16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex szimmetrikus sokszögek
sokszögek tulajdonságai,
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési tartománya a sík vagy tér pontjainak halmaza és a sík vagy tér minden egyes pontjához a sík vagy tér valamely meghatározott pontját rendeli. Def:Egy geometriai transzformációt távolságtartónak nevezünk akkor, ha a sík vagy tér bármely 2 pontjára igaz, hogy távolságuk megegyezik képeik távolságával.∀ 𝐴, 𝐵 – re𝑑 𝐴; 𝐵 = 𝑑(𝐴′ ; 𝐵 ′ ) Def:A sík és tér távolságtartó transzformációit egybevágósági transzformációknak nevezzük. (Egybevágósági transzformációk egymásutánjai is mindig egybevágósági transzformációk.) Tétel:Ha egy transzformáció távolságtartó képe ugyanakkora), és „alakzattartó”.
szakasztartó, egyenestartó, szögtartó (szög és
A SÍK NEVEZETES EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓI 1. Tengelyes tükrözés Def: Adott a síkon egy 𝑡 egyenes (ez a tükörtengely). A tengely bármely pontjának képe önmaga. A sík bármely, a tengelyre nem illeszkedő 𝑃 pontjának képe az a 𝑃’ pont, amelyre a 𝑃𝑃’ szakasz felezőmerőlegese a t tengely. Tételek: Tengelyes tükrözés tulajdonságai: a. rendelkezik az egybevágósági transzformáció tulajdonságaival egyenestartó, szögtartó, és „alakzattartó” b. az alakzat körüljárási iránya megváltozik c.
szakasztartó,
nem síkbeli mozgatás ez a transzformáció az alakzat és képe síkbeli mozgatásokkal nem hozható fedésbe de térbelivel igen
d. fix pontok (def: olyan pont, aminek a képe önmaga) (csak) a tengely pontjai e. a tengely fix egyenes (∀ pont képe saját maga), a tengelyre merőleges egyenesek képe is önmaguk invariáns egyenesek, de pontjai nem fix pontok (csak a tengellyel való metszéspont) t f. egyenes és képe a tengellyel ugyanakkora szöget zár be e1 e2 g. egyenestartó h. szakasztartó
1. oldal
2. Középpontos tükrözés Def: adott a síkon egy 𝑂 pont (a tükrözés középpontja/centruma). Az 𝑂 pont képe saját maga. A sík bármely más 𝑃 pontjának képe az a 𝑃’ pont, amelyre 𝑃𝑃’ szakasz felezőpontja 𝑂. Tételek: Középpontos tükrözés tulajdonságai: a. rendelkezik az egybevágósági transzformáció tulajdonságaival b. a körüljárási irányát megtartja c. síkbeli mozgatás d. fix pont: O (más nincs) e. invariáns egyenes minden O-n átmenő egyenes f. egyenes és képe párhuzamos ( csak a paralelogramma középpontosan szimmetrikus a négyszögek közül) 3. Eltolás Def: Adott a síkon egy 𝑣 vektor. A sík bármely 𝑃 pontjának képe az az egyetlen 𝑃’ pont, amelyre 𝑃𝑃’ = 𝑣. Tételek: Eltolás tulajdonságai: a. rendelkezik az egybevágósági transzformációk tulajdonságaival b. a körüljárás iránya nem változik meg c. síkbeli mozgatás d. nincs fix pontja kivéve, ha 𝑣 vektor nullvektor helybenhagyás (identitás) e. invariáns egyenes minden a 𝑣 vektorral párhuzamos egyenes f. egyenes és képe párhuzamos 4. Elforgatás Def: Adott a síkon egy 𝑂pont(azelforgatás középpontja),és egy irányított szög (az elforgatás szöge). Az 𝑂 pont képe saját maga, a sík bármely más 𝑃 pontjához azt a 𝑃’ pontot rendeli hozzá, amelyre𝑑 𝑂; 𝑃 = 𝑑(𝑂; 𝑃′ )és 𝑃𝑂𝑃′ ∡ = 𝛼 (irányításuk is megegyezik). Tételek:Elforgatás tulajdonságai: a. rendelkezik az egybevágósági transzformáció tulajdonságaival b. a körüljárás iránya nem változik c. síkbeli mozgatás d. fix pont: 𝑂 I. ha 𝛼 = 𝑘 ∙ 360° (𝑘 ∈ ℤ), akkor a transzformáció helybenhagyás, tehát minden pont fix pont e. fix egyenes általában nincs I. DE, ha 𝛼 = 𝑘 ∙ 360° (𝑘 ∈ ℤ), akkor a transzformáció helybenhagyás, tehát minden egyenes fix egyenes II. ha 𝛼 = 180° + 𝑘 ∙ 360° (𝑘 ∈ ℤ), akkor végeredményben középpontos tükrözésnek felel meg minden 𝑂-n átmenő egyenes fix/invariáns egyenes
