Elektromagnetické vlny, antény a vedení

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Elektromagnetické vlny, antény a vedení

Garant předmětu: Doc. Ing. Zdeněk Nováček, CSc. Autor textu: Doc. Ing. Zdeněk Nováček, CSc.

Brno

1.9. 2007

2

FEKT Vysokého učení technického v Brně

Obsah 1

ÚVOD..................................................................................................................................4

2

ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU..........................................5 2.1 ÚVOD DO PŘEDMĚTU ....................................................................................................... 5 2.2 VSTUPNÍ TEST ................................................................................................................. 5

3

ROVINNÁ UNIFORMNÍ VLNA .....................................................................................6

4

NAPĚTÍ, PROUDY A VÝKONY NA VEDENÍ ...........................................................12

5

TRANSFORMACE IMPEDANCE VEDENÍM, SMITHŮV DIAGRAM .................22

6

PŘIZPŮSOBOVÁNÍ IMPEDANCÍ...............................................................................26

7

ANTÉNY...........................................................................................................................34 7.1 SYMETRICKÝ DIPÓL ....................................................................................................... 34 7.2 ZÁŘENÍ SOUSTAV ANTÉN ............................................................................................... 37 7.3 PARAMETRY ANTÉN ...................................................................................................... 47

8

ŠÍŘENÍ ELEKTROMAGNETICKÝCH VLN .............................................................52

9

ODRAZ VLN....................................................................................................................60

10 VEDENÍ, VLNOVODY A JEJICH APLIKACE .........................................................69 11 DODATKY .......................................................................................................................75 11.1 VÝSLEDKY VSTUPNÍHO TESTU ....................................................................................... 75 11.2 VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ................................................................................................... 75 11.2.1 Kapitola 3.................................................................................................. 75 11.2.2 Kapitola 4.................................................................................................. 75 11.2.3 Kapitola 5.................................................................................................. 76 11.2.4 Kapitola 6.................................................................................................. 76 11.2.5 Kapitola 7.................................................................................................. 76 11.2.6 Kapitola 8.................................................................................................. 78 11.2.7 Kapitola 9.................................................................................................. 78 11.2.8 Kapitola 10................................................................................................ 79

Elektromagnetické vlny, antény a vedení - příklady

3

Seznam obrázků OBR. 4.1: OBR. 5.1: OBR. 6.1: OBR. 6.2: OBR. 6.3: OBR. 7.1: OBR. 7.2: OBR. 7.3: OBR. 7.4: OBR. 7.5: OBR. 7.6: OBR. 7.7: OBR. 8.1: OBR. 8.2: OBR. 8.3: OBR. 9.1: OBR. 9.2: OBR. 9.3: OBR. 10.1: OBR. 10.2:

NAPĚTÍ A PROUDY NA VEDENÍ ............................................................................12 IMPEDANCE NA STYKU VEDENÍ V KASKÁD .........................................................24 PŘIZPŮSOBOVACÍ OBVOD SE ČTVRTVLNNÝM TRANSFORMÁTOREM ....................26 PŘIZPŮSOBOVACÍ OBVOD SE SÉRIOVÝM PAHÝLEM .............................................27 PŘIZPŮSOBENÍ PARALELNÍM PAHÝLEM ..............................................................28 SYMETRICKÝ DIPÓL VE SFÉRICKÉ SOUŘADNÉ SOUSTAVĚ ...................................34 DIPÓL S RAMENY ROVNOBĚŽNÝMI S OSOU X .....................................................36 ANTÉNNÍ SOUSTAVA ..........................................................................................37 TŘI ROVNOBĚŽNÉ DIPÓLY ..................................................................................39 SOUSTAVA ANTÉN S REFLEKTOREM ...................................................................41 SOUSTAVA ČTYŘ DIPÓLŮ....................................................................................42 SMĚROVÉ ÚHLY .................................................................................................46 ODRAZ VLN OD IONOSFÉRICKÉ VRSTVY .............................................................53 KŘIVKY ŠÍŘENÍ POVRCHOVÉ VLNY ( PΣ.D = 1 W) ..............................................54 MĚSÍČNÍ IONOSFÉRICKÁ PŘEDPOVĚĎ .................................................................55 ODRAZ VLN NA ROVINNÉM ROZHRANÍ ...............................................................60 ŠÍŘENÍ VLN VE VRSTEVNATÉM PROSTŘEDÍ .........................................................66 DVĚ DIELEKTRICKÉ DESKY ................................................................................68 TŘÍVODIČOVÉ VEDENÍ ........................................................................................70 PŘÍKLADY VEDENÍ .............................................................................................72

4


1 Úvod V každém oboru lidské činnosti, a tím více i při studiu dosud méně běžných zákonitostí, je nutné nové poznatky nejen získat, ale naučit se je také pohotově a bezchybně používat. Po úvodním seznámení s problémem nutně musí následovat jeho pochopení a osvojení. K seznámení s typickými situacemi, jejich řešením a obvyklými hodnotami hlavních veličin slouží numerická cvičení, věnovaná řešení příkladů konkrétních situací. Cílem je, vedle osvojení standardních postupů a rozvíjení tvůrčího myšlení, také procvičování početních dovedností – schopnosti bezchybně provádět potřebné matematické úpravy a výpočty a průběžně srovnávat získávané výsledky s předpokládanými. Tato činnost je poměrně časově náročná a vyžaduje aktivní pozornost studentů. Její podcenění však vede k problémům při písemných formách ověřování znalostí, ale především k potížím při praktické aplikaci získaných poznatků v konkrétních situacích. V numerických cvičeních je možno pouze na typickém příkladu ukázat hlavní části řešení a diskutovat získané výsledky. Seznámení se s obvyklými modifikacemi situací a jejich řešením je však nutno zvládnout řešením dalších příkladů formou samostatného studia. V řadě situací si tyto modifikace mohou studenti tvořit sami, chybí však zpětná vazba informace o správnosti postupu a výsledků. Pomůckou tak může být sbírka příkladů doplněných hlavními výsledky a v nutných případech i náznakem postupu řešení. Při výběru příkladů k řešení je třeba dbát na to, aby postupně pokryly celou problematiku včetně modifikací vstupních údajů a postupů řešení. Neméně důležité je skutečné výpočtové zvládnutí řešení, které má přinést potřebnou zběhlost v rutinních operacích a jistotu správného výsledku s možností soustředit pozornost na postup řešení a jeho výsledky. Teprve po dosažení této úrovně je možné řešení dalších příkladů postupně redukovat na sestavení sledu vztahů bez dosazování konkrétních číselných hodnot. V textu je každému tématu věnována zvláštní kapitola. V úvodu kapitoly je vždy uveden stručný souhrn nejdůležitějších vztahů, souvisejících s probíranou látkou. Ten také umožní omezit počet vztahů, které je třeba si pamatovat. Z nich je možno snadno získat další vztahy používané při výpočtech. Ve vztazích jsou, stejně jako v přednáškovém skriptu [1], vektory značeny tučnými písmeny a skalární veličiny kurzívou. Pro zdůraznění komplexního charakteru veličiny je možno použít vlnovku nad symbolem. Jednotky jsou pak uváděny v lomených závorkách. Jeden nebo více příkladů s uvedeným postupem řešení je pak doplněn řadou zadání dalších příkladů s výsledky řešení. Pro snadnou orientaci jsou tyto výsledky zařazeny za zadáním každého příkladu. Výběr příkladů odpovídá snaze poskytnout dostatek materiálu a podnětů pro samostatné studium a zahrnuje zkušenosti z konzultací studentů i hlavních problémů při řešení písemných testů a zkouškových písemek. Tento výsledek však nutně odráží především dosavadní zkušenosti autora z výuky uvedeného předmětu. Pro zkvalitnění této pomůcky je však rovněž nutná zpětná vazba reflektující zkušenosti a názory studentů. Vaše náměty a výhrady k obsahu a zpracování textu budou podle možnosti využity při dalších úpravách tohoto textu.


5

2 Zařazení předmětu ve studijním programu Předmět Elektromagnetické vlny, antény a vedení je v programu bakalářského studia zařazen do letního semestru 2. ročníku studia. Navazuje především na poznatky o vlastnostech vlnění a metodách jejich sledování, probírané v předmětech Fyzika 1 a Fyzika 2 v prvním ročníku studia. Základem pro další studium je znalost a pochopení jevů popsaných Maxwellovými rovnicemi. Matematický základ, obsažený v předmětech Matematika 1 a Matematika 2 zahrnuje rozšířené poznatky z oblasti diferenciálního a integrálního počtu a základy vektorového počtu. Zde je důležitá schopnost pracovat se základními vektorovými operátory alespoň v kartézské a válcové souřadné soustavě.

2.1 Úvod do předmětu Učební text rozvíjí dříve získané poznatky především v oblasti vyzařování elektromagnetických vln, jejich šíření prostorem a vedení pomocí základních struktur. Na poznatky o šíření rovinné vlny v homogenním prostředí navazuje sledování jevů při jejich šíření ve vrstevnatém prostředí a využití Fresnelovy difrakce. Analýza napěťových, proudový a výkonových poměrů na dvouvodičovém vedení a řešení transformace impedance vedením je doplněna návrhem základních typů přizpůsobovacích obvodů. Dále jsou sledovány vlastnosti a provedení základních typů vedení včetně kovových vlnovodů a jejich aplikace. Vyzařování vln pak pokrývá analýza záření jednoduchých antén a jejich soustav a využití parametrů antén. Získané znalosti jsou základem pro studium navazujících předmětů v bakalářském studiu a pro aplikaci poznatků při řešení úloh tohoto zaměření. Proto je při řešení příkladů výrazně omezeno využívání především vektorového počtu a některých partií vyšší matematiky. Je však nutno si uvědomit, že v navazujícím magisterském studiu bude předpokládána znalost i těchto technik řešení.

2.2 Vstupní test Obsah testu je zaměřen na připomenutí základních poznatků z elektrostatiky a elektromagnetismu, které jsou v dalších částech využívány. Výsledky vstupního textu jsou uvedeny v dodatku v závěru tohoto textu. 1. Vodivý válec konečné délky je nabit elektrickým nábojem. Ve kterém místě jeho povrchu bude mít elektrické pole největší intenzitu? 2. Jaká je vzájemná poloha ekvipotenciálních ploch a siločar elektrického pole? 3. Kde začínají a kde končí siločáry magnetického pole? 4. Při jaké vzájemné poloze siločar magnetického pole a roviny smyčky se ve smyčce bude indukovat největší napětí? 5. Jak se v homogenním magnetickém poli změní napětí indukované v kruhové smyčce a) po zmenšení jejího průměru na polovinu b) při zvýšení kmitočtu na dvojnásobek

6


3 Rovinná uniformní vlna Šíření rovinné vlny o kmitočtu f prostředím s permitivitou ε , permeabilitou μ a ~ vodivostí γ je charakterizováno vlnovým číslem k , pro které platí vztah ~ k = k ′ − jk ′′ = ω ε~.μ ( 3.1 ) kde k´ [rad.m-1] jsou měrná fáze a k´´ [m-1] měrný útlum ve směru šíření vlny. Symbolem ε~ je označena komplexní permitivita prostředí, pro kterou platí vztah

ε~ = ε − j

γ ω

( 3.2 )

Směr šíření vlny je určen vlnovým vektorem k = k . ko , kde ko je jednotkový vektor ve směru šíření vlny. Ve směru určeném úhlem α (od směru šíření vlny) bude vlnové číslo dáno průmětem vektoru k do zadaného směru α podle vztahu k (α ) = k . cos α

( 3.3 )

Délka vlny λ a fázová rychlost vlny vf jsou pak ve směru α dány vztahy

λ (α ) =

2π k ′(α )

( 3.4 )

v f (α ) =

ω = λ (α ). f k ′(α )

( 3.5 )

Při šíření vlny homogenním prostředím s parametry ε , μ a γ se intenzita elektrického pole E(A) v místě A o souřadnicích (xA , yA , zA ) změní v místě B se souřadnicemi (xB , yB , zB ) na intenzitu E(B) podle vztahu E(B)=E(A).exp[-j k.(rB -rA)] H(B)=H(A).exp[-j k.(rB -rA)]

( 3.6 a,b )

kde v exponentech je skalární součin vlnového vektoru k s vektorem změny polohy (rB -rA). Tento skalární součin je v kartézském systému určen vztahem k.(rB -rA) = kx.(xB – xA) + ky.(yB – yA) + kx.(zB – zA)

( 3.7 )

Intenzita magnetického pole H se mění stejně jako intenzita elektrického pole E , neboť poměr obou intenzit pole ve stejném místě homogenního prostředí je roven charakteristické impedanci tohoto prostředí Zo Zo =

E μ = ~ H ε

( 3.8 )

Elektromagnetická vlna nese výkon, jehož plošná hustota je dána Poyntingovým vektorem П podle vztahu П =E x H *

( 3.9 )

kde hvězdička označuje komplexně sdruženou hodnotu intenzity magnetického pole H . Jsou-li oba vektory intenzity pole navzájem kolmé, přejde jejich vektorový součin v ( 3.9 ) ve skalární násobení fázorů E a H . Výkon procházející plochou S , jejíž normála (kolmice k této ploše) svírá se směrem šíření vlny úhel α , je dán vztahem

Elektromagnetické vlny, antény a vedení - příklady P = П.S = П. S.cos α

7 ( 3.10 )

Dosazením parametrů volného prostoru εo = 10-9/36π [F/m] a μo = 4π.10-7 [H/m] do předchozích vztahů dostaneme další užitečné výrazy λo = 300/f [ m ; MHz] ε~ = ε kr .ε o = (ε r − j 60.λO .γ ).ε o ~ k = (2π λo ). (ε r − j 60.λo .γ ).μ r Z o = 120π . μ r (ε r − j 60.λo .γ ) Tyto vztahy nejsou pro výpočty nezbytné, usnadní však dosazování a kontrolu výsledků, zvláště u prostředí s nulovou vodivostí γ . Příklad 3.1 Rovinná vlna o kmitočtu 1 MHz se šíří prostředím εr = 10, μr = 1, γ = 10-3S/m (suchá půda) ve směru odchýleném o 30o od osy x . V bodě A[x = 2 m, y = 1 m] má vlna intenzitu pole E(A) = 0,2.exp(j45o). Vypočtěte: a) intenzitu pole E(B) v bodě B[x = 10 m, y = -2 m] b) intenzitu pole H(B) c) vlnovou délku a fázovou rychlost ve směru odchýleném o 60o od osy x d) velikost výkonu, který v bodě B prochází plochou 0,2 m2 rovnoběžnou s rovinou zy e) v jaké vzdálenosti ve směru y klesne intenzita pole na 10% výchozí hodnoty f) souřadnice bodu D [2, yD] , ve kterém má vlna E fázi -π g) výkon, který se ztratí v krychli o hraně a = 1 m, jejíž vstupní stěna leží v bodě B a je kolmá na směr šíření vlny Řešení a) Intenzita elektrického pole v bodě B je dána vztahem ( 3.6 a )

E(B) = E(A).exp(-jk.rBA) Vlnové číslo vypočteme dosazením do ( 3.1 ), oddělíme reálnou a imaginární část a vypočteme složky vlnového vektoru k ve směrech os x a y . γ⎞ 2π ⎛ k = ω εˆ μ = ω ⎜ ε − j ⎟.μ = 6 . ω⎠ 10 ⎝

⎛ 10 −9 10 −3 ⎞ ⎟.1.4π .10 −7 = (0,082 − j 0,048)m −1 = k ′ − jk ′′ ⎜⎜10. −j 6 ⎟ 2π .10 ⎠ ⎝ 36.π

rozklad k do směrů x , y k´x = k´.cosα =0,082.cos30o = 0,071 rad/m = 4,07 o/m ký = k´.sinα = 0,082.sin30o = 0,041 rad/m = 2,35 o/m k´´x = k´´.cosα = 0,048.cos30o = 0,0416 m-1 k´ý = k´´.sinα = 0,048.sin30o = 0,024 m-1 pak skalární součin k.rBA získáme dosazením do ( 3.7 ) k.rBA = (k´x-jk´´x).(xB – xA) + (ký-jk´ý).(yB – yA) = = (0,071- j 0,0416).(10 - 2)+(0,0416 - j0,024).(-2 – 1) = = 0,445 – j.0,261 = 25,5o – j.0,261

a podle ( 3.6 a ) vypočteme intenzitu elektrického pole v bodě B E(B) = E(A).exp(-jk.rBA) = 0,2.exp(j45o).exp(-0,77).exp(-j 25,5o) = 0,154.exp(j19,5o) V/m

8


b) Intenzita magnetického pole v bodě B je dána vztahem ( 3.6 b ). Nejprve však musíme určit charakteristickou impedanci prostředí Zo podle ( 3.8 ), vypočítat ze zadané hodnoty E(A) intenzitu magnetického pole ve stejném místě a pak, stejně jako v předchozím, ji do bodu B transformovat vztahem ( 3.6 b ). Protože ale poměr intenzit polí je v každém místě homogenního prostředí určen vztahem ( 3.8 ), bude snadnější určit intenzitu magnetického pole H(B) přímo z dříve již vypočtené intenzity elektrického pole E(B). Zo =

μ = εˆ H (B ) =

μ 1.4π .10 −7 = 83,1.exp(j30,5o) Ω = −9 −3 6 (ε − j γ ω ) 10.10 36π − j 10 2π .10

( (

) )

E (B ) 0,154. exp j 19,5 o = 1,85.10-3.exp(-11o) A/m = Zo 83,1. exp j 30,5 o

c) Vlnovou délku a fázovou rychlost ve směru odchýleném o 60o od osy x vypočteme pomocí vztahů ( 3.4 ) a ( 3.5 ) dosazením měrné fáze k´(α) určené podle vztahu ( 3.3 ) pro úhel α sevřený směrem šíření vlny a zadaným směrem α = (30o – 60o) = -30o . Pro srovnání jsou vpravo uvedeny hodnoty λ a vf vypočtené pro směr shodný se směrem šíření vlny dosazením měrné fáze k´ = 0,082 rad.m-1 . k ′(α ) = k ′. cos(α ) = 0,082.cos(-30o) = 0,071 rad.m-1

λ (α ) =

2π 2π = = 88,4 m k ′(α ) 0,071

v f (α ) = λ (α ). f = 88,4.106 m/s

λ=

2π 2π = = 76,6 m k ′ 0,082

v f = λ. f = 77,6. 106 m/s

d) Velikost výkonu, který v bodě B prochází plochou 0,2 m2 rovnoběžnou s rovinou zy vypočteme pomocí vztahu ( 3.10 ) dosazením hodnoty hustoty výkonu (Poyntingova vektoru) vypočtené pomocí ( 3.9 ). Normála (kolmice k ploše S ) má směr osy x a úhel α mezi ní a směrem šíření je roven α = 60o . Protože směr šíření vlny známe (určuje i směr Poyntingova vektoru), můžeme uvažovat skalární veličiny (včetně jejich fázového posuvu). Π(B) = E(B).H(B)* = 0,154.exp(j19,5o).1,85.10-3.exp(+j11o) = = 0,285.10-3.exp(30,5o) = (0,246 + j0,145) mW/m2 P(B) = Π(B).S.cos α = 0,285.10-3.exp(30,5o).0,2.cos 60o = (24,6 + j 14,5) μW e) V jaké vzdálenosti ve směru y klesne intenzita pole na 10% výchozí hodnoty? Rovnici ( 3.6 a,b ) zapíšeme v polárním tvaru (pro některou z intenzit pole) a oddělíme modulovou část. Do výrazu |E(C)| = |E(A)|.exp(-k´´.rCA) , dosadíme zadanou hodnotu poměru |E(C)|/|E(A)| = 0,1 a upravíme vztah pro skalární součin k´´.rCA k´´.rCA = k´´x.(xC – xA) + k´ý.(yC – yA) = k´´x.(0) + k´ý.(yC – yA) = k´ý. Δy = 0,024. Δy

Pak

Δy = −

1 E (C ) 1 . ln = . ln 0,1 = 95,9 m k ′y′ E ( A) 0,024

f) Při hledání souřadnice bodu D [2, yD] , ve kterém má vlna E fázi -π, využijeme argumentovou část rovnice ( 3.6 a ) arg[E(D)] = arg[E(A)] – [kx´.(xD – xA) + ky´.(yD – yA)] . Dosazením hodnot měrné fáze a souřadnic bodu A dostaneme -180o = 30o – [4,07.( 2 – 2) + 2,35. (yD – 1)] Další body mají souřadnice yD ± n.λy

yD = 90,4 m


9

g) Do krychle vstupuje výkon P1 = Π(B).a2 = 0,285.10-3.exp(30,5o).12 = 0,285.10-3.exp(30,5o) = (0,246+j0,145) mW vypočtený v bodě d) z intenzitě pole E(B) = E1 = 0,154.exp(j19,5o) = 0,154.exp(j.0,34) V/m (s fází udanou v radiánech). Odpovídající bod výstupní stěny krychle leží ve vzdálenosti a = 1 m ve směru šíření vlny a intenzita pole E2 v něm bude rovna E2 = E1.exp(-jka) = 0,154.exp(j.0,34).exp[-j(0,082-j0,048).1] = = 0,154.exp(j.0,34).exp(-j.0,082).exp(-0,048) = = 0,147.exp(j0,258) = 0,147.exp(j14,8o) V/m Komplexně sdruženou hodnotu intenzity magnetického pole H2* vypočteme z intenzity E2 dosazením H 2* = E 2* Z o = 0,147. exp(− j14,8o ) 83,1.exp(j30,5o ) = 1,77.10 −3. exp(− j 45,3o ) A/m Pak hustota výkonu na výstupní stěně krychle bude Π2 = E2 . H2* = 0,147.exp(j14,8o).1,77.10-3.exp(-j45,3o) = 83,05.exp(-j30,5o) = = (71,9 – j 42,4) μW/m2 Výkon Pz ztracený v krychli udává rozdíl reálných částí výkonů P1 a P2 = Π2 .a2 Pz = Re{ P1 - Π2. a2) = (246 - 71.9.12).10-6 = 174,1 μW Poznámka: Při výpočtu hustoty výkonu je možno využít také upraveného vztahu ( 3.9 ) 2

E* E Π = E.H = E. = Zo Zo kde postačí znalost modulu intenzity elektrického pole odpovídající vztah s intenzitou magnetického pole H . *

E . Podobně je možno získat i

Příklad 3.2

Rovinná vlna o kmitočtu 50 MHz se šíří prostředím εr = 2, μr = 4, γ = 10-2 S/m ve směru osy x . V bodě A [x = 1 m, y = 0,5 m] má vlna intenzitu E = 100 mV/m. Vypočtěte: a) intenzitu pole H v počátku souřadné soustavy b) vlnovou délku a fázovou rychlost ve směru odchýleném o úhel α = 30o od osy x c) velikost výkonu, procházejícího plochou 100 cm2 v rovině zy v počátku soustavy Příklad 3.3

Rovinná vlna o kmitočtu 20 MHz se šíří prostředím εr = 9, μr = 1, γ = 5.10-3 S/m ve směru osy y . V bodě A [x = 2 m, y = 1 m] má vlna intenzitu pole H = 2 mA/m. Vypočtěte: a) souřadnice bodu na ose y , ve kterém má vlna intenzitu pole E = 1 V/m b) délku vlny ve směru α = 60o od osy x c) hustotu výkonu v bodě A

10

FEKT Vysokého učení technického v Brně Příklad 3.4

Rovinná vlna o kmitočtu 10 MHz se šíří prostředím εr = 4, μr = 2, γ = 5.10-3 S/m ve směru α odchýleném o 120o od osy x . V bodě A [x = 2 m, y = 0 m] má vlna intenzitu pole H = 1mA/m. Vypočtěte: a) intenzitu pole E v počátku souřadnic b) souřadnice bodů na ose y , ve kterých má vlna stejnou fázi jako v počátku c) jak velký činný výkon se ztrácí v krychli o straně 1 m, umístěné vstupní stěnou v počátku souřadnic, kolmo na směr šíření vlny Příklad 3.5

Rovinná vlna o kmitočtu 6 MHz se šíří prostředím εr = 4, μr = 1, γ = 2.10-3 S/m ve směru α odchýleném o 300o od osy x . V počátku souřadnic má vlna intenzitu pole E = 1 V/m. Vypočtěte: a) jak se změní amplituda a fáze vlny na dráze 5 m ve směru osy x b) jak se vzájemně liší fáze vlny E a H v bodě A [x = 10 m, y = 5 m] c) jak velký činný výkon prochází plochou 0,5 m2 kolmou na směr osy x v bodě A Příklad 3.6

Rovinná vlna o kmitočtu 90 MHz se šíří prostředím εr = 8, μr = 1, γ = 10-2 S/m ve směru α odchýleném o 45o od osy x . V počátku souřadnic má vlna intenzitu pole H = 5 mA/m. Vypočtěte: a) intenzitu pole E v bodě A [x = -2 m, y = 0 m] b) fázovou rychlost vlny ve směru osy y c) hustotu energie v počátku souřadnic Příklad 3.7:

Rovinná vlna o kmitočtu 5 MHz se šíří prostředím εr = 9, μr = 1, γ = 0 ve směru odchýleném o 210o od osy x . V počátku souřadnic má vlna intenzitu pole H = 20 mA/m. Vypočtěte: a) b) c) d)

intenzitu pole E v bodě A [x = 10 m, y = -2 m] vlnovou délku ve směru osy y tok energie plochou 0,1 m2, ležící v rovině kolmé na směr y polohu bodů na ose y, ve kterých bodech má intenzita pole H stejnou fázi jako v počátku souřadnic

Řešení:

Vzhledem k nulové vodivosti prostředí bude výhodné použít pro výpočet vlnového čísla k a charakteristické impedance prostředí Zo upravených vztahů ( 3.1 ) a ( 3.8 ) ve tvaru


k=

2π

λo

11

. ε r .μ r

( 3.11 )

μr εr

( 3.12 )

Z o = 120π .

kde λo = 300/f je délka vlny [m] ve volném prostoru s parametry εo a μo při kmitočtu f [MHz] . Pro zadané parametry pak dostaneme λo = 300/f = 300/ 5 = 60 m 2π 2π k = k′ = . ε r .μ r = . 9.1 = 0,314 rad/m = 18 o / m ; k´´ = 0 λo 60

μr 1 = 120π . = 40π = 125,7 Ω εr 9 a) Pomocí vztahu ( 3.6 b ) přepočteme intenzitu magnetického pole H(0) v počátku souřadnic na intenzitu pole H(A) v bodě A a podle vztahu ( 3.8 ) převedeme na intenzitu elektrického pole E(A) . Z o = 120π .

