Vodiče
Vodiče Elektrická vodivost kovů Pro pohyb částice ve vnějším silovém potenciálním poli platí Schrodingerova rovnice: h2 ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ − + 2 + 2 + W p Ψ = WΨ 2m ∂x 2 ∂y ∂z
Tato rovnice popisuje pohyb elektronu a má řešení pouze pro určité hodnoty energie W. To znamená, že se energie v kvantové soustavě nemůže měnit spojitě, ale je, na rozdíl od klasické mechaniky, kvantována. Elektron není lokalizován v prostoru, ale jeho pohyb je popsán neomezenou rovinnou vlnou. Vlnová funkce Ψ má tvar: rr rr r ik r − ik r Ψ (r ) = Ae + Be
Zde první člen popisuje vlnu šířící se v jednom směru, druhý člen vlnu šířící se ve směru opačném. Kov je tvořen souborem kladných iontů umístěných v mřížkových bodech krystalové mřížky a elektronů vytvářejících tzv. „elektronový plyn“ pohybujících se volně, chaotickým pohybem, krystalovou mřížkou. Elektrony se v kovu řídí Fermi-Diracovou statistikou a jejich rozdělení energie je dáno FermiDiracovým rozdělením. Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Vodiče
f(W)
Elektrická vodivost kovů
f (W ) =
1 1+ e
W −WF kT
Fermi-Diracova rozdělovací funkce udává pravděpodobnost obsazení energetické hladiny W elektronem. Zde WF je hodnota Fermiho hladiny (chemický potenciál). Hodnota WF u kovů bývá v jednotkách eV,
Fermi-Diracova rozdělovací funkce pro absolutní teplotu T = 0K
Průběh F-D rozdělovací funkce pro teplotu 0 K a pro teplotu > 0 K je uveden na obrázcích. Pro teploty vyšší než 0 K je část elektronů tepelně excitována, nabývá hodnot energií větších než WF. Proto jsou obsazené některé hladiny nad WF a neobsazené některé hladiny pod WF. Důvodem je to, že některé elektrony přeskočí z nižší na vyšší hladiny.
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Fermi-Diracova rozdělovací funkce pro absolutní teplotu T > 0K
Pavel Mach
Vodiče
Elektrická vodivost kovů Přitom pravděpodobnost obsazení hladiny W1 elektronem je stejná, jako neobsazenost hladiny W2 elektronem za předpokladu, že W1-WF=WF-W2. Pro nenulovou hodnotu teploty lze pro WF nalézt přibližný výraz: π2 WF = WF (0)1 − 12
kT WF (0 )
2
Připojíme-li na kov vnější elektrické napětí, elektronový plyn bude urychlen proti směru r vnějšího elektrického pole. Jeho střední rychlost bude vu a jeho pohybová rovnice bude:
r r dvu vu r m + =F dt τ
r
Zde F je střední hodnota vnější síly působící na elektron,τ je relaxační doba, která určuje, za jak dlouho se ustaví rovnováha elektronového plynu od okamžiku, kdy přestane působit vnější síla. Přestane-li působit vnější síla, rychlost klesá podle rovnice: t
− r r vu (t ) = vu (0 )e τ
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Vodiče
Elektrická vodivost kovů Při konečné relaxační době (u pevných látek prakticky vždy), jsou-li vnější síly elektrického původu, přejde pohybová rovnice na tvar:
r r dvu 1 r m + v u = qE dt τ Pro rovnovážný stav platí: r q E r vu = τ m
Zavedeme-li proudovou hustotu vztahem: r r j = qnvu r a dosadíme za vu , dostaneme r q 2 nτ r j= E m
To není nic jiného než Ohmův zákon ve vektorovém tvaru: Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Vodiče
Elektrická vodivost kovů
r r j = σE S ohledem na předchozí rovnici je pak elektrická vodivost dána vztahem: q 2 nτ σ= m
V této rovnici jsou známy zpravidla hodnoty σ, q, m, n, a proto je možné vypočíst relaxační dobu τ. Ta je např. pro měď přibližně rovna 10-14 s. Bude-li zaveden pojem pohyblivosti vztahem:
b=
vu qτ = E m
r
Střední unášivá rychlost v u charakterizuje pohyb elektronů v důsledku elektrického pole. r r v u = bE U kovů závisí vodivost σ jen na typu kovu a na teplotě. Pro danou teplotu je vodivost konstantní.