2. oldal
𝑣
f. egyenes és képe (ebben a sorrendben) az elforgatás irányított szögét zárja be (ez nem feltétlenül a 2 egyenes hajlásszöge) 5. Csúsztatva tükrözés (ez nem anyag) A SÍK EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓINAK EGYMÁSUTÁNJA A tengelyes tükrözés nem helyettesíthető a többi síkbeli transzformáció egymásutánjával, a másik 3 transzformáció viszont helyettesíthető két tengelyes tükrözés egymásutánjával. 1. Középpontos tükrözés A középpontos tükrözés helyettesíthető két, egymást merőlegesen metsző, vagy egymásra merőleges tengelyre való tükrözés egymásutánjával, ahol a tengelyek metszéspontja a középpontos tükrözés centruma (mindegy, hogy melyik tengelyre tükrözünk először). 2. Eltolás Az eltolás helyettesíthető két egymással párhuzamos, az eltolás irányára merőleges tengelyre való tükrözéssel, ahol a tengelyek távolsága az eltolás vektorának hosszának fele. Lényeges a tengelyek sorrendje, mert a vektor irányítása megfordul, ha fordítva tükrözzük. 3. Elforgatás Az elforgatás helyettesíthető 2 egymást metsző tengelyre való tükrözéssel, ahol a tengelyek metszéspontja az elforgatás középpontja és a tengelyek a tükrözés sorrendjében az elforgatás irányított szögének felét zárják egymást be egymással. (Ugyanarra a tengelyre való páros sok tükrözés az identitás, páratlan sokszor tükrözve az egyszeri tükrözés eredményét kapjuk.) EGYBEVÁGÓSÁG Def:2 alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amelyik egyiket a másikba viszi. Tétel1:Sokszögek egybevágósága: 2 sokszög egybevágó, ha minden megfelelő oldaluk és minden megfelelő szögük egyenlő. Tétel2: Háromszögek egybevágósága: 2 háromszög egybevágó, ha: mindhárom oldala egyenlő 2 oldal és a közrezárt szög egyenlő 2 oldal és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő egy oldal és a rajta fekvő 2 szög egyenlő (( Röviden a térbeli egybevágóságról… Az eltolás és a középpontos tükrözés lényegében ugyanúgy megvalósítható térben mint a síkban (de alakzat és képe nem feltétlenül lesznek egy síkban) térmozgások. A tengelyes tükrözésnek két megfelelője van a térben: síkra való tükrözés egyenesre való tükrözés (térmozgás) A pont körüli elforgatás nem értelmezett a térben. Viszont értelmezhető a tengely körüli forgatás (térmozgás). ))
3. oldal
KONVEX SOKSZÖGEK TULAJDONSÁGAI Tétel1:Konvex 𝑛 szög (𝑛 ≥ 3) belső szögeinek összege: (𝑛 − 2) ∙ 180°. Bizonyítás: 𝐴1 csúcsból húzzuk meg az összes átlót! Így 𝑛 − 3 db átló keletkezik (mert saját magába és a 2 szomszédosba nem húzható átló.)
𝐴𝑛
𝐴1 𝐴2
∀ átló a sokszögön belül halad. Így 𝑛 − 2 db háromszögre bontottuk a sokszöget. Ezeknek a háromszögeknek a szögei … pontosan lefedik a sokszög szögeit.
𝐴3
háromszög belső szögeinek összege: 180° 𝑛 szög belső szögeinek összege: (𝑛 − 2) ∙ 180°.
…
…
Q.E.D.
