Spš elektro PŘÍKOPY
El2.C Cvičení ze základů elektrotechniky 2. ročník
Podle knihy A Blahovec „Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách“ zpracoval ing. Eduard Vladislav Kulhánek Vyšší odborná a střední průmyslová škola elektrotechnická Františka Křižíka Praha 1 Na Příkopě 16
Práce je zpracována jako pomůcka pro učitele pro efektivnější výuku předmětu. Práce je volně šířitelná. 1
4.1.1. Plochou 0,005m2 prochází kolmo na plochu magnetický tok 0,004Wb. Určete magnetickou indukci za předpokladu, že pole je homogenní. Φ 0,004 B= = = 0,8T S 0,005 4.1.11 V ploše 500 mm2 je stálá magnetická indukce 0,8 T. Určete, jak velký je magnetický tok, prostupující touto plochou, za předpokladu, že plocha je kolmá ke směru magnetické indukce. Φ = B ⋅ S = 0,8 ⋅ 5 ⋅ 10-4 = 4 ⋅ 10-4 Wb 4.1.12. Jak velká je plocha, kterou prochází kolmo magnetický tok Φ = 0,00018 Wb při magnetické indukci B = 1,2T? Φ 0,00018 S= = = 1,5 ⋅ 10 − 4 m 2 = 1,5cm 2 1,2 B 4.1.13 Určete počet závitů cívky tak, aby při proudu 6,3 A měla cívka magnetomotorické napětí 26000 A. N = Fm = 26000 = 4000z I 6,3 4.1.14. Stanovte intenzitu magnetického pole ve vzduchové mezeře o délce l = 4mm je-li magnetomotorické napětí 1120A. ( Magnetický odpor železa zanedbáváme ). Fm 1120 H= = = 280000 A ⋅ m −1 l 0,004 4.1.15. Určete magnetické napětí, které vyvolá magnetickou indukci 0,25T ve vzduchové mezeře tloušťky 2mm. B 0,25 H= = = 199000 A ⋅ m −1 Fm = H ⋅ l = 2 ⋅ 105 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 398 A µ 4 ⋅ π ⋅ 10 −7
4.1.16. Určete tloušťku vzduchové mezery, kterou prochází magnetický tok 0,00145Wb kolmo k ploše 24cm2 při magnetomotorickém napětí 2895A. B=
Φ 0,00145 B 0,6 = = 0,6T H= = = 478000 A ⋅ m −1 S 0,0024 µ 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 Fm 2895 l= = = 6mm H 478000
4.2.1. Určete intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 8cm od středu vodiče, kterým prochází proud 0,4A. I 0,4 H= = = 0,796 A ⋅ m −1 2 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ π ⋅ 0,08 4.2.11. V jaké vzdálenosti od vodiče, kterým prochází proud 4A je intenzita magnetického pole 2
0,4A⋅m-1? r=
I 2 ⋅π ⋅ H
=
4 = 1,59m 2 ⋅ π ⋅ 0,4
4,2,12, Jak velký proud musí procházet vodičem, aby byla ve vzdálenosti 15cm od osy vodiče intenzita magnetického pole 20A⋅m-1? I = H ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = 20 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0,15 = 18,8 A 4.2.2. Určete intenzitu magnetického pole v místě A mezi dvěma rovnoběžnými vodiči, jejichž osová vzdálenost je 1,2m. Proud I1=20A, proud I2=15A. Intenzitu magnetického pole vypočtěte pro případ, že: a) proud v obou vodičích má souhlasný směr b) proud v obou vodičích má nesouhlasný směr
H1 = A
I1
I2
H2 = 0,4m
I1 2 ⋅ π ⋅ r1 I2 2 ⋅ π ⋅ r2
=
20 = 8 A ⋅ m −1 2 ⋅ π ⋅ 0,4
=
15 = 3 A ⋅ m −1 2 ⋅ π ⋅ 0,8
a )... H a = H1 − H 2 = 8 − 3 = 5 A ⋅ m −1 0,8m
b)... Hb = H1 + H 2 = 8 + 3 = 11 A ⋅ m −1
4.2.13 Určete magnetickou indukci ve vzdálenosti 10 cm od osy vodiče. Přímým vodičem, který je ve vzduchoprázdnu prochází proud 50 A.
H=
I 2 ⋅π ⋅r
=
50 = 79,6 A ⋅ m −1 2 ⋅ π ⋅ 0,1
B = µ0 . H = 4 . π . 10-7 . 79,6 = 10-4 T
4.2.14. Určete proud který prochází přímým vodičem, byla-li ve vzdálenosti 10cm od jeho osy ve vzduchu magnetická indukce0,002T. H=
B
µ
=
0,002 = 1590 A ⋅ m −1 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7
I = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H = 2 ⋅ π ⋅ 0,1 ⋅ 1590 = 1000 A
4.2.3. Ve vodiči o průměru 0,012m je hustota proudu 4A⋅mm-2. Určete intenzitu magnetického pole: a) na povrchu vodiče b) ve vzdálenosti 50mm od osy vodiče c) ve vzdálenosti 3mm od osy vodiče π ⋅d 2 0,012 2 a) S = =π⋅ = 113 . ⋅ 10 − 4 m 2 I = J ⋅ S = 4 ⋅ 10 6 ⋅ 113 , ⋅ 10 −4 = 452 A 4 4
3
452 = = 12000 A ⋅ m −1 d 0,012 2 ⋅π ⋅ 2 ⋅π ⋅ 2 2 I 452 H= = = 1440 A ⋅ m −1 2 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ π ⋅ 0,05 H=
b)
I
J 4 ⋅ 10 6 c) H = ⋅ r2 = ⋅ 3 ⋅ 10 − 3 = 6000 A ⋅ m −1 2 2 4.2.15 Určete proud, který prochází vodičem o průměru 10 mm, je-li intenzita magnetického pole ve vzdálenosti 2 mm od středu vodiče 3000 A⋅m-1.
2 ⋅ π ⋅ H ⋅ rvodiče 2 2 ⋅ π ⋅ 3000 ⋅ 0,0052 I= = = 235,6A r 0,002 4.2.4. Stanovte intenzitu magnetického pole a magnetickou indukci ve středu tenké cívky s 20 závity. Proud je 2A, střední poloměr cívky je 4cm. N ⋅I 20 ⋅ 2 H= = = 500 A ⋅ m −1 B = µ0 ⋅ H = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 500 = 6,28 ⋅ 10 −4 T 2⋅r 2 ⋅ 0,04 4.2.16. Určete proud ve vinutí tenké cívky o 24 závitech. Poloměr cívky je r=5cm. Intenzita magnetického pole ve středu cívky je 120A⋅m-1. H ⋅ 2 ⋅ r 120 ⋅ 2 ⋅ 0,05 I= = = 0,5 A N 24 4.2.5. Určete magnetickou indukci a magnetický tok v prstencové cívce. Střední průměr prstence je 160mm, průřez cívky je 12cm2. Cívka má 750 závitů. Proud cívkou je 16A. Intenzita magnetického pole je po celém průřezu konstantní. Prostředí uvnitř cívky je vzduch. Fm 12000 Fm = N ⋅ I = 750 ⋅ 16 = 12000 A H= = = 23870 A ⋅ m −1 l π ⋅ 0,16 −7 B = µ0 ⋅ H = 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 23870 = 0,03T Φ = B ⋅ S = 0,03 ⋅ 12 ⋅ 10 −4 = 3,5 ⋅ 10 −5 Wb 4.2.17 Stanovte budící proud cívky toroidu. Počet závitů cívky je 600, délka střední silové čáry je 480 mm, poměrná permeabilita je 530 a magnetická indukce je 1,25 T. 1,25 = 1877 A ⋅ m −1 Fm = H ⋅ l = 1877 ⋅ 0,48 = 900 A −7 µ 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 530 Fm 900 I= = = 1,5A N 600 4.2.18. Určete intenzitu magnetického pole toroidu. Magnetický tok je 3⋅10-4Wb, průřez cívky je 2cm2 a poměrná permeabilita je 597. B 1,5 Φ 3 ⋅ 10 −4 B= = H= = = 2000 A ⋅ m −1 − 4 = 1,5T µ 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 597 S 2 ⋅ 10 H=
B
=
4.2.19. Stanovte počet závitů budící cívky prstence podle obrázku, kde d1=6cm a d2=10cm. Budící proud cívky je 2A, magnetický tok je 1,57⋅10-6Wb, µr=1. N I S
4
Φ
Φ 1,57 ⋅ 10 −6 = = 0,005T S π ⋅ 12 ⋅ 10 − 4 B 0,005 H= = = 3980 A ⋅ m −1 µ 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 Fm = H ⋅ l = 3980 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 10 −3 = 1000 A B=
N=
Fm 1000 = = 500závitů I 2
4.2.20. Určete poměrnou permeabilitu toroidního kroužku, je-li magnetický tok 8⋅10-4Wb, průřez prstence 10cm2, cívka má 400 závitů a prochází jí proud 1,5A. Délka střední silové čáry je 10cm. Φ 8 ⋅ 10 −4 B= = = 0,8T Fm = N ⋅ I = 400 ⋅ 1,5 = 600 A S 1 ⋅ 10 − 3 Fm 600 B 0,8 H= = = 6000 A ⋅ m −1 µr = = = 106 l 0,1 µ0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 6000 4.2.6. Vypočtěte intenzitu magnetického pole, magnetickou indukci a magnetický tok uprostřed válcové cívky délky 200mm, průměru 4mm s 500 závity. Vinutím prochází proud 0,5A, poměrná permeabilita je 1. Fm 250 Fm = N ⋅ I = 500 ⋅ 0,5 = 250 A H= = = 1250 A ⋅ m −1 l 0,2 −7
B = µ0 ⋅ H = 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 1250 = 0,00157T
S=
Φ = B ⋅ S = 0,00157 ⋅ 12,6 ⋅ 10
−6
π ⋅d 2
=
π ⋅ 4 2 ⋅ 10 −6
4 = 2 ⋅ 10 −8 Wb
4
= 12,6 ⋅ 10 − 6 m 2
4.2.21 Jak velký proud musí procházet vinutím válcové cívky délky 5 cm se 100 závity, má-li být magnetická indukce v jádru cívky 7,536 • 10-3 T. Prostředí uvnitř cívky je vzduch. B 7,536 ⋅ 10 −3 H= = = 6000 A ⋅ m −1 Fm = H ⋅ l = 5997 ⋅ 0,05 = 300 A µ 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 Fm 300 I= = = 3A N 100 4.2.22. Určete magnetickou indukci a magnetický tok dlouhé cívky s poměrnou permeabilitou µr=65. Délka cívky je 50cm, průřez cívky je 12cm2. Cívka má 750 závitů a prochází jí proud 16A. Fm 12000 Fm = N ⋅ I = 750 ⋅ 16 = 12000 A H= = = 24000 A ⋅ m −1 l 0,5 −7 B = µ ⋅ H = 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 65 ⋅ 24000 = 1,96T Φ = B ⋅ S = 1,96 ⋅ 12 ⋅ 10 −4 = 0,00235Wb 4.2.23. Určete počet závitů 100mm dlouhé cívky. Má-li být intenzita magnetického pole 1500A⋅m-1, musí cívkou procházet proud 0,5A. Prostředí uvnitř cívky je vzduch. 5
Fm = H ⋅ l = 1500 ⋅ 0,1 = 150 A
N=
Fm 150 = = 300závitů I 0,5
4.3.1. Určete sílu, která působí na vodič v magnetickém poli o indukci 0,8T. Vodičem prochází proud 125A a jeho aktivní délka je 60mm. F = B ⋅ I ⋅ l = 0,8 ⋅ 125 ⋅ 0,06 = 6 N 4.3.11 Vypočtěte potřebnou magnetickou indukci tak, aby vodič dlouhý 180 cm, kterým prochází proud 30 A byl vychylován silou 108 N. F 108 = = 2T I ⋅ l 30 ⋅ 1,8 4.3.12. Určete proud, procházející vodičem o délce 200mm. Vodič je kolmý na směr pole indukci 0,9T a je vytlačován silou 18N. F 18 I= = = 100 A B ⋅ l 0,9 ⋅ 0,2 B=
4.3.2. Určete, jakou silou se přitahují ve vzduchu vodiče, dlouhé 1,5m, vzdálené od sebe 500mm. Jedním vodičem prochází proud 1000A, druhým vodičem prochází proud 1500A. 2 ⋅ I1 ⋅ I 2 ⋅ l 2 ⋅ 1000 ⋅ 1500 ⋅ 1,5 F= ⋅ 10 −7 = ⋅ 10 −7 = 0,9 N a 0,5 4.3.13 Stanovte sílu, kterou budou odpuzovány dva vodiče. Oběma prochází stejný proud 50A nesouhlasným směrem. Vlivem zkratového spojení dojde k dvacetinásobnému nárůstu proudu. Vodiče jsou od sebe vzdáleny 20cm a jsou dlouhé 2m. Před zkratem
F=
2 ⋅ I1 ⋅ I 2 ⋅ l 2 ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ 2 ⋅ 10 − 7 = ⋅ 10 −7 = 0,005 N a 0,2
Po zkratu
F=
2 ⋅ I1 ⋅ I 2 ⋅ l 2 ⋅ 1000 ⋅ 1000 ⋅ 2 ⋅ 10 − 7 = ⋅ 10 −7 = 2 N a 0,2
4.3.14. Dva souběžné vodiče, délky 5m, jimiž prochází stejný proud ve stejném smyslu, jsou při osové vzdálenosti 0,4m přitahovány ve vzduchu silou 2,5⋅10-4N. Stanovte proud ve vodičích.
F=
2⋅ I ⋅I ⋅l ⋅ 10 −7 ⇒ I = a
F ⋅a = 2 ⋅ l ⋅ 10 −7
2,5 ⋅ 10 −4 ⋅ 0,4 = 10 A 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 7
4.3.15. Stanovte velikost a rozměr permeability vakua µ0 z definice proudu 1A. Definice proudu 1 A.
6
Stejnosměrný proud 1A je takový proud, který při průchodu dvěma rovnoběžnými, přímými, nekonečně dlouhými a nekonečně tenkými vodiči, vzdálenými od sebe 1m, vyvolá mezi nimi ve vakuu sílu 2⋅10-7 N na každý metr jejich délky. I
⋅ I ⋅ l = 2 ⋅ 10 − 7 N 2 ⋅π ⋅a 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅ 10 −7 = = 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 H ⋅ m −1 1⋅ 1⋅ 1
F = B ⋅ I ⋅ l = µ 0 ⋅ H ⋅ I ⋅ l = µ0 ⋅
µ0 =
2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ a ⋅ 10 −7 I ⋅ I ⋅l
4.4.1. Určete poměrnou permeabilitu šedé litiny, při intenzitě magnetického pole 6000A⋅m-1. B 0,8 B odečteno z grafu B=0,8T µr = = = 106 µ0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 6000 4.4.11 Určete poměrnou permeabilitu pro litou ocel při magnetické indukci 1,6 T. Z grafu B = f ( H ) jsme odečetli H = 7000 A⋅m-1
µr =
B 1,6 = = 182 µ 0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 7000
7
8
9
4.4.12. Určete poměrnou permitivitu vyžíhané oceli při intenzitě magnetického pole 600A⋅m1 . B 1,3 B odečteno B=1,3T µr = = = 1720 µ0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 600 4.4.13. Určete poměrnou permitivitu šedé litiny při magnetické indukci 0,9T. B 0,9 H odečteno H=9000A⋅m-1 µr = = = 80 µ0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 9000 4.4.14. Permeabilita prostředí je při určité indukci 26,4⋅10-4H⋅m-1. Určete velikost poměrné µ 26,4 ⋅ 10 −4 permeability. µr = = = 2100 µ0 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 4.5.1. Určete proud, potřebný k vybuzení magnetického toku 6⋅10-3Wb. Magnetický obvod je tvořen toroidním kroužkem o středním průměru 20cm, průřezu 50cm2, je z vyžíhané oceli a je přerušen vzduchovou mezerou 0,1mm. Na toroidu je navinuta cívka s 1000 závity. Obvod je tvořen magnetickým odporem feromagnetické látky - vyžíhané oceli a odporem vzduchové mezery. I Φ RmFe UmFe 1m d N Fm Rmv
Umv
S
−3
Φ 6 ⋅ 10 = = 1,2T UmFe = H Fe ⋅ l Fe = 470 ⋅ (π ⋅ 200 − 0,1) ⋅ 10 −3 = 295 A S 5 ⋅ 10 − 3 1,2 B −4 Fm = UmFe + UmV = 295 + 95,5 = 390,5 A UmV = ⋅ lV = = 95,5 A − 7 ⋅ 1 ⋅ 10 µ0 4 ⋅ π ⋅ 10 Fm 390,5 I= = = 0,39 A N 1000 4.5.11. Prstenec z šedé litiny má vnitřní průměr 25 cm, vnější průměr 35 cm. Průřez je čtvercový. Na prstenci je navinuto 500 závitů. Budící proud je 4,5 A. Vypočtěte magnetický Fm 2250 tok. Fm = N ⋅ I = 500 ⋅ 4,5 = 2250 A H= = = 2387 A ⋅ m −1 l 30 ⋅ 10 − 2 ⋅ π Φ = B ⋅ S = 0,6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 10-4 = 1,5 10-3 Wb Z funkce B = f ( H ) odečteme B = 0,6 T B=
4.5.12. Z prstence o rozměrech podle úlohy 44.5.11. vyřízněte vrstvu, tloušťky 10mm a tak vznikne vzduchová mezera. Jak velké magnetické napětí a budící proud jsou potřebné na vytvoření magnetického toku 2⋅10-3Wb. Φ 2 ⋅ 10 −3 B= = = 0,8T S 5 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 H LIT = 6 ⋅ 10 3 A ⋅ m −1odečteno 10mm 25cm B 0,8 −1 HV = = − 7 = 637000 A ⋅ m µ0 4 ⋅ π ⋅ 10 5cm
5cm 35c
Um LIT = H LIT ⋅ l LIT = 6 ⋅ 10 3 ⋅ (π ⋅ 300 − 10) ⋅ 10 −3 = 5600 A UmV = HV ⋅ l V = 637000 ⋅ 10 ⋅ 10 −3 = 6370 A 10
Um LIT + UmV 5600 + 6370 = = 23,9 A N 500 4.5.13. Určete počet závitů budící cívky magnetického obvodu, složeného ze dvou materiálů, z lité oceli s délkou střední indukční čáry 10cm a průřezem 6cm2 a z feromagnetického materiálu, který má při magnetickém toku 10-3 Wb poměrnou permeabilitu 1600, délku střední indukční čáry 15cm a průřez 20cm2. Budící proud je 1A. Φ 10 −3 Φ 10 −3 = = 0 , 5 = = = 1,66T B2 = T B 1 S 2 20 ⋅ 10 − 4 S1 6 ⋅ 10 − 4 B2 0,5 H1 = 9000 A⋅m-1 odečteno H2 = = = 250 A ⋅ m −1 −7 µo ⋅ µr 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 1600 I=
Um 2 = H2 ⋅ l2 = 250 ⋅ 0,15 = 37A
Um 1 = H1 ⋅ l1 = 9000 ⋅ 0,1 = 9000A Fm 937 Fm = Um 1 + Um 2 = 900 + 37 = 937A N= = = 937 záv. I 1
4.5.14. Stanovte budící proud a celkový magnetický odpor magnetického obvodu, složeného z těchto čtyř částí: 1) litá ocel s průřezem 15cm2 a délkou střední indukční čáry 12cm. 2) dynamové plechy ( 2,2W⋅kg-1 ) s průřezem 25cm2 a délkou střední indukční čáry 16cm. 3) šedá litina s průřezem 25cm2 a délkou střední indukční čáry 8cm. 4) vzduchová mezera tloušťky 4mm, která je mezi dynamovými plechy a šedou litinou ( S=25cm2 ). Budící cívka má 5000 závitů. Obvodem prochází magnetický tok 1,5⋅10-3Wb. Φ 1,5 ⋅ 10 −3 Φ 1,5 ⋅ 10 −3 = = 1 = = = = = 0,6T B1 = T B B B 2 3 4 S1 15 ⋅ 10 − 4 S 2 25 ⋅ 10 − 4 H1 z grafu H1=1000A⋅m-1 H2 z grafu H2=200A⋅m-1 H3 z grafu H3=3000A⋅m-1 B4 0,6 −1 Um 1 = H1 ⋅ l1 = 1000 ⋅ 0,12 = 120A H4 = = − 7 = 477000 A ⋅ m µ0 4 ⋅ π ⋅ 10 Um 2 = H2 ⋅ l2 = 200 ⋅ 0,16 = 32A
Um 3 = H3 ⋅ l3 = 3000 ⋅ 0,08 = 240A
-3
Um 4 = H4 ⋅ l4 = 477000 ⋅ 4⋅10 = 1910A 4
Fm =
∑ Um X =1
I=
X
= 120 + 32 + 240 + 1910 = 2302 A
Fm 2302 = = 0,46 A N 5000
Rm =
Fm 2302 6 −1 = − 3 = 1,53 ⋅ 10 H Φ 1,5 ⋅ 10
4.5.15 Určete magnetomotorická napětí Fm1 a Fm 3 pro dané velikosti a směry magnetických toků Φ1 a Φ3. Označte směry budících proudů I1 a I3. Feromagnetické prostředí tvoří dynamové plechy ( 2,2 W⋅kg-1 ). Φ1 = 6 ⋅ 10-4 Wb, Φ3 = 4 ⋅ 10-4 Wb, l1 = 60 cm, l2 = 20 cm, l 3 = 80 cm, l 4 = 0,1 cm, S1 = S2 = S3 = 5 cm2.
Φ3
Φ1
I3
I1 Φ 3 + Φ 1 10 ⋅ 10 −4 = = 2T 3 S 5 ⋅ 10 − 4
BFm 2 =
Fm1
lv 11
l3
l2-lv
l1
Φ 1 6 ⋅ 10 −4 B1 = = = 1,2T S 5 ⋅ 10 − 4
B3 =
Φ 3 4 ⋅ 10 −4 = = 0,8T S 5 ⋅ 10 − 4
H 1 = 600 A⋅m-1 H 2 = 3 ⋅ 104 A⋅m-1 odečteno B2 2 Hv = = = 1591549 A ⋅ m −1 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 Um 2 = H 2 ⋅ l 2 = 3 ⋅ 104 ⋅ 0,199 = 5970 A
H 3 = 280 A⋅m-1
odečteno
odečteno
Um 1 = H 1 ⋅ l 1 = 600 ⋅ 0,6 = 360 A Um 3 = H 3 ⋅ l 3 = 280 ⋅ 0,8 = 224A
Um v = H v ⋅ l v = 1591549 ⋅ 0,001 = 1592 A Fm 1 = Um 1 + Um 2 + Um v = 360 + 5970 + 1592 = 7922 A Fm 3 = Um 3 + Um 2 + Um v = 224 + 5970 + 1592 = 7786 A 4.5.16. Určete tloušťku vzduchové mezery magnetického obvodu dle obrázku. Φ1=6⋅10-4Wb, l 1 = 40cm, l 2 = 12cm, l 3 = 30cm, S 1 = 4cm2, S 2 = 2cm2, S 3 = 4cm2 a Fm=1800A. Obvod je složen z dynamových plechů s měrnými ztrátami 2,2W⋅kg-1. Φ 1 6 ⋅ 10 −4 Φ1 = = = 1,5T B S1 S3 1 S1 4 ⋅ 10 − 4 I H 1 = 2100 A⋅m-1 odečteno lv Um 1 = H 1 ⋅ l 1 = 2100 ⋅ 0,4 = 840 A S2 Um2 = Fm − Um1 = 1800 − 840 = 960 A Fm Um2 960 H2 = = = 8000 A ⋅ m −1 l2 0,12 B2 odečteno B2=1,73T −4 l l l1 Φ 2 = B2 ⋅ S 2 = 1,73 ⋅ 2 ⋅ 10 = 3,46 ⋅ 10 −4 Wb 2 3 Φ 3 = Φ 1 − Φ 2 = 6 ⋅ 10 −4 − 3,46 ⋅ 10 −4 = 2,54 ⋅ 10 −4 Wb B3 =
Φ 3 2,54 ⋅ 10 −4 = = 0,635T S3 4 ⋅ 10 − 4
H 3 Fe odečtenoH 3 Fe = 2 ⋅ 10 3 A ⋅ m −1
12
Um2 − H 3 Fe ⋅ l 3 960 − 2 ⋅ 10 2 ⋅ 0,3 0,635 −1 lV = = = 1,78mm Hv = = = 505300 A ⋅ m HV 505300 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 Kniha uvádí 2mm, jedná se nejspíš o jiný odečet z grafu. B3
4.5.2. Určete magnetický tok v jádru z dynamových plechů ( měrné ztráty 2,2W⋅kg-1 ). Jádro je tvořeno toroidním kroužkem se středním průměrem 30cm a o průřezu 5cm2. Kroužek je přerušen vzduchovou mezerou tloušťky 2mm. Budící cívka má 1500 závitů a prochází jí proud 1,6A. Φ 1 2 ⋅ 10 −4 Zvolíme magnetický tok Φ1=2⋅10-4Wb B1 = = = 0,4T S 5 ⋅ 10 − 4 B 0,4 H1 odečteno H1=130A⋅m-1 H v1 = 1 = = 3,2 ⋅ 10 5 A ⋅ m −1 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 l 1 = π ⋅ d − l V = π ⋅ 0,3 − 0,002 = 0,94m Fm1 = H1 ⋅ l 1 + HV 1 ⋅ l V = 130 ⋅ 0,94 + 320000 ⋅ 0,002 = 762 A Zvolíme magnetický tok Φ2=8⋅10-4Wb H2=3500A⋅m-1
H2 odečteno
Φ 2 8 ⋅ 10 −4 = = 1,6T S 5 ⋅ 10 − 4 B 1,6 = 2 = = 1,28 ⋅ 10 6 A ⋅ m −1 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 −7
B2 = Hv 2
Fm2 = H 2 ⋅ l 1 + HV 2 ⋅ l V = 3500 ⋅ 0,94 + 1280000 ⋅ 0,002 = 5850 A
Φ [ 10-3 Wb ]
Fm = N ⋅ I = 1500 ⋅ 1,6 = 2400 A
Fm2
0,8 0,6 0,4 Φ
Fm [ A ]
Fm1
0,2 0
1000
2000 3000 4000 5000 6000
7000
Pro dané magnetomotorické napětí Fm=2400A jsme odečetli Φ=0,38⋅10-3Wb. Tento údaj je zatížen chybou proto, že Φ=f(Fm) není funkce lineární. . 4.5.17. Určete magnetický tok podle zadání z příkladu 4.5.2. s tím, že průřez jádra bude 2cm2. Φ 1 2 ⋅ 10 −4 Zvolíme magnetický tok Φ1=2⋅10-4Wb B1 = = = 1T S 2 ⋅ 10 − 4 13
1 5 −1 − 7 = 7,96 ⋅ 10 A ⋅ m µo 4 ⋅ π ⋅ 10 l 1 = π ⋅ d − l V = π ⋅ 0,3 − 0,002 = 0,94m Fm1 = H1 ⋅ l 1 + HV 1 ⋅ l V = 400 ⋅ 0,94 + 796000 ⋅ 0,002 = 1968 A
H1 odečteno
H1=400A⋅m-1
H v1 =
B1
=
Φ 2 3 ⋅ 10 −4 = = 1,5T S 2 ⋅ 10 − 4 B 1,5 H2 odečteno H2=2000A⋅m-1 = 1194 , ⋅ 10 6 A ⋅ m −1 Hv 2 = 2 = µo 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 Fm2 = H 2 ⋅ l 1 + HV 2 ⋅ l V = 2000 ⋅ 0,94 + 1194000 ⋅ 0,002 = 4367 A Zvolíme magnetický tok Φ2=3⋅10-4Wb
Φ [ 10-3 Wb ]
B2 =
Fm = N ⋅ I = 1500 ⋅ 1,6 = 2400 A
Fm2
0,3
0,25 Φ Fm1 0,2 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
Fm [ A ] 5000
Pro dané magnetomotorické napětí Fm=2400A jsme odečetli Φ=0,22⋅10-3Wb. Tento údaj je zatížen chybou proto, že Φ=f(Fm) není funkce lineární. 4.5.18. Určete magnetický tok v obvodu složeném ze dvou částí stejného materiálu, z lité oceli různých průřezů a různých délek středních indukčních čar. S 1 = 6 cm2, l 1 = 10 cm, S 2 =10 cm2,
l 2 = 15 cm. Budící cívka má 1000 závitů, proud je 1 A.
