Elde college Schijndel. Kernteam Techniek

Elde college Schijndel Kernteam Techniek

Wiskunde lesstof stapelaars

docent: Joost van Veghel

Voorwoord Gefeliciteerd! Als je dit leest, heb je het schooljaar afgesloten met een diploma voor de basisberoepsgerichte leerweg. Daarnaast ben je ook toegelaten voor de kaderberoepsgerichte leerweg. Je blijft dus nog een jaartje langer op het Elde college. We noemen dat “stapelen”. Nu is het voor alle vakken (behalve wiskunde) zo, dat de lesstof voor de kaderberoepsgerichte leerweg, vanaf nu kortweg kader genoemd, een aanvulling is op de lesstof voor de basisberoepsgerichte leerweg, vanaf nu kortweg basis genoemd. Met andere woorden, je gaat eigenlijk gewoon verder met werken vanaf waar je gebleven bent. Wat maakt wiskunde op dit punt dan anders dan alle andere vakken? Een basis-leerling heeft in leerjaar 3 en 4 gewerkt met allerlei voorbeelden en opgaven, die heel dicht bij de werkelijkheid staan. Je kunt je er dus een voorstelling bij maken. Voor een kader-leerling is dit veel minder het geval. Daar kom je juist “los” van de werkelijkheid. Je leert daarmee een bepaalde manier van (wiskundig) denken. Soms vragen leerlingen zich wel eens af: “Wat heb ik daar eigenlijk aan?”. Het klopt dat je in de dagelijkse praktijk niet alles wat je bij wiskunde leert, direct toe kunt passen. Toch zul je merken dat bij andere vakken (zoals techniek en nask), in je vervolgopleiding en bij het oplossen van allerlei problemen, wiskundig denken een belangrijke rol speelt. Met alleen je basis-diploma op zak ben je niet goed genoeg voorbereid op wat er bij wiskunde in leerjaar 4 kader op je af gaat komen. Je begint dan meteen met een grote achterstand. Daarom heb ik voor stapelaars dit boekje geschreven. Je kunt dit in alle rust thuis doorwerken. Daarmee geef je jezelf een betere startpositie. Natuurlijk mag je, zolang het schooljaar nog loopt, altijd op school bij me langskomen om vragen te stellen over de uitleg en over de opgaven. Ook kun je me altijd een mailtje sturen: [email protected]. Veel succes en alvast een fijne vakantie toegewenst! Joost van Veghel docent wiskunde

Opbouw van dit dictaat Dit dictaat is opgebouwd uit drie hoofdstukken. Die komen niet overeen met de hoofdstukken uit de boeken 3 vmbo-KGT 1 en 3 vmbo-KGT 2 van de methode “getal en ruimte”. De hoofdstukken in dit dictaat gaan uit van de hoofdelementen uit de wiskunde, te weten: • • •

Rekenen Verbanden Meetkunde

Statistiek laat ik buiten beschouwing, omdat we dat onderdeel volledig afsluiten in leerjaar 3. Dat geldt dus ook voor het deel van de stof wat normaal gesproken in leerjaar 4 thuis hoort. Daarnaast is statistiek geen onderdeel van het examen. Om met dictaat te kunnen werken, moet je over bovengenoemde boeken kunnen beschikken. Daarnaast heb je een mapje met de bij deze boeken behorende nakijkbladen nodig. Als het goed is, heb je deze tegelijk met dit dictaat ontvangen. Per hoofdstuk is er een inleiding, waarin ik wat vertel over de verschillen tussen basis en kader. Daarna volgen er stukjes theorie, met voorbeelden. Het is de bedoeling dat je van ieder hoofdstuk uit de boeken een aantal opgaven maakt om te oefenen. Hoeveel oefening je nodig hebt, kun je alleen zelf bepalen. Maak echter tenminste van ieder hoofdstuk D-toets en herhaling. Het is de bedoeling dat je actief probeert deze stof zo goed mogelijk door te werken. Natuurlijk kan het altijd gebeuren dat je iets niet snapt. Kijk dan of er iemand is die je kan helpen. Ook via internet kun je proberen meer duidelijkheid te krijgen. Wat je in elk geval niet moet doen, is de moed opgeven. Je weet dat je ook altijd bij mij terecht kunt. Je kunt mij mailen via [email protected], voor uitleg of het maken van een afspraak.

1. Rekenen

Inleiding Het berekenen van percentages wijkt bij kader nogal af van wat je bij basis hebt geleerd. Je bent gewend om berekeningen onder te verdelen in logische stapjes, zoals:

Hoeveel procent is 12 van de 64? Antwoord: 100% = 64, dus 1% = 64 : 100 = 0,64 12 : 0,64 = 18,8%

Hoeveel is 15% van 83? Antwoord: 100% = 83, dus 1% = 83 : 100 = 0,83 15 × 0,83 = 12,45

Rekenkundig zijn bovenstaande voorbeelden correct uitgewerkt. Met andere woorden, het is niet fout om het op deze manier te doen. Op kader doen we het anders. Waarom? Daar ga je in dit hoofdstuk achter komen. Wat hetzelfde is gebleven, is dat we procenten in principe afronden op één decimaal, tenzij er iets anders wordt aangegeven.