Megjegyzés: a tétel konkáv sokszögre is igaz, de a bizonyítás nem jó. Tétel2: A konvex sokszög külső szögeinek összege: 360°. (Konkáv sokszögre a külső szög nem értelmezett.) 𝑛∙(𝑛−3) Tétel3: Az 𝑛 szög (konvexre és konkávra is igaz) összes átlóinak száma: . 2 Bizonyítás: Húzzuk meg az 1 csúcsból induló összes átlót! Így 𝑛 − 3 db átló lesz. Mivel 𝑛 csúcs van számoltunk.
𝑛 csúcsból 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) db átló indul, de így minden átlót kétszer 𝑛∙ 𝑛−3 (= 𝑛2 − 𝑛). 2
SZIMMETRIKUS SOKSZÖGEK 1. Háromszögek szimmetriái o tengelyes: egyenlő szárú háromszögek (legalább egy szimmetriatengely) o középpontos: nem lehetséges (a 3. csúcsnak „nincs párja”) o forgásszimmetrikus: szabályos háromszögek (120° - kal, középpontjuk körül, harmadrendben forgásszimmetrikusak) o eltolásra szimmetrikus háromszög nincsen 2. Négyszögek szimmetriái o tengelyes: húrtrapézok, deltoidok (deltoid – átlóra szimmetrikus) o középpontos: paralelogrammák – átlóik metszéspontjára szimmetrikusak o forgásszimmetrikusak csak a négyzetek (forgásszimmetria: 90° - kal, a középpontjuk körül, negyedrendben forgásszimmetrikusak) 3. Szabályos sokszögek szimmetriái Nagyobb oldalszámú sokszögeknek minden szimmetriája lehetséges. Szabályos sokszögeknél különbség van páros és páratlan oldalszámú sokszögek között. Páros oldalszámú
4. oldal
o tengelyes szimmetria: Kétféle szimmetriatengely van az összes, szemközti csúcsokat összekötő átló és a szemközti oldal felezőpontjait összekötő szakaszok. Összesen n darab szimmetriatengely. o középpontos- és forgásszimmetria: A páros oldalszámúak középpontosan szimmetrikusak és forgásszimmetrikusak is (
360° 𝑛
– kal,
n - edrendben). Páratlan oldalszámú o tengelyes szimmetria: Csak egyféle szimmetriatengely van, ami egy csúcsot és a szemközti oldal felezőpontját köti össze (oldalfelező merőleges). Összesen n darab van. o középpontos- és forgásszimmetria:Nem középpontosan szimmetrikus, de forgásszimmetrikus (
360° 𝑛
– kal, n - edrendben).
4. Példák nem szabályos sokszögek szimmetriájára Tengelyes szimmetria Például tetszőleges konvex sokszög (konkávra is megoldható) az egyik oldalegyenesére tükrözve. Szükséges, de nem elégséges feltétel, hogy a tengelyesen szimmetrikus sokszögnek kell, hogy legyenek egyenlő oldalai és szögei. Középpontos szimmetria Középpontosan szimmetrikus sokszöget lehet képezni, he egy sokszöget tükrözünk valamelyik oldalának egy pontjára (konkávnál nem biztos, hogy lehetséges). Szükséges feltételeket itt is meg lehet fogalmazni: legyenek egyenlő oldalúak és szögek, és páros számú csúcs legyen. Forgásszimmetrikus Általában „szabályos” csillagok vagy hasonló felépítésű sokszögek.
Alkalmazások építészetben gyakoriak a szimmetrikus sokszögek o pl. Pentagon szabályos ötszög alakú tengelyesen szimmetrikus o régi bástyák alaprajzai ha nem kör, akkor szabályos sokszögek (4,6,8) kémiában a kristályrácsok általában szabályos sokszögekből állnak (szabályos sokszögrácsok – 3,4,6 lehet csak) pl. grafit (szabályos hatszögrács) focilabda szabályos ötszögekből és hatszögekből áll
méhek viaszsejt (hatszögrács) mór építészet
tapéta, csempézés eltolásra szimmetrikus alakzatok a kör kerületének és ezen belül a közelítésére szabályos sokszögalakzat alkalmaznak
periodikus függvények
DNS szálak
eltolásra szimmetrikusak
síkra való tükörképek nem vihetők egybe
5. oldal
a középpontos tükrözés tulajdonságait használjuk fel például a háromszögek középvonaláról szóló tétel bizonyításában.
6. oldal
