A szimmetrikus, külpontosan aláfeszített gerendatartóról Bevezetés Korábban már több, hasonló témájú dolgozatunk született, melyek az alábbiak: ~ Az egyszeres feszítőmű erőjátékáról – KD / 1; ~ Az egyszeresen alulfeszített gerendatartóról – KD / 2; ~ Az egyszeres függesztőmű erőjátékáról – KD / 3. Ezek különböző mértékben, mélységben foglalkoztak e „rokon” szerkezetekkel. Ezek mindegyikére jellemző, hogy egy folytatólagos gerenda közbenső támaszát egy többlet – de nem csak egy oszlop! – szerkezet képezi. Ha fából készülnek, akkor az anyagok jellemzőinek bizonytalanságai, az elkészítési pontatlanságok, stb. miatt a pontos számítás szinte már illuzórikus. Fém anyagú szerkezeteknél van leginkább értelme a pontosabb számításukkal foglalkozni. A KD / 1 és KD / 3 dolgozatokban legalább annyit megtettünk, hogy feloldottuk a statikai határozatlanságot, hogy azután már a kéttámaszú gerendákkal kapcsolatos ismeretek alapján az Olvasó el tudja végezni a szükséges statikai számításokat. Ezt azért tettük, mert ~ érdekes, valamint ~ nemigen találhatók meg magyar nyelvű könyvekben a szükséges képletek, a kellően részletesen elmagyarázott levezetésükkel együtt. Az építési szakirodalom ismert művei közül pl. [ 1 ] - ben az alábbiakat találjuk erről a témáról – 1. ábra.
1. ábra
2 „ E különféle elrendezésű tartók szerkezete sztatikai szempontból lényegében azonos.” … „ E tartók számítása aránylag egyszerű…” „ Tekintettel arra, hogy e tartók megoldása csupán már ismertetett eljárások értelemszerű alkalmazásából áll, velük többet nem foglalkozunk.” Ezzel kapcsolatban itt annyit érdemes megjegyezni, hogy azidőtájt – de manapság is ez a helyzet – nem volt olyan átfogó és gyakorlatias szerkezet - számító kézikönyv, amely a fentebb mondott feltételeknek megfelelt volna. Ez azért is érdekes, mert [ 1 ] az elősza vában ezt írja magáról: „ Emellett azonban kézikönyv is azon a területen, ahol a magyar műszaki irodalomban hiányt kell pótolnia.” Tapasztalati tény, hogy nagyon nehéz kézikönyvként használni egy olyan könyvet, ahol kb. a függőhíd számítása a közepesen nehéz feladat. Ugyanez a helyzet a tényleg kézikönyvnek szánt [ 2 ] műnél is. A probléma itt is az, hogy az az olvasó, aki nem kíván elmerülni a merevítőgerendás ívtartók általános elméletében, hogy abból specializációval megkapja a feszítő - és függesztőművek számítási formuláit, bajban van. Ekkor lép életbe a „Magad uram, ha szolgád nincsen!” típusú megközelítés, amely nyilván már nem szárnyalhat oly’ magasan, ámde működik. Fontos megjegyezni, hogy a németek kicsit másképpen viszonyultak e témához; pl. [ 3 ] éppen olyan, amilyennek lennie kell; csak az a baj vele, hogy nincs magyar megfelelője. Idevágó élményem, hogy ezt a könyvet először egy ipari szerkezet - tervező cég irodájá ban láttam először, egy könyvespolcon; gyakran forgathatták, mert egészen elöl volt… Említettük, hogy a fémszerkezetek között gyakrabban találkozni pontos / pontosabb számítással, e témakörben. Persze, ez sem volt mindig így: vessünk egy pillantást a 2. ábrára – [ 4 ]!
2. ábra Itt egy tehervagont ábrázoltak, melynek részét képezi a címbeli szerkezet. Kicsit zavaró, hogy erről is csak szöveges leírás található.
