Erdős Pál életének rövid bemutatása és munkássága SZAKDOLGOZAT

Erdős Pál

1

Erdős Pál életének rövid bemutatása és munkássága SZAKDOLGOZAT

Készítette: Készítette:

Konzulens:

Szincsák Melinda Szincsák Melinda

Dr. Tómács Tibor

Matematika BSc

Főiskolai docens

2009 április 5

2

Tartalom Bevezetés ...................................................................................................................................................... 4 Erdős Pál életének rövid bemutatása ................................................................................................ 6 Munkásságának bemutatása megjelent cikkei alapján ............................................................ 12 Gráfelméleti problémák ................................................................................................................... 12 Számelméleti problémák ................................................................................................................. 17 Kombinatorikus problémák ........................................................................................................... 27 Geometriai problémák...................................................................................................................... 30 Befejezés..................................................................................................................................................... 37 Felhasznált irodalom ............................................................................................................................. 38

3

Bevezetés Szakdolgozatom témájául Erdős Pál munkásságát választottam, mert szerettem volna egy híres magyar matematikus életét és tevékenységét bemutatni. Erdős Pál világutazó volt, de nem csak utazgatásai révén lett világhírű matematikus. Nagymértékben elősegítette a matematika fejlődését. Sajnálatos módon Erdős Pál nevét csak főiskolai tanulmányaim során ismertem meg, pedig munkássága igen kiemelkedő. A matematika oktatásának egyik nagy problémája, hogy a gyerekek nem szembesülnek elég korán azzal a ténnyel, hogy számtalan kiváló matematikusunk élt és él ma is. Tanulmányaink során híres matematikusként elsősorban Bolyai nevét ismerik meg a gyerekek, és keveset hallanak a többi híres matematikusról, mint például Turán Pál, Rényi Alfréd és még sorolhatnám. A matematikát véleményem –mint tanárnak készülő diák - szerint, úgy szerettethetjük meg a gyerekekkel, ha minél több példaképet mutatunk be nekik. Meglepő módon a matematika történetét, mint történelmet nem tanítjuk, tanuljuk, pedig számos érdekes és fontos információval gyarapodhatna tudásunk és a gyerekek tudása. Élvezetesebbé tehetnénk az oktatást azáltal, hogy bemutatjuk mikor, hol és ki alkotott meg egy-egy tételt és milyen körülmények között tette azt. Számomra igen nagy élmény volt mikor először megtudtam, hogy Eukleidész már időszámításunk előtt bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van. A gyermekeknek be lehetne mutatni a matematikai eszközök kialakulását, fejlődését. Ha a diákok, főként a kis gyermekek megismerik játékosan a matematika szépségét és rejtelmeit, könnyebben, szívesebben tanulják meg. A gyermekek még befolyásolhatók, érdeklődésük irányítható és ezt a szülőknek és pedagógusoknak ki kell használni, a gyerekeket jó irányba terelni. Valahogy így szerethette meg Erdős Pál is a matematikát: szülei révén olyan ismeretekre tett szert, amit a hétköznapi tankönyvek nem tartalmaznak. Erdős Pál nevét az egész világon ismerik, több mint 1500 cikke jelent meg. Erdős Pál viszont nem csak arról, volt híres, hogy kiemelkedő matematikus volt. Számomra azért is csodálatraméltó, mert szerette a gyerekeket, - bár Neki nem volt, - és felfedezte bennük a tehetséget. Problémafelvetése egyedülálló volt a világon. Kollégái számára mindig tudott valami új és meglepő problémát találni. Sokszor támogatta pénzdíjjal a megoldókat. Erdős Pál munkásságának tanulmányozása során nemcsak 4

az Ő tevékenységét ismertem meg. Sok szerzőtárssal dolgozott együtt, így betekintést nyertem a kor magyar matematikusvilágába. Érdekes volt számomra, hogy nem akart egyedüli dicsőséget, mindig valakivel együtt dolgozott, lehet, hogy ez kapcsolatban áll azzal a ténnyel, hogy sokat utazott, mert a kor politikai helyzete nem volt megfelelő. Sok tudósunk élt emigrációban a világháborúk alatt, és azt követően. Valószínűleg sokukról ezért van kevés információnk. A dolgozatban szeretném bemutatni Erdős Pál életét és azon munkáit, melyek hazánkban is megjelentek, kiadásra kerültek.

5

Erdős Pál életének rövid bemutatása 1913. március. 26-án született. Szülei Erdős Lajos és Wilhelm Anna szintén matematikával foglalkoztak, egy középiskolában tanárként dolgoztak. Erdős Pál születésekor szörnyű csapás érte a családot azáltal, hogy két nővére meghalt skarlátban. Ez a szörnyű esemény a kisgyermek egész életére hatással volt. A gyermek még csak egy éves volt, amikor apját behívták katonának, s édesanyjával egyedül maradt. A család egyedüli fenntartója így az anya maradt, s kénytelen volt dolgozni. Így arra az időre megfeledkezhetett azokról a szörnyű csapásokról, amelyek a családot sújtották. Az anya sokat dolgozott, Pál nevelését egy német kisasszonyra bízta. Már 3 évesen jól beszélt németül. A kisgyermek nagyon szeretett a naptárral játszani, s ennek segítségével igen hamar meg tanult számolni. Tehetsége a matematika területén már ekkor megmutatta első jeleit. Saját bevallása szerint már kisgyermekként jól számolt. Négyévesen ismerte a negatív számokat. Amikor a kis Erdős meg tanult olvasni, szülei orvosi könyveket vettek neki, mert szerették volna, ha sikeres orvos lesz belőle. Ezek a gondolatok valószínűleg azért támadtak a szülők fejében, mert már két gyermeküket elvesztették, és ily módon is védeni akarták fiukat. A Tanácsköztársaság idején anyja iskolaigazgatóként dolgozott, de sajnos ebből az állásból hamar eltávolították. Az akkori politikai helyzetben nem szerették, ha valaki ellenszegül a hatalomnak. Erdős édesanyja nem tartotta be a munkabeszüntetést, mert diákjai érdekeit vette figyelembe, de ez az állásába került. A zűrös politikai helyzetben sok zsidó család hagyta el hazánk területét. Sajnos ekkor nagyon sok tehetséges fiatal is külföldre távozott, köztük volt Neumann János, Teller Ede, Wigner Jenő és még sokan mások. Erdősék viszont Magyarországon maradtak, és az anya itt próbálta felnevelni fiát. Mivel egyedüli családfenntartó volt, másként kellett előteremtenie a család megélhetéséhez szükséges anyagi javakat. Az iskolai oktatástól eltiltották, ezért magántanárként tanított, valamint korrepetálásokat vállalt. Sokat dolgozott, de fiát nem engedte iskolába járni, mert féltette a betegségektől. Erdős Pált édesanyja és egy magántanár tanította otthon, de a tanév végén vizsgáznia kellett a tanultakból. Tehetségét akkor is megcsillogtatta, amikor az első elemi vizsga során eleget tett a második elemi osztály követelményeinek is.

6

Édesapja 1920-ban tért csak haza a hadifogságból. A fogság ideje alatt azonban megtanult angolul, bár a kiejtést nem volt alkalma gyakorolni. Ezt az angoltudást sajátította el gyermekkorában Erdős Pál, ami alapján kollégái már messziről felismerték. A prímszámok szeretete 10 éves korában kezdődött, amikor apja megismertette vele, hogy végtelen sok prím létezik s annak bizonyítását el is magyarázta. Érettségi vizsgáját a budapesti Szent István Gimnáziumban tette le. Zsidó származása miatt szülei féltek, hogy nem tudja majd tanulmányait folytatni, de kiváló eredményeinek köszönhetően bejutott az egyetemre. Két egyetemen is hallgatott előadásokat, az egyik a Pázmány Péter Tudományegyetem, a másik pedig a Műszaki Egyetem volt. Vázsonyi Endrével 1930-ban találkozott Erdős. Ekkor az ifjú matematikus már igen híres volt a matematikát szerető emberek között, mivel fényképe megjelent egy neves matematikával foglalkozó szaklapban. A fényképe azért jelent meg, mert megnyerte a matematikai versenyt. Vázsonyi apja azért hozta össze a találkozót, mert fia is nagymértékben érdeklődött a matematika iránt. Az első találkozás igen furcsára sikerült, mert egy cipőboltban került rá sor. A legérdekesebb azonban az egész esetben, hogy ekkor Erdős kicsit nagyképűnek látszott, mivel azzal büszkélkedett, milyen sok bizonyítását ismeri a Pitagorasz-tételnek, holott ez nem volt jellemző rá. Mindig segítőkész volt, és szívesen dolgozott, barátkozott olyan emberekkel, akik érdeklődtek a matematika iránt. Még nem töltötte be a 18. életévét, amikor megoldott egy gráfelméleti problémát, amit Kőnig Dénestől hallott. Bizonyítást adott arra - 18 évesen -, hogy n és 2n között mindig található 4k+1 és 4k+3 alakú prímszám. Másodéves hallgatóként nemzetközi elismerésre tett szert a matematika terén elért eredményeivel. Első cikke a szegedi Acta Scientiarum Mathematicum című folyóiratban jelent meg Kalmár László segédletével. 1934-ben végezte el az egyetemet, Fejér Lipótnál doktorált. Még ebben az évben Angliába utazott, ahol ösztöndíjasként tanult. Manchesterben posztdoktori képzésen vett részt. Sokat utazgatott Angliában. Manchesterben 4 évet töltött, de megfordult Cambridge-ben, Oxfordban és Londonban is. Ebben az időben találkozott G. H. Hardyval, aki analitikus számelmélettel foglalkozott. Hardy szintén szeretett másokkal együtt dolgozni, sőt sokat foglalkozott a fiatal tehetségekkel is. Hardy fedezte fel a fiatal indiai matematikust, Ramanujant. Ez az indiai fiatal önállóan, autodidakta módon tanulta meg a matematika tudományát egy olyan könyvből, mely nem tartalmazott a tételeken és definíciókon kívül semmi 7

