Eindrapport Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde

                Eindrapport   Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde   

     

Colofon  Consortium NKBW  p/a Universiteit van Amsterdam, Amstel Instituut  www.nkbw.nl      Titel: Eindrapport Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde  ISBN/EAN: 978‐90‐70786‐05‐2  NUR‐code: 918  November 2007    Samenstelling: Leendert van Gastel, Hans Cuypers, Vincent Jonker, Evert van de Vrie,  Piet van der Zanden  Bureauredactie: Mariozee Wintermans, Mark Uwland  Illustraties: Evert van der Horst  Druk: ZuidamUithof Drukkerijen      Deze publicatie is mede mogelijk gemaakt door SURF Foundation             

2 

  Inhoudsopgave  Colofon................................................................................................................................ 2 Inhoudsopgave.................................................................................................................... 3 0 ‐ Voorwoord ..................................................................................................................... 9 1 ‐ Inleiding........................................................................................................................ 13 1.1 Wat is er aan de hand? ........................................................................................... 13 1.2 Wat gebeurt er in het veld?.................................................................................... 14 1.3 Wat gebeurt er in het hoger onderwijs? ................................................................ 17 1.4 Wat wil het project NKBW? .................................................................................... 18 2 ‐ De huidige praktijk van de aansluiting wiskunde havo/vwo naar hbo/wo ................. 23 2.1 Algemeen ................................................................................................................ 23 2.2 Online zomercursussen bij Universiteit Maastricht ............................................... 24 2.3 Toetsen bij Fontys Hogescholen ............................................................................. 25 2.4 Bijspijkeren aan de Rijksuniversiteit Groningen ..................................................... 26 2.5 NKBW‐implementatieprojecten: een waaier aan activiteiten ............................... 28 2.6 NKBW en het voortgezet onderwijs ....................................................................... 30 2.7 cTWO....................................................................................................................... 30 2.8 Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren ...................................................... 30 2.9 WisBase................................................................................................................... 31 3 ‐ Wizmo.nl ...................................................................................................................... 35 3.1 Algemeen ................................................................................................................ 35 3.2 Wizmo is open en vrij te gebruiken ........................................................................ 37 3.3 Zoek en Vind Cyclus ................................................................................................ 38 3.4 Simpel zoeken met invulveld .................................................................................. 39 3.5 Simpel zoeken met tagcloud................................................................................... 39 3.6 Geavanceerd zoeken............................................................................................... 39 3.7 Bladeren in een taxonomie..................................................................................... 41 3.8 Resultatenlijst ......................................................................................................... 42 3.9 Volgorde van relevantie.......................................................................................... 42 3.10 Selecteren van een gevonden object ................................................................... 44

3.11 Quality Assessment Values ................................................................................... 44 3.12 Vragen ................................................................................................................... 45 3.13 Publicatieproces.................................................................................................... 45 3.14 Profielpagina MyWizmo........................................................................................ 45 3.15 Metadata............................................................................................................... 46 3.16 Voorbeelden van leerobjecten ............................................................................. 48 3.17 Digitale Wiskunde Omgeving (DWO).................................................................... 48 3.18 Dictaten Open Universiteit ................................................................................... 49 3.19 Online toetsen van MathMatch............................................................................ 50 3.20 Wortel TU/e .......................................................................................................... 51 4 ‐ Good practices ............................................................................................................. 55 4.1 Algemeen ................................................................................................................ 55 4.2 MAThADORE ........................................................................................................... 55 4.3 MathMatch ............................................................................................................. 57 4.4 Web‐spijkeren......................................................................................................... 58 4.5 WisWeb................................................................................................................... 59 4.6 WisFaq..................................................................................................................... 60 4.7 Kennisbank Wiskunde............................................................................................. 61 5 ‐ Onderzoek.................................................................................................................... 65 5.1 Algemeen ................................................................................................................ 65 5.2 Vo‐ho, het principe van ‘ketenbeheer’................................................................... 65 5.3 Het opstellen van een onderzoeksagenda vo‐ho ................................................... 68 5.3.1 Extra aandachtsgebied: studievoorlichting ..................................................... 69 5.4 Ontwikkelen van een aansluitmonitor wiskunde vo‐ho......................................... 70 5.5 Onderling ijken: ho‐ingangstoetsen, vo‐toetsen en eindtermen ........................... 73 5.5.1 Algemeen ......................................................................................................... 73 5.5.2 Kader bij de start van het onderzoek............................................................... 73 5.5.3 Ervaringen met het gekozen kader.................................................................. 75 5.5.4 Ervaringen met het beschrijven van de inhoud............................................... 75 5.5.5 Ervaringen met de indeling naar beheersingsniveau (A, B, C) ........................ 76 5.5.6 Ervaringen en overwegingen bij de gekozen maat voor complexiteit ............ 76 5.5.7 Naar een andere maat voor complexiteit en/of moeilijkheid......................... 79 5.5.8 Conclusies over het analysekader.................................................................... 80 5.5.9 Review van ho‐toetsen door vo‐docenten ...................................................... 81 5.5.10 Aanbevelingen voor de opzet van een vo‐ho toetsitembank ....................... 82 5.6 Onderzoek bovenbouw vwo, de JCU case study .................................................... 84

4 

5.6.1 Algemeen ......................................................................................................... 84 5.6.2 Junior College Utrecht ..................................................................................... 84 5.6.3 Wiskundeonderwijs op het JCU ....................................................................... 85 5.6.4 Het onderzoek op JCU...................................................................................... 85 5.6.5 Resultaat onderzoeksvraag 1 – JCU instroom klas 5 ....................................... 86 5.6.6 Resultaat onderzoeksvraag 2 – Onderzoek op de werkvloer van het onderwijs ................................................................................................................................... 94 5.7 Onderzoek naar de mening van docenten wiskunde vo ...................................... 104 5.8 Samenvatting Onderzoek...................................................................................... 110 6 ‐ Voortgezette samenwerking ..................................................................................... 113 6.1 Algemeen .............................................................................................................. 113 6.2 Inhoudelijke samenwerking.................................................................................. 113 6.3 Businessmodel ...................................................................................................... 114 6.3.1 Algemeen ....................................................................................................... 114 6.3.2 Uitgangspunten.............................................................................................. 114 6.3.3 Welke producten, welke gebruikers? ............................................................ 114 6.3.4 Open content ................................................................................................. 115 6.3.5 Content en licenties ....................................................................................... 116 6.3.6 SIGMA als community van docenten............................................................. 116 6.3.7 Hosting en onderhoud ................................................................................... 117 6.3.8 Beheer............................................................................................................ 117 6.3.9 Stichting Vrienden van Open Wiskundecontent ........................................... 117 6.3.10 Groeipad ...................................................................................................... 117 Bijlage 1 – Index .............................................................................................................. 121 Bijlage 2 – Verwijzingen .................................................................................................. 127    

6 

Voorwoord       

 

 

7

 

8 

0 ­ Voorwoord  Het is geen eenvoudige opgave om in een jaar tijd een project van de omvang van  NKBW op de rails te krijgen en in diezelfde tijd dat project ook weer af te ronden en te  evalueren.  Desalniettemin mogen we constateren dat een grote groep mensen de  noodzaak inzag van het gedefinieerde werk en daar de schouders onder heeft  gestoken.  In het NKBW samenwerkingsverband zijn krachten bij elkaar zijn gekomen die het  mogelijk maken om tot een landelijke aanpak van het aansluitprobleem wiskunde  voortgezet onderwijs (vo) – hoger onderwijs (ho) te komen. Maar, er moet ook  geconstateerd worden dat er nog veel gedaan moet worden.    Uit de implementatieprojecten van de NKBW partners komt naar voren dat men het op  prijs stelt dat individuele oplossingen voor het aansluitprobleem nu gebundeld kunnen  worden en ondersteund door een gezamenlijk aanbod via o.a. www.wizmo.nl en via een  landelijk netwerk van betrokken docenten/instellingen uit het hoger onderwijs en het  voortgezet onderwijs.  Het is daarbij belangrijk een onderhoudsmodel te krijgen om de verzamelde materialen  uptodate te houden en aan te vullen met nieuwe materialen. Het product van NKBW  laat zien dat zowel het voortgezet onderwijs als het hoger onderwijs profijt kunnen  hebben van de gekozen landelijke aanpak, waarbij het zaak is de komende periode ook  meer aandacht te schenken aan hbo‐instellingen die van de opbrengsten van NKBW  gebruik kunnen maken.    Terwijl dit eindrapport wordt opgeleverd zijn er al initiatieven genomen voor  vervolgstappen, waarbij onder andere gekeken wordt naar een mogelijke stichtingsvorm  voor ‘open wiskunde content’, naast de mogelijkheden die de bestaande infrastructuur  al biedt (SIGMA vanuit het hoger onderwijs en diverse belangengroepen vanuit het  voortgezet onderwijs).    Het is een belangrijk resultaat van NKBW dat de partijen ‘vo’ en ‘ho’ elkaar gevonden  hebben in een gezamenlijke aanpak van de aansluiting wiskunde en wij hopen van harte  dat een en ander in andere projecten en samenwerkingsverbanden vervolgstappen mag  krijgen.    Kernteam NKBW, november 2007    Leendert van Gastel, Hans Cuypers, Vincent Jonker, Evert van de Vrie, Piet van der  Zanden   

 

 

9

 

10 

Inleiding 

Leendert van Gastel       

 

 

11

 

12 

1 ­ Inleiding  1.1 Wat is er aan de hand?  We schrijven 2005. Studenten zijn ontevreden. Uit de IOWO instroommonitor ‘05/’06  blijkt dat de aansluiting van wiskunde problematisch is. Van alle vo‐vakken scoort de  aansluiting wiskunde het slechtst bij de vervolgopleidingen in natuur, techniek en  economie en bij vervolgopleidingen in gedrag en maatschappij het op één na slechtst. Er  is een landelijke studentenactie geweest om bij de herzieningen op het vo aandacht van  de politiek te vragen (www.lievemaria.nl) voor de problematische aansluiting.     Hoger onderwijsinstellingen zijn ontevreden. Het Nederlands hoger onderwijs kent geen  traditie van toetsen aan de poort. Maar om de instroomproblematiek grijpbaar te  maken zien we dat de laatste jaren veel opleidingen wiskundetoetsen inzetten bij de  binnenkomst van studenten. De resultaten zijn zorgwekkend, zo slaagde in 2005 slechts  vier procent bij de Universiteit Twente voor de eerste toets. Deze ontwikkelingen zijn  door de ‘boze bèta’s’ aangegrepen om het verzet tegen een urenreductie voor wiskunde  kracht bij te zetten.    Wiskundedocenten in het vo zijn ontevreden. Zij hebben het gevoel de zwartepiet  toegespeeld te krijgen. Vernieuwingen in het wiskundeonderwijs als het gebruik van de  grafische rekenmachine en het kunnen toepassen van wiskunde in context zijn blijkbaar  het hoger onderwijs ontgaan, en de vervolgopleidingen weten niet goed om te gaan met  de verschoven competenties van de nieuwe studenten.    De aansluitingsproblemen hebben de politieke aandacht gekregen. In de nieuwe  inrichting van de tweede fase is nog steeds sprake van een reductie in het aantal uren in  de wiskunde, maar minder dan oorspronkelijk voorzien. Aan de net opgerichte  vernieuwingscommissie vo wiskunde Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO)  is gevraagd om expliciet aandacht aan de vaardigheden te schenken. Bovendien is er  een ‘resonansgroep’ in het leven geroepen om vanuit het hoger onderwijs de  vernieuwingsplannen op doorstroomrelevantie door te lichten.    Met de aandacht voor vaardigheden bij de vernieuwingen in het wiskundeonderwijs is  het te verwachten dat het vaardighedenpeil bij de vo leerlingen zal stijgen,  niettegenstaande de urenreductie. Maar het is pas in 2013 dat scholieren met het  nieuwe programma van 2010 eindexamen zullen doen. Dus het probleem blijft nog  lange tijd spelen en wordt op z’n vroegst pas vanaf 2013 minder acuut.     Toch verwachten we dat gezien de aandacht voor de individuele leerwegen de  heterogeniteit in de studenteninstroom blijft. Ook de aandacht voor wiskunde bij allerlei 

 

 

13

overstapmogelijkheden van mbo naar hbo, van hbo naar wo‐master en bij de  internationale instroom is blijvend. Dus ook na 2013 zal de wiskundeaansluiting een  aandachtspunt blijven. 

1.2 Wat gebeurt er in het veld?  De profielcommissie voor Natuur en Techniek en voor Natuur en Gezondheid en de  profielcommissie voor Cultuur en Maatschappij en voor Economie en Maatschappij  hebben in de december 2006 gezamenlijk een ontwerpadvies uitgebracht. Een  belangrijk thema in dat advies is de vergroting van gecijferdheid en geletterdheid. Men  stelt zich op achter ‘actieve gecijferdheid’, als ‘de vermogens om zelfstandige  berekeningen met getallen te kunnen uitvoeren en deze te kunnen representeren in  grootheden, tabellen en andere statistieken’. Voor het gebied van de wiskunde komen  de profielcommissies met een aantal adviezen, waarvan we hier twee expliciet noemen:  • ‘Stimuleer scholen de beheersing van basiskennis op het gebied van  rekenen/wiskunde te versterken. Dit kan door het instellen van een coördinator  rekenen/wiskunde en het rapporteren van resultaten van schoolbeleid op dit terrein  in een jaarverslag en naar de Inspectie van het Onderwijs. Ontwikkel toetsen om het  niveau van rekenen en wiskunde te diagnosticeren en ontwikkel modules met  behulp waarvan leerlingen, indien nodig, parallel aan het wiskundeprogramma  basiskennis en ‐vaardigheden kunnen versterken.’  • ‘Versterk de beheersing van basiskennis en ‐vaardigheden op het gebied van  rekenen/wiskunde. Laat leerlingen in het maatschappijprofiel in zowel havo als vwo  een keuze maken uit wiskunde A, B en C. Ontwikkel een programma wiskunde C  voor het havo.’    Helaas heeft de minister bij het doorsturen naar de Tweede Kamer van het  ontwerpadvies moeten stellen dat zij niet achter het rapport staat omdat volgens haar  de profielcommissies de opdracht niet goed hebben begrepen  (www.minocw.nl/documenten/49152.pdf).    De commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO) heeft haar toekomstvisie ‘Rijk aan  betekenis’ in maart gepubliceerd. Hierin is een paragraaf over algebraïsche  vaardigheden opgenomen, die leidt tot het volgende standpunt:    ‘Het beheersingsniveau van geautomatiseerde wiskunde en in het bijzonder  algebraïsche vaardigheden vereist een voortdurende en zorgvuldige toetsing. Deze  vaardigheden dienen ook op het Centraal Examen getoetst te worden, waarbij aan de  beheersing hoge eisen worden gesteld.’    De Centrale Examencommissie Voortgezet Onderwijs (CEVO) heeft in haar  conceptsyllabi voor 2007 als onderdeel van het domein van de vaardigheden expliciet  algebraïsche vaardigheden opgenomen. Voorheen werden als vaardigheden benoemd:   

14 

• A1: Informatievaardigheden  • A2: Onderzoeksvaardigheden  • A3: Technisch‐instrumentele vaardigheden  • A4: Oriëntatie op studie en beroep    Subdomein A5: Algebraïsche vaardigheden is hieraan toegevoegd. De CEVO zegt  hierover:    ‘Subdomein A5 is nieuw en geeft aan dat algebraïsche vaardigheden ook onafhankelijk  van de grafische rekenmachine (GR) of andere ICT‐middelen moeten worden beheerst.’    De Resonansgroep wiskunde is door de minister ingesteld om te adviseren over de  relevantie van de plannen van de vernieuwingscommissie wiskunde voor de periode  vanaf 2010 met betrekking tot de doorstroom naar het wetenschappelijk onderwijs en  het hoger beroepsonderwijs. In een later stadium is ook de Resonansgroep wiskunde  nog gevraagd te adviseren over de syllabi voor de examens voor 2007. De belangrijkste  aanbevelingen van deze groep zijn:   • Zorg ervoor dat het ontwikkelen van reken‐ en formulevaardigheid weer als een  rode draad door het gehele wiskundeonderwijs heenloopt.   • Splits voor alle wiskundevakken het Centrale Schriftelijke Eindexamen (CSE) in twee  delen: een deel dat zonder hulpmiddelen (grafische rekenmachine en formulekaart)  wordt afgenomen en een deel waarin wel van deze hulpmiddelen gebruik mag  worden gemaakt.  • Heroverweeg de rol van contexten in het wiskundeonderwijs.    Het advies van de Resonansgroep wiskunde heeft felle reacties, verwoord in brieven  naar de minister toe, ontlokt, onder andere van:  • de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (www.nvvw.nl/page.php?id=1776)   • het Freudenthal Instituut (www.fi.uu.nl/nl/nieuws/reactie_resonans.pdf).    Bij de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren is de havo/vwo werkgroep bezig  met de ontwikkeling van een exittoets: een toets die laat zien over welke algebraïsche  vaardigheden een abituriënt verwacht mag worden te beschikken. We zien dit als een  zeer goede ontwikkeling omdat de juxtapositie van deze toets en de ho‐entreetoetsen,  met name de standaardtoets die in SIGMA‐verband wordt ontwikkeld, scherp in beeld  brengt waar de inhoudelijke verschillen liggen, verschillen over bijvoorbeeld wat er  verwacht wordt aan algebraïsche vaardigheden en bijbehorend wiskundig inzicht. Zijn  deze goed in kaart gebracht, dan kan daarna convergentie beter op gang komen.    De Onderwijsraad heeft het advies uitgebracht ‘Versteviging van kennis in het  onderwijs’. Dit is een vervolg op hun eerdere verkenning uit december 2006. Na  consultatie van het veld bleek dat een eenduidige conclusie over het kennisniveau in het  onderwijs en over een daling of een stijging hiervan, niet eenvoudig te trekken is. 

 

 

15

Daarom zijn drie aanbevelingen niet als zodanig gehandhaafd; repareer kennistekorten  voor Nederlands en wiskunde; verbeter de systematiek van het vaststellen en  vastleggen van onderwijsinhouden; verhoog de onderwijsnorm. In plaats daarvan zijn de  volgende aanbevelingen opgenomen:  • Waarborg de algemene bagage: voer leerstandaarden in voor primair en voortgezet  onderwijs.  • Concentreer leerinhouden: om de ruimte te scheppen en te behouden voor de basis  dient kritisch naar de vereiste onderwijsinhoud te worden gekeken en waar nodig te  worden gesaneerd.   • Waarborg het basisniveau via examens havo en vwo: de raad stelt voor om de eisen  ten aanzien van de examens Nederlands, Engels en wiskunde aan te scherpen voor  havo en vwo. Om voor een diploma in aanmerking te komen is minimaal een  voldoende voor deze drie vakken nodig.   • Maak afspraak aanvang hoger onderwijs: hierbij geeft de Onderwijsraad het  voorbeeld van Web‐spijkeren. Het is daarbij de vraag met wie deze afspraken  gemaakt moeten worden.    Begin september heeft de vernieuwingscommissie wiskunde (commissie Toekomst  Wiskunde Onderwijs) het concept eindexamenprogramma’s voor 2011 gepubliceerd.  Net als in de CEVO‐syllabi van 2007 worden binnen het domein van de vaardigheden  expliciet algebraïsche vaardigheden opgenomen:   • A.3.10. Algebraïsche vaardigheden  De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende rekenkundige en  algebraïsche vaardigheden, heeft inzicht in de bijbehorende formules en kan de  bewerkingen uitvoeren.    Daarnaast worden in de inhoudelijke domeinen per onderwerp eisen gesteld aan de  formulevaardigheid zodat uiteindelijk een breed scala aan vaardigheden van de scholier  verwacht wordt.     Verschillende partijen in het veld zijn begonnen met het vormen van een reactie. De  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren heeft een oproep gedaan onder de leden  voor reacties. De Resonansgroep zal deze herfst met commentaar komen vanuit het  perspectief van de doorstroomrelevantie. Onlangs heeft het Freudenthal Instituut een  reactie gepubliceerd (www.fi.uu.nl/nl/fictwo). We citeren:    ‘Voor ons liggen nu de cTWO‐publicaties van de voorgestelde eindtermen wiskunde A,  B, C en D. Het is treurig te moeten constateren dat dit weer een behoorlijke stap terug  lijkt te zijn. De mooie idealen en de brede visie op wiskunde zelf, namelijk wiskunde  bedrijven en wiskunde leren in een samenhangend geheel van denken en doen, van  abstractie en concretisering, zoals die in het visiedocument voorzichtig naar voren  werden gebracht, maken plaats voor:  • een opsomming van te kennen functies; 

16 

• •

uit te voeren standaardtechnieken die ten onrechte vaardigheden worden genoemd;  een extreem eenzijdige nadruk op de algoritmische uitvoering van de wiskundige  activiteit;  een zorgvuldig vermijden van dwarsverbanden;  het ontraden van het gebruik van moderne ICT‐hulpmiddelen.’ 

• •   Vooralsnog is het discours over wiskundige vaardigheden en hoe we een goede  aansluiting van vo naar ho kunnen realiseren nog niet afgerond. Wel begint er een  zekere consensus zich af te tekenen dat er meer aandacht voor de wiskundige  basisvaardigheden moet zijn. 

1.3 Wat gebeurt er in het hoger onderwijs?  In het hoger onderwijs zijn er de afgelopen jaren een aantal e‐learning projecten  opgezet die gericht zijn op de aansluitproblematiek bij wiskunde. We noemen:  • het SURF‐project ‘Web‐spijkeren’ (www.web‐spijkeren.nl);   • het DU‐project ‘MathMatch’ (www.mathmatch.nl);  • het Apollo‐project ‘Aansluiting wiskunde’  (www.apolloplatform.nl/apollo/home/583);   • het E‐merge‐project ‘Math Learning Space’ (www.e‐merge.nu/e‐merge‐themas/  doorgaande‐leerwegen/projecten/uitwerken‐math‐learning‐space‐op‐43/).  Daarnaast zijn er veel interessante lokale initiatieven zoals Wisnet van NHL en Wortel  TU/e van TU/e. Er is recentelijk een SURF‐opschalingsproject ‘Web‐spijkeren 2’  goedgekeurd dat zich richt op opschaling binnen twee instellingen (UM en UvA). In het  kader van de SURF innovatietender najaar 2006 is het plan ‘Intelligente Feedback in e‐ learning systemen’ ingediend door OU, TU/e en TUD, waarin wiskunde een voorname  rol speelt. Veel actoren, veel kaders, veel ervaring, maar eigenlijk is er nog weinig  uitwisseling en samenwerking. De projecten zijn gericht op verschillende aspecten van  deze taaie en complexe problematiek en kennen weinig overlap. Web‐spijkeren gaat  bijvoorbeeld over didactische scenario’s en instrumentatie; MathMatch levert veel  toetsen op; het Apollo‐project richt zich op eindtermen; Math Learning Space is  voornamelijk een communicatieomgeving.     Al tijdens de looptijd van de bovengenoemde projecten is het idee ontstaan om meer  samen te werken en uit te wisselen. Er is op 9 maart 2006 een goed bezochte SURF‐ conferentie geweest en als gevolg is een SURF Special Interest Group ‘SIGMA’ opgericht  die zich richt op de wiskunde aansluitingsproblematiek. De gezamenlijk geconstateerde  zorg over het aansluitprobleem leidde tot het schrijven van een projectvoorstel dat  werd ingediend in het kader van het Nationaal Actie Programma E‐learning van SURF  (www.surffoundation.nl/nap). In november 2006 werd dit plan goedgekeurd en was het  project ‘Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde’ geboren, een  samenwerking van een dozijn instellingen uit met name het hoger onderwijs (wo en  hbo) en een kleine vertegenwoordiging vanuit het vo.   

 

 

17

Dit nieuwe kader ‘NAP E‐learning’ richt zich op de verhoging van participatie in het  hoger onderwijs conform de Europese doelstellingen zoals die in de Lissabon‐strategie  zijn overeengekomen. Het biedt bij uitstek een gelegenheid om met vereende krachten  op basis van deze projecten en activiteiten een rijke omgeving te ontwikkelen rondom  de drempel vo‐ho en deze te gebruiken in de veelheid aan onderwijsvormen die hierbij  gevraagd wordt.  

1.4 Wat wil het project NKBW?  De lange‐termijn‐ambitie waar dit project aan werkt is een kennisbank voor  basisvaardigheden wiskunde die in het hele land gebruikt wordt. Het betreft een web‐ portaal en repositories die een rijke omgeving bieden met o.a.  • toetsen (feedback, adaptief);  • remediërend materiaal (interactief, adaptief);  • communicatiemogelijkheden tussen medestudenten, docenten, begeleiders.  De omgeving is inzetbaar bij verschillende onderwijsvormen, zoals zelfstudie, bijles,  reguliere colleges en werkgroepen, bijspijkergroepen, modules. Zowel informeel leren  als formeel leren wordt ondersteund. De omgeving wordt gebruikt rondom de drempel:  dat wil zeggen voor de drempel op de school als de leerlingen zich zo goed mogelijk  willen voorbereiden, bij inhaalslagen bij de toelating en na de toelating voor regulier  onderwijs, opfrissen en remediatie. De omgeving wordt ingezet voor de aansluiting vo‐ ho, voor de aansluiting hbo‐wo (master) en voor de internationale instroom. Het  nationale actieprogramma 2006 was gericht op een korte termijn van 1 jaar. Daarbinnen  was het mogelijk om een aantal substantiële stappen te zetten in de richting van deze  lange‐termijn‐ambitie.    Bij de voorbereiding en bij de uitvoering is gebleken dat alle partijen een grote  betrokkenheid en motivatie aan de dag leggen, vanaf de werkvloer tot aan het niveau  van College van Bestuur. Studenten zijn gemotiveerd. Als eenmaal een studiekeuze is  gemaakt, zijn veel leerlingen/studenten er op gebrand om goed geëquipeerd ermee te  beginnen. We zien actieve participatie aan zomercursussen en intensief gebruik van fora  zoals WisFaq.  Veel docenten uit hoger onderwijs voelen zich sterk betrokken. Vanuit de  implementatietrajecten geeft dit een sterke dynamiek aan content en portaal.  Ondertussen vindt door het gemeenschappelijke probleem op een natuurlijke manier de  opbouw plaats van een netwerk van betrokkenen, waarbij SIGMA een belangrijke rol  speelt. Docenten uit het voortgezet onderwijs voelen zich sterk bij de problematiek  betrokken en staan open voor discussie.    Ook bij de mensen van het portaalbouw zit een grote ambitie. Het onderwerp van de  wiskunde en de heterogeniteit van de gebruikers van het portaal stellen hoge eisen aan  de software achter het portaal. Met behulp van op Web 2.0 gebaseerde concepten  hebben de softwareontwikkelaars een portaal gebouwd dat aan deze hoge eisen  tegemoet komt. We treffen zoek & vind op verschillende manieren aan, gecombineerd 

18 

met tags, reviewing door gebruikers en het continu verbeteren van het aanbod op basis  van vorige zoekacties.   De ontwikkelaars van content hebben een bijzonder collectie aan content  bijeengebracht. Naast statische content van uitstekende kwaliteit wordt veel  dynamische content via het portaal ontsloten. Door nieuwe mogelijkheden voor het  genereren van applets, van tekstbladzijden en van toetsopgaven komt mede door dit  project een collectie van materialen voor wiskunde vrij waarvan we de rijkdom en de  toepassingsmogelijkheden nog niet eens in zijn volledigheid kennen.    Met dit project is een veelbelovende uitgangspositie gecreëerd waarbij aan de ene kant  de student en docent ondersteund worden bij de overstap naar een vervolgopleiding en  aan de andere kant stappen zijn ingezet om de kloof ten aanzien van  wiskundevaardigheden te overbruggen.   

   

 

 

19

20 

De huidige praktijk  van de aansluiting  wiskunde havo/vwo  naar hbo/wo  Evert van de Vrie / Vincent Jonker       

 

 

21

     

22 

2 ­ De huidige praktijk  van de aansluiting  wiskunde havo/vwo naar  hbo/wo  2.1 Algemeen  Onderdeel van het project Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde waren 17  implementatieprojecten. Doel van de implementatieprojecten was met behulp van het  portaal en beschikbare content studenten te helpen hun basisvaardigheden op peil te  brengen. Immers uiteindelijk gaat het er om dat de studenten zelf betere wiskundige  basisvaardigheden ontwikkelen, zodat ze een kansrijkere start kunnen maken in het  hoger onderwijs. De student aan de slag!  Door de beperkte looptijd van het NKBW‐project heeft men uiteindelijk nauwelijks  gebruik kunnen maken van het portaal. Het portaal zal vooral na het NKBW‐project  ingezet kunnen blijven worden in het kader van het wiskunde‐aansluitonderwijs. Wel is  veel content (wiskunde studiemateriaal, leerteksten, toetsen, etc.) gebruikt die al bij de  instellingen aanwezig was of in het kader van dit project is ontwikkeld. De ontwikkelde  content is aan het einde van het project ingevoerd in het portaal, zodat ze eveneens na  de projectperiode ook voor andere partijen beschikbaar zal zijn en blijven.    In dit hoofdstuk gaan we nader in op enkele van de implementatieprojecten om te  bezien wat er nu precies gedaan is en wat voor effecten zijn en worden bereikt.  Vanuit het hoger onderwijs worden de implementatieprojecten aan Universiteit  Maastricht, Fontys Hogeschool en Rijksuniversiteit Groningen beschreven. De drie  projecten geven een representatief beeld van wat er in alle implementatieprojecten is  gedaan. Voorts wordt een globaal overzicht gegeven van alle implementatieprojecten,  waarin vermeld wordt wat de opzet van de onderwijsactiviteiten was, welke  studiematerialen zijn ingezet en hoeveel studenten zijn bereikt. Via de NKBW‐ implementatieprojecten zijn uiteindelijk meer dan 4.000 studenten actief aan de slag  gegaan met het verbeteren van hun wiskundekennis. Daarmee heeft het NKBW‐project  een duidelijke impact gehad op het hoger onderwijs in Nederland en het bestrijden van  de ‘wiskunde aansluit problematiek’.  In de rest van dit hoofdstuk laten we enkele ‘instellingen’ (een commissie, een  vereniging en een samenwerkingsverband) in het voortgezet onderwijs zien die actief bij 

 

 

23

de aansluiting vo‐ho zijn betrokken. Het gaat dan om cTWO, NVvW en WisBase. Dit zijn  voorbeelden van instellingen die een actieve rol spelen bij het verkleinen van het  aansluitprobleem. 