Volíme Φ x = 9 ⋅ 10-4 Wb Φx 9 ⋅ 10 −4 = = 0,9T S 2 10 ⋅ 10 − 4 H 2X = 700 A⋅m-1 odečteno
B2 x =
B1x =
Φ x 9 ⋅ 10 −4 = = 1,5T S1 6 ⋅ 10 − 4
H 1X = 4400 A⋅m-1
odečteno
Fm = N ⋅ I = 1000 ⋅ 1 = 1000 A
FmX = H 1X ⋅ l 1 + H 2X ⋅ l 2 = 4400 ⋅ 0,1 + 700 ⋅ 0,15 = 545 A Φ y 11 ⋅ 10 −4 -4 Volíme Φ Y = 11 ⋅ 10 Wb B1 y = = = 1,83T S1 6 ⋅ 10 −4 Φ y 11 ⋅ 10 −4 B2 y = = ,T H 1Y = 16000 A⋅m-1 odečteno − 4 = 11 S 2 10 ⋅ 10 H 2Y = 1100 A⋅m-1 odečteno FmY = 16000 ⋅ 0,1 + 1100 ⋅ 0,15 = 1765 A
14
Φ [ 10-4 Wb ] FmY
1,1
Φ
1 Fm [ A ]
FmX
0,9 400
600
800
1000 1200 1400 1600
1800
Výsledný magnetický tok je Φ = 0,975 ⋅ 10-4 Wb 4.5.19. Určete magnetický tok elektromagnetu podkovovitého tvaru a čtvercového průřezu podle obrázku, je-li magnetomotorické napětí 3000A. Díl 1 je z dynamových plechů ( 2,2W⋅kg-1 ) a díl 2 je z vyžíhané oceli. l 1 = 0,12 + 0,12 + 0,08 ⋅ π = 0,49m l 2 = 0,12 + 0,04 + 0,04 = 0,2m N I S1 = S 2 = S v = 0,04 2 = 16 ⋅ 10 −4 m 2 Volíme Φ = 2 ⋅ 10-3 Wb 1 R Φ1 2 ⋅ 10 −3 B1 = = = 1,25T S1 1,6 ⋅ 10 − 3 S H 1,1 = 700 A⋅m-1 odečteno 40 120 120 40 H 2,1 = 500 A⋅m-1 odečteno S B 1,25 −1 5 H v1 = 1 = 1mm 40 − 7 = 9 ,95 ⋅ 10 A ⋅ m 2 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 Fm1 = H1 ⋅ l 1 + H 2 ⋅ l 2 + HV 1 ⋅ l V = 700 ⋅ 0,49 + 500 ⋅ 0,2 + 995000 ⋅ 0,002 = 2433 A Volíme Φ = 2,5 ⋅ 10-3 H 1,2 = 2800 A⋅m-1
Φ 2 2,5 ⋅ 10 −3 = = 1,56T S1 1,6 ⋅ 10 − 3 H 2,2 = 2000 A⋅m-1 odečteno
B2 =
odečteno B 1,56 5 −1 Hv 2 = 2 = − 7 = 12,4 ⋅ 10 A ⋅ m µo 4 ⋅ π ⋅ 10 Fm1 = H1 ⋅ l 1 + H 2 ⋅ l 2 + HV 1 ⋅ l V = 2800 ⋅ 0,49 + 2000 ⋅ 0,2 + 1240000 ⋅ 0,002 = 4250 A
Φ [ 10-3 Wb ]
Fm2
2,5
2,25 Φ Fm1 2 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 -3
Výsledný magnetický tok je Φ = 2,15 ⋅ 10 Wb 15
Fm [ A ] 5000
4.5.3. Určete magnetický tok Φ2 magnetického obvodu, složeného ze tří různých materiálů, viz obrázek. Magnetický tok Φ1 = 1,3 ⋅ 10-3 Wb. Část 1 magnetického obvodu je z lité oceli, průřezu 10cm2 a střední indukční čáry 46cm. Část 2 magnetického obvodu je z dynamových plechů ( 2,2W⋅kg-1 ), má průřez 16cm2 a délku střední indukční čáry 40cm. Část 3 magnetického obvodu je z vyžíhané oceli průřezu 16cm2 a má délku střední indukční čáry 50cm. Φ2 l3 A Φ 1
Φ2
Rm2
3
Φ
l1
Fm
Rm3
I
l2
B1 =
Rm1
Fm
1
2
Φ1
II B
Φ 1 1,3 ⋅ 10 −3 = = 1,3T S1 1 ⋅ 10 − 3
H 1 = 2000 A⋅m-1
odečteno
Fm = Um1 = H1 ⋅ l 1 = 2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,46 = 920 A Volíme Φ2,1 = 1,6 ⋅ 10-3 Wb Φ 2 ,1 1,6 ⋅ 10 −3 B2 ,1 = = H 2,1 = 400 A⋅m-1 odečteno − 3 = 1T S2 1,6 ⋅ 10 Φ 2 ,1 1,6 ⋅ 10 −3 B3,1 = = H 3,1 = 300 A⋅m-1 odečteno − 3 = 1T S3 1,6 ⋅ 10 Fm = Um2 ,1 + Um3,1 = H 2 ,1 ⋅ l 2 + H 3,1 ⋅ l 3 = 400 ⋅ 0,4 + 300 ⋅ 0,5 = 310 A Volíme Φ2,2 = 2,4 ⋅ 10-3 Wb Φ 2 ,2 2,4 ⋅ 10 −3 B2 , 2 = = H 2,2 = 2000 A⋅m-1 odečteno − 3 = 1,5T S2 1,6 ⋅ 10 Φ 2 ,2 2,4 ⋅ 10 −3 B3,2 = = H 3,2 = 1500 A⋅m-1 odečteno − 3 = 1,5T S3 1,6 ⋅ 10 Fm = Um2 ,2 + Um3,2 = H 2 ,2 ⋅ l 2 + H 3,2 ⋅ l 3 = 2000 ⋅ 0,4 + 1500 ⋅ 0,5 = 1550 A
Φ [ 10-3 Wb ]
Fm2
3
2
2 Φ 1 Fm1 1 200 400 600
Fm [ A ] 800
1000 1200 1400
Výsledný magnetický tok je Φ = 2,05 ⋅ 10-3 Wb 16
1600
4.6.1. Určete energii magnetického pole ve vzduchové mezeře pólových nástavců průřezu 20cm2, tloušťka vzduchové mezery je 15mm, magnetická indukce ve vzduchové mezeře je 1,5T. B 1,5 Hv = = = 11,94 ⋅ 10 5 A ⋅ m −1 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 S
lV
Φ = B ⋅ S = 1,5 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 3 ⋅ 10 −3 Wb UmV = HV ⋅ l V = 11,94 ⋅ 10 5 ⋅ 15 ⋅ 10 −3 = 17910 A 1 1 Wm = ⋅ Φ ⋅ Um = ⋅ 3 ⋅ 10 − 3 ⋅ 1,791 ⋅ 10 4 = 26,9 J 2 2
4.6.11. Určete energii magnetického pole tlumivky s vlastní indukčností 6H při proudu 0,1A. 1 1 Wm = ⋅ L ⋅ I 2 = ⋅ 6 ⋅ 0,12 = 0,03 J 2 2 4.6.12. Na toroidním kroužku z vyžíhané oceli o středním průměru 20cm a průřezu 10cm2 je navinuto 500 závitů. Budící proud je 0,5A. Určete indukčnost a energii magnetického pole. N I l = π ⋅ d = π ⋅ 0,2 = 0,63m Fm = N ⋅ I = 500 ⋅ 0,5 = 250 A Fm 250 S H= = = 397 A ⋅ m −1 Φ l 0,63 d B odečteno B=1,15T S B S 1,15 10 ⋅ 10 −4 Λ = µ0 ⋅ µr ⋅ = ⋅ = ⋅ = 4,5 ⋅ 10 − 6 H l H l 397 0,63 2 L = N ⋅ Λ = 500 2 ⋅ 4,5 ⋅ 10 −6 = 115 , H 1 1 Wm = ⋅ L ⋅ I 2 = ⋅ 115 , ⋅ 0,52 = 0,144 J 2 2 4.6.2. Určete nosnost elektromagnetu, vytvořeného jádrem z vyžíhané oceli o průřezu 10cm2.Budící cívka je navinuta na jádře a má délku 200mm, viz obrázek. Cívka má 400 závitů a prochází jí proud 2A.
I
Fm = N ⋅ I = 400 ⋅ 2 = 800 A Fm 800 H= = = 4000 A ⋅ m −1 l 0,2 B odečteno B=1,65T
N F
F = 4 ⋅ 105 ⋅ B 2 ⋅ S = 4 ⋅ 105 ⋅ 1,652 ⋅ 10 ⋅ 10 −4 = 1090 N
4.6.13. Stanovte proud budící cívky tak, aby nosnost tyčového magnetu z šedé litiny byla 1400N. Průřez jádra je 44cm2, počet závitů budící cívky je 500 a délka cívky je 50cm.
B=
F = 4 ⋅ 105 ⋅ S
1400 = 0,892T 4 ⋅ 10 ⋅ 44 ⋅ 10 − 4
H odečteno z grafu H=9⋅103A⋅m-1
5
17
I=
H ⋅ l 9 ⋅ 10 3 ⋅ 0,5 = = 9A N 500
4.6.14. Toroidní jádro z lité oceli s kruhovým průřezem 3cm2 a středním průměrem 5cm, se skládá ze dvou stejných dílů, viz obrázek. Budící cívka má 630 závitů a prochází jí proud 1,5A. Předpokládáme, že vzduchová mezera je zanedbatelná. Určete, jak velikou silou drží obě části pohromadě. l = π ⋅ d = π ⋅ 0,05 = 0,157m N I Fm = N ⋅ I = 630 ⋅ 1,5 = 945 A S
945 Fm = = 6020 A ⋅ m −1 l 0,157 B odečteno B=1,55T
d
H=
F = 4 ⋅ 105 ⋅ B 2 ⋅ S = 4 ⋅ 105 ⋅ 1,552 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 10 −4 = 577 N 4.6.15. Určete počet závitů budící cívky v zapojení podle obrázku, bude-li síla, potřebná k odtržení obou částí magnetu 360N. Proud cívky je 0,5A, průřez magnetického obvodu je 2cm2. Magnetický obvod je složen z dynamových plechů se ztrátami 2,2W⋅kg-1.
I
N
B=
F = 4 ⋅ 105 ⋅ 2 ⋅ S
360 = 1,5T 4 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 10 − 4 5
H odečteno z grafu H=2⋅103A⋅m-1
50
S
Fm == H ⋅ l = 2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,2 = 400 A N=
50
F
Fm 400 = = 800závitů I 0,5
4.6.16. Určete, jakou silou bude přitahována spodní část elektromagnetu podle obrázku. Cívka má 750 závitů a proud v ní je 8A. Magnetický materiál je litá ocel.
N S=8cm
100
I
Fm = N ⋅ I = 750 ⋅ 8 = 6000 A B volíme B=0,73T H odečteme H=500A⋅m-1 B 0,73 5 −1 Hv = = − 7 = 5,8 ⋅ 10 A ⋅ m 105 µo 4 ⋅ π ⋅ 10 5 Fm = H OC ⋅ l OC + HV ⋅ l V = 500 ⋅ 0,4 + 580000 ⋅ 0,01 = 6000 A
F = 4 ⋅ 105 ⋅ B 2 ⋅ S = 4 ⋅ 105 ⋅ 0,732 ⋅ 2 ⋅ 8 ⋅ 10 −4 = 341N Kniha jinak, F=560N
18
4.6.17. Určete nosnost podkovovitého magnetu je-li B=0,6T a průřez jednoho pólu je 5cm2, za předpokladu, že mezi kotvou a magnetem nebude vzduchová mezera F = 4 ⋅ 105 ⋅ B 2 ⋅ S = 4 ⋅ 105 ⋅ 0,6 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 10 −4 = 144 N 5.1.1. Stanovte napětí, které se bude indukovat v cívce se 40 závity, změní-li se magnetický tok z hodnoty Φ1=3⋅10-5Wb na hodnotu Φ2=9⋅10-5Wb za dobu 20µs. ∆Φ 6 ⋅ 10 −5 u= N⋅ = 40 ⋅ = 120V ∆t 20 ⋅ 10 − 6 5.1.11. Jak se musí změnit magnetický tok za dobu 2ms, aby se v cívce se 100 závity indukovalo napětí 10V. u ⋅ ∆t 16 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 ∆Φ = = = 3,2 ⋅ 10 − 3 Wb N 100 5.1.12. Určete počet závitů cívky, ve které se při změně magnetického toku 3⋅10-4Wb za 6ms indukuje napětí 10V. ∆t 6 ⋅ 10 −3 N = u⋅ = 10 ⋅ = 200závitů ∆Φ 3 ⋅ 10 − 4 5.1.2. Vypočítejte napětí, které se indukuje v jednom vodiči kotvy generátoru. Kotva generátoru má průměr 0,2m, délku 300mm a ve vzduchové mezeře je magnetická indukce 0,6T. Generátor se otáčí rychlostí 1200min-1. π ⋅ D ⋅ n π ⋅ 0,2 ⋅ 1200 v= = = 12,6m ⋅ s −1 u = B ⋅ l ⋅ v = 0,6 ⋅ 0,3 ⋅ 12,6 = 2,27V 60 60 5.1.13. Vypočítejte magnetickou indukci ve vzduchové mezeře stejnosměrného stroje tak, aby se v jednom vodiči indukovalo napětí 2,5V. Kotva má délku 200mm, průměr 250mm a otáčí se rychlostí 1320min-1. u 2,5 π ⋅ D ⋅ n π ⋅ 0,25 ⋅ 1320 v= = = 17,3m ⋅ s −1 B= = = 0,72T l ⋅ v 0,2 ⋅ 17,3 60 60 5.1.14. Určete rychlost pohybu vodiče v magnetickém poli s indukcí 0,9T. Vodič se pohybuje kolmo ke směru pole a indukuje se v něm napětí 270mV. Vodič má délku 25mm. u 0,27 v= = = 12m ⋅ s −1 B ⋅ l 0,9 ⋅ 0,025 5.1.15. V homogenním magnetickém poli se kolmo ke směru pole pohybuje vodič délky 40mm rychlostí 8m⋅s-1 a indukuje se v něm napětí160mV. Určete magnetickou indukci homogenního magnetického pole, u 0,16 B= = = 0,5T l ⋅ v 0,04 ⋅ 8
19
5.2.1. Vypočítejte vlastní indukčnost jednovrstvé cívky s 500 závity, navinutými těsně vedle sebe. Průměr vodiče je 0,5mm. Jádro cívky má průřez 3cm2. Poměrná permitivita feromagnetického materiálu je 400. Délka cívky l = d ⋅ N = 5 ⋅ 10 −4 ⋅ 500 = 0,25m S 3 ⋅ 10 −4 −7 Λ = µ0 ⋅ µr ⋅ = 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 400 ⋅ = 6,03 ⋅ 10 − 7 H l 0,25 2 2 L = N ⋅ Λ = 500 ⋅ 6,03 ⋅ 10 −7 = 0,15H 5.2.2. Vypočítejte vlastní indukčnost cívky, navinuté na toroidním jádře kruhového průřezu s vnějším průměrem d2=60mm a vnitřním průměrem d1=40mm. Feromagnetický materiál má poměrnou permitivitu 1200. Cívka má 800 závitů. 2 2 d 2 − d1 0,06 − 0,04 2 2 S =π⋅ =π⋅ = 7,85 ⋅ 10 −5 m 2 4 4 d + d2 0,06 + 0,04 l=π⋅ 1 =π⋅ = 0,157m 2 2 S 7,85 ⋅ 10 −5 L = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 800 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 1200 ⋅ = 0,482 H l 0,157 5.2.3. Stanovte vlastní indukčnost cívky, navinuté na toroidním kroužku, přerušeném vzduchovou mezerou. Cívka má 1600 závitů. Délka středního průměru feromagnetického materiálu s poměrnou permitivitou 800, je 30cm, tloušťka vzduchové mezery je 2mm. Jádro má průřez 5cm2. Rozptylové toky zanedbejte. l Fe = π ⋅ d − l V = (π ⋅ 300 − 2) ⋅ 10 −3 = 0,94m l Fe 1 0,94 RmFe = = = = 1,87 ⋅ 10 6 H −1 −7 Λ Fe µ0 ⋅ µr ⋅ S 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 800 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 l 1 0,002 6 −1 RmV = = V = −7 − 4 = 3,18 ⋅ 10 H ΛV µ0 ⋅ S 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 Rm = RmFe + RmV = 1,87 ⋅ 10 6 + 3,18 ⋅ 10 6 = 5,05 ⋅ 10 6 H −1
N2 1600 2 = = 0,507 H Rm 5,05 ⋅ 10 6 5.2.4. Vypočítejte napětí, které se bude indukovat v cívce, dlouhé 8cm, navinuté na jádře s poměrnou permeabilitou µr=1 a s průměrem 2,2cm, vzroste-li proud z hodnoty 0,3A na hodnotu 0,5A za dobu 0,6s. Cívka má 200 závitů. d2 (2,2 ⋅ 10 −2 ) 2 S =π⋅ =π⋅ = 3,8 ⋅ 10 − 4 m 2 4 4 S 3,8 ⋅ 10 −4 2 2 2 −7 L = N ⋅ Λ = N ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 200 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ = 2,38 ⋅ 10 − 4 H l 0,08 ∆I 0,2 u = L⋅ = 2,38 ⋅ 10 − 4 ⋅ = 0,793 ⋅ 10 − 4 V ∆t 0,6 L=
20
5.2.5. Stanovte vlastní indukčnost cívky, prochází-li vinutím proud a) 0,5A b) 0,2A. Cívka je navinuta na feromagnetickém jádře o průřezu 3cm2 , složeném z transformátorových plechů s měrnými ztrátami 1,3W⋅kg-1. Cívka má 400 závitů, délka střední indukční čáry magnetického materiálu je 20cm. Fm = N ⋅ I = 400 ⋅ 0,5 = 200 A pro proud 0,5A Fm 200 H= = = 1000 A ⋅ m −1 B odečteno B=1,42T 0,2 l B 1,42 µr = = = 1130 µ0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 1000 L = N 2 ⋅ Λ = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µ r ⋅
S 3 ⋅ 10 −4 = 400 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 1130 ⋅ = 0,34 H 0,2 l
pro proud 0,2A Fm = N ⋅ I = 400 ⋅ 0,2 = 80 A Fm 80 B odečteno B=1,2T H= = = 400 A ⋅ m −1 l 0,2 B 1,2 µr = = = 2387 µ0 ⋅ H 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 400 S 3 ⋅ 10 −4 = 400 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 2387 ⋅ = 0,72 H l 0,2 Vlastní indukčnost cívky s feromagnetickým jádrem je závislá na proudu, procházejícím vinutím cívky. L = N 2 ⋅ Λ = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅
5.2.11. Vypočítejte velikost napětí, indukovaného na cívce s vlastní indukčností 1,8H ( napětí vlastní indukce ). Cívkou prochází proud 0,5A, doba zapnutí proudu je 0,1s a doba vypnutí proudu je 0,06s. ∆I 0,5 ∆I 0,5 u zap = L ⋅ = 1,8 ⋅ = 9V u vyp = L ⋅ = 1,8 ⋅ = 15V ∆t 0,1 ∆t 0,06 5.2.12. Stanovte vlastní indukčnost cívky, navinuté na jádře z paramagnetické látky. Počet závitů je 700, cívka má délku 150mm, průměr jádra je 1,2cm. π ⋅ d 2 π ⋅ 0,012 2 S= = = 1,13 ⋅ 10 − 4 m2 4 4 S 113 , ⋅ 10 −4 L = N 2 ⋅ Λ = N 2 ⋅ µ0 ⋅ = 700 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ = 4,64 ⋅ 10 − 4 H l 0,15 5.2.13. Vypočítejte indukčnost cívky z úlohy 5.2.12., bude-li jádro z feromagnetického materiálu s poměrnou permeabilitou µr=2800. S 113 , ⋅ 10 −4 L = N 2 ⋅ Λ = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 700 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 2800 ⋅ = 1,3H l 0,15
21
5.2.14. Určete počet závitů cívky s indukčností 0,5H. Cívka je navinuta na jádro o průřezu 4cm2 a prochází jí proud 1,2A. V jádře je magnetická indukce 0,8T. S B S S N ⋅B⋅S I⋅L 1,2 ⋅ 0,5 L = N2 ⋅µ⋅ = N2 ⋅ ⋅ = N2 ⋅B⋅ = ⇒N= = = 1375z l H Fm N ⋅I I B ⋅ S 0,8 ⋅ 4 ⋅ 10 − 4 H 5.2.15. Vypočítejte vlastní indukčnost jednovrstvé cívky s jádrem z feromagnetického materiálu s µr=150. Cívka má 240 závitů, průměr jádra 2cm, délku 9cm a prochází jí proud 1,8A. π ⋅ d 2 π ⋅ 0,02 2 S= = = 3,14 ⋅ 10 − 4 m 2 4 4 S 3,14 ⋅ 10 −4 L = N 2 ⋅ Λ = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 240 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 150 ⋅ = 37,9mH l 0,09 5.2.16. Stanovte časovou změnu magnetického toku v jádře cívky S=3cm2 s poměrnou permeabilitou µr=750. Cívka má 750 závitů a délku 120mm. Proud, procházející cívkou, vzroste o 2,8A za dobu 7ms. S 3 ⋅ 10 −4 L = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 750 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 750 ⋅ = 1,32 H 0,12 l ∆I 2,8 ∆Φ u 528 u = L⋅ = 1,32 ⋅ = = = 0,704Wb ⋅ s −1 − 3 = 528V ∆t ∆t N 750 7 ⋅ 10 5.2.17. Určete velikost indukovaného napětí na vstupní ( primární ) cívce transformátoru s indukčností 2,4H při vypnutí proudu 4A za 10ms. ∆I 4 u = L⋅ = 2,4 ⋅ = 960V ∆t 0,01 5.2.18. Stanovte indukčnost cívky se 300 závity a jádrem o průřezu 5cm2. Při průchodu proudu 45mA cívkou je v jádře magnetická indukce 0,6T. S B S N ⋅ B ⋅ S 300 ⋅ 0,6 ⋅ 5 ⋅ 10 −4 2 2 B S 2 2 B⋅S L = N ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = N ⋅ ⋅ = N ⋅ ⋅ =N ⋅ = = = 2H Fm l l H l N ⋅I I 0,045 l 5.2.19. Vypočítejte napětí, indukované na cívce s indukčností 2mH. Cívka je zapojena v obvodu s proudem 4mA, který se vypne za 0,5µs. ∆I 4 ⋅ 10 −3 −3 u = L⋅ = 2 ⋅ 10 ⋅ = 16V ∆t 0,5 ⋅ 10 − 6 5.2.20. Při průchodu proudu 200mA skutečnou cívkou se nahromadí v jejím magnetickém poli energie 10-2J. Vypočtěte vlastní indukčnost cívky. 1 2 ⋅ W 2 ⋅ 10 −2 2 Wm = ⋅ L ⋅ I ⇒ L = 2 = = 0,5H 2 I 0,2 2
22
5.2.21. Skutečná cívka se 3200 závity má odpor vinutí 480Ω. K vybuzení magnetického toku Φ=1,2⋅10-4Wb je třeba dodat výkon 2W. Vypočítejte indukčnost cívky. P 2 I= = = 0,0645 A R 480 ∆I ∆Φ ∆Φ 1,2 ⋅ 10 −4 u = L⋅ = N⋅ ⇒L= N⋅ = 3200 ⋅ = 5,95H ∆t ∆t ∆I 0,0645 5.3.1. Dvě cívky s počtem závitů N1=1200 a N2=700, jsou navinuty na feromagnetickém jádře o průřezu 9cm2. Délka střední indukční čáry je 32cm, poměrná permeabilita feromagnetického materiálu je 400. Proud v cívce s N1 závity klesne z hodnoty 0,8A na 0,4A za 20ms. Činitel vazby k=1. Stanovte vlastní indukčnost obou cívek, vzájemnou indukčnost a napětí, indukované na obou cívkách. S 9 ⋅ 10 −4 L1 = N 1 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 1200 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 400 ⋅ = 2,03H l 0,32 S 9 ⋅ 10 −4 2 2 −7 L2 = N 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 700 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 400 ⋅ = 0,69 H l 0,32
M = k ⋅ L1 ⋅ L2 = 1 ⋅ 2,03 ⋅ 0,69 = 118 , H ∆I ∆I 0,4 0,4 u1 = L1 ⋅ 1 = 2,03 ⋅ u2 = M ⋅ 1 = 1,18 ⋅ = 23,6V − 3 = 40,6V ∆t ∆t 20 ⋅ 10 20 ⋅ 10 − 3 5.3.2. Na feromagnetickém jádře s poměrnou permeabilitou 1800, průřezem 4cm2 a délkou střední indukční čáry 12cm, jsou navinuty dvě cívky s počtem závitů N1=300 a N2=200. Určete výslednou indukčnost při sériovém zapojení obou vinutí pro případ, že magnetické pole obou cívek působí a) souhlasně, b) proti sobě. Činitel vazby je 0,8. S 4 ⋅ 10 −4 2 −7 2 L1 = N 1 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 300 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 1800 ⋅ = 0,67 H l 0,12 S 4 ⋅ 10 −4 L2 = N 2 2 ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 200 2 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 1800 ⋅ = 0,3H l 0,12
M = k ⋅ L1 ⋅ L2 = 0,8 ⋅ 0,67 ⋅ 0,3 = 0,35H a) L = L1 + L2 + 2 M = 0,67 + 0,3 + 2 ⋅ 0,35 = 1,67 H b) L = L1 + L2 − 2 M = 0,67 + 0,3 − 2 ⋅ 0,35 = 0,27 H 5.3.3. Válcová cívka s L1=160 závitů má průřez 2cm2 a je umístěna ve středu válcové cívky s L2=200 závitů o délce 8cm. Vypočtěte vzájemnou indukčnost cívek a indukované napětí v cívce L1, změní-li se proud v cívce L2 o 1,2A za dobu 40µs. ( k=1 ). −4 S − 7 2 ⋅ 10 M = N 1 ⋅ N 2 ⋅ µ0 ⋅ = 160 ⋅ 200 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ = 100µH l 0,08 ∆I 1,2 ui = M ⋅ 2 = 10 − 4 ⋅ = 3V ∆t 40 ⋅ 10 − 6 5.3.11. Stanovte vzájemnou indukčnost dvou cívek s počtem závitů N1=400 a N2=300, navinutých na společném feromagnetickém jádře s poměrnou permeabilitou 900. Průřez jádra je 1,5cm2, délka střední silové čáry je 5cm, k=1. S 1,5 ⋅ 10 −4 M = N 1 ⋅ N 2 ⋅ k ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ = 400 ⋅ 300 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 900 ⋅ = 0,407 H l 0,05
23
5.3.12. Mění-li se proud v cívce s N1 závity o 0,4A za 0,8s, indukuje se v cívce s počtem závitů N2=100 napětí 0,2V. Průřez jádra je 1cm2, délka střední silové čáry je 4cm, poměrná permitivita je 10000. Stanovte počet závitů cívky N1. ∆I ∆t 0,8 ui = M ⋅ ⇒ M = ui ⋅ = 0,2 ⋅ = 0,4H ∆t ∆I 0,4 S M ⋅l 0,4 ⋅ 4 ⋅ 10 −2 M = N 1 ⋅ N 2 ⋅ k ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ ⇒ N 1 = = = 127 N 2 ⋅ k ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ S 100 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 − 7 ⋅ 10 4 ⋅ 10 −4 l 5.3.13. Stanovte činitel vazby cívek o vlastních indukčnostech L1=120mH a L2=30mH, navinutých na společném jádře, indukovalo-li se na cívce L2 napětí 27mV při časové změně proudu 5mA v cívce L1 za dobu 10ms. ui ∆t 27 ⋅ 10 −3 0,01 k= ⋅ = ⋅ = 0,9 L1 ⋅ L2 ∆I 0,12 ⋅ 0,03 0,005 5.3.14. Dvě cívky o stejném počtu závitů jsou navinuty na společném feromagnetickém jádře. Vzájemná indukčnost cívek při činiteli vazby 0,8 je 2,4H. Vypočítejte vlastní indukčnost cívek. M 2,4 L1 = L2 = = = 3H k 0,8 5.3.15. Při sériovém spojení dvou cívek a shodném působení jejich magnetického pole je celková indukčnost 7mH. Působí-li magnetické pole cívek proti sobě, je celková indukčnost 3mH. Indukčnost cívky L1=3mH. Stanovte indukčnost cívky L2, vzájemnou indukčnost a činitel vazby L+ = L1 + L2 + 2 ⋅ M L + L− − 2 ⋅ L1 7 + 3 − 2 ⋅ 3 ⇒ L2 = + = = 2mH L− = L1 + L2 − 2 ⋅ M 2 2 L − L1 − L2 7 − 3 − 2 M= + = = 1mH 2 2 M 1 k= = = 0,4 L1 ⋅ L2 3⋅ 2 6.1.1. Jaká je frekvence a doba kmitu střídavého napětí při úhlové frekvenci ω=628rad⋅s-1. 1 1 ω 628 f = = = 100 Hz T= = = 0,01s f 100 2 ⋅π 2 ⋅π 6.1.11. Stanovte frekvenci a dobu kmitu střídavého proudu, je-li úhlová frekvence ω=120rad⋅s-1. ω 120 1 1 f = = = 19,1Hz T= = = 0,052s 2⋅π 2⋅π f 19,1 6.1.12. Vypočítejte úhlovou frekvenci a dobu kmitu střídavého napětí s frekvencí 5kHz. 1 1 −4 ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 10 3 = 31420rad ⋅ s −1 T= = s 3 = 2 ⋅ 10 f 5 ⋅ 10