mást, tehát nem voltak bizonyítottak a kimondott tételek. Erdőst nagyon érdekelte Ramanujan munkássága, és sokszor érdeklődött róla Hardytól. Sajnos találkozni nem tudott vele, mert a híres indiai matematikus 1920-ban meghalt. Érdeklődése azért volt oly nagymértékű, mert amikor 1931-ben bebizonyította Csebisev tételét, ami szerint minden n és 2n között található prímszám, akkor kiderült, hogy Ramanujan már ezt bebizonyította, és bizonyítása nagyon hasonló volt Erdőséhez. Az indiai matematikus bizonyítása még 1910-ben keletkezett. Erdős sokat foglalkozott az indiai matematikus munkásságával annak ellenére, hogy Ő nem a prímszámokkal foglalkozott elsősorban. Hardy felfedezettjét inkább az összetett számok érdekelték, azon belül is a különösen összetett számok. A különösen összetett számok abban különböznek a többi összetett számtól, hogy prímosztóik száma több mint a tőle kisebb összetett számok bármelyikének. Ramanujan listát készített az ilyen tulajdonsággal bíró számokról, és talált egy olyan aszimptotikus képletet, amely segítségével kifejezhetők a tetszőlegesen nagy n szám alatti különösen összetett számok. Erdős később ezen a képleten tudott javítani. Ramanujan és Hardy a kerek számokról írt egy tanulmányt 1917-ben. A kerek számok olyan tulajdonsággal bírnak, hogy a velük hasonló nagyságrendű számok közül szokatlanul sok prímosztóval rendelkeznek. A két híres matematikus a kerekségre is kidolgozott egy képletet. Erdős és Kac később felfedezték, hogy szoros összefüggés van a számok kereksége és a normális eloszlás között. 1936-ban Erdős hazalátogatott Magyarországra. Itthon tartózkodásai során mindig találkozott rokonaival, barátaival. Ez alkalommal látogatást tett Vázsonyiéknál is, aki gráfelmélettel foglalkozott igen sikeresen. Vázsonyi éppen az Euler Königsberg tételt terjesztette ki végtelen gráfokra, de csak a szükséges feltételekkel volt tisztában. Problémáját elmondta Erdősnek, aki nemsokára előállt az elégséges feltételek bizonyításával. Ez vezetett oda, hogy Erdős és Vázsonyi közösen írt a témában egy tanulmányt. 1938-ban szintén hazalátogatott, de az akkori politikai helyzet miatt nem volt maradása. Először Angliába ment, majd az Egyesült Államokba. Közel egy évet töltött Princetonban, ahol Mark Kaccal és Aurel Wintnerrel megalapozta a valószínűségi számelméletet. Princetonban először egy éves szerződése volt, amit később még hat hónappal meghosszabbítottak. Itt kutatói munkát végzett. 1939-ben a Princetonon Mark Kac előadását szinte végigaludta. A híres matematikus-fizikus előadása végén a 8

prímosztókkal kapcsolatos nehézségekre utalt, amire Erdős felébredt és kérte, hogy vázolja fel újból a problémát. Kac abban az időben a radar kifejlesztésén dolgozott és ez a téma igen távol állt a magyar matematikustól. A prímosztók problémája viszont felkeltette az érdeklődését. Néhány perc elteltével, még az előadás befejezése előtt Erdős készen állt a megoldással, amit azon nyomban közölt az előadóval, aki meglepődött a hallgató gyors megoldó képességén. A második világháború kitörése miatt sokat aggódott családja és barátai miatt. 1940-ben halmazelmélettel foglalkozott, és együtt dolgozott Stanislav Ulam-mal. Munkatársa meghívta, hogy tartson előadást Madisonban, ahol Ő tanított. A háborús helyzet nagyon megtörte Erdőst. Honvágya sokszor gyötörte és ideges volt családja miatt is, mert még levelezni sem tudott velük. 1943-ban Erdős állást vállalt a Purdue Egyetemen és innentől kezdve már nem tartotta szegénynek magát. 1945-ben végre híreket kapott a családjáról. A hírek között voltak jók és rosszak is. Apja 1942-ben meghalt szívinfarktusban, de édesanyja túlélte a budapesti gettóban töltött hónapokat. Auscwitzból meggyötörve ugyan, de életben hazatért unokatestvére Fredro Magda. Rokonai és barátai közül azonban sokan életüket vesztették a világháború során. 1948 decemberében Erdős hazautazott Magyarországra. Ekkor ismerte meg Sós Verát, Turán Pál későbbi feleségét, valamint Simonovits Miklóst, aki a matematika terén szintén csodagyereknek számított. A látogatás rövidre sikerült, mert a politikai helyzet miatt lezárták a határokat. A következő év februárjában hagyta el hazánkat, és ezután három éven keresztül utazgatott Anglia és az Egyesült Államok között. 1949ben elemi bizonyítást adott Alte Selberggel a prímszámtételre. 1951-ben Cole-díjat kapott, ezt számelméleti cikkei, de főként a prímszámtétel bizonyításával érdemelte ki. 1952-ben állást kapott a Notre Dame Egyetemen. Igaz, hogy ez az iskola egy katolikus egyetem volt, de a matematikust ez nem zavarta. 1954-ben meghívták Amszterdamba egy konferenciára, de nem kapott vízumot, amellyel visszatérhetett volna Amerikába. Ennek ellenére Erdős eleget tett a meghívásnak. Évekig nem térhetett vissza az Egyesült Államokba, de nem költözött haza Magyarországra sem. Sokat utazgatott Európában, de hosszabb ideig sehol sem látták szívesen. A kifogás mindig az volt, hogy kapcsolatban állt olyan országok matematikusaival, amelyekkel az adott ország nem volt - úgymond - felhőtlen viszonyban. Végül Izraelben kapott egy három hónapos szerződéses állást. 1955-ben visszatért hazánkba, de ekkor is csak befolyásos barátai segítségével sikerült. Az akkori kormány biztosított neki egy olyan kivéte9

les útlevelet, amivel bármikor elhagyhatta az országot és vissza is térhetett. Mindezt szintén barátainak köszönhette, akik tudták, ha Erdős nem utazhat, akkor nem lesz boldog. Magyar állampolgár volt, de tartózkodási helye Izrael volt. Magyarországra 1956-ban látogatott el újra, amikor is levelező tagja lett a Magyar Tudományos Akadémiának. 1958-ban megkapta a Kossuth-díjat. 1959-ben matematikusunk beléphetett az Egyesült Államok területére, pontosabban részt vehetett a Coloradói Boulderben megtartott számelméleti konferencián azzal a feltétellel, hogy egy matematikus mindvégig mellette tartózkodik és vigyáz rá. Visszatérve a konferenciáról ismerte meg Pósa Lajost, a tizenkét éves ifjú matematikus-tehetséget. A fiatalember nagy hatással volt Erdősre. Sokat találkoztak, és amikor a fiú tizennégy éves lett megírták első közös tanulmányukat. A tanulmányban a gráfelmélet egy problémájával foglalkoztak. 1962-ben a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagjai közé választotta Erdőst. Végleges állása ez idáig még nem volt, de Rényi Alfréd közbenjárására állandó állást kapott a Matematikai Kutatóintézetben. Évente hazalátogatott, hogy életben maradt családtagjait, rokonait meglátogassa. 1963-ban engedélyezték, hogy viszszatérjen az Államokba. Ekkor ismerkedett meg Ronald Grahammel, aki később gondját viselte a tudósnak. Jó barátok és munkatársak lettek, 27 cikket és egy könyvet írtak közösen az elkövetkező évek folyamán. 1964-től édesanyja - annak ellenére, hogy nem szeretett utazni - szinte mindenhová fiával utazott, ez alól csak Izrael volt kivétel, mert félt a betegségektől. A hatvanas évektől főként halmazelmélettel foglalkozott. 1966-ban egy évszázados probléma megoldásán fáradozott sikeresen John Selfridgdzsel a számelmélet területén. 1970-ben Los Angelesben tartott előadást, ahol Erdős két és fél milliárd évesnek tartotta magát. A történetben a matematikus azért olyan idős, mert amikor még kisgyermek volt, a tudósok kétmilliárd évesnek tartották a földet, amikor viszont az előadást tartotta, az akkori tudósok négy és félmilliárd éves körül határozták meg a föld korát. Tehát tudósunk egy emberöltő alatt két és fél milliárd éves lett. 1971-ben a Bolyai János Matematikai Társulattól megkapta a Szele Tibor-emlékérmet, de ebben az évben súlyos csapás érte, meghalt az édesanyja, amit soha nem tudott kiheverni. 1973-ban tiszteletbeli tagja lett a Londoni Matematikai Társaságnak, majd 1975-ben vendégprofesszorként előadást tartott Cambridge-ben, a Trinity College-ban. 1976-ban súlyos csapás érte a híres matematikust: legjobb barátja, Turán Pál is meghalt. Turánnal közösen összesen harminc tanulmányt írtak. A következő években több egyetem díszdoktorává választotta, mint például 1977-ben a 10

