akademia_matek_MERFOLDKO:OK
2010.07.30
08:47
Page 1
AKADÉMIAI KIADÓ KÖTETÜNK
m
m
ÉRFÖLDKÖVEK • FELVÉTELI FELKÉSZÍTÔ SOROZAT
matematika felvételi felkészíto´´
15 általános és 5 tehetséggondozó feladatsort tartalmaz ᐅ felöleli a teljes általános iskolai tananyagot ᐅ begyakoroltatja a rutinszerû feladatokat
(törtekkel végzett alapmûveletek, százalékszámítás, mértékegység-átváltás stb.) és a kreativitást igénylô feladatokat (kombinatorikus, valószínûségszámítási stb.) ᐅ kialakítja és rutinszerûvé teszi a feladatok megoldására
szánt idô helyes beosztását ᐅ iránymutatást ad a feladatok pontozására vonatkozóan ᐅ közli a megoldásokat, esetenként
magyarázatokkal részletezi ᐅ az egymásra épülô kompetenciafejlesztô feladatsorokkal
az alapos, elmélyült és sikeres felkészülést biztosítja
SIPOSS ANDRÁS
matematika felvételi felkészíto´´
AJÁNLJUK
4 és 5 évfolyamos középiskolába készülôknek
ᐅ tanórai és tanórán kívüli gyakorlásra ᐅ „éles” helyzetet modellezô próbafelvételiként
www.akademiaikiado.hu
SIPOSS ANDRÁS
ᐅ
m
AKADÉMIAI KIADÓ
ELÔSZÓ
A négy és öt évfolyamos középiskolába való bekerüléshez ma minden nyolcadikos diáknak két tantárgyból, magyarból és matematikából kell központi írásbeli felvételit tennie. Ez a feladat újszerû kihívás elé állítja a tanulót, hiszen a tanórán megszokott, témakörönkénti számonkéréshez képest itt a teljes addig megtanult anyagból kell számot adnia tudásáról. Ráadásul nemcsak a feladatsor egésze, hanem gyakran egy-egy feladat maga is több témakört ölel fel. A feladatok mennyisége szintén több az órán megszokottnál. Mindez – és maga az alkalom súlya, hogy az elért eredmény döntôen befolyásolhatja a továbbtanulási lehetôségeket – indokolja, hogy erre a megmérettetésre külön, célzottan készüljünk fel. Kötetünk ehhez kíván segítséget adni, tanárnak, diáknak és szülônek egyaránt. Az elmúlt években kikristályosodtak a felvételi példasorok tartalmi és formai jellegzetességei, így ezek megismerése nagyban hozzájárulhat a sikeres felvételihez. A könyvünkben található 20 feladatsor akár gyakorlásként, akár az „éles” helyzetet modellezô próbafelvételiként felhasználható a tanórai vagy azon kívüli készüléshez. Az összeállítás tematikájában, tartalmában, belsô arányaiban, nehézségében követi a NAT, a Kerettanterv és az egyéb hatályos oktatási dokumentumok elôírásait, és az uralkodó módszertani felfogás szerint inkább a kompetenciákra (készségekre, képességekre, a tanultak alkalmazására), mint a lexikális ismeretekre épít és kérdez rá. (Persze, ez utóbbiak is szükségesek – hiányukban nincs mit alkalmazni.) A kialakult gyakorlat szerint az írásbeli felvételi fôbb formai elemei a következôk. A vizsga idôtartama 45 perc. A feladatlap 10 feladatot tartalmaz, amelyekre összesen 50 pontot lehet kapni. (A tapasztalat szerint a helyes idôbeosztás az egyik legnagyobb probléma a felvételi megírása során.) Szintén az uralkodó módszertani trend szerint – és a könnyebb, egységesebb javítás végett – a megoldásokat lépésekre, ún. „itemekre” bontva tartalmazza a javító tanároknak szánt javítókulcs, ezért maguk a feladatok is gyakran eleve a), b), c) stb. pontokra bontott kérdéseket tartalmaznak, és a pontszám beírására hasonló módon betûzött kis kalitkák szolgálnak. Ezekkel a tanulónak semmi feladata nincs, bár némi információval szolgálnak. Egy alkérdés ugyanis általában egy item (egy kalitka), és 1 pontot ér – ez nem kizárólagos. Könyvünk feladatsorai mindezen formai elemeket tartalFELVÉTELI ELÔKÉSZÍTÔ
A AKADÉMIAI KIADÓ
5
mazzák, sôt iránymutató jelleggel közöljük az egy feladatban megszerezhetô pontszámot, és a megoldásra fordítandó idôre is javaslatot teszünk, segítve ezzel a helyes idôbeosztási rutin kialakítását. (Ezeket az információkat a példaszám mellett-alatt, a bal margón kívül elhelyezett kis piktogramokkal jelezzük: „ 3 ” jelzi, hogy a megoldásra 3 percet javaslunk fordítani, és „
4
” jelzi, hogy a feladat 4 pontot ér.)
