, és hasznos tanácsaival nagyban hozzájárult dolgozatom elkészítéséhez. Köszönettel tartozom szüleimnek és barátaimnak, hogy támogattak, szeretettel és türelemmel segítettek tanulmányaim során.

TARTALOMJEGYZÉK

2

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés

3

2. Koherens kockázatmérés

5

3. Kockázati mértékek

8

3.1. Szórásnégyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2. Szemivariancia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3. Átlagos abszolút eltérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.4. Szórásszabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.5. VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.6. Maximális veszteség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.7. Várható veszteség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.8. ES és VaR összevetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.9. CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4. Alkalmazások

23

1 BEVEZETÉS

1.

3

Bevezetés Kockázattal az élet minden területén találkozhatunk. Azonban a kockázat

fogalmának meghatározása nem könnyű feladat, hiszen nem mindig lehet egyértelműen elválasztani a kockázatot a bizonytalanságtól. Különböző szerzők más és más meghatározásokat adnak a kockázatra. Például vannak, akik úgy látják a kockázatot, mint egy lehetséges problémát vagy helyzetet, amely ha megvalósul, kedvezőtlenül érinthet egy projektet [A-Moneim 2005: 1]. Mások a kockázatot egy eseményhez kapcsolódó valószínűség és következmény kombinációjaként definiálják [Aven és Vinnen 2007]. Van, aki a kockázatot a lehetséges kimenetek varianciájának tartja [Shapira 1995]. Van, aki a kockázatot és a bizonytalanságot úgy különbözteti meg, hogy a kockázat a bizonytalanságon kívül tartalmaz valamilyen kárt vagy veszteséget is [Kaplan és Garrick 1981]. Mi most kockázaton egy véletlen változó jövőbeli időpontra vonatkozó ismert eloszlásfüggvényének funkcionálját értjük. Azaz csak a jövőbeli értékek eloszlása a fontos számunkra. A kockázatot egyetlen számmal is mérhetjük, amely a veszteség eloszlására jellemző. A kockázat mérése azért fontos, hogy keretek között tarthassuk azt. Ha ez a szám a kritikus értéknél nagyobb, akkor nagy a kockázat, ha kisebb annál, akkor túlbiztosítottuk magunkat. A kockázatméréshez kapcsolódó fontosabb kifejezések: kockázati optimum, kockázatkerülés, diverzifikáció, kockázatcsökkentés. Lássuk ezek heurisztikus meghatározásait: Kockázati optimumban vagyunk, ha nem túl nagy a kockázatunk, de nem is biztosítottuk túl magunkat, azaz ha a kockázat mértéke a kritikus értékkel egyenlő. Kockázatkerülésről van szó, ha a konkrét gazdasági szereplő nem kedveli a kockázatot, illetve ha egy „felügyelő” megtiltja a túlzott kockázatvállalást, meghatározva egy kockázatszintet. Ebben az esetben az illető személy biztos hozamú bankbetétbe, vagy állampapírba fektetheti pénzét, melynek hozama eléggé alacsony. Ilyen felügyelő lehet egy tőzsdei elszámolóház, nemzeti, nemzetközi szabályozó, vagy egy befektetési menedzser. Fontos nemzetgazdasági szempont a bankok, biztosítók, nagyvállalatok stabilitása, hiszen csődbemenésük hatalmas veszteségeket okozhat. Nemzetközi szinten pedig a Nemzetközi Aktuárius Szövetség és a Nemzetközi Számviteli

1 BEVEZETÉS

4

Szabványok Bizottsága együttműködve határozza meg a biztosítótársaságok tőkekövetelményeit. A diverzifikáció kockázatmegosztást jelent, amikor egyszerre több értékpapírba fektetjük be a pénzünket, és nem csak egybe. Eszközei lehetnek például, ha több iparágba, több pénznemben, különböző futamidőre, illetve ha biztos hozamú értékpapírba fektetünk be. A diverzifikáció a kockázat csökkentésében játszik nagy szerepet. Ugyanis a diverzifikációs hatásoknak köszönhetően egy portfólió teljes kockázata általában kisebb, mint a portfóliót alkotó alportfóliók kockázatának összege. A dolgozat 2. fejezetében a koherens kockázatmérést tárgyaljuk, bevezetve a koherens kockázati mérték négy tulajdonságát, amelyeket természetes, hogy elvárunk egy koherens kockázati mértéktől, és karakterizációs tételt is adunk rájuk, azonban látni fogjuk (3.fejezet), hogy vannak olyan mértékek, amelyekre nem teljesülnek, mégis népszerű a használatuk. Számtalan koherens kockázati mérték létezik. Ezekre láthatunk példákat a 3. fejezetben. Azt, hogy melyiket használjuk adott esetben, a költség-haszon megfontolások döntik el. A 4. fejezetben valódi részvényadatokra számoljuk ki a kockázati mértékeket az R program segítségével. Az adatokat megvizsgáljuk a gazdasági világválság (2008) előtt, és után, majd összevetjük a kapott értékeket.

2 KOHERENS KOCKÁZATMÉRÉS

2.

