Dynamický model změny vztahu soupeření na vztah spolupráce

MASARYKOVA UNIVERZITA V

BRNĚ

PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

Diplomová práce

Dynamický model změny vztahu soupeření na vztah spolupráce Hana Veselá

BRNO

2006

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury.

Děkuji vedoucímu diplomové práce RNDr. Zdeňkovi Pospíšilovi, Dr. za odborné ve dení v oblasti matematiky, děkuji doc. PhDr. Lubomíru Kostroňovi, M.A., C.Sc. za odborné konzultace v oblasti psychologie, děkuji Mgr. Markovi Šustovi, Ph.D., M.B.A. za odborné konzultace v oblasti systémově dynamických modelů, děkuji Ing. Petru Prokopovi, C.Sc, M.B.A. a Ing. Česlavu Veselému za odborné konzultace v ob lasti pojišťovnictví. Všem děkuji za cenné rady a připomínky k diplomové práci, stejně tak za čas, který mi věnovali.

Seznam zkratek

SD

Systémová dynamika

CLD

Causal loop diagram; příčinný smyčkový digram

R, RL

Reinforcing loop; zesilující smyčka

B, BL

Balancing loop; vyrovnávající smyčka

R-K 2

Runge-Kuttova metoda 2. řádu

R-K 4

Runge-Kuttova metoda 4. řádu

MIT

Massachusetts Institute of Technology

PU

pojistná událost, pojistné události

Obsah Úvod I

8

Teoretická část

10

1

M o d e l o v á n í a simulace

11

2

Diferenciální rovnice

13

2.1

Úvod

13

2.2

Systémy nelineárních diferenciálních rovnic

13

2.3

Numerické medtody řešení diferenciálních rovnic

20

2.3.1

Eulerova metoda

20

2.3.2

Runge-Kuttovy metody

21

3

Teoretický základ s y s t é m o v é d y n a m i k y

24

3.1

Úvod

24

3.2

Vznik systémové dynamiky

24

3.3

Komplexní dynamické systémy

25

3.4

Příčinný smyčkový diagram

27

3.4.1

28

3.5

3.6 4

Příklad: Dynamika populace

Diagramy akumulací a toků

29

3.5.1

31


Simulace

32

M a t e m a t i c k ý základ s y s t é m o v é d y n a m i k y

33

4.1

33

Příčinný smyčkový diagram 5

OBSAH

5

II

6

4.1.1

Základní pojmy z teorie grafů

33

4.1.2


34

4.1.3

Polarita

35

4.2


36

4.3

Základní smyčky

38

4.3.1

Zesilující smyčka

39

4.3.2

Vyrovnávací smyčka

43

Závěr

48

Dynamický model změny vztahu soupeření na vztah

spolupráce

49

1

Úvod

50

2

Formulace p r o b l é m u

52

2.1

Definice problému

52

2.2

Základní pojmy

53

2.3

Klíčové proměnné

53

3

4

Formulace d y n a m i c k é h y p o t é z y

55

3.1

Formulace výchozí hypotézy

55

3.2

Výchozí příčinný smyčkový diagram

56

3.3

Určení problému

58

3.4

Návrh řešení

59

Formulace simulačního m o d e l u

63

4.1

Motivační cyklus obchodníka

64

4.2

Rozhodování obchodníka o riziku

65

4.3

Produkce pojistných smluv

67

4.4

Koloběh smluv

68

4.5

Výkonnost Likvidace

70

4.5.1

70

Výkonnost jednotlivých likvidátorů

OBSAH

7

4.5.2

Počet likvidátorů - model náboru a propouštění

4.6

Spokojenost klienta

73

4.7

Přerozdělování provizí

73

4.8

Výplata Likvidace

75

4.9

Zisk

76

5 Simulace a hodnocení politik

6

72

82

5.1

Bohatství Obchodu a uzavírání smluv

83

5.2

Riziko

84

5.3

Vznik PU, likvidace

85

5.4

Klient

86

5.5

Zisk

87

5.6

Celkové zhodnocení

87

Změna vztahu soupeření na vztah spolupráce

92

7 Závěr

95

Literatura

97

Příloha

98

Úvod Systémová dynamika je mezioborovým přístupem. Její principy a možnosti jsou s úspě chem využívány v mnoha oborech od ekonomie přes biologii až k psychologii a socio logii. Díky vyvinutým uživatelsky přístupným simulačním softwarům mohou vytvářet modely lidé všech disciplín bez obsáhlých znalostí matematiky. V pozadí těchto mo delů je však vždy silný matematický aparát. Tato diplomová práce si bere za úkol vymezit principy systémové dynamiky v matematickém jazyce a ověřit a zkonfronto vat modelování exaktních matematických modelů a modelů ze simulačních prostředí systémové dynamiky.

