EKSISTENSI MATRIKS PENGGANDA DAN DEKOMPOSISI MATRIKS PENGGANDA PYATT DAN ROUND DARI SISTEM NERACA SOSIAL EKONOMI∗
Djoni Hartono Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi Budy P. Resosudarmo Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi dan Pasca Sarjana Ekonomi – Universitas Indonesia
Abstracts
In the last three decades, Social Accounting Matrix (SAM) has become a very important data set and analytical tool to analyze the impact of economic policies on income distribution in various countries, particularly in the developing ones. As an analytical tool, SAM provides a way to calculate the total and decompositional impact of an economic policy on income distribution. Particularly, through the multiplier matrix and its Pyatt and Round decomposition derived from a SAM, one is able to observe the impact of an economic policy on income distribution. Since the multiplier and its Pyatt and Round decomposition matrices are important for income distribution analysis, there is a need to show that from any SAM one should be able to find the multiplier matrix and Pyatt and Round decomposition of the multiplier matrix. This paper proves that for any SAM there exists a multiplier matrix and a Pyatt and Round decomposition of the multiplier matrix.
∗
Dipublikasikan di Majalah Ekonomi dan Keuangan Indonesia sebagai: Hartono, D. and B.P. Resosudarmo. 1998. “Eksistansi Matriks Pengganda dan Pyatt dan Round Dekomposisi dari Sebuah Sistem Neraca Sosial Ekonomi (Existence of the Multiplier Matrix and the Pyatt and Round Decomposition Matrix for a Social Accounting Matrix).” Ekonomi dan Keuangan Indonesia, 46(4): 473-496.
1. Pendahuluan Masalah kemiskinan dan pemerataan distribusi pendapatan merupakan masalah yang teramat penting dalam pembangunan ekonomi di berbagai negara, khususnya di negara-negara yang sedang berkembang. Sejak tiga dasa warsa yang lalu berbagai analisa ekonomi dilakukan untuk mengamati apakah sebuah kebijakan ekonomi dapat mengurangi kemiskinan dan membuat distribusi pendapatan semakin merata di suatu negara.
Social Accounting
Matrix (SAM) atau Sistem Neraca Sosial Ekonomi (SNSE) merupakan salah satu sistem pendataan dan juga alat analisa penting yang dikembangkan untuk memantau dan menganalisa berbagai masalah kemiskinan dan distribusi pendapatan di berbagai negara. SNSE adalah sebuah neraca ekonomi masukan ganda tradisional berbentuk matriks partisi1 yang mencatat segala transaksi ekonomi antara agen, terutama sekali antara sektor-sektor di dalam blok produksi, sektor-sektor di dalam blok institusi (termasuk di dalamnya rumah tangga), dan sektor-sektor di dalam blok faktor produksi, di suatu perekonomian. SNSE merupakan suatu sistem pendataan yang baik karena (1) SNSE merangkum seluruh kegiatan transaksi ekonomi yang terjadi di suatu perekonomian untuk sebuah kurun waktu tertentu, dengan demikian SNSE dapat dengan mudah memberikan gambaran umum mengenai perekonomian suatu wilayah; (2) SNSE memotret struktur sosial-ekonomi di suatu perekonomian, dengan demikian SNSE dapat memberikan gambaran tentang kemiskinan dan distribusi pendapatan di perekonomian tersebut. SNSE juga merupakan alat analisa yang penting karena (1) analisa dengan menggunakan SNSE
dapat menunjukkan dengan baik dampak dari
suatu kebijakan ekonomi terhadap pendapatan masyarakat, dengan demikian dapat diketahui dampak dari suatu kebijakan ekonomi terhadap masalah kemiskinan dan distribusi pendapatan; (2) analisa dengan SNSE relatif
1
Definisi matriks partisi dapat dilihat dalam Searle, S. R. 1982 : Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and Sons. New York.
sederhana, dengan demikian penerapannya dapat dilakukan dengan mudah di berbagai negara2. Dalam melakukan analisa menggunakan SNSE, perhitungan matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu SNSE merupakan suatu teknik/langkah penting. Dengan mendapatkan matriks pengganda dari suatu SNSE dapat dilihat dampak dari suatu kebijakan terhadap berbagai sektor di dalam suatu perekonomian, termasuk di dalamnya dampak sebuah kebijakan terhadap pendapatan masyarakat.