5

Koherens kockázatmérés A vállalatok, biztosítók nem foglalkozhatnak csak az üzlettel, mert pénzügyi

(hitel-, piaci, egyéb) kockázatokkal is szembesülnek, amelyeket mérni és fedezni kell. Azonban a teljes fedezés lehetetlen, ezért minden gazdálkodó egységnek fel kell készülnie a csőd elkerülésére, és félretenni valamennyi kockázatmentes, likvid tőkét erre az esetre. Ilyenkor koherens kockázatmérésre van szükség. A tőkeallokáció során azzal kell foglalkozni, hogy az alportfóliókra mennyi tőkét osszunk szét. Így megkapjuk az eszközök kockázathoz való hozzájárulását. A különböző portfóliók kockázatát a jövőbeli veszteségük eloszlásából határozzuk meg. A dolgozat során az X valószínűségi változó általában a veszteséget jelöli (az ettől eltérő értelmezést külön definiálom). 2.1. Definíció: A ρ kockázati mérték egy olyan függvény, amely az adott kockázathoz egy valós számot rendel. 2.2. Definíció: Ha egy X valószínűségi változóra a ρ(X) : X → R kockázati mérték – pozitív, akkor ρ(X) az a minimális pótlólagos kockázatmentes, likvid tőke, amelyet a szabályozott félnek hozzá kell vennie a pozíciójához; – negatív, akkor −ρ(X) nagyságú pénzmennyiség lehívható a pozícióból, vagy kárpótlásként megkapható; – nulla, akkor a kockázat pontosan a kívánatos mértékben van fedezve, azaz a befektetés egy része kockázatmentesnek tekintett betétekben van. 2.3. Definíció: ρ(X) koherens kockázati mérték, ha minden X és Y valószínűségi változóra teljesül a következő négy tulajdonság: – Szubadditivitás: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ) – Monotonitás: ha X ≥ Y m.m., akkor ρ(X) ≥ ρ(Y )


6

– Pozitív homogenitás: ∀λ ≥ 0 valós számra: ρ(λX) = λρ(X) – Eltolás invariancia: ∀α konstansra: ρ(X + α) = ρ(X) + α A szubadditivitás azt fejezi ki, hogy két portfólió egyesítésének van kockázatdiverzifikációs hatása. Az összeg kockázata nem lehet nagyobb, mint a kockázatok összege. Ha valamelyik kockázati mértékre ez nem teljesül, akkor előfordulhat olyan eset, amikor egy adott vállalat két egységének együttes portfóliójának kockázata nagyobb, mint a portfóliók kockázatának összege, ami ellentmondana az elvárt diverzifikációs hatásnak. A monotonitás szerint, ha X esetén legalább annyit veszítünk, mint Y esetén, akkor X legalább annyira kockázatos, mint Y . A pozitív homogenitás azt jelenti, hogy a pozíció mérete egyenes arányban befolyásolja a kockázatot, azaz ha egy értékpapírba α-szor annyi pénzt fektetünk, akkor a kockázat is α-szorosára nő. Az eltolás invariancia azt írja le, hogy ha mindig egy konstanssal nagyobb a veszteség, akkor ugyanazzal konstanssal nagyobb a kockázat. Ha az eredeti pozíciónkhoz hozzáveszünk egy kockázatmentes eszközt, akkor az összes kockázatunk a kockázatmentes eszköz értékével csökkenni fog. Ahhoz, hogy belássuk egy kockázati mértékről, hogy nem koherens, elég egy ellenpéldát adni, ami nem teljesíti legalább az egyik tulajdonságot. Ha azt szeretnénk belátni, hogy egy kockázati mérték mindig koherens, nagy segítséget jelent a következő tétel. 2.4. Tétel: (Reprezentációs tétel) Egy kockázati mérték pontosan akkor koherens, ha létezik egy Π valószínűségi mértékcsalád, amelyre teljesül, hogy a kockázati mérték értéke megegyezik a veszteség P ∈ Π valószínűségeloszlások szerint számított diszkontált várható értékeinek szuprémumával, azaz: ( ) X ρ(X) = sup EP P∈Π d


7

Bizonyítás: A tétel teljes bizonyítása megtalálható a [9]-es könyvben. 2.5. Következmény: Minden koherens kockázati mérőszám a legrosszabb esetben bekövetkező veszteséget méri, pontosabban a legrosszabb esetek veszteségének súlyozott átlaga. Minél több forgatókönyvet veszünk, annál nagyobb a kockázati mérték.

3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK

3.

8

Kockázati mértékek A pénzügyi befektetések értékelésében döntő jelentőségű a kockázat megfe-

lelő felmérése. Ezt a célt szolgálják a különböző kockázati mutatók, amelyek lehetővé teszik egy portfólió kockázatának egyetlen mérőszámmal történő kifejezését. A kockázati mértékeket többféleképpen lehet csoportosítani. Az eddigiek alapján megadhatók koherens és nem koherens mérőszámok. Ezt minden mérőszámra külön meg fogjuk vizsgálni. Másik besorolási lehetőség, a relatív illetve abszolút mérőszámok. A relatív kockázati mérőszámok csoportjába tartozik a variancia, a szemivariancia és a MAD. Ez azt jelenti, hogy egy adott célértéktől való eltérés nagyságaként értelmezik a kockázatot. Ez esetben nem a célérték vagy önmagukban a megfigyelési értékek elhelyezkedése, hanem az utóbbiaknak az előbbihez viszonyított helyzete játszik szerepet a kockázat nagyságának meghatározásában. A relatív mérőszámokat „helytől független” kockázati mutatókként is szokták nevezni. Abszolút mérőszámoknak nevezzük azokat, amelyek egy adott befektetés megvalósításához vagy adott pénzügyi pozíció megteremtéséhez szükséges tőkenagysággal mérik a kockázatot. Ebben az esetben a kockázat mértékének meghatározásában döntő szerepet játszik a megfigyelési értékek abszolút nagysága, illetve helyzete, ezért azt mondhatjuk, hogy a mutatók „helyfüggők”. Ide tartozik a VaR és a CVaR. A csoportosításuk történhet az alapján is, hogy egy adott célértéknél (amely speciális esetben a várható érték) csak nagyobb értékeket vesz-e figyelembe a kockázat kiszámításánál. Eszerint beszélhetünk egyoldali és kétoldali kockázati mutatókról. Az egyoldali csak az eloszlásfüggvény kedvezőtlen részét veszi figyelembe a mutató kiszámításánál. A szemivariancia, a VaR és a CVaR az egyoldali, míg a variancia és a MAD a kétoldali mutatók csoportjába tartozik. Először lássuk a fontosabb és ismertebb nem koherens kockázati mértékeket:


3.1.

