Egy kéttámaszú tartó lehajlásáról Az alábbiakban egy egyszerű – vagy annak tűnő – feladattal foglalkozunk. Látni fogjuk, hogy itt a látszat csal. Most tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra Ez egy kéttámaszú gerendát ábrázol, melyet a tengelyére merőleges hatásvonalú két koncentrált erő terhel. A feladat: a tartó tetszőleges keresztmetszetében meghatározni annak behajlását. A nyírásnak a lehajlásra gyakorolt hatását itt elhanyagoljuk. A kijelölt feladat a Szilárdságtan egy alapfeladata, így azt gondolhatjuk, hogy ez egy lerágott csont. Nos, a helyzet nem egészen ez; ugyanis egy dolog általában beszélni valamiről, és más dolog azt konkrét feladatra alkalmazni. Hogy mit értünk ez alatt, az mindjárt kiderül. Az Olvasó erősítse meg magát lélekben, mert hosszú lesz az út! Az alapképletek levezetése A szakirodalom szerint többféle megoldási módszert is kidolgoztak esetünkre. Mi a legegyszerűbb – illetve annak látszó – úton indulunk el: a rugalmas szál diffe renciálegyenletének felírásával és annak hagyományos módon történő integrálásával dolgozunk – [ 1 ]. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra
2
Az eljárás alapegyenlete – [ 1 ] – :
M ( x) = − EI ⋅ v ''( x) ,
(1)
ahol: ~ M( x ): a hajlítónyomaték értéke az x koordinátájú keresztmetszetben; ~ EI: a keresztmetszet hajlítómerevsége, ami itt állandó a hossz mentén; ~ v’’( x ): a rúd görbületének közelítő kifejezése. Az ( 1 ) képletben a negatív előjelet az magyarázza, hogy pozitív hajlítónyomatékhoz negatív görbület tartozik, ahogyan azt a 2. ábra mellékábrája is szemlélteti. Minthogy a hajlítónyomatéki függvényt a koncentrált erők határozzák meg, ezért a szakaszhatárok is ennek megfelelően alakulnak: I. szakasz: II. szakasz: III. szakasz:
0 ≤ xI ≤ c1 ;
(2/1)
c1 ≤ xII ≤ c2 ; c2 ≤ xIII ≤ l .
(2/2) (2/3)
Látjuk, hogy mindegyik szakaszhoz tartozó helykoordináta ugyanonnan mérődik. A hajlítónyomatéki függvények:
M ( xI ) = A ⋅ xI ,
M ( xII ) = A ⋅ xII − P1 ⋅ ( xII − c1 ) ,
M ( xIII ) = A ⋅ xIII − P1 ⋅ ( xIII − c1 ) − P2 ⋅ ( xIII − c2 )
.
(3)
Most ( 1 ) és ( 3 ) - mal a megoldandó egyenletek:
− EI ⋅ v ''( xI ) = A ⋅ xI ,
− EI ⋅ v ''( xII ) = A ⋅ xII − P1 ⋅ ( xII − c1 ) ,
− EI ⋅ v ''( xIII ) = A ⋅ xIII − P1 ⋅ ( xIII − c1 ) − P2 ⋅ ( xIII − c2 )
.
(4)
Az A reakció meghatározására felírjuk az egyensúlyi egyenleteket:
∑M
A
= 0 → B ⋅ l − P1 ⋅ c1 − P2 ⋅ c2 ,
innen:
B = P1 ⋅
c1 c + P2 ⋅ 2 . l l
(5)
Folytatva:
∑F
y
= 0 → P1 + P2 − A − B = 0 ,
(6)
3
innen:
A = P1 + P2 − B .
(7)
Majd ( 5 ) és ( 7 ) - tel:
c c A = P1 ⋅ 1 − 1 + P2 ⋅ 1 − 2 . l l
(8)
Most ( 4 / 2 ) és ( 8 ) - cal:
− EI ⋅ v ''( xII ) = ( A − P1 ) ⋅ xII + P1 ⋅ c1 ;
(9/2)
ezután ( 4 / 3 ) és ( 8 ) - cal:
− EI ⋅ v ''( xIII ) = A ⋅ xIII − P1 ⋅ ( xIII − c1 ) − P2 ⋅ ( xIII − c2 ) = = xIII ⋅ ( A − P1 − P2 ) + P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ,
tehát:
− EI ⋅ v ''( xIII ) = ( A − P1 − P2 ) ⋅ xIII + P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 .
(9/3)
Összegyűjtve az utóbbi eredményeket:
− EI ⋅ v ''( xII ) = ( A − P1 ) ⋅ xII + P1 ⋅ c1 , − EI ⋅ v ''( xIII ) = ( A − P1 − P2 ) ⋅ xIII + P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 . − EI ⋅ v ''( xI ) = A ⋅ xI ,
( 10 )
Most egyszer integrálva ( 10 ) egyenleteit:
A 2 ⋅ xI + C1 , 2 A − P1 − EI ⋅ v '( xII ) = ⋅ xII 2 + P1 ⋅ c1 ⋅ xII + D1 , 2 A − P1 − P2 − EI ⋅ v '( xIII ) = ⋅ xIII 2 + ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) ⋅ xIII + E1 2 − EI ⋅ v '( xI ) =
Újabb integrálással ( 11 ) - ből:
.
( 11 )
4
A 3 ⋅ xI + C1 ⋅ xI + C2 , 6 A − P1 P ⋅c − EI ⋅ v ( xII ) = ⋅ xII 3 + 1 1 ⋅ xII 2 + D1 ⋅ xII + D2 , 6 2 A − P1 − P2 P ⋅c + P ⋅c − EI ⋅ v ( xIII ) = ⋅ xIII 3 + 1 1 2 2 ⋅ xIII 2 + E1 ⋅ xIII + E2 6 2 − EI ⋅ v ( xI ) =
( 12 ) .