2.2 Online zomercursussen bij Universiteit  Maastricht  De Universiteit Maastricht richt zich steeds nadrukkelijker op de Europese  onderwijsmarkt. Hoe langer hoe meer studenten komen uit het buitenland, in het  bijzonder uit Duitsland. Sinds de eerste grote buitenlandse instroom rond 2000 werd  duidelijk dat de variatie in wiskunde voorkennis zo groot was, dat er behoefte ontstond  aan cursussen om studenten op een gelijk niveau te krijgen. In 2002 is begonnen met  het verzorgen van zomercursussen volgens een afstandsonderwijsmodel.   In die tijd waren de cursussen vooral van belang voor die buitenlandse studenten die  zwakke wiskundige vaardigheden hadden. Door veranderingen in het onderwijs in het  buitenland (voornamelijk Duitsland) en de stijgende reputatie van de Universiteit  Maastricht waardoor de betere student wordt aangetrokken, is het niveau van de  buitenlandse studenten ondertussen gestegen. Desalniettemin blijven veel buitenlandse  studenten deelnemen aan de zomercursussen om beter voorbereid aan de universitaire  studie in Maastricht te starten.  In dezelfde periode is het niveau van wiskundekennis en ‐vaardigheden van de  instromende Nederlandse studenten gedaald. Juist voor de Nederlandse studenten zijn  de zomercursussen nu dus van belang. Deze studenten zijn echter nog weinig  gemotiveerd om in de zomerperiode aan de aangeboden onderwijsmogelijkheden deel  te nemen.   De cursussen zijn facultatief; studenten zijn vrij om al dan niet aan de cursussen deel te  nemen. De faculteit ziet de cursussen echter steeds meer als een onderscheidende asset  in de internationale concurrentie om studenten te trekken.  Voor de afstandsonderwijscursussen werd tot nu toe het systeem ‘Aleks’ ingezet. Aleks  is een volledig geautomatiseerde leeromgeving voor wiskundeonderwijs. Voor  studenten wordt een bepaald doel gesteld dat ze moeten bereiken. Ze gaan aan de slag  met opgaven en afhankelijk van hoe goed ze die maken, krijgen ze herhalingsstof,  herhalingsopgaven of nieuwe opgaven voorgeschoteld. In deze ‘adaptieve’  leeromgeving wordt voortdurend bijgehouden hoe ver iedere student is met zijn of haar  vorderingen. Tevens kan de docent de vorderingen van de studenten monitoren.   Momenteel wordt ook gebruik gemaakt van de elektronische leeromgeving Blackboard,  waarin eenzelfde aanpak wordt geïmplementeerd als in Aleks aanwezig is. Hiervoor  wordt content ontwikkeld.   Daarnaast wordt momenteel veel aandacht besteed aan onderzoek naar de effectiviteit  van de ingezette middelen. Dit is mogelijk omdat met de aansluitcursussen nu veel  studenten worden bereikt. In de zomer van 2007 betrof het zo’n 200 studenten. Eerder  waren de aantallen deelnemende studenten beperkt maar nu de aantallen groter zijn,  kan betrouwbaarder onderzoek gedaan worden naar effectiviteit. Juist dit aspect kon  worden bereikt in het NKBW‐project. Als uiteindelijk goed onderbouwde conclusies uit 

24 

het onderzoek kunnen worden getrokken, kan het Maastrichtse NKBW‐ implementatieproject als succesvol worden gekwalificeerd naast natuurlijk het feit dat  veel individuele studenten beter voorbereid aan hun universitaire studie in Maastricht  starten.  De grote aandacht die in Maastricht wordt gegeven aan de aansluitproblematiek, was  mogelijk dankzij deelname aan diverse projecten in voorbije jaren. Achtereenvolgens is  geparticipeerd in Web‐spijkeren, Web‐spijkeren 2, E‐merge en nu dus NKBW. Zonder  deelname aan dit soort projecten zou het niet mogelijk zijn geweest de aandacht te  geven aan de studenten zoals nu gerealiseerd met betrekking tot het wiskunde‐ aansluitonderwijs.  Betrokken docenten van de Universiteit Maastricht zijn zeer gemotiveerd om de  wiskunde‐aansluitcursussen verder door te ontwikkelen en in te zetten. Mogelijk dat ze  onderdeel kunnen worden van ‘pre university education’ zodat nog grotere groepen  internationale studenten bereikt en geworven kunnen worden. 

2.3 Toetsen bij Fontys Hogescholen  Ook bij Fontys Hogescholen is het probleem met de wiskundevoorkennis al een aantal  jaren aanwezig en lijkt de situatie steeds slechter te worden. De invoering van de  grafische rekenmachine op de middelbare scholen lijkt het niveau van de  basisvaardigheden wiskunde bepaald niet te verhogen, hoewel dit nog nader  onderzocht zou moeten worden. Juist in toepassingsvakken als mechanica en optica  komt kennistekorten naar voren.   Ook bij de studenteninstroom vanuit het mbo wordt de situatie ernstiger. Voorheen  waren er ‘doorstroomtrajecten’ met veel aandacht voor onder andere wiskunde naast  natuurkunde en Engels. Sinds die doorstroomtrajecten zijn afgeschaft, is het voor veel  instromende mbo‐leerlingen een aantal jaren geleden dat ze wiskundeonderwijs  hebben gevolgd terwijl ook in de toegepaste vakken de aandacht voor wiskunde zeer  beperkt was. De startniveaus zijn dan ook bijzonder problematisch.  Momenteel is er een brede cursus met aandacht voor basale rekenvaardigheden en  eenvoudige wiskunde. De cursus is niet uniform voor de diverse opleidingen. Gestart  wordt met een diagnostische toets en aan het einde is een afsluitende toets. Daarna  volgen diverse cursussen wiskunde die specifiek zijn toegesneden op de behoeften van  de verschillende opleidingen.  Een belangrijke reden voor Fontys om te willen participeren in het NKBW‐project was de  ontwikkeling van het portaal met wiskundestudiemogelijkheden. Het spreekt studenten  aan om op die manier hun individuele deficiënties weg te werken. Het feit dat het  portaal niet tijdig beschikbaar is gekomen was dan ook een tegenvaller binnen Fontys.  Binnen het Fontys NKBW‐implementatieproject is de aandacht nu vooral gericht op het  uitvoeren van een ingangstoets, het verzorgen van een programma waarin aan het  basisniveau wordt gewerkt en het afnemen van een natoets. Voor het uitvoeren van de  toetsen is een geautomatiseerde toetsbank in N@tschool ontwikkeld. De ontwikkeling  daarvan was niet mogelijk geweest zonder het NKBW‐project. Deze toetsbank is nu  goed inzetbaar maar zal nog verder uitgebreid moeten worden om alle opleidingen 

 

 

25

voldoende te bedienen. In de huidige versie worden zo’n 300 studenten van Fontys  bereikt via het NKBW‐implementatieproject.  Daarnaast zijn in het kader van het NKBW‐project contacten gezocht en versterkt met  de ‘aanleverende’ opleidingen. Juist ook door een goede afstemming van het onderwijs  kan de aansluitproblematiek worden bestreden. Momenteel worden er opnieuw  veranderingen in het wiskundeprogramma bij het aanleverende onderwijs doorgevoerd  die de urgentie van goede contacten versterken. Problematisch is echter dat er geen  ‘platformen’ zijn waarop de diverse partijen elkaar treffen zodat het vooralsnog moeilijk  is om de discussie en kennisuitwisseling op een goede manier te organiseren. In het  gezamenlijk door vo, mbo en ho zoeken naar oplossingen voor de wiskunde‐ aansluitproblematiek zou eigenlijk het succes van het NKBW‐project moeten liggen.  Naast natuurlijk het feit dat de huidige groepen studenten dankzij het Fontys NKBW‐ implementatieproject hun wiskundekennis en ‐vaardigheden op een hoger niveau  hebben kunnen brengen.  De diversiteit van aanleverende opleidingen en de variatie in behoefte aan  wiskundekennis bij vervolgopleidingen zullen komende jaren eerder toe‐ dan afnemen.  Naast een goede kennis van deze ontwikkelingen zal er dan ook een gevarieerd aanbod  van mogelijkheden moeten zijn om op al deze aansluitsituaties effectief in te kunnen  spelen en te garanderen dat studenten niet onnodig vastlopen in een eventuele  wiskundedeficiëntie. 

2.4 Bijspijkeren aan de Rijksuniversiteit Groningen  Bij diverse opleidingen aan de Rijksuniversiteit Groningen speelt de wiskunde‐ aansluitproblematiek al een aantal jaren, in het bijzonder bij de exacte opleidingen maar  ook aan de economische opleidingen. Eerder al zijn projecten uitgevoerd om deze  problematiek te bestrijden, onder andere in het kader van het Apollo‐project bij  eerstejaarsstudenten wiskunde, natuurkunde, scheikunde, farmacie en sterrenkunde.  In het studiejaar 2006‐2007 zijn toetsen afgenomen zodat studenten hun  wiskundekennis in kaart konden brengen. Aan de hand daarvan konden studenten hun  basale wiskundevaardigheden verbeteren en opnieuw deelnemen aan een toets.  Door deelname aan het NKBW‐project is het mogelijk geweest om intensief te  overleggen over de onderwerpen, de toetsvragen en het remediërend materiaal, en kon  er een aparte ‘Opfriscursus wiskunde’ worden ontwikkeld. Voorts konden dankzij het  NKBW‐project verantwoorde keuzes worden gemaakt over leerstof en software.  De belangrijkste reden voor de Rijksuniversiteit Groningen om deel te nemen aan het  NKBW‐project was echter het uitwisselen van kennis en ervaringen met andere  instellingen. Dankzij die kruisbestuiving kon het RUG‐NKBW‐implementatieproject  effectief vorm krijgen. Daarmee zijn ruim 150 studenten bereikt die afhankelijk van  ieders individuele resultaten meer en minder support hebben gekregen. Tussen een  tweetal assessments zijn studenten in zelfstudie aan de slag gegaan en werden  studenten via werkcolleges verder begeleid. Het succes van het NKBW‐ implementatieproject is gelegen in het nut dat studenten ervaren van het volgen van de  opfriscursus. In hun vervolgonderwijs moet dat tot minder problemen met betrekking  tot wiskunde leiden.  26 

De activiteiten die worden ontwikkeld worden goed gewaardeerd door de deelnemende  opleidingen. Maar ze trekken ook de aandacht daarbuiten. De toetsen die in eerste  instantie waren ontwikkeld voor de exacte opleidingen zullen ook ingezet gaan worden  voor een kleine honderd studenten van de opleiding Technische bedrijfskunde.  Komende jaren zal gepoogd worden het bijspijkeronderwijs aan de Rijksuniversiteit  Groningen verder te ontwikkelen. Daarbij is het van belang om zo goed mogelijk gebruik  te maken van de opgedane kennis en ervaringen in de huidige NKBW‐ implementatieprojecten. Goede evaluaties en blijvende kennisuitwisseling dienen dan  ook volop aandacht te blijven krijgen. 

 

 

27

2.5 NKBW­implementatieprojecten: een waaier aan  activiteiten  In de voorgaande drie paragrafen is een drietal NKBW‐implementatieprojecten iets  meer in detail beschreven. In totaal zijn 17 implementatieprojecten uitgevoerd. In  onderstaande tabel staan ze alle met enkele kenmerken vermeld.    Achtergrond van  Aantal  studenten  de studenten  dat  bereikt  wordt 

Instelling / opleiding 

Opzet van de  Gebruik/ontwikkeling van  onderwijsactiviteiten in  onderwijsmaterialen  het implementatieproject 

Universiteit Utrecht/  bacheloropleiding  Economie 

Entreetoets  Wiskundepracticum  Exittoets 

Engelstalige theorie   (eigen website:  www.econ.uu.nl/wiskunde)  Oefenopgaven en  diagnostische tests   (via Digitale Wiskunde  Oefenomgeving – DWO  www.fi.uu.nl/dwo/en)   

250 

Vwo wiskunde  A1,2 (150),   Buitenlandse  studenten (100)   

Universiteit Utrecht/  bacheloropleiding  Scheikunde   

Pre‐toets  Remediëring  Post‐toets 

Digitale wiskunde omgeving 

120 

Vwo (NT, NG)  Hbo 

Universiteit  Utrecht/James Boswell  Instituut   

Cursus basisvaardigheden  Online syllabus  Instaptoets (voor cursus  wiskunde B1)   

30 

Havo, vwo met  wiskunde  deficiëntie 

Universiteit Maastricht/  bacheloropleiding  Econometrie   

Driedaagse  bijspijkercursus 

15 

Voornamelijk  buitenlandse  aspirant bachelor  studenten   

Universiteit Maastricht/  bacheloropleiding  Bedrijfskunde en  economie   

Online cursus (Aleks)  Online wiskunde cursus  met geïntegreerde  toetsen  Instaptoets (gebaseerd op  3T norm)   

200 

Voornamelijk  buitenlandse  aspirant bachelor  studenten 

Off‐ en online materiaal 

10 

Bachelor  studenten 

 

Universiteit Maastricht/  Zomercursus statistiek  masteropleidingen  ‘Governance’ en  ‘Management of learning’  

Off‐ en online materiaal 

Universiteit Twente/  bacheloropleiding  Elektrotechniek    

Instaptoets  Herstelonderwijs 

Oefenopgaven gerelateerd  aan elektrotechniek‐ onderwijs 

40 

Vwo 

Universiteit Twente/ 

Extra oefenopgaven bij 

Digitale vragenbank 

20 

Tweedejaars 

28 

bacheloropleiding  Elektrotechniek   

cursus kansrekening 

studenten 

Open Universiteit  Nederland/  bacheloropleiding  Informatica   

Voorkennistoets  Opfrisonderwijs op  deelonderwerpen  Hertoetsen op  deelonderwerpen   

Digitale toetsen  Online studiemateriaal 

30 

Zeer  uiteenlopend 

Open Universiteit  Nederland/  bacheloropleiding  Milieuwetenschappen   

Voorkennistoets  Opfrisonderwijs op  deelonderwerpen  Hertoetsen op  deelonderwerpen   

Digitale toetsen  Online studiemateriaal  Mathmatch classes 

15 

Zeer  uiteenlopend 

Rijksuniversiteit  Groningen/  bacheloropleiding  Natuurwetenschappen  en technologie   

Toets  Opfrisonderwijs  Toets 

Maple TA toetsen 

160 

Vwo 

Fontys Hogescholen/  bacheloropleiding  Natuurwetenschappen,  technische  lerarenopleidingen   

Ingangstoets  Zelfstudie  Eindtoets 

Toetsbank in n@tschool 

300 

Mbo   Havo (NG, NT) 

Haagse Hogeschool/  bacheloropleiding ICT en  media   

Ingangstoets  Werkcolleges  Eindtoets 

Schriftelijk materiaal   Online toetsen 

20 

Mbo   Havo (NT) 

TU Delft/  bacheloropleidingen   

Instaptoets (3TU)  Opfrisonderwijs  Eindtoets   

Schriftelijk en online  materiaal 

1500 

Vwo (NG, NT)  Hbo 

TU Eindhoven/  bacheloropleiding  Wiskunde en informatica   

Online studiemateriaal  Instaptoets (3TU)  Zelfstudie met begeleiding Eindtoets   

1000 

Vwo (NG, NT)   

Universiteit van  Amsterdam/  bacheloropleiding  Natuurwetenschappen  wiskunde informatica   

Vaardigheidstraining  Oefentoetsen  Eindtoets   

150 

Vwo 

100 

Vwo  

Maple TA toetsen   

Cursus basiswiskunde met  Maple TA toetsen  Vrije Universiteit/  Schriftelijk materiaal  bacheloropleiding Exacte  zelftesten  Tentamen  wetenschappen   

  figuur 2.1: Overzicht van implementatieprojecten van NKBW 

 

 

 

29

Van alle NKBW‐implementatieprojecten zijn afzonderlijke rapportages beschikbaar. Die  konden niet in deze eindpublicatie worden opgenomen maar zijn beschikbaar via de  website www.nkbw.nl. 

2.6 NKBW en het voortgezet onderwijs  Het NKBW‐project is primair een ho‐georiënteerd project, hoe je het ook wendt of  keert. De onrust bij de ho‐instellingen over de instroom van studenten was aanleiding  om iets aan het aansluitprobleem te doen.  Het is zonneklaar dat oplossingen om het aansluitprobleem te verkleinen gedragen  moeten worden door beide partijen. In de NKBW‐periode (december 2006‐december  2007) is actief contact gezocht met instellingen/organisaties/commissies uit het vo die  een rol spelen bij het vaststellen en implementeren van het wiskundeprogramma in het  voortgezet onderwijs. 

2.7 cTWO  De commissie Toekomst WiskundeOnderwijs cTWO is één van de  vernieuwingscommissies die recentelijk door het ministerie van OCW zijn ingesteld om  onder andere voorstellen te doen voor vernieuwingen in examenprogramma’s en een  bijdrage te leveren aan de verbetering van de respectievelijke vakgebieden. In het beta‐ gebied van het vo gaat het dan om scheikunde, biologie, natuurkunde, NLT en wiskunde.  De commissie cTWO kent de volgende taken:  1. Examenprogramma's voorstellen per 2011 voor wiskunde A, B, C en D van havo en  vwo;  2. Voorbereidende ontwikkelingen in gang zetten voor wiskunde C van vwo en  wiskunde D voor havo en vwo per 2007;  3. Adviseren over doorlopende leerlijnen wiskunde;  4. Advisering over didactische ontwikkelingen.  De betrokkenheid van cTWO binnen NKBW is onder andere gerealiseerd door een  vertegenwoordiging van cTWO in de NKBW‐klankbordgroep op te nemen. Vooral op het  gebied van het nieuwe vak wiskunde D is contact gezocht in hoeverre een  gezamenlijk/landelijk aanbod van materialen (o.a. verspreid via Wizmo.nl) tot de  mogelijkheden hoort.  Ook bij een eventueel vervolg van NKBW zal er afstemming gezocht worden met de  voorstellen die bij cTWO vandaan komen. 

2.8 Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren  De Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren is actief op het gebied van de  overgang wiskunde vo‐ho, onder andere door een werkgroep havo/vwo die zich  bezighoudt met de vraag in hoeverre de ontwikkeling van eigen ‘exit’‐toetsen kan  bijdragen aan de verheldering wat als essentiële vaardigheden gezien moet worden bij  de overgang van vo naar ho.  Gedurende de NKBW‐periode is afstemming gezocht met bestuursleden van de NVvW  en met de werkgroepleden van de genoemde commissie havo/vwo. 

30 

Daarnaast is een enquête gehouden onder de leden van de NVvW (via o.a. de Wiskunde  Ebrief, een elektronische nieuwsbrief die wekelijks verspreid wordt onder een groep van  ruim 2000 wiskunde docenten). Het leidt geen twijfel dat bij vervolgactiviteiten van  NKBW (of SIGMA) een belangrijke rol voor de NVvW is weggelegd. 

2.9 WisBase  WisBase is een startpagina/toetsenbank 'voor wiskundedocenten door  wiskundedocenten' in het vo. Docenten wiskunde kunnen ‘lid’ worden en op die manier  hun eigen toetsen delen met andere docenten. Op deze wijze is een rijke verzameling  van toetsen ontstaan, die een belangrijke rol kan spelen in de discussie hoe toetsen in  het aansluitingsgebied vo‐ho vormgegeven zouden moeten worden.  De initiatiefnemers van WisBase (twee docenten wiskunde uit het voortgezet onderwijs)  hebben duidelijk te kennen gegeven dat zij bij vervolgactiviteiten van NKBW betrokken  zouden willen zijn. Het lijkt mogelijk om binnen het portaal van Wizmo.nl een verband  te leggen tussen dat wat binnen Wisbase is verzameld aan toetsmateriaal, en dat wat  binnen Wizmo.nl als toetsmateriaal zal worden aangeboden. Dit moet nog nader  uitgewerkt worden.   

 

  figuur 2.2: Schermafdruk van Wisbase 

 

 

31

32 

Wizmo.nl 

Piet van der Zanden / Hans Cuypers                                                   

 

 

33

 

34 

3 ­ Wizmo.nl  3.1 Algemeen  Het Wizmo.nl portaal richt zich voornamelijk op de ontsluiting van of verwijzing naar  wiskundig leermateriaal. Het proces van zoeken en vinden is een grote uitdaging  vanwege de veelheid aan materialen en de complexiteit ervan. Er zijn bijvoorbeeld  enkelvoudige objecten, zoals een Word‐ of pdf‐document, met een heldere titel van het  inhoudelijke materiaal aangevuld met eenduidige trefwoorden, en er zijn bijvoorbeeld  meervoudig samengestelde bestanden zoals een instructie met bijbehorende toets die  platformonafhankelijk kan worden afgespeeld.   In de praktijk is die eenduidigheid nagenoeg niet aanwezig waarmee online geplaatste  wiskundeobjecten maar moeilijk zijn te vinden. Een auteur maakt bijvoorbeeld  leerobjecten met bepaalde voorkeurapplicaties op de eigen werkplek. Daarnaast  worden de materialen gearchiveerd op een voor die persoon logische manier. Daarmee  wordt aangegeven dat die persoon nagenoeg de enige is die zulke gearchiveerde  materialen doelgericht kan terugvinden. Dergelijke eigen archivering speelt op  vakgroepniveau, op afdelingsniveau, op instituutsniveau en voor het project NKBW ook  op nationaal en internationaal niveau.     Het is om bovengenoemde reden dat het delen en ontsluiten van beschikbaar gesteld  wiskundemateriaal de zogenaamde LOREnet (Learning Object REpository) gedachte  volgt. LOREnet is een initiatief van SURF dat zich richt op het beschikbaar stellen en  uitwisselen van leermaterialen. Het ontwikkelen van goede leermaterialen kost veel tijd  en geld zodat hergebruik van leermaterialen steeds meer in de belangstelling komt te  staan. Een en ander betekent dat een verzameling van leerobjecten steeds meer  volgens afgesproken standaarden wordt opgeslagen. LOREnet volgt de internationale  LOM (Learning Object Metadataschema) standaard om de leermaterialen te  metadateren. Om diverse repositories te doorzoeken wordt de internationale OAI ‐ PMH  (Open Archives Initiative – Protocol for Metadata Harvesting) standaard gevolgd.     De gebruikersinterface van Wizmo is niet de generieke interface van LOREnet maar één  die specifiek voor domeingericht leermateriaal is ontwikkeld. Als repository wordt de  applicatie Hive van Harvest Road ingezet. Hive is het ‘de facto’ standaard Learning  Content Management System (LCMS) voor LOREnet, voor E‐merge en voor een aantal  bibliotheken (zie figuur 1).   

 

 

35

 

  figuur 3.1: Architectuurschets van het wiskundeportaal met onderliggende repository 

  De uitdaging voor het project NKBW was om vooreerst bestaand leermateriaal te  verzamelen, te kwalificeren, te metadateren, te publiceren en toegankelijk te maken.  Voor de ondersteuning van de leerling of student wordt een forum ingezet waar vragen  online kunnen worden gesteld aan een wiskundeprofessional. Ook kan worden gezocht  in een database met FAQ (Frequently Asked Questions). Voor het forum en de FAQ‐ functionaliteiten is samenwerking gezocht met WisFaq dat reeds een jarenlange  ervaring heeft met online ondersteuning en een geweldige hoeveelheid beantwoorde  vragen beschikbaar heeft staan. Het ineenvlechten van WisFaq en Wizmo zal in een  eventueel vervolgproject plaatsvinden.    Omdat het project NKBW een looptijd heeft van 1 jaar is het niet mogelijk om alle  gewenste functionaliteiten te realiseren. Het Wizmo‐portaalontwikkelteam wil graag  breken met traditionele subsidieafspraken ‘geld op = einde ontwikkeling’ en probeert  middels alternatieve mogelijkheden de ontwikkeling voort te zetten. Op Wizmo.nl staat  aangegeven welke functionaliteiten nog voorzien zijn.   

36 

  figuur 3.2: Indruk van het Wizmo‐portaal 

 

3.2 Wizmo is open en vrij te gebruiken  Het wiskundeportaal is toegankelijk voor iedereen en vrij te gebruiken. Het systeem  kent een aantal rollen en daarmee verbonden gebruiksfaciliteiten. Een gebruiker die  niet inlogt, wordt als gast getypeerd en heeft daarmee minder mogelijkheden dan een  gebruiker die wel is ingelogd. Inloggen is echter pas mogelijk als de gebruiker een  persoonlijk profiel heeft aangemaakt en de bevestiging van dat profiel via het eigen e‐ mailadres heeft geactiveerd.     Het overzicht van de tot nu toe onderkende rollen met bijbehorende functionaliteiten:   1. Gast (guest) of anonieme gebruiker die niet inlogt. Dit kan een willekeurige  geïnteresseerde zijn. Van de ‘zoek en vind cyclus’ kan gebruik worden gemaakt en de  ‘open of vrije’ leermaterialen kunnen worden afgespeeld of gedownload. Ook het  forum kan worden ingezien. Gebruikers kunnen op de leermaterialen feedback  geven door op de ‘thumbs up’ of ‘thumbs down’ te klikken. De feedback is niet  verplicht.  2. Deelnemer (participant) of gebruiker die zich bekendmaakt en inlogt, kan tevens op  het forum vragen stellen of reageren. Voor het forum is samenwerking gezocht met  WisFaq. Pas in een eventueel vervolgproject zal volledige implementatie worden  nagestreefd. Voorlopig wordt naar WisFaq doorverwezen waardoor nogmaals  inloggen benodigd is.   3. Leverancier (supplier) of gebruiker die zich bekendmaakt en inlogt, heeft extra  rechten met betrekking tot het aanleveren en het wijzigen van eigen (toegevoegde)  leermaterialen of verwijzingen. De leverancier is en blijft eigenaar van de eigen  ingevoerde leermaterialen.  

 

 

37

* Voor docenten wordt een beveiligde community gerealiseerd zodat vertrouwelijke  materialen alleen voor hen beschikbaar zijn.  4. Gebruiker (reviewer) die zich bekendmaakt en inlogt, heeft extra rechten in verband  met het bekijken (en veranderen) van andermans leermaterialen en metadata. De  reviewer heeft tevens de mogelijkheid om kwaliteitskenmerken aan een leerobject  te hangen. Welke kenmerken dat zijn, is nog niet bekend. Er wordt gedacht aan  Sigma gecertificeerde leermaterialen.   5. Onderzoeker (onderzoeker) of gebruiker die zich bekendmaakt en inlogt, heeft extra  rechten met betrekking tot het naslaan of downloaden van gebruikersstatistieken.  Welke gegevens worden gelogd, automatisch verwerkt en of beschikbaar komen, is  nog niet bekend en komt pas in een eventueel vervolgproject aan de orde.  6. Beheerder (administrator) of gebruiker die zich bekendmaakt en inlogt, heeft  maximale rechten in verband met de redactie van forumboodschappen,  nieuwsberichten, leermaterialen en andere getoonde items op het portaal.    * Omdat zowel docenten als studenten leverancier kunnen zijn, kan er een ongewenste situatie ontstaan. Docenten  kunnen bijvoorbeeld een toets of tentamen willen delen onder elkaar. Om die reden wordt de toets gepubliceerd en  zou de toets onder de rol van leverancier te benaderen zijn. Maar ook studenten kunnen een interessant leerobject  willen delen zoals een aantrekkelijke instructie over een moeilijk onderwerp. Zij krijgen dan eveneens de rol van  leverancier. Als nu het rechtensysteem aan de rollen wordt opgehangen dan zou de student als leverancier toegang  kunnen krijgen tot die gedeelde toets.   Om die reden wordt voor een aanvullend rechtensysteem gekozen dat niet aan de functie hangt maar aan de  geregistreerde persoon. Die persoon wordt het recht toegekend van reviewer, onderzoeker of beheerder, door de  eigenaars of exploitanten van Wizmo. 

  Een alternatief rechtensysteem komt binnenkort beschikbaar waarbij de leverancier  tijdens het publicatieproces kan kiezen of het leerobject is in te zien voor iedereen, voor  contacten, voor vrienden, of voor niemand. Elke geregistreerde gebruiker kan namelijk  twee soorten van zogenaamde ‘buddies’ kiezen:   1. ‘contacten’ zoals een docent zijn studenten kiest;   2. ‘vrienden’ waar vertrouwelijk informatie mee gedeeld kan worden.   De status vriend of contact kan gemakkelijk worden ingesteld maar even gemakkelijk  ongedaan worden gemaakt.   

3.3 Zoek en Vind Cyclus  Voor het ‘Zoek en Vind’ proces wordt aangesloten bij de leefwereld van de netgeneratie  (‘Homo Zappiens ‐ Reshaping Learning in a Digital Age’ van Wim Veen, 2006).  

38 

3.4 Simpel zoeken met invulveld  Een simpele zoekopdracht wordt gegeven door het invoeren van een of meerdere  trefwoorden of een zin in een enkel invoerveld (zie figuur 3). Het zogenaamde  quickfilter rechtsboven kan selecteren op ‘all/alles’, ‘users/mensen’, ‘tests/examens’,  ‘exercises/oefeningen’, ‘theory/theorie’, ‘authors/auteurs’.   

  figuur 3.3: Voorbeeld van een simpele zoekopdracht met behulp van Wizmo 

3.5 Simpel zoeken met tagcloud  Simpel zoeken kan ook door het aanklikken van een trefwoordlink in de getoonde  tagcloud (een wolk van trefwoorden) die de meest gezochte zoekopdrachten van de  afgelopen 12 maanden toont. Normaal wordt een tagcloud gevoed vanuit de tags ofwel  de trefwoorden die aan de opgeslagen objecten worden meegegeven. Daarmee toont  het de meest populaire trefwoorden en direct ook de meest voorkomende objecten. Dit  tagcloud‐algoritme wordt bij Wizmo ingezet om de hoeveelheid gezochte items te  presenteren en daarmee eigenlijk de minst begrepen wiskundige onderdelen. De meest  ingetypte en geselecteerde trefwoorden worden groter weergegeven waardoor de  visueel ingestelde gebruiker een rappe zoek‐vind‐combinatie kan kiezen.   Deze tagcloud presenteert daarmee eigenlijk ook een wijze van gebruiksranking. Dit is  nog enigszins experimenteel omdat we nog geen inzicht hebben in het exacte  zoekgedrag van de gebruiker. Voorlopig wordt bij een zoekopdracht uitgegaan van de  tags of trefwoorden die gelijk zijn en voorkomen in de tweetalige wiskunde  trefwoordenlijst. In een later stadium worden ook vrije tags getoond; voorlopig worden  deze alleen nog opgeslagen. 

