1
Érdekes geometriai számítások – 9. Folytatjuk a sorozatot. 9. Téma: Szimmetrikus kontytető tetősíkjai lapszögének meghatározásáról Már több dolgozatunk témája volt két metsződő tetősík közbezárt szögének – geometriai szóhasználattal: lapszögének – meghatározása, szerkesztéssel és / vagy számítással. Hogy újra elővesszük e témát, annak az az oka, hogy találtunk néhány olyan finomságot, ami ezt indokolja. Most ezeket osztjuk meg az érdeklődő Olvasóval. A régi - új téma az interneten talált [ 1 ] munkában bukkant fel, és erről néhány dolog eszünkbe jutott. A mondott feladat és megoldásának eredetije – részben – az 1. ábrán látható. ( Az orosz szöveg részletei felnagyítva könnyen olvashatóak és értelmezhetőek. )
1. ábra – [ 1 ]
2
A feladat feldolgozásához tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra Itt két sík lapszögének meghatározására emlékeztetünk. A 2. ábrán élből nézett két sík ϕ hajlásszögét úgy határozzuk meg, hogy vesszük a nor málisaik hajlásszögét. Az S1 sík n1 normálvektora a két sík által közrefogott „belső” ( kék ) térrész, az S2 sík n2 normálvektora pedig a „külső” ( fehér ) térrész felé mutat. Ekkor a két sík ( itt M pontként megjelenő ) metszésvonala mint forgástengely körül az S1 síkot az S2 - be ϕ szöggel beforgatva a normálisok is ϕ szöggel fordulnak el, azaz valóban ϕ szöget zárnak be egymással. Ha nem így irányítjuk a normálisokat, hanem például mindkettő a belső térrész felé mutat, akkor a szemlélet alapján ϕ * = 180° − ϕ lesz a közbezárt szögük. Az elemi vektoralgebra tanítása szerint – [ 2 ] – : (1) Ha most a 2. ábra jobb oldali részének megfelelően n2 helyébe (– n2 ) - t teszünk, akkor ( 1 ) - gyel: (2) innen ϕ * = 180° − ϕ ,
(3)
egyezésben a szemlélettel. Ezek előrebocsátása után tekintsük a 3. ábrát is! Az ( 1 ) képlet használatához tehát szert kell tennünk a metsződő síkok normálvektoraira. Ezt úgy tesszük, hogy a mondott síkokat kifeszítő két - két vektornak képezzük a vekto riális szorzatát, úgy, hogy az így előálló normálvektorok megfeleljenek a 2. ábra bal ol dalán mutatott irányításnak.
3
3. ábra A 3. ábrán a φ1 és φ2 hajlású tetősíkokból a metszésvonalukra merőleges segédsík által kimetszett ϕ szöget is feltüntettük, a tető jellemző a, b, c , h vonalas adatai mellett. Most alkalmazzuk az ( 1 ) képletet, az itteni jelölésekkel! (4) Részfeladat a tetősíkok normálvektorainak előállítása. Ezek a korábban mondottak szerint: ,
(5)
és (6) Utóbbiakhoz felsoroljuk a tető, mint szimmetrikus éktest csúcspontjainak helyvektorait, az ábrán is jelölt B( xyz ) koordináta - rendszerben, az ( i, j, k ) egységvektorokkal. Ezek: ; Most ezekkel írhatjuk, hogy
(
);
(
).
4
innen: (7) Majd hasonló módon: innen: (8) Megint így eljárva: innen: (9) Most a ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) képletek az egységvektorokkal is: ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) Majd ( 5 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel:
=
,
tehát: ( 13 ) Hasonlóképpen: ( 6 ), ( 11 ), ( 12 ) - vel:
folytatva:
továbbá:
5
ezzel:
tehát: ( 14 ) A normálvektorok abszolút értéke:
, tehát: ( 15 ) Hasonlóképpen:
=
,
tehát: ( 16 ) A normálvektorok skaláris szorzata a ( 13 ), ( 14 ) képletekkel :
tehát: ( 17 ) Ezután a ( 4 ), ( 15 ), ( 16 ) és ( 17 ) képletekkel
6
tehát: .
( 18 )
Ámde a 3. ábra szerint: ( 19 )
és ( 20 )
így ( 18 ), ( 19 ) és ( 20 ) szerint eredményként kapjuk, hogy ( 21 ) Ez a képlet már ismerős lehet valahonnan. Valóban, egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: Érdekes geometriai számítások – 5. Egy fontos szögösszefüggés gömbháromszögtani igazolása – felírtuk, illetve a szakirodalom felhasználásával bebizonyítottuk, hogy érvényes az alábbi összefüggés: . ( C1 ) Itt γ jelenti az α és β hajlású (tető - )síkok lapszögét, ha c azon (eresz -)vonalak által bezárt szög, amelyekből a (tető - )síkok indulnak. Megváltoztatva jelöléseinket: ( C2 ) így ( C1 ) és ( C2 ) szerint: ( C3 ) Ha az ereszvonalak derékszöget zárnak be egymással, mint az itteni feladatban is, akkor ( C4 ) így ( C3 ) és ( C4 ) - gyel:
7
( C5 ) Örömmel állapítjuk meg a ( 21 ) és ( C5 ) képletek egyezését.
