elektriciteit voor 5TSO

e5 Dirk Sarens

4

elektriciteit voor 5TSO versie 1.0

1

© 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaakt voor het leerplan D/2009/7841/036 Dit boek kan worden gekocht via de website www.unibook.com Had je graag een aangepaste versie van dit boek (een extra hoofdstuk of liever een hoofdstuk minder) of een CD met alle figuren uit dit boek, dan kan je dit aanvragen door een mailtje te sturen naar [email protected]

2

Inhoud

e5 4

Inhoud 0 Woord vooraf 1 Wisselspanning Soorten spanningen 6 Waarden van een sinusoïdale wisselspanning 7

2 Vectoriële voorstelling Vectoriële voorstelling van een sinusoïdale wisselgrootheid 13 Vectoriële voorstelling van meerdere sinusoïdale wisselgrootheden 14

3 Complex rekenen De operator j 19 Vormen van complexe getallen 20 Bewerkingen met complexe getallen 22

4 Enkelvoudige wisselstroomketens Ohmse weerstand aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 25 Ideale spoel aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 27 Ideale condensator aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 28 Samenvatting 30

5 RLC serieketens Serieschakeling van gelijkaardige elementen 33 Ideale spoel en weerstand in serie (RL) 35 Werkelijke spoel en weerstand in serie 38 Twee of meer praktische spoelen in serie 38 Ideale condensator en weerstand in serie (RC) 40 Ideale spoel en ideale condensator in serie (LC) 43 Weerstand, spoel en condensator in serie (RLC) 46

6 RLC parallelketens Parallelschakeling van gelijkaardige elementen 53 Ideale spoel en weerstand parallel (RL) 56 Ideale condensator en weerstand parallel (RC) 59 Ideale spoel en ideale condensator parallel (LC) 63 Weerstand, spoel en condensator parallel (RLC) 65

3

Inhoud

7 RLC gemengde ketens Voorbeeld 1: (R+L)//C 72 Voorbeeld 2: (R+L)//(R+C) 73 Uitgewerkt voorbeeld 74

8 Eerste orde filters

Decibel (dB) 80 RC-laagdoorlaatfilter 80 LR-laagdoorlaatfilter 83 CR-hoogdoorlaatfilter 84 RL-hoogdoorlaatfilter 86 Banddoorlaatfilter 87

9 Eénfasig wisselstroomvermogen Herhaling 91 Begrippen 92 Berekenen van het vermogen 93 Vermogendriehoek 97 Arbeidsfactor 97

10 Driefasenspanning Driefasenspanning 104 Driefasenstroom 105 Hoofdeigenschap van een driefasennet 107 De sterschakeling 108 De driehoeksschakeling 113 Schakelen van driefasenverbruikers 118 Vermogen en arbeidsfactor in driefasennetten 120 Arbeidsfactor van een driefasenet 123

11 Complexe netwerken Herhaling 127 De wetten van Kirchhoff 130 Het theorema van Thévenin 134 De superpositiemethode 138 Het theorema van Norton 141 Ster-driehoektransformatie 146

e 5 Bijlage 4

Afleiding Afleiding Afleiding Afleiding Afleiding

4

formule effectieve waarde van een sinusvormige spanning 147 formule gemiddeld vermogen 149 formule gemiddelde waarde van een sinusvormige spanning 149 formules inductieve reactantie 150 formules capacitieve reactantie 152

Woord vooraf

0 Woord vooraf

Over de inhoud In dit boek vinden we de basis van de wisselstroomtheorie. We beginnen met een herhaling van de belangrijkste waarden van een sinusvormige wisselspanning en de vectoriële en complexe voorstelling daarvan. Daarna worden alle mogelijke combinaties van R, L en C aangesloten op deze wisselspanning en wordt het gedrag ervan bestudeerd. Verder wordt de reeds gekende maar onvolmaakte formule P=U.I op punt gezet, om daarna alles nog eens keer moeilijker te maken bij de driefasenspanning. We eindigen in alle eenvoud met het oplossen van complexe netwerken.