Dekomposisi matriks pengganda suatu
SNSE dilakukan untuk memperjelas proses penggandaan dalam suatu perekonomian; dengan kata lain dekomposisi matriks pengganda dapat menunjukkan tahapan dampak yang terjadi akibat penerapan sebuah kebijakan terhadap berbagai sektor di suatu perekonomian. Dari beberapa macam dekomposisi matriks pengganda, dekomposisi matriks pengganda yang dikembangkan oleh Pyatt dan Round (1979)3 yang relatif banyak digunakan. Pada dekomposisi matriks pengganda ini, Pyatt dan Round memecah matriks pengganda menjadi tiga buah matriks dekomposisi yang disebut matriks pengganda transfer, matriks pengganda open loop, dan matriks pengganda closed loop. Secara umum matriks pengganda transfer menunjukkan dampak langsung aktivitas sebuah sektor terhadap sektor lainnya di dalam blok yang sama. Matriks pengganda open loop menunjukkan dampak aktivitas sebuah sektor terhadap sektor-sektor di blok lainnya. Sedangkan matriks closed loop menunjukkan dampak aktivitas sebuah sektor terhadap sektor lainnya di dalam blok yang sama setelah terlebih dahulu mempengaruhi sektor-sektor di blok lain. Pentingnya matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu SNSE menuntut kepastian bahwa dari setiap SNSE selalu dapat diturunkan sebuah matriks pengganda dan beberapa matriks yang merupakan dekomposisi matriks pengganda. Dengan demikian terjamin bahwa untuk 2
3
Sebuah SNSE dapat juga dibuat untuk lingkup perekonomian yang lebih kecil dari negara, misalnya untuk tingkat provinsi, kabupaten, dan bahkan kota. Sebaliknya, sebuah SNSE dapat juga dibuat untuk lingkup yang lebih besar dari negara, misalnya tingkat continental atau bahkan sebuah SNSE dunia. Dekomposisi matriks pengganda diperkenalkan oleh Pyatt dan Round, 1979 : Accounting and Fixed Price Multipliers in a Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89:850-873.
setiap SNSE, tidak peduli untuk wilayah perekonomian mana, dapat dilakukan analisa matriks pengganda dan dekomposisinya untuk melihat dampak sebuah kebijakan ekonomi terhadap aktivitas perekonomian di wilayah tersebut. Tulisan ini bermaksud membuktikan bahwa dari setiap SNSE akan selalu dapat diturunkan (1) sebuah matriks pengganda dan (2) dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round. Dengan kata lain, tulisan ini akan membuktikan eksistensi matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu SNSE.
2.
Teknik Analisa SNSE Dalam bagian ini akan diperlihatkan bagaimana SNSE dituliskan dalam
bentuk matriks partisi, yang selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana matriks pengganda diturunkan dari kerangka SNSE dan bentuk dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round.
Kerangka Dasar SNSE SNSE merupakan sebuah matriks yang merangkum neraca sosial dan ekonomi secara menyeluruh. Neraca-neraca (account) tersebut dikelompokkan menjadi dua kelompok, yakni kelompok neraca-neraca endogen dan kelompok neracaneraca eksogen. Secara garis besar kelompok neraca-neraca endogen dibagi dalam tiga blok: blok neraca faktor produksi, blok neraca institusi dan blok neraca aktivitas (kegiatan) produksi. Untuk menyingkat penulisan, ketiga blok tersebut selanjutnya akan disebut sebagai blok faktor poduksi, blok institusi dan blok kegiatan produksi. Secara sederhana kerangka dasar SNSE diberikan di bawah ini.
Gambar 2.1 Kerangka Dasar SNSE PENGELUARAN Faktor Produksi P E N E R I M A A N
Neraca Endogen Institusi Kegiatan Produksi
Neraca Eksogen
TOTAL
Faktor Produksi
0
0
T13
T14
y1
Institusi
T21
T22
0
T24
y2
Kegiatan Produksi
0
T32
T33
T34
y3
Neraca Eksogen
T41
T42
T43
T44
y4
TOTAL
y’1
y’2
y’3
y’4
Neraca Endogen
Sumber: BPS (1993) Kerangka dasar pembentukan SNSE ini adalah berbentuk matriks partisi yang berukuran 4 x 4. Baris menunjukkan penerimaan, sedangkan kolom menunjukkan pengeluaran. Pada gambar 1, submatriks Tij digunakan untuk menunjukkan penerimaan neraca baris ke-i dari neraca kolom ke-j. Vektor yi menunjukkan total penerimaan neraca baris ke-i, sebaliknya vektor y′′j menunjukkan total pengeluaran neraca kolom ke-j. Sesuai dengan ketentuan pada SNSE, vektor yi sama dengan vektor y′′j, dengan kata lain y′′j merupakan transpose dari yi, untuk setiap i = j. Untuk dapat dengan mudah mengerti transaksi-transaksi ekonomi yang dicatat oleh sebuah SNSE, gambar 2.1.
perhatikan
Gambar 2.2 Transaksi Ekonomi Antara Agen di dalam Sebuah Perekonomian
Aktivitas Produksi T 33
T 32
T 13
Institusi
(termasuk distrbusi pendapatan rumah-tangga)
T 22
Faktor
(distribusi pendapatan dari faktor produksi)
T 21
Sumber: Thorbecke (1988) Gambar 2.2 menunjukkan transaksi ekonomi utama yang tercatat di dalam sebuah SNSE (tanda panah menunjukkan arus uang). Submatriks T13 menunjukkan alokasi nilai tambah yang dihasilkan oleh berbagai sektor produksi ke faktor-faktor produksi, sebagai balas jasa dari penggunaan faktorfaktor produksi tersebut.