Percentage berekenen Paco werkt bij een installatiebedrijf, hij monteert wastafelkranen in nieuwe huizen. Tijdens het testen blijken 12 van de 64 aangesloten kranen niet volledig af te sluiten. Het gaat om 12 van de 64, dus 64 is het geheel en 12 is daar een deel van. Je berekent het percentage met de volgende formule: percentage = deel : geheel × 100%

Hoeveel procent is 12 van de 64? Antwoord: 12 : 64 × 100% = 18,8% ofwel:

 

 100% 18,8%

Rekenen met procenten Noord-Brabant heeft ongeveer 2.470.000 inwoners. Daarvan is ca. 89% katholiek (bron: CBS). Hoeveel inwoners zijn dat? Procent betekent letterlijk “per honderd”. Van iedere honderd inwoners zijn er dus 89 katholiek. De bijbehorende breuk is


 

deel = percentage : 100% × geheel

Hoeveel is 89% van 2.470.000? Antwoord: 89 : 100 = 0,89 0,89 × 2.470.000 = 2.198.300

en dat is 0,89.

Procenten en korting Je gaat een nieuwe telefoon kopen. Deze kost € 680,-. Neem je er echter een abonnement bij, krijg je 82% korting. Wat kost de telefoon dan nog? In plaats van het berekenen van de korting, gaan wij direct uitrekenen wat je nog moet betalen. Wanneer je 82% korting krijgt, betaal je nog 18%. Immers, 100% - 82% = 18%. Hoe je 18% van € 680,- uitrekent, hebben we al behandeld.

Hoeveel is 18% van € 680,-? Antwoord: 18 : 100 = 0,18 0,18 × € 680,- = € 122,40

Procenten en prijsverhoging Een tablet kost in december € 399,-. Per 1 januari gaat de prijs met 3% omhoog. Wat betaal je in januari voor deze tablet? Ook hier gaan we direct uitrekenen wat je moet betalen. Bij een stijging van 3%, betaal je 103%. Immers, 100% + 3% = 103%.

Hoeveel is 103% van € 399,-? Antwoord: 103 : 100 = 1,03 1,03 × € 399,- = € 410,97

Het klinkt raar dat je met meer dan 100% kunt rekenen. Als 100% het geheel is, hoe kun je dan meer hebben? Ik hoop dat je uit het voorbeeld snapt, dat het geheel zelf natuurlijk altijd groter kan worden. Ten opzichte van de beginsituatie (100%) zijn we nu dus gestegen tot boven 100%.

BTW Bij Makro zijn alle prijzen exclusief 19% BTW. Aan de kassa komt die BTW dus boven de prijs op het prijskaartje. Een X-Box 360 Kinect 4Gb is in de aanbieding voor € 239,-, exclusief BTW. Wat is de prijs die je aan de kassa betaalt? De 19% BTW kunnen we zien als een prijsstijging, zie vorige paragraaf.

100% + 19% = 119% Hoeveel is 119% van € 239,-? Antwoord: 119 : 100 = 1,19 1,19 × € 239,- = € 284,41

Promille Naast procent kennen we ook promille. Procent betekent “per honderd”, promille betekent “per duizend”. Alle rekenregels voor procent gelden ook voor promille. Je vervangt alleen het getal 100 door het getal 1000. Het teken voor promille is o⁄oo Ook geldt: 1% =



, 1o⁄oo =





, dus 1% = 10o⁄oo.



Deelnemers aan het verkeer kennen promille van de alcohol-limiet. Je mag als bestuurder niet meer dan 0,5o⁄oo alcohol in je bloed hebben. Dat is dus gelijk aan 0,05%. Jan drinkt 5 glazen bier van 25 cl. Het bier heeft een alcoholgehalte van 5%. Jan weegt 70 kg, 60% van zijn lichaam bestaat uit vocht. Wat is zijn alcoholpromillage? Mag hij autorijden? Dit probleem bestaat uit diverse onderdelen, die we stap voor stap op moeten lossen. Dat gaat als volgt:

Hoeveelheid alcohol in het bier: 25 cl = 250 ml 5 × 250 ml = 1.250 ml 5 : 100 = 0,05 0,05 × 1.250 = 62,5 ml

Hoeveelheid vocht in het lichaam: 60 : 100 = 0,6 0,6 × 70 = 42 kg = 42 liter = 42.000 ml

Alcoholpromillage: promillage = deel : geheel × 1000⁄

Antwoord:

, .

× 1000o⁄oo = 1,5o⁄oo

Conclusie: Jan mag dus niet autorijden!

Exponentiële toename Aan het begin van het hoofdstuk heb ik aangegeven dat er een reden was waarom we op kader anders rekenen met procenten dan dat we op basis hebben gedaan. Een van de belangrijkste redenen daarvoor is het rekenen met exponentiële toe- en afname. Daarover gaan deze en volgende paragraaf.

Stel je voor dat je een loterij wint, je ontvangt € 750,-. Dit geld zet je op een spaarrekening. De bank geeft je 3,2% rente. Hoeveel staat er na 5 jaar op je rekening? Wat niet gaat werken, is uitrekenen hoeveel rente je het eerste jaar krijgt en dat bedrag vervolgens vermenigvuldigen met 5. Immers, de rente die je het eerste jaar krijgt, komt bij het bedrag op je bankrekening. Het tweede jaar ontvang je dus meer rente, het derde jaar nog meer, enz. Dat noemen we rente op rente. Maar hoe rekenen we dit dan wel uit?