3.6 Geavanceerd zoeken  Bij een geavanceerde zoekopdracht worden meerdere metadatavelden geselecteerd of  juist uitgesloten. In figuur 4 wordt het scherm ‘geavanceerd zoeken’ getoond. In het  topgedeelte kunnen een of meerdere woorden gescheiden door komma’s worden  ingevuld. Ook kan een zin of een gedeelte van een zin worden ingevuld als zoekterm.  De tagcloud verhuist van de top naar de rechterzijde.   

 

 

39

Bij het geavanceerd zoeken is een aantal standaardfilters beschikbaar om de zoektocht  direct al te focussen. Er kan bijvoorbeeld worden gezocht op alleen titel, omschrijving,  trefwoorden, publiceerder of auteur.   Maar daarnaast kan ook nog specifiek worden gezocht op taal (voorlopig alleen  Nederlands en Engels), soort van educatief object (oefening, simulatie, vragenlijst,  diagram, figuur, grafiek, register, diaplaatje, tabel, leestekst, examen, experiment,  probleemstelling, zelfbeoordeling, voordracht), beoogde eindgebruiker (leraar, auteur,  leerling/student, manager), moeilijkheidsgraad (erg gemakkelijk, gemakkelijk,  gemiddeld, moeilijk, erg moeilijk), soort onderwijs (school, hoger onderwijs, training,  anders) of technisch formaat zoals pdf, Word, image, etc.    Naast leerobjecten kan ook gezocht worden op de geregistreerde gebruiker van Wizmo  middels de persoonsnaam, de organisatie en/of de plaats waar deze persoon werkzaam  is en op geslacht.   

  figuur 3.4: Voorbeeld van geavanceerd zoeken naar objecten alsook naar gebruikers 

40 

 

3.7 Bladeren in een taxonomie  De browse‐ of bladerfunctie is speciaal opgenomen voor de zoekende leerling of  student. Om de drempel van het zoeken zo gemakkelijk en herkenbaar mogelijk te  houden, is gekozen om de bladerfunctie te baseren op de gebruikte leermethode ofwel  het eigen leerboek (het boek dat hij of zij dagelijks onder de neus krijgt).     Meerdere leerboeken worden ondersteund, waarbij voorlopig wordt gedacht aan ‘Getal  en Ruimte’ en ‘Basiswiskunde’ van Jan van der Craats, ‘Raaklijn en Oppervlakte’ van  Gerritsen en ‘Calculus’ van James Stewart. Maar de datastructuur is dusdanig opgezet  dat meerdere leerboeken kunnen worden toegevoegd.  Door het bladeren kan een student tot op paragraafniveau ‘indalen’ en vanaf daar de  zoektocht beginnen. Als op de paragraaflink (URL) wordt geklikt wordt automatisch  bijbehorende metadata meegegeven met de zoekopdracht (zie figuur 5).   

  figuur 3.5: Voorbeeld van de Taxo‐boom Getal & Ruimte 

 

 

 

41

3.8 Resultatenlijst  De resultaten van de zoekopdracht worden getoond in een lijst zoals weergegeven in  figuur 6. Deze resultatenlijst zal in de toekomst nog worden ondersteund met een  (second level) tagcloud. Deze second level tagcloud wordt samengesteld uit de  metadata die verbonden is aan de objecten van die resultatenlijst.     Ook worden in een later stadium nog dynamische filters gegenereerd om de zoektocht  nader te verfijnen. Die filters worden eveneens samengesteld uit de meegeleverde  metadata van diezelfde resultatenlijst.    

3.9 Volgorde van relevantie   Het zoekmechanisme van Hive staat standaard ingesteld op full‐text search. Dat  betekent dat het zowel alle metadatavelden als de leerobjecten zelf doorzoekt. De  resultatenlijst toont objecten die direct te maken hebben met het zoekwoord maar het  is eveneens mogelijk dat vele objecten getoond worden die een zijdelingse relatie  hebben met de oorspronkelijke zoekterm.  De full‐text gerelateerde relevantie van de resultaten is gebaseerd op de volgende  selectiemechanismen:  1. Als een enkele zoekterm wordt ingegeven, dan wordt gekeken naar de ‘dichtheid’  ofwel de frequentie van het woord ten opzichte van de grootte van het bestand.  2. Als meerdere zoektermen tegelijkertijd worden ingegeven, dan wordt gekeken naar  de ‘dichtheid’, daarna naar de  ‘nabijheid’ ofwel de afstand van de woorden ten  opzichte van elkaar, dan naar de ‘compleetheid’ (hoe vaak komt het woord voor) en  dan nog de ‘negatieve nadruk’ op woorden (te vergelijken met stopwoorden als  deze vaak voorkomen in een document).   

42 

 

  figuur 3.6: Resultatenlijst van getoonde leerobjecten en dynamisch gegenereerde filters en  tagcloud 

  Voor Wizmo is gekozen om juist alleen die objecten te tonen die relevant zijn.  Gerelateerde objecten worden als ongewenst beschouwd. Full‐text search is vervangen  door een gerichte zoektocht op alleen de metadatavelden met uitzondering van het  relatieveld. Zodoende wordt de volgorde van de resultatenlijst samengesteld door:  1. Matching van geselecteerde metadata ofwel logische ranking met AND en OR. Eerst  alle woorden met AND, dan AND met OR, dan OR.  2. Waardering ofwel totaal van positieve waarderingen (thumbs up) minus negatieve  waarderingen (thumbs down). Alle gebruikers kunnen deze waardering toekennen.  Deze tweede ordersortering treedt op als bij eerste order twee gelijken aanwezig  zijn.  3. Premium Content ofwel objecten die in de top 10 staan (gold star) of hebben  gestaan (old star). Top 10 lijsten zijn ‘most uploaded’ ofwel ‘best author’, ‘most  downloaded’ ofwel ‘best cited’, en ’most rated’ ofwel ‘best valued’.  4. Certified Content ofwel Sigma‐gecertificeerde of gereviewde leerobjecten.   

 

 

43

3.10 Selecteren van een gevonden object  Elk resultaat in de lijst is voorzien van additionele buttons en informatie. Als de  gebruiker een object wil selecteren, dan kan dat door op de titelregel of omschrijving te  klikken die weer leidt naar de zogenaamde objectpagina (zie figuur 3.7). Met behulp van  de ‘nu tonen’ knop kan het object direct worden afgespeeld.   

  figuur 3.7: Voorbeeld van een geselecteerd leerobject uit de resultatenlijst 

 

  Op de objectpagina wordt het geselecteerde object met alle eigenschappen en  kenmerken getoond, zoals titel, omschrijving, auteur, waardering, soort leerbron,  beoogde eindgebruiker, moeilijkheidsgraad, taal, technisch formaat en sleutelwoorden.   Op de objectpagina kan worden gekozen of het object wordt afgespeeld of wordt  gedownload voor bijvoorbeeld het gebruik in de eigen Elektronische LeerOmgeving  (ELO).  

3.11 Quality Assessment Values  In het portaal wordt een aparte database bijgehouden met de kwaliteitsaspecten van de  leerobjecten. De kwaliteit van een leerobject bevat meerdere waarderingen van de  student‐gebruiker en van de professioneel wiskundige. Hoe deze waarderingen elkaar  versterken als ze bijeen worden genomen of als ze apart gepresenteerd worden bij de  leerobjecten, is nog niet bekend.  

44 

3.12 Vragen  Voor deze functionaliteit leunt Wizmo volledig op de WisFaq community. Echter, de  integratie van WisFaq met NKBW kan pas in een vervolgproject plaatsvinden.    WisFaq (www.wisfaq.nl) is een populaire digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs  en de community bestaat reeds 7 jaar. De community heeft een aantal trouwe helpers  voor het beantwoorden van de vragen en heeft een database met meer dan 20.000  beantwoorde vragen die online kunnen worden nageslagen. Figuur 8 geeft een indruk  van de huidige site van WisFaq.     

 

  figuur 3.8: WisFaq, een reeds 7 jaar bestaande site met meer dan 20.000 beantwoorde vragen 

3.13 Publicatieproces  Het publicatieproces is het invoerproces voor het metadateren en invoegen van  verwijzingen en objecten in de repository. De invoerende leverancier is gemachtigd om  nieuwe (nog niet aanwezige of bestaande) trefwoorden toe te voegen aan  leermateriaal. Ook komt er een onderhoudsproces voor mutatie/metadatering van  verwijzingen en/of materiaal inclusief handleiding en/of training. Er wordt nog tijdelijk  gebruik gemaakt van een alternatief publicatieproces. 

3.14 Profielpagina MyWizmo  Onder de ‘jij’‐tab kunnen persoonlijke gegevens worden ingevuld. Die gegevens zijn  openbaar, behalve het e‐mailadres, om het zoeken naar contactpersonen of vrienden te  faciliteren. Aan de rechterzijde worden de gekozen contacten getoond. Een contact kan  worden opgewaardeerd tot een vriend met wie dan bijvoorbeeld een vertrouwelijk  object kan worden gedeeld.     In een later stadium wordt de module statistiek toegevoegd evenals een overzicht van  de zelf gepubliceerde objecten. Ook een gebruiksvriendelijk publicatieproces wordt  binnenkort vanaf de eigen profielpagina gestart. 

 

 

45

3.15 Metadata  Om wiskundeleermiddelen via Wizmo beschikbaar te kunnen stellen, zijn diverse  afspraken gemaakt. Deze afspraken over het aanbieden en uitwisseling van de  leerobjecten hebben tot doel dat de gebruiker van Wizmo weet:  • welk materiaal tot de content behoort en welk materiaal niet;  • waarvoor de content is bedoeld;  • hoe en in welke volgorde het volgens de ontwikkelaar moet worden afgespeeld;  • hoe de content kan worden opgesplitst in zelfstandige leerobjecten die in  verschillende contexten kunnen worden gebruikt.   

 

  figuur 3.9: Voorbeeld van de profielpagina met persoonlijke gegevens en contacten en vrienden 

 

46 

De extra gegevens (metadata) omtrent de leermiddelen, die nodig zijn om de gebruiker  van Wizmo van bovenstaande informatie te kunnen voorzien, worden gebundeld in  metadata‐bestanden.   Deze metadata‐bestanden bevatten gestructureerde informatie over o.a. de inhoud, de  vorm en technische en juridische aspecten van een document in de repository. De  leermiddelen worden via deze metadata geclassificeerd en ontsloten. Voor de  metadatering van de leermiddelen wordt gebruik gemaakt van de standaard IEEE‐LOM  (Learning Object Metadata) ontwikkeld door het IMS Global Learning Consortium.     

  figuur 3.10: LOM Classificatie 

 

  Een vertaling is door de Nederlandse Normcommissie leertechnologie van de NEN  gepubliceerd op www2.nen.nl/nen/servlet/getfile?docName=194574. De LOM XML  binding (versie 6 april 2004) is beschikbaar op  ltsc.ieee.org/wg12/files/IEEE_1484_12_03_d2.pdf.     De metadata wordt in de repository geplaatst, samen met de bestanden die de  leermiddelen vormen of met een URI van deze leermiddelen. De leermiddelen worden,  voor zover mogelijk, in zelfstandige eenheden binnen een enkel bestand (zipfile)  gebundeld. Leermiddelen die binnen een ELO gebruikt kunnen worden, zullen  aangeboden worden conform de afspraken gemaakt binnen Edustandaard.  Edustandaard is een vereniging van aanbieders van content, vertegenwoordigers van  onderwijsorganisaties en de verschillende aanbieders van LMS. Binnen Edustandaard  zijn afspraken gemaakt over de manier van aanbieden en uitwisselen van educatief  materiaal die aansluiten op de internationale standaarden IMS Content Packaging en  ADL‐SCORM. Deze afspraken zijn vastgelegd in twee documenten (zie  www.edustandaard.nl/afspraken/002).   

 

 

47

Voor de indeling van de leerobjecten naar inhoud wordt gebruik gemaakt van een  taxonomie ofwel een hiërarchisch geordende classificatie. Deze taxonomie is een  onderdeel van de metadata. De taxonomie die binnen Wizmo gebruikt wordt, is  MathTax. Binnen MathTax wordt (een gedeelte van) de wiskunde onderverdeeld in  verschillende categorieën (ook wel elementen van de taxonomie genoemd). Om de  bruikbaarheid van de MathTax te verhogen, is er een relatie gelegd tussen de MathTax  en de inhoudsopgaven van veel gebruikte wiskunde boeken voor het vo gemaakt zoals  ‘Getal en Ruimte’ en het ‘Basisboek Wiskunde’ (zie de paragraaf ‘bladeren in een  taxonomie’). 

3.16 Voorbeelden van leerobjecten  In de repository van Wizmo bevinden zich momenteel meer dan 150 leerobjecten. Het  materiaal overdekt grotendeels de onderwerpen uit de vwo‐wiskunde, maar beperkt  zich niet tot deze. In de meeste gevallen zijn dit de onderwerpen:  • rekenen (met letters);  • functies;  • differentiëren en integreren;  • oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden.    Andere onderwerpen die aan bod komen zijn:  • complexe getallen;  • lineaire algebra;  • kansrekening;  • differentiaalvergelijkingen.    De leerobjecten variëren van complete dictaten, via toetsopgaven en tests, tot  interactieve applets. Hieronder worden enkele voorbeelden beschreven. 

3.17 Digitale Wiskunde Omgeving (DWO)   Het Freudenthal Instituut heeft een Digitale Wiskunde Omgeving (DWO) gebouwd  waarin leerlingen interactief aan wiskunde kunnen werken. Deze omgeving bestaat uit  een groot aantal configureerbare applets samen met een aantal administratietools voor  docenten en beheerders.  Docenten hebben de mogelijkheid om hun eigen modules samen te stellen en om  meerdere klassen te beheren. De activiteiten van de leerlingen worden gevolgd en de  leerling kan voortbouwen op het werk dat in eerdere sessies is gedaan.  Naast het oefenen zijn er ook (zelf)toetsmogelijkheden aanwezig. Er kunnen nieuwe  oefenmodules worden toegevoegd, gebruikmakend van bestaand materiaal, maar ook  zelfgemaakte opdrachten kunnen worden toegevoegd.     [In bijstaand plaatje] wordt een voorbeeld getoond van een opgave uit de DWO. De  leerling kan in een aantal stappen een vergelijking herschrijven in de onbekende x tot de 

48 

waarde van deze x is gevonden. De stappen die de leerling maakt worden door het  systeem beoordeeld en zonodig van commentaar voorzien.   

 

  figuur 3.11: Digitale Wiskunde Oefenomgeving 

3.18 Dictaten Open Universiteit  De Open Universiteit heeft een jarenlange ervaring op het gebied van  afstandsonderwijs, ook op het terrein van de wiskunde. Lesmateriaal speciaal gemaakt  voor dit onderwijs is binnen Wizmo beschikbaar gemaakt voor een groter publiek. De  Open Universiteit biedt via Wizmo een aantal van haar dictaten aan, onder andere over  continue wiskunde en discrete wiskunde. Deze dictaten zijn zeer geschikt voor  zelfstudie. Ze bevatten theorie, voorbeelden en opgaven. Verder vindt men ook  toetsmateriaal bij deze cursussen.   

 

 

49

  figuur 3.12: Dictaat Open Universiteit over Complexe getallen 

 

3.19 Online toetsen van MathMatch  MathMatch is een project van een samenwerkingsverband van de Universiteit  Amsterdam, de Vrije Universiteit, de Universiteit Twente en Saxion Hogescholen binnen  de Digitale Universiteit.   Basisdoelstelling van het MathMatch project was het bevorderen van de doorstroom  tussen het voortgezet onderwijs en de universitaire bacheloropleiding, en de  doorstroom tussen de hbo‐bachelor en de universitaire masteropleidingen. Omdat  (basis)wiskunde hierbij een groot struikelblok is, zijn een groot aantal wiskundetoetsen  ontwikkeld.   MathMatch bestaat uit een aantal digitale toetsen en opgaven over onderwerpen uit  het boek ‘Basiswiskunde’ van Bosch en Van de Craats. MathMatch maakt gebruik van  MapleTA, een toetsprogramma waarbij je wiskundige formules als antwoord kunt  invullen.   Een MathMatch onderwerp bestaat uit toetsen, oefeningen en uitleg. Met een toets kan  men nagaan of een onderwerp voldoende beheerst wordt en met de overige opgaven  kan worden geoefend met de stof die in de bijbehorende uitleg is samengevat.   

50 

  figuur 3.13: Mathmatch interface 

3.20 Wortel TU/e  Wortel TU/e is een digitale leeromgeving in ontwikkeling voor Wiskunde van de TU  Eindhoven. Deze omgeving omvat digitale leerstof voor wiskunde, variërend van  theoriepagina’s en interactieve applets tot oefen‐ en toetsopgaven.   De stof wordt in kleine eenheden aangeboden.    De onderwerpen die binnen Wortel TU/e aan bod komen, zijn vwo‐wiskunde, calculus  en lineaire algebra.     Via Wizmo is een gedeelte van deze leerstof direct beschikbaar. Voor de gehele collectie  kan men terecht op wortel.tue.nl.     

  figuur 3.14: Wortel TUe 

 

   

 

51

 

52 

Good practices  Vincent Jonker                                                     

 

 

53

     

54 

4 ­ Good practices  4.1 Algemeen  Toen NKBW startte in 2006 kon worden voortgebouwd op eerdere initiatieven in het  gebied van wiskunde‐aansluiting vo‐ho. Zo zijn er enkele projecten geweest met SURF‐ geld en zijn er ook initiatieven geweest die met eigen geld of subsidie van derden  ondersteunende materialen hebben ontwikkeld. In dit deel willen we enkele initiatieven  bespreken die een rol hebben gespeeld bij de totstandkoming van NKBW, o.a. doordat  materialen hergebruikt konden worden of dat de methodiek van die projecten tot  voorbeeld heeft gestrekt.  We bespreken hier:    • MAThADORE  • MathMatch  • Web‐spijkeren en Web‐spijkeren 2  • WisWeb (en DWO)  • WisFaq  • Kennisbank Wiskunde    Bij het verzamelen van de good practices is gelet op hun functie in het kader van het  aansluitprobleem wiskunde vo‐ho. Bij elk van de genoemde voorbeelden is duidelijk dat  er mogelijkheden zijn om met de producten van afgesloten projecten of met producten  van lopende projecten (en niet in de laatste plaats met de direct betrokkenen van deze  projecten, vaak wiskunde docenten in ho en vo) verder te bouwen aan een rijke  kennisbank.    De beschrijvingen die op deze manier ontstaan zijn ook terug te vinden op de wiki  (www.fi.uu.nl/wiki). 

4.2 MAThADORE  MAThADORE is een initiatief van o.a. de TU Eindhoven en de organisaties Advanced  Document Engineering (www.pragma‐ade.com) en Math4All (www.math4all.nl). Zij  stellen zich ten doel om lesmateriaal te ontwikkelen voor:    • alle wiskunde voor de profielen tweede fase havo/vwo;  • basiswiskunde voor studenten hbo en wo;  • flexibel gebruik.    

 

 

55

  figuur 4.1: Website www.mathadore.nl 

 

  MAThADORE werkt aan de volgende aspecten:  • Degelijke wiskunde  De wiskunde wordt op heldere wijze en op het niveau van de leerling  aangeboden, kent een goede structuur vanuit de basisdefinities en is passend bij  de doelgroep.  • Examenprogramma  Het materiaal omvat minstens het actuele eindexamenprogramma HAVO‐VWO.  • Aantrekkelijke en interactieve wiskunde  De wiskunde is zo aantrekkelijk en interactief mogelijk gebracht. De leerling kan  zelf op onderzoek uit.  • Maatwerk  Het leerstofaanbod is zo gestructureerd dat een leerling er een bij hem passende  route in kan volgen: hij kan keuzes maken m.b.t. de manier waarop hij de  leerstof leert zonder daarbij het zicht te verliezen op het beoogde einddoel. En  een docent die met het materiaal wil werken kan gemakkelijk leerroutes  vaststellen die naar het beoogde doel leiden.  • Mediumneutrale opslag  Het materiaal is beschikbaar op papier, binnen elektronische leeromgevingen en  via internet.  • Gratis leerstof, vergoeding voor diensten  De totale leerstof is gratis beschikbaar. Voor diensten zal een vergoeding worden  gevraagd (antwoorden en feedback, resultaten bijhouden, ‘eigen wiskundeboek’  samenstellen, diagnose van leerresultaten, etc.). Docenten, leerlingen kunnen en  mogen zelf gratis printen. 

56 

•

Open source  Docenten wiskunde zullen in de gelegenheid gesteld worden om eigen uitleg,  eigen opgaven, eigen voorbeelden en eigen toepassingen toe te voegen. 

Werken met MAThADORE  Om met MAThADORE te kunnen werken moet je inloggen. Inlognaam en wachtwoord  krijg je van de school of het instituut waar je staat ingeschreven of moet je zelf  aanvragen. Het materiaal met de bijbehorende interactiviteit is gratis. Voor diensten als  antwoordencontrole, eigen lesboeken samenstellen en resultaten bijhouden wordt een  vergoeding gevraagd.    Meer weten:  www.mathadore.nl (of neem contact op met SIGMA, http://e‐learning.surf.nl/sigma) 

4.3 MathMatch  Het project MathMatch richt zich op het bijspijkeren van de kernkwalificaties van  studenten op het gebied van wiskunde, kortom de ‘MathMatch’. Het wiskundeniveau  van beginnende studenten in zowel bachelor als master vertoont een steeds grotere  variatie.   

  figuur 4.2: Website www.mathmatch.nl 

 

Vaak is het ook niet toereikend voor een vlot studieverloop. Door de bachelor‐master‐ transitie en door de inrichting van het studiehuis is deze problematiek de laatste tijd  verscherpt. Veel studenten komen hierdoor in de problemen bij het volgen van een  technische of natuurwetenschappelijke universitaire opleiding. Dit geldt zowel voor de 

 

 

57

aansluiting tussen het voortgezet onderwijs en de universitaire bacheloropleiding als  voor de aansluiting tussen de hbo‐bachelor en de universitaire masteropleidingen. De  betrokken opleidingen zoeken via MathMatch naar oplossingen die het mogelijk maken  goed in te spelen op deze niveauverschillen.    Om de geconstateerde problemen te verhelpen worden in MathMatch diagnostische  toetsen wiskunde en bijbehorende zelfstudiemodules voor studenten ontwikkeld. Op  basis van het met de toetsen geconstateerde wiskundeniveau doorlopen studenten  relevante zelfstudiemodules. Ter afsluiting volgt een evaluatie (hertoets) om vast te  stellen of de student ondertussen over het vereiste niveau beschikt. MathMatch biedt  studenten een grotere flexibliteit qua overstapmogelijkheden en een grotere kans op  studiesucces. Hbo‐instellingen kunnen met MathMatch de eigen studenten met master‐ ambities ondersteunen. Universiteiten krijgen met MathMatch de instrumenten  waarmee ze de bredere en meer heterogene instroom in zowel bachelor als master op  maat kunnen bedienen.    Meer weten:  www.mathmatch.nl (of neem contact op met SIGMA, http://e‐learning.surf.nl/sigma) 

4.4 Web­spijkeren  Web‐spijkeren 2 is het vervolg op Web‐spijkeren (2004‐2006) dat tot doel had  vernieuwende didactische scenario’s te ontwikkelen om effectief met een heterogene  instroom om te kunnen gaan (Brouwer et al., 2004). Hiervoor zijn verschillende  bijspijkermodules voor het wiskundeonderwijs ontwikkeld en is er een online handboek  opgezet met didactische scenario’s voor remediërend onderwijs. Tijdens Web‐spijkeren  1 is er binnen de instellingen veel ervaring opgedaan met verschillende mogelijkheden  om studenten bij te spijkeren en de rol die ICT in het algemeen en tools voor  assessment in het bijzonder daarin kunnen spelen (http://www.web‐spijkeren.nl/).  Sommige bijspijkermodules bleken effectief, andere minder effectief. Ook is er inzicht  verkregen in de specifieke wiskundige onderwerpen waar studenten moeite mee  hebben en welke groepen studenten vooral moeite hebben met wiskunde.   

58 

  figuur 4.3: Website www.webspijkeren.nl 

  Er wordt nog onderzocht in hoeverre de scenario’s die binnen Webspijkeren zijn  ontwikkeld kunnen worden gebruikt om ook de verworvenheden van de  implementatieprojecten van NKBW te beschrijven.    Meer weten:  www.webspijkeren.nl (of neem contact op met SIGMA, http://e‐learning.surf.nl/sigma) 

4.5 WisWeb  WisWeb is de website van het Freudenthal Instituut voor het voortgezet onderwijs.  De kern van de website is online programmatuur. Daarbij is het aanbod in tweeën  gesplitst:  • Gratis online software via www.wisweb.nl. Deze software bevat geen  mogelijkheid tot leerlingregistratie, maar is prima geschikt voor aanvulling in de  wiskundeles.  • Software via een abonnement. Dit is het zogenaamde WisWeb+ abonnement.  Deze besloten website bevat extra materialen en bovendien kan hier gebruik  worden gemaakt van de DWO (digitale wiskunde oefenomgeving)       

 

 

59

  figuur 4.4: Website www.wisweb.nl 

  Hoewel er momenteel binnen WisWeb meer materiaal is ontwikkeld voor de klassen 1  t/m 4 en minder voor klas 5 en 6 zit er zeer veel bruikbaar materiaal in, zeker als in  ogenschouw wordt genomen dat er soms behoefte is aan het opfrissen van  vaardigheden die eerder zijn geleerd en soms zijn weggezakt.  De kleine interactieve modules (applets) zijn eenvoudig op te vragen via een internet  browser.    Meer weten: www.wisweb.nl (of neem contact op met SIGMA, http://e‐ learning.surf.nl/sigma) 

4.6 WisFaq  WisFaq is een (digitale) vraagbaak voor het wiskundeonderwijs in Nederland en België.  De opzet is dat 'bezoekers' vragen kunnen stellen, deze vragen worden vervolgens door  ‘deskundigen’ beantwoord, waarna de vragen en de antwoorden op een (vrij  toegankelijke) website gepubliceerd worden.     Het bijzondere van WisFaq is dat het geheel draait op vrijwilligers. De mensen ‘achter de  website’ zorgen er voor dat nieuwe vragen onmiddellijk beantwoord worden en verder  is de website natuurlijk zo ingericht dat vragenstellers eerst gewezen worden op de rijke  verzameling van vraag‐en‐antwoord, waar vaak de ‘nieuwe’ vraag al in aanwezig is.     

60 

 

  figuur 4.5: Website www.wisfaq.nl 

  WisFaq is een begrip voor veel mensen die betrokken zijn bij wiskundeonderwijs in vo  en ho, en NKBW is dan ook blij dat de mensen van WisFaq bereid waren om in het kader  van het portaal wizmo.nl samen te werken (de ‘FAQ’ van wizmo.nl is een directe  doorlink naar WisFaq).    Meer weten:  www.wisfaq.nl (of neem contact op met SIGMA, http://e‐learning.surf.nl/sigma) 

4.7 Kennisbank Wiskunde  Er zijn twee redenen om de Kennisbank Wiskunde van het Ruud de Moor Centrum van  de Open Universiteit op te nemen als good practice:  • om verwarring tegen te gaan over het verschil tussen Kennisbank Wiskunde en  NKBW  • om de inhoud van de Kennisbank Wiskunde onder de aandacht te brengen van  de betrokkenen van NKBW.     Wat is dan het verschil tussen de Kennisbank Wiskunde en NKBW (wizmo)?  • De Kennisbank Wiskunde (van het Ruud de Moor Centrum) is een kennisbank  over wiskunde en reken‐ en wiskundedidactiek. De kennisbank bevat momenteel  voornamelijk materialen (voor docenten) voor onderbouw van het voortgezet  onderwijs en vmbo.  • De Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde (NKBW, beschikbaar  gemaakt op wizmo.nl) is een kennisbank die zich voornamelijk richt op (docenten  en studenten/leerlingen) in het overgangsgebied van vo en ho.    Beide kennisbanken hebben de potentie verder uit te breiden, en er is van beide kanten  bereidheid om een en ander goed op elkaar te laten aansluiten.   

 

 

61

 

 

  figuur 4.6: Website www.kennisbankwiskunde.nl 

  De Kennisbank Wiskunde bevat didactische informatie over diverse vakinhoudelijke  onderwerpen, onder andere over doelen, de relatie met methoden, voorkennis,  lesvoorbereiding en toetsopgaven (niet interactief).    Meer weten:  www.kennisbankwiskunde.nl (of neem contact op met SIGMA, http://e‐ learning.surf.nl/sigma)       

62 

Onderzoek 

Wolter Kaper / Bert Zwaneveld / Aad  Goddijn / Monica Wijers / Henk van  der Kooij                       

 

 

63

64 

5 ­ Onderzoek  5.1 Algemeen  Bij aanvang van het NKBW‐project (december 2006) is direct duidelijk dat onderzoek  nodig is naar de aard van de aansluitingsproblematiek. De centrale vraag luidt dan:      ‘Hoe is de aansluiting voor wiskunde van voortgezet onderwijs (vo)  naar hoger onderwijs (ho), en welke factoren zijn hierop van invloed?’      Door de centrale onderzoeksvraag zo te definiëren wordt benadrukt dat de  verantwoordelijkheid voor een goede aansluiting zowel bij vo als bij ho ligt. Het  bijbehorende onderzoek zal dan ook in beide deelgebieden moeten plaatsvinden en  noodzakelijkerwijs vanuit één onderzoekskader, opdat resultaten in relatie tot elkaar  gebracht kunnen worden. Meerdere jaren zullen nodig zijn om trends te kunnen meten.   Op basis van deze constateringen wordt het NKBW‐onderzoek geprioriteerd en dit zijn  de onderdelen:  • het opstellen van een onderzoeksagenda vo‐ho voor de toekomst (paragraaf 5.3);  • het ontwikkelen van een ‘aansluitmonitor wiskunde’ (paragraaf 5.4);  • het ijken (onderling afstemmen) van enerzijds vo‐toetsen en eindtermen wiskunde  vo en anderzijds ho‐ingangstoetsen (paragraaf 5.5);  • onderzoek naar algebraïsche vaardigheden in de bovenbouw van het vwo, aan de  hand van een casestudy, uitgevoerd bij het Junior College te Utrecht (paragraaf 5.6);  • onderzoek naar de mening van docenten wiskunde vo wat betreft de aansluiting vo‐ ho, aan de hand van een enquête voor docenten havo/vwo bovenbouw (paragraaf  5.7).    Als kader gebruikten wij de notie van ‘ketenbeheer’ zoals omschreven door Van Asselt  (2006, p. 16‐17). Dit kader speelde bij diverse van bovenstaande activiteiten een rol en  wordt nu eerst toegelicht. Daarna volgen de rapportages van de diverse  deelonderzoeken in de boven aangeduide volgorde. Tenslotte volgt een samenvatting  (5.8). 

