11. évfolyam 1 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok 1. a) Hány 5 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? b) Hány 6 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek egyszeri felhasználásával? c) Hányféleképpen léphet be az ajtón Anna, Bea, Csaba és Dani? d) Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé a moziban Dani, Kata és Bence? e) Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót? f) András uzsonnára kap egy krémest, egy Rigó Jancsit, egy mákos rétest és egy kókuszgolyót. Hányféle sorrendben eheti meg a süteményeket?
2. a) Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? b) Hány 4 sávos zászló készíthető 8-féle színből, ha egy színt csak egyszer használhatunk fel? c) Egy 12 csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? d) Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 7-féle festékünk van, és minden háznak különböző színűnek kell lenni? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) e) Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki csak egy könyvet kaphat?
3.
a) Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? b) Hány rendszám készíthető Magyarországon? c) Hány (budapesti) telefonszám osztható ki Magyarországon? (Ismert, hogy a telefonszám alakja: 06-1-xxx – xxxx, és nem kezdődhet 0-val) d) Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) e) Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki több könyvet is kaphat? f) Hány különböző rendszám adható ki, amely három betűből és azt követő három számból áll (az angol ábécé 25 betűt tartalmaz)?
4. a) Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával? b) Hány 5 jegyű szám készíthető 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? 5. a) Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? b) Hány 6 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket többször felhasználhatom? 6. a) Egy 10 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik? b) Egy 6 tagú társaságban mindenki koccint mindenkivel. Hány koccintás történt? 7. Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van, és a szomszédos házak nem lehetnek egyforma színűek? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) 7. a) Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót? b) Hányféleképpen lehet sorba rendezni a következő szavak betűit? SZOMBATHELY MAGYARORSZÁG
MATEMATIKA
KECSKEMÉT
8. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek egyformák, és mindenki csak egy könyvet kaphat?
11. évfolyam 2 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok 9. Hányféleképpen olvashatóak ki a szavak az alábbi ábrákon?
B I Z A L O M
M A T E K
A T E K T E K E K K
I Z A L O M
Z A L O M
A L O M L O M O M M
M I C I M
É R E T
R E T T
I C I M A
C I M A C
I M A C K
E T T S
T T S É
T S É G
M A C K Ó
S Z E R E L Z E R E L E E R E L E M
S É G I
10. a) Hányféleképpen ültethető kör alakú asztal köré 9 lovag? b) Hányféleképpen fűzhető fel 10 különböző színű gyöngy egy láncra? 11. Hányféleképpen ülhetnek a kerek asztal köré a lovagok, ha Sir Lancelot és King Arthur egymás mellé kell, hogy kerüljenek? 12. Hány olyan hatjegyű szám létezik, amelyben van két azonos számjegy? Hány ilyen 15-jegyű szám létezik? 13. a) Egy lottószelvényt hányféleképpen lehet úgy kitölteni, hogy pontosan 4 találatos legyen? b) Egy lottószelvényt hányféleképpen lehet kitölteni, hogy pontosan 3 találatos legyen? c) Magyar kártyából hányféleképpen lehet kiválasztani 5 lapot úgy, hogy legyen köztünk 2 darab zöld? 14. Egy részeg postás figyelmetlenül oszt szét öt levelet azok címzettjeinek. Hányféleképpen teheti ezt meg úgy, hogy senki se a sajátját kapja meg? És úgy, hogy pontosan 1, 2, 3, 4 ill. 5 címzett kapja meg a saját levelét? 15. Hány 65-tel kezdődő hatjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha a számok képzésénél minden számjegy csak egyszer szerepelhet. 16. Egy cég karácsonyi partiján 20 dolgozó között 5 különböző ajándékot osztanak szét. Hányféle jutalmazás lehetséges, ha a) mindenki csak 1 ajándékot kaphat b) egy ember több ajándékot is kaphat? Hogyan változik ez a szám, ha az ajándékok egyformák? 17. Egy könyvespolcon található 150 könyv 14%-a idegen nyelvű. Hányféleképpen lehet közülük 10 könyvet kiválasztani úgy, hogy a kiválasztottak között: a) ne legyen magyar nyelvű b) mind magyar nyelvű legyen. 18. Egy 32 lapos magyar kártyából kihúzni négy lapot. Hányféleképpen választhatjuk ki úgy, hogy a) mind piros legyen,
