Část IV.
Elementární úvod do infinitesimálního kalkulu funkce více proměnných
Mgr. David Zoul
2011
2
3
Obsah Lebesgueův integrál
7
Základy teorie dvojného integrálu
7
Integrační obory v kartézských souřadnicích Integrační obory v polárních souřadnicích Výpočet dvojného integrálu v kartézských souřadnicích Výpočet dvojného integrálu v polárních souřadnicích Fubiniho věta Geometrické aplikace dvojného integrálu Fyzikální zobecnění
9 10 16 16 17 20 25
Křivkový integrál
28
Výpočet křivkového integrálu Těžiště obecné křivky Konzervativní vektorová pole Věta o konzervativitě pole Zobecnění Věta o nezávislosti na integrační cestě Greenova věta Stokesova věta
29 34 34 34 35 37 43 48
Úvod do teorie trojného integrálu
53
Integrační obory v kartézských souřadnicích Integrační obory v cilindrických souřadnicích Integrační obory ve sférických souřadnicích Integrační obory v eliptických souřadnicích Objem a těžiště obecného tělesa
55 56 57 58 58
Gaussova – Ostrogradského věta, divergence vektorového pole
66
Solenoidální vektorová pole
70
4
Hamiltonův a Laplaceův operátor, směrová derivace
72
Tečná rovina
78
Taylorův rozvoj funkce více proměnných
80
Lokální extrémy funkce více proměnných
84
Vázané extrémy funkce více proměnných
86
Úvod do řešení parciálních diferenciálních rovnic
91
Schrödingerova rovnice Úvod do Fourierovy analýzy
91 101
Fourierova řada
101
Fourierova transformace
108
Základní vlastnosti
110
Příklady aplikací Fourierovy transformace
113
Princip neurčitosti
113
Gaussova funkce Gaussovské vlnové klubko Heisenbergovy relace neurčitosti Skalární součin na prostoru funkcí Prostorové rozlišení, modulační přenosová funkce Nyquistovo kritérium, aliasing Vícerozměrné zobecnění
114 115 119 122 123 125 129
Difrakce 130 Zobrazení nukleární magnetickou rezonancí – MRI 132 Prostorové dekódování MR signálu 132
5
Frekvenční k-prostor Výstavba MR obrazu Vlastnosti k-prostoru Zobrazení výpočetní tomografií – CT
135 136 138 139
6
7
Lebesgueův integrál
Henri Léon Lebesgue (1875 – 1941)
a) Základy teorie dvojného integrálu Nechť je dán v rovině xy obdélník P a, b c, d .
( 4.1 )
Zvolme dělení intervalů a, b a c, d , tj. množin
a x0 , x1 , , xm b , c y0 , y1 , , ym d ,
( 4.2 )
s kroky xi xi xi 1 , yi yi yi 1 ,
i 1, 2, m , i 1, 2, n .
( 4.3 )
množinu bodů
xi , y j
( 4.4 )
nazveme sítí s kroky ( 4.3 ). Ta je tvořena množstvím mn podobných obdélníků
8
P xi1 , xi y j 1 , y j
( 4.5 )
o stranách ( 4.3 ). Zvolené síti dále přiřadíme číslo h max i, j
xi
2
y j
2
( 4.6 )
odpovídající délce největší úhlopříčky obdélníků Pij . V každém obdélníku Pij dále zvolíme libovoný bod
U ij pi , q j
( 4.7 )
a utvoříme integrální součet
m
n
i 1
f U ij xi y j .
( 4.8 )
j 1
Jestliže
I : k h , h 0 : h h , U ij Pij ,
i 1, 2, , m , j 1, 2, , n :
m
n
i 1
j 1
10 k f U ij xi y j I , 2 ( 4.9 )
pak číslo I značíme I
f x, y dxdy
P
a říkáme, že funkce f je integrabilní na obdélníku P.
( 4.10 )
9
Na obecné omezené množině A E2 definujeme dvojný integrál funkce f tak, že zvolíme obdélník P, aby platilo A P . Dále definujeme na P funkci g takovou, že g x, y f x, y pro g x, y 0
pro
x, y A, x, y A.
( 4.11 )
Říkáme, že funkce f je integrabilní na množině A, jestliže existuje funkce g integrabilní na obdélníku P a dvojným integrálem funkce f na A je integrál funkce g na P:
f x, y dxdy
A
g x, y dxdy.
( 4.12 )
P
Integrál funkce f na množině A pak nezávisí na volbě obdélníku P. Integrační obory v kartézských souřadnicích Obrazce prvního typu jsou množiny bodů x, y ohraničené grafy funkcí a x b, d x y h x .
( 4.13 )
Obrazce druhého typu jsou množiny bodů x, y ohraničené grafy funkcí
c y d, l y x p y .
( 4.14 )
10
Obr. 4.1
Integrační obory v polárních souřadnicích jsou množiny bodů , ohraničené grafy funkcí
, d h .
( 4.15 )
Připomeňme, že vztah mezi polární a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem plynoucím z definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici:
x cos , y sin . Obr. 4.2
( 4.16 )
11
Příklad 1: Zapišme v kartézských souřadnicích obor ohraničený křivkami
x 0, x 1, y x 1, y x . 2
( 4.17 )
Obr. 4.3
Řešení: Obor bude výhodné vyjádřit jako obrazec prvního typu, neboť x 0,1 : x 2 x 1.
( 4.18 )
Tedy 0 x 1, x y x 1. 2
( 4.19 )
Příklad 2: Zapišme v kartézských souřadnicích obor ohraničený přímkami y 0, y x,
a horní půlkružnicí
( 4.20 )
12
x R
2
y2 R2 .
( 4.21 )
Obr. 4.4
Řešení: Obor bude výhodné vyjádřit jako obrazec druhého typu, neboť y 0, R : R R 2 y 2 y .
( 4.22 )
Tedy 0 y R, y xR R y . 2
2
( 4.23 )
Příklad 3: Zapišme v polárních souřadnicích obor ohraničený částí mezikruží v prvním a třetím kvadrantu, ohraničeného kružnicemi o poloměrech R1 , R2 , R1 R2 .
13
Obr. 4.5
Řešení: Rovnice jednotlivých kružnic jsou
R1 , R2 .
( 4.24 )
Pro úhel platí
0,
3 . 2
( 4.25 )
Obor tedy zapíšeme nerovnostmi 3 , 2 R1 R2 .
0
( 4.26 )
14
Obr. 4.6
Příklad 4: Zapišme v polárních souřadnicích obor ohraničený kružnicí x2 y R R2 , 2
( 4.27 )
a přímkami
y x, y x . Obr. 4.7
( 4.28 )
15
Řešení: Dosazením za x a y do rovnice kružnice dostaneme postupně
2 cos 2 2 sin 2 2 R sin R 2 R 2 , 2 2 R sin 0,
( 4.29 )
2 R sin 0. Poslední rovnice má 2 řešení:
2 R sin , 0,
( 4.30 )
což je polární vyjádření kružnice a jejího středu. Hranice určené rovnicemi y x, y x se transformují do polárních souřadnic jako sin cos , sin cos .
( 4.31 )
což jsou goniometrické rovnice s kořeny 3 , 4 4
( 4.32 )
Hledaný obor tedy zapíšeme nerovnostmi
3 , 4 4 0 2 R sin .
( 4.33 )
16
Obr. 4.8
Výpočet dvojného integrálu v kartézských souřadnicích Předpokládejme, že je funkce f spojitá na oboru A. Je-li tímto oborem obrazec prvního typu, potom platí
b h x
f x, y dxdy
f x, y dydx,
( 4.34 )
a d x
A
Je-li oborem A obrazec druhého typu, potom platí
A
d p y
f x, y dxdy
f x, y dxdy.
( 4.35 )
c l y
Výpočet dvojného integrálu v polárních souřadnicích Zavedením substituce ( 4.16 ) do vztahu ( 4.34 ) dostaneme okamžitě vyjádření dvojného integrálu v polárním souřadném systému
17
h
f x, y dxdy
g , d d
d
A
( 4.36 )
h
f cos , sin d d.
d
Obr. 4.9
Fubiniho věta
Guido Fubini (1879 – 1943)
Je-li ortogonální průmět M p x p y q : x, y M resp.
M q y q x p : x, y M možiny M p q do prostoru p
resp. q , pak
18
f x, y dxdy
x y : x. y M x p
M
q
p
f x, y dydx , ( 4.37 )
: x . y M
resp.
f x, y dxdy
y x q
M
p
: x . y M
x
p
f x, y dxdy . ( 4.38 )
: x . y M
Příklad 5 Spočtěme tzv. Laplaceův integrál
I
2
e x dx .
( 4.39 )
0
Řešení: Tento integrál nelze vypočíst pomocí hlavní Riemannovy věty, neboť primitivní funkce k integrandu neexistuje. Přesto je integrand
x2 y 2
je spojitá a kladná integrabilní Lebesgueovsky, neboť funkce e ve čtvrtrovině a lze tedy aplikovat Fubiniho větu
e
2
x y
2
dxdy
2
2
e x e y dydx I 2 .
0 0
Přechodem do polárních souřadnic dostáváme
( 4.40 )
19
I 2
2
e
2
d d
0 0 2
0
e
0
2
1 2 d d e , 2 2 0 4 ( 4.41 )
odkud již
I
2
e x dx
. 2
( 4.42 )
0
Příklad 6 Vypočtěme tzv. Newtonův integrál
I
sin x dx . x
( 4.43 )
0
Řešení: Podobně, jako v předchozím příkladu, ani zde nemá integrand primitivní funkci a proto nelze přímo aplikovat Riemannovskou integraci. Uvážíme-li však, že
1 x : e xy dy , x
( 4.44 )
0
můžeme ( 4.43 ) napsat ve tvaru
I
0 0
e xy sin x dxdy
0
x
xy cos x y sin x e dy 2 1 y x 0
dy . 1 y2 2
0
( 4.45 )
20
Geometrické aplikace dvojného integrálu Uvažujme nyní obecnou plochu S zadanou funkcí g x, y , jejíž průmětem do roviny xy je obrazec A prvního, nebo druhého typu. Nechť dále funkce g a její parciální derivace g x , g y jsou spojité na A. Potom obsah plochy S zadané rovnicí z g x, y je dán vztahem
dS
S
Obr. 4.40
A
2
2
g g 1 dxdy . x y
( 4.46 )
21
Důkaz: Je-li množina A obrazcem prvního nebo druhého typu, pak její obsah je určen integrálem SA
dS
( 4.47 )
A
kde v kartézských souřadnicích platí pro element obsahu dS dS dxdy ,
( 4.48 )
v polárních souřadnicích pak dS d d .
( 4.49 )
V obecném případě funkce g x, y proveďme dělení množiny Ai i 1, , n . Označme Si část plochy S, jejíž průmět do roviny xy je Ai. Uvažujme Ai (element plochy A) jako obdélník o stranách dx, dy a jemu odpovídající část Si jako element plochy S. Platí S Ai dxdy, S Si dS .
( 4.50 )
Nahradíme plochu Si částí tečné roviny k ploše S v bodě x0 , y0 . Tato rovina je jednoznačně určena vektory u, v, a bodem x0 , y0 , přičemž platí g a tan x dx
odkud
( 4.51 )
22
a
g dx x
( 4.52 )
a tedy g u dx,0, dx , x g v 0, dy, dx . y
( 4.53 )
Obsah plochy Si se blíží obsahu rovnoběžníka u v : dS u v
g g dxdyi dxdyj dxdyk x y 2
2
g 2 2 2 2 2 2 g dx dy dx dy dx dy x y 2
2
g g 1 dxdy. x y
( 4.54 ) Pozorování: Pro těžiště rovinného obrazce ze vztahů ( 4.47 ), ( 3.393 ) plyne jednoduchý výraz T
, dS x dS
S
S
S
S
y dS . dS
( 4.55 )
23
Příklad 7: Vypočtěme obsahy ploch A z příkladů 1 – 4. Řešení: 1 x 1
1
0 x2
0
dydx
1
x2 x3 2 x 1 x dx 2 x 3 1 12 13 76 ( 4.56 ) 0
2 2 r r r y
0
r
dydx
r
r 2 y 2 y dy
0
y
r
1 2 y y2 2 2 ry r arcsin y r y ( 4.57 ) 2 r 2 0
2 r2 r2 r r 1 4 2 2 2 2
3 2 r2
d d
0 r1
r
2 2
0
3 4 2 R sin
4
1 2
3 2
0
3 4
2 1
3 4
2 sin 2 d d 2 R 2 sin 2 d 2 R 2 4 ( 4.59 ) 4
4
R 3 3 R2 sin sin 4 2 2 2 2 4 2
3 2
r r 3 r12 d r22 r12 ( 4.58 ) 4 2 0 2 2
24
Příklad 8: Vypočtěme obsahy ploch S na povrchu sešikmeného oblouku g x, y x 2 y , jejichž průměty do roviny xy jsou množiny A, vymezené křivkami a) y x, y x 2
( 4.60 )
b)
r1 , r2 , 0,
( 4.61 ) 3 2
Řešení: Nejprve spočteme všechny parciální derivace funkce g: g 2 x, x
g 1. y
( 4.62 )
Odtud dS 2 4 x 2 dxdy ,
( 4.63 )
či v polárních souřadnicích dS 2 4 2 cos 2 d d
( 4.64 )
25
a) 1 x
2 4 x 2 dydx
0 x2
x2
1
y 2 4 x 2 dx
0
1 ln 16 ln
1 2
x
1
x x 2
2 4 x 2 dx
0
1
12 x 16 x 3 x 8 2 1 x 2 x 2x2 1 24 2 0
2 3 16
3
2
9
3 24 2
( 4.65 ) b) 3 2 r2
2 4 2 cos 2 d d
0 r1
1 12
1 12
3 2
0
3 2
4r
2 2
cos 2 2
32
4r12 cos 2 2
cos 2
r2
4 2 cos 2 2 3 2 d 2 cos r1 32
3 d r2 r1 02 3
0
r2 r1 2
( 4.66 )
Fyzikální zobecnění: Uvažujme libovolnou množinu M E3 . Vektorovým polem na M rozumíme funkci, která každému bodu z M přiřazuje vektor a vztahem a a x, y , z u x, y , z i v x , y , z j w x , y , z k .
