1
Hydrodynamica
1.1
Inleiding Hydrodynamica Vloeistof
bewegingsleer
Leer van beweging van vloeistoffen (en gassen)
1.2
Stationaire Stroming
1.2.1
Stromingsveld
Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld: Neem een willekeurig punt P in een stroming. In P heerst een stromingsveld P(,p,v) met = dichtheid p = druk v = snelheid Als een vloeistofdeeltje zich in punt P bevindt, dan neemt het die waarden (,p,v) aan.
1.2.2
Stroomlijn
Een stroomlijn is de baan gevolgd door een vrij vloeistofdeeltje. Het is de kromme waarin de snelheidsvector raakt in ieder punt. Opmerking: Onderstel altijd een stroomrichting van links naar rechts!
Fysica 2
1
1.2.3
Stationaire Stroming
Als bij een stroming de snelheid een constante is in ieder punt een loodrechte doorsnede, dan is de stroming stationair. V1 en V2 zijn constant, maar V1 V2
1.2.4
Continuïteits vergelijking
Opm erking: vloeist offen zijn niet sam endrukbaar! V1 = V2 (grote V = volume) S1 * l 1 = S2 * l 2 l 1 = v 1 * t l 2 = v 2 * t S1 * v 1 * t = S2 * v 2 * t S*v = constante S*v = D (debiet) [
m³ ] s
Het debiet blijft altijd constant!
Fysica 2
2
1.2.5 p=
Druk F S
[ p]=[
N ] = Pa m²
Oefening: 1.
Bereken de druk die je zelf uitoefent op de stoel waarop je zit.
F = mg =
70kg 9,81
m = 686,7N s²
S = 0,35m * 0,35m = 0,1225m²
p=
686,7 N F = = 5605,7 Pa S 0,1225 m²
2. Maak een schatting van je eigen volume.
m m m = V V = V kg Bij benadering: = 1 l 70kg V = = 70l kg 1 l =
1.2.6
Kracht van een vloeistof in rust
Bij een vloeistof in rust staat de kracht die de vloeistof uitoefent altijd loodrecht op de wand. F 1 = normale component
F 2 = tangentiële component = F1 F 2 F F 2 zou een beweging langs de wand veroorzaken. Dit is in strijd met de voorwaarde (vloeistof in rust). valt samen met F 1 F
Fysica 2
3
1.3
Wet van Bernoulli Tussen t 1 en t 2 schuift de vloeistof op. De volumes blijven gelijk. Voorwaarden: de stroming is stationaire de vloeistof is niet samendrukbaar ( minder bruikbaar bij gassen) de vloeistof is niet visceus (geen wrijvingskrachten)
p1 (stuwende factor)>p2 (remmende factor) Kracht
Arbeid
p1 S1
p 1 S1 l 1 cos 0°
p 2 S2
p 2 S2 l 2 cos 180°
G (=mg)
mg(h 2 – h 1 )cos 180°
W = Ek
Ek =
1 1 m v² 2 mv² 1 = p1 S 1 l 1 p 2 S 2 l 2 mg h 2 h1
2 2
S1l1 = V1 = S2l2 = V2 = V met m = V
1 1 V v² 2 V v² 1 2 2 1 1 p 1 p2 gh 2 gh 1 = v² 2 v² 1 2 2 1 1 p 1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2 1 p gh v² = constante = Wet van Bernouilli 2 p 1 V p2 V V g h2 h 1 =
Fysica 2
4
1.3.1
Bespreking
p gh
1 v² = constante 2
p: Ep van de omringende vloeistof p + gh: de statische druk gh: ongeveer gelijk aan de Ep van de gravitatie
1 v² : de dynamische druk (enkel aanwezig als er stroming is), ongeveer gelijk 2 aan Ek De wet van Bernouilli is de wet van behoud van energie (Ep + Ek = cte) toegepast op vloeistoffen.