A ( 12 ) képletekben szereplő 6 darab integrálási állandó meghatározásához 6 darab feltételi egyenletre van szükség. Ezek az alábbiak:
v( xI = 0) = 0 ;
v( xIII = l ) = 0 ; v( xI = c1 ) = v( xII = c1 ) ; v( xII = c2 ) = v( xIII = c2 ) ; v '( xI = c1 ) = v '( xII = c1 ) ; v '( xII = c2 ) = v '( xIII = c2 ) .
(F)
Most ( 12 / 1 ) és ( F / 1 ) - gyel: A − EI ⋅ v( xI = 0) = ⋅ 0 + C1 ⋅ 0 + C2 = 0 → C2 = 0 , 6 tehát:
C2 = 0 .
( 13 )
Majd ( 12 / 3 ) és ( F / 2 ) - vel: A − P1 − P2 3 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 2 − EI ⋅ v( xIII = l ) = ⋅l + ⋅ l + E1 ⋅ l + E2 = 0 , 6 2 innen:
P ⋅c + P ⋅c A − P1 − P2 3 E2 = − E1 ⋅ l + + 1 1 2 2 ⋅ l 2 + ⋅l . 2 6 Ezután ( 12 / 1 ), ( 12 / 2 ) és ( F / 3 ) - mal: A − EI ⋅ v( xI = c1 ) = ⋅ c13 + C1 ⋅ c1 + C2 , 6 A − P1 3 P1 ⋅ c1 2 − EI ⋅ v( xII = c1 ) = ⋅ c1 + ⋅ c1 + D1 ⋅ c1 + D2 6 2
→ .
( 14 )
5
A − P1 3 P1 ⋅ c1 2 A 3 ⋅ c1 + C1 ⋅ c1 + C2 = ⋅ c1 + ⋅ c1 + D1 ⋅ c1 + D2 ; 6 6 2 P P ⋅c C1 ⋅ c1 + C2 = − 1 ⋅ c13 + 1 1 ⋅ c12 + D1 ⋅ c1 + D2 ; 6 2 innen:
P1 ⋅ c13 . ( C1 − D1 ) ⋅ c1 = ( D2 − C2 ) + 3
( 15 )
Most ( 12 / 2 ), ( 12 / 3 ) és ( F / 4 ) - gyel: A − P1 3 P1 ⋅ c1 2 − EI ⋅ v( xII = c2 ) = ⋅ c2 + ⋅ c2 + D1 ⋅ c2 + D2 , 6 2 → A − P1 − P2 3 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 2 − EI ⋅ v( xIII = c2 ) = ⋅ c2 + ⋅ c2 + E1 ⋅ c2 + E2 . 6 2 A − P1 3 P1 ⋅ c1 2 A − P1 − P2 3 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 2 ⋅ c2 + ⋅ c2 + D1 ⋅ c2 + D2 = ⋅ c2 + ⋅ c2 + E1 ⋅ c2 + E2 ; 6 2 6 2 P P ⋅c D1 ⋅ c2 + D2 = − 2 ⋅ c23 + 2 2 ⋅ c2 2 + E1 ⋅ c2 + E2 ; 6 2 3 P ⋅c D1 ⋅ c2 + D2 = 2 2 + E1 ⋅ c2 + E2 ; 3 innen:
P2 ⋅ c23 . ( D1 − E1 ) ⋅ c2 = ( E2 − D2 ) + 3
( 16 )
Majd ( 11 / 1 ), ( 11 / 2 ) és ( F / 5 ) - tel:
A 2 ⋅ c1 + C1 , 2 A − P1 2 − EI ⋅ v '( xII = c1 ) = ⋅ c1 + P1 ⋅ c12 + D1 2 A − P1 2 A 2 ⋅ c1 + C1 = ⋅ c1 + P1 ⋅ c12 + D1 ; 2 2 P C1 = − 1 ⋅ c12 + P1 ⋅ c12 + D1 ; 2 P1 ⋅ c12 C1 = + D1 ; 2 − EI ⋅ v '( xI = c1 ) =
→ .