Misalnya upah dan gaji sebagai balas jasa bagi
penggunaan faktor produksi tenaga kerja.
Submatriks T21 menunjukkan
alokasi pendapatan faktor produksi ke berbagai institusi, yang umumnya terdiri dari rumah tangga, pemerintah, dan perusahaan.
Dengan perkataan lain,
matriks ini merupakan matriks yang merekam distribusi pendapatan dari faktor produksi ke berbagai institusi. Sebagai contoh, sebagian pekerja di sektor pertanian merupakan anggota dari kelompok masyarakat petani pemilik tanah kecil. Dengan demikian ada uang yang mengalir dari sektor pekerja tani ke kelompok masyarakat pemilik tanah pertanian kecil. Submatriks T22 menunjukkan transfer pembayaran antar institusi, misalnya pemberian subsidi dari pemerintah kepada rumah tangga, pemberian subsidi dari perusahaan
kepada rumah tangga, atau pembayaran transfer dari rumah tangga ke rumah tangga yang lain. Submatriks T32 menunjukkan permintaan terhadap barang dan jasa oleh institusi, dengan kata lain menunjukkan uang yang dibayarkan pihak institusi ke sektor produksi untuk membeli barang dan jasa yang dikonsumsi. Submatriks T33 menunjukkan permintaan barang dan jasa antar industri atau transaksi antar sektor produksi. Selain submatriks-submatriks tersebut,
SNSE juga mencatat submatriks transaksi ekonomi di sektor
perbankan dan transaksi ekonomi dengan pihak luar negeri.
Matriks Pengganda Matriks Pengganda dalam kerangka SNSE begitu penting, karena matriks tersebut dapat menangkap seluruh dampak dari perubahan suatu sektor terhadap sektor lainnya di dalam ekonomi; dan juga digunakan untuk menjelaskan dampak yang terjadi pada neraca endogen akibat perubahan neraca eksogen. Berdasarkan Gambar 1. dapat dituliskan suatu matriks partisi yang berbentuk 4x3 sebagai berikut : 0 0 T13 T 21 T 22 0 C = 0 T 32 T 33 T 41 T 42 T 43
(1)
Berdasarkan (1) dapat dituliskan kembali suatu matriks partisi yang juga berbentuk 4x3 :
0 0 A 13 A 21 A 22 0 E= 0 A 32 A 33 A 41 A 42 A 43
(2)
di mana semua elemen pada setiap submatriks Aij diperoleh dengan menghitung nilai kecenderungan pengeluaran rata-rata (average expenditure propensity) yang dinyatakan dalam proporsi (perbandingan).
Nilai ini
diperoleh dengan cara membagi masing-masing elemen dari setiap submatriks
Tij dengan nilai total kolom. Dengan perkataan lain dapat dinyatakan sebagai bentuk : ˆ −1 Aij = TijY j
(3)
di mana Aij
adalah submatriks dari E pada baris ke-i, kolom ke-j.
Tij
adalah submatriks dari C pada baris ke-i, kolom ke-j.
Yj-1 adalah matriks diagonal yang dibentuk dari nilai-nilai total kolom yang terdapat pada vektor kolom ke-j. Selanjutnya, untuk menurunkan matriks pengganda dari kerangka dasar SNSE,
maka perlu didefinisikan terlebih dahulu dua buah vektor sebagai
berikut : 1. mij adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan jumlah baris dari submatriks Tij untuk i = 1, 2, 3, 4. dan j = 1, 2, 3. 2. xi
adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan jumlah baris dari submatriks Ti4 untuk i = 1, 2, 3, 4.
Sehingga berdasarkan kerangka dasar SNSE,
diperoleh bentuk persamaan
sebagai berikut :
y 1 = m13
+ x1
y 2 = m 21 + m 22
+ x2
y3 =
m 32 + m 33 + x 3
(4)
y 4 = m 41 + m 42 + m 43 + x 4
Selanjutnya,
berdasarkan nilai-nilai pada submatriks Aij dan vektor yj
diperoleh persamaan sebagai berikut : Aijy j = mij
Berdasarkan bentuk (4) dan (5) diperoleh bentuk persamaan sebagai berikut :
(5)
y1 = A13y 3
+ x1
y 2 = A 21y1 + A 22 y 2 + x2 y3 = A32 y 2 + A33y 3 + x3
(6)
y 4 = A 41y1 + A 42 y 2 + A 43y 3 + x 4 Bentuk (6) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut : 0 y1 y2 A = 21 y3 0 y4 A 41
0 A13 A 22 0 A 32 A 33 A 42 A 43
x1 y1 x y2 + 2 x3 y3 x4
(7)
Dengan memperhatikan bentuk (7) di atas, setiap Aij untuk i,j = 1, 2, 3; merupakan matriks semi positif4. Selanjutnya bentuk (7) dapat ditulis kembali sebagai :
0 0 A 13 y1 y 2 = A 21 A 22 0 y3 0 A 32 A 33
y1 x1 y2 + x2 y3 x3
(8)
y 4 = A 41 y 1 + A 42 y 2 + A 43 y 3 + x 4
(9)
dan
Dari bentuk (9) dapat dilihat bahwa nilai y4 dapat diperoleh apabila y1, y2 dan y3 diketahui. Neraca xi untuk i = 1, 2, 3 dan 4 merupakan neraca eksogen dalam kerangka SNSE. Selanjutnya bentuk (8) dapat ditulis dalam bentuk :
4
Definisi matriks semi positif dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York.
