´ mechanika tesztfeladatok — 2006 Egi
1
2
Bartha Zsolt 1. Az n t¨omegpontb´ol ´all´o rendszer Lagrange-f´ele ´ertelemben stabil, ha a t¨omegpontok k¨ozti ¨osszes rij t´avols´agoknak... a.) nincs fels˝o hat´ara. b.) v´eges als´o hat´ara van. *c.) v´eges fels˝o hat´ara van d.) ´ert´ekei egyenl˝ok 2. A h´aromtest probl´ema Newton-f´ele mozg´asegyenletei: .. .. .. ∂U ∂U ∂U mi xi = ∂x , mi y i = ∂y , mi z i = ∂z , i = 1, 2, 3, ahol i i i −→ −→ −→ a.) U = k mr112m2 + mr223m3 + mr331m1 , rij =q r ij q=q r j + r i q . −→ −→ −→ *b.) U = k 2 mr112m2 + mr223m3 + mr331m1 , rij =q r ij q=q r j − r i q . −→ −→ −→ m2 m3 m3 m1 1 m1 m2 c.) U = k r12 + r23 + r31 , rij =q r ij q=q r j + r i q . 1. ´abra: A h´aromtest probl´ema 3. Az E excentrikus anom´alia a t id˝opont ismeret´eben a(z) a.) E + e cos E = n(t − τ ) b.) E − e sin E = n1 (t + τ ) c.) E − e cos E = n(t + τ ) *d.) E − e sin E = n(t − τ ) Kepler egyenletb˝ol hat´arozhat´o meg. 4. A k¨ovetkez˝o mozg´asegyenletek: ..
..
..
∂U ∂U ∂U i i i ξ i = miM , η i = miM , ς i = miM , i = 1, 2, ..., n. Mi−1 ∂ξi Mi−1 ∂ηi Mi−1 ∂ςi *a.) Jacobi-f´ele koordin´at´akra vonatkoz´o mozg´asegyenletek az n-test probl´ema eset´en. b.) Descartes-f´ele koordin´at´akra vonatkoz´o mozg´asegyenletek elliptikus p´alya eset´en. c.) relativ mozg´asegyenletek p´aly´aj´ara vonatkoznak. d.) az n-test probl´ema els˝o integr´aljaira vonatkoznak. e.) t¨omegk¨oz´eppontra vonatkoztatott relativ mozg´asegyenletek. f.) az n-test probl´ema Newton-f´ele mozg´asegyenletei.
5. A p´alyasik helyzet´et megad´o i ´es Ω sz¨ogeket a ~c = (c1 , c2 , c3 ), c =q ~c q impulzusmomentumf¨ uggv´eny´eben az al´ abbi ¨osszef¨ ugg´esek adj´ak: c1 = c sin i sin Ω, c1 = c cos i cos Ω, c2 = c cos i cos Ω, a.) b.) c2 = −c cos i sin Ω, c3 = c sin Ω. c3 = c sin i.
3 c1 = c sin i sin Ω, c2 = −c sin i cos Ω, *c.) c3 = c cos i.
c1 = c sin i cos Ω, d.) c2 = c sin i sin Ω, c3 = c cos Ω.