6
innen:
P1 ⋅ c12 C1 − D1 = . 2
( 17 )
Ezután ( 11 / 2 ), ( 11 / 3 ) és ( F / 6 ) - tel: A − P1 2 − EI ⋅ v '( xII = c2 ) = ⋅ c2 + P1 ⋅ c1 ⋅ c2 + D1 , 2 → A − P1 − P2 2 − EI ⋅ v '( xIII = c2 ) = ⋅ c2 + ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) ⋅ c2 + E1 . 2 A − P1 2 A − P1 − P2 2 ⋅ c2 + P1 ⋅ c1 ⋅ c2 + D1 = ⋅ c2 + ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) ⋅ c2 + E1 ; 2 2 P2 ⋅ c2 2 P1 ⋅ c1 ⋅ c2 + D1 = − + ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) ⋅ c2 + E1 ; 2 P ⋅c 2 D1 = − 2 2 + P2 ⋅ c2 2 + E1 ; 2 P2 ⋅ c2 2 D1 = + E1 , 2 innen:
P2 ⋅ c2 2 . ( D1 − E1 ) = 2
( 18 )
Most összefoglaljuk részeredményeinket:
C2 = 0 ,
P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 2 A − P1 − P2 3 E2 = − E1 ⋅ l + ⋅l + ⋅l , 2 6 P1 ⋅ c13 , ( C1 − D1 ) ⋅ c1 = ( D2 − C2 ) + 3 3 P ⋅c ( D1 − E1 ) ⋅ c2 = ( E2 − D2 ) + 2 2 , 3 2 P ⋅c C1 − D1 = 1 1 , 2 2 P ⋅c ( D1 − E1 ) = 2 2 . 2
( 19 )
7
A ( 19 ) képletsor 6 darab egyenlet a 6 darab ismeretlenre; ezt az egyenletrendszert a legegyszerűbben kiküszöböléssel oldjuk meg. Először ( 19 / 3 ) és ( 19 / 5 ) - tel:
P1 ⋅ c13 ( C1 − D1 ) ⋅ c1 = ( D2 − C2 ) + 3 P1 ⋅ c12 C1 − D1 = 2
, P1 ⋅ c12 P1 ⋅ c13 ⋅ c1 = ( D2 − C2 ) + , → 2 3
innen:
P1 ⋅ c13 P1 ⋅ c13 P1 ⋅ c13 − = , ( D2 − C2 ) = 2 3 6 tehát:
P1 ⋅ c13 ; ( D2 − C2 ) = 6
( 20 )
majd ( 19 / 1 ) - et is érvényesítve ( 20 ) - ban:
P1 ⋅ c13 D2 = . 6 Ezután ( 19 / 4 ) és ( 19 / 6 ) - tal: P2 ⋅ c23 ( D1 − E1 ) ⋅ c2 = ( E2 − D2 ) + 3 2 P ⋅c ( D1 − E1 ) = 2 2 2
( 21 )
, P2 ⋅ c2 2 P2 ⋅ c23 ⋅ c2 = ( E2 − D2 ) + , → 2 3
P2 ⋅ c23 P2 ⋅ c23 = ( E2 − D2 ) + , 2 3 P2 ⋅ c23 P2 ⋅ c23 , − ( E2 − D2 ) = 2 3 innen:
P2 ⋅ c23 . ( E2 − D2 ) = 6
( 22 )
Most ( 22 ) - ből:
P2 ⋅ c23 , E2 = D2 + 6
( 23 )
8
majd ( 21 ) és ( 23 ) - mal:
P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 E2 = + . 6 6
( 24 )
Ezután ( 19 / 2 ) és ( 24 ) alapján: P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 2 A − P1 − P2 3 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 − E1 ⋅ l + ⋅l + ⋅l = + , 2 6 6 6
P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 2 A − P1 − P2 3 + + ⋅l + ⋅l , 6 6 2 6 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 A − P1 − P2 2 − E1 = + + ⋅l + ⋅l , 6⋅l 6⋅l 2 6 − E1 ⋅ l =
tehát:
P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 A − P1 − P2 2 + + ⋅l + ⋅l . E1 = − 6⋅l 2 6 6⋅l
( 25 )
Most ( 19 / 6 )
P2 ⋅ c2 2 D1 = + E1 ; 2
( 26 )
majd ( 25 ) és ( 26 ) - ból:
P2 ⋅ c2 2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 A − P1 − P2 2 D1 = − + + ⋅l + ⋅l . 2 6 ⋅ l 6 ⋅ l 2 6
( 27 )
Ezután ( 19 / 5 ) és ( 27 ) - ből:
P1 ⋅ c12 C1 = D1 + ; 2
( 28 )
végül ( 27 ) és ( 28 ) - cal:
P1 ⋅ c12 P2 ⋅ c2 2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 A − P1 − P2 2 C1 = + − + + ⋅l + ⋅l . 2 2 6 ⋅ l 6 ⋅ l 2 6 ( 29 )
9
Ismét összefoglaljuk részeredményeinket:
P1 ⋅ c12 P2 ⋅ c2 2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 A − P1 − P2 2 C1 = + − + + ⋅l + ⋅ l , 2 2 6 ⋅ l 6 ⋅ l 2 6 C2 = 0 , 2 3 3 P ⋅c P ⋅c P ⋅c P ⋅c + P ⋅c A − P1 − P2 2 ⋅l , D1 = 2 2 − 1 1 + 2 2 + 1 1 2 2 ⋅ l + 2 6⋅l 2 6 6⋅l 3 P ⋅c D2 = 1 1 , ( 30 ) 6 3 3 P1 ⋅ c1 P2 ⋅ c2 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 A − P1 − P2 2 E1 = − + + ⋅l + ⋅l , 6⋅l 2 6 6⋅l P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 E2 = + . 6 6 Most ( 8 ) segítségével A - t kiküszöböljük ( 30 ) - ból, és átalakítjuk a C1, D1, E1 állandók képleteit: c c c c A − P1 − P2 = − P1 ⋅ 1 − P2 ⋅ 2 = − P1 ⋅ 1 + P2 ⋅ 2 , l l l l