Laten we beginnen met het bedrag na 1 jaar: € 750,- is 100%. Er komt 3,2% bij. 100% + 3,2% = 103,2% 103,2 : 100 = 1,032. € 750,- × 1,032 = € 774,-, je hebt € 24,- rente ontvangen. Na Na Na Na

2 3 4 5

jaar: jaar: jaar: jaar:

€ € € €

774,00 798,77 824,33 850,71

× × × ×

1,032 1,032 1,032 1,032

= = = =

€ € € €

798,77 824,33 850,71 877,93

(€ (€ (€ (€

24,77 25,56 26,38 27,22

rente) rente) rente) rente)

Er zitten twee nadelen aan bovenstaande methode. Hij is omslachtig en omdat je steeds tussentijds af moet ronden, is hij ook niet erg nauwkeurig. Het kan ook in één keer: € 750,- × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 = € 877,93 Je zult zeggen, daar komt hetzelfde uit. Maar dat is niet waar, zonder afronding komen er deze uitkomsten uit: € 877,93272 en € 877,9297173, verschil € 0,0030027. Dat is natuurlijk voor jou een miniem verschil, maar voor een bank die met miljarden werkt, gaat het om enorme bedragen.

Laten we nog even terugkijken naar de berekening:

€ 750,- × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 = € 877,93

Hoewel dit de juiste uitkomst levert en korter is dan per jaar het bedrag uitrekenen, zoals we hebben gezien, blijft ook dit een omslachtige methode. Immers, stel je eens voor dat je moet uitrekenen hoeveel er na 20 jaar op je rekening staat. De berekening die je dan zou moeten maken, past niet eens op je rekenmachine. De oplossing is werken met machten.

1,0322 = 1,032 × 1,032 1,0323 = 1,032 × 1,032 × 1,032 1,0324 = 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 1,0325 = 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032 × 1,032

Dus, wat staat er op de rekening? na 5 jaar: € 750,- × 1,0325 = € 877,93 na 20 jaar: € 750,- × 1,03220 = € 1.408,17

Op je rekenmachine voer je dat in als 750×1,032^5 of 750×1,032^20. Het bedrag waar je mee begint, noemen we het begingetal. Het getal waar je mee vermenigvuldigt, heet de groeifactor. In ons voorbeeld is het begingetal dus 750 en de groeifactor 1,032.

Een automerk verwacht een jaarlijkse groei van 2,8%. Ze verkopen nu 28.366 auto’s per jaar. Hoeveel auto’s verkopen ze over 10 jaar?

100% + 2,8% = 102,8% 102,8% : 100 = 1,028 28.366 × 1,02810 = 37.387,74 Antwoord: 37.388 auto’s We ronden af op het dichtstbijzijnde gehele getal, omdat je natuurlijk niet 0,74 auto kunt verkopen.

Exponentiële afname Bij vermenigvuldigen met een getal groter dan 1, wordt het resultaat groter dan het beginpunt. Immers, 3 × 1,2 = 3,6 (3,6 is groter dan 3). Bij vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1, wordt het resultaat natuurlijk kleiner, 3 × 0,8 = 2,4 (2,4 is kleiner dan 3). Hetzelfde is waar bij machten. Dit blijkt ook uit de volgende voorbeelden. Zo geldt 1,0150 = 1,64 en 0,9950 =0,61. Waarom ga ik hier zo uitgebreid op in? Om je er goed van te doordringen dat vermenigvuldigen niet altijd betekent dat je ook vermeerdert. De conclusie die je hieruit kunt trekken, is dat een groeifactor groter dan 1 betekent dat er sprake is van groei. Bij een groeifactor kleiner dan 1 is er sprake van afname.

Exponentiële toename:

groeifactor > 1

Exponentiële afname:

groeifactor < 1

> betekent “groter dan”, < betekent “kleiner dan”.

In 1998 leefde op de zuidpool een populatie pinguïns. Deze bestond uit 48.000 dieren. Door een ziekte was er sprake van een jaarlijks afname van 1,7%. Hoe groot is de populatie in 2012?

2012 – 1998 = 14 jaar 100% - 1,7% = 98,3% 98,3% : 100 = 0,983 48.000 × 0,98314 = 37.756,39 Antwoord: 37.756 pinguïns We ronden af op het dichtstbijzijnde gehele getal, omdat je natuurlijk geen 0,39 pinguïn kunt hebben.

Procenten met verhoudingstabel Bij procenten hebben we tot nu toe steeds gerekend in situaties waarin de beginsituatie bekend was. Met andere woorden, we wisten wat er 100% was. Maar wat als je dat niet weet? In Schijndel wonen 5761 jongeren tussen 0 en 19 jaar (bron: CBS). Dat is 25,1% van de totale bevolking. Hoeveel inwoners heeft Schijndel? Een dergelijke opgave lossen we op met een verhoudingstabel. Zo’n tabel werkt volgens het principe dat wat je aan de onderzijde van de tabel doet, je ook aan de bovenzijde moet doen. Hoe kom je nu van 25,1% naar 100%? Bij verhoudingen mag je nooit optellen of aftrekken, dus “74,9% erbij” is niet de oplossing. Maar wat als je nu eerst deelt door 25,1 en daarna vermenigvuldigt met 100? Op die manier komen we op 100 uit, omdat 25,1 : 25,1 = 1 en 100 × 1 = 100. Deze methode kun je in dit soort situaties altijd toepassen, zoals je op de volgende pagina's in de verschillende voorbeelden kunt zien.