9

Szórásnégyzet

A legalapvetőbb kockázati mérték. 1952-ben Markowitz javasolta először a szórásnégyzetet, V (Variancia) a kockázat mérésére. V (X) = E((X − E(X))2 ) Előnye, hogy egyszerűen kiszámítható, (normális eloszlású hozamok mellett) jól méri a bizonytalanságot és ösztönzi a diverzifikációt. Segítségével a különböző portfóliók kockázata visszavezethető az egyedi befektetések kockázatára. Teljesíti a szubadditivitási feltételt, hiszen a szorásnégyzettel mért kockázata egy portfóliónak nem lehet nagyobb az alportfóliók kockázatának összegénél. Azonban sajnos a kockázatmérés szempontjából nem kielégítő, számos hátránya van. Csak normális eloszlás esetén használható jól. Szimmetrikus mérték, ezért ugyanúgy „bünteti” a veszteséget, mint a nyereséget, tehát az átlagtól számított pozitív eltéréseket ugyanolyan hátrányosnak tekinti, mint a várható értéknél alacsonyabb hozamokat. Nem megfelelő az alacsony valószínűségű események kockázatának meghatározásához. A szélsőséges értékekre nagyon érzékeny, mert az átlagtól való eltérés négyzetével számol. A szórásnégyzetet széles körben alkalmazzák, de sajnos nem koherens, hiszen nem teljesíti az eltolás invariancia tulajdonságot, ugyanis a determinisztikus tag nem változtat az értékén, és nem monoton, mert a szórásnégyzet nem érzékeny a változó nagyságára, csak annak változékonyságára. A szórás: átlagos négyzetes eltérés, a szórásnégyzet négyzetgyöke, azonban a kockázatmérés szempontjából azonosnak tekintjük a kettőt. A szórás esetében is igaz, hogy egyetlen szélsőséges érték is képes számottevően megnövelni a kockázatot, tehát ugyanolyan érzékeny.

3.2.

Szemivariancia

A szemivariancia, SV a szórásnégyzet azon problémájára nyújt megoldást, miszerint ugyanúgy bünteti a veszteséget, mint a nyereséget, ugyanis a szemivariancia a várható érték alatti értékeket figyelmen kívül hagyja. Hátrányként itt is elmondható, hogy nagyon érzékeny a szélsőséges értékekre, és a szórásnégyzethez hasonlóan nem koherens.


10

Kiszámítása: SV(X) = E (XSV )2 ahol XSV a következő: ( XSV =

X − E(X) ha E(X) ≤ X 0

ha E(X) > X

A szemiszórás a szemivariancia négyzetgyöke, amit a szemivarianciával azonos kockázati mutatónak tekintünk.

3.3.

Átlagos abszolút eltérés

Az átlagos abszolút eltérés, MAD (Mean Absolute Deviation) a szóráshoz hasonló mérték, mert mindkettő az átlagtól való várható eltérést méri: MAD(X) = E(|X − E(X)|) Kiszámítása diszkrét esetben: Pn MAD(X) =

i=1 (|Xi

¯ − X|)

n A szórás egyik hátrányát hivatott kiküszöbölni, miszerint az eloszlás szélére eléggé érzékeny. Ennélfogva a MAD egyik előnye, hogy a vastag szélű eloszlások esetében kevésbé érzékeny az extrém értékekre. Azonban bizonyos helyzetekben ez a tulajdonság inkább tekinthető hátránynak, mint előnynek, ugyanis válsághelyzetekben teljesen használhatatlan, mert alábecsüli a rendkívüli veszteségek bekövetkezésének valószínűségét. Az MAD nem koherens kockázati mérték. Mivel a MAD az átlagtól való eltérés abszolút értékét veszi, így a befektető számára kedvező és kedvezőtlen értékeket egyaránt magában foglalja, azaz a varianciához hasonlóan szimmetrikus.


3.4.

11

Szórásszabály

A szórásszabály (Standard Deviation Rule) a jövőbeli veszteségeloszlás várhatóértékének és a szórás többszörösének összege: E(X) + c · σ(X), ahol c konstans. 3.1. Példa: A következő példából jól látható, hogy nem monoton, ugyanis X1 ≤ X2 esetén: ahol minden eset egyforma valószínűségű: 1. táblázat. Szórásszabály vizsgálata Lehetséges esetek X1 X2 1.

1

5

2.

2

5

3.

3

5

4.

4

5

5.

5

5

6.

5

5

7.

4

5

8.

3

5

9.

2

5

10.

1

5

E(Xi )

3

5

σ(Xi )

1,41

0

E(Xi ) + 2σ(Xi )

5,82

5

Forrás: Meyers [2000] Table 3.

ρ(X1 ) = E(X1 ) + 2σ(X1 ) = 5, 82 ρ(X2 ) = E(X2 ) + 2σ(X2 ) = 5 ⇒ ρ(X1 ) ρ(X2 )

Tehát nem koherens.


3.5.