A fôbb tartalmi jellemzôk pedig a következôk. A feladatok felölelik a teljes általános iskolai tananyagot, és a begyakorolható, rutinszerû elemek mellett elôszeretettel kérdeznek olyasmit is, ami nem „direktben” a megtanultak visszaadása, hanem kreatív alkalmazása. Az elôbbi („rutinszerû”) csoportba tartoznak (és bízvást minden „éles” feladatsorban szerepelnek): a törtekkel végzett alapmûveletek; a mértékegység-átváltások; a százalékszámítás; egyszerû állítások igaz-hamis voltának eldöntése (jól kell tudni a definíciókat!); egyszerû algebrai és geometriai számítások. Az utóbbi („kreatív”) csoportba jellemzôen kombinatorikus jellegû feladatok (kiválasztások, sorba rendezések) és a gyakorlatból vett problémák tartoznak. (Gyakoriak továbbá a statisztikai, ritkábbak a valószínûségszámítási feladatok; ezek jellemzôen nem túl nehezek, de a grafikon-olvasás vagy -készítés miatt többnyire idôigényesek.) Könyvünk mindegyik kategória és témakör feladatait bôséggel mutatja be, lehetôséget adva a gyakorlásra és a felkészülésre, a rutin kialakítására. Mindkét készség fejlesztésében sokat segíthet, hogy minden feladat megoldását közöljük, az „éles” javítókulcshoz hasonló, részletes pontozási útmutatóval (dôlt betûvel szedve). Sôt, mivel úgy gondoljuk, hogy ez a mû hiánypótló, és speciális körülményekre való felkészítést vállal, ezért a megoldások részletesebbek, mintegy kézen fogva vezetik a gyakorlás során a diákot, ily módon orientálva, „terelgetve”, tanítva is egyúttal. Helyenként (az „éles” megoldás során egyébként leírni nem szükséges, kisebb, másfajta betûvel szedett) kitekintô, magyarázó, a megértést segítô, a tudást elmélyítô részleteket is közlünk a megoldásokhoz. (Például az állítások igaz-hamis voltát mindig meg is indokoljuk, bár ez a felvételin magán nem szükséges – hacsak nem kérik külön.) A megoldások során a konkrét eredményt mindig kétszer aláhúzva jelezzük – érdemes ezt így tenni a felvételin is, hogy egyértelmû legyen. Táblázat-kitöltéses feladat során a megadott számok a megoldásban szürkék, a megtaláltak feketék. Tapasztalat, hogy az általános iskolás tanulók még nem mindig érzik igazán a matematika szigorú belsô felépítésének és pontos
6
AKADÉMIAI KIADÓ A FELVÉTELI ELÔKÉSZÍTÔ
megfogalmazásainak fontosságát: egy eredményt mindig indokolni kell (ha nem kéri külön a példaszöveg, akkor is célszerû), a „derült égbôl” egyszer csak elôálló számok mindig kétséget ébresztenek (külsô információ?) – ezért minden eredményt levezetés és meggondolás útján állítunk elô, ezzel is példát mutatva a feladatmegoldás kívánatos módjáról. Nem elég megtalálni egy eredményt: ha nem egyértelmû (például mert egy egyenlet megoldása során jött ki), akkor bizony indokolni kell azt is, hogy nincs több, miért nincs több. (Fôleg akkor lehet ez fontos, ha az erre irányuló gondolkodás folytán rájövünk, hogy mégis van – esetleg nem is egy – további megoldás. Sok-sok pont múlhat ezen! Különösen így van ez a kombinatorika-feladatoknál – akkor is érdemes valamilyen logika szerint végiggondolni, számba venni a lehetôségeket, és a gondolatmenetet le is írni, ha konkrétan csak a megoldásokat magukat, vagy azok számát kérdezik.) A feladatok megoldására javasolt perceket úgy állítottuk össze, hogy a 10 feladatra mindig 42 percet osztottunk fel. Javasoljuk ugyanis, hogy a feladatsor megoldása végén a tanuló hagyjon körülbelül 3 percet egy összegzô áttekintésre. Ellenôrizze, kitöltött-e minden szükséges adatot a feladatlap elején (név, iskola, születési idô – amit éppen kérdeznek). Vessen egy pillantást mindegyik megoldásra: egyértelmûen kiderül-e minden kérdésnél, hogy mi a válasz (arra válaszolt-e, amit kérdeznek); áttekinthetô, olvasható-e az indoklás, a gondolatmenet. (Van-e egyáltalán… Ha van, „jobb színben tûnik fel” a megoldás a javító tanár számára, és ez eredményezheti egy-egy kétes pont megadását.) Ez a végsô átnézés arra is jó lehet, hogy a diák észrevegyen, kiszûrjön (és kijavítson) nyilvánvaló elírásokat, hibákat, amelyek a megoldás közben bennmaradtak. Általános jó tanács: inkább kevesebb feladatot oldjon meg, de azt biztosan jól – mint többet, de a kapkodás miatt valószínûleg rosszul. Ugyanakkor az is taktikus és praktikus lehet, hogy ha (de valóban csak akkor, ha!) egy feladatról végképp semmi nem jut az eszébe, vagy már teljesen kifutott az idôbôl, akkor tippként írjon eredményt – a nem megválaszolt kérdés bizonyosan 0 pontot ér, annál még ez is csak jobb lehet (és a rossz válaszért – az eddigi gyakorlat szerint – „mínusz pontot” úgysem lehet kapni). Az is általános gyakorlat, hogy ha az egymásra épülô, több lépésbôl álló feladatban a tanuló valamelyik részeredményt elszámolja, és ezzel a rossz eredménnyel önmagában helyesen számol tovább, akkor (bár számszakilag persze a többi eredménye is rossz lesz) csak az elrontott lépésre nem kap pontot, a többire igen. Könyvünk 20 feladatsort tartalmaz egymás után (és külön a megoldásokat). Ebbôl 15 a (legalábbis matematikából) „általános” négy és öt évfolyamos gimnáziumba való felvételit modellezi, ezeket 5 ún. „tehetséggondozó” feladatsor követi, amilyeneket a valamely emelt(ebb) szintû, tagozatos is-
FELVÉTELI ELÔKÉSZÍTÔ
A AKADÉMIAI KIADÓ
7
kolába, osztályba jelentkezôk írnak. (Ami nem azt jelenti, hogy ezekben minden feladat „nagyon komoly” volna, és az általános osztályba készülôk ne tudnák megoldani ôket. Tanulságos ezeket is átnézni gyakorlásképpen.) Érdemes a feladatsorokon sorban végighaladni, van ugyanis néhány visszatérô jellegû, szinte egymásra épülô típus a feladatok között, amelyek egyre jobban elmélyítenek, kibontanak egy-egy részletet. Alapos, munkával teli felkészülést, felkészítést kívánok diáknak, tanárnak. Forgassák a könyvet olyan lelkesedéssel, elmélyültséggel és szeretettel, ahogyan én írtam, és akkor a siker nem marad el! Budapest, 2010. augusztus A szerzô
OLDD MEG! 5 5
6 6
3. FELADATSOR
7. Orsi szerint bármely öt egész szám közül mindig ki lehet választani úgy hármat, hogy az összegük osztható legyen hárommal. Dalma nem hiszi, hogy ez így van. Melyiküknek van igaza, és miért?
8. Az észak-amerikai indiánok törzsi hagyományaik ápolására rendszeresen ünnepi összejöveteleket (pow-wow) tartanak, ahol többek közt táncaikat is bemutatják egymásnak. Öt egymást követô ünnepen az alábbi törzsek táncai szerepeltek:
a b c d e
a b c d
dakota, pauni, apacs, sosón navahó, kri, ozsibva, dakota, kajova komancs, csipevéj, apacs pauni, pajút, hopi, csejenn, dakota, csoktó sosón, ozsibva, huron, cseroki, mohikán, kajova, mohauk
a) Ábrázold oszlopdiagramon, melyik ünnepen hány tánc került a mûsorba! b) Átlagosan hány tánc szerepelt egy ünnepen? c) Mely törzs tánca szerepelt legtöbbször? Hányszor? d) Mely törzsek tánca szerepelt pontosan két ünnepen?
3 4
9.
7 tizedes tört alakja? (Írásbeli osztással határozd meg az ered22 ményt!) b) Melyik számjegy áll a tizedes vesszô utáni 2010. helyen? 8 7 c-d) A és a közül melyik nagyobb és mennyivel? 25 22 a) Mi a
FELVÉTELI FELKÉSZÍTÔ
A AKADÉMIAI KIADÓ
21
a b c d