H(A) = H(0).exp(-jk.rA0) k´x = k´.cosα =18.cos210o = - 15,6 o/m ký = k´.sinα = 18.sin210o = - 9 o/m k.rA0 = k´x .(xA– 0) + ký .(yA – 0) = (-15,6).(10 – 0) + (-9).(-2 – 0) = -147o

H(A) = H(0).exp(-jk.rA0) = 2.10-2.exp[-j.(-147o)] = 20.exp(j147o) mA/m E(A) = Zo.H(A) = 40π.2.10-2.exp(j147o) = 2,51.exp(147o) V/m b) vlnovou délku ve směru osy y získáme dosazením měrné fáze ký ve směru této osy do vztahu ( 3.4 ) . Pokud hledáme vlnovou délku jako vzdálenost, dosazuje se absolutní hodnota měrné fáze. 2π 360 λy = = = 40 m k ′y −9 c) Hustotu výkonu získáme dosazením do ( 3.9 ). Zadaná rovina má normálu ve směru osy y a úhel α ve vztahu ( 3.10 ) je pak α = (210o – 90o) = 120o. П(A) = E(A).H*(A) = 2,51.exp(j147o).0,02.exp(-147o) = 50,2 mW/m2 P(A) = П(A).S.cos α = 5.02.10-2.0,1.cos 120o = 2,5 mW d) Polohu bodů na ose y, ve kterých bodech má intenzita pole H stejnou fázi jako v počátku souřadnic získáme z argumentové části rovnice ( 3.6 b ). Dosazením souřadnic výchozího bodu (počátku souřadnic) a nulové změny souřadnice x pro body na ose y dostaneme arg[H(C)] = arg[H(0)] – [kx´.(0 – 0) + ky´.(yC – 0)] „Stejnou“ fázi mají intenzity pole při arg[H(C)] - arg[H(0)] = 0 + 2n.π (kde n je celé číslo) a souřadnice yC těchto bodů budou yC =

2nπ n.360 o = = n.40 m k ′y −9

Všimněme si, že výsledek je shodný s násobky délky vlny ve směru y , vypočtené v části b).

12

FEKT Vysokého učení technického v Brně Příklad 3.8

Rovinná vlna o kmitočtu 20 MHz se šíří prostředím εr = 2, μr = 4, γ = 0 ve směru odchýleném o 30o od osy y (2. kvadrant). V počátku souřadnic má vlna intenzitu pole E(0) = 20.exp(-j30o) mV/m. Vypočtěte: a) intenzitu magnetického pole v počátku souřadné soustavy b) ve kterých bodech na ose x má vlna nulovou fázi (min. 3 body) c) fázovou rychlost ve směru osy y Příklad 3.9

Rovinná vlna o kmitočtu 30 MHz se šíří prostředím εr = 4, μr = 4, γ = 0 ve směru osy y . V bodě A [x = 15m, y = 12 m] má vlna intenzitu pole E = 1 V/m. Vypočtěte: a) intenzitu pole E v bodech B [x = 5 m , y = 12 m] a C [ x = 20 m , y = 5 m] b) fázovou rychlost ve směru odchýleném o 30o od osy x c) tok energie plochou 10 dm2, kolmou na směr zadaný v části b)

4 Napětí, proudy a výkony na vedení Homogenní dvouvodičové vedení (Obr. 4.1) má po celé délce stálé parametry. Jeho vlastnosti obvykle popisují charakteristická impedance Zov [Ω] a konstanta šíření γ = β + j α [m-1] určená měrnou fází α [rad/m] a měrným útlumem β [m-1].

Ip

Ip ,Ip

Up Up Up

Ik

Ik ,Ik

Z ov , γ , l

Zk ζ

z

Uk Uk Uk

l

Obr. 4.1: Napětí a proudy na vedení

Činitel zkrácení ξ udává poměr délky vlny na vedení λv k délce vlny ve volném prostoru λo = c/f při stejném kmitočtu signálu f . Měrná fáze α je pak také určena vztahem

α=

2π

λv

( 4.1 )

Při obecné zátěži s impedancí Zk [Ω] se podél vedení šíří od zdroje k zátěži vlna r r s s postupná (přímá) U , I a od zátěže ke zdroji vlna odražená U , I . Šipky nad symboly veličin znázorňují směr šíření vlny vzhledem k situaci na Obr. 4.1. Výsledné napětí U je v každém místě na vedení dáno součtem napětí postupné a odražené vlny, výsledný proud I je, vzhledem k opačným směrům šipek v Obr. 4.1, rozdílem proudů postupné a odražené vlny. Poměr napětí odražené a postupné vlny určuje činitel odrazu ρ v uvažovaném místě. Na konci vedení (v místě připojení zátěže Zk ) je

Elektromagnetické vlny, antény a vedení - příklady s U k Z k − Z ov ρk = r = U k Z k + Z ov

13

( 4.2 )

Stejný výsledek dostaneme (při respektování směrů proudů) i z poměru odražené a postupné vlny proudu. Výsledné napětí Uk a proud Ik na konci vedení jsou pak dány vztahy r s r U k = U k + U k = U k .(1 + ρ k ) r s r ( 4.3a,b ) I k = I k − I k = I k .(1 − ρ k ) Poměr napětí a proudu postupné nebo odražené vlny je v každém místě na vedení roven charakteristické impedanci Zov vedení r s U U r = s = Z ov ( 4.4 ) I I avšak poměr výsledného napětí a proudu je dán impedancí Z(ζ) v uvažovaném místě. Na konci vedení je tedy roven impedanci zátěže Zk U Zk = k ( 4.5 ) Ik Ve vzdálenosti ζ od konce vedení je výsledné napětí U(ζ) součtem napětí postupné a odražené vlny, výsledný proud I (ζ) pak rozdílem proudů postupné a odražené vlny. r s r s U (ζ ) = U (ζ ) + U (ζ ) = U k . exp(+ γζ ) + U k . exp(− γζ ) ( 4.6a,b ) r s r s I (ζ ) = I (ζ ) − I (ζ ) = I k . exp(+ γζ ) − I k . exp(− γζ ) Pro postupnou vlnu jde o transformaci ve směru opačném ke směru šíření této vlny a v exponentu je pak znaménko odpovídajícího součinu opačné. Podobně jako v ( 4.2 ) je hodnota činitele odrazu ρ(ζ) ve vzdálenosti ζ od konce vedení určena poměrem napětí (nebo proudu) odražené a postupné vlny. Pro přímou transformaci činitele odrazu po vedení je možno pomocí vztahů ( 4.2 ) a ( 4.6a,b ) upravit poslední výraz do tvaru s U (ζ ) Z (ζ ) − Z ov = = ρ k . exp(− 2γζ ) ρ (ζ ) = r ( 4.7 ) U (ζ ) Z (ζ ) + Z ov Také impedance Z(ζ) je dána poměrem (výsledného) napětí a proudu v místě ζ . Využitím vztahů ( 4.6a,b ) a ( 4.2 ) je možno základní vztah dále upravit do tvaru

Z (ζ ) =

U (ζ ) 1 + ρ (ζ ) = Z ov . I (ζ ) 1 − ρ (ζ )

( 4.8 )

Důsledkem odražené vlny na vedení (při obecné zátěži Zk ≠ Zov ) jsou změny výsledného napětí a proudu podél vedení. Poměr napětí nebo proudu v maximu (kmitně) a minimu (uzlu) udává poměr stojatých vln podle vztahu r s U U + 1+ ρ U I σ = max = msx = r s = ( 4.9 ) U min I min U − U 1 − ρ Ve vztahu ( 4.9 ) je vynecháno označení polohy místa, ve kterém je na vedení vypočtený poměr výsledných hodnot napětí nebo proudu. Ten je vlivem útlumu vedení v jednotlivých místech různý a největší hodnotu má na konci vedení (na zátěži Zk ).

14


Při výpočtech napětí Up a proudu Ip na vstupu vedení se do vztahů ( 4.6a,b ) , ( 4.7 ) a ( 4.8 ) dosadí souřadnice ζ = l . Podobně je možné, při respektování směru transformace a směrů šíření dílčích vln, počítat poměry na zátěži ze známých hodnot napětí a proudů na vstupu vedení. Jistou komplikací je nutnost nejprve pomocí vztahu ( 4.7 ) vypočítat hodnotu činitele odrazu ρp na vstupu vedení z hodnoty ρk v místě zátěže a výsledek pak použít při určení napětí (nebo proudů) postupné a odražené vlny na vstupu vedení. Úpravou ( 4.6a,b ) je možno získat vztahy pro přímou transformaci výsledného napětí a proudu podél vedení U (ζ ) = U k cosh (γζ ) + Z ov .I k .sinh (γζ ) I (ζ ) = I k . cosh (γζ ) +

Uk . sinh (γζ ) Z ov

Na vedení se zanedbatelnými ztrátami je součin sinh(γl) ≈ j.sin(αl). Pak je možno použít vztahů ve tvaru

( 4.10a,b ) β.l velmi malý,

cosh(βl) ≈ 1 a

U (ζ ) = U k . cos(α l ) + j.Z ov .I k .sin (α l ) I (ζ ) = I k . cos(α l ) + j

Uk . sin (α l ) Z ov

( 4.11a,b )

Vztahy ( 4.11a,b ) se dále zjednoduší v případech, kdy je argument αl roven násobkům π/2 . r Při přenosu výkonu vedením se část výkonu postupné vlny Pk předá do zátěže jako s výkon Pk , zbylá část Pk se jako odražená vlna vrací zpět ke zdroji r s r 2 Pk = Pk − Pk = Pk . 1 − ρ k ( 4.12 )

(

)

Výkon Pk je součinem hodnot výsledného napětí a proudu na zátěži, výkony postupné (odražené) vlny vypočteme pomocí vztahu r 2 Uk r r r* r 2 ( 4.13 ) Pk = U k .I k = I k .Z ov = Z ov r Vlivem útlumu vedení klesá výkon postupné vlny Pk od zdroje k zátěži podle vztahu r r Pk = Pp . exp(− 2 β l ) ( 4.14 ) s a stejně klesá i výkon odražené vlny Pk od zátěže ke zdroji. Účinnost přenosu výkonu vedením délky l je rovna

η = exp(− 2β .l ).

1− ρk

2

1 − ρ k . exp(− 4 β .l ) 2

( 4.15 )


15

Příklad 4.1 Vedení s charakteristickou impedancí Zov = 75 Ω , činitelem zkrácení ξ = 2/3 a měrným útlumem β = 0,1 dB/m má délku l = 5 m a je zatíženo zátěží Zk = (25+j0) Ω . Při kmitočtu 50 MHz bylo na zátěži naměřeno napětí Uk = 10 V.

Vypočtěte: a) b) c) d) e) f) g) h)

fázovou konstantu α napětí přímé a odražené vlny na konci vedení proud přímé a odražené vlny na konci vedení napětí a proud v kmitně a uzlu blízko konce vedení a poměr stojatých vln polohy kmiten a uzlů napětí a proudu u konce vedení výkony postupné a odražené vlny v místě zátěže a výkon dodaný do zátěže napětí, proudy a výkony na vstupu vedení impedanci na vstupu vedení a poměr stojatých vln

Řešení:

a) Délka vlny ve volném prostoru λo = c / f = 3.108 /5.107 = 6 m se na vedení změní na λv = ξ. λo = 2/3.6 = 4 m. Pak měrná fáze α bude podle ( 4.1 ) rovna α = 2π / λv = 2π / 4 = = π/2 rad/m b) činitel odrazu v místě zátěže ρk je podle ( 4.2 ) roven Z k − Z ov 25 − 75 = = − 0,5 Z k + Z ov 25 + 75 r s r Protože podle ( 4.3a,b ) je U k = U k + U k = U k .(1 + ρ k ) , budou napětí postupné a odražené r s r Uk 10 Uk = = = 20 V U k = ρ k .U k = − 0,5.20 = - 10 V 1 + ρ k 1 − 0,5

ρk =

c) proudy postupné a odražené vlny na zátěži vypočteme r s podle ( 4.4 ) r U s U 20 − 10 Ik = k = Ik = k = = 0,266 A = - 0,133 A 75 Z ov 75 Z ov r s Proud zátěží je podle ( 4.3a,b ) roven I k = I k − I k = 0,266 − (− 0,133) = 0,4 A . Stejný výsledek dostaneme i podílem napětí na zátěži a její impedance Ik = Uk /Zk = 10 / 25 = 0,4 A . d) podle ( 4.9 ) jsou napětí (proud) v kmitně součtem modulů napětí (proudu) postupné a odražené vlny, v uzlu jejich rozdílem. Pak r s r s U k max = U k + U k = 20 + − 10 = 30 V U k min = U k − U k = 20 − − 10 = 10 V

r s I k max = I k + I k = 0,266 + − 0,133 = 0,4 A

r s I k max = I k − I k = 0,266 − − 0,133 = 0,133 A

Poměr stojatých vln σk na konci vedení je podle ( 4.9 ) roven I U 30 0,4 σ k = k max = k msx = = =3 U k min I k min 10 0,133 Stejný výsledek získáme i z modulu činitele odrazu

σk =

1+ ρk 1− ρk

=

1 + − 0,5 1 + − 0,5

=3

16


e) V místě reálné impedance zátěže Zk = Rk < Zov bude uzel napětí Uk = Umin = 10 V a kmitna proudu Ik = Imax = 0,4 A . Nejbližší kmitna napětí Umax = 30 V a uzel proudu Imin = 0,133 A budou ve vzdálenosti λv /4 = 1 m od konce vedení. Uzly a kmitny se na vedení opakují ve vzdálenostech n. λv /2 = 2 m . f) podle ( 4.13 ) jsou výkony postupné a odražené vlny v místě zátěže rovny r 2 s 2 2 2 r Uk s Uk − 10 30 Pk = Pk = = = 5,33 W = = 1,33 W Z ov Z ov 75 75 r s Do zátěže je podle ( 4.12 ) dodáván rozdíl obou výkonů Pk = Pk − Pk = 5,33 − 1,33 = 4 W Stejný výsledek dostaneme i součinem napětí Uk a proudu Ik na zátěži. g) Napětí postupné vlny transformujeme na vstup vedení podle ( 4.6a,b ) při respektování opačného směru šíření vlny (vzhledem ke směru transformace). Do exponentu však je nutno dosazovat měrný útlum β v základních jednotkách [m-1] po přepočtu β = βdB / 8,686 = = 0,1 / 8,686 = 0,0115 m-1 . Pak r r U p = U k . exp(+ γζ ) = 20.exp[(0,0115+j.π/2).5] = 21,18.exp(j π/2) V Při transformaci odražené vlny je směr šíření vlny shodný se směrem transformace a v exponentu zůstává záporné znaménko. Napětí odražené vlny na vstupu vedení pak bude s s U p = U k . exp(− γζ ) = (-10). exp[(0,0115+j. /2).5] =9,44.exp(j π/2) V Napětí postupné a odražené vlny jsou ve fázi, takže na vstupu vedení bude kmitna napětí. Stejným způsobem je možno transformovat i proudy postupné a odražené vlny. Snadněji však získáme výsledky přepočtem z hodnot napětí podle ( 4.4 ) r r U p 21,18. exp( jπ / 2) Ip = = = 0,282.exp(j π/2) A 75 Z ov s s U p 9,44. exp( jπ / 2) Ip = = = 0,126.exp(j π/2) A 75 Z ov Napětí na vstupu vedení je opět součtem napětí postupné a odražené vlny r s U p = U p + U p = 21,18.exp(j π/2) + 9,44.exp(j π/2) = 30,62. exp(j π/2) V Proud tekoucí do vstupních svorek vedení je pak rozdílem proudů postupné a odražené vlny r s I p = I p − I p = 0,282.exp(j π/2) - 0,126.exp(j π/2) = 0,156. exp(j π/2) A Na vstupu vedení je tedy kmitna napětí a uzel proudu. Výkony vypočteme stejným postupem jako v části f) a dostaneme r r 2 s s 2 Pp = Z ov . I p = 75.0,282 2 = 5,96 W Pp = Z ov . I p = 75.0,126 2 = 1,19 W r s Pp = Pp − Pp = 5,96 – 1,19 = 4,77 W h) Impedance na vstupu vedení U p 30,62. exp( jπ / 2 ) Zp = = = 196,3 Ω I p 0,156. exp( jπ / 2) a poměr stojatých vln σp je podle ( 4.9 ) r s U p + U p 21,18 + 9,44 σp = r = 2,61 s = U p − U p 21,18 − 9,44


17

Příklad 4.2 Vedení (Zov = 150 Ω ; ξ = 0,8 ; β = 0,2 dB/m ) délky 6 m je při kmitočtu 60 MHz zakončeno impedancí (75 +j 75) Ω . Na vstupních svorkách vedení byl změřen proud 0,5 A .

Vypočtěte a) napětí a proudy na zátěži vedení b) výkony na konci vedení c) poměr stojatých vln na vstupu a na konci vedení d) účinnost přenosu výkonu vedením Řešení:

Před transformací na konec vedení je nutno (výsledný) vstupní proud rozložit na proud postupné a odražené vlny pomocí vztahu ( 4.3a,b ), který s indexy „p“ platí i na vstupních svorkách vedení. Činitel odrazu ρp vypočteme z hodnoty ρk v místě zátěže transformací pomocí ( 4.7 ). Měrný útlum vedení β = βdB / 8,686 = 0,2 / 8,686 = 0,023 m-1 a součin β.l = 0,023.6 = 0,138 . Při délce vlny na vedení λv = ξ. c / f = 0,8.3,108/60.106 = 4 m je měrná fáze rovna α = 2π / λv = 2π / 4 = π/2 [rad/m] a posuv fáze vlny na vedení α.l = 6. π/2 = 3 π [rad] . a)

Na konci vedení má činitel odrazu podle ( 4.2 ) hodnotu

ρk =

Z k − Z ov (75 + j 75) − 150 = = 0,447.exp(116,6o) Z k + Z ov (75 + j 75) + 150

Na vstupu vedení pak podle ( 4.7 ) pro ζ = l bude činitel odrazu

ρ p = ρ k . exp(− 2γ l ) = 0,447. exp(116,6 o ). exp[− 2.(0,138 + j.180 o )] = 0,339. exp(116,6 o )

r Proud postupné vlny na vstupu vedení I p vypočteme podle ( 4.3a,b ) r Ip 0,5 Ip = = = 0,42. exp − 14,7 o A o 1 − ρ p 1 − 0,339. exp 116,6

(

(

)

)

a pomocí ( 4.6b ) transformujeme na konec vedení r r I k = I p . exp(− γ l ) = 0,42. exp(14,7 o ). exp − (0,138 + j180 o ) = 0,366.exp(-j165,3o) A

[

]

Proud odražené vlny na zátěži není nutno počítat předchozí transformací. Využitím činitele odrazu ρk získáme výsledek s r I k = ρ k I k = 0,447. exp( j116,6 o ).0,366. exp(− j165,3o ) = 0,164.exp(-j48,7o) A Výsledný proud zátěží je opět rozdílem proudů postupné a odražené vlny r s I k = I k − I k = 0,366. exp(− j165,3o ) − 0,164. exp(− j 48,7 o ) = 0,463.exp(j176,3o) A Napětí postupné a odražené vlny na zátěži lze vypočítat podle ( 4.4 ) r r U k = Z ov .I k = 150.0,366.exp(-j165,3o) = 54,9.exp(-j165,3o) V s s U k = Z ov .I k = 150.0,164.exp(-j48,7o) = 24,6.exp(-j48,7o) V a výsledné napětí na zátěži r s U k = U k + U k = 54,9. exp(− j165,3o ) + 24,6. exp(− j 48,7 o ) = 49,1.exp(-j138,7o) V Poměr výsledných hodnot napětí a proudu na konci vedení se musí shodovat s impedancí zátěže Zk .

18


b) Podle ( 4.13 ) jsou výkony postupné a odražené vlny na konci vedení rovny s 2 r 2 s Uk r Uk 54,9 2 24,6 2 = = 20,1 W = =4 W Pk = Pk = Z ov Z ov 150 150 r s Pk = Pk − Pk = 20,1 – 4 = 16,1 W a výkon dodávaný do zátěže c) Hodnoty poměru stojatých vln je možno vypočítat podle ( 4.9 ) z hodnot činitele odrazu na vstupu a na konci vedení 1 + ρ p 1 + 0,339 1 + ρ k 1 + 0,447 = = 2,03 σp = σk = = = 2,62 1 − ρ k 1 − 0,447 1 − ρ p 1 − 0,339 d) Dosazením do ( 4.15 ) dostaneme 2 1− ρk 1 − 0,447 2 ( ) η = exp(− 2β .l ). = exp − 2 . 0 , 138 . = 0,686 2 1 − 0,447 2. exp(− 4.0,138) 1 − ρ . exp(− 4 β .l ) Při přizpůsobené zátěži je ρk = 0 a účinnost vzroste na hodnotu 0,76 . Příklad 4.3 Vedení (Zov = 50 Ω ; ξ = 2/3 ; β = 0,15 dB/m ) délky 6 m je při kmitočtu 250 MHz zakončeno impedancí ( 0 – j 50 ) Ω . Na zátěži bylo změřeno napětí 5 V .

Vypočtěte proud odražené vlny na vstupu vedení. Příklad 4.4 Vedení (Zo = 60 Ω ; ξ = 2/3 ; β = 0,1 dB/m ) délky 9 m je při kmitočtu 50 MHz zakončeno impedancí ( 30 +j 0 ) Ω . Na zátěži bylo změřeno napětí 20 V .

Vypočtěte napětí postupné vlny na vstupu vedení. Příklad 4.5 Vedení (Zov = 300 Ω ; ξ = 1 ; β = 0,2 dB/m ) délky 6 m je při kmitočtu 360 MHz zakončeno impedancí ( 200 +j 0 ) Ω . Na zátěži byl změřen proud 0,5 A .

Vypočtěte proud odražené vlny na vstupu vedení. Příklad 4.6

Vedení (Zov = 200 Ω ; ξ = 1 ; β = 0,0868 dB/m ) délky 52 m je při kmitočtu 30 MHz zakončeno impedancí ( 600 +j 0) Ω . Na vstupu vedení má odražená vlna napětí 100 V. Vypočtěte: a) napětí postupné a odražené vlny na konci vedení a výsledné napětí na zátěži b) proud v kmitně a v uzlu blízko konce vedení a hodnotu poměru stojatých vln c) proud odražené vlny na vstupu vedení a její výkon Příklad 4.7

Vedení (Zov= 250 Ω ; ξ = 1 ; β = 0,0868 dB/m ) délky 25,5 m má při kmitočtu 50 MHz na zátěži ( 500 +j 0) Ω napětí 1 kV.


19

Vypočtěte: a) proud postupné vlny na zátěži b) výkony postupné a odražené vlny na konci vedení c) napětí a proud postupné vlny na vstupu vedení d) proud v uzlu blízko konce vedení Příklad 4.8

Vedení (Zov = 200 Ω ; ξ = 0,8 ; β = 0 dB/m ) délky 3,5 m je při kmitočtu 60 MHz zakončeno zátěží ( 200 -j 200) Ω . Na vstupu vedení je napětí 25 V. Vypočtěte: a) napětí a proudy na zátěži b) impedanci na vstupu vedení c) napětí a proud v kmitně a v uzlu a velikost poměru stojatých vln Řešení: a) Výsledná napětí a proudy na vedení se zanedbatelnými ztrátami je možno vypočítat pomocí vztahů ( 4.11a,b ) . Délce vlny na vedení λv = ξ.c/f = 0,8.3,108 /60.106 = 4 m odpovídá měrná fáze α = 2π / λv = 2π / 4 = π / 2 rad/m = 90o/m a fázový posuv vlny na vedení αl = 90.3,5 = 315o .

Úpravou ( 4.11a,b ) a dosazením Ik = Uk / Zk dostaneme výraz Up 25 Uk = = 22,36.exp(j18,4o) V = 200 Z .sin (315o ) cos(α l ) + j ov .sin (α l ) cos(315o ) + j 200 − j 200 Zk Ik =

Zátěží Zk pak poteče proud

U k 22,36. exp( j18,4 o ) = = 79.exp(j63,4o) mA Zk 200 − j 200

b) Proud na vstupu vedení Ip vypočteme dosazením do ( 4.11a,b )

Uk 22,4. exp( j18,4 o ) o o I p = I k . cos (α l ) + j . sin (α l ) = 0,08. exp( j 63,4 ). cos (315 ) + j .sin (315o ) = Z ov 200 o = 56.exp(-j26,6 ) mA Up 25 Zp = = = 446,4.exp(j26,6o) Ω a impedance na vstupu vedení I p 0,056. exp(− j 26,6 o ) c) K určení poměru stojatých vln je nutná znalost činitele odrazu a napětí (proudu) postupné vlny. Činitel odrazu na konci vedení je podle ( 4.2 )

ρk =

Z k − Z ov (200 − j 200) − 200 = 0,447.exp(-j.63,4o) = Z k + Z ov (200 − j 200) + 200

a poměr stojatých vln

σ=

1+ ρk 1− ρk

=

1 + 0,447 = 2,617 1 − 0,447

bude stejný po celé délce vedení se zanedbatelnými ztrátami. Z napětí na konci vedení Uk určíme napětí postupné vlny na konci vedení

20

FEKT Vysokého učení technického v Brně r Uk 22,36. exp( j18,4 o ) = = 17,7.exp(j36,8o) V Uk = o 1 + ρ k 1 + 0,447. exp(− j 63,4 )

Napětí v kmitně Umax a v uzlu Umin stojatých vln jsou podle ( 4.9 ) r U max = U k .(1 + ρ k ) = 17,7.(1 + 0,447 ) = 25,6 V r U min = U k .(1 − ρ k ) = 17,7.(1 − 0,447 ) = 9,79 V Proud postupné vlny (na konci vedení) je podle ( 4.4 ) r r U k 17,7. exp( j 36,8o ) = = 88,5.exp(j36,8o) mA Ik = 200 Z ov a proud v kmitně Imax a v uzlu Imin vypočteme podobně r I max = I k .(1 + ρ k ) = 0,0885.(1 + 0,447 ) = 128 mA r I min = I k .(1 − ρ k ) = 0,0885.(1 − 0,447 ) = 49 mA Stejné výsledky bychom získali také dělením hodnot napětí v kmitně a v uzlu hodnotou charakteristické impedance vedení Zov . Příklad 4.9

Vedení (Zov = 300 Ω ; ξ = 0,8 ; β = 0 dB/m ) délky 2,25 m je při kmitočtu 120 MHz zakončeno zátěží ( 200 +j 0) Ω . Proud na vstupu vedení má velikost 100 mA. Vypočtěte: a) proud na zátěži vedení b) proud v uzlu a poměr stojatých vln Příklad 4.10

Vedení (Zov = 75 Ω ; ξ = 2/3 ; β = 0 dB/m ) délky 7 m je při kmitočtu 40 MHz zakončeno zátěží ( 125 +j 0) Ω . V kmitně teče vedením proud 5 A . Vypočtěte: a) proud zátěží a výkon dodávaný do zátěže b) napětí na vstupu vedení (stačí modul) c) vzdálenosti kmitny a uzlu proudu od konce vedení a proud v uzlu Příklad 4.11

Vedení (Zov = 600 Ω ; ξ = 1 ; β = 0 dB/m ) délky 0,15 m je při kmitočtu 400 MHz zakončeno zátěží (0 - j 200) Ω . Proud na vstupu vedení má velikost 200 mA. Vypočtěte proud tekoucí zátěží Příklad 4.12

Vedení (Zov = 150 Ω ; ξ = 1 ; β = 0 dB/m ) délky 0,6 m je při kmitočtu 75 MHz zakončeno naprázdno . Napětí na vstupu vedení je 10 V. Vypočtěte napětí na konci vedení


21

Příklad 4.13

Vedení (Zov = 75 Ω ; ξ = 2/3 ; β = 0 dB/m ) délky 0,3 m je při kmitočtu 200 MHz zakončeno zátěží (0 - j 120) Ω . Napětí na vstupu vedení je 60 V. Vypočtěte proud tekoucí zátěží Příklad 4.14 Dvě homogenní vedení jsou zapojena v kaskádě (za sebou). Vedení (Zov1, γ1, l1 ) je zakončeno impedancí Zk , druhé vedení (Zov2, γ2, l2 ) je připojeno na zdroj. Formulujte rovnice pro rozložení napětí a proudu na popsané soustavě. Řešení:

Napětí a proud na zátěži Zk soustavy jsou současně napětím a proudem na konci vedení označeného indexy „1“. Napětí U(ζ1) a proud I(ζ1) ve vzdálenosti ζ1 od konce tohoto vedení (od zátěže) jsou dány vztahy ( 4.10a,b ) U 1 (ζ 1 ) = U k1 cosh (γ 1ζ 1 ) + Z ov1 .I k1 .sinh (γ 1ζ 1 ) I1 (ζ 2 ) = I k1 . cosh (γ 1ζ 1 ) +

U k1 . sinh (γ 1ζ 1 ) Z ov1

Na vstupu tohoto vedení ve vzdálenosti ζ1 = l1 od zátěže budou napětí Up1 a proud Ip1 rovny napětí Uk2 a proudu Ik2 na konci druhého vedení U p1 = U 1 (l1 ) = U k 2 I p1 = I1 (l1 ) = I k 2 Rozložení napětí U2(ζ2) a proudu I2(ζ1) ve vzdálenosti ζ2 od konce tohoto vedení popisují vztahy

U 2 (ζ 2 ) = U k 2 cosh (γ 2ζ 2 ) + Z ov 2 .I k 2 .sinh (γ 2ζ 2 ) I 2 (ζ 2 ) = I k 2 . cosh (γ 2ζ 2 ) +

Uk2 . sinh (γ 2ζ 2 ) Z ov 2

Na vstupu soustavy, ve vzdálenosti ζ2 = l2 od styku obou vedení bude napětí U p 2 = U 2 (l 2 )

a proud I p 2 = I 2 (l 2 ) .

