METODE EXTENDED KALMAN FILTER TUGAS AKHIR SM 1330
ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN METODE EXTENDED KALMAN FILTER VANITA HANDANI NRP 1202 100 008 Dosen Pembimbing Endah Rokhmati M.P., SSi, MT Dr. Erna Apriliani, MSi JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2007
i
LEMBAR PENGESAHAN
ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN EXTENDED KALMAN FILTER
TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Bidang Minat Riset Operasi dan Simulasi Program Studi S-1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Oleh : VANITA HANDANI Nrp. 1202 100 008
Disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir : 1. Endah Rokhmati M.P., SSi, MT
(..........................)
2. Dr. Erna Apriliani, MSi
(..........................)
SURABAYA, MARET, 2007
ii
ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN METODE EXTENDED KALMAN FILTER Nama Mahasiswa : Vanita Handani NRP : 1202 100 008 Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Dosen Pembimbing: Endah Rokhmati M.P., SSi, MT : Dr. Erna Apriliani, MSi Abstrak Option adalah kontrak keuangan yang memberikan hak kepada pemegang kontrak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga tertentu dalam jangka waktu tertentu. Terdapat dua buah model untuk mendapatkan harga call option yang dikenal dengan model Bachelier dan model BlackScholes. Baik model Bachelier maupun model Black-Scholes tidak bisa langsung digunakan, sebab diperlukan nilai volatilitas yang tidak dapat diamati secara langsung, oleh karena itu terlebih dahulu harus dilakukan estimasi volatilitas. Estimasi volatilitas dilakukan dengan menggunakan metode Historical Data yaitu GARCH (1,1). Hasil estimasi volatilitas tersebut, kemudian digunakan untuk mengestimasi European call option pada model Bachelier dan model BlackScholes dengan metode Extended Kalman Filter. Setelah melakukan estimasi European call option, maka dilakukan perbandingan antara kedua model tersebut, sehingga diperoleh bahwa model Black-Scholes lebih baik daripada model Bachelier pada objek penelitian ini. Kata kunci: Call option, volatilitas, model Black-Scholes, model Bachelier, GARCH (1,1), Extended Kalman Filter.
iii
EUROPEAN CALL OPTION ESTIMATION AT THE BACHELIER MODEL USING EXTENDED KALMAN FILTER METHOD Name NRP Department of Supervisor
: Vanita Handani : 1202 100 008 : Mathematics FMIPA-ITS : Endah Rokhmati M.P., SSi, MT : Dr. Erna Apriliani, MSi
Abstract An option is a finance contract that gives the holder the right to buy or sell the underlying asset by a certain date for a certain price. There are two kinds of model in the pricing of options what have known as the Bachelier model and the Black-Scholes model. The Bachelier and Black-Scholes model cannot be used directly, because there is a volatility. where the market cannot gives the value of volatility. So the first step is to calculate the volatility. In estimating volatility, Historical Data method is used which one of them known as GARCH (1,1). The result from the previous step is used to estimate the European call option in the Bachelier and the Black-Scholes model through an Extended Kalman Filter method. To get a good model for estimating European call option, therefor we have to compare the option price. It is found that the Black-Scholes model is the better model for option-pricing than the Bachelier model. Keywords: Call option, volatilitas, model Black-Scholes, model Bachelier, GARCH (1,1), Extended Kalman Filter.
iv
KATA PENGANTAR Dengan Syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan karunia dan petunjuk sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul: “Estimasi Harga European Call Option pada Model Bachelier Menggunakan Extended Kalman Filter “ Adapun tujuan dari penulisan laporan Tugas Akhir ini adalah sebagai sarana guna meningkatkan ilmu pengetahuan, teknologi, wawasan serta keterampilan agar mampu mempertanggungjawabkan apa yang telah kita kerjakan berdasar pada kepentingan dan kebutuhan dengan didukung berbagai analisa, teori pada banyak bidang secara utuh sehingga nantinya dapat memberikan kontribusi pemikiran tentang aplikasi matematika pada lembaga/masyarakat yang bersangkutan. Akhir kata, penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penyusunan laporan Tugas Akhir ini masih banyak terdapat kekurangan. Oleh karena itu penulis akan berterima kasih apabila ada saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak demi perkembangan Matematika yang lebih baik di kemudian hari.