Z výsledků předešlého odstavce přímo plyne, že integrál
( 4.67 )
26
an dS
S
A
A
g g a i j k dxdy y x
A
g g u v w dxdy x y
g x, y g x, y u x y g x y v x y g x y , , , , , , x y
w x, y, g x, y dxdy
( 4.68 ) kde jednotkový vektor ve směru normály k zadané ploše
n
u v u v
f f i jk x y 2
f f 1 x y
2
( 4.69 )
odpovídá toku vektoru a plochou S. Volbou + resp. – ve vztahu ( 4.69 ) vybíráme jednu ze stran plochy, a vztahem ( 4.69 ) je pak jednoznačně stanovena její orientace. Je-li a např. vektorem rychlosti kapaliny, pak ( 4.68 ) udává množství kapaliny, která proteče plochou S za jednotku času. Příklad 9: Určeme tok vektoru a xi yj zk
( 4.70 )
plochou S tvořenou částí paraboloidu g x, y 4 x 2 y 2 ,
ležící nad rovinou xy.
( 4.71 )
27
Obr. 4.11
Řešení: Vypočteme parciální derivace g 2 x, x g 2 y. y
( 4.72 )
Proto
S
a 2xi 2 yj k dxdy xi yj 4 x y k 2 xi 2 yj k dxdy 2x 2 y 4 x y dxdy 4 x y dxdy,
an dS
A
g g a i j k dxdy y x 2
A
2
A
2
A
2
2
2
2
2
A
( 4.73 ) kde
28
A x, y : x 2 y 2 4 .
( 4.74 )
Transformací do polárních souřadnic dostaneme
2 2
an dS
2
4 d d 12 d 24 . 2
0 0
S
( 4.75 )
0
b) Křivkový integrál Uvažujme po částech hladkou křivku C zadanou rovnicí C : r s x si y s j z sk ,
( 4.76 )
kde parametr s má význam délky oblouku. V každém bodě, v němž je křivka C hladká, je pak definován jednotkový tečný vektor t ve směru rostoucího parametru s. Dále nechť je na otevřené množině M obsahující C zadáno vektorové pole ( 4.67 ). Jestliže existuje číslo
C
a dr
at ds, 0 s ,
( 4.77 )
0
nazývá se křivkovým integrálem vektoru a na křivce C. Z definice je patrno, že je-li C* křivka opačně orientovaná k C, pak jednotkový tečný vektor t se změní na –t a dostaneme
a dr a t ds at ds a dr .
C
0
0
C
( 4.78 )
29
Výpočet křivkového integrálu V kapitole o Riemannově integrálu jsme si jako jednu z interpretací b
f x dx
( 4.79 )
a
uvedli práci síly na úsečce reprezentované intervalem a, b reálné osy. Naším úkolem bude nyní zobecnit tuto úlohu na výpočet práce síly, působící po libovolné křivce, zadané rovnicí C : r t x t i y t j z t k , t a, b .
( 4.80 )
Pro jednotkový tečný vektor t platí r t t , r t
( 4.81 )
kde r t x t y t z t .
Odtud srovnáním ( 4.80 ), ( 3.378 ), ( 4.67 ) a ( 4.77 ) dostáváme
C
b
a dr
a x t , y t , z t
a
r t r t dt r t
b
a x t , y t , z t r t dt.
a
Po rozepsání pak máme
( 4.82 )
30
b
a x t , y t , z t r t dt
a
b
u x t , y t , z t i v x t , y t , z t j w x t , y t , z t k
a
x t i y t j z t k dt ,
( 4.83 ) Odkud
a dr C
b
u x t , y t , z t xt v x t , y t , z t yt w x t , y t , z t z t dt u dx v dy w dz.
a
C
( 4.84 ) Ve vztahu ( 4.84 ) lze formálně psát v integrandu u x, y , z v x, y , z w x , y , z ,
( 4.85 )
kde x x t , y y t , z z t , dx x t , dy y t , dz z t ,
( 4.86 )
čímž je zdůvodněno označení psané napravo v ( 4.84 ). Podobně platí rovnost
31
C
a dr
a r t dt .
( 4.87 )
C
Výpočet křivkového integrálu, jak vidno z ( 4.84 ), tedy vede k úloze vypočíst Riemannův integrál. Z aditivity Riemannova integrálu okamžitě plyne též aditivita křivkového integrálu:
a dr a dr . n
C
i 1
( 4.88 )
Ci
Příklad 1: Vypočtěme práci vektoru
F i xj
( 4.89 )
po křivce C : r t ti t 2 j, t 1, 2
Obr. 4.12
( 4.90 )
32
Řešení: F i tj, r i 2tj, t
( 4.91 )
odkud
2
F dr
C
2
i tj i 2tj dt
1
1
2
2t 3 17 2 1 2t dt t 3 3 J. 1 ( 4.92 )
Příklad 2: Vypočtěme práci silového pole F 4 yi 2 xj k
( 4.93 )
po křivce C : r t 4i cos t 4 j sin t 2tk , t 1, 2 .
( 4.94 )
Řešení: F 16i sin t 8 j cos t k , r 4i sin t 4 j cos t 2k , t odkud
( 4.95 )
33
2
F dr
C
16i sin t 8 j cos t k 4i sin t 4 j cos t 2k dt
0
2
64sin
2
t 32cos 2 t 2 dt 28 J.
0
( 4.96 ) Příklad 3: Vypočtěme práci silového pole F 2 xzi 3 z 2 j y 2k ,
( 4.97 )
po dráze x 2 y 4z ,
( 4.98 )
mezi dvěma body P1 0,0,0 ,
( 4.99 )
P2 4, 2,1.
Řešení: P2
A
4
F dr
1 2
4
0
1
2 xz dx 3z 2 dy
0
P1
2
x 2 dx
0
3 4
2
y 2 dz
0
1
4 2 1 1 1 4 y 2 dy 4 z 2 dz x 3 y 3 z 3 0 0 0 6 4 3
0
32 4 2 14 J. 3 3
0
( 4.100 )
34
Těžiště obecné křivky: Jinou z možností využití křivkového integrálu je výpočet těžiště obecné prostorové křivky, pro nějž zřejmě platí vztah (srov. ( 3.393 )): T
, f x, y, z ds xf x, y, z ds
C
C
C
C
zf x, y , z ds ,C , f x, y , z ds f x, y , z ds C
yf x, y , z ds
( 4.101 )
kde f je hustotní pole křivky. Konzervativní vektorová pole Definice: Vektorové pole ( 4.67 ) na M nazveme konzervativním (potenciálovým), jestliže na M existuje spojitě diferencovatelná funkce f splňující rovnosti f u, x f v, y f w. z
( 4.102 )
Věta o konzervativitě pole: Předpokládejme, že funkce u u x, y , v v x, y mají spojité parciální derivace na množině M, která je otevřeným kruhem. Pak vektorové pole a ui vj je konzervativní na M, právě když ve všech bodech množiny M platí rovnost
35
u v . y x
( 4.103 )
Důkaz: Podle předpokladu věty existuje potenciálová funkce f, pro níž u
f f . , v x y
( 4.104 )
Potom u 2 f , y xy
v 2 f x yx
( 4.105 )
(První výraz ve jmenovateli vyšších parciálních derivací říká, podle které proměnné se derivovalo při první parciální derivaci, druhý výraz obsahuje proměnnou, podle které se derivovalo při druhé parciální derivaci, atd.) Ze spojitosti u y , vx vyplývá f xy f yx a tudíž vskutku u v . y x
( 4.106 )
Zobecnění: Předpokládejme, že funkce u u x, y, z , v v x, y, z , w x, y, z mají spojité parciální derivace na množině M, která je otevřenou koulí. Pak vektorové pole a ui vj wk je konzervativní na M, právě když ve všech bodech množiny M platí rovnosti w v , y z
u w , z x
v u . x y
( 4.107 )
36
Zavedeme-li vektorový operátor zvaný rotace vektorového pole předpisem
w v rot a , y z
u w , z x
i v u x y x u
j y v
k , z w
( 4.108 )
pak vidíme, že vektorové pole a ui vj wk je konzervativní na M, právě když ve všech bodech množiny M platí rovnost
rot a 0 .
( 4.109 )
Příklad 4: Nalezněme potenciál pole o intenzitě E 2xyi x 2 y j
( 4.110 )
Řešení: u 2 x, y v 2 x. x
( 4.111 )
Pole E je tedy potenciálové a proto existuje jeho potenciál daný rovnicí E
i j. x y
( 4.112 )
(Připomeňme si, že potenciál pole je mírou potenciální energie testovací částice v tomto poli a ta je integrálem intenzity pole.
37
Intenzita pole je pak mírou síly, jež v daném poli působí na testovací částici. Proto je parciální derivace potenciálu rovna intenzitě pole podél vybrané souřadnice). Odtud plyne soustava integrálních rovnic
dx x dx y
2 xy dx x 2 y g y c, y2 2 2 x y dy x y h x c. 2
( 4.113 )
Dosazením z druhé rovnice do první vidíme, že y2 g y , 2 h x 0,
( 4.114 )
odkud již plyne hledaný tvar potenciálu pole E: y2 x, y x y c . 2 2
( 4.115 )
Věta o nezávislosti na integrační cestě: Uvažujme množinu M E3 , která je otevřenou koulí, dále křivku C : r t x t i y t j z t k , t a, b
( 4.116 )
ležící v M a vektorové pole a a x, y , z u x, y , z i v x , y , z j w x , y , z k
( 4.117 )
kde u, v jsou funkce spojité v M. Jestliže a je konzervativní pole, pak platí
38
a dr f x b , y b , z b f x a , y a , z a
( 4.118 )
C
x b , y b , z b
f x, y, z x a , y a , z a .
Důkaz: Z předpokladu věty plyne existence potenciálové funkce f (potenciálu), pro níž a grad f i
f f f j k . x y z
( 4.119 )
Operátor grad f, přiřazující skalární funkci f vektorovou funkci a, nazýváme gradientem funkce f. Blíže se s jeho vlastnostmi seznámíme v kapitole o směrové derivaci. Dostáváme tak
C
b
dx dy a dr f x x t , y t , z t f y x t , y t , z t dt dt a
f z x t , y t , z t
dz dt
b
d f x t , y t , z t dt dt
a
x b , y b , z b
f x, y, z x a , y a , z a ,
( 4.120 ) kde jsme užili větu o derivaci komposice funkcí více proměnných,
f h g1 , g 2 , , g p ,
( 4.121 )
která je přímočarým zobecněním věty o komposici funkcí jedné proměnné:
39
f A x j
p
k 1
h B g A k , x j yk
( 4.122 )
kde B g1 A , g 2 A , , g p A .
( 4.123 )
Důsledek: Jsou-li splněny předpoklady věty o nezávislosti na integrační cestě pro jednoduchou uzavřenou křivku C a vektorové pole a, pak platí:
a dr 0 .
( 4.124 )
C
Důkaz: Zvolme na křivce C různé body A, B a rozdělme křivku C na křivky C1, C2,
C C1 C2
( 4.125 )
jak jest to znázorněno na obr. 4.13. Podle ( 4.88 ) platí
C
a dr
a dr a dr .
C1
( 4.126 )
C2
Z ( 4.78 ) dále plyne, že
C2
a dr a dr . C2
Podle věty o nezávislosti na integrační cestě je tedy
( 4.127 )
40
a dr
C2
a dr ,
( 4.128 )
C1
neboli
a dr a dr 0 .
( 4.129 )
C2
C1
Odtud máme 0
a dr a dr a dr . C1
C2
( 4.130 )
C
Obr. 4.13
Definice: Integrál vektoru a po uzavřené křivce značíme
C
a dr
( 4.131 )
41
a nazýváme jej cirkulace vektoru a. Podle poslední věty tedy platí, že cirkulace vektoru a v konzervativním poli je nulová:
a dr 0 .
( 4.132 )
C
Příklad 5: Vypočtěme
ydx xdy zdz
( 4.133 )
C
po kružnici C : r t ir cos t jr sin t , t 0, 2
( 4.134 )
Řešení: Všechny parciální derivace vektorového pole a iy jx kz
( 4.135 )
jsou rovny nule, takže
rot a 0 .
( 4.136 )
Pole a je tedy potenciálové. Integrační cestou je uzavřená křivka, odkud již plyne, že
ydx xdy zdz 0 .
C
Příklad 6:
( 4.137 )
42
Vypočtěme
y
3
1 dx 3 xy 2 1 dy ,
( 4.138 )
C
kde C je libovolná jednoduchá uzavřená křivka. Řešení: u x, y y 3 1, v x, y 3 xy 1. 2
( 4.139 )
Odtud u 3y2 , y v 3y2. x
( 4.140 )
pole a y 3 1 i 3 xy 2 1 j
( 4.141 )
je tedy potenciálové a proto platí
y
3
1 dx 3 xy 2 1 dy 0
( 4.142 )
C
Definice: Orientaci uzavřené křivky nazveme kladnou, resp. zápornou, jestliže její obíhání volíme proti směru, resp. po směru hodinových ručiček.