y = Ay + x
(10)
dengan
y1 y = y2 , y3
0 0 A 13 A = A 21 A 22 0 0 A 32 A 33
dan
x1 x = x2 x3
Di dalam penerapan SNSE, diperoleh kenyataan bahwa matriks A22, A33 dan A adalah matriks segi5, sedangkan matriks A13, A21 dan A32 tidak selalu matriks segi6. Jika matriks (I – A) diasumsikan matriks tak singular agar matriks (I – A) memiliki invers, maka bentuk (10) dapat ditulis kembali sebagai bentuk y = Ay + x ⇔ y = (I − A) −1 x ⇔ y = Ma x
(11)
dengan Ma = (I – A)-1 yang disebut sebagai matriks pengganda (multiplier matrix). Bentuk (11) menjelaskan bahwa pendapatan neraca endogen (blok
faktor produksi, blok institusi dan blok kegiatan produksi) akan berubah sebesar Ma akibat perubahan 1 unit neraca eksogen dengan asumsi bahwa variabel harga diperlakukan secara tetap dan elastisitas pendapatan (pengeluaran) dianggap sama dengan satu. Selanjutnya,
matriks pengganda Ma di atas dapat diuraikan menjadi
pengganda transfer, pengganda open loop, pengganda closed loop. Untuk tujuan penguraian matriks pengganda, Pyatt dan Round (1979) melakukan dekomposisi terhadap matriks pengganda yang hasilnya adalah : Ma = M3 M2 M1
(12)
Definisi mengenai matriks segi dapat dilihat dalam Ayres, 1962: Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill, Inc. New York. 6 Di dalam penerapan SNSE, banyaknya jenis institusi, banyaknya kegiatan produksi, dan banyaknya jenis faktor produksi tidak harus selalu sama. 5
dengan M1 adalah pengganda transfer, yang menunjukkan pengaruh dari satu blok pada dirinya sendiri. M1 = (I − A1 ) −1
(13)
A1 adalah matriks diagonal dari A 0 0 0 A1 = 0 A22 0 0 0 A33
(14)
sehingga dalam bentuk matriks: I 0 0 M1 = 0 (I − A22 ) −1 0 0 0 (I − A33 ) −1
(15)
Dengan pengganda transfer ini dapat diketahui pengaruh injeksi pada sebuah sektor terhadap sektor lain dalam satu blok yang sama, setelah melalui keseluruhan sistem di dalam blok tersebut, sebelum berpengaruh terhadap blok yang lain.
Dalam memahami pengganda ini,
kita seolah-olah berasumsi
bahwa injeksi pada suatu sektor hanya berpengaruh terhadap sektor-sektor lain dalam satu blok yang sama, dan tidak terhadap sektor-sektor yang berada pada blok yang lain. M2 adalah pengganda open loop atau cross-effect, yang merupakan pengaruh dari suatu blok ke blok yang lain. Injeksi pada salah satu sektor dalam sebuah blok tertentu akan berpengaruh terhadap sektor lain di blok yang lain setelah melalui keseluruhan sistem dalam blok yang lain tersebut.
M 2 = (I + A * + A *2 )
(16)
Dengan demikian pengganda open loop adalah : I A*13 A*32 A*13 M2 = A*21 I A*21A*13 A*32 A*21 A*32 I
(17)
dengan * 0 0 A 13 A * = M1A 2 = (I − A1 ) −1 (A − A1 ) = A *21 0 0 0 A *32 0
(18)
di mana * A 13 = A 13
(19)
A *21 = ( I − A 22 ) −1 A 21
(20)
A *32 = ( I − A 33 ) −1 A 32
(21)
M3 adalah pengganda closed loop, merupakan pengaruh dari suatu blok ke blok yang lain,
untuk kemudian kembali pada blok
semula. M3 = (I − A*3 ) −1
(22)
Dengan demikian pengganda closed loop adalah: * (I − A13 A*32A*21) −1 0 0 * * * −1 (I − A21A13A32 ) M3 = 0 0 * * −1 (I − A32A*21A13 ) 0 0
3. Eksistensi
(23)
Matriks Pengganda dan Dekomposisi Matriks
Pengganda Pyatt dan Round Pada bagian ini akan dibuktikan eksistensi matriks pengganda dan memperlihatkan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round untuk setiap SNSE. Untuk membuktikan bahwa matriks pengganda Ma selalu ada, akan dibuktikan bahwa matriks (I–A) bukan matriks singular. Dengan berhasil dibuktikannya eksistensi Ma, maka selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Ma selalu dapat didekomposisi menjadi M3, M2 dan M1.