In Schijndel wonen 5761 jongeren tussen 0 en 19 jaar (bron: CBS). Dat is 25,1% van de totale bevolking. Hoeveel inwoners heeft Schijndel?

: 25,1

× 100

22.952

5761 25,1%

1%

: 25,1

100%

× 100

Het vakje waar de uitkomst van de deling 5761 : 25,1 zou moeten staan is gearceerd. Dat doen we omdat we die uitkomst niet opschrijven, dat is namelijk een tussenuitkomst. Om het antwoord te berekenen, voeren we op de rekenmachine in één keer in: 5761 : 25,1 × 100 =. Als antwoord vinden we dan 22.952 (uiteraard hebben we afgerond op een geheel getal omdat je nu eenmaal geen halve bewoners hebt.) Een Galaxy SII wordt 5% duurder en kost dan € 628,95. Hoeveel kostte de telefoon vóór de prijsverhoging?

: 105

× 100

€ 628,95

€ 599,-

105%

1%

: 105

100%

× 100

In dit voorbeeld zie je dat de prijs 5% stijgt, en 100% + 5% = 105%. We delen dus eerst door 105 om op 1% uit te komen. De vervolgstap is altijd hetzelfde, namelijk vermenigvuldigen met 100 om op 100% uit te komen. Een Nintendo WII wordt 11% goedkoper en kost dan € 209,15. Hoeveel kostte de gameconsole vóór de prijsverlaging?

: 89

× 100

€ 209,15

€ 235,-

89%

1%

: 89

100%

× 100

Vergrotingsfactor Lees eerst alle theorie uit hoofdstuk 8 van het boek. Hieronder zie je drie vormen, te weten een lijn van 4 centimeter, een vierkant van 4 bij 4 centimeter en een kubus van 4 bij 4 bij 4 centimeter.

Hieronder staan wederom een lijn, vierkant en kubus. Deze zijn met een factor 3 vergroot.

De lijn is nu dus 4 x 3 = 12 centimeter lang. Het vierkant is 12 bij 12. Is de oppervlakte van het vierkant nu ook 3 x groter geworden? Je zou denken van wel, maar dat blijkt niet te kloppen. oppervlakte kleine vierkant: 4 x 4 = 16 cm2 oppervlakte grote vierkant: 12 x 12 = 144 cm2 144 : 16 = 9

Dus, de oppervlakte van het vierkant is 9 x groter geworden. Dat komt omdat de vergrotingsfactor in de lengte én in de breedte werkt. De vergroting van de oppervlakte is dus de vergrotingsfactor in het kwadraat. Controle: 32 is inderdaad 9. Bij de inhoud is de vergroting van de inhoud de vergrotingsfactor tot de macht 3, omdat de vergrotingsfactor daar in drie richtingen werkt. inhoud kleine kubus:

4 x 4 x 4 = 64 cm2

indoud grote kubus:

12 x 12 x 12 = 1728 cm2

1728 : 64 = 27 controle: 33 is inderdaad 27.

vergrotingsfactor is lengte groot : lengte klein vergroting oppervlakte is vergrotingsfactor2 vergroting inhoud is vergrotingsfactor3

Omgekeerd werkt dit dus ook, zoals de volgende voorbeelden illustreren: De oppervlakte van een vijver op een maquette is 256 keer kleiner dan de werkelijkheid. Wat is de schaal van de maquette? vergrotingsfactor2 = 256, dus vergrotingsfactor = √256 = 16 de schaal is dus 1 : 16 De inhoud van een modelwoning is 2,5 m3. De schaal is 1 : 6. Wat is de inhoud van de woning? vergrotingsfactor is 6 en 63 = 216 2,5 x 216 = 540 m3

2. Lineaire verbanden

Inleiding Het woord “Lineair” betekent lijnvormig, rechtlijnig. Een lineair verband is dus een verband waarvan de grafiek een rechte lijn is. Deze verbanden ken je, bij basis kwamen deze ook veel voor. Nieuw voor je is dat we op kader veel minder met woordformules werken.

Stefan werkt bij een timmerman. Hij verdient € 8,- per uur. Daarnaast krijgt hij € 15,- reiskosten per week. Met welke formule kan Stefan zijn weekloon berekenen?

Basis:

weekloon = 15 + 8 × aantal uren

Kader:

w = 15 + 8u

De term “8u” is nieuw voor je. Het betekent “8 keer de waarde van u”. Als je voor “u” de waarde “2” invult, komt er dus niet te staan “w = 15 + 82”, maar “w = 15 + 8 × 2”. Verder moet ik je nog even op het verschil tussen een assenstelsel en een grafiek wijzen. Een assenstelsel bestaat gewoonlijk uit een horizontale en een verticale as. De horizontale as noemen we de x-as, de verticale as noemen we de y-as. Langs de assen staat een schaalverdeling. Die moet regelmatig zijn, maar de regelmaat langs beide assen hoeft niet hetzelfde te zijn. Zo mag je bijvoorbeeld op de x-as stapjes van 2 zetten (0,2,4, …), terwijl je op de y-as stapjes van 5 zet (0,5,10,…). In een assenstelsel kunnen we de grafiek bij een formule of een tabel tekenen. Dat is in geval van een lineair verband dus altijd een rechte lijn. Denk er om dat je deze twee begrippen niet door elkaar gooit!