43
Greenova věta
George Green (1793 – 1841)
Uvažujme množinu M E2 , jejíž hranici tvoří jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka C. Předpokládejme dále, že funkce u v jsou spojité na M i C. Potom platí u , v, , y x
u x, y dx v x, y dy
C
M
v x , y u x , y x dxdy , y
( 4.143 ) kde C je orientovaná kladně. Důkaz: Nechť je M kupř. obrazcem prvního typu: M : x, y ; a x b, f1 x y f 2 x .
( 4.144 )
44
Obr. 4.14
V tomto případě lze parametrizovat C1 : x t , y f1 t , t a, b ,
( 4.145 )
C2 : x t , y f 2 t , t a, b .
Dostaneme
u x, y dx
C
C1
b
u x, y dx u x, y dx
C2
b
u t , f1 t dt u t , f 2 t dt
a
a
b
a
Dále platí
u t , f1 t u t , f 2 t dt.
( 4.146 )
45
u x, y dxdy y
M
b f2 x
a f1 x
u x, y dydx y
b
u x, y dx
a
b
u x, f 2 x u x, f1 x dx.
a
( 4.147 ) Z ( 4.146 ) a ( 4.147 ) vyplývá, že
u x, y dx
C
u x, y dxdy . y
( 4.148 )
M
Zcela analogickým způsobem dojdeme k závěru, že rovněž
v x, y dx
C
v x, y dxdy . x
M
Obr. 4.15
Odtud již plyne dokazovaná rovnost
( 4.149 )
46
u x, y dx v x, y dy
C
M
x v x, y y u x, y dxdy .
( 4.150 ) Důsledek: Obsah rovinného obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou C, je roven číslu S
1 2
x dy y dx .
( 4.151 )
C
Důkaz: Z teorie dvojného integrálu víme, že obsah množiny M je
S
dxdy
M
M
1 1 2 2 dxdy .
( 4.152 )
Odtud 1 1 vx , uy , 2 2 x y v , u . 2 2
( 4.153 )
Dosazením do Greenovy věty ( 4.143 ) odtud plyne S
M
dxdy
1 2
C
x dy y dx .
( 4.154 )
47
Příklad 7: Pomocí Greenovy věty vypočtěme obsah kružnice poloměru r. Řešení: 1 S 2 r
=
r
r 2 y2
r
r r2 y
y x 1 dxdy x y 2 2
r
r 2 y2
r r2 y
1 dxdy 2 2
r
x
r 2 y2 r 2 y2
dy
r
r
r
y y r y dy r 2 arcsin y r 2 y 2 r 2 arcsin r r r r 2
2
3 1 =r 2 arcsin 1 arcsin 1 r 2 r 2 . 2 2
( 4.155 ) Příklad 8: Vypočtěme
y 3 dx x 3 3xy 3 dy ,
C
Obr. 4.16
( 4.156 )
48
kde C je kladně orientovaná uzavřená křivka skládající se z části kubické paraboly y x3 a úsečky y x . Řešení: Předpoklady Greenovy věty jsou zřejmě splněny. Dosazením do ( 4.143 ) vychází
y 3 dx x 3 3xy 3 dy
C
2
3 y 2 3 y 2 dxdy
M
1 x
3x
1
3x 2 dydx
0 x3
0
1
x
2 3x y x3
0
1
3x 4 x6 3 5 3x 3x dx 4 2 14. 0
( 4.157 ) Z příkladu je patrno, že není-li křivka C zadána v parametrickém tvaru, není ji nutno pro potřeby výpočtu dvojného integrálu na pravé straně ( 4.143 ) na tento tvar převádět. Stokesova věta
George Gabriel Stokes (1819 – 1903)
Nechť S je orientovaná plocha s okrajem tvořeným jednoduchou, po částech hladkou uzavřenou křivkou C. Dále nechť je zadáno vektorové pole ( 4.67 ), přičemž u, v, w mají spojité parciální derivace na otevřené množině obsahující S a C. Pak platí
49
rot an dS
S
a dr ,
( 4.158 )
C
kde křivka C je orientována ve smyslu orientace plochy S. Jinými slovy, tok vektoru rot a plochou S je roven cirkulaci vektoru a po jejím okraji. Specielně, je-li pole a konzervativní, pak rot a = 0 a tedy ronvěž
a dr 0 .
( 4.159 )
C
Obr. 4.17
Důkaz: Nechť uzavřená křivka C tvoří hranici plochy S. Na této ploše můžeme opět vést dělící křivky, vytvářet soustavu dílčích ploch, počítat cirkulaci podél jejich hranic a sčítat je. Příspěvky k cirkulacím podél společných hranic dvou sousedních ploch se vzájemně vyruší, neboť zachováváme-li jednotný smysl obcházení křivek, budeme takovou společnou hranici obcházet vždy v opačném směru. Sumární cirkulace bude tedy rovna právě původní cirkulaci podél křivky C:
50
n
i 1
ai dri
Ci
a dr .
( 4.160 )
C
Zvolíme v prostoru bod P o souřadnicích x, y, z a povedeme jím rovinu libovolné orientace. V této rovině vymezíme uzavřenou křivku malých rozměrů obklopující bod P. Plochu omezenou touto křivkou označíme S , cirkulaci podél této křivky . Budeme nyní dělit tuto plošku na menší části a vyčleníme posloupnost plošek obsahujících bod P. Uvažujme limitu i P
lim
p Si 0
P
Si
.
( 4.161 )
Pokud tato limita existuje, bude závislá na na volbě orientace roviny procházející bodem P, neboli na směru normály k elementární plošce, na jejíž hranici cirkulaci určujeme. Limitu ( 4.161 ) tak můžeme považovat za projekci určitého vektoru do směru normály k ploše. n rot a lim p Si
i P
0
P
Si
.
( 4.162 )
Projekce vektoru rot a do daného směru tedy představuje poměr cirkulace pole a po obvodu malé kolmé plošky k velikosti této plošky. Vztah ( 4.160 ) nyní upravíme do tvaru
C
n
a dr
i 1
n
i
i 1
i S i . Si
( 4.163 )
Pro každý bod P na ploše S můžeme vytvořit posloupnost neomezeně se zmenšujících dílčích plošek tento bod stále obsahujících, V limitě
51
i v rot a a suma na pravé straně ( 4.163 ) Si v integrál přes celou plochu S:
přejde tedy podíl
a dr
C
rot a dS .
( 4.164 )
S
Příklad 9: Ověřme platnost Stokesovy věty pro vektorové pole a x, y, z 2 zi xj y 2k
( 4.165 )
a plochu S tvořenou částí paraboloidu z 4 x2 y2
( 4.166 )
odříznutou rovinou z = 0 a orientovanou vektorem n podle obr. 4.18. Obr. 4.18
52
Řešení: Vypočteme rotaci vektorového pole a: rot a 2 yi 2 j k .
( 4.167 )
Pro plochu g x, y, z 4 x 2 y 2 vektor
g g i j k 2 xi 2 yj k x y
( 4.168 )
souhlasí se zadanou orientací plochy a tedy n 2 xi 2 yj k .
( 4.169 )
Potom
rot an dS
S
2
2 yi 2 j k 2 xi 2 yj k dxdy
A
( 4.170 )
4 y 2
4 xy 4 y 1 dxdy 4 .
2 4 y 2
Nyní spočteme křivkový integrál. Parametrizací C dostaneme C : r t 2i cos t 2 j sin t , t 0,2 .
( 4.171 )
Pak
C
a dr
C
2
2
2 z dx x dy y 2 dz 4 cos 2 t dt 2t sin 2t 0 4 . 0
( 4.172 )
53
c) Úvod do teorie trojného integrálu Zobecněním dvojného integrálu je tzv. objemový, čili trojný integrál, popř. výcečetné integrály, definované v prostorech o větším počtu dimenzí. Vzájemný vztah mezi objemem prostoru určeným trojným integrálem, uzavřenou plochou obklopující tento objem a zadaným vektorovým polem, které touto plochou protéká, popisuje tzv. Gaussova – Ostrogradského věta. Nechť je dán v prostoru xyz kvádr P a1 , b1 a2 , b2 a3 , b3 .
( 4.173 )
Zvolme dělení intervalů al , bl tj. množin
a1 x0 , x1 , , xm b1 , a2 y0 , y1 , , yn b2 ,
a
3
( 4.174 )
z0 , z1 , , z p b3 ,
s kroky xi xi xi 1 , yi yi yi 1 , zi zi zi 1 ,
i 1, 2, m , i 1, 2, n , i 1, 2, p ,
( 4.175 )
množinu bodů
xi , y j , zk , i 1,2, , m,
j 1, 2, , n, k 1, 2, , p
( 4.176 ) nazveme sítí s kroky ( 4.175 ). Ta je tvořena množstvím mn podobných kvádrů Pijk xi 1 , xi y j 1 , y j yk 1 , yk
( 4.177 )
54
o stranách ( 4.175 ). Zvolené síti dále přiřadíme číslo
xi y j zk
h max
2
2
i , j ,k
2
( 4.178 )
odpovídající délce nejdelší tělesové úhlopříčky kvádrů Pijk . V každém kvádru Pijk dále zvolíme libovoný bod U ijk ui , v j , wk
( 4.179 )
a utvoříme integrální součet p
f U m
n
i 1
j 1
ijk
x y z i
j
k
.
( 4.180 )
k 1
Jestliže
I : q h , h 0 : h h , U ijk Pijk ,
i 1, 2, , m , j 1, 2, , n , k 1, 2, , p :
m
n
p
i 1
j 1
k 1
( 4.181 )
f U ijk xi y j zk I q ,
kde q je libovolně malé číslo, pak číslo I značíme I
f x, y, z dxdydz Q
a říkáme, že funkce f je integrabilní na kvádru Q.
( 4.182 )
55
Na obecné omezené množině B E3 definujeme trojný integrál funkce f tak, že zvolíme kvádr Q, aby platilo B Q . Dále definujeme na Q funkci g takovou, že g x, y, z f x, y, z pro g x, y , z 0
pro
x, y , z B , x, y, z B.
( 4.183 )
Říkáme, že funkce f je integrabilní na množině B, jestliže existuje funkce g integrabilní na kvádru Q a trojným integrálem funkce f na A je integrál funkce g na Q:
f x, y dxdy g x, y dxdy. B
( 4.184 )
Q
Integrál funkce f na množině A pak nezávisí na volbě kvádru Q. Integrační obory v kartézských souřadnicích Obrazce prvního typu jsou množiny bodů x, y ohraničené grafy funkcí a x b, d x y h x,
( 4.185 )
D x, z z H x, z .
Obrazce druhého typu jsou množiny bodů x, y ohraničené grafy funkcí c y d, l y x p y , D x, y z H x, y .
( 4.186 )
56
Obr. 4.19
Integrační obory v cylindrických souřadnicích jsou množiny bodů , , z ohraničené grafy funkcí
, d h ,
( 4.187 )
D , z H , .
Připomeňme, že vztah mezi cylindrickou a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem plynoucím z definice goniometrických funkcí na jednotkovém válci: x cos , y sin , z z.
( 4.188 )
57
Obr. 4.20
Integrační obory ve sférických souřadnicích jsou množiny bodů r , , ohraničené grafy funkcí
, ,
( 4.189 )
D , r H , ,
Připomeňme, že vztah mezi sférickou a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem plynoucím z definice goniometrických funkcí na jednotkové kouli: x r cos sin , y r sin sin , z r cos.
( 4.190 )
58
Obr. 4.21
Integrační obory v eliptických souřadnicích Jedná se o zobecněný tvar sférických souřadnic. Vztah mezi eliptickou a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem x a cos cos , y b sin cos ,
( 4.191 )
z c sin . Objem a těžiště obecného tělesa Je-li množinou B těleso mezi grafy spojitých funkcí, její objem VB je roven VB
dV ,
( 4.192 )
B
kde v kartézských souřadnicích platí dV dxdydz ,
v cilindrických souřadnicích platí
( 4.193 )
59
dV d d dz ,
( 4.194 )
Obr. 4.22
ve sférických souřadnicích platí dV r 2 sin drd d .
Obr. 4.23
a v eliptických souřadnicích platí
( 4.195 )
60
dV abc cos d d .
( 4.196 )
Věta: Je-li D nezáporná spojitá funkce na A, vyjadřuje dvojný integrál
H x, y D x, y dS
( 4.197 )
A
objem tělesa ohraničeného sdola a shora plochami z D x, y ,
( 4.198 )
z H x, y ,
a válcovou plochou, jejíž řídící křivkou je hranice oboru A. Důkaz: Předpokládejme, že funkce f je spojitá na oboru B E3 . Je-li obor B těleso určené nerovnostmi a x b, d x y h x,
( 4.199 )
D x, y z H x , y ,
potom můžeme psát
B
b h x H x , y
f x, y, z dV
a d x D x , y
f x, y , z dzdydx .
( 4.200 )
61
Určíme objem tělesa B mezi grafy spojitých funkcí z D x, y , z H x , y , x, y A , D H .
VB
dV
B
H x, y dxdy dz D x , y
A
z Dx, y dxdy
A
H x, y
( 4.201 )
H x, y D x, y dS .
A
Příklad 1: Vypočtěme objem rotačního paraboloidu z x2 y 2
( 4.202 )
oříznutého rovinou z = 1. Obr. 4.24
( 4.203 )
62
Řešení: V kartézských souřadnicích můžeme dané těleso vyjádřit buď jako obrazec prvního typu: 1 x 1, 1 x2 y 1 x2 ,
( 4.204 )
x 2 y 2 z 1,
nebo jako obrazec druhého typu: 1 x 1, z x2 y z x2 ,
( 4.205 )
x 2 z 1.