4
Csat´ ari Istv´ an 1. Az n-test probl´ema b´armely megold´asa eseten l´etezik olyan h ∈ R ´allando, amelyre T + V = h, ∀t ∈ [to, tv] , Hogy nevezz¨ uk a T-t? a) a rendszer kinetikus energi´aja. b) a rendszer potenci´alis enerig´aja c) impulzusmomentum-integr´al d) ´alland`o 2. Hanyad rendˆ u a k´ettest probl´ema mozg´as´at le`ır`o differenci´al-egyenletrendszer? a)12 b) 8 c)10 d)14 3. Milyen probl´em´anak nevezz¨ uk a k¨ovetkezˆo, a mechanik´aban klasszikusnak sz´amit`o probl´em´at? ”Hat´arozzuk meg egy m t¨omegˆ u t¨omegpont mozg´as´at egy r¨ogz`ıtett helyzetˆ u m’ t¨omegˆ u pontszerˆ u test k¨or¨ ul a Newton-f´ele k¨olcs¨on¨os gravit´aci`os vonz`oerˆo hat´as´ara.” a) Newton-probl´ema vagy egycentrum probl´ema b)Sundman-probl´ema c) kettest-probl´ema d)n-test probl´ema 4. Hogyan sz`ol helyesen Kepler I. ´altal´anos`ıtott k´eplete? 1. A k´ettest-probl´ema eset´en a P2 pontnak P1 k¨or¨ uli relat`ıv p´aly´aja egy P1 f`okusz` u k` upszelet. 2. A k´ettest-probl´ema eset´en a P1 pontnak P2 k¨or¨ uli relat`ıv p´aly´aja egy P1 f`okusz` u k` upszelet. 3. Az n-test probl´ema eset´en a P2 pontnak P1 k¨or¨ uli relativ p´aly´aja egy P1 f`okusz` u k` upszelet. 4. Az n-test probl´ema eset´en a P1 pontnak P2 k¨or¨ uli relativ p´aly´aja egy P1 f`okusz` u k` upszelet. 5. Hogyan nevezz¨ uk azokat a mozg´asokat amelyek soran a Lagrange-f´ele megold´asokban a h´arom t´omegpont konfigur´aci´oja ¨onmag´ahoz hasonl´o marad? a) Homografikus mozg´as b)Homografitikus mozg´as c) relat´ıv egyens´ ulyi mozg´as d) Lagrange-f´ele mozg´as
5
Katona J´ ulia 1. Hat´arozzuk meg az n sz´am´ u (n ≥ 2, n ∈ N ) pontszer˝ u test mozg´as´at, ha r´ajuk csak ..... hatnak. a.) a gyorsul´asi er˝ok; b.) a Newton-f´ele k¨olcs¨on¨os gravit´aci´os vonz´oer˝ok; c.) t¨omegvonz´asi er˝ok; d.) sebess´egi er˝ok. 2. A Lagrange-Jacobi egyenlet alakja: a.) I¨ = 2U + 4h; b.) I¨ = 4U + 2h; c.) I¨ = U + h; d.) I¨ = 2U + 2h. 3. Ha a rendszer Lagrange-f´ele ´ertelemben stabil, akkor k¨ovetkezik, hogy (h0 baricentrikus energia ´alland´o) a.) h0 = 0 ; b.) h0 = c; c.) h0 < 0; d.) h0 > 0. 4. Kepler III. ´altal´anos t¨orv´enye: Elliptikus mozg´as eset´en a T sziderikus kering´esi peri´odus n´egyzet´enek ´es a p´alya a f´el nagytengelye k¨ob´enek ar´any´ara ´erv´enyes a k¨ovetkez˝o: 2 3 2 2 2 2 2 . a.) Ta3 = 4πµ ; b.) Ta 2 = 4πµ ; c.) Ta3 = 4πµ2 ; d.) Tµ = 4π a3 5. Elliptikus mozg´ o pont v sebess´eg´ere ´erv´enyes a ..... ¨osszef¨ ugg´es. as eset´e2 n a mozg´ 1 1 2 2 1 1 2 2 a.) v = µ r − a ; b.) v = µ r − a ; c.) v = µ r + a ; d.) v 2 = µ 2r − a1 . Helyes v´alaszok: 1. 2. 3. 4. 5.
b.) a.) c.) a.) d.)