Eksistensi Matriks Pengganda Matriks A yang terdiri dari submatriks A13, A21, A22, A32 dan A33 adalah matriks semi positif7. Dengan demikian, jika matriks A tidak dituliskan dalam bentuk (10), maka A dapat dituliskan sebagai A = [aij] ∈ ℜnxn di mana aij ≥ 0 untuk semua i dan j dan aij > 0 untuk beberapa i dan j. Selanjutnya, dengan memperhatikan setiap submatriks dari A yang dinyatakan dalam bentuk (3), maka elemen-elemen pada matriks A kurang dari satu dan dengan adanya neraca eksogen, jumlah elemen dalam tiap kolom matriks A juga kurang dari satu. Dengan demikian diperoleh kesimpulan bahwa elemen-elemen pada matriks A memenuhi dua kondisi di bawah ini, 1. 2.
0 ≤ a ij < 1 n i=1
a ij < 1
∀ i, j ∀ j
(24)
Selanjutnya, karena matriks A berukuran nxn maka matriks (I–A) juga akan berukuran nxn dan semua elemen matriks (I–A) yang tidak terletak pada diagonal utama bernilai tak positif serta semua elemen matriks (I–A) yang terletak pada diagonal utama bernilai positif, dengan kata lain bahwa (1–aii) > 0, untuk setiap i dan aij ≤ 0, untuk i ≠ j. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, matriks pengganda diperoleh dari bentuk (11).
Matriks pengganda dapat dijamin eksistensinya dengan
menggunakan dua teorema berikut : Teorema 1 Jika matriks A = [aij] ∈ ℜnxn dengan elemen-elemennya memenuhi kondisi (24),
maka matriks M
yang didefinisikan sebagai (I–A) adalah matriks
diagonal dominan8. _____________________________________________________________ 7. Definisi matriks semi positif dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York. 8. Definisi matriks diagonal dominan dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York.
Bukti : Berdasarkan premis diperoleh n pertidaksamaan sebagai berikut, n i ==1
aij < 1 ; j = 1,2,3,..., n
(25)
Definisikan matriks M = (I–A),
maka elemen-elemen matriks M dapat
dituliskan dalam bentuk,
1 − aij , i = j M = [ mij ] = − aij , i ≠ j Perhatikan bentuk (25), jika dikurangi dengan a11 dikurangi dengan
a22,
kedua ruas pada pertidaksamaan pertama
kemudian kedua ruas pada pertidaksamaan kedua demikian seterusnya hingga pertidaksamaan ke-n,
maka diperoleh n pertidaksamaan yang baru sebagai berikut,
i≠ j
aij < 1 − a jj ; j = 1,2,3,..., n
Dengan memperhatikan bentuk (26) dan matriks M,
(26)
diperoleh kenyataan
bahwa setiap kolom pada matriks M, elemen-elemennya memenuhi kondisi syarat cukup matriks diagonal dominan apabila dituliskan dalam bentuk, 1 − a jj >
i≠ j
aij , j = 1,2,..., n
(27)
Dengan demikian pertidaksamaan pertama hingga pertidaksamaan ke-n dalam (27) tak lain menyatakan bahwa elemen matriks M memenuhi kondisi syarat cukup matriks diagonal dominan, yaitu: m jj >
i≠ j
mij ,
j = 1,2,3,..., n
(28)
Sehingga berdasarkan (28), maka matriks M adalah matriks diagonal dominan. ■
Teorema 2 Jika A ∈ ℜnxn merupakan matriks diagonal dominan, maka A tak singular. Bukti : Andaikan matriks A matriks singular. Diketahui matriks A adalah matriks diagonal dominan sehingga ada bilangan positif
d1, d2, …, dn yang
berimplikasi bahwa,
d j a jj >
i≠ j
j = 1,2,...,n
di aij ,
(29)
Jika bilangan positif d1, d2, …, dn di atas dituliskan sebagai elemen diagonal utama dari matriks diagonal D yang berukuran nxn, kemudian pilih matriks B = DA, maka akan diperoleh matriks B mempunyai diagonal dominan. Karena matriks B mempunyai diagonal dominan maka diperoleh kenyataan bahwa, bjj >
i≠ j
j =1,2,...,n
bij ,
(30)
Karena matriks A singular maka matriks BT juga matriks singular, sehingga ada x ≠ 0 sedemikian sehingga BT x = 0. Dari BT x = 0 diperoleh, x j b jj +
i≠ j
xi bij = 0,
j = 1,2,..., n
(31)
x i bij , j = 1, 2 ,..., n
(32)
atau, x j b jj =
i≠ j
x i bij ≤
i≠ j
Dengan mengambil J sebagai gugus indeks sedemikian sehingga | xj| ≥ |xi|, ∀ i = 1,2,…,n, j ∈ J, maka diperoleh, x j b jj ≤
i≠ j
x i b ij ≤
i≠ j
x j b ij , j ∈ J
(33)
Dari (33) akan diperoleh, b jj ≤
i≠ j
bij ,
j∈J
(34)
Dengan demikian terdapat kontradiksi antara (30) dengan (34), maka haruslah matriks A tak singular.
