Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben

Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta rendszerben.

Az O csúcsú, OF tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban metszi.

1. ábra A feladat Adott: O(0, 0, 0); F( X F , 0, ZF );  . Keresett: az ( XY ) sík által a kúpból kimetszett alkotóknak az X tengellyel bezárt Ф szöge.

2. ábra

2

A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Jelölések: OF  t; ( X,  ) = . Kikötések:

X F > 0 ; Z F  0 ; 0 <  < 90 .

(1)

A 2. ábra szerint:

R  t  tg ; Z / cos  sin   F ; R

(2) (3)

most a ( 2 ) és ( 3 ) képletekkel:

ZF / cos  ; t  tg

sin  

(4)

ismét a 2. ábra szerint:

ZF , t

sin  

(5)

így ( 4 ) és ( 5 ) - tel:

sin  

sin  / cos  tg  , tehát: tg tg

sin  

tg , tg

(6)

ahol a 2. ábra elölnézeti képe szerint:

tg 

ZF . XF

(7)

Az ismert azonosság szerint – [ 1 ] – :

cos  

1 1  tg 2

;

(8)

most a 2. ábra elöl - és felülnézeti képéről:

tg 

R  cos  R   cos  cos   tg cos  cos  , t / cos  t

tehát:

tg  tg cos  cos . Egy másik ismert trigonometriai azonossággal és ( 6 ) - tal:

(9)

3

 tg  cos   1 sin   1   ,  tg  2

2

( 10 )

majd ( 10 ) - zel is:

 tg  tg cos   tg 1    tg 2   tg 2 ,  tg  2

( 11 )

ezután pedig ( 9 ) és ( 11 ) - gyel is:

tg  tg cos  cos   cos  tg 2   tg 2 .

( 12 )

Most ( 8 ) - hoz:

1  tg 2  (sin 2   cos 2  )  cos 2   tg 2   tg 2   cos 2  ( 13 )  cos   1  tg    sin   sin   cos   1  tg   , cos 2  2

2

2

2

2

2

majd ( 8 ) és ( 13 ) - mal:

cos  

cos  . cos 

( 14 )

Végül ( 14 ) - ből:

 cos     arccos  .  cos  

( 15 )

A bemenő adatokhoz visszatérve, tekintettel a ( 7 ) - tel is adódó

cos  

1 1  tg 2



1 Z  1   F   X 

2

( 16 )

F

összefüggésre is, ( 15 ) és ( 16 ) - tal: 2    ZF      arccos  1     cos .    X F   

Ezzel a     X F , ZF ,   kapcsolat felállításának feladatát megoldottuk.

( 17 )

4

Megjegyzések: M1. A 2. ábra felső, jobb oldali ábrarésze egy a ξ tengely irányából nézett merőleges – párhuzamos vetület. M2. A 2. ábra a feladatbeli általános esetet szemlélteti. Most nézzünk néhány speciális esetet! Ezeket a ( 12 ) képlet egy változatával tanulmányozhatjuk kényelmesen:

tg 2   tg 2 tg  . 1  tg 2

( 12 / 1 )

Az ( 1 ) és ( 7 ) képletekkel:

  0.

( 18 )

Lényeges kérdés, hogy van - e δ - ra felső határ. Először ezt vizsgáljuk meg. A ( 12 / 1 ) képletben négy eset lehetséges. 1. eset:   0. (e/1) Ekkor ( 12 / 1 ) - ből:   . (a) 2. eset: 0    . Ekkor ( 12 / 1 ) - ből:

0    . 3. eset:   .

(e/2) (b) (e/3)

Ekkor ( 12 / 1 ) - ből:

  0.

(c)

4. eset:   . (e/4) Ekkor ( 12 / 1 ) - ből azt kapjuk, hogy a négyzetgyök alatt negatív szám áll, vagyis nincs megoldása (d) feladatunknak, hiszen nincsen kimetszett alkotó sem. Azt találtuk, hogy ~ δ - ra létezik felső határ is, vagyis ( 18 ) - at is felhasználva:

0  ,

( 19 )

vagy ( 7 ) és ( 19 ) - cel:

0  arctg

ZF  ; XF

~ a kimetszett alkotók száma: 2, 1, 0. M3. Most alkalmazzuk képletünket a 2. ábra esetére! Adatok: δ = 19°, γ = 30°.

( 20 )

5

A ( 12 / 1 ) képlettel:

 tg 2   tg 2    .   arctg  2  1  tg  

( 21 )

Behelyettesítve a fenti adatokat, a számított eredmény – ld. a 6. oldali táblázatot is! – :

számított  23, 7.