Poznámka: Na styku vedení jsou shodné (výsledné) napětí a proudy, ne však napětí a proudy postupných a odražených vln. Dovedete vysvětlit proč a demonstrovat na jednoduchém příkladu? Příklad 4.15: Dvě bezeztrátová homogenní vedení jsou zapojena v kaskádě. Vedení blíže k zátěži má parametry Zov1 = 100 Ω, ξ1 = 0,7, l1= 2 m , druhé vedení Zov2 = 75 Ω, ξ2 = 0,8, l2= 5 m je připojeno na zdroj. Na vstupu kaskády byl při kmitočtu 600 MHz naměřen činitel odrazu ρp2 = 0,3 a napětí Up2 = 2 V.

Vypočtěte: a) proud na vstupu kaskády vedení b) proud zátěží c) impedanci zátěže d) poměr stojatých vln na obou vedeních

22


5 Transformace impedance vedením, Smithův diagram Přímý výpočet transformace impedance vedením vyžaduje poměrně komplikované vyčíslení hyperbolických funkcí komplexního argumentu. Vhodnější je proto využít vztahu mezi činitelem odrazu a impedancí a vztahu popisujícího změny činitele odrazu podél vedení. Nejprve určíme činitel odrazu ρ1 v místě známé impedance Z1

ρ1 =

Z1 − Z ov Z1 + Z ov

a vzdálenost l k místu na vedení, kde chceme určit impedanci Z2 . Dosazením do ρ 2 = ρ1 . exp(− 2γ l )

( 5.1 )

( 5.2 )

získáme činitel odrazu ρ2 v místě hledané impedance Z2 . Při výpočtu součinu 2γ.l dosazujeme kladnou hodnotu l , když impedance Z2 leží ve směru „ke zdroji“ vzhledem k impedanci Z1 . Činitel odrazu ρ2 nakonec převedeme vztahem

Z 2 = Z ov .

1+ ρ2 1− ρ2

( 5.3 )

na hledanou hodnotu impedance Z2 . Při nižších nárocích na přesnost výsledku je vhodné využít grafického postupu transformace pomocí Smithova diagramu, který vyniká názorností. Pracuje se s normovanými hodnotami impedancí z = Z / Zov a délek l/λ a je možno snadno sledovat postup řešení a odhadovat dílčí výsledky i důsledky prováděných změn. V řešených příkladech budeme používat Smithův diagram, ve kterém při transformaci ke zdroji narůstají hodnoty l / λv ve směru hodinových ručiček od vyznačené nuly do hodnoty 0,5. Kladné hodnoty imaginární složky normované impedance (admitance) pak leží v pravé polorovině diagramu. Základní operace na Smithově diagramu jsou vysvětleny v [ 1 ], včetně praktické ukázky řešení. Příklad 5.1 Anténa je připojena ke koaxiálnímu napáječi o charakteristické impedanci 75 Ω . Při kmitočtu 500 MHz byl na vstupu napáječe změřen činitel odrazu ρA+K = 0,132.exp(-155o) , který se po zkratování svorek antény změnil na hodnotu ρkal = 0,708.exp(-2o)

Vypočtěte: a) impedanci na vstupu napáječe b) útlum a fázový posuv vlivem napáječe c) impedanci na svorkách antény Řešení:

a) Do Smithova diagramu zakreslíme bod „A+K“ odpovídající činiteli odrazu ρA+K . Ten leží na paprsku ze středu k obvodu diagramu svírajícím s kladnou osou ρ´ úhel -155o a na stupnici l / λv („k zátěži) mu odpovídá hodnota (l/λv)A+K = 0,25 + (0,5/360o).155o =0,465


23

Vzdálenost bodu „A+K“ od středu diagramu o poloměru RD je │ρA+K│.RD = 0,132.RD . Pro tento bod pak odečteme normované hodnoty složek impedance na vstupu napáječe rA+K = 0,78 a xA+K = -0,09 . Pak impedance na vstupu napáječe je rovna

ZA+K = (rA+K + j xA+K).Zov = (0,78 –j 0,09).75 =(58,5 –j 6,75) Ω b) Změřená hodnota činitele odrazu ρkal = 0,708.exp(-2o) vznikla transformací činitele odrazu zkratu na konci napáječe ρk = -1 použitým napáječem. Stejně jako v předchozí části zakreslíme bod odpovídající hodnotě ρkal , který leží na paprsku procházejícím hodnotou (l/λv)kal = 0,2525 ve vzdálenosti 0,708.RD od středu diagramu. Použitý napáječ tedy transformuje činitel odrazu ze svorek zátěže na vstup tak, že bod odpovídající zátěži je otočen o (l/λv) = 0,2525 směrem „ke zdroji“ a jeho vzdálenost zmenšena na 0,708 vzdálenosti bodu odpovídajícího zkratu na konci. Pak fázový posuv vlivem napáječe bude

φnap = (360o/0,5). (l/λv)kal = (360o/0,5).0,2525 = 131o + n.360o Neurčitost výsledku odpovídá opakování fáze činitele odrazu na úsecích vedení délky n. λv /2. Útlum napáječe βl [-] určíme pomocí vztahu ( 5.2 ) ve tvaru 2β l = − ln

ρ kal = ρ k . exp(− 2 β l ) . Pak

ρ kal ⎛ 0,708 ⎞ = − ln⎜ ⎟ = 0,3454 ρk ⎝ 1 ⎠

a útlum napáječe (βl)dB = 8,686.(2 βl)/2 = 8,686.0,3454/2 =1,5 dB c) Transformaci změřeného činitele odrazu ρA+K do místa připojení antény odpovídá otočení bodu „A+K“ o (l/λv)kal = 0,2525 směrem „k zátěži“, tedy do místa (l/λv)A = (l/λv)A+K - (l/λv)kal = 0,465 – 0,2525 = 0,2125 Modul činitele odrazu se (při transformaci směrem „k zátěži“) změní v poměru ρ k ρ kal = 1 0,708 = 1,41. Pak

ρA =

ρk 1 . ρ A+ K = .0,132 = 0,186 ρ kal 0,708

Bod odpovídající činiteli odrazu ρA na svorkách antény pak leží ve vzdálenosti │ρA│.RD od středu diagramu a je určen složkami normované impedance antény zA = rA+ j xA = = 1,37 +j 0,24 . Pak impedance antény je

ZA = (rA+ j xA).Zov = (1,37 +j 0,24).75 = (102,75 +j 18) Ω Pro srovnání uveďme ještě příklad početního řešení této úlohy. Činitel odrazu na vstup napáječe ρA+K transformujeme do místa antény (k zátěži) podle vztahu ( 5.2 ) a dostaneme

ρ A = ρ A+ K . exp(2β l + j 2α l ) = 0,132. exp(− 155o ). exp(0,3454 + j131o ) = 0,186.exp(-24o)

Impedanci antény ZA vypočteme pomocí ( 5.3 )

Z A = Z ov .

1+ ρ A 1 + 0,186. exp(−24 o ) = 75. = 75.(1,39 +j 0,22) = (104,25 +j 16,5) Ω 1− ρ A 1 − 0,186. exp(−24 o )

Oba výsledky se poněkud liší vlivem omezené přesnosti odečítání na Smithově diagramu a zaokrouhlování hodnot při numerickém výpočtu.

24


Příklad 5.2 Vedení s parametry (Zov = 300 Ω ; ξ = 0,8 ; β = 0,0868 dB/m) délky 4,6 m je při kmitočtu 60 MHz zatíženo impedancí (210 +j 75 ) Ω.

Vypočtěte: a) impedanci a admitanci na vstupu vedení b) činitel odrazu na vstupu vedení a na zátěži c) vzdálenost první kmitny a prvního uzlu napětí od zátěže d) poměr stojatých vln na vstupu a na konci vedení Příklad 5.3 Vedení s parametry (Zov = 60 Ω ; ξ = 0,8 ; β = 0,13 dB/m) má délku 16,2 m a má při kmitočtu 40 MHz na vstupu impedanci (36 +j 48) Ω .

Vypočtěte: a) impedanci zátěže vedení b) činitel odrazu na vstup vedení (modul i fázi) c) vzdálenost kmitny napětí od vstupu vedení Příklad 5.4 Vedení s parametry (Zov = 300 Ω ; ξ = 0,9 ; β = 0,0217 dB/m) má délku 37 m a je při kmitočtu 90 MHz zakončeno impedancí (36 +j 48) Ω .

Vypočtěte: a) impedanci na vstupu vedení b) činitel odrazu na zátěži (složkový tvar) c) vzdálenost kmitny proudu od zátěže Příklad 5.5 Dvě vedení se zanedbatelnými ztrátami jsou zapojena v kaskádě podle Obr. 5.1 a při kmitočtu 120 MHz jsou zatížena impedancí Zk = (75 +j 75) Ω . Vedení připojené k zátěži má parametry (Zov1 = 75 Ω ; ξ1 = 0,8) a délku l1 = 1,4 m . Druhé vedení má parametry (Zov2 = 50 Ω ; ξ 2 = 0,8) a délku l2 = 2,5 m . Paralelní a sériový prvek na styku obou vedení mají impedance Z1 = ( 0 +j 33) Ω a Z2 = (150 +j 0) Ω .

Vypočtěte hodnoty činitele odrazu, poměru stojatých vln a impedance v uzlech obvodu

CB Z ov2 l2

Z2

A Z1

Z ov1 l1

Obr. 5.1: Impedance na styku vedení v kaskád

Zk


25

Řešení:

Délka vlny je na obou vedeních stejná λv = ξ.c/f = 0,8.3.108/120.106 = 2 m a normované délky těchto vedení jsou l1/ λv = 1,4/2 = 0,7 ≡ 0,2 a l2/ λv = 2,5/2 = 1,25 ≡ 0,25 . Impedance zátěže Zk je připojena k vedení Zov1 a její normovaná hodnota je rovna zk = Zk / Zov1 = (75 +j 75)/75 = (1 +j 1) . Po zakreslení bodu K do Smithova diagramu určíme (l/ λv)k = 0,162 , činitel odrazu ρk = (0,2 +j 0,4) = 0,447.exp(j 63o) a poměr stojatých vln σk = 2,62 . Transformaci impedance zátěže do uzlu „A“ odpovídá otočení bodu K po kružnici (vedení má zanedbatelné ztráty) směrem „ke zdroji“ do bodu A na paprsek (l/ λv)A = (l/ λv)k + (l1/ λv) = 0,162 + 0,2 = 0,362 V bodě „A“ je impedance ZA = (0,76 –j 0,84).75 = (57 – j 63) Ω , činitel odrazu ρA = 0,45.exp(-j 81o) a poměr stojatých vln σA = 2,6 . Vlivem sériově zapojené impedance Z1 , která má nenulovou jen reaktanční složku, se posune bod A po kružnici konstantní reálné složky r = 0,76 do bodu B s impedancí

ZB = (zA + Z1/Zov1).Zov1 = [(0,76–j 0,84) + (0+j 33/75)].75 = (0,76–j 0,4).75 = (57–j 30) Ω kde poměr (l/λv)B = 0,40 , činitel odrazu ρB = 0,26.exp(-j 108o) a poměr stojatých vln σB = 3,1. V bodě B jsou paralelně spojeny impedance ZB a Z2 a tato kombinace tvoří zátěž ZC druhého vedení. Pro řešení proto bude vhodné již nyní přejít na normování vzhledem k impedanci Zov2 tohoto vedení. Pak impedanci ZB odpovídá nový bod B1 zB = ZB / Zov2 = = (57–j 30)/ 50 = 1,14–j 0,6 a normovaná hodnota admitance yB = (0,68+j 0,36) ve středově souměrném bodě B1Y . Impedanci Z2 odpovídá na vedení Zov2 normovaná impedance z2 = (150+j0)/50 = 3+j0 a normovaná admitance y2 = 0,32 +j 0 . Paralelní spojení prvků yB a y2 se zobrazí v bodě CY součtem normovaných admitancí yCY =yB+y2 = (0,68 +j 0,36)+(0,32+j 0) = 1 +j 0,36 . Zakreslením středově souměrného bodu C získáme normovanou hodnotu impedance zátěže druhého vedení zC = 0,88 –j 0,32 a impedanci ZC = zC.Zov2 =(0,88–j0,32).50= (44 –j 16) Ω . Činitel odrazu a poměr stojatých vln zde nabývají hodnot ρC = 0,18.exp(-j 101o) a σC = 1,44 , poměr (l/λv)C = 0,39 . Řešení příkladu dokončíme transformací impedance ZC vedením Zov2 o (l2/λv) směrem ke zdroji. Pak vstupu kaskády vedení odpovídá hodnota (l/λv)P = (l/λv)C +(l2/λv) = = 0,39 + 0,25 = 0,64 ≡ 0,14 a vstupní impedance ZP = zP.Zov2 = (1+j 0,36).50 = (50 +j 18) Ω. Činitel odrazu a poměr stojatých vln zde jsou rovny ρP = 0,18.exp(j80o) a σC = 1,44 . Příklad 5.6: Dvě vedení jsou zapojena v kaskádě a při kmitočtu 100 MHz zatížena impedancí (40 +j 120) Ω . Vedení připojené k zátěži má parametry (Zov1 = 80 Ω ; ξ1 = 0,8 ; β1 = 0,05m-1) a délku l1 = 1,4 m , druhé vedení (Zov2 = 70 Ω ; ξ 2 = 0,7; β 2 = 0,02 m-1) má délku l2 = 2,5 m . Vypočtěte impedance, činitele odrazu a poměr stojatých vln na vstupech obou vedení. Příklad 5.7 Z úseku vedení (Zov = 50 Ω ; ξ = 0,8) se zanedbatelnými ztrátami a na konci nakrátko vytvořte pro kmitočet 800 MHz obvodový prvek s indukčností 20 nH. Vypočtěte délku použitého úseku vedení.

26


Příklad 5.8 Při měření impedance měřicím vedením (Zom = 50 Ω , ξ = 1) byl při kmitočtu 600 MHz zjištěn poměr stojatých vln σ = 3 . Při záměně měřené impedance zkratem se minimum stojatých vln posunulo o Δl = 60 mm směrem k zátěži. Vypočtěte impedanci měřené zátěže. Řešení: Poměr stojatých vln určuje modul činitele odrazu, jeho fázi pak posuv minima stojatých vln. Zakreslíme středovou kružnici procházející bodem z = (3+j0) a paprsek ze středu diagramu k hodnotě (Δl/ λv) = 0,06/0,5 = 0,12 . V jejich průsečíku odečteme normovanou impedanci zx = 0,37 +j 0,87 . Pak měřená zátěž má impedanci

Zx = zx .Zom = (0,37 +j 0,87).50 = (18,5 +j 23,5) Ω Poznámka: Postup využívá skutečnosti, že v minimu stojatých vln (napětí) je na vedení impedance reálná. Posunutím bodu ve Smithově diagramu ve směru opačném než byl posuv minima stojatých vln po náhradě kalibračního zkratu měřenou impedancí se dostaneme na konec vedení, kde byla měřená impedance připojena. Příklad 5.9 Na anténním napáječi, s charakteristickou impedancí 80 Ω , se vzduchovým dielektrikem a zanedbatelnými ztrátami byla při kmitočtu 300 MHz naměřena hodnota poměru stojatých vln 3,5 . První minimum stojatých vln napětí bylo nalezeno ve vzdálenosti 0,37 m od antény. Vypočtěte impedanci na vstupních svorkách antény.

6 Přizpůsobování impedancí Přizpůsobovací obvod je dvojbran zařazený mezi zátěž a přenosové vedení, který transformuje impedanci zátěže na hodnotu shodnou s charakteristickou impedancí přenosového vedení. V této části se budeme zabývat návrhem přizpůsobení pomocí obvodů se čtvrtvlnným transformátorem a se sériovým nebo paralelním pahýlem. a) Obvod se čtvrtvlnným transformátorem (Obr. 6.1) tvoří kaskádně spojené dva úseky vedení. - čtvrtvlnný transformátor a vložené vedení. Vložené vedení (Zo1, l1) transformuje impedanci zátěže Zk na reálnou impedanci Z1 = R1 , kterou čtvrtvlnný transformátor (ZoT , lT = λv/4) převede na hodnotu Zov přenosového vedení. (2)

l1 /λ v hlavní čtvrtvlnný vložené vedení transformátor vedení

Z ov

ZoT

Z o1

lT

l1

Zk

r1(2)

zk

r1(1) (1)

l 1 / λv

Obr. 6.1: Přizpůsobovací obvod se čtvrtvlnným transformátorem


27

Při návrhu se volí (je zadána) charakteristická impedance vloženého vedení Zo1 a hledají se délky vedení l1 a lT = λv/4 a impedance ZoT . Postup návrhu sestává ze dvou kroků: 1. transformace impedance zátěže Zk na reálnou impedanci R1 vloženým vedením (Zo1, l1) Po zakreslení normované impedance zk = Zk /Zo1 do Smithova diagramu se otočí fázor činitele odrazu směrem ke zdroji tak, aby jeho koncový bod ležel na některé z polopřímek x = 0. Délka vloženého vedení l1 je dána velikostí otočení l1/ λv . Dostáváme tak dvě řešení určené délkami l1(1),( 2 ) a normovanou impedancí r1(1) , ( 2 ) = R1(1) ,( 2 ) / Z o1 .

Odnormováním pak získáme hodnoty R1(1) , ( 2 ) pro další výpočty. 2. Reálnou impedanci R1 převedeme čtvrtvlnným transformátorem na impedanci Zov Čtvrtvlnný transformátor bude mít charakteristickou impedanci (1) , ( 2 ) Z oT = R1(1) , ( 2) .Z ov

( 6.1 )

a délku lT = λv/4 . Délky úseků l1 i lT mohou být zvětšeny o násobky λv/2 , výrazněji se však potom mění vlastnosti obvodu v pásmu kmitočtů. b) Obvod se sériovým pahýlem (Obr. 6.2) tvoří opět vložené vedení (Zo1, l1) , k jehož vstupu je sériově zapojen reaktanční prvek, tvořený pahýlem (úsekem vedení naprázdno nebo nakrátko) nebo (na nižších kmitočtech) induktorem či kapacitorem. Vložené vedení transformuje impedanci zátěže Zk na impedanci Z1 = Zov +j X1 s reálnou složkou R1 shodnou s charakteristickou impedancí přenosového vedení Zov . Sériový reaktanční prvek (pahýl) pak odstraní (kompenzuje) reaktanci X1 . zk lp

(2)

Z ov

x1

Z op Z o1 l1

Z1

z1

Zk l1 /λv (1)

(1)

z1

xp = -X1/Z op

z1 l1 /λv (1)

lp / λ v

Obr. 6.2: Přizpůsobovací obvod se sériovým pahýlem

Při návrhu se volí (je zadána) charakteristická impedance vloženého vedení Zo1 a hledají se délky vedení l1 a kompenzační reaktance X1 včetně údajů pro jejích realizaci úsekem vedení (pahýlem) . 1. transformace impedance zátěže Zk na hodnotu Z1 = Zov +j X1 úsekem vedení (Zo1, l1) Po zakreslení normované impedance zk = Zk /Zo1 do Smithova diagramu se fázor činitele odrazu otočí směrem ke zdroji tak, aby jeho koncový bod ležel na kružnici r1 =

Z ov Z o1

( 6.2 )

Délka vloženého vedení l1 je určena velikostí otočení l1/ λv . Dostáváme opět dvě řešení určené délkami l1(1),( 2 ) a normovanou reaktancí x1(1),( 2) . Odnormováním pak získáme hodnoty X 1(1),( 2 ) pro další výpočty.

28


2. Imaginární část X1 impedance na vstupu vloženého vedení je kompenzována sériově zapojeným prvkem Xp , jehož reaktance má stejnou velikost, ale opačné znaménko než vstupní reaktance X1 vloženého vedení X p(1),( 2) = − X 1(1),( 2)

( 6.3 )

U symetrických vedení je nutno, pro zachování symetrie, zapojit prvek Xp/2 do série s každou ze vstupních svorek vloženého vedení. Při realizace kompenzační reaktance induktorem (kapacitorem) se vypočte jejich indukčnost (kapacita). Při realizaci pahýlem se volí (je zadána) charakteristická impedance vedení pahýlu Zop a jeho zakončení (nakrátko, naprázdno). Délku pahýlu lP pak získáme otočením bodu odpovídajícího zakončení pahýlu (zkrat, naprázdno) o úsek lp/ λv směrem ke zdroji tak, aby ležel na kružnici normované reaktance pahýlu xp = Xp/Zop pro zvolenou variantu řešení. b) Obvod s paralelním pahýlem (Obr. 6.3) tvoří opět vložené vedení (Zo1, l1) , k jehož vstupu je susceptanční prvek, tvořený pahýlem (úsekem vedení naprázdno nebo nakrátko) nebo (na nižších kmitočtech) induktorem či kapacitorem, zapojen paralelně. Vložené vedení transformuje admitanci zátěže Yk = 1/Zk na admitanci Y1 = Yov +j B1 s reálnou složkou G1 shodnou s charakteristickou admitancí přenosového vedení Yov = 1/ Zov . Paralelní susceptanční prvek (pahýl) pak odstraní (kompenzuje) susceptanci B1 . yk

lp

Yov

Yo1

y1(2)

Yk

y1(1)

l1 /λv (2)

l1

bp= -B1/Yop

b1

Yop

y1 l1 /λv (1)

lp / λv

Obr. 6.3: Přizpůsobení paralelním pahýlem

Při návrhu se volí (je zadána) charakteristická impedance vloženého vedení Zo1 a hledají se délky vedení l1 a kompenzační susceptance B1 včetně údajů pro jejích realizaci úsekem vedení (pahýlem) . Postup je duální k řešení obvodu se sériovým pahýlem, pracuje se však s admitancemi a jejich složkami. Při návrhu pahýlu je třeba respektovat jinou polohu bodu odpovídajícího zkratu (zakončení naprázdno) v admitančním diagramu. 1. převod impedance zátěže Zk na admitanci Yk a její transformace úsekem vedení (Zo1, l1) na hodnotu Y1 = 1/Zov +j B1 Po zakreslení normované impedance zk = Zk /Zo1 do Smithova diagramu se najde středově souměrný bod odpovídající normované admitanci zátěže yk . Fázor činitele odrazu se otočí směrem ke zdroji tak, aby jeho koncový bod ležel na kružnici g1 =

Yov Z o1 = Yo1 Z ov

( 6.4 )

Délka vloženého vedení l1 je určena velikostí otočení l1/ λv . I zde dostáváme dvě řešení s délkami l1(1),( 2 ) a normovanou admitancí b1(1),( 2 ) . Odnormováním i zde získáme hodnoty admitancí B1(1),( 2 ) pro další výpočty.


