E-tananyag Matematika – 9. évfolyam Geometria
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely szakasz képe az eredetivel egyenlő hosszúságú. Tengelyes tükrözés: Adott a sík egy t egyenese. A sík minden egy P pontjához rendeljünk hozzá egy P’ pontot a következőképpen:
ha P rajta van t tengelyen, akkor P=P’ ha P nincs rajta a t tengelyen, akkor P’ a sík azon pontja,, amelyre teljesül, hogy PP’ szakasz felező merőlegese a t tengely. Tulajdonságai: o A tengely pontjai fixpontok o A tengellyel párhuzamos egyenes képe is párhuzamos a tengellyel o Távolságtartó o Szögtartó o Megfordítja az alakzatok körüljárási irányát Pont tengelyes tükrözése:
Szakasz tengelyes tükrözése:
1. oldal – Geometria | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam Geometria
Háromszög tengelyes tükrözése:
Kör tengelyes tükrözése:
Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes, amelyre tükrözve az alakzat önmagába megy át. Az ilyen egyenes elnevezése: szimmetriatengely.
Középpontos tükrözés: Adott a sík egy O pontja. A sík minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá P’ pontot a következőképpen: O-hoz önmagát rendeljük, azaz O=O’ Ha P≠O, akkor P’ a sík azon pontja, amelyre teljesül, hogy PP’ szakasz felezőpontja O Az O pont a tükrözés középpontja (centruma). Tulajdonságai: o Az O középpont fixpont o A középpontos tükrözés előáll két, egymásra merőleges tengelyre való tükrözés egymás utáni elvégzésével o Távolságtartó o Szögtartó o Nem fordítja meg az alakzatok körüljárási irányát (irányítástartó) 2. oldal – Geometria | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam Geometria
Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi át. Ennek a tükrözésnek a középpontját az alakzat szimmetria középpontjának nevezzük.
Pont körüli forgatás: Adott a sík egy O pontja és egy α irányított szög. A sík minden egyes pontjához rendeljünk hozzá egy P’ pontot a következőképpen: O-hoz önmagát rendeljük, azaz O=O’ ha P≠O, akkor P’ a sík azon pontja, amelyre OP=OP’, és az OP félegyenes α irányított forgásszögű elforgatottja az OP’ félegyenes. Az O pont a forgás középpontja (centruma). Tulajdonságai: o Az O középpont fixpont o Ha α=180°, akkor az O körüli forgatás az O-ra vonatkozó középpontos tükrözésnek felel meg o Távolságtartó o Szögtartó o Nem fordítja meg az alakzatok körüljárási irányát (irányítástartó) 3. oldal – Geometria | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam Geometria
Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van a síknak egy olyan O pontja, és egy α pozitív irányítású szöge, hogy az O pont körüli α szögű forgatással az alakzatot önmagába viszi.
Eltolás: Adjunk meg a síkon egy irányított szakaszt, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (vektort). A sík tetszőleges P pontjához rendeljük P’ pontot úgy, hogy a P kezdőpontú és P’ végpontú szakasz iránya megegyezzen az ⃗⃗⃗⃗⃗ -vel. adott iránnyal, és PP’=𝐴𝐵 Tulajdonságai: o Nincs fixpontja o Távolságtartó o Szögtartó o Nem fordítja meg az alakzatok körüljárási irányát (irányítástartó)
4. oldal – Geometria | VISZKI
E-tananyag Matematika – 9. évfolyam Geometria
Egybevágóság Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyik alakzatot a másikba viszi. Jele: ≅ Háromszögek egybevágósági alapesetei: (1) megfelelő oldalaik hossza páronként egyenlő;
a a' b b' c c'
(2) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;
a a' b b' '
(3) egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő;
a a' ' '
(4) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők.
a a' b b' ' ( a b, a' b' )
Négyszögek, sokszögek egybevágósági esetei: Két sokszög akkor és csakis akkor egybevágó, ha megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza páronként egyenlő megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlőek
5. oldal – Geometria | VISZKI