A − P1 − P2 2 l2 ⋅l = − 6 6
c l c ⋅ P1 ⋅ 1 + P2 ⋅ 2 = − ⋅ ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) , l l 6
tehát:
A − P1 − P2 2 l ⋅ l = − ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) ⋅ . 6 6
( 31 )
Majd ( 30 / 1 ) és ( 31 ) - gyel:
P1 ⋅ c12 P2 ⋅ c2 2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 l C1 = + − + + ⋅ l − ( P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ) ⋅ = 2 2 6⋅l 2 6 6⋅l P1 ⋅ c12 P2 ⋅ c2 2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 = + − + + ⋅l = 2 2 6⋅l 3 6⋅l P1 ⋅ c12 P1 ⋅ c13 P1 ⋅ c1 P2 ⋅ c2 2 P2 ⋅ c23 P2 ⋅ c2 = − − ⋅l + − − ⋅l ; 2 6 ⋅ l 3 2 6 ⋅ l 3 ( 32* )
10
tovább alakítva:
c1 c12 l c2 c2 2 l C1 = P1 ⋅ c1 ⋅ − − + P2 ⋅ c2 ⋅ − − ⋅ = 2 6 ⋅ 3 2 6 ⋅ 3 l l 3 ⋅ l ⋅ c1 − c12 − 2 ⋅ l 2 3 ⋅ l ⋅ c2 − c2 2 − 2 ⋅ l 2 = P1 ⋅ c1 ⋅ + P2 ⋅ c2 ⋅ = 2 ⋅3⋅l 2 ⋅3⋅l 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 = − P1 ⋅ c1 ⋅ − P2 ⋅ c2 ⋅ , 6⋅l 6⋅l tehát:
C1 = −
P1 ⋅ c1 P ⋅c ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 − 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 . ( 32 ) 6⋅l 6⋅l
(
)
(
)
Most ( 28 ) és ( 32* ) - ból: c1 c12 l c2 c2 2 l P1 ⋅ c12 P1 ⋅ c12 = P1 ⋅ c1 ⋅ − − + P2 ⋅ c2 ⋅ − − ⋅ − = D1 = C1 − 2 2 6 ⋅ l 3 2 6 ⋅ l 3 2
c12 l c2 c2 2 l = P1 ⋅ c1 ⋅ − − + P2 ⋅ c2 ⋅ − − ⋅ = 6⋅l 3 2 6⋅l 3 c12 + 2 ⋅ l 2 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 = − P1 ⋅ c1 ⋅ − P2 ⋅ c2 ⋅ , 6⋅l 6⋅l tehát:
D1 = −
( 33* )
P1 ⋅ c1 P ⋅c ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 . 6⋅l 6⋅l
(
)
(
)
( 33 )
Majd ( 19 / 6 ) és ( 33 *) - gal: c12 l c2 c2 2 l P2 ⋅ c2 2 P2 ⋅ c2 2 E1 = D1 − = P1 ⋅ c1 ⋅ − − + P2 ⋅ c2 ⋅ − − ⋅ − = 2 2 6⋅l 3 2 6⋅l 3
c12 l c2 2 l c12 + 2 ⋅ l 2 c2 2 + 2 ⋅ l 2 = P1 ⋅ c1 ⋅ − − + P2 ⋅ c2 ⋅ − − ⋅ = − P1 ⋅ c1 ⋅ − P2 ⋅ c2 ⋅ , 6 ⋅ l 3 6 ⋅ l 3 6 ⋅ l 6 ⋅ l tehát:
E1 = −
P1 ⋅ c1 P ⋅c ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 . 6⋅l 6⋅l
(
)
(
)
( 34 )
11
Most összefoglaljuk eredményeinket:
P ⋅c P ⋅c C1 = − 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 , 6⋅l 6⋅l C2 = 0 , P c ⋅ P1 ⋅ c1 D1 = − ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 , 6⋅l 6⋅l P1 ⋅ c13 D2 = , 6 ( 35 ) P ⋅c P ⋅c E1 = − 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 , 6⋅l 6⋅l 3 3 P ⋅c P ⋅c E2 = 1 1 + 2 2 . 6 6
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
)
)
A ( 35 ) képletek közvetlenül a bemenő adatokkal lettek kifejezve. Most írjuk fel a rugalmas szál végső egyenleteit! ( 12 / 1 ), ( 8 ), ( 35 / 1 ) és ( 35 / 2 ) - vel:
− EI ⋅ v( xI ) =
A 3 1 c c ⋅ xI + C1 ⋅ xI + C2 = P1 ⋅ 1 − 1 + P2 ⋅ 1 − 2 ⋅ xI 3 − 6 6 l l
P ⋅c P ⋅c − 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xI + 0 , 6⋅l 6⋅l
(
)
(
)
innen az I. szakasz behajlásának egyenlete:
(
)
(
)
1 ⋅ P1 ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xI 6⋅ E ⋅ I ⋅l c 1 c − ⋅ P1 ⋅ 1 − 1 + P2 ⋅ 1 − 2 ⋅ xI 3 . 6⋅ E ⋅ I l l
v ( xI ) =
( 36 ) Majd ( 12 / 2 ), ( 8 ), ( 35 / 3 ) és ( 35 / 4 ) - gyel:
−
12
A − P1 P ⋅c ⋅ xII 3 + 1 1 ⋅ xII 2 + D1 ⋅ xII + D2 = 6 2 P ⋅c 1 c c = P1 ⋅ 1 − 1 + P2 ⋅ 1 − 2 − P1 ⋅ xII 3 + 1 1 ⋅ xII 2 − 6 2 l l − EI ⋅ v( xII ) =
P2 ⋅ c2 P1 ⋅ c13 P1 ⋅ c1 2 2 2 2 − ⋅ 2 ⋅ l + c1 + ⋅ 2 ⋅ l + c2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xII + = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 l l
(
)
(
)