hannoveri Technisce Hochscule, az Eötvös Lóránd Tudományegyetem 1993-ban. 1984-ben megkapta a Nobel-díjjal egyenértékű Wolf-díjat, amit 1976-ban Ricardo Wolf és felesége hozott létre azzal a céllal, hogy előmozdítsák a tudományok és művészetek fejlődését. A díj 100 ezer dollár, amit a díjazottak között egyenlő arányban osztanak szét. A díjat Izrael elnöke adja át minden évben a Kneszetben Izrael megalakulásának évfordulóján. Erdős a pénzdíj nagy részét a szülei emlékére létrehozott izraeli alapítvány részére utalta át. 1991-ben Akadémiai aranyéremmel tüntették ki eredményes munkásságáért. Utazó életmódja révén, az egész világon ismertté vált a neve. Erdős nemcsak matematikai tudásával hívta fel magára mások figyelmét. Sajátos szóhasználatát többen átvették, humora egyedülálló volt. Sokszor viccelődött saját korával, nem akart megöregedni. Felesége és gyermeke nem volt, de imádta a gyerekeket, szeretett velük foglalkozni, elbűvölni őket. Segítőkészsége szintén páratlan. Sokan köszönetet mondhattak Erdősnek azért, mert anyagi támogatást nyújtott nekik. A tudósnak a matematika volt a mindene, még munkatársai gyógyulását is ezzel a fantasztikus tudománnyal segítette elő. Erdős félt attól, hogy elbutulva fog meghalni és úgy vélte, barátai is tartanak az effajta leépüléstől, ezért segítette őket elesett helyzetükben is. 1996-ban sajnálatos módon végső búcsút kellett venni Erdős Páltól, aki szívinfarktusban halt meg Varsóban. Halálhírére az egész matematikus-társadalom mély gyászba borult. Mindenki tudta, hogy helyét a matematika-tudósok között soha senki sem fogja tudni betölteni. Problémamegoldása és -felvetése egyedülálló volt a világon. Segítőkészsége csodálatra méltó volt, senki nem próbált meg annyit segíteni kollégáinak, mint Ő, holott az élet más területein Erdős szorult segítségre. A világ matematikusai a mai napig emlékeznek az úgynevezett Erdős- számra, amely azt mutatta meg, hogy ki milyen közeli publikációs viszonyban állt Erdős Pállal. Definícióval megfogalmazva: Erdős Pál Erdős-száma 0. Egy tudós Erdős-száma n, ha az általa írt cikkek társszerzői között a legkisebb Erdős-szám n-1.

11

Munkásságának bemutatása megjelent cikkei alapján Gráfelméleti problémák Erdős Pál több társszerzővel együttműködve igen sok gráfelméleti problémát oldott meg. Ezek közül szeretnék néhányat felsorolni, bemutatni. A tanulmányok többsége a Matematikai Lapokban jelent meg. Elsőként az 1936-ban megjelent tanulmányt próbálom kicsit részletesebben bemutatni. Ez a cikk a Matematika és Fizika lapokban jelent meg, és Euler gráfelméleti tételével, vagyis annak kibővítésével foglalkozik. A dolgozat címe: Végtelen gráfok Euler-vonalairól. A tanulmányon Erdős két kollégájával együtt dolgozott: Grünwald Tiborral és Weiszfeld Endrével. A tanulmány Euler véges gráfokra vonatkozó tételét kiterjeszti végtelen gráfokra. Euler tétele: Egy véges sok élből álló gráfnak akkor és csak akkor van Euler vonala, ha - a gráf összefüggő - és minden szögpontjában páros számú él találkozik Erdősék tehát ezt a tételt kiterjesztették végtelen gráfokra. Definíció: Egy végtelen gráf Euler vonalán értjük az ….P-2P-1, P-1P0, P0P1, P1P2… mindkét irányban végtelen sorozatát, melyben a gráf minden éle pontosan egyszer fordul elő. Tétel: Végtelen gráfok Euler vonalainak szükséges és elégséges feltétele - a gráf összefüggő - megszámlálhatóan sok éle van - nincs olyan szögpontja, amelyben páratlan számú él fut össze

12

- valamint ha elhagyunk egy tetszőleges véges részgráfot a megmaradó gráf darabjai közt a) legfeljebb két végtelen gráf van b) sőt, ha az elhagyott véges gráf páros fokú, akkor pontosan egy végtelen gráf van. A tétel helyességét a három matematikus konstrukciós bizonyítással igazolta, vagyis megkonstruálták a végtelen gráfot a megadott feltételek szerint. A tanulmányban még foglalkoznak három másik problémával, amelyek közül az egyiket szintén konstrukciós bizonyítással lehet igazolni de, a szerzők a bizonyítást itt nem fogalmazták meg. Ez a tétel a Listing-féle tétel. Tétel: Legyen egy véges gráf páratlanfokú szögpontjainak száma 2n. Létezik az élvonalaknak oly

V1, V2… Vn rendszere, mely az adott gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Ez a tétel szintén kiterjeszthető végtelen gráfokra, amelyet a következő tétellel írtak le Erdősék. Tétel: Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy egy végtelen G gráfhoz tartozzon az élvonalaknak oly véges

V0, V1… Vn rendszere, melyben G minden éle pontosan egyszer fordul elő, a következő: 1) a gráfnak véges sok darabja van 2) megszámlálhatóan sok éle van 3) véges sok páratlanfokú szögpontja van 4) létezik egy oly M szám, hogy G-ből egy tetszőleges véges g részgráf elhagyása után megmaradó g gráf végtelen darabjainak száma nem nagyobb M-nél. A tanulmány következő témája szintén egy Euler féle tétel, amelyet szintén végtelen gráfra terjesztenek ki. A már kiterjesztett tétel a következő. 13

Tétel: Szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy G gráf élei kimeríthetők legyenek egy ….P-2P-1, P-1P0, P0P1, P1P2… mindkét oldalon végtelen sorozattal úgy, hogy ebben a végtelen él sorozatban G minden éle pontosan kétszer forduljon elő, az, hogy 1. a gráf összefüggő 2. megszámlálhatóan sok éle van, 3. elhagyva G-ből egy, tetszőleges véges gráfot a megmaradó gráfnak pontosan egy végtelen darabja van. A tételt bizonyítják is a tanulmányban matematikusaink. A harmadik probléma, amellyel itt foglalkoznak, Kőnig Dénes könyvében jelent meg. A kérdés, hogy az N-dimenziós tér közönséges rács gráfjának van-e Euler vonala? A dolgozatban megoldott első probléma alapján a matematikusok válasza, igen.

A gráfelméleten belül Erdős Pál Bollobás Bélával együtt foglalkozott az ide vonatkozó szélsőértékekre vonatkozó problémákkal. Erről szóló írásuk 1962-ben jelent meg a Matematika Lapokban. A tanulmány Gráfelméleti szélsőértékekre vonatkozó problémákról címen jelent meg. A tanulmány konkrétan a Turán Pál által felvetett kérdéskörrel foglalkozik. Turán Pál kérdése: Egy n szögpontú és k élű g gráfban mekkora legyen a k = k (n), hogy a gráf biztosan tartalmazzon egy előre meghatározott típusú részgráfot. Erdős és Gallai ezt a kérdést egy kicsit bonyolították, mégpedig úgy, hogy a gráfban kijelöltek két pontot és megszabták, hogy ez a két pont egy olyan r úttal legyen összekötve, amelynek ezen a két ponton kívül nincs közös pontja. A kérdés megválaszolásánál felhasználták Bártfai és Dirac korábbi munkáit. A tanulmányban Erdősék bebizonyítják Pósa Lajosnak egy tételét kétféle módon. A bizonyítás módszeréül a teljes indukciót választották mindkét esetben. A bizonyítás során felhasználták Menger egyik tételét is. A tétel bizonyítása igen hosszadalmas és bonyolult.

14

A következőkben szeretnék bemutatni egy olyan - Erdős Pál és Rényi Alfréd által leírt - problémát, mely a gráfelmélet használhatóságát bizonyítja a mindennapokban. A tanulmány címe: Egy gráfelméleti problémáról. Az emberek többsége azt sem tudja mi is az a gráfelmélet, pedig lehetséges, hogy ő is alkalmazza valamilyen módon mindennapi élete során. Gondoljunk csak abba bele, hogy egy bevásárló körutat tervez meg az ember. Mindenki próbálja úgy kiválasztani az útvonalat, hogy az a legmegfelelőbb legyen számára, vagyis először a legtávolabbi helyet látogatja meg és ezután halad visszafelé. Tehát kis mértékben ugyan, de használja a gráfelméletet, de nem a matematikai módszerek szerint. A tanulmány 1962-ben jelent meg, és egy életszerű problémát old meg. A feladat a következő: meghatározott számú repülőterek között kell létrehozni légi járatokat rendszeresen, úgy, hogy meghatározott a repülőterek kapacitása, valamint két úti cél között maximum egy átszállás történhet meg. A feltételek mellett úgy kell létrehozni ezt a légi hálózatot, hogy minél kevesebb légi járatot hozzunk létre. Ezt a feladatot írta át a két matematikus gráfelméletre, és az alapján oldották meg. A tanulmányban felhasználják A. J. Hoffman és R. R. Singletone e témakörben folytatott kutatásait. Ők mutatták meg, hogy az n ≦ k2+1-ben, - ahol n jelöli a pontok, vagyis a repülőterek számát, és k jelöli a gráf fokát - nem csak k = 2 és k = 3-ra érhető el egyenlőség, hanem k = 7re is. A tanulmányban felhasználják még egy magyar matematikus, Kárteszi Ferenc eredményét is.

Erdős Pálnak a Gráfok páros körüljárású részgráfjairól címmel 1967-ben, a Matematika Lapokban jelent meg írása. Definíció: Egy gráfot akkor nevezünk páros körüljárásúnak, ha minden körének páros éle van. A dolgozatban hivatkozik korábbi munkájára, ahol bizonyította a következő lemmát. Lemma: Minden G (n; m) tartalmaz egy páros körüljárási részgráfot, amelynek legalább m/2 éle van.

15

Majd e lemmával kapcsolatban egy gráf példáját említve írja le, hogy m/2 nem helyettesíthető cm-mell ha c> . A gráf, amit példaként felhoz, az n szögpontú

G

teljes gráf.