Over de opbouw Alhoewel de Homo sapiens een prachtig schepsel is, durft hij in zijn rol van leerling wel eens afwijkend gedrag te vertonen. Dit boek is daarom een beetje aangepast aan zoveel mogelijk subcategorieën van de Homo leerlingus. De Homo dromerus blijft fysisch meestal op zijn plaats zitten. Zijn gedachten vertonen echter vaak de neiging om een wandelingetje te maken. Daarom wordt er in de tekst op heel wat plaatsen gevraagd om iets aan te vullen of om een korte oefening te maken. Dit kan ook ten goede komen aan de Homo prutserus of de Homo adeadeus. De Homo graffiticus kleurt graag in zijn boek. Daarom werd er bewust gekozen om in de tekst heel weinig te ‘highlighten’, dus geen B, I of U. Op die manier blijft deze soort actief en wordt ze uitgedaagd om uit de lessen de hoodzaken te distilleren. De Homo slordigus vindt vaak zijn nota’s niet terug. Daarom worden aan het einde van een hoofdstuk een vijftal basisoefeningen in het boek zelf gemaakt. Voor huistaken en/of differentiatie werden er telkens nog een vijftal extra oefeningen aan toegevoegd. Ook de Homo nerdus kan zijn lusten botvieren op deze extra oefeningen, maar hij heeft ook een hele kluif aan de bijlage waarin alle gebruikte formules wiskundig worden bewezen. Speciaal voor de Homo dyslexus werd Verdana in- en uitvullen uitgeschakeld. Met de Homo genintressus werd geen rekening gehouden. Aan deze soort wordt aangeraden om eens uit te kijken naar een andere richting.

5

Wisselspanning

1 Wisselspanning Onze huishoudelijke spanning van 230V is ongetwijfeld de meest gebruikte spanning. Deze spanning is een sinusvormig signaal dat ook op die manier wordt opgewekt in de alternator van een elektriciteitscentrale. Aangezien in dit boek bijna alleen maar sinusvormige signalen aan bod komen, is het heel belangrijk dat we deze sinus en zijn bijhorende waarden goed begrijpen. In dit hoofdstuk worden alleen maar spanningen besproken, maar alles is evengoed van toepassing op stromen.

Soorten spanningen Gelijkspanning

U

Een gelijkspanning is een spanning die niet verandert van polariteit. Dit betekent dat de pluspool en de minpool altijd op dezelfde plaats blijven. Op de (U-t)grafiek ligt U dus altijd boven of altijd onder de t-as. Bv.:

t U

Constante gelijkspanning: een gelijkspanning waarvan de waarde niet verandert in de tijd. Bv.:

t Periodieke gelijkspanning: een gelijkspanning waarvan de waarde verandert volgens een bepaald patroon dat zich steeds herhaalt. Bv.:

U

U

t

6

U

t

t

Wisselspanning

Wisselspanning Een wisselspanning is een spanning die in de tijd verandert van polariteit. Bv.:

U

t

Zuivere wisselspanning: een wisselspanning waarvan de waarde verandert volgens een bepaald patroon dat zich steeds herhaalt en waarvan de gemiddelde waarde (zie verder) nul is. Bv.:

U

t

U Sinusoïdale wisselspanning: een zuivere wisselspanning waarvan de waarde verandert volgens een sinusfunctie.

Opmerking: gelijkspanning en wisselspanning kunnen worden samengevoegd. In dat geval spreekt men van een gesuperponeerde spanning. Dit is een wisselspanning die een gelijkstroomcomponent heeft. Bv.:

t

U

DC

t

Waarden van een sinusoïdale wisselspanning Periode

U

De periode van een periodieke spanning is de tijd die nodig is om alle verschillende waarden van die spanning éénmaal te doorlopen.

T

t

Symbool: T Eenheid: seconde (s) Frequentie De frequentie van een wisselstroom is het aantal perioden per seconde. Symbool: f Eenheid: hertz (Hz)

7

Wisselspanning

Verband tussen frequentie en periode: In Europa is de frequentie van het wisselspanningsnet men Hz.

Hz en in Amerika gebruikt

Bereken in beide gevallen de periodeduur. Europa:

Amerika:

Cirkelfrequentie Een sinusoïdale wisselspanning kan worden opgewekt door een winding in een tweepolig magnetisch veld te laten ronddraaien. a

De cirkelfrequentie is dan de hoeksnelheid van de winding. Andere benamingen zijn pulsatie of hoeksnelheid.

r 1 rad

Symbool: ω Eenheid: rad/s

(radialen per seconde)

boog ab = r

Verband tussen frequentie en cirkelfrequentie: Amplitude De amplitude is de grootste waarde die een wisselspanning bereikt. Symbool: Um Andere benamingen: maximumwaarde, amplitudo, topwaarde Hoeveel keer per periode bereikt de wisselspanning zijn amplitude? Als Upp (piek-tot-piekwaarde) de som is van de absolute waarden van de positieve en de negatieve amplitude, stel dan de formule op die het verband aangeeft tussen U pp en Um.