1 c P ⋅c c = − P1 ⋅ 1 + P2 ⋅ 1 − 2 ⋅ xII 3 + 1 1 ⋅ xII 2 − 6 l l 2 P2 ⋅ c2 P1 ⋅ c13 P1 ⋅ c1 2 2 2 2 − ⋅ 2 ⋅ l + c1 + ⋅ 2 ⋅ l + c2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xII + , 6⋅l 6 6⋅l
(
)
(
)
innen:
− EI ⋅ v( xII ) =
1 c P ⋅c c − P1 ⋅ 1 + P2 ⋅ 1 − 2 ⋅ xII 3 + 1 1 ⋅ xII 2 − 6 l l 2
P2 ⋅ c2 P1 ⋅ c13 P1 ⋅ c1 2 2 2 2 − ⋅ 2 ⋅ l + c1 + ⋅ 2 ⋅ l + c2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xII + , 6⋅l 6 6⋅l
(
)
(
)
majd ebből a II. szakasz behajlásának egyenlete:
v ( xII ) = +
1 6⋅ E ⋅ I
c c ⋅ P1 ⋅ 1 − P2 ⋅ 1 − 2 l l
(
3 P ⋅ c + P2 ⋅ c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xII − 1 1 . 6⋅ E ⋅ I
P1 ⋅ c1 3 ⋅ xII 2 + ⋅ xII − 2⋅ E ⋅ I
1 ⋅ P1 ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 6⋅ E ⋅ I ⋅l
)
(
)
( 37 ) Ezután ( 12 ), ( 31 ), ( 35 / 5 ) és ( 35 / 6 ) - tal:
A − P1 − P2 P ⋅c + P ⋅c ⋅ xIII 3 + 1 1 2 2 ⋅ xIII 2 + E1 ⋅ xIII + E2 = 6 2 P ⋅c + P ⋅c P ⋅c + P ⋅c = − 1 1 2 2 ⋅ xIII 3 + 1 1 2 2 ⋅ xIII 2 − 6⋅l 2 P2 ⋅ c2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 2 2 2 2 − ⋅ 2 ⋅ l + c1 + ⋅ 2 ⋅ l + c2 ⋅ xIII + + , 6⋅l 6 6 6⋅l − EI ⋅ v( xIII ) =
(
)
(
)
13
innen:
P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 P ⋅c + P ⋅c ⋅ xIII 3 + 1 1 2 2 ⋅ xIII 2 − 6⋅l 2 P2 ⋅ c2 P1 ⋅ c13 P2 ⋅ c23 P1 ⋅ c1 2 2 2 2 − ⋅ 2 ⋅ l + c1 + ⋅ 2 ⋅ l + c2 ⋅ xIII + + , 6⋅l 6 6 6⋅l
− EI ⋅ v ( xIII ) = −
(
)
(
)
ebből pedig a III. szakasz behajlásának egyenlete:
P1 ⋅ c1 + P2 ⋅ c2 P ⋅c + P ⋅c ⋅ xIII 3 − 1 1 2 2 ⋅ xIII 2 + 6⋅ E ⋅ I ⋅l 2⋅ E ⋅ I 1 + ⋅ P1 ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + P2 ⋅ c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 ⋅ xIII 6⋅ E ⋅ I ⋅l 1 − ⋅ P1 ⋅ c13 + P2 ⋅ c23 . 6⋅ E ⋅ I
v( xIII ) =
(
)
(
(
)
)
− ( 38 )
Most jöhetnek az ellenőrzések, ( F ) szerint. Ezt itt már nem részletezzük. Elvégzése ajánlott, mert eredményeképpen kényelmesebb képletalakok állhatnak elő, valamint a megnyugtató érzés, hogy nem követtünk el durva számolási hibát. Mi itt az ellenőrzésnek azt a közvetett útját mutatjuk meg, hogy képleteinket speciális esetekre alkalmazzuk, és megnézzük, hogy az eredmények egyeznek - e a szakirodal mi eredményekkel. Az alapképletek alkalmazásai 1. Behajlás az erők hatásvonalában Minthogy a II. szakasz végpontjairól van szó, így ( 2 / 2 ) szerint elegendő a ( 37 ) képlet használata. a.) Behajlás a P1 erő hatásvonalában: v( xII = c1 ) = +
tehát:
1 6⋅ E ⋅ I
c P ⋅c c ⋅ P1 ⋅ 1 − P2 ⋅ 1 − 2 ⋅ c13 − 1 1 ⋅ c12 + l l 2⋅ E ⋅ I
1 P ⋅c 3 ⋅ P1 ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + P2 ⋅ c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ c1 − 1 1 , 6⋅ E ⋅ I ⋅l 6⋅ E ⋅ I
(
)
(
)
14 3 c1 c2 4 ⋅ P1 ⋅ c1 ⋅ P1 ⋅ − P2 ⋅ 1 − − + l l 6 ⋅ E ⋅ I ( 39 ) c1 P ⋅c P ⋅c + ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 . 6⋅ E ⋅ I l l
c13 v( xII = c1 ) = 6⋅ E ⋅ I
(
)
(
)
b.) Behajlás a P2 erő hatásvonalában: v( xII = c2 ) = +
1 6⋅ E ⋅ I
c P ⋅c c ⋅ P1 ⋅ 1 − P2 ⋅ 1 − 2 ⋅ c23 − 1 1 ⋅ c2 2 + l l 2⋅ E ⋅ I
P ⋅c 3 1 ⋅ P1 ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + P2 ⋅ c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ c2 − 1 1 , 6⋅ E ⋅ I ⋅l 6⋅ E ⋅ I
(
)
(
)
tehát: 3 c1 c2 3 ⋅ P1 ⋅ c1 2 P1 ⋅ c1 ⋅ P1 ⋅ − P2 ⋅ 1 − − ⋅ c2 − + l l 6 ⋅ E ⋅ I 6 ⋅ E ⋅ I ( 40 ) c2 P ⋅c P ⋅c + ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 . 6⋅ E ⋅ I l l
c23 v ( xII = c2 ) = 6⋅ E ⋅ I
(
)
(
)
2. A P1 = P, P2 = 0 eset vizsgálata Ekkor a ( 36 ), ( 37 ), ( 38 ) egyenletekkel és P2 = 0 - val: 1 P ⋅c 1 c ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 ⋅ xI − ⋅ P1 ⋅ 1 − 1 ⋅ xI 3 ; 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I l