24
6.1.2. Vypočítejte v obloukové míře úhly 30°, 120°, 250° a 340°.
αr = αr =
π 180
π 180
⋅αS = ⋅ αS =
π 180
π 180
⋅ 30 = 0,52rad
αr =
250 = 4,36rad
αr =
π 180
π 180
⋅ αS = ⋅ αS =
π 180
π 180
⋅ 120 = 2,09rad 340 = 5,93rad
6.1.13. Stanovte ve stupních úhly 0,35rad, 17,454rad a 0,086rad. 180 180 180 180 αs = ⋅ αr = ⋅ 0,35 = 20° αs = ⋅ αr = ⋅ 17,454 = 1000° π π π π 180 180 αs = ⋅ αr = ⋅ 0,086 = 5° π π 6.1.14. Vypočítejte časový úhel ve stupních i v radiánech pro časové úseky doby kmitu T/4, T/6 a T/9. T 360 π π = 90° αS = = αr = ⋅ αS = 90 = 1,57rad 4 4 180 180 T 360 π π αS = = = 60° αr = ⋅ αS = 60 = 1,05rad 6 6 180 180 T 360 π π αS = = αr = ⋅ αS = 40 = 0,7rad = 40° 4 9 180 180 6.1.3. Vypočítejte okamžitou hodnotu střídavého napětí sinusového průběhu s frekvencí 60Hz za dobu 2,5ms. Maximální hodnota napětí je 4V. V čase t=0 je napětí rovno nule. α r = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t = 2 ⋅ π ⋅ 60 ⋅ 2,5 ⋅ 10 −3 = 0,942rad 180 180 αs = ⋅ αr = ⋅ 0,942 = 54°
π
π
u = U max ⋅ sin α S = 4 ⋅ sin 54° = 3,23V 6.1.4. Vypočítejte okamžitou hodnotu střídavého proudu sinusového průběhu s fázovým posunem -60° za dobu kmitu 5µs. Maximální hodnota proudu je 8mA, frekvence je 12kHz. 180 180 α r = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t = 2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 10 3 ⋅ 5 ⋅ 10 −6 = 0,377rad αs = ⋅ αr = ⋅ 0,377 = 21,6°
π π i = I max ⋅ sin(α s − 60°) = 8 ⋅ 10 ⋅ sin( 21,6 − 60) = −4,97mA −3
6.1.15. Vypočítejte okamžitou hodnotu napětí za dobu kmitu 0,3ms. Napětí Umax=14V, frekvence je 1000Hz a úhel fázového posunu je 20°. 180 180 αr = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t = 2 ⋅ π ⋅ 1000 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −3 = 1,885rad αs = ⋅αr = ⋅ 1,885 = 108° π π u = U max ⋅ sin(α s + 20°) = 14 ⋅ sin(108 + 20) = 11V 6.2.1. Určete efektivní a střední hodnotu střídavého proudu, je-li maximální hodnota 150A. I max 150 2 2 I= = = 106 A I AV = ⋅ I max = ⋅ 150 = 95,5 A π π 2 2
25
6.2.11. Stanovte maximální hodnotu napětí, je-li jeho efektivní hodnota 120V a 220V. U max = U ⋅ 2 = 120 ⋅ 2 = 170V
U max = U ⋅ 2 = 220 ⋅ 2 = 311V
6.2.12. Odvoďte vztah mezi efektivní a střední hodnotou sinusového proudu. I max I AV ⋅ π I AV ⋅ π 2⋅ 2 ⋅ I 2 I= I AV = ⋅ I max I max = I ⋅ 2 = ⇒I= ⇔ I AV = 2 π π 2 2⋅ 2 6.2.13. Vypočítejte efektivní hodnotu indukovaného sinusového napětí, které se indukuje v ideální cívce s 240 závity, je-li maximální hodnota sinusového magnetického toku 3⋅10-3Wb při frekvenci 50Hz. U max = ω ⋅ N ⋅ Φ max = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 240 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = 226V U max 226 U= = = 160V 2 2 6.3.1. Proud s efektivní hodnotou 5mA je znázorněn fázorem. Složka do osy y=3mA. Stanovte složku do osy x, cosϕ a fázový posun.
y[mA]
IX =
I 2 − I Y 2 = 52 − 32 = 4mA
Imax cos ϕ =
5
3
ϕ 4
Ix I max
=
4 = 0,8 ⇒ ϕ = 36,87° 5
x[mA]
6.3.11. Stanovte velikost fázoru proudu a fázový posun , má-li složka do osy x hodnotu 6A a složka do osy y hodnotu 8A.
y 8A
I max =
Imax
cosϕ =
ϕ
2
2
x
y
I +I Ix I max
=
= 6 2 + 8 2 = 10 A
6 ⇒ ϕ = 53,13° 10
x
6A 6.3.12. Napětí s efektivní hodnotou 70,7V je znázorněno fázorem s fázovým posunem 36° od osy x. Vypočítejte složky UX, UY a maximální hodnotu napětí.
y UY
U max = U ⋅ 2 = 70,7 ⋅ 2 = 100V
Imax
U X = U max ⋅ cos ϕ = 100 ⋅ cos 36° = 80,9V
U ϕ=36°
UX
x
U Y = U max ⋅ sin ϕ = 100 ⋅ sin 36° = 58,8V KNIHA ŠPATNĚ 26
6.3.2. Stanovte okamžité hodnoty proudu ve vodiči, jímž procházejí dva proudy stejné frekvence, ale různých amplitud a různého fázového posunu. I1max=10mA, I2max=6mA, ϕ1=70° a ϕ2=20°. i1 = I 1 max ⋅ sin α1S = 10 ⋅ sin 70° = 9,39mA i 2 = I 1 max ⋅ sin α 2 S = 10 ⋅ sin 20° = 2,05mA i = i1 + i 2 = 9,39 + 2,05 = 11,44mA I = I1nax 2 + I 2 max 2 − 2 ⋅ I 1 max ⋅ I 2 max ⋅ cos(180°−70°+20°) = 102 + 62 − 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ cos130° = 14,6mA 6.3.13. Určete součet okamžitých hodnot dvou napětí, daných rovnicemi u 1 = 20 ⋅ sin(ω ⋅ t + 80°) V a u 2 = 15 ⋅ sin(ω ⋅ t − 30°)V , dále napište rovnici pro okamžitou hodnotu výsledného napětí. u 1( t = 0) = 20 ⋅ sin(80°) = 19 ,7V
u 2( t = 0) = 15 ⋅ sin( −30°) = −7 ,5V
u ( t = 0) = u 1( t = 0) + u 2( t = 0) = 19,7 − 7,5 = 12,2V U max = U 12max + U 22 max − 2 ⋅ U 1 max ⋅ U 2 max ⋅ cos γ = 20 2 + 15 2 − 2 ⋅ 20 ⋅ 15 ⋅ cos 70° = 20,5V
ϕ = arcsin
U 1 max ⋅ sin ϕ 1 + U 2 max ⋅ sin ϕ 2 20 ⋅ sin 80°+15 ⋅ sin( −30° ) = arcsin = 36,5° U max 20,5 u = 20,5 ⋅ sin(ω ⋅ t + 36,5°)V
7.1.1. Rezistorem s odporem 6Ω prochází sinusový proud, jehož efektivní hodnota je 8,5A a frekvence je 50Hz. Vypočítejte maximální hodnotu napětí na svorkách rezistoru, efektivní hodnotu napětí, okamžitou hodnotu napětí za 2ms a výkon na rezistoru. I max = 2 ⋅ I = 2 ⋅ 8,5 = 12 A U max = R ⋅ I max = 6 ⋅ 12 = 72V U max 72 U= = = 50,9V 2 2 180 180 u = U max ⋅ sin 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ⋅ = 72 ⋅ sin 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 2 ⋅ 10 3 ⋅ = 72 ⋅ sin 36° = 42,32V π π P = U ⋅ I = 50,9 ⋅ 8,5 = 432,73W 7.1.11. Rezistorem s odporem 24Ω prochází střídavý proud, jehož maximální hodnota je 2,82A. Stanovte efektivní hodnotu napětí na svorkách rezistoru a výkon na rezistoru. I 2 ,82 I = max = = 2A 2 2
U = R ⋅ I = 24 ⋅ 2 = 48V
27
P = U ⋅ I = 48 ⋅ 2 = 96W
7.1.12. Na střídavé napětí u=40⋅sin(502⋅t) je připojen rezistor s odporem 32Ω. Vypočítejte maximální hodnotu proudu, frekvenci proudu, okamžitou hodnotu napětí za 12ms a výkon na rezistoru. U 40 ω 502 I max = max = = 1,25 A f = = 79,89 Hz R 32 2 ⋅π 2 ⋅π 180 180 u = U max ⋅ sin ω ⋅ t ⋅ = 40 ⋅ sin 502 ⋅ 12 ⋅ 10 −3 ⋅ = 40 ⋅ sin 345,15° = 10,25V π π U max I max 40 1,25 P =U ⋅I = ⋅ = ⋅ = 25W 2 2 2 2 7.1.13. Určete okamžitou hodnotu proudu který prochází rezistorem s odporem 2kΩ, je-li odpor připojen ke zdroji napětí s maximální hodnotou 62mV a s frekvencí 3kHz. Okamžitou hodnotu proudu určete pro čas t=2,45ms. U max 62 ⋅ 10 −3 I max = = = 31µA R 2 ⋅ 10 3 180 180 i = I max ⋅ sin2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ⋅ = 31⋅10−6 ⋅ sin2 ⋅ π ⋅ 3⋅103 ⋅ 2,45⋅10−3 ⋅ = 31⋅ 10−6 ⋅ sin 2646°= 25⋅ 10−6 A π π 7.1.2. Ke zdroji střídavého napětí, s maximální hodnotou 1,2V a s frekvencí 200Hz, je připojena ideální cívka s indukčností 4mH, Vypočítejte reaktanci ideální cívky a efektivní hodnotu proudu, procházejícího cívkou. U max 1,2 I= = = 0,169 A X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 0,004 = 5Ω 2⋅R 2 ⋅5 7.1.14. Ideální cívkou, připojenou na zdroj střídavého sinusového napětí 120V s frekvencí 50Hz prochází proud 2,5A. Vypočítejte indukčnost ideální cívky. UL 120 L= = = 0,152 H I L ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f 2 ,5 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 7.1.15. Vypočítejte indukční reaktanci ideální cívky s indukčností 120mH při frekvenci 50Hz. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,12 = 37,7Ω 7.1.16. Ideální cívkou s indukčností 140mH procházel při napětí 220V proud 0,7A, Vypočítejte frekvenci. U 220 f = = = 357 Hz 2 ⋅ π ⋅ L ⋅ I 2 ⋅ π ⋅ 0,14 ⋅ 0,7 7.1.17. Určete okamžitou hodnotu střídavého napětí za 3,6ms, na svorkách ideální cívky s indukčností 2mH, prochází-li jí střídavý proud s amplitudou 5A s frekvencí 100Hz U max = I max ⋅ X L = 5 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 6,28V . 180 u L = U max ⋅ sin(ω ⋅ t ) = 6,28 ⋅ sin 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 3,6 ⋅ 10 −3 ⋅ = 4,84V π 28
KNIHA ŠPATNĚ
7.1.18. Ideální cívkou, která je připojena ke střídavému napětí s efektivní hodnotou 120V, s frekvencí 50Hz, prochází proud 8A. Stanovte indukční reaktanci a indukčnost ideální cívky. XL 15 U 120 XL = = = 15Ω L= = = 47,7mH 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50 I 8 7.1.3. Ideální kondenzátor s kapacitou 5600pF je připojen na střídavé sinusové napětí efektivní hodnotě 2V, frekvence je 15kHz. Určete kapacitní susceptanci, amplitudu proudu kondenzátorem a amplitudu napětí na kondenzátoru. BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 15 ⋅ 10 3 ⋅ 5,6 ⋅ 10 −9 = 5,28 ⋅ 10 −4 S U max = U ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 2,82V
I max = BC ⋅ U max = 5,28 ⋅ 10 −4 ⋅ 2,82 = 1,48mA
7.1.19. Ideální kondenzátor s kapacitou 0,5µF a kapacitní reaktancí 30Ω je připojen ke zdroji střídavého sinusového napětí o amplitudě 4V. Určete frekvenci napětí a okamžitou hodnotu napětí a proudu za dobu 12µs. U 1 1 4 I max = max = = 0,13A f = = = 10,61kHz 2 ⋅ π ⋅ C ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 0,5 ⋅ 10 −6 ⋅ 30 XC 30 180 uC = U max ⋅ sin(ω ⋅ t ) = 4 ⋅ sin 2 ⋅ π ⋅ 10610 ⋅ 12 ⋅ 10 −6 ⋅ = 2,86V π
π 180 π iC = I max ⋅ sin(ω ⋅ t + ) = 0,13 ⋅ sin 2 ⋅ π ⋅ 10610 ⋅ 12 ⋅ 10 −6 ⋅ + = 92mA π 2 2 7.1.20. Stanovte proud, procházející ideálním kondenzátorem s kapacitou 2000pF, je-li kondenzátor připojen ke zdroji sinusového napětí 2,5V o frekvenci 8kHz. BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −9 = 1 ⋅ 10 −4 S I = U ⋅ BC = 2,5 ⋅ 1 ⋅ 10 −4 = 2,5 ⋅ 10 −4 A 7.1.21. Proud, procházející ideálním kondenzátorem s kapacitou 1µF se změnil ze 4mA na 1mA při konstantní hodnotě napětí 10V. Stanovte změnu frekvence. I 4 ⋅ 10 −3 f1 = = = 63,7 Hz U ⋅ 2 ⋅ π ⋅ C 10 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅ 10 −6 I2 1 ⋅ 10 −3 f2 = = = 15,9 Hz ∆f = f 1 − f 2 = 63,7 − 15,9 = 47,8 Hz U ⋅ 2 ⋅ π ⋅ C 10 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅ 10 − 6 7.1.22. Určete kapacitu ideálního kondenzátoru, připojeného ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 200Hz. Kapacitní reaktance je 400Ω. 1 1 C= = = 2 µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 400 7.1.23. Stanovte nabíjecí proud ideálního kondenzátoru s kapacitou 4µF, je-li připojen na napětí 150V s frekvencí 100Hz. U IC = = U ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 150 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 4 ⋅ 10 −6 = 0,377 A XC 7.1.24. Vypočítejte napětí na ideálním kondenzátoru, kapacity 8200pF, prochází-li jím proud 10mA při frekvenci 1,4MHz. 29
XC =
1 1 = = 13,9Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 1,4 ⋅ 10 6 ⋅ 8,2 ⋅ 10 − 9
U = I ⋅ X C = 10 ⋅ 10 −3 ⋅ 13,9 = 0,139V
7.1.25. Na svorky zdroje střídavého napětí 60V s frekvencí 200Hz jsou postupně připojovány rezistor, ideální cívka a ideální kondenzátor. Ze zdroje se vždy odebírá proud 150mA. Vypočtěte odpor rezistoru, indukčnost ideální cívky a kapacitu ideálního kondenzátoru. XL U 60 400 R = X L = XC = = = 400Ω L= = = 0,318 H I 0,15 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 200 1 1 C= = = 2 µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 400 7.1.26. Stanovte proud, procházející rezistorem s odporem 3kΩ, ideální cívkou s indukčností 127mH a ideálním kondenzátorem s kapacitou 5,3nF. Uvedené prvky jsou postupně připojovány ke zdroji střídavého sinusového napětí 12V s frekvencí 5kHz. U 12 U U 12 IR = = IL = = = = 3mA 3 = 4mA X L 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 10 3 ⋅ 0,127 R 3 ⋅ 10 U IC = = U ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 12 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 10 3 ⋅ 5,3 ⋅ 10 − 9 = 2mA XC 7.2.1. Skutečná cívka s indukčností 202mH a s odporem 80Ω, je připojena ke zdroji střídavého napětí a prochází jí proud 2A při frekvenci 100Hz. Stanovte impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na indukčnosti a odporu a fázový posun mezi napětím a proudem. R 2 + X L 2 = 80 2 + 127 2 = 150Ω U L = I ⋅ X L = 2 ⋅ 127 = 254V X 127 tgϕ = L = = 1,59 ⇒ ϕ = 57,8° R 80
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,202 = 127Ω U Z = I ⋅ Z = 2 ⋅ 150 = 300V
Z=
U R = I ⋅ R = 2 ⋅ 80 = 160V
7.2.2. Ke zdroji s napětím 400V a frekvencí 50Hz je připojena skutečná cívka s indukčností 0,255H a s odporem 60Ω. Stanovte proud, procházející obvodem, impedanci, napětí na indukčnosti a odporu a úhel fázového posunu mezi napětím a proudem X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,255 = 80Ω U 400 I= = = 4A Z 100
Z=
R 2 + X L 2 = 60 2 + 80 2 = 100Ω
U L = I ⋅ X L = 4 ⋅ 80 = 320V
X L 80 = = 1, 3 ⇒ ϕ = 53,1° R 60 7.2.3. Připojíme-li skutečnou cívku s odporem 50Ω ke zdroji střídavého napětí 110V s frekvencí 50Hz, prochází jí proud 0,7A. Stanovte indukčnost cívky. U 110 Z= = = 157Ω X L = Z 2 − R 2 = 157 2 − 50 2 = 149Ω I 0,7 XL 149 L= = = 0,474 H 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50 U R = I ⋅ R = 4 ⋅ 60 = 240V
tgϕ =
30
7.2.4. Ideální kondenzátor s kapacitou 16µF a rezistor s odporem 400Ω jsou připojeny do série na napětí 220V s frekvencí 50Hz. Určete impedanci obvodu, proud, procházející obvodem, napětí na ideálním kondenzátoru a na rezistoru a fázový posun mezi napětím a proudem. 1 1 XC = = = 200Ω Z = R 2 + X C 2 = 200 2 + 400 2 = 447Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 16 ⋅ 10 −6 U 220 I= = = 0,49 A U C = I ⋅ X C = 0,49 ⋅ 200 = 98V Z 447 X 200 tgϕ = C = = 0,5 ⇒ ϕ = 26,5° U R = I ⋅ R = 0,49 ⋅ 400 = 196V R 400 7.2.11. Skutečná cívka je připojena ke zdroji střídavého napětí 220V a prochází jí proud 1,4A. odpor cívky je 10Ω, indukčnost 0,5H. Stanovte frekvenci. U 220 R L Z= = = 157Ω I 1 , 4 i≈ u≈ X L = Z 2 − R 2 = 157 2 − 10 2 = 156,7Ω XL 156,7 f = = = 50 Hz 2 ⋅ π ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 0,5 7.2.12. Připojíme-li skutečnou cívku ke zdroji stejnosměrného napětí 10V, prochází jí proud 2,5A. Po připojení skutečné cívky ke zdroji střídavého napětí 10V s frekvencí 50Hz, prochází proud 2A. Vypočítejte indukčnost cívky. U 10 U 10 R= = = 4Ω Z= = = 5Ω X L = Z 2 − R 2 = 52 − 4 2 = 3Ω I 2,5 I 2 XL 3 L= = = 9,55mH 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50 7.2.13. Do série se skutečnou cívkou s odporem 5Ω a indukčností 100mH je připojena žárovka s odporem při svícení 25Ω. Napětí zdroje je 88V, frekvence 50Hz. Stanovte výkon na žárovce. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,1 = 31,4Ω R = R L + RZ = 5 + 25 = 30Ω U 88 Z = R 2 + X L 2 = 30 2 + 31,4 2 = 43,4Ω I= = = 2,03 A Z 43,4 PZ = RZ ⋅ I 2 = 25 ⋅ 2,032 = 102W 7.2.14. V sérii se skutečnou cívkou s odporem 10Ω je zapojen rezistor s odporem 15Ω, viz obrázek. Obvodem prochází proud 2A. Napětí zdroje je 100V, frekvence je 50Hz. Vypočtěte indukčnost cívky. RC = R L + R = 10 + 15 = 25Ω I U 100 Z= = = 50Ω I 2
R
RL U
L
X L = Z 2 − R 2 = 50 2 − 252 = 43,3Ω XL 43,3 L= = = 0,138 H 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50
31
7.2.15. Ke zdroji střídavého napětí 120V, s frekvencí 50Hz jsou připojeny dvě skutečné cívky v sérii. Odpory cívek jsou R1=60Ω, R2=40Ω, indukčnosti cívek L1=96mH a L2=185mH. Vypočítejte napětí na obou cívkách. X L1 = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L1 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,096 = 30Ω X L2 = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L2 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,185 = 58Ω Z1 = R1 2 + X L12 = 60 2 + 30 2 = 67Ω RC = R1 + R2 = 60 + 40 = 100Ω
Z 2 = R2 2 + X L 2 2 = 40 2 + 58 2 = 70,5Ω X C = X 1 + X 2 = 30 + 58 = 88Ω U 120 Z C = RC 2 + X C 2 = 100 2 + 88 2 = 133,2Ω I= = = 0,9 A Z C 133,2 U L1 = I ⋅ Z1 = 0,9 ⋅ 67 = 60,3V U L2 = I ⋅ Z 2 = 0,9 ⋅ 70,5 = 63,45V 7.2.5. Ke zdroji střídavého napětí je připojeno sériové spojení ideálního kondenzátoru s kapacitou 70µF a rezistoru s odporem 30Ω. Odporem prochází proud 4A, při frekvenci 50Hz. Stanovte impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na ideálním kondenzátoru a rezistoru a fázový posun mezi napětím a proudem. 1 1 XC = = = 45,5Ω Z = R 2 + X C 2 = 30 2 + 45,52 = 54,5Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 70 ⋅ 10 − 6 U = Z ⋅ I = 54,5 ⋅ 4 = 217,9V U C = I ⋅ X C = 4 ⋅ 45,5 = 181,9V X 45,5 U R = I ⋅ R = 4 ⋅ 30 = 120V tgϕ = C = = 1,515 ⇒ ϕ = 56,6° R 30 7.2.6. Rezistor s odporem 160Ω a ideální kondenzátor jsou v sériovém řazení připojeny ke zdroji střídavého napětí 120V s frekvencí 100Hz. Obvodem prochází proud 0,5A. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru. U 120 Z= = = 240Ω X C = Z 2 − R 2 = 240 2 − 160 2 = 178,9Ω 0,5 I 1 1 C= = = 8,89 µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 178,9 7.2.16. U sériového spojení rezistoru s odporem 100Ω a ideální cívky s indukčností 190mH je na ideální cívce napětí 60V při frekvenci 100Hz. Stanovte proud, procházející obvodem, napětí na rezistoru a napětí zdroje. UL 60 X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,19 = 119,4Ω I= = = 0,5 A X L 119,4 U R = I ⋅ R = 0,5 ⋅ 100 = 50V U = U R 2 + X L 2 = 50 2 + 60 2 = 78V 7.2.17. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru tak, aby při sériovém spojení s rezistorem, jehož odpor je 1330Ω, byl fázový posun 50° po připojení ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 100Hz. 1 1 X C = tgϕ ⋅ R = tg50°⋅1330 = 1585Ω C= = = 1µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 1585