A tanulmányban egy sejtésének a cáfolatát fogalmazza meg. Sejtése az volt, hogy ha a fenti lemmában említett gráf nem tartalmaz háromszöget, akkor van egy olyan konstans, amely c>½, és ekkor a gráf tartalmaz cm élű páros körüljárású gráfot. A tanulmányban folyamatosan visszautal korábbi munkáira, mint például az On some extremal problems is graph theory, amely az Israel Journ. of Math.3-ban jelent meg 1965-ben, vagy a Ramsey és Van der Waerden kapcsolatos kombinatorikai kérdésekről szóló tanulmányára, amely a Matematika Lapokban jelent meg 1963-ban. Erdős sok írásában utal vissza korábbi munkáira, de elismeréssel emlegeti fel kollégái, más matematikusok eredményeit is. Szeretett másokkal együtt dolgozni, nem bezárkózott tudós volt. Tisztelte munkatársait, és szívesen emlékezett vissza azok munkásságára, eredményeire.

Erdős Turán Pál 60. születésnapjára írt egy cikket, amelyben Turán egyik gráftételét mutatja be. Turán a tételt már korábban, 30 évvel a cikk megjelenése előtt bizonyította, mely bizonyítás a tétellel együtt megjelent a Matematika és Fizika Lapokban 1941-ben, egy gráfelméleti szélsőérték-feladatról szóló munkájában. Elismerően szól Turán Pál tételéről és megállapítja, hogy Turán e kérdéskör kutatásával egy új gráfelméleti problémakör, az extrém gráfelméleti problémák vizsgálatát kezdte el. Erdős sokat foglalkozott a gráfelmélettel, de nem ez volt a matematikán belül az Ő szakterülete. A matematika területén szinte minden témakörben otthon érezte magát, vagy ha voltak is hiányosságai, azt nagyon rövid időn belül pótolta. Ha kívülállóként belehallgatott egy matematikai probléma felvetésébe, akkor, ha rögtön nem is, de pár órán belül választ adott a felvetett kérdésre. Sokszor csak egy helyes gondolati útirányt mutatott kollégáinak ahhoz, hogy hol találják a probléma megoldásához a válaszokat. Igen segítőkész volt, nem akart egyedüli sikereket elérni. Fő szakterülete a számelmélet volt.

16

Számelméleti problémák Tanulmányaim során sokszor hallottam Erdős Pál nevét, de tételeivel elsőként számelméleti konzultáción foglalkoztunk. Itt is egy tételét ismertük meg konkrétan, amelyet szeretnék én is bemutatni. Tétel. Ha f totálisan additív és szigorúan monoton növekvő számelméleti függvény, akkor f (n) = c log n, ahol c egy konstans. Bizonyítás. Mivel f additív, ezért f (1) = 0 (c log 1) így az f szigorúan monoton növekvő függvény ezért, f (n)> 0, ha n> 1. A tétel bizonyítását indirekt módon végezzük el. Tételezzük fel, hogy

nem állan-

dó, vagyis léteznek olyan a, b ∈ N+ ∖ {1}, amelyekre például

Ezután definiáljuk a g függvényt ily módon:

g: N+ ∖ (1) → R, g (n) = f (n) -

log n.

Bizonyítsuk be először, hogy g felülről korlátos, utána pedig azt mutatjuk meg, hogy a

g nem korlátos felülről. Tehát ezekből adódik az állítás cáfolata. Mivel a ≥ 2, akkor bármely n ∈ N+ \ {1} - hez létezik k ∈ N, amelyre

ak ≤ n < ak+1, amelyből az f és a log szigorúan monoton növekvő függvények, valamint

> 0 mi-

att

f (ak) ≤ f (n) < f (ak+1), log ak ≤ log n < log ak+1 és

log

≤

log n <

log

következik.

17

Felhasználva az f totális additivitását valamint az egyenlőségeket a következőt kapjuk:

g(n) = f(n)

log n < f(ak+1) -

= (k+1)f(a) - k

log ak =

log(a) = f(a)

Tehát beláthatjuk, hogy a függvény felülről korlátos. Mivel b ≥ 2, ezért bármely n ∈ N+ ∖ *1+ egészhez létezik olyan l ∈ N, hogy

bl ≤ n < bl+1 amelyből az f és log függvények szigorúan növekvő függvény és a

> 0 miatt

f(bl) ≤ f(n) < f(bl+1), log bl ≤ log n < log bl+1 log bl ≤

és

log n <

log bl+1 következik.

Itt is felhasználva az egyenlőtlenségeket és az f totális additivitását kapjuk, hogy (1)

g(n) = f(n) - (l+1)

log(n) > f(bl) - log bl+1 = l f(b) -

log b = l = l log b

Az

<

-

og b =

log b.

egyenlőtlenség alapján így felírhatjuk, hogy

-

> 0,

valamint log b > 0 és bl ≤ n < bl+1 miatt, l→∞ ,ha n→∞ A g függvény felülről nem korlátos, ami az (1)-ből következik. A bizonyított ellentmondásokból a tétel állítása adódik.

18

Erdős Pál 1932-ben megjelent tanulmánya Kürschák tételével foglalkozik. A tanulmány első soraiban felvezeti a kapcsolódó tételeket. Elsőként Theisinger nevét említi matematikusunk, aki bebizonyította, hogy a harmonikus sor részletösszege, nem lehet egész szám. Ezt a tételt Obláth általánosította és bebizonyította, hogy

nem lehet egész szám, ha az -ek mind pozitív egész számok, valamint az , azaz relatív prímek. Kürschák viszont a következő tételre elemi bizonyítást tudott adni: Tétel: Ha a k és n bármely pozitív egész szám, akkor

nem lehet egész szám. Erdős ezt a tételt általánosítja, ha k, k+1…k+n nem egy speciális sor, hanem egy általános számtani sor Tétel: Legyenek a, d, n, tetszőleges pozitív egész számok; az

kifejezés nem lehet egész szám. A tétel bizonyításához a matematikus feltételezi, hogy az a és d számok relatív prímek. A szerző először a tételt d -re írja le, a többi esettel a tanulmány végén foglalkozik.

A következő tanulmány, amit szeretnék bemutatni 1952-ben született, címe: Egy kongruencia rendszerekről szóló problémáról. Ez a tanulmány a kongruencia rendszerek lefedéséről szól. Az x ≡ ai (mod ni) 1
tív sűrűségük van, ahol p> 0 és l pozitív egész szám. Romanov tételének elemi bizonyítását fogalmazta meg, amely Erdős szerint azért érdekes, mert nagyon kevés ilyen alakú szám létezik. Romanov a szerzőtől levélben kérdezte meg, hogy minden megfelelően nagy páratlan szám felírható-e 2l + p alakban? Erdős bebizonyította, hogy ez nem igaz, valamint a kérdést továbbvitte páratlan pozitív számokból álló számtani sorokra, s a válasz a sorokra is ’nem’ volt. Ennek bizonyításához felhasználta Bang tételét. Tétel: Legyen 1
1956-ban jelent meg egy cikke Erdősnek Megjegyzések a Matematika Lapok két feladatához címen. Mint a cím is elárulja, két feladattal foglalkozik a tanulmány, amelyek már a lap korábbi számában jelentek meg. Az első feladat az Euler-féle φ függvénnyel kapcsolatosan vizsgál meg egy kérdést. A feladat során a szerző szeretné bebizonyítani, hogy minden ε - hoz megadható olyan a, amelyre φ(a) +φ(a+1) < εa. A feladatot elemi analitikus számelméleti módszerek alkalmazásával oldja meg a szerző. A cikk elsőként az alábbi két tételt tartalmazza: Tétel: minden ε > 0-hoz létezik oly n0=n0(ε), hogy minden n > n0-hoz van olyan a < n amelyre φ (a) + φ (a+1) + … + φ (a+Ln) < εa. Tétel: minden pozitív η - re fennáll, hogy 20

A feladat, mint azt a cikk megjegyzésében a lap alján olvashatjuk, Medgyessy Páltól származik és 1951-ben jelent meg. 1953-ban Lipták József és Takács Lajos is fűzött megjegyzést a feladathoz, miszerint minden k-hoz és ε - hoz létezik oly a amelyre

φ(a) + φ(a+1) +… + φ(a+k) < εa. Erdős felhasználja a Landautól származó tételt. Tétel:

ahol c az Euler konstanst jelenti. A szerző utal korábbi dolgozatára is. A második feladat Turán Páltól származik. A feladat, hogy létezik-e tetszőleges nagy pozitív k-hoz oly n, hogy d(n) < d(n+1) - k és d(n) < d(n-1) - k, ahol d(n) az n osztóinak számát jelöli. Ennél a feladatnál a szerző felhasználja Wigert tételét. Az említett feladatot Erdős élesíti úgy, hogy minden ε > 0-hoz található oly l = l(ε) , hogy végtelen sok n-re

d(n) < l ; d(n+1) >2(½-ε) log n / log2n ; d(n-1) > 2(½-ε) log n / log2n . Erdős úgy véli, hogy a feladat már tovább nem élesíthető. A bizonyítást nem részletezi, de szerinte Brun módszerét kell hozzá alkalmazni. A dolgozat első két tételének bizonyítását az írás végén olvashatjuk. A bizonyítások során alkalmazza Mertens és Schinzel kutatásait.