3 1 c P ⋅c 1 P ⋅c P ⋅c v( xII ) = ⋅ P1 ⋅ 1 ⋅ xII 3 − 1 1 ⋅ xII 2 + ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 ⋅ xII − 1 1 ; 6⋅ E ⋅ I l 2⋅ E ⋅ I 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I 3 1 P ⋅c P ⋅c 1 P ⋅c P ⋅c v( xIII ) = ⋅ 1 1 ⋅ xIII 3 − 1 1 ⋅ xIII 2 + ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 ⋅ xIII − 1 1 . 6⋅ E ⋅ I l 2⋅ E ⋅ I 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I ( 41* )
v ( xI ) =
(
)
(
)
(
)
Erről rögtön látható, hogy a 2. és a 3. sor ugyanaz; ez azt jelenti, hogy nincs szükség a III. szakasz megkülönböztetésére, ahogyan az a 3. ábrán is látható. Így az alcímbeli terhelési eset behajlás - egyenletei, ( 41* ) és P1 = P , c1 = c - vel:
15
3. ábra
1 P⋅c 1 c ⋅ ⋅ 2 ⋅ l 2 + c 2 − 3 ⋅ l ⋅ c ⋅ xI − ⋅ P ⋅ 1 − ⋅ xI 3 ; 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I l
3 ⋅ ⋅ ⋅ 1 c P c 1 P c P c ⋅ P ⋅ ⋅ xII 3 − ⋅ xII 2 + ⋅ ⋅ 2 ⋅ l 2 + c 2 ⋅ xII − . v( xII ) = 6⋅ E ⋅ I l 2⋅ E ⋅ I 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I ( 41 ) A ( 41 / 1 ) képlet megfelelője a szakirodalomban – [ 1 ] – : Fbx 2 2 y1 ( x) = l − b − x2 . (§) 6 EIl v ( xI ) =
(
)
(
(
)
)
Most ( 41 / 1 ) - en átalakításokat végzünk, hogy kiderüljön egyezése a ( § ) képlettel. 1 P ⋅c 1 c v ( xI ) = ⋅ ⋅ ( 2 ⋅ l 2 + c 2 − 3 ⋅ l ⋅ c ) ⋅ xI − ⋅ P ⋅ 1 − ⋅ xI 3 = 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I l 1 P⋅c 1 l −c 3 = ⋅ ⋅ ( 2 ⋅ l 2 + c 2 − 3 ⋅ l ⋅ c ) ⋅ xI − ⋅P⋅ ⋅ xI = 6⋅ E ⋅ I l 6⋅ E ⋅ I l P = ⋅ c ⋅ ( 2 ⋅ l 2 + c 2 − 3 ⋅ l ⋅ c ) ⋅ xI − ( l − c ) ⋅ xI 3 = 6⋅ E ⋅ I ⋅l P ⋅ (l − c ) c = ⋅ ⋅ ( 2 ⋅ l 2 + c 2 − 3 ⋅ l ⋅ c ) ⋅ xI − ⋅ xI 3 = 6⋅ E ⋅ I ⋅l l − c =
P ⋅ ( l − c ) ⋅ xI c ⋅ ⋅ 2 ⋅ l 2 + c 2 − 3 ⋅ l ⋅ c − xI 2 , 6⋅ E ⋅ I ⋅l l − c
(
)
tehát a kérdés:
? Fbx P ⋅ ( l − c ) ⋅ xI c 2 2 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ l + c − 3 ⋅ l ⋅ c − xI = l 2 − b2 − x2 . ( ? ) 6⋅ E ⋅ I ⋅l l − c 6 EIl
(
)
(
)
16
Jelölésbeli megfeleltetések: P
F,(l–c)
b , xI
x. Ezekkel ( ? ) bal oldala:
F ⋅b ⋅ x l − b 2 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ l + ( l − b ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − b ) − x 2 . 6⋅ E ⋅ I ⋅l b
v( x) =
( ?? )
Most vegyük észre, hogy ( ? ) jobb oldala akkor egyenlő ( ?? ) jobb oldalával, ha fennáll, hogy
l −b 2 2 ⋅ 2 ⋅ l + ( l − b ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − b ) = l 2 − b2 . b
( ??? )
Azonos átalakításokkal: l −b 2 2 ⋅ 2 ⋅ l + ( l − b ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − b ) = ( l − b ) ⋅ ( l + b ) , b
2 ⋅ l 2 + (l − b ) − 3 ⋅ l ⋅ (l − b ) = b (l + b ) , 2
2 ⋅ l 2 + (l − b ) ⋅ (l − b − 3 ⋅ l ) = b ⋅ l + b2 , 2 ⋅ l 2 + ( l − b ) ⋅ ( −2 ⋅ l − b ) = b ⋅ l + b 2 , 2 ⋅ l 2 − ( l − b ) ⋅ ( 2 ⋅ l + b ) = b ⋅ l + b2 ,
(
)
2 ⋅ l 2 − 2 ⋅ l 2 − 2 ⋅ l ⋅ b + l ⋅ b − b2 = b ⋅ l + b2 , 2 ⋅ l ⋅ b − l ⋅ b + b2 = b ⋅ l + b2 , tehát:
l ⋅ b + b2 ≡ b ⋅ l + b2 , azaz ( ??? ) azonosság, így az ( ? ) szerinti egyenlőség fennáll. Eszerint eredményünk tartalmilag egyezik a szakirodalomból vett eredménnyel. ☺
3. A P1 = P, P2 = P eset vizsgálata Ekkor a ( 36 ), ( 37 ), ( 38 ) egyenletekkel és P1 = P2 = P - vel kapjuk ( 42 ) - t. Annak érdekében, hogy a szakirodalomban talált képletekkel összevessük ezt, egy további specializációt hajtunk végre ( 42 ) - n, az alábbi választással:
c1 = a,
→ c1 + c2 = l . c2 = l − a ,
(!)
