EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA

TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

SÍKIDOMOK Síkidom1 – síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat vonalak határolják. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos és szabálytalan síkidomok. A továbbiakban csak szabályos síkidomokkal foglalkozunk.

1. ábra: Szabálytalan és szabályos síkidom

A határoló vonalak szerinti további csoportosítás alapján megkülönböztethetünk egyenes vonalakkal és görbe vonalakkal határolt síkidomokat, valamint a kettő együttes megléte esetén összetett síkidomokat.

2. ábra: Szabályos síkidomok

Háromszögek Az egyenes vonalakkal határolt síkidomok legegyszerűbb esetei a háromszögek. Három egyenes vonallal határolt síkidom. A háromszögek jellemzői, hogy három csúcsuk (A, B és C), három szögük (,  és ) és három oldaluk (a, b és c) van. A háromszög belső szögeinek összege 180°. A két rövidebb oldalt befogónak, míg a hosszabbik oldalt átfogónak nevezzük. Egy oldalt és a szemközti csúcsot összekötő egyenest, amely merőleges az oldalra magasságnak nevezzük.

1

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

–1–

TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK – MÉRÉS TANTÁRGY

3. ábra: Általános háromszög és jellemzői

A háromszögek lehetnek: – általános háromszög, – egyenlő oldalú háromszög (minden szöge és oldala egyenlő nagyságú), – egyenlőszárú háromszög (szárai és alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak), – derékszögű háromszög (egyik szöge 90°-os).

4. ábra: (a) egyenlő oldalú, (b) egyenlő szárú és (c) derékszögű háromszög

Szerkeszthető három adatának ismeretében. (Például: három oldala hosszának ismerete, két oldal és egy szöge ismerete, egy oldala és a két rajtafekvő szögének ismerete.) A szabályos háromszögek két, vagy egy adat ismeretében is megszerkeszthetőek.

5. ábra: Általános háromszög szerkesztése

Négyszögek A négyszög négy egyenes vonallal határolt síkidom. A négyszögek jellemzői, hogy négy csúcsuk (A, B, C és D), négy szögük (, és) és négy oldaluk (a, b, c és d) van. A négyszög belső szögeinek összege 360°. A négyszögek lehetnek konkáv és konvex négyszögek. Konvex az a négyszög, amelyben található két olyan pont, amelyeket összekötő egyenes nem teljes egészében a síkidomon belül halad.

–2–


6. ábra: Konkáv és konvex négyszög

A szabályos négyszögek az alábbiak lehetnek: – négyzet és rombusz, – téglalap és paralelogramma, – trapéz, – deltoid. Négyzet – olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő és egymás melletti oldalai is egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói merőlegesen felezik egymást. Minden szöge derékszög. Jelölések: – csúcsok A, B, C és D; – oldalak a; – szögek  . Szerkeszthető egy oldala hosszának ismeretében. Példa: adott egy négyzet, amelynek oldala a=15 mm.

7. ábra: Négyzet szerkesztése

Rombusz – olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő és egymás melletti oldalai is egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói merőlegesen felezik egymást. Szemben fekvő szögei egyenlő nagyságúak. Jelölések: – csúcsok A, B, C és D; – oldalak a; – szögek  és . Szerkeszthető egy oldala hosszának és egy szöge nagyságának ismeretében. Példa: adott egy rombusz, amelynek oldala a=30 mm és kisebbik szöge =30°.

8. ábra: Rombusz szerkesztése

–3–


Téglalap – olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő oldalai egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói felezik egymást. Szemben fekvő szögei egyenlő nagyságúak. Jelölések: – csúcsok A, B, C és D; – oldalak a és b; – szögek  . Szerkeszthető két oldala hosszának ismeretében. Példa: adott egy téglalap, amelynek oldalai a=50 és b=25 mm.

9. ábra: Téglalap szerkesztése

Paralelogramma – olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő oldalai egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói felezik egymást. Minden szöge derékszög. Jelölések: – csúcsok A, B, C és D; – oldalak a és b; – szögek  és . Szerkeszthető két oldala hosszának és egy szöge nagyságának ismeretében. Példa: adott egy paralelogramma, amelynek oldalai a=50, b=25 mm és oldalai által bezárt szöge 60°.

10. ábra: Paralelogramma szerkesztése

Trapéz – olyan szabályos négyszög, amelynek egyik szemben fekvő oldalai párhuzamosak. A trapéz párhuzamos oldalakat (a, c) alapnak, az őket összekötő oldalakat (b, d) száraknak nevezzük. Jelölések: – csúcsok A, B, C és D; – oldalak a, b, c és d; – szögek és .

–4–


11. ábra: Általános trapéz és jellemzői

A trapézek lehetnek: – általános trapéz, – egyenlő szárú trapéz (alapon fekvő szöge és szára egyenlő nagyságúak), – derékszögű trapéz (egyik szöge 90°-os).