29

2. Imaginární část B1 admitance na vstupu vloženého vedení je kompenzována paralelně zapojeným prvkem Bp = - B1 , jehož susceptance má stejnou velikost, ale opačné znaménko než susceptance B1 na vstupu vloženého vedení. Pro realizace kompenzační susceptance Bp induktorem (kapacitorem) je možno vypočítat jejich indukčnost (kapacitu). Při realizaci pahýlem se volí (je zadána) charakteristická impedance vedení pahýlu Zop a jeho zakončení (nakrátko, naprázdno). Délku pahýlu lP pak získáme otočením bodu odpovídajícího zakončení pahýlu (zkrat, naprázdno) o úsek lp/ λv směrem ke zdroji tak, aby ležel na kružnici normované susceptance pahýlu bp = Bp /Yop = = Bp.Zop pro zvolenou variantu řešení. Příklad 6.1 Symetrické vedení (Zov = 300 Ω , ξ = 1) je při kmitočtu 150 MHz zakončeno impedancí Zk = (780 –j 540) Ω . Navrhněte provedení základních typů přizpůsobovacích obvodů ve všech variantách. Impedanci vloženého vedení volte Zo1 = 600 Ω , pahýly realizujte úseky vedení s impedancí Zop = 300 Ω . Řešení:

Délka vlny na všech vedeních bude stejná λv = ξ.c/f = 1.3.108/150.106 = 2 m a) obvod se čtvrtvlnným transformátorem (Obr. 6.1) Normovanou hodnotu impedance zátěže zk = Zk /Zo1 = (780 –j 540)/600 = 1,3 –j 0,9 zakreslíme do Smithova diagramu, kde fázoru činitele odrazu zátěže odpovídá poměr lk/λv = 0,32 . Otočením fázoru získáme dva body s reálnou impedancí R1 : 1) R1(1) = r1(1) .Z o1 = 0,45.600 = 270 Ω při otočení do bodu l(1)/λv = 0 ≡ 0,5 . Vložené vedení bude mít délku l1(1) = (l (1) λv − l k λv ).λv = (0,5 − 0,32).2 = 0,36 m . Čtvrtvlnný transformátor bude podle ( 6.1) realizován vedením s impedancí (1) Z oT = R1(1) .Z ov = 270.300 = 284,6 Ω

délky lT = λv /4 = 2/4 = 0,5 m 2)

R1( 2 ) = r1( 2) .Z o1 = 2,2.600 = 1320 Ω při otočení do bodu l(2)/λv = 0,25 . Vložené vedení bude mít délku

(

)

l1( 2 ) = l ( 2) λv − l k λv .λv = (0,25 − 0,32).2 = -0,14 m. Délku vloženého

vedení je nutno zvětšit o n λv /2 = n. 1 m , alespoň na transformátor pak bude tvořen vedením s impedancí ( 2) Z oT = R1( 2) .Z ov = 1320.300 = 629,3 Ω

l1( 2) = 0,86 m . Čtvrtvlnný

se stejnou délkou lT = λv /4 = 0,5 m .

b) obvod se sériovým pahýlem (Obr. 6.2) Na vstupu vloženého vedení Zo1 musí mít impedance Z1 reálnou složku R1 = Zov . Po zakreslení normované impedance zk = Zk /Zo1 = (780 –j 540)/600 = 1,3 –j 0,9 do Smithova diagramu odečteme poměr lk/λv = 0,32 . Pak se fázor činitele odrazu otočí směrem ke zdroji tak, aby jeho koncový bod ležel, v souladu s ( 6.2) , na kružnici r1 = Zov/Zo1 = 300/600 = 0,5 . To je splněno ve dvou případech: 1. l (1) / λv = 0,44 , kdy z1(1) = 0,5 –j 0,31 . Pak vložené vedení bude mít délku

(

)

l1(1) = l (1) λv − l k λv .λv = (0,44 − 0,32).2 = 0,24 m a reaktance na jeho vstupu X 1(1) = x1(1) .Z o1 = −0,31.600 = -186 Ω je nutno kompenzovat pahýlem s reaktancí Xp = -X1 . V případě symetrického vedení je nutno do série s oběma vstupními svorkami pomocného vedení zapojit prvky s reaktancí

30

FEKT Vysokého učení technického v Brně X p(1) = − X 1(1) / 2 = −(− 186 ) / 2 = 93 Ω

Ty je možno realizovat cívkami s indukčností Lp/2 = 99 nH nebo úseky vedení (Zop , lp) na konci nakrátko nebo naprázdno. Normovanou hodnotu reaktance pahýlu (1) (1) x p = X p / Z op = 93 / 300 = 0,31 zakreslíme do Smithova diagramu a najdeme poměr l p(1) / λv = 0,048 . Pak pro pahýl

(

)

(1) l pk = l p(1) / λv − 0 .λv = 0,048.2 = 0,096 m

- nakrátko

(

)

(1) l po = l p(1) / λv + 0,25 .λv = (0,048 + 0,25).2 = 0,596 m

- naprázdno

2. l ( 2 ) / λv = 0,06 a z1(1) = 0,5 –j 0,31 . Pak vložené vedení bude mít délku

(

)

l1( 2 ) = l ( 2) λv − l k λv .λv = (0,06 − 0,32 + 0,5).2 = 0,48 m a reaktance na jeho vstupu X 1( 2) = x1( 2 ) .Z o1 = +0,31.600 = +186 Ω bude opět kompenzována pahýlem s reaktancí Xp = -X1 . Vzhledem k symetrii vedení i zde do série s oběma vstupními svorkami pomocného vedení zapojíme prvky s reaktancí X p( 2 ) = − X 1( 2 ) / 2 = −(186 ) / 2 = - 93 Ω

Ty je možno realizovat kondenzátory s kapacitou Cp/2 = 11,4 pF nebo úseky vedení (Zop , lp) na zakončenými nakrátko nebo naprázdno. Po zakreslení normované hodnoty reaktance pahýlu x (p2) = X p( 2 ) / Z op = −93 / 300 = - 0,31 do Smithova diagramu určíme l p( 2 ) / λv = 0,452 . Pak pro pahýl

(

)

( 2) l pk = l p( 2 ) / λv − 0 .λv = (0,452 − 0).2 = 0,904 m

- nakrátko

( 2) l po = (l p( 2 ) / λv − 0,25).λv = (0,452 − 0,25).2 = 0,404 m

- naprázdno

c) obvod s paralelním pahýlem (Obr. 6.3) Nejprve zakreslíme do Smithova diagramu normovanou hodnotu impedance zátěže zk = Zk /Zo1 = (780 –j 540)/600 = 1,3 –j 0,9 a najdeme středově souměrný bod zobrazující normovanou admitanci zátěže yk = 0,52 +j 0,36 , kdy lk/λv = 0,07 . Admitance na vstupu vloženého vedení musí mít reálnou složku G1 = Yov . To je splněno, když koncový bod fázoru činitele odrazu leží na kružnici normované konduktance g1 = Yov Yo1 = Z o1 Z ov = 600 300 = 2 . Úloha má opět dvě řešení: 1.

y1(1) = 2 +j 0,6 a l (1) / λv = 0,222

(

(1) 1

Susceptance B

)

l1(1) = l (1) λv − l k λv .λv = (0,222 − 0,07 ).2 = 0,304 m

Pak vložené vedení bude mít délku

= b .Yo1 = 0,6 / 600 = 1 mS bude kompenzována pahýlem se stejně velkou (1) 1

B p(1) = − B1(1) . Ten je možno realizovat cívkou

susceptancí s opačným znaménkem

s indukčností Lp = 1,06 μH, zapojenou paralelně ke vstupním svorkám vloženého vedení, nebo úsekem vedení (Zop ,lp) na konci nakrátko nebo naprázdno. Pak b p(1) = −0,3 a na obvodu Smithova diagramu najdeme hodnotu poměru l p(1) / λv = 0,454 . Pak pro pahýl - nakrátko - naprázdno

(1) l pk = (l p(1) / λv − 0,25).λv = (0,454 − 0,25).2 = 0,408 m

(

)

(1) l po = l p(1) / λv − 0 .λv = (0,454 − 0).2 = 0,908 m

Elektromagnetické vlny, antény a vedení - příklady 2.

31

y1( 2) = 2 -j 0,6 a l ( 2 ) / λv = 0,278

(

)

Vložené vedení bude mít délku l1( 2 ) = l ( 2 ) λv − l k λv .λv = (0,278 − 0,07 ).2 = 0,416 m . Susceptance B1(1) = b1(1) .Yo1 = −0,6 / 600 = -1 mS bude kompenzována pahýlem B p(1) = − B1(1) . Ten je možno realizovat kondenzátorem s kapacitou Cp = 1,06 pF nebo úsekem vedení (Zop , lp) na konci nakrátko nebo naprázdno. Pak b p(1) = +0,3 a na obvodu Smithova diagramu najdeme hodnotu poměru l p( 2 ) / λv = 0,046 . Stejným postupem dostaneme pro pahýl - nakrátko - naprázdno

(

)

( 2) l pk = l p( 2 / λv − 0,25 + 0,5 .λv = (0,046 + 0,25).2 = 0,592 m

(

)

( 2) l po = l p( 2 ) / λv − 0 .λv = (0,046 − 0 ).2 = 0,092 m

Příklad 6.2 Symetrické vedení (Zov = 200 Ω ; ξ = 1) je zatíženo impedancí (125 +j 100) Ω . Při kmitočtu 200 MHz má být dosaženo přizpůsobení sériovými pahýly, které mají kapacitní charakter a nejmenší délku. Pomocné vedení i pahýly realizujte vedením s impedancí 250 Ω. Vypočtěte: a) délku vloženého vedení b) délku a zakončení pahýlu c) hodnoty poměru stojatých vln na všech vedeních Příklad 6.3 Vedení (Zov = 75 Ω ; ξ = 1) je zatíženo impedancí (10 -j 20) Ω . Při kmitočtu 250 MHz má být dosaženo přizpůsobení sériovým pahýlem, který je na konci naprázdno a má nejmenší délku. Pomocné vedení realizujte vedením s impedancí 50 Ω , pahýl vedením s impedancí 75 Ω. Činitel zkrácení pomocného vedení i pahýlu je ξ = 1. Vypočtěte: a) délku vloženého vedení b) délku pahýlu c) hodnoty poměru stojatých vln na vloženém vedení a na pahýlu Příklad 6.4 Vedení (Zov = 75 Ω ; ξ = 2/3) je zatíženo impedancí (18 -j 42) Ω . Při kmitočtu 400 MHz má být dosaženo přizpůsobení paralelním pahýlem, který je na konci naprázdno a má nejmenší délku. Pomocné vedení realizujte vedením s impedancí 60 Ω , pahýl vedením s impedancí 75 Ω. Pomocné vedení i pahýl mají činitel zkrácení ξ = 2/3 . Vypočtěte: a) délku vloženého vedení b) délku pahýlu a jeho susceptanci c) hodnoty poměru stojatých vln na vloženém vedení

32


Příklad 6.5 Vedení (Zov = 60 Ω ; ξ = 0,8) je zatíženo impedancí (30 -j 18) Ω . Při kmitočtu 400 MHz má být dosaženo přizpůsobení kaskádou dvou úseků vedení. Jeden úsek má impedanci 60 Ω , zbývající úsek impedanci větší než 60 Ω . Obě pomocná vedení mají činitel zkrácení ξ = 0,8 . Vypočtěte: a) parametry Zo1 a l1 vedení nejblíže k zátěži b) parametry Zo2 a l2 druhého úseku vedení c) hodnoty poměru stojatých vln na koncích všech vedení Příklad 6.6 Zátěž s impedancí (93 –j 21) Ω má být na kmitočtu 250 MHz přizpůsobena k vedení (Zov = 70 Ω ; ξ = 0,8) obvodem s paralelním pahýlem. Vložené vedení i pahýl jsou tvořeny úseky vedení (Zo1 = Zop = 50 Ω ; ξ = 0,8).

Vypočtete délku vloženého vedení, délku pahýlu a jeho zakončení pro nejmenší délky všech úseků vedení. Příklad 6.7 Zátěž s impedancí (240 –j 360) Ω má být na kmitočtu 300 MHz přizpůsobena k symetrickému vedení (Zov = 300 Ω ; ξ = 1) kaskádou dvou úseků vedení s činitelem zkrácení ξ = 1, z nichž jedno má charakteristickou impedanci 400 Ω a druhé vedení má impedanci menší než 400 Ω . Vypočtěte: a) parametry Zo1 a l1 vedení nejblíže k zátěži b) parametry Zo2 a l2 druhého úseku vedení Příklad 6.8 Zátěž s impedancí (120 +j 120) Ω S má být na kmitočtu 75 MHz přizpůsobena k symetrickému vedení (Zov = 400 Ω ) obvodem se sériovými pahýly. Pomocné vedení má impedanci 400 Ω , pahýl 600 Ω. Obě vedení mají vzduchové dielektrikum (ξ = 1). Vypočtěte: a) délku vloženého vedení pro pahýly s induktivním charakterem b) délku nejkratšího pahýlu a jeho zakončení c) poměr stojatých vln na všech vedeních Příklad 6.9 Symetrické přenosové vedení (Zov = 300 Ω ; ξ = 1; β = 0,1 dB/m) délky 9,2 m je při kmitočtu 150 MHz zakončeno impedancí Zk =(780–j540) Ω . Na jeho vstupu je napětí 100 V. Vypočtěte: a) proud tekoucí zátěží b) impedanci na vstupu přenosového vedení Mezi zátěž a přenosové vedení byl zařazen přizpůsobovací obvod (podle příkladu 6.1) s vloženým vedením (Zo1 = 600 Ω ; ξ = 1) délky 0,304 m a paralelním pahýlem nakrátko (Zop = 300 Ω ; ξ = 1) délky 0,408 m . Vypočtěte pro nezměněné napětí na vstupu vedení c) napětí na zátěži d) proud tekoucí zkratem pahýlu e) impedanci na konci přenosového vedení po rozpojení zkratu pahýlu


33

Řešení:

Na všech vedeních je délka vlny λv = ξ.c/f = 1. 3.108/150.106 = 2 m a měrná fáze α = 2π/λv = 2π / 2 [rad/m] = 180o/m. Přenosové vedení posouvá fázi vln o úhel α.l α.l = 180.9,2 = 1656o ≡ 216o a součin β.l = 0,1.9,2/8,686 = 0,106 a) činitel odrazu ρp = 0,485.exp(-j 94o) na vstupu přenosového vedení vypočtěme pomocí Smithova diagramu nebo početní transformací podle ( 5.1 ) a ( 5.2 ) a využijeme k určení napětí postupné vlny na vstupu vedení podle ( 4.3a ) r Up 100 = = 92,5.exp(j26,6o) V Up = 1 + ρ p 1 + 0,485. exp(− j 94 o ) Proud postupné vlny na vstupu vedení r r I p = U p Z ov = 92,5. exp(− j 26,6 o ) 300 = 0,308.exp(j26,6o) A transformujeme na konec přenosového vedení podle ( 4.6b ) r r I k = I p . exp(− β l ).exp(− jα l ) = 0,308. exp( j 26,6 o ).exp(− 0,106).exp(-j216o) = = 0,278.exp(-j189o) A Pak zátěží teče proud podle ( 4.3b ) r I k = I k .(1 − ρ k ) = 0,278. exp(− j189 o ).(1 − 0,6. exp(− j 22 o ) = 0,138.exp(-j27o) A b) Na vstupu přenosového vedení je podle ( 4.3b ) proud r I p = I p .(1 − ρ p ) = 0,308. exp( j 26,6 o ).(1 − 0,485. exp(− j94 o ) = 0,351.exp(j52o) A Up

100 = (176 –j 223) Ω I p 0,35. exp( j52 o ) c) Nyní je přenosové vedení přizpůsobené a je na něm jen postupná vlna. Na jeho konci (na vstupu přizpůsobovacího obvodu) bude napětí a impedance

Zp =

=

U 1 = U p . exp(− β l ). exp(− jα l ) = 100. exp(−0,106). exp(− j 216 o ) = 90.exp(-j216o) V

a do přizpůsobovacího obvodu teče proud I1 = U 1 Z ov = 90. exp(− j 216 o ) 300 = 0,3.exp(-j216o) A Nyní je možno od proudu I1 odečíst proud U1/Bp vtékající do paralelního pahýlu a získaný proud spolu s napětím U1 transformovat podle ( 4.11a,b ) do místa zátěže na konec vloženého vedení. Snadněji lze výsledek získat z rovnosti činných výkonů před přizpůsobovacím obvodem a na zátěži, když můžeme předpokládat, že prvky přizpůsobovacího obvodu mají zanedbatelné ztráty. Do přizpůsobovacího obvodu pak dodává přenosové vedení výkon 2 P1 = U 1 Z ov = 90 2 300 = 27 W a stejný činný výkon odevzdá přizpůsobovací obvod do zátěže. Pak zátěží poteče proud

I k′ = P1 / Re(Z k ) = 27 / 780 = 0,186 A (fázi určit nelze).

d) na vstupu paralelního pahýlu je napětí U1 = 90.exp(-j216o) V a zkratem na konci pahýlu poteče podle ( 4.11a ) proud I pk =

U1 90. exp(− j 216 o ) = = 0,313.exp(-j306o) A j.Z op .sin(α p .l p ) j.300.sin(180.0,408)

34


7 Antény Antény jsou prvky rádiové trasy, které při vyzařování transformují elektromagnetickou vlnu na napájecím vedení na vlnu TEM šířící se prostorem. Při příjmu je jejich funkce opačná, základní vlastnosti antén jsou však v obou režimech shodné. Antény charakterizují jejich vyzařovací a impedanční vlastnosti. Při sledování vyzařování antény hledáme intenzitu pole v daném místě prostoru, vytvořenou anténou známé geometrie při zadaném buzení, obvykle popsaném amplitudou a fází vstupního proudu antény. Impedanční vlastnosti antény pak charakterizují zatížení budicího generátoru anténou a umožní vypočítat napěťové, proudové a výkonové poměry v obvodu buzení antény.

7.1 Symetrický dipól Symetrický dipól na Obr. 7.1 se skládá ze dvou ramen délky l , mezi které je připojen budicí zdroj. Při sledování vlastností dipólu je vhodné jej umístit do kulové souřadné soustavy podle Obr. 7.1 , kdy jeho vyzařování nezávisí na souřadnici φ a řešená úloha je pak dvojrozměrná. Ve vzdálené oblasti má intenzita elektrického pole E pouze složku kolmou na spojnici (průvodič) napájecích svorek dipólu a bodu pozorování P , která leží v rovině určené touto spojnicí a rameny dipólu. Pro dipól s osou ramen rovnoběžnou s osou z je to složka Eϑ , při obecné orientaci ramen dipólu bude nutno složku Eψ , určenou úhlem ψ , vyjádřit pomocí složek použitého souřadného systému. V dalším budeme index označující orientaci vektoru intenzity E vynechávat. z P l

ϑ r y x

ϕ l

Obr. 7.1: Symetrický dipól ve sférické souřadné soustavě

Pro dipól se stojatou vlnou proudu na anténním vodiči (na konci naprázdno) lze intenzitu elektrického pole vypočítat podle vztahu E (ψ ) = 60.I m .Fm (ψ ). exp(− jkr ) / r

( 7.1 )

kde Im je velikost proudu v kmitně proudu na dipólu, Fm je funkce záření vztažená k proudu v kmitně, k je vlnové číslo a r je vzdálenost fázového středu (střed kulových ploch, na


35

kterých má vlna stejnou fázi) od místa pozorování, ve kterém intenzitu pole počítáme. Rozložení proudu na rameni dipólu můžeme vyjádřit vztahem I ( z ) = I m .sin[k (l − z )]

( 7.2 )

Snadno se přesvědčíme, že na konci ramene (pro z = l) je proud nulový, na vstupních svorkách dipólu (pro z = 0) dostaneme I vst = I ( z = 0) = I m .sin (kl )

( 7.3 )

Pro funkci záření dipólu s uvažovaným rozložením proudu ( 7.2 ) platí vztah cos(kl. cosψ ) − cos kl sinψ

Fm (ψ ) = j

( 7.4 )

kde úhel ψ svírá průvodič k bodu pozorování s osou dipólu (v Obr. 7.1 je ψ = ϑ ). Výkon PΣ vyzářený dipólem vypočteme integrací hustot výkonu po povrchu kulové plochy, kdy po dosazení ze ( 7.1 ) do ( 3.9 ) dostaneme ⎡ 30 2π π ⎤ 2 PΣ = I m2 .⎢ . ∫∫ Fm .sin ϑ.dϑ.dϕ ⎥ = RΣ m .I m2 ⎣π 0 0 ⎦

( 7.5 )

Vzhledem k nezávislosti integrandu na úhlu φ přejde vnější integrál v násobení výrazu konstantou 2π . Konstanta úměrnosti mezi vyzářeným výkonem a kvadrátem proudu určuje odpor záření RΣ antény. Odpor záření dipólu, vztažený k proudu v kmitně Im je dán výrazem v závorce vztahu ( 7.5 ) , který při využití nezávislosti výrazu na úhlu φ bude mít tvar π

RΣm = 60.∫ F sin ϑ.dϑ 2

( 7.6 )

0

Z praktického hlediska je užitečné znát odpor záření vztažený ke vstupnímu proudu, který je možno snadno měřit. Z podmínky stejného vyzářeného výkonu 2 PΣ = RΣm .I m2 = RΣ vst .I vst dostaneme využitím ( 7.3 ) vztah RΣ vst = RΣ m .[I m I vst ] = RΣ m sin 2 (kl ) 2

( 7.7 )

Dalším parametrem antény je činitel směrovosti, který udává, kolikrát větší hustotu výkonu vytvoří v daném směru daná anténa ve srovnání se všesměrovým zářičem napájeným stejným výkonem D(ϑ ,ϕ ) =

4π 2π π

∫∫ 0 0

F (ϑ ,ϕ ) .sin ϑ.dϑ.dϕ Fmax 2

=

120. Fm (ϑ ,ϕ ) RΣ m

2

( 7.8 )

V prvním případě pro výpočet postačí znalost normované směrové charakteristiky antény (kterou lze získat i měřením, ale v celém sektoru směrů), nebo funkce záření pro sledovaný směr a odpovídající odpor záření antény. Pro výpočet funkce záření, odporu záření a činitele směrovosti dipólu rovnoběžného s osou z je možno použít proceduru MATLAB, uvedenou v [ 2 ].

36

FEKT Vysokého učení technického v Brně Příklad 7.1 Symetrický dipól má délku ramene 0,5 m a je buzen proudem o kmitočtu 500 MHz. Vypočtěte funkci záření a) ve směru odchýleném o 50o od osy ramene dipólu b) ve směru kolmém na ramena dipólu

Řešení: V řešeném příkladu je poměr l / λ = 0,833 a součin k.l = 300o . Pak funkce záření dipólu, vztažená k proudu v kmitně, je podle ( 7.4 )

a) ve směru ψ = 50o cos(kl. cosψ ) − cos(kl ) cos(300 o. cos 50 o ) − cos(300 o ) Fm (50 o ) = j = j = -j.1,925 sin (ψ ) sin (50 o ) b) ve směru kolmém na ramena dipólu ψ = 90o

( )

Fm 90 o = j

(

)

(

)

cos(kl. cosψ ) − cos(kl ) cos 300 o. cos 90 o − cos 300 o = j = j.0,5 sin (ψ ) sin 90 o

( )

Poznámka: Vzhledem k velké délce ramen (l/λ > 0,5 ) je záření maximální v jiném směru než kolmo na rameno dipólu. Opačné znaménko výsledků ukazuje na opačnou fázi pole vzhledem k fázi budicího proudu. Příklad 7.2 Dipól má ramena rovnoběžná s osou x souřadné soustavy. Odvoďte funkci záření dipólu v hlavních rovinách. Řešení: Situace je znázorněna na Obr. 7.2 spolu s vyznačením použitých úhlů. Cílem řešení je vyjádřit úhel ψ mezi rameny dipólu a průvodičem r k bodu pozorování P pomocí úhlů ϑ a φ v každé z hlavních rovin kartézské souřadné soustavy. z

P

ϑ

z

r ψ

ϑ y

x

z

P

y

P

ϑ ψ=ϕ

ψ y

x

x

ϕ

a) b) Obr. 7.2: Dipól s rameny rovnoběžnými s osou x a) rovina zx : Fzx (ϑ ) = j b) rovina zy : Fzy (ϑ ) = j

P

c)

d)

ψ = π 2 −ϑ ; φ = 0 cos[kl. cos(ψ = π 2 − ϑ )] − cos (kl ) cos(kl.sin (ϑ )) − cos (kl ) = j sin (ψ = π 2 − ϑ ) cos(ϑ )

ψ =π 2 ; ϕ =π 2 cos [kl. cos (π 2)] − cos (kl ) = j[1 − cos (kl )] sin (π 2)


37

ϑ =π 2 ; ψ =ϕ

c) rovina xy : Fx y (ϕ ) = j

cos [kl. cos (ϕ )] − cos (kl ) sin (ϕ )

Příklad 7.3: Dipól má ramena délky 100 mm rovnoběžná s osou y souřadné soustavy a je buzen proudem Ivst = 0,5 A o kmitočtu 500 MHz.

Vypočtěte: a) velikost proudu v kmitně b) intenzitu elektrického pole v bodě o souřadnicích (r = 20 m ; ϑ = 30 o ; φ = 90o) c) intenzitu elektrického pole v bodě o souřadnicích (r = 10 m ; ϑ = 90 o ; φ = 60o) Příklad 7.4 V jak velké vzdálenosti vytvoří symetrický půlvlnný dipól (l=λ/4), buzený na vstupních svorkách proudem 0,1 A, intenzitu elektrického pole o velikosti 1 V/m ve směru kolmém na osu dipólu?

7.2 Záření soustav antén Pro dosažení požadovaného vyzařování antén se antény sdružují do anténních soustav. Volbou rozmístění prvků soustavy (dílčích antén) v prostoru a jejich buzení, určeného amplitudami a fázemi proudů v jednotlivých prvcích (dipólech, dílčích anténách) je možno účinně měnit vyzařování anténní soustavy do předepsaných směrů. Záření soustavy antén je dáno součtem dílčích intenzit Ei jednotlivých prvků. Pak s využitím ( 7.1 ) dostaneme pro soustavu N prvků obecný vztah N N exp(− jkri ) ~ E (ϑ ,ϕ ) = ∑ Ei (ϑi ,ϕ i ) = 60.∑ I i .Fm i (ϑi ,ϕ i ). ( 7.9 ) ri i =1 i =1 ~ ~ kde I i = I i . exp( jΦ i ) je fázor budicího proudu v kmitně i-tého prvku, Fm i (ϑi ,ϕ i ) je jeho

funkce záření (vztažená rovněž ke kmitně proudu) a ri je délka průvodiče (spojnice) od prvku k místu pozorování P . Obvykle počítáme intenzity pole ve vzdálené (Fraunhoferově) oblasti, kde lze průvodiče ri považovat za rovnoběžné a jejich délky vyjádřit pomocí průvodiče r ze zvoleného vztažného bodu soustavy a odpovídajícího dráhového rozdílu Δri ri = r − Δri

( 7.10 )

jak je zřejmé z Obr. 7.3 . z r2 // I2 r i // P Ii r // Δri . // I1

r1

y

x Obr. 7.3: Anténní soustava

38


Je-li anténní soustava tvořena stejnými a v prostoru stejně orientovanými prvky, které pak mají také shodnou funkcí záření Fm (ϑ ,ϕ ) , dostaneme vztah ⎡ N Iî ⎤ exp(− jkr ) ⎢ E (ϑ ,ϕ ) = 60.I o .Fm (ϑ ,ϕ ). ∑ . exp( jφ ). exp( jkΔri )⎥. ( 7.11 ) ⎢ i =1 I o ⎥ r ⎣ ⎦ Zde Io značí zvolený vztažný proud, např. proud v kmitně vybraného prvku (dipólu).

Členem v hranaté závorce se poslední výsledek liší od vztahu ( 7.9 ) pro záření jednoho prvku. Tento člen určuje tzv. skupinovou funkci záření Fsk (ϑ ,ϕ ) řešené soustavy, která závisí jen na rozmístění prvků v prostoru a na jejich buzení. Vztah ( 7.11 ) lze bezprostředně využít při numerickém řešení úloh, pro analýzy vlastností soustav je však vhodné jej dále upravit. Při těchto úpravách je výhodné, když rozmístění prvků v prostoru i jejich budicí proudy jsou vhodným způsobem souměrné. Pak je možné úpravami, např. pomocí Eulerových vztahů, výrazy dále zjednodušovat na tvary umožňující snadno zjistit vybrané vlastnosti anténní soustavy nebo volit rozmístění nebo buzení prvků tak, aby anténní soustava měla požadované vyzařovací vlastnosti. Tento postup bude ukázán na příkladu výpočtu záření soustavy antén v hlavních rovinách, v závěru kapitoly pak bude postup zobecněn tak, aby bylo možné určit záření do libovolného směru v prostoru. Při výpočtu záření soustav s větším počtem prvků je možno nejprve určit záření dílčí soustavy s malým počtem prvků a řešenou soustavu postupně skládat z takových dílčích soustav. Např. soustavu šesti stejně vzdálených dipólů můžeme rozdělit na dvě trojice nebo tři dvojice dipólů. Podle zvoleného postupu skládání pak získáme formálně odlišné výsledky, které však dají shodnou výslednou intenzitu pole celé soustavy. Vliv blízké vodivé rovinné plochy – rovinného reflektoru je možno postihnout využitím principu zrcadlení. Záření proudů na povrchu reflektoru nahradíme zářením pomocných prvků umístěných zrcadlově vzhledem ke skutečným prvkům soustavy. Ve skutečném a zrcadlovém prvku mají proudy stejnou velikost. Směr proudu je v obou prvcích stejný u prvků kolmých na vodivou plochu reflektoru a opačný u prvků rovnoběžných s vodivou plochou. Při výpočtu pak nahradíme celou skutečnou soustavu antén zářičem v místě, odkud vychází průvodič r ve vztahu ( 7.11 ) , zrcadlové prvky pak stejným zářičem zrcadlově souměrným podle plochy reflektoru a buzeným stejně velkým proudem se stejnou (resp. opačnou) fází. V případě prvků rovnoběžných s rovinou reflektoru je ještě nutno ověřit, zda zrcadlová soustava jako celek je skutečně buzena protifázově ve srovnání se skutečnou soustavou (viz Příklad 7.11). Ve všech případech platí výsledky řešení pouze v poloprostoru, ve kterém leží skutečná soustava. Příklad 7.5 Tři rovnoběžné dipóly leží v rovině rovnoběžné s rovinou xy a jejich středy mají shodnou souřadnici x . Jejich ramena mají délku l a jsou rovnoběžná s osou x , vzdálenost středů sousedních dipólů je d. Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy, fáze proudů v sousedních dipólech se ve směru +y zpožďuje o úhel Φ .