Nejdříve budou potřebné pojmy těchto dvou disciplín formulovány odděleně, v kapi tolách 2 a 3, kde kapitola 2 uvádí matematické prostředí pro řešení systémů diferen ciálních rovnic, na které modely systémové dynamiky vedou, a kapitola 3 představuje Systémovou dynamiku. Tento úvod do Systémové dynamiky je nematematický a po kud používá matematických termínů, tak nikoliv v jejich matematickém významu, ale v obecném významu užívaném v běžné řeči. Následující kapitola 4 se již zabývá propojováním těchto dvou disciplín a pokusí se vymezit principy systémové dynamiky matematicky a popsat základní struktury systémové dynamiky, které budou následně diskutovány v rámci paralelně vytvořených modelů čistě matematickým aparátem a simulačním softwarem užívaným pro úlohy systémové dynamiky.

Tato práce vznikala jako experiment, kdy jsem se snažila nacházet analogie a pro pojení mezi zmíněnými disciplínami matematikou a systémovou dynamikou. Během zpracovávání tématu jsem narazila na některé překážky a úzká místa, kde syntéza

8

ÚVOD

9

těchto dvou disciplín je obtížná, ne-li nemožná.

Dobrým příkladem mohou být archetypy [5], které v systémové dynamice bývají často představovány jako určité základní nebo obecné struktury modelového chování. Původní záměr zpracovat tyto struktury matematicky, se ale posléze ukázal jako ne realizovatelný, protože tyto struktury mají spíše kvalitativní charakter a neposkytují tak použitelné vodítko pro sestavení jasného, matematickým aparátem formulovatel ného modelu.

V praktické části diplomové práce je představeno řešení reálného praktického pro blému nástroji systémové dynamiky. Představený dynamický model, který jsem v pro středí simulačního software Powersim Studio 2005 sestavila, řeší problematiku změny vztahu soupeření na vztah spolupráce. Tento model dobře ilustruje možnou šíři apli kace systémové dynamiky, kdy složitost modelu přesahuje možnosti čistě matematic kého analytického řešení.

Část I Teoretická část

10

Kapitola 1 Modelování a simulace V této kapitole budou zavedeny základní pojmy z teorie modelování a simulace [1]. Systém

je soubor elementárních částí (prvků systému), které mají mezi sebou ur

čité vazby. Z hlediska postoje abstrakce k významu času se systémy dělí na: • statické - systémy, které se v čase nemění • dynamické - chování systému se vyvíjí v závislosti na čase Model

je napodobenina systému jiným systémem.

Z hlediska definičního oboru proměnných se zřetelem na časový faktor se modely rozdělují na: • s p o j i t é (se spojitými změnami stavu) - hodnoty proměnných se ve sledovaném čase mění spojitě • diskrétní (s diskrétními změnami stavu) - hodnoty proměnných se mění ne spojitě v určitých časových okamžicích • kombinované - model má vlastnosti typické pro oba předchozí modely Z hlediska vlastností chování systému se modely rozdělují na:

11

1. M O D E L O V Á N Í A SIMULACE

12

• deterministické - hodnoty proměnných jsou v každém okamžiku přesně defi novány, do modelu nejsou zahrnuty náhodné veličiny, • stochastické - hodnoty proměnných jsou náhodné podle určené pravděpodob nosti. Modelování

je vytváření modelů systému. Přičemž lze využít dvou přístupů:

• Analytické m o d e l y — Analytické metody řešení modelů poskytují výsledky obvykle ve formě funkčních vztahů v nichž jako proměnné vystupují parametry modelů, takže řešení specifického modelu získáme dosazením konkrétních hodnot do zmíněných vztahů. • Simulační m o d e l y — Patří do skupiny výpočetních metod a při řešení modelů poskytují vý sledky v numerické podobě, takže i pro nepatrně pozměněný model (změna hodnoty parametru) je potřeba postup řešení opakovat. Simulace

je metoda získávání nových znalostí o systému experimentováním s jeho

modelem.