■
Dengan demikian matriks pengganda yang dituliskan dalam bentuk (11) selalu dapat dijamin eksistensinya dengan kedua teorema di atas.
Dekomposisi Matriks Pengganda Pyatt dan Round Bagian ini akan memperlihatkan dekomposisi matriks pengganda Ma. Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa setiap matriks pengganda Ma akan selalu dapat didekomposisi dalam bentuk dekomposisi yang dijabarkan oleh Pyatt dan Round atau seperti yang dituliskan dalam persamaan (12). Perhatikan matriks A dalam (10) seperti yang dituliskan dalam bab sebelumnya, dapat dituliskan kembali sebagai bentuk : 0 0 A13 0 0 A13 0 0 0 A 21 A 22 0 = 0 A 22 0 + A 21 0 0 0 A 32 A 33 0 0 A 33 0 A 32 0
(35)
A = A1 + A2
(36)
atau,
Penulisan bentuk matriks A dalam (10) menjadi bentuk (35) dimaksudkan untuk dapat memisahkan elemen-elemen diagonal, yaitu matriks A22 dan A33 dari elemen-elemen lainnya yaitu A13, A21 dan A32. Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa matriks pengganda dapat didekomposisi dalam bentuk (12),
perlu dituliskan beberapa definisi dan
teorema sebagai berikut : 1. Definisikan matriks M1 sebagai bentuk : I 0 0 M 1 = (I − A 1 ) −1 = 0 I − A 22 0 0 0 I − A 33
−1
(37)
2. Definisikan matriks A* sebagai bentuk : 0 0 A *13 A * = M 1 A 2 = A *21 0 0 * 0 A 32 0
(38)
* A 13 = A 13
di mana
A *21 = ( I − A 22 ) −1 A 21 A *32 = ( I − A 33 ) −1 A 32 3. Berdasarkan (38), dapat didefinisikan matriks A*2 dan A*3 sebagai bentuk :
A *2
* 0 A 13 A *32 0 * * = 0 0 A 21 A 13 A *32 A *21 0 0
(39)
A *3
A *13 A *32 A *21 0 0 * * * = 0 A 21 A 13 A 32 0 * 0 0 A 32 A *21 A *13
(40)
4. Definisikan matriks M2 dan M3 sebagai bentuk :
M 2 = (I + A * + A *2 )
(41)
dan
M 3 = (I − A *3 ) −1
(42)
Teorema 3 Misalkan A = [aij] ∈ ℜnxn di mana 0 ≤ a ij < 1 n i =1
a ij < 1
∀ i, j ∀ j
maka, ∞
k =0
A k → ( I − A ) −1 ⇔ S N → (I − A ) −1
dengan
SN =
N k =0
Ak
(berlaku untuk N yang cukup besar)
Bukti : Misalkan (I – A)-1 ada, maka akan dibuktikan: ( ) ∞ k =0
A k konvergen ke (I − A ) −1 berarti bahwa S N =
(I − A )
−1
N
A k juga kenvergen ke
k =0
(jelas)
(⇐) =
SN
N
A k = I + A + A 2 + ... + A N
k =0
S N ( I − A ) = ( I + A + A 2 + ... + A N )( I − A ) = I − A N +1 limit A N + 1 = 0
Klaim :
N→∞
(penjelasan lengkap mengenai klaim di atas dapat dilihat dalam Taro Yamane, 1968 : Mathematics for Economists An Elementary Survey. Second Edition. Prentice – Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, halaman: 497-498) limit S N . limit ( I − A ) = I N→∞
N→∞
⇔ ( I − A ) limit S N = I N→∞
−1
⇔ ( I − A ) ( I − A ) limit S N = ( I − A ) −1 I N→∞
⇔ I limit S N = ( I − A ) −1 N→∞
⇔ limit S N = ( I − A ) −1 N→∞
⇔ limit N→∞
⇔
∞
N
A k = ( I − A ) −1
k =0
A k = ( I − A ) −1
k =0
jadi terbukti bahwa
∞
A k → ( I − A ) −1
k =0
■
Teorema 4 Misalkan A suatu matriks segi dan juga matriks partisi yang berbentuk blok diagonal, yang dituliskan dalam bentuk:
A=
A 11 0 0 A 22
(43)