A következő tanulmányt Erdős Pál Surányi Jánossal közösen írta meg. 1959ben jelent meg az írás Egy additív számelméleti probléma címen. A tanulmányban egy olyan kérdéssel foglalkozik a két szerző, amely a Waring-féle problémakörrel kapcsolatos. A kérdés az, hogy négyzetszámok segítségével előállítható-e minden n egész szám úgy, hogy 1-től valamilyen alkalmas r-ig minden négyzetszámot felhasználva pozitív vagy negatív előjellel, tehát

21

A tanulmányban a négyzetszámok csak példaként szerepelnek, helyette felvethető a kérdés prímszámok sorozatára is. Ebben a témakörben felvethető még egy olyan kérdés is, hogy mekkora az r minimális értéke, valamint a meghatározott n-hez minden r érték meghatározása, amelyekkel az előállítás lehetséges. A tanulmányban először egy olyan tételt bizonyítanak be, amely egész számok általános, nem túl erős feltételnek megfelelő sorozatára vonatkozik. A tanulmány vége felé a prímszámok sorozatára vonatkozó kérdéssel foglalkoznak. Itt megjegyzik, hogy az ai - nál ismeretes az, hogy 1, 4 és 6 kivételével minden egész szám előállítható prímszámok összegeként, valamint ha n ≧ 5, akkor pn+1 ≦ 2pn−7. Ehhez megjegyzik, hogy ezen állítás helyett belátható, hogy ha n ≧ 10, akkor minden

m és 2m−7 között van prím. Majd a tanulmányban a négyzetszámokra vonatkozó kérdéssel foglalkoznak, ez után pedig azzal a kérdéssel foglalkoznak, hogy milyen esetekben állítható elő egy adott egész számokból álló sorozat különböző elemeinek öszszegéből minden elég nagy szám.

Számelméleti megjegyzések címen több tanulmányt is írt Erdős Pál. Az első ilyen munkája 1961-ben jelent meg. Ebben a tanulmányában a szerző egy olyan problémakör egy részével foglalkozik, amellyel már 150 éve foglalkoznak a matematikusok. A probléma az n2(p) megbecslése, ahol az n2(p) a p legkisebb, kvadratikus nem maradék és p prím. A tanulmányban több híres matematikus munkáját, eredményét is megemlíti e témával kapcsolatban, mint például Gauss, Brauer, Vinogradoff, Davenport, Burgess, Turán, Linnik. E dolgozatban L. Mirsky egy felvetését bizonyítja be, amelyhez a következő eredményeket sorolja fel. Elsőként Gauss kvadratikus reciprocitás tételének bizonyításához használt segédtételt említi, ami szerint ha p≡1 (mod8), akkor n(p)<2p½+1. Majd ezen eredményt Bauer élesítette tovább elemi úton. Vinogradoff pedig 1917-ben meglehetősen nagy p-re bizonyította be, hogy

n2 (p) < p (log p)2

22

Davenporttal Erdős csökkentette a logp kitevőjét egy 1952-ben megjelent tanulmányban. 1957-ben Burgess tudta nagymértékben javítani a feltevést. Ő bizonyította, hogy minden > 0-hoz létezik p0 = p0(ε), hogy p > p0(ε), akkor

n2(p) < Turán és Chowla szerint létezik olyan c, hogy végtelen sok p-re n2(p) > c log p. Linnik bizonyította, hogy minden ε - hoz, létezik c = c(ε), hogy n és n2 között legfeljebb c olyan prím van, amelyre n2(p) > pε. Ezt a bizonyítást nagy szitája segítségével végezte el. A következőkben a szerző is e szita módszerét használja, hogy bebizonyítsa.

ahol 2 = p1
A második Számelméleti megjegyzések című írás Az Euler-féle φ függvény néhány tulajdonságáról alcímet kapta. A tanulmányt 1961-ben adták ki a Matematika Lapokban. Ebben is sok matematikus munkáját, eredményét sorolja fel, mielőtt belekezdene a konkrét tétel bizonyításába. Az írásban φ(n) az n-nél kisebb n-hez relatív prímek számát jelenti és φ(n) szabálytalanul növekedő függvény. A tanulmány a következő tétel bizonyításával foglalkozik. Tétel: majdnem minden n-re, ha k ≧ 2, akkor

Ezt a tételt a szerző csak k = 2-re vizsgálja részletesen, k > 2-re csak felvázolja a bizonyítást. A bizonyításhoz felhasználta korábbi munkáját, valamint sok más matematikus eredményét és módszerét.

23

A harmadik Számelméleti megjegyzések című tanulmány 1962-ben jelent meg. Ez az írás a Néhány additív számelméleti problémáról alcímet viseli. A dolgozat a következő tétel bizonyítását tűzte ki célul: Tétel: Ha A olyan, hogy egyik a sem bontható fel csupa különböző a összegére, akkor az A sűrűsége nulla.

A az a1 < a2 <… sorozatot jelöli. A tanulmányban folyamatosan a tétel élesítésével foglalkozik a szerző. A bizonyítás során alkalmazza a konstrukciós bizonyítás módszerét, valamint felhasználja a Linnik-féle szita egy élesített változatát, amely Rényi Alfréd eredménye. A tanulmány végén egy régi problémájáról ír, amelyet Guy és Conway oldott meg egymástól függetlenül, de a cikk megjelenésekor ezek még nem kerültek publikálásra.

A negyedik Számelméleti megjegyzések címet viselő tanulmány 1962-ben jelent meg. A cikk az Extremális problémák a számelméletben alcímmel jelent meg. A szerző egy régi, 1933-ban talált tétellel kezdi meg dolgozatát, mellyel szeretné bemutatni, hogy milyen problémákkal foglalkozik ebben az alkotásában. Tétel: Ha a1 <…
maximuma, ahol k nem fix. Ha a1<… < ak ≦ n, olyan, hogy egyik sem osztható a másikkal. A probléma megoldását Erdős elsőként lehetetlennek látja, de bemutatja Behrend egy eredményét, majd rámutat arra, hogy Ő ezt az eredményt tovább tudta 24

javítani. A szerző felsorolja azokat a munkákat, amelyekben erről a problémáról, vagyis a probléma javításáról olvashatunk. Ebből a pár sorból is kiderül, milyen sokan próbálják megoldani a matematikai problémákat. Arra is rámutat Erdős, hogy a feladatok többsége már megjelent korábbi munkáiban. E tanulmányban hosszasan olvashatunk olyan problémákról, amelyekkel Erdős foglalkozott. A feladatok megoldása azonban nem mindig az Ő eredménye. A szerző ezen írása bizonyítja azon jó tulajdonságát, hogy nem vágyott az egyedüli sikerre, szeretett más matematikusokkal együtt dolgozni. A matematika világában az egyik legjobb problémafelvetőként tartották számon Erdőst, de a probléma-megoldások terén ugyanakkora sikereket ért el. A tanulmányban összesen 34 feladatot, problémát mutat be a szerző, de a bizonyításokat nem fejti ki, csak azok előfordulási helyét jelöli meg az olvasó számára.

Az ötödik Számelméleti megjegyzések című cikk a negyedik íráshoz kapcsolódik. Az alcíme is erre utal. A tanulmány 4 évvel később jelent meg, mint az az írás, amihez kapcsolódik, tehát 1966-ban. Azért fogalmazta meg Erdős újból ezt a tanulmányt, mert véleménye szerint a problémák többségében igen jelentős eredményeket értek el a matematikusok. Az első cikkhez viszonyítva az a változás történt, hogy a problémákat nem véges intervallumban vizsgálják a matematikusok. A tanulmány összesen 28 problémával foglalkozik, ebből 15 olyan kérdés, amely az előző tanulmányban is szerepel, de lényeges előrelépést értek el a kérdéskörben azóta. A többi 13 kérdés új problémákkal foglalkozik. Ezek között és a régebbiek között is vannak olyanok, amelyeket megoldottak, de vannak olyanok is, amelyekben részeredményeket értek el a tudósok. A részeredményeket elért feladatokkal, de a megoldottnak tűnők közül többen is új kérdéseket feszeget a szerző. Az új problémákkal a tanulmány második részében foglalkozik az író. A kérdéskörök tárgyalása itt is, mint az előző cikkben, igen tömör, lényegre törő. Az írás itt sem tartalmazza a bizonyításokat.

A következő tanulmány a Binomiális együtthatók prímfaktorairól címen jelent meg1982-ben. Erdős saját bevallása szerint sokat foglalkozott ezzel a témakörrel, és korábban is jelent meg cikke e témakörben. A tanulmányban erre a cikkre hivatkozik több alkalommal is. A korábbi tanulmány 1977-ben jelent meg szintén a Matematika 25

Lapokban. Az 1982-es dolgozat első része olyan problémákat tartalmaz, amelyek a korábbi tanulmányban is megjelentek, de további eredményeket értek el a témában, ezért látta a szerző célszerűnek ezek újbóli közlését. A második rész, mint azt már megszokhattuk korábbi munkái olvasásakor, ismét új problémákkal foglalkozik. Ebben a tanulmányban is, mint a régebbiekben, nemcsak azokat az eredményeket írja le, amelyeket a szerző saját maga ért el, hanem azokat is, amelyeket együttesen oldott meg más matematikusokkal, vagy más tudósok értek el.

A következő dolgozatban a szerző a számelmélet módszerei mellett használja a csoportelméletben használatos módszereket is. A tanulmány címe: Direkt szorzatra nem bontható csoportok rendjéről. A cikket Erdős Pálfy Péter Pállal közösen írta meg. A dolgozat azzal a kérdéssel foglalkozik, amelyet C. Sudler 1985-ben fogalmazott meg. hogy létezik-e n számokra n-ed rendű felbonthatatlan csoport. A szerzők felbonthatatlan csoporton olyan csoportot értenek, amely nem bontható fel két valódi részcsoportjának direkt szorzatára. A szerzők szerint páros n-re található ilyen csoport. Az állítás bizonyításában azonban megállapítják, hogy csak triviális felbontás létezik. A továbbiakban azt az esetet vizsgálják, amikor n páratlan, de először megvizsgálják prímekre a problémát. A dolgozat 7-es tétele szerint vizsgálják a problémát páratlan számra. A tétel kimondja, hogy ha n páratlan, akkor majdnem minden ilyen páratlan számra minden n-ed rendű csoport felbontható valódi részcsoportok direkt szorzatára. Ez a tanulmány is bizonyítéka annak, hogy amilyen szerteágazó a matematika tudománya, annyira össze is kapcsolódik. A szerzők a dolgozatban felhasználják Sylow, Dirichlet, Csebisev munkáit, valamint Feit és Thompson azon tételét, ami szerint minden páratlanrendű csoport felbontható. A tanulmány végén a témával kapcsolatban két részeredményt tár az olvasó elé, de ezek bizonyítását már nem mutatja be. Nagyon szimpatikus volt számomra az írás végén lévő kis megjegyzés, amiben köszönetet mondanak a cikk megfogalmazásában segítséget nyújtó Pintz Jánosnak és Szalay Mihálynak.