Předmětem této práce jsou dynamické deterministické systémy, pro které budou vy tvářeny analytické a simulační modely a tyto poté budou srovnávaný a diskutovány.

Kapitola 2 Diferenciální rovnice 2.1

Üvod

Diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje neznámá funkce současně se svými derivacemi. Je-li hledaná funkce funkcí jedné proměnné mluvíme o obyčejné diferenciální rovnici. Následující odstavec se bude zabývat systémy nelineárních diferenciálních rovnic, které budou potřeba v úvodu do systémové dynamiky a při vytváření a řešení modelů.

2.2

Systémy nelineárních diferenciálních rovnic ,xn(ť)) z Rra a t E I C E. Pak systém

Mějme n- rozměrný vektor x = (x\(t),... diferenciálních rovnic je x\

= fi(t,xi,...,xn),

X

=

2

Xn

kde ' = -^ a fi,...,

J2\t,Xi,

...

(2.1) ,Xn),

Jn\^} X\ , . . . , Xn) ,

fn jsou funkce definované na množině G C E ra+1 .

Tento systém budeme zapisovat při označení f = (fi,..., x' = f(í,x). 13

fn)' ve tvaru (2.2)

14

2. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Řešením tohoto systému je n-rozměrná vektorová funkce x, která je diferencovatelná na nějakém intervalu / a pro kterou platí, že pro t E I je [t,Xi(ť),...

,xn(ť)] G G a

ra

x'(í) = f(ŕ,x(ŕ)). Nechť x 0 G R je libovolný bod a současně [ío,x0] G G. Úloha určit řešení systému rovnic (1.1) resp. (1.2), které splňuje počáteční podmínku x(ío) = xo

(2.3)

se nazývá počáteční (Cauchyho) úloha nebo problém. Počáteční problém x' = f(í,x),

x(ro)=x0

(2.4)

může mít řešení jedno, více nebo žádné. Existuje-li úplné řešení počátečního problému (2.4) takové, že každé jiné řešení je jeho zúžením,tj. že ke každým dvěma řešením x(í),í G Ji, y (ŕ), ŕ G J2 existuje ô > 0 takové, že x(í) = y (ŕ) pro každé t E Jifl J2n(ŕ0—#, to+8), pak říkáme, že daný problém má právě jedno řešení, nebo-li, že je jednoznačný. Existuje-li řešení x počátečního problému (1.4), které neni zúžením žádného jiného řešení, pak x nazýváme úplné řešení. Následujícím text se bude zabývat existencí a jednoznačností řešení počátečního pro blému (2.4). Podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení budou vymezeny ve 2 větách, v Picardově-Lindelofově a v Peanově. První z nich je postavena na splnění Lipschitzovy podmínky a spojitosti funkce f, druhá se opírá pouze o podmínku spoji tosti funkce f. Pro důkazy uvedených vět, je potřeba znát Banachovu větu o pevném bodu z teorie metrických prostorů a Ascoliho-Arzeláovu větu, které budou nyní spo lečně s dalšími potřebnými pojmy zavedeny.

Věta 2.2.1. Nechť funkce f je spojitá na množině G C E ra+1 . Pak vektorová funkce x je řešením (2.4) na intervalu J právě tehdy, když platí [í,x(í)] G G pro t E J a x(í) = x 0 + / f(s,x.(s))ds, J to

t E J.

15


Věta 2.2.2 (Banachova věta o pevném bodu). Nechť M je úplný metrický prostor s metrikou p. Necht T : M —• M je zobrazení splňující podmínku 3K E (0; 1) tak, že p(Tx,Ty)

< Kp(x,y) pro všechna x, y E M.