1.4
De wet van Torricelli
Vraagstuk: Beschouw een waterstraal die uit een kraan stroomt, verticaal naar beneden. De straal wordt smaller naar beneden toe, verklaar: Het debiet blijft gelijk terwijl de snelheid door de valbeweging verhoogt dus de oppervlakte moet verkleinen. (debiet) D=Sv
1.4.1
Uitstroomsnelheid van een groot vat met kleine opening p1
1 1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2
p1 = patm = p2 De wet van Torricelli:
Fysica 2
v² 1 0 1 1 p1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2 1 gh1 = v² 2 gh 2 (delen door ) 2 1 gh1 = v² 2 gh 2 2 v 2 = 2 gh1 gh 2
v 2 = 2gh met (h1 h2) = h
v 2 = 2gh
5
1.4.2
Uitstroomsnelheid van een klein vat met grote opening p1
1 1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2
p1 = patm = p2
1 1 v² 1 gh1 = v² 2 gh2 2 2 1 1 v² 1 gh1 = v² 2 gh 2 2 2 D1 = D2 S1 v1 = S2 v2
v1 =
S 2 v2 S1
2
S 2 v2 v² 2 = 2 gh2 gh1
S1
v² 2 S² 2 S² v² 1 2 = 2g h2 h1
S² 1 S² 1 v² 2 S² 2S² 1 = 2gS² 1 h2 h 1
v2 = v2 =
1.5
2gS²1 h2 h1
S² 2S² 1 2gh met (h2 h1) = h S² 2 1 S² 1
Drukverschil bij een vloeistof in rust p1
1 1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2
v1 = v 2 = 0 p 1 = 1atm p 1 gh1 = p2 gh 2 p 2 = p1 gh1 gh 2 p 2 = p1 g h1 gh2
p 2 = p1 gh met (h1 h2) = h
F S F = pS = p1 gh S
Kracht op de bodem:
Fysica 2
p=
6
1.5.1
Hydrostatische paradox
Beschouw drie vaten met een verschillende vorm maar met gelijk grondvlak die gevuld zijn met eenzelfde vloeistof tot dezelfde hoogte.
In alle drie de vaten is de druk op de bodem gelijk wegens:
F = pS = p1 gh S Stel dat de atmosfeerdruk veranderd (= p1 ), dan wordt die drukverandering onveranderd doorgegeven dieper in de vloeistof. (Wet van Pascal) Oefening: Bereken de druk die op een duiker inwerkt op 5m diepte als de luchtdruk 1,013 bar is. 1,013 bar = 1,013 . 10 5 Pa
p 2 =1,013 10 5 Pa 9,81
kg m 5 m 1000
s² m³
= 150350 Pa
1.6
De kwikmanometer
1.6.1
Gesloten kwikmanometer p1
1 1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2
p 1 = 0 (vacuum) v 1 = v 2 = 0 (vloeistof in rust) gh1 = p 2 gh2
p 2 = gh 1 gh 2
p 2 = g h = p atm met h = h1 h2
Lengte van de kwikkolom: 76 cm
Fysica 2
7
Vraagstuk: Stel dat we de vloeistof vervangen door water, wat zal dan de hoogte van de kolom zijn? Hg = 13590 kg/m³ water = 1000 kg/m³ hHg = 76 cm Hggh = watergh
h water =
1.6.2 p1
Hg h Hg = 10,33 m water
Open Manometer 1 1 v² 1 gh 1 = p2 v² 2 gh 2 2 2
v1 = v2 = 0 (vloeistof in rust) p2 = patm
p 1 gh1 = p2 gh 2 p 1 = patm gh met h = h2 h1
(*) de druk is gelijk op gelijke hoogte
1.6.3
Druk eenheden
1 atmosfeer = 76 cm Hg = 101300 Pa 1 bar = 105 Pa 1 torr = 1 mm Hg Omrekenen cm water cm Hg ... met 1gh = 2gh
1.7
De horizontale stroombuis
Bij een horizontale stroombuis is h=0
p
1 2 te v = c 2
Fysica 2
8
Snelheid in een vernauwing bij horizontale stroming: S1v1 = S2v2 Het debiet is constant, bij een vernauwing stijgt de snelheid! Oefening: Bereken de druk die een duiker ondervindt op 5m onder de waterspiegel. Met hoeveel % is de druk toegenomen tov de luchtdruk? Wat is de druk in een kwikbad?
p 2 = 1,013 10 5 Pa 1000
m kg 9,81 5 m m³ s²
= 150350 Pa
150350 Pa 100 % =148 % een stijging met 48% 101300 Pa p 2 = 1,013 10 5 Pa 13590
kg m 9,81 5 m m³ s²
= 767890,5 Pa
1.8
De Venturibuis
Doel: bepalen van de snelheid van een stromende vloeistof.
