Egyes alakváltozási diagramok matematikai függvény - alakjáról Meglepő, de úgy tűnik, mintha a szerzők ódzkodnának mélyebben belemenni a szerkezeti anyagok szakító -, stb. anyagvizsgálati diagramjai alakjának matematikai leírásába. Most erről a témáról lesz szó. Tanulmányaim során – nyilván – a legrégibb és legegyszerűbb függvénnyel, a Hooke törvénnyel – [ 1 ] szerint: Robert Hooke, 1648 – kerültem először kapcsolatba. Ennek matematikai függvény - alakja a lineáris függvény:
E ,
(1)
ahol: σ: a húzó / nyomófeszültség értéke; ε: a fajlagos nyúlás értéke; E: húzó / nyomó rugalmassági modulus – állandó. Grafikonja egy ferde egyenes – ld. 1. ábra –, melynek iránytangense:
tg
E .
(2)
Szavakkal: a Hooke - egyenes meredeksége egyenlő a rugalmassági modulussal. y = szigma
A Hooke - törvény függvényének alakja
70 60 50 40 30 20 10
x = epszilon -50
-40
-30
-20
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
-10 -20 -30 -40 -50 f(x)=tan(80)*x
-60 -70
1. ábra
140
2
Az 1. ábra grafikonján nem tüntettem fel a kezdő és a végpontot, ezzel is utalva a korlátlanul rugalmas viselkedés feltételezésére. A Hooke - törvény a fenti alakjában azt is tartalmazza, hogy a szerkezeti anyag húzásra és nyomásra egyformán viselkedik. Ez egy nem magától értetődő feltevés. Megjegyzem, hogy a Hooke - törvény gyakran az (3) alakban fordul elő – ld. pl.: [ 2 ]! – , ahol ( 1 ) szerint
1 . E
(4)
Az idők során a második leggyakrabban előfordult függvénytípus: a hatványfüggvény. A [ 3 ] műben G. B. Bulfinger ( 1729 ), máshol C. Bach ~ W. Schüle - féle hatványtörvényként említik. Utóbbi megjelenésének éve [ 2 ] szerint: 1897. A törvény alakja [ 2 ] ben:
m ,
(5)
általában:
m 1,
(6)
vagyis az ( 5 ) - ből rendezéssel adódó 1 1 m m m C n ,
azaz
C n
(7)
alakban ( 6 ) - tal is:
0n
1 1. m
(8)
( 7 ) grafikonjait a 2. ábra szemlélteti, a [ 0, 1 ] intervallumon. Legtöbbször egy
1 1
n
(9)
alakú összefüggéssel találkozunk, ahol az „1” index valamely végértékre utal.
Mostanság egyre gyakrabban találkozom a ( 3 ) és ( 5 ) képletalakok kombinációjából előálló ún. Ramberg ~ Osgood - féle függvénnyel ( 1943 ), melynek egy alakja – [ 4 ] –:
3 , 0 0 7 0 n
ahol 0 , 0 , n 1: kísérletileg alkalmasan megválasztott állandók.
( 10 )
3 y
A hatványfüggvények alakja
1.1
1
0.9
0.8 f(x)=x^0 f(x)=x^0.1
0.7
f(x)=x^0.2 f(x)=x^0.3 f(x)=x^0.4
0.6
f(x)=x^0.5 f(x)=x^0.6
0.5
f(x)=x^0.7 f(x)=x^0.8
0.4
f(x)=x^0.9 f(x)=x^1
0.3
0.2
0.1
x -0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
-0.1
-0.2
2. ábra Grafikonjai a 3. ábrán szemlélhetők, különböző n - értékekre. Itt:
x
, y . 0 0
A számunkra néha érdekesebb f kapcsolat a 2. ábrabeli függvények inverzei, melyek a ( piros ) y = x egyenesre vett tükörképekként adódnak. Megjegyzem, hogy a 3. ábrabeli görbeseregre x 0, mert csak ezek a görbeágak használhatóak a deformációs görbék közelítő analitikus leírásához. A ( 10 ) - hez nagyon hasonló egyéb képletalakok is gyakoriak; pl. [ 5 ] - ben:
A , E f n
ahol a f 0,2 feltételből A = 0,002, valamint n = 6 ~ 10.
( 11 )
4 4
y
A Ramberg ~ Osgood - féle függvények alakja
3.5
3 f(x)=x+3/7*x^1 f(x)=x+3/7*x^2 f(x)=x+3/7*x^3 f(x)=x+3/7*x^4
2.5
f(x)=x+3/7*x^5 f(x)=x+3/7*x^6 f(x)=x+3/7*x^7
2
f(x)=x+3/7*x^8 f(x)=x+3/7*x^9 f(x)=x+3/7*x^10 f(x)=x+3/7*x^15
1.5
f(x)=x+3/7*x^20 f(x)=x+3/7*x^25 f(x)=x+3/7*x^30 f(x)=x+3/7*x^50
1
f(x)=x+3/7*x^100 f(x)=x+3/7*x^200 f(x)=x+3/7*x^1000
0.5
f(x)=x
x 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
3. ábra
A ( 10 ), ( 11 ) függvények inverz függvénye csak igen nehézkesen állítható elő, így – mivel amúgy is csak közelítésekről van szó – megjelent a szakirodalomban az M. R. O’Halloran - féle modell ( 1973 ) is – ld. pl.[ 3 ]!; ennek alakja:
E A n ,
( 12 )
ahol E, A, n: kísérletileg meghatározandó állandók. Egy megfelelő görbét szemléltet a 4. ábra. Megjegyzés: Nem véletlen, hogy a régebbi szakirodalomban csak nagyon ritkán találkoztam az itteniekhez hasonló, részletes görbe - ábrázolásokkal. Ugyanis „gyalogosan” ezeket megrajzolni igencsak idő - és energiaigényes feladat. Itt a Graph rajzoló programot alkalmaztam, néhány perc alatt végezve egy - egy ábrával.