Pak existuje jediný prvek XQ E M S vlastnostíTX0 = x0.Bodx0

se nazývá pevný

(2.5) bod

zobrazení T. Pro každý prvek x\ E M má posloupnost (xn), zadaná rekurentně xn+\ = Txn, limitu xo a platí odhad Kn-l

p(x0,xn)

<

—p(x2,xi) pro n E N.

(2.6)

L—K

Před uvedením Ascoliho-Arzeálovy věty si definujme několik pojmů. Nechť T je systém n-rozměrných vektorových funkcí definovaných na intervalu J. Redkneme, že funkce systému T jsou rovnomocně spojité na J, jestiže ke kaž dému e > 0 existuje ô = ô(e) > 0 takové, že ti,t2

E J,\t\ — t2\ < ó implikuje

\x(t\) — x(t2)\ < e pro všechny funkce x systému T. Řekneme, že funkce systému T jsou stejnoměrně ohraničené na J, jestliže existuje m > 0 tak, že \x(ť)\ < m pro všechna t E J a všechna x E T.

Věta 2.2.3 (Ascoliho-Arzeláova). Nechť T je systém n-rozmérných vektorových funkcí. Jestliže funkce systému T jsou rovnomocně spojité a stejnoměrně ohraničené na kompaktním intervalu J, pak ke každé posloupnosti (xn),xn

E T existuje posloup

nost vybraná z (xn), která je stejnoměrně konvergentní na J. Jestliže navíc každá konvergentní posloupnost vybraná z (xn) má tutéž limitu, pak dokonce (xn) konverguje k této limitě stejnoměrně na J. Věta 2.2.4 (Picardova-Lindelöfova). Nechť a, b E R+,t0 G E,x 0 E Rn. Označme J = {h, h + o), D = {x E Wn : |x — x 0 | < b}. Předpokládejme, že funkce f : J x D —• Era je spojitá a splňuje Lipschitzovu podmínku (vzhledem k x j , tj. existuje L £ RJ tak, že platí |f(í,x) - f(í,y)| < L|x - y|,

[í,x], [í,y] E J x D

(2.7)

16


Pak existuje

právě jedo řešeni počátečního problému (2.4), které je definováno

na intervalu J+ := {to,to + 8), kde 8 = min(a,6m _1 ) pncemz m=

max

|f(í,x)|.

[Í,X]GJXD

Důkaz. Budeme hledat řešení v prostoru T n-rozměrných vektorových funkcí x spo jitých na intervalu J + a splňující podmínku |x — x 0 | < b pro t E J+, a to jako pevný bod zobrazení T : T —• J7, kde Tx(í) = x 0 + / f(s,x(s))ds. •/to

Je-li z pevný bod zobrazení T, pak je z (ŕ) = (Tz) (í) pro každé ŕ E J+. Tedy z = x 0 + / f(s,z(s))ds, t E .P J t0 a funkce z je zřejmě řešením počátečního problému (2.4). Naopak, každé řešení po čátečního problému (2.4) definované na J + je zřejmě pevným bodem zobrazení T. Definujme na T metriku stejnoměrně konvergence obyvklým způsobem p(x,y) = max|x(í) - y ( í ) | , ÍGJ+

T je úplný metrický prostor. T zobrazuje T do sebe, neboť f(s,x(s))ds <

|Tx(í)-Xo|

\f(s,x(s))\ds<m(t-to)<m5
i to

Pro ŕ E J+ a každé dvě funkce x, y G .T7 platí |(Tx)(í)-(Ty)(í)|

[f(s,x(s))ds-f(s,y(s))ds] |f (s, x(s))ds — f(s,y(s))|ds.

< '*o

Poněvadž / |f(s,x(s))ds — f(s,y(s))|ds.

