Studi Kasus Penyele y esaian Pers.Non Linier 1
Muhammad Zen S. Hadi, ST. MSc.
Studi Kasus Non Linier
Contoh Kasus 2
9 Penyelesaian persamaan non linier terkadang muncul sebagai permasalahan yang terpisah, tetapi terkadang pula muncul sebagai satu kesatuan atau satu rantai dari penyelesaian p permasalahan dimana penyelesaian persamaan non linier justru menjadi kunci dalam perhitungannya. 9 Beberapa contoh permasalahan yanng memerlukan penyelesaian persamaan non linier sebagai kunciinya adalah sebagai berikut: - Penentuan P t nilai il i maksimal k i l dan d min inimal i l fungsi f i non linier li i - Perhitungan nilai konstanta pada matrik m dan determinan, yyangg biasanya y muncul dalam pperm masalahan sistem linier, bisa digunakan untuk menghitungg nilai eigen - Penentuan titik potong beberapa fungsi f non linier, yang banyak digunakan untuk keperluan perhittungan-perhitungan tungan perhitungan secara grafis. grafis Studi Kasus Non Linier
Penentuan Nilai Maksimal da an Minimal Fungsi g Non Linier 3
Pada penyelesaian persamaan non linier dengan fungsi f(x), 0. Sedangkan pada penentuan maka dicari x yang memenuhi f(x)=0 nilai maksimal dan minimal dari fung gsi f(x) f(x), yang dicari adalah nilai x yang memenuhi f’(x)=0. JJadi di sebelum b l menggunakan k metode t de numerik ik untuk t k menentukan t k nilai il i maksimal dan nilai minimal pada fun ngsi f(x), maka terlebih dahulu dihitung g g( g(x)=f’(x). ) ( ) Nilai fungsi g g( g(x)) inilah yyang g menjadi j fungsi g acuan untuk menentukan nilai x dimana g((x)=0. Sedangkan untuk menentukan titik yyang diperoleh adalah titik maksimal atau titik minimal, maka perlu dihitun ng f’’(x).
Studi Kasus Non Linier
Contoh Co to Menentuk e e tukan a Nilai a Minimal a 4 2x+1 Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2-(x+1)e (x+1)e-2x 2 x**2-(x+1)*exp(-2*x)+1
1.5
1
0.5
0
-0.5 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dari gambar di atas nilai minimal terletak t antara –0.4 dan –0.2 Studi Kasus Non Linier
Contoh Menentuka an Nilai Minimal 5
Untuk menentukan nilai minimal terrlebih dahulu dihitung g(x)=f’(x) g(x) f (x) g(x) = 2x - e-2x + 2(x+1)e-2x = 2x+ (2x+1)e-2x Jadi permasalahannya menjadi me enyelesaikan persamaan : 2 = 0 2 (2 2x+ (2x+1)e 1) -2x Dengan menggunakan metode Secant diperoleh : Pendekatan awal di x0=-0.4 dan x1=-0 0.2 Toleransi error = 1e-005 Iterasi x 1 -0.316495 2 -0.332006 3 -0.329477 0.329477 4 -0.329523
f(x) ( ) 0.0581765 -0.0113328 0.000208218 7.28621e-007
Akar persamaan di x = -0.329523 -0 329523 Jadi nilai minimal fungsi f(x) terletak di x= -0.329523 Studi Kasus Non Linier
Penentuan Nilai Eigen g Pada Matrik 6
Nilai eigen g p pada suatu matrik A, merupakan m p nilai-nilai yyang g menyajikan karakteristik kestabila an matrik. Nilai eigen ini dapat dihitung menggunakan :
A − λI = 0
dimana I adalah matrik identitas dan d λ adalah nilai eigen dari matrik A. Bila matrik A mempunyai ukuran nxn n maka akan terdapat n nilai λ yang disajikan dalam bentuk perssamaan polinomial pangkat n sebagai berikut : n−2 n n −1 a n λ + a n−1λ
+ a n−2 λ
+ .. + a1λ + a0 = 0
Penentuan P t nilai il i λ merupakan k perrmasalahan l h d dalam l penyelesaian l i persamaan non linier.
Studi Kasus Non Linier
Contoh Penentuan Niilai Eigen g Pada Matrik 7
T t k nilai Tentukan il i eigen i d darii :
⎡2 1 0⎤ A = ⎢⎢ 0 3 − 1⎥⎥ ⎣⎢− 1 0 1 ⎥⎦
Nilai eigen dapat diperoleh den ngan : atau bisa dituliskan dengan :
2−λ
1
0
3−λ
−1
0
A − λI =
0 −1 = 0 1− λ
(2 − λ ){(3 − λ )(1 − λ )} + 1 = 0
− λ3 + 6λ2 − 11λ + 7 = 0 Secara grafis bisa digambarkan : 2
-x**3+6*x**2-11*x+7
1
Aturan Sarrus
0
-1
-2
-3
-4
Studi Kasus Non Linier
-5 2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Contoh Penentuan Nilai N Eigen g Pada Matrik 8
Dengan menggunakan metode secant diperoleh: Pendekatan awal di x0 = 3.2 32d dan x1 = 3.4 34 Toleransi error = 1e-005 Iterasii It x 1 3.31569 2 3.32411 3 3.32472 4 3.32472
f(x)) f( 0.0381934 4 0.00258307 -2.18963e e-005 1.23711e--008
Akar persamaan di x = 3.3247 72
Studi Kasus Non Linier
Menghitung g g Nilai Akar 9
Perhitungan nilai akar a dapat dilaku ukan dengan menggunakan persamaan f(x)=x2-a. Ini dapat dilakukan dengan menghitung penyelesaian dari persamaan : x2 - a = 0 Menghitung akar 3 dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan : x2 - 3 = 0 Dengan menggunakan metode seca ant diperoleh : Pendekatan awal di x0 = 1 dan x1 = 2 T l Toleransi i error = 1 1e-005 005 Iterasi x f(x) 1 1.66667 -0.222222 2 1.72727 -0.0165289 3 1.73214 0.000318878 4 1.73205 -4.40416e-00 07 Akar persamaan di x = 1.73205 Studi Kasus Non Linier
Menghitung g g Titik k Potong g 2 Kurva 10
Perhatikan dua buah kurva y=f(x) dan y=g(x) yang berpotongan di titik p seperti gambar berikut : y y=g(x)
p
x
y=f(x)
Unttukk menentukan U k titik i ik potong dua a buah kurva di atas secca cara a numerik u e maka a a pe pertama ta a kali a yan ng harus dilakukan adalah men nentukan fungsi dari persamaan dim mana titik potong didefinisikan dgn : f(x) = g(x) u atau f(x) – g(x) = 0
Maka fungsi persama aannya adalah f(x)-g(x). f(x) g(x). Studi Kasus Non Linier
Contoh Menghitung g g Titik Potong g 2 Kurva 11
Tentukan titik p potong g yy=2x3-x dan n yy=e-x Perhatikan gambar kedua kurva tesebut sebagai berikut: 3 2*x**3-x exp( x) exp(-x)
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2 2
0.4
0.6
0.8
1
Dari gambar di atas terlihat akar terletak di antara 0.8 dan 1. Studi Kasus Non Linier
Contoh Menghitung g g Titik Potong g 2 Kurva 12
Dengan menggunakan metode Seccant, terlebih dahulu disusun fungsi dari persamaannya adalah sebagai berikut: y=2x3-x - e-x P Pemakaian k i metode t d secantt d dengan titik pendekatan d k t awall 0 0,8 8d dan 1 adalah sebagai berikut: Pendekatan awal di x0 = 0.8 dan x1 = 1 Toleransi error = 1e-005 i 1 2 3 4
x 0.852558 0.861231 0.862873 0.862852
f(x) -0.0395088 -0.00628888 8.36952e-005 -1.73417e-007
Akar persamaan di x = 0.862852 Studi Kasus Non Linier
Latihan Soal : 1. Tentukan nilai akar 27 dan akar 50 0 2. Sebuah sinyal DTMF mempunyai persamaan : sin(x)+sin(2x). al tersebut untuk batas 0 s/d 3, Tentukan nilai maksimal dari sinya menggunakan metode Secant Secant. 3. Tentukan titik potong kurva y = e-x dengan y=x2 untuk batas [-1,1]. Gunakan metode Secant dan New wton Raphson. Bandingkan jumlah iterasi dan kesalahannya. on, Regula Falsi dan Secant 4. Gunakan metode Newton Raphso untuk t k menghitung hit akar k d darii 10 10. B Ba andingkan di k jumlah j l h it iterasii d dan kesalahannya. Buat kesimpulan. 5 Tentukan nilai puncak pada kurva yy=xx2+e-2xsin(x) pada range 5. x=[0,10] 6. Hitung nilai eigen dari Studi Kasus Non Linier
13