32
7.2.18. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru, který se musí zapojit do série se žárovkou o příkonu 60W a napětí 24V, aby mohla být žárovka připojena ke zdroji střídavého napětí 220V PZ UZ 60 24 s frekvencí 50Hz. IZ = = = 2,5 A RZ = = = 9,6Ω U Z 24 IZ 2,5 U 220 X C = Z 2 − R 2 = 88 2 − 9,6 2 = 87,5Ω Z= = = 88Ω IZ 2,5 1 1 C= = = 36,3µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 87,5 7.2.19. Sériové spojení rezistoru s odporem 6Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 1µF je připojeno ke zdroji střídavého napětí 100V. Obvodem prochází proud 10A. Stanovte frekvenci. U 100 Z= = = 10Ω X C = Z 2 − R 2 = 100 2 − 36 2 = 8Ω I 10 1 1 f = = = 19,89 kHz 2 ⋅ π ⋅ C ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅ 10 − 6 ⋅ 8 7.2.20. V zapojení podle obrázku mají oba ideální kondenzátory stejnou kapacitu, a to 135µF. Žárovka má příkon 60W a je na ní napětí 24V. Napětí zdroje je 120V. Stanovte frekvenci. C 135 Ž CV = = = 67,5µF C C 2 2 Pz 60 I= = = 2,5 A U Z 24 UŽ U U 120 Z= = = 48Ω 2,5 I UZ 24 RZ = = = 9,6Ω X C = Z 2 − RZ 2 = 48 2 − 9,6 2 = 47Ω I 2,5 1 1 f = = = 50,16 Hz 2 ⋅ π ⋅ C ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 67,5 ⋅ 10 −6 ⋅ 47 7.2.21. V sériovém spojení rezistoru s odporem 200Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 700pF je na rezistoru, při frekvenci 1,5MHz, napětí 8V. Stanovte proud, procházející obvodem, napětí na ideálním kondenzátoru a napětí zdroje. 1 1 XC = = = 152Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 1,5 ⋅ 10 6 ⋅ 700 ⋅ 10 −12 U 8 Z = R 2 + X C 2 = 200 2 + 152 2 = 251Ω I= R = = 0,04 A R 200 U C = U 2 − U R 2 = 10 2 − 8 2 = 6V
U = I ⋅ Z = 0,04 ⋅ 251 = 10V
33
7.2.22. Stanovte indukčnost ideální cívky tak, aby při sériovém spojení s rezistorem, jehož odpor je 18Ω, byl po připojení ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 200Hz fázový posun 30°. X L = R ⋅ tgϕ = 18 ⋅ tg 30° = 10,4Ω Z
XL
ϕ
L=
R
XL 10,4 = = 8,26mH 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 200
7.2.7. Ke zdroji se střídavým napětím je připojeno sériové spojení rezistoru s odporem 6Ω, ideální cívky s indukčností 1,27mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 26,3µF. Obvodem prochází při frekvenci 500Hz proud 200mA. Určete impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 1,27 ⋅ 10 −3 = 4Ω 1 1 XC = = = 12Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 26,3 ⋅ 10 −6 2
2
Z = R 2 + ( X C − X L ) = 6 2 + (12 − 4) = 10Ω U R = R ⋅ I = 6 ⋅ 0,2 = 1,2V U C = X C ⋅ I = 12 ⋅ 0,2 = 2,4V
U = Z ⋅ I = 10 ⋅ 0,2 = 2V U L = X L ⋅ I = 4 ⋅ 0,2 = 0,8V 2
2
U = U R 2 + (U C − U L ) = 1,2 2 + (2,4 − 0,8) = 2V
U C − U L 2,4 − 0,8 = = 1, 3 ⇒ ϕ = 53,13° UR 1,2 7.2.8. Stanovte impedanci obvodu, proud procházející obvodem, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem v obvodu, ve kterém je v sérii zapojen rezistor s odporem 120Ω, ideální kondenzátor s kapacitou 35,3µF a ideální cívka s indukčností 445mH. Napětí zdroje je 65V, frekvence je 50Hz. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 445 ⋅ 10 −3 = 140Ω 1 1 XC = = = 90Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 35,3 ⋅ 10 −6 U 65 2 2 Z = R 2 + ( X L − X C ) = 120 2 + (140 − 90) = 130Ω I= = = 0,5 A Z 130 U R = R ⋅ I = 120 ⋅ 0,5 = 60V U L = X L ⋅ I = 140 ⋅ 0,5 = 70V U C = X C ⋅ I = 90 ⋅ 0,5 = 45V tgϕ =
2
2
U = U R 2 + (U L − U C ) = 60 2 + ( 70 − 45) = 65V U L − U C 70 − 45 tgϕ = = = 0,416 ⇒ ϕ = 22,6° UR 60
34
7.2.9. Ke zdroji střídavého napětí 100V s frekvencí 150Hz je připojen sériový obvod , tvořený rezistorem s odporem 50Ω, ideální cívkou s indukčností 50mH a ideálním kondenzátorem. Obvodem prochází proud 0,8A. Vypočítejte kapacitu ideálního kondenzátoru, když XC>XL. U 100 X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 150 ⋅ 50 ⋅ 10 −3 = 75,4Ω Z= = = 125Ω I 0,8 R 2 + ( X C − X L ) 2 ⇒ X C = Z 2 − R 2 + X L = 1252 − 50 2 + 75,4 = 190Ω 1 1 C= = = 5,58µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 150 ⋅ 190 7.2.10. Sériový obvod tvoří rezistor s odporem 30Ω, ideální kondenzátor s kapacitou 45µF a ideální cívka. Napětí zdroje je 220V, frekvence je 50Hz. Obvodem prochází proud 4A. Stanovte indukčnost ideální cívky, když XL>XC. 1 1 U 220 Z= = = 55Ω XC = = = 70,73Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 45 ⋅ 10 −6 I 4 Z=
R 2 + ( X L − X C ) 2 ⇒ X L = Z 2 − R 2 + X C = 552 − 30 2 + 70,73 = 116,8Ω XL 116,8 L= = = 0,371H 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50 7.2.23. V sériovém R, L, C obvodu je odpor rezistoru 20Ω, indukční reaktance ideální cívky 60Ω a kapacitní reaktance ideálního kondenzátoru 20Ω. Obvodem prochází proud 2A. Stanovte napětí zdroje a napětí na všech prvcích obvodu. Z=
2
Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 = 20 2 + ( 60 − 20) = 44,72Ω U = I ⋅ Z = 2 ⋅ 44 ,72 = 89 ,44 V U R = I ⋅ R = 2 ⋅ 20 = 40V U C = I ⋅ X C = 2 ⋅ 20 = 40V U L = I ⋅ X L = 2 ⋅ 60 = 120V 7.2.24. Ke zdroji střídavého napětí 100V s frekvencí 50Hz, je připojeno sériové spojení rezistoru s odporem 60Ω, ideální cívky s indukčností 0,5H a ideálního kondenzátoru s kapacitou 40µF. Vypočtěte impedanci obvodu, proud obvodem, napětí na rezistoru, ideální cívce a ideálním kondenzátoru a úhel fázového posunu mezi proudem a napětím. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,5 = 157Ω 1 1 XC = = = 79,6Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 40 ⋅ 10 − 6
Z=
U 100 = = 1,02 A Z 98 U L = X L ⋅ I = 157 ⋅ 1,02 = 160V R 60 cos ϕ = = = 0,6122 ⇒ ϕ = 52,25° Z 98
2
2
R 2 + ( X L − X C ) = 60 2 + (157 − 79,6) = 98Ω U R = R ⋅ I = 60 ⋅ 1,02 = 61,2V U C = X C ⋅ I = 79,6 ⋅ 1,02 = 81V
35
I=
7.2.25. V zapojení podle obrázku je odpor skutečné cívky 80Ω, indukčnost 320mH a kapacita ideálního kondenzátoru 50µF. Napětí zdroje je 90V, frekvence je 50Hz. Vypočítejte napětí UAB na skutečné cívce. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,32 = 100,5Ω A 1 1 XC = = = 63,7Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 R
UAB
U
Z=
2
L C
2
R 2 + ( X L − X C ) = 80 2 + (100,5 − 63,7) = 88Ω I=
U 90 = = 1,02 A Z 88
U AB = I ⋅ R 2 + X L 2 = 1,02 ⋅ 80 2 + 100,52 = 131V
B
7.2.26. Sériovým spojením rezistoru s odporem 20Ω, ideální cívky s indukční reaktancí 60Ω a ideálním kondenzátorem prochází proud 5A. Napětí zdroje je 110V, frekvence je 100Hz. Vypočítejte kapacitu ideálního kondenzátoru. OPROTI KNIZE JSOU 2 ŘEŠENÍ U 110 Z= = = 22Ω I 5 a) Z =
2
R 2 + ( X C − X L ) ⇒ X C1 = Z 2 − R 2 + X L = 22 2 − 20 2 + 60 = 69,2Ω C=
b) Z =
1 1 = = 22,9 µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C1 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 69,2 2
R 2 + ( X L − X C ) ⇒ X C 2 = − Z 2 − R 2 + X L = − 22 2 − 20 2 + 60 = 50,8Ω
1 1 = = 31,3µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 50,8 7.2.27. U sériového spojení skutečné cívky s odporem 20Ω a indukčností 6,4mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 5µF je napětí na ideálním kondenzátoru 2V, při frekvenci 1kHz. Stanovte napětí na skutečné cívce a napětí zdroje. UC 1 1 2 XC = = I= = = 62,9mA 3 − 6 = 31,8Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 X C 31,8 C=
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 10 3 ⋅ 6,4 ⋅ 10 −3 = 40,2Ω U L = I ⋅ R 2 + X L 2 = 62,9 ⋅ 10 −3 ⋅ 20 2 + 40,2 2 = 2,82V
Z=
2
2
R 2 + ( X L − X C ) = 20 2 + ( 40,2 − 31,8) = 21,7Ω U = Z ⋅ I = 21,7 ⋅ 62,8 ⋅ 10 −3 = 1,36V
36
7.2.28. Jakou musí mít kapacitu ideální kondenzátor, aby po jeho připojení do série se skutečnou cívkou s odporem 40Ω a indukčností 50mH, byl při frekvenci 200Hz fázový posun 30° (XL>XC ). X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 0,05 = 62,8Ω Z
ϕ R
XL-XC
X L − XC ⇒ X C = X L − R ⋅ tg 30° = 62,8 − 40 ⋅ tg 30° = 39,7Ω R 1 1 C= = = 20µF 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 39,7 tg 30° =
7.3.1. Ke zdroji napětí 240V s frekvencí 400Hz je připojeno paralelní spojení rezistoru s odporem 800Ω a ideální cívky s indukčností 239mH. Stanovte proudy v prvcích obvodu, celkový proud, admitanci a impedanci obvodu a fázový posun. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 400 ⋅ 0,239 = 600Ω U 240 = = 0,3 A R 800 1 1 G= = = 1,25mS R 800 IR =
I=
U 240 = = 0,4 A X L 600
I R 2 + I L 2 = 0,32 + 0,4 2 = 0,5 A 1 1 = = 1, 6mS X L 600 1 1 Z= = = 480,8Ω Y 2,08 ⋅ 10 − 3 BL =
2
Y = G 2 + B L 2 = 1,252 + 1, 6 = 2,08mS
tgϕ =
IL =
BL 1, 6 = = 1, 3 ⇒ ϕ = 53° G 1,25
7.3.2. Rezistor s odporem 5Ω a ideální cívka s indukčností 264µH jsou spojeny paralelně a připojeny ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 4kHz. Ideální cívkou prochází proud 60mA, celkový proud ze zdroje je 100mA. Určete proud, procházející rezistorem, admitanci obvodu, impedanci obvodu, napětí zdroje a fázový posun. I 2 − I L 2 = 0,12 − 0,06 2 = 80mA 1 1 G = = = 0,2 S R 5
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 4000 ⋅ 264 ⋅ 10 −6 = 6,6Ω 1 1 BL = = = 0, 15S X L 6,6 1 1 2 Y = G 2 + B L 2 = 0,2 2 + 0, 15 = 0,25S Z= = = 4Ω Y 0,25 I L 60 U = I ⋅ Z = 0,1 ⋅ 4 = 0,4V tgϕ = = = 0,75 ⇒ ϕ = 36,5° I R 80
IR =
37
7.3.3. Admitance paralelního spojení rezistoru a ideální cívky je 1,9mS. Rezistor má odpor 1kΩ. Celkový proud je 385mA při frekvenci 1,5kHz. Stanovte indukčnost ideální cívky, svorkové napětí obvodu, proudy ve větvích a fázový posun. B L = Y 2 − G 2 = 1,9 2 − 12 = 1,6mS 0,385 I 1 1 U = = = 202,63V L= = 3 − 3 = 66,3mH Y 1,9 ⋅ 10 − 3 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ B L 2 ⋅ π ⋅ 1,5 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10 U U 202,63 IR = = = 202mA IL = = U ⋅ B L = 202,63 ⋅ 1,6 ⋅ 10 − 3 = 324mA R 1000 XL B L 1,6 ⋅ 10 −3 tgϕ = = = 1,6 ⇒ ϕ = 58° G 1 ⋅ 10 − 3 7.3.11. Paralelní obvod, složený z rezistoru s odporem 40Ω a z ideální cívky s indukčností 50mH, je připojen ke zdroji sinusového napětí 200V s frekvencí 100Hz. Určete admitanci obvodu, proud odebíraný ze zdroje, proud procházející rezistorem, proud procházející ideální cívkou a fázový posun. 1 1 1 1 1 G= = = 25mS BL = = = = 31,8mS X L 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,05 R 40 Y = G 2 + B L 2 = (25 ⋅ 10 −3 ) 2 + (31,8 ⋅ 10 −3 ) 2 = 40,45mS
I = U ⋅ Y = 200 ⋅ 40,45 ⋅ 10 −3 = 8,09 A
I R = U ⋅ G = 200 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 = 5 A I L 6,36 tgϕ = = = 1,272 IR 5
I L = U ⋅ B L = 200 ⋅ 31,8 ⋅ 10 −3 = 6,36 A ϕ = 51,83°
7.3.12. Ke zdroji střídavého napětí 120V je připojena zátěž , tvořená paralelní kombinací rezistoru s odporem 1kΩ a ideální cívky s indukčností 630mH. Ze zdroje se odebírá proud 0,5A. Určete frekvenci napětí a proud, procházející ideální cívkou. I 0,5 1 1 Y= = = 4,17mS G = = 3 = 1mS U 120 R 10 B L = Y 2 − G 2 = 4,17 2 − 12 = 4,04mS 1 1 f = = = 62,6 Hz 2 ⋅ π ⋅ B L ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 4,04 ⋅ 10 − 3 ⋅ 0,63 I L = U ⋅ B L = 120 ⋅ 4,04 ⋅ 10 −3 = 485mA 7.3.13. Admitance paralelního spojení rezistoru a ideální cívky je 20mS. Indukčnost ideální cívky je 100mH. Stanovte odpor rezistoru, celkový proud, proudy ve větvích a fázový posun, je-li napětí zdroje 120V při frekvenci 100Hz. 1 1 I = U ⋅ Y = 120 ⋅ 20 ⋅ 10 −3 = 2,4 A BL = = = 15,9mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,1 1 1 G = Y 2 − B L 2 = 20 2 − 15,9 2 = 12mS R= = = 83, 3Ω G 12 ⋅ 10 − 3 I R = U ⋅ G = 120 ⋅ 12 ⋅ 10 −3 = 1,44 A I L = U ⋅ B L = 120 ⋅ 15,9 ⋅ 10 −3 = 1,91 A
38
I L 1,91 ⋅ 10 −3 = = 1,325 ⇒ ϕ = 53° I R 1,44 ⋅ 10 − 3 7.3.4. Při paralelním spojení rezistoru s odporem 6,25Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 3,8µF se odebírá ze zdroje proud 100mA, při frekvenci 5kHz. Rezistorem prochází proud 80mA. Vypočítejte napětí zdroje, proud, procházející ideálním kondenzátorem, admitanci a impedanci obvodu a fázový posun. tgϕ =
I 2 − I R 2 = 0,12 − 0,08 2 = 60mA 1 1 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 10 3 ⋅ 3,8 ⋅ 10 −6 = 0,12 S G= = = 0,16S R 6,25 1 1 Y = G 2 + BC 2 = 0,16 2 + 0,12 2 = 0,2 S Z= = = 5Ω Y 0,2 B 0,12 tgϕ = C = = 0,75 ⇒ ϕ = 36,9° G 0,16 7.3.14. Paralelní spojení rezistoru a ideální cívky je připojeno ke zdroji střídavého napětí 26V s frekvencí 400Hz. Rezistorem prochází proud 12mA, ideální cívkou prochází proud 5mA. Určete odpor rezistoru, indukčnost ideální cívky a celkový proud. U 26 U 26 R= = XL = = = 5200Ω − 3 = 2170Ω I R 12 ⋅ 10 I L 5 ⋅ 10 − 3 XL 5200 L= = = 2,06 H I = I R 2 + I L 2 = 12 2 + 52 = 13mA 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 400 7.3.15. Paralelní spojení rezistoru a ideální cívky je připojeno ke zdroji střídavého napětí. Celkový proud, procházející obvodem je 1A při frekvenci 500Hz. Odpor rezistoru je 4Ω, indukčnost ideální cívky je 2mH. Stanovte napětí zdroje a proudy , procházející rezistorem a ideální cívkou. 1 1 1 1 BL = = G = = = 0,25S − 3 = 159 mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 2 ⋅ 10 R 4 I 1 Y = G 2 + B L 2 = 0,252 + 0,159 2 = 0,296S U = = = 3,38V Y 0,296 I R = U ⋅ G = 3,38 ⋅ 0,25 = 0,845 A I L = U ⋅ B L = 3,38 ⋅ 0,159 = 0,538 A 7.3.16. Impedance zátěže, tvořená paralelním spojením rezistoru a ideální cívky je 100Ω. Indukčnost ideální cívky je 20mH. Napětí střídavého zdroje napětí je 160V, frekvence je 2kHz. Stanovte odpor rezistoru. 1 1 1 1 BL = = Y= = = 10mS 3 − 2 = 4mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 Z 100 1 1 G = Y 2 − B L 2 = 10 2 − 4 2 = 9,17mS R= = = 109Ω G 9,17 ⋅ 10 − 3 7.3.17. Paralelní kombinace rezistoru s odporem 2kΩ a ideálního kondenzátoru s kapacitou 11000pF je připojena ke zdroji sinusového napětí 12V, frekvence je 10kHz. Vypočítejte proudy, procházející rezistorem, ideálním kondenzátorem a celkový proud obvodu, admitanci, impedanci a fázový posun. 1 1 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 10 3 ⋅ 11 ⋅ 10 −9 = 691µS G= = = 0,5mS R 2 ⋅ 10 3 U = R ⋅ I R = 6,25 ⋅ 0,08 = 0,5V
IC =
Y = G 2 + BC 2 = (0,691 ⋅ 10 −3 ) 2 + (0,5 ⋅ 10 −3 ) 2 = 0,853mS 39
1 1 = = 117 , kΩ Y 853 ⋅ 10 − 6 I C = U ⋅ BC = 12 ⋅ 691 ⋅ 10 −6 = 8,3mA I C 8,3 tgϕ = = = 1,382 IR 6
U 12 = = 6mA R 2 ⋅ 10 3 I = U ⋅ Y = 12 ⋅ 0,853 ⋅ 10 −3 = 10,23mA
Z=
IR =
ϕ = 54,11°
7.3.18. Admitance paralelního spojení ideálního kondenzátoru a rezistoru s odporem 250Ω je 8mS. Obvodem prochází proud 180mA při frekvenci 500Hz. Určete napětí zdroje, proud, procházející rezistorem a ideálním kondenzátorem a kapacitu ideálního kondenzátoru. I 0,18 1 1 U = = G= = = 4mS − 3 = 22 ,5V Y 8 ⋅ 10 R 250 U 22,5 BC = Y 2 − G 2 = 8 2 − 4 2 = 6,93mS IR = = = 90mA R 250 BC 6,93 ⋅ 10 −3 −3 I C = U ⋅ BC = 22,5 ⋅ 6,93 ⋅ 10 = 155,9mA C= = = 2,2 µF 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 500 7.3.19. Ke zdroji střídavého napětí 220V s frekvencí 50Hz je připojeno paralelní spojení rezistoru a ideálního kondenzátoru s kapacitou 10µF. Proud, odebíraný ze zdroje je 1,6A. Vypočítejte odpor rezistoru, proudy, procházející rezistorem a ideálním kondenzátorem, impedanci a admitanci obvodu. U 220 1 1 Z= = = 137,5Ω Y= = = 7, 27mS I 1,6 Z 137,5 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 10 ⋅ 10 −6 = 3,14mS I C = U ⋅ BC = 220 ⋅ 3,14 ⋅ 10 −3 = 0,69 A 1 1 2 G = Y 2 − BC 2 = 7, 27 − 3,14 2 = 6,56mS R= = = 152,5Ω G 6,56 ⋅ 10 − 3 U 220 IR = = = 1,44 AA R 152,5 7.3.20. Stanovte rozdíl frekvence střídavého zdroje napětí 20V při změně proudu do zátěže z 20mA na 65mA. Zátěž je tvořena paralelní kombinací rezistoru s odporem 1250Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 1µF. I 20 20 ⋅ 10 −3 I 65 65 ⋅ 10 −3 Y20 = = = 1mS Y65 = = = 3,25mS U 20 U 20 1 1 G= = = 0,8mS BC 20 = Y20 2 − G 2 = 12 − 0,8 2 = 0,6mS R 1250 BC 20 0,6 ⋅ 10 −3 BC 65 = Y65 2 − G 2 = 3,252 − 0,8 2 = 3,15mS f 20 = = = 95,5Hz 2 ⋅ π ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅ 10 − 6 BC 65 3,15 ⋅ 10 −3 f 65 = = = 501,3Hz ∆f = 501,3 − 95,5 = 405,8 Hz 2 ⋅ π ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅ 10 − 6 7.3.21. Admitance paralelního spojení rezistoru a ideálního kondenzátoru je 0,5mS. Odpor rezistoru je 4kΩ. Spojení je připojeno ke zdroji střídavého napětí 100V při frekvenci 800Hz. Vypočítejte kapacitu ideálního kondenzátoru, proudy, procházející rezistorem a ideálním kondenzátorem a fázový posun. 1 1 G= = = 0,25mS BC = Y 2 − G 2 = 0,52 − 0,252 = 0,433mS R 4000