12. ábra: (a) általános-, (b) egyenlőszárú- és (c) derékszögű trapéz

Szerkeszthető négy adatának ismeretében. Példa: adott egy trapéz, amelynek oldalai a=50, b=30 és c=40 mm, továbbá egy szöge =60°.

13. ábra: Általános trapéz szerkesztése

Deltoid – olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, melynek az egyik átlója szimmetriatengely és melynek két-két egymás melletti oldala azonos hosszúságú. Az egyik átló merőlegesen metszi a másikat, és felezi azt. A deltoidnak létezik konkáv és konvex változata is.

–5–


14. ábra: Deltoid és jellemzői

Szerkeszthető három adatának ismeretében. Példa: Adott egy deltoid átlóinak hossza e=30, f=60 mm. Az egyik átló 1:2 arányba osztja a másikat.

15. ábra: Deltoid szerkesztése

Kör és részei Kör – olyan pontok mértani helye, amelyek egy ponttól a kör középpontjától (O pont) azonos távolságban (r sugár) helyezkednek el. A kör egyenessel (egyenesekkel) való metszésekor további síkidomok jönnek létre amelyeket körszeletnek és körcikknek nevezünk.

16. ábra: Kör és jellemzői, körrészek

–6–


Az érintő olyan egyenes (e), amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel (E). A szelő (s) olyan egyenes, amely két pontban (P1 és P2) metszi a körvonalat. A húr olyan szakasz, mely a szelő s egyenes része, és végpontjai a körvonal pontjai (P1 és P2). A húr a kör síkterületét két szeletre bontja. A sugár (r) a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz. Az átmérő (d) olyan húr, mely áthalad a kör középpontján. Az átmérő hossza kétszer akkora, mint a sugár hossza (d=2r). Az ív (i) a körvonal egy szakasza. A körcikk olyan síkidom, melyet két sugár, és egy ív határol. Ennek speciális esete a félkör, mely egyben speciális szelet is. A körgyűrű két koncentrikus kör közé eső sík rész. Szerkeszthető két vagy három adatának ismeretében. Példa: Adott egy körcikk, amelynek sugara r=40 mm és központi szöge 60°.

17. ábra: Körcikk szerkesztése

Ellipszis Ellipszis2 – azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól (F1 és F2) mért távolságának összege állandó. A két pontot fókuszpontnak vagy gyújtópontnak hívják. Az ellipszis kúpszelet: ha egy kúpfelületet egy olyan síkkal metsszük, amely nem metszi a kúp alaplapját (és nem is párhuzamos azzal), a metszésvonal ellipszis lesz.

18. ábra: Ellipszis és jellemző

2

http://www.geogebra.org/en/upload/files/magyar/ErnyeiKitti/ellipszis_szerk_ernyei.html

–7–


Példa: Adottak egy ellipszis fókuszpontjai (F1, F2) és a nagytengely hossza 2a=80.

19. ábra: Ellipszis szerkesztése

Összetett síkidomok Olyan síkidomok, amely több elemi síkidom összevonásával, vagy eltávolításával képezhető. A keletkezett síkidom paraméterei elemi síkidomokra bontással kezelhetőek. A műveletek jellemzően a lemezalkatrészek kialakítása során alkalmazott a gépészet területén. A továbbiakban néhány példát láthatunk a problémák kezelésére.

20. ábra:Összetett és elemi részekre bontott alkatrész

Példa: Határozd meg az alábbi összetett lemezalkatrész elemi részeit és nevez meg azokat!

21. ábra: Összetett lemezalkatrész

–8–


22. ábra: Elemi részekre bontott lemezalkatrész (additív)

Az összetett alkatrész háromszögekből (H1), négyszögekből (N1, N2, N3 és N4), továbbá körcikkekből (K1) és "negatív" körcikkekből (K2) áll. A jelenlegi felosztás során additív módon bontottuk fel az alkatrészt, ami azt jelenti, hogy minden egyes elem területét össze kell adni ahhoz, hogy megkapjuk az alkatrész területét.

23. ábra: Elemi részekre bontott lemezalkatrész (szubtraktív)

A jelenlegi felosztás során szubtraktív módon bontottuk fel az alkatrészt, ami azt jelenti, hogy minden egyes elem területét le kell vonni ahhoz, hogy megkapjuk az alkatrész területét. Ez a módszer a hagyományos gyártási eljárásoknak megfelelően közelít a probléma megoldásához. Vagyis az eredeti kiinduló négyszög alakú alapanyagból fémalakítási módszereknek megfelelően (darabok le/kivágásával) készítjük el a végleges alkatrészt. Mint látható az utóbbi megoldás egyszerűbb megoldást eredményezett.

–9–

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

Recommend Documents