6
Kocsis Zsolt 1. Az n-test probl´ema eset´en a mozg´asegyenletek h´any klasszikus els˝o integr´alja ismeretes? (a) 6 (b) 9 (c) 10 (*) (d) 12 2. Melyik p´alyaelemet szoktuk Ω - val jel¨olni? (a) a pericentrum´atmenet argumentum´at (b) a felsz´all´o csom´o sz¨ogt´avols´ag´at (*) (c) a p´alyahajl´as sz¨og´et (d) a pericentrum´atmenet id˝opontj´at 3. Az n t¨omegpontb´ol ´all´o rendszer Lagrange ´ertelemben stabil, ha: (a) a baricentrikus energia´alland´o szigor´ uan pozit´ıv (b) a t¨omegk¨oz´eppont nyugalomban van (c) a t¨omegpontok k¨ozti u ¨tk¨oz´esek kiz´artak (d) a t¨omegk¨oz´eppontok k¨ozti ¨osszes rij t´avols´agnak v´eges fels˝o korl´atja van (*) → − 4. A relat´ıv mozg´as b´armely megold´as´ahoz l´etezik olyan λ ´ alland´ o (Laplace) vektor, amelyre (a) ~r˙ × ~c − µr ~r = ~λ (*) (b) ~r × m~r˙ = ~λ 2 (c) m~v + h = ~λ 2
(d) ~r¨ × ~c − µ~r = ~λ 5. 1772-ben Lagrange a h´atromtest probl´ema olyan megold´asait kereste, amelyben a t¨omegpontok k¨ozti t´avols´agok ar´anya ´alland´o. Melyik ´all´ıt´as NEM igaz? Lagrange szerint az eml´ıtett felt´etelnek eleget tev˝o megold´as tetsz˝oleges t¨omegek eset´en csak u ´gy lehets´eges, ha (a) mindegyik testre hat´o ered˝o vonz´oer˝o ´atmegy a rendeszer t¨omegk¨oz´eppontj´an
7 (b) a testek gyorsul´asai egyenesen ar´anyosak a megold´asok t¨omegk¨oz´eppontt´ol m´ert t´avols´agukkal (c) a 3 test mozg´asa k¨ ul¨onb¨oz˝o s´ıkokban t¨ort´enik (*) (d) a kezd˝o hely- ´es sebess´egvektor k¨ozti sz¨og mindegyik testn´el ugyanakkora
8
Kov´ acs Zsolt 1) Az n-test probl´ema b´armely megold´asa eset´en l´etezik olyan h∈ R ´alland´o, amelyre T + V = h, b´armely t∈ [t0 , tv ] ekkor T= 12
n P
− → mi vi2
i=1
a) a mechanikai energia (x) b) a kinetikus energia c) a mozgasi energia d) a t¨omegvonz´asi energia e) a rendszer ¨oszt¨omege 2) Ha n-test probl´ema est´en az egyik test t¨omege sokkal nagyobb a t¨obbi test t¨omeg´en´el akkor a kissebb testek mozg´as´at a) a leggnagyobb test gravit´acios hat´asa hat´arozza meg (x) b) f˝oleg a legnagyobb test gravit´acios hat´asa hat´arozza meg c) a mozg´ast mindig az els˝o test gravit´acios hat´asa hat´arozza meg d) a mozg´ast mindig az utolso test gravit´acios hat´asa hat´arozza meg e) nem adhatunk altal´anosit´ast a mozg´asra 3) A v´altoz´o t¨omeg¨ u test mozg´asegyenlete: → − → − u a) m ddtv = dm dt → dm − − → d− v b) m dt = m F + dt → u → → d− v dm − c) m dt = dt F → − → − → − (x) d) m ddtv = F + dm u dt
4) Az Euler Lagrange f´ele mozg´asok eset´en Lagrange 1772-ben h´any megold´ast tal´alt
9 a) 3 b) 2 (x)c) 5 d) 1 e) 10 − → − 5) Az n-test probl´ema b´armely megold´asa eset´en l´eteznek az → a , b a´lland´o vektorok, amelyekre → − → es m− → − 0 − m− r→ r→ armely t∈ [t0 , tv ] C =a ´ C = a t + b , b´ ekkor m=
n P
i=1
a) az ´atlagos t¨omeg b) az els˝o komponens t¨omege (x) c) a pontrendszer ¨osszt¨omege d) a relativ t¨omeg e) az utols´o komponens t¨omege
mi
10