5.2 Vo­ho, het principe van ‘ketenbeheer’  De hier gerapporteerde onderzoeksactiviteiten willen wij zien in het kader van vo‐ho  ketenbeheer, zoals omschreven door Van Asselt (2006, blz. 16‐17). Met ‘ketenbeheer’  wordt bedoeld dat twee schoolsystemen die volgens de wet op elkaar aan moeten  sluiten ‐immers het ho mag vo‐afgestudeerden met de juiste profielkeuze niet  weigeren‐ samen naar afstemming zoeken. Van Asselt beveelt aan dat de kwaliteit van   

 

65

de aansluiting wordt uitgedrukt in meetbare afspraken, waarover de aanleverende en  de ontvangende opleidingen het eens worden.  De NKBW aansluitmonitor (zie 5.4) heeft de ambitie om de kwaliteit van de  wiskundeaansluiting landelijk zichtbaar te maken volgens deze filosofie. Het gaat om de  meetbaarheid van een aansluiting. De kwaliteit van een aansluiting kent verschillende  dimensies. Van Asselt noemt: (1) de inhoud van programma's, (2) de pedagogisch‐ didactische benaderingen, (3) de leeromgevingen aan beide kanten, (4) verwachtingen  omtrent de overstap van de deelnemer. Op elk van de vier dimensies kunnen  aansluitproblemen ontstaan of zichtbaar worden. Voor de wiskundeaansluitproblemen  die de aanleiding waren tot het NKBW‐project geldt, dat een mismatch op de  inhoudsdimensie als eerste zichtbaar werd en nog steeds het meest zichtbaar is.  Verschillen op de andere dimensies kunnen hiermee samenhangen.  Meetbaarheid van aansluiting op de inhoudsdimensie betekent het meten van kennis en  vaardigheden.   Zulke metingen gebeuren momenteel aan beide kanten van de overgang: het vo kent  (eind)toetsen, het ho kent ingangstoetsen. Uit de sterk contrasterende scores op deze  toetsen blijkt dat deze instrumenten vermoedelijk niet hetzelfde meten. Anders gezegd,  wanneer we deze toetsen aan beide zijden zien als indicatoren voor de aansluiting, dan  blijkt eerst en vooral dat men het blijkbaar niet eens is over de meetmethode. Dezelfde  vo eindtermen worden aan beide zijden verschillend geoperationaliseerd.  Die verschillende operationalisaties hebben deels een politieke lading. Het ho wilde met  de eigen operationalisatie en daarmee verkregen scores een signaal afgeven en  daarmee een gevoeld probleem aankaarten.   In het kader van ketenbeheer is het nu tijd te komen tot die meetbare afspraken. Dit  betekent volgens ons, de onderzoeksgroep NKBW, het op elkaar afstemmen van  meetmethoden. Maar omdat de verschillen in meetmethode hier een politieke lading  hebben (verband houden met visies op onderwijs), ligt het voor de hand deze  afstemming te zien als een langer durende discussie, waarin van twee kanten het  werkveld betrokken moet zijn.   Dit hoofdstuk levert aan die discussie de volgende bijdragen:  • In de 'onderzoeksagenda' wordt nieuw onderzoek voorgesteld op alle dimensies die  volgens de aansluittheorie van Van Asselt van belang zijn voor de kwaliteit van de  aansluiting. Bijvoorbeeld wordt gekeken naar verschillen in didactiek en verschillen  in gebruik van hulpmiddelen (zoals de grafische rekenmachine).   • De 'wiskundeaansluitmonitor' zal volgens plan jaarlijks de kwaliteit van  wiskundeaansluiting in kaart brengen. Het kwantitatief maken van de gevoelde  frictie op de inhoudsdimensie is een belangrijk deel hiervan, maar de andere  dimensies worden niet vergeten.   • Om te komen tot een onderlinge ijking van vo en ho toetsen (metingen op de  inhoudsdimensie) is een kader opgesteld voor het metadateren van toetsvragen. Dit  kader is gebruikt voor het beschrijven van onderlinge verschillen tussen vo en ho‐ toetsen. Het kader biedt de mogelijkheid om vragen uit vo‐toetsen en uit ho‐ ingangstoetsen te 'filteren' op hun relevantie voor de aansluitmonitor. Volgende  afleveringen van de aansluitmonitor kunnen hiervan profiteren.  66 

•

•

Het onderzoek aan het Junior College Utrecht is een voorbeeld van een onderzoek  zoals dat in de onderzoeksagenda wordt aanbevolen. Leerresultaten op het gebied  van algebraïsche vaardigheden worden bekeken tegen de achtergrond van de  gebruikte didactiek. Met andere woorden: diverse dimensies uit Van Asselts theorie  worden in samenhang bekeken.  De vo‐docentenenquête is een voorbeeld van een enquête zoals die in de  aansluitmonitor gepubliceerd zal worden1. Ook hier is de samenhang aan de orde  tussen leerresultaten en didactische visie. 

  Het idee van ketenbeheer veronderstelt dat de partijen elkaar ergens ontmoeten en dat  er mechanismen zijn om afspraken min of meer vast te leggen.  We hebben ons afgevraagd op welke schaal we de afstemming tussen vo en ho moeten  zien: is dat regionaal (een ho‐instelling tezamen met scholen uit de regio) of is dat  nationaal? Ook hebben we ons afgevraagd welke mechanismen er zijn om afspraken  vast te leggen.  Vormen de eindtermen en de eindexamenprogramma's van het vo zo'n mechanisme?  Door te zeggen dat vo‐ en ho‐toetsen twee verschillende operationalisaties vormen van  dezelfde eindtermen, is hierboven de keus gemaakt om aan landelijke afstemming te  werken en om de formele vo‐eindtermen als aangrijpingspunt hierbij te zien. Beide  partijen proberen zich daar immers op te beroepen. De noodzaak van zo'n gezamenlijk,  landelijk vastgesteld aangrijpingspunt ontstaat als gevolg van het verbod op selectie aan  de poort2.    De opmerking hierboven dat toetsen aan beide zijden van de overgang gezien moeten  worden als verschillende operationalisaties van dezelfde vo‐eindtermen verdient enige  toelichting:  • Niet alle ho‐ingangstoetsen zijn zo bedoeld. Sommige ho‐opleidingen, bijvoorbeeld  economie aan de Universiteit van Maastricht, ontvangen significante instroom uit  diverse landen, en organiseren een heel brede ingangstoets, met vragen deels boven  het Nederlandse vo‐niveau, om een beeld te krijgen van hun zeer gevarieerde  instroom.  • Niet alle ho‐ingangstoetsen zijn helemaal zo bedoeld. Soms worden bewust vragen  toegevoegd die boven de vo‐eindtermen uitgaan om de binnenkomende studenten  duidelijk te maken, niet wat ze nu hadden moeten kunnen, maar wat ze zeer  binnenkort zullen moeten kunnen. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de toets van de 3  TU's. Dit is weliswaar geen selectie aan de poort, maar kan wel bedoeld zijn voor, of  leiden tot, ontmoediging vlak na de poort.  

                                                        1

 In het ho zijn eveneens enquêtes onder docenten en studenten gehouden die in de aansluitmonitor (aflevering  december 2007) gepubliceerd zullen worden.  2  Over de gewenstheid van dit verbod nemen wij hier geen standpunt in. 

 

 

67

5.3 Het opstellen van een onderzoeksagenda vo­ho  Omdat de looptijd van NKBW slechts één jaar betreft, werd in een vroeg stadium  (voorjaar 2007) besloten een onderzoeksagenda op te stellen, zodat een meerjaren‐ aanpak kon worden geschetst. De volgende deelonderzoeken werden in die  onderzoeksagenda vastgesteld.  1. Doorlopende leerlijn.  • Leerlijn algebraïsche vaardigheden:  bij dit onderdeel gaat het om een inhoudelijke verkenning van het al dan niet  continu doorlopen van een vaardighedenleerlijn van begin vo tot eind bachelor  ho.  • Relatie tussen kennis, inzicht en vaardigheden:  zowel in het vo als in het ho zijn de ervaringen van leerlingen/studenten mede  bepaald door de ‐deels impliciete, deels expliciete‐ didactische theorieën,  opvattingen of overtuigingen die aan het onderwijs ten grondslag liggen. In die  didactische theorieën, opvattingen of overtuigingen krijgt het verwerven van  kennis, inzicht en vaardigheden een plaats toegewezen, al dan niet verknoopt met  elkaar. Een student die de overgang van vo naar ho maakt, krijgt te maken met  een andere omgeving waarin deels andere (onuitgesproken) theorieën over  onderwijs en over de verknoping van inzicht en vaardigheden heersen.  2. Instrumentgebruik in vo en ho.  Vo en ho verschillen in de instrumenten die zij hun studenten aanbevelen om te  gebruiken. Aan de vo‐kant is er bijvoorbeeld de grafische rekenmachine (GR), aan de  ho‐kant spelen computeralgebrasystemen een rol. De indruk bestaat dat niet alleen  de instrumenten verschillen, maar dat deze ook anders worden ingezet in het  onderwijs. Hiermee samenhangend verschillen de normen over wat je zelf behoort  te kunnen en wat je aan een apparaat kunt overlaten.  3. Rol van contexten in vo en ho.  Contexten komen voor aan beide zijden van de vo‐ho overgang, maar ze spelen  misschien niet dezelfde rol aan beide zijden. In hoger onderwijs vindt men deze  binnen de wiskundeprojecten waar wiskundige kennis in een context wordt  toegepast. Daarnaast zijn er veel oefeningen waarin geen context gegeven is. Verder  zijn alle beroepsgerichte vakken van de opleiding op te vatten als authentieke  context voor wiskunde. In het voortgezet wiskundeonderwijs worden contexten niet  alleen gebruikt om wiskundige begrippen toe te passen en om wiskundige  vaardigheden te ontwikkelen, maar ook om de wiskundige begrippen zelf uit te laten  voorkomen. Verschil in hoe contexten gebruikt worden kan voor een  leerling/student verwarrend werken en voor een deel de aansluitingsproblematiek  verklaren.  4. Vergelijking toetspraktijken, eind vo en begin ho.  Binnen het ho worden bij de technische, exacte en economische studies sinds enkele  jaren instaptoetsen voor wiskunde afgenomen. Over de resultaten van de studenten  op deze toetsen is gepubliceerd (onder andere) door Caspers (2007), door  Tempelaar (2007) en door Heck en Van Gastel (2006). Een eerste analyse van één 

68 

van deze instaptoetsen en de resultaten erop is onlangs uitgevoerd door Caspers en  Van der Kooij (2007). Het is niet verwonderlijk dat hier blijkt dat er discrepantie  bestaat tussen de instaptoets en het centraal examen en ook tussen de opgaven op  de instaptoetsen en de vraagstukken die in het wiskundeonderwijs in het vo aan bod  komen. Deze discrepantie toont één van de aspecten van het aansluitingsprobleem.  5. Pedagogisch‐didactische dimensie in vo en ho.  Onderwijspraktijk wordt onder andere gekenmerkt door werkvorm, contacttijd en  rol van de docent. De werkvorm betreft het procesverloop, de soorten van interactie  en de organisatie van die interacties. Werkvormen kunnen worden onderzocht  vanuit de vraag: welke invloed heeft dit op iemand die de overgang tussen beide  subsystemen doormaakt?    Uitgangspunt voor elk van deze vijf deelonderzoeken is dat deze moeten leiden tot:  • (een beter) inzicht in de aansluitproblematiek;  • een (betere) dialoog tussen vo en ho zodat er over en weer realistische  verwachtingen zijn van wat leerlingen kennen en kunnen, respectievelijk wat  studenten moeten kennen en kunnen;  • optimalisatie van de producten in het portaal (Wizmo) van NKBW;  • publicatie van resultaten in vakbladen die voor de betrokken docenten en opleiders  makkelijk toegankelijk zijn. Denk hierbij aan: Euclides, Nieuwe Wiskrant, de SIGMA‐ Nieuwsbrief.    Aangaande het proces van het opstellen en realiseren van deze agenda heeft NKBW de  volgende stappen ondernomen:  • deze onderzoeksagenda is breed voorgelegd aan diverse gremia in vo en ho (onder  andere de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, de Vernieuwingscommissie  cTWO, de Resonansgroep die is ingesteld met het oog op de aansluiting en de  Expertgroep doorlopende leerlijnen);  • bij de realisatie per deelproject waar mogelijk steeds een gemengde groep ‐vo en ho  samen‐ met de uitvoering te belasten en continuïteit te waarborgen door andere  groepen zoals SIGMA hierbij te betrekken;  • de precisering van de onderzoeksvraag en de keuze van de methode over te laten  aan de te vormen uitvoerende groepen.  

5.3.1 Extra aandachtsgebied: studievoorlichting  Het komen tot een goede studiekeuze is cruciaal. Zo’n studiekeuze moet gebaseerd zijn  op inzicht in eigen kennis en vaardigheden, op zicht op de inhoud van de  vervolgopleidingen en daarin vooral op wat de verwachtingen zijn op het gebied van  kennis en ‐in dit geval van wiskundige‐ vaardigheden. In dit keuzeproces spelen vele  factoren een rol. Een groot deel van die factoren is niet of nauwelijks te beïnvloeden,  bijvoorbeeld hoe er thuis over de keuze voor een bèta‐ of technische opleiding (door  meisjes) gesproken wordt. Schooldecanen, leraren, studievoorlichters spelen hun partij  mee in dit keuzeproces. Het minste dat we te weten zouden moeten komen, is op welke  informatiebronnen genoemde actoren zich baseren. Belangrijke vragen zijn: welke rol   

 

69

heeft studievoorlichting (zowel door vo als ho) gespeeld in het proces van studiekeuze?  Hoe brengen leerlingen die mede op grond van voorlichting en adviezen kiezen voor een  studie economie of natuurkunde het er vanaf? Hoe kijken zij terug op de voorlichting?  Vindt er terugkoppeling plaats zodat de voorlichting verbeterd kan worden?  

5.4 Ontwikkelen van een aansluitmonitor wiskunde  vo­ho  Ketenbeheer (Van Asselt, 2006) houdt in dat schoolsystemen die op elkaar aansluiten  samen afspreken hoe de kwaliteit van de aansluiting wordt gemeten. We kunnen de vo‐ eindtermen voor wiskunde zien als een bestaande afspraak, waaraan beide partijen  gebonden zijn. Zulke afspraken zijn altijd enigszins meerduidig; de interpretatie van  eindtermen blijkt uiteindelijk uit de toetsen die men organiseert. Ketenbeheer houdt nu  in dat beide partijen door gesprekken hun verschillende interpretaties ijken. Als  indicatie van een voortgaande ijking kan verwacht worden dat metingen aan  weerszijden van de overgang meer overeenkomst zullen gaan vertonen.     Binnen NKBW wordt, gezien de korte looptijd van het project, een tweesporenbeleid  gevolgd. Tegelijk zijn twee activiteiten in gang gezet om de ijking te bevorderen:  • Er wordt een wiskundeaansluitmonitor opgezet, waarvan aflevering 1 wordt  opgeleverd bij afsluiting van NKBW. Hierin worden metingen gepubliceerd die door  beide partijen in beide schoolsystemen, vo en ho, zijn verricht. Het is de bedoeling  elk jaar een nieuwe aflevering uit te brengen. Discrepanties tussen metingen en  trends door de jaren heen worden gesignaleerd en besproken.   • Er is een NKBW‐toetsgroep aan het werk gegaan, gelijkelijk samengesteld uit vo‐ en  ho‐vertegenwoordigers. Een steekproef van ho‐ingangstoetsen is gereviewed door  vo‐toetsdeskundigen, en diverse ho‐ en vo‐toetsen zijn door verschillende  beoordelaars ontleed qua inhoud en niveau, om tot een vergelijking te komen. Op  deze manier werd een terminologie ontwikkeld en uitgeprobeerd om de gelijkheid  of ongelijkheid van toetsdoelen te bespreken. De bedoeling is om deze terminologie  te gebruiken bij het interpreteren van meetresultaten uit de aansluitmonitor. Ook  zijn stappen ondernomen om overbodige verschillen in meetresultaten, bijvoorbeeld  veroorzaakt door onbekendheid van ho‐mensen met vo‐wiskundige terminologie, te  elimineren.    Beide activiteiten liepen parallel en hebben elkaar dus slechts af en toe beïnvloed. De  eerste aflevering van de wiskundeaansluitmonitor is dus deels gebaseerd op toetsen die  nog niet van een kritische review hebben geprofiteerd. Verdere voortzetting van beide  activiteiten is nodig. Volgende afleveringen van de aansluitmonitor kunnen hiervan  profiteren.  In het vervolg van deze paragraaf wordt de opzet van de aansluitmonitor besproken:  welke meetgegevens worden verzameld en hoe worden deze geaggregeerd. In de  volgende paragraaf wordt de onderlinge ijking van vo‐ en ho‐toetsen nader besproken.   

70 

De NKBW‐aansluitmonitor is een product van de in NKBW deelnemende ho‐opleidingen  samen met een aantal vo‐deskundigen. Aan de ho‐kant betreft het alle in NKBW  deelnemende instellingen en hierbinnen een aantal economie‐ en bèta‐opleidingen. Dit  zijn dus vooral opleidingen die iets bij wiskunde te winnen hebben. De volgende  gegevens worden verzameld over studenten die instromen bij deze deelnemende  opleidingen, voor opname in de monitor:  • Gegevens over de vooropleiding:  • Schooltype, profielkeuze, soort wiskundevak (A1, A12, B1, B12).  • Eindcijfer voor het vo‐vak dat het dichtst bij de huidige studiekeuze ligt (voor een  eerstejaarsstudent chemie zou dat het vo‐cijfer voor scheikunde zijn).  • Metingen wiskunde rond de overgang:  • Eindcijfer wiskunde vo.  • Ingangstoets score wiskunde ho.  • Exittoets aansluittraject wiskunde ho.  • Tevredenheid student over aansluittraject.  • Studieverloop gedurende het eerste studiejaar:  • Welke studie wordt gevolgd.  • Tentamenresultaat eerste reguliere wiskundevak.  • Tentamenresultaat eerste wiskunde gebruikende vak.  (Bij een scheikundestudie zou dit het tentamencijfer voor quantumchemie of  voor reactiekinetiek kunnen zijn. Twee typische scheikundevakken waar veel  wiskunde bij nodig is.)  • Grade Point Average, een gewogen gemiddelde van verplichte vakken uit het  eerste studiejaar3.  • Tevredenheid student over wiskundeaansluiting na afloop van het eerste  studiejaar.    Deze metingen betreffen de instromende studenten.  Flankerend wordt ook naar de meningen van docenten gevraagd. Dit gebeurt zowel in  het ho als in het vo (resultaten vo‐enquête: zie verderop in dit hoofdstuk). Bij docenten  wordt nagegaan in hoeverre de vo‐ho wiskundeaansluiting in hun beleving een rol  speelt en hoe zij hiermee omgaan.    In de wiskundeaansluitmonitor vormen de metingen rond de overgang de spil. Idealiter  hangen het eindcijfer wiskunde vo en de ingangstoetsscore wiskunde ho sterk samen,  en betekent een voldoende voor de eerste voor de meerderheid van de studenten ook  een voldoende voor de tweede4. Als dat niet het geval is, dan is er of een slechte  ingangstoets, of een aansluitprobleem, of beide.   Slagen voor de exittoets van het aansluittraject zou idealiter een goede voorspelling                                                          3

 Voor verplichte vakken waaraan niet is deelgenomen wordt een nul gerekend.   Hierbij is buiten beschouwing gelaten dat sommige opleidingen expres vragen toevoegen die boven de vo‐materie  uitgaan. Idealiter worden de ho toetsresultaten eerst gefilterd, alvorens te worden gebruikt in de aansluitmonitor. In  de volgende paragraaf ("ijking") wordt beschreven hoe dit gedaan zou kunnen worden.   4

 

 

71

moeten zijn van succes op het eerste reguliere wiskundetentamen in het eerste  studiejaar. Dit zou op zijn beurt succes moeten voorspellen op het eerste  wiskundegebruikende disciplinevak in het curriculum. Tenslotte is de noodzaak van  wiskundige voorkennis te onderbouwen door te kijken naar succes in de studie als  geheel. Wegens beperkingen in de NKBW‐projectduur beperken we ons tot het eerste  studiejaar.  De hier losjes aangeduide correlaties zullen in de aansluitmonitor getalsmatig worden  nagegaan.    Bij het verwerken van enquêtes wordt geprobeerd over de diverse NKBW‐deelprojecten  te aggregeren. Het is namelijk gelukt min of meer uniforme enquêtes af te nemen. De  ingangstoetsen in gebruik bij de diverse NKBW‐deelprojecten verschillen aanzienlijk.  Deze verschillen hebben deels gegronde redenen en konden niet binnen een jaar  worden weggewerkt. Over de resultaten van deze toetsen en hun correlaties met  vooropleiding en studieresultaten in het eerste jaar worden daarom meta‐analyses  uitgevoerd. 

72 

5.5 Onderling ijken: ho­ingangstoetsen, vo­toetsen  en eindtermen  5.5.1 Algemeen  De onderzoeksgroep die zich bezighield met het ijken van ho‐ingangstoetsen onderling  en ten opzichte van vo‐toetsen had verschillende doelen:   1) Het opzetten en uitproberen van een beschrijvingskader voor wiskundetoetsdoelen  en toetsvragen, gericht op onderling harmoniseren van ho‐toetsen en op het  beschrijven van verschillen tussen ho‐ingangstoetsen en vo‐toetsen. Dit kader is  vervolgens uitgeprobeerd bij de activiteiten 3 en 4 (zie hieronder).  2) Het pragmatisch verbeteren van bestaande ho‐toetsen door enkele van deze  toetsen te laten reviewen door vo‐docenten  3) Het harmoniseren van bestaande ho‐toetsen door:  a. Analyse van enkele (vier) ho‐ingangstoetsen op twee dimensies: inhoud en  niveau, volgens het in activiteit (1) uitgeprobeerde kader.  b. Laten zien hoe deze metadatering kan leiden tot een opzet voor een toetsbank,  die de vergelijkbaarheid van vragen verbetert en de discussie vo‐ho over  interpretatie van eindtermen (gezamenlijk ketenbeheer) stimuleert.  4) Een analyse van verschillen tussen vo‐bovenbouwtoetsen en ho‐ingangstoetsen, om  een kader te beschrijven voor de interpretatie van de "aansluitmonitor"  meetresultaten.   a. Een vo‐eindexamen en de vo‐exittoets voorgesteld door de Vereniging van  Wiskundeleraren zijn geanalyseerd in het kader (1) en vergeleken met enkele ho‐ ingangstoetsen (3).    We rapporteren hier over het uitgeprobeerde kader (1) en de daarbij gerezen  bedenkingen. Twee elementen van dit kader bleven overeind en zijn toegepast bij  activiteiten 3 en 4. Voor het derde element wordt een vervanging voorgesteld.  Hieruit  volgt direct ons advies voor de opzet van een toetsbank (3). Daarna wordt ingegaan op  de kritische review (2). Resultaten van de activiteiten 3 en 4 worden apart  gerapporteerd in de vorm van een website met gemetadateerde toetsen, voorzien van  vergelijkend en kritisch commentaar.  De werkgroep die zich hiermee bezighield was evenwichtig samengesteld uit ho‐ en vo‐ vertegenwoordigers. Deze verschillende herkomst speelde bij de analyses herhaaldelijk  een (nodige) rol, zoals in het vervolg zal worden toegelicht.   

5.5.2 Kader bij de start van het onderzoek  Uitgangspunt was de toetsen te analyseren op twee dimensies: inhoud en verwacht  beheersingsniveau. Een derde dimensie van beschrijving was het begrip  complexiteitsniveau. We omschrijven deze nu eerst.  

 

 

73

Inhoudelijk indeling  Qua inhoud zijn de toetsen geanalyseerd aan de hand van een classificatieboom, zoals  bijvoorbeeld ook in bibliotheken wordt gebruikt. Het NKBW heeft gekozen voor een  aangepaste versie van de Math Taxonomy (Boldy & Cuypers, 2007). Deze taxonomie  wordt ook gebruikt bij de classificatie van de inhoud van de portal.   Het bleek al snel dat voor het classificeren van één toetsvraag meerdere categorieën  nodig waren. De NKBW‐standaard voor metadatering staat dit toe (Boldy & Cuypers,  2007).  Beheersingsniveau  Het beheersingsniveau van de toetsvragen werd beschreven volgens een Bloom‐achtige  classificatie, waarin expliciet aandacht is voor andere soorten doelen dan het  mechanisch uitvoeren van algoritmen. Er bestaan diverse meer op de wiskunde  toegesneden classificaties met verwante doelen (Smith et al., 1996, Pointon en Sangwin,  2003). Tijdens het project Webspijkeren zijn twee van deze classificaties nader bekeken  en is door combinatie van deze twee een derde geconstrueerd waarmee een makkelijk  hanteerbare en voor de wiskunde relevante indeling werd verkregen (Kaper, Heck &  Tempelaar, 2005). Deze is hier gebruikt.  De gebruikte classificatie kent drie niveaus:   A: herinneren, herkennen en routinematig toepassen;   B: classificeren, interpreteren, zelf een plan trekken;   C: redeneren, weerleggen, bewijzen.  Ook nu is een modificatie nodig: de classificatie was ontworpen voor opgaven in de  context van een cursus. Bij het classificeren werd de context mee in beschouwing  betrokken. Hierdoor kan een opgave op een ‘lager’ niveau terecht komen, als deze veel  lijkt op eerder geoefende opgaven. Immers, herkennen en routine gaan dan een rol  spelen.  De indeling die wij nu maken moet van de cursuscontext onafhankelijk zijn. Nog steeds  zal de indeling gebaseerd kunnen zijn op verwachte uitwerkingen van de opgaven, dus  verwachte redeneerstappen. Deze verwachting kan niet langer gebaseerd worden op  een precieze locatie in een kennisgraaf van een cursus, maar kan in plaats daarvan  gebaseerd worden op hypothesen over verwachte voorkennis, begrip en vaardigheden  van vo‐leerlingen.  Complexiteitsniveau  Op de derde plaats kennen we aan elke opgave een complexiteitsniveau toe. Dit staat  loodrecht op de ABC‐indeling, die over de manier van beheersing gaat. Het  complexiteitsniveau gaat over de manier waarop de diverse inhouden van de  classificatie vertegenwoordigd zijn in de toets. Het uitgangspunt hierachter lichten we  toe vanuit een drietal opgaven.   Los x op uit:  2x = 16  x2 ‐ 17x + 16 = 0  22x ‐17∙2x + 16 = 0 

74 

De derde opgave is uiteraard complexer dan de twee eerder genoemde opgaven.   We stelden voor deze complexiteit te ‘meten’ door na te gaan onder hoeveel  verschillende kopjes uit de Boldy‐Cuypers classificatie de opgave te rangschikken is. In  ons voorbeeld zijn de resultaten als volgt:  eerste opgave: 1.2.5.3, ‘machten’: één kopje  tweede opgave: 3.1.4.2.3 ‘de abc‐formule’: één kopje  derde opgave: 1.2.5.3 en 3.1.4.2.3: twee kopjes.  Het aantal kopjes noemen we het complexiteitsniveau. Om tot zinnige  complexiteitsniveaus te komen leek het ons nodig om nog de volgende afspraak te  maken: als kopje a logisch gezien (dat wil zeggen in de verwachte uitwerking) kopje b  impliceert, dan wordt b niet apart meegeteld in het complexiteitsniveau. Voorbeeld: om  breuken op te tellen (1.2.2.1) moet je ze wel gelijknamig maken (1.2.2.6.2). Dit zijn wel  twee kopjes maar het complexiteitsniveau is 1 voor een opgave waar alleen twee  breuken worden opgeteld. We kunnen dit ook zo zeggen: het complexiteitsniveau is het  aantal ‘onafhankelijke’ kenniselementen dat je moet hanteren om tot een oplossing te  komen. 

5.5.3 Ervaringen met het gekozen kader  Dit kader is uitgeprobeerd bij het analyseren van een vo‐examen, de vo‐exittoets van de  NVvW en vier ho‐ingangstoetsen.   Het blijkt technisch goed mogelijk de toetsen op deze manier te analyseren. Er treden  kleine verschillen in interpretatie op indien toetsen door verschillende personen worden  geanalyseerd.   Dat heeft uiteraard te maken met verschillende veronderstellingen over verwachte  uitwerkingen. Dit blijkt vooral bij opgaven waar de complexiteit groter is dan 1. Maar in  onderling overleg blijkt het mogelijk tot een redelijk eensluidend oordeel te komen. De  betrouwbaarheid is dus in orde. Over de validiteit valt veel meer te zeggen. We  bespreken de ervaringen met de drie componenten van het kader hieronder apart. 