V cilindrických souřadnicích je však toto těleso určeno mnohem jednoduššími nerovnostmi 0 2 , 0 1,
( 4.206 )
2 z 1. Podle ( 4.192 ) tedy máme V
2 1 1
d d dz
=
0 0
dzd d
0 0 2
V
2 1
2 1
2
0
1
2
0 0
1
2 4 d d 2 4 d 0 3
z d d
2
0
( 4.207 )
1 d . 4 2
63
Příklad 2: Vypočtěme objem množiny ohraničené plochami x2 y 2 z 2 R2 , z a,
( 4.208 )
z b,
kde 0 a b R.
( 4.209 )
Obr. 4.25
Řešení: Množinu nelze zapsat jako jedno z těles mezi grafy spojitých funkcí, neboť horní plocha se skládá z části roviny z = b a části polokoule. Úloha je osově symetrická vzhledem k ose z a proto využijeme transformace do cylindrických souřadnic (viz obr. 4.26).
64
Obr. 4.26
Hleaný obrazec je sjednocením válce poloměru R1 a výšky b – a, o objemu V1 R12 b a R 2 b 2 b a ,
( 4.210 )
s tělesem objemu V2 určeným nerovnostmi 0 2 , R1 R2 ,
( 4.211 )
a z R2 2 .
R1 je poloměr kružnice vzniklé řezem kulové plochy x2 y 2 z 2 R2
( 4.212 )
rovinou z b, tj. x2 y 2 R 2 b2 .
( 4.213 )
Odtud je R1 R 2 b 2 .
( 4.214 )
65
Analogicky vypočteme poloměr R2 R 2 a 2 .
( 4.215 )
Tedy 2 R2
V2
d ddz V
0 R1
2 R2
R2 2
dzd d
a
( 4.216 )
b3 a 3 b 2 a 2 R a d d 2 . 3 2 2
0 R1
2
Hledaný objem proto je V V1 V2
ba 3R 2 a 2 ab b 2 . 3
( 4.217 )
Poznámka: Povšimněme si, že ke stejnému cíli vede díky osové symetrii předchozích dvou příkladů i jednodušší cesta a tou je přímé použití Riemannova integrálu namísto integrálu objemového. Tak např. poslední příklad směřuje přímo na integrál b
J
b
r
a
2
x
2 2
b
2 x3 dx r x dx r x 3 a 2
2
a
2 b3 a3 1 2 r b r a 3r 2 b a b3 a 3 3 3 3 1 ba 3r 2 b a b a b 2 ab a 2 3r 2 b 2 ab a 2 . 3 3 ( 4.218 )
66
Pozorování: Ze vztahů ( 4.192 ), ( 3.393 ) plyne pro těžiště obecného tělesa jednoduchý vztah T
, , dV dV x dV
V
y dV
V
V
V
V
V
z dV . dV
( 4.219 )
Gaussova – Ostrogradského věta, divergence vektorového pole
Michail Vasilievič Ostrogradskij (1801 – 1862)
Mějme vektorové pole F x, y, z které protéká uzavřenou plochou S, tvořící hranici tělesa G objemu V. Tok pole F touto plochou je pak dán plošným integrálem
S
F dS .
( 4.220 )
67
Obr. 4.27
Rozdělme nyní objem V na N menších objemů Vi. Určíme toky pole i plochami Si ohraničujícími tyto dílčí objemy a budeme je sčítat. Opět lze snadno ukázat, že toky vnitřními styčnými ploškami se v tomto součtu navzájem vyruší, neboť při sčítání toků skrze hranici dvou sousedních objemů se objeví jednou s kladným a podruhé se záporným znaménkem (vytéká-li pole z jednoho objemu, zároveň vtéká do sousedního). Sumární tok bude proto roven právě původnímu toku plochou S:
F dS . N
N
i
i 1
i
i 1
( 4.221 )
Si
Zmenšujeme-li limitně objemy Vi, zůstává jejich součet konstantní. Se zmenšováním Vi se zmenšují i i ale jejich součet se rovněž nemění. Nabízí se tedy možnost vytvořit podíl těchto dvou neomezeně se zmenšujících veličin a prozkoumat vlastnosti jeho limity. Zvolíme v prostoru bod P o souřadnicích x, y, z a obklopíme jej malým objemem V . Tok plochou ohraničující tento objem označíme . Vytvoříme posloupnost Vi P neustále se zmenšujících částí objemu
68
V , které obsahují bod P. Této posloupnosti bude odpovídat posloupnost toků i P . Označíme div F lim P Vi
0
i P Vi P
.
( 4.222 )
Tato limita, pokud existuje, představuje tok pole F v bodě P vztažený k jednotce objemu. Nazýváme jej divergencí pole F v bodě P. Upravíme-li nyní vztah ( 4.220 ) na tvar
N
F dS
i
i 1
S
N
i 1
i Vi . Vi
( 4.223 )
V limitě posloupností neustále se zmenšujících objemů obsahujících i vždy jeden z bodů tělesa G se souřadnicemi x, y, z přejde podíl Vi v divergenci pole F a sumu na pravé straně ( 4.223 ) můžeme nahradit integrálem přes objem V:
F dS
S
divF dV .
( 4.224 )
V
Tím jsme odvodili jednu z nejdůležitějších vět matematické analýzy, známou jako Gaussova – Ostrogradského věta. Tato věta jinými slovy říká, že Tok vektorového pole F uzavřenou plochou je roven celkové divergenci tohoto pole v objemu uzavřeném touto plochou. Pozorování: Vztah ( 4.224 ) umožňuje přejít od objemového integrálu k plošnému integrálu přes ohraničující plochu. Specielně, volíme-li F xi yj zk ,
( 4.225 )
69
můžeme pomocí Gauusovy – Ostrogradského věty stanovit objem VG tělesa G výpočtem plošného integrálu přes hranici tělesa G: VG
1 3
F dS .
( 4.226 )
S
Zbývá nám již jen odvodit vztah pro výpočet div F. k tomuto účelu uvažujme elementární objem tvaru kvádru o hranách x, y, z rovnoběžných s odpovídajícími osamy kartézské soustavy. Tok dvojicí rovnoběžných podstav tohoto kvádru bude 12 2 1 Fz x, y, z z xy Fz x, y , z xy
Fz xyz. z
( 4.227 ) Celkový tok povrchem kvádru tedy bude F Fy Fz x V , x y z
( 4.228 )
kde V xyz . Odtud již plyne, že divF
Fx Fy Fz . x y z
( 4.229 )
Příklad 1: Vypočtěme objem tělesa 2 y2 z3 3 x T x, y, z : 2 2 2 1 a b c
kde a, b, c 0 jsou konstanty.
( 4.230 )
70
Řešení: Jedná se o obecný elipsoid s poloosami a, b, c, pro jehož výpočet bude výhodné volit eliptické souřadnice ( 4.191 ). Zřejmě je 0 2 ,
. 2 2
( 4.231 )
Využijeme-li Gaussovu – Ostrogradského větu, okamžitě dostáváme V
dV
V
abc 3
abc 3
1 3
xi yj zk dS
S
2 2
cos cos sin
2
2
2
1 3
xdydz ydzdx zdxdy A
cos 2 sin 2 cos dd
0 2
2 2
cos cos sin d d
3
2
0 2 2
2 2 4 2 abc d abc 0 abc. 3 3 3
0
( 4.232 ) Solenoidální vektorová pole Vektorové pole, které je možno vyjádřit jako rotaci nějakého jiného vektorového pole: F rot G ,
( 4.233 )
se nazývá solenoidálním polem. Vytvořme uzavřenou plochu S ze dvou jiných ploch S1 a S2 o společné hranici l. Podle Stokesovy věty tok pole ( 4.233 ) uzavřenou plochou S = S1 + S2 bude
71
F dS
S
rot G dS
S
rot G dS1
S1
G dl
S2
rot G dS 2
( 4.234 )
G dl 0.
l
l
Aplikujeme nyní Gaussovu – Ostrogradského větu a dostaneme
S
rot G dS
div rot G dV 0 .
( 4.235 )
V
Vzhledem k libovůli ve volbě plochy S a objemu V musí v celém prostoru platit div F div rot G 0 .
( 4.236 )
Toto je tedy nutná a postačující podmínka k tomu, aby pole F bylo solenoidální. Odtud zároveň plyne fyzikální představa solenoidálního pole. Siločáry takového pole nesmějí mít nikde v prostoru kladné zdroje (zřídla) ani záporné zdroje (odtoky), což je přesný opak konzervativních polí. Na rozdíl od konzervativních polí se siločáry solenoidálních polí uzavírají samy do sebe, tj. vytvářejí tzv. víry. Příkladem solenoidálního pole je třeba magnetické pole, zatímco příkladem konzervativního pole je pole elektrické, či gravitační. Obecné vektorové pole samozřejmě nemusí být ani konzervativní ani solenoidální, tj. div F 0 rot F .
( 4.237 )
Lze však dokázat, že každé vektorové pole, které dostatečně rychle klesá v nekonečnu, může být jednoznačným způsobem rozloženo na součet konzervativního a solenoidálního pole.
72
Poznámka: Z interpretace plošného integrálu víme, že udává množství kapaliny, které proteče plochou S za jednotku času. Toto množství udává též trojný integrál na pravé straně ( 4.224 ), který je limitou integrálních součtů, kde se sčítají hodnoty div a v bodech množiny G uvnitř S. V některých bodech je div a 0 (zřídla), v jiných je div a 0 (odtoky), nebo div a 0 . Jestliže
an dS 0 ,
( 4.238 )
S
pak ze zřídel vytéká větší objem kapaliny, než stihne odtékat odtoky. V případě, že
an dS 0 ,
( 4.239 )
S
je tomu přesně naopak. V prvním případě plochou kapalina odtéká, v druhém kapalina do plochy vtéká. Hamiltonův a Laplaceův operátor, směrová derivace Skalárním polem f rozumíme libovolnou funkci n proměnných. Jedná se o funkce, které přiřazují bodům přímky, roviny, prostoru či hyperprostoru skalár. Ve fyzice odpovídá skalárnímu poli např. teplotní pole, v geografii např. nadmořská výška, apod. Definujme Hamiltonův operátor nabla, předpisem , , . x y z
( 4.240 )
73
Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865)
Povšimněme si, že podle definice rotace vektorového pole ( 4.108 ) platí rot F F .
( 4.241 )
Podobně, pro divergenci vektorového pole máme div F F .
( 4.242 )
Působením operátoru nabla na libovolné skalární pole f vzniká nám již známý vektor – gradient pole f: f f f f grad f , , . x y z
( 4.243 )
Skalárním součinem operátoru nabla se sebou samým vzniká tzv. Laplaceův operátor delta 2 2 2 2 2 2 div grad , x y z 2
který může působit jak na skalární, tak i na vektorová pole.
( 4.244 )
74
Pierre-Simon, markýz de Laplace (1749 – 1827)
Podobnou vlastnost má též operátor s
sx s y sz . s x y z
( 4.245 )
Nazýváme jej směrovou či Gateauxovou derivací podle vektoru s.
René Eugène Gateaux (1889 – 1914)
Rovněž i tento operátor může působit jak na skalární, tak na vektorová pole:
75
s f s x
f f f sy sz , x y z
F F F F F Fx sy sz sx s y x sz x , x y z x y z Fy Fy Fy F F F sx sy sz , sx z s y z sz z . x y z x y z
s F s x
( 4.246 )
Bude-li s jednotkový vektor, potom výraz s f je projekcí gradientu skalárního pole f do směru s, a je tedy totožný s derivací pole v tomto směru. Podobně výraz sF můžeme interpretovat jako derivaci vektorového pole ve směru s. V případě funkcí dvou proměnných lze charakterizovat směrovou derivaci přesněji geometricky, viz obr. 4.28: tečna průsečnice grafu funkce f s rovinou procházející bodem A a1 , a2 ,0 a rovnoběžnou s vektory s a k svírá s vektorem s úhel , pro který platí tan
f P
Obr. 4.28
s
.
( 4.247 )
76
Směrová derivace je tak zobecněním pojmu parciální derivace. Popisuje, jak rychle se mění v bodě P závisle proměnná s pohybem ve směru obecného vektoru s. Příklad 1: Určeme směrovou derivaci funkce f x, y x 2 xy 2 y 2
( 4.248 )
v bodě P 1,1
( 4.249 )
ve směru 1 1 s , . 2 2
( 4.250 )
Řešení:
y x 1 1 . ( 4.251 ) s f , 2 x y , 4 y x 2 x 2 2 y 2 2 2 2 Odtud f P s
s f P 4 2 .
( 4.252 )
Příklad 2: Určeme jednotkový vektor s, v jehož směru je směrová derivace funkce f x, y x 2 xy 2 y 2
( 4.253 )
77
v bodě P 1,1
( 4.254 )
největší a určeme její hodnotu. Řešení: Gradient funkce f v bodě P je f P 3,5 .
( 4.255 )
Největší směrová derivace funkce v bodě P nastává ve směru jednotkového vektoru s, pro který platí s a grad f P 3a,5a , a 0 .
( 4.256 )
Odtud s 9a 2 25a 2 a 34 1,
( 4.257 )
a tedy a
1 . 34
( 4.258 )
Proto
5 3 s , . 34 34 Výsledek:
( 4.259 )
78
5 6 3 20 5 3 , 2 x y , 4 y x x y y x. s f 34 34 34 34 34 34 ( 4.260 ) Odtud f P s
sf P 34 .