Kudor Rudolf 1.A Lagrange-f´ele stabilitas szukseges feltetele, hogy: a)h0 < 0 b)h0 > 0 c)h0 = 0 helyes(a) 2.(Az energiaintegral)A relativ mozgas barmely megoldasa eseten letezik olyan h ∈ R allando, amelyre: ·
a) b)
1 → 2 (r) 2 · 1 → 2 ( r ) 2 · → 2
−
µ r
6= h, ∀t ∈ [t0 , tv ]
−
µ r
= h, ∀t[t0 , tv ]
c) ( r ) − µr = h, ∀t[t0 , tv ] helyes(b) 3.A Jacobi-fele koordinatakra vonatkozo mozgasegyenletek alkalmazhatok a: a)A Hold mozgasegyenletei felirasara b)A Hold -Fold tavolsag kiszamitasara c)A Nap tomegenek meghatarozasara helyes(a) 4.Perturbalt kettest problema feltetelezi hogy: a) P1 tomege hozzavetolegesen megegyezik P2 tomegevel b) P1 tomege sokkal kisebb P2 tomegenel c)a tomegek elhanyagolhatok helyes(b) .. 5. I = 2U + 4h a)Lagrange-Jacobi egyenlet b)Gauss-egyenlet c)nincs ilyen egyenlet helyes(a)
11
L´ aszl´ o Tam´ as 1. K´ erd´ es. Egy n t¨omegpontb´ol ´all´o rendszer P0 t¨omegk¨oz´eppontj´an ´atmen˝o ´es a ~c = P n (~ r × mi~r˙i ) impulzusmomentum vektorra mer˝oleges s´ık a: i=1 i 1. Lagrange-f´ele invari´abilis s´ık 2. Laplace-f´ele invari´abilis s´ık (?) 3. Laplace-f´ele baricentrikus s´ık 4. Lagrange-Jacobi-f´ele invari´abilis s´ık. 2. K´ erd´ es. Mi a felt´etele annak, hogy egy n t¨omegpontb´ol ´all´o rendszer Lagrange ´ertelemben stabil legyen? 1. R → ∞ 2. h < 0 3. h0 ≥ 0 4. h0 < 0 (?). 3. K´ erd´ es. Felt´etelezve, hogy a vonatkoztat´asi rendszer k˝ozeppontja a t¨omegk¨oz´eppontba van, az ~rij vektorok kifejezhet˝ok a Jacobi-f´ele helyvektorok seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝ok´eppen: P mk 1. ~rij = ρ~i − ρ~j + j−1 ~k k=1 Mk ρ 2. ~rij = ρ~j − ρ~i +
Pj
3. ~rij = ρ~j − ρ~i +
Pj−1
4. ~rij = ρ~j − ρ~i +
Pj−1
mk ~k k=1 Mk ρ mk ~k k=1 Mk ρ
(?)
Mk ~k , k=1 mk ρ
ahol 1 ≤ i < j ≤ n. 4. K´ erd´ es. Milyen felt´etel sz¨ uks´eges h´arom t¨omegpont szimult´an t¨ort´en˝o u ¨tk¨oz´es´ehez v´eges id˝oben? 1. a rendszer impulzusmomentum´ara c < 0 2. a rendszer impulzusmomentum´ ara c ≥ 0 3. a rendszer impulzusmomentum´ ara c 6= 0 4. a rendszer impulzusmomentum´ ara c = 0 (?).
12 5. K´ erd´ es. uli relat´ıv mozg´asa, q Mi lesz a k´ettest probl´ema eset´en a P2 pontnak a P1 k¨or¨ c2 ha az e = 1 + 2h µ2 < 1? 1. parabola 2. hiperbola 3. ellipszis (?) 4. harmadfok´ u g¨orbe.
0.1. HOGY NEVEZIK AZ I-T A LAGRANGE-JACOBI EGYENLETBEN?
13
Nagy Ern˝ o 0.1.
Hogy nevezik az I-t a Lagrange-Jacobi egyenletben?
a.) t¨omegpont b.) energiaintegr´al c.) tehetetlens´egi nyomat´ek
0.2.
Minek a vizsg´ alat´ aval foglalkozik az n-test probl´ ema?
a.) a bolyg´ok kering´es´evel egy csillagrendszerben b.) n bolyg´o helyzet´enek meghat´aroz´as´aval, amikor azokra csak a k¨olcs¨on¨os t¨omegvonz´asi er˝o hat c.) bolyg´ok forg´as´aval
0.3.
Mi az el˝ onye az n-test probl´ ema rekurzi´ os megold´ as´ anak a numerikus m´ odszerrel szemben?
a.) gyorsabb ´es pontosabb is b.) kevesebb inform´aci´ora van sz¨ uks´eg c.) a kis bolyg´ok p´aly´aja elhanyagolhat´o
0.4.