11. évfolyam 3 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok b) pontosan két piros legyen benne. 19. 5 házaspár foglal helyet egy padon. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házaspárok egymás mellett akarnak ülni? 20. 5 házaspár foglal helyet egy padon. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastársak egymás mellett akarnak ülni, de sem két nő, sem két férfi nem ülhet egymás mellé? 21. Hány 6-tal osztható tízjegyű számot készíthetünk a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből, ha minden számjegyet csak egyszer írunk fel? 22. Egy kerékpárzáron 4 közös tengelyű számkorong van, amiken a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számjegyek vannak. A zár csak egy bizonyos kombinációra nyílik, ami 0-val is kezdődhet. Valaki elfelejtette a kódot. a. Ha percenként 15 esetet tud kipróbálni, akkor a legrosszabb esetben mennyi idő alatt tudja kinyitni a zárat? b. Ha emlékezik rá, hogy legalább egy ötös volt a számok között, akkor a legrosszabb esetben mennyi idő alatt tudja kinyitni a zárat? 23. 12 regény közül az egyik négykötetes, a többi egykötetes. Hányféleképpen tehetjük fel a polcra a könyveket, ha a négykötetest egymás mellé szeretnénk tenni? 24. 8 házaspárt szeretnénk egy kerek asztal mellé leültetni. Hányféleképpen tehetjük meg, ha azonos neműek nem ülhetnek egymás mellett? 25. Hány hatjegyű páros szám alkotható a 2, 2, 3, 5, 6, 6 számjegyekből? 26. Hány hétjegyű szám készíthető a 0, 0, 3, 3, 3, 4, 4 számjegyekből? 27. Hány olyan hatjegyű különböző számjegyekből álló szám van, amelyben négy páratlan számjegy szerepel? 28. Egy 32 fős osztályban 5-tagú projektvezetőséget választ: 1 projektvezetőt, és 4 alprojektvezetőt. Hányféleképpen lehetséges? (Az alprojektvezetők között nem tesznek különbséget!) 29. A vakok részére készített írás a következőképpen készül. Kartonpapírra előrenyomott téglalaphálózat egyes téglalapjaiba lyukakat fúrnak. A lyukak száma 1-től 6-is terjedhet, mégpedig úgy, hogy minden téglalapban, egymás alatti 3-szor 2 hely megfelelő pontjainak kiszúrásával. Az így kapott jeleket a vakok ujjaikkal kitapintva „kiolvassák”. Hányféle jel készülhet? 30. Egy pályázatra 15 pályamunka érkezett. Hányféleképpen lehet a díjazottakat kiválasztani, ha hat egyforma díj van? Hány eset van, ha hat különböző díj van? 31. A BKV járatain még találkozhatsz hagyományos jegylyukasztóval. A jegyeket 1-től 9-ig számozzák, amiből a lyukasztó mindig 3-at lyukaszt ki. Hány BKV jegyet tartott magánál Eszes Elemér, az ellenőr ne büntesse meg?
11. évfolyam 4 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok
Az összes dolgot sorba rakjuk
minden dolog különböző
lehetnek köztük egyformák
ismétlés nélküli permutáció
ismétléses permutáció
Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1·2·...·(n-1)·n=n!
Hányféleképpen lehet sorba rakni n dolgot, ha van köztük egyforma?
például: Hányféle sorrendben ülhet le egymás mellé 5 ember? 5!=1·2·3·4·5=120 például: hányféleképpen lehet sorba rakni 2 kék és 3 piros golyót?
ismétlés nélküli kombináció
Választunk néhányat a dolgok közül (nem számít a sorrend)
Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje és mindegyiket csak egyszer választhatjuk?
például: lottó (90 számból választunk ötöt, nem számít a kiválasztás sorrendje)
Választunk néhányat a dolgok közül és sorba rakjuk őket
ismétlés nélküli variáció Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha számít a kiválasztás sorrendje és mindegyiket csak egyszer választhatjuk?