☺
Megjegyzések: M1. Jó tudni, hogy a ( C3 ) képlettel nem csak szimmetrikus, hanem tetszőleges tető kialakítás esetében is ki tudjuk számítani az összemetsződő tetősíkok egymással bezárt szögét. M2. A ( 18 ) képlet alapján belátható, hogy ~ esetén vagyis a lapszög: tompaszög; ~ esetén vagyis a lapszög: hegyesszög; ~ esetén vagyis a lapszög: derékszög. M3. A ( 21 ) képletet a tetősíkok mi ( i: 1, 2 ) meredekségével is felírhatjuk. Az ismert trigonometriai azonossággal, tekintettel az M2. megjegyzésre is: (a) így ( 21 ) és ( a ) szerint: (b) ( b ) - t négyzetre emelve: (c) ( c ) - nek reciprokát véve: ;
(d)
( d ) jobb oldalát kifejtve: (e) most ( d ) és ( e ) - vel: innen: (f)
8
( f ) - ből négyzetgyököt vonva: (g) Most el kell dönteni, hogy a gyökjel előtt melyik előjel tartandó meg. Ehhez vegyük figyelembe, hogy ~ mivel így ~ ezért ~ innen ~ így ( 21 ) szerint ~ eszerint ~ de ekkor ~ így ( g ) - ben a negatív előjel veendő. Ezzel: (h) Most az (i) (j) jelölésekkel és ( h ) - val: (k) ( k ) - t (–1 ) - gyel szorozva: (l) Most figyelembe véve, hogy (m) így ( i ) és ( m ) - mel kapjuk, hogy ,
(n)
( n ) - ből: ,
(o)
majd ( o ) - ból: (p)
9
A ( p ) képlettel közvetlenül számítható a szokásos kialakítású szimmetrikus kontytető tetősíkjainak egymással bezárt szöge, a tetősíkok ( i ) és ( j ) képletekkel adott meredek sége ismeretében. Számpélda Egy másik korábbi dolgozatunkban – melynek címe: Az ötszög keresztmetszetű élszarufa keresztmetszetének kialakításáról – található az alábbi ábra - rész:
4. ábra Ezen azt szemléltettük, hogy adott tetőadatok esetén milyen γ1 és γ2 szögek alatt kell levágni az élszarufát, hogy azok pontosan illeszkedjenek a tetősíkokhoz. Az általunk itt keresett szög, valamint az ottani γ1 és γ2 szögek közti összefüggés a 4. ábráról is leolvashatóan: ( P1 ) Most ( p ) és ( P1 ) összevetéséből: ( P2 ) Az ottani számpélda adatai: .
( P3 )
Az ottani eredmények: ( P4 ) Ezután ( P2 ) bal oldala, ( P4 ) - gyel is: ( P5 )
10
Most ( P2 ) jobb oldala az ( i ), ( j ) és ( P3 ) képletek szerint:
( P6 ) Örömmel jelenthetjük, hogy ( P5 ) és ( P6 ) pontosan ugyanazt az eredményt adja, tehát képleteink jól működnek.
☺
Végül a két sík lapszöge ( P1 ) és ( P5 ) - tel: ϕ = 126,0398934°. M4. A ( 21 ) képletből adódik a ( 22 ) képletalak - változat is. M5. Lehet némi félreértés a „síkok hajlásszöge” és a „síkok lapszöge” kifejezések haszná lata során. Ezzel kapcsolatban [ 3 ] - ra utalunk. Eszerint: ~ két sík hajlásszöge nem lehet derékszögnél nagyobb; ebből adódik, hogy a tetősíkok és a vízszintes sík által bezárt hegyesszög valóban hajlásszög; ~ két sík lapszöge esetén meg kell mondani, melyik szögtartományra gondolunk, egyéb ként a lapszög tetszőleges lehet, ahogyan azt az M2. megjegyzésben taglaltuk is. M6. Ha komolyan vesszük az M5. megjegyzésben foglaltakat, akkor a ( 20 ) képletben szereplő φ1 szöget nem igazán nevezhetjük hajlásszögnek; hiszen az M2. megjegyzésben éppen a ( 20 ) - ban található ( b – c) mennyiség előjelétől tetük függővé cos φ1 , ezzel együtt pedig cosϕ előjelét is. Márpedig M5. szerint a hajlásszög koszinusza nem lehet negatív. Eszerint azt is mondhatjuk, hogy az M5. - ben tett „fogalmi korlátozás” miatt akár előnyösebb is lehet a ( 18 ), mint a ( 21 ) képlet használata. M7. Az előbb vázolt problémákat áthidalhatjuk, ha egyszerűen csak a síkok közbezárt szögéről beszélünk, legyen az hajlásszög vagy lapszög. Ha szükséges, megemlítjük, hogy az éppen milyen szögtartományba esik. Ez lehet, hogy nem annyira szakszerű szóhaszná lat, viszont talán nem okoz félreértést. M8. A [ 4 ] munkában a következőt találtuk: „ Két sík hajlásszögét a következőképpen határozzuk meg: ha a két sík párhuzamos, akkor hajlásszögük 0°. Ha nem párhuzamosak, akkor metszésvonaluk egy tetszőleges pontjában
11
merőlegest állítunk e metszésvonalra mindkét síkban, s a kapott félegyenesek hajlásszögét mondjuk a két sík hajlásszögének ( 6.8. ábra).” – 4. ábra.