Hogyan ´ırhat´ o fel a p´ alya egyenlete parabolikus mozg´ as eset´ en
a.) r = 1+e4pcos v b.) r = 1+e2pcos v p c.) r = 1+cos v
0.5.
Hogy n´ ez ki a Kepler egyenlet?
a.) r = 1+epcos v b.) r = E + sin E = M c.) E − e sin E = M
14
0.6. 1.c) 2.b) 3.a) 4.c) 5.c)
Megold´ asok:
´ 0.6. MEGOLDASOK:
15
´ Nagy Eva Figyelem!! Legal´abb egy v´alasz helyes! 1. K´ erd´ es. A Lagrange-Jacobi egyenlet alakja: → b) I = R + m− r 2c
a) 2T = 2U + 2h
c) I¨ = 2U + 4h
2. K´ erd´ es. Ha egy rendszer Lagrange- f´ele ´ertelemben stabil, akkor a) h0 ≤ 0
b) h0 < 0
c) h0 = 0
3. K´ erd´ es. A Pi , i ≥ 2, t¨omegpont Jacobi-f´ele helyzetvektora: − → − → a) → ρi = − ri − Ri , i ≥ 2 −−→ → → c) − ρi = − ri − Ri−1 , i ≥ 2
→ − → − b) → ρi = − r− i−1 − Ri ,
i≥2
4. K´ erd´ es. Melyik egyenlet a Kepler egyenlet helyes alakja? a) E − e sin E = n(t − τ ) c) E − e sin E = µ
− 21
·a
− 31
b) E − e sin E = M , ahol M a k¨ oz´epanom´ alia (t − τ )
5. K´ erd´ es. Egy u ¨rhaj´ot ´all´ıtunk r´a a Hold f¨ oldk¨ or¨ uli p´ aly´ aj´ ara, a Hold kering´esi ir´ any´aval megegyez˝ o ir´any´aban elindulva u ´gy, hogy a kezd˝ opillanatban az u ¨rhaj´ o a F¨ old ´es a Hold, ebben a sorrendben, egy egyenesen legyenek. R´ aesik-e valamikor az u ¨rhaj´ o a Holdra? Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert a Hold p´aly´aj´at 383400 km sugar´ u k¨ ornek vegy¨ uk, ´es hanyagoljuk el a Holdnak ´es a Napnak az u ¨rhaj´ora gyakorolt gravit´ aci´ os hat´ as´ at. a) Elhanyagolva a Hold vonz´asi erej´et ez nem fog megt¨ ort´enni. b) Elhanyagolva a Hold vozn´asi erej´et, k¨ or¨ ulbel¨ ul 81 sziderikus h´ onap allatt esik r´ a. c) A Hold vonz´asi erej´et elhanyagolva k¨ or¨ ulbel¨ ul 6, 5 ´ev alatt esik r´ a.
16
P´ asztor D´ aniel 1. A Newton-f´ele gravit´aci´os t¨orv´eny szerint k´et pontszer, m es m’ t¨omeg, egym´ast´ol r t´avols´agra lev test: 2. F =
m∗m0 r2
3. F =
m∗m0 r 0
4. F = G m∗m r2 5. F =
m∗m0 G∗r2
nagys´ag´ u ervel vonzza egym´ast. 2. Az els integr´al meghat´aroz´asa: 1. az id- ´es sebess´eg-koordin´at´akra 2. az er- ´es sebess´eg-koordin´at´akra 3. a hely- ´es sebess´eg-koordin´at´akra 4. az impulzus- ´es sebess´eg-koordin´at´akra fel´ırhat´o funkcion´alis ¨osszef¨ ugg´es. 3. Az n-test probl´ema eset´en a mozg´as teljes ideje alatt ´erv´enyes az I¨ = 2U + 4h, ahol h 1. tehetetlens´egi nyomat´ek 2. id´alland´o 3. energia´alland´o 4. magass´ag 4. Elliptikus mozg´as eset´en a T sziderikus kering´esi peri´odus n´egyzet´enek ´es a p´alya a f´el nagytengely´enek k¨ob´enek ar´any´ara ´erv´enyes a k¨ovetkez ¨osszef¨ ugg´es: 1.