12

VaR

Az α kvantilishez tartozó, adott jövőbeli időpontra vonatkozó kockáztatott érték, VaR (Value at Risk) definíciója: VaRα (X) = inf {x|P (X ≤ x) ≥ α} Azt mutatja meg, hogy adott időintervallum alatt, adott konfidenciaszinten maximum mekkora a veszteség nagysága. A kockáztatott érték fogalmának megalkotása [10] Philippe Jorion nevéhez fűződik. Bevezetése nagymértékben hozzájárult a kockázati mutatók fejlődéséhez, egyben új irányt mutatva a kutatásoknak. A gyakorlatban α 1-hez közeli, azaz kicsi a VaR-nál nagyobb veszteség bekövetkezésének valószínűsége. 3.2. Definíció: Adott X valószínűségi változó α ∈ (0, 1) alsó és felső kvantilisei: qα = inf {x|P (X ≤ x) ≥ α} = VaRα (X) q α = inf {x|P (X ≤ x) > α} = VaRα (X) 3.3. Megjegyzés: Mivel az {x|P (X ≤ x) ≥ α} ⊃ {x|P (X ≤ x) > α} tartalmazás teljesül, ezért qα ≤ q α . Továbbá egy adott α-ra qα = q α pontosan akkor teljesül, ha a P (X ≤ x) = α egyenlőséget legfeljesebb egy x érték teljesíti. 3.4. Következmény: Folytonos eloszlásokra az alsó és a felső kvantilis megegyezik minden α ∈ (0, 1)-re. A kockáztatott érték kiszámítására többféle módszer is létezik. Például a történeti szimulációs és Monte-Carlo-szimulációs módszer. Diszkrét esetekben mindkét módszer jól alkalmazható. A történeti szimuláció során a különböző Xi értékek egyszerű múltbeli idősorok (minták) elemei. A módszer nem támaszkodik az X eloszlásával kapcsolatos feltételezésre, mivel empirikus eloszlást használ. Ez előnyös lehet nagyobb mintánál, vagy kisebb α-hoz tartozó VaR becslésénél, de a magas kvantilisek becslése ezzel a módszerrel nagyon bizonytalanná válik. A Monte-Carlo-szimuláció esetében X eloszlásfüggvényét szimulált Xi értékek empirikus eloszlásaként kapjuk meg.


13

2. táblázat. VaR vizsgálata Lehetséges esetek X1 X2 X1 + X2 1.

0

0

0

2.

0

0

0

3.

0

0

0

4.

0

0

0

5.

0

0

0

6.

0

0

0

7.

0

0

0

8.

0

0

0

9.

0

1

1

10.

1

0

1

VaR85%

0

0

1


3.5. Példa: A következő példa jól mutatja, hogy a VaR nem szubadditív, azaz két portfólió egyesítésekor az egyesített portfólió kockázata lehet nagyobb, mint a külön-külön vett kockázatok összege, tehát nem koherens. A VaR85% (X1 ) = VaR85% (X2 ) = 0, hiszen akár 90%-os eséllyel is állíthatnánk, hogy 0-nál nem lesz több a veszteségünk, mivel csak 10% a valószínűsége annak, hogy 1-et vesztünk. Viszont VaR85% (X1 + X2 ) = 1, ami azt jelenti, hogy nem jelentkezik diverzifikációs hatás, tehát nem koherens, mert nem teljesül a szubadditivitás. Annak ellenére, hogy nem koherens, elég széles körben alkalmazzák. A bankok is általában ezzel a mértékkel számítják a piaci kockázatot. A Bázeli Bizottság 1993-ban kifejezetten ajánlotta bankok kockázatvállalásának mérésére. Előnyei, hogy a veszteségekre koncentrál; tetszőleges eloszlásra egyszerűen kiszámítható; a kockázatot pénzveszteségben fejezi ki; a gyakorlatban általában tekintetbe veszi a diverzifikációs előnyöket; könnyen szabályozható; és legfőbb előnye, hogy eredménye közérthető, ugyanis a kockázat mértékegysége a befektetés pénzneme, ezért kedvelik a szabályozók. Hátrányai, hogy nem késztet diverzifikációra; diszkrét, azaz nem sima eloszlásoknál körültekintőbben kell alkalmazni; nem mond semmit a vártnál nagyobb


14

veszteségek nagyságáról, ami vastag szélű eloszlásoknál jelentős hiba; és a veszteségeloszlásból csak egy pontot ragad ki. Mivel a VaR nem szubadditív, megakadályozza, hogy a VaR-limitek bevezetésével a teljes pozíció kockázatosságára felső korlátot adjunk. A kockáztatott értékkel mért portfóliókockázat magasabb lehet, mint a portfóliót alkotó értékpapírok kockázatának összege. Normális eloszlás esetén a VaR is koherens. Ezt a következő tétel mondja ki. 3.6. Tétel: Normális együttes eloszlás feltevésével X és Y valószínűségi változókra teljesül a szubadditivitás: ha 0, 5 ≤ α ≤ 1, akkor VaRα (X + Y ) ≤ VaRα (X) + VaRα (Y ) Bizonyítás: Legyen X ∼ N (µX , σX ) és Y ∼ N (µY , σY ). Ekkor X eloszX lásfüggvénye: FX (x) = P (X ≤ x) = Φ( x−µ ), ahol Φ(x) a standard norσX X mális eloszlás eloszlásfüggvénye. Ezért a Φ( x−µ ) ≥ α egyenlőtlenséget kell σX

megoldanunk a legkisebb x-re. Azaz VaRα (X) = σX Φ−1 (α) + µX , hasonlóan VaRα (Y ) = σY Φ−1 (α) + µY . Ekkor X + Y ∼ N (µX + µY ,

p 2 σX + σY2 + 2 corr(X, Y )σX σY ). Amiből azt kap-

juk, hogy q 2 VaRα (X + Y ) = σX + σY2 + 2 corr(X, Y )σX σY · Φ−1 (α) + µX + µY Mivel a corr(X, Y ) ≤ 1, Φ−1 (α) ≥ 0 és q 2 σX + σY2 + 2corr(X, Y )σX σY ≤ σX + σY ezért teljesül, hogy VaRα (X + Y ) ≤ VaRα (X) + VaRα (Y ) Ezzel az tétel állítását beláttuk. 3.7. Megjegyzés: Ha α < 0, 5, akkor fordított irányú egyenlőtlenség teljesülne. 3.8. Következmény: Normális eloszlású veszteség esetén a VaR a szórásszabályra egyszerűsödik: VaRα (X) = Ep (X) + Φ−1 (α) · σp (X)