Vypočtěte: a) obecně intenzitu elektrického pole v bodech ležících v hlavních rovinách b) při jakém posuvu fází proudů Φ bude soustava v rovině zy maximálně zářit ve směru odchýleném o 60o od spojnice středů dipólů c) při jaké vzdálenosti dipólů d nebude soustava soufázově buzených dipólů zářit ve směru spojnice dipólů d) jak se změní výsledky a) pro dipóly rovnoběžné s osou y (souosé dipóly, d > 2l )


39

Řešení:

Dipóly můžeme umístit přímo do roviny xy, jak ukazuje Obr. 7.4a . z

z y

I3

I2

x

d

I1

I1 y

//

r1

d

Δr

d

Δr

d I3

a) b) Obr. 7.4: Tři rovnoběžné dipóly

r2 =r //

ϕ

r3

z P x

//

I3

Δr

ϑ r3 // P r2 =r // r1 // Δr

d

d

I1

ϑ

y

c)

r

Δr = 0

P x

d)

Funkce záření dipólu v hlavních rovinách byly odvozeny v Příklad 7.2. Budicí proudy dipólů je možno vyjádřit pomocí proudu Io (v kmitně) pomocí vztahů ~ ~ ~ I1 = I o . exp(− jΦ ) , I 2 = I o , I 3 = I o . exp(+ jΦ ) a) Každý dipól je při řešení nahrazen bodovým zářičem v místě napájecích svorek dipólu, jeho orientace v prostoru a délka ramen jsou plně určeny konkrétním tvarem funkce záření dipólu Fm (ϑ , ϕ ) . ~ Při řešení úlohy vyjádříme v každé hlavní rovině dílčí intenzity pole Ei podle ( 7.9 ) a úpravou jejich součtu získáme výraz pro skupinovou funkci soustavy v této rovině. Délky průvodičů vyjádříme v exponentech výrazů pomocí dráhových rozdílů Δ r podle vztahu r1 = r − Δr , r2 = r , r3 = r + Δr jejichž konkrétní vyjádření pro každou z hlavních rovin je třeba určit z nákresu situace v řešené rovině. Ve jmenovatelích výrazů můžeme vliv těchto rozdílů zanedbat a dosazovat ri = r . - rovina xy Situace je patrná z Obr. 7.4b , podle kterého platí Δ r = d.sin φ . Pak ~ ~ E1 = 60.I1 .Fm (ϕ ). exp(− jkr1 ) / r1 = 60.I o . exp(− jΦ ).Fm (ϕ ). exp(+ jkd .sin ϕ ). exp(− jkr ) / r ~ ~ E 2 = 60.I 2 .Fm (ϕ ). exp(− jkr2 ) / r2 = 60.I o .Fm (ϕ ). exp(− jkr ) / r ~ E3 = 60.Iˆ3 .Fm (ϕ ). exp(− jkr3 ) / r1 = 60.I o . exp(+ jΦ ).Fm (ϕ ). exp(− jkd .sin ϕ ). exp(− jkr ) / r a součet dílčích intenzit ~ ~ ~ E x y (ϕ ) = E1 + E2 + E3 =

exp(− jkr ) = r cos [kl. cos (ϕ )] − cos (kl ) exp(− jkr ) .[1 + 2. cos(kd sin ϕ − Φ )]. = 60.I o . j sin (ϕ ) r - rovina zy Podle Obr. 7.4c je Δ r = d.sin ϑ . Sečtením dílčích intenzit pole, dosazením funkce záření dipólu Fzy (ϑ ) = j[1 − cos (kl )] a úpravě součtu exponenciálních členů dostaneme = 60 I o .Fm x y (ϕ ).[exp(− jΦ ). exp( j (kΔr ) + 1 + exp( jΦ )exp(− jkΔr )].

E zy (ϑ ) = 60 .I o . j [1 − cos (kl )].[1 + 2 . cos (kd sin ϑ − Φ )]. exp (− jkr ) / r

40


- rovina zx Pro body této roviny (Obr. 7.4d) jsou průvodiče kolmé na osu dipólu ( ψ = π/2 ) a ve vzdálené oblasti i vzájemně rovnoběžné. Pak r1 = r2 = r3 = r a v součtu dílčích intenzit se uplatní jen posuv fáze Φ budicích proudů. Dosazením funkce záření dipólu cos(kl.sin (ϑ )) − cos (kl ) Fzx (ϑ ) = j cos(ϑ ) dostaneme výsledný vztah cos(kl.sin (ϑ )) − cos [kl ] [1 + 2.cos(Φ )].exp(− jkr ) / r E zx (ϑ ) = 60.I o . j cos(ϑ ) b)

Fázový posuv budicích proudů Φ je obsažen pouze ve skupinové funkci záření Fsk zy (ϑ ) = [1 + 2. cos(kd sin ϑ − Φ )] a její maximum cos(kd sin ϑ − Φ ) = +1 nastává při

(kd sin ϑ − Φ ) = 2nπ

, kde n je celé číslo. Směr odchýlený o úhel od spojnice středů dipólů je v této rovině určen úhlem ϑ = 90 o − α = 90 o − 60 o = 30 o a maximum záření nastává při posuvu fází proudů Φ = (kd sin ϑ − 2nπ ) = 2π .(d / 2λ − n )

Pro soustavu se vzdáleností dipólů d = λ/2 by maximum záření v uvažovaném směru nastalo při Φ = π/2 . c) Při soufázovém buzení je Φ = 0 a zadaný směr minima záření je určen úhlem ϑ = 90 o . Soustava nezáří (skupinová funkce je nulová) při cos(kd sin ϑ − Φ ) = −0,5 , kdy kd sin ϑ = 120 o nebo kd sin ϑ = 240 o . Pak d = (120 o )/ (k .sin ϑ ) = λ.(120 o 360 o ) = λ / 3 nebo d = (240 o )/ (k .sin ϑ ) = 2λ / 3 d) Změna prostorové orientace dipólu se projeví jen ve funkci záření dipólu, který bude rovnoběžný s osou y . Pak dostaneme ψ + φ = π/2

- rovina xy Fm x y = j

cos [kl. cos (ψ )] − cos (kl ) cos [kl.sin (ϕ )] − cos (kl ) = j sin (ψ ) cos (ϕ )

- rovina zy Fm z y (ϑ ) = j

ψ +ϑ = π / 2 cos(kl. cos(ψ )) − cos (kl ) cos(kl.sin (ϑ )) − cos (kl ) = j sin (ψ ) cos(ϑ )

ψ = π/2 cos(kl. cos(π / 2)) − cos (kl ) Fm zx (ϑ ) = j = j[1 − cos(kl )] sin (π / 2)

- rovina zx

Příklad 7.6 Soustava podle předchozího příkladu je umístěna ve výšce h nad dobře vodivou rovinou (reflektorem) a její dipóly jsou buzeny soufázově.

Vypočtěte: a) obecně intenzitu elektrického pole v bodech ležících v hlavních rovinách b) při jaké vzdálenosti dipólů h bude tato soustava v rovině zy maximálně zářit ve směru odchýleném o 30o od roviny reflektoru.


41

Řešení: Řešenou situaci ukazuje Obr. 7.5a . Dipóly skutečné soustavy antén jsou rovnoběžné s rovinou reflektoru a proudy v nich mají stejnou fázi (Φ = 0). Zrcadlová soustava (Obr. 7.5b) má dipóly rovněž rovnoběžné s rovinou reflektoru a proud v každém jejím dipólu má opačnou fázi I´í = - Ií než proud v odpovídajícím dipólu skutečné soustavy. Pak i pro vztažné proudy platí Ió = - Io . z I3

I2

z

I1

h

I2

I3

I1

h

h

y

y h

x

z ϑ Io

x , I3

a) Obr. 7.5: Soustava antén s reflektorem

Δr

h

Δr

,

//

, r

//

r

P y

,, , r //

,

, I2

b)

, I1

Io

c)

a) Při řešení opět zakreslíme situaci ve sledované hlavní rovině a délky průvodičů r ′ a r ′′ vyjádříme pomocí dráhového rozdílu Δr ′ . Dílčí intenzity pole E ′ a E ′′ sečteme a úpravou získáme vztah pro výslednou intenzitu pole pro řešenou rovinu, ve kterém lze najít i skupinovou funkci reflektoru Fr . - rovina zy Podle Obr. 7.5c jsou délky průvodičů r ′ = r − Δr ′ a r ′′ = r + Δr ′ , kde dráhový rozdíl Δr ′ = h. cosϑ Δ . Pak intenzity pole E ′ a E ′′ lze vyjádřit vztahy E ′ = 60.I o′ .Fz y (ϑ ). exp(− jkr ′) / r ′ = 60.I o ..Fz y (ϑ ). exp(+ jkh. cosϑ ). exp(− jkr ) / r E ′′ = 60.I o′′.Fz y (ϑ ). exp(− jkr ′′) / r ′′ = 60.(− I o )..Fz y (ϑ ). exp(− jkh. cosϑ ). exp(− jkr ) / r

a jejich součet E z y (ϑ ) = E ′ + E ′′ = 60.I o .Fz y (ϑ ).[exp(+ jkh. cosϑ ) − exp(− jkh. cosϑ )]. exp(− jkr ) / r = = 60.I o . j[1 − cos (kl )].[1 + 2. cos(kd sin ϑ )].[2 j sin (kh cosϑ )]. exp(− jkr ) / r

V poslední lomené závorce je vyjádřena funkce reflektoru Fr z y = [2 j sin (kh cosϑ )] pro řešenou rovinu zy . - rovina zx Situaci v této rovině znázorňuje, po záměně os y a x , opět Obr. 7.5c . Funkce reflektoru pak bude dána stejným vztahem Fr z x = Fr z y = [2 j sin (kh cosϑ )] , do vztahu pro intenzitu pole je však nutno dosadit odpovídající funkci záření soustavy Fzx . Tak dostaneme výsledný vztah cos(kl.sin (ϑ )) − cos [kl ] [1 + 2.cos(0)].[2 j sin (kh cosϑ )].exp(− jkr ) / r E zx (ϑ ) = 60.I o . j cos(ϑ ) - rovina xy Ve vzdálené oblasti budou průvodiče od vztažných bodů skutečné i zrcadlové soustavy ke každému bodu této roviny stejně dlouhé a dráhové rozdíly budou nulové. Nulová bude i funkce reflektoru Fr x y = [2 j sin (kh cos(π / 2))] = 0 a soustava s reflektorem do těchto směrů nezáří. Tomu odpovídá i představa nulové velikosti (tečné složky) intenzity elektrického pole na povrchu vodivé plochy.

42


Příklad 7.7 Čtyři rovnoběžné dipóly leží v rovině xy a jejich středy mají shodnou souřadnici x . Ramena dipólů mají délku l a jsou rovnoběžná s osou x , vzdálenost středů sousedních dipólů je d. Dipóly jsou buzeny soufázově stejně velkými proudy.

Vypočtěte: a) obecně intenzitu elektrického pole v bodech ležících v rovině zy . b) při jaké vzdálenosti dipólů d bude soustava maximálně zářit ve směru odchýleném o úhel α od spojnice dipólů. c) jak se změní výsledek a) při buzení s opačnou fází proudu v sousedních dipólech Řešení:

Řešená situace je znázorněna na Obr. 7.6a . a) Pro sčítání příspěvků záření jednotlivých dipólů bude výhodné nejprve vypočítat záření vhodně zvolených dvojic dipólů a z nich pak sestavit řešenou soustavu. V tomto příkladu si ukážeme dvě možnosti dělení na dílčí soustavy. z I4

z

I3

I2

I1 y

d

d

, Io

I4

I3

d d

r

r ,,

r

c)

a) z // r4

I4

r ,,

P r // 2 // r , ϑ , // r1 // Δr , Io I1 y I2 d/2 d/2 d //

r3

z

P // // r r 2 ϑ // Δ r2 r1 Δ r1 // y I3 d/2 d/2 I2 I1 3d/2 3d/2 b)

Δ

r ,,

ϑ

,

Io

d

//

Δ r ,, d

// , Io

P r, y

d)

Obr. 7.6: Soustava čtyř dipólů

1. V prvním případě (Obr. 7.6b) leží vnitřní dipóly souměrně kolem počátku souřadnic ve vzdálenosti d/2 a jsou buzeny stejnými proudy I2 = I3 = Io . Postupem podle Příklad 7.5 dostaneme pro intenzitu pole vztah ⎞ ⎛ d E 23 zy (ϑ ) = 60.I o . j[1 − cos (kl )].2. cos⎜ k sin ϑ ⎟. exp(− jkr ) / r ⎠ ⎝ 2

Vnější dipóly jsou rovněž umístěny souměrně kolem počátku, jsou buzeny stejnými proudy I1 = I4 = Io , ale jejich vzdálenost od vztažného bodu (počátku souřadnic) je 3d/2 . Pak intenzita pole E14 dvojice vnějších dipólů bude rovna ⎞ ⎛ 3d E14 zy (ϑ ) = 60.I o . j[1 − cos (kl )].2. cos⎜ k sin ϑ ⎟. exp(− jkr ) / r ⎠ ⎝ 2

Protože obě dílčí skupiny mají společný vztažný bod (v počátku souřadnic), dostaneme sečtením intenzit pole E14 a E23 výsledný vztah


43

⎡ ⎞⎤ ⎛ d ⎞ ⎛ 3d E zy (ϑ ) = 60.I o . j[1 − cos (kl )].⎢2. cos⎜ k sin ϑ ⎟ + 2. cos⎜ k sin ϑ ⎟⎥. exp(− jkr ) / r ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎣

Výraz v lomené závorce je vyjádřením skupinové funkce záření v součtovém tvaru. 2. Druhou možností (Obr. 7.6c) je nejprve sečíst záření dipólů s proudy I1 = I2 = Ió vzhledem k bodu uprostřed jejich spojnice, ze kterého vychází průvodič r´ ⎞ ⎛ d E12 zy (ϑ ) = 60.I o′ . j[1 − cos (kl )].2. cos⎜ k sin ϑ ⎟. exp(− jkr ′) / r ′ ⎠ ⎝ 2

Formálně stejný výsledek dostaneme i pro záření druhé dvojice dipólů, lišící se jen vztažným bodem a průvodičem r´´ ⎞ ⎛ d E34 zy (ϑ ) = 60.I o′ . j[1 − cos (kl )].2. cos⎜ k sin ϑ ⎟. exp(− jkr ′′) / r ′′ ⎠ ⎝ 2 Obě dvojice (Obr. 7.6d) leží souměrně vzhledem k počátku souřadné soustavy a dráhové rozdíly Δr ′′ = d .sin ϑ jsou stejně velké. Pak součet intenzit pole obou dvojic je dán vztahem ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ d E zy (ϑ ) = 60.I o′ . j[1 − cos (kl )].⎢2. cos⎜ k sin ϑ ⎟.2. cos(kd sin ϑ )⎥. exp(− jkr ) / r ⎠ ⎝ 2 ⎣ ⎦

V tomto vztahu je skupinová funkce záření (v lomené závorce) vyjádřena součinem dílčích funkcí. Oba tvary (součtový a součinový) skupinové funkce jsou rovnocenné a úpravami je možno je navzájem převádět. Při analýze vlastností soustavy však může některý z nich umožnit snadnější získání výsledku. b) V maximu záření dosahuje skupinová funkce hodnoty

Fsk = 4 . Při hledání podmínek

maxima záření bude výhodnější využít součinový tvar skupinové funkce, kdy oba kosinové členy mohou nabývat hodnot ± 1 . Obě podmínky (k d 2 .sin ϑ ) = n.π a (kd .sin ϑ ) = n.π jsou splněny při d = n.λ / sin ϑ . Protože pro úhel α , měřený od spojnice dipólů, platí α + ϑ = π / 2 , je požadovaná vzdálenost dipólů d dána vztahem d = n.λ / cos α . c) Při protifázovém buzení sousedních prvků soustavy platí I1 = -I2 =I3 = -I4 = Io . Rozdělením soustavy na dvojice vnitřních a vnějších dipólů budeme sčítat protifázové příspěvky a skupinová funkce bude vyjádřena součtem sinových členů ⎡ ⎞⎤ ⎛ d ⎞ ⎛ 3d E zy (ϑ ) = 60.I o . j[1 − cos (kl )].⎢2. j.sin ⎜ k sin ϑ ⎟ + 2. j.sin ⎜ k sin ϑ ⎟⎥. exp(− jkr ) / r ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎣ Při použití druhého postupu dělení soustavy bude buzení dvojice dipólů I1 = -I2 = Io opět protifázové a intenzita pole bude dána vztahem ⎞ ⎛ d E12 zy (ϑ ) = 60.I o′ . j[1 − cos (kl )].2. j.sin ⎜ k sin ϑ ⎟. exp(− jkr ′) / r ′ ⎠ ⎝ 2 Obě dvojice jsou však buzeny soufázově (v „levém“ dipólu je v obou případech stejná fáze proudu) a výsledek sčítání jejich příspěvků záření bude stejný jako v příkladu a) . Pak výsledná intenzita pole bude dána vztahem ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ d E zy (ϑ ) = 60.I o′ . j[1 − cos (kl )].⎢2. j.sin ⎜ k sin ϑ ⎟.2. cos(kd sin ϑ )⎥. exp(− jkr ) / r ⎠ ⎝ 2 ⎣ ⎦

44


Příklad 7.8 Dva rovnoběžné dipóly s rameny délky l leží v rovině rovnoběžné s rovinou zx a jejich středy ve vzdálenosti d mají stejnou souřadnici x . Střed spojnice dipólů je ve vzdálenosti h od vodivé roviny xy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy se stejnou fází.

Vypočtěte: a) obecný vztah pro funkci záření antény v rovině zy b) intenzitu elektrického pole pro f = 75 MHz , l = 0,5 m , d = 2 m , h = 2 m , I = 0,2 A v bodě [r = 65 m , ϑ = 60o , φ = 90o] c) při jaké vzdálenosti d nebude anténa zářit v rovině zy ve směru ϑ = 30o Příklad 7.9 Dva rovnoběžné dipóly s rameny délky l leží v rovině rovnoběžné s rovinou zy a jejich středy ve vzdálenosti d mají stejnou souřadnici z . Středy dipólů jsou ve vzdálenosti h od vodivé roviny zy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy se stejnou fází.

Vypočtěte: a) obecný vztah pro funkci záření antény v rovině xy b) intenzitu elektrického pole pro f = 50 MHz , l = 1 m , d = 3 m , h = 2 m , I = 0,5 A v rovině xy ve vzdálenosti 505 m ve směru odchýleném o 60o od osy x c) při jaké vzdálenosti h bude anténa zářit maximálně v rovině xy ve směru odchýleném o 30o od osy x Příklad 7.10 Dva souosé dipóly mají ramena délky l rovnoběžná s osou x a jejich středy jsou ve vzdálenosti d . Spojnice středů dipólů leží ve vzdálenosti h od vodivé roviny xy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy s opačnou fází.

Vypočtěte: a) obecný vztah pro funkci záření antény v rovině zx b) intenzitu elektrického pole pro f = 6 MHz , l = 10 m , d = 25 m , h = 10 m , I = 1,5 A v rovině zx ve vzdálenosti 2 km ve směru odchýleném o 60o od osy z . c) při jaké vzdálenosti h bude anténa zářit maximálně v rovině zx ve směru odchýleném o 30o od osy z Příklad 7.11 Dva rovnoběžné dipóly s rameny délky l , rovnoběžnými s osou y , leží v rovině rovnoběžné s rovinou zy . Jejich středy ve vzdálenosti d mají stejnou souřadnici y , střed spojnice dipólů je ve vzdálenosti h od vodivé roviny xy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy s opačnou fází.

Vypočtěte: a) obecný vztah pro funkci záření antény v rovině zy b) intenzitu elektrického pole pro f = 150 MHz , l = 0,3 m , d = 1 m , h = 0,8 m , I = 50 mA v rovině zy ve vzdálenosti 31 m ve směru odchýleném o 60o od osy z c) při jaké vzdálenosti h nebude anténa zářit v rovině zy ve směru odchýleném o 30o od osy z


45

Příklad 7.12 Dva souosé dipóly mají ramena délky l rovnoběžná s osou x a jejich středy jsou ve vzdálenosti d . Spojnice středů dipólů leží ve vzdálenosti h od vodivé roviny zx . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy se stejnou fází.

Vypočtěte: a) obecný vztah pro funkci záření antény v rovině xy b) intenzitu elektrického pole pro f = 600 MHz , l = 0,1 m , d = 0,25 m , h = 0,1 m , I = 0,3 A v rovině xy ve vzdálenosti 20 m ve směru odchýleném o 60o od osy x . c) při jaké vzdálenosti d bude anténa maximálně zářit v rovině xy ve směru odchýleném o 30o od osy x Příklad 7.13 Dva rovnoběžné dipóly s rameny délky l rovnoběžnými s osou z leží v rovině rovnoběžné s rovinou zx . Jejich středy jsou ve vzdálenosti d , spojnice dipólů je ve vzdálenosti h od vodivé roviny xy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy s opačnou fází o kmitočtu 150 MHz.

Vypočtěte: a) obecné vztahy pro funkci záření antény v hlavních rovinách b) při jaké vzdálenosti d bude anténa zářit maximálně ve směru odchýleném o 30o od osy z c) při jaké vzdálenosti h nebude anténa zářit ve směru odchýleném o 60o od osy z Příklad 7.14 Dva rovnoběžné dipóly s rameny délky l rovnoběžnými s osou y leží v rovině rovnoběžné s rovinou xy . Jejich středy jsou ve vzdálenosti d , střed spojnice dipólů je ve vzdálenosti h od vodivé roviny zy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy se stejnou fází o kmitočtu 500 MHz.

Vypočtěte: a) obecné vztahy pro funkci záření antény v hlavních rovinách b) ve kterých směrech anténa nezáří při vzdálenosti d = 0,6 m v rovině kolmé na osu dipólů c) při jaké vzdálenosti středů dipólů d bude anténa zářit maximálně ve směru +x Příklad 7.15 Dva souosé dipóly mají ramena délky l rovnoběžná s osou y a jejich středy jsou ve vzdálenosti d . Spojnice středů dipólů leží ve vzdálenosti h od vodivé roviny xy . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy se stejnou fází.

Vypočtěte: a) obecné vztahy pro funkci záření antény v hlavních rovinách b) intenzitu elektrického pole pro f = 75 MHz , l = 0,8 m , d = 2 m , h = 1 m , I = 1,5 A v rovině zx ve vzdálenosti 1 km ve směru odchýleném o 60o od osy z . c) při jaké vzdálenosti h bude anténa zářit maximálně ve směru odchýleném o 60o od osy z

46


Příklad 7.16 Dva rovnoběžné dipóly s rameny délky l leží v rovině rovnoběžné s rovinou zx . Jejich středy leží na ose z ve vzdálenosti d . Dipóly jsou buzeny stejně velkými proudy o kmitočtu 300 MHz, fáze proudu v horním dipólu je zpožděna o 90o.

Vypočtěte: a) obecné vztahy pro funkci záření antény v hlavních rovinách b) ve kterých směrech anténa nezáří v rovině kolmé na osu dipólů při vzdálenosti d = 0,25 m c) při jaké fázi proudu v horním dipólu anténa nezáří ve směru +z Příklad 7.17 Anténní soustavu tvoří tři rovnoběžné dipóly v rovině zx , jejichž ramena délky l jsou rovnoběžná s osou x . Vzdálenost sousedních dipólů je d . Proud ve středním dipólu má dvojnásobnou velikost než proudy v krajních dipólech, fáze proudů se zpožďuje o úhel Φ ve směru +z.

Vypočtete: a) obecné vztahy pro funkci záření antény v hlavních rovinách b) při jakém posuvu fáze proudů Φ anténa nezáří ve směru +y Příklad 7.18 Pro soustavu tří rovnoběžných dipólů, řešenou v Příklad 7.5 odvoďte vztah pro výpočet intenzity elektrického pole pro obecnou polohu bodu pozorování. Řešení:

Využití jednoduchých geometrických úvah pro stanovení úhlu ψ ve funkci záření dipólu ( 7.4 ) a vyjádření dráhových rozdílů Δr při odvození skupinové funkce záření ( 7.10 ) je omezeno na případy, kdy bod pozorování leží v některé z hlavních rovin zvolené souřadné soustavy. Pro obecnou polohu bodu pozorování je tento postup náročnější, situaci však výrazně zjednoduší využití směrových úhlů ( Obr. 7.7 ) místo úhlů ϑ a φ k vyjádření směru průvodiče r v prostoru.

z P

ψz

ψy

ϑ

ψx y x

ϕ l

Obr. 7.7: Směrové úhly

Směrové úhly ψx , ψy a ψz jsou sevřeny mezi průvodičem r a směrem odpovídající osy souřadné soustavy. Kosiny směrových úhlů (směrové kosiny) jsou určeny vztahy cos(ψ x ) = cos(ϕ ).sin (ϑ ) , cos(ψ y ) = sin (ϕ ).sin (ϑ ) , cos(ψ z ) = cos(ϑ )

( 7.12 )


47

V řešené úloze jsou ramena dipólu rovnoběžná s osou x a úhel ψ ve funkci záření dipólu ( 7.4 ) je pak shodný s úhlem ψx . Pak funkce záření dipólu bude obecně vyjádřena vztahem cos(kl. cosψ x ) − cos(kl ) cos(kl. cos ϕ .sin ϑ ) − cos(kl ) Fm (ϑ ,ϕ ) = j = j. 2 sin (ψ x ) 1 − (cos ϕ .sin ϑ ) Ve skupinové funkci záření Fsk je třeba vyjádřit dráhové rozdíly Δr . Zde je možno využít vztahu ( 7.10 ) , upraveného do tvaru ri = r − Δri = r − (xi . cosψ x + yi . cosψ y + z i . cosψ z )

Po dosazení je možno sčítat dílčí příspěvky záření ( 7.11 ) numericky nebo součet členů upravit podobně jako v hlavních rovinách využitím symetrie. V řešeném příkladu tak dostaneme r1 = r − Δr = r − d . cosψ y = r − d .sin ϕ .sin ϑ

, r2 = r

,

r3 = r + Δr = r + d . cosψ y = r + d .sin ϕ .sin ϑ

a po dosazení a úpravách získáme výsledný vztah E (ϑ ,ϕ ) = 60.I o . j

cos (kl. cos ϕ .sin ϑ ) − cos (kl ) 1 − (cos ϕ .sin ϑ )

2

.[1 + 2. cos(kd sin ϕ .sin ϑ − Φ )].

exp(− jkr ) r

Ten je nutno použít při výpočtu vyzářeného výkonu vztahem ( 7.5 ), činitele směrovosti ( 7.8 ) a v dalších případech vyžadujících výpočty ve směrech ležících mimo hlavní roviny. Dosazením φ = 0 získáme vztah pro záření v rovině zx E z x (ϑ ) = E (ϑ ,ϕ = 0) = 60.I o . j

cos (kl. cos ϕ ) − cos (kl ) 1 − (cos ϕ )

2

.[1 + 2. cos(kd .sin ϕ − Φ )].

exp(− jkr ) r

shodný se vztahem odvozeným pro rovinu xy při řešení Příklad 7.5 .