T a3
=
4π µ
2.
T2 a
=
4π µ
3.
T2 a3
=
4π 2 µ
´ 0.6. MEGOLDASOK: 4.
T a
=
17
π µ
5. A korl´atozott h´aromtest-probl´ema egyenleteinek az x˙ = y˙ = x¨ = y¨ = 0 felt´etelt kiel´eg´ıt megold´asait: 1. h´ aromtest-probl´ema megold´asok nak 2. helyettes´ıt´esi megold´asok nak 3. egyens´ ulyi megold´asok nak 4. homog´en megold´asok nak nevezz¨ uk.
18
P´ eter Antal 1. Hogyan n´ez ki n-test probl´ema eset´en a Lagrange-Jakobi egyenlet? .. a. I. = 2U + 4h b. ..I = 2U + 4h c. I. = 2U + h d. ..I = 2U + h e. I = 2(U + h) 2.Milyen egyenlet irja le P2 pont P1 pont k¨or¨ uli mozg´as´at? .
→
µ→ 3 r r .. → → r = rµ2 r . → → r = − rµ2 r .. → → r = − rµ3 r . → → r = − rµ4 r
a. r = b. c. d. e.
3. A k´ettest-probl´ema eset´en a P2 pontnak a P1 k¨or¨ uli relativ p´aj´aja egy P1 fokusz´ u: a. henger b. k´ upszelet c. tetra´eder d. paralelogramma e. h´aromsz¨og 4. Mi annak a felt´etele, hogy egyensulyi megold´as legyen a korl´atozott h´aromtestprobl´ema egyenletein´el? . . .. a. x = y = y = 0 .. . .. b. x = y = y = 0 . . .. .. c. x = y = x = y = 0 . .. d. x = y = 1 . .. . .. e. x = x = y = y = 1 5. Milyen egyenletek a. x=xi + µ b. x=yi + ξ c. x=yi + µ d. x=xi +ξ
megold´asa vezet az egyensulyi megold´asok stabilit´as´ara? y = yi + ξ y =xi + µ y =xi +ξ y = yi + µ
´ 0.6. MEGOLDASOK:
19
Reszler R´ eka ..
1. Az I = 2U + 4h Lagrange - Jacobi egyenletben a rendszer tehetetlens´egi nyomat´eka: n X a) I = ri (x2i + yi2 + zi2 ) i=1
n X
b)I = c) I =
mi (x2i + yi2 + zi2 )
i=1 n X
mi (xi + yi + zi )2
i=1
2. Az n t¨omegpontb´ol ´all´o rendszer Lagrange-f´ele ´ertelemben stabil, ha a) a t¨omegpontok k¨ozti ¨osszes rij t´avols´agnak v´eges fels˝o hat´ara van. b) a t¨omegpontok k¨ozti ¨osszes rij t´avols´agnak nincs v´eges fels˝o hat´ara. c) a t¨omegpontok k¨ozti ¨osszes rij t´avols´ag ´alland´o. 3. Az n-test probl´ema Newton-f´ele mozg´asegyenletei a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´ok: .. X mi mj − r→ ij → a) mi − ri = k 2 , i = 1, 2, ..., n 3 r r ij ij j=1,n j6=i
− b) mi → ri = k 2
..
X mi mj − r→ ij , i = 1, 2, ..., n 2 rij j=1,n
..
X mi mj − r→ ij , i = 1, 2, ..., n 3 r ij j=1,n
− c) mi → ri = k 2
j6=i
j6=i
4. Kepler els˝o t¨orv´enye: a) a bolyg´ok a Nap k¨or¨ ul k¨orp´aly´akon keringenek, melyek egyik f´okusz´aban helyezkedik el a Nap. b) a bolyg´ok a Nap k¨or¨ ul ellipszisp´aly´akon keringenek, melyek egyik f´okusz´aban helyezkedik el a Nap. c) a bolyg´ok a Nap k¨or¨ ul ellipszisp´aly´akon keringenek, melyek egyik f´okusz´aban helyezkedik el a Hold. s c2 5. Az e = 1 + 2h 2 ¨osszef¨ ugg´essel ´ertelmezett e numerikus excentricit´as ´ert´ekei µ szerint a p´alya parabola, hah µ a) e ∈ [0, 1) ⇔ h ∈ − 2 , 0 2c b) e = 1 ⇔ h = 0 c) e > 1 ⇔ h > 0
20 Megold´asok: 1-b 2-a 3-c 4-b 5-b
´ ´ A MOZGAS ´ TELJES IDEJE ALATT ERV ´ ENYES ´ ´ LA 0.7. AZ N-TEST PROBLEMA ESETEN AZ UN.