5.5.4 Ervaringen met het beschrijven van de inhoud  Bij het classificeren van een vraag gingen we als volgt te werk: we losten het vraagstuk  op volgens de (volgens de beoordelaar) voor een vo afgestudeerde meest passende  oplosroute. Voor elke stap uit de oplosroute werd het achterliggende principe benoemd  en vervolgens werden de bijpassende onderwerpen uit de NKBW‐taxonomie gezocht,  waarbij ‘geïmpliceerde’ onderwerpen werden weggelaten, zoals eerder aangegeven.  Tijdens dit classificeren stuitten we op enkele onvolledigheden in de classificatie.  Belangrijke gewenste aanvullingen zijn doorgegeven aan de opstellers/beheerders van  de classificatie. Zij hadden aangegeven dat aanvullingen mogelijk zijn. Voornaamste  onderwerpen die wij misten in deze classificatie waren basisprincipes van het werken  met expressies en vergelijkingen.   Voorbeeld is de regel: aan beide zijden van het is‐teken in een vergelijking mag je  hetzelfde doen. Bijvoorbeeld 1 optellen, of integreren over hetzelfde interval. Dit is  wiskundig een open deur; immers als 3 + 2 links van het is‐teken gelijk aan 5 is, dan is  het dat rechts ook wel. In de algebraïsche praktijk is het effectief en bewust kunnen 

 

 

75

hanteren van deze regel echter van groot belang. Beheersing van de algebraïsche  notaties berust er voor een groot deel op, en leerlingen maken er ook fouten mee, zoals  het klassieke ‘breien’.   Zulke vaardigheden zijn vooral van doorslaggevend belang bij, inderdaad, iets  complexere opgaven. Maar bij de gekozen operationalisatie van complexiteit worden  deze niet zichtbaar, omdat ze ontbreken in de onderwerpen‐taxonomie. Vergelijkbaar is  de Euclidische regel: als twee grootheden beide gelijk zijn aan een derde, zijn ze  onderling gelijk. Een waarheid als een koe, zeker, maar in redeneringen geeft deze koe  precies overzicht en structuur. Zij staat in het hart van zowel bewijsredeneringen als  algebraïsche afleidingen. 

5.5.5 Ervaringen met de indeling naar beheersingsniveau (A, B, C)  Aanvankelijk was er de hoop dat de gekozen indeling los van een didactische context  gehanteerd zou kunnen worden, hoewel de opstellers van deze indeling deze hadden  bedoeld als afhankelijk van de didactische context (Tempelaar, Heck, Kaper, 2005). De  hoop bestond dit te vermijden door uit te gaan van de eindtermen van het vo.  Dit bleek snel een ijdele hoop. Want juist die eindtermen zijn meerduidig. Beoordelaars  uit het ho beoordeelden dikwijls toetsitems als ‘A’, waar beoordelaars uit het vo  hetzelfde item als ‘B’, of soms als ‘C’ beoordeelden. De ho‐beoordelaars gaven met het  label ‘A’ aan, dat de nodige handelingen om de vraag op te lossen routinematig  beheerst zouden moeten worden. Beoordelaars uit het vo gaven met het label ‘B’ aan  dat de nodige principes om de vraag op te lossen weliswaar aan de orde zijn geweest,  maar dat een som van de betreffende soort niet routinematig is geoefend. De vo‐ afgestudeerde zal dus zelf een plan moeten trekken: daarom B. Hij zou dit weliswaar  moeten kunnen, maar wellicht niet binnen de beperkte tijd van een vaardighedentoets.   Zoals gezegd, na discussie konden de diverse beoordelaars het wel eens worden dat een  dergelijke vraag de facto voor vo‐afgestudeerden een beheersingsniveau B vereist. Maar  daarmee is de wens van de ho‐toetsconstructeurs, namelijk dat de gegeven vraag liever  op A‐niveau beheerst zou moeten worden nog niet verdwenen. Verschillende  inschattingen op de A, B, C schaal vormen dus een bruikbaar beginpunt voor discussies  over feitelijke en over gewenste beheersingsniveaus.  We concluderen dat de indeling naar beheersingsniveau weliswaar afhankelijk is van de  interpretatie van het voorafgaande onderwijs. Maar dit is geen nadeel, maar maakt de  indeling juist geschikt als taal om de discussie in te voeren.  

5.5.6 Ervaringen en overwegingen bij de gekozen maat voor  complexiteit  Enkele van de hier volgende kritische opmerkingen gaan over de kwestie of de numeriek  bepaalde complexiteit nu de variabele is die we in de metadatering belangrijk vinden.  Andere opmerkingen hebben betrekking op elementen van wat we intuïtief complexiteit  willen noemen, die in deze gekozen maat ontbreken.      

76 

1. Complexiteit afbakenen van moeilijkheidsgraad?  Men kan het gedefinieerde complexiteitsniveau opvatten als wat het is: puur het aantal  elkaar niet implicerende betrokken items van de MathTax‐lijst.   Geconstateerd werd onder andere dat bijna ieder vraagstuk over differentiëren waarin  een rekenregel is verwerkt, bijna consequent minimaal drie codes uit de lijst krijgt: de  rekenregel zelf (bijv. 6.1.4.4.4, kettingregel), en twee keer het nemen van de afgeleide  van een standaardfunctie (bijvoorbeeld 6.1.4.3.3 en 6.1.4.3.4 als je de afgeleide van  ln(sin(x)) moet bepalen). Dat is veel te veel van het goede, dwz. geeft voortdurend een  hoge complexiteit terwijl het meestal heel weinig 'complexe' vraagstukken zijn.   Het zo aangegeven complexiteitsniveau zegt dus weinig over de verwachte vaardigheid  die nodig is de opgave op te lossen. We gaan er blijkbaar van uit dat de variabele dit  juist wel moet aangeven, maar weten niet of dat zo is. In de aangegeven en  vergelijkbare situaties geeft dit complexiteitsniveau alleen iets over de inhoudelijke  uitgebreidheid van de opgave aan.  Dit roept de vraag op of het zinnig en nodig is om complexiteit te onderscheiden van  moeilijkheidsgraad.  2. Niet de steen maar de stapeling maakt de complexiteit  In het gegeven voorbeeld met de machten van twee5 blijkt de derde vergelijking anders  van structuur te zijn dan de eerdere twee: het is wel een vierkantsvergelijking, maar niet  uitgedrukt met een letter voor de onbekende; de onbekende is in eerste instantie 2x,  geen atoom van de vergelijking, maar een wiskundige expressie op zich met weer een  eigen structuur. Het inhoudselement ‘macht van 2’ en het inhoudselement ‘vier‐ kantsvergelijking’ staan daardoor niet naast elkaar maar zijn in elkaar genest.   Dit in tegenstelling tot bij een opgave over het differentiëren naar x van (zoiets  wereldvreemds als) 2x + sin x + x3. Deze zou complexiteitsniveau 4 krijgen en met één  term minder slechts 3, een even groot verschil als bij de nesting, maar door het 'los  naast elkaar staan' is het feitelijk verschil in moeilijkheid hier veel minder groot.  Blijkbaar zit het element dat we intuïtief beschouwen als complexiteit eerder in de  manier waarop schakels in de opgave samenhangen dan in het aantal schakels.   Bij de twee voorbeelden is er een evident verschil: de diepteschakeling bij de  vierkantsvergelijking met exponentiele functie, de nevenschikking bij de wereldvreemde  functie.   Deze twee verschillende elementen van de formule als boomstructuur zijn waarschijnlijk  veel meer een maat voor de werkelijke complexiteit dan het tellen van betrokken  onderwerpen.  3. Verborgen gewichtsverschillen in de classificatieboom  De verschillende blaadjes van de classificatieboom verhouden zich als een blad van de  bananenboom tot dat van de lijsterbes. Zo is er ‘chaostheorie’, ‘ontbinden in factoren  bij veeltermvergelijkingen’ en ‘optellen van getallen’. In de complexiteitsbepaling  leveren die allemaal één punt.                                                          

5

 Zie de introductie van het kader, onder "complexiteit". 

 

 

77

De classificatieboom moet dat ook zo doen als deze dekkend wil zijn over de mogelijke  leerstof. Dit is geen bezwaar tegen het classificatiemechanisme, maar wel tegen het  gebruik ervan om complexiteit te meten. Een gevolg is bijvoorbeeld dat we de vragen  van de HHS en de UUE niet zo verschillend in complexiteit noemen, terwijl ze dat  intuïtief wel degelijk zijn.  4. MathTax: verschillen in detaillering  Bij algebraïsche expressies (onderdeel 3.1) is MathTAX zeer gedetailleerd; dat is ook te  verwachten omdat het hier over de vele algebraïsche deelvaardigheden gaat. Voor de  toetsmakende student maakt het echter niet zoveel uit of bewerkingen in algebraïsche  vorm worden uitgevoerd, of dat met de calculusregels op logaritmes wordt gewerkt.  Ook bij de logaritmes moeten (hopelijk enigszins gemechaniseerde) symbolische  handelingen verricht worden. Dit heeft niets met het functiekarakter van de logaritme  te maken, maar de logaritme is daar inhoudelijk wel bij ondergebracht in de taxonomie,  en terecht. Doordat de rekenregels voor logaritmen niet apart gedetailleerd zijn in de  taxonomie, op de manier zoals dat wel gedaan is voor algebraïsche expressies kan de  overeenkomstige complexiteit van opgaven niet goed worden uitgedrukt.  5. Getallen of variabelen, welke en in welke vorm  Voor veel leerlingen maakt het uit of een vergelijking of andere opgave met specifieke  getallen is gesteld of met letterconstanten. Het is betwistbaar wat eenvoudiger is; heel  opmerkelijk is dat dit verschil in het leerproces van een persoon in twee richtingen kan  wijzigen, en ook nog opgave‐afhankelijk is.   Tussen de toetsen van de HHS enerzijds en de 3TU en UU‐toetsen anderzijds is het  verschil zeer zichtbaar.   Wat het gebruik van variabelen betreft zijn er ook naamkeuzen die een obstakel kunnen  zijn. Voorbeeld: in opgave 14 van de UU‐Scheikunde test wordt gevraagd te  differentiëren. Dat moet kunnen. Maar vwo‐leerlingen zijn wel x en t gewend en de  opgave geeft functies met de namen a, b, c waarin naar α, β, γ etc. moet worden  gedifferentieerd, zonder dat aan te geven.   Wiskunde kent tradities wat lettergebruik betreft. x, y, z zijn variabelen (of coördinaten)  en a, b, c en α, β,γ niet. Een instaptoets is niet de plek daaraan te morrelen, tenzij het  een toetsitem op zich is.   Ongebruikelijke vormgeving in formules is verwant hieraan, bijvoorbeeld 1 ‐ 2x + x2 in  plaats van x2 ‐ 2x + 1. Deze typen van (lichte) complexiteitsverhogingen zijn niet  meetbaar via de taxonomie.  6. Strikken en verduisteringen  Er zijn toetsvragen waar de wiskundige vaardigheid ondergeschikt wordt gemaakt aan  een 'puzzeltje' dat ook in de vraag verstopt is, en waarvoor geldt dat de vaardigheid van  de student om dat puzzeltje op te lossen eigenlijk niet zo heel belangwekkend is (en in  ieder geval weinig met wiskundige basisvaardigheden heeft te maken). Sommige van die  vragen worden daarmee echte strikvragen. Vraag 20 (van de 3TU toets 2005) is daar een  mooi voorbeeld van: de vraag lijkt het begrip periodiciteit te toetsen, maar toetst vooral  of de studenten een 'dubbele‐hoekformule' herkennen. Met dat laatste is op zich niets 

78 

mis, maar het probleem is dat de vraagformulering er niet naar stuurt: je toetst dus  eerder kritisch lezen, dan wiskundige vaardigheden.  

5.5.7 Naar een andere maat voor complexiteit en/of moeilijkheid  Al deze opmerkingen brengen ons tot het besluit op een andere manier iets van het  begrip complexiteit of moeilijkheidsgraad in de metadatering mee te nemen. Twee  verschillende bronnen gaven daar suggesties voor.  Pisa 2003  In ‘Wiskundige geletterdheid volgens PISA; Hoe staat de vlag erbij?’ (Dekker en Wijers,  2006) worden de toetsitems geclassificeerd naar wiskundig domein, competentie en  moeilijkheidsgraad. Competentie wordt ingedeeld in (1) reproductie, (2) verbanden en  interpretatie, en (3) generaliseren, abstraheren, redeneren en bewijzen. Dat komt  uitstekend met onze A‐B‐C indeling overeen. Wiskundig domein kent bij Pisa slechts vier  gebieden: (1) Vorm en Ruimte, (2) Verandering en relaties, (3) Onzekerheid, (4)  Hoeveelheid. De verbanden tussen de schalen worden onder meer toegelicht in De  Lange (1999).  Er is in Dekker en Wijers (2006) ook van een Pisa vaardigheidsschaal gebruik gemaakt,  die gedetailleerd in genoemde publicatie is beschreven. Deze schaal is op IRT (Item  Respons Theory) gebaseerd. Daarin wordt de relatieve vaardigheid van een leerling  geschat door de proportie van vragen te beschouwen die door deze leerling juist  beantwoord wordt. De moeilijkheidsgraad van een item wordt geschat door de  proportie van testdeelnemers te beschouwen die de betreffende vraag juist  beantwoordt. Op basis van deze schattingen wordt een continue schaal geconstrueerd.  Op die schaal kunnen zowel deelnemers als opgaven geplaatst worden. Voor de  technische details verwijzen wij naar genoemde publicatie (en naar PISA 2003 Data  analysis manual, 2005), maar het idee van moeilijkheidsbepaling door de toetsdeelne‐ mers zou binnen het NKBW toch technologisch heel goed aan te pakken zijn? Dat geeft  ons automatisch een nieuwe variabele.  Wiskundige complexiteit  Elke wiskundig probleem is een vraag naar een afleiding van een bewering uit gegeven  grondbeweringen. Dit kunnen de axioma’s van Peano of Euclides of Hilbert zijn, maar je  kunt de basisset ook verrijken, bijvoorbeeld zoals ‘de fomulekaart’ dat doet.   Definitie:   de complexiteit van een probleem ten opzichte van een gegeven basisset is de minimale  lengte van een keten die een exact logische afleiding van de gevraagde bewering vormt  vanuit de basisset.   De complexiteit van een bewering, bijvoorbeeld  ‘voor alle n en m in de natuurlijke getallen geldt n+m = m+n’   is echter afhankelijk van de gekozen basisset. In sommige axiomasystemen heeft deze  bewering complexiteit 0, omdat de bewering zelf een axioma is, in andere systemen is  er een bepaald aantal stappen nodig om de juistheid van de bewering in te zien.  Niettemin lijkt de maat ‘afleidingslengte’ een geschikte maat bij het beoordelen van de  complexiteit van algebraïsche vraagstukken. Deze komt overeen met het aantal stappen   

 

79

die men bij het oplossen van het vraagstuk moet uitschrijven als men geheel expliciet is.  Deze maat voor complexiteit kan voorspeld worden door een panel van deskundigen,  die de wiskundige materie en het (gewenste/feitelijke) stappenrepertoire van studenten  op zeker punt in hun leerloopbaan kennen6.   Hier doet zich dus iets vergelijkbaars voor als bij de beheersingsniveaus (A, B, C): ook  hier moeten veronderstellingen over de onderwijscontext worden uitgesproken, om tot  een intersubjectieve maat te komen.  Complexiteit en moeilijkheidsgraad onderscheiden?  Hoe nodig en hoe gewenst is het om complexiteit te onderscheiden van  moeilijkheidsgraad?  Hierboven zagen we de PISA‐definitie van moeilijkheid: deze is gelijk aan de proportie  van leerlingen (uit een gegeven populatie) die de vraag onjuist beantwoorden. Dit is een  belangrijke maat, die immers iets zegt over het onderscheidend vermogen van een  vraag, ten opzichte van een bepaalde populatie leerlingen.  Met de drie door ons uitgeprobeerde dimensies (inhoud, beheersingsniveau,  complexiteit) wilden wij echter de toetsdoelen beschrijven. Toetsdoelen komen overeen  met leerdoelen: de leerdoelen van een cursus zijn identiek aan de toetsdoelen na afloop  van die cursus. Inhoud en beheersingsniveau zijn geschikte beschrijvingsmiddelen van  toetsdoelen: men stelt zich ten doel dat leerlingen na afloop kunnen differentiëren  (inhoud) en wel routinematig, of juist in een context waar men zelf een plan moet  trekken (beheersingsniveau). Moeilijkheid is hiermee niet vergelijkbaar. Men kan zich  niet ten doel stellen dat de leerlingen moeilijke opgaven aankunnen, immers, zodra zij  dit kunnen, zijn de opgaven per definitie niet moeilijk meer. Moeilijkheid is dus ook geen  descriptor van een toetsdoel. Daarentegen kan men zich wel degelijk ten doel stellen  dat de leerlingen, gegeven een basisrepertoire van handelingen, daarmee ook complexe  opgaven aankunnen. Complexiteit en moeilijkheidsgraad zijn dus twee belangrijke  eigenschappen van een toetsvraag, waarvan de één zinnig is bij het verhelderen van wat  men wil toetsen, de andere niet. 

5.5.8 Conclusies over het analysekader  • •

De NKBW‐taxonomie is bruikbaar bij het inhoudelijk beschrijven van toetsvragen.  Belangrijke omissies betreffen basisprincipes bij het omwerken van expressies en  vergelijkingen.  De indeling in drie beheersingsniveaus is niet onafhankelijk van de interpretatie die  de beoordelaar heeft van het voorafgaande onderwijs. Dit blijkt echter geen nadeel,  maar maakt de A‐B‐C terminologie tot een goede taal voor de discussie over  feitelijke en gewenste beheersingsniveaus. Het is gewenst deze discussie te voeren  aan de hand van toetsitems en hun classificatie. De auteur van een ho‐ingangstoets  kan met A, B of C aangeven welke beheersing deze verwacht. Vervolgens kan  besproken worden of die verwachting reëel is, dan wel reëel zou kunnen worden.  

                                                       

6

x

 Bijvoorbeeld het differentiëren van e  zal voor bijna ieder van ons één stap zijn (die blijkbaar tot ons basisrepertoire  behoort), behalve als we via een redenering met limieten onszelf willen overtuigen van de juistheid van net die éne  stap. Dan gaan we blijkbaar over naar een andere, fundamentelere basisset. 

80 

•

•

De uitgeprobeerde maat voor complexiteit bleek niet valide. Als alternatief stellen  we voor de lengte (het aantal stappen) van een zo expliciet mogelijke oplossing.  Toetsauteurs kunnen als metadata‐item de lengte van hun ideale oplosroute  vermelden. Analoog aan het beheersingsniveau geldt ook hier dat discussie mogelijk  moet worden: in zo'n discussie kunnen beide partijen de "basisset" expliciteren die  zij bij een gegeven opgave zouden gebruiken (of waarvan zij hopen/weten dat een  competente vo‐afgestudeerde dit doet).  Tenslotte is de moeilijkheidsgraad van een toetsitem een belangrijk metadata‐item,  hoewel het lastig blijft dit objectief goed vast te stellen.  

5.5.9 Review van ho­toetsen door vo­docenten  Binnen dit kortlopende onderzoek werden twee wo en twee hbo‐toetsen geselecteerd  voor review door vier vo‐docenten. Elke reviewer bekeek alle vier toetsen. Aan hen was  de vraag voorgelegd om deze vier toetsen te bezien op:  • Welke vragen uit de toets zijn niet gedekt door de formele eindtermen (hoe ook  geïnterpreteerd) van het als ingang vereiste vo‐onderwijs?  • Welke formuleringen van vragen zijn te verbeteren, gezien de gangbare  terminologie die in het als ingang vereiste vo‐onderwijs wordt gehanteerd?  (bijvoorbeeld woorden die leerlingen niet (meer) gewend zijn, zoals "reële  getallen").  • Wat is, in het algemeen, uw mening over de ingangstoets? (denk aan: het type  vragen, de verhouding tussen diverse onderwerpen, of alles wat u verder relevant  lijkt).    Hoewel de vier docenten volledig onafhankelijk van elkaar zijn benaderd en dus ook in  hun reacties niet op elkaar steunden, blijkt er een algemene structuur in de  beantwoording terug te vinden. Dat betreft verschillende aspecten:  1. De vorm van de toetsing (meerkeuzevragen of open vragen);  2. De maakbaarheid door de beoogde doelgroep;  3. De repareerbaarheid van de vragen (wel geschikt, maar dan anders geformuleerd).  Bij elk van deze drie aspecten worden wat commentaren geplaatst. Deze moeten meer  gezien worden als signaal dan als grondig onderbouwde feiten. De keuze van de vier  docenten was zeker niet aselect en het lijkt verstandig om een dergelijke bevraging op  grotere schaal te herhalen.  Ad 1: Het fenomeen meerkeuzevraag wordt in het vo niet of nauwelijks gebruikt. Met  name het feit dat dergelijke bevraging bij de beantwoording niets toont van  gevolgde strategieën en dus niet duidelijk maakt waar(om) eventuele fouten  optreden maakt dat deze vorm van toetsing wordt gewantrouwd in vo‐kringen.  Dat is zeker het geval als de toets (zoals in sommige ho‐situaties) wordt gezien  als diagnostisch. Drie van de vier ho‐toetsen hebben dit niet‐gewenste karakter.  Dat kan één van de redenen zijn waarom de niet‐meerkeuze toets (UvA) wordt  gezien als de toets die het vo‐karakter het meest recht doet, hoewel op deze  toets ook nog wat kritieken van toets‐technische aard zijn. 

 

 

81

Ad 2: Eensgezind waren de docenten over de maakbaarheid. De UvA‐toets (voor vwo B  leerlingen) en de HHS‐toets (voor havo B) werden gezien als acceptabel, de twee  andere voldeden daaraan zeker niet. De toets UU Economie werd gezien als  moeilijk voor een vwo B‐leerling en niet maakbaar voor vwo A1,2 terwijl dit wel  de ingangseis is. De toets van Fontys Technische Informatica wekte wrevel door  de irrelevante en irritante vragen.  Ad 3: Interessant is te constateren dat een aantal vragen niet goed kunnen worden  gemaakt door de formulering van de vraag. Nogal wat toetsitems zijn in de ogen  van de docenten reparabel. Eén voorbeeld dat dit illustreert:  Los op voor x:  3xy − 2 y = x   zal door een vo‐leerling niet worden begrepen, terwijl de formulering  Gegeven is:  3xy − 2 y = x . Druk x uit in y  dat probleem niet heeft. 

5.5.10 Aanbevelingen voor de opzet van een vo­ho toetsitembank  Op basis van de in de vorige paragrafen beschreven ervaringen komen we tot de  aanbeveling dat in een vo‐ho toetsitembank per toetsitem de volgende metadata  gewenst zijn:  1. Eén of meer onderwerpen, elk aangeduid met hulp van de NKBW‐taxonomie van  wiskundige onderwerpen, zijnde een uitgebreide versie van de MathTax‐taxonomie.  2. Het beheersingsniveau (A, B of C), dat de auteur van de vraag wenst te toetsen, met  optioneel een toelichting.  3. Alternatieve classificaties van het beheersingsniveau (A, B of C), bijvoorbeeld door  gebruikers van het toetsitem, met optioneel een toelichting (bijvoorbeeld te  gebruiken om met de auteur in discussie te gaan).  4. De complexiteit, uitgedrukt als het aantal stappen in een ideale, volledig expliciete  uitwerking, volgens de auteur, met optioneel een toelichting.  5. Alternatieve schattingen van de complexiteit, bijvoorbeeld door gebruikers van het  toetsitem, met optioneel een toelichting (bijvoorbeeld te gebruiken om met de  auteur in discussie te gaan).  In geval van meningsverschil zou men in de toelichtingen tot explicitering van de  eigen ‘basisset’ moeten overgaan (beperkt tot de opgave onder discussie, dus niet  de hele basisset).  6. De moeilijkheidsgraad, uitgedrukt als de proportie proefpersonen die de vraag  onjuist beantwoordden (Dekker en Wijers, 2006), zoals bepaald door de auteur van  het toetsitem, met vermelding van doelgroep (bijvoorbeeld ‘vwo‐afgestudeerden’)  en jaartal.  7. Alternatieve bepalingen van de moeilijkheidsgraad, door gebruikers van het  toetsitem, eveneens met vermelding van doelgroep en jaartal. Het wordt verwacht  dat hetzelfde toetsitem diverse moeilijkheidsgraden heeft voor diverse doelgroepen.     Met de eerste 3 punten uit deze lijst desiderata is door ons ervaring opgedaan. We  hebben deze ervaring verwerkt in een demotoetsbank, waarin twee ho‐ingangstoetsen,  één eindexamen en de exittoets van de NVvW zijn opgenomen. Anders dan bij een 

82 

echte toetsbank ging het ons niet om techniek of doorzoekbaarheid, maar om het  zichtbaar maken van de metadatering zoals wij die hebben uitgeprobeerd, dus volgens  de punten 1 t/m 3 hierboven.  Met desideratum 6 is elders veel ervaring opgedaan. De bruikbaarheid en meetbaarheid  van deze maat voor moeilijkheidsgraad is nauwelijks discutabel.   

 

 

83

5.6 Onderzoek bovenbouw vwo, de JCU case study  In deze paragraaf wordt het eerste van de twee onderzoeken in het vo‐domein  besproken. Het tweede onderzoek (de enquête onder docenten vo) is terug te vinden in  paragraaf 5.7.    De JCU case study is uitgevoerd op het Junior College Utrecht (JCU) in het kader van het  NKBW‐project in 2007. 

5.6.1 Algemeen  Het JCU, onderdeel van Universiteit Utrecht, biedt een uniek tweejarig bètaprogramma  voor ambitieuze vwo‐leerlingen, klas 5 en 6. Het JCU lijkt een interessante  onderzoekstuin te bieden voor de geconstateerde aansluitingsproblematiek vwo‐wo.  Hoewel hier wellicht sprake is van een ‘bijzondere populatie’, is het toch interessant om  hier onderzoek uit te voeren.  De onderzoekers richten het onderzoek op het verkrijgen van meer inzicht in de aard  van de problematiek rond de vaardigheden die met algebraïsch inzicht samenhangen, in  dit geval dus bij vwo‐leerlingen die gemotiveerd zijn voor de exacte vakken. Het  onderzoek is voornamelijk kwalitatief van aard; het betreft een casestudy. 

5.6.2 Junior College Utrecht  Universiteit Utrecht en 26 vwo‐scholen uit de regio werken samen om het Junior College  te ontwikkelen. Het Junior College Utrecht is jaarlijks toegankelijk voor een beperkt  aantal vwo‐leerlingen van de deelnemende scholen die het vierde jaar vwo met succes  hebben voltooid. Elke school kan maximaal vier leerlingen voordragen voor het JCU.  Selectie van de leerlingen geschiedt vooral op het criterium motivatie voor exacte  vakken en in tweede instantie op aanleg. De JCU leerlingen volgen het profiel Natuur en  Gezondheid of het profiel Natuur en Techniek. Niet alle beste leerlingen zijn uit de  scholen ‘afgeroomd’, maar er zijn duidelijk een hoop exacte kanjers aanwezig.   Twee dagen per week volgen de JCU‐leerlingen lessen in de bètavakken aan het JCU. De  overige vakken die nodig zijn voor het eindexamen volgen ze op hun eigen school.  De JCU‐leerlingen doen het schoolexamen in de bètavakken op het JCU. De vwo‐school  neemt het centraal eindexamen af. Naast hun vwo‐diploma ontvangen de leerlingen, als  zij hun opleiding aan het Junior College Utrecht hebben voltooid, een getuigschrift. Het  Junior College is behalve als speciale school voor de leerlingen ook bedoeld als  laboratorium voor onderwijsvernieuwing waarin nieuwe vormen van aansprekend  bètaonderwijs worden ontwikkeld.    Het docententeam van het JCU bestaat uit docenten van de samenwerkende scholen en  van Universiteit Utrecht. Zij geven gezamenlijk vorm aan het programma en zijn daarin  gelijkwaardige partners. Daarnaast zijn voor speciale onderwerpen ‐ondersteuning bij  samenwerkingsmodules tussen vakken, begeleiding van de eindthesis,  laboratoriumactiviteiten, speciale lezingen‐ ook de docenten van Universiteit Utrecht  beschikbaar. 

84 

5.6.3 Wiskundeonderwijs op het JCU  Meestal wordt in de lessen het wiskunde B12‐programma gevolgd; daarbij is op vele  momenten verdieping ingebouwd. Hier hebben de JCU‐docenten en docenten van  Universiteit Utrecht elk eigen rollen in. De volgende materialen worden gebruikt:  • voor wiskunde ‘Moderne Wiskunde’ van Wolters‐Noordhoff, bovenbouwdelen vwo  wiskunde B;  • voor meetkunde wordt een aanpassing van het experimentele materiaal uit het  Profi‐project (Goddijn, Kindt e.a. 1998) gebruikt;  • verder schaft het JCU een licentie aan voor thuisgebruik van het programma Cabri  Géomètre II Plus en ook andere ICT (public domain, beschikbare applets) wordt  veelvuldig gebruikt;  • in principe beschikt elke leerling over een grafische rekenmachine en een pc thuis.  Een aantal van de verdiepingsmomenten voor wiskunde zit in de sfeer van het  bescheiden experimenteren met onderdelen van het toekomstige wiskunde D‐ programma. Dit betreft modelleren in NLT en volgend jaar een module rond elektronica  en complexe getallen. 

5.6.4 Het onderzoek op JCU  In het onderzoek staat het verkrijgen van meer inzicht in onderstaande vraag centraal:  • Wat is de aard van de problematiek rond de vaardigheden die met algebraïsch  inzicht samenhangen bij voor exacte vakken gemotiveerde leerlingen?    Deze vraag wordt in twee deelvragen onderzocht:  1. Hoe komen leerlingen binnen? Dit betreft de aansluitingssituatie vanuit de  thuisscholen naar het JCU.   2. Hoe ontwikkelen en gebruiken de leerlingen de vaardigheden op het JCU? Wat valt  er op in de lessen? Hoe illustreert werk van leerlingen hun vaardigheidsniveau?    De vragen zijn in nauwe samenwerking met docenten van JCU onderzocht middels:  • opstellen, afname en analyse van een voorkennistoets waarbij ook een aantal  vragen over achtergrondkenmerken is gesteld, september 2007;  • observaties van wiskundelessen aan vwo 5, juni 2007;  • analyse van leerlingenwerk in schoolexamens, werkstukken en toetsen uit schooljaar  2006/2007.  

 

 

85

5.6.5 Resultaat onderzoeksvraag 1 – JCU instroom klas 5  In september 2007 is een voorkennistoets afgenomen in de twee vwo 5 klassen van JCU  met in totaal 53 leerlingen. Bij de toets is een aantal vragen gesteld over de  achtergrondkenmerken van de leerlingen. Dit levert het volgende beeld, zie  rechterkolom:    Vul in 

 

Naam: 

N=53 

E‐mailadres: 

 

Hoeveel wiskundeles kreeg je in vwo 4? (bijvoorbeeld 3  keer 50 minuten) 

Gemiddeld: 151 minuten 

Welk boek gebruikte je vorig jaar? 