7.3 Parametry antén Parametry antén jsou veličiny, které charakterizují vybrané vyzařovací nebo impedanční vlastnosti antén a jejich soustav. Srovnáním číselných hodnot těchto parametrů můžeme posoudit vhodnost různých typů antén nebo jejich provedení pro zamýšlené využití. Vyzařovací vlastnosti antény popisují funkce záření F (ϑ ,ϕ ) . Ta je vztažena k proudu uvedenému ve vztahu ( 7.1 ) pro výpočet intenzity pole E . Uváděné výsledné vztahy jsou nejčastěji vztaženy k proudu v kmitně Im . Pro přepočet na hodnoty Fvst vztažené k proudu Ivst na vstupu antény platí Fm .I m = Fvst .I vst

( 7.13 )

Šířka hlavního laloku Θ je dána úhlovou odchylkou od směru maxima záření antény, při které se intenzita pole E nebo funkce záření F (ϑ ,ϕ ) zmenší o 3 dB (na 0,707) proti maximální hodnotě.

48


Intenzitu pole E (efektivní hodnotu) je možno vypočítat také z výkonu PΣ vyzářeného anténou vztahem 30.PΣ .D(ϑ ,ϕ )

( 7.14 ) r kde D(ϑ ,ϕ ) je činitel směrovosti antény určený vztahem ( 7.8 ). Při jeho výpočtu musí být hodnoty F (ϑ ,ϕ ) i RΣ vztaženy ke stejnému proudu. Pro hodnoty činitele směrovosti D(ϑ ,ϕ ) mimo směr maxima záření platí vztah E=

⎡ F (ϑ ,ϕ ) ⎤ D(ϑ ,ϕ ) = Dmax .⎢ ⎥ ⎣ Fmax ⎦

2

( 7.15 )

Zde Dmax a Fmax jsou hodnoty odpovídající směru maxima záření antény. Je vhodné si pamatovat vybrané hodnoty tohoto parametru: pro krátké dipóly ( l << λ ) je Dmax ≅ 1,5 , při l = λ/4 vzroste jeho velikost na Dmax = 1,64 . U antén se směrovým diagramem dosti souměrným kolem směru maxima záření a s malou úrovní bočních laloků je možno jeho hodnotu přibližně vypočítat ze vztahu Dmax =

35000 2Θ E .2Θ H

[- , deg ]

( 7.16 )

kde ΘE a ΘH jsou šířky hlavního laloku v rovinách E a H . U plošných antén je činitel směrovosti Dmax ve směru normály k ploše ústí antény dán vztahem 4π Dmax = ν . 2 .S ( 7.17 )

λ

Zde S je plocha ústí (apertury) antény a ν=(0,5÷0,7) je činitel využití ústí, závislý na ozáření apertury a provedení antény. Zisk antény G je pak decibelovým vyjádřením činitele směrovosti G =10.log(D) . Relativní zisk je pak obdobně vyjádřeným poměrem činitelů směrovosti dané a referenční antény (často půlvlnného dipólu). Účinná délka antény lef je definována jako délka elementárního dipólu, který by (ve směru kolmém na svou osu) vybudil stejnou intenzitu pole jako uvažovaná anténa. S funkcí záření je účinná délka vázána vztahem 2 F (ϑ ,ϕ ) lef = ( 7.18 ) jk Účinná délka lef , podobně jako funkce záření F (ϑ ,ϕ ) , závisí na směru i na vztažném proudu (kmitna, vstup). Její hodnota, vztažená ke vstupnímu proudu, umožňuje vypočítat indukované napětí Ui (naprázdno) v poli s intenzitou E U i = E.lef

( 7.19 )

Napětí Uz na zátěži Zk přijímací antény pak určuje dělič tvořený touto zátěží a vstupní impedancí přijímací antény Zvst U z = Ui.

Zk Z vst + Z k

( 7.20 )


49

Impedance záření antény ZΣ = RΣ +j XΣ může být rovněž vztažena k proudu Ivst nebo Im . Platí 2 Z Σ m .I m2 = Z Σ vst .I vst

( 7.21 )

Po doplnění impedance ZΣvst odporem ztrát antény Rz dostaneme vstupní impedanci antény Z vst = RΣvst + Rz + jX Σvst ( 7.22 ) Pak účinnost antény

η=

RΣvst Rvst

( 7.23 )

Odpor záření RΣvst je možno vypočítat integrací funkce záření podle vztahu ( 7.5 ) a přepočítat na vstup antény. Pro krátké dipóly (l < 0,1λ ) můžeme hodnoty RΣvst vypočítat přímo dosazením do vztahu RΣ vst = 80π 2 (l λ )

2

( 7.24 )

Vstupní reaktanci antény XΣvst s délkou ramene l < 0,35λ a průměrem vodiče 2a je možno vypočítat podle vztahu X Σ vst = − Z o cot g (kl ) + 42 ( 7.25 ) kde

Z o = 120.[ln (2l a ) − 1,69]

( 7.26 )

Příklad 7.19 Symetrický dipól s délkou ramene 0,6 m a průměrem 6 mm je využíván při kmitočtu 50 MHz. Vypočtěte:

a)

funkci záření a účinnou délku, vztažené k proudu na vstupu dipólu, ve směru maxima záření a ve směru odchýleném o 30o od jeho osy

b) vstupní impedanci dipólu c) hodnoty činitele směrovosti ve směrech podle a) d)

intenzitu elektrického pole, kterou dipól vytvoří ve směru maxima záření ve vzdálenosti 10 m při buzení generátorem o impedanci 50 Ω při napětí 1 V .

e) napětí na zátěži s impedancí 50 Ω při příjmu vlny o intenzitě 10 mV/m, přicházející ze směru kolmého na směr osy dipólu f) napětí na přizpůsobené zátěži za podmínek podle e) Řešení:

Při zadaném kmitočtu bude poměr l/λ = 0,1 a součin kl = 36o. a) Dosazením směrů ψmax = 90o a ψ = 30o do ( 7.4 ) dostaneme funkce záření vztažené ke kmitně proudu Fm(90o) = j.0,19 a Fm(30o) = j.0,08 . Poměr proudů na vstupu a v kmitně je podle ( 7.3 ) roven Ivst /Im = 0,588 . Pak dosazením do ( 7.13 ) dostaneme funkce záření Fvst(90o) = j.0,325 a Fm(30o) = j.0,135, vztažené ke vstupu antény. Těm pak podle ( 7.18 ) odpovídají účinné délky lef (90o) = 0,62 m a lef (30o) = j.0,26 m .

50


b) Dipól je krátký proti délce vlny a můžeme použít zjednodušené vztahy ( 7.24 ) , ( 7.26 ) a ( 7.25 ) . Dosazením dostaneme odpor záření RΣvst = 7,9 Ω , vlnový odpor Zo = 516 Ω a vstupní reaktanci XΣvst = -668 Ω . c) Při výpočtu hodnot činitele směrovosti dosadíme do ( 7.8 ) hodnoty funkce záření i odporu záření vztažené ke vstupu antény a dostaneme výsledky Dmax = 1,6 a D(30o) = 0,28 . d) Generátor o (vnitřním) napětí UG = 1 V vybudí v obvodu antény proud Ivst I vst = U G (Z G + Z vst ) = 1 (50 + 7,9 − j 668) = 1,5. exp(− j85o ) mA

Anténa pak vyzařuje výkon PΣ = RΣvst.Ivst2 = 7,9.(1,5.10-3)2 = 17,6 μW a podle ( 7.14 ) bude v místě příjmu intenzita pole

( )

E 90 o =

( )

30.PΣ .D 90 o 30.17,6.10 −6.1,6 = = 2,9 mV/m r 10

Stejný výsledek (včetně fáze vzhledem k fázi napětí UG ) bychom dostali dosazením hodnot Fvst (90o) a Ivst do ( 7.1 ) . e) Při příjmu vlny o intenzitě E = 10 mV/m bude podle ( 7.19 ) na svorkách dipólu indukované napětí Ui = E.lef (90o) = 6,2 mV. Při zatížení svorek dipólu zátěží Zk bude na zátěži podle ( 7.20 ) napětí Zk 50 U z = Ui. = 6,2.10 −3. = 0,46. exp( j85o ) mV (7,9 − j 668 + 50) Z vst + Z k Tento výrazný pokles napětí je důsledkem značně velké reaktance antény Xvst . f) Přizpůsobená zátěž by měla impedanci komplexně sdruženou k impedanci antény Zk´ = (RΣvst –j XΣvst ) = (7,9 +j 668) Ω . Pak napětí na zátěži Z k′ 7,9 + j 668 = 6,2.10 −3. U z′ = U i . = 262. exp( j89 o ) mV (7,9 − j 668 + 7,9 + j 668) Z vst + Z k′ Toto výrazné zvýšení napětí na zátěži je důsledkem rezonance v obvodu. Snadno se přesvědčíme, že při měření napětí jen na reálné složce přizpůsobené zátěže, bude výsledkem měření polovina indukovaného napětí. Příklad 7.20 Symetrický dipól s délkou ramene 0,35λ má odpor záření, vztažený ke kmitně proudu 165Ω. Vypočtěte:

a) reálnou složku jeho vstupní impedance b) funkci záření ve směru maxima, vztaženou ke vstupu dipólu c) činitel směrovosti ve stejném směru Příklad 7.21 Při jakém kmitočtu bude mít dipól s délkou ramene 1 m o průměru 18 mm ryze reálnou vstupní impedanci? Příklad 7.22 Půlvlnný dipól (l = λ/4) ve vzdálenosti λ/4 před rovinným reflektorem má zisk 7,5 dB. Jakou velikost má reálná složka jeho vstupní impedance?


51

Příklad 7.23 Anténní soustava má při kmitočtu 500 MHz vstupní impedanci (70 –j 25 ) Ω a činitel směrovosti D = 20 . Vypočtěte: a) funkci záření a účinnou délku antény ve směru maxima záření b) relativní zisk vůči půlvlnnému dipólu. Příklad 7.24 Anténa má při kmitočtu 200 MHz vstupní impedanci (50 +j 10 ) Ω . Její směrová charakteristika má v rovině E šířku hlavního laloku 60o a 100o v rovině H .

Vypočtěte: a) zisk antény b) účinnou délku antény c) napětí a výkon na zátěži 75 Ω při umístění antény do místa s intenzitou 1 mV/m . Příklad 7.25 Parabolická anténa o průměru 0,6 m má činitel využití ústí ν = 0,6 a přijímá signály o kmitočtu 12 GHz .

Vypočtěte: a) zisk antény b) šířku hlavního laloku (souměrného kolem maxima záření) c) účinnou plochu antény d) přijímaný výkon v poli o intenzitě 200 μV/m Řešení:

a) Dosazením do vztahu ( 7.17 ) dostaneme činitel směrovosti D = 3411 a zisk G = 35,3 dB. b) Pro stejnou šířku hlavního laloku v obou rovinách dostaneme ze vztahu ( 7.16 ) výsledek ΘE = ΘH = 3,2o c) Účinnou plochu antény určuje součin ν.S ve vztahu ( 7.17 ) . Pak Sef = 0,17 m2 . d) Přijímaný výkon je určen energií, která projde účinnou plochou antény při dané hustotě výkonu. Pak Ppř =

E2 2.10 −4 .S ef = .0,17 = 18 pW 120.π 120.π

Tento, zdánlivě zanedbatelný, výkon by na zátěži 50 Ω vytvořil napětí 30 μV .

52


8 Šíření elektromagnetických vln Při šíření vlny volným prostorem klesá intenzita pole úměrně vzdálenosti r . Další přídavný útlum můžeme vyjádřit činitelem útlumu W . Pak efektivní hodnota intenzity pole je dána, podobně jako v ( 7.14 ) a ( 7.1 ) vztahem E=

30.PΣ .D(ϑ ,ϕ ) r

.W =

60 I m .F (ϑ ,ϕ ).W r

( 8.1 )

Vyzářený výkon PΣ je ve druhém výrazu nahrazen efektivní hodnotou proudu Im v kmitně vysílací antény. U pozemních spojů je šíření vln ovlivněno rozhraním země-vzduch. Na nízkých kmitočtech, při vertikální polarizaci a při velmi malých (nebo nulových) výškách antén nad zemí převládá v místě příjmu povrchová vlna. Při velkých výškách antén, zvláště na vyšších kmitočtech, dominuje vlna prostorová. Jsou-li výšky obou antén shodné s tzv. mezní výškou ho , jsou v místě příjmu intenzity pole povrchové i prostorové vlny stejně velké a k jejich sečtení je nutno určit i jejich fáze. V dalším se omezíme na situace, kdy výrazně převládá povrchová vlna (h<>ho) . Při vertikální polarizaci platí pro mezní výšku antény vztah ho =

λ 8.π

.

ε r2 + (60.λ.γ )2

( 8.2 )

(ε r − 1)2 + (60.λ.γ )2

kde εr je relativní permitivita a γ měrná vodivost půdy na trase spoje. Při horizontální polarizaci jsou mezní výšky jsou velmi malé. Útlum povrchové vlny W(x) závisí na polarizaci, kmitočtu a parametrech (především vodivosti) půdy. Pro vertikálně polarizovanou vlnu můžeme jeho decibelovou hodnotu WdB určit v křivkách šíření povrchové vlny (tzv. spádové křivky na Obr. 8.2 ) jako rozdíl hodnot Eo (čárkovaná přímka) a E1 pro daný kmitočet a délku spoje r . Intenzitu povrchové vlny můžeme snadno získat sečtením hodnoty E1dB a decibelového vyjádření efektivního vyzářeného výkonu PΣ.D E dB = E1dB + 10. log(PΣ .D )

[dBμV/m ; W]

( 8.3 )

Při šíření prostorové vlny se v místě příjmu s přímou vlnou sčítá vlna odražená od země. Fázový posuv obou vln vzniká při odrazu ( Θ ) a vlivem rozdílných délek drah Δ r obou vln. Výsledná intenzita pole je pak dána vztahem 30.PΣ .D ( 8.4 ) .1 + ρ~. exp(− jkΔr ) r kde Δr = r2 − r1 ≅ 2h1h2 r a ρ~ = ρ . exp( jΘ ) je Fresnelův činitel odrazu, pro který platí E=

vztahy

ρ~v = ρ~h =

(ε r − j 60.λ.γ ).sin Δ − ε r − j 60.λ.γ − cos 2 Δ (ε r − j 60.λ.γ ).sin Δ + ε r − j 60.λ.γ − cos 2 Δ sin Δ − ε r − j 60.λ.γ − cos 2 Δ sin Δ + ε r − j 60.λ.γ − cos 2 Δ

( 8.5a,b )


53

V nich Δ =arctg[(h1+h2)/r] značí úhel mezi paprskem a rovinou rozhraní. Vztah ( 8.4 ) předpokládá, že vektory intenzity pole přímé a odražené vlny jsou téměř rovnoběžné, v plném rozsahu však postihuje vliv fázového posunutí obou vln. V případech, kdy výšky antén jsou malé proti vzdálenosti r , je malý i úhel Δ a činitel odrazu se blíží hodnotě Δr ≅ −1 . Podmínkou je splnění nerovnosti h1+h2 < 10-2.r při vertikální polarizaci a h1+h2 < 5.10-2.r při horizontální polarizaci. Pak můžeme intenzitu pole počítat dosazením do vztahu E=

30.PΣ .D ⎛ h .h ⎞ .2.sin ⎜ k 1 2 ⎟ r ⎠ r ⎝

( 8.6 )

Při malých hodnotách argumentu (při 18.h1.h2 < r.λ ) můžeme počítat pomocí Vvedenského vzorce E=

30.PΣ .D 4π h1 .h2 . r λ r

( 8.7 )

Pokles intenzity pole, úměrný čtverci vzdálenosti r , je důsledkem změny fáze. Ve vzdálenostech blízkých přímé rádiové viditelnosti

[

rp = 4,12. h1 + h2

]

[km; m ; m]

( 8.8 )

již nelze považovat povrch Země za rovinný a skutečná intenzita pole je menší než udávají předchozí vzorce. Pro vzdálenost r > 0,8.rp je pak intenzita pole výrazně nižší (zvláště na vyšších kmitočtech) a šíření vln se řeší jako difrakce vln. Využití odrazu od ionosféry je typické pro dálkové spoje v pásmu krátkých vln, uplatní se však i na nižších kmitočtech. Pro menší vzdálenosti r , kdy můžeme zanedbat zakřivení Země, lze určit elevační úhel Δ i délku dráhy vlny r´ podle nákresu na Obr. 8.1 .

Obr. 8.1: Odraz vln od ionosférické vrstvy

Maximální kmitočet, při kterém se vlna v takové situaci ještě odrazí k zemi, můžeme určit z ionosférických předpovědí Obr. 8.3 nebo přibližně vypočítat ze vztahu f max =

f krit f = krit cos(ψ ) sin (Δ )

( 8.9 )

kde fkrit je kritický kmitočet sledované ionosférické vrstvy. Při zanedbání útlumu v ionosféře je možno vypočítat intenzitu pole E dopadající vlny dosazením délky dráhy r´ a činitele směrovosti D(Δ) do vzorce ( 8.1 ) .

54


a)

b) Obr. 8.2: Křivky šíření povrchové vlny ( PΣ.D = 1 W) a) vlhká půda (εr = 4 ; γ = 10-2 S/m) b) suchá půda (εr = 4 ; γ = 10-3 S/m)


a)

b) Obr. 8.3: Měsíční ionosférická předpověď

a) leden 2007 b) červen a červenec 2007

55

56


Příklad 8.1 Mikrovlnný spoj pracuje na kmitočtu 6 GHz a jeho vysílač o výkonu 0,63 W budí parabolickou anténu s činitelem směrovosti D = 1500.

Vypočtěte: a) intenzitu elektrického pole a hustotu výkonu u protistanice ve vzdálenosti 20 km. b) jak se změní obě hodnoty při silném dešti, kdy útlum dosahuje hodnoty 0,1 dB/km Příklad 8.2 Rozhlasový vysílač pracuje na kmitočtu 639 kHz a do vertikální nesymetrické antény s činitelem směrovosti D = 5 dodává výkon 1,5 MW . Na trase spoje je suchá půda ( εr = 4 ; γ = 10-3 S/m).

Vypočtěte: a) intenzitu pole ve vzdálenosti 160 km b) dosah vysílače pro intenzitu pole E = 1 mV/m Řešení:

a) Typická situace pro šíření povrchové vlny. Z křivek šíření Obr. 8.2 určíme E1 = -10 dB . Při efektivním vyzářeném výkonu (PΣ.D) = 1,5.106.5 = 7,5.106 W pak podle ( 8.3 ) dostaneme intenzitu pole E dB = E1dB + 10. log(PΣ .D ) = -10+10.log(7,5.106) = 58,7 dBμV/m (E = 870 μV/m) b) Od zadané hodnoty EdB = 20.log(E) = 20.log(103) = 60 dBμV/m odečteme (PΣ.D)dB = 68,7 dB . Výsledek E1dB = - 8,7 dB μV/m je intenzitou, kterou bychom dostali při (PΣ.D ) = 1 W. V křivkách šíření (Obr. 8.2 ) pak odečteme dosah spoje r = 150 km . Příklad 8.3 Vysílač s kmitočtem 2 MHz napájí krátkou vertikální nesymetrickou anténu, která vyzařuje výkon 20 W . Na trase spoje je vlhká půda ( εr = 4 ; γ = 10-2 S/m) .

Vypočtěte: a) vertikální složku intenzity pole ve vzdálenosti 50 km b) v jak velké vzdálenosti bude intenzita pole E = 5 μV/m Příklad 8.4 Anténa vkv vysílače je umístěna ve výšce 60 m nad stanovištěm o nadmořské výšce 423 m . Vysílač pracuje na kmitočtu 90 MHz s efektivním vyzářeným výkonem PΣ.D = 1 kW s horizontální polarizací. Přijímací anténa je ve výšce 10 m nad rovinatým terénem s nadmořskou výškou 200 m a se suchou půdou ( εr = 4 ; γ = 10-3 S/m).

Vypočtěte: a) intenzitu pole E ve vzdálenosti 20 km od vysílače b) intenzitu pole E ve vzdálenosti 10 km od vysílače c) intenzitu pole E ve vzdálenosti 2 km Řešení:

Vzhledem k horizontální polarizaci vlny jistě převládne prostorová vlna. Pro výpočet jsou rozhodující výšky antén nad rovinou odrazu (h = 200 m). Pak náhradní výšky antén jsou h1 = (423 + 60 – 200) = 283 m a h2 = 10 m . Vzdálenost přímé rádiové viditelnosti


[

]

[

57

]

rp = 4,12. h1 + h2 = 4,12. 283 + 10 = 82 km je výrazně větší než délka trasy r = 30 km

a zakřivení Země je možno zanedbat. Použití vztahu ( 8.7 ) je omezeno podmínkou 18.h1.h2 < r.λ splněnou pro r > 15,3 km, podobně předpoklad = -1 je splněn při h1+h2 < 5.10-2.r pro trasy delší než 5,9 km . Pro menší vzdálenosti je nutno nejprve určit hodnotu ρ a pak sečíst přímou a odraženou vlnu podle vztahu ( 8.4 ) . a) Podle vztahu ( 8.7 ) bude ve vzdálenosti 20 km intenzita pole E=

30.PΣ .D 4π h1 .h2 30.10 3 4π 283.10 . . . = = 4,6 mV/m 4 2.10 r 300 / 90 2.10 4 λ r

b) Argument sinové funkce v ( 8.6 ) je roven 0,53 rad (30,6o) a intenzita pole bude

(

)

30.PΣ .D 30.10 3 ⎛ h1 .h2 ⎞ .2.sin ⎜ k .2.sin 30,6 o = 17,6 mV/m E= ⎟= 4 r ⎠ r 10 ⎝ Při náhradě sinové funkce jejím argumentem podle ( 8.7 ) bychom dostali hodnotu E = 18,4 mV/m. c) Z předchozích kontrol plyne, že pro trasu délky 2 km již není možno uvažovat činitel odrazu ρ = -1 . Jeho skutečnou hodnotu musíme vypočítat podle ( 8.5b ) pro elevační úhel Δ = arctg[(h1+h2)/r] = arctg [(283+10)/104] = 1,7o ρˆ h =

sin Δ − ε r − j 60.λ .γ − cos 2 Δ sin Δ + ε r − j 60.λ .γ − cos Δ 2

=

( ) sin (1,7 ) +

( )= (1,7 )

sin 1,7 o − 4 − j 60.3,33.10 −3 − cos 2 1,7 o o

−3

4 − j 60.3,33.10 − cos

2

o

= 0,966.exp(179,9o)

Pro horizontálně polarizovanou vlnu se činitel odrazu liší jen velmi málo od hodnoty ρ = -1 a výpočet podle ( 8.6 ) by byl ještě dosti přesný. Při vertikální polarizaci bychom dostali ρˆ = 0,87.exp(j180,1o) a nižší amplituda odražené vlny by byla patrná především v blízkosti minim intenzity E . Výslednou intenzitu pole E ve vzdálenosti 2 km vypočteme dosazením do ( 8.4 ) . Fáze odražené vlny je vlivem rozdílu drah Δr = 2h1.h2/r = 2.283.10/2000 = 2,83 m zpožděna o úhel k. Δr = 305,7o . Pak E=

30.PΣ .D r

.1 + ρˆ . exp(− jkΔr ) =

(

) (

)

30.10 3 .1 + 0,966. exp j180 o . exp − j 306 o = 3 2.10

= 0,0866.0,892 = 77,25 mV/m Příklad 8.5 Vysílací anténa s činitelem směrovosti D = 20 a horizontální polarizací je umístěna na kopci ve výšce 200 m nad rovinatým terénem se suchou půdou ( εr = 4 ; γ = 10-3 S/m). Vysílač pracující na kmitočtu 100 MHz dodává do antény výkon PΣ = 20 W.

Vypočtěte: a) b) c) d)

intenzitu pole ve vzdálenosti 2 km od antény ve výšce 10 m nad terénem intenzitu pole ve vzdálenosti 10 km ve výšce 10 m intenzitu pole ve vzdálenosti 10 km ve výšce 2 m v jaké výšce bude intenzita pole velmi malá ( E ≈ 0) ve vzdálenosti 10 km

58


Příklad 8.6 Rádiový spoj na kmitočtu 150 MHz do vzdálenosti 30 km nad rovinatým terénem s vlhkou půdou ( εr = 4 ; γ = 10-2 S/m) pracuje s horizontální polarizací a efektivním vyzářeným výkonem PΣ.D = 30 W . Vysílací anténa má výšku 50 m, přijímací anténa 15 m nad zemí. Vypočtěte intenzitu elektrického pole v místě přijímací antény. Příklad 8.7 Anténa TV vysílače, pracujícího na kmitočtu 600 MHz s horizontální polarizací, je umístěna ve výšce 300 m nad rovinatým terénem se suchou půdou ( εr = 4 ; γ = 10-3 S/m). Efektivní vyzářený výkon do směru odpovídajícího vzdálenosti 1 km je PΣ.D = 100 W. Vypočtěte intenzitu elektrického pole v místě přijímací antény ve vzdálenosti 1 km ve výšce a) 10 m b) 2 m Příklad 8.8 Dvojice ručních radiostanic s kmitočtem 28 MHz s krátkou vertikální anténou a efektivním vyzářeným výkonem PΣ..D = 0,5 W má být použita pro spojení do vzdálenosti 2 km na rovinaté trase s vlhkou půdou ( εr = 4 ; γ = 10-2 S/m). Jak velká bude intenzita pole v místě protistanice, když

a) oba přístroje jsou drženy v ruce (h = 1,5 m) b) oba přístroje jsou umístěny ve výšce 10 m nad terénem c) v jaké vzdálenosti klesne intenzita pole na 20 μV/m Řešení:

Vzhledem k vertikální polarizaci a nepříliš vysokému kmitočtu nelze vyloučit významný příspěvek povrchové vlny. Mezní výška ho = 3,2 m , vypočtená podle ( 8.2 ) , je výrazně větší než výšky antén v případě a) a naopak malá proti výškám v případech b) a c) . a) Při h < ho převládá povrchová vlna. Interpolací v Obr. 8.2 mezi křivkami pro kmitočet 20 MHz a 50 MHz a vzdálenost 2 km určíme E1 = 28 dBμV/m . Pak podle ( 8.3 ) E dB = E1dB + 10. log(PΣ .D ) = 28 + 10.log(0,5) = 25 dBμV/m

(17,8 μV/m )

b) Zde h > ho a převládá vlna prostorová. Podmínky pro použití ( 8.7 ) jsou splněny a hodnota rp = 26 km je značně větší než délka spoje. Pak E=

30.PΣ .D 4π h1 .h2 30.0,5 4π 10.10 = = 114 μV/m . . λ r r 2000 10,7 2000

(41 dBμV/m )

c) V oblasti platnosti ( 8.7 ) klesá intenzita pole úměrně r2. Využitím předchozího výsledku dostaneme r ′ = r. E E ′ = 2000. 114 20 = 4,78 km


59

Příklad 8.9 Kritický kmitočet vrstvy F je fkrit = 7 MHz (zima, poledne) a její zdánlivá výška hzd = 350 km. Vypočtete nejvyšší a optimální pracovní kmitočet pro spoj dlouhý 1000 km . Řešení:

Při zanedbání zakřivení Země je podle Obr. 8.1 elevační úhel Δ = arctg(2hzd/r) =35o a úhel dopadu vlny na ionosféru ψ = 90o – Δ = 55o. Pak podle ( 8.9 ) je maximální kmitočet odrážený vrstvou F f 7 = 12,2 MHz f max = krit = cos(ψ ) cos(55o ) můžeme považovat za hodnotu MUF v dané situaci. Optimální pracovní kmitočet FOT bývá FOT ≅ 0,85.MUF = 0,85.12,2 = 10,4 MHz Příklad 8.10 Vysílač o kmitočtu 900 kHz používá vertikální nesymetrickou anténu délky l = λ/4 , který vyzáří výkon 25 kW . Vypočtěte intenzitu pole ve vzdálenosti 100 km na trase se suchou půdou ( εr = 4 ; γ = 10-3 S/m) a) ve dne b) v noci Řešení: a) ve dne se uplatní jen povrchová vlna (velký útlum ve vrstvě D). Pro nesymetrickou anténu (Dasym = 2.Dsym = 2.1,64 = 3,28 ) bude efektivní vyzářený výkon (PΣ.Dasym) = 49 dB . Pak stejně jako v Příklad 8.2 dostaneme hodnoty E1 = -7 dBμV/m a konečný výsledek E = 128 μV/m . b) V noci zanikne vrstva D a vlna se může odrazit od vrstvy E s parametry (fkrit E = 0,9 MHz ; hzd E = 120 km) s velmi malým útlumem. Nad rovinnou zemí bude podle Obr. 8.1 r ′ = 2. (r 2 ) + hzd2 E = 2. (500 ) + (120 ) = 260 km 2

2

2

a elevační úhel Δ = arctg (2hzd E r ) = 67,4o . V tomto směru je činitel směrovosti přibližně D(Δ ) = Dmax . cos 2 Δ = 3,28.cos2(67,4o) = 0,48 Při zanedbání útlumu dostaneme podle ( 8.1 ) intenzitu pole E=

30.PΣ .D(Δ ) 30.25.10 3.0,48 = = 2,3 mV/m r′ 2,6.10 5

Tato hodnota je více než o řád vyšší než intenzita pole ve dne. Příklad 8.11 Rádiový spoj na kmitočtu 12,5 MHz využívá odraz od vrstvy F s kritickým kmitočtem 10 MHz a zdánlivou výškou 300 km. Vypočtěte minimální vzdálenost, ve které je možné signál přijímat (zakřivení Země neuvažujte).