26

Kombinatorikus problémák Erdős Pál sokat foglalkozott kombinatorikus kérdésekkel is. A következő dolgozatát Hajnal Andrással együtt írta, ami 1968-ban jelent meg. A tanulmány elején korábbi munkájukra hivatkoznak, mely 1958-ban készült. Abban a tanulmányban bizonyították be, hogy ha │φ│< xω , akkor mindig létezik olyan f(A), hogy φ-nek nincs olyan részhalmaza mely független és végtelen. A dolgozatban azonban a következő kérdéskört vizsgálják. Tétel: Legyen n > n0( ε). Fennáll, hogy

ahol H(n) az a legkisebb szám, melyre létezik f függvény úgy, hogy φ2⊂φ halmazra,

│φ2│≧ H(n), F(φ2)=φ. Az alsó becslést a szerzők triviálisnak látják, de a felső becslés bizonyítását már nehezebbnek vélik. Nem sikerült bizonyítaniuk azonban azt, hogy

Ez a tanulmány is jó példa arra, hogy Erdős soha nem szégyellte, hogy nem tudja egyegy kérdésre a választ, esetleg nem tud bebizonyítani egy tételt. Azt viszont ne gondoljuk róla, hogy feladta a probléma megoldását, ha azonnal nem is tudta a megoldást, a kérdés továbbra is foglalkoztatta, és kollégáival megvitatta azt, hátha közösen megtalálják a megoldást.

A következő kombinatorikus probléma címe Ramsey és Van der Waerden tételével kapcsolatos kombinatorikai kérdésekről. A tanulmány 1963-ban került kiadásra a Matematika Lapokban. Ez a tanulmány, mint címe is mutatja Ramsey és Van der Waerden tételével foglalkozik. Elsőként Ramsey tételét vizsgálja az i = 2 esetre, s a tételt áthelyezi a gráfelméletbe. Tétel: Legyen f (k, l) az a legkisebb szám, melyre, ha egy f (k, l) szögpontú teljes gráf éleit két osztályba soroljuk, vagy az első osztály tartalmaz egy k szögpontú teljes részgráfot, vagy a második osztály egy l szögpontú teljes részgráfot. 27

Tehát f (2, l) = l és f (k,2) = k, valamint Ahol a c1, c2… pozitív konstansok. Elsőként k = l esetet vizsgálja a szerző. Ha k = l , . Megállapítja, hogy az f (k, k) értékét nehezen lehet

akkor

meghatározni. Megjegyzi, hogy eddig még nem sikerült bizonyítania

létezését sem. A következőkben vizsgálja az l = 3 esetet. Majd a tételt szintén átfogalmazza a következő képen: Tétel: Legyen g(n) az a legnagyobb egész szám, melyre, ha egy n szögpontú gráf éleit két osztályba osztjuk, mindig van egy Gg(n) , melynek élei ugyanabban az osztályban vannak. A k = l esetből következik, hogy

.

A továbbiakban viszont a következő kérdést vizsgálja a szerző: Hogyha egy teljes gráf éleit két osztályba osztjuk, ahol a teljes gráf n szögpontú, akkor létezik-e egy olyan k = k(n) szögpontú részgráf, amelyben a két osztály közül az egyikben az élek túlsúlyban vannak? Erdős a lehető legjobb becslést keresi k(n)-re. Tanulmányban a szerző a következő két tétel bizonyítását valószínűség számítási módszerekkel oldja meg. ① ② Majd Erdős Van der Waerden tételével foglalkozik, ami szerint létezik egy legkisebb

A(k), amelyre ha 1≦ t ≦ A(k) intervallumban két osztályba soroljuk az egész számokat, akkor a két osztály közül az egyik tartalmaz k tagú számtani sort. Erdős megjegyzi, hogy eddig nem túl pontos felső becslése ismeretes az A(k)-nak. Radó és Erdős bebizonyították a következőt: A (k) > 2k/2 ( k-1 )½

28

Ezt a becslést Schmidt tudta javítani. A tanulmány végén bemutatja ① ② tétel bizonyítását, valamint B ( ε , n ) <

bizonyítását is vázolja.

29

Geometriai problémák Az első tanulmányt, melyet szeretnék bemutatni Erdős 1962-ben írta. A tanulmányhoz többször írt megjegyzéseket, ezért itt nem követem évenként nyomon Erdős Pál geometriai munkásságát, hanem szeretném bemutatni összefüggően az ide vonatkozó írásokat. Mint említettem az első cikk 1962-ben jelent meg Néhány elemi geometriai problémáról címen. Ezen tanulmányának kérdésköre egy könyv olvasása közben jutott eszébe a szerzőnek. A könyv címe, amelyet 1933-ban olvasott HilbertCohn-Vossen „ Anschauliche Geometrie”. Erdős e könyvet csodálatosnak vélte, olvasása közben jutott eszébe a következő probléma, melynek lényege, hogy ha adott a síkban n pont, amelyek nem egy egyenesen vannak, akkor létezik olyan egyenes, amely az n pontok közül kettőn megy át pontosan. Erdős e sejtését Gallai Tibor bizonyította be, de később többen is bebizonyították e sejtést más módon, mint Gallai. Erdősnek legjobban a Kelly-féle bizonyítás tetszett, melyet a tanulmányban is közöl. Legyenek a P1, P2…Pn pontok adottak. Ezek közül kössünk össze kettő Pi-t, amely bármelyik kettő lehet. Ekkor kapjuk az e1…em egyeneseket. Nézzük meg a Pi-k távolságát az ej-k-től, melyek nem haladnak át Pi-n. A legkisebb távolság legyen a P1 és e1 között. Az állítás az, hogy az e1-en pontosan két Pi található. Legyen P egy olyan merőleges talppontja, amelyet a P1-ből az e1-re bocsátunk. Ha a Pi-k közül három helyezkedne el az e1-en, akkor a P talppont egyik oldalán legalább két pont lenne, ezek legyenek P2 és a P3 pontok, úgy, hogy a P3 és a P pont között helyezkedik el a P2 pont. De ekkor a P2 távolsága a P1P3 egyenestől kisebb, mint a P1P távolsága, vagyis a P1 távolsága az e1 egyenestől. A P1PP3 derékszögű háromszögben a P2 távolsága kisebb a P1P3 –tól, mint a P1P távolsága, vagyis az e1 egyenes és a P1 pont távolsága. Ennek a problémának az eredetét Kelly találta meg. Szerinte a kérdés 1893-ban jelent meg az Educational Times-ben és a kérdést Sylvester publikálta. A feladatra akkor nem érkezett megoldás, s a szerző azt sem tudja, hogy Sylvester-nek volt-e megoldása erre a feladatra. A tanulmányból az is kiderül, hogy már korábban mások is bebizonyították ezt a tételt. A tétel azonban Gallai nevét viseli. Erdős szerint Gallai tételével kapcsolatban további problémák is felmerülnek. A továbbiakban felsorolja a szerző a témával kapcsolatos eredményeket és sejtéseket. A cikk kilencedik pontjában viszont

30

az egyenesekkel való problémáról áttér e problémakör körökkel kapcsolatos kérdéseire. Erdős általánosítja Gallai tételét. Tétel: Legyenek adva a síkban a P1, P2…Pn pontok (n > 3), amelyek nincsenek mind egy körön, akkor van olyan kör, amelyik pontosan három Pi-n megy át. Erdős a tanulmányban foglalkozik egy korábbi problémájával is. A kérdés az, hogy igaz-e, hogy ha adott n pont a síkban melyek nem egy körön helyezkednek el, akkor vegyük az összes kört, melyek három ponton mennek át és így

kört ka-

punk. A problémát a szerző áthelyezi kombinatorikus megfogalmazásba. A tanulmányban Erdős a továbbiakban Hanani tételével foglalkozik. A tétel bizonyítását Hanani nem publikálta, de a szerző e dolgozatban leírja azt. Ehhez a cikkéhez Erdős 1963-ban egy megjegyzést írt, szintén a Matematika Lapokban. Ebben a cikkben négy megjegyzést olvashatunk. A rövid tanulmány azzal a problémával foglalkozik, hogy igaz-e, hogy

kört kapunk, ha adott n pont a síkban, amelyek nincsenek

egy körön és az összes kört tekintsük, amelyek a pontok közül három ponton mennek át. Erdős azért hozta fel ezt a problémát újból, mert egy előadáskörútján 1962-ben megemlítette a kérdést, s erre B. Segre professzor, a római egyetem tanára n=8-ra ellenpéldát mutatott be. Második megjegyzésként Sylvester egy kimutatását írja le, miszerint megadható a síkban n pont úgy, hogy e pontok közül pontosan hármon áthaladó egyenesek száma nagyobb lehet, mint

, ahol c egy n-től nem függő

állandó. Erdős azt sejtette, hogy a négy ponton áthaladó egyenesek száma kisebb nagyságrendű, mint n2 esetleg kisebb, mint c1n, ahol c1 egy alkalmas állandó. Erről a sejtésről Kárteszi kimutatta, hogy nem igaz. A harmadik megjegyzés Dirac sejtésével kapcsolatos, ami szerint adott n pont esetén a két ponton áthaladó egyenesek száma

n/2, ha n> 7. Tehát n pontnál a minimális érték f(n)≧n/2 ha n>7. Páros n-ekre Böröczky Károly megadott olyan pontrendszereket, amelyekben a két ponton átmenő egyenesek száma n/2. Böröczky azt is kimutatta, hogy 4k+1 és 4k+3 alakú számokra az egyenesek száma 3k. A tanulmány negyedik megjegyzése során egy hiányosságot pótol Erdős, amely az első cikkével kapcsolatos. Abban a cikkben n= 6,7,8-ra olyan pontrendszert adott meg, amely 2n-5 egyenest határoz meg. Abban a tanulmányban

n=9-re is igaznak vélte a feltevést, de azóta kiderült, hogy ebben az esetben megadható egy olyan pontrendszer, amelyben 13 egyenes jön létre. 1980-ban az első cikkéhez 31