σ = qnb
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Vodiče
Tepelná vodivost kovů Tepelná vodivost je obecně dána množstvím tepla, které projde jednotkovým průřezem za jednotku času. Na vedení tepla se podílejí kmitající atomy mřížky a volné elektrony. U kovů je vliv volných elektronů na tepelnou vodivost dominantní. Pro hustotu tepelného toku platí: jQ = κ
∂T ∂x
Pro měrné teplo je možné u kovů odvodit: cV =
π 2 nk 2TL 3
mvT
nk 2Tτ ≈3 m
, kde:
v F ≈ vT Přičemž vF je rychlost elektronu získaná tepelným pohybem (pro Ag je WF=5.35 eV a vF=1.37 . 106 m/s 2WF m
vF =
Pro tepelnou vodivost pak platí:
κ=
π 2 nk 2TL 3
mvT
3nk 2Tτ ≈ m
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Vodiče
Tepelná vodivost kovů Zde τ ... relaxační doba. Vztah mezi tepelnou vodivostí a elektrickou vodivostí popisuje tzv. Franz-Wiedemanův zákon: κ k 2T =3 2 σ q
F-W zákon popisuje obecnou závislost, ve vztahu nejsou parametry vztahující se ke konkrétnímu materiálu. Nejčastějšími kovovými materiály užívanými v elektrotechnice jsou Cu (vodiče), Al (vodiče), Ag (zejména pro plnění elektricky vodivých lepidel a pro vodivé tlusté vrstvy), Au (vodivé tlusté vrstvy, kontakty) a jejich slitiny. Elektrický odpor kovů je dán v dominatní míře fonon-elektronovou interakcí. Elektron prochází krystalovou mřížkou a jeho dráha je ovlivňována jejím kmitáním. Energetické kvantum kmitu krystalové mřížky se nazývá fonon. Čím vyšší je teplota, tím vyšší je energie fononu, tím více je ovlivněna dráha procházejícího elektronu a tím vyšší je elektrický odpor kovu. Proto u kovů elektrický odpor roste s teplotou.
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Supravodiče
SUPRAVODIČE Vznik supravodivosti a její teorie. Nízkoteplotní supravodivost Bylo zjištěno, že u některých kovů, slitin a kovových sloučenin nastává při velmi nízkých teplotách stav, kdy odpor tohoto materiálu klesne na neměřitelnou hodnotu. Současně se materiál stává ideálním diamagnetikem – tento stav se nazývá supravodivostí. K tomu, aby materiál přešel do supravodivého stavu, musí být splněny následující podmínky: teplota musí být nižší než tzv. „kritická teplota“ intenzita magnetického pole musí být nižší než „kritická intenzita magnetického pole“ proudová hustota v supravodiči musí být nižší než „kritická proudová hustota“. Teoretický popis supravodivosti podává tzv. BCS teorie (Bardeen - Cooper- Schieffer), za kterou byla udělena Nobelova cena v roce 1972. Tato teorie je založena na předpokladu vzniku „Cooperových párů“ v supravodiči za supravodivého stavu. Jsou to páry elektronů s opačným spinem a dráhovým momentem, takže výsledný magnetický moment je nulový. Představa o vzniku Cooperova páru je následující: elektron procházející krystalovou mřížkou přitahne blízké kladné náboje v mřížce. Tím způsobí deformaci mřížky a vyvolá pohyb jiného elektronu, s opačným spinem, do oblasti s vyšší hustotou kladného náboje.
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Supravodiče
SUPRAVODIČE Vznik supravodivosti a její teorie. Nízkoteplotní supravodivost Teoretický popis supravodivosti podává tzv. BCS teorie (Bardeen - Cooper- Schieffer), za kterou byla udělena Nobelova cena v roce 1972. Tato teorie je založena na předpokladu vzniku „Cooperových párů“ v supravodiči za supravodivého stavu. Jsou to páry elektronů s opačným spinem a dráhovým momentem, takže výsledný magnetický moment je nulový. Představa o vzniku Cooperova páru je následující: elektron procházející krystalovou mřížkou přitahne blízké kladné náboje v mřížce. Tím způsobí deformaci mřížky a vyvolá pohyb jiného elektronu, s opačným spinem, do oblasti s vyšší hustotou kladného náboje.