Fysica 2
9
S1 v1 = S2 v2
S 2 v2 en S1
v1 =
v2 =
S 1 v1 S2
p 1 p2 = gh p1
1 1 v² 1 gh 1 = p2 Hg v² 2 gh 2 2 2
h is constant
1 1 v² 1 = p2 Hg v² 2 2 2
p1
S v 1 1 p 1 v² 1 = p2 Hg 1 1 2 2 S2
1 S1 v1 1 Hg gh = v² 1 2 S2 2
Hg gh =
v² 1 =
v1 =
2
2
1.9
S² 1 1 1 v² 1 2 S² 2
2 Hg gh
S² 1 1 S² 2
2 Hg gh
S² 1 1 S² 2
Pitobuis (examenvraag!)
zie handboek: tekening kennen!
1.10
Stroming van niet ideale vloeistoffen
Ideaal: geen wrijving Niet ideaal: wrijving/viscositeit Stationair
v = cte
Fysica 2
Laminair
Turbulent
v = cte per laag
geen snelheidspatroon
10
Laminaire stroming: gelaagde stroming, de snelheid per laagje is constant maar verschilt van laag tot laag. Turbulente stroming: er kan geen snelheidspatroon bepaald worden. Een laminaire stroming gaat altijd over in een turbulente zolang v maar hoog genoeg is. Het overganspunt (vk) is de kritieke snelheid: bij deze snelheid is de stroming nog juist laminair.
1.11
Viscositeit Tussen twee plaatjes (A & B) met oppervlakte S bevindt zich een visceuze vloeistof. Plaatje A wordt met een constante snelheid v0 verplaatst, terwijl B in rust blijft. Er ontstaat een laminaire stroming doordat het onderste laagje in rust blijft terwijl het bovenste laagje zich verplaatst met snelheid v0. Tussenin neemt de snelheid lineair toe van 0 tot v0 voor waarden y van 0 tot d.
v0 y d v dv = 0 dy d dv v 0 = dy d v=
(= snelheidsverval of snelheidsgradiënt)
Wrijvingskracht
Fw = S
dv
dy
Hoe groter het snelheidsverschil tussen de laagjes, hoe groter de wrijvingskracht. is de dynamische viscositeit (sterk temp. afhankelijk) [ ] =
Fysica 2
N Ns = Pa s = m m² s m² m
11
Eenheid voor viscositeit: poise (P) 1 P = 0,1 Pa s Schuifspanning ():
F dv = S dy dv 1 = = = dv dy dy 1 1 [ ] = = = 10 Pa s 1 P 0,1 Pa s =
Kinematische viscositeit: Bij een verticale stroming moeten we rekening houden met de dichtheid (), want de ze is hoogte afhankelijk.
=
oude eenheid: Stokes ( 1 St = 1
m² s
[] = cm² ) s
Newtonse vloeistoffen: (vb water) De viscositeitscoëfficiënt () is constant bij een bepaalde druk en temperatuur. Rheogram van een Newtonse vloeistof:
dv/dy
kleine viscositeit grote viscositeit
Fysica 2
12
Niet-Newtonse vloeistoffen: (vb mayonnaise/emulsie) De viscositeitscoëfficiënt () is variabel bij een bepaalde druk en temperatuur, de spanningen en krachten op en in de vloeistof spelen ook me. kan dus niet worden bepaald. - Pseudo plastische vloeistoffen: (bv verf) Een effect waarbij de viscositeit daalt bij een toenemende schuifspanning. Na het opheffen van de schuifspanning keert de beginviscositeit direct weer terug.
dv/dy
- Dilatante vloeistoffen: (bv drijfzand)
Bij dilatantie neemt de viscositeit toe bij een hogere schuifspanning. Na het opheffen van de schuifspanning keert de beginviscositeit direct weer terug. Hoe groter de afschuifkracht des te hoger is de viscositeit.
dv/dy
Fysica 2
13
1.12
Wet van Poiseuille
Snelheidspatroon van een laminaire stroming voor een cirkelvormige buis.