Verbanden en formules Wanneer twee zaken iets met elkaar te maken hebben, zeggen we dat ze verband houden met elkaar. In de wiskunde proberen we die verbanden met een formule vast te leggen. Stel je voor dat je een bijbaantje hebt. Iedere dag dat je komt werken krijg je € 2,50 reiskosten en € 4,- per gewerkt uur. Tussen inkomsten en het aantal uren dat je werkt bestaat dus een verband, waarbij we de volgende formule kunnen maken:

Inkomsten = 2,50 + 4 × aantal uren of, korter: I = 2,5 + 4u

Omdat je tijd in seconden, uren, dagen, enz. kunt meten, staan er altijd eenheden bij. In dit geval zou dat dus zijn:

I = inkomsten in Euro, u = tijd in uren

Tussen wiskunde en werkelijkheid bestaan verschillen. In de werkelijkheid zul je, als niet 0 uur werkt, ook geen reiskosten krijgen. Echter, als je in de formule 0 invult krijg je I = 2,5 + 4 x 0 = 2,5. Ook kun je in de formule bijvoorbeeld voor u het getal 50 invullen, terwijl je op één dag natuurlijk nooit zoveel uren kunt werken. Dit noemen we, met een moeilijk woord, abstract denken. Abstract betekent “los van de werkelijkheid”. Het tegenovergestelde ervan is concreet, dan weet je dat ook weer. Het grootste verschil tussen kader en basis is dat we op kader niveau veel abstracter met wiskunde omgaan. Daar heb ik je nu enkele voorbeelden van gegeven.

Regelmaat Bij een lineair verband is er altijd sprake van een regelmatige toename, dat kan niet anders. Immers, de grafiek is een rechte lijn. Bij een niet regelmatige toename zou die lijn niet recht zijn. Controleer dat maar eens voor jezelf. voorbeeld van een regelmatige tabel +1

+1

+1

t

0

1

2

3

I

2,50

6,50

10,50

14,50

+4

+4

+4

voorbeeld van een onregelmatige tabel +1

+1

+1

t

0

1

2

3

I

2,50

5,50

9,50

14,50

+3

+4

+5

In de tweede tabel zit natuurlijk wel een bepaalde logica, maar hij is niet regelmatig. Zowel boven als onder moet de tabel steeds met hetzelfde getal toenemen om regelmatig te zijn.

Soms zijn de stapjes in de bovenste rij niet even groot. Je kunt dan niet zien of de tabel regelmatig is, dus zul je eerst de bovenste rij regelmatig moeten maken. Je krijgt dan “gaten” in de onderste rij. Kun je deze met een regelmatige toename invullen, dan is de tabel regelmatig.

+1

+2

a

3

4

6

P

4

7,50

14,50

+1

+1

a

3

4

P

4

7,50

+ 3,50

+1

5

6 14,50

+ 3,50

+ 3,50

In de bovenste rij zie je nu stappen van 1, in de onderste rij zie je stappen van 3,50. Als je bij het getal 7,50 het getal 3,50 optelt, kom je op 11 uit, en 11 + 3,50 = 14,50. De tabel is dus regelmatig. Welk getal zou er bij deze tabel nu bij 0 horen? bij 2 hoort: 4 – 3,50 = 0,50 bij 1 hoort: 0,50 – 3,50 = - 3 bij 0 hoort: - 3 – 3,50 = - 6,50

Je hebt nu dus het begingetal en het stijggetal gevonden bij de tabel. Stel dat dit gaat over het kopen van batterijen. De batterijen kosten per stuk € 3,50 en je krijgt bij een afname vanaf 5 batterijen een korting van € 6,50.

begingetal = - 6,50 stijggetal = + 3,50 formule:

P = - 6,50 + 3,50 a

P = prijs in Euro, a = aantal

Deze formule levert voor een aantal kleiner dan 5 geen reëel beeld op, anders zou iemand die daar 0 batterijen koopt, € 6,50 cadeau krijgen. Op basis heb je al geleerd hoe je vanuit een tabel of grafiek een formule kunt maken. Wanneer je van hoofdstuk 2 theorie 2E t/m 2L doorleest, zul je zien dat er maar kleine verschillen zijn tussen basis en kader.

Balansmethode en inklemmen Lees eerst alle theorie uit hoofdstuk 6 van het boek. Over het oplossen van vergelijkingen met de balansmethode en met inklemmen wil ik nog het een en ander vertellen. Stel je voor dat je een vakantie aan het plannen bent. Je gaat met een paar vrienden naar Zeeland en je wil daar een appartement huren. Je hebt uiteindelijk twee appartementen uitgezocht. Bij ieder appartement betaal je eenmalig schoonmaakkosten. Daarnaast betaal je een prijs per nacht. Appartement A: Prijs = 47 + 70 x aantal nachten Appartement B: Prijs = 69 + 68 x aantal nachten Bij A zijn de vaste kosten lager, maar de prijs per nacht hoger. Er komt dus een moment waarop A en B even duur zullen zijn. Een typische opgave zou zijn: “Je wilt weten wanneer de appartementen even duur zijn. Welke vergelijking moet je dan oplossen?” Wat je dan moet doen is als het ware beide formules op een balans leggen. Een balans is een oud type weegschaal die een beetje werkt als een wip in een speeltuin. Als er aan beide kanten evenveel gewicht op rust, is de wip in balans, vandaar de naam “balansmethode”. In de wiskunde is het symbool voor zo’n balans het “is gelijk” teken. Dus, op de vraag welke vergelijking je op moet lossen, is het antwoord:

47 + 70 x aantal nachten =

69 + 68 x aantal nachten

We beginnen met het aantal nachten. Als we er aan beide kanten evenveel van af halen, blijft de vergelijking in balans. In dit geval halen we er 68 x aantal nachten van af, aan beide zijden. We krijgen dan: 47 + 2 x aantal nachten

=

69

Wanneer we er nu aan beide zijden 47 van af halen, krijgen we: 2 x aantal nachten

=

22

Als 2 x aantal nachten gelijk is aan 22, is 1 x aantal nachten natuurlijk gelijk aan 11. Wat je nu gedaan hebt, is aan beide zijden delen door het getal wat voor de variabele (in dit geval “aantal nachten”) staat. Wat heb je nu berekend? De uitkomst van de vergelijking is 11, dus na 11 nachten zouden beide appartementen even duur moeten zijn. Dat gaan we nog even controleren:

Appartement A: Prijs = 47 + 70 x 11 = € 817,Appartement B: Prijs = 69 + 68 x 11 = € 817,De gevonden oplossing klopt dus. Omdat de kosten per nacht bij A hoger zijn, zal A bij meer dan 11 nachten duurder zijn. En bij minder dan 11 nachten zal B duurder zijn, omdat daar de vaste kosten hoger zijn. De notatie van de balansmethode ziet er als volgt uit:

47 + 70 x aantal nachten =

69 + 68 x aantal nachten

- 68 x aantal nachten 47 + 2 x aantal nachten = - 47

- 68 x aantal nachten 69 - 47

2 x aantal nachten =

22

:2

:2

aantal nachten =

11

Met de balansmethode kun je alle vergelijkingen van lineaire formules oplossen, als je maar consequent en stap voor stap werkt.

Of je dan met positieve of negatieve getallen te maken krijgt, is niet belangrijk, zoals je in onderstaande voorbeelden kunt zien. Het is daarbij niet eens belangrijk om te weten waar de vergelijkingen over gaan. Neem alle voorbeelden goed door en probeer te begrijpen wat er gebeurt.

9a - 8 = 4a - 22 - 4a - 4a 5a - 8 = 22 +8 +8 5a = 30 :5 :5 a = 6

24 - c = - 24 -c = :-1 c=

- 12 - 24 - 36 :-1 36

12e = -6 : 12 : 12 e = - 0,5

7b - 15 = 5b - 15 - 5b - 5b 2b - 15 = - 15 + 15 + 15 2b = 0 :2 :2 b = 0

2,5d - 25 = -1,5d + 3 + 1,5d + 1,5d 4d - 25 = 3 + 25 + 25 4d = 28 :4 :4 d = 7

7,5 + 0,5f = 15 + 0,35f - 0,35f - 0,35f 7,5 + 0,15f = 15 - 7,5 - 7,5 0,15f = 7,5 : 0,15 : 0,15 f = 50

Zoals je hierboven ziet, bereken je met de balansmethode de exacte uitkomst van een vergelijking. Bij een vergelijking waarin bijvoorbeeld kwadraten of wortels voorkomen, wordt dat lastiger. Daarom gebruiken we voor die vergelijkingen meestal inklemmen. Dat ken je al van basis, maar bij kader zijn de regels een stuk strenger. Zo bereken je in de regel uitkomsten tot op één decimaal nauwkeurig.

Van inklemmen zie je hieronder twee voorbeelden. Los de vergelijking 50k - k2 = 615 op. Rond af op één decimaal.

k

50k - k2

615

25

50 x 25 - 25 x 25 = 625

te hoog

20

50 x 20 - 20 x 20 = 600

te laag

23

50 x 23 - 20 x 23 = 621

te hoog

22

50 x 22 - 20 x 22 = 616

te hoog

21

50 x 21 - 20 x 21 = 609

te laag

21,9

50 x 21,9 - 20 x 21,9 = 615,39

te hoog

21,8

50 x 21,8 - 20 x 21,8 = 614,76

te laag

50 x 21,85 - 20 x 21,85 = 615,0775

te hoog

21,85

Je ziet dat we in bovenstaand voorbeeld steeds getallen in blijven vullen, totdat we de uitkomst tussen twee getallen met één decimaal geklemd hebben. in het voorbeeld gaat het om 21,9 en 21,8. Wanneer we nu het getal 21,85 invullen, weten we of de uitkomst tussen 21,8 en 21,85 ligt, of tussen 21,85 en 21,9. In het eerste geval is de uitkomst (afgerond) 21,8 en in het tweede geval is de uitkomst (afgerond) 21,9. In het voorbeeld is de uitkomst (afgerond op één decimaal): 21,8 Welk getal kies je nu om mee te beginnen. Daar zijn geen regels voor, je begint gewoon ergens. Natuurlijk kun je met een beetje inzicht en wat hoofdrekenen al meteen een beetje in de buurt komen. Dat maakt je werk wat gemakkelijker. Hoe meer stappen je opschrijft, hoe meer je duidelijk maakt wat je gedaan hebt. Maak je dan een fout, kun je toch nog wat punten vergaren. Echter, wanneer je van bovenstaand voorbeeld alleen de laatste 3 regels correct opgeschreven zou hebben, had je de vraag goed beantwoord. Met andere woorden, noodzakelijk zijn alleen de laatste drie regels, maar het is verstandig alles op te schrijven.