< L

J to

|x(s) — y(s)|ds J í*oo

<

L max |x(s) — y (s) | (ŕ — í 0 ) seJ+

< Límax |x(s) — y(s)|, s€J+

(2.8)

2. DIFERENCIÁLNÍ

17

ROVNICE

dostáváme p(Tx,Ty)<Wp(x,y). Aby byla splněna podmínka (2.8), musí být 8L < 1. Je-li tato podmínka splněna, plyne z Banachovy věty o pevném bodu existence a jednoznačost řešení počátečního problému (2.4) na celém intervalu J + . Použitá metrika p tedy umožňuje dokázat větu jen za omezujícího předpokladu L < | . Při vhodně zvolené metrice však lze toto omezení odstranit, o což se nyní pokusíme. Definujme na T metriku p*(x,x) = max ľe- K(í - ío) |x(ŕ) - y(í)|l , kde K > L.

(2.9)

teJ+

Tato metrika je na T ekvivalentní s metrikou p, neboť e" fc V(x,y)
|(Tx)(í) - (Ty)(í)| <

e-*<«-*»>L ľ |x(s) - y( a )|ds •/to

=

L /" e - K ( í - s ) e - K ( s - í o ) | x ( s ) - y ( s ) M s

< Lp*(x,y) fto e-K{t-s)ds l K ts J ta Lp*^,y)[Ke- ^- \

< < Tedy p*((Tx), (Ty)) < LK~lp*{^y).

LX-V*(x,y). Podle (2.9) však je LK~l

< 1, čímž je Ba-

nachovou větou zaručena existence a jednoznačnost řešení problému (2.4) na celém intervalu J + , aniž by se činily nějaké předpoklady o velikosti Lipschitzovy konstanty L. Tím je důkaz věty proveden. D Věta 2.2.5 (Peanova). Nechť a, b E R+,t0

E E,x 0 E Rn a označme J = {t0,t0 +

a),]} = { x e R n : |x — x 0 | < b}. Nechť funkce f : / x D —• Wn je spojitá. Pak existuje

18

2. D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E

aspoň

jedno

řešení

počátečního

problému (2.4), které je definováno na

intervalu

J := {to, to + a), kde a := min(a, 6 m _ 1 ) , přičemž m =

max |f(í,x)|. [í,x]e/xD

Důkaz. Zvolme čísla 8 > 0 a e > 0 . Buď x e := x 0 na intervalu {to — 8, to) a xe = x 0 +

/ f(s,x£(s-e))ds, •/to

ÍGJ.

(2.10)

Tímto způsobem je funkce x e definována alespoň na intervalu (ío — 8,to + a\), kde Cüi = min(cü,e), je na tomto místě intervalu spojitá, má pro í ^ í 0 spojitou derivace a platí |xe-x0|<6

(2.11)

Pokud CÜI < a, můžeme užitím vzorce (2.10) prodloužit funkci x e na interval {to — 8,to + CÜ2), kde a2 = min(cü,2e). Přitom se zachová spojitost x e i spojitost x'e pro t y^ to a platí opět nerovnost (2.11). Po konečném počtu kroků obdržíme funkci x e spojitou na intervalu J$ := (ío — 8,to + a), mající pro t ^ to spojitou derivaci a vyhovující vzorec (2.11). Nechť T = {x e (-) : 0 < e < 8}. Funkce systému T jsou stejnoměrně ohraničené na iontervalu (ío,ío + OL) platí |x' e (í)| = | f ( í , x e ( í - e ) ) | < m Je-li ť,t"

E J, plyne z věty o střední hodnotě diferenciálního počtu existence čísla r

ležícího mezi ť,t"

takového, že platí x e (ť) — x e (í") = x ' e ( r ) ( ť — t"). Je tedy

|x e (ť)-x e (ť')| <m\ť

-ť\.

19


Je-li ť,ť

G (to - ó,to), je x £ (ť) - x £ (ť') = 0 a pro ť G (í0 - í,t 0 ) a í" G (í 0 ,t 0 + a)

platí x e (ť) = x 0 = x e (í 0 ) a tedy |x£(ť)-x£(ŕ")|

=

|x e (ŕo)-x e (ť')|

<

m\t0-ť\

<

m\ť-ť\.