zijaanzicht Laminair: de snelheid per laag is constant
voorzicht
a=0 v = cte F = m a = 0 p 1 p1 r² = p oppervlakte
p 2 p 2 r² dv Fw = S dr dv p 1 r² p 2 r² S =0 dr dv = 0 2l r = manteloppervlakte
p 1 r² p 2 r² 2 l r dr dv =0 p 1 p 2 r 2 l dr p 1 p 2 r dr = 2 l dv r
p 1 p2
dr 2 l 0 p p2 r v v 0 = 1 r dr 2 l 0 p1 p2 r² r v v 0 = 2 l 2 0 p p2 r² 0 v v 0 = 1 2 l 2 2 p p 2 r² v v 0 = 1 4 l p p 2 r² m et v r de snelheid van een w illekeurig punt v r = v 0 1 4 l v
dv =
v0
[ ]
Fysica 2
14
Als r = R dan is v = 0
0 = v 0 v0 =
v(r)
p1 p 2 R² 4 l
v r = v r =
p1 p 2 R² 4 l
v0
p 1 p 2 R² p1 p2 r² 4 l 4 l
p1 p 2
R²r²
4 l
0 -R
R
Debiet:
D = Sv dD = v dS dD = v d r² m et S = r² dD = v 2 r dr p p 2
dD = 1 R²r² 2 r dr 4 l D R p1 p2
dD = R² r² r dr 0 0 2 l p p 2 R D 0= 1 0 R²r² r dr 2 l p p2 R D= 1 0 R² r r³ dr 2 l R p p R D = 1 2 0 R² r dr 0 r³ dr 2 l
[
]
[ ] [ ]
R p1 p2
r² r4 R² D= 2 l 2 0 4
p1 p2
R² R4 R² 2 l 2 4 4 4 p1 p2
R R D= 2 l 2 4 D=
D=
p1 p2 R4 8 l
Fysica 2
R
0
form ule van Poiseuille voor lam inaire st rom ingen
15
Oefening Door een dun buisje m et d = 1,8 m m in het prot ot ype van een m ot or loopt m ot orolie m et viscositeit van 200 cP bij een t em perat uur van 30°C. Het buisje is 5,5 cm lang. Welk drukverschil is nodig om een debiet van 5,6 m l/m in const ant t e houden?
D=
p1 p2 R4 8 l
p1 p2 =
8 l D R4
3 2 7 820010 Pa s5,510 m0,933310
p 1 p2 =
1.13
1,8103 m 2
4
m³ s
= 3984,5935 Pa
Kritieke snelheid
De krit ieke snelheid (v kr ) is recht evenredig m et de kinem at ische viscositeit
v kr = R e kr
d
Rekr = kritisch Reynoldsgetal (± 2100 voor lange gladde cilindrische buizen) Water heeft bij 20°C een kinematische viscositeit van 1cSt:
106 m m bij d = 2cm : v kr = 2100 = 0,105 2 s 210 s 6 10 m m bij d = 0,5 mm : v kr = 2100 = 4,20 4 s 510 s is
Re =
vd kleiner dan Rekr dan is de stroming laminair
Re = Reynolds getal
1.14
Wet van Stokes
drukweerstand: F = cte v² S wrijvingsweerstand bij bolvormig obstakel: F w = 6 r v = wet van Stokes Elektroforese: zie cursus pg 36
Fysica 2
16
1.15
Viscositeitsmeting
Zinksnelheidsmethode Krachten die inwerken op een bolletje dat in een vloeistof zakt: wrijvingskracht zwaartekracht archimedeskracht
v = c te a = 0 F A = m vl g FA FW = F
F = 0
m vl g 6 r v = mg vl V g6 r v = V g 4 4 vl r³ g6 r v = r³ g 3 3 2 2 vl r² g3 v = r² g 3 3 2 r² g vl
3
= 3v 2 r² g vl
= 9 v Snelheid meten? Met merkstreepjes op een vaste afstand van elkaar (labo fysica)
s = vt v =
=
s met s = afstand tussen de merkstreepjes t
2 r² g vl t 9 s K (=kogelfactor)
Opmerking:
De temperatuur moet constant blijven tijdens de meting De viscositeit moet overal even groot zijn
Andere methoden: rotatieviscosimeter, vloeistof door een capilair laten stromen,...
Fysica 2
17