40
C=
BC 0,433 ⋅ 10 −3 = = 86,1nF 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 800
IR =
U 100 = = 25mA R 4000
I C 43,3 ϕ = 60° = = 1,732 IR 25 7.3.5. Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích, celkový proud a impedanci v obvodu, zapojeném podle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=40Ω, R2=250Ω, indukčnost ideální cívky je L=5mH a kapacita ideálního kondenzátoru je C=2µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí U=250V, frekvence je f=600Hz. I C = U ⋅ BC = 100 ⋅ 0,433 = 43,3mA
I
U
y
R1
R2
L
C
I1
I2
tgϕ =
I2 ϕ2
U I
ϕ1 -y
x
γ I1
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 600 ⋅ 0,005 = 18,8Ω 250 U = = 5,65 A I1 = Z1 54,5 1 1 XC = = = 132,6Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 600 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 R2 2 + X C 2 = 250 2 + 132,6 2 = 283Ω U 250 I2 = = = 0,883 A Z 2 283
R1 2 + X L 2 = 40 2 + 18,8 2 = 54,5Ω R1 40 = = 0,905 ⇒ ϕ1 = 25,2° cos ϕ1 = Z1 44,21 Z1 =
Z2 =
cos ϕ2 =
R2 250 = = 0,883 ⇒ ϕ1 = 28° Z 2 283
γ = 180 − (ϕ1 + ϕ 2 ) = 180 − (25,2 + 28) = 126,8° I 12 + I 2 2 − 2 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos γ = 5,652 + 0,8832 − 2 ⋅ 5,65 ⋅ 0,883 ⋅ cos126,8° = 6,22 A U 250 Z= = = 40,2Ω I 6,22 7.3.6. Určete odpor rezistoru, který musíme připojit paralelně k ideálnímu kondenzátoru s kapacitou 2µF, aby po připojení ke zdroji střídavého napětí 200V s frekvencí 100Hz, byla impedance obvodu 400Ω. Dále určete proudy, procházející všemi prvky a fázový posun mezi napětím a proudem. U 200 I= = = 0,5 A BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = 1,26mS Z 400 I=
I 2 − I C 2 = 0,52 − 0,252 = 0,43 A I C 0,25 tgϕ = = = 0,581 ⇒ ϕ = 30,17° I R 0,43
I C = U ⋅ BC = 200 ⋅ 1,26 ⋅ 10 −3 = 0,25 A U 200 R= = = 465Ω I R 0,43
IR =
41
7.3.7. Paralelní spojení rezistoru s odporem 40Ω, ideální cívky s indukčností 150mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 40µF, je připojeno ke zdroji střídavého napětí 100V s frekvencí 50Hz. Vypočítejte proudy ve všech prvcích obvodu a celkový proud, admitanci a impedanci obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem. 1 1 G= = = 25mS I R = U ⋅ G = 100 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 = 2,5 A R 40 1 1 BL = = = 21,2mS I L = U ⋅ B L = 100 ⋅ 21,2 ⋅ 10 −3 = 2,12 A 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,15 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 40 ⋅ 10 −6 = 12,6mS I C = U ⋅ BC = 100 ⋅ 12,6 ⋅ 10 −3 = 1,25 A 2
2
I = I R 2 + ( I L − I C ) = 2,52 + ( 2,12 − 1,25) = 2,64 A 2
2
Y = G 2 + ( B L − BC ) = 252 + ( 21,2 − 12,6) = 26mS I L − I C 2,12 − 1,25 1 1 Z= = tgϕ = = = 0,348 ⇒ ϕ = 19,18° − 3 = 38,5Ω IR 2,5 Y 26 ⋅ 10 7.3.8. Paralelní spojení rezistoru s odporem 120Ω, ideální cívky s indukčností 40mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 5µF je připojeno ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 200Hz. Celkový proud, procházející obvodem je 1,9A. Stanovte proudy ve všech prvcích obvodu, napětí zdroje, impedanci a admitanci obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem. 1 1 1 1 G= = = 8,3mS BL = = = 19,9mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 0,04 R 120 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 5 ⋅ 10 −6 = 6,28mS 2
2
Y = G 2 + ( B L − BC ) = 8,32 + (19,9 − 6,28) = 15,9mS I 1,9 = = 119,2V Y 15,9 ⋅ 10 − 3 I R = U ⋅ G = 119,2 ⋅ 8,3 ⋅ 10 −3 = 1 A
U =
I C = U ⋅ BC = 119,2 ⋅ 6,28 ⋅ 10 −3 = 0,74 A
1 1 = = 62,7Ω Y 15,9 ⋅ 10 − 3 I L = U ⋅ B L = 119,2 ⋅ 19,9 ⋅ 10 −3 = 2,37 A B L − BC 19,9 − 6,28 tgϕ = = = 1,64 ⇒ ϕ = 58,6° G 8,3 Z=
7.3.9. Při paralelním spojení rezistoru s odporem 60Ω, ideálního kondenzátoru a ideální cívky je celkový proud 4A. Proud procházející rezistorem je 2,4A, proud procházející ideálním kondenzátorem je 1,6A. Stanovte proud, procházející ideální cívkou a indukčnost cívky. Frekvence je 50Hz, IL>IC. I 2 − I R 2 + I C = 4 2 − 2,4 2 + 1,6 = 4,8 A I 4,8 U = R ⋅ I R = 60 ⋅ 2,4 = 144V BL = L = = 33mS U 144 1 1 L= = = 96mH 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ B L 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 33 ⋅ 10 − 3 IL =
42
7.3.22. Ke zdroji střídavého napětí 6V s frekvencí 1kHz je paralelně připojen rezistor, ideální cívka s indukčností 238mH a ideální kondenzátor s kapacitou 0,3µF. Zdroj dává proud 10mA. Stanovte odpor rezistoru. Z=
U 6 = = 600Ω I 0,01
Y=
1 1 = = 1, 6mS Z 600
1 1 = = 0,668mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 10 3 ⋅ 0,238 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 10 3 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −6 = 1,88mS BL =
2
2
2
G = Y 2 − ( BC − B L ) = 1, 6 − (1,88 − 0,668) = 114 , mS R=
1 1 = = 877Ω G 114 , ⋅ 10 − 3
7.3.23. U paralelního spojení rezistoru,ideálního kondenzátoru a ideální cívky je napětí zdroje 160V, frekvence je 250Hz. Rezistorem prochází proud 2A, ideální cívkou 0,8A a celkový proud je 2,5A. Určete odpor rezistoru, kapacitu ideálního kondenzátoru a indukčnost ideální cívky ( IC>IL ). I 0,8 U 160 R= = = 80Ω BL = L = = 5mS U 160 I 2 1 1 L= = = 127mH 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ B L 2 ⋅ π ⋅ 250 ⋅ 5 ⋅ 10 − 3 I C = I 2 − I R 2 + I L = 2,52 − 2 2 + 0,8 = 2,3 A U 160 1 1 XC = = = 70Ω C= = = 9,1µF IC 2,3 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ X C 2 ⋅ π ⋅ 250 ⋅ 70 7.3.24. Paralelní spojení rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru je připojeno ke zdroji střídavého napětí 200V s frekvencí 500Hz. Celkový proud je 4A. Indukčnost ideální cívky je 100mH, kapacita ideálního kondenzátoru je 2µF. Stanovte odpor rezistoru. 1 1 I 4 Y= = = 20mS BL = = = 3,18mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 0,1 U 200 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = 6,28mS 1 1 2 2 G = Y 2 − ( BC − B L ) = 20 2 − ( 6,28 − 3,18) = 19,8mS R= = = 50,5Ω G 19,8 ⋅ 10 − 3 7.3.25. Admitance paralelního spojení rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru je 16mS. Je-li obvod připojen ke zdroji střídavého napětí 200V s frekvencí 50Hz, prochází jím proud 3,2A. Rezistor má odpor 100Ω, indukční susceptance je 8mS. Určete indukčnost ideální cívky a kapacitu ideálního kondenzátoru, je-li BC>BL. 1 1 G= = = 10mS BC = Y 2 − G 2 + B L = 16 2 − 10 2 + 8 = 20,5mS R 100 BC 20,5 ⋅ 10 −3 1 1 C= = = 65µF L= = = 0,4 H 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ B L 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 8 ⋅ 10 − 3
43
7.3.26. Jakou hodnotu má mít odpor rezistoru, který se má připojit paralelně k paralelnímu spojení ideální cívky s indukčností 120mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 2µF, aby úhel fázového posunu mezi napětím a proudem byl 70°, při frekvenci 100Hz. 1 1 BL = = = 13,3mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,12 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = 1,26mS ϕ = 70° ⇒ tgϕ = 2,75 2,75 tgϕ R= = = 229Ω B L − BC 13,3 − 1,26 7.3.27. Paralelní spojení rezistoru s odporem 40Ω, ideální cívky s indukčností 190mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 160µF je připojeno ke zdroji střídavého napětí 12V s frekvencí 50Hz. Stanovte celkový proud, admitanci a fázový posun mezi napětím a proudem. 1 1 1 1 G= = = 25mS BL = = = 16,75mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,19 R 40 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 160 ⋅ 10 −6 = 50,3mS 2
2
Y = G 2 + ( BC − B L ) = 252 + (50,3 − 16,75) = 41,8mS I = U ⋅ Y = 12 ⋅ 41,8 ⋅ 10 −3 = 0,5 A
I R = U ⋅ G = 12 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 = 0,3 A
I R 0,3 = = 0,6 ⇒ ϕ = 53,13° I 0,5 7.3.28. U paralelního spojení rezistoru s odporem 50Ω, ideálního kondenzátoru s kapacitou 16µF a ideální cívky s indukčností 64mH stanovte proudy ve všech prvcích, celkový proud, impedanci a admitanci obvodu a fázový posun mezi proudem a napětím. Napětí zdroje je 200V, frekvence je 100Hz. cos ϕ =
1 1 = = 20mS R 50 1 1 BL = = = 24,9mS 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,064 BC = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 16 ⋅ 10 −6 = 10,05mS G=
2
Y = G 2 + ( B L − BC ) = 20 2 + ( 24,9 − 10,05)
2
I = U ⋅ Y = 200 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 = 5 A
44
I R = U ⋅ G = 200 ⋅ 20 ⋅ 10 −3 = 4 A I L = U ⋅ B L = 200 ⋅ 24,9 ⋅ 10 −3 = 5 A I C = U ⋅ BC = 200 ⋅ 10,05 ⋅ 10 −3 = 2 A 1 1 = 25mS Z= = = 40Ω Y 25 ⋅ 10 − 3 I 4 cos ϕ = R = = 0,8 ⇒ ϕ = 36,9° I 5
7.3.10. Určete proud IL, celkový proud I, Napětí zdroje střídavého napětí U a impedanci obvodu, zapojeného podle obrázku, Skutečná cívka má odpor 15Ω, indukčnost je 0,05H. Ideální kondenzátor má kapacitu 60µF a prochází jím proud I1=1,8A, frekvence je 100Hz.
UR I
UL
R
U
y
I2
L
I1 I
C
U
I1=IC
UC
-y I2 XC =
ϕ1
1 1 = = 26,5Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 60 ⋅ 10 − 6
x
ϕ2
U = I 1 ⋅ X C = 1,8 ⋅ 26,5 = 47,7V
Z 2 = R 2 + X L 2 = 152 + 31,4 2 = 34,8Ω X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 0,05 = 31,4Ω U 47,7 X 31,4 tgϕ2 = L = = 2,09 ⇒ ϕ2 = 64,5° ϕ1 = 90° I2 = = = 1,37 A Z 2 34,8 R 15
I = I12 + I2 2 − 2 ⋅ I1 ⋅ I2 ⋅ cos(180°−ϕ1 − ϕ2 ) = 18 , 2 + 137 , 2 − 2 ⋅18 , ⋅137 , ⋅ cos(180°−90°−64,5°) = 081 , A Z=
U 47,7 = = 58,9Ω 0,81 I
7.3.29. Dvě skutečné, paralelně spojené cívky jsou připojeny ke zdroji střídavého napětí 220V, s frekvencí 50Hz, viz obrázek. R1=60Ω, R2=40Ω, L1=96mH a L2=192mH. Vypočítejte proudy ve skutečných cívkách I1 a I2, celkový proud a fázový posun mezi proudy ve skutečných cívkách. X L1 = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L1 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,096 = 30,2Ω I X L2 = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L2 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,192 = 60,3Ω
R2 I2 L2
R1 L1
I1
Z1 =
U
R1 2 + X L12 = 60 2 + 30,2 2 = 67,15Ω
R2 2 + X L 2 2 = 40 2 + 60,32 = 72,4Ω U 220 U 220 I1 = = = 3,28 A I2 = = = 3,04 A Z1 67,15 Z 2 72,4 R1 60 cos ϕ1 = = = 0,894 ⇒ ϕ1 = 26,7° Z1 67,15
Z2 =
45
cos ϕ2 =
R2 40 = = 0,553 ⇒ ϕ2 = 56,45° Z 2 72,4
ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 56,45 − 26,7 = 29,75°
I = I 1 2 + I 2 2 − 2 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos(180°−ϕ ) = 3,282 + 3,04 2 − 2 ⋅ 3,28 ⋅ 3,04 ⋅ cos(180°−29,75°) = 6,1A 7.3.30. Vypočítejte napětí mezi svorkami A a B v obvodu, zapojeném podle obrázku. Skutečná cívka má odpor R1=50Ω a indukčnost L=250mH. Odpor rezistoru R2=150Ω, kapacita ideálního kondenzátoru C=30µF. Napětí zdroje je U=100V, frekvence je 50Hz.
A
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,25 = 78,5Ω 1 1 XC = = = 106,1Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 30 ⋅ 10 − 6 R = R1 + R2 = 50 + 150 = 200Ω
R1 UAB L
U C
Z=
2
B
I=
R2
2
R 2 + ( X C − X L ) = 200 2 + (106,1 − 78,5) = 201,9Ω U 100 = = 0,495 A Z 201,9
Z AB = R12 + X L 2 = 50 2 + 78,52 = 93,1Ω U AB = I ⋅ Z AB = 0,495 ⋅ 93,1 = 46V
7.3.31. Vypočítejte napětí mezi svorkami A a B v obvodu, zapojeném podle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=60Ω, R2=40Ω, kapacita ideálního kondenzátoru C=30µF. Napětí zdroje je U=220V, frekvence je 50Hz. 1 1 XC = = = 106,1Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 30 ⋅ 10 − 6
R1
A
Z=
UAB
I=
U C R2
(R
1
U 220 = = 1,5 A Z 145,8
Z AB =
B
2
2 − R2 ) + X C 2 = ( 60 − 40) + 106,12 = 145,8Ω
R2 2 + X C 2 = 40 2 + 106,12 = 113,4Ω
U AB = I ⋅ Z AB = 1,5 ⋅ 113,4 = 170V 7.3.32. Vypočítejte proudy, procházející žárovkou a skutečnou cívkou a celkový proud v obvodu, zapojeném podle obrázku. Příkon žárovky je 25W, odpor cívky je 160Ω, indukčnost cívky je 0,8H, napětí zdroje je 120V a frekvence f=50Hz. P 25 I IZ = z = = 0,21 A U 120 X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,8 = 251Ω
R Ž
U L
R 2 + X L 2 = 160 2 + 2512 = 298Ω U 120 I1 = = = 0,4 A XL Z RL 298 X 251 tgϕ = L = = 1,57 ⇒ ϕ = 57,5° R 160 Z RL =
I1
IŽ
46
ZRL ϕ R
I = I 12 + I Z 2 − 2 ⋅ I 1 ⋅ I Z ⋅ cos(180°−ϕ ) = 0,4 2 + 0,212 − 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,21 ⋅ cos(180°−57,5°) = 0,544 A 7.3.33. Vypočítejte proudy a napětí na všech prvcích obvodu, zapojeného podle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=50Ω, R2=60Ω, kapacita ideálního kondenzátoru C=40µF. Napětí zdroje je U=200V, frekvence je 50Hz. 200 U I = = 3, 3A I2 = 60 R2 1 1 XC = = = 79,6Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 40 ⋅ 10 − 6 R1
U
R2 C
I1
R1 2 + X C 2 = 50 2 + 79,6 2 = 94Ω U 200 I1 = = = 2,12 A Z1 94 I2 U R1 = I 1 ⋅ R1 = 2,12 ⋅ 50 = 106V U C = I 1 ⋅ X C = 2,12 ⋅ 79,6 = 169V R1 50 cos ϕ 1 = = = 0,532 ⇒ ϕ1 = 57,9° Z1 94 Z1 =
2 I = I 12 + I 2 2 − 2 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos(180°−ϕ ) = 2,12 2 + 3, 3 − 2 ⋅ 2,12 ⋅ 3, 3 ⋅ cos(180°−57,9°) = 4,8 A 7.3.34. Vypočtěte proudy a napětí na všech prvcích a úhel fázového posunu v obvodu, zapojeném podle obrázku. Odpor rezistoru je 50Ω, kapacita ideálního kondenzátoru je 3,2µF a indukčnost ideální cívky je 60mH. Napětí zdroje je 220V, frekvence 500Hz. I I1 x UR I2 I I2 R UR ϕ U I1 C U L U≈ C
UC
-y
1 1 = = 99,5Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 3,2 ⋅ 10 − 6 220 U = = 1,97 A Z R ,C = R 2 + X C 2 = 502 + 99,52 = 111,4Ω I1 = Z R ,C 111,4 U R = R ⋅ I 1 = 50 ⋅ 1,97 = 98,5V U C = X C ⋅ I 1 = 99,5 ⋅ 1,97 = 196V U 220 X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 60 ⋅ 10 −3 = 188,5Ω I2 = = = 117 , A X L 188,5 50 R = = 0,449 ⇒ ϕ R ,C = 63,3° cosϕ 1 = ϕ L = 90° Z R ,C 111,4 XC =
47
ϕ celk = ϕ doplňkový
R ,C
+ϕ
L
= 63,3 + 90 = 153,3°
ϕ d = 180 − ϕ celk = 180 − 153,3 = 26,7°
I = I 12 + I 2 2 − 2 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ cosϕd = 1,97 2 + 117 , 2 − 2 ⋅ 1,97 ⋅ 1,17 ⋅ cos 26,7° = 1,06 A I č = I 1 ⋅ cos ϕ 1 = 1,97 ⋅ 0,449 = 0,885A
I j = I 2 ⋅ sin ϕ 2 + I1 ⋅ sin ϕ 1 = 1,17 ⋅ 1 − 1,97 ⋅ 0,885 = −0,589A I j −0,589 tgϕ = = = −0,666 ⇒ ϕ = 33,6° Ič 0,885 7.3.35. Vypočítejte admitanci a proud v obvodu podle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=50Ω, R2=60Ω, kapacita ideálního kondenzátoru je C=127µF a indukčnost ideální cívky je 254mH. Napětí zdroje je U=100V, frekvence je 50Hz. 1 1 I IL XC = = = 25Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 127 ⋅ 10 − 6 X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 254 ⋅ 10 −3 = 79,8Ω IR1 IC
R2
U
R2 2 + X L 2 = 60 2 + 79,8 2 = 100Ω R1 C X L 79,8 tgϕ R 2 L = = = 1,33 ⇒ ϕ R 2 L = 53° R2 60 L U 100 IL = = = 1A Z R 2 L 100 U 100 U 100 I R1 = = = 2A IC = = = 4A R1 50 XC 25 I č = I R1 + I L ⋅ cosϕ R 2 L = 2 + 1 ⋅ cos 53° = 2,6 A I=
Ič 2 + I J
Z R2 L =
I J = I C − I L ⋅ sin ϕ R 2 L = 4 − 1 ⋅ sin 53° = 3,2 A I 4,12 = 2,6 2 + 3,2 2 = 4,12 A Y= = = 41,2mS U 100
7.4.1. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru sériového rezonančního obvodu tak, aby došlo k rezonanci při frekvenci 200kHz. Indukčnost ideální cívky je 150µH. C0 =
1 2
ω0 ⋅ L
=
1 1 = = 4,22nF 2 2 4 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ (2 ⋅ 10 5 ) 2 ⋅ 1,5 ⋅ 10 − 4 2
7.4.11. Vypočítejte indukčnost ideální cívky, spojené do série s ideálním kondenzátorem s kapacitou 0,25µF tak, aby došlo při frekvenci 40kHz k rezonanci. 1 1 1 L0 = 2 = = = 63,3µH 2 2 4 2 2 ω 0 ⋅ C 4 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ C 4 ⋅ π ⋅ (4 ⋅ 10 ) ⋅ 0,25 ⋅ 10 −6 7.4.12. Určete rezonanční frekvenci obvodu, ve kterém je do série spojena ideální cívka s indukčností 200µH s ideálním kondenzátorem s kapacitou 350pF. 48
1 = 4 ⋅π ⋅ L ⋅ C
f0 =
2
1 = 601,5kHz 4 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 10 − 6 ⋅ 350 ⋅ 10 −12 2
7.4.2. U sériového rezonančního obvodu, složeného ze skutečné cívky s odporem 10Ω a indukčnosti 0,3mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 300pF, připojeného na zdroj střídavého napětí 10V , stanovte rezonanční frekvenci, proud při rezonanci, napětí na skutečné cívce a na ideálním kondenzátoru. 1 1 = = 530kHz f0 = 2 2 4 ⋅π ⋅ L ⋅C 4 ⋅ π ⋅ 0,3 ⋅ 10 − 3 ⋅ 300 ⋅ 10 −12 U 10 Z 0 = R = 10Ω I0 = = = 2,5 A R 4 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 350 ⋅ 10 3 ⋅ 0,3 ⋅ 10 −3 Q= = = 100 R 10 U C 0 = Q ⋅ U = 100 ⋅ 10 = 1kV
U RL = U C0 2 + U 2 = 1000 2 + 10 2 = 1000V 7.4.13. Sériový rezonanční obvod je tvořen skutečnou cívkou s odporem 4Ω a indukčností 2mH a ideálním kondenzátorem neznámé kapacity. Rezonanční frekvence je 500Hz. Rezonanční obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 10V. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru, proud a napětí na skutečné cívce a na ideálním kondenzátoru při rezonanci.