például: egy 10 csapatos bajnokságban hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón?
ismétléses kombináció (NEM érettségi anyag!) Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje és egy dolgot többször is választhatunk? például: a lottóhúzásnál minden alkalommal visszateszem a kihúzott golyót, így egy szám többször is szerepelhet
ismétléses variáció Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha számít a kiválasztás sorrendje és egy dolgot többször is választhatunk? V=𝑛𝑘 például: totó (a 3 lehetséges végeredményből (1, 2, x) képezünk 14 (13+1) hosszúságú sorozatokat) 314 =4782969
11. évfolyam 5 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok
Klasszikus valószínűség számítási feladatok 1) Dobjunk fel két kockát egyszerre. Mennyi annak a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege 8? Megoldás: A:= a két kockán dobott pontok összege P(A)=? kedvező e.e.sz. 5 , mert összes: P A összes e.e.sz. 36 6 féle
6 féle kimenetel 6 6 36
2;6 6;2 kedvezők a következő számpárok: 3;5 5;3 5 féle kimenetel 4;4 2) Valaki 4 számjegyet ír le találomra egymás mellé. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 2007-t írta le? Megoldás: kedvező e.e.sz. 1 , mert összesen leírhatunk P A összes e.e.sz. 9000 9 féle 10 féle 10 féle számjegyet kedvező egyedül a 2007-es szám.
10 féle
3) Az AALGEBR betűket találomra egymás mellé írva, mennyi annak a valószínűsége, hogy az ALGEBRA szót írjuk le? Megoldás: P A
kedvező e.e.sz. 2 2 0,00039 , mert összes e.e.sz. 7! 5040 a betűk permutációi adják
a 2 kedvező eset a két A betű sorrendjeiből adódik
11. évfolyam 6 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok
4) A 32 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk ki egymás után, visszatevés nélkül. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy másodikra királyt húztunk? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első és utolsó király lesz? Megoldás: a) összes kimenetelek száma:
32 féle 31 féle 30 féle lapból választhatunk összes kimenetelek száma: 32*31*30*29
kedvező kimenetelek összeszámlálása:
29 féle
K
32 féle 4 féle 30 féle lapból választhatunk kedvező kimenetelek száma: 31*4*30*29 kedvező 32 * 4 * 30 * 29 4 PA 0,129 összes 32 * 31* 30 * 29 31
29 féle
5. Mennyi a valószínűsége, hogy 7 kockával dobva pontosan 3 db 1 lesz benne? Megoldás: összes kimenetelek száma : 6f 6f 6f 6f 6f 6f 6f
összes kimenetelek száma: 6 7 kedvező kimenetelek száma: 1 f 1 f 1 f 5 f 5 f 5 f 5f ezt még meg kell szorozni annyival ahányféleképpen előfordulhat 3 helyen az 1 szám, azaz 7 hányféleképpen tudunk 7 helyből 3-at kiválasztani? 3 7 kedvező kimenetelek száma: 54 3 7 4 5 kedvező 3 PA 0,078 összes 67
11. évfolyam 7 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok
6. Egy dobozban 12 db piros golyó van és még valamennyi fehér és zöld. Annak a valószínűsége, hogy pirosat vagy fehéret veszünk ki találomra 2/3. Annak, hogy fehéret vagy zöldet választunk ki találomra 3/5. Mennyi fehér és mennyi zöld golyó van a dobozban? Megoldás: Legyen a fehér golyók száma:x, a zöldeké:y. A piros vagy fehér golyó választásának valószínűsége: Ppvf A fehér vagy zöld golyó választásának valószínűsége: Ppvz
kedvező 12 x 2 összes 12 x y 3
kedvező xy 3 összes 12 x y 5
Ilye módon egy két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszerhez jutunk, annak a megoldását keressük. Az elsőből kifejezzük x-t: 12 x 2 3 12 x 2 12 x y 36 3x 24 2 x 2 y 12 x y 3 x 2 y 12 Ezt a második egyenletbe helyettesítjük: x y 3 2 y 12 y 3 3 y 12 3 5 3 y 12 9 y 12 x y 5 12 2 y 12 y 5 3y 5 15 y 60 9 y 6 y 60 y 10 és x 2 10 - 12 8
Tehát 8 fehér és 10 zöld golyó van a dobozban. Gyakorló feladatok 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 3 kockával dobva pontosan két 6-ost dobunk? 2. 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 5 lapot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) köztük lesz a zöld király b) nem lesz köztük zöld lap c) mindegyik zöld lesz? 3. A következő betűink vannak: TTTOLLARÓ. A betűket véletlenszerűen kirakjuk egymás mellé. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ki tudjuk olvasni a TOLLTARTÓ szót? 4. Egy kör alakú asztal mellett nyolcan teáznak, 3 férfi és 5 nő. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két férfi nem kerül egymás mellé, ha a helyeket találomra választjuk ki? 5. Egy alkatrészeket gyártó gép a napi 250 db-jából 2% selejtet készít. A nap végén találomra kiválasztunk 8-t. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a) a felénél több selejt lesz köztük b) nem lesz benne hibás c) pontosan 2 db lesz köztük, ami nem szabványos?