( 4.261 )
Tečná rovina Definici tečny grafu funkce jedné proměnné, můžeme snadno zobecnit na funkce více proměnných v bodě P p1 , p2 , , pn :
n
fP X f P
i 1
f p xi
n
dxi f P
f p
i 1
xi
xi pi , ( 4.262 )
kde suma
n
df P X
f p
i 1
xi
n
dxi
f p
i 1
xi
xi pi
( 4.263 )
představuje diferenciál funkce f více proměnných, v bodě P. Specielně pro funkce f dvou reálných proměnných odpovídá rovnice ( 4.262 ) rovnici tečné roviny grafu funkce f v bodě P p1 , p2 : z f P
f P x
x p1
f P y
y p2 .
( 4.264 )
79
Obr. 4.29
Příklad 1: Určeme tečnou rovinu k ploše z x 2 xy 2 y 2
( 4.265 )
v bodě P 1,1 .
( 4.266 )
Řešení: Uvedená plocha je grafem funkce f x, y x 2 xy 2 y 2 .
( 4.267 )
80
Funkce je diferencovatelná v bodě P a její diferenciál je df P X 3 x 1 5 y 1 .
( 4.268 )
Protože f P 4,
( 4.269 )
je hledaná rovnice tečné roviny v bodě P z 4 3 x 1 5 y 1 .
( 4.270 )
Uvedením na obecný tvar dostáváme
3x 5 y z 4 0 .
( 4.271 )
Taylorův rozvoj funkce více proměnných Analogicky, jako u funkcí jedné proměnné, lze i funkce více proměnných rozvinout v řadu pomocí zobecněné Taylorovy věty: Je-li m přirozené číslo a je-li funkce f v bodě P m-krát diferencovatelná, pak existuje jediný její Taylorův polynom tm,P X m-tého řádu v bodě P, přičemž platí:
m
tm , P X
k 0
1 k d fP X . k!
( 4.272 )
Je-li m přirozené číslo a je-li funkce f v bodě P diferencovatelná m 1 -krát a je-li B U P pak existuje 0,1 takové, že: f B tm,P B
1 d m1 f P B P B B P . m 1!
( 4.273 )
81
Druhý člen na pravé straně vyjadřuje chybu náhrady funkční hodnoty f(B) hodnotou Taylorova polynomu m-tého řádu v bodě P. Příklad 1: Určeme Taylorův polynom druhého řádu funkce f x, y x y
( 4.274 )
v bodě P 1,1 , a určeme chybu aproximace funkce f tímto polynomem na jednotkovém okolí bodu P. Řešení: Nejprve spočteme všechny první a druhé parciální derivace funkce f: f yx y 1 , x
f x y ln x, y
2 f y y 1 x y 2 , xx
2 f x y ln 2 x, yy
2 f 2 f x y 1 1 y ln x . xy yx ( 4.275 )
Dále df P X
f P x
d fP X 2
x p1
2 P xx
x p1
2
f P y 2
y p2 x 1,
2 P xy
x p1 y p2
2 P yy
y p2
2 x 1 y 1 .
( 4.276 ) Proto t2,P X 1 x 1 x 1 y 1 1 x 1 1 y 1 . ( 4.277 )
2
82
Nyní spočteme d 3 f A B P B B P .
( 4.278 )
Platí věta: Je-li funkce f n proměnných m-krát diferencovatelná v bodě P, pak všechny m-té parciální derivace v bodě P lišící se jen pořadím parciálního derivování jsou si ronvy. Je-li tedy funkce f dvou proměnných třikrát diferencovatelná v bodě P, pak platí 3 f 3 f 3 f , xxy xyx yxx 3 f 3 f 3 f , xyy yxy yyx
( 4.279 )
Postačí nám tedy spočítat pouze následující třetí derivace 3 f y y 1 y 2 x y 3 , xxx 3 f 2 y 1 y y 1 ln x x y 2 , xxy f 2ln x y ln 2 x x y 1 xyy 3
3 f x y ln 3 x. yyy
Hledaný třetí diferenciál v bodě C tak bude mít tvar
( 4.280 )
83
3 f 3 f 3 2 d fC X x c1 3 x c1 y c2 xxx xxy 3
3
f f 2 3 x c1 y c2 y c2 . xyy yyy 3
3
( 4.281 )
Neboli d 3 fC X c2 c2 1 y 2 x c2 3 x c1 3
3 2c2 1 c2 c2 1 ln c1 c1c2 2 x c1
2
y c2
3 2ln c1 c2 ln 2 c1 c1c2 1 x c1 y c2 c1c2 ln 3 c1 y c2 . 2
3
( 4.282 ) Pak B b1 , b2 U P 0,1 : 1 : b t2,P B d 3 f A B A B B P . 6 b2 1
( 4.283 )
Dosadíme-li nyní do ( 4.282 ) C P B P, X B B P,
( 4.284 )
dostáváme konečný výsledek. Protože bod B jsme si stanovili uvnitř jednotkového okolí bodu P, můžeme volit např. B 1, 2 ,
1,
( 4.285 )
a máme C 1,2 , X 1,3.
( 4.286 )
84
Odtud plyne d 3 f A B P B B P 0 .
( 4.287 )
Na jednotkovém okolí bodu P tak Taylorův polynom t2,P X 1 x 1 1 y 1
( 4.288 )
aproximuje funkci f x, y x y
( 4.289 )
s absolutní přesností. Lokální extrémy funkce více proměnných Lokální extrémy funkce více proměnných mohou být pouze v těch vnitřních bodech jejího definičního oboru, v nichž každá první parciální derivace, která existuje, nabývá hodnoty nula. Body, v nichž všechny první parciální derivace existují a jsou rovny nule, nazveme stacionárními body funkce f. Pro stacionární body funkce f tak platí podmínka f P 0 .
( 4.290 )
Analogicky, jako u funkcí jedné proměnné však funkce ještě nemusí mít ve stacionárním bodě lokální extrém, alébrž tzv. sedlový bod (vícerozměrnou analogii inflexního bodu). Nutná a postačující podmínka pro existenci lokálního extrému je u funkcí více proměnných komplikovanější, než u funkcí jedné proměnné a zní: Věta: Nechť funkce f dvou nebo více proměnných je dvakrát diferencovatelná ve svém stacionárním bodě P. Je-li
85
D1 P 0, D2 P 0, , Dn P 0 ,
( 4.291 )
resp. D1 P 0, D2 P 0, , Dn P 0 ,
( 4.292 )
kde
Dn P
2 f P
2 f P
x1 x1
x1 x2
2 f P
2 f P
x2 x1
x2 x2
2 f P
2 f P
xn x1
xn x2
2 f P x1 xn 2 f P x2 xn ,
( 4.293 )
2 f P xn xn
pak má funkce v bodě P lokální minimum, resp. maximum. Je-li však D1 P 0, D2 P 0, , Dn P 0
( 4.294 )
a zároveň neplatí ( 4.291 ) ani ( 4.292 ), potom funkce f nemá v bodě P lokální extrém ale má v něm sedlový bod. Poznámka: V bodech, v nichž funkce f splňuje kritérium ( 4.291 ) ji nazýváme pozitivně definitní. V bodech, v nichž funkce f splňuje kritérium ( 4.292 ) ji nazýváme negativně definitní. V bodech v nichž funkce f splňuje kritérium ( 4.294 ) ji nazýváme indefinitní.
86
Vázané extrémy funkce více proměnných Nechť f a g jsou funkce n proměnných. Řekneme, že funkce f má v bodě P vázané maximum s vazbou g(X) = 0, jestliže g(A) = 0 a X D f : f X f A , g X 0 .
( 4.295 )
Řekneme, že funkce f má v bodě P vázané minimum s vazbou g(X) = 0, jestliže g(A) = 0 a X D f : f X f A , g X 0 .
( 4.296 )
Vázaná maxima a minima nazýváme souhrnným názvem vázané extrémy. Příklad 1: Určeme vázané lokální extrémy funkce f x, y x 2 y 2
( 4.297 )
(sedlová plocha) s vazbami a) 2 x y 1 0 , b) x 2 y 2 4 0, c) x3 y 3 3xy 0 .
( 4.298 )
87
Obr. 4.30
Řešení: a) y x 2 x 1,
( 4.299 )
takže h x f x, x x 2 2 x 1 3x 2 4 x 1. 2
( 4.300 )
Úloha se tak redukuje na problém nalezení globálních extrémů funkce jedné proměnné.
dh 6 x 4 0 , dx odkud
( 4.301 )
88
x
2 3
( 4.302 )
d 2h 6 . dx 2
( 4.303 )
2 je tedy globálním maximem funkce h, globální minimum 3 tato funkce nemá. Odtud vyplývá, že funkce f má vázané maximum 1/3 v bodě
Bod x
x, y
2 1 , , 3 3
( 4.304 )
vázané minimum nemá. Pozorování: Geometricky úloha nalezení vázaných extrémů znamená nalezení extrémních hodnot podél zadané vazby. b) Vazbu v tomto případě tvoří kružnice se středem v počátku a poloměrem 2. Kružnice, jak víme, sama o sobě není funkcí, lze ji však vyjádřit jako sjednocení dvou funkcí:
1 x 4 x 2 , 1 x 4 x . 2
Obě funkce jsou definovány na intervalu 2, 2 . Dále
( 4.305 )
89
h x h1 x h2 x x 2
4 x2
dh 4 x 0. dx
2
2 x 2 4,
( 4.306 )
Odkud x0
( 4.307 )
je bod lokálního minima, neboť d 2h 4. dx 2
( 4.308 )
Navíc jsou zde dvě globální maxima v bodech -2 a 2. Původní funkce f má tedy vázané minimum v bodech 0, 2 , 0, 2 a vázané maximum v bodech 2,0 , 2,0 . c) Zde se nám nepodaří převést implicitně formulovanou vazbu do explicitního tvaru. V tomto případě se užívá tzv. Lagrangeova metoda: nejprve utvoříme novou funkci h f g ,
( 4.309 )
kde g je vazba a je číslo, které volíme tak, aby stacionární body funkce h byly současně kořeny g. Jednotlivé stacionární body funkce h pak testujeme na lokální extrémy a má-li v některém z nich funkce h lokální extrém, má v něm funkce f vázaný lokální extrém téhož typu s podmínkou g(X) = 0. Určení stacionárních bodů funkce h tak vede na soustavu rovnic
90
f g 0, x1 x1 f g 0, x2 x2
( 4.310 )
f g 0, xn xn g 0.
Jedná se o soustavu o n + 1 neznámých (n neznámých tvoří souřadnice x1 , x2 , , xn příslušného stacionárního bodu a další neznámou je číslo ). V našem případě tedy dostáváme
h x, y x 2 y 2 x 3 y 3 3xy .
( 4.311 )
Pro její stacionární body z ( 4.310 ) plyne 2 x 3x 2 3 y 0, 2 y 3 y 2 3x 0,
( 4.312 )
x3 y 3 3 xz 0.
Řešením této soustavy jsou dva stacionární body funkce h:
0,0 ,
,
4 3 3 , , . 2 2 3
( 4.313 )
Snadno zjistíme, že v počátku má funkce h např. pro = 0 lokální minimum, takže funkce f má v počátku vázané lokální minimum.
91
4 3 3 V bodě , , má funkce h lokální maximum, takže funkce 3 2 2 f zde má vázané lokální maximum.
Úvod do řešení parciálních diferenciálních rovnic Schrödingerova rovnice Představa částic, coby drobných kuliček analogických běžným objektům známým z makrosvěta, začíná selhávat již zhruba při Planckových hmotnostech (10-8 kg). Při ještě menších hmotnostech částic se začíná stále výrazněji projevovat jejich vlnová podstata. Již v roce 1905 ukázal Albert Einstein, že fotoelektrický jev je vysvětlitelný pouze za předpokladu, že elektromagnetické záření má mimo obvyklých vlnových, zároveň i korpuskulární vlastnosti. Postuloval tak částici světla, která byla později nazvána foton. Energie fotonu o frekvenci je dána jednoduchým Einsteinovým vztahem E h ,
( 4.314 )
za jehož odvození Einstein obdržel Nobelovu cenu v roce 1921.
Albert Einstein (1879 – 1955)
Vidíme tedy, že energie fotonu je přímo úměrná jeho frekvenci, kde konstantou úměrnosti je přitom Planckova konstanta h 6 10-34 Js,
92
která vyplynula z ještě dřívějších úvah Maxe Plancka (psal se rok 1900) o vlastnostech vyzařování absolutně černého tělesa.
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 – 1947)
V kvantové mechanice je obvyklé pracovat nikoli s frekvencemi, ale s úhlovými frekvencemi
2 .
( 4.315 )
V této symbolice má pak Einsteinova formule ( 4.314 ) obvyklejší tvar E ,
( 4.316 )
h je tzv. redukovaná Planckova konstanta která je 2 považována za skutečně elementární kvantum akce (veličiny dané součinem energie a času). Protože mezi frekvencí a vlnovou délkou platí jednoduchý převodní vztah
kde
c ,
( 4.317 )
kde c je rychlost postupu vlnění, dostáváme pro energii fotonu alternativní vyjádření
93
E
ch m c2 .
( 4.318 )
Počátkem 20. let minulého století navrhl francouzský fyzik Louis de Broglie, že by formule ( 4.318 ) měla platit zcela obecně nejen pro fotony, ale i pro všechny ostatní částice. Z rovnosti ( 4.318 ) okamžitě plyne de Broglieův vztah mezi hybností částice p a její vlnovou délkou :
h h , mu p
( 4.319 )
kde u nyní značí obecně rychlost částice.