Los de vergelijking 1000 - 1,5t2 = 750 op. Rond de uitkomst af op één decimaal.

t

1000 - 1,5t2

750

20

1000 - 1,5 x 202 = 400

te laag

15

1000 - 1,5 x 152 = 662,5

te laag

10

1000 - 1,5 x 102 = 850

te hoog

12

1000 - 1,5 x 122 = 784

te hoog

13

1000 - 1,5 x 132 = 746,5

te laag

1000 - 1,5 x 12.92 = 750,385

te hoog

1000 - 1,5 x 12,952 = 748,44625

te laag

12,9 12,95

De uitkomst ligt tussen 12,9 en 12,95. Afgerond op één decimaal is dat dus 12,9.

Kwadratische verbanden en wortelverbanden De theorie van hoofdstuk 9 geeft een duidelijk beeld van kwadratische en wortelverbanden. In leerjaar 4 komen we hier nog uitgebreid op terug. Zorg ervoor dat je nu eerst genoemde theorie goed bestudeert. Bij kwadratische en wortelverbanden is het heel belangrijk te denken aan het gebruik van haakjes. Stel je voor dat je het kwadraat van - 5 uit wil rekenen. Als je op je rekenmachine invoert: - 52 en je drukt op = komt er als uitkomst - 25 te staan. Echter, - 5 x – 5 = 25, niet - 25. Bij het gebruik van haakjes gaat het wel goed, want (- 5)2 = 25.

Dit geldt ook voor het uitrekenen van wortels. Stel dat je het volgende uit wil rekenen: √25  4 Wanneer je de wortel van 25 x 4 zonder haakjes invoert op je rekenmachine, krijg je √25 x 4 = 20. Immers, je rekenmachine berekent nu eerst de wortel van 25, dat is 5, en vermenigvuldigt deze uitkomst met 4 (en 5 x 4 = 20). Je zult dit dus in moeten voeren als √(25 x 4). De uitkomst daarvan is 10.

Voor het onthouden of de grafiek van een kwadratische formule een bergof dalparabool is, heb ik een eenvoudig ezelsbruggetje bedacht.

Wanneer er een minteken voor het kwadraat staat, is er sprake van een negatief kwadraat. Van negatief wordt je niet vrolijk, dus we krijgen een verdrietige smiley. Je ziet dat de mond de vorm heeft van een bergparabool.

Wanneer er geen minteken voor het kwadraat staat, is er natuurlijk sprake van een positief kwadraat. Van positief wordt je juist wel vrolijk, dus we krijgen een vrolijke smiley. Je ziet dat de mond nu de vorm heeft van een dalparabool.

Tot slot, wat je van kwadratische verbanden vooral niet moet vergeten, is dat er bij iedere parabool sprake is van symmetrie.

3. Meetkunde

Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de stelling van Pythagoras. Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Wat blijkt nu? De oppervlakte van de twee kleinste vierkanten bij elkaar opgeteld, is exact even groot als de oppervlakte van het grootste vierkant. Omdat het vierkanten zijn, is de oppervlakte van het vierkant met zijde a gelijk aan a2. Datzelfde geldt voor vierkanten b en c. De stelling van Pythagoras is dus a2 + b2 = c2. Het gebruik van deze stelling wordt uitgelegd op pagina 171 van het boek, theorie 5D.

Goniometrie Naast de stelling van Pythagoras kunnen we in een rechthoekige driehoek ook rekenen met tangens. Tangens is een verhoudingsgetal tussen twee rechthoekszijden van een driehoek. De rechthoekszijden zijn de zijden die “vastzitten” aan de rechte hoek. De overgebleven zijde is de langste zijde. Die heet schuine zijde, maar dat heeft niets te maken met schuin staan of zoiets.

Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde. De rechthoekszijden grenzen aan de rechte hoek, de schuine zijde is de langste zijde van de driehoek.

Lees nu eerst de theorie van hoofdstuk 5 en pas daarna onderstaande toelichting.

Formules Onthoud TOA en je kunt vrij gemakkelijk de formules voor dit hoofdstuk onthouden. tan (∠ ) =

overstaand aanliggend

T A N G E N S

O V E R S T A A N D

Naast deze 3 formules wordt de Stelling van Pythagoras veel gebruikt. Dit alles geldt alleen in een rechthoekige driehoek!

A A N L I G G E N D

Benoemen van de zijdes A

De zijde tegenover de rechte hoek noemen we altijd de schuine zijde. Deze zijde is tevens de langste zijde van de rechthoekige driehoek.

schuin

B

A aanliggend

Vanuit hoek A is: -zijde AB de aanliggende zijde. -zijde BC de overstaande zijde.

C

schuin

B

overstaand

C

Vanuit hoek C is: -zijde BC de aanliggende zijde. -zijde AB de overstaande zijde.

overstaand

A schuin

B

aanliggend

Natuurlijk worden de letters van deze driehoek in een andere opgave veranderd. Belangrijk is dat je altijd met de volgende vier stappen werkt: 1: schrijf de definitie van tangens op 2: schrijf de formule op 3: vul in wat je weet 4: reken uit wat je wil weten

C

Berekeningen Er kunnen bij goniometrie 3 soorten vragen gesteld worden. Variant 1: Bereken een zijde van een rechthoekige driehoek. Hiervan zijn weer 2 verschillende vormen. Als je 2 zijdes weet, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Als je een zijde en een hoek weet, ga je als volgt te werk: • Schets de driehoek en geef de zijdes de juiste namen (s/a/o). • Bepaal welke formule je kunt gebruiken en schrijf deze op. • Vul de formule in met de getallen die je weet (hoek en zijde). • Reken de ontbrekende zijde uit.