5 y
Az O'Halloran - féle modell függvényének alakja
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003 f(x)=x-50000*x^3.445
0.002
0.001
x -0.001
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
0.011
0.012
-0.001
-0.002
4. ábra
A következő függvény - sereg a W. Prager - féle ( 1939 ), melynek alakja – [ 3 ] – :
1 a a b th . b E
( 13 )
Ennek némely alak - változatai az 5. ábrán szemlélhetők.
Megjegyzés: E tangens - hiperbolikuszos képlet nem tévesztendő össze azzal a ( régi ) DIN 4114 szerinti összefüggéssel – ld. [ 6 ]! –, amely bizonyos acélokra vonatkozik, és nem a teljes σ - tartományban érvényes, hanem csak az arányossági határ és a folyáshatár között. Ugyanis a rugalmas szakaszra egy külön – ( 1 ) alakú – képlet vonatkozik.
6 0.7
y
A Prager - féle függvény alakja
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x -0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
-0.1 f(x)=0.8*x+0.01*tanh(((1-0.8)/0.01)*x) f(x)=0.08*x+0.1*tanh(((1-0.08)/0.1)*x)
-0.2
f(x)=0.8*x+0.1*tanh(((1-0.8)/0.1)*x) f(x)=0.8*x+0.8*tanh(((1-0.8)/0.8)*x)
-0.3
f(x)=0.5*x+0.1*tanh(((1-0.5)/0.1)*x) f(x)=0.2*x+0.1*tanh(((1-0.2)/0.1)*x) f(x)=0.1*tanh(((1-0.8)/0.1)*x)
-0.4
f(x)=0.1*x+0.1*tanh(((1-0.1)/0.1)*x)
-0.5
-0.6
5. ábra Egy másik híresebb függvény a V. V. Szokolovszkij - féle ( ? ) diagram – [ 7 ] –, melynek egyik alakja:
E E 1 pp
2
.
Itt: ~ E: a szokásos rugalmassági modulus; ~ σpp : az anyag szilárdsági határa. Ennek grafikonja a 6. ábrán szemlélhető.
( 14 )
7 y 2.5
A Szokolovszkij - féle függvény alakja
2
1.5
1
0.5
x -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5 f(x)=x/sqrt(1+x*x)
-1
-1.5
-2
6. ábra
A szakirodalomban néha megemlítik Saint Venant függvényét ( 1864 ) is, melynek alakja – [ 7 ], [ 8 ] – : n pp 11 , pp
ahol: ~ σpp : az anyag szilárdsági határa; ~ εpp: a szilárdsági határhoz tartozó fajlagos nyúlás; ~ n 1: hatványkitevő. A ( 15 ) függvény alakját a 7. ábra szemlélteti különböző n - értékekre, a [ 0, 1 ] intervallumon.
( 15 )
8 y
Saint Venant függvényének alakja
1.2
f(x)=1-(1-x)^1
1
f(x)=1-(1-x)^1.2 f(x)=1-(1-x)^1.4 f(x)=1-(1-x)^1.6 f(x)=1-(1-x)^1.8
0.8
f(x)=1-(1-x)^2 f(x)=1-(1-x)^3 f(x)=1-(1-x)^4 f(x)=1-(1-x)^5
0.6
f(x)=1-(1-x)^6 f(x)=1-(1-x)^7 f(x)=1-(1-x)^8 f(x)=1-(1-x)^9
0.4
f(x)=1-(1-x)^10 f(x)=1-(1-x)^11 f(x)=1-(1-x)^12 f(x)=1-(1-x)^13
0.2
x -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
7. ábra
Elég gyakori a másodfokú parabolával jellemzett F. I. Gerstner - féle ( 1831 ) anyagmodell is. Ennek egyenlete például – [ 9 ] –:
E1 E 2 2 .
( 16 )
Az E1 , E2 állandók kísérletileg határozandók meg. A függvény alakja a 8. ábra szerinti. A grafikon szerint ennél a diagramnál csak pozitív nyúlásoknál van a feszültségeknek közbenső szélső értéke, valamint az is, hogy az ilyen anyagú test nem egyformán viselkedik húzásra és nyomásra:
.