-

Getal en Ruimte 30 (ca. 58%)  Moderne wiskunde 18 (ca. 34%)  Pascal 2 (ca. 4%)  Wageningse Methode 2 (ca. 4%)  Niet ingevuld 1 

Wat was je gemiddelde cijfer voor wiskunde in vwo 4? 

-

Gem. 8.3  Range: 6.4 ‐ 10 

Is vorig jaar de binomiale verdeling in de les behandeld? 

-

Nee 15  Ja 26  Zelf gedaan 5  Onduidelijk/weet niet 6 

Is vorig jaar de logaritme behandeld? 

-

Nee 6  Ja 41  Zelf gedaan 5  Onduidelijk/weet niet 1 

Is vorig jaar het begrip radiaal behandeld? 

-

Nee 21  Ja 23  Zelf gedaan 8  Onduidelijk/weet niet 1 

Is vorig jaar het onderwerp rijen behandeld? 

-

Nee 20  Ja 32  Zelf gedaan 0  Onduidelijk/weet niet 1 

figuur 5.1: Voorkennistoets JCU 

  De voorkennistoets bestaat uit tien opgaven. Het is een formatieve toets die nagaat  waar de leerling staat op het gebied van de algebraïsche vaardigheden. Dit is duidelijk  gemaakt in de aanhef van de toets: ‘Met deze toets willen we alleen maar kijken hoe  het met jouw wiskundige voorkennis is gesteld. Een eventueel cijfer telt niet mee.’  Vanwege de aard van de toets, vaststellen van voorkennis, zijn de tien opgaven  nagenoeg allemaal op te vatten als reproductieopgaven. Een enkele keer moet een  leerling wel zelf verbindingen leggen en gaat het dus om een iets hoger niveau van  redeneren. Zo zullen de meeste leerlingen voor bijvoorbeeld het uitwerken van  (2a + 3b)3 geen standaardaanpak hebben.  

86 

  In de tabel staat een overzicht van de toetsopgaven en de toetsresultaten. Elke opgave  wordt kort getypeerd. De maximaal te behalen score wordt aangegeven en van elke  opgave is de gemiddelde score van alle leerlingen opgenomen. Als een leerling heeft  aangegeven een bepaald onderwerp niet gehad te hebben, is de score van deze leerling  bij de betreffende opgave weggelaten. Dit betreft de opgaven 6, 7, 9 en 10.     Opgave  # 

Omschrijving 

Aantal  Gemiddelde  punten  score (%)  (totaal: 72) 

1. 

Acht vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch oplossen 

24 

72% 

2. 

Haakjes uitwerken en vereenvoudigen, twee deelopgaven 

7 

74% 

6 

90% 

4 

65% 

3. 

f (x) =

x +

( 4 − x )  onderzoeken: domein, plotten, 

bereik, randpunten (GR)  4. 

f ( x ) = x 3 − 3 x 2 , differentiequotiënt op interval en interval 

met differentiequotiënt =0  5. 

Twee ongelijkheden oplossen (GR) 

5 

80% 

6. 

Bepaal exacte periode, evenwichtsstand en amplitude van  f ( x ) = 5 ⋅ sin (3 x ) + 4  

4 

Circa 78% 

7. 

Onderzoek  f ( x ) = 2 lo g (3 x − 5)  (grafiek gegeven) o.a.  domein en vergelijkingen oplossen (zonder GR) 

4 

Circa 59% 

8. 

Contextprobleem over exponentiële afname. Procentuele  afname voor gewijzigde tijdseenheid bepalen. 

7 

48% 

9. 

Meetkundige rij gegeven door 2 termen, bepaal formule(s) 

7 

Circa 40% 

10. 

Rekenkundige rij (recursief gegeven), bepaal waarde van term 

4 

Circa 23% 

figuur 5.2: Toetsresultaten   

In totaal wordt ruim een derde deel van het totaal te behalen aantal punten gehaald op  de algebraïsche vaardigheden die in vraag 1 en 2 worden getoetst. Omdat het  onderzoek zich daar vooral op richt is voor deze twee vragen een nadere analyse van  het leerlingenwerk gemaakt. Dit is aangevuld met een analyse van het leerlingenwerk  voor opgave 5, algebraïsche vaardigheden met de GR, en opgave 7, logfunctie, om ook  op een iets breder terrein iets te laten zien.  Voor we nader naar de opgaven kijken, maken we nog een paar algemene opmerkingen  over de toetsresultaten. 

 

 

87

De gemiddelde score van de leerlingen is 68%, met de volgende frequentieverdeling:    0‐10%  10‐20%  20‐30%  30‐40% 40‐50% 50‐60% 60‐70% 70‐80% 80‐90% 90‐100%  ‐ 

‐ 

1 

2 

1 

11 

15 

10 

8 

5 

figuur 5.3: Scores van de leerlingen in percentages  

  Omgerekend volgens de norm voor deze toets levert de score van 68% het gemiddelde  cijfer 7.1 op. Dat is aanzienlijk lager dan de 8.3 die als gemiddeld eindcijfer in klas 4  werd gehaald. Hoe de score per gebruikte wiskundemethode is, is te zien in figuur 5.4    methode  Getal en Ruimte  Moderne Wiskunde  Overig of onbekend  Totaal 

aantal leerlingen  30  18  5  53 

gemiddelde score  65%  71%  74%  68% 

figuur 5.4: Score per gebruikte wiskundemethode 

  De opgaven 3 en 5 met de GR worden goed gemaakt. De opgaven 9 en 10 over het  onderwerp rijen zijn het minst goed gemaakt. Dit is ook een van de onderdelen waarvan  een groot deel van de leerlingen (38%) heeft aangegeven het niet te hebben gehad. Ook  het feit dat het de laatste twee opgaven in de toets zijn, kan de lagere score verklaren.   Opvallend is dat opgave 8 slecht is gemaakt (48% goed), terwijl kennismaken met  exponentiële verbanden wel tot de vwo 4 stof behoort. Het is echter mogelijk dat het  omrekenen van groeifactoren weinig aandacht heeft gekregen. Er zijn hier kleine  verschillen tussen de methoden te zien.  Resultaten opgave 1 en 2  Opgave 1 bestaat uit acht vergelijkingen en ongelijkheden die langs algebraïsche weg  moeten worden opgelost. Voor elk onderdeel kunnen drie punten worden gehaald. De  gemiddeld behaalde score per onderdeel staat in de volgende tabel.    opgave  vergelijkingen/ongelijkheden   

 

resultaat 

opgave   

2.57 (84%) 

1e 

5 − 7x > 3  

 

 

vergelijkingen/ongelijkheden 

1a 

  x2 − 7 = 0  

1b 

 

(3x − 2)(3x + 4) = 0

2.86 (92%) 

1f 

x 2 < 81  

 

1c 

2x2 − x = 1  

2.51 (79%) 

1g 

23 x −1 = 32  

 

1d 

x 7 = 9 ⋅ x5  

1.45 (46%) 

1h 

x+4 =

 

figuur 5.5: Resultaten opgave 1 

 

88 

1 3

x

   

resultaat  2.45 (81%)  2.39 (78%)  2.59 (82%)  1.14 (36%) 

Resultaten per onderdeel:    1a  53% van de leerlingen doet het volledig goed, 42% vergeet de negatieve wortel.   

1b  In totaal doet 78% van de leerlingen het volledig goed. 42% van de leerlingen  gebruikt de gegeven ontbonden vorm om de oplossingen te bepalen en doet dit  goed. Daarnaast geeft nog eens 6% (3 leerlingen) het correcte antwoord zonder  uitwerking. Echter 53% werkt eerst de haakjes weg en gaat vervolgens met de abc‐ formule aan de slag. Van deze 53% doet 71% het foutloos.   

1c  In totaal doet 74% van de leerlingen deze vraag volledig goed. Bij deze opgave  herleidt 55% op 0 en gebruikt daarna de abc‐formule. 83% doet dit foutloos. 34%  herleidt op 0 en ontbindt dan in factoren, daarvan doet 78% het foutloos.  Vergeleken met onderdeel b, is het hier opvallend dat een groot aantal leerlingen  in dit geval toch gaat ontbinden terwijl de leidende coëfficiënt van x2 niet gelijk is  aan 1 en er breuken gaan voorkomen. Ruim 10% van de leerlingen maakt echte  fouten. Een aantal keer lijkt geredeneerd te worden: 'ab=1 als a=1 of b=1' naar  analogie van 'ab=0 als a=0 of b=0'. Een enkele leerling geeft de oplossing x=1, die  mogelijk proberend is gevonden.   

  figuur 5.6: – Leerlingenwerk 

 

 

1d  Slechts 13% van de leerlingen doet deze vraag volledig goed. De meest  voorkomende aanpak bij deze vergelijking is aan beide zijden delen door x5 .  Daarbij wordt steevast de oplossing x = 0 over het hoofd gezien. 55% van de  leerlingen mist een of twee van de mogelijke oplossingen. Slechts 15% herleidt op  0 en haalt de factor x5 buiten haakjes, van deze 9 leerlingen doen er 7 het foutloos.  Bij dit onderdeel is het aantal leerlingen dat geen antwoord geeft het hoogst: 21%  van de leerlingen (11).   

1e  In totaal doet bijna 60% dit onderdeel volledig goed. Van de 53 leerlingen werkt  34% direct met de ongelijkheid, dit gaat in circa 60% van de gevallen goed. Van de  overige leerlingen maakt 62% eerst de vergelijking bij de ongelijkheid en lost die  op. Daarna leidt een redenering, een 'testwaarde' of een plaatje (soms met de GR  gemaakt) tot het uiteindelijke antwoord. Al deze varianten komen voor. In veel   

 

89

gevallen is echter niet duidelijk hoe de leerling van de oplossing van de vergelijking  naar het uiteindelijke antwoord is gekomen. Deze aanpak leidt ook maar in ruim  60% van de gevallen tot een volledig correct (exact) antwoord, de overige 40%  maakt een tekenfout, een rekenfout of beide, of geeft een benaderd antwoord.   

  figuur 5.7: Leerlingenwerk 

 

 

1f 

Net als bij e zijn hier dezelfde twee hoofdaanpakken te onderscheiden: werken  vanuit de ongelijkheid of deze eerst omzetten in een vergelijking. In totaal komt  55% van de leerlingen tot een volledig correcte uitwerking. De procentuele  verdeling over de twee aanpakken is nagenoeg gelijk aan die bij 1e: 68% werkt via  de vergelijking en 30% direct met de ongelijkheid. De meeste leerlingen kiezen bij  1f voor dezelfde aanpak als bij 1e. Een kleine groep van 6 leerlingen (11%) doet dat  niet. Het oplossingsgedrag wordt daarbij niet eenduidig door de opgave bepaald.  De helft (3) van deze leerlingen doet 1e vanuit de ongelijkheid en 1f met de  vergelijking, en de andere helft doet het precies andersom.   Van zowel de leerlingen die de vergelijking gebruiken als de leerlingen die vanuit  de ongelijkheid werken doet 56% het goed.  Bij de ongelijkheid vergeet 30% de  negatieve wortel, van de groep die via de vergelijking werkt doet 19% dat. Het  werk van de overige leerlingen (21%) kenmerkt zich door allerlei slordigheden of  (reken)fouten.   

1g  Dit onderdeel is volledig goed gemaakt door 81% van de leerlingen. Dit is het  hoogste percentage. 4 leerlingen gebruiken de logaritme, waarvan 3 het correct  doen. 7 leerlingen (13%) geven geen antwoord.   

 

  figuur 5.8: Leerlingenwerk   

90 

 

1h  Bij dit laatste onderdeel worden veel fouten en foutjes gemaakt. Het kan zijn dat  de leerlingen geen ervaring hebben met wortelvergelijkingen. In ieder geval valt op  dat de leerlingen niet (meer) weten dat je door kwadrateren er mogelijk  oplossingen 'bij maakt' en dat je dus een controle moet uitvoeren. Het algebraïsche  oplossingsproces via kwadrateren en op 0 herleiden, gevolgd door ontbinden of  toepassen van de abc‐formule wordt door 32% van de leerlingen correct  uitgevoerd. Slechts 3 leerlingen (van de 53) voeren een controle uit en laten een  van de oplossingen (terecht) vervallen. 34% van de leerlingen weet geen raad met  deze vergelijking, zij maken 'grote' fouten, bijvoorbeeld aan één kant kwadrateren,  meteen op 0 herleiden, of ze lopen heel snel vast. Daarnaast geven nog eens 8  leerlingen (15%) geen antwoord. Dit onderdeel is verreweg het slechtst gemaakt.   

  Ook opgave 2 toetst 'kale' algebraïsche vaardigheden, dus vaardigheden buiten een  betekenisverlenende wiskundige of andere context. Dit is de opdracht:    2.  a. 

Schrijf zonder haakjes en schrijf het antwoord zo eenvoudig mogelijk.  (2a − 4)(−3a + 5)           gem. score (2.72, 86%) 

b. 

(2a + 3b)3  

 

 

 

 

 

gem. score (2.6, 65%) 

 

figuur 5.9: Opgave 2 

  Leerlingen kunnen met deze opgave een score van zeven punten halen, drie voor  onderdeel a en vier voor onderdeel b. Ze halen gemiddeld 5.2 punten (74%).    2a  Dit onderdeel wordt door 74% van de leerlingen volledig goed gemaakt. 6  leerlingen (11%) maken een rekenfout bij het uitwerken en nog eens 6 leerlingen  delen de uitdrukking op het eind door 2! Hier zien we hoezeer leerlingen gericht  zijn op het gebruik van vaardigheden in de context van het oplossen van  vergelijkingen. Er zijn ook nog 2 leerlingen die van de uitdrukking al bij het  uitwerken een vergelijking maken door er '= 0' aan toe te voegen.   

2b  Bij dit onderdeel zien we hoe leerlingen omgaan met het uitwerken van een  uitdrukking waarvoor ze geen standaardrecept hebben. Bijna de helft van de  leerlingen (49%) doet het volledig goed, en nog eens 11% doet het goed op een  enkele slordigheid na. Deze leerlingen gebruiken de betekenis van 'tot de derde  macht' en noteren bijna allemaal de uitdrukking eerst als: (2a+3b) (2a+3b) (2a+3b)  en werken dit vervolgens meer of minder systematisch uit.  32% van de leerlingen maakt fouten. De meeste leerlingen in deze groep gebruiken  echter de betekenis niet, maar proberen een eigen 'regel' te bedenken, vaak  gebaseerd op de 'regel' voor het uitwerken van een uitdrukking als (2a+3b)2. Deze  leerlingen werken meestal direct vanuit de gegeven uidrukking. 5 leerlingen (9%)  geven geen antwoord.   

 

 

91

 

 

  figuur 5.10: Leerlingenwerk 

Resultaten opgave 5 en 7  Opgave 5 is ook nog een ‘kale’ opgave, maar deze keer moet de GR gebruikt worden.    5. Los de volgende ongelijkheden m.b.v. je rekenmachine op. Geef je antwoorden in twee decimalen  nauwkeurig.  a.  x 3 − 5 x >

4 7

x

b.  2 ⋅ (0,57)

   

 

 

 

(gem.2.4, 81%) 

≤ 3, 6  

 

 

 

(gem.1.6, 80%) 

figuur 5.11: Opgave 5 

  Deze opgave is goed gemaakt. Voor 5a zijn drie punten te behalen en voor 5b twee. De  leerlingen halen gemiddeld op beide onderdelen, dus ook op de hele opgave, 80% van  de maximale score. De meest voorkomende fouten zijn afrondfouten en een enkele  keer een ‘tekenfout’. De grote meerderheid van de leerlingen noteert ook de aanpak  met de GR netjes.     Tenslotte iets over opgave 7, één van de functieopdrachten. We kijken alleen naar de  onderdelen a en c. De gemiddelde score op deze twee onderdelen is 58%.    7. Hiernaast is een stukje van de grafiek getekend van de functie  f ( x ) = 2 lo g (3 x − 5)    a. Wat is het exacte domein van de functie?  b. In het plaatje is niet de verticale asymptoot van de grafiek getekend. Teken die asymptoot in het plaatje.  Wat is de vergelijking van die asymptoot?  c. Los langs algebraïsche weg op  f ( x ) = 8    

figuur 5.12: Opgave 7 

  7a  7 van de 53 leerlingen hebben aangegeven geen logaritmen te hebben gehad. Deze  groep laten we buiten beschouwing. De volgende percentages hebben dus  betrekking op 46 leerlingen.  72% bepaalt de linkergrens van het domein correct,  daarvan noteert echter 27% (9 leerlingen) het domein verkeerd, namelijk met  inbegrip van deze linkergrens.   2 leerlingen geven geen exacte waarde maar een benadering. 6 leerlingen (18%)  geven een onjuist domein en 7 leerlingen (21%) geven helemaal geen antwoord.   

7c  De helft van de leerlingen (50%) lost de vergelijking correct op, nog eens 3  leerlingen maken een kleine rekenfout. De meest voorkomende fout is het invullen 

92 

van x = 8. Dit doen maar liefst 6 leerlingen (13%).   Ook 6 leerlingen maken een andere fout en 17% (8 leerlingen) geeft geen  antwoord.    

Conclusies  Het cijfer op de voorkennistoets is aanzienlijk lager dan het gemiddelde eindcijfer  behaald in vwo 4. Toch worden de ‘kale’ algebraïsche vaardigheden bij binnenkomst in  vwo 5 wel voldoende beheerst.  Vooral opvallend daarbij is, dat leerlingen zoeken naar standaardvormen en vertrouwen  op standaardrecepten. Ze hebben weinig oog voor de structuur van een uitdrukking of  vergelijking. Dit blijkt misschien wel het duidelijkst uit opgave 1b: (3x ‐ 2 )(3x + 4) = 0,  waar ze in de stand schieten van haakjes uitwerken en de abc‐formule gebruiken in  plaats van direct de wortels bepalen uit de al ontbonden vorm.  Wiskundige slordigheden als het vergeten van een negatieve wortel of van de oplossing  x = 0 komen veelvuldig voor. Dit kan wijzen op het feit dat daaraan in vwo 4 nog weinig  aandacht is besteed. Zo lijkt het bijvoorbeeld aannemelijk te concluderen dat leerlingen  niet weten dat het kwadrateren van een vergelijking, om een wortelvorm ‘weg te  werken’, mogelijk ‘extra’ onjuiste oplossingen genereert.   Het echte rekenwerk (ook als dat met breuken is) levert weinig problemen op, al  worden er wel enkele keren rekenfouten gemaakt of slordigheden begaan.   Opvallend is dat de meeste leerlingen netjes en gestructureerd werken en in alle  gevallen uitwerkingen noteren, ook wanneer met de GR gewerkt wordt.    De vraag is hoe het de JCU‐leerlingen verder vergaat in klas 5 en 6 en hoe hun  algebraïsche vaardigheden zich verder ontwikkelen. Om hier enig zicht op te krijgen zijn  lessen geobserveerd, is met de docenten en leerlingen gepraat en is leerlingenwerk  geanalyseerd, met name dat op schoolexamens,. Let wel, het gaat dan niet om dezelfde  leerlingen als die waarbij de beschreven voorkennistoets is afgenomen. Het verder  volgen van dit cohort JCU‐leerlingen valt buiten het bestek van dit onderzoek, evenals  het ’volgen’ van de prestaties op de voorkennistoets door de jaren heen.    Alvorens we nader ingaan op de algebraïsche vaardigheden aan de hand van  voorbeelden van leerlingenwerk, beschrijven we eerst puntsgewijs een aantal  opvallende kenmerken van het wiskundeonderwijs op het JCU zoals die uit de  observaties en nagesprekken met de docenten naar voren kwamen.  • De lessen vinden plaats in lange aaneengesloten blokken van twee keer 90 minuten  (een hele middag per week).  • Het eerste deel van de les is sterk interactief en vindt plaats in de vorm van een  klassengesprek over theorie, gelardeerd met voorbeelden en een enkele opgave.   • Het boek speelt hierbij een hooguit marginale rol. De docenten werken vaak met  een zelfgemaakt overzicht en eigen voorbeelden (bijvoorbeeld in de vorm van een  powerpoint‐presentatie). De hoge wiskundige ‘kwaliteit’ van de docenten valt op. 

 

 

93

• • •

•

Het merendeel van de leerlingen is actief betrokken of te betrekken bij dit  interactieve deel van de les.  De gesprekken zijn wiskundig van aard er wordt levendig geredeneerd. Het tempo is  hoog.  Na het klassikaal interactieve deel gaan leerlingen zelf aan het werk aan opgaven uit  het wiskundeboek. Dit deel van de lessen verloopt tamelijk ‘gewoon’. Sommige  leerlingen werken in een hoog tempo alleen of met een klein groepje het ‘huiswerk’  af; anderen zijn met moeite aan het werk te krijgen en te houden.  In hun vragen zijn de leerlingen erg to‐the‐point, ze weten exact waar hun  problemen liggen en zijn vaak met een kleine hint weer op weg te helpen. 

  In welke mate deze positieve houding en het positieve werkklimaat ook leiden tot  herkenbaar hoge(re) kwaliteit van algebraïsche vaardigheden in schriftelijk werk is in het  tweede deelonderzoek onderzocht. 

5.6.6 Resultaat onderzoeksvraag 2 – Onderzoek op de werkvloer  van het onderwijs  De aanpak bij deze onderzoeksvraag is kwalitatief en selectief. We kiezen een aantal  onderwijsacties uit: onderdelen van schoolexamens en geobserveerde situaties in de  klassen. Steeds geven we de situatie kort weer, gevolgd door commentaar. In het  commentaar proberen we verklaringen te geven voor het getoonde wiskundige gedrag.  We kiezen uiteraard voorbeelden die met de algebraïsche vaardigheden te maken  hebben, maar kijken niet alleen naar de fouten die gemaakt worden. De keuze van  observaties is er op gericht bepaalde verschijnselen aan het licht te brengen die in een  kwantitatieve benadering verborgen blijven.  We groeperen de waarnemingen, die uit een veel groter arsenaal gekozen zijn, in enkele  groepen van voorbeelden. Alles had plaats in vwo 5 of 6 in schooljaar 2006/2007.  1. Voorbeelden rondom impliciete visies van leerlingen op algebra   Voorbeeld 1.1  – ‘Cirkel van Apollonius’  In een kort experiment analytische meetkunde ‐met het oog op de toekomst van  wiskunde D‐ werd in een toets gevraagd naar een vergelijking voor de meetkundige  plaats van punten, waarvoor de afstanden tot twee gegeven vaste punten een vaste  verhouding hebben. Dat is de zogenaamde cirkel van Apollonius. In het toetsvoorbeeld  zijn de vaste punten (‐4, 0) en (4, 0) en is de vaste verhouding van de afstanden 3 : 1.  Dat maakt het mogelijk eerst enkele punten van de meetkundige plaats te vinden en  houdt het rekenwerk ook redelijk beperkt.   In onderstaande uitwerking van een leerling staat rechts een volkomen correcte  oplossing.   

94 

    figuur 5.13: Leerlingenwerk 

  Voor ons is het ook interessant te zien wat deze leerling ‐die gezien de goede oplossing  rechts, uitstekend in staat is vanuit de opgestelde afstandsrelatie door wortels en  haakjes verdrijven en herordenen tot een heldere cirkelvergelijking te komen‐ nu in  eerste instantie verkeerd deed. De feiten van de misdaad zijn nogal verbijsterend: kijk  naar de overgang van regel drie naar regel vier. In regel vier duikt heel verrassend de  kruisterm 18xy op; de enige verklaring is dat de 4 in de vorige regel voor een y is  aangezien. We betrappen blijkbaar een leerling, die de betekenisvolle eerste regel aan  de wetten van de algebra onderwerpt en ergens tussen regel een en drie geheel het  zicht kwijt is op de betekenis van x‐en, y‐en en 4‐en en nu slechts algebraïsch rekent,  rekent en doorrekent. Op het moment dat alle termen naar links zijn gedreven en de  coëfficiënt van x2 tot een niet opgeschreven 1 is ingedrukt, de een na laatste regels links,  moet een nieuwe beslissing genomen worden: de omvorming naar de standaard  cirkelvergelijking. Dan wordt ontdekt dat er iets helemaal mis is en begint het  doorkrassen. Deze leerling moet zich verbaasd hebben over zijn eigen fout. Opmerkelijk  is nog dat in de correcte oplossing direct aan het begin één berekeningsstap minder  wordt gedaan. De corrigerende docent heeft geen bezwaar tegen dit vertoon van  zekerheid.   De voorlopige duiding: blijkbaar wordt tijdens het uitvoeren van de handmatige  algebraïsche handelingen de specifieke betekenis van de uitdrukking zo makkelijk  losgelaten, dat zelfs het verschil tussen constanten en variabelen vergeten wordt. Een  verwante gang van zaken vinden we in het tweede voorbeeld.  Voorbeeld 1.2 – ‘Jammer van die mooie cirkelvergelijking’  Dit voorbeeld speelt zich in het begin van hetzelfde blok analytische meetkunde af. De  vergelijking van de cirkel met middelpunt (4, 1) die door (6, 2) gaat, moet worden  opgesteld. De leerling doet dat goed. En gaat een stapje verder; dit stond op papier:   

 

 

95

  figuur 5.14: Opgave 

 

  Docent: ‘Waarom doe je dat?’ (dat wil zeggen regel drie en regel vier)  Leerling: ‘Ik dacht dat dat moest.’  Docent: ‘Welke regel laat het best zien dat het een cirkel is?’    In het groepje rond deze leerling zijn er voorstanders van de wortelvorm èn van de  wortelloze vorm in regel twee. Maar niet van regel drie en vier!  Opmerkelijke reactie: ‘Ik dacht dat dat moest.’   Voor algebraïsche acties hoef je geen betekenisgebonden argumentatie te hebben.  Algebra is wat je hoort te doen bij wiskunde: de y‐en naar links, de x‐en naar rechts.  Waarom? Daarom. Dat doen we bij meetkunde, bij algebra speel je rekenmachine.  Maar als ernaar gevraagd wordt geven de leerlingen wèl betekenisvolle antwoorden  over de verschillende algebraïsche vormen in regel een en twee!  Voorbeeld 1.3 – ‘De verkeerde wissel nemen’  In dit voorbeeld weer een toetsvraag, nu over rekenkundige rijen. Bij een rekenkundige  rij geldt voor elke term (behalve de beginterm): de som van voorgaande en volgende  termen is gelijk aan het dubbele van de term zelf. De leerling van het voorbeeld heeft  zich beperkt tot de termen t1, t2 en t3 en vindt dat mogelijk voldoende onderbouwing  voor het gevraagde. De volgende vraag is van de toets: formuleer zelf net zoiets, maar  nu voor de meetkundige rij. Natuurlijk moet de nieuwe bewering ook worden bewezen.   

    figuur 5.15: Leerlingenwerk 

  Het antwoord bij de b‐vraag laat het juiste inzicht zien: vermenigvuldigen van  voorgaande en volgende term geeft nu het kwadraat van de term zelf. De additieve  wereld van de rekenkundige rij is mooi omgebouwd naar de multiplicatieve wereld van 

96 

de meetkundige rij, inclusief verdubbelen naar kwadrateren. Vreemd is dat het bewijs,  de onderste regel van het fragment, nu toch zeer verkeerd afloopt. Daar wordt het  product van de twee termen r1 + u0 en r3 + u0 correct uitgewerkt. Ook deze leerling  kwam er waarschijnlijk wel achter dat er iets niet goed ging, maar wist niet tijdig in te  grijpen. Of de vraagstelling (met de voorafgaande rekenkundige rij) de verwarring heeft  teweeggebracht is niet duidelijk. Het is goed mogelijk dat de notatie van de twee  termen van de meetkundige rij met de haakjes erom een onjuist geplaatst  uitwerkalgoritme heeft gestart.   Terugblik  We zagen drie keer een leerling bezig met algebra en drie keer leek het er sterk op dat  het uitvoeren van de algoritmische acties van de algebra gebeurde op een manier  waaruit blijkt dat de leerling tijdens die acties de wiskundige betekenis, de bredere  wiskundige context, geheel loslaat. In het eerste geval merkte de leerling het zelf, in het  tweede lost het gesprek in de klas de zaak op (hopelijk met enige doorwerking voor  andere gelegenheden), in het derde geval miste de leerling echt punten op de toets. De  impliciete visie van leerlingen op algebra lijkt hier te zijn: het is een donkere tunnel waar  je nu eenmaal doorheen moet en als je het netjes doet, kom je er uit. De fouten, voor  zover gemaakt of verbeterd, kwamen voort uit gebrekkig vasthouden van de betekenis  rond de algebraïsche handelingen.   Men kan tegenwerpen dat het bij het uitvoeren van algebra juist daarom gaat. Om het  met grote zekerheid uitvoeren van de algebraïsche afhandeling, juist zonder storing van  de rest van het probleem; als speelde men zelf voor Maple of Mathematica. Op zeker  moment moet dat voor basishandelingen van rekenen en algebra ook zo zijn.  Opmerkelijk is echter dat alle drie de leerlingen dat machinale niveau voor veel van hun  algebraïsche handelingen hier wèl bereikt hebben. Maar de kritische blik, het oog voor  de wiskundige lading van het gegeven probleem, verdween. Betekenisloos gedrag  ontstond.  2. Voorbeelden rondom: ‘recursief of direct: de algebra wordt een exacte taal’  Bij dit onderdeel kijken we naar leerlingen die bezig zijn met het hoofdstuk rijen; het  onderscheid tussen recursieve formules en directe formules is een gouden gelegenheid  om te werken aan het exact gebruiken van de algebraïsche taal. Weer blijkt: dat het niet  echt slecht gaat met de kleinere algebraïsche vaardigheden, maar het gebruik ervan in  groter kader daar kan en moet nog aan gewerkt worden.  De start is, uiteraard, het vinden van formules bij door een beginstuk gegeven rijen. Het  zoeken naar formules is voor de JCU‐leerlingen een goede activiteit. Ze grijpen alle  kansen om met verschillen te werken en die desnoods te sommeren. Ze vinden  mogelijkheden die het boek vermijdt.  Voorbeeld 2.1 – ‘Om en om, halveren’  Bij het voorbeeld 1, ‐0.5, 0.25, ‐0.125, leest de docent de rij voor als 1, ‐1/2, 1/4, ‐1/8,….  en vraagt of dit naar een limiet gaat. Wat is de formule? 