4. ábra – forrása: [ 4 ] Érdekes, hogy itt nem beszélnek lapszögről, csak hajlásszögről. Viszont erről nem kötik ki, korábban sem, hogy nem lehet nagyobb a derékszögnél. Az a gyanúnk, hogy a külön böző szerzők nem egészen ugyanazt a terminológiát alkalmazzák. Ezért aztán e sorok írójának sem fáj a feje nagyon amiatt, hogy a különféle szög - elnevezéseket egymás szinonimájaként használja. M9. A 3. ábrán a tetősíkok normálisának ábrázolásakor felhasználtuk azt a geometriai tételt, miszerint „ha egy egyenes merőleges egy sík két metsző egyenesére, akkor minden egyenesére merőleges, tehát merőleges a síkra.” – [ 3 ]. E tétel alapján mondhatjuk, hogy a 4. ábrán jelölt szög úgy is előállítható, hogy a két sík metszésvonalára merőleges síkot állítunk, a metszésvonal egy tetszőleges pontjában. E merőleges sík a metsződő síkokból kimetsz egy - egy egyenest, melyek a keresett szöget zárják be. Ugyanis a metsződő két sík metszésvonalára külön - külön állított merőleges egyenesek egy síkot határoznak meg, és mivel ezek az egyenesek külön - külön merőlege sek a metszésvonalra, akkor az általuk kifeszített sík is merőleges a metszésvonalra. Ezt a tényt felhasználva rajzoltuk meg a 3. ábrán a B ereszsarokból induló élgerinc – mint az a és b ereszvonalakból induló, φ1 és φ2 hajlású tetősíkok metszésvonala – merőleges metszésével adódó ϕ lapszöget. M10. A ( 3 ) képletre vezető számítást azért tettük oda, mert ezzel akartuk szemléltetni azt a körülményt, hogy a dolgozat elvi alapját képező ( 1 ) képlet használata során miért kell
12
nagyon ügyelni a metsződő síkok normálisának helyes felvételére. Ellenkező esetben komoly zavarok léphetnek fel az eredmény - képletekben, illetve azok értelmezésében. M11. A ( b ) egyenlet jobb oldalán is kitettük a ± jeleket, arra az esetre, ha mégis úgy döntenénk, hogy a φ1 és φ2 szögeket nem korlátozzuk a „hajlásszög” meghatározásának megfelelően. Az utána következő négyzetre emelés ezeket amúgy is eltüntette, majd pedig a ( g ) egyenletet követő választás során a φ1 és φ2 szögeket „hajlásszög” - nek vettük. A számítás részletezésének tehát nem csak az a haszna, hogy bárki könnyebben követheti, hanem az is, hogy példát ad arra is, hogy ha valaki saját képletet akar kreálni, akkor az előjelekről hogyan hozhat saját döntést. M12. E dolgozat címében a lapszög szó egyes számban szerepel. Valóban, szimmetrikus tető esetében mindegyik lapszög ugyanaz, mert a 3. ábráról leolvashatóan mindig csak φ1 és φ2 hajlásszögű tetősíkok metsződhetnek, ugyanazt a ϕ lapszöget eredményezve. M13. Az a tény, hogy az [ 1 ] forrás egyetemi tankönyv ( volt? ), senkit ne riasszon el a téma tanulmányozásától! Sőt! Örüljünk, hogy a kis hazánkban még nem is létező tető geometriai szakirodalom egy újabb értékes és érdekes fejezettel bővült!
Irodalom: [ 1 ] – P. Sz. Mogyenov: Analityicseszkaja geometrija Izdatyelsztvo Moszkovszkogo Unyiverszityeta, 1967., sztr. 134. [ 2 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998., 537. o. [ 3 ] – Reiman István: Matematika Typotex Kiadó, Budapest, 2011., 240. ~ 241. o. [ 4 ] – Gerőcs László ~ Vancsó Ödön: Matematika Akadémiai Kiadó, Budapest, 2010., 267. o. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. június 30.