3 Nem ennyire „csupasz” kivitelű az [ 5 ] munka, ahol az erőtani kérdéseket is részletezik, még ha egyszerűsítve is. Vannak más lelőhelyek is, ahol a siker reményében keresgélhetünk; ilyenek tipikusan a példatárak, mint pl. [ 6 ] is. Persze, itt is fennáll az a veszély, hogy a nem az elejétől a végéig haladó, hanem csak egy - egy feladat megoldása kedvéért belekukkantó olvasó számára esetleg nem egészen nyilvánvalóak a számítások. A KD / 2 dolgozat sem igazán egy konkrétan felhasználható, hanem inkább csak ötlet adó, történeti érdekességeket bemutató írás. Az onnan hiányzó részeket pótoljuk most.
Kifejtés Az alábbi számítások vezérfonalát a [ 7 ] munkában találtuk meg. Ennek jellegzetessége, hogy a hozzávalók szinte minden szilárdságtannal foglalkozó tankönyvben – [ 8 ] – fel lelhetők. A [ 7 ] - beli és az itteni feladat általában nem egyezik, csak speciális esetben. Most tekintsük a 3. ábrát!
3. ábra Itt tüntettük fel a főbb mértani és merevség - jellemző adatokat. Látható, hogy a szerke zet szimmetrikus kialakítású. Ez nagyban megkönnyíti a számítást. A szerkezet alsó övét jelentő BD feszítőrudak bekötése történhet a felső D1 pontban – fagerenda, csavarral – , vagy az alsó D2 pontban – acélgerenda, hegesztéssel. Ennek megfelelően mindkét esetet úgy kezeljük, mintha a bekötés a D pontban történt volna. A nyomott BC oszlop esetén nem így járunk el, bár kis elhanyagolással tekinthetnénk az oszlop - és a gerendatengely metszéspontját is C pontnak.
4 A mechanikai jellemzőket is érdemes a három tartóelemnél jól megkülönböztetni, hiszen meglehet, hogy a gerenda fából, a feszítőrudak acélból, az oszlop pedig öntöttvasból készül. Most fordítsuk figyelmünket a tartó terheléseire! Itt csak szimmetrikus elrendezéssel foglalkozunk: két koncentrált P erővel és végig egyenletesen megoszló q terheléssel. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!
4. ábra Itt már csak a teljes ábra egyik felét rajzoltuk meg, mivel a másik fele ennek tükörképe. A szerkezet belsőleg statikailag egyszeresen határozatlan. Ennek feloldása, vagyis egy darab ismeretlen meghatározása a közvetlen feladat. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!
5. ábra
5 Erről leolvasható, hogy a feszítőrudak és a gerenda az S1 és S2 nagyságú erőket önmagá ban kiegyensúlyozzák, terv szerint. Ezért is mondható, hogy ez is egy önmagába lehor gonyzott szerkezet. Ez azt is jelenti, hogy esetünkben az RA és RA’ reakcióerőknek csak a külső 2P és a 2ql nagyságú erőket kell kiegyensúlyozniuk, szimmetrikusan. Az 5. ábrán azt is feltüntettük, hogy érdemes a 0 ~ l szakaszt két részre, a I. és II. szaka szokra felosztani, a későbbi számítások szempontjából. Ugyanis az S1 feszítőerők X nagyságú vízszintes összetevője a szakaszhatártól kezdve hat egy nyomóerőként a gerendára: az I. szakaszon még nincs nyomás, a II. szakaszon pedig már van. A statikailag határozatlan – ismeretlen – mennyiségnek éppen X - et választjuk; innen a jelölés is. Meghatározása alább az alakváltoztató munka minimumának elve alapján tör ténik – [ 8 ]. Az alakváltozási munka közelítő kifejezése:
U x,X Ugerenda Urudak UM UN 2 US1 US2 ,
(1)
majd a minimalizálás feltétele:
U x, X X
0.