Sipos Istv´ an 0.7.
Az n-test probl´ ema eset´ en a mozg´ as teljes ideje alatt ´ erv´ enyes az u ´ n. Lagrange-Jacobi egyenlet. Hogyan n´ ez ki ez az egyenlet?
a.)I = 2 · U + 4 · h b.)¨I = 2 ·U + 4 · h c.)I = 4 · U + 2 · h d.)¨I = 4 ·U + 2 · h
0.8.
Tetsz˝ oleges t¨ omegek eset´ en h´ any egzakt partikul´ aris megold´ asa l´ etezik a h´ aromtest probl´ e-m´ anak?
a.) egy b.) h´arom c.) ¨ot d.) hat
0.9.
Kepler III. t¨ orv´ enye: Elliptikus mozg´ as eset´ en a T sziderikus kering´ esi peri´ odus n´ egyzet´ enek ´ es a p´ alya f´ el nagy-tengelye k¨ ob´ enek ar´ any´ ara ´ erv´ enyes a k¨ ovetkez˝ o¨ osszef¨ ugg´ es:
2
2π µ
2
4π µ
2
4π µ2
a.) Ta3 = b.) Ta3 = c.) Ta3 =
22
2
d.) Ta3 =
4π 2 µ
0.10.
Az n-test probl´ ema eset´ en melyik az impulzusmomentum integr´ al?
→ → a.)m · − rc · = − a → − → → b.)m · − rc = − a ·t+ b P → → → c.) ni=1 (− ri × m i − ri · ) = − c d.) 21 ·
Pn
0.11.
i=1
→ mi − vi 2 + V = h
Mi a l´ enyege a k´ etcentrum-probl´ em´ anak?
a.) vizsg´alja egy elhanyagolhat´o t¨omeg˝ u test mozg´as´at, k´et m´asik, ehhez k´epest nagyt¨omeg˝ u, r¨ogz´ıtett helyzet˝ u test gravit´aci´os ter´eben. b.) vizsg´alja k´et pontszer˝ u test mozg´as´at, ha r´ajuk csak a Newton-f´ele gracit´aci´os vonz´oer˝o hat. c.) vizsg´alja k´et pontszer˝ u, elhanyagolhat´o t¨omeg˝ u test mozg´as´at egy harmadik, ezekhez k´epest nagyt¨omeg˝ u test gravit´aci´os ter´eben.
0.12.
Helyes v´ alaszok:
1.b) 2.c) 3.d) 4.c) 5.a)
´ 0.12. HELYES VALASZOK:
23
Stucz Melinda 1. Melyik ´all´ıt´as igaz a impulzusmomentum-integr´al eset´ere: n · X → − → − → − r ×m r = a.) A k´ettest probl´ema b´armely megold´asa eset´en l´etezik r vektor, amelyre i
i
i=1
− → ri
→ b.) Az n-test probl´ema b´armely megold´asa eset´en l´etezik egy − c ´alland´o vektor, amelyre n · X → → → − ri = − c , ∀t ∈ [t0 , tv ] . ri × m i − i=1
→ c.) A k´ettest probl´ema b´armely megold´asa eset´en l´etezik − vi vektor, amelyre T = n X 1 → mi − vi . 2 1=1 2. Melyik az els˝o integr´alok alkalmaz´asa? a.) A t¨omegk¨oz´eppont integr´alok ´ertelm´eben a Naprendszer t¨omegk¨oz´eppontja egyenes vonal´ u egyenletes mozg´ast v´egez. b.)Az n-test probl´ema b´armely megold´asa eset´en l´etezik olyan h ∈ R ´alland´o, amelyre T + V = h. c.)A mozg´asegyenletek integr´al´asakor 6n f¨ uggetlen els˝o integr´alra van sz¨ uks´eg, mely ¨osszesen 6n tetsz˝oleges ´alland´ot tartalmaz. 3.Melyik a Lagrange-Jacobi egyenlet alakja? ··
a.) h = I + 2U
·
··
b.) U = I + 2h c.) I = 2U + 4h ·
− → → −c v´altoz´onak? r =− c egyenletben szerepl˝o → 4.Mi a neve a → r ×− a.) impulzusnyomat´ek vektor b.) impulzusmomentum c.) impulzusvektor ·· µ→ → r = − 3− 5. A k¨ovetkez˝o egyenletben − r , melyik a µ v´altoz´o ´ert´eke? r m1 + m2 3k 2 a.) µ = k 2 (m1 + m2 ) b.) µ = c.) µ = k2 m1 + m2 Megold´ asok: 1 −→ b 2 −→ a 3 −→ c 4 −→ b 5 −→ a
i i
24
T´ odor Attila 1.Hogyan nez ki a Lagrange-Jacobi egyenlet? ..