17
P ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 − 3 ⋅ l ⋅ c1 + c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xI − 6⋅ E ⋅ I ⋅l c1 c2 3 P − ⋅ 1 − + 1 − ⋅ xI , 6 ⋅ E ⋅ I l l c1 c2 ⋅ P c P 1 v( xII ) = ⋅ − 1 − ⋅ xII 3 − ⋅ xII 2 + 6⋅ E ⋅ I l 2⋅ E ⋅ I l 3 P P ⋅ c 1 + ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c12 + c2 ⋅ 2 ⋅ l 2 + c2 2 − 3 ⋅ l ⋅ c2 ⋅ xII − , 6⋅ E ⋅ I ⋅l 6⋅ E ⋅ I P ⋅ ( c1 + c2 ) P ⋅ ( c1 + c2 ) 3 2 v( xIII ) = ⋅ xIII − ⋅ xIII + 6⋅ E ⋅ I ⋅l 2⋅ E ⋅ I P 2 2 2 2 + ⋅ c1 ⋅ 2 ⋅ l + c1 + c2 ⋅ 2 ⋅ l + c2 ⋅ xIII − 6⋅ E ⋅ I ⋅l P − ⋅ c13 + c23 . 6⋅ E ⋅ I ( 42 )
(
v ( xI ) =
(
)
(
)
(
(
)
(
(
)
)
)
)
A mondott speciális esetet a 4. ábra szemlélteti.
4. ábra
Most ( 42 / 1 ) és ( ! ) képletekkel:
18
{
(
}
)
P 2 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ l 2 + a 2 − 3 ⋅ l ⋅ a + ( l − a ) ⋅ 2 ⋅ l 2 + ( l − a ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − a ) ⋅ xI − 6⋅ E ⋅ I ⋅l a l − a 3 P − ⋅ 1 − + 1 − ⋅ xI ; 6 ⋅ E ⋅ I l l (%)
v ( xI ) =
~ ( % ) - ban a kapcsos zárójeles tényezőt átalakítva: 2 a ⋅ 2 ⋅ l 2 + a 2 − 3 ⋅ l ⋅ a + ( l − a ) ⋅ 2 ⋅ l 2 + ( l − a ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − a ) =
(
)
(
)
2 = 2 ⋅ l 2 ⋅ ( a + l − a ) + a ⋅ a 2 − 3 ⋅ l ⋅ a + ( l − a ) ⋅ ( l − a ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − a ) = 2 = 2 ⋅ l 3 + a 3 − 3 ⋅ l ⋅ a 2 + ( l − a ) ⋅ ( l − a ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − a ) = = 2 ⋅ l 3 + a 3 − 3 ⋅ l ⋅ a 2 + ( l − a ) ⋅ l 2 − 2 ⋅ a ⋅ l + a 2 − 3 ⋅ l 2 + 3 ⋅ l ⋅ a =
(
)
= 2 ⋅ l 3 + a3 − 3 ⋅ l ⋅ a2 + (l − a ) ⋅ a 2 + a ⋅ l − 2 ⋅ l 2 =
( + ( −a
)
= 2 ⋅ l 3 + a3 − 3 ⋅ l ⋅ a2 + a 2 ⋅ l − a3 + a ⋅ l 2 − a 2 ⋅ l − 2 ⋅ l 3 + 2 ⋅ a ⋅ l 2 = = 2 ⋅ l 3 + a3 − 3 ⋅ l ⋅ a2
3
)
+ 3⋅ a ⋅l2 − 2 ⋅l3 =
= 2 ⋅ l 3 + a 3 − 3 ⋅ l ⋅ a 2 − a 3 + 3 ⋅ a ⋅ l 2 − 2 ⋅ l 3 = −3 ⋅ l ⋅ a 2 + 3 ⋅ a ⋅ l 2 = = 3 ⋅ a ⋅ l 2 − 3 ⋅ l ⋅ a2 ; ~ ( % ) - ban a szögletes zárójelet átalakítva:
a a a l−a 1 − + 1 − = 1 − +1−1+ = 1 , l l l l majd ezen részeredményeket ( % ) - ba téve: P P v ( xI ) = ⋅ ( 3 ⋅ a ⋅ l 2 − 3 ⋅ l ⋅ a 2 ) ⋅ xI − ⋅ xI 3 = 6⋅ E ⋅ I ⋅l 6⋅ E ⋅ I P P = ⋅ ( 3 ⋅ a ⋅ l − 3 ⋅ a 2 ) ⋅ xI − ⋅ xI 3 = 6⋅ E ⋅ I 6⋅ E ⋅ I P ⋅ xI = ⋅ ( 3 ⋅ a ⋅ l − 3 ⋅ a 2 − xI 2 ) , 6⋅ E ⋅ I tehát:
v ( xI ) =
P ⋅ xI ⋅ 3 ⋅ a ⋅ l − 3 ⋅ a 2 − xI 2 . 6⋅ E ⋅ I
(
)
( 43 )
19
A ( 43 ) eredmény megegyezik a [ 3 ] - ban fellelt megfelelő eredménnyel. ☺ Ezután nézzük a II. szakasz egyenleteit! A ( 42 / 2 ) és ( ! ) képletekkel: a l − a 3 P P⋅a v( xII ) = ⋅ − 1 − ⋅ xII 2 + ⋅ xII − 6⋅ E ⋅ I l l 2⋅ E ⋅ I
{
}
P P ⋅ a3 2 2 2 2 + ⋅ a ⋅ 2 ⋅ l + a + ( l − a ) ⋅ 2 ⋅ l + ( l − a ) − 3 ⋅ l ⋅ ( l − a ) ⋅ xII − ; 6⋅ E ⋅ I ⋅l 6⋅ E ⋅ I ( %% ) ~ ( %% ) - ban a nagy szögletes zárójel átalakítása:
(
)
a l−a a a − 1 − = −1+1− = 0 ; l l l l ~ ( %% ) - ban a kapcsos zárójel átalakítása, az előző eredményt is felhasználva:
(
)
2 a ⋅ 2 ⋅ l 2 + a 2 + ( l − a ) ⋅ 2 ⋅ l 2 + (l − a ) − 3 ⋅ l ⋅ (l − a ) = 3 ⋅ a ⋅ l 2 ,
így (%%) alakja ezekkel: P⋅a P P ⋅ a3 2 2 v( xII ) = − ⋅ xII + ⋅ 3 ⋅ a ⋅ l ⋅ xII − = 2⋅ E ⋅ I 6⋅ E ⋅ I ⋅l 6⋅ E ⋅ I P⋅a P⋅a = ⋅ −3 ⋅ xII 2 + 3 ⋅ l ⋅ xII − a 2 = ⋅ 3 ⋅ l ⋅ xII − 3 ⋅ xII 2 − a 2 , 6⋅ E ⋅ I 6⋅ E ⋅ I