Louis Victor Pierre Raymond vévoda de Broglie (1892 – 1987)
De Broglieova hypotéza byla skutečně experimentálně potvrzena v experimentech s elektrony a dalšími částicemi, které po průchodu dvěmi úzkými štěrbinami vzájemně interferovaly, jako by se vskutku jednalo o vlnění o vlnové délce . Jestliže jsou částice zároveň vlněním, pak musí být popsány obecnou vlnovou funkcí: x A exp i t . u
( 4.320 )
94
Dosadíme-li do tohoto obecného výrazu 2 za a za u, dostaneme vlnovou funkci zcela konkrétní částice: x A exp 2 i t ,
( 4.321 )
neboli z de Broglieova vztahu i A exp Et px .
( 4.322 )
Výraz ( 4.322 ) je matematickým vyjádřením vlnového ekvivalentu volné částice s celkovou energií E a hybností p, pohybující se ve směru +x. Jestliže částice podléhá nejrůznějším omezením, jakým je např. dutina rezonátoru, potřebujeme znát základní diferenciální rovnici, pro funkci v takovémto omezujícím prostředí. Derivujeme li ( 4.322 ) dvakrát podle x a jedenkrát podle t, dostaneme 2 p2 2 x 2 iE , t
( 4.323 )
Odtud 2 p , x 2 E . i t 2
2
( 4.324 ) ( 4.325 )
Při nerelativistických rychlostech (malých ve srovnání s rychlostí světla) je celková energie E částice prostým součtem její energie kinetické a potenciální energie V, která je obecně funkcí polohy x a času t :
95
p2 E V . 2m
( 4.326 )
Vynásobením této rovnice vlnovou funkcí částice máme p 2 E V . 2m
( 4.327 )
Dosazením výrazů ( 4.324 ) a ( 4.325 ) do ( 4.327 ) obdržíme hledanou diferenciální rovnici : 2 2 V . i t 2m x 2
( 4.328 )
Tuto základní pohybovou rovnici kvantové mechaniky odvodil Erwin Schrödinger v roce 1925, který je tak právem považován za rok zrodu kvantové mechaniky.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 – 1961)
Protože reálný prostoročas je čtyřrozměrný, přičemž jeden rozměr připadá na čas a zbylé 3 na prostor, je potřeba zobecnit Schrödingerovu rovnici na trojrozměrný tvar: 2 2 V , i t 2m
( 4.329 )
96
Příklad 1: Jednorozměrnou vlnovou funkci částice můžeme upravit do tvaru i iEt ipx iEt A exp Et px A exp exp exp ( 4.330 ) iEt v němž je součinem časově závislé funkce exp a funkce polohy .
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 – 1894)
Ve skutečnosti mají všechny vlny v konzervativních silových polích časovou závislost tohoto tvaru. Dosadíme-li nyní do Schrödingerovy rovnice, obdržíme po drobné úpravě rovnici 2 2mE 2 0 , x 2
( 4.331 )
což je tzv. stacionární vlnová rovnice. Její trojrozměrný tvar je 2
2mE 0 . 2
( 4.332 )
97
Řešme nyní tuto rovnici pro nitro krychlové dutiny, kde je na kladena hraniční podmínka = 0 všude na stěnách dutiny. Obr. 4.31
Rovnice ( 4.332 ) obsahuje všechny tři souřadnice x, y, z. Abychom nalezli řešení, musíme ji nejprve separovat na tři nezávislé rovnice, z nichž každá obsahuje jen jednu souřadnici. Předpokládejme proto, že vlnová funkce (x, y, z) je ve skutečnosti součinem tří funkcí x(x), y(y), z(z), jež závisejí vždy jen na jedné proměnné x, y, resp. z, tj.
x, y, z x x y y z z .
( 4.333 )
Tento předpoklad je rozumný, neboť obsahuje jen nezávislost změny s každou souřadnicí na změnách s ostatními souřadnicemi. Parciální derivace funkce ( 4.333 ) jsou d 2 x 2 y z , x 2 dx 2 d 2 y 2 x z , 2 2 y dy 2 d 2 z x y . z 2 dz 2
( 4.334 )
98
Dosadíme-li nyní tyto parciální derivace spolu s = x y z do ( 4.332 ), dostaneme d 2 y d 2 x d 2 z 2mE y z x z x y 2 x y z 0 . dx 2 dy 2 dz 2
( 4.335 )
Dělením této rovnice vlnovou funkcí ( 4.333 ) a uspořádáním členů máme 2 1 d 2 x 1 d y 1 d 2 z 2mE . x dx 2 y dy 2 z dz 2 2
( 4.336 )
Každý člen na levé straně rovnice ( 4.336 ) je funkcí jiné proměnné a pravá strana je konstanta nezávislá na hodnotách x, y, z. Každý člen nalevo se tudíž musí rovnat samostatné konstantě, což lze vyjádřit vztahy
1 d 2 x 2 , k x x dx 2
( 4.337 )
2 1 d y k y2 , 2 y dy
( 4.338 )
1 d 2 z k z2 , 2 z dz
( 4.339 )
kde konstanty k jsou ve skutečnosti složkami vlnového vektoru k stojaté vlny uvnitř krychlové dutiny, které musí splňovat podmínku
2 2mE k k k 2 2 . c 2 x
2 y
2 z
( 4.340 )
99
Rovnice ( 4.337 ), ( 4.338 ), ( 4.339 ) mohou mít jen sinová a kosinová řešení. Okrajové podmínky kladené na požadují, aby bylo = 0 na stěnách dutiny, tj. v místech, kde je x, y, z rovno 0 nebo L. Těmto okrajovým podmínkám vyhovuje jen funkce sinus, neboť jen ona se rovná v počátku 0. Nyní již tedy můžeme zapsat hledanou vlnovou funkci ve tvaru
x, y, z x y z A sin k x x sin k y y sin k z z .
( 4.341 )
Volbou funkce sinus jsme zatím zajistili, aby bylo = 0 v počátku. Nyní musíme určit velikosti kx, ky, kz komponent vlnového vektoru tak, aby = 0 i při x, y, z = L. Tyto, tzv. vlastní hodnoty vlnové funkce , získáme z druhé okrajové podmínky, coby k x L nx ;
nx N ,
k y L ny ;
ny N ,
k z L nz ;
nz N .
( 4.342 )
Toto můžeme napsat též ekvivalentním způsobem z pomocí vlnového čísla k pro nějž platí nx2 n y2 nz2 k k k k 2 2 2 ; L L L 2
2 x
2 y
2 z
2
nx , n y , nz N .
( 4.343 )
Vlnové funkce uvnitř dutiny jsou pak dány výrazem
A sin
n y y nx x n z sin sin z ; L L L
a možné energie jsou
nx , n y , nz N . ( 4.344 )
100
22 E n n n 2mL2 2 x
2 y
2 z
( 4.345 )
Hodnoty vlnového čísla k netvoří jednoduchou posloupnost jak jsme zvyklí v jednorozměrném případě. Může se stát, že i více než jedna stojatá vlna má tutéž hodnotu k, a tudíž stejnou frekvenci a stejnou energii. Tuto skutečnost použil dánský fyzik Niels Bohr pro popis energetických hladin elektronů v atomu vodíku.
Niels Henrick David Bohr (1885 – 1962)
Mají-li dvě nebo více stojatých vln společnou frekvenci, nazýváme je degenerovanými stojatými vlnami. Obr. 4.32
nx = 1, ny = 2, nz = 3
101
V dutině je stupeň degenerace tím větší, čím větší má dutina stupeň symetrie. V našem případě krychlové dutiny je vůbec největší. K tomu, aby v krychlové dutině o straně L existoval mód ( 4.341 ), musí délka každé komponenty jeho vlnového vektoru být rovna celočíselnému násobku hodnoty /L. Módy můžeme znázornit zobrazením bodů (kx, ky, kz) v třírozměrném prostoru. V případě obecně obdélníkové dutiny o stranách délky Lx, Ly, Lz, můžeme ( 4.343 ) okamžitě zobecnit nx2 n y2 nz2 k k k k 2 2 2 ; L Ly Lz x 2
2 x
2 y
2 z
2
nx , n y , nz N ( 4.346 )
odkud pro možné energie plyne 2 nz2 2 2 nx2 n y E 2 2 2 . 2m Lx Ly Lz
Úvod do Fourierovy analýzy a) Fourierova řada
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)
( 4.347 )
102
Nejjednodušší odvození Fourierovy transformace vychází z tzv. Fourierovy řady periodické funkce, jejíž motivaci lze nalézt ve skládání anizochronních harmonických kmitů téhož směru s takovými frekvencemi, aby výsledná funkce mohla být periodická, tedy T = nTn, kde n je celé císlo. Funkce daná touto superpozicí bude mít tvar a f t 0 2
a cos nt b sin nt , n
n
n 1
( 4.348 )
n 1
kde an, bn jsou funkce tvořící tzv. spektrum operátoru f. Nejprve budeme uvažovat funkci periodickou na intervalu 0,T a budeme předpokládat platnost výše uvedeného rozvoje pro nějakou kombinaci koeficientuů an, bn. Obě strany rovnosti vynásobíme funkcí sin mT a prointegrujeme přes interval délky T
2 .
( 4.349 )
Dostaneme rovnici T
f t sin mt dt
0
1 2
T
a0 sin mt dt
0
T
bn sin mt sin nt dt
n 1
0
T
( 4.350 )
an sin mt cos nt dt.
n 1
0
Využitím vzájemné ortogonality funkcí 1, sin, cos dostaneme
103 T
f t cos mt dt
amT 2
( 4.351 )
0
Podobně postupujeme při určení koeficientu an a tím získáme vztahy am
2 T
T
f t cos mt dt ,
0
bm
2 T
( 4.352 )
T
f t sin mt dt.
0
Aby bylo možno funkci f t vyjádřit řadou, musí splňovat tzv. Dirichletovy podmínky: 1. f t je na intervalu 0,T ohraničená, 2. f t má na intervalu 0,T nejvýše konečný počet singularit, 3. f t má na intervalu 0,T alespoň jednu z těchto vlastností: (a) má konečný počet bodů ostrého lokálního extrému, (b) je po částech monotónní, (c) je po částech hladká.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859)
104
Jestliže funkce f t tyto podmínky splňuje, pak v každém bodě spojitosti ji lze rozvinout v řadu ( 4.348 ) tak, že je f t součtem této řady a v každém bodě t0 nespojitosti prvního druhu je součet této řady roven 1. Dirichletovy podmínky jsou však pouze postačující, nikoliv nutné. Existují funkce, které tyto podmínky nesplňují a přesto jim přiřazená Fourierova řada konverguje tak, že jejím součtem je rozvíjená funkce. Pro praktické počítání obvykle vyjadřujeme Fourierovu řadu na intervalu p a, b ve tvaru a Fm x 0 2
m
k 1
2 kx 2 kx bk sin ak cos , ba ba
( 4.353 )
kde ak
2 ba
b
f x cos
2 kx dx, ba
a
bk
2 ba
( 4.354 )
b
f x sin
2 kx dx. ba
a
Pro derivaci a integrál Fourierovy řady dále platí:
m
Fm x
k 1
2 kx 2 kx k ak sin bk cos , ba ba x
1 2 kx 2 kx 2 kb a sin b cos cos k b a b a b a .
Fm x dx Fm t dt
a0 x b 2
a
m
k
k
k 1
( 4.355 )
105
Specielně je možno z Fourierovy řady odvodit tzv. Parsevalovu rovnost: 2 ba
b
a f 2 x dx 0 2
a
a
2 k
bk2 .
( 4.356 )
k 1
Marc-Antoine Parseval (1755 – 1836)
Příklad 1: Sestrojte Fourierovu řadu padesátého stupně následujících signálů jednotkové amplitudy: a) Jednotkové obdélníkové pulsy, b) Rovnoramenné pilovité pulsy, c) Cykloida jednotkového poloměru. Řešení: F50 x
1 2
1
1
1 sin kx f x sin kx dx f x dx k 1 1 ( 4.357 ) 1 cos kx f x cos kx dx , 1
50
106
kde a) f x sgn x , b) f x x ,
( 4.358 ) ( 4.359 )
c) f x 1 x 2 .
( 4.360 )
Grafy této Fourierovy řady pro uvedené funkce f jsou vykresleny na následujících obrázcích. Obr. 4.33 a)
107
Obr. 4.34 b)
Obr. 4.35 c)
108
b) Fourierova transformace Výraz pro Fourierovu transformaci můžeme odvodit z Fourierovy řady provedením limitního procesu T , tedy zvolením nekonečné doby periody, čímž umožníme využití této metody i pro funkce, které nejsou periodické. Dosadíme-li do řady ( 4.348 ) vzorce pro koeficienty ( 4.352 ), využitím základních trigonometrických vztahů pro cos t dostaneme T 2
f
1 T
f t dt
T 2
2 T
T 2
f t cos n t dt ,
( 4.361 )
n 1 T 2
Budeme-li uvažovat pouze funkce absolutně integrovatelné na celé reálné ose
f t dt ,
( 4.362 )
pak první člen bude mít v limitě pro T ∞ nulovou hodnotu. Ve druhém členu máme aritmetickou posloupnost n s konstantní diferencí . Označíme-li n ,
2 T
( 4.363 )
dostaneme 1
T 2 f t cos t dt , T 2
n 1
( 4.364 )
109
Výraz sumace vyjadřuje v limitě T ∞ integrální součet a rovnice ( 4.364 ) přejde ve dvojný integrál f
1
f t cos t dtd .
( 4.365 )
0
Dosadíme-li do ( 4.365 ) podle Eulerova vzorce za funkci cos, dostaneme konečný výraz pro Fourierův integrál f
1 2
f t ei t dtd .
( 4.366 )
Tento vztah se dá zapsat v symetrickém tvaru jako 1 1 f 2 2
f t e it dt ei d
( 4.367 )
Výraz uvnitř hranaté závorky považujeme za Fourierovu transformaci funkce f t a zbylá část vztahu udává inverzní Fourierovu transformaci f t F 1 F f t
1 2
f t e it dt ,
( 4.368 )
1 2
ei d .