(2)
Megjegyezzük, hogy ( 1 ) - ben az a közelítés, hogy a nyíróerők és az esetleges egyéb, például külpontosságok miatt fellépő hajlító - és csavarónyomatékok alakváltoztató munkáját elhanyagoltuk a gerendában terv szerint ébredő hajlítónyomaték és normálerő, valamint a rudakban ébredő húzó - és nyomóerők munkája mellett. Az egyes részkifeje zések ( 1 ) - ben – [ 7, 8 ] – : 2l
UM 0 2l
UN 0
M2 dx , 2 E I
(3)
N2 dx , 2 E A
(4)
S12 s1 US1 , 2 E1 A1
(5)
S22 s 2 U S2 . 2 E2 A2
(6)
Most az ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) képletekkel: 2l
U x, X 0
2l
M2 N2 S12 s1 S22 s 2 dx dx 2 ; 2 E I 2 E A 2 E A 2 E A 1 1 2 2 0
majd ( 2 ) és ( 7 ) - tel:
(7)
6
U x, X M M N N S s S S s S dx dx 2 1 1 1 2 2 2 0. X E I X E A X E1 A1 X E 2 A 2 X 0 0 2l
2l
(8) A ( 8 ) kifejezés használatához fel kell írni az igénybevételek kifejezéseit. Az 5. ábra alapján:
X S1 cos , Y S1 sin .
(9)
Most ( 9 ) - ből:
S1
X , cos
( 10 )
valamint:
Y X tg .
( 11 )
Ismét az 5. ábrából, a B csomópont egyensúlya alapján, figyelemmel az előjelre is:
S2 2 S1 sin ,
( 12 )
majd ( 9 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel:
S2 2 X tg .
( 13 )
Most ( 10 ) - ből:
S1 1 , X cos
( 14 )
majd ( 13 ) - ból:
S2 2 tg . X
( 15 )
Ismét az 5. ábrából a rúdhosszak:
lb , cos s 2 l b tg e .
s1
( 16 )
Most a ( 10 ), ( 12 ), ( 14 ), ( 15 ) és ( 16 ) képletekkel ( 8 ) bal oldalának utolsó két tagja: S s S S s S 2 1 1 1 2 2 2 E1 A1 X E 2 A 2 X
2
X 1 lb 1 1 2 X tg l b tg e 2 tg cos E1 A1 cos cos E2 A2
2 l b 1 4 tg 2 X X l b tg e 3 E1 A1 cos E2 A2 2 l b 1 4 tg 2 X l b tg e , E1 A1 cos3 E 2 A 2
7 tehát:
2 l b S1 s1 S1 S2 s 2 S2 1 4 tg 2 . 2 X l b tg e 3 E1 A1 cos E 2 A 2 E1 A1 X E 2 A 2 X ( 17 ) A 4. és 5. ábra szerint a gerendában ébredő normálerő kifejezései:
N x II X . N x I 0 ,
( 18 )
Majd ( 18 ) - ból:
0 , X N x II 1 . X N x I
( 19 )
A ( 8 ) - beli összeadandó, ( 18 ) és ( 19 ) - cel, tekintettel a szimmetriára is: 2l l N N N N dx 2 E A X E A X dx 0 0 l b N x N x N x II N x II I I 2 dx I dx II 0 E A X E A X b l l N x II N x II 2 l b X 2 dx II 2 1 dx II X , E A X E A E A b b
tehát: 2l
0
2 l b N N dx X . E A X EA
( 20 )
A gerenda hajlítónyomatékának függvényei az I. és a II. szakaszon:
M x II M 0 x II Y x II b . M x I M 0 x I ,
( 21 )
Itt M0 - val a közönséges – tehát aláfeszítés nélküli – kéttámaszú gerendatartó hajlító nyomaték ~ függvényét jelöltük. Most ( 11 ) és ( 21 ) - gyel:
8
M x II M 0 x II X tg x II b . M x I M 0 x I ,
( 22 )
( 22 ) - vel:
M x I 0 , X M x II tg x II b X
.