(
)
(
)
tehát:
v( xII ) =
P⋅a ⋅ 3 ⋅ l ⋅ xII − 3 ⋅ xII 2 − a 2 . 6⋅ E ⋅ I
(
)
( 44 )
Ez is egyezik [ 3 ] - beli megfelelőjével. ☺ A további számításokat, így például a v’( x ) képletek felírását, a szélsőérték - helyek meghatározását most már az érdeklődő Olvasóra bízzuk.
Megjegyzések: M1. A [ 2 ] műben az itt elvégzett munkával kapcsolatban arról írnak, hogy „ Két vagy több koncentrált erő – tehát három vagy több szakasz – esetén pedig hat vagy még ennél is több állandóval dolgozni gyakorlatilag lehetetlen.” Itt láttuk, hogy gyakorlatilag lehetséges, bár igencsak munkaigényes.
20
M2. A tan - és szakkönyvek kerülik a sok képlet felírását, ezért is arra bíztatják olvasóikat, hogy az addigi eredmények variálásával oldják meg feladataikat. Ez a helyzet például a ( 41 / 2 ) képlet esetében is; erről azt írja [ 1 ], hogy „ A második rúdszakasz y2( x ) egyenletét felesleges felírni, mert itt is használhatjuk az első szakaszra levezetett függvényt, ha b helyébe a - t írunk, és x - et a jobb oldali rúdvégtől számítjuk.” Ezzel kapcsolatban idekívánkozik, hogy a számítógépes ábrázoláshoz ( is ) minden képpen fel kell írni a rugalmas szál teljes egyenletét, amit talán nem pont egy tan könyvben kellene megspórolni. M3. A ( 44 ) képlettel kapcsolatos észrevételünk, hogy a [ 3 ] forrásmunka ehhez az
a≤x≤
l 2
(*)
tartományt jelöli meg a képlet működési tartományaként. Emlékeztetünk itt arra, hogy ( 2 / 2 ) és ( ! ) - nek megfelelően itt érvényes még a
c1 ≤ xII ≤ c2 , c1 = a , → a ≤ xII ≤ l − a c2 = l − a
( !! )
általánosabb korlátozó feltétel is. Itt bizonyára a szimmetria miatt vették a ( * ) tarto mányt. M4. A szakirodalom arra is bíztatja a felhasználóit, hogy az itteni lineárisan rugalmas esetben alkalmazzák a szuperpozíció elvét. Ezzel kapcsolatos azon észrevételünk, hogy ennek során elég könnyű elkeveredni az egymásba ágyazódó tartományokban. Ennek részletesebb végiggondolását is az Olvasóra bízzuk. M5. Az M1. megjegyzésben említett idézet szerzője arra hegyezte ki mondanivalóját, hogy az ittenihez hasonló – pl.: koncentrált erőkkel terhelt – kéttámaszú tartónál vi szonylag sok terhelési szakasz esetén a legkényelmesebb lehet az egységfüggvények ( e ) alkalmazása. Ezzel kapcsolatos észrevételünk, hogy híres, abszolút kompetens és mértékadó szerzők sem nagyon erőltetik az ( e ) - témát, helyette más megoldási mód szerekhez folyamodnak. Ez a helyzet [ 3 ] - nál is. M6. A behajlási alap - differenciálegyenletek integrálásának itteni módját tudatosan választottuk a szakirodalomban megszokottól kissé eltérőre. M7. Lehajlási egyenleteink még más alkalmazásokat is támogathatnak. Az érdeklődő Olvasónak ajánljuk ezen alkalmazások részletes felderítését!
21
Irodalom: [ 1 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 2 ] – Pelikán József: Szilárdságtan Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. [ 3 ] – Stephen P. Timoshenko ~ James M. Gere: Mechanics of Materials Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1972.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. április 2.