Jika A11 dan A22 tak singular, maka A tak singular dan invers dari A dituliskan dalam bentuk : A−1 =
−1
A11 0
0 A22
(44)
−1
Bukti : Diketahui bahwa A11 dan A22 tak singular, maka A11 ≠ 0 dan A22 ≠ 0. Berdasarkan kenyataan di atas, maka A= A11A22≠ 0 yang berimplikasi bahwa A tak singular. Karena A tak singular, maka A memiliki invers. Selanjutnya, misalkan B adalah invers matriks dari A sedemikian sehingga AB = BA = I atau, A 11 0 0 A 22
B 11 B 12 = I 0 0 I B 21 B 22
(45)
Karena A11 dan A22 tak singular, maka berdasarkan (45) diperoleh kenyataan sebagai berikut, A11-1A11 B11 + A11-1 0 B21 = A11-1I ⇔
= A11-1
B11
(46)
A11-1A11 B12 + A11-1 0 B22 = A11-10 ⇔
B12 A22-10 B11
⇔
(47)
+ A22-1A22 B21 = A22-10 B21
A22-10 B12 ⇔
= 0
= 0
(48)
+ A22-1A22 B22 = A22-1I B22
= A22-1
(49)
Berdasarkan (46), (47), (48) dan (49), diperoleh bentuk, A 11 B= 0
−1
0 A 22
(50)
−1
Berdasarkan (50), terbukti bahwa A tak singular dan invers dari A dituliskan dalam bentuk (44).
■
Teorema 5 Jika matriks B = [bij] adalah matriks nxn sedemikian sehingga bij ≤ 0 untuk i ≠ j, maka kondisi-kondisi berikut setara :
(a)
Ada suatu x ≥ 0 sedemikian sehingga Bx > 0
(b)
Untuk sembarang c ≥ 0, ada suatu x ≥ 0 sedemikian sehingga Bx = c
(c)
Matriks B tak singular dan B-1 ≥ 0
(Bukti lengkap Teorema 5 dapat dilihat dalam Takayama, 1985 : Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York, hal.
383: Teorema 4.C.4)
■
Teorema 6 Misalkan A ∈ ℜnxn adalah matriks partisi yang dituliskan dalam bentuk (35). Jika matriks (I–A) tak singular,
maka matriks Ma = (I–A)-1 dapat
didekomposisi menjadi bentuk Ma = M3 M2 M1. Bukti : Misalkan matriks (I – A1)-1 dan matriks (I – A*3)-1 ada. Akan diperlihatkan bahwa Ma = M3 M2 M1. Dengan memperhatikan persaman (10) dan (35), maka persamaan (10) dapat ditulis kembali sebagai bentuk :
y = Ay + x ⇔ y = A1 y + A 2 y + x ⇔ (I − A 1 ) y = A 2 y + x ⇔ y = (I − A 1 ) −1 A 2 y + (I − A 1 ) −1 x ⇔ y = M1 A 2 y + M1x ⇔ y = A*y + M 1 x
(51)
Jika kedua ruas pada persamaan (51) dikalikan dengan matriks A* dan melakukan substitusi kembali A*y pada ruas kanan persamaan (51), maka akan diperoleh bentuk, y = A *2 y + ( I + A * ) M 1 x
(52)
Dengan cara yang sama, jika kedua ruas pada persamaan (51) dikalikan dengan matriks A*2 dan melakukan substitusi kembali A*2y pada ruas kanan persamaan (52), maka akan diperoleh bentuk, *3
*
*2
y = A y + (I + A + A )M1x *3
*
−1
*2
⇔ (I − A ) y = (I + A + A )(I − A1 ) x ⇔
*3 −1
*
*2
−1
y = (I − A ) (I + A + A )(I − A1 ) x
(53)
Selanjutnya, berdasarkan (11) diketahui bahwa, y = Ay + x ⇔ y = (I − A) −1 x ⇔ y = Ma x
(54)
Dengan demikian berdasarkan kenyataan di atas, bentuk y = (I – A)-1 x = Ma x dapat dituliskan juga dalam bentuk persamaan (53),
sehingga diperoleh
kesimpulan bahwa, y = Ma x = M3 M2 M1 x dengan
(55)
M3 = (I – A*3)-1 M2 = (I + A* + A*2) M1 = (I – A1)-1 Jadi terbukti bahwa matriks Ma dapat didekomposisi, yang dituliskan sebagai bentuk Ma = M3 M2 M1.