15

Elliptikus együttes eloszlásokra is szubadditív a VaR, melyet a [11]-es jegyzet 1. tétele mond ki, és be is bizonyítja. Nézzünk néhány példát, ami a VaR alkalmazásainak hibáira hívja fel a figyelmet. A következő példák az [1]-ben találhatóak meg bővebben. 3.9. Példa: Hitelkockázat: Vegyünk egy nem diverzifikált vállalati kötvényportfóliót, azaz csak egyetlen vállalat kötvényébe fektetünk be. Tegyük fel, hogy a kockázatmentes kamatláb 0, és felvettünk 1 M forint hitelt. Minden vállalati kötvény kamatfelára 2 százalék, és a vállalatok 1 százalék eséllyel csődbe mennek, ilyenkor nem fizetnek vissza semmit. Ha nem megy csődbe az a cég, amibe befektettünk, akkor 20 E forintot nyerünk, ez legalább 95% biztonsággal teljesül. A VaR95% tehát negatív, ami nyereséget jelent. Most osszuk szét a tőkénket, és 100 különböző vállalat kötvényeibe fektessünk be 10 E forintot. Ekkor: P(legalább kettő csődbe megy) = 1 − P(0 vagy 1 megy csődbe) = = 1 − 100 · 0, 01 · 0, 9999 − 0, 99100 ≈ 0, 2642 Ilyenkor már a V aR75% is pozitív, nemhogy a VaR95% . Tehát annak ellenére, hogy diverzifikáltunk, nagyobb lett a kockázatunk. 3.10. Példa: VaR-limitek kijátszása: A VaR használata rossz kockázatelosztásra is öszötönözhet. 3. táblázat. VaR alkalmazása Valószínűségek Lehetséges esetek A

B

C

0,94

1.

-300 -300 -300

0,03

2.

100

80

120

3.

100

120

80

0,03

Forrás: Artzner és szerzőtársai [1999]

Két kereskedő közül mindkettő az A kifizetéssel szembesül. Ekkor mindkettőjüknek a VaR95% = 100, mert biztosan állítható, hogy nem vesztenek 100-nál többet.


16

Ha viszont megállapodnak egymással a B és C eset között, akkor mindkettejüknek a VaR95% = 80 lesz, tehát csökkentik a kockázatot. Ezzel csak az a probléma, hogy ha kockázatkerülők, akkor így csökkent a várható hasznosságuk is, mivel a biztos 100-as veszteséget lecserélték a várható értékben 100-as nagyságra: 0, 5(80 + 120) = 100. Most nézzük a népszerűbb koherens kockázati mértékeket:

3.6.

Maximális veszteség

Minden ωi ∈ Ω elemi eseményhez tartozik egy Xi veszteség. Legyen a Pi (ω) valószínűségi mértékcsalád a következő:  1 ω ∈ ωi Pi (ω) = 0 ω ∈ / ωi Ekkor a maximális veszteség a Pi (ω)-n vett várható értékek felső határa: ( ) X max(Xi ) = sup EPi Pi ∈ Π d ahol d = 1. Tehát a 2.4. tételből következik, hogy a maximális veszteség koherens kockázati mérték. 3.11. Példa: Nézzük a következő példát: A következő táblázatból egyszerű számolással következik, hogy a tulajdonságok teljesülnek: • Szubadditivitás: max(X1 + X2 ) ≤ max(X1 ) + max(X2 ) pl.: 5 = max(X1 + X2 ) ≤ max(X1 ) + max(X2 ) = 8 • Monotonitás: X1 ≥ X2 m.m.: max(X1 ) ≥ max(X2 ) triviális • Pozitív homogenitás: ∀λ ≥ 0 : max(λX1 ) = λ max(X1 ) pl.: 8 = max(2X1 ) = 2 max(X1 ) = 2 · 4 = 8 • Eltolás invariancia: ∀α : max(X1 + α) = max(X) + α pl.: 5 = max(X1 + 1) = max(X1 ) + 1 = 4 + 1 = 5


17

4. táblázat. Maximális veszteség vizsgálata Lehetséges esetek X1 X2 X1 + X2 X3 = 2X1 X4 = X1 + 1 1.

1

0

1

2

2

2.

2

0

2

4

3

3.

3

0

3

6

4

4.

4

1

5

8

5

5.

3

2

5

6

4

6.

2

3

5

4

3

7.

1

4

5

2

2

8.

0

3

3

0

1

9.

0

2

2

0

1

10.

0

1

1

0

1

max(Xi )

4

4

5

8

5


3.7.

Várható veszteség

A várható veszteség, ES (Expected Shortfall) a VaR egy természetes koherens alternatívája, ami érzékenyebb a farok eloszlásokra és a konkrét veszteség értékre is.

Z 1 α VaRγ (X)dγ ESα (X) = − α 0 Az α értékhez tartozó ES azt mutatja meg, hogy mennyi a portfólió vár-

ható hozama az esetek legrosszabb α%-ában. Az α általában 0-hoz közeli és a veszteség negatív. Ekvivalens átírás: 1 ESα (X) = − E X · 1{X>xα } + xα α − P (X > xα ) α ahol xα = inf{x|P (X ≤ x) ≥ α} = VaRα (X). ES konzervatív módon értékeli a befektetések értékét és kockázatát, különös tekintettel a kevésbé nyereséges eredményekre. Magas α értékekre figyelmen kívül hagyja a legjövedelmezőbb, de valószínűtlen lehetőségeket, alacsony értékekre viszont a legrosszabb veszteségekre összpontosít. Még alacsonyabb α értékekre ES csak az egyetlen katasztrófális eredményt veszi figyelembe. Az α értéket általában 5%-nak szokták választani. Mivel kevés adatból nagyon bizonytalan a becslése, főleg viszontbiztosítók használják ezt a mértéket, akiknek