( 23 )
Ezután a megfelelő ( 8 ) - beli összeadandó, ( 22 ) és ( 23 ) - mal, tekintettel a szimmet riára is: 2l
0
l
M M M M dx 2 dx E I X E I X 0
b l M x I M x II 2 M x I dx I M x II dx II E I 0 X X b
M x II 2 M x II dx II E I b X l
l
2 M 0 x II X tg x II b tg x II b dx II E I b l l 2 2 2 M 0 x II tg x II b dx II X tg x II b dx II , E I b b
tehát: 2l
0
l l M M 2 2 2 dx M 0 x II tg x II b dx II X tg x II b dx II . E I X E I b b
( 24 ) Bevezetjük az l
J M0 M 0 x II tg x II b dx II
( 25 )
b
rövidítő jelölést, majd elvégezzük ( 24 ) jobb oldala második tagjában az integrálást:
9 lb
l
x
lb
b dx II x II b d x II b 2
II
2
b
0
0
3 d 3
lb
0
l b
3
2
3
;
( 26 )
ezután ( 24 ), ( 25 ) és ( 26 ) - tal: 2l
0
3 l b M M 2 2 dx J M 0 X tg . E I X E I 3
Most ( 8 ), ( 17 ), ( 20 ) és ( 27 ) - tel: 3 2 l b 2 l b l b 2 2 J M 0 X tg X X E I
3
E A
E1 A1
( 27 )
1 4 tg 2 0 ; l b tg e cos 3 E 2 A 2
rendezve: 3 2 l b 2 l b 2 l b 1 4 tg 2 2 2 X tg l b tg e J M 0 , 3 E I E I 3 EA E1 A1 cos E 2 A 2
innen:
1 J M 0 E I X . 3 2 l b l b l b 1 1 2 tg tg 2 l b tg e 3 EI 3 E A E1 A1 cos E 2 A 2 ( 28 ) Tovább alakítva ( 28 ) - at:
X
J M 0
; E I l b E I l b 1 E I tg 2 2 tg 2 l b tg e 3 3 EA E1 A1 cos E2 A2 ( 29 ) ( 29 ) nevezőjében kiemeléssel és egyszerűsítéssel: J M 0 X ; 2 l b I EI 1 EI e 3 2 tg 1 l b tg 2 3 3 A E1 A1 cos E 2 A 2 tg l b ( 30 ) a 4. ábra szerint:
l b
3
h l b tg , így ( 30 ) és ( 31 ) - gyel:
( 31 )
10
X
J M0
h2 I EI 1 E I e 3 l b 2 tg 1 3 h 3 A E A cos E A 1 1 2 2
;
( 32 )
ismét a nevezőben való kiemeléssel ( 32 ) - ből: J M 0 X h 2 3 I EI 1 E I e 2 tg 3 1 l b 1 2 3 3 h A E1 A1 cos E 2 A 2 h J M 0 h 2 3 I EA 1 E A e 2 tg 3 1 l b 1 2 1 3 3 h A E1 A1 cos E 2 A 2 h 3 J M 0 , l b h 2 tehát – v. ö. [ 7 ]! – :
3 J M 0 X , ahol: 2 l b h e I EA 1 EA 3 1 2 tg 1 1 3 2 3 h A h E1 A1 cos E2 A2
.
( 33 )
A ( 33 ) képlet alkalmazásához meg kell határoznunk a ( 25 ) szerinti J( M0 ) mennyi séget. Ezt a munkát az 5. ábrán feltüntetett terhelésekre végezzük el. Először a 2P terhelési esettel foglalkozunk – 6. ábra. Feltesszük, hogy a > b . Most ( 25 ) - ből:
J M 0 tg
l
M 0 x II x II b dx II .
( 34 )
b
Vezessük be a
x II b új változót! Ekkor
( 35 )
11
dx II d , a x II,a b b b 0 , f x II,f b l b ; x II b ,
( 36 )
6. ábra Majd ( 34 ), ( 35 ), ( 36 ) - tal:
J M 0 , 2P tg
lb
M 0 b d 0
a b
M
lb 0
b 1 1 d1 M 0 b 2 2 d 2 .
( 37 )
a b
0
Az 1. szakaszon integrálva: a b a b 2 M b d P b d P b d d 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 ab 3 ab a b2 a b3 P 1 a b2 3 b 2 a b P b P b 1 2 3 0 2 3 6 0 P 2 a b 2 a b , 6 a b
ab
12 tehát: a b
M
0
P 6
b 1 1 d1 a b 2 a b .