■
Untuk melengkapi bukti teorema di atas, maka harus ditunjukkan bahwa matriks (I – A1)-1 dan (I – A*3)-1 ada. Di bawah ini akan ditunjukkan bahwa kedua matriks tersebut ada. Akan ditunjukkan matriks (I – A1)-1 ada. Perhatikan semua elemen pada diagonal utama matriks (I – A1), di mana matriks I, (I – A22) dan (I – A33) merupakan matriks segi dengan semua elemen matriks A22 dan A33 memenuhi kondisi (24). Berdasarkan Teorema 1 (I – A22) dan (I – A33)
adalah matriks diagonal dominan. Selanjutnya,
berdasarkan Teorema 2 matriks diagonal dominan adalah matriks tak singular, (I – A22)-1 ≥ 0 dan (I – A33)-1 ≥ 0 (berdasarkan Teorema 3). Kemudian berdasarkan Teorema 4, matriks (I – A1) tak singular dan inversnya dapat dituliskan dalam bentuk , I 0 0 −1 (I − A1 ) = 0 (I − A22 ) 0 (I − A33 )−1 0 0 −1
Bentuk (56) menyatakan bahwa matriks (I – A1)-1 ada.
(56)
■
Akan ditunjukkan matriks (I – A*3)-1 ada. Perhatikan elemen-elemen matriks (I – A*3) yang telah didefinisikan dalam (42), dapat dituliskan dalam bentuk, M 3 = (I − A
*3
* A* A* I − A13 32 21 )=
0 0
0 0 * * * I − A 21A13 A 32 0 * 0 I − A*32 A*21A13
(57)
Selanjutnya, definisikan matriks P = A*13A*32A*21, matriks Q = A*21A*13A*32 dan matriks R = A*32A*21A*13. Berdasarkan penjelasan sebelumnya, diketahui A*13, A*21 dan A*32 merupakan matriks semi positif, maka matriks P, Q dan R juga merupakan matriks semi positif. Oleh karena itu matriks (I – P), (I – Q) dan (I – R) merupakan matriks nxn dengan semua elemen yang tidak terletak pada diagonal utama bernilai tak positif, sehingga matriks (I – P), (I – Q) dan (I – R) tak singular, (I – P)-1 ≥ 0, (I – Q)-1 ≥ 0 dan (I – R)-1 ≥ 0 (berdasarkan Teorema 5). Kemudian berdasarkan Teorema 4, maka matriks (I – A*3) tak singular dan inversnya dapat dituliskan dalam bentuk, 0 0 (I − P) −1 *3 −1 −1 0 0 (I − A ) = (I − Q) 0 0 (I − R) −1
Bentuk (58) menyatakan bahwa matriks (I – A*3)-1 ada.
(58)
■
Dengan demikian, Teorema 6 telah membuktikan bahwa matriks pengganda Ma dapat dinyatakan sebagai bentuk Ma = M3 M2 M1.
4. Penutup Tulisan ini telah membuktikan bahwa untuk setiap SNSE selalu dapat diturunkan (1) sebuah matriks pengganda dan (2) dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round. Dengan kata lain, tulisan ini telah membuktikan eksistensi matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round dari suatu SNSE. Dengan terbuktinya eksistensi matriks pengganda dan dekomposisinya, maka untuk wilayah perekonomian mana saja akan selalu dapat dilakukan analisa matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round untuk melihat dampak sebuah kebijakan ekonomi terhadap aktivitas perekonomian di wilayah tersebut.
Kepustakaan Anton, Howard. 1993. Aljabar Linear Elementer. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Edisi kelima. Erlangga. Jakarta. Ayres, Jr., F. 1962. Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill, Inc. New York. Ben-Israel, A. & Thomas N. E. Greville. 1974. Generalized Inverses : Theory and Applications. John Wiley and Sons. New York. BPS. 1996. Sistem Neraca Sosial Ekonomi Indonesia Tahun 1993. BPS. Jakarta. Golub, G. H. and C. Van Loan. 1989. Matrix Computations. Second edition. The Johns Hopkins University Press. Baltimore and London. Householder, A. S. 1964. The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Blaisdell. New York. Lancaster, Peter & M. Tismenetsky. 1985. The Theory of Matrices with Applications. Second edition. Academic Press. San Diego. California. Magnus, J. R. and H. Neudecker. 1988. Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. John Wiley and Sons Ltd. New York. Pyatt, G. and Round, J. 1979. Accounting and Fixed Price Multipliers in a Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89:850–873. Searle, S. R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and Sons. New York. Sutomo, Slamet. 1992. Matriks Pengganda (Multiplier Matrix) Dalam Kerangka Sistem Neraca Sosial Ekonomi. Ekonomi dan Keuangan Indonesia. Nomor 1. Volume 39:19–50. Takayama, Akira. 1985. Mathematical Economics. Cambridge University Press. New York.
Second edition.
Yamane, Taro. 1968. Mathematics for Economists : An Elementary Survey. Second edition. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.