I
R UR
C0 =
1 2
ω0 ⋅ L
=
U
L
C
UL
UC
1 1 = = 50,6µF 2 2 4 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ 500 2 ⋅ 2 ⋅ 10 − 3 2
I0 =
U 10 = = 2,5 A R 4
2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = = 1,57 R 4 2,5 I = = = 15,7 V 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 0 2 ⋅ π ⋅ 500 ⋅ 50,6 ⋅ 10 −6
Q= U C0
U RL = U C0 2 + U 2 = 15,7 2 + 10 2 = 18,6V
kniha chybně 15,7V
7.4.14. Sériovým rezonančním obvodem prochází při rezonanci proud 2,5A. Obvod je tvořen ideálním kondenzátorem s kapacitou 2µF a skutečnou cívkou, obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 15V, činitel jakosti obvodu je 15. Stanovte odpor a indukčnost skutečné cívky. R=
U 15 = = 6Ω I 2,5
XL =
U L 0 = Q ⋅ U = 15 ⋅ 15 = 225V
U L 0 225 = = 90Ω 2,5 I
L=
49
XL 1 = ⇒ 2 2 ⋅ π ⋅ f 0 4 ⋅ π ⋅ f 02 ⋅ C
f0 =
1 1 = = 885Hz 2 ⋅ π ⋅ C ⋅ X L 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 ⋅ 90
L=
XL 90 = = 16,2mH 2 ⋅ π ⋅ f 0 2 ⋅ π ⋅ 885
7.4.15. Sériový rezonanční obvod má činitel jakosti 80. Ideální kondenzátor má kapacitu 450pF. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 6V a při rezonanci jím prochází proud 1A. Vypočítejte odpor a indukčnost skutečné cívky a rezonanční frekvenci. R=
U 6 = = 6Ω I 1
XL =
U L 0 = Q ⋅ U = 80 ⋅ 6 = 480V
U L 0 480 = = 480Ω I 1 f0 =
L=
XL 1 = ⇒ 2 2 ⋅ π ⋅ f 0 4 ⋅ π ⋅ f 02 ⋅ C
1 1 = = 737 kHz 2 ⋅ π ⋅ C ⋅ X L 2 ⋅ π ⋅ 450 ⋅ 10 −12 ⋅ 480 L=
XL 480 = = 104 µH 2 ⋅ π ⋅ f 0 2 ⋅ π ⋅ 737 ⋅ 10 3
7.4.3. Sériový rezonanční obvod je tvořen ideálním kondenzátorem s kapacitou 1200pF a skutečnou cívkou s odporem 15Ω a indukčností 400µH. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 12V. Určete rezonanční frekvenci, činitel jakosti obvodu, napětí na ideálním kondenzátoru a na skutečné cívce a proud, procházející obvodem při rezonanci. f0 = Q=
1 2 ⋅π ⋅ L ⋅C
=
1 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 10 − 4 ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 9
= 230kHz
1 1 = = 38,5 3 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ R ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 230 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 9
U C 0 = Q ⋅ U = 38,5 ⋅ 12 = 462V
I0 =
U 12 = = 0,8 A R 15
U RL = U C 0 2 + U 2 = 462 2 + 12 2 = 462V 7.4.4. Ideální kondenzátor s kapacitou 500pF je zapojen paralelně ke skutečné cívce s odporem 10Ω a s indukčností 200µH. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 120V. Vypočítejte rezonanční frekvenci obvodu, impedanci při rezonanci, činitel jakosti obvodu a proud, procházející obvodem při rezonanci. f0 = Q=
1 2 ⋅π ⋅ L ⋅C
=
1 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 10 − 4 ⋅ 5 ⋅ 10 −10
= 503kHz
2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 503 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −4 = = 163,2 R 10
L 2 ⋅ 10 −4 Z0 = = = 40kΩ R ⋅ C 10 ⋅ 5 ⋅ 10 −10 I0 =
U 120 = = 3mA Z 0 40 ⋅ 10 3
7.4.16. Paralelní rezonanční obvod je sestaven ze skutečné cívky s odporem 4Ω a s indukčností 120µH a z proměnného ( ladícího ) ideálního kondenzátoru, který má Cmin=30pF a Cmax=400pF. Stanovte minimální a maximální frekvenci.
50
f min = f max =
1 2 ⋅ π ⋅ L ⋅ Cmax 1 2 ⋅ π ⋅ L ⋅ Cmin
=
=
1 2 ⋅ π ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 4 ⋅ 4 ⋅ 10 −10 1 2 ⋅ π ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 4 ⋅ 3 ⋅ 10 −11
= 726kHz = 2,65 MHz
7.4.17. Stanovte Cmin a Cmax ladícího kondenzátoru paralelního rezonančního obvodu, který tvoří vstupní obvod přijímače tak, aby byl laditelný ve frekvenčním rozsahu 0,503 až 1,677MHz. Indukčnost skutečné cívky je, při zanedbaném odporu, 200µH. Cmin = Cmax =
1 2
ω0 ⋅ L 1 2
ω0 ⋅ L
=
1 1 = = 45 pF 2 2 4 ⋅ π ⋅ f 0 max ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ (1,677 ⋅ 10 6 ) 2 ⋅ 2 ⋅ 10 − 4
=
1 1 = = 500 pF 2 2 4 ⋅ π ⋅ f 0 min ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ (503 ⋅ 10 3 ) 2 ⋅ 2 ⋅ 10 − 4
2
2
7.4.18. Vypočítejte kapacitu ideálního kondenzátoru a indukčnost skutečné cívky paralelního rezonančního obvodu. Odpor cívky je 6Ω. Při rezonanční frekvenci 470kHz je činitel jakosti obvodu Q=90. UR U L
I
R
U
I1
L
C I2=IC
UC
2 ⋅ π ⋅ f0 ⋅ L0 Q⋅R 90 ⋅ 6 ⇒ L0 = = = 183µH R 2 ⋅ π ⋅ f 0 2 ⋅ π ⋅ 470 ⋅ 10 3 1 1 C0 = 2 = = 627 pF 2 ω ⋅ L 0 4 ⋅ π ⋅ (470 ⋅ 10 3 ) 2 ⋅ 183 ⋅ 10 −6
Q=
7.4.19. U paralelního rezonančního obvodu je indukčnost skutečné cívky 300µH. Při rezonanční frekvenci 530kHz je činitel jakosti obvodu 100. Vypočítejte odpor skutečné cívky a kapacitu ideálního kondenzátoru.
2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 530 ⋅ 10 3 ⋅ 3 ⋅ 10 −4 R= = = 10Ω Q 100 1 1 C= = = 300 pF 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ Q ⋅ R 2 ⋅ π ⋅ 530 ⋅ 10 3 ⋅ 100 ⋅ 1,0 7.4.20. U paralelního rezonančního obvodu stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru tak, aby nastala rezonance při frekvenci 150kHz. Skutečná cívka má odpor 6Ω a indukčnost 0,25mH. 1 1 1 C0 = 2 = = = 4,5nF 2 2 2 ω 0 ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ L 4 ⋅ π ⋅ (1,5 ⋅ 105 ) 2 ⋅ 0,25 ⋅ 10 −3 7.5.1. Obvodem, připojeným ke zdroji střídavého napětí 20V, prochází proud 5A. Účiník cosϕ=0,5. Určete zdánlivý, činný a jalový výkon. 51
cos ϕ = 0,5 ⇒ ϕ = 60° ⇒ sin ϕ = 0,866
S = U ⋅ I = 20 ⋅ 5 = 100VA
P = S ⋅ cos ϕ = 100 ⋅ 0,5 = 50W
Q = S ⋅ sin ϕ = 100 ⋅ 0,866 = 86,6VAr
7.5.11. Spotřebič má při svorkovém napětí 220V příkon 400W a prochází jím proud 3,5A. Určete účiník, jalový a zdánlivý výkon. cos ϕ =
P 400 = = 0,519 ⇒ ϕ = 58,7° U ⋅ I 220 ⋅ 3,5
S = U ⋅ I = 220 ⋅ 3,5 = 770VA
Q = S 2 − P 2 = 770 2 − 400 2 = 658VAr 7.5.12. Impedance zátěže zdroje střídavého napětí 60V je 24Ω. Proud, procházející obvodem, předbíhá napětí o 70°. Určete zdánlivý, činný a jalový výkon a účiník. U 2 60 2 S =U ⋅I = = = 150VA P = S ⋅ cos ϕ = 150 ⋅ cos 70° = 51,3W R 24 Q = S ⋅ sin ϕ = 150 ⋅ sin 70° = 140,9VAr cos 70° = 0,34 7.5.13. Spotřebičem procházel, po připojení ke zdroji střídavého napětí 220V, proud 40A. Měřený příkon byl 6kW. Určete účiník a stanovte velikost proudu při stejném příkonu, ale při cosϕ=1. P 6 S = U ⋅ I = 220 ⋅ 40 = 8,8kVA cos ϕ = = = 0,682 S 8,8 P 6000 I (cos ϕ =1) = = = 27,3 A U 220 7.5.2. Jednofázový motor na napětí 220V, odebírá ze sítě činný výkon 1,5kW a proud 8A. Vypočítejte zdánlivý a jalový výkon, účiník a činnou a jalovou složku proudu. S = U ⋅ I = 220 ⋅ 8 = 1,76kVA Q = S 2 − P 2 = 1760 2 − 1500 2 = 920VAr P 1,5 cos ϕ = = = 0,852 ⇒ ϕ = 31,6° ⇒ sin ϕ = 0,523 S 1,76 I J = I ⋅ sin ϕ = 8 ⋅ 0,523 = 4,18 A I č = I ⋅ cos ϕ = 8 ⋅ 0,852 = 56,82 A 7.5.14. Jednofázový motor s účiníkem 0,7 odebírá po připojení na zdroj střídavého napětí 220V ze sítě proud 2,6A. Stanovte příkon motoru. P = U ⋅ I ⋅ cosϕ = 220 ⋅ 2,6 ⋅ 0,7 = 400W 7.5.15. Spotřebič odebírá, po připojení na zdroj střídavého napětí 220V a při účiníku cosϕ=0,8, proud 5A. Stanovte zdánlivý, činný a jalový příkon spotřebiče. S = U ⋅ I = 220 ⋅ 5 = 1,1kVA
P = S ⋅ cos ϕ = 1100 ⋅ 0,8 = 0,88kW
Q = S 2 − P 2 = 1100 2 − 880 2 = 660VAr 7.5.3. Stanovte u sériového spojení skutečné cívky a ideálního kondenzátoru výkon činný, jalový a zdánlivý. Odpor skutečné cívky je 20Ω, její indukčnost je 95,5mH. Kapacita ideálního kondenzátoru je 53µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí 220Vs frekvencí 100Hz. 52
1 1 = = 30Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 53 ⋅ 10 − 6 X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 95,5 ⋅ 10 −3 = 60Ω
XC =
Z=
2
2
R 2 + ( X L − X C ) = 20 2 + ( 60 − 30) = 36Ω
X L − X C 60 − 30 = = 1,5 ⇒ ϕ = 56,3° R 20 P = U ⋅ I ⋅ cosϕ = 220 ⋅ 6,11 ⋅ 0,554 = 745W
I=
U 220 = = 6,11 A Z 36
S = U ⋅ I = 220 ⋅ 6,11 = 1,34 kVA
tgϕ =
Q = S ⋅ sin ϕ = ⋅340 sin 56,3° = 1120VAr
7.5.16. Skutečná cívka s odporem 8Ω a indukčností 25mH je připojena na zdroj střídavého napětí 220V s frekvencí 50Hz. Stanovte činný a jalový výkon.
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 = 7,85Ω
tgϕ =
Z = R 2 + X L 2 = 8 2 + 7,852 = 11,2Ω
X L 7,85 = = 0,98 ⇒ ϕ = 44,46° R 8 U 220 I= = = 19 ,6A Z 11,2
P = S ⋅ cos ϕ = 4,31 ⋅ 10 3 ⋅ cos 44,46° = 3,07 kW
S = U ⋅ I = 220 ⋅ 19 ,6 = 4 ,31kVA
Q = S ⋅ sin ϕ = 4,31 ⋅ 10 3 ⋅ sin 44,46° = 3,02 kW 7.5.17. Tlumivka se vzduchovou mezerou odebírá, po připojení na zadaný zdroj střídavého napětí 220V s frekvencí 50Hz, proud 1,6A. Odpor vinutí cívky je 34Ω. Stanovte indukčnost tlumivky. U 220 Z= = = 137,5Ω X L = Z 2 − R 2 = 137,52 + 34 2 = 133,2Ω 1,6 I XL 133,2 L= = = 424mH 2 ⋅π ⋅ f 2 ⋅ π ⋅ 50 7.5.18. Jednofázový motor ledničky, připojený na zdroj střídavého napětí 220V, odebíral proud 4,2A po dobu 15 minut a spotřeboval elektrickou energii 0,16kWh. Stanovte účiník motoru. P=
A 160 = = 640W t 0,25
S = U ⋅ I = 220 ⋅ 4,2 = 924VA cos ϕ =
P 640 = = 0,69 S 924
7.5.19. Elektrický obvod s účiníkem cosϕ=0,6 byl připojen ke zdroji střídavého napětí 220V. Činná složka proudu, procházejícího obvodem byla 12A. Vypočítejte činný, jalový a zdánlivý výkon. P 2640 S= = = 4,4 kVA P = U ⋅ I č = 220 ⋅ 12 = 2,64 kW cos ϕ 0,6 Q = S 2 − P 2 = 4400 2 − 2640 2 = 3520VAr
53
8.2.1. V sériové R L C obvodu je rezistor s odporem 120Ω, cívka s indukčností 96mH a kondenzátor s kapacitou 40µF. Střídavý proud, procházející obvodem je 3A, při frekvenci 50Hz. Určete impedanci obvodu, napětí na svorkách zdroje, fázový posun a napětí na jednotlivých prvcích obvodu. X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,096 = 30Ω XC =
1 1 = = 80Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 40 ⋅ 10 − 6
r Z = R + j ⋅ ( X L − X C ) = 120 + j ⋅ ( 30 − 80) = (120 − j ⋅ 50)Ω
Z=
2
2
R 2 + ( X L − X C ) = 120 2 + ( 30 − 80) = 130Ω
r r r U = Z ⋅ I = (120 − j ⋅ 50) ⋅ 3 = ( 360 − j ⋅ 150)V tgϕ =
X C − X L 80 − 30 = = 0,417 ⇒ ϕ = 22,4° R 120
r U C = − j ⋅ X C ⋅ I = − j ⋅ 80 ⋅ 3 = − j ⋅ 240V r U L = j ⋅ X L ⋅ I = j ⋅ 30 ⋅ 3 = j ⋅ 90V
U = 360 2 + 150 2 = 390V
r U R = U R = R ⋅ I = 120 ⋅ 3 = 360V U C = 240V
U L = 90V r 8.2.2. Určete proudy I1, I2 a I3 v obvodu na obrázku, jsou-li impedance Z1 = (10 − j ⋅ 15) Ω , r r Z 2 = ( 2 + j ⋅ 6) Ω a Z 3 = ( 3,33 + j ⋅ 2) Ω . Napětí zdroje je 120V.
r r r (10 − j ⋅ 15) ⋅ ( 2 + j ⋅ 6) 110 + j ⋅ 30 (110 + j ⋅ 30) ⋅ (12 + j ⋅ 9) Z1 ⋅ Z2 Z1,2 = r r = = = = ( 4,67 + j ⋅ 6) Ω 10 − j ⋅ 15 + 2 + j ⋅ 6 12 − j ⋅ 9 Z1 + Z2 (12 − j ⋅ 9) ⋅ (12 + j ⋅ 9)
r r r Z = Z1,2 ⋅ Z 3 = 4,67 + j ⋅ 6 + 3,33 + j ⋅ 2 = (8 + j ⋅ 8)Ω
Z = 8 2 + 8 2 = 11,3Ω
r r U 120 ⋅ ( 8 − j ⋅ 8) 120 I = r = = = ( 7,5 − j ⋅ 7,5) A I = 7,52 + 7,52 = 10,6 A Z 8 + j ⋅ 8 (8 + j ⋅ 8) ⋅ ( 8 − j ⋅ 8) r r r U 3 = Z 3 ⋅ I = ( 3,33 + j ⋅ 2) ⋅ ( 7,5 − j ⋅ 7,5) = ( 40 − j ⋅ 10)V r r r U 1,2 = U − U 3 = 120 − ( 40 − j ⋅ 10) = (80 + j ⋅ 10)V r r U 1,2 80 + j ⋅ 10 (80 + j ⋅ 10) ⋅ (10 + j ⋅ 15) I1 = r = = = ( 2 + j ⋅ 4) A I 1 = 2 2 + 4 2 = 4,47 A 2 2 10 − j ⋅ 15 10 + 15 Z1 r r r I 2 = I − I 1 = 7,5 − j ⋅ 7,5 − 2 − j ⋅ 4 = (5,5 − j ⋅ 11,5) A I 2 = 5,52 + 11,52 = 12,75 A 8.2.3. V obvodu na obrázku určete proudy a napětí na všech prvcích, fázový posun mezi napětím zdroje a celkovým proudem a výkon činný, jalový a zdánlivý. Prvky obvodu jsou R1=1,5Ω, R2=3Ω, R3=2Ω, R4=3Ω, XC1=2Ω, XC2=6Ω, XC4=4Ω, XL2=4Ω, XL3=3Ω r a I 2 = 2 ⋅ e j⋅90° A. 54
A
R1 C1
r Z1 = R1 − j ⋅ X C1 = (1,5 − j ⋅ 2) Ω = 2,5 ⋅ e − j⋅53,1°
C
L2
R4
r Z 2 = R2 − j ⋅ X C 2 + j ⋅ X L 2 = (3 − j ⋅ 2)Ω = 3,6 ⋅ e − j 33,6° r Z 3 = R3 + j ⋅ X L 3 = (2 + j ⋅ 3)Ω = 3,6 ⋅ e j 56,3° r Z 4 = R4 − j ⋅ X C 4 = (3 − j ⋅ 4)Ω = 5 ⋅ e − j 53,2° r r r U C , D = Z 2 ⋅ I 2 = 3,6 ⋅ e − j⋅33,6 ⋅ 2 ⋅ e j⋅90 = 7,2 ⋅ e j⋅56,4°V r U C , D = ( 4 + j ⋅ 6)V U C , D = 7,2V
L3
C2
U
R3
C4 R2 B
D
r r U C , D 7,2 ⋅ e j⋅56,4° r r r I3 = r = I 1 = I 2 + I 3 = ( 2 + j ⋅ 2) A = 2,82 ⋅ e j⋅45° A j ⋅56 , 3° = 2 A 3,6 ⋅ e Z3 r r r U A ,.C = Z1 ⋅ I 1 = 2,5 ⋅ e − j⋅53,1 ⋅ 2,82 ⋅ e j⋅45 = 7,05 ⋅ e − j⋅8,1°V = (7 − j )V r r r U A , B = U C , D + U A,C = 4 + j ⋅ 6 + 7 − j = (11 + j ⋅ 5)V = 12,1 ⋅ e j⋅24 ,5°V r r U A, B 12,1 ⋅ e j⋅24 ,5° I4 = r = = 2,42 ⋅ e j⋅77 ,6° A = (0,52 + j ⋅ 2,36) A 5 ⋅ e − j⋅53,2° Z4 r r r I = I 1 + I 4 = 2 + j ⋅ 2 + 0,52 + j ⋅ 2,36 = (2,52 + j ⋅ 4,36) A = 5 ⋅ e j⋅60° A r r r S = U A , B ⋅ I * = 12,1 ⋅ e j⋅24 ,5° ⋅ 5 ⋅ e − j⋅60° = 60,5 ⋅ e − j⋅35,5°VA = ( 49,2 − j ⋅ 35,2)VA P = 49,2W
Q = 35,2VAr S = 60,5VA r r U A , B 12,1 ⋅ e j⋅24 ,5° Z= r = = 2,42 ⋅ e − j⋅35,5° Ω j ⋅60° 5⋅ e I
ϕ = 35,5°
8.2.4. Řešte příklad 7.3.5. symbolickou metodou a porovnejte způsob výpočtu. *****Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích, celkový proud a impedanci v obvodu, zapojeném podle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=40Ω, R2=250Ω, indukčnost ideální cívky je L=5mH a kapacita ideálního kondenzátoru je C=2µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí U=250V, frekvence je f=600Hz.
I
U
y
R1
R2
L
C
I1
I2
I2 ϕ2
U I
ϕ1 -y
γ I1
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 600 ⋅ 0,005 = 18,8Ω 55
x
XC =
r I1 =
1 1 = = 132,6Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 ⋅ π ⋅ 600 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6
r 250( 40 − j ⋅ 18,8) 250 U = = = (5,12 − j ⋅ 2,4) A R1 + j ⋅ X L 40 + j ⋅ 18,8 40 2 + 18,8 2 I 1 = 5,12 2 + 2,4 2 = 5,65 A
r I2 =
r 250( 250 + j ⋅ 132,6) U 250 = = = ( 0,78 + j ⋅ 0,414) A R2 − j ⋅ X C 250 − j ⋅ 132,6 250 2 + 132,6 2 I 2 = 0,78 2 + 0,414 2 = 0,883 A r r r I = I 1 + I 2 = 5,12 − j ⋅ 2,4 + 0,78 + j ⋅ 0,414 = (5,9 − j ⋅ 1,986) A
Z1 = 40 2 + 18,8 2 = 44,2Ω
Z 2 = 250 2 + 132,7 2 = 283Ω
r r r Z1 ⋅ Z2 ( 40 + j ⋅ 18,8) ⋅ ( 250 − j ⋅ 132,7) 12500 − j ⋅ 598 290 + j ⋅ 113,9 Z= r r = = = ( 38 + j ⋅ 12,9) A ⋅ 40 + j ⋅ 18,8 + 250 − j ⋅ 132,7 290 − j ⋅ 113,9 290 + j ⋅ 113,9 Z1 + Z2 Z = 38 2 + 12,9 2 = 40,2Ω 8.2.11. V obvodu střídavého proudu je zapojen rezistor s odporem 30Ω a kondenzátor v s kapacitou 80µF v sérii k napětí U = (120 + j ⋅ 50)V . Frekvence je f=50Hz. Stanovte proud, procházející obvodem a také napětí na rezistoru a na kondenzátoru. Nakreslete fázorový diagram napětí v příslušném měřítku a ověřte správnost řešení odečtením napětí z fázorového diagramu. r XC = − j ⋅
1 1 = −j⋅ = − j ⋅ 40Ω 2 ⋅π ⋅ f ⋅C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 80 ⋅ 10 − 6
r r r U U 120 + j ⋅ 50 (120 + j ⋅ 50) ⋅ ( 30 + j ⋅ 40) I2 = r = = = = ( 0,64 + j ⋅ 2,52) A 30 − j ⋅ 40 30 2 + 40 2 Z R − j ⋅ XC I = 0,64 2 + 2,52 2 = 2,6 A
r r r U R = R ⋅ I = 30 ⋅ ( 0,64 + j ⋅ 2,52) = (19,2 + j ⋅ 75,6)V r r r U C = X C ⋅ I = − j ⋅ 40 ⋅ ( 0,64 + j ⋅ 2,52) = (101 − j ⋅ 25,6)V +j⋅U 75,6
r UR
50 r U +U
101 19,2 25,6
r UC
120 56
-j⋅U
U R = 19,2 2 + 75,6 2 = 78V U R = 1012 + 25,6 2 = 104V
8.2.12. Určete celkový ze zdroje odebíraný proud a fázový posun. Obvod je tvořen paralelní kombinací rezistoru s odporem 120Ω, cívky s indukčností 160mH a kondenzátoru s kapacitou 40µF. Napětí zdroje v komplexním vyjádření je 220⋅ej⋅30°V, při frekvenci 50Hz. r U Z = 220 ⋅ cos 30°+ j ⋅ 220 ⋅ sin 30° = (190 + j ⋅ 110)V r r U Z 190 + j ⋅ 110 = (1,6 + j ⋅ 0,92) A IR = r = 120 R r XC = − j ⋅
1 1 = −j⋅ = − j ⋅ 80Ω 2 ⋅π ⋅ f ⋅C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 40 ⋅ 10 − 6
X L = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,16 = 50,3Ω r r U Z 190 + j ⋅ 110 IC = r = = ( − 1,375 + j ⋅ 2,375) A − j ⋅ 80 XC r r U Z 190 + j ⋅ 110 IL = r = = ( 2,19 − j ⋅ 3,78) A j ⋅ 50,3 XL
r r r r I = I R + I C + I L = 1,6 + j ⋅ 0,92 − 1,375 + j ⋅ 2,375 + 2,19 − j ⋅ 3,78 = ( 2,4 − j ⋅ 0,5) A I = 2,4 2 + 0,52 = 2,45 A
ϕU = 30°
tgϕ I =
IJ − 0,5 = = −0,21 ⇒ ϕ = −11,8° Ič 2,4
ϕ = ϕU − ϕ I = 30 − ( − 11,8) = 41,8°
8.2.13. Určete napětí zdroje a fázový posun v obvodu na obrázku. R1=100Ω, R2=100Ω, L=0,2H a C=20µF. Celkový proud v komplexním tvaru I=0,8⋅(cos20°+j⋅sin20°)A při frekvenci50Hz. r r 1 1 ZC XC = − j ⋅ = −j⋅ = − j ⋅ 159Ω 2 ⋅π ⋅ f ⋅C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 20 ⋅ 10 − 6 r R1 X L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,2 = j ⋅ 63Ω r 1 1 I L R2 YC = r = = j ⋅ 6,3mS X C − j ⋅ 159 C r 1 1 YL = r = = − j ⋅ 15,9mS j ⋅ 63 XL r r 1 1 Z r G= = = 10mS R1 100 r I = ( 0,75 + j ⋅ 27) A r r r r B = G + YC + YL = 10 + j ⋅ 6,3 − j ⋅ 15,9 = (10 − j ⋅ 9,6) mS r 1 10 + j ⋅ 9,6 10 −3 Z= r= 2 ⋅ = (52 + j ⋅ 50)Ω B 10 + 9,6 2 10 − 6 r r r Z C = Z + R2 = 52 + j ⋅ 50 + 100 = (152 + j ⋅ 50) Ω 57
r r r U = Z C ⋅ I = (152 + j ⋅ 50) ⋅ ( 0,75 + j ⋅ 0,27) = (100,5 + j ⋅ 78,5)V 78,5 = 0,78 ⇒ ϕ U = 38° 100,5 ϕ = ϕ U − ϕ I = 38 − 20 = 18° 8.2.14. V obvodu podle obrázku určete napětí zdroje, proudy a napětí na všech prvcích obvodu, fázový posun a činný, jalový a zdánlivý výkon. Celkový proud je 1,4A při frekvenci 50Hz. R=10Ω, C=150µF a L=100mH. r YC = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 1,5 ⋅ 10 −4 = j ⋅ 47mS r X L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,1 = j ⋅ 31,4Ω r r r r 1 1 = 0,1S YR ,C = G + YC = (100 + j ⋅ 47) mS G= = R 10 R C r 10 3 ⋅ (100 − j ⋅ 47) 1 10 3 = = ( 8,2 − j ⋅ 3,85) Ω Z R ,C = r = 100 2 + 47 2 YR ,C 100 + j ⋅ 47 r r r Z = Z R ,C + X L = 8,2 − j ⋅ 3,85 + j ⋅ 31,4 = (8,2 + j ⋅ 27,6)Ω I L r r r U = I ⋅ Z = 1,4 ⋅ (8,2 + j ⋅ 27,6) = (11,5 + j ⋅ 38,6)V r r r U = 11,52 + 38,6 2 = 40,3V U L = I ⋅ X L = 1,4 ⋅ j ⋅ 31,4 = j ⋅ 44V r r r r U L = 44V U C = U R = I ⋅ Z R ,C = 1,4 ⋅ (8,2 − j ⋅ 3,85) = (11,5 − j ⋅ 5,4)V U = 100,52 + 78,52 = 127,5V
tgϕ U =
U C = U R = 11,52 + 5,4 2 = 12,7V
r r r I C = U C ⋅ YC = (11,5 − j ⋅ 5,4) ⋅ j ⋅ 0,047 = ( 0,25 + j ⋅ 0,54) A r r r I R = U C ⋅ G = (11,5 − j ⋅ 5,4) ⋅ 0,1 = (115 , − j ⋅ 0,54) A UJ 38,6 tgϕ = = = 3,37 ⇒ ϕ = 73,7° U č 11,5 P = S ⋅ cos ϕ = 56,4 ⋅ cos 73,7° = 16W
I C = 0,252 + 0,54 2 = 0,6 A I R = 115 , 2 + 0,54 2 = 1,27 A S = U ⋅ I = 40,3 ⋅ 1,4 = 56,4VA
Q = S ⋅ sin ϕ = 56,4 ⋅ sin 73,7° = 54VAr
8.2.15. Určete napětí zdroje a fázový posun v obvodu na obrázku. R1=20Ω, R2=30Ω, L=20mH a C=80µF. Proud I1=1,5⋅ej⋅20°A při frekvenci 50Hz.