Ogenblikkelijke waarde De ogenblikkelijke waarde van een wisselspanning is de waarde op een bepaald ogenblik. Symbool: u Verband tussen u en Um:

8

of

(want

)

b

Wisselspanning

Effectieve waarde De effectieve waarde van een wisselspanning is gelijk aan de waarde van een constante gelijkspanning, die in een gelijke weerstand en gedurende eenzelfde tijd, eenzelfde jouleeffect ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning. Symbool: U of URMS Opmerking: wanneer men de waarde van een wisselspanning aangeeft, dan wordt steeds de effectieve waarde bedoeld. Dit is ook de waarde die normaal door de meettoestellen wordt weergegeven. Men kan wiskundig aantonen (zie bijlage) dat Bereken Upp voor de spanningen van 230V en 400V.

Gemiddelde waarde De gemiddelde waarde van een wisselstroom is de waarde van een constante gelijkstroom, die in eenzelfde tijd, eenzelfde hoeveelheid lading verplaatst als de beschouwde wisselstroom. Bij deze gemiddelde stroomwaarde hoort dan een gemiddelde spanning. Symbool: Opmerking: in een U-t grafiek is de oppervlakte onder de curve (tussen 2 tijdstippen) een maat voor de hoeveelheid verplaatste lading. Bij een zuivere wisselspanning (bv. een sinusoïdale wisselspanning) is de oppervlakte boven en onder de curve gelijk. De ladingsverplaatsing in de ene zin is even groot als in de andere zin. De gemiddelde waarde van een sinusoïdale spanning is dus nul. Men kan wiskundig aantonen (zie bijlage) dat

bij dubbelzijdige gelijkrichting

U

U

t

bij enkelzijdige gelijkrichting

t

9

Wisselspanning

Oefeningen 1)

De pulsatie van een wisselspanning is 314,16 rad/s. Bereken de periode. Gegeven: Gevraagd: Oplossing:

2)

Een sinusoïdale wisselstroom heeft een frequentie 50 Hz. 1/300s na de nuldoorgang is de momentele waarde 5 A. Bereken de amplitude. Gegeven: (tekening)

Gevraagd: Oplossing:

3)

Gegeven: u = 141,4.sin(754t) Gevraagd: Bereken de amplitude, pulsatie, frequentie, effectieve waarde en periode van deze wisselspanning. Teken het verloop van deze spanning in de tijd en duid alle berekende waarden aan op de tekening (indien mogelijk) Oplossing:

10

Wisselspanning

4)

Met een gelijkspanningsvoltmeter meten we een enkelzijdig gelijkgerichte spanning. De voltmeter geeft een waarde aan van 63,6V. Wat is de maximumwaarde van deze spanning? Gegeven: (tekening van de golfvorm)

Gevraagd: Oplossing:

11

Wisselspanning

5)

Bereken de tijd tussen de nuldoorgang en het bereiken van de amplitude bij een sinusvormige spanning met een frequentie van 1kHz. Gegeven: (tekening)

Gevraagd: Oplossing:

Extra oefeningen 6)

Toon aan dat de volgende formule juist is:

7)

Hoe groot is de hoeksnelheid als in 0,18s twee perioden doorlopen worden?

8)

Een wisselstroom heeft een cirkelfrequentie van 377 rad/s. Bereken de frequentie en de periode.

9)

Teken in eenzelfde assenstelsel twee wisselstromen a. met kleine amplitude en grote frequentie. b. met tweemaal grotere amplitude en viermaal kleinere frequentie.

10) Na een tijd van 1/8 periode is de momentele waarde van een spanning 230V. Bereken de effectieve waarde van de sinusvormige wisselspanning.