Surabaya, Februari 2007 Penulis
v
Spesial thanks..................... Ucapan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu selama penyusunan Tugas Akhir dan selama masa studi di Matematika: Ibu Endah Rokhmati M.P., SSi, MT dan Ibu Dr. Erna Apriliani, MSi selaku dosen pembimbing atas motivasi, waktu, pemikiran, dan bimbingan yang telah diberikan di sela-sela waktu yang amat padat. Bapak Drs. Nurul Hidayat, M.Kom dan Ibu Valeriana Lukitosari, Ssi, MT selaku doses penguji atas bantuan, masukan, serta tambahan wawasan yang telah diberikan. Keluarga Dr. Ir. Josep prijotomo, M.Arch atas perhatian, support dan memfasilitasi selama pengerjaan Tugas Akhir ini. Keluarga ua’ Ir. S.A Ferdinandus dan ua’ Ir. Ida Ferdinandus, yang dukungan dan pemikirannya menyemangati nita. Keluarga besar R-10, Ibu Sunjoyo selaku ibu yang sabar dan tekun membimbing nita. Mbak Rum, Dadek dan teman-teman kos: mbak Lisa Septy, Jutex, Dita, Anvi yang selalu hangat supportnya. Mbak Dewi Puji Utami yang selalu sabar berbagi ilmu dan sarannya saat stresss selama pengerjaan Tugas Akhir ini. Achie, Hana, Lidya, Ummu, Dessy, Dina, Popot, Ima, Tatik, Yeni, Dwi Pus, thanks for help and being a nice friends serta keluarga besar Matematika ’02 terima kasih telah berbagi semangat, kebersamaan dan kenangan yang tak terlupakan. Keluarga Pakde Dr. Palgunadi dan Bude Drg Sri Windarti, keluarga Pakde Dr. Bangun Astarto dan Bude Sufiyani selaku orang tua yang kasih sayangnya membantu nita berkembang dan siap untuk berbakti. Mas Cokro.........thanks for everythings serta kesabaran mendampingi nita walau jarak memisahkan. Ibunda Estelita dan Adik Suryo Adi Prasojo atas doa, kasih sayang, pengertian, motivasi, kesabaran dan semangat yang tak pernah henti, Ayahanda tercinta atas doa yang tulus. vi
DAFTAR ISI Halaman i JUDUL..................................................................................... ii HALAMAN ENGESAHAN.................................................. iii ABSTRAK.............................................................................. v KATA PENGANTAR............................................................ DAFTAR ISI........................................................................... vii x DAFTAR GAMBAR.............................................................. DAFTAR TABEL................................................................... xi DAFTAR SIMBOL................................................................ xii BAB I. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
PENDAHULUAN Latar Belakang……………………………………… Perumusan Masalah………………………………… Batasan Masalah…………………………………….. Asumsi………………………………………………. Tujuan dan Manfaat………………………………… Sistematika Penulisan………………………………..
1 2 2 3 3 3
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Option………………………………………………. 2.1.1. Contoh Mekanisme Option……………………... 2.1.2. Diagram Pay-off…………………………........... 2.1.3. Keuntungan Perdagangan Option………………. 2.1.4. Komponen dalam Kontrak Option………........... 2.1.5. Option Berdasarkan Nilai Intrinsik……………... 2.2. Model Bachelier…………………………………….. 2.2.1. Formula Bachelier……………………………… 2.3. Formula Black-Scholes……………………………... 2.4. Estimasi Volatilitas dengan Metode Historical Data 2.4.1. Pola berbobot……………………………............ 2.4.2. Model GARCH…………………………………. 2.4.3. GARCH (1,1)……………………………............ 2.5. Metode Maximum Likelihood.....................................
5 6 9 11 12 13 14 15 16 16 17 18 19 19
vii
2.6.Filter Kalman .............................................................. 2.6.1. Algoritma Filter Kalman...................................... 2.7. Extended Kalman Filter.............................................. 2.7.1. Algoritma Extended Kalman Filter...................... 2.8. Uji Normalitas Data.................................................... BAB III. METODE PENELITIAN 3.1. Objek Penelitian.......................................................... 3.2. Pendugaan dan pengujian data.................................... 3.3. Analisis Penaksiran parameter volatilitas.................. 3.4. Estimasi Nilai European Call Option dengan Metode Extended Kalman Filter....................... ........ 3.5. Menentukan error dari Model Bachelier dan Model Black-Scholes.............................................................. 3.6. Penarikan Kesimpulan............................................... 3.7. Diagram Alir Penelitian............................................. BAB IV. PEMBAHASAN DAN SIMULASI 4.1. Model Bachelier.......................................................... 4.2. Penggunaan Extended Filter Kalman pada Model Bachelier..................................................................... 4.2.1. Algoritma EKF pada Estimasi Call Option....... 4.3. Penggunaan Extended Filter Kalman pada Model Black-Scholes.............................................................. 4.3.1. Algoritma EKF pada Estimasi Call Option....... 4.4. Pengujian Asumsi....................................................... 4.5. Estimasi Volatilitas dengan GARCH (1,1)................ 4.5.1. Menentukan Nilai return................................... 4.5.2. Estimasi parameter MLE................................... 4.5.3. Estimasi Volatilitas dengan GARCH (1,1)....... 4.6. Estimasi European Call Option pada Model BlackScholes dengan EKF………………………………... 4.7. Estimasi European Call Option pada Model Bachelier dengan EKF……………………………… 4.8. Perbandingan Error pada Model Black-Scholes dan
viii
22 29 30 31 33
35 35 36 36 37 37 37
41 44 45 49 50 51 52 52 53 54 55 56
58 BAB V. PENUTUP 5.1. Kesimpulan................................................................. 5.2. Saran...........................................................................