( 4.369 )
Při odvozování (limitním přechodu) Fourierova integrálu byly použity pŘedpoklady o integrovatelnosti funkce f t a o její rozvinutelnosti
110
ve Fourierovu řadu na každém intervalu a, b (tedy splnění Dirichletových podmínek), přičemž se předpokládalo, že integrál vyjadřuje funkci f t ve všech bodech spojitosti. Fourierova transformace však může existovat i k funkcím, které tyto podmínky nesplňují. Základní vlastnosti Pro praktické využití Fourierovy transformace jsou důležité její následující vlastnosti: Linearita: Z vlastností integrálu plyne vztah af t bg t a
f t b g t
( 4.370 )
pro libovolné a, b (i komplexní), z čehož plyne linearita Fourierovy transformace. Změna měřítka: Je-li v argumentu funkce f t provedena změna měřítka, pak platí f at
1 F . a a
( 4.371 )
Posun v čase: Provedeme-li v argumentu posunutí , pak pro obraz platí
f t f t e t .
( 4.372 )
Modulační věta: Je-li posunutí provedeno ve spektrální oblasti, pak platí f t ei t F ,
tedy posunutí se projeví modulací.
( 4.373 )
111
Dualita transformace: Pro dvojnásobné užití Fourierovy transformace platí
f t f ,
( 4.374 )
kde je nutno po provedení první transformace formálně zaměnit za t. Derivace originálu: Má-li funkce f t na každém intervalu konečné délky derivaci ve smyslu absolutně spojité funkce f t a obě tyto funkce jsou lebesgueovsky integrovatelné (popř. obě jsou v kvadrátu) na intervalu , , pak platí f t i f t
( 4.375 )
tedy operace derivování v originálu přechází na násobení v obraze. Opětovným použitím lze odvodit vztah i pro vyšší derivace (n-tého n řádu), v němž je výraz i nahrazen i Derivování obrazu: Nechť jsou funkce f t a tf t lebesgueovsky integrabilní (popř. obě v kvadrátu), pak platí f t i tf t
( 4.376 )
tedy derivování obrazu přechází v násobení originálu t. Obdobně pro vyšší řády derivace se vyskytnou vztahy i n , t n f t . Integrace originálu: Existují-li Fourierovy transformace funkcí f t ,
f t dt , pak
112
t 1 f d f t , i
( 4.377 )
tedy integrace v obraze přejde v dělení výrazem i , pro n-násobnou n integraci se vyskytuje násobení i . Obraz reálné funkce: Je-li funkce f t reálná a jestliže k ní existuje její Fourieruv obraz F(), pak platí pro komplexní sdružení
( 4.378 )
Parsevalova věta: Je-li f t absolutně integrovatelná a omezená pro skoro všechna t, pak
f t dt 2
F d 2
( 4.379 )
Limitní vlastnosti: Je-li
f t dt
( 4.380 )
pak pro Fourierův obraz F() platí lim F 0
( 4.381 )
113
Příklady aplikací Fourierovy transformace a) Princip neurčitosti Uvažujme funkci f t se spojitou derivací (pro jednoduchost) a nulovou pro dostatečně vysoké absolutní hodnoty t. Disperze této funkce R vzhledem k bodu a je dána vztahem
Df a
t a
2
f t dt 2
( 4.382 )
Hodnotu a, pro kterou je Df (a) minimální, nazýváme střední argument funkce f. Nechť dále je b střední argument Fourierovy transformace funkce f t a předpokládejme a = b = 0. Uvažujme funkci parametru
I
tf t f t dt , 2
( 4.383 )
kterou rozepsáním, integrací per partes a použitím Parsevalovy rovnosti pro f t upravíme do tvaru I D f 0 f
2
2 DF 0 0 .
( 4.384 )
Diskriminant tohoto výrazu musí být nekladný: f
4
4 D f 0 DF 0 0
( 4.385 )
z čehož plyne pro normovanou funkci f t D f 0 DF 0
1 . 4
( 4.386 )
114
Čím více je tedy funkce f t soustředěna kolem středního argumentu, tím méně je soustředěna okolo svého středního argumentu její Fourierova transformace F(). Příklad 1: Gaussova funkce Pro modelování v oblasti teorie pravděpodobnosti i jiných, má velký význam Gaussova funkce
t e
t2 2
,
( 4.387 )
kde 0 je parametr určující „šířku“ funkce. Stanovení jejího obrazu provedeme z definičního vztahu, v němž obě exponenciely sloučíme a exponenty převedeme na součet čtverce a části nezávislé na t: t
1 2
1 2
e
t2 2
e it dt
2
e
2 2 t i 2 4
1 e 2
2 2 4
e
t2 2
1 2
e
t2 2 it
dt
1 dt e 2
2 2 4
e
t i 2
2
dt
dt.
( 4.388 ) Poslední integrand nemá primitivní funkci, takže jej bylo nutno zintegrovat lebesgueovsky:
115 2
t2 e 2 dt 2 0
2
0
e
2 2
e
x2 y 2 2
dydx 2
0
e
0 0
2 2
d d
( 4.389 )
2 2 d 2 e 2 , 2 0 2
čili
e
t2 2
dt .
( 4.390 )
Lze tedy psát 2
2
4 t , e 2
( 4.391 )
což je hledaný Fourierův obraz Gaussovy funkce. Je vidět, že tvar funkce se zachová, ale šírky originálu a obrazu jsou si (v souladu s principem neurčitosti) nepřímo úměrné. Příklad 2: Gaussovské vlnové klubko Nyní budeme diskutovat případ řešení jednorozměrné Schrödingerovy rovnice pro volnou částici, které lze psát v t = 0 ve tvaru tzv. gaussovského vlnového klubka x a 2 exp x,0 , 2 2 14 2 d d 1
( 4.392 )
kde d je kladné reálné číslo. Snadno lze ověřit, že tato vlnová funkce splňuje normovací podmínku
116
x,0
2
x a 2 dx exp dx 1 , 2 2 d d 1
( 4.393 )
kde x a d udává vzdálenost od středu vlnového klubka, pro níž hustota pravděpodobnosti klesne na hodnotu 1 e ve srovnání s její amplitudou. Obr. 4.36
Snadno vypočteme střední hodnotu vlnové funkce ( 4.392 ):
x x,0 x x,0 dx a ,
( 4.394 )
která je dle očekávání totožná s polohou středu vlnového klubka. Podobně snadno lze vypočíst i
x
2
d2 x,0 x x,0 dx a2 . 2
2
( 4.395 )
Odtud pak dostáváme střední kvadratickou odchylku souřadnice
117
x x
x,0 x x
2
x,0 dx 2
x,0 x 2 2 x x x
2
x,0 dx
x,0 x 2 x,0 dx 2 x
x,0 x x,0 dx
x
2
x,0 x,0 dx x
2
x
2
d2 . 2
( 4.396 ) podobný výpočet můžeme provést i pro operátor impulsu. Nejdříve dostaneme
pˆ x,0 i
d x,0 dx 0 , dx
( 4.397 )
kde integrál vyšel roven nule, neboť integrovaná funkce je lichá. Dále vypočteme
pˆ
2
d2 2 x,0 i 2 x,0 dx 2 . dx 2d
( 4.398 )
Pro střední kvadratickou odchylku impulsu odtud plyne
pˆ
pˆ
2
pˆ
2
pˆ
2
2 2. 2d
( 4.399 )
Pro vlnové klubko ( 4.392 ) vychází tedy nenulová střední kvadratická odchylka jak souřadnice, tak i impulsu. Při měřeních na
118
kvantověmechanickém souboru daném touto vlnovou funkcí tedy nedostáváme ostré hodnoty souřadnice a impulsu, nýbrž hodnoty, jejichž distribuce pravděpodobnosti závisí na volbě parametru d. Je zřejmé, že čím je částice přesněji lokalizována v tzv. souřadnicovém prostoru, tím nepřesněji je lokalizována v impulsovém prostoru (tzn. tím nepřesněji je určen její impuls) a naopak. Součin kvadratických odchylek zůstává konstantní:
x
x
pˆ 2
pˆ
2
2 , 4
( 4.400 )
odkud po odmocnění máme x x
pˆ pˆ . 2
( 4.401 )
Je zřejmé, že obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice lze psát ve tvaru superpozice řešení ( 4.330 )
x, t
1 2
p2 t px 2 m c p exp dp , i
( 4.402 )
kde c p je komplexní koeficient rozvoje do rovinných vln závislý na p. Z tohoto výrazu je patrno, že funkce c p je Fourierovým obrazem funkce x,0 , který lze určit pomocí inverzní Fourierovy transformace
c p
1 px x,0 exp dx . i 2
( 4.403 )
Dosazením ( 4.403 ) a ( 4.392 ) do ( 4.402 ) získáme hledaný výraz pro jednorozměrnou vlnovou funkci volné částice
119
exp x, t 5 1 2 4 d 2 1
2 p 2 t px px x a 2 m dp . dx exp 2d 2 i i
( 4.404 ) Příklad 3: Heisenbergovy Relace neurčitosti Pozoruhodnou vlastností kvantového světa je jeho nekumutativita. Spočtěme si pro jednoduchost střední hodnotu součinu operátorů hybnosti a polohy:
ˆˆ px
x x dx x dx i x i x x
x dx dx x dx , ( 4.405 ) i i x x i
ˆˆ x xp
dx x dx . x i x i
Odtud plyne nerovnost ˆ ˆ xp ˆˆ px
0. i
( 4.406 )
Definujme algebraickou strukturu zvanou komutátor:
pˆ ; xˆ
ˆ ˆ xp ˆˆ . px
Relaci ( 4.406 ) pak můžeme zapsat v obvyklejším tvaru
( 4.407 )
120
pˆ ; xˆ
0. i
( 4.408 )
Říkáme, že operátor polohy a hybnosti spolu vzájemně nekomutují. To je vlastnost, která v klasické mechanice nemá obdoby a naopak je zcela běžnou v mechanice kvantové. Předpokládejme, že máme dvě nekomutující proměnné A, B. Potom Aˆ , Bˆ iCˆ .
( 4.409 )
Spočítejme střední kvadratické chyby měření. Použitá Diracova symbolika však bude podrobně vysvětlena až ve třetím dílu věnovaném vyšší algebře, takže čtenář, který s ní není dostatečně obeznámen, může následující výpočet v prvním čtení přeskočit. Pro součin kvadrátů středních kvadratických chyb měření (tzv. variancí) platí
akv bkv 2
2
2
Aˆ Bˆ Aˆ
2
Bˆ
2
2
Aˆ Aˆ
Aˆ Bˆ
2
Bˆ Bˆ
1 ˆ ˆ 1 AB Bˆ Aˆ Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ 2 2
2
2
2
1 Aˆ Aˆ ; Bˆ Bˆ 2 1 Aˆ ; Bˆ 2
2
1 1 Aˆ ; Bˆ Aˆ ; Bˆ 2 2 1 Aˆ ; Bˆ 2
2
Aˆ Bˆ
1 iCˆ 2
2
2
( 4.410 ) Po odmocnění dostáváme
121
akv bkv
1 Cˆ . 2
( 4.411 )
Dosadíme-li sem např. výsledek ( 4.408 ), máme Cˆ 1ˆ a tedy xp
1ˆ . 2 2
( 4.412 )
ve shodě s výsledkem ( 4.401 ) získaným na základě Fourierovy transformace vlnové funkce. Pozorovatelné důsledky nekomutativity některých operátorů tedy spočívají v tom, že jim odpovídající veličiny nelze měřit současně s neomezenou přesností. Matematicky tento princip poprvé formuloval německý fyzik Werner Heisenberg v roce 1928.
Werner Heisenberg (1901 – 1976)
Heisenbergův princip neurčitosti, jak se tento poznatek nazývá, říká, že součin přesnosti, s jakou měříme např. hybnost částice a současně její polohu, bude vždy větší, než polovina redukované Planckovy konstanty. Změříme-li tedy např. hybnost s přesností na 34 desetinných míst (řád Planckovy konstanty), bude již neurčitost její polohy v řádu metrů. A naopak, změříme-li velice přesně polohu, rozmaže se nám informace o hybnosti.
122
Heisenbergovy relace neurčitosti platí mezi všemi veličinami, jejichž operátory spolu vzájemně nekomutují. Platí tedy např. i mezi energií a časem:
E t , 2
( 4.413 )
o čemž se snadno přesvědčíme, pokud dosadíme odpovídající operátory do ( 4.409 ). Příklad 4: Skalární součin na prostoru funkcí Nekomutativitu kvantového světa můžeme snadno demonstrovat rovněž následujícím způsobem: vyjdeme z vlastností Fourierovy transformace, která navzájem propojuje vlnovou funkci x v souřadnicovém prostoru, s jejím Fourierovým obrazem p v impulsovém prostoru: 1 x 2
pe
px i
dp,
( 4.414 )
px 1 p x e i dx, 2
kde p označuje x-ovou komponentu impulsu. Přechod od stavového vektoru x x v souřadnicové reprezentaci k jejímu Fourierovu obrazu p p , tj. do impulsové reprezentace, lze provést velmi jednoduše:
x x x 1ˆ x
dp p
p
x p p dp .