11. évfolyam 8 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok
Statisztika A statisztika tömegjelenségekben érvényesülő tapasztalati törvényeket tár fel a sokaság részhalmazain (mintákon) elvégzett mérésekre alapozva. Statisztikai sokaságnak nevezzük az objektumok, események azon összességét, amelyre a statisztikai vizsgálat vonatkozik. A statisztikai sokaság tagjait egyedeknek, a sokaságot alkotó egyedek számát pedig a statisztikai sokaság méretének nevezzük. Az egyedek vizsgált tulajdonságait ismérveknek, az ismérv egy konkrét előfordulását pedig adatnak nevezzük. Statisztikai mintának nevezzük a statisztikai sokaság azon – valódi – részhalmazát, amelyről adatokkal rendelkezünk. A statisztikai mintával szemben alapkövetelmény, hogy reprezentatív legyen, azaz hűen tükrözze azt a sokaságot, amelyből való, és a lehető legtöbb információt nyújtsa a vizsgált ismérvvel kapcsolatos ismeretlen eloszlásról. Gyakoriság, gyakorisági eloszlás, osztályokba sorolás Egy adat (abszolút) gyakoriságán azt a számot értjük, ahányszor az adat a mintában előfordul. A lehetséges adatokból és gyakoriságukból álló párok gyakorisági eloszlást alkotnak. A gyakorisági táblázat a lehetséges adatokat és azok gyakoriságait tartalmazza. Egy adat relatív gyakoriságán gyakoriságának és a minta elemszámának hányadosát értjük. Adatok ábrázolása, rendszerezése Táblázat: Az adatok áttekinthetőbbé, könnyebben feldolgozhatóvá válnak, ha táblázatba rendezzük őket. Görbe, vonaldiagram: Derékszögű koordináta-rendszerben görbékkel vagy összefüggő töröttvonallal szemléltetjük az adatok változását, egymáshoz való viszonyát. Oszlopdiagram: Az ábrázolandó mennyiséggel arányos magasságú téglalapok (oszlopok) alkotják. Az oszlopok szélessége egyenlő, de szabadon megválasztható. Akkor használjuk, ha az adatok változását, egymáshoz való viszonyát akarjuk szemléltetni. Akkor ne használjuk, ha van egy kiugróan nagy adat, mert akkor a többi nehezen összehasonlítható egymással. Akkor sem célszerű használni, ha nagyon kicsit térnek el egymástól az adatok. Kördiagram: Általában relatív gyakoriságok ábrázolására használjuk. Egy körben az ábrázolandó adatok relatív gyakoriságaival arányos középponti szögű körcikkek alkotják. A teljes kör jelenti a 100%-ot. A kördiagramon az egyes adatok gyakoriságát is fel lehet tüntetni. Akkor használjuk, ha az egyes adatoknak az egészhez (100%-hoz), illetve az egymáshoz való viszonyát akarjuk szemléltetni. Akkor ne használjuk, ha túl sok adat van, vagy ha kicsi adatok mellett nagyon nagy is szerepel, mert ebben az esetben nehéz az adatok összehasonlítása. Tortadiagram: A kördiagram térbeli megfelelője. A térbeli elforgatás miatt torzítja a középponti szögeket, ami megnehezíti az összehasonlításokat.