újabb megjegyzést írt. Ebben a tanulmányban szintén a Sylvester-től származó problémával kezd foglalkozni. A probléma még ekkor sem volt megoldott, holott többen is foglalkoztak a problémával. A témában jelentős eredményeket értek el S. Burr, B. Grünbaum és Sloane, akik elért eredményüket a The orchard problem címen publikálták. A tanulmányban ezzel a kérdéskörrel kapcsolatban foglalkozik azzal az esettel, amikor adott n pont közül pontosan négyen megy át az egyenes. Sejtése az volt, hogy a maximum kisebb rendű, mint n2, de lehet az is, hogy kisebb, mint cn. Crofttal együttműködve megmutatták, hogy n pontot meg lehet adni a síkban úgy, hogy azoknak az egyeneseknek a száma, melyek a pontok közül pontosan k-n haladnak át, nagyobb, mint ckn2, ahol a ck egy állandó, amely k-tól függ. A két matematikus sejtette, hogy minden ε > 0-hoz létezik k0 = k0(ε), melyre minden k > k0–nál c k< ε/k2 . Feltételezték viszont, hogy ha a pontokon keresztül nem megy át k+1 egyenes, akkor igaz, hogy az egyenesek száma, amelyek k ponton haladnak keresztül kisebb rendű, mint

n2. Kráteszi ezen feltevésre bebizonyította, hogy az egyenesek száma cknlogn. Ezt az eredményt Grünbaum pontosította ckn1+1/k eredményre. Grünbaum eredményéről Erdős feltételezi, hogy a lehető legjobb eredmény. A következőkben azzal a kérdéssel foglalkozik a szerző, igaz-e, hogy minden ε > 0-hoz létezik olyan n0, hogy n > n0 –nél, és P1…Pn n olyan, hogy közülük nincs egy egyenesen öt pont, akkor a négy ponton áthaladó egyenesek száma kisebb, mint εn2. Majd a szerző bemutatja az olvasónak Elliott tételét, amelyben bebizonyította Erdősnek az első cikkben megfogalmazott sejtését. A tanulmány második pontjában Erdős azon sejtését mutatja be, hogy ha a nem egy egyenesen lévőP1…Pn n pont a síkban, akkor e pontok legalább n-2 különböző szöget határoznak meg. A sejtést Erdős együtt vizsgálta Corrádival és Hajnallal. A probléma megoldásáért a szerző 1000 forint pénzjutalmat ajánlott fel, ami abban a korban jelentős összegnek számított. A harmadik pontban a szerző Klein Eszter egy 1932-es eredményét írja le. Klein szerint, ha adott a síkban öt pont, amelyek közül nincs három egy egyenesen, akkor azok közül mindig kivehető négy olyan pont, amelyek egy konvex sokszög csúcsai. Klein e témakörben kérdezte, hogy ha adott a síkban

f(n) pont, és semelyik három nem található egy egyenesen, akkor van-e olyan f(n), hogy mindig kivehető közülük n pont, hogy azok egy konvex sokszög csúcsai. Ezt a problémakört Erdős Heppy end problem-nek nevezte el. Az elnevezés abból ered, hogy Szekeres György is foglalkozott a problémával, aki feleségül vette Klein Esztert. Erdősben 1977-ben, a Szekereséknél tett látogatás során újabb kérdés merült fel a 32

problémával kapcsolatban. A probléma során olyan konvex sokszöget akar meghatározni a szerző, amely belsejében nem található egy Pi sem. Erdős a következő két probléma megoldására pénzjutalmat tűzött ki. A kérdés az, hogy ha adott a síkban

F(n) pont, a P1…PF(n), melyek közül semelyik három nem helyezkedik el egy egyenesen, akkor közülük kiválasztható-e n pont úgy, hogy azok meghatároznak egy konvex

n szöget, amelynek belsejében egyetlen Pi sem található. Létezik-e ilyen F(n). A feladatot bizonyították F(4) = 5-re. F(5) létezését Ehrenfurt bizonyította be, az eredményt viszont Harborth adta meg, tehát F(5) = 10 a bizonyított eredmény. A pénzdíj

F(6) megállapításáért 1000 forint volt, az F(n) létezésének bizonyításáért viszont 3000 forintot ajánlott fel a szerző. A továbbiakban egy olyan bizonyított tételt ír le a szerző, melyet Szekeressel együtt mondott ki. Tétel: Ha a síkban adott 2n pont, akkor azok mindig meghatároznak egy szöget, mely nagyobb, mint π( 1 - 1/n). A tétel élességét a szerző meglepően pontosnak találja, ennek oka az, hogy Szekeres ebben a témakörben már bizonyított egy tételt, amelyre Erdős is hivatkozik. Tétel: Minden ε > 0-hoz van 2n pont úgy, hogy e pontok által meghatározott szögek mind kisebbek, mint π( 1 - 1/n)+ ε. A szerző nem zárja ki azt a lehetőséget sem, hogy 2n – nál kevesebb pont is meghatározhat ilyen szöget, de bizonyítani csak annyit tudtak, hogy 2n –1 pont is meghatározza a megadott szöget, vagy attól nagyobbat. A tanulmány negyedik pontjában Erdős egy olyan tételről ír, amelyet Anning-gal együtt bizonyított be. Tétel: Jelölje d(P,Q) a P és Q pontok távolságát. Ha P1,P2… végtelen sok pont a síkban, úgy, hogy d(Pi, Pj) minden 1 ≦ i < j számpárra egész szám, akkor a pontjaink egy egyenesen vannak. A tétel első bizonyítása bonyolultra sikerült, de Erdős néhány hónappal később egyszerűbb bizonyítást is talált a tételre. A tanulmány a továbbiakban e kérdéskörből sorol fel problémákat, amelyekre vagy megtalálták a megoldást, vagy nem. Néhány esetben azonban elég jó részeredményeket találtak a matematikusok, de nem tudtak minden problémát megoldani a problémakörből.

33

1956-ban Fejes Tóth Lászlóval írt közösen egy tanulmányt Erdős Pontok elhelyezése egy tartományban címen. A tanulmány azzal a kérdéssel foglalkozik, hogyan lehet elhelyezni egy végesben fekvő zárt tartományban n pontot úgy, hogy a pontok között a minimális távolság maximum legyen? Ehhez a kérdéskörhöz tartozik Thue egy tétele. Tétel: Ragadjuk ki egy egységnyi oldalhosszúságú szabályos háromszögrács véges számú háromszögét. Ha ezek együttesen n rácspontot tartalmaznak, akkor a háromszögek által borított zárt síkrészen fekvő bármely n pont közül mindig kiválasztható két olyan, amelyek távolsága ≦ 1. Ha a pontok közül nem mind rácspont, akkor < 1. Ez a tétel csak némi segítséget nyújt a probléma megoldásához a szerzőknek. Tétel: Ha dn jelenti egy T területű, végesben fekvő zárt tartomány n pontja közt fellépő minimális távolság maximumát, akkor

A két szerző közül az egyik korábban már felvetette a kérdést, hogy hogyan lehet elhelyezni a pontokat úgy, hogy a legrövidebb törtvonal, amely összeköti a pontokat, maximális hosszúságú legyen. Ln-nel jelölve a maximumot a szerzők sejtése az volt, hogy

A sejtés viszont nagy pontszám esetén szintén az egyenlő oldalú háromszögrácshoz vezet. A problémával foglalkozott még Verblunsky és Few is. A tanulmány további részében a következő tétel bizonyításával foglalkoznak a szerzők. Tétel: Legyen P1…Pn egy síkbeli, Jordan-féle értelemben mérhető T mértékű, zárt ponthalmaz n pontja és li a Pi pont távolsága a hozzá legközelebb fekvő ponttól. Képezzük az l1+…+ln összeget, és vizsgáljuk ennek Sn maximumát, amidőn a pontok szabadon változnak a ponthalmazon. Akkor

34

A következő tanulmány, melyről szeretnék pár szót írni, 1958-ban keletkezett. A tanulmányt Erdős Vince Istvánnal együtt fogalmazta meg. A címe: Konvex, zárt síkgörbék megközelítéséről. A tanulmány hét egységre van felosztva, tehát a problémakörből hét témát dolgoz fel. Az első egység A legkisebb sugarú fedőkör alcímet kapta a szerzőktől. A tanulmány e részében H. Jung tételével foglalkozik. Tétel. A G-t lefedő körök közül csak egy bír minimális sugárral. Ezt a tételt bizonyította be általánosságban Szőkefalvi-Nagy Gyula. Az ilyen körök létezése a szerzők szerint egyszerűen adódik abból a tényből, hogy a sugarak hossza zárt és alulról korlátos számhalmazt alkotnak. A tanulmány ezen része megemlít ebben a témakörben még egy tételt, ami az előzőekben említett két matematikustól származik. A második szakasz A legnagyobb sugarú beírható kör címet kapta. Az ilyen körök jellemzését fogalmazták meg itt. A következőkben a minimál körgyűrűről olvashatunk. E rész címe A görbét tartalmazó legkeskenyebb körgyűrű. A dolgozat e része Bonnesen és Kritikos tételét tartalmazza. A negyedik téma két görbe távolságával és a paralelgörbével foglalkozik. Az ötödik részben a minimál-körgyűrű unicitásának egy bizonyítását írják le. A hatodik rész pedig egy görbétől legkisebb távolságra eső fedőellipszist vizsgálja. Az utolsó rész egy tétellel foglalkozik, amely egy görbe n-fókuszú ellipszisekkel való approximálhatóságának lehetetlenségéről szól.