60


9 Odraz vln Při dopadu rovinné vlny na rozhraní prostředí s různými parametry (ε , μ , γ ) vznikají vlna odražená, šířící se prostředím před rozhraním a vlna vniklá do druhého prostředí. Směry šíření a vektorů intenzit pole E a H , stejně jako jejich amplitudy a fáze, závisí na kmitočtu, směru dopadu a polarizaci vlny. V dalším se omezíme na situace, kdy vlna dopadá na rovinné rozhraní kolmo, vektory intenzity E a H jsou v obou prostředích tečné k rozhraní a nezávislé na polarizaci vlny Obr. 9.1 a .

a) Obr. 9.1: Odraz vln na rovinném rozhraní a) intenzity polí b) analogie s vedením

b)

V prostředí před rozhraním (směrem ke zdroji) dopadající a odražená vlna spolu interferují a vzniká stojaté vlnění s kmitnami a uzly. Za rozhraním se šíří jen jediná vlna ve směru dopadající vlny. Situace je analogií poměrů na dvouvodičovém vedení Obr. 9.1b , kdy intenzitě elektrického pole E odpovídá napětí U a intenzitě magnetického pole H proud na vedení I . K popisu je tak možno použít, po záměně E ↔ U a H ↔ I vztahů uvedených v kapitole 4. Při dopadu vlny na soustavu planparalelních dielektrických vrstev (vrstevnaté prostředí) vznikají na každém rozhraní dílčí odražené a vniklé vlny. Situace je obdobou poměrů na kaskádě úseků vedení s různou charakteristickou impedancí, kterou je možno názorně řešit využitím Smithova diagramu. Neomezené prostředí se při řešení nahradí úsekem vedení zatíženým jeho charakteristickou impedancí. Snaha potlačit odražené vlny před prvním rozhraním (směrem ke zdroji) je obdobou přizpůsobování zátěže k vedení. Při tzv. bezodrazovém průchodu vlny vrstevnatým prostředím je na prvním rozhraní soustavy vrstev nulový činitel odrazu a odražená vlna má v oblasti před ním nulovou úroveň. Uvnitř soustavy vrstev však odražené vlny existují a vzniká stojaté vlnění. Příklad 9.1 Rovinná vlna o kmitočtu 200 MHz se šíří prostředím ( εr1 = 1 , μr1 = 1 , γ1 = 0 ) a dopadá kolmo na prostředí ( εr2 = 2 , μr2 = 8 , γ2 = 0 ). V bodě P ve vzdálenosti d1 = 2 m před r rozhraním má dopadající vlna intenzitu E (P ) = 0,2 V/m.

Vypočtěte: a) b) c) d)

intenzity pole dopadající a odražené vlny E a H na rozhraní (v 1. prostředí) skutečnou (výslednou) intenzitu pole H(P) výsledné intenzity pole E a H na obou stranách rozhraní intenzity pole E a H v bodě Q ve vzdálenosti 1,5 m za rozhraním (ve 2. prostředí)


61

e) hustoty výkonu dopadající, odražené a výsledné vlny na rozhraní (v 1. prostředí) f) výkon procházející plochou 0,2 m2, rovnoběžnou s rozhraním g) vzdálenost prvního uzlu intenzity E od rozhraní Rozhraní bylo pokryto dokonale vodivou vrstvou. Vypočtěte h) povrchovou hustotu proudů na rozhraní Řešení: Pro zadané parametry obou prostředí vypočteme vlnová čísla ( 3.11 ) , charakteristické impedance ( 3.12 )

k1 = (2π λo ). (ε r1 − j 60.λo .γ 1 ).μ r1 = (2π 1,5). (1 − j 60.1,5.0).1 = 4,19 rad/m = 240o/m k 2 = (2π λo ). (ε r 2 − j 60.λo .γ 2 ).μ r 2 = (2π 1,5). (2 − j 60.1,5.0).8 = 960o/m Z o1 = 120π . μ r1 (ε r1 − j 60.λo .γ 1 ) = 120π . 1 (1 − j 60.1,5.0) = 120π = 377 Ω Z o 2 = 120π . μ r 2 (ε r 2 − j 60.λo .γ 2 ) = 120π . 8 (2 − j 60.1,5.0) = 240π = 754 Ω a činitel odrazu ( 4.2 ) s E ( A) Z o 2 − Z o1 240π − 120π 1 = ρ ( A) = r = = E ( A) Z o 2 + Z o1 240π + 120π 3 a) dopadající a odražená vlna budou mít v bodě A na rozhraní intenzity r r E ( A) = E (P ). exp(− jk1d1 ) = 0,2. exp(− j.240.2) = 0,2.exp(-j120o) V/m s r E ( A) = ρ ⊥ .E ( A) = (1 3).0,2. exp − j120 o = 66,6.exp(-j120o) mV/m r r E ( A) 0,2. exp(− j120 o ) H ( A) = = = 0,53.exp(-j120o) mA/m Z o1 120π s s E ( A) 66,6. exp(− j120 o ) H ( A) = = = 0,177.exp(-j120o) μA/m Z o1 120π

(

)

b) V bodě P budou intenzity magnetického pole opadající a odražená vlny r r E (P ) 0,2 = = 0,53 mA/m H (P ) = Z o1 120π s s H (P ) = H ( A). exp(− jk1 x1 ) = 0,177. exp(− j120 o ). exp − j 240 o.2 =

(

)

= 0,177.exp(-j240o) mA/m Pak výsledná intenzita magnetického pole v bodě P bude r s H (P ) = H (P ) − H (P ) = 0,53 − 0,177. exp(− j 240 o ) = 0,64.exp(-j14o) mA/m c) Výsledné intenzity pole prvním prostředí (bod A) a ve druhém prostředí (bod B) budou r s E ( A) = E ( A) + E ( A) = 0,2. exp(− j120 o ) + 0,066. exp(− j120 o ) = = 0,266.exp(-j120o)V/m = E(B) r s H ( A) = H ( A) − H ( A) = 0,53. exp(− j120 o ) − 0,177. exp(− j120 o ) = = 0,353.exp(-j120o) mA/m = H(B)

62


d) V prostředí za rozhraním se šíří jen postupná vlna a její intenzity v bodě Q budou

(

) ( ) o = 0,266. exp(− j120 ) 240π = 0,353.exp(-j120 ) mA/m

o E (Q ) = E (B ). exp(− jk 2 .d 2 ) = 0,266. exp − j120 o . exp − j.960 o.1,5 = 0,266.exp(-j120 ) V/m

H (Q) = H (B ). exp(− jk2 .d 2 ) = E(Q) Z o 2

o

e) Hustoty výkonu dílčích vln vypočteme podle ( 3.9 ) r 2 E ( A) r 0,2 2 2 Π ( A) = = = 106 μW/m Z o1 120π s 2 E ( A) s 0,066 2 2 Π ( A) = = = 11,8 μW/m Z o1 120π r s Π ( A) = Π ( A) − Π ( A) = 106 − 11,8 = 94,2 μW/m2 f) Plochou S , rovnoběžnou s rozhraním pak prochází výkon r s P( A) = Π ( A) − Π ( A) .S . cos(α ) = 94,2.0,2. cos(0) = 18,8 μW

[

]

g) Impedance obou prostředí jsou reálné, takže při Zo2 > Zo1 bude na rozhraní kmitna intenzity E a uzel intenzity H . Hledaný uzel intenzity E bude ve vzdálenosti λ1 (2π k1 ) (2π / 4,19) = = = 0,375 m před rozhraním 4 4 4

h) Po pokrytí rozhraní vodivou vrstvou ( Zo2 = 0 ) se změní činitel odrazu Z − Z o1 0 − 120π ρ ∞ ( A) = o 2 = = −1 = 1. exp( j180 o ) Z o 2 + Z o1 0 + 120π r r r a odrazem nezměněné dopadající vlny H ( A) vznikne odražené vlna H ( A) = ρ ∞ ( A).H ( A) . r r . 1 − ρ ⊥ ) = 2.H ( A) je Pak výsledná intenzita magnetického pole na rozhraní H ( A) = H ( A)( současně hledanou hustotou povrchových proudů K(A) na vodivém rozhraní r K ( A) = 2.H ( A) = 2.0,53. exp(− j.120 o ) = 1,06.exp(-j120o) mA/m Příklad 9.2 Rovinná vlna o kmitočtu 60 MHz se šíří prostředím εo , μo a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εr2 = 16 , μr2 = 1 . Ve vzdálenosti 2 m před rozhraním byla změřena intenzita magnetického pole H = 100 μA/m.

Vypočtěte: a) výslednou intenzitu elektrického pole v místě měření b) výkon procházející ve stejném místě plochou 0,5 m2 , rovnoběžnou s rozhraním c) výkon procházející stejně velkou plochou umístěnou za rozhraním Řešení:

Vypočteme nejprve charakteristické impedance, vlnová čísla a činitel odrazu na rozhraní Z o1 = 120π . μ r1 ε r1 = 120π . 1 1 = 120π = 377 Ω Z o 2 = 120π . μ r 2 ε r 2 = 120π . 1 16 = 30π = 94,2 Ω


63

k1 = (2π λo ). ε r1 .μ r1 = (2π 5). 1.1 = 1,257 rad/m = 72o/m

ρ ( A) =

Z o 2 − Z o1 30π − 120π = = −0,6 Z o 2 + Z o1 30π + 120π

a) Pro další výpočty je nutno nejprve změřenou (výslednou) intenzitu magnetického pole H vyjádřit pomocí intenzit dopadající a odražené vlny v místě měření. Vypočtěný činitel odrazu ρ(A) přetransformujeme do místa měření podle vztahu ( 4.7 )

ρ (P ) = ρ ( A). exp(− j 2k1 .d1 ) = 0,6. exp(− j180 o ).exp(− j 2.72 o.2) = 0,6. exp(− j108o ) Pak intenzity magnetického pole dopadající a odražené vlny r H (P ) 10 −4 = = 76.exp(-j26o) μA/m H (P ) = o 1 − ρ (P ) 1 − 0,6. exp(− j108 ) s r H (P ) = ρ (P ).H ( P ) = 0,6. exp(− j108o ).76. exp(− j 26 o ) = 45,5.exp(-j134o) μA/m a intenzity elektrického pole r r E ( P) = Z o1 .H ( P ) = 120.π .76. exp(− j 26 o ) = 28,5.exp(-j26o) mV/m s s E ( P) = Z o1 .H ( P ) = 120.π .45,5. exp(− j134 o ) = 17,1.exp(-j134o) mV/m r s E (P ) = E (P ) + E (P ) = 25,8. exp(− j 26 o ) + 17,1. exp(− j134 o ) = 28,3.exp(-j61o) mV/m r Poznámka: Intenzitu pole H (P ) dopadající vlny lze vypočítat také pomocí činitele odrazu na rozhraní ρ(A) úpravou vztahu r s r r H (P ) = H (P ) − H (P ) = H ( A). exp( jk1 .d1 ) − ρ ( A).H ( A). exp(− jk1 .d1 ) b) Hustoty výkonu odpovídající dílčím vlnám v bodě P budou r r 2 2 Π (P ) = Z o1 . H (P ) = 120.π .(76.10 −6 ) = 2,17 μW/m2 s s 2 2 Π (P ) = Z o1 . H (P ) = 120.π . 45,4.10 −6 = 0,78 μW/m2 r s Π (P ) = Π (P ) − Π (P ) = (2,17 − 0,78).10 −6 = 1,4 μW/m2

(

)

Plochou S kolmou na směr šíření vln (α= 0) pak prochází výkon P(P ) = Π (P ).S . cos α = 1,4.10 −6.0,5. cos(0) = 0,69 μW c) Intenzity magnetického pole dopadající a odražené vlny jsou těsně před rozhraním rovny r r H ( A) = H (P ). exp(− jk1 .d1 ) = 75,7.10 −6. exp(− j 26 o ). exp(− j 72 o.2) = 75,7.exp(-j170o) μA/m s s H ( A) = H (P ). exp(+ jk1 .d1 ) = 45,4.10 −6. exp(− j134 o ).exp( j 72 o.2) = 45,4.exp(j10o) μA/m Výsledná intenzita magnetického pole H(A) r s H ( A) = H ( A) − H ( A) = 75,7. exp − j170 o − 45,4. exp j10 o .10 −6 = 121.exp(j10o) μA/m

[

(

)

(

)]

je rovna intenzitě pole za rozhraním H(B) = H(A) . Pak výkon procházející plochou S bude

P(B ) = Z o 2 . H (B ) .S . cosα = 30π .(121.10 −6 ) 2 .0,5. cos(0 ) = 0,69 μW 2

64


Příklad 9.3 Rovinná vlna o kmitočtu 200 MHz se šíří prostředím εr = 2 , μr = 8 a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εo , μo . V bodě P ve vzdálenosti 0,5 m před rozhraním má odražená vlna intenzitu elektrického pole 200 mV/m.

Vypočtěte: a) skutečnou intenzitu magnetického pole na rozhraní (v prostředí εr = 2 , μr = 8 ) b) intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 2 m za rozhraním c) výkon odražené vlny procházející v bodě P plochou 0,2 m2 rovnoběžnou s rozhraním Příklad 9.4 Rovinná vlna o kmitočtu 30 MHz se šíří prostředím εr = 4 , μr = 2 a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εr = 2 , μr = 4 . Na rozhraní v prostředí εr = 4 , μr = 2 byla změřena intenzita elektrického pole 100 mV/m.

Vypočtěte: a) intenzitu magnetického pole odražené vlny ve vzdálenosti 2 m před rozhraním b) výslednou intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 3 m za rozhraním c) výkon procházející plochou 2 m2 na rozhraní Příklad 9.5 Rovinná vlna o kmitočtu 50 MHz se šíří prostředím εo , μo a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εr = 4 , μr = 1 . Ve vzdálenosti 0,5 m před rozhraním má odražená vlna intenzitu magnetického pole 2 mA/m. Vypočtěte:

a) skutečnou intenzitu elektrického pole na rozhraní v prostředí εo , μo b) intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti 2 m za rozhraním c) hustotu výkonu odražené vlny ve vzdálenosti 0,5 m před rozhraním Příklad 9.6 Rovinná vlna o kmitočtu 60 MHz se šíří prostředím εr = 16 , μr = 1 a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εo , μo . Na rozhraní je výsledná intenzita magnetického pole 5 mA/m. Vypočtěte:

a) intenzitu elektrického pole dopadající vlny v bodě 0,5 m před rozhraním b) výslednou intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti 2 m za rozhraním c) výkon procházející na rozhraní plochou 0,5 m2 Příklad 9.7 Rovinná vlna o kmitočtu 75 MHz se šíří prostředím εr = 9 , μr = 1 a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εo , μo . Na rozhraní v prostředí εo , μo má vlna intenzitu elektrického pole 200 mV/m. Vypočtěte:

a) intenzitu magnetického pole odražené vlny ve vzdálenosti 0,5 m před rozhraním b) výslednou intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 2 m za rozhraním c) výkon procházející plochou 0,5 m2 ležící na rozhraní v prostředí εo , μo


65

Příklad 9.8 Rovinná vlna o kmitočtu 100 MHz se šíří prostředím εo , μo a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εr = 4 , μr = 1 . Na rozhraní v prostředí εr = 4 , μr = 1 má vlna intenzitu magnetického pole 2 mA/m. Vypočtěte: a) intenzitu elektrického pole odražené vlny ve vzdálenosti 5 m před rozhraním b) intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti 0,5 m za rozhraním c) hustotu výkonu na rozhraní v prostředí εo , μo Příklad 9.9 Rovinná vlna o kmitočtu 75 MHz se šíří prostředím εr = 9 , μr = 1 a dopadá kolmo na rozhraní s prostředím εo , μo . Ve vzdálenosti 0,5 m za rozhraním byla změřena intenzita magnetického pole 2 mA/m . Vypočtěte: a) intenzitu elektrického pole odražené vlny ve stejné vzdálenosti před rozhraním b) vzdálenost prvního minima intenzity magnetického pole od rozhraní c) hustotu výkonu dopadající vlny těsně před rozhraním Příklad 9.10 Rovinná vlna o kmitočtu 100 MHz se šíří prostředím εr = 4 , μr = 1 a dopadá kolmo na dokonale vodivé rozhraní. Ve vzdálenosti 1 m před rozhraním byla změřena intenzita magnetického pole 1 mA/m . Vypočtěte: a) intenzitu elektrického pole odražené vlny v místě měření b) povrchovou hustotu proudů na rozhraní c) výkon dopadající vlny, procházející plochou 1 dm2 rovnoběžnou s rozhraním Příklad 9.11 Rovinná vlna o kmitočtu 150 MHz se šíří prostředím εo , μo a dopadá kolmo na dokonale vodivé rozhraní. Ve vzdálenosti 0,5 m před rozhraním má odražená vlna intenzitu elektrického pole 50.exp(j90o) mV/m . Vypočtěte: a) intenzitu magnetického pole dopadající vlny ve stejné vzdálenosti b) vzdálenosti míst s maximální intenzitou elektrického pole od rozhraní a velikost výsledné intenzity magnetického pole v nich c) hustotu výkonu ve vzdálenosti 0,25 m před rozhraním a její velikost po odstranění vodivé plochy Příklad 9.12 Rovinná vlna o kmitočtu 300 MHz se šíří prostředím εo , μo a dopadá kolmo na dielektrickou desku εr = 4 , μr = 1 tloušťky 50 mm. Intenzita pole odražené vlny v bodě P ve vzdálenosti 0,2 m před ozářeným povrchem desky je 20 mV/m.

Vypočtěte: a) výslednou intenzitu elektrického pole v bodě P . b) intenzitu magnetického pole těsně za deskou

66


Řešení:

Situace je znázorněna na Obr. 9.2a . Pro zadané parametry obou prostředí vypočteme vlnová čísla ( 3.11 ) a charakteristické impedance ( 3.12 ) k1 = (2π λo ). ε r1 .μ r1 = (2π 1). 1.1 = 2.π rad/m = 360o/m k 2 = (2π λo ). ε r .μ r = (2π 1). 4.1 = 4.π = 720o/m Z o1 = 120π . μ r1 ε r1 = 120π . 1 1 = 120π = 377 Ω Z o 2 = 120π . μ r ε r = 120π . 1 4 = 60π = 188 Ω

a)

b)

Obr. 9.2: Šíření vln ve vrstevnatém prostředí

Činitel odrazu ( 4.2 ) na rozhraní C-D Z − Z o 2 120π − 60π 1 ρ 23 = o1 = = = ρC Z o1 + Z o 2 120π + 60π 3 Přetransformujeme do bodu B prostředím B-C pomocí vztahu ( 4.7 ) 1 1 ρ B = ρ C . exp(− j 2.k 2 .d ) = . exp(− j.2.720 o.0,05) = . exp(− j 72 o ) 3 3 Dielektrickou desku s navazujícím volným prostorem nahradíme v bodě B prostředím (neomezeným) s charakteristickou impedancí ZB podle vztahu ( 4.8 ) Z B = Z o2

1+ ρB 1 + exp(− j 72 o ) 3 = 60π . = 227,7. exp(− j 35,5o )Ω o 1− ρB 1 − exp(− j 72 ) 3

Na jeho ozářeném povrchu (bod A) bude činitel odrazu

ρA =

Z B − Z o1 227,7. exp(− j 35,5o ) − 120π = = 0,4. exp(− j132 o ) Z B + Z o1 227,7. exp(− j 35,5o ) + 120π

Odražená a dopadající vlna budou mít na ozářeném povrchu desky intenzity s s E ( A) = E (P ). exp[− jk1 .(− d1 )] = 0,02. exp( j.360 o.0,2) = 0,02.exp(j72o) V/m s r E ( A) 0,02. exp( j 72 o ) = = 49,6.exp(j204o) mV/m E ( A) = o ρA 0,4. exp(− j132 )


67

Pak v bodě P bude intenzita pole dopadající vlny r r E (P ) = E ( A). exp[− jk1 .(− d1 )] = 49,6. exp( j 204 o ). exp − j.360 o.(− 0,2) =

[

]

= 49,6.exp(j276o) mV/m a výsledná intenzita pole r s E (P ) = E (P ) + E (P ) = 49,6. exp( j 276 o ) + 20 = 55,3.exp(-j63o) mV/m b) Při přechodu přes ozářené rozhraní A-B dielektrické desky využijeme rovnosti výsledné intenzity pole r s E (B ) = E ( A) = E ( A) + E ( A) = 49,6.exp(j204o) + 20.exp(j72o) = 40,9.exp(-j163o) mV/m Dopadající vlna E(B) r 40,9. exp(− j163o ) E (B ) = = 35,6.exp(-j147o) mV/m E (B ) = 1 + ρ B 1 + 0,333. exp(− j 72 o ) se transformuje do bodu C na druhém povrchu desky na r r E (C ) = E (B ). exp(− jk 2 .d ) = 35,6. exp − j147 o . exp − j.720 o.0,05 = 35,6.exp(j177o) mV/m

(

) (

)

Výsledná intenzita pole v tomto bodě r E (C ) = E (C ).[1 + ρ C ] = 35,6. exp( j177 o ).[1 + 0,333] = 47,5.exp(j177o) mV/m = E(D) je současně intenzitou elektrického pole na rozhraní těsně za deskou. V prostředí Zo1 jí odpovídá hledaná intenzita magnetického pole H (D ) =

E (D ) 45,7.10 −3 exp( j177 o ) = = 0,12.exp(j177o) mA/m 120.π Z o1

Příklad 9.13

V situaci podle Příklad 9.12 potlačte odražené vlny před deskou vložením další dielektrické desky před ozářený povrch. Řešení:

Situace je patrná z Obr. 9.2b . Pro splnění zadání je možné komplexní impedanci ZA = ZB přizpůsobit k impedanci Zo1 analogií obvodu na Obr. 6.1. Při řešení pomocí Smithova diagramu bude normovaná impedance zA =

Z A 227,7. exp(−35,5o ) = = 0,62 – j 0,44 Z o1 120.π

které odpovídá poměr (l/λ)A = 0,41. Protože εT > 1 a ZoT > Zo1 , zvolíme řešení v horní části Smithova diagramu, pro které normovaná impedance je z1 = (0,5 + j0) . Pak délka vzduchové mezery d1/λ = 0,5 - (l/λ)A = 0,5 – 0,41 = 0,09 a skutečná vzdálenost d1 = 90 mm . Impedance transformačního prostředí (desky) bude Z oT =

(z1.Z o1 ).Z o1 = (0,5.120.π ).120.π

= 84,85π Ω

68


Protože platí, že

μT 1 = 120.π . εT εT

Z oT = 120.π .

bude relativní permitivita transformační desky rovna ⎛ 120.π ε T = ⎜⎜ ⎝ Z oT

2

2

⎞ ⎛ 120.π ⎞ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ =2 ⎠ ⎝ 84,85.π ⎠

a její tloušťka dT =

λT 4

=

λo 4

.

1

εT

1 1 = . = 0,177 m 4 2

Příklad 9.14 V prostředí εo , μo leží dvě dielektrické desky (Obr. 9.3) o tloušťce d1 = d2 = 100 mm s permitivitami εr1 = 16 a εr2 = 9 . Dopadající vlna o kmitočtu 300 MHz má na ozářeném povrchu první desky (bod A) intenzitu elektrického pole 1 V/m.

Vypočtěte: a) činitele odrazu v bodech D a B b) výslednou intenzitu elektrického pole v bodě A Ozářený povrch druhé desky (bod C) byl pokryt dokonale vodivou vrstvou. Vypočtěte c) výslednou intenzitu elektrického pole v bodě A d) povrchovou hustotu proudu na vodivé vrstvě

Obr. 9.3: Dvě dielektrické desky Příklad 9.15 V prostředí εo , μo leží dvě dielektrické desky (Obr. 9.3) o tloušťce d1 = d2 = 50 mm s permitivitami εr1 = 16 a εr2 = 4 . Dopadající vlna o kmitočtu 500 MHz má na ozářeném povrchu první desky (bod A) intenzitu elektrického pole 1 V/m.



69

Příklad 9.16 V prostředí εo , μo leží dvě dielektrické desky (Obr. 9.3) o tloušťce d1 = d2 = 50 mm s permitivitami εr1 = 4 a εr2 = 9 . Dopadající vlna o kmitočtu 600 MHz má na ozářeném povrchu první desky (bod A) intenzitu elektrického pole 0,38.exp(j31o) V/m.