a)I = 2U + 4h b)I=R+mr2 c . c)I = U + 2h d)I=mr2 c helyes (a) 2.Mi a szukseges feltetele a Lagrange fele stabilitasnak? a)h0 > 0 b)h0 < 0 c)h0 = 0 d)h0 ≤ 0 helyes(b) 3.Fejezd be Kepler I.altalanositott tetelet! A kettest-problema eseten a P2 pontnak P1 koruli relati palyaja egy: a) P1 atmeroju kor b) P1 alaku ellipszis c) P1 fokuszu kupszelet d) P1 alaku parabola helyes(c) 4.Az elliptikus mozgasoknal melyik elnevezes jele az ”E”? a)Ellipszis terulete b)Feluleti sebesseg c)Sziderikus keringesi periodus d)Excentrikus anomalia helyes(d) 5.Melyik a helyes keplet a T sziderikus keringes es az n kozepmozgas kapcsolatara nezve: a)n= Tπ b)n= 2π T c)n= 3π T d)n= 4π T helyes(b)
´ 0.12. HELYES VALASZOK:
25
Ungv´ ari Be´ ata 1. A t¨omegvonz´asi t¨orv´eny k´eplet´eben, Fij→ = k 2 a.) b.) c.) d.)
→ mi mj rij , 2 r rij ij
szerepl˝o k-t hogyan nevezz¨ uk?
Newton-f´ele ´alland´o t¨omegvonz´asi ´alland´o Gauss-f´ele gravit´aci´os ´alland´o Jacobi-f´ele ´alland´o.
2. Mi a sz¨ uks´eges felt´etele a Lagrange-f´ele stabilit´asnak? a.) h0 < 0 b.) h0 = 1 c.) h0 ≤ 0 d.) h0 > 0. 3. Az al´abbi k´epletek k¨oz¨ ul melyik az impulzusmomentum integr´al k´eplete? n P . → → → a.) (ri × mi ri ) = c i=1
b.) c.)
1 2
=
n P
n P
mi vi2 + V = h
i=1
ri→ = a→ t + b→
i=1 2
d.) V = − k2
n P i,j=1,j6=i
mi mj . rij .
4. Kinek a nev´ehez f˝ uz˝odik a k¨ovetkez˝o integr´al:r→ × c→ − a.) Jcobi b.) Laplace c.) Einstein d.) Gauss.
µr → r
= λ→ ?
5. Kepler I. ´altal´anos´ıtott t´etele a k¨ovetkez˝o: a.) A k´ettest probl´ema eset´en a P2 pontnak P1 k¨or¨ uli relat´ıv p´aly´aja egy hiperb´ola. b.) A k´ettest probl´ema eset´en a P2 pontnak P1 k¨or¨ uli relat´ıv p´aly´aja egy P1 f´okusz´ u k´ upszelet. c.) A k´ettest probl´ema eset´en a P2 pontnak P1 k¨or¨ uli relat´ıv p´aly´aja egy P1 k¨oz´eppont´ u tetra´eder. Helyes v´alaszok: 1.- c. 2.- a. 3.- a. 4.- b. 5.- b.