A következő cikk 1968-ban került publikálásra. Címe: Hilbert térben lévő ponthalmazok néhány geometriai és halmazelméleti tulajdonságáról. A tanulmányban, mint oly sok alkalommal, itt is korábbi bizonyított tételére hivatkozik. Bebizonyította ugyanis, hogy az n-dimenziós térben, ha H egy tetszőleges m számosságú ponthalmaz, akkor mindig található egy H1⊂ H, hogy │H1│=│H│= m, s amelyre fennáll a

T tulajdonság. Ebben az esetben T tulajdonságú az a ponthalmaz, amelynek pontjai között bármely kettő távolsága különböző. Erdős úgy gondolta, hogy az előző bizonyí35

tott tétel nem vihető át a Hilbert-térre. Oxtoby-val mutatta ki Erdős, hogy ha egy mindenütt sűrű halmaza a pozitív számoknak P, akkor mindig van egy x1 számosságú H halmaz a Hilbert-térben, melyre D(H)⊂P, ahol a D(H) jelöli az összes d( x, y ), és x ∊ H,

y ∊ H. Majd közös munkájáról ír a szerző Kakutanival, amely során kimutatták, hogy létezik olyan H, amely kontinuum számosságú, amelyre D(H) minden eleme négyzetgyöke egy racionális számnak. A továbbiakban az író kimutatta, hogy létezik olyan H ahol │H│= c és H-ban minden háromszög egyenlő szárú. Régebben volt egy állítása Erdősnek, amit nem tudott bizonyítani. Az állítás lényege, hogy létezik olyan H, ahol │H│=c és D(H) elemei mind racionális számok. A dolgozatban, a továbbiakban két tétel bizonyításával foglalkozik a szerző. (1) Tétel: Van olyan H, melyre │H│= c és D(H) minden eleme egy racionális szám négyzetgyöke. Ennek a tételnek a bizonyításához konstruálnak egy H halmazt. Ehhez a következő tételt használja fel a szerző. Tétel: Létezik az egész számoknak kontinuumnyi sok részhalmaza, hogy bármely kettőnek közös része véges. E tételt Rényi Alfréd bizonyította a legegyszerűbben. A második tétel, aminek a bizonyításával a tanulmányban Erdős foglalkozik a következő: (2) Tétel: Legyen P pozitív számok tetszés szerinti, mindenütt sűrű halmaza. Akkor van oly H, melyre │H│=x1 és D(H) ⊂ P. Ezt a tételt Erdős élesíti, és ezt a pontosított tételt bizonyítja a tanulmányban. Tétel: Létezik oly H, melyre │H│= x1, D(H)⊂P , és minden k > 2-re H bármely k eleme lineárisan független, azaz nincs H-nak olyan pontja, amely a Hilbert-tér egy (k -2) dimenziós altérben van. A bizonyítás során transzfinit indukcióval megkonstruál egy H halmazt a szerző. A tétel bizonyításához korábbi tételét is felhasználja, amit Radóval együtt fogalmazott meg.

36

Befejezés A dolgozat készítése közben nagyon sok tanulmányát olvastam el Erdős Pálnak. Ezek közül voltak olyanok, amelyeket Erdős egyedül írt és voltak olyanok is, amelyet más tudóstársával együtt fogalmazott meg. Örülök, hogy megismerhettem e nagy matematikus munkásságát, mert igen nagy hatással volt rám. Azt viszont Erdős maga is elismeri, hogy sok helyen bonyolultan fogalmazza meg a problémákat. Véleményem szerint azonban az a fontos, hogy akik számára szánta a kérdéseket és a felvetett problémákat, megértsék, mit is akar Ő. A dolgozatban nem írtam Erdős összes tételéről és problémájáról, mert akkor igen hosszadalmas lenne ez a kis írás, de biztos vagyok benne, hogy Erdős minden munkája nagymértékben elősegítette a matematika fejlődését. A matematika e kiemelkedő személyiségének körülbelül 1500 cikke jelent meg. A tanulmányokat a világ több országában is kiadták, melyek segítették a világ matematikusainak munkáját. Erdős több cikkében is megemlíti, hogy egy-egy tétel bizonyítását többen is megoldották, de sajnálatos módon voltak idők mikor ezeket az elért eredményeket titkok övezték. Az országok közötti tudományos életet - főként a világháború idején - szigorúan védték, ezért nem jöhetett létre a tudósok között a megfelelő kommunikáció. Erdős származása ellenére, amit régen sajnos nagy megkülönböztetés övezett, igen nagy sikereket ért el a világ minden országában. Figyelemre méltó az a jó tulajdonsága, hogy segítette kortársait és az ifjú matematikusok munkáját is. Erdősről köztudott, hogy nem rendelkezett anyagi javakkal, még saját lakása sem volt. Világvándorként élte életét. Az évek folyamán több neves díjat is megkapott, amelyeket felsoroltam az életének bemutatása során, s ezekkel a díjakkal általában pénzjutalom is járt. Ezekből a jutalmakból Erdős csak minimális összegeket tartott meg, a többit odaadományozta valamelyik egyetemnek, vagy pénzjutalomként használta fel olyan problémák megoldására, amelyeket esetlegesen Ő nem tudott bizonyítani, vagy a bizonyítása bonyolult volt, és egyszerűbb bizonyítást szeretett volna találni. Örülök, hogy e dolgozat alkalmával megismertem egy önzetlen ember munkáját. Erdős Pál munkássága minden téren példaértékű. Kiváló matematikus, segítőkész jó barát, kollégái mind örülhetnek annak, hogy ismerték.

37

Felhasznált irodalom Paul Hoffman: A Prímember. Erdős Pál kalandjai a matematika végtelenjében. Scolar Budapest 1999 Bruce Schehter: Agyam nyitva áll. Park Kiadó-Vince Kiadó 1999 Erdős Pál: Hogyan lettem matematikus és világvándor. Természet Világa 128. évf.2. sz. 1997. február, 78-79.o. Bollobás Béla: Erdős Pál. A Nature 1996. október 17-i száma, Magyarul megjelent: Természet Világa 1997. 2. sz. Erdős Pál-Grünwald Tibor-Weiszfeld Endre: Végtelen gráfok Euler-vonalairól. Matematika Fizika Lapok 1936 43 kötete Erdős Pál-Bollobás Béla: Gráfelméleti szélsőértékre vonatkozó problémákról. Matematika Lapok 1962 13 Erdős Pál-Rényi Alfréd: Egy gráfelméleti problémáról. Matematikai Kutató Intézet Közleménye 1963 VII/B4 Erdős Pál: Gráfok páros körüljárású részgráfjairól. Matematika Lapok 1967 18 Erdős Pál: Turán Pál gráf tételéről. Turán Pál 60. születésnapjára. Matematika Lapok 1971 21 Kiss Péter-Mátyás Ferenc: A számelmélet elemei EKTF Líceum Kiadó Eger 1997 Erdős Pál: Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása. Különlenyomat Matematika és Fizika XXXIX kötetéből Budapest 1932 Erdős Pál: Egy kongruencia rendszerekről szóló problémáról. Matematika Lapok 1952 4 Erdős Pál: Megjegyzések a Matematika Lapok két feladatához. Különlenyomat Matematikai Lapok VII évfolyam 1-2 számából Bólyai János Matematikai Társulat Budapest 1956

38

Erdős Pál-Surányi János: Egy additív számelméleti probléma. Matematika Lapok 1959 10 Erdős Pál: Számelméleti megjegyzések I. Matematika Lapok 1961 12 Erdős Pál: Számelméleti megjegyzések II. Az Euler-féle φ - függvény néhány tulajdonságáról. Matematika Lapok 1961 12 Erdős Pál: Számelméleti megjegyzések III. Néhány additív számelméleti problémáról. Matematika Lapok 1962 13 Erdős Pál: Számelméleti megjegyzések IV. Extremális problémák a számelméletben I. Matematika Lapok 1962 13 Erdős Pál: Számelméleti megjegyzések V. Extremális problémák a számelméletben II. Matematika Lapok 1966 17 Erdős Pál: Binomiális együtthatók prímfaktorairól II. Matematika Lapok 1982 30 Erdős Pál-Pálfy Péter Pál: Direkt szorzatra nem bontható csoportok rendjéről. Matematika Lapok 1987 33 Erdős Pál-Hajnal András: Egy kombinatorikus problémáról. Matematika Lapok 1968 19 Erdős Pál: Ramsey és Van der Waerden tételével kapcsolatos kombinatorikai kérdésekről. Matematika Lapok 1963 14 Erdős Pál: Néhány elemi geometriai problémáról Közlemény Matematika Lapok 1962 24/5 Erdős Pál Megjegyzések a „Néhány elemi geometriai problémáról” című cikkhez. Közlemény Matematika Lapok 1963 I Erdős Pál: Néhány elemi geometriai problémáról. Közlemény Matematika Lapok 1980 61 Erdős Pál-Fejes Tóth László: Pontok elhelyezése egy tartományban. Magyar Tudományos Akadémia Matematika Fizika Oszt. Köz. 1956 6

39

Erdős Pál-Vince István: Konvex, zárt síkgörbék megközelítéséről. Különlenyomat Matematika Lapok 1958 9 évfolyam 1-2 szám Erdős Pál: Hilbert térben lévő ponthalmazok néhány geometriai és halmazelméleti tulajdonságáról. Matematika Lapok 1968 19 Képek: http://www.komal.hu/tablok/?fenykep=79 ; http://www.omikk.bme.hu/archivum/magyarok/htm/erdosrov.htm Felhasznált irodalom elérhetősége: http://www.renyi.hu/~p_erdos/Erdos.html

40

41