10 Vedení, vlnovody a jejich aplikace Vedení a jejich úseky se využívají k přenosu energie nebo nahrazují obvodové prvky či rezonanční obvody. K hlavním parametrům vedení patří charakteristická impedance Zov , měrná fáze α (resp. činitel zkráceni ξ ) a měrný útlum β . Charakteristická impedance Zov závisí na rozměrech a prostorovém uspořádání vodičů, ale také na způsobu jejich buzení. V praktických situacích se často hodnota Zov určuje z kapacity C1 na jednotku délky vztahem 1 Z ov = ( 10.1 ) v f .C1 kde vf = ξ.c je fázová rychlost vlny na vedení a ξ je činitel zkrácení této vlny. Kapacitu C1 daného uspořádání vodičů můžeme určit metodou středního potenciálu. Podle ní střední hodnota potenciálu, vytvořená nábojem Q1 = q1.l na povrchu válcového vodiče délky l o průměru 2a , je rovna q ⎛ 2l ⎞ l >> a ϕ11 = 1 ⎜ ln − 1⎟ ( 10.2 ) 2πε o ⎝ a ⎠ Na povrchu jiného rovnoběžného vodiče „2“ stejné délky ve vzdálenosti d se pak vlivem jeho náboje Q2 = q2.l změní jeho potenciál o hodnotu

ϕ 21 =

q 2 ⎛ 2l ⎞ ⎜ ln − 1⎟ 2πε o ⎝ d ⎠

l >> d

( 10.3 )

Kapacita na jednotku délky C1 je pak rovna podílu délkové hustoty náboje q a potenciálu φ . Vliv blízkých vodivých ploch je možno respektovat náhradou jejich vlivu zrcadlovými obrazy vodičů s odpovídajícími náboji q . Symetrickému buzení soustavy vodičů, kdy na obou částech jsou náboje q2 = - q1 odpovídají potenciály φ1 a φ2 . Při nesplnění této podmínky část siločar směřuje mimo vodiče soustavy. Při paralelním spojení všech vodičů je jejich potenciál stejný, rozdělení náboje však závisí na rozměrech a uspořádání vodičů. Připomeňme ještě, že charakteristická impedance koaxiálního vedení s průměry vodičů 2a1 a 2a2 , vyplněného dielektrikem s relativní permitivitou εr , je dána vztahem a 60 Z ov = . ln 2 ( 10.4 ) a1 εr

70


V oblasti vysokých kmitočtů se úseků vedení užívá k náhradě obvodových prvků L , C nebo jako rezonančních obvodů (rezonátory). Takto realizované prvky a obvody mají obvykle větší jakost, kompaktní provedení a jejich vlastnosti jsou méně ovlivňovány okolím. Pokud budeme kmitočet zvyšovat tak, že délka vlny bude srovnatelná s příčnými rozměry vedení, musíme místo vedení klasických využít k přenosu energie vlnovody. V obdélníkovém vlnovodu s příčnými rozměry a a b se mohou šířit vlny o kmitočtu větším než je kritický kmitočet f krit =

2

⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ . ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2π . μ.ε ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 1

2

( 10.5 )

kde celá čísla m a n jsou vidová čísla. Kmitočtová oblast mezi kritickými kmitočty dvou nejnižších vidů určuje pásmo jednovidovosti. Délka vlny ve vlnovodu λg je určena vztahem

λg =

λo

( 10.6 )

1 − ( f krit f )

2

Fázovou rychlost vf dosazením do vztahů v vf = 2 1 − ( f krit f )

a skupinovou rychlost ,

vsk

vlny ve vlnovodu vypočteme

v sk = v. 1 − ( f krit f )

2

( 10.7a,b )

kde v je fázová rychlost vlny v (neomezeném) prostředí, kterým je vlnovod vyplněn. Příklad 10.1 Vypočtěte charakteristickou impedanci Zov třívodičového vedení podle Obr. 10.1 při symetrickém buzení krajních vodičů proti střednímu vodiči a stanovte podmínky pro symetrické buzení této soustavy.

Obr. 10.1: Třívodičové vedení Řešení:

Při symetrickém buzení jsou na vodičích délkové hustoty náboje q1 = - (q2 + q3) = q . Vnější vodiče jsou spojeny paralelně (φ2 = φ3 ) a mají stejný průměr 2a2 . Pak platí q2 = q3 = - q/2 . Pro potenciály můžeme sestavit rovnice

ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 + ϕ13 =

q ⎛ 2l ⎞ q1 ⎛ 2l ⎞ q 2 ⎛ 2l ⎞ ⎜⎜ ln − 1⎟⎟ + ⎜ ln − 1⎟ + 3 ⎜ ln − 1⎟ 2πε o ⎝ a1 ⎠ 2πε o ⎝ d ⎠ 2πε o ⎝ d ⎠

ϕ 2 = ϕ 21 + ϕ 22 + ϕ 23 =

q1 ⎛ 2l ⎞ q ⎜ ln − 1⎟ + 2 2πε o ⎝ d ⎠ 2πε o

⎛ 2l ⎞ q ⎛ 2l ⎞ ⎜⎜ ln − 1⎟⎟ + 3 ⎜ ln − 1⎟ ⎠ ⎝ a2 ⎠ 2πε o ⎝ 2d


71

a po dosazení hodnoty q dostaneme úpravou q d q / 2 2a 2 ϕ1 = ϕ2 = ln , ln d 2πε o a1 2πε o Rozdíl potenciálů

ϕ 2 − ϕ1 =

q/2 d3 ln 2 2πε o 2a1 .a2

dosadíme do vztahu pro výpočet kapacity C1 4πε o q = C1 = ϕ 2 − ϕ1 d3 ln 2 2a1 .a2 a dostaneme hodnotu charakteristické impedance Zov Z ov = 30. ln

d3 2a12 .a2

Při symetrickém buzení musí mít potenciály na vodičích opačná znaménka a poměr jejich velikostí musí vyhovovat podmínce ⎡ ln (d a1 ) ⎤ ϕ1 = 2.⎢ ⎥ ϕ2 ⎣ ln (d 2a 2 ) ⎦

Volbou rozměrů a1 , a2 a d je možno měnit poměr potenciálů i hodnotu charakteristické impedance vedení. Stavu, který je typický pro symetrická dvouvodičová vedení, lze dosáhnout volbou d = a12 2a2 , kdy charakteristická impedance vedení je rovna Z ov = 120. ln(a1 2a2 ) . Je zřejmé, že musí platit a1 > 2a2 . Příklad 10.2 Vypočtěte poměr nábojů na vodičích třívodičové soustavy na Obr. 10.1 při paralelním spojení všech vodičů a kapacitu na jednotku délky C1 takto buzené soustavy. Řešení:

Při paralelním spojení vodičů platí φ1 = φ2 = φ3 . Srovnáním rovnic v předchozím příkladu dostaneme výsledek q2 ln(d a1 ) = q1 ln(d 2a2 ) Všimněme si, že náboje nejsou stejně velké ani při stejných průměrech vodičů (a1 = a2 ) . Celková hustota náboje q je součtem hustot nábojů na dílčích vodičích q = q1(1+2α). Potenciál na vodičích soustavy pak bude

ϕ = ϕ1 =

q1 2πε

⎡ 2l ⎤ ⎛ 2l ⎞⎤ q1 ⎡ 2l ⎛ 2l ⎞ ⎢ln − 1 + 2α .⎜ ln − 1⎟⎥ = ⎢ln + 2α .⎜ ln ⎟ − (1 + 2α )⎥ ⎝ d ⎠⎦ 2πε ⎣ a1 ⎝ d⎠ ⎣ a1 ⎦

a kapacita C1 q .(1 + 2α ) C1 = 1 =

ϕ1

2πε .(1 + 2α ) 2l 2l ln + 2α . ln − (1 + 2α ) a1 d

72


Příklad 10.3 Vypočtěte charakteristickou impedanci Zov a stanovte podmínky symetrického buzení soustavy dvou rovnoběžných vodičů různého průměru (vodiče „1“ a „2“ na Obr. 10.1 ). Příklad 10.4 Odvoďte vztah pro poloměr náhradního válcového vodiče aekv , kterým je možno při výpočtech nahradit dvojici rovnoběžných paralelně spojených válcových vodičů o průměru 2a ve vzdálenosti d . Příklad 10.5 Vypočtěte charakteristickou impedanci Zov vedení tvořeného válcovým vodičem o průměru 2a nad vodivou plochou ve výšce h (Obr. 10.2a). Výsledek využijte pro návrh vedení s impedancí Zov = 75 Ω s vodičem o průměru 2a = 2 mm .

a) Obr. 10.2: Příklady vedení

b)

Příklad 10.6 Vypočtěte kapacitu na jednotku délky a charakteristickou impedanci vodiče umístěného v úhlovém reflektoru (Obr. 10.2b). Využijte principu zrcadlení a situaci řešte jako výpočet kapacity čtveřice vodičů s opačnými znaménky nábojů v sousedních vodičích. Příklad 10.7 Koaxiální rezonátor tvoří úsek vedení nakrátko doladěný na vstupu kapacitou. Je použita trubka s vnitřním průměrem 38 mm a válcový vodič o průměru 10 mm. Dolaďovací kondenzátor může měnit kapacitu od 3 pF do 4,5 pF (včetně montážních a parazitních kapacit).

Vypočtěte: a) délku rezonátoru, při které střední rezonanční kmitočet bude 600 MHz b) krajní kmitočty pásma, ve kterém je možno obvod přelaďovat c) polohu bodu připojení galvanické vazby ke střednímu vodiči rezonátoru, kdy při zátěži Rz = 75 Ω klesne činitel jakosti obvodu na hodnotu Q = 200. Ztráty v rezonátoru zanedbejte. Řešení:

a) Vzduchové vedení zadaných rozměrů bude mít, podle vztahu ( 10.4 ), charakteristickou impedanci a 60 60 19 Z ov = . ln 2 = . ln = 80,1 Ω a1 5 εr 1


73

Střední hodnota ladicí kapacity (geometrický průměr) bude rovna Co = C min .C max = 3.4,5 = 3,67 pF a její reaktance na středním kmitočtu bude XC = - 1/ωCo = -72,3 Ω . Pro reaktanci rezonátoru platí při rezonanci podmínka X L = Z ov .tg (α .l rez ) = − X C , ze které dostaneme

α .l rez = arctg ( X L Z ov ) = arctg (72,3 80,1) = 42,1o a délku rezonátoru lrez = 58,4 mm b) Na rozdíl od klasického rezonančního obvodu není indukčnost stálá. Je nutno numericky řešit transcendentní rovnici XL = - XC ve tvaru 1 ωC = Z ov .tg (α .l rez ) . Pro uvedené meze změn kapacity C tak bude možno rezonátor přelaďovat od 650 MHz do 552 MHz . c) Požadované hodnotě činitele jakosti Q odpovídá rezonanční odpor Rr = Q.XL = 200. 72,3 = 14 460 Ω Při zanedbání ztrát v rezonátoru se na tuto hodnotu musí na vstupní svorky rezonátoru přetransformovat odpor zátěže Rz . Pak transformační poměr impedancí (odporů) bude roven R 75 p2 = z = = 5,19.10 −3 Rr 14460 Transformační poměr napětí p = 0,072 je poměrem napětí na odbočce Uodb = U(ξ ) ve vzdálenosti ξ od zkratovaného konce rezonátoru k napětí Uvst na vstupu rezonátoru. Vzhledem k sinusovému rozložení napětí podél vedení p = sin (α .lodb ) sin (α .l rez ) bude ⎡ sin (α .l rez ) ⎤ = 2,76 o ⎥ p ⎣ ⎦

α .lodb = arcsin ⎢

a vzdálenost odbočky od zkratu lodb = 3,84 mm . Příklad 10.8 Vlnovod R48 má příčné rozměry a = 47,55 mm a b = 22,16 mm . Vypočtěte kritické kmitočty a vlnové délky nejnižších vidů TE . Řešení:

Nejnižší vid TE10 je popsán vidovými čísly m = 1 , n = 0 . Jejich dosazením do vztahu ( 10.5 ) dostaneme kritický kmitočet f krit = =

2

2

⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ . ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 2π . μ.ε ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 1

1 2π . 4π .10 −7.10 −9

2

2

1.π 0.π ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ . ⎜ ⎟ = 3,15 GHz ⎟ +⎜ −3 −3 36π ⎝ 47,55.10 ⎠ ⎝ 22,16.10 ⎠

a kritickou vlnovou délku λkrit = c / fkrit = 3.108/3,15.109 = 95,1 mm . Údaje v následující tabulce dostaneme dosazením dalších kombinací vidových čísel m , n .

74


Tab. 1:

Kritické kmitočty a vlnové délky vidů TE ve vlnovodu R48

m,n

1,0

2,0

3,0

0,1

0,2

1,1

1,2

2,1

2,2

fkrit [GHz]

3,15

6,30

9,46

6,77

13,5

7,47

13,9

9,25

14,9

λkrit [ mm]

95,1

47,6

31,7

44,3

22,2

40,2

21,6

32,4

20,1

Příklad 10.9 Stanovte hraniční kmitočty pásma jednovidovosti vlnovodu R48 Příklad 10.10 Vypočtěte kmitočet, při kterém bude ve vlnovodu R48 vzdálenost sousedních uzlů stojatého vlnění rovna 50 mm. Příklad 10.11 Při kterém kmitočtu bude ve vlnovodu R48 fázová rychlost vlny třikrát vyšší než v prostředí vně vlnovodu? Příklad 10.12 Úsek vlnovodu R48 má délku l = 130 mm. Na jakém kmitočtu vyjde na délku úseku

a) jedna půlvlna b) dvě půlvlny Řešení:

a) Zde délka úseku l je polovinou délky vlny λg ve vlnovodu. Ze vztahu ( 10.6 ) dostaneme

λg =

λo

1 − (λo λkrit )

2

= 2.l

a jeho další úpravou vztah pro délku vlny ve volném prostoru

λo =

(2l ).λkrit (2l )2 + λ2krit

=

(2.0,13)2 .0,095 (2.0,13)2 + 0,095 2

= 0,0768 m

které odpovídá rezonanční kmitočet f = c /λo = 3,36 GHz b) Délka vlny ve vlnovodu λg bude rovna délce úseku l . Dosazením do předchozích vztahů dostaneme další rezonanční kmitočet f = 3,91 GHz. Všimněme si, že druhý výsledek není dvojnásobkem kmitočtu v situaci a) jako u dvouvodičových vedení s vlnou TEM.


11 Dodatky 11.1 Výsledky vstupního testu 1. Na koncích jeho délky. 2. Jsou v každém bodě navzájem kolmé. 3. Jsou to uzavřené křivky, nemají začátek ani konec. 4. Když siločáry magnetického pole jsou kolmé na rovinu smyčky 5. a) zmenší se na čtvrtinu původní hodnoty b) zvětší se na dvojnásobek

11.2 Výsledky příkladů 11.2.1 Kapitola 3

Příklad 3.1 řešený příklad Příklad 3.2 a) 2,3.exp(j180o) mA/m b) 2 m, 98.106 m/s c) (17-j10)μW Příklad 3.3 a) -3,7 m b) 5,6 m c) (0,46-j0,1) mW/m2 Přiklad 3.4 a) 102.exp(-j12o)mV/m b) ± n.9,3 m c) 33 μW Přiklad 3.5 a) pokles amplitudy na 0,67, zpoždění fáze o 42o b) o 28o c) 1,3 mW Přiklad 3.6 a) 1,7.exp(j82o) V/m b) 1,5.108 m/s c) (3,26+j0,4) mW/m2 Přiklad 3.7 řešený příklad Přiklad 3.8 a) 37,5.exp(-j30o) μA/m b) 0,88 m , 11,5 m , -9,7 m c) 1,225.108 m/s Přiklad 3.9 a) 1 V/m ; 1.exp(-j72o) V/m b) 1,5.108 m/s c) 132 μW 11.2.2 Kapitola 4

Příklad 4.1 řešený příklad Příklad 4.2 řešený příklad Příklad 4.3 63,7.exp(-j225o) mA Příklad 4.4 33,28.exp(j90o) V Příklad 4.5 72,6.exp(j108o) mA Příklad 4.6 a) 336.exp(j72o)V ; 168. exp(j72o)V ; 504. . exp(j72o)V b) 2,52 A ; 0,84 A ; 3,0 c) 0,5 A ; 50 W Příklad 4.7 a) 3 A b) 2,25 kW ; 250 W c) j.967,5 V ; j.3,87 A d) 2 A Příklad 4.8 řešený příklad Příklad 4.9 a) 117 mA b) 78 mA ; 1,5 Příklad 4.10 a) 3 A ; 1125 W b) 331 V c) 1,25 m ; 2,5 m ; 3 A Příklad 4.11 320 mA

75

76


Příklad 4.12 17 V Příklad 4.13 0,55.exp(-j90o) A Příklad 4.14 řešený příklad Příklad 4.15 a) 14,3 mA b) 19,6.exp(-j79o) mA c) (73 +j 10,3) Ώ d) 1,4 ; 1,86 11.2.3 Kapitola 5

Příklad 5.1 řešený příklad Příklad 5.2 a) (426 +j 66) Ω ; (2,33 –j 0,4) mS b) 0,20.exp(j 24o) ; 0,23.exp(j 132o) c) 0,732 m ; 1,732 m d) 1,5 ; 1,6 Příklad 5.3 a) (7,8 –j 30,2) Ω b) 0,5.exp(j 90o) c) 2,25 m Příklad 5.4 a) (90 –j 6 ) Ω b) (0,3 +j 0,58) c) 1,01 m Příklad 5.5 řešený příklad Příklad 5.6 první vedení: (23,2 –j 46,6) Ω ; 4,7 ; 0,65.exp(-j 117o) druhé vedení: (19,6 –j 11,3) Ω ; 3,7 ; 0,57.exp(-j 160o) Příklad 5.7 53 mm Příklad 5.8 řešený příklad Příklad 5.9 (44 +j 72) Ω 11.2.4 Kapitola 6

Příklad 6.1 řešený příklad Příklad 6.2 a) 96 mm b) 287 mm c) 1,0 ; 2,4 ; ∞ Příklad 6.3 a) 0,317 m b) 0,109 m c) 5,8 ; ∞ Příklad 6.4 a) 90 mm b) 88 mm ; 26,7 mS c) 5,0 Příklad 6.5 a) 60 Ω ; 0,493 m b) 89 Ω ; 0,40 m c) 1,0 ; 1,48 ; 2,2 Příklad 6.6 l1 = 84 mm ; pahýl nakrátko 175 mm Příklad 6.7 a) 400 Ω ; 132 mm b) 190 Ω ; 250 mm Příklad 6.8 a) 1,11 m b) 0,5 m ; nakrátko c) 1,0 ; ∞ ; 3,6 11.2.5 Kapitola 7

Příklad 7.1 řešený příklad Příklad 7.2 řešený příklad Příklad 7.3 a) 0,577 A b) 0,732.exp(-j30o) V/m c) 0,8.exp(-j150o) V/m Příklad 7.4 6 m Příklad 7.5 řešený příklad Příklad 7.6 řešený příklad Příklad 7.7 řešený příklad


77

Příklad 7.8 a) Fzy = j (1 − cos kl ).2. cos(k d 2 . cosϑ ).2 j.sin (kh. cosϑ ) b) 153.exp(j90o) V/m c) 2,31 m Příklad 7.9 a) Fx y = j (1 − cos kl ).2. cos(k d 2 .sin ϕ ).2 j.sin (kh. cosϕ ) b) 21,5.exp(j120o) mV/m c) 1,73 m Příklad 7.10 a) Fz x (ϑ ) = j

cos(kl.sin (ϑ )) − cos kl ⎛ d ⎞ .2 j.sin ⎜ k sin ϑ ⎟.2 j.sin (kh. cosϑ ) cos(ϑ ) ⎝ 2 ⎠

b) 0,71.exp(-j90o) V/m c) 14,4 m Příklad 7.11 a) Fz y (ϑ ) = j

cos(kl.sin (ϑ )) − cos kl ⎛ d ⎞ .2 j.sin ⎜ k cosϑ ⎟.2. cos(kh. cosϑ ) cos(ϑ ) ⎝ 2 ⎠

b) 0,17.exp(j180o) V/m c) 0,577 m Příklad 7.12 a) Fx y (ϑ ) = j

cos(kl. cos(ϕ )) − cos kl ⎛ d ⎞ .2. cos⎜ k cos ϕ ⎟.2 j.sin (kh. cosϕ ) sin (ϕ ) ⎝ 2 ⎠

b) 864.exp(180o) mV/m c) 0,577 m Příklad 7.13 a) Fx y = j (1 − cos kl ).2 j.sin (k d 2 .sin ϑ ).2 , Fzy = 0 , Fz x (ϑ ) = j

cos(kl. cos(ϑ )) − cos kl ⎛ d ⎞ .2 j.sin ⎜ k sin ϑ ⎟.2. cos(kh. cosϑ ) sin (ϑ ) ⎝ 2 ⎠

b) 2 m , c) 1 m Příklad 7.14 a) F x y (ϕ ) = j

cos(kl.sin (ϕ )) − cos kl ⎛ d ⎞ .2. cos⎜ k cos ϕ ⎟.2 j.sin (kh. cosϕ ) cos(ϕ ) ⎝ 2 ⎠

Fz x = j (1 − cos kl ).2. cos(k d 2 .sin ϑ ).2 j.sin (kh.sin ϑ ) , Fzy = 0 b) ϑ = 30 o c) (2n – 1).0,15 m Příklad 7.15 a) Fz y (ϑ ) = j

cos(kl.sin (ϑ )) − cos kl ⎛ d ⎞ .2. cos⎜ k sin ϑ ⎟.2 j.sin (kh. cosϑ ) cos(ϑ ) ⎝ 2 ⎠

Fz x = j (1 − cos kl ).2.2 j.sin (kh. cosϑ ) , Fxy = 0 b) 176.exp(j180o) mV/m c) (2n-1).2 m

Příklad 7.16 a) Fz y (ϑ ) = j (1 − cos kl ).[1 + sin (kd . cosϑ ) − j. cos(kd . cosϑ ] , Fz x (ϑ ) = j

cos(kl.sin (ϑ )) − cos kl .[1 + sin (kd . cosϑ ) − j. cos(kd . cosϑ ] , cos(ϑ )

Fx y (ϕ ) = j

cos(kl. cos(ϕ )) − cos kl .[1 − j ] b) ϑ = 180 o c) 90o sin (ϕ )

Příklad 7.17 a) Fz y (ϑ ) = j (1 − cos kl ).[1 + cos(kd . cosϑ − Φ )] , cos(kl.sin (ϑ )) − cos kl .[1 + cos(kd . cosϑ − Φ )] , cos(ϑ ) cos(kl. cos(ϕ )) − cos kl .[1 + cos Φ ] b) Φ = 180o Fx y (ϕ ) = j sin (ϕ ) Fz x (ϑ ) = j

78


Příklad 7.18 řešený příklad Příklad 7.19 řešený příklad Příklad 7.20 255 Ω ; 1,96 ; 1,8 Příklad 7.21 70,5 MHz Příklad 7.22 85,5 Ω Příklad 7.23 a) 3,4 ; 0,65 m b) 10,9 dB Příklad 7.24 a) 7,7 dB b) 0,74 m c) 445 μV ; 2,64 nW Příklad 7.25 řešený příklad 11.2.6 Kapitola 8

Příklad 8.1 a) 8,4 mV/m ; 188 nW/m2 b) 6,7 mV/m ; 119 nW/m2 Příklad 8.2 řešený příklad Příklad 8.3 a) 44 μV/m b) 120 km Příklad 8.4 řešený příklad Příklad 8.5 a) 89,6 mV/m b) 22,3 mV/m c) 9,2 mV/m d) h2 = 0 m ; h2 = 75 m Příklad 8.6 157 μV/m Příklad 8,7 15,9 mV/m (podle (( 8.6 ) E = 0 ) b) 89 mV/m Příklad 8.8 řešený příklad Příklad 8.9 řešený příklad Příklad 8.10 řešený příklad Příklad 8.11 450 km 11.2.7 Kapitola 9

Příklad 9.1 řešený příklad Příklad 9.2 řešený příklad Příklad 9.3 a) 1,06.exp(-j60o) mA/m b) 1,06.exp(j180o) mA/m c) 10,6 μW Příklad 9.4 a) 93,8.exp(-j204o) μA/m b) 0,19.exp(j55o) mA/m Příklad 9.5 a) 1,5.exp(-j150o) V/m b) 1,5.exp(-j30o) V/m c) 1,5 mW/m2 Příklad 9.6 a) 1,18.exp(j144o) V/m b) 1,18. exp(-j144o) V/m c) 4,7 mW Příklad 9.7 a) 0,53.exp(-j135o) mA/m b) 0,53.exp(j180o) mA/m c) 53 μW Příklad 9.8 a) 0,19.exp(-j60o) V/m b) 0,377.exp(-j120o) V/m c) 735 μW/m2 Příklad 9.9 a) 0,25.exp(-j90o) V/m b) 0,333 m c) 2 mW/m2 Příklad 9.10 a) 0,19.exp(-j240o) V/m b) 2.exp(j180o) mA/m c) 1,9 μW Příklad 9.11 a) 133.exp(j90o) μA/m b) (2n-1).0,5 m c) 0 ; 6,63 μW/m2 Příklad 9.12 řešený příklad Příklad 9.13 řešený příklad

Elektromagnetické vlny, antény a vedení - příklady Příklad 9.14 a) 0,5.exp(j0o) ; 0,41.exp(-j160o) b) 0,21.exp(-j15,5o) V/m c) 0,35.exp(-j80o) V/m d) 6,26.exp(-j170o) mA/m Příklad 9.15 a) 0,33.exp(-j120o) ; 0,35.exp(j66o) b) 0,505.exp(j27,5o) V/m c) 0,8.exp(-j66,5o) V/m d) 9,76.exp(-j156,5o) mA/m Příklad 9.16 a) 0,5.exp(j144o) ; 0,61.exp(j13o) b) 1,34exp(j8,5o) V/m c) 1,68.exp(j33o) V/m d) 9,4.exp(-j57o) mA/m 11.2.8 Kapitola 10

Příklad 10.1 řešený příklad Příklad 10.2 řešený příklad

[

Příklad 10. 3 Z ov = 120. ln d

a1 .a 2

];

ϕ1 ϕ 2 = ln(d a1 ) ln (d a2 )

Příklad 10.4 aekv = a.d Příklad 10.5 Z ov = 60. ln (2h a ) ; h = 1,75 mm

(

Příklad 10.6 Z ov = 60. ln 2h a

)

Příklad 10.7 řešený příklad Příklad 10.8 řešený příklad Příklad 10.9 3,15 GHz ; 6,3 GHz Příklad 10.10 4,35 GHz Příklad 10.11 3,34 GHz

79

80


Seznam použité literatury [1]

NOVÁČEK, Z. Elektromagnetické vlny, antény a vedení. Přednášky. Skriptum FEKT VUT Brno.

[2]

ČERNOHORSKÝ, D., NOVÁČEK, Z. a RAIDA, Z. Elektromagnetické vlny a vedení.Příklady pro cvičení a domácí projekty. Skriptum FEI VUT Brno. MJ servis, s.r.o., Brno, 2001, 72 s

[ 3 ] RAIDA, Z. a kol. Multimediální učebnice elektromagnetických vln a mikrovlnné techniky. Internetová učebnice. (http://www.feec.vutbr.cz/~raida/multimedia). Brno, FEI VUT v Brně, 2001

Elektromagnetické vlny, antény a vedení

Recommend Documents