ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking ___ = ky , met k een reëel getal dx Voorbeeld 1 db(t ) _____ = 10b(t) schrijven we in de vorm y ’ = 10 y dt SEPARABLE_GEN(p, q, x, y, c) geeft een algemene impliciete oplossing van een vergelijking van de vorm y ’ = p(x) · q(y ), met p(x) een uitdrukking die y niet bevat en q(y ) een uitdrukking die x niet bevat. Om de correcte vorm te bekomen moet men het rechterlid eventueel ontbinden in factoren en/of moet men goniometrische, logaritmische of exponentiële transformaties toepassen. Voer # 1 in, klik op oplossen, kies uitdrukking, onbekenden y, algebraïsch, reëel en klik op oplossen; # 2 en # 3 verschijnen.
OF:: voer # 1 in, kies vereenvoudigen, klik op vereenvoudigen
Voorbeeld 2 db(t ) _____ = 10b(t) met b(0) = 100 000 dt SEPARABLE(p, q, x, y, x0, y0 ) lijkt op SEPARABLE_GEN, maar geeft een specifieke oplossing voor de beginvoorwaarde y = y0 bij x = x0 . Voer # 4 in, klik op oplossen, kies uitdrukking, onbekenden y, algebraïsch, reëel en klik op oplossen; # 5 en # 6 verschijnen.
1
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Voorbeeld 3 dp(t ) _____ = kp(t) schrijven we in de vorm y’ = ky dt
2
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT dy De differentiaalvergelijking f1(x)g2(y) + f2(x)g1(y) ____ = 0 dx Voorbeeld 4 1 dy x 4y x 4y – xy 3 ___ = 0 schrijven we in de vorm y ’ = ____ ⇔ y ’ = x 3 · ___ 3 dx xy y2
Voorbeeld 5 dy 1 y = – ___ x schrijven we in de vorm y ’ = – x · ___ dx y
3
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT dy De differentiaalvergelijking ___ + p(x)y = q(x) dx LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0 ) geeft een expliciete oplossing van de lineare monische differentiaalvergelijking y ' + p(x) · y = q(x). Een differentiaalvergelijking is monisch als de coëfficiënt van de hoogste-orde afgeleide 1 is. Deze vergelijking moet niet linear zijn in x, maar wel in y en zijn afgeleide. LINEAR1_GEN(p, q, x, y, c) lijkt op LINEAR1, maar geeft een algemene oplossing uitgedrukt in de symbolische constante c.
Voorbeeld 6 dy 4y 4 ___ + ___ = 3 is van de bovenstaande vorm met p(x) = __ en q(x) = 3 dx x x
Voorbeeld 7 dy 2 ___ + __ y = 6x 3, met y = 2 als x = 1 dx x 2 In dit geval : p(x) = __ en q(x) = 6x 3 x
4
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT d2y De differentiaalvergelijking ____ = k (k ∈ ¤) dx2 DSOLVE2( p, q, r, x, c1, c2) geeft een expliciete algemene oplossing van de gewone lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde y " + p(x) · y ' + q(x) · y = r (x) uitgedrukt in willekeurige constanten c1 en c2. De laatste twee argumenten kunnen weggelaten worden als het variabelen zijn en als men tevreden is met de namen c1 en c2 . DSOLVE2_BV( p, q, r, x, x0, y0, x2, y2) lijkt op DSOLVE2, maar geeft een specifieke oplossing die voldoet aan de randvoorwaarden y = y0 bij x = x0 en y = y2 bij x = x2. DSOLVE2_IV( p, q, r, x, x0, y0, v0 ) lijkt op DSOLVE2_BV, maar geeft een specifieke oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarden y = y0 en y'=v0 bij x = x0.
Voorbeeld 8 d2y (x) ______ = 6 , met als bijkomende voorwaarden: dx2 dy (x) 1) _____ = 1 als x = 2 dx 2) y (2) = 3 We hebben hier dus: p(x) = 0, q(x) = 0 en r(x) = 6; de voorwaarden leveren: x0 = 2, y0 = 3, v0 = 1 Voer # 23 in, kies vereenvoudigen, klik op vereenvoudigen, # 24 verschijnt.
5
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Homogene tweede orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten.
Voorbeeld 9 d 2y dy ____ + 5 ___ + 6y = 0 met f(0) = 2 en f ’(0) = 3 2 dx dx We hebben hier dus: p(x) = 5, q(x) = 6 en r (x) = 0; de voorwaarden leveren: x0 = 0, y0 = 2, v0 = 3
Voorbeeld 10 d 2y dy 1 1 ____ – ___ + __ y = 0 met f(0) = 2 en f ’(0) = __ dx2 dx 4 3 1 We hebben hier dus: p(x) = – 1, q(x) = __ en r (x) = 0; de voorwaarden leveren: 4 1 x0 = 0, y0 = 2, v0 = __ 3
Voorbeeld 11 d 2y dy 16 ____ – 8 ___ + 145 y = 0 met f(0) = – 2 en f ’(0) = 1 2 dx dx d 2y 1 dy 145 We schrijven de vergelijking in de vorm ____ – __ ____ + ____ y = 0 2 dx 2 dx 16 1 145 We hebben hier dus: p(x) = – __ , q(x) = ____ en r (x) = 0; de voorwaarden leveren: 2 16 x0 = 0, y0 = –2, v0 = 1
6
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Voorbeeld 12 d 2u(t) d 2y _______ + 400 u(t) = 0 schrijven we in de vorm: ____ + 400 y = 0 dt 2 dx2 We hebben hier dus: p(x) = 0, q(x) = 400 en r(x) = 0.
7
ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde HOMOGENEOUS(r, x, y, x0, y0) geeft een impliciete oplossing van een vergelijking van de vorm y ' = r (x, y ) als r homogeen is, anders is het resultaat "inapplicable" (niet toepasbaar). Een uitdrukking is homogeen als substitutie van k · x voor x en k · y voor y in de de uitdrukking een gelijkwaardige uitdrukking oplevert. Homogene uitdrukkingen zijn vaak het quotiënt van twee veeltermen in x en y, waarbij de totale graad (in x en y) van elke term een zelfde constante waarde heeft. HOMOGENEOUS_GEN(r, x, y, c) lijkt op HOMOGENEOUS, maar geeft een algemene oplossing uitgedrukt in de symbolische constante c als r homogeen is.
Voorbeeld 13 dy xy ___ – (x2 + y2 ) = 0 dx x2 + y 2 x2 + y 2 We schrijven de vergelijking in de vorm y ’ = ________ en vinden dus r (x) = ________ xy xy
Voorbeeld 14 (x 2 – y 2 ) + 2xy · y ’ = 0 y 2 – x2 y 2 + x2 We schrijven de vergelijking in de vorm y ’ = ________ en vinden dus r (x) = ________ 2xy 2xy
8