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Supravodiče
Vznik supravodivosti a její teorie. Nízkoteplotní supravodivost
Tyto dva elektrony jsou pak vzájemně vázány. Je-li energie takto vytvořeného páru dostatečně veliká, pak tento pár není ovlivňován kontakty s oscilujícími atomy krystalové mřížky a prochází materiálem bez odporu. Jiná teorie, která popisuje vznik supravodivosti a byla prezentována přibližně ve stejné době jako BCS teorie, je teorie Bogoljubova. Tato teorie vychází z principu tzv. Bogoljubovovy transformace. Supravodivost byla poprvé pozorována holandským fyzikem Kamerling Onnesem na Leidenské univerzitě při zchlazení Hg na teplotu kapalného He (4,2 K). To bylo v roce 1911. V roce 1913 dostal Onnes za objev supravodivosti Nobelovu cenu. Další významný objev v oblasti supravodivosti provedl Walter Meissner spolu s Robertem Ochsenfeldem. Zjistili, že supravodič je ideální diamagnetikum, a proto do něj nevstupují magnetické siločáry. Proto supravodič na magnetu levituje.
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Supravodiče
Vysokoteplotní supravodivost Supravodivé vodiče se vyrábějí z čistých kovů (např. Pb, Nb), slitin (např. Nb-Ti, Nb-Ti-Zr), nebo z intermetalických sloučenin (např. Nb3Sn, V3Ga). Supravodivý vodič se skládá ze supravodivého jádra (případně z nosného jádra se supravodivou vrstvou) obaleného stabilizujícím kovem (Cu, Al). Teplota supravodivosti kovů a kovových slitin užívaných v praktických aplikacích se pohybuje v rozmezí jednotek K až do přibližně 21 K. Tato skupina supravodičů je nazývána také „nízkoteplotními supravodiči“ V roce 1986 objevili Alex Muller a Georg Bednorz, pracovníci IBM laboratoří ve Švýcarsku keramický materiál, který vykazoval supravodivé vlastnosti v té době při nejvyšší teplotě 30K. Byl to materiál LaBa2Cu3O1-x. Tímto objevem, který byl odměněn Nobelovou cenou v roce 1987, byl položen základ tzv. „vysokoteplotní supravodivosti“. Pozor! Pod pojmem vysokoteplotní supravodivost není možné chápat pojem „vysoká teplota“ tak, jak se s ním setkáváme v normálním životě. Je to teplota podstatně vyšší, než jaká byla dosahována pro supravodivost „nízkoteplotní“. Zpravidla se pod tímto pojmem (rozuměj „vysoká teplota“) chápe teplota nad teplotou kapalného dusíku (77 K, t.j. - 196 oC). Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
Supravodiče
Vznik supravodivosti Zajímavé na vysokoteplotní supravodivosti je, že materiály, které ji vykazují, jsou keramiky. Přitom tyto materiály byly, až do objevu tohoto typu supravodivosti, řazeny mezi izolanty, případně dielektrika. V současnosti je rekordem supravodivosti teplota 138K, která byla dosažena na materiálu Hg-Th-Ba-Ca-Cu-O. Nevýhodnou vlastností vysokoteplotních supravodičů bývá jejich vysoká citlivost na vlhkost a nízká kritická hustota proudu. S ohledem na charakter těchto supravodičů (keramiky) je problematické, pokud by byly využívány jako vodiče, jejich kontaktování. Jedno z možných řešení supravodivého vodiče z tohoto materiálu je toto: Ag nebo Cu trubička se naplní práškem neslinovaného supravodiče, naformuje se do požadovaného tvaru (např. cívky) a pak se za řízených podmínek (teplota, atmosféra) prášek slinuje do pevného materiálu supravodiče. Je zřejmé, že jakékoli tvarové úpravy již pak nejsou možné. http://www.superconductors.org/History.htm
Materiály a technologie pro výkonovou elektrotechniku
Pavel Mach