61 61
DAFTAR PUSTAKA............................................................. LAMPIRAN............................................................................
63 64
ix
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 2.6 Gambar 2.7 Gambar 2.8 Gambar 3.1 Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 4.1 Gambar 4.2 Gambar 4.3 Gambar 4.4 Gambar 4.5 Gambar 4.6
Halaman Diagram Hak dan Kewajiban Penulis dan Pengambil Call Option………………………..... 6 Contoh Skenario yang Mungkin Terjadi pada Call Option…………………………………....... 7 Diagram Hak dan Kewajiban Penulis dan Pengambil Put Option…………………………... 8 Contoh Skenario yang Mungkin Terjadi pada Put Option............................................................. 8 Profit pada Long dan Short Call Option (Naked Position)………………………………………… 10 Profit pada Long dan Short Put Option (Naked Position)………………………………………… 10 Perbandingan Keuntungan Membeli Option dan Saham................................................................... 12 Ilustrasi Filter Kalman.......................................... 30 Flowchart Estimasi volatilitas dengan GARCH (1,1)……………………………………………... 38 Flowchart Estimasi Call Option pada Bachelier model dengan Extended Kalman Filter................ 39 Flowchart Estimasi Call Option pada BlackScholes model dengan Extended Kalman Filter. 40 Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov........................... 51 Data Saham dan Nilai Return............................... 53 Hasil Estimasi Volatilitas saham Apple Computer Inc…………………………………… 55 Hasil Varian Prediksi dan Koreksi pada Model Black-Scholes....................................................... 56 Hasil Varian Prediksi dan Koreksi pada Model Bachelier............................................................... 57 Hasil perbandingan dari Model Bachelier dan Model Black-Scholes............................................ 58
x
DAFTAR TABEL Halaman Tabel Hasil Estimasi Parameter saham Apple Computer Inc………………………………......... 54 Tabel 4.2 Tabel hasil Average Relatif Price Error………… 59 Tabel 4.1
xi
DAFTAR SIMBOL Pemakaian Pertama Kali pada Halaman 9 9 13 15 15 15 16
Simbol ST X S T σ c r N(.) uk V ω α β xk wk zk vk Q R
xk ~ xk
Harga saham pada saat jatuh tempo Harga strike Harga Saham/underlying asset Maturity date Volatilitas Call option (premi) Suku bunga bebas resiko CDF (Cumulative Distribution Fuction) normal standar Vektor masukan deterministik yang merupakan stock return pada waktu ke-k long average volatility Parameter GARCH (1,1) Parameter GARCH (1,1) Parameter GARCH (1,1) Variabel keadaan pada waktu ke-k Noise model sistem pada waktu ke-k Vektor pengukuran pada waktu ke-k Noise model pengukuran pada waktu ke-k Kovarian dari w k Kovarian dari v k Mean variabel keadaan (variabel keadaan stasioner) pada waktu ke-k Deviasi antara keadaan sebenarnya dengan keadaan stasioner
16 16 18 19 19 19 23 23 23 23 23 23 24 24
Pxk
Kovariansi error dari x k
24
Pzk
Kovariansi error pengukuran
25
xii
Pzk xk Kk
xˆ k () Ρk ()
xˆk
Cross kovarinsi antara x k dan z k
25
Kalman gain pada waktu ke-k Estimasi priori (sebelum pengukuran) Kovarinsi error estimasi priori Estimasi posterior (setelah pengukuran)
27 29 29 29
Ρk Kovarinsi error estimasi posterior h x(t k ), t k Matrik yang mempengaruhi pengukuran pada waktu ke-k Hk Matrik Jacobian dari h x(t k ), t k F 0 (x) CDF yang dihipotesiskan S(x) CDF sampel D jarak vertikal terjauh antara S(x) dan F 0 (x) ck Market optin price pada waktu ke-k
Wt
k2 B ( BS(
2 k ) 2 k )
29
30
CDF normal standar PDF (Density Function) normal standar Brownian motion (Wiener proses) Contingent claim
32 33 33 34 39 41 41 41 41
Variable keadaan (variance) pada waktu ke-k
44
Model call option persamaan Bachelier
45
Model call option persamaan Black-Scholes
50
xiii