18

több adatuk, tapasztalatuk van, így jobban meg tudják becsülni az eloszlás szélét. Ahhoz, hogy belássuk, hogy koherens, vizsgáljuk meg a 4 tulajdonságot: • Monotonitás: ha X ≥ Y m.m., akkor ESα (X) ≥ ESα (Y ) Z Z 1 α 1 α ESα (X) = VaRγ (X)dγ ≥ VaRγ (Y )dγ = ESα (Y ) α 0 α 0 • Pozitív homogenitás: ∀λ ≥ 0 valós számra: ESα (λX) = λ ESα (X) Z Z λ α 1 α VaRγ (λX)dγ = VaRγ (X)dγ = λ ESα (X) ESα (λX) = α 0 α 0 • Eltolás invariancia: ∀β konstansra: ESα (X + β) = ESα (X) + β Z α Z 1 α 1 ESα (X + β) = VaRγ (X + β)dγ = VaRγ (X) + β dγ = α 0 α 0 Z α 1 VaRγ (X)dγ + βα = ESα (X) + β = α 0 • Szubadditivitás: ESα (X + Y ) ≤ ESα (X) + ESα (Y ) Bizonyítás: ( Legyen

Ekkor

(α)

1{X>xα } = (α) E 1{X>xα } = α

Legyen

1{X>x}

ha P (X = x) = 0

1{X>x} + és

α−P (X≤x) 1{X=x} P (X=x)

ha P (X = x) > 0

(α)

1{X>xα } ∈ [0, 1].

1 (α) ESα (X) = − E X · 1{X>xα } α

és

X + Y = Z.


19

Ekkor α ESα (X) + ESα (Y ) − ESα (Z) = h i (α) (α) (α) = E Z · 1{Z>zα } − X · 1{X>xα } − Y · 1{Y >yα } = i h (α) (α) (α) (α) = E X 1{Z>zα } − 1{X>xα } + Y 1{Z>zα } − 1{Y >yα } ≥ h i h i (α) (α) (α) (α) ≥ xα · E 1{Z>zα } − 1{X>xα } + yα · E 1{Z>zα } − 1{Y >yα } = = xα (α − α) − yα (α − α) = 0. Felhasználva, hogy (

(α)

(α)

1{Z>zα } − 1{X>xα } ≥ 0

ha X ≤ xα

(α) 1{Z>zα }

ha X > xα

−

(α) 1{X>xα }

≤0

Ezzel bizonyítottuk, hogy az ES szubadditív.

3.8.

ES és VaR összevetése

3.12. Példa: Tegyük fel, hogy az időtartam elején 100¤-t fizettünk a következő portfólióra. A profit minden esetben a (végérték−100), a táblázatból kiolvasható. Erre a portfólióra fogjuk megvizsgálni az ES és VaR értékeket. 5. táblázat. Várható veszteség vizsgálata Események valószínűsége portfólió végső értéke ¤-ban

profit ¤-ban

10%

0

-100

30%

80

-20

40%

100

0

20%

150

50

Forrás: wikipedia.org/wiki/Expected_shortfall

ES néhány α értékre kiszámolva: Elvárás a legrosszabb esetek 5%-ában: ezek az esetek a profit táblázat 1. sorában vannak, ahol -100¤ a profitunk, tehát az ES0,05 = −100. A 20%-hoz tartozó várható veszteség: mivel ekkor 10 eset esik az 1. oszlopba és 10 eset a 2. oszlopba, így ES0,2 =

0,1(−100)+0,1(−20) 0,2

= −0, 6. Hasonlóan bármilyen α-ra


20

kiszámolható. A 40%-os ES: ES0,4 =

0,1(−100)+0,3(−20) 0,4

= −40. Végül az ES1 =

0, 1(−100) + 0, 3(−20) + 0, 4 · 0 + 0, 2 · 50 = −6. A többi a következő táblázatból kiolvasható: 6. táblázat. α ESα 5%

-100

10%

-100

20%

-60

30%

-46,7

40%

-40

50%

-32

60%

-26,7

80%

-20

90%

-12

100%

-6

Ehhez képest a − VaR értékei: 7. táblázat. α − VaRα

3.9.

0% ≤ α < 10%

-100

10% ≤ α < 40%

-20

40% ≤ α < 80%

0

80% ≤ α < 100%

50

CVaR

A feltételes kockáztatott érték, CVaR (Conditional VaR) is a VaR-ra épül, de az azzal kapcsolatban felmerült problémákat kiküszöbölő kockázatmérő módszer. A bevezetése Rockafellar és Uryasev nevéhez kötődik. Az α kvantilishez tartozó feltételes kockáztatott érték: CVaR(X) = E[X|X > VaRα (X)]


21

m S Legyen A = Ai i=1 ⊆ Ω, amelyre teljesül, hogy m i=1 Ai = Ω. Legyen Ai elemszáma ni , és tegyük fel, hogy Ω minden eleme egyformán valószínű. Ekkor a Pi (ω), ahol ω ∈ Ω a következő: Pi (ω) =

 1

ω ∈ Ai

0

ω∈ / Ai

ni

Az így vett várható értékek szuprémuma a legrosszabb esetek átlaga lesz. A CVaR a szubadditivitás és a vastagszélű eloszlások problémáját is megoldja. Folytonos eloszlás esetén a CVaR egy adott konfidenciaszinten egybeesik az ES (−1)-szeresével (mert az ES-nél a veszteségek negatívak voltak), feltéve, ha a veszteség nem kisebb a VaR értékénél. Így a CVaR is koherens kockázati mérték. Diszkrét esetben két csoportra osztják a CVaR-hez hasonló kockázatmérő módszereket: CVaR+ és CVaR− , amelyek csak diszkrét eloszlásra különböznek egymástól. Kiszámításuk: CVaR+ (X) = E[X|X > VaRα (X)] CVaR− (X) = E[X|X ≥ VaRα (X)] Ebben az esetben a CVaR értékének kiszámítása: CVaR(X) = λ VaRα (X) + (1 − λ) CVaR+ (X) ahol λ =