Variant 1a

C

Informatie: ∠A = 15o BC = 20 cm

A

B

Uit de tekening kun je aflezen dat hoek C de rechte hoek is (controleer dat met je geodriehoek). Vanuit hoek A is BC de overstaande rechthoekszijde, AC is de aanliggende rechthoekszijde. AB ligt tegenover de rechte hoek en is dus de schuine zijde.



1:

tan =

2:

tan ∠A =

3:

tan (15) =

4:

AC =

!" $%%&'()"

!*(++!" $%%&'()" ,.-

 /01 23

 .-

= 74,64 cm

Variant 1b

C

Informatie: ∠A = 15o AC = 75 cm

A

B

Uit de tekening kun je aflezen dat hoek C de rechte hoek is (controleer dat met je geodriehoek). Vanuit hoek A is BC de overstaande rechthoekszijde, AC is de aanliggende rechthoekszijde. AB ligt tegenover de rechte hoek en is dus de schuine zijde.



!" $%%&'()"

1:

tan =

2:

tan ∠A =

3:

tan (15) =

4:

BC = tan(15) x 75 = 20,10 cm

!*(++!" $%%&'()" ,.,4

Om te bepalen of je nu moet vermenigvuldigen of delen bij stap 4, kun je gebruik maken van het volgende sommetje:

2=

 5

Staat wat je wilt weten op de plaats van de 3, dan gebruik je delen. Staat wat je wilt weten op de plaats van de 6, dan gebruik je vermenigvuldigen.

Variant 2: Bereken een hoek van een rechthoekige driehoek. Ook hiervan zijn weer 2 verschillende vormen. Als je beide andere hoeken al weet kun je de derde hoek eenvoudig uitrekenen. De som van de hoeken in een driehoek moet 180 graden zijn. In het geval dat je twee zijdes weet ga je als volgt te werk: • Schets de driehoek en geef de zijdes de juiste namen (s/a/o), je gebruikt hiervoor de hoek die je wil gaan berekenen. • Bepaal welke formule je kunt gebruiken en schrijf deze op. • Vul de formule in met de getallen die je weet (beide zijdes). • Reken de hoek uit met behulp van shift (tan).

Variant 2

C

Informatie: AC = 75 cm BC = 20 cm

A

B

Uit de tekening kun je aflezen dat hoek C de rechte hoek is (controleer dat met je geodriehoek). Vanuit hoek A is BC de overstaande rechthoekszijde, AC is de aanliggende rechthoekszijde. AB ligt tegenover de rechte hoek en is dus de schuine zijde.



!" $%%&'()"

1:

tan =

2:

tan ∠A =

,-

3:

tan ∠A =



4:

∠A = tan-1 (20 : 75) = 14,9o

!*(++!" $%%&'()"

.-

4

Variant 3: Controleer of een gegeven driehoek rechthoekig is, of niet. In dat geval weet je minimaal één hoek en twee zijdes. • Bepaal welke hoek de rechte hoek zou kunnen zijn (en welke zeker niet). • Schets de driehoek en geef de zijdes de juiste namen (s/a/o). • Bepaal welke formule je kunt gebruikt áls deze driehoek rechthoekig is en schrijf deze formule op. • Vul de formule in met de getallen die gegeven zijn, je moet alles ingevuld hebben. • Reken de formule uit en controleer of de uitkomst (afgerond) klopt. • Schrijf een conclusie op of de driehoek wél (formule klopte) of niet (formule klopte niet) rechthoekig is.

Variant 3

C

Informatie: ∠A = 15o AC = 80 cm BC = 20 cm

A

B

Uit de tekening kun je aflezen dat hoek C waarschijnlijk de rechte hoek is (controleer dat met je geodriehoek). Vanuit hoek A is BC de overstaande rechthoekszijde, AC is de aanliggende rechthoekszijde. AB ligt tegenover de rechte hoek en is dus de schuine zijde.



1:

tan =

2:

tan ∠A =

3:

tan (15) =

4:

AC =

!" $%%&'()"

!*(++!" $%%&'()" ,.-

 /01 23

 .-

= 74,64 cm

Dat klopt niet, want AC = 80 (zie informatie). De driehoek is dus niet rechthoekig.

Hellingspercentage: Het hellingspercentage van een hoek bereken je door de tangens te vermenigvuldigen met 100%. Dus: tan hoek * 100% = hellingspercentage Dus ook: hellingspercentage : 100% = tan hoek

Variant 1a

C

Informatie: AB = 750 m AC = 40 m

A

B

Uit de tekening kun je aflezen dat hoek A de rechte hoek is (controleer dat met je geodriehoek). Vanuit hoek B is AC de overstaande rechthoekszijde, AB is de aanliggende rechthoekszijde. BC ligt tegenover de rechte hoek en is dus de schuine zijde.



!" $%%&'()"

1:

tan =

2:

tan ∠B =

3:

tan ∠B =

4:

hellingspercentage = 0,053 x 100% = 5,3%

!*(++!" $%%&'()" ..,  4

= 0,053 (afgerond op 3 decimalen)

Bij stap 3 rond je af op drie decimalen, omdat je daarna met 100% gaat vermenigvuldigen. Je houdt daarna dus nog 1 decimaal over. De afspraak is dat we procenten afronden op 1 decimaal, dus dat komt precies uit.