I1
R2
R1
L
I
C
r X L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,02 = j ⋅ 6,28Ω I2 r 1 1 XC = − j ⋅ = −j⋅ = − j ⋅ 39,7Ω 2 ⋅π ⋅ f ⋅C 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 80 ⋅ 10 − 6 r r r r Z R , L = R2 + X L = ( 30 + j ⋅ 6,28) Ω I 2 = (1,4 + j ⋅ 0,51) A r r r U R , L = Z R , L ⋅ I 2 = ( 30 + j ⋅ 6,28) ⋅ (1,4 + j ⋅ 0,51) = ( 38,8 + j ⋅ 24,1)V r r U R , L 38,8 + j ⋅ 24,1 = (1,94 + j ⋅ 1,205) A I1 = r = 20 R1 r r r I = I 1 + I 2 = 1,94 + j ⋅ 1,205 + 1,4 + j ⋅ 0,51 = ( 3,34 + j ⋅ 1,72) A 1,72 tgϕ I = = 0,52 ⇒ ϕ I = 27,25° 3,34 r 1 1 30 − j ⋅ 6,28 YR , L = r = = 2 = ( 31,8 − j ⋅ 6,66) mS Z R , L 30 + j ⋅ 6,28 30 + 6,28 2 58
r 1 1 G1 = r = = 50mS R1 20
r r r YRlR = G1 + YR , L = 50 + 31,8 − j ⋅ 6,66 = ( 81,8 − j ⋅ 6,66) mS
r 10 3 ⋅ ( 81,8 + j ⋅ 6,66) 1 10 3 Z RLR = r = = = (12,1 + j ⋅ 1) Ω 81,8 2 + 6,66 2 YRLR 81,8 − j ⋅ 6,66 r r r Z = Z RLR + X C = 12,1 + j ⋅ 1 − j ⋅ 39,7 = (12,1 − j ⋅ 38,7) Ω r r r U = Z ⋅ I = (12,1 − j ⋅ 38,7) ⋅ ( 3,34 + j ⋅ 1,72) = (107,2 − j ⋅ 108,8)V 108,8 U = 107,2 2 + 108,8 2 = 152,6V tgϕU = − = −1,02 ⇒ ϕU = −45,35° 107,2 ϕ = −ϕU + ϕ I = 45,35 + 27,25 = 72,6° 8.2.16. Stanovte celkový proud v obvodu, fázový posun a činný, jalový a zdánlivý výkon v obvodu dle obrázku. R1=30Ω, R2=50Ω, R3=20Ω, L=400mH a C=50µF. Napětí zdroje je r U = (15 + j ⋅ 27)V při frekvenci 50Hz. r YC = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 = j ⋅ 15,7mS
R1
R2
R3
r 1 1 G1 = r = = 33,3mS R1 30
L
C
r 1 1 G3 = r = = 50mS R3 20 1 1 = −j⋅ = − j ⋅ 7,96mS 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,4 r r r r r = G1 + YC = ( 33,3 + j ⋅ 15,7) mS YR 3 L = G3 + YL = ( 50 − j ⋅ 7,96) mS r YL = − j ⋅
r YR1C
r 10 3 ⋅ ( 33,3 − j ⋅ 15,7) 1 10 3 Z R1C = r = = = ( 24,6 − j ⋅ 11,6) Ω 33,32 + 15,7 2 YR1C 33,3 + j ⋅ 15,7 r 10 3 ⋅ (50 + j ⋅ 7,96) 1 10 3 Z R3L = r = = = (19,5 + j ⋅ 3,1) Ω 50 2 + 7,96 2 YR 3 L 50 − j ⋅ 7,96 r r r r Z = Z R1C + R2 + Z R 3 L = 24,6 − j ⋅ 11,6 + 50 + 19,5 + j ⋅ 3,1 = ( 94,1 − j ⋅ 8,5) Ω r r U (15 + j ⋅ 27) ⋅ ( 94,1 + j ⋅ 8,5) 15 + j ⋅ 27 I = r = = = ( 0,13 + j ⋅ 0,3) A 94,12 + 8,52 Z 94,1 − j ⋅ 8,5
U = 152 + 27 2 = 30,9V
I = 0,132 + 0,32 = 0,33 A tgϕU =
27 = 1,8 ⇒ ϕU = 61° 15
ϕ = ϕ I − ϕU = 66,6 − 61 = 5,6° P = S ⋅ cos ϕ = 10,1 ⋅ cos 5,6° = 10W
tgϕ I =
0,3 = 2,3 ⇒ ϕ I = 66,6° 0,13
S = U ⋅ I = 30,9 ⋅ 0,33 = 10,1VA Q = S ⋅ sin ϕ = 10,1 ⋅ sin 5,6° = 1VAr
59
8.2.17. Vypočítejte celkový proud a napětí zdroje v obvodu dle obrázku. C1=30µF, C2=100µF, R=40Ω, L1=150mH a L2=100mH. Napětí na cívce s indukčností L1 v komplexním vyjádření r je U L1 = j ⋅ 23V , frekvence je f=50Hz.
C1 R
L
r r r Z RC 2 = R + X C 2 = R − j ⋅
C2
L
1 1 = 40 − j ⋅ = ( 40 − j ⋅ 31,8) Ω 2 ⋅π ⋅ f ⋅C 2 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 1 ⋅ 10 − 4
r 1 1 40 + j ⋅ 31,8 YRC 2 = r = = 2 = (15,3 + j ⋅ 12,2) mS Z RC 2 40 − j ⋅ 31,8 40 + 31,8 2
1 1 = −j⋅ = − j ⋅ 21,2mS 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L1 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,15 r r = YRC 2 + YL1 = 15,3 + j ⋅ 12,2 − j ⋅ 21,2 = (15,3 − j ⋅ 9) mS
r YL1 = − j ⋅ r YRC 2 L1
r 10 3 ⋅ (15,3 + j ⋅ 9) 1 10 3 Z RC 2 L1 = r = = = ( 48,4 + j ⋅ 28,5) Ω 15,32 + 9 2 YRC 2 L1 15,3 − j ⋅ 9 r X L 2 = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L2 = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,1 = j ⋅ 31,4Ω r 1 1 X C1 = − j ⋅ = −j⋅ = − j ⋅ 106Ω 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C1 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 30 ⋅ 10 − 6 r r r r Z = X C1 + Z RC 2 L1 + X L 2 = − j ⋅ 106 + 48,4 + j ⋅ 28,5 + j ⋅ 31,4 = ( 48,4 − j ⋅ 46,1) Ω r r j ⋅ 23 ⋅ ( 48,4 − j ⋅ 28,5) U L1 j ⋅ 23 I = r = = = ( 0,21 + j ⋅ 0,35) A 48,4 2 + 28,52 Z RC 2 L1 48,4 + j ⋅ 28,5 r r r U = Z ⋅ I = ( 48,4 − j ⋅ 46,1) ⋅ ( 0,21 + j ⋅ 0,35) = ( 26,1 + j ⋅ 7,4)V I = 0,212 + 0,352 = 0,407 A
U = 26,12 + 7,4 2 = 27,1V
8.2.18. Určete celkový proud a napětí zdroje v obvodu narobrázku. R1=40Ω, R2=120Ω, L=60mH a C=50µF. Proud I v komplexním vyjádření je I 1 = 1,2 ⋅ e j⋅50° A , při frekvenci 50Hz. r YC = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 = j ⋅ 15,7mS
L
r 1 1 G2 = r = = 8, 3mS R2 120
R1
I1
C
R2
r r r YR 2 C = G2 + YC = (8, 3 + j ⋅ 15,7)mS
r 10 3 ⋅ (8, 3 − j ⋅ 15,7) 1 10 3 r Z R 2C = = = = ( 26,2 − j ⋅ 49,3) Ω 2 YR 2 C 8, 3 + j ⋅ 15,7 8, 3 + 15,7 2 r X L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,06 = j ⋅ 18,9Ω
60
r r r r Z = X L + R1 + Z R 2 C = j ⋅ 18,9 + 40 + 26,2 − j ⋅ 49,3 = ( 66,2 − j ⋅ 30,4) Ω r I 1 = 1,2 ⋅ cos 50°+ j ⋅ 1,2 ⋅ sin 50° = ( 0,77 + j ⋅ 0,92) A
r 1 10 2 r XC = = = − j ⋅ 63,7Ω j ⋅ 15,7 YC
r r r U C = X C ⋅ I C = − j ⋅ 63,7 ⋅ ( 0,77 + j ⋅ 0,92) = (58,6 − j ⋅ 49)V r r U C 58,6 − j ⋅ 49 I R2 = r = = ( 0,49 − j ⋅ 0,4) A 120 R2 r r r I = I C + I R 2 = 0,77 + j ⋅ 0,92 + 0,49 − j ⋅ 0,4 = (1,26 + j ⋅ 0,52) A r r r U = Z ⋅ I = ( 66,2 − j ⋅ 30,4) ⋅ (1,26 + j ⋅ 0,52) = ( 99,2 − j ⋅ 3,92)V I = 1,26 2 + 0,52 2 = 1,36 A
U = 99,2 2 + 3,92 2 = 99,24V
8.2.19. V obvodu, zapojeném podle obrázku vypočtěte svorkové napětí zdroje, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun. R1=50Ω, R2=50Ω, L=100mH a C=20µF. Celkový r proud v komplexním vyjádření je I = 0,85 ⋅ e j⋅20° A při frekvenci 50Hz.
C L
I
R2
r YC = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 20 ⋅ 10 −6 = j ⋅ 6,28mS = 6,28 ⋅ e j⋅90° mS r R1 1 1000 ZC = r = = 159 ⋅ e − j⋅90° Ω YC 6,28 ⋅ e j⋅90° r Z R1 L = R1 + j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = 50 + j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,1 = (50 + j ⋅ 31,4)Ω = 59 ⋅ e j⋅32° Ω r 1 1 − j ⋅32 ° YR1 L = r = mS = (14,3 − j ⋅ 8,9)mS j ⋅32 ° = 17 ⋅ e Z R1 L 59 ⋅ e
r r r YR1 LC = YR1 L + YC = 14,3 − j ⋅ 8,9 + j ⋅ 6,28 = (14,3 − j ⋅ 2,62)mS = 14,5 ⋅ e − j⋅9 ,5°mS mS r 1 1000 j ⋅9 ,5 Z R1 LC = r = Ω = (67,8 + j ⋅ 12,4)Ω − j ⋅9 ,5 = 69 ⋅ e YR1 LC 14,5 ⋅ e r r r Z = R2 + Z R1 LC = 50 + 67,8 + j ⋅ 12,4 = (117,8 + j ⋅ 12,4)Ω = 118,5 ⋅ e j⋅6,2° Ω r r r , U = Z ⋅ I = 118,5 ⋅ e j⋅6,2 ⋅ 0,85 ⋅ e + j⋅20° = 101 ⋅ e + j⋅26,2° = (90,6 + j ⋅ 44)V
ϕ = ϕ U − ϕ I = 26,2 − 20 = 6,2° r r U R2 = I ⋅ R2 = 0,85 ⋅ e j⋅20° ⋅ 50 = 42,5 ⋅ e j⋅20°V = (40 + j ⋅ 14,5)V r r r U C = U − U R2 = 90,6 + j ⋅ 44 − 40 − j ⋅ 14,5 = (50,6 + j ⋅ 29,5)V = 58,6 ⋅ e j⋅30,3°V r r r I R1 = U C ⋅ YR1 L = 58,6 ⋅ e j⋅30,3° ⋅ 17 ⋅ e − j⋅32° ⋅ 10 −3 = 1 ⋅ e − j⋅1,7 ° A = (1 + j ⋅ 0,03) A r r U R1 = I R1 ⋅ R1 = 1 ⋅ e − j⋅1,7° ⋅ 50 = 50 ⋅ e − j⋅1,7°V r r r U L = I R1 ⋅ X L = 1⋅ e − j⋅1,7 ⋅ 31,4 ⋅ e j⋅90° = 31,4 ⋅ e j⋅88,3°V
61
8.2.20. Vypočtěte napětí na rezistoru R2 v obvodu na obrázku. Napětí zdroje je 30V při frekvenci 100Hz. R1=200Ω, rR2=1kΩ, L=6H a C=50µF. YC = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 = j ⋅ 31,4mS r 1 1 G2 = r = = 1mS R2 1000
L R1
I1
C
r r r YR 2 C = G2 + YC = (1 + j ⋅ 31,4) mS
r 10 3 ⋅ (1 − j ⋅ 31,4) 1 10 3 Z R 2C = r = = = (1 − j ⋅ 31,8) Ω 12 + 31,4 2 YR 2 C 1 + j ⋅ 31,4 r X L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ 6 = j ⋅ 3,77 kΩ R2 r r r r Z = X L + R1 + Z R 2 C = j ⋅ 3770 + 200 + 1 − j ⋅ 31,8 = ( 201 − j ⋅ 3738) Ω r r U 30 ⋅ ( 201 − j ⋅ 3738) 30 I = r = = = ( 0,46 + j ⋅ 8) mA 2012 + 3738 2 Z 201 + j ⋅ 3738 r r r U R 2 = Z R 2 C ⋅ I = (1 − j ⋅ 31,8) ⋅ (0,46 + j ⋅ 8) ⋅ 10 −3 = (255 − j ⋅ 5,7)mV U R2 = 2552 + 5,7 2 ⋅ 10 −3 = 255mV
8,2,21, V obvodu, zapojeném podle obrázku, určete proud, odebíraný ze zdroje a fázový posun. U=220V, f=50Hz, R1=40Ω, R2=56Ω, L=96mH a C=20µF.
R1
C
r 1 1 40 − j ⋅ 30,2 YR1 L = r = = 2 = (15,9 − j ⋅ 12) mS Z R1 L 40 + j ⋅ 30,2 40 + 30,2 2 r YC = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 20 ⋅ 10 −6 = j ⋅ 6,3mS r r r YR1 LC = YR1 L + YC = 15,9 − j ⋅ 12 + j ⋅ 6,3 = (15,9 − j ⋅ 5,7)mS
L
I
r X L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0.096 = j ⋅ 30,2Ω r Z R1 L = R1 + j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L = (40 + j ⋅ 30,2)Ω
R2
r 10 3 ⋅ (15,9 + j ⋅ 5,7) 1 10 3 Z R1 LC = r = = = (55,8 + j ⋅ 20) Ω 15,9 2 + 5,7 2 YR1 LC 15,9 − j ⋅ 5,7 r r r Z = R2 + Z R1 LC = 56 + 55,8 + j ⋅ 20 = (111,8 + j ⋅ 20)Ω r r U 220 ⋅ (111,8 − j ⋅ 20) 220 I = r = = = ( 2,16 − j ⋅ 0,39) A 111,8 2 + 20 2 Z 111,8 + j ⋅ 20 0,39 I = 2,16 2 + 0,39 2 = 2,2 A tgϕ = = 0,18 ⇒ ϕ = 10,2° 2,16
r Příklad: Určete činný, jalový a zdánlivý výkon impedance dle obrázku. Z = (3 + j 4)Ω , r U = 20 ⋅ e j⋅30° . Zdánlivý výkon a proud vypočtěte pomocí třemi známými způsoby. r r r I U = 20 ⋅ ( cos 30°+ j ⋅ sin 30°)V = (17,3 + j ⋅ 10)V Z r Z = 5 ⋅ (cos 53°+ j ⋅ sin 53°)Ω = 5 ⋅ e j⋅53° Ω r U 62
r r U 17,3 + j ⋅ 10 (17,3 + j ⋅ 10) ⋅ ( 3 − j ⋅ 4) I = r = = = ( 3,67 − j ⋅ 1,57) A 3+ j ⋅4 32 + 4 2 Z
r r U 20 ⋅ ( cos 30°+ j sin 30°) 20 ⋅ ( 0,866 + j ⋅ 0,5) I = r = = = 4 ⋅ ( 0,92 − j ⋅ 0,39) A Z 5 ⋅ ( cos 53°+ j ⋅ sin 53°) 5 ⋅ ( 0,6 + j ⋅ 0,8) r I = 4 ⋅ ( cos 23°− j ⋅ sin 23°) A
r r U 20 ⋅ e j⋅30° 20 j⋅( 30−53) I = r = ⋅e = 4 ⋅ e − j⋅23° A j ⋅53° = 5 5⋅ e Z r r r S = U ⋅ I * = (17,3 + j ⋅ 10) ⋅ ( 3,67 + j ⋅ 1,57) = ( 47,8 + j ⋅ 63,9)VA r r r S = U ⋅ I * = 20 ⋅ ( cos 30°+ j ⋅ sin 30°) ⋅ 4 ⋅ ( cos 23°+ j ⋅ sin 23°) = 80 ⋅ ( 0,6 + j ⋅ 0,8)VA r r r r S = 80 ⋅ ( cos 53°+ j ⋅ sin 53°)VA S = U ⋅ I * = 20 ⋅ e j⋅30° ⋅ 4 ⋅ e + j⋅23° = 80 ⋅ e j⋅53° P = S ⋅ cos 53° = 80 ⋅ 0,6 = 48W Q = S ⋅ sin 53° = 80 ⋅ 0,8 = 64 VAr 9.1.1. Okamžitá hodnota napětí fáze U je dána rovnicí u=120⋅sin(ωt-π/3). Nakreslete fázory napětí U, V a W a z fázorového diagramu určete okamžité hodnoty napětí pro T/4. Výsledky zkontrolujte výpočtem.
u UW UW
UWt=UUt UUt
UV T/4=90° UVt
-π/3=60° UU
π uUt = 120 ⋅ sin ω ⋅ t − = 120 ⋅ sin( 90°−60°) = 60V 3
π uVt = 120 ⋅ sin ω ⋅ t − − 120° = 120 ⋅ sin( 90°−60°−120°) = −120V 3 π uWt = 120 ⋅ sin ω ⋅ t − − 240° = 120 ⋅ sin( 90°−60°−240°) = 60V 3 9.1.11. Okamžitá hodnota napětí fáze U je dána rovnicí U=60⋅sin(ω⋅t). Vypočítejte okamžité hodnoty napětí fází U, V a W v čase t=T/6.
U U = 60 ⋅ sin 60° = 52 V U V = 60 ⋅ sin( 60°−120° ) = −52 V U W = 60 ⋅ sin( 60°+120° ) = 0V 9.1.12. Okamžitá hodnota napětí fáze U je u=50sin(ωt+π/4). Stanovte okamžité hodnoty napětí fází U, V a W v čase t=T/3. Výsledky zkontrolujte fázorovým diagramem. π uUt = 50 ⋅ sin ω ⋅ t + = 50 ⋅ sin(120°+45°) = 13V 4
π uVt = 50 ⋅ sin ω ⋅ t + − 120° = 50 ⋅ sin(120°+45°−120°) = 35,3V 4 63
π uWt = 50 ⋅ sin ω ⋅ t + − 240° = 50 ⋅ sin(120°+45°−240°) = −48,3V 4
u
UU=UVt UW=UUt
KONTROLA ∑ u = 13 + 35,3 − 48,3 = 0
45°
15° T/3=120° UV=UWt 15° 9.1.2. Vyjádřete v symbolické formě napětí fází V a W, je-li napětí fáze U dáno vztahem r U U = j ⋅ 80V . Z vypočítaných hodnot nakreslete fázorový diagram.
(
)
(
)
r r −1− j ⋅ 3 80 ⋅ − 1 − j ⋅ 3 UV = U U ⋅ = j⋅ = ( 69,2 − j ⋅ 40)V 2 2 r r −1+ j ⋅ 3 80 ⋅ − 1 + j ⋅ 3 UW = UU ⋅ = j⋅ = ( − 69,2 − j ⋅ 40)V 2 2
+j⋅ UU
..
+x
-x UW
U
.
-j⋅y
64
9.1.13. Vyjádřete v symbolické formě napětí fází V a W, je-li napětí fáze U dáno vztahem r U U = 60V . Nakreslete fázorový diagram.
(
)
(
)
r r − 1 − j ⋅ 3 60 ⋅ − 1 − j ⋅ 3 UV = U U ⋅ = = ( − 30 − j ⋅ 52)V 2 2 r r − 1 + j ⋅ 3 60 ⋅ − 1 + j ⋅ 3 UW = UU ⋅ = = ( − 30 + j ⋅ 52)V 2 2
U
+j⋅y
..