12

Vectoriële voorstelling

2 Vectoriële voorstelling Het tekenen van een sinusvormig signaal is voor de doorsnee mens niet zo eenvoudig. Ook het aflezen van waarden op een sinusoïde blijkt vaak onnauwkeurig. Het kan echter veel gemakkelijker. We zullen zien dat, met een beetje verbeelding, een sinusvormige spanning perfect kan weergegeven worden door een vector. En zo’n vector is meteen heel wat eenvoudiger te tekenen. Vooral bij het voorstellen van meerdere elektrische spanningen en/of stromen zoals bv. bij een driefasenspanning (zie verder), wordt het nut van de vectoriële voorstelling pas echt duidelijk.

Vectoriële voorstelling van een sinusoïdale wisselgrootheid Een sinusvormige wisselgrootheid kan worden voorgesteld door een vector als :  de grootte van de vector op schaal de amplitude voorstelt.  de vector in tegenuurwijzerzin draait met een hoeksnelheid w =2.p.f Eén volledige omwenteling van de vector stemt dan overeen met één periode T van de wisselstroomgrootheid.

u 3 4

2 1

5

7 0

6

0

1

2

3

4

5 6

8

9 10 11 12

t

11

7 10

8 9

De oorsprong wordt genomen in stand 0. De richting van de vector in deze stand is de horizontale en de zin is naar rechts. Terwijl de vector ronddraait, maakt hij voortdurend een hoek met de oorsprong. Deze hoek noemt men de fasehoek a die positief is als de vector zich bevindt boven de horizontale en negatief als de vector zich bevindt onder de horizontale.

13

Vectoriële voorstelling

Bepalen van de amplitude

Um

De lengte van de vector stelt de amplitude voor. De wisselgrootheid bereikt deze amplitude of maximumwaarde als de fasehoek 90° of –90° is.

u a

Bepalen van de ogenblikkelijke waarde De ogenblikkelijke waarde is de loodrechte afstand van de pijlpunt tot de oorsprong. Dit komt overeen met de wiskundige uitdrukking : Bepalen van de effectieve waarde De effectieve waarde kan afgeleid worden uit de amplitude

Um Aangezien 0,707

U a=45°

overeenstemt met sin 45° vindt men de

effectieve waarde dus ook als de fasehoek 45° is.

Vectoriële voorstelling van meerdere sinusoïdale wisselgrootheden Twee of meer wisselgrootheden met dezelfde frequentie kunnen voorgesteld worden door evenveel vectoren die hetzelfde aangrijpingspunt hebben en die draaien met dezelfde hoeksnelheid. Hierdoor blijft de hoek tussen de vectoren onderling op elk ogenblik hetzelfde. Meestal wordt één van de vectoren in de oorsprong getekend. Opmerking: Het heeft geen zin om in één assenstelsel vectoren voor te stellen die niet dezelfde frequentie hebben. In fase Twee wisselgrootheden zijn in fase, als ze dezelfde frequentie hebben en op dezelfde ogenblikken de nulwaarde en hun gelijknamige amplitudes doorlopen.

u i

Dit wordt voorgesteld door twee vectoren met dezelfde richting en zin.

i u

Wiskundig :

Um

Im t

14

Vectoriële voorstelling

Faseveschil of faseverschuiving Tussen twee wisselgrootheden met dezelfde frequentie bestaat er een faseverschil, als ze niet gelijktijdig hun gelijknamige topwaarden doorlopen. Het faseverschil is het kleinst mogelijke interval (tijdsinterval of hoek) tussen de overeenkomstige waarden van twee wisselgrootheden met dezelfde frequentie. De faseverschuivingshoek is de kleinste hoek tussen de twee vectoren en wordt voorgesteld door de griekse letter f.

u i

Wiskundig :

i Um f

u Im t

Voorijlen en naijlen Een wisselgrootheid ijlt voor op een andere wisselgrootheid als hij zijn amplitude vroeger bereikt, of als hij eerder door nul gaat dan de andere. Aangezien voorijlen en naijlen een relatief begrip is bij ronddraaiende vectoren, plaatst men het best één van de twee vectoren in de oorsprong als vergelijkingsgrootheid. In de bovenstaande figuur ijlt de spanning voor op de stroom of ijlt de stroom na op de spanning. Tegenfase Twee wisselgrootheden zijn in tegenfase als er tussen beiden een faseverschil bestaat van 180°. Dit wordt voorgesteld door twee vectoren met dezelfde richting maar een tegengestelde zin.

u i

Wiskundig :

i u Um

Im t

15