( 17 )
A ( 17 ) tulajdonság megléte esetén a ( 9 ) és ( 15 ) függvényeket úgy alkalmazzák, hogy a húzott és a nyomott intervallumra külön - külön felírják a megfelelő egyenleteket – [ 2 ] , [ 8 ].
9 1.5
y
Másodfokú parabola alakja 1
0.5
x -1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1 f(x)=x-0.5*x^2
-1.5
-2
8. ábra
Szintén viszonylag gyakran találkozhat az érdeklődő a harmadfokú parabola szerinti közelítés alábbi alakjával – [ 9 ]:
E1 E 3 3 .
( 18 )
Az E1 , E3 állandók kísérletileg határozandók meg. A függvény alakja a 9. ábra szerinti. A grafikon szerint az ilyen anyagú test egyformán viselkedik húzásra és nyomásra is:
.
( 19 )
Megjegyzés: Egy korábbi dolgozatom – melynek címe: Néhány érdekes függvényről és alkalma zásukról – szintén foglalkozott egyes anyagmodellek függvényeinek képleteivel.
10 y
Harmadfokú parabola alakja
2.5
2
1.5
1
0.5
x -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1 f(x)=x-1/8*x^3
-1.5
9. ábra Abban az esetben, ha ( 19 ) fennáll – a test anyaga húzásra és nyomásra egyformán viselkedik – , nem ritka a páratlan fokszámú polinom alkalmazása. Ennek alakja – [ 9 ] – :
E1 E 3 ... E n 3
n
n
E k k ,
k 1,3,...
( 20 )
ahol minden k páratlan. Abban az esetben, ha ( 17 ) áll fenn – a test anyaga húzásra és nyomásra nem egyformán viselkedik – , akkor az alkalmazható polinom alakja – [ 9 ] – : m
E1 E 2 ... E m E k k , 2
m
k 1
amely páros és páratlan kitevőjű hatványokat is tartalmaz. A ( 20 ), ( 21 ) képletekben szereplő Ek állandók is kísérletileg határozandók meg. Most néhány szót az inverz függvények képzéséről.
( 21 )
11
Az irodalomban nem ritka, hogy egy anyagmodell képlete
a1 a 2 2 ... a n n
( 22 ) alakú – [ 10 ]. Ha az inverz / fordított függvénykapcsolatra van szükség, akkor ez a következőképpen történhet. a.) Elsőfokú kapcsolat:
a1 ;
(3/1)
ekkor a már látott módon:
1 . a1
(1/1)
b.) Másodfokú kapcsolat:
a1 a 2 2 ;
( 23 )
ekkor a
a 2 2 a1 0
( 23 / 1 )
egyenletből a másodfokú egyenlet megoldóképletével – [ 11] – :
a1 a1 1,2 2 a2 2 a 2 a 2 2
( 24 )
Az előjelről még majd dönteni kell. c.) Harmadfokú kapcsolat:
a1 a 2 2 a 3 3 ;
( 25 )
ekkor a
a 3 3 a 2 2 a1 0 egyenletre a harmadfokú egyenlet megoldóképlete – [ 11 ] – lehet alkalmazható. d.) n - edfokú kapcsolat: Ekkor érdemes lehet az inverz függvény hatványsorát alkalmazni – [ 11 ]. Megjegyzem, hogy a szerkezetek nemlineáris mechanikájában kidolgoztak olyan módszereket is, ahol nincs szükség a ( 22 ) alakú anyagtörvény invertálására – [ 12 ].
Irodalom: [ 1 ] – S. Timoshenko: Résistance des Matériaux – I. Librairie Polytechnique Ch. Béranger, Paris et Liége, 1947. [ 2 ] – C. Bach ~ R. Baumann: Elastizitaet und Festigkeit Neunte, vermehrte Auflage, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1924.
12
[ 3 ] – Jozsef Bodig ~ Benjamin A. Jayne: Mechanics of Wood and Wood Composites Van Nostrand Reinhold Company, 1982. [ 4 ] – Kaliszky Sándor: Mechanika II. Szilárdságtan Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. [ 5 ] – I. A. Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotivlenije materialov Nauka, Moszkva, 1986. [ 6 ] – Korányi Imre: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965. [ 7 ] – V. M. Ovszjanko: Szintez elektronnüh modelej deformirujemüh objektov Nauka i tehnika, Minszk, 1982. [ 8 ] – M. M: Filonenko - Borodics, Sz. M. Izjumov, B. A. Oliszov, I. N. Kudrjavcev, L. I. Mal’ginov: Kurs szoprotivlenija materialov – II. 3. izd., Gosztehizdat, Moszva - Leningrád, 1949. [ 9 ] – N. N. Popov ~ B. Sz. Rasztorgujev: Raszcsot zselezobetonnüh konsztrukcij na dejsztvie kratkovremennüh dinamicseszkih nagruzok Sztrojizdat, 1964. [ 10 ] – A. K. Malmeiszter, V. P. Tamuzs, G. A Tetersz: Szoprotivlenije polimernüh i kompozitnüh materialov 3. izd., Zinatne, Riga, 1980. [ 11 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 12 ] – B. G. Neal: Structural theorems and their applications Pergamon Press Ltd., Oxford, 1964.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. július 19.