To znamená, že funkce systému T jsou rovnomocně spojité na kompaktním intervalu JsNechť (era) je klesající nulová posloupnost čísel taková, že en G (0, f) pro n G N. Podle Ascoliho-Arzaláovy věty existuje vybraná posloupnost z posloupnosti (era), označme ji opět (era), taková, že posloupnost funkcí x£n konverguje na intervalu Js stejnoměrně k nějaké spojité funkci x. Z nerovností |x£n (t - tn) - x ( í) | <

|x£n (t - tn) - x£n (t) I + |x£n (t) - x(í) I

< mtn + |x£n(ŕ) - x ( í ) |

je vidět, že x £n (í — tn) konverguje stejnoměrně k x na intervalu {t0 — ^,t0 + a). Ze stejnoměrné spojitosti funkce f na J x Ľ plyne stejnoměrná konvergence f(í,x£n(í-era))^f(í,x(í)) na intervalu J. Můžeme proto v rovnici x£n(í)=x0+ /

f(s,x £ n (s-e r a ))ds

J to

přejít k limitě n ^ o o a obdržíme x(í) = x 0 + / f(s,x(s))ds

pro každé t G J.

To značí, že x je řešením počátečního problému (2.4) na intervalu (to, to + a). Tím je důkaz proveden.

D

20


2.3

Numerické m e d t o d y řešení diferenciálních rov nic

V této podkapitole uvedeme některé ze základních numerických metod pro řešení obyčejných diferenciálních úloh s počátečními podmínkami. Při popisu následujících metod se omezíme na jednu diferenciální rovnici x' = f(t,x)

(2.12)

x(to)=x0.

(2.13)

s počáteční podmínkou

Tyto metody budou diskrétní a spočívají v tom, že přibližné hodnoty hledané funkce hledáme pouze v nějaké diskrétní (tj. konečné) množině bodů ti, i = 0,

l,...,n.

Tyto body budeme pro jednoduchost volit převážně ekvidistantní, tj. položíme U = to + ih,

i=

0,1,...,

kde h je konstanta, kterou nazveme integračním krokem.

2.3.1

Eulerova metoda

Mějme dánu počáteční úlohu a množinu bodů t0,..., tn s krokem h. Ve všech bodech ti, i = 0,1,... ,n. by mělo platit z'(*i) =

f(U,x(ti))

Přibližnou hodnotu v bodě ti Eulerovou metodou počítáme z rekurence:

xo = x(to) Xí+i

=

Xi + hf(ti,Xi),

(2.14) i = 0,1,....

(2.15)

Při Eulerově metodě vycházíme při výpočtu hodnoty v kroku U pouze z vypočítané hodnoty v kroku předchozím. Proto se řadí mezi tzv. jednokrokové metody.

21


Chyby numerických integračních metod Je zřejmé, že nakolik se přiblížíme k přesnému řešení, závisí na délce kroku h, který použijeme. Základní vlastnost, kterou od použitelné numerické metody požadujeme je, aby numerické řešení získané touto metodou pro h —• 0 konvergovalo k přesnému řešení dané úlohy. Řekneme, že metoda je konvergentní, jestliže pro libovolnou počáteční úlohu platí: pro každé t E (t0, í 0 + 8) lim xn = x(ť), kde t = to + nh. n—>oo

Celková diskretizační chyba : ei = x(ti)-Xi

(2.16)

vyjadřuje, jak se liší přibližné řešení získané numerickou hodnotou od řešení přes ného. Lokální diskretizační chyba dané metody je chyba, které se doupouštíme tím, že provedeme jeden krok dané metody a předpokládáme, že všechny hodnoty, které k jeho realizaci potřebujeme jsou přesné. Celková (globální) diskretizační chyba je pak výsledkem nakupení lokálních diskretizačních chyb, přičemž je třeba brát v úvahu, že každý krok vychází z hodnot, které už jsou zatíženy chybou z předešlého průběhu. Je tedy žádoucí, aby daná metoda měla tu vlastnost, že v ní nedochází ke katastrofální akumulaci lokálních diskretizačních chyb. Lokální diskretizační chyba Eulerovy metody d(x(ť),h) = x(t + h) - x(t) -

hf(t