( 4.415 ) Srovnáném ( 4.415 ) a ( 4.414 ) vidíme, že
123
px ipx 1 1 i x p e e 2 2
( 4.416 )
a úplně analogicky bychom ukázali, že px 1 p x e i . 2
( 4.417 )
Příklad 5: Prostorové rozlišení, modulační přenosová funkce Rozlišení zobrazovacího systému lze popsat prostřednictvím odezvy na bodový impuls. Obraz bodového mpulsu – PSF (Point Spread Function) – má v ideálním případě tvar gaussovského píku, u něhož stanovujeme rozlišení standardně jako FWHM (Full Widh in Half Magnitude). Obr. 4.37
F (prostorová frekvence) se udává v lp/mm (line pair per mm). Měření F lze provádět buď pomocí Siemansovy hvězdice, nebo pomocí čárových testů.
124
Obr. 4.38
MTF (modulační přenosová funkce) popisuje, jakým způsobem zobrazovací systém zaznamenává objekty se zvyšujícím se F. Při vysokém F dochází k modulaci MTF MTF lze spočítat Fourierovou transformací LSF. Pokud má LSF gaussovský průběh, rovněž i MTF má gaussovský průběh (viz příklad 1). Obr. 4.39
125
Čím je užší LSF (a tedy lepší rozlišení), tím je širší její fourierova transformace MTF (důsledek principu neurčitosti) a tím je vyšší F, jíž jsme schopni rozlišit. Obr. 4.40
Příklad 6: Nyquistovo kritérium, aliasing Matice detekčních či zobrazovacích elementů je charakterizována vzorkovací šířkou a šířkou detekčního (zobrazovaccího) elementu – obě nenulové. Dochází ke vzorkování (pixelizaci) obrazu a zprůměrování obrazu přes šířku elementu. Interval prostorových frekvencí F, které mohou být detekovány či zobrazeny, je dán Nyquistovým kritériem F ≤ 1/(2).
126
Obr. 4.41
Mějme obdélníkový puls popsaný funkcí
E pro x L f x 0 0 pro x L
( 4.418 )
Fourierova transformace obdélníkového pulzu je tedy
F k
f x e ikx dx
f x cos kx i sin kx dx
=
( 4.419 )
f x cos kx dx i f x sin kx dx.
Protože f(x) je sudá funkce, je poslední integrand lichou funkcí a jeho integrál je tudíž nulový. Máme tak
F k
L
L
sin kL E f x cos kx dx E0 cos kx dx 0 sin kx 2 E0 L kL k L L
( 4.420 )
127
Označme L vzorkovací šířku detektoru (vzdálenost středu dvou sousedních detekčních elementů), F prostorovou frekvenci (lp/mm) signálu. MTF F , L E0 L
Obr. 4.42
sin 2 L F L F
( 4.421 )
128
Je li prostorová frekvence vstupního signálu vyšší než Flim, dochází k modulaci MTF, což se projeví jako splývání struktur – aliasing. Frekvence výsledného splynutého signálu je o tolik menší než F, o kolik je větší frekvence vstupního signálu oproti F. Flim
1 2L
Obr. 4.43
( 4.422 )
129
Obr. 4.44
b) Vícerozměrné zobecnění Dvourozměrnou Fourierovu transformaci můžeme definovat v bázi z funkcí exp[−i(kx + ly)] tak, aby zůstaly zachovány vlastnosti platné pro jednoduhou transformaci. Definujeme tedy: F , f x, y f x, y 1 f t
1 2
1 2
f x, y ei x y dxdy,
( 4.423 )
F , e
i x y
d d .
130
Příklad 7 - difrakce Vyjdeme z Helmholtzovy rovnice ( 4.332 ) pro (bezčasovou) vlnovou funkci a řešme ji pomocí Greenovy integrální věty tak, že napíšeme tutéž rovnici pro funkci
0
exp i r r
,
( 4.424 )
vynásobíme ji a odečteme od první rovnice násobené 0 , čímž dostaneme 0 0 0 a aplikací Greenovy věty máme
grad 0 0 grad dS 0 .
( 4.425 )
S
Provedeme-li integraci tak, že kolem bodu r0 opíšeme malou kouli a integrál přes plochu S rozdělíme na dva, vyčíslíme hodnoty a poté budeme zmenšovat poloměr koule k nule, dostaneme tzv. Kirchhoffův integrální vztah
R
1 4
S
exp i r exp i r grad grad dS . ( 4.426 ) r r
Pro vypočítání integrálu rozdělíme integrační plochu na tři části: plochu stínítka, plochu otvoru a kulovou plochu s poloměrem hodně velkým. Budeme predpokládat, že na ploše otvoru se hodnoty a gradientu liší jen zanedbatelně od stavu bez stínítka, a že na ploše stínítka a kulové plochy je
grad 0 .
( 4.427 )
Budeme-li dále předpokládat, že vzdálenosti zdroje a bodu pozorování od bodu stínítka jsou r0 , r , dostaneme pro bodový zdroj světla tzv. Fresnelův–Kirchhoffův difrakční vzorec:
131
R
iA 2
S
exp i r r0 r S r S 0 rr0 r0 S r S
dS
( 4.428 )
kde výrazy v hranaté závorce napravo vyjadřují kosiny úhlů mezi oběma vektory.
Augustin-Jean Fresnel (1788 – 1827)
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887)
Mění-li se tento činitel v hranaté závorce jen málo (je približně cos ) a vzdálenosti r, r0 lze nahradit vzdálenostmi od počátku souřadnic (v ploše otvoru), dostaneme z ( 4.428 )
R
iA cos RR0
exp i r r0 dS
( 4.429 )
S
Rozvineme-li vzdálenosti r0, r v řadu a zanedbáme-li členy vyšších řádů než lineární (což lze provést, vzhledem k periodicitě funkce exp(x), jsou-li nelineární členy mnohem menší než 2), dostaneme vzorec ve tvaru
R B
S
exp i x y dS
( 4.430 )
132
kde , jsou směrové kosiny polohového vektoru bodu R k osám x, y. Zavedeme-li funkci amplitudové propustnosti x, y , která je jednotková v bodech otvoru a nulová mimo něj (obdélníkový puls), můžeme rozšířit integraci přes celý prostor a výsledná vlna je úměrná dvourozměrné Fourierově transformaci funkce propustnosti:
R , x, y .
( 4.431 )
Pro čtvercový a kruhový otvor je difrakční obrazec vykreslen na obr. 4.45.
Obrázek 4.45: Difrakce na čtvercovém a kruhovém otvoru.
Je však nutno upozornit, že daná metoda uvažuje pouze skalární pole, zatímco elektromagnetické pole má vektorový charakter, čímž se dopouštíme dalšího zjednodušení. Příklad 6 – Zobrazení nukleární magnetickou rezonancí – MRI Prostorové dekódování MR signálu Aby bylo možné odlišit signály vedené z různých vrstev těla, je potřeba, aby protony v různých místech reagovaly při průchodu RF pulzu o vhodné frekvenci. K homogennímu poli hlavního magnetu jsou proto přidána pole další (tzv. gradienty). Pole, jehož intenzita roste s osou těla, vytváří magnetický gradient, který umožňuje zvolit rovinu řezu, a proto je nazýván „slice selecting gradient“ (rovinu řezu určující gradient). V praxi pak například u nohou působí pole o síle 0,45 T (odpovídající
133
f = 19,160 MHz), kdežto u hlavy 0,55 T (f = 23,417 MHz). Vysláním vhodné frekvence vybíráme tedy jen řez, který chceme zobrazit. Pro řez například oblouku aorty bude mít impuls frekvenci 22,566 MHz. Regulovat tloušťku řezu pak můžeme dvěma způsoby: různým rozsahem frekvence impulsu, tedy čím větší rozsah pulsu, tím širší řez. sklonem gradientu, jinak řečeno rozsahem pole, ve kterém se tělo nachází. Zde platí, že čím strmější je gradient, tím užší řez získáme. Obr. 4.46
Jelikož jedna souřadnice k prostorovému určení nestačí, je přidáno další pole. Tentokrát je ale pole na dlouhou osu těla kolmé, a síla se tedy mění v pravolevém směru. Díky tomu budou protony umístěné v různých „sloupcích“ těla emitovat různou frekvenci. Tento gradient je nazýván „frequency encoding gradient“ (frekvenci určující gradient) či „readout gradient“ (odečítací gradient). Konečné určení bodu v prostoru poskytne třetí gradient, který však funguje poněkud odlišně. Nachází se ve směru kolmém na readout gradient, je však zapnut pouze na velice krátký okamžik před aplikací samotného readout gradientu. To ovlivní frekvenci precese jednotlivých protonů ve sloupci, avšak s ohledem na vzdálenost. Tedy ty, které byly ovlivněny polem s vyšší intenzitou, budou mít vyšší frekvenci než zbylé. Jakmile tento gradient pomine, bude Larmorova frekvence protonů ve sloupci opět stejná, jenže už nebudou kmitat ve společné fázi, ale v různé podle toho, jak moc byly gradientem ovlivněny. Tento gradient je proto nazýván „phase encoding gradient“ (fázi určující gradient). Pomocí přidaných magnetických gradientů ovlivníme precesní frekvenci a fázi spinů v závislosti na na jejich prostorové lokalizaci. Aplikací prvního, rovinu vrstvy určujícího gradientu zvolíme vrstvu, jíž budeme zobrazovat. S pomocí dalších dvou na sebe kolmých
134
gradientů nastavíme frekvenci a fázi signálu v jednotlivých voxelech tak, abychom dokázali signál prostorově dekódovat. Obr. 4.47
Obr. 4.48
Matice získaných dat tvoří k-prostor. Vodorovně (k1) máme jednotlivé FIDy (obsahují frekvenční kódování). Ve sloupcích (k2) máme informaci zakódovanou fázově.
135
Obr. 4.49
Po Fourierově transformaci v obou dimenzích získáme obraz. Obr 4.50
Frekvenční k-prostor V prostorové oblasti, obvyklém eukleidovském prostoru (r-prostoru), je obraz zobrazované veličiny F popsán distribuční funkcí, neboli polem, F(x,y,z). Ve vektorovém zápisu, zavedením prostorového vektoru r, je tato funkce F(r). Obecnou Fourierovou transformací vzniká nová distribuční funkce k
F r e 2 ikr dr ,
( 4.432 )
V
kde k = (k1, k2, k3) je vlnový vektor. Integruje se přes prostorovou oblast V. Distribuční funkce k je definována v novém lineárním 3-rozměrném vektorovém prostoru. Prostorová F(k) i frekvenční k distribuční funkce nesou tutéž
136
informaci a souvisejí spolu přímou a inverzní Fourierovou transformací. Z matematického hlediska tedy z běžného metrického eukleidovského r-prostoru fourierovskou transformací vzniká nový "frekvenční" prostor, označovaný někdy jako k-prostor (k-space). Obr. 4.51
Název vznikl podle toho, že po Fourierově transformaci je novou nezávisle proměnnou "vlnový" vektor k (obecně komplexní). Abstraktní k-prostor je v jistém smyslu "reciproční" k obvyklému fyzikálnímu r-prostoru. Výstavba MR obrazu Z rozdílů frekvence a fáze složek MR signálu lze Fourierovou transformací rekonstruovat informaci o poloze zdroje signálu. Každý MR signál získaný s konkrétní hodnotou fázi určujícího gradientu, představuje jednu řádku (vektor) dat v matici k-prostoru.
137
Obr. 4.52
Obr. 4.53
138
Vlastnosti k-prostoru Obr. 4.54
k-prostor nese úplnou informaci o MR obrazu zakódovanou ve frekvenční oblasti Obr. 4.55
Vysoké frekvence jsou zásadní pro kontrast obrazu, chybí však ostrost kontur
139
Obr. 4.56
Nízké frekvence nesou informaci o konturách, chybí však kontrast Příklad 7 – Zobrazení výpočetní tomografií – CT Jak znázorňuje obrázek 4.57, při CT projekci tvoří každý bod objektového prostoru sinusoidu v tzv. Radonově prostoru. Obr. 4.57
140
Reprezentací objektu v Radonově prostoru je 2D soubor všech projekcí p r jednotlivých bodů objektu pro všechny úhly , zvaný sinogram (viz obr. 4.58). Obr. 4.58
Přechod z objektového prostoru, v němž je poloha každého bodu objektu popsána souřadnicemi x, y, do Radonova prostoru, v němž je poloha téhož bodu popsána souřadnicemi r , , nazýváme Radonovou transformací. Jsou-li r, s nové souřadnice bodu v bázi, jež je vzhledem k původní bázi pootočena o úhel , potom mezi souřadnicemi bodu v jeho původní bázi (x, y) a jeho souřadnicemi v nové bázi (r, s) platí známé převodní vztahy r cos sin x s sin cos y , x cos sin r y sin cos s .
( 4.433 )
Cílem je rekonstrukce obrazu původního objektu ze sinogramu, neboli výpočet inverzní Radonovy transformace. Matematickým
141
vyjádřením Radonovy transformace je Fourierova transformace projekcí objektu. Objekt je na sinogramu reprezentován sumou sinů s různým k, neboli Fourierovým obrazem F k1 , k2 F f x, y
f x, y e
2 i k x x k y y
dxdy ,
( 4.434 )
kde k x k cos , k y k sin ,
( 4.435 )
k k x2 k y2 .
Inverzní Fourierovou transformací F1 F k x , k y f x, y
( 4.436 )
je z Fourierova obrazu získán původní objekt f x, y . Pro výpočet zpětné rekonstrukce je využíván tzv. Fourier central slice theorem, který říká, že jednodimenzionální Fourierova transformace projekce p r je rovna dvojdimenzionální Fourierově transformaci objektu v k-prostoru. Hodnoty souboru jednodimenzionální Fourierovy transformace řádků sinogramu se tedy rovnají hodnotám dvojdimenzionální Fourierovy transformace zobrazovaného objektu, čili P k , F p r
p r e 2 ikr F k x , k y .
( 4.437 )