0
2
( 38 )
A 2. szakaszon integrálva: lb
M
0
b 2 2 d 2
a b
lb
22 P a 2 d 2 P a 2 a b
lb
( 39 )
Pa 2 2 l b a b . 2 a b
Most ( 37 ), ( 38 ), ( 39 ) - cel:
J M0 , 2P tg
P P a 2 2 2 a b 2 a b l b a b , 6 2
( 40 )
majd ( 40 ) - ből:
P 2 2 2 J M 0 , 2P tg a b 2 a b 3 a l b a b 6 2 b 2 b 2 P b b 2 2 2 tg a 1 a 2 3 a l 1 a 1 , a a 6 a l tehát: 2 b 2 2 P tg 3 b b b 2 2 J M 0 , 2P a 1 2 3 a l 1 a 1 . ( 41 ) l a 6 a a
Abban az esetben, ha b 0 , ( 41 ) - ből: P tg 3 P tg J M 0 , 2Pb 0 2 a 3 a l2 a 2 3 a l2 a 3 6 6 P a tg 3 l 2 a 2 , 6 tehát:
J M 0 , 2P b0
P a tg 3 l 2 a 2 . 6
( 42 )
Most ( 33 ) és ( 41 ) - gyel: 2 2 b 2 3 J M 0 , 2P 3 P tg 3 b b b 2 2 X 2P a 1 2 3 a l 1 a 1 ; a l l b h 2 l b h 2 6 a a ( 43 )
13 majd ( 31 ) - ből:
tg
h , l b
( 44 )
így ( 43 ) és ( 44 ) - gyel: 2 b 2 2 b 2 Pa b b 2 2 X 2P a 1 2 3 l 1 a 1 . 2 a a a l b 2 2 l 1 h l
( 45 ) Ezután ( 45 ) - ből:
Pa 3 l 2 a 2 . 2 2 h l
X 2Pb0
( 46 )
( 46 ) egyezik [ 7 ] - beli megfelelőjével. ☺ Most rátérünk a q terhelési eset számítására. Ehhez tekintsük a 7. ábrát!
7. ábra Most ( 25 ) szerint a l
II,f J M 0 , q M 0 x II x II b dx II tg x b
x
II ,a
kifejezést kell előállítanunk.
( 47 )
14 A hajlítónyomaték függvénye:
x II q 2 q l b b . 2 2
M 0 x II q l x II q x II
( 48 )
Most ( 47 ) és a korábbiak szerint:
2 lb b q l b d , 0 2
J M 0 , q tg
majd innen: 2 lb lb b l b d l b d 1 b 2 d ; 2 2 0 0
J M 0 ,q q tg 0
lb
( 49 ) elvégezzük az integrálásokat: lb
lb
lb
b d b d 0
0
0
2 d b 2
lb
2
0
3 3
lb
0
( 50 )
l b l b l b b 2 l b 3 b 2 l b 2 l b ; 2 3 6 6 3
l b
2
lb
b d b 2
0
2
2
2 b 2 d
0 l b
lb
l b
b d 2 b d 3 d 2
2
0
0
l b
2
b 2
2
0
l b
3
2 b
3
l b
4
4
( 51 )
l b 2 2 6 b 8 b l b 3 l b ; 2
12
most ( 49 ), ( 50 ), ( 51 ) - gyel:
J M 0 , q q tg
l b
2
l
6
l b
2
24
tovább alakítva:
1 l b 2 l b 2 12
2
6 b 2 8 b l b 3 l b
2
2 4 l 2 l b 6 b 2 8 b l b 3 l b ;
15
J M 0 , q q tg
l b
2
24
l b
2
24
l b 24
l b
2
2
8 l 2 4 b l 2 b 2 3 l b
2
8 l 2 4 l b 6 b 2 8 b l 8 b 2 3 l b
24
2
8 l 2 4 b l 2 b 2 3 l 2 2 b l b 2
( 52 )
8 l 2 4 b l 2 b 2 3 l 2 6 b l 3 b2
l b 2 l b 5 l 2 b l b 2 2
24
2
24
5 l 2 b 2 l b ;
majd ( 52 ) - ből:
J M 0 , q
q tg 2 l b 5 l 2 b 2 l b . 24
( 53 )
Most ( 44 ) és ( 53 ) - mal:
J M 0 , q
qh l b 5 l 2 b 2 l b . 24
( 54 )
Ezután ( 33 ) és ( 45 ) - tel:
X q
3 q h l b 5 l2 b 2 l b 2 l b h 24
q 5 q l2 2 5 l b 2 l b 8 h 8 h
b b 1 2 , 5 l l
tehát:
5 q l2 X q 8 h
b b 1 2 . 5 l l
( 55 )
Abban az esetben, ha b 0 , ( 55 ) - ből:
5 q l2 X q b 0 . 8 h ( 56 ) egyezik [ 7 ] - beli megfelelőjével. ☺
( 56 )
16 Ha pedig az 5. ábra szerinti a terhelés, akkor szuperpozícióval:
X 2P q X 2P X q ;
( 57 )
most ( 45 ), ( 56 ) és ( 57 ) - tel:
X 2P q b 2 b 2 b 2 Pa b 2 2 2 a 1 2 3 l 1 a 1 2 a l a a b 2 2 l 1 h l 5 q l2 b b 1 2 . 8 h 5 l l ( 58 ) A statikai határozatlanságot ezzel feloldottuk, innen a számítás a kéttámaszú tartónál tanultak szerint folytatódik. Ezt már az Olvasóra bízzuk.
Zárszó Láthattuk, hogy az egyszerűbbnek számító fenti szimmetrikus tartó - kialakítás és teher elrendezés esetén is hosszadalmas számítás után kaptuk meg eredményeinket a b ≠ 0 val jellemezhető külpontosan bekötött feszítőrudas aláfeszített szerkezet esetében. A részletezéssel azt is szemléltetni kívántuk, hogy az iskolai tanulmányok alapján az ember – kis külföldi szakirodalmi segítséggel – akár saját maga is előállíthatja a szüksé ges képleteket, ha már a hazai szakirodalom nem tette meg ezt helyette. A levezetéseket azért is részleteztük, hogy a sokféle közbenső képlet - alakból mindenki kiválaszthassa a számára rokonszenvesebbet, valamint hogy specializáció esetén ne legyen vele gond. Ilyen eset lehet például az, amikor a gerenda nyomó - merevségét el kívánjuk hanyagolni. Hasonló alapon történhet más igénybevételek figyelembe vétele is, amikor még össze tettebb képlet - alakokra számíthatunk. Megemlítjük, hogy az itt nem tárgyalt aszimmetrikus teher - elrendezés esetén jó szolgá latot tehet az az „ötlet”, hogy az aszimmetrikus terhet felbontjuk két összetevőre: ~ egy tengelyesen szimmetrikus és ~ egy középpontosan szimmetrikus / antimetrikus teher - részre. Persze, itt is hosszadalmas számítások várhatók, melyek hozadéka alapján később talán már egyszerűbben is boldogulhatunk. Reméljük, a fentiek alapján mások is kedvet kapnak a feladataikhoz szükséges önálló számításokhoz. Ja, és ne feledjük: volt élet a számítógépek előtt is! Sok sikert!
17 Irodalom: [ 1 ] – Korányi Imre: Tartók sztatikája II. / 1 . kötet Sztatikailag határozatlan tartók 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962. [ 2 ] – Szerk. Palotás László: Mérnöki kézikönyv 3. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1959. [ 3 ] – Rudolf Saliger: Praktische Statik Franz Deuticke, Wien, 1949. [ 4 ] – Szondy György: Vasuti kocsik Kézirat, Közoktatásügyi Jegyzetellátó Vállalat, Budapest, 1952. [ 5 ] – Ernst Kreissig: Berechnung des Eisenbahnwagens Ernst Stauf Verlag, Köln - Lindenthal, 1936. [ 6 ] – Kőrössi Tibor ~ Laki Tamás ~ Rusznák György: Szilárdságtani példatár Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981. [ 7 ] – Heinrich Müller - Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, 4. Auflage Alfred Kröner Verlag in Leipzig, 1913. [ 8 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. április 25.