11. évfolyam 9 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok
Középértékek A mintában leggyakrabban előforduló adatot a minta móduszának nevezzük. Ha több ilyen van, akkor azok a móduszok halmazát alkotják. A minta nagyság szerint rendezett adatai közül a középsőt mediánnak nevezzük. Páratlan számú adat mediánján a középső ( -edik) adatot értjük. Páros számú adat mediánja a két középső adat (n-edik és -edik) számtani közepe. A statisztikai minta adatainak számtani közepe: 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑥= 𝑛 A szóródás jellemzői A minta terjedelme a legnagyobb és a legkisebb adat különbsége. A minta átlagos négyzetes eltérése a számtani középtől számítva a minimális. A minta adatainak a számtani közepüktől való átlagos négyzetes eltérését a minta szórásnégyzetének nevezzük. (𝑥1 − 𝑥)2 + (𝑥2 − 𝑥)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥)2 𝐷2 = 𝑛 A minta szórása (D) a szórásnégyzetéből vont négyzetgyök. A minta adatainak az számtani közepüktől való átlagos abszolút eltérését a minta átlagos abszolút eltérésének nevezzük. 𝑆= Feladatok statisztikából 1.)
osztályzat gyakoriság relatív gyakoriság
1 4
|𝑥1 − 𝑥| + |𝑥2 − 𝑥| + ⋯ + |𝑥𝑛 − 𝑥| 𝑛 2 3
3 5
4 6
5 3
a) Készíts oszlop-, és kördiagramot! b) Hány tanuló kapott négyesnél jobbat? A tanulók hány százaléka kapott hármast? c) Mennyi a csoport átlaga, módusza, mediánja? d) Mekkora a jegyek szórása, átlagos abszolút eltérése? 2.) Betöltetlen tanári állások: gimnázium szakközépiskola szakiskola
1996/97 1997/98 1998/99 1999/2000 122 87 70 95 330 416 422 515 108 96 145 136
Készíts oszlop-, és kördiagramot (külön-külön iskolatípusok szerint)!
11. évfolyam 10 Kombinatorika, valószínűségszámítás; Statisztika – GYAKORLÓ feladatok 3.) Egy háztartás havi kiadása: Kiadási csoport Százalékos arány Élelmiszer 20% Élvezeti cikkek 8% Ruházkodás 6% Fűtés 11% Tartós fogyasztási cikkek 5% Szolgáltatás Egyéb a) Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! b) Készíts kördiagramot!
középponti szög
54 fok
4.) 80 lakásos társasház lakások alapterületi eloszlása: alapterület 35 50 62 70 85 100 lakásszám 10 22 14 11 8 15 a) Számolja ki a különböző alapterületű lakások relatív gyakoriságát! b) Ábrázolja kördiagramon az alapterület szerinti százalékos eloszlást! c) Adja meg a lakások alapterületeinek móduszát, mediánját és számtani közepét! 5.) Történelem dolgozat (5 -20%; 4 – 34,3 %; 3 – 25,7%; 2- 8,6%; 1 – 11,4%)
Értékesítés ötös
négyes
a) Készítse el a jegyek gyakorisági táblázatát! b) Ábrázolja oszlopdiagramon a jegyek gyakoriságait! c) Adja meg a jegyek átlagos abszolút eltérését és átlagos minimális eltérését!
hármas kettes
6.)
Minta 10
a)
Készítsen táblázatot!
b) Adja meg a minta móduszát és mediánját!
8
c) Számítsa ki a minta számtani közepét, szórását!
6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
d) Adja meg a móduszt és a mediánt, ha kihagyjuk a 15-ös értéket! e) Hogyan változik a számtani közép és a szórás a 15 kihagyásával? Indokolja meg ezek alapján, hogy miért tekintendő kiugró adatnak a 15!