F (VaRα (X))−α , 1−α

ahol F az X eloszlásfüggvénye, és F (VaRα (X)) =

P (X < VaRα (X)). λ-ra teljesül, hogy 0 ≤ λ ≤ 1. Ahogy a konfidenciaszint változik a CVaR+ és a CVaR− értékek ugrásszerűen változhatnak, míg a CVaR folytonos. A mutatók között a következő összefüggés áll fenn: VaRα ≤ CVaR− ≤ CVaR ≤ CVaR+ Érvényes a következő: − ESα = CVaR− +(λ − 1)(CVaR− − VaRα ) ahol λ =

P (X≤xα ) α

≥ 1, amiből az következik általánosságban, hogy − ESα ≥ CVaR− (X)


22

A CVaR− (X)-et szokták TCEα (X)-nek is hívni (Tail Conditional Expectation). Igaz rá, hogy a kimenetelek legrosszabb α százalékának a várható értékét veszi. A TCE az α kvantilis mellett figyelembe veszi az eloszlás farkát, a VaRral ellentétben.

4 ALKALMAZÁSOK

4.

23

Alkalmazások Ebben a fejezetben valódi részvényadatokra (amelyek a Yahoo oldalról le-

tölthetőek) számoljuk ki a kockázati mértékek viselkedését. Megvizsgálom 100 részvény árfolyamát 2003–2012-ig, kiszámolom a hozamaikat, és az R program segítségével számolom ki a kockázati mértékeket. Ezután megnézem külön 2003– 2007-ig, illetve 2008–2012-ig ugyanezeket az értékeket, majd összevetem a különkülön kapott értékeket. Névszerint a következő részvényekkel foglalkoztam:

1. ábra.

4 ALKALMAZÁSOK

24

Az alap Excel-beli csv fájl egy részlete:

2. ábra. Ez a fájl egyszerűen beolvasható az R programba a következő kóddal: > data <- read.csv("minta1.csv", + header=T, sep=";", dec=",") Szükségünk lesz néhány csomag függvényeire, ezért betöltjük ezeket is: > library(fExtremes) Mivel ezek az adatok napi értékek, ezért ki kell számolni a napi hozamokat: > ho <- data[,1] > for (i in 1:(length(ho)-1)){ + ho[i] <- (data[i+1,2]-data[i,2])/data[i,2]} > ho <- ho[1:length(ho)-1] > M <- ho > for(j in 3:51){ + h1 <- data[,1]

4 ALKALMAZÁSOK

25

+ for (i in 1:(length(h1)-1)) + {h1[i] <- (data[i+1,j]-data[i,j])/data[i,j]} + h1 <- h1[1:length(h1)-1] + M <- data.frame(M,h1)} > names(M) <- names(data[2:51]) A ciklusban mindig létrehozunk egy új vektort, aminek az elemei lesznek a napi hozamok, majd az M adattáblához hozzáfűzzük új oszlopként. A kód utolsó sorával biztosítjuk, hogy az M oszlopainak is meglegyenek a pontos nevei. Ezt az új adattáblát az R meg is tudja mutatni nekünk, ha a fix(M) kódot beírjuk:

3. ábra. Hozamok adattáblája Ezekre az adatokra már könnyen kiszámolható a szórásnégyzet, a MAD és az ES minden oszlopra. Az expected shortfall-hoz még külön be kell tölteni egy új csomagot!

4 ALKALMAZÁSOK

26

0.0010

Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney eBay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson

0.0000

0.0005

értékek

0.0015

0.0020

Szórásnégyzetek

4. ábra. Szórásnégyzetek grafikonja 1–50-ig > SzN <- apply(M,2,var) > MAD <- apply(M,2,mad) > library(PerformanceAnalytics) > ES=rep(0,50) > for(i in 1:50){ES[i]=ES(M[,i], p=0.01)} Az ES hozamokat számol, ezért ennek a −1-szeresét kell vennünk. Arra kell még odafigyelnünk, hogy miután kiszámoltuk az ES értékét, távolítsuk el a PerformanceAnalytics nevű csomagot a programból, mert ha ebben a csomagban számolnánk a VaR és CVaR mértékeket, akkor az extrém értékekre NA értékeket kapnánk. > ES=-ES > detach(package:PerformanceAnalytics) A VaR, a maximális veszteség és a CVaR számolásánál veszteségekre lesz szükségünk, ezért a hozamaink (−1)-szeresét kell vennünk. A veszteségekre már használhatjuk a VaR() és CVaR() függvényeket. > M <- -M > MAX <- apply(M,2,max) > VAR <- rep(0,50) > CVAR <- rep(0,50)

4 ALKALMAZÁSOK

27

0.0010

JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo

0.0000

0.0005

értékek

0.0015

0.0020

Szórásnégyzetek

5. ábra. Szórásnégyzetek grafikonja 51–100-ig > for(i in 1:50){ VAR[i] <- VaR(M[,i], alpha=0.95)} > for(i in 1:50){CVAR[i] <- CVaR(M[,i],alpha=0.95)} > names(VAR) <- names(M) > names(CVAR) <- names(M) Az oszlopdiagramos kirajzolásukhoz a barplot() függvényt használtam: > barplot(SzN, main="Szórásnégyzet", + ylab="értékek", names.arg=names(SzN), las=3) Azt látjuk, hogy a CityGroup illetve a Motorola részvényekre a szórásnégyzet sokkal nagyobb értéket adott a többihez képest. A megfelelő olvashatóság érdekében ezeket a magas értékeket nem ábrázoltam. Ehhez nézzük meg a CityGroup árfolyam grafikonját! A grafikonon azt látjuk, hogy 2008-ban mekkora visszaesése volt, tehát emiatt kaphattunk ekkora szórásnégyzetet. (A grafikon x-tengelyén az 1220-as érték felel meg 2008.01.02ának, az 1500 pedig 2009.02.10-ének.) Ha megnézzük az összes részvény árfolyam grafikonját, akkor azt látjuk, hogy majdnem mindegyiknél jelentős zuhanás látható 2008-ban. Példának beraktam még hat részvény árfolyamának grafikonját.