 

 

97

De herformulering met breuken helpt de leerlingen waarschijnlijk wel, al is niet meer  duidelijk hoeveel leerlingen in de oorspronkelijke rij zelf de machten van 1/2 hadden  herkend.   Er wordt rumoerig gedacht: verschilrijen, de factor 1/2 maar ook anderhalf, dat valt niet  mee met al die minnen.  Een leerling: het is 1∙(‐1/2)n.   Een goede greep, het alternerende karakter en de halvering zijn present. Nu nog  precisie. De docent wil daarom graag: un =……  Daarop ontstaat discussie over n of n‐1.   Want je begint met 1 als beginwaarde en dan moet je n‐1 stappen nemen. Maar wat als  je met startindex 0 begint?   Uiteindelijk komt er op het bord un = 1∙(‐1/2)n‐1. Een directe formule dus!  Er wordt gevraagd of die 1 vooraan weg mag.   ‘Ja, dat mag’, vinden de leerlingen.   Toch is dit een mooi discussiepunt. De 1 komt van de eerste term, niet zo gek om die  erbij te zetten, dan kun je het hele proces van de rij nog in verkorte vorm aan de gang  zien. Bovendien: met de ‘1’ erbij is de formule een modelvorm voor toepassingen waar  de startwaarde een grootheid is (geld, gewicht, noem maar op) en de reden van de  meetkundige rij in wezen een verhouding, in de moderne algebra gerepresenteerd door  een getal. Het alternerende karakter van de rij is ook vertaald in steeds weer  vermenigvuldigen van een negatief getal. Het tekenverloop van de rij is beter te  beschrijven met het begrip afwisseling (waarin het voortstappen langs de nummering  nog sluimert, recursie dus) dan in het onderscheid even of oneven (dat eerder een  eigenschap van een specifieke indexwaarde is, direct dus).   De leerlingen komen vaak in beginsel met zo’n betekenisgeladen vorm van hun  formules. We zullen dat later nog meer zien.  Voorbeeld 2.2 – ‘dubbel en plus één: goede bedoelingen, verkeerde algebra’  2, 5, 11, 23, …  Leerlingen roepen al snel 2n + 1 en ook nu wordt dat netjes aangevuld tot un = 2n+1. Dit  keer dus meteen een directe formule... Het verslag meldt niet dat dit gecorrigeerd werd.  Het is ook niet zo heel opvallend fout. Bij 2n+1 denk je direct aan verdubbelen en één  optellen, dat is toch zo bij de gegeven rij? Immers 2 ∙ 5 + 1 = 11!   Ja, de bedoeling is echt goed. Maar taal, ook de algebrataal, leer je pas goed als je ook  het kritische vermogen ontwikkelt je eigen producten, in dit geval een formule, te  toetsen als was het iets nieuws voor je zelf. En dan geeft un = 2n+1 toch: 3, 5, 7... Helaas:  goede bedoeling maar verkeerde algebra!  In de andere klas was juist deze rij geschikt voor het maken van het onderscheid tussen  recursieve formule en directe formule; dezelfde fout werd aanvankelijk gemaakt, maar  un = 2n+1 en un+1 = 2un+1 werden hier wel tegenover elkaar gezet.  Er zijn nog andere werkwijzen.   Sommige leerlingen herkennen in de verschilrij het herhaald verdubbelen van het getal  3.  

98 

Maar hoe giet je dat dan weer in een formule? un = 2 + 3n misschien? Of ‘(de som van (n‐ 1)*3, over interval 1, ..., n) + 2’?   Weer blijkt: op niveau van kleinschalige algebraïsche handelingen gaat het goed, maar  leerlingen zijn te gauw tevreden als hun formule werkt op het gegeven beginstuk van de  rij. Beredeneren dat de formule precies het patroon uitdrukt dat verondersteld wordt, is  er vaak niet bij. In de voorbeelden van zuiver meetkundige of rekenkundige rijen vaak  wel, maar bij voorbeelden van deze gecompliceerdere soort niet.  Het exact toetsen van een formule is blijkbaar een vaardigheid waar aan gewerkt moet  worden. Die heeft ook meer met modelleren te maken, algebraïsch modelleren wel te  verstaan, dan met rekenen aan een gegeven formule op een vooraf gegeven werkpad.   Heel duidelijk werd dat zichtbaar bij het verwante voorbeeld 5, 9, 17, 33, 65...  Daar wordt mee geworsteld. Ook de verschilrij wordt gemaakt: 4, 8, 16, 32… Die wordt  herkend als steeds ‘keer 2’, maar hoe dat dan in een formule moet?  Na wat puzzelen komt er dit: un= un‐1 + 2n, terwijl een andere leerling un = 2un‐1 ‐ 1 heeft  gevonden.  Verbazing! Maar niet genoeg om het werken aan de opgaven te onderbreken en er op  door te denken. Ze hebben immers beiden gecontroleerd dat hun eigen formule werkt.  Dat de leerlingen wel open staan voor de rijkdom van de algebraïsche taal blijkt uit een  gesprekje waarin samen met de docent drie formules voor de rij 5, 7, 9... worden  besproken:   • un+1 = un + 2 en u1 =5. Recursief, begingetal en opvolgrelatie;  • un  =  2(n – 1) + 5. Direct met behoud van het karakter en betekenis. Je ziet de  beginterm en de stap er nog in terug;  • un = 2n + 3. Direct en verkort.  Wat formulevaardigheid betreft simpel, zeker, maar toch is dit soort verdiepingen  gezien de gesprekken nodig om die simpele formules te kunnen laten functioneren in  het begrippenkoppel recursief/direct.  Voorbeeld 2.3 ­ Typisch JCU!  In één van de opgaven is een vierkant getekend waarvan de oppervlakte 64 is. Op dat  vierkant is een vierkant getekend met als hoekpunten de middens van het eerste  vierkant. Enzovoort, en zo verder.   

    figuur 5.16: Vierkant in vierkant in ... 

 

 

 

99

Het boek vraagt een recursieve formule voor de rij der oppervlakten. Deze leerlingen  kiezen zelf, en wel voor een directe formule voor de oppervlakte:  n

 

⎛1⎞ opp = ⎜ ⎟ × 64   ⎝2⎠

  Is er ook een formule voor de omtrek?  Een leerling oppert:    omtrek = opp × 4     Dat is een recursieve formule, ‘want je moet dan eerst de oppervlakte uitrekenen’.  3. Voorbeeld rondom: ‘patroonherkenning, maar welk patroon?’  Het bereiken van de fraaie formule voor de som van de meetkundige reeks kan op veel  manieren. In dit voorbeeld een aanpak vanuit een algebraïsch patroon.  Voorbeeld 3.1 – ‘naar de som van de meetkundige rij’  In de JCU‐situatie kregen leerlingen de volgende opdracht voorgelegd:    Schrijf zonder haakjes: 

 

 

  Uiteraard is het de bedoeling een patroon te vinden. Het valt in beide klassen waar dit  geobserveerd werd op, dat elke regel opnieuw wordt uitgerekend van voor af aan en  dat geen gebruik wordt gemaakt van het vorige resultaat. Zelfs niet als de docent daar  expliciet op wijst door de vermenigvuldiging van de hoogste macht van x met (1– x)  apart te noteren! Daarentegen wordt steevast na het rekenen het patroon van de  uitkomsten opgemerkt. De algemene vorm is ‘dus’ 1 ‐ xn. Maar er is geen echt bewijs  geleverd.     Nauwkeurig toekijken op het rekenwerk van de leerlingen onthult dat vaak eerst alle  termen van de tweede factor (de som van machten) met 1 worden vermenigvuldigd,  daarna met –x en dat dan wordt herschikt. We herkennen hier de natuurlijke uitbreiding  van het gestandaardiseerd haakjes verdrijven. Degelijk werk en vasthoudend  uitgevoerd, maar het leidt niet tot inzicht in het gegeven probleem.   Dit sluit aan bij de eerdere observatie dat een algebraïsche rekenpartij voor de  leerlingen niet iets is waar je denkend op kunt inbreken.  

100 

De omwerking van het ontdekte naar een eenvoudige formule voor 1 + x + x2 + ... + xn‐1  gaat ook niet vanzelf. Dat zoiets door delen bereikt kan worden ligt blijkbaar niet voor  de hand.   De omwerking van    (1 − x ) ⋅ (1 + x + x 2 + ... + x n−1 )   naar 

1 − xn   1− x is ook van een heel andere soort dan het traditionele en bekende uitwerken van  formules.  Ook dan is de algemene formule voor     a + ar + ... + ar n −1   nog diverse stappen ver weg.  Uiteindelijk werkt deze tip het best: 'links overal a eruit halen’.  Waarmee nog maar eens is aangetoond: voor de leerlingen is algebra doen vooral een  heel lokaal gebeuren, werken van letter naar letter met mini‐ na microstapje. Globaal  overzicht op formules lijkt meer te ontbreken dan de vaardigheden op de vierkante  millimeter.   

1 + x + x 2 + ... + x n −1 =

4. Blunders, obstakels en ingestudeerde kunstjes   Eén van de leerlingenoplossingen bij het probleem van de cirkels van Apollonius  vertoonde echt zware defecten.  Voorbeeld 4.1 –‘wortels weghalen en de gevolgen daarvan’  De berekening ziet er zo uit:   

  figuur 5.17: Leerlingenwerk   

 

  We gaan even voorbij aan het mengen van tamelijk primitief beschrijven van de  afstanden in de eerste regels en beginnen hoopvol mee te rekenen vanaf de regel die   

 

101

uitdrukt dat de ene afstand drie keer zo groot is als de andere. Het overzicht van de  leerling op deze formule is goed, dat is duidelijk. De formule is opgesteld op grond van  de meetkundige betekenissen van de situatie. Afstanden, dus Pythagoras, dus de wortel  van de som van twee kwadraten. Allemaal perfect.  Daarna gaat het fataal mis. Het lijkt als of in de volgende regel de wortels zomaar zijn  weggepoetst. En geheel verdwenen is het inzicht dat het formuledeel onder het  wortelteken een samenhangend geheel vormt. In de verdere afleiding hoort de 3 (zou  een 9 moeten zijn!) alleen maar bij de (x – 4)2. Het rekenen vanaf deze blunder is verder  wel in detail correct. Ook is te zien hoe dat komt: voor het uitwerken van het onderdeel  (x – 4)2 bijvoorbeeld wordt tussen de regels even (x – 4)(x – 4) neergezet. Daarop kan  het goed aangeleerde kunstje van haakjes verdrijven worden ingezet. Enzovoort.  Wat jammerlijk ontbreekt, het is een véél voorkomend gebrek, is het zetten van haakjes  als de samenhang dat vereist. Dit is een extreem voorbeeld dat de basale  deelvaardigheden wel functioneren maar andere niet. De eenzijdige aandacht voor  ‘haakjes verdrijven’ ten koste van ‘betekenisvol werken met haakjes’ wreekt zich hier.  Samengevat: conclusies   We zien zowel bij binnenkomst in klas 5, als later in klas 5 en 6 veel sporen van goed  algebragedrag bij deze leerlingen. Zoals te verwachten is ligt het uitvoeringsniveau van  de basisvaardigheden wel boven het gemiddelde, maar de bekende moeilijke gebieden ‐ formules met breuken, ingewikkelder wortel‐ en machtsberekeningen, etc.‐ zijn ook  voor de JCU‐er vaak struikelblokken.   Bij constructie van formules, bijvoorbeeld bij rijen en bij analytische meetkunde, komen  de leerlingen tot betekenisvolle algebra. Vaak is die echter nog niet helemaal exact,  maar is de aanpak in principe to‐the‐point. Het hiermee samenhangend onderzoekend  werken heeft een goed niveau.   Wat wel teleurstelt is dat het uitvoerend werken aan formules regelmatig een stok  tussen de draaiende spaken van het denkproces gooit. Ook hier is het uitvoeren van  algebraïsch bewerken vaak in gang gezet door specifieke onderdelen en bijbehorende  standaardaanpakken.   Vergelijking? Oplossen!   Haakjes? Verdrijven!   Wortels? Wegwerken!   De spontaniteit en kritische kracht van deze leerlingen wordt daardoor veel minder  gebruikt dan gewenst.    Behoorlijk algebra doen binnen wiskundig beperkte probleemsituaties kan vast wel door  veel leerlingen geleerd worden. Net als elders groeit de aandacht voor het gebrek aan  basale vaardigheden op het JCU ook. Ingrepen in de urentabellen op school en het  verminderen van mathematische activiteiten bij andere exacte vakken hebben op  het  JCU vergelijkbare gevolgen als elders. We moeten er op reageren. Het afnemen van een  voorkennistoets en het discussiëren over mogelijkheden om versterkte aandacht aan de  vaardigheden te schenken, zijn aanzetten voor verbeteringen.   

102 

Het sterk interactieve karakter van het onderwijs in combinatie met de hoge wiskundige  ‘kwaliteit’ van de docenten en de kritische kracht, het reflecterende vermogen en de  positieve leerhouding van de leerlingen zullen zeker bijdragen aan versterking van de  algebraïsche vaardigheden in samenhang met algebraïsch inzicht. Om hiervan effecten  te kunnen zien is een longitudinaal onderzoek nodig.    Gelukkig hebben we ook leerlingen die we maar beter niets kunnen leren, lijkt het.   Een uitdagende opgave, juist opgegeven om de vaardigheden weer eens bij te slijpen,  was het bepalen van een formule voor de som van de eerste n oneven kwadraten.  Gegeven (en eerder afgeleid) was de bekende formule voor de eerste n gewone  kwadraten. Hier is een topleerling aan het werk;     

  figuur 5.18: Leerlingenwerk 

  Mooi dat in de eindformule (vóór de laatste regel waarin de formule getest werd op 12 +  32 + 52 = 35) nu eens niet de 2 wordt weggedeeld tegen de 6 in de noemer. Daardoor is  het product in de teller het product van drie opeenvolgend getallen geworden, en dus  deelbaar door 6. Pure schoonheid! 

 

 

103

5.7 Onderzoek naar de mening van docenten  wiskunde vo  Deze enquête waarin de mening van docenten vo wat betreft de aansluiting vo‐ho is  gepeild, is in het najaar van 2007 online gepubliceerd op de NKBW‐website. Vervolgens  is door directmailing (o.a. via de Wiskunde E‐brief) de aandacht gevestigd op het  bestaan ervan bij docenten wiskunde vo. Uiteindelijk heeft een groep van 76 docenten  gereageerd. Hieronder worden de resultaten samengevat.  Onderdeel 1 van de enquête ­ Algemeen   

aantal  respondenten  72  4 

docent havo/vwo  anders 

figuur 5.19: Respondenten, N = 76 

Leeftijd en geslacht      docent havo/vwo  anders 

leeftijd  gemiddeld  min  53  33  48  33 

geslacht  vrouw  man  24  47  1  2 

max  68  61 

figuur 5.20: N = 75 

Dienstjaren    docent  havo/vwo  anders 

  freq 

0‐5  3 

freq 

 

6‐10  4 

11‐15  4 

16‐20  5 

21‐25  14 

>25  41 

totaal  71 

1 

 

 

 

2 

3 

figuur 5.21: N = 75 

Invalshoek  Bij de enquête werd gevraagd aan de respondent om een invalshoek (schooltype en  wiskundevak) te kiezen, zodat de antwoorden beter geïnterpreteerd kunnen worden.      havo  havo  vwo  vwo  wis a  wis b  wis a  wis b  docent  havo/vwo 

freq 

4 

9 

7 

52 

figuur 5.22: N = 72 

  Vanaf hier kijken we alleen nog naar het compartiment havo/vwo‐docenten (N=72). 

104 

Onderdeel 2 van de enquête ­ Hulpmiddelen  Formulekaart, bent u er blij mee?    ja  nee  weet niet  niet ingevuld 

havo/vwo  23  39  8  2  figuur 5.23: N = 72 

Toelichting  Twee toelichtingen worden hier opgenomen, één bij ja en één bij nee (totaal werden 18  toelichtingen bij een ja‐antwoord gegeven en 31 toelichtingen bij een nee‐antwoord):  • Ja: het is een steun voor ze bij de algebraïsche vaardigheden. Omdat ze  tegenwoordig erg weinig oefentijd hebben, is het prettig dat naar  standaardvergelijkingen kan worden verwezen. Voor meetkunde en goniometrie  vind ik de formulekaart onomstreden onmisbaar.  • Nee: leidt tot onvoldoende training toepassing van formules  Formulekaart, hoe laat u uw leerlingen ermee omgaan?  Enkele antwoorden van docenten (vrijwel iedereen levert hier een toelichting):  • Zo min mogelijk. Als je de formules niet uit je hoofd kent, weet je ze niet te vinden.  • In V5 bij toetsen en in V6 bij schoolexamens.  • Vanaf klas 5 overal bij gebruiken.  • Niet, tot vlak voor het eindexamen. Op het CE wordt de kaart voor het eerst  gebruikt.  Grafische rekenmachine, bent u er blij mee?    ja  nee  weet niet  niet ingevuld 

havo/vwo  43  17  9  3 

figuur 5.24: N = 72 

Toelichting  Enkele reacties bij een ja‐antwoord (totaal 33 toelichtingen):  • Ja: versnelt duidelijk het inzicht in de grafieken. (zien van de plaatjes).  • Ja: als onderzoeksinstrument kan een leerling sneller ideeën opdoen.  Enkele reacties bij een nee‐antwoord (totaal 12 toelichtingen):  • Nee: het weerhoudt leerlingen nogal eens van zelf denken.  • Nee: afgezien van het goede gebruik van zo'n ding, erger ik me vooral aan de  houding die we op deze manier aanbrengen: ‘eerst iets intoetsen, daarna pas  denken’. Met het internetgebruik zie je iets dergelijks. Ik vroeg aan leerlingen hoe je 

 

 

105

afstanden op de aardbol uit zou rekenen. Ze tikten alleen de coördinaten bij een  Google‐programma in en verkregen zo de antwoorden.  Grafische rekenmachine, hoe laat u uw leerlingen er mee omgaan?  Enkele antwoorden van docenten:  • Verkennend en oplossend, eventueel als controle na een algebraïsche oplossing  • In de les zoveel mogelijk exacte antwoorden vragen, om meer begrip en  vaardigheden aan te kweken. Maar het is wel heel verhelderend om grafieken te  plotten, en je werkterrein zo uit te breiden.  • De lln gebruiken hem te pas en te onpas. Ik vraag in toenemende mate exacte  oplossingen, waarbij het gebruik dus hoogstens een soort controle is.  Zijn er situaties waarbij u het gebruik van de grafische rekenmachine verbiedt?    havo/vwo  ja  40  nee  32  figuur 5.25: N = 72 

Toelichting  Twee toelichtingen worden hier opgenomen, één bij ja en één bij nee:  • Ja: met name kleinere toetsen zijn soms zonder GR om de leerlingen te dwingen ‘op  eigen kracht’ te werken.  • Nee: op papier moet toch algebraïsch gewerkt worden, grafische rekenmachine kan  daar niet bij helpen.  Onderdeel 3 van de enquête ­ Vaardigheden/inzicht  Dit was een onderdeel in de enquête waar gevraagd werd naar de balans tussen  vaardigheden en inzicht.  Nadruk  Waar legt u de nadruk op in uw onderwijs als het gaat om ‘vaardigheden’ en ‘inzicht’?    Enkele antwoorden van docenten:  • beide probeer ik even prominent te laten zijn;  • afleren van trucs en inzicht aanleren: een groot deel van de tijd ben ik bezig om  leerlingen dingen af te leren, bijvoorbeeld x2 ‐ 4 = 0 lossen ze op met de  wortelformule;  • nadruk komt bij vaardigheden te liggen, omdat het examen voornamelijk bestaat uit  toetsen van vaardigheden;  • de nadruk ligt iets meer op vaardigheden dan op inzicht, er is te weinig tijd om meer  aandacht aan inzicht te besteden.     

106 

Instroom vanuit klas 3  Wat is uw indruk van de leerling die binnenkomt vanuit de onderbouw als het gaat om  'vaardigheden' en 'inzicht'?    Enkele antwoorden van docenten:  • ze zijn in het algemeen redelijk handig;  • vaardigheden zijn okee, ze zijn nog niet getraind op inzicht;  • vooral vaardigheden schieten te kort;  • algebraïsche vaardigheden slecht, praktisch probleemoplossend goed;  • vaardigheden zijn gebrekkig, maar de moderne onderbouwleerling is een  zapleerling, dat verandert bij het ouder worden. Inzicht: indien aangesproken als  vanouds aanwezig.  Stellingen  Geef uw mening bij de volgende stellingen:   

oneens 

Het gaat in wiskundeonderwijs primair om vaardigheden  Het gaat in wiskundeonderwijs primair om inzicht  Zonder inzicht geen vaardigheden  Zonder vaardigheden geen inzicht 

38  27  33  12 

geen  mening  13  11  6  5 

eens  20  32  33  54 

figuur 5.26: N = 72 

  Enkele toelichtingen zijn hier integraal opgenomen (door vrijwel iedereen ingevuld).  • Ik heb overal ‘oneens’ ingevuld door de stelligheid van de beweringen: inzicht en  vaardigheden gaan hand in hand en bij ieder onderwerp, zelfs bij iedere leerling ligt  het evenwicht daartussen anders. Ik denk wel dat bij veel leerlingen op dit moment  het inzicht belemmerd wordt door een tekort aan vanzelfsprekende vaardigheden.  • Vaardigheden en inzicht zijn niet los te koppelen. Bijvoorbeeld goed een vergelijking  kunnen oplossen vereist inzicht. Er moet echter een automatisme ontstaan om  verder te kunnen komen aan dieper inzicht bij verdere stappen.  • Het gaat vooral om inzicht. Dat wordt voor een deel verkregen door veel te oefenen.  • Vaardigheden en inzicht trekken samen op.  • Het gaat in de wiskunde om de wiskunde, dat kun je niet vangen met primair dit of  dat.  • Standaardsituaties zouden met algoritmen zonder al te veel inzicht door iedereen  moeten kunnen worden aangepakt.  • Met alleen vaardigheden kan je tot een voldoende komen en bedien je ook de  leerling die wel wiskunde gaat gebruiken in de vervolgopleiding, maar niet specifiek  iets wiskundigs gaat studeren.  • Meestal heb je eerst globaal inzicht in/over de materie en dan blijkt dat je veel  vaardigheden nodig hebt om echt te begrijpen waar het over gaat. 

 

 

107

•

Ons onderwijs moet er mijns inziens toe dienen om voldoende vaardigheden aan te  leren, en waar mogelijk leerlingen tot inzicht te laten komen. 

Onderdeel 4 van de enquête ­ Visie op wiskunde onderwijs  Welke doelen onderscheidt u voor wiskunde onderwijs?  Geef een rangorde aan in deze vier doelen door een volgnummer te geven in volgorde  van belangrijkheid (dus het belangrijkste doel, in uw ogen, krijgt een 1 etc.)        1  2  3  4  5  rangorde  totaal  1  Algemene wiskundige vorming  23  13  14  19  2  2    2  Voorbereiding op maatschappelijk  11  9  16  26  6  4  functioneren (kritisch burger)  3  Voorbereiden op hoger onderwijs  18  24  16  7  6  1  (in algemene zin)  4  Voorbereiding op specifieke  12  19  15  20  4  3  vervolgopleiding(en)  5  Anders, namelijk  3  2    1  3  5    figuur 5.27: N = 72. De rangorde is verkregen door een gewicht toe te kennen aan elke rangorde  (1e = 20, 2e = 16, 3e = 12, 4e = 8, 5e = 4).  

  De eerste twee in de rangorde ontlopen elkaar nauwelijks (ook als je werkt met  gewichten):  • voorbereiden op hoger onderwijs;  • algemene wiskundige vorming.  Onderdeel 5 van de enquête ­ Aansluiting  Zijn de verwachtingen vanuit hoger onderwijs wat betreft wiskunde u bekend?  • 27 zegt volmondig ‘ja’  • 19 zegt ‘grotendeels wel’  • 15 zegt ‘onvoldoende’  • 9 zegt volmondig ‘nee’  N=70   Voldoen uw leerlingen aan deze verwachtingen?  Samengevat  • 6 zegt volmondig ja  • 29 is genuanceerd ‘ja’ (in termen als ‘grotendeels’, ‘gedeeltelijk’)  • 16 is genuanceerd ‘nee’ (in termen als ‘nauwelijks’, ‘matig’)  • 13 zegt volmondig ‘nee’  N=69 

108 

Als u een discrepantie ziet tussen 'uitstroomeisen wiskunde vo' en 'instroomeisen  wiskunde ho', doet u er dan iets mee?  Over het algemeen stelt men hier dat dit buiten de mogelijkheden van de docent vo valt  (geen tijd, etc.)  Voorbeeldopgaven  Voorbeeldopgave 1:  (sin(t)‐ 1)2 = 0  Is deze maakbaar voor uw eigen leerlingen? (aan het eind van het vo)  • 55 zegt ja  • 14 zegt nee  In de toelichting bij deze voorbeeldopgave 1 zit veel nuancering onder respondenten.  We laten er enkele zien:  • Nee: geen wiskunde A12 stof en geen wiskunde B1 stof op de havo.  • Ja: met grafische rekenmachine wel, zonder wordt het lastig  • Ja: maar zoiets krijgen ze nooit...  • Ja: ik vind hem te doen en enkele leerlingen zullen het tot een goed einde brengen,  maar veel leerlingen ook niet. Bij de leerlingen bij wie het niet lukt, komt dat deels  door gebrek aan vaardigheden/inzicht (de zwakkere leerlingen zeg maar), maar vaak  is het ook het onvermogen om een nieuw aandoend probleem te tackelen: zo'n  vraag hebben we nooit eerder gehad meneer!  Voorbeeldopgave 2:   Schrijf zonder haakjes:  a) (1 + (√3))2  b)  (a + b)2  c)  (a + b)4  d)  (a – b)(a + b)   Is deze maakbaar voor uw eigen leerlingen? (aan het eind van het vo)  • 61 zegt ‘ja’  • 8 zegt ‘nee’  Ook bij deze toelichting (voorbeeldopgave 2) lezen we veel nuancering. We laten er  enkele zien:  • Ja: maar er zullen te veel leerlingen zijn die in het inoefenen van dit soort zaken te  weinig tijd hebben gebruikt. Als dit van belang is voor vervolgopleidingen moet ik er  meer tijd voor krijgen in vwo 5 en 6. Ik vind niet dat dit een soort automatisme moet  zijn als leerlingen uit vwo 3 komen.  • Ja: dankzij aparte aandacht in een algebramodule moet deze opgave te maken zijn.  • Ja: b, c en d kunnen ze wel, maar niet allemaal foutloos... Opgave a is voor hen  vreemd: ze weten wel dat het kwadraat van wortel 3 gelijk is aan 3, maar of ze allen  de (waarschijnlijk beoogde) optelling en herleiding tot een tweeterm kunnen  maken?  • Ja: zelfs na een zomervakantie is dit voor mijn leerlingen wel te doen.   

 

109

5.8 Samenvatting Onderzoek  Het valt op dat het hoofdstuk over onderzoek in dit eindverslag van NKBW zo’n grote  plaats inneemt. Dit is niet voor niets. Pas als goed duidelijk wordt wat de aard van het  aansluitprobleem is, kan er een volgende stap gezet worden.    De volgende resultaten worden hieronder vermeld:  • Er is een methode uitgeprobeerd om algebra‐toetsvragen te classificeren, die  bruikbaar is gebleken om de discussie over verschillende toetsdoelen (vo‐ho) aan te  scherpen. Deze classificatie zal in het vervolg gebruikt kunnen worden om resultaten  van vo‐ of ho‐toetsen te filteren om tot een beter gegronde vergelijking te komen  (5.5).  • Het onderzoek bij het Junior College Utrecht laat zien welk samenspel van  algebraïsche vaardigheid en algebraïsch inzicht gewenst is. Enerzijds moeten  leerlingen begrijpen dat de wiskunde recepten oplevert, die, als men ze op ´t juiste  moment uit de kast trekt en goed toepast, gegarandeerd een juist antwoord  opleveren. Anderzijds blijft de selectie van het juiste recept op het juiste moment  een beslissing waarbij wiskundig inzicht een rol speelt.  Bij een gecompliceerd recept  kunnen bij de uitvoering fouten optreden en hier kan inzicht helpen om op tijd de  fout te signaleren (5.6).  • Vo‐wiskundedocenten zoeken in meerderheid eveneens naar een evenwicht tussen  inzicht en vaardigheden. Uit hun antwoorden blijken verschillende theorieën over  hoe dit evenwicht eruit zou kunnen zien (5.7).  • Er is een onderzoeksagenda opgesteld die breed wordt gedragen (5.3).    Een kwantitatieve beschrijving van de aansluitproblematiek zal verschijnen in de  wiskunde aansluitmonitor (5.4). Gemetadateerde toetsen met een kritische bespreking  van verschillen zullen online verschijnen (5.5).    Het is van belang dat het onderzoek dat onder de vlag van NKBW is gestart continuïteit  krijgt. De aansluitmonitor beschrijft een jaarlijks terugkerend onderzoek naar de aard en  omvang van het aansluitprobleem wat betreft wiskunde, en zal dus zeker op basis van  een meerjarig traject vorm moeten krijgen.  De dialoog die tussen vo en ho is ontstaan over de toetsingspraktijk (en dus impliciet  ook over de doelen van wiskundeonderwijs) zal worden voortgezet.    Momenteel biedt SIGMA onderdak aan een dergelijk samenwerkingsverband. Er zal ook  op andere gebieden gezocht worden naar verdere samenwerking (zie hoofdstuk 6).   

110 

 

Voortgezette  samenwerking  Leendert van Gastel / Natasa Brouwer                                             

 

 

111

   

112 

6 ­ Voortgezette  samenwerking   

6.1 Algemeen  Zoals uit de vorige hoofdstukken al blijkt is NKBW een nationaal project met veel  partners. De samenwerking wordt door alle partijen als zeer waardevol gezien, en er is  dan ook behoefte aan continuering. In dit hoofdstuk onderzoeken we de mogelijkheden,  zowel inhoudelijk als organisatorisch.  Een belangrijk onderdeel van een project als NKBW is om een duurzame  organisatievorm te vinden, waarin het gebruik van de projectresultaten gestimuleerd  wordt en waarin groei van het gebruik mogelijk gemaakt wordt. In dit hoofdstuk komen  we tot een voorstel voor het blijvend inzetten van de resultaten van het project NKBW. 