+x
-x
UU
U
-j⋅y
9.1.14. Vyjádřete v symbolické formě napětí fází B a C, je-li dáno napětí fáze A vztahem r U A = ( 20 + j ⋅ 30)V . Nakreslete fázorový diagram všech tří napětí. jy 30
UA
20 UC
10 x
-x
10
-jy
20
UB
r ( 20 + j ⋅ 30) U A = ( 20 + j ⋅ 30) = 20 2 + 30 2 ⋅ V 20 2 + 30 2 r U A = 36 ⋅ ( 0,555 + j ⋅ 0,833) = 36 ⋅ ( cos 56,4°+ j ⋅ sin 56,4°)V r U B = 36 ⋅ ( cos(56,4°−120° ) + j ⋅ sin(56,4°−120° ))V r U B = 36 ⋅ ( 0,444 − j ⋅ 0,896) = (16 − j ⋅ 32,2)V r U B = 36 ⋅ ( cos(56,4°+120° ) + j ⋅ sin(56,4°+120° ))V r U B = 36 ⋅ ( − 0,998 − j ⋅ 0,063) = ( − 35,9 + j ⋅ 2,3)V
9.2.1. Určete odpor vinutí jedné fáze třífázového generátoru, zapojeného do hvězdy, je-li jeho sdružené napětí 320V a síťový proud 5A. U f 185 U 320 Uf = = = 185V I f = I = 5A Rf = = = 37Ω If 5 3 3
65
9.2.11. Třífázový elektromotor, zapojený do hvězdy, má sdružené napětí a) 380V b) 220V. Určete jeho fázové napětí. U 380 U 220 a) U f = = = 220V b) U f = = = 127V 3 3 3 3 9.2.12. Třífázový alternátor v zapojení do hvězdy, dodává při sdruženém napětí 346V do sítě proud 200A. Určete jeho fázové napětí a proud v jednotlivých cívkách statoru. U 346 Uf = = = 200V I f = I = 200 A 3 3 9.2.13. Na jaké síťové napětí musí být připojen třífázový spotřebič, zapojený do hvězdy, je-li jeho fázové napětí 450V? Jak velký je proud v přívodním vedení, je-li impedance jedné statorové cívky 75Ω. U 450 U S = U f ⋅ 3 = 450 ⋅ 3 = 780V I= 3⋅ f = 3⋅ = 10,4A kniha špatně Z 75 9.2.2. Jak velký je odpor vinutí v jedné fázi třífázového spotřebiče, zapojeného do trojúhelníku na napětí 3x380V, prochází-li přívodními vodiči proud 6A? Jak se změní napětí a proud, přepojíme-li vinutí z trojúhelníku do hvězdy? U f = U = 380V Uf =
U 3
If = =
380 3
IS 3
=
6 3
= 220V
= 3,47 A If =
Rf = Uf Rf
=
Uf If
=
380 = 109,5Ω 3,47
220 = 2,01 A 109,5
9.2.14. Fázový proud třífázového generátoru, zapojeného do trojúhelníku, je 15A, fázové napětí je 200V. Určete jeho síťový proud a síťové napětí. I S = I f ⋅ 3 = 15 ⋅ 3 = 26 A
U S = U f = 200V
9.2.15. Přívody třífázového spotřebiče na napětí 3x380V, s fázovými vinutími, zapojenými do trojúhelníku, prochází proud 4A. Jak velký proud prochází jednotlivými vinutími a jaký je jejich odpor? I U 380 4 Rf = f = = 165Ω If = S = = 2 ,3A If 2 ,3 3 3 9.2.16. Třífázový alternátor dodává do sítě v zapojení do trojúhelníku proud 50A, při sdruženém napětí 220V. Jak velký je fázový proud a fázové napětí. IS
50
= 28,9 A U f = U S = 220V 3 3 9.3.1. Určete činný, jalový a zdánlivý výkon třífázového alternátoru, který dodává při sdruženém napětí 380V proud 160A. Jde o souměrné zatížení při cosϕ=0,6. If =
sin ϕ = 0,8
=
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 160 ⋅ 0,6 = 63,2 kW 66
Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 160 ⋅ 0,8 = 84,2 kVAr S = 3 ⋅ U ⋅ I = 3 ⋅ 380 ⋅ 160 = 105,2 kVA 9.3.11. Třífázový elektromotor na napětí 3x380V odebírá, při účiníku cosϕ=0,75, proud 20A. Jak velký je činný a zdánlivý výkon elektromotoru. P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 20 ⋅ 0,75 = 9,88kW S = 3 ⋅ U ⋅ I = 3 ⋅ 380 ⋅ 20 = 13,2 kVA 9.3.12. Třífázový motor se sdruženým napětím 220V odebírá proud 100A. Určete jeho účiník, jestliže má při účinnosti 90% výkon P2=25kW. P2 25000 P2 = η ⋅ P1 = η ⋅ 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cosϕ ⇒ cos ϕ = = = 0,73 η ⋅ 3 ⋅ U ⋅ I 0,9 ⋅ 3 ⋅ 220 ⋅ 100 9.3.13. Třífázový elektromotor, připojený na napětí 3x380V, odebírá proud 50A, při účiníku cosϕ=0,75. Určete činný příkon a výkon elektromotoru, jestliže elektromotor pracuje s účinností 70%. P1 = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 50 ⋅ 0,75 = 24,7 kW P2 = η ⋅ 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 0,7 ⋅ 3 ⋅ 380 ⋅ 50 ⋅ 0,75 = 17,3kW 9.3.2. Jak velký síťový a fázový proud odebírá třífázový elektromotor v zapojení do trojúhelníku ze sítě 3x380V, je-li jeho výkon P2=15kW, účinnost 90% a účiník cosϕ=0,8? P2 P1 15 16,7 ⋅ 10 3 = = 16,7 kW P1 = I= = = 31,7 A η 0,9 3 ⋅ U ⋅ cosϕ 3 ⋅ 380 ⋅ 0,8 I 31,7 If = = = 18,3 A 3 3 9.3.14. Třífázový generátor výkonu 20MW dodává do sítě proud 1800A při účiníku 0,8. Jak velké sdružené napětí má generátor na svorkách. P 20 ⋅ 10 6 U= = = 8kV 3 ⋅ I ⋅ cosϕ 3 ⋅ 1800 ⋅ 0,8 9.3.15. Jak velký fázový proud prochází vinutím třífázového spotřebiče, které je zapojeno do trojúhelníku, má-li spotřebič při napětí 220V příkon 6kW a účiník cosϕ=0,85. P1 6 ⋅ 10 3 If = = = 10,7 A KNIHA ŠPATNĚ 107A 3 ⋅ U ⋅ cosϕ 3 ⋅ 220 ⋅ 0,85 9.3.16. Třífázový alternátor s vinutími, zapojenými do hvězdy, dodává do sítě proud 40A při zdánlivém výkonu S=280kVA. Jak velké je síťové a fázové napětí a činný výkon alternátoru, je-li cosϕ=0,9? 3
P = S ⋅ cos ϕ = 280 ⋅ 10 ⋅ 0,9 = 252 kW Uf =
US
US =
4000
P 3 ⋅ I ⋅ cos ϕ
=
252 ⋅ 10 3 3 ⋅ 40 ⋅ 0,9
= 4kV
= 2 ,3kV 3 3 9.3.17. Třífázový elektromotor, zapojený do trojúhelníku, o výkonu 2kW je připojen k síti 3x380V a pracuje s účinností 75% při účiníku 0,85. Určete činný, zdánlivý a jalový příkon elektromotoru a proud ve vedení a ve vinutí fáze. =
67
P1 = If =
P2
η I 3
= =
2 = 2,67 kW 0,75 4,8 3
I=
= 2,8 A
P1
=
2,67 ⋅ 10 3 = 4,8 A 3 ⋅ 380 ⋅ 0,85
3 ⋅ U ⋅ cosϕ P 2,67 ⋅ 10 3 = 3,14 kVA S1 = 1 = cos ϕ 0,85
Q = S12 − P 2 = 3,14 2 − 2,67 2 ⋅ 10 3 = 1,76kVAr 10.2.1. Stanovte proud v obvodu podle obrázku, v čase t=5τ. R=200Ω, C=1µF a U=10V.
U
C R
i = I 0 ⋅ e − t /τ =
U −5 10 1 ⋅e = ⋅ = 3,37 ⋅ 10 − 4 A R 200 e 5
10.2.11. Stanovte velikost kapacity tak, aby napětí na ní vzrostlo na hodnotu U/5 za 1ms. R=10Ω. u C = U ⋅ (1 − e − t / τ ) τ = R⋅C
U
C
1 1 1 1 −⋅ ⋅ −⋅ ⋅ U 1000 10⋅C 1000 10⋅C = U 1 − e ⇒ 5 ⋅ 1 − e = 1⇒ 5
R
5
⇒ e
1 1 ⋅ 1000 10⋅C
⇒ 0,223 =
=4⇒e
1 1000⋅10⋅C
=
5 1 5 ⇒ = ln ⇒ 4 1000 ⋅ 10 ⋅ C 4
1 1 ⇒C= = 448µF 1000 ⋅ 10 ⋅ C 1000 ⋅ 2,23
10.2.12. Určete dobu, za kterou dosáhne nabíjecí proud kondenzátoru velikost I0/2. R=5Ω a C=10µF. t I0 1 t ⋅ 105 t ⋅ 105 − t /τ R⋅C i = I0 ⋅ e ⇒ = I0 ⋅ t ⇒ e =2⇒ = ln 2 ⇒ = 0,693 ⇒ 2 5 5 R⋅C e −5 ⇒ t = 0,693 ⋅ 5 ⋅ 10 = 3,46 ⋅ 10 −5 s 10.2.13. Určete kapacitu kondenzátoru, když nabíjecí proud dosáhne I0/3 za 1ms a R=20Ω. t I0 1 1 1 − t /τ R⋅C i = I0 ⋅ e ⇒ = I0 ⋅ t ⇒ e = 3⇒ = ln 3 ⇒ = 11 , ⇒ 3 1000 ⋅ 20 ⋅ C 2 ⋅ 10 4 ⋅ C R⋅C e 1 ⇒C= = 45,5µF 2 ⋅ 10 4 ⋅ 11 , 10.2.14. Určete časovou konstantu obvodu, jestliže nabíjecí proud dosáhne hodnoty 0,1mA za 1ms od okamžiku připojení obvodu ke zdroji. I0=5mA. t 1 1 1 i = I 0 ⋅ e −t /τ ⇒ 0,1 = 5 ⋅ t ⇒ e τ = 50 ⇒ = ln 50 ⇒ = 3,91 ⇒ 1000 ⋅ τ 1000 ⋅ τ eτ 1 ⇒τ = = 2,56 ⋅ 10 − 4 s 1000 ⋅ 3,91
68
10.2.15. Určete čas, za který bude napětí na kondenzátoru stejné, jako napětí na rezistoru při nabíjení kondenzátoru. t 1 t t i = I 0 ⋅ e − t /τ ⇒ 0,5 = 1 ⋅ t ⇒ e τ = 2 ⇒ = ln 2 ⇒ = 0,693 ⇒ t = 0,693 ⋅ τ τ τ eτ 10.2.16. Vypočítejte svodový odpor kondenzátoru s kapacitou 40µF. Kondenzátor byl nabit na napětí 250V a vybíjením přes vlastní odpor ( svod ) na něm kleslo napětí na 100V za 50min. t 1 50 ⋅ 60 50 ⋅ 60 u = U 0 ⋅ e −t /τ ⇒ 100 = 250 ⋅ t ⇒ e R⋅C = 2,5 ⇒ = ln 2,5 ⇒ = 0,916 ⇒ −6 R ⋅ 40 ⋅ 10 R ⋅ 40 ⋅ 10−6 R⋅C e 6 50 ⋅ 60 ⋅ 10 ⇒R= = 81,9 MΩ 40 ⋅ 0,916 10.2.17. Určete dobu, za kterou klesne napětí na kondenzátoru z 50V na 30V. Kondenzátor má kapacitu 5µF, byl nabit na napětí 100V a vybíjí se přes rezistor 2kΩ. t 1 t t u = U 0 ⋅ e −t /τ ⇒ 30 = 50 ⋅ t ⇒ e R⋅C = 1, 6 ⇒ = ln 1, 6 ⇒ = 0,511 ⇒ 3 −6 −3 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 2 ⋅ 5 ⋅ 10 e R⋅C −3 ⇒ t = 2 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 0,511 = 5,11ms 10.2.18. Určete odpor rezistoru, kterým se vybíjel kondenzátor o kapacitě 2µF. Kondenzátor byl nabit na napětí 200V a za 2ms na něm kleslo napětí na 20V. t 2 ⋅ 10 −3 1 2 ⋅ 10 −3 u = U 0 ⋅ e −t /τ ⇒ 20 = 200 ⋅ t ⇒ e R⋅C = 10 ⇒ = ln 10 ⇒ = 2,3 ⇒ −6 −6 R ⋅ 2 ⋅ 10 R ⋅ 2 ⋅ 10 e R⋅C −3 2 ⋅ 10 ⇒R= = 434Ω 2,3 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 10.2.2. Určete odpor rezistoru, kterým se nabíjel kondenzátor o kapacitě 237µF ze zdroje o napětí 150V. Napětí na odporu kleslo z 55V na 20V za 100ms. 150
50 30 0,1s
u R1 = U 0 ⋅ e − t1 /τ
u R 2 = U 0 ⋅ e − t2 /τ
55 = 150 ⋅ e − t1 /τ 150 e t1 /τ = = 2,73 55 t1 = ln 2,73
20 = 150 ⋅ e − t2 /τ 150 e t2 / τ = = 7,5 20 t2 = ln 7,5
τ
t
τ
t 2 − t1 = τ ⋅ ( ln 7,5 − ln 2,73) t2 − t2 0,1 0,1 0,1 0,1 τ= = = ⇒R= = = 418Ω ln 7,5 − ln 2,73 2,01 − 1 1,01 C ⋅ 1,01 237 ⋅ 10 −6 ⋅ 1,01
69
10.2.19. Určete kapacitu kondenzátoru který se nabíjí přes rezistor 1000Ω. Napětí na rezistoru kleslo z 80V na 40V za 100ms. t 1 0,1 0,1 uR = U 0 ⋅ e −t /τ ⇒ 40 = 80 ⋅ t ⇒ e R⋅C = 2 ⇒ = ln 2 ⇒ = 0,693 ⇒ 1000 ⋅ C 1000 ⋅ C R⋅C e 0,1 ⇒C= = 144 µF 1000 ⋅ 0,693 10.2.20. Při nabíjení kondenzátoru přes rezistor 400Ω vzrostlo napětí na kondenzátoru za 100ms na 95V a za 200ms na 130V od okamžiku připojení zdroje. Určete kapacitu kondenzátoru a napětí zdroje.
u1 = U 0 ⋅ (1 − e − t1 /τ ) u1 = 1 − e −t1 /τ U0 u1 e − t1 /τ = 1 − U0 U0 e t1 /τ = U 0 − u1 t1 U0 = ln τ U 0 − u1 U0 0,1 = ln τ U 0 − 95 2 ⋅ ln
u 2 = U 0 ⋅ (1 − e − t 2 / τ ) u2 = 1 − e − t 2 /τ U0 u e − t2 /τ = 1 − 2 U0 U0 e t2 / τ = U 0 − u2 t2 U0 = ln τ U 0 − u2 U0 0,2 = ln τ U 0 − 130
U0 U0 U 02 U0 2 = ln ⇒ ⇒ U 0 ⋅ (U 0 − 130) = (U 0 − 95) ⇒ 2 = U 0 − 95 U 0 − 130 (U 0 − 95) U 0 − 130
⇒ U 0 2 − 130 ⋅ U 0 = U 0 2 − 190 ⋅ U 0 + 9025 ⇒ 60 ⋅ U 0 = 9025 ⇒ U 0 = 150V 0,1 0,1 τ 0,1 C= = = 250µF τ= = = 0,1s U0 150 R 400 ln ln 150 − 95 U 0 − 95
10.2.21. Kondenzátor o kapacitě 50µF se nabíjel z neznámého zdroje přes neznámý rezistor. Za 200ms vzrostlo napětí na kondenzátoru na 173V. Proud v okamžiku připojení zdroje byl 100mA. Určete napětí zdroje a odpor rezistoru. Řešením klasickým způsobem bychom obdrželi rovnici, kde neznámá je zároveň v lineárním i v exponenciálním tvaru. Obdobné situace řeším s oblibou metodou postupného zpřesňování výsledku. PRVNÍ VOLBA - U01=185V
70
R1 =
U 01 185 = = 1850Ω I0 0,1
u1 = U 0 ⋅ (1 − e − t1 /τ ) ⇒ U 0 2 =
u1
1− e U 02 195,5 R2 = = = 1955Ω I0 0,1 R3 = R4 =
t − R1 ⋅C
=
173 1− e
0 , 2⋅100000 5⋅1850
U 03 =
U 03 198,7 = = 1987Ω I0 0,1
U 04 =
U 04 199,7 = = 1997Ω I0 0,1
U 05 =
= 195,5V u1 t − R2 ⋅C
1− e u1
t − R3 ⋅C
1− e u1 −
t R4 ⋅C
=
173 1− e
=
=
0 , 2⋅100000 5⋅1955
173 0 , 2⋅100000 5⋅1987
1− e 173
0 , 2⋅100000 5⋅1997
= 198,7V = 199,7V = 199,98V
1− e 1− e Řešení konverguje k výsledku U0=200V a R=2kΩ, což je shodné s výsledkem v knize. 10.2.22. Kondenzátor s kapacitou 10µF se nabíjí ze zdroje 200V přes rezistor R. Rezistor R je tvořen a) sériovým spojením rezistorů R1 a R2 a kondenzátor se nabije na napětí 100V za 62,3ms b) paralelním spojením rezistorů R1 a R2 a kondenzátor se nabije na napětí 100V za 14mS. Vypočítejte odpory rezistorů R1 a R2. t u U0 U0 1 t uC = U 0 ⋅ (1 − e −t1 /τ ) ⇒ C = 1 − t ⇒ e R⋅C = ⇒ = ln ⇒ U0 U 0 − uC R⋅C U 0 − uC R⋅C e 62,3 ⋅ 10 −3 t ⇒R= ⇒ Ra = = 8989Ω U0 200 10 ⋅ 10 − 6 ⋅ ln C ⋅ ln 200 − 100 U 0 − uC t 14 ⋅ 10 −3 ⇒R= ⇒ Rb = = 2020Ω U0 200 −6 10 ⋅ 10 ⋅ ln C ⋅ ln 200 − 100 U 0 − uC R1 = Ra − R2 = 8989 − R2
(8989 − R2 ) ⋅ R2 R1 ⋅ R2 = = 2020 ⇒ R2 2 − 8989 ⋅ R2 + 2020 ⋅ 8989 = 0 R1 + R2 8989 − R2 + R2 R1,2 =
5924Ω − b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 8989 ± 8989 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2020 ⋅ 8989 = =〈 3065Ω 2⋅a 2 ⋅1
10.3.1. Určete napětí zdroje, je-li indukčnost cívky 100mH, činný odpor cívky 400Ω a obvodem procházel proud 4mA za 0,5ms od připojení ke zdroji. L τ= R U0 R ⋅i 400 ⋅ 4 ⋅ 10 −3 − t /τ − t /τ i = I 0 ⋅ (1 − e ) ⇒ i = ⋅ (1 − e ) ⇒ U = t⋅R = 0 , 0005⋅400 = 1,85V −⋅ −⋅ R L 0 ,1 1− e 1− e
71
10.3.2. Stanovte indukčnost ideální cívky, která je zapojena do série s rezistorem, jehož odpor je 100Ω. Za 10ms po připojení zdroje napětí 6V procházel obvodem proud 38mA. R t⋅ U0 U0 U0 1 U0 − R ⋅ i R −t /τ −t /τ i = I 0 ⋅ (1 − e ) ⇒ i = ⋅ (1 − e ) ⇒ R = ⇒e L = ⇒ t ⋅ = ln ⇒ t⋅ R U0 U0 − R ⋅ i L U0 − R ⋅ i L e 0,01 ⋅ 100 t⋅R L τ= = 1H ⇒L= = 6 U0 R ln ln −3 6 − 100 ⋅ 38 ⋅ 10 U0 − R ⋅i 10.3.11. Určete indukčnost cívky, je-li její činný odpor 50Ω a klesne-li na činném odporu napětí z 12V na 7,5V za 20ms. t U U U t t⋅R uR = U 0 ⋅ e −t /τ ⇒ e τ = 0 ⇒ = ln 0 ⇒ = ln 0 ⇒ uR τ uR L uR t⋅R 2 ⋅ 10 −2 ⋅ 50 = = 2,13H U0 12 ln ln 7,5 uR 10.3.12. Stanovte časovou konstantu a ustálený proud I0, prochází-li obvodem v čase t1=0,1s proud i1=3mA a v čase t2=0,2s proud i2=5mA. R t⋅ I −i I I i 1 t i = I 0 ⋅ (1− e −t /τ ) ⇒ = (1− e −t /τ ) ⇒ R = 0 ⇒ e L = 0 ⇒ = ln 0 ⇒ I0 t⋅ I0 I0 −i τ I0 −i e L I0 I0 t 0,1 0,2 = ⇒τ = ⇒ ⇒ 2 ⋅ ln ⇒ − 3 = ln I0 I0 I0 I 0 − 3 ⋅ 10 I 0 − 5 ⋅ 10 − 3 ln ln ln I0 − i I 0 − 3 ⋅ 10 − 3 I 0 − 5 ⋅ 10 − 3 ⇒L=
⇒
I02
(I
0
− 3 ⋅ 10
−3 2
)
=
I0 ⇒ I 0 2 − 6 ⋅ 10 − 3 ⋅ I 0 + 9 ⋅ 10 − 6 = I 0 2 − 5 ⋅ 10 − 3 ⋅ I 0 ⇒ I 0 − 5 ⋅ 10 − 3
0,1 t = = 0,25s I0 9 ln ln 6 I0 − i 10.3.13. Určete odpor rezistoru, který je zapojen do série s ideální cívkou s indukčností 2H. Napětí na této ideální cívce klesne z 5V na 2V za 4ms. t⋅R uR U 0 − uR U0 U0 t⋅R −t /τ − t /τ − t /τ uR = U 0 ⋅ (1 − e ) ⇒ 1 − e = ⇒e = ⇒e L = ⇒ = ln ⇒ U0 U0 U 0 − uR L U 0 − uR U0 L 2 5 ⇒ R = ⋅ ln = = 458Ω − 3 ⋅ ln t U 0 − u R 4 ⋅ 10 5− 3 10.3.14. Za jak dlouho poklesne proud, který prochází obvodem, z 5mA na 2mA? Indukčnost cívky je 100mH a její činný odpor je 180Ω. t I I I t t⋅R −t / τ τ iR = I 0 ⋅ e ⇒ e = 0 ⇒ = ln 0 ⇒ = ln 0 ⇒ iR τ iR L iR I0 L 0,1 5 ⇒ t = ⋅ ln = ⋅ ln = 0,51ms R i R 180 2 10.3.15. Jak velký odpor má cívka s indukčností 2H, prochází-li obvodem proud 6mA za 4ms od připojení ke zdroji s napětím 5V? ⇒ 10 −3 ⋅ I 0 = 9 ⋅ 10 −6 ⇒ I 0 = 9mA
τ=
72
t⋅R uR U − uR U0 U0 t⋅R = ln ⇒ e − t /τ = 0 ⇒e L = ⇒ ⇒ U0 U0 U 0 − uR L U 0 − uR U0 U0 2 5 5 L L ⇒ R = ⋅ ln = ⋅ ln = − 3 ⋅ ln − 3 = 500 ⋅ ln t U 0 − uR t U 0 − R ⋅ i R 4 ⋅ 10 5 − R ⋅ 6 ⋅ 10 5 − R ⋅ 6 ⋅ 10 − 3
u R = U 0 ⋅ (1 − e −t /τ ) ⇒ 1 − e − t /τ =
Řešením klasickým způsobem bychom obdrželi rovnici, kde neznámá je zároveň v lineárním i v logaritmickém tvaru. Obdobné situace řeším s oblibou metodou postupného zpřesňování výsledku. PRVNÍ VOLBA - R1=500Ω. 5 5 R = 500 ⋅ ln 500 ≠ 500 ⋅ ln = 458 −3 5 − R ⋅ 6 ⋅ 10 5 − 500 ⋅ 6 ⋅ 10 − 3 5 DRUHÁ VOLBA - R2=450Ω 450 ≠ 500 ⋅ ln = 388 5 − 450 ⋅ 6 ⋅ 10 − 3 rozdíl rostl 5 TŘETÍ VOLBA - R3=550Ω 550 ≠ 500 ⋅ ln = 540 5 − 550 ⋅ 6 ⋅ 10 − 3 5 ČTVRTÁ VOLBA - R4=560Ω 560 = 500 ⋅ ln = 560 5 − 560 ⋅ 6 ⋅ 10 − 3 10.3.16. Vypočítejte, za jak dlouho po připojení zdroje bude procházet obvodem proud 6mA. R=500Ω, L=2,2H, U=5V a indukčnost cívky je konstantní. U 5 I0 = 0 = = 10mA R 500 R I0 − i t⋅ I I i 1 t −t / τ −t /τ i = I 0 ⋅ (1 − e ) ⇒ = (1 − e ) ⇒ R = ⇒ e L = 0 ⇒ = ln 0 ⇒ I0 I0 I0 − i τ I0 − i t⋅ e L I0 L 2,2 10 ⇒ t = ⋅ ln = ⋅ ln = 4,03ms R I 0 − i 500 10 − 6
10.3.17. Do série s ideální cívkou je zapojen rezistor R. Rezistor R je tvořen: a) paralelním spojením rezistorů s odpory R1 a R2. b) sériovým spojením rezistorů s odpory R1 a R2 Při paralelním spojení rezistorů R1 a R2 prochází obvodem proud 700mA za 10ms od okamžiku připojení zdroje napětí. Při sériovém spojení rezistorů R1 a R2 prochází obvodem proud 350mA za 10ms od okamžiku připojení zdroje napětí. Napětí zdroje je 18V, indukčnost ideální cívky je 200mH. Vypočítejte odpory rezistorů R1 a R2. U0 U0 0 , 01⋅ R t ⋅R R I i 1 R i = I 0 ⋅ (1 − e − t1 /τ ) ⇒ = 1 − t ⋅ R ⇒ e L = 0 ⇒ e 0,2 = R ⇒ e 20 = ⇒ U0 U0 − R ⋅i I0 I0 − i L −i e R R R 18 ⋅ e 20 − 1 R R R R U0 18 ⇒ e 20 = ⇒ e 20 = ⇒ 18 ⋅ e 20 − R ⋅ i ⋅ e 20 = 18 ⇒ R = R U0 − R ⋅i 18 − R ⋅ i i ⋅ e 20 Ra Rb 18 ⋅ e 20 − 1 18 ⋅ e 20 − 1 Ra = Rb = Ra Rb 0,7 ⋅ e 20 0,35 ⋅ e 20 73
1. volba - Ra0=Rb0=20Ω
Ra1 =
20 18 ⋅ e 20 − 1 0,7 ⋅ e
2.
Ra 2 =
18 ⋅ e
16 , 2 20
− 1
16 , 2 20
20 20
= 14,2Ω
= 16,2Ω
Rb2 =
0,7 ⋅ e 3. Ra3=12,9Ω, Rb3=44,8Ω 4. Ra4=12,1Ω, Rb4=45,9Ω 5. Ra5=11,5Ω, Rb5=46,2Ω 6. Ra6=11,1Ω, Rb6=46,3Ω 7. Ra7=10,8Ω, Rb7=46,3Ω 8. Ra8=10,6Ω, Rb8=46,3Ω 9. Ra9=10,4Ω, Rb9=46,3Ω 10. Ra10=10,3Ω, Rb10=46,3Ω 11. Ra11=10,2Ω, Rb11=46,3Ω 12. Ra12=10,1Ω, Rb12=46,3Ω 13. Ra13=10Ω, Rb13=46,3Ω R1 ⋅ R2 R1 + R2 rovnice. Ra =
Rb = R1 + R2
18 ⋅ e
20 20
= 32,3Ω
0,35 ⋅ e − 1 = 411 ,Ω 32 , 3
32 , 3 20
0,35 ⋅ e
20
ze druhé rovnice dosadíme R1 = Rb − R2 do druhé
Ra ⋅ R1 + Ra ⋅ R2 = R1 ⋅ R2
R2 =
R2 2 + R2 ⋅ ( Ra − Rb − Ra ) + Ra ⋅ Rb = 0
R1,2 =
Rb1 =
20 18 ⋅ e 20 − 1
Ra ⋅ ( Rb − R2 ) Ra ⋅ R1 = R1 − Ra Rb − R2 − Ra
R2 2 + R2 ⋅ 46,3 + 463 = 0
14,6Ω − b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 46,3 ± 46,32 − 4 ⋅ 46,3 ⋅ 10 = =〈 31,7Ω 2⋅a 2
10.3.18. Vypočítejte proud, který prochází obvodem v čase t=5τ od okamžiku připojení skutečné cívky ke zdroji stejnosměrného napětí. Odpor vinutí cívky je 20Ω, napětí zdroje je 5V. U 5 i = I 0 ⋅ (1 − e − t1 /τ ) = 0 ⋅ (1 − e − t /τ ) = ⋅ (1 − e −5 ) = 0,248 A R 20
74