4 ALKALMAZÁSOK

28

30 20 10 0

értékek

40

50

CityGroup

0

500

1000

1500 Index

6. ábra. CityGroup árfolyama 2003–2012-ig

7. ábra. Árfolyamok 2003–2012-ig

2000


0.000

0.005

0.010

0.015

értékek 0.020

0.025


0.000

0.005

0.010

0.015

értékek 0.020

0.025

4 ALKALMAZÁSOK 29

MAD

8. ábra. MAD értékek grafikonja 1–50-ig

MAD

9. ábra. MAD értékek grafikonja 51–100-ig


0.0

0.2

0.4

veszteségek 0.6


0.0

0.1

0.2

0.3

veszteségek 0.4

0.5

0.6

4 ALKALMAZÁSOK 30


10. ábra. Várható veszteség grafikonja 1–50-ig


11. ábra. Várható veszteség grafikonja 51–100-ig


0.00

0.01

0.02

0.03

értékek 0.04

0.05


0.00

0.01

0.02

0.03

értékek 0.04

0.05

4 ALKALMAZÁSOK 31

VaR értékek

12. ábra. VaR grafikonja 1–50-ig

VaR értékek

13. ábra. VaR grafikonja 51–100-ig


0.00

0.01

0.02

0.04

veszteségek

0.03

0.05

0.06


0.00

0.01

0.02

0.04

veszteségek 0.03

0.05

0.06

0.07

4 ALKALMAZÁSOK 32

Érdemes lehet megvizsgálnunk ezeket az értékeket úgy is, ha felosztjuk a

2003–2012-ig terjedő időtartamot a gazdasági világválság szerint két részre. Azaz

számoljuk ki külön-külön a 2008 előtti és utáni időszakra is, hogy lássuk, hogy

a mértékek mennyire tudták előre jelezni a közelgő válságot. Tehát számoljuk

ki először a VaR értékeket! Mindkét grafikonon jól látható, hogy a 2008 előtti

időszakban határozottan kevesebb volt a VaR értéke minden részvényre, mint

2008 után. Ez azt jelenti, hogy a 2008 előtti adatok sajnos nem jelzik a válságot. VaR

2008 elott

2008 után

14. ábra. 95% VaR értékek 1–50-ig

VaR

2008 elott

2008 után

15. ábra. 95% VaR értékek 51–100-ig


0.000

0.001

0.002

értékek 0.003

0.004


0.000

0.001

0.002

értékek 0.003

0.004

4 ALKALMAZÁSOK 33

Nézzük a szórásnégyzet vizsgálatát is az első illetve a második időszakra, a

különbség itt is szembetűnő. Azt látjuk, hogy a CityGroup és Motorola értéke

2008-előtt még alacsony volt, majd 2008 után nagy mértékben megugrik. Tehát

a szórásnégyzet sem tudja előre megjósolni a közelgő válságot. Szórásnégyzetek

2008 elott

2008 után

16. ábra. Szórásnégyzetek ábrázolása 1–50-ig

Szórásnégyzetek

2008 elott

2008 után

17. ábra. Szórásnégyzetek ábrázolása 51–100-ig

4 ALKALMAZÁSOK

34

Most nézzük meg egy konkrét részvényre, hogy a kockázati mértékek hogyan viszonyulnak egymáshoz. Lássuk például a Boeing cég részvényárfolyamát: Szépen egységesen nőtt a nyeresége egészen 2008-ig, ahonnan folyamatosan egyre nagyobb lett a vesztesége, majd 2009-től kezdett újból nőni a bevétele.

data[, 13]

40

60

80

100

Boeing

0

500

1000

1500

2000

Index

18. ábra. Boeing árfolyama 2003–2012-ig

Kockázati mérték neve

8. táblázat. értéke 2003–2007-ig értéke 2008–2012-ig

Szórásnégyzet

0,00021

0,00058

Átlagos abszolút eltérés

0,01346

0,01852

95% VaR érték

0,02085

0,03982

99% VaR érték

0,03292

0,06438

Várható veszteség (ES1% )

0,04690

0,10984

Maximális veszteség

0,04848

0,07908

A kapott értékekről azt látjuk, hogy az első időszakban sokkal kisebbek voltak, mint a másodikban. Sőt némelyik közel kétszeresére változott. Egyik sem tudta megbecsülni a közelgő világválságot. Látjuk, hogy az ES és a Maximális veszteség a többi mértékhez képest konzervatívabb.

HIVATKOZÁSOK

35

Hivatkozások [1] Csóka Péter: Koherens Kockázatmérés és tőkeallokáció, Közgazdasági Szemle, 2003. október (855–880.) [2] Enrico De Giorgi: A Note on Portfolio Selection under Various Risk Measures, 19th August 2002 [3] Philippe Artzner–Freddy Delbaen–Jean-Marc Eber–David Heath: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, July 1999 Vol.9, No.3. (203–228) [4] Glenn Meyers: Coherent Measures of Risk, 16th March 2000 [5] Carlo Acerbi–Dirk Tasche: On the Coherence of Expected Shortfall, April 19, 2002 [6] Bugár Gyöngyi–Uzsoki Máté: Befektetések kockázatának mérése, Statisztikai Szemle, 2006. szeptember (876–898.) [7] Varga-Haszonits István: Kockázati Mértékek Instabilitása, ELTE 2009. [8] Regős Gábor: A kockázatok mérése és értékelése, Köz-gazdaság, 2014/1 [9] Peter J. Huber: Robust Statistics, 1981. [10] Philippe Jorion: Value at Risk, The New Benchmark for Managing Financial Risk 2007 [11] Risk Measures, Risk Aggregation and Capital Allocation, Spring 2010 [12] wikipedia.org/wiki/Expected_shortfall

Kockázati mértékek összehasonlítása. BSc Szakdolgozat

Recommend Documents