6.2 Inhoudelijke samenwerking  NKBW heeft vanaf de start direct gebruik kunnen maken van de contacten en het  netwerk van SIGMA, de special interest group van SURF op het gebied van wiskunde.  Veel partners uit SIGMA participeerden ook weer in NKBW.  Op de Onderwijs Dagen 2007 van Surf (november 2007) heeft NKBW zich nadrukkelijk  samen met SIGMA geprofileerd. De ‘erfenis’ van NKBW (het samenwerkingsverband, de  aansluitmonitor voor wiskunde, het onderzoek, etc.) is nadrukkelijk aangeboden aan  SIGMA en men heeft vanuit SIGMA aangegeven dat men dit tot het ‘eigendom’ van  SIGMA zal rekenen (naast de erfenissen van andere voorgaande projecten zoals  bijvoorbeeld Mathmatch en Webspijkeren).  Dit legt echter een grote verantwoordelijkheid bij deze special interest group van SURF  en het is de vraag of het model ‘special interest group’ voor een dergelijke  belangenvertegenwoordiging geschikt is op de langere termijn.  Daar komt nog bij dat SIGMA momenteel steviger in het ho is verankerd dan in het vo.  Het is zaak om de verankering van een dergelijk samenwerkingsverband omtrent de  aansluitproblematiek wiskunde vo‐ho ook in het vo goed uit te voeren. NKBW heeft  daarvoor bouwstenen aangeleverd (de contacten met NVvW, Wisfaq, Wisbase,  Freudenthal Instituut, individuele docenten vo), en dit lijkt een veelbelovend traject te  zijn, wat onder andere in de plannen voor een vervolgproject voor NKBW tot  uitdrukking kan komen. De inhoudelijke samenwerking kan op deze wijze verder  gestalte krijgen, maar daarbij zal ook behoefte zijn aan een organisatie‐ of  businessmodel, dat omschrijft hoe al die partners zullen samenwerken.   

 

 

113

6.3 Businessmodel  6.3.1 Algemeen  In het projectplan van NKBW was al opgenomen dat er een businessmodel voor het  product of de samenwerking zou worden opgeleverd. Gedurende de projectperiode is  dit businessmodel uitgewerkt. We beschrijven in dit eindrapport de uitgangspunten en  mogelijkheden. 

6.3.2 Uitgangspunten  Als uitgangspunten voor het ontwikkelen van een businessmodel hanteren we:  1. Er is een gemeenschappelijke, nationale problematiek die het niveau van de  instellingen ontstijgt.   2. De problematiek kent een middellange termijn. Oplossingen op korte termijn zijn  niet te verwachten. Zij hangen af van vernieuwingen in het vo die nu in gang gezet  zijn maar pas in 2013 abituriënten gaan opleveren met een andere bagage.  3. De aansluitingsproblematiek is breder dan vwo‐wo en havo‐hbo. Het speelt ook bij  mbo‐hbo en hbo/Ba–wo/Master.  4. Er is een grote variatie in gehanteerde scenario’s: van zelfstudie tot zomercursus tot  opfristraining.  5. Er is nu een aantal lopende initiatieven. Het streven is daarbij aan te sluiten en open  te staan voor samenwerking nu en straks.   6. Onder de vleugels van SURF is een Special Interest Group gericht op  wiskundeactiviteiten gestart, SIGMA (e‐learning.surf.nl/sigma). Bij de continuering  van de resultaten wordt zoveel mogelijk hiermee samengewerkt.  7. Voor onderwijs tussen vo en ho in zijn er geen structurele middelen beschikbaar. De  financiering van het onderwijs gaat ervan uit dat de instellingen aan beide zijden van  de aansluiting hun verantwoordelijkheid nemen voor goed ketenbeheer.  8. De materialen zullen door de instellingen zelf gehost kunnen worden, of door een  centrale voorziening. 

6.3.3 Welke producten, welke gebruikers?  Het belangrijkste tastbare resultaat van dit project is een kennisbank van materialen op  het gebied van de wiskunde die relevant is voor aansluitonderwijs. Daarnaast zijn er  immateriële resultaten, zoals een gemeenschap van personen, die werkzaam is rondom  het aansluitonderwijs en die expertise en ervaringen in het gebruik en ontwikkeling  deelt. Ook is er een verbeterde communicatie tussen vo en ho.  Uit het NKBW‐project komt niet zozeer een enkelvoudig product voort, maar twee  ‘producten’ van verschillende aard:    Ten eerste de Wizmo website (www.wizmo.nl) met   • wiskundematerialen, waaronder toetsen, studiematerialen, applets;  • portaalfunctionaliteit voor bundelen, zoeken en vinden;  • reviews van de materialen door peers en ook door gebruikers;  • FAQ met moderatoren voor het beantwoorden van nieuwe vragen op dit gebied. 

114 

Initieel gaat het hierbij om onderwerpen die relevant zijn voor de aansluiting, zowel  diagnostische toetsen als oefentoetsen en remediatiematerialen, maar het portaal staat  open voor andere wiskundige onderwerpen. De gebruikers zijn docenten ho, docenten  vo, studenten ho en scholieren vo.   De docenten ho treffen er materialen aan die geschikt zijn voor wiskundeonderwijs. De  studenten treffen er materialen aan die geschikt zijn voor het leren van wiskunde. Zij  kunnen zelfstandig toetsen doen en studiemateriaal vinden, maar ook in andere vormen  van aansluitonderwijs ermee in aanraking komen.    Daarnaast is er het ‘product’ van kennisdeling en ‐ontwikkeling op het gebied van  wiskunde‐aansluitonderwijs:  • onderzoek naar factoren die de aansluiting beïnvloeden en hoe daarmee het beste  kan worden omgegaan;  • jaarlijkse monitor met gegevens over aansluiting en ontwikkelingen;   • good practices van de inrichting van wiskundeaansluitonderwijs;  • expertise ten aanzien van standaardisatie, metadatering en reviewing.  De gebruikers daarvan zijn ho‐docenten en vo‐docenten die betrokken zijn bij wiskunde‐ aansluitonderwijs, instellingen betrokken bij standaardisatie, beleidsmakers, etc. 

6.3.4 Open content  In het consortium leeft de sterke ambitie om de aansluitingsproblematiek bij wiskunde  nationaal aan te pakken. Hierbij willen we de projectresultaten zo breed mogelijk  beschikbaar maken met zo laag mogelijke drempels. In het bijzonder willen we gratis  toegang verlenen tot het portaal en de content. De gebruikers voor wie de content en  het portaal bedoeld is, zijn docenten ho, studenten, docenten vo en scholieren. Deze  kunnen in een grote verscheidenheid van organisatievormen gebruik maken van de  materialen, van informeel tot formeel. Het initiatief kan bij de scholier of student liggen  of bij de docent.     Voor docenten is er sprake van een gemeenschap van ontwikkelaars en gebruikers die  ‘brengen’ en ‘halen’. ‘Brengen’ gebeurt door materialen ter beschikking te stellen, door  materiaal van anderen te reviewen, door bij het FAQ‐gedeelte als moderator op te  treden, of anderszins. ‘Halen’ is het gebruik van de materialen bij vo‐instellingen en ho‐ instellingen bij de wiskundeaansluiting.    Vanuit deze beweegredenen ligt het voor de hand om te kiezen voor een open content  model. De content is vrij toegankelijk, maar valt wel onder auteursrechtelijke  bescherming. Hierbij gaan we ervan uit dat de grootste waarde van dit initiatief bevat is  in de aangeleverde materialen, de reviews en de meningen, reacties en vragen van de  gebruikers die verzameld worden tijdens het gebruik. Het aanleveren van deze waarde  is gratis en zo ook het gebruik. Sinds de baanbrekende initiatieven van MIT Open  Courseware (http://ocw.mit.edu) en Merlot (www.merlot.org) is er veel ontwikkeling in  deze manier van het bijeenbrengen en ontsluiten van onderwijsmaterialen. Zie  bijvoorbeeld Open Educational Resources netwerk (www.oercommons.org).   

 

115

  Natuurlijk zijn er wel kosten verbonden aan een dergelijke organisatievorm. Een  contributie is nodig voor kosten van activiteiten die niet te verdelen zijn, zoals  coördinatie en beheer, tweede lijnsondersteuning, hosting en onderhoud. We gaan  ervan uit dat instellingen bereid zijn vanuit hun verantwoordelijkheid voor het  ketenbeheer om, naast het beschikbaar stellen van content, een bescheiden bijdrage te  leveren. Het gaat erom dat open‐contentgebruik mogelijk wordt gemaakt dankzij het  portaal en de gemeenschap van docenten. De probleemeigenaren zijn op dit moment  de ho‐instellingen. Bij deze instellingen worden er tekorten bij de algebraïsche  vaardigheden bij de instromende studenten geconstateerd en wordt daarin  geïnvesteerd. In het vo begint de betrokkenheid toe te nemen, maar is er nog geen  sprake van eigenaarschap. 

6.3.5 Content en licenties  Vanuit het idee van de gemeenschap streven we na dat voor het brengen en halen van  content geen verrekening plaats hoeft te vinden. De content wordt door instellingen in  principe volgens een creative commons licentie aangeleverd, maar andere  licentievormen zijn mogelijk. Het portaal is hierop ingericht (zie  www.creativecommons.nl).    Hosting van een server voor interactieve content (Wisweb, MathMatch, Mathadore)  wordt gedaan door de instellingen zelf. Deze content wordt wel ontsloten via het  portaal Wizmo, omdat de metadata zich daar bevinden, maar uiteindelijk wordt de  gebruiker via een link doorgestuurd.    Als anderen van zo’n server gebruik willen maken met diensten die niet standaard via  het Wizmo‐portaal worden aangeboden, dan dienen die instellingen daar onderlinge  afspraken over te maken. 

6.3.6 SIGMA als community van docenten  Met het succesvol van start gaan in 2006 van de SURF Special Interest Group SIGMA, die  feitelijk functioneert als een gemeenschap voor docenten op het gebied van  wiskundeaansluitonderwijs, ligt het voor de hand om deze uit te breiden tot een  gemeenschap die projectresultaten, zoals van NKBW, beheert. SURF accommodeert de  start van een SIG door een community manager (0,1 fte) gedurende de eerste twee jaar  te financieren. Tot de wensen van NKBW richting SIGMA ten behoeve van de NKBW‐ resultaten behoren:  • stimuleren van het aanleveren van content, bijvoorbeeld het docentlidmaatschap  aan SIGMA is gratis en geeft in het bijzonder recht tot toegang tot de Wizmo‐ repository in de ‘docentrol’;  • coördineren van reviewing en updates van content;  • verzamelen en ontsluiten van didactische scenario’s en gebruikservaringen;   • standaardisatie, in het bijzonder het bewaken van metadata en taxonomie. 

116 

6.3.7 Hosting en onderhoud  Natuurlijk ligt er een taak op het gebied van het functioneren van het portaal. Het gaat  om:  • hosting;  • technische ondersteuning;  • onderhoud software.  Voor de repository wordt gebruik gemaakt van het product Hive van Harvest Road en  van hardware die door verscheidene partijen gebruikt wordt.   De Hive‐licentie van E‐merge kost jaarlijks € 20.000,‐.   De hardwareafschrijving is circa € 5.000,‐ maar er zijn meer projecten die hiervan  gebruik maken. Kostenschatting van personeel voor ondersteuning en onderhoud  specifiek voor Wizmo is € 25.000,‐ per jaar (0,2 fte).  

6.3.8 Beheer   Er zijn ook een aantal niet‐technische taken die met het beheer van het portaal te  maken hebben:  • tweedelijns ondersteuning voor gebruikers (docenten);  • werven van moderatoren voor het FAQ‐deel;  • financieel administratief beheer van contributies;  • afstemming van betrokken partijen: SIGMA en portaal‐hostende partij.  Kostenschatting voor het beheerstaken is € 20.000,‐ per jaar (0,15 fte).  Het is een optie om deze taken te combineren met die van de SIGMA‐ communitymanager. Dit zijn geen zuivere SIG‐taken, dus is hiervoor wel financiering  nodig.  

6.3.9 Stichting Vrienden van Open Wiskundecontent   Het voorstel is om een ‘Stichting Open Content Voor Wiskunde’ op te richten. Deze richt  zich op de verbetering van wiskundeaansluiting middels open content. De stichting kent  leden (instellingen) en donoren (bijvoorbeeld bedrijven). De stichting draagt zorg voor  contributie‐inning. Instellingslidmaatschap geeft recht op bestuurlijke invloed.   Het totaal van de kosten is bijeen te brengen met contributies van instellingen die de  probleemeigenaren zijn.   Als we uitgaan van bovenstaande kosten, komt dit op € 45.000,‐ per jaar. Als we uitgaan  van 10 instellingen als lid, die elk een contributie in de orde van grootte van € 4.500,‐  per jaar opbrengen dan worden de kosten gedekt.  

6.3.10 Groeipad  Het NKBW‐project is een substantiële stap in de verbetering van de  aansluitingsproblematiek, maar kent door de beperkte looptijd van één jaar  beperkingen. Er is nog een groeiperiode nodig voordat een voldoende kritische massa is  bereikt om op eigen benen te staan. Bijvoorbeeld is op dit moment Wizmo nog in  bètaversie en loopt het proces van content verzamelen en reviewing nog. Het plan is om  in de nieuwe ronde van het NAP‐subsidiekader een vervolgproject aan te vragen dat  zich richt op versterking van het eerste project. 

 

 

117

  Het consortium E‐merge heeft aangegeven zorg te willen dragen voor de hosting en  onderhoud van het portaal Wizmo.nl tot aan september 2009. Voor E‐merge is dit een  investering in de lijn die al langer loopt met Math Learning Space. We hopen dat andere  instellingen op eenzelfde enthousiaste manier zich willen inzetten voor een vervolg. 

118 

 

Bijlagen                                                   

 

 

119

 

120 

Bijlage 1 – Index  Deze index van gebruikte begrippen is ook in wikivorm op internet gepubliceerd:  www.fi.uu.nl/wiki/index.php/Categorie:Nkbw    ActiveMath 

Aleks 

Algebraïsche vaardigheden 

Apollo 

cTWO 

DUDOC 

Digitale wiskunde  oefenomgeving 

E‐merge 

ELWIeR 

 

Europees project om software ActiveMath breder uit te zetten.  www.activemath.org/    Aleks is een online adaptieve test‐ en leeromgeving voor het onderwijs.  Aleks wordt o.a. gebruikt aan de Universiteit van Maastricht  www.aleks.com    Vaardigheden om problemen op te lossen die (deels) algebraïsch van aard zijn.  In 2007 wordt een onderzoek uitgevoerd naar algebraïsche vaardigheden op  het Junior College Utrecht (JCU) in het kader van NKBW.    Het platform Apollo is een samenwerking tussen de Hanzehogeschool  Groningen, de Universiteit van Tilburg, de Avans Hogeschool en de  Rijksuniversiteit Groningen. De vier instellingen streven naar integratie van ICT  in het onderwijs van alledag. Apollo start projecten met het doel producten te  ontwikkelen die deze integratie bevorderen.   Doelstelling van het project is het verbeteren van de aansluiting wiskunde  vo/ho.  www.apolloplatform.nl/apollo/projecten/173    commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs  www.ctwo.nl    Het programma DUDOC (Didactisch Universitair onderzoek van DOCenten naar  vernieuwing van de bètavakken) is ingesteld door het Platform Bèta Techniek  met steun van het ministerie van OCW.  www.platformbetatechniek.nl/pagina_1062.html    Een omgeving ontwikkeld door het Freudenthal Instituut. Leerlingen kunnen  een account maken met een eigen gebruikersnaam en wachtwoord. Ze  kunnen dan oefenen binnen een gekozen onderwerp en hun werk wordt  bewaard zodat ze er een volgende keer mee verder kunnen. Met de  uitgebreide DWO (toegankelijk met een abonnement op WisWeb+) kunnen  docenten eigen modules van applets samenstellen en werk van leerlingen  bekijken en registreren.  www.fi.uu.nl/wisweb    Het consortium E‐merge stimuleert en faciliteert doelmatig gebruik van  innovatieve elektronische leeromgevingen. Docenten krijgen doelgericht  ondersteuning bij het inzetten van ICT en het onderling elektronisch  toegankelijk maken van modern onderwijs.  www.e‐merge.nu    Expertisecentrum Lerarenopleiding Wiskunde en Rekenen  ELWIeR ondersteunt een dynamische lerarenopleiding en levert een bijdrage  aan de inspiratie van de 'zittende' docenten. Het werk wordt uitgevoerd voor  drie gebieden:   1. De pedagogische academies voor het basisonderwijs;  

 

121

Edustandaard 

GScale 

Hive 

JEM – Joining Educational  Mathematics 

Junior College Utrecht 

Kennisbank wiskunde 

LOM 

LOREnet 

MAThADORE 

122 

2. De hbo‐lerarenopleidingen;   3. De universitaire lerarenopleidingen.  www.elwier.nl    EduStandaard beheert de gemaakte afspraken en standaarden. De afspraken  worden wanneer nodig aangepast op basis van wensen van gebruikers,  technologische trends en (inter)nationale ontwikkelingen. EduStandaard biedt  ook ondersteuning wanneer u vragen heeft over de relevantie van een  bepaalde afspraak of over het gebruik van specificaties en standaarden in uw  organisatie.  www.edustandaard.nl    Remedieren van studenten (gSCALe)   Onder de naam gSCALe (the generic System for Computer Aided Learning) is  bij de Faculteit der Economische Wetenschappen (Erasmus Universiteit  Rotterdam) een webapplicatie ontwikkeld, waarmee studenten via het web  begeleid zelfstandig kunnen studeren.  www.eur.nl/icto/projecten/gscale    Voor iedereen die geïnteresseerd is in hoe je leersituaties kunt vormgeven en  ondersteunen met ICT (vooral Internettechnologie)   www.harvestroad.com    European project (Econtentplus)  Content enrichment activities in the area of mathematics  www.jem‐thematic.net/welcome.html    Het Junior College Utrecht is een plek ‐ gesitueerd op het Utrecht University  College ‐ waar je het betaonderwijs van de laatste twee jaar van het vwo kunt  volgen.   www.jcu.uu.nl    Kennisbank wiskunde en reken‐ en wiskundedidactiek   Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit.   Bevat didactische informatie over diverse vakinhoudelijke onderwerpen onder  andere doelen, relatie met methoden, voorkennis, lesvoorbereiding en  toetsopgaven (niet interactief) en veel verwijzingen.   portal.rdmc.ou.nl/kbWiskunde    De LOM (Learning Object Metadata), ontwikkeld door het Institute of Electrical  and Electronics Engineers (IEEE), is een belangrijke internationale norm voor  het beschrijven van lesmateriaal. In de praktijk gaat het vooral om digitaal  lesmateriaal.   www.ieeeltsc.org/working‐groups/wg12LOM    Learning Object Repositories   Vanuit het onderwijsveld bestaat al enige tijd een vraag naar  onderwijsrepositories, een flexibele infrastructuur die de verzameling,  beschrijving, ontsluiting en distributie van elektronische onderwijsmaterialen  mogelijk maakt. De SURF‐Platforms ICT en Onderwijs en ICT en Onderzoek  komen aan deze wens tegemoet met een pilotproject voor  onderwijsrepositories.  www.lorenet.nl    MAThADORE is:   alle wiskunde voor de profielen tweede fase havo/vwo;   basiswiskunde voor studenten hbo en wop;   flexibel te gebruiken lesmateriaal.  

Math Learning Space 

MathMatch 

MathTax  Merlot 

OAI‐PMH 

Open Archives Initiative  

Open Courseware 

Open Educational Resources 

OpenMath 

RELOAD 

 

Het lesmateriaal is aan te passen aan de wensen van docenten, leerlingen en  studenten. Je kunt er mee werken via het beeldscherm maar je kunt ook een  papieren leerboek samenstellen, door de gewenste onderdelen te selecteren.   www.mathadore.nl    De Math Learning Space (MLS) is een virtuele leeromgeving waarbij diverse  mogelijkheden voor naslag van lesstof beschikbaar zijn. Hierbij kan gedacht  worden aan een site met voorbeelden, een online forum voor discussie, een  toets‐ en oefenomgeving. Kortom een 'onderwijsruimte' waar een student  terecht kan met zijn algemene en zijn specifieke vragen op het gebied van  wiskunde.   Lesstof kan hierbij worden aangeboden in verschillende vormen: video, tekst,  tentamens, interactieve software, enzovoorts.   wiskunde.e‐merge.nu    'MathMatch' richt zich op het bijspijkeren van de kernkwalificaties van  studenten op het gebied van wiskunde. Het wiskundeniveau van beginnende  studenten is vaak niet toereikend voor een vlot studieverloop. Veel studenten  komen hierdoor in de problemen bij het volgen van een technische of  natuurwetenschappelijke universitaire opleiding. Dit geldt zowel voor de  aansluiting tussen het voortgezet onderwijs en de universitaire  bacheloropleiding als voor de aansluiting tussen de HBO‐bachelor en de  universitaire masteropleidingen. De betrokken opleidingen zoeken via  MathMatch naar oplossingen die het mogelijk maken goed in te spelen op  deze niveauverschillen.   www.mathmatch.nl    Ordening van wiskundige begrippen    Multimedia Educational Resource for Learning and Online Teaching  www.merlot.org    Open Archives Initiative ‐ Protocol for Metadata Harvesting  Het protocol beoogt een wereldstandaard voor beschrijvende gegevens  (metadata) van archieven.  Inmiddels zijn er ruim zestig werkende OAI‐archieven die met het door OAI  ontwikkelde protocol OAI‐PMH werken.    OAI (Open Archive Initiative) is een internationaal initiatief voor het  ontwikkelen en promoten van standaarden die open en efficiënte verspreiding  van informatie voorstaan. De basis voor het OAI ligt in het verlangen om  betere toegang tot elektronische tijdschriften en artikelen te bewerkstelligen.     Open Courseware (OCW) is een distributie van gratis cursusmaterialen,  opgezet door het Massachusetts Institute of Technology:  * ophalen van cursus‐dictaten, practicumopdrachten, e.d.  * bekijken van video's (van colleges en demonstraties)  ocw.mit.edu    Open Educational Resources ('OER Commons') is een onderwijs‐website  (engelstalig) waar iedereen zijn eigen materialen vrij kan toevoegen.  www.oercommons.org    OpenMath is een taal, eigenlijk een hele onderneming, voor een semantisch  rijke communicatie tussen computersystemen.  www.openmath.org    Reusable Elearning Object Authoring and Delivery 

 

123

SAGE 

SIG wiskunde 

SURF 

TELMA 

Tex the world 

WIMS 

Webspijkeren 

Webspijkeren 2 

WisBase 

WisFaq 

WisWeb 

124 

Auteursomgeving en afspeelomgeving voor metadata,  materiaalpakketten, SCORM‐pakketten en Learning  Design.  www.reload.ac.uk    SCORM applet generator  Algebra applets voor het voortgezet onderwijs  www.stmichaelcollege.nl/sage/    SIGMA: Special Interest Group Mathematics Activities   SIGMA is de Special Interest Group van SURF die zich tot doel stelt om  doorlopende leerlijnen tussen vo, mbo en ho op het gebied van  wiskundeonderwijs te faciliteren.   e‐learning.surf.nl/sigma    Stichting SURF is de samenwerkingsorganisatie van het hoger onderwijs en  onderzoek op het gebied van netwerkdienstverlening en informatie‐ en  communicatietechnologie (ICT).  www.surf.nl    Technology enhanced learning in mathematics  telma.noe‐kaleidoscope.org/       TeX is een opmaaktaal voor teksten en formules die als programmeertaal met  uitbreidingsmogelijkheden te gebruiken is. Met TeX is het mogelijk om lay‐out  op een relatief eenvoudige manier te beschrijven.  thewe.net/tex    WIMS staat voor 'WWW Interactieve Multipurpose Server'. WIMS geeft je de  mogelijkheid om via het Internet/Intranet interactief aan wiskunde te werken.  wims.math.leidenuniv.nl/wims    Remedierend Flexibel Onderwijs voor een Heterogene Instroom   Studenten hebben aan het begin van een opleiding of opleidingsfase door  verschillende oorzaken vaak verschillende kennis en minder domeinkennis dan  door de betreffende opleiding wenselijk geacht of vereist wordt. Het doel van  het project Web‐spijkeren is om vernieuwende didactische werkvormen te  ontwikkelen om effectief met een heterogene instroom om te kunnen gaan.   www.web‐spijkeren.nl    Web‐spijkeren 2 is het vervolg op Web‐spijkeren (2004‐2006) dat tot doel had  vernieuwende didactische scenario’s te ontwikkelen om effectief met een  heterogene instroom om te kunnen gaan (Brouwer et al., 2004).  www.web‐spijkeren2.nl    "WisBase" is de startpagina/toetsenbank 'voor wiskundedocenten door  wiskundedocenten'.  www.wisbase.nl    WisFaq is een (digitale) vraagbaak voor het wiskundeonderwijs in Nederland  en België. De opzet is dat 'bezoekers' vragen kunnen stellen, deze vragen  worden vervolgens door 'deskundigen' beantwoord, waarna de vragen en de  antwoorden op een (vrij toegankelijke) website gepubliceerd worden.   www.wisfaq.nl    WisWeb is de website van het Freudenthal Instituut voor het voortgezet  onderwijs. De kern van de website is online programmatuur.  

Wiskundeleraar 

Wiskundeonderwijs 

www.wisweb.nl    De wiskundewebsite, sinds februari 2004, van het instituut voor  lerarenopleidingen van de Hogeschool Rotterdam. Ondersteuning voor de  vaklessen van de tweedegraads lerarenopleiding wiskunde.  Modulehandleidingen, extra materiaal, readers, werk van studenten, fora,  nieuwsbrieven en nog veel meer...   www.wiskundeleraar.nl    De wiskundeonderwijs webwijzer is de website van de samenwerkende niet‐ commerciële wiskunde(onderwijs)‐websites in Nederland.  www.wiskundeonderwijs.nl   

 

 

 

125

126 

Bijlage 2 – Verwijzingen    _____, (2005) Pisa 2003. Data analysis manual. Spss users.: OECD/PISA.  _____, (2007). Onderzoeksagenda NKBW. Amsterdam: NKBW. Retrieved oktober 2007,  from www.fi.uu.nl/nkbw/onderzoek  _____, (2007) Rijk aan betekenis. Visie op vernieuwd wiskunde onderwijs.  Utrecht:  Commissie toekomst wiskunde onderwijs.   _____, (2006). Versteviging van kennis in het onderwijs. Verkenning. Den Haag:  Onderwijsraad.  Asselt, R. v. (2006). Aansluitingen in het onderwijsstelsel, kaders voor een praktijktheorie  en een praktische handreiking aan betrokkenen. Enschede: Lectoraat  Instroommanagement en Aansluiting, Saxion Hogescholen.  Bokhove, C., Heck, A., & Koolstra, G. (2006). Intelligente feedback bij digitale toetsen en  oefeningen. From www.galoisproject.nl  Bokhove, C., Boon, P., Heck, A., & Koolstra, G. (2006). Een wiskunde ‐oefenomgeving in  de eigen elo. From www.galoisproject.nl  Boldy, M., & Cuypers, H. (2007). Metadatering en classificatie ten behoeve van de  nationale kennisbank basisvaardigheden wiskunde. From  www.fi.uu.nl/nkbw/portal/  Broer, H. (2007). Computergebruik en demathematisering. Nieuw Archief voor de  Wiskunde, 5/8(3), pp. 201‐205.  Caspers, W. (2007). Instaptoets en opfrisonderwijs aan de tu delft 2006 (opzet,  resultaten en analyse). Retrieved maart 2007, from  www.resonansgroepwiskunde.nl/opfrisonderwijs.pdf  Caspers, W., & Van der Kooij, H. (2007). Toetspraktijken, realistische en reële toetsing.  Paper presented at the Studiedag vo‐ho aansluiting wiskunde, d.d. 23‐4‐2007,  Utrecht. http://elearning.surf.nl/e‐learning/artikelen/4215  De Lange, J. (1999). Framework for classroom assessment in mathematics. From  www.fi.uu.nl/catch/products  Dekker, T., & Wijers, M. (2007). Wiskundige geletterdheid volgens pisa. Utrecht:  Freudenthal Instituut.  Drijvers, P. (Ed.). (2006). Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle  algebra op school. Utrecht: Freudenthal Instituut.  Drijvers, P. (2006). Context, abstractie en vaardigheid in schoolalgebra. Nieuw Archief  voor de Wiskunde, 5(7), pp. 198‐203.  Heck, A., & Van Gastel, L. (2006). Mathematics on the treshhold. International Journal of  Mathematical Education in Science & Technology, 37, pp. 925‐945.  Jonker, V. (2007). Nationale kennisbank basisvaardigheden wiskunde. Euclides, 82(8),  pp. 295‐298. 

 

 

127

Pointon, A., & Sangwin, C. (2003). An analysis of undergraduate core material in the light  of handheld computer algebra systems. International Journal for Mathematical  Education in Science and Technology, 34(5), pp 671‐686.  Smith, G. H., Wood, L. N., Coupland, M., Stephenson, B., Crawford, K., & Ball, G. (1996).  Constructing mathematical examinations to assess a range of knowledge and  skills. International Journal for Mathematical Education in Science and Technology,  27(1), pp. 65‐77.  Tempelaar, D., Heck, A., & Kaper, W. (2005). Beschrijving van kennis in twee dimensies,  geïllustreerd aan twee cursussen aan de um en uva. From www.web‐spijkeren.nl  Tempelaar, D. (2007). Expectancy‐value based achievement motivations and their role in  student learning. Universiteit van Maastricht, Maastricht.  Tempelaar, D. (2007). Onderwijzen of bijspijkeren? Nieuw archief voor wiskunde, 8(1),  pp. 55‐59.  Vos, P. (2007). Algebra‐prestaties van tweedeklassers. Euclides, 82(4), pp. 129‐133.  Wijers, M., & Jonker, V. (2007). Digitaal authentiek toetsen van wiskunde. Utrecht:  Universiteit Utrecht.       

128