( 22 )

Az eredményt a 2. ábráról szögmérővel lemérve:

szerkesztett  24.

( 23 )

( 22 ) és ( 23 ) szerint a szerkesztéssel és a számítással kapott eredmények jól egyeznek. ☺ M4. A 3. ábrán, melyet az internetről ingyenesen letölthető Graph programmal készítettünk, a ( 15 ) képlet függvényének alakját tanulmányozhatjuk. FI ( fok )

A ( 15 ) képlet grafikonja, γ = 30° esetén: piros vonal A 30 e. sugarú negyedkör: kék vonal

35

30

25

20

15 f(x)=acos((cos(30))/(cos(x))) f(x)=sqrt(sqr(30)-sqr(x))

10

5

delta ( fok ) -5

5

10

15

20

3. ábra

25

30

35

40

6

Az a meglepő eredmény adódott, hogy a kapott grafikon közel áll egy negyedkörhöz. Hogy valójában nem az, azt a pontos kék negyedkör rárajzolásával mutattuk meg. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

f(x) 30,0000000 29,9848796 29,9394539 29,8635278 29,7567731 29,6187223 29,4487614 29,2461189 29,0098520 28,7388288 28,4317058 28,0868997 27,7025513 27,2764806 26,8061287 26,2884832 25,7199804 25,0963763 24,4125716 23,6623707 22,8381408 21,9303153 20,9266432 19,8110058 18,5614453 17,1466468 15,5190505 13,5995047 11,2355546 8,0387701 0

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

f(x) 30,0000000 29,9833287 29,9332591 29,8496231 29,7321375 29,5803989 29,3938769 29,1719043 28,9136646 28,6181760 28,2842712 27,9105715 27,4954542 27,0370117 26,5329983 25,9807621 25,3771551 24,7184142 24,0000000 23,2163735 22,3606798 21,4242853 20,3960781 19,2613603 18,0000000 16,5831240 14,9666295 13,0766968 10,7703296 7,6811457 0

Továbbá: a bal oldali táblázat a piros, a jobb oldali a kék grafikon értéktáblázata. Ezekből könnyen kivehető egy adott x ≡ δ értékhez tartozó függvényértékek eltérése. M5. Az a tény, hogy a piros és a kék függvénygörbék szinte teljesen egybeesnek, a következőképpen is elfogadhatóbbá tehető. A ( 12 / 1 ) formula szerint:

tg 2   tg 2 tg  . 1  tg 2

( 12 / 1 )

Ha fennállnak a

tg  ,  tg  ,   tg  ,   tg 2  1 

( 24 )

7

közelítő összefüggések, akkor ( 12 / 1 ) az alábbi alakba írható:

  2  2 ,

( 25 ) ez pedig egy γ sugarú, pozitív ordinátájú körív egyenlete. A kék negyedkör egyenlete ugyanez, γ = 30° mellett. A ( 24 ) közelítésekhez felidézzük az [ 1 ] - ből vett idevágó ismereteket: ~ a tgx  x formula hibahatára 1 % , ha

9,8  x fok  9,8 ; ~ a tgx  x formula hibahatára 10 % , ha 29, 6  x fok  29, 6.

( 26 ) ( 27 )

M6. Az a tény pedig, hogy a ( Ф, γ, δ ) mennyiségek nem ívmértékben, hanem fokban szerepelnek a grafikonokon, azért nem okoz gondot, mert a radiánról fokra való átszámítás állandójával ( 25 ) - öt végigszorozva az egyenlet alakja változatlan marad:

rad  

2 rad



2 rad

;

180  

180 180 rad    2rad  2rad ; de   180 rad  fok , így  180     2  2rad         rad 2

fok

      180     180     2  2 , rad  rad  fok fok       2

2

azaz fok   2fok  2fok .

Önállóan megoldandó feladatok: Ö1.: Az érdeklődő Olvasó készítse el az ( e / 1), ( e / 3 ), ( e / 4 ) eseteknek a 2. ábra szerinti megfelelőit! ( A 2. ábra az ( e / 2 ) esetet tartalmazza. ) Ö2.: Az érdeklődő Olvasó írja fel az ( e / 1), ( e / 3 ), ( e / 4 ) esetekre vonatkozó specializált képleteket! Ö3.: Az érdeklődő Olvasó vizsgálja meg az adott feladatban a ( 24 ) közelítések, illetve a ( 26 ) és ( 27 ) feltételek teljesülésének meglétét, illetve hiányát!

8

Irodalom: [ 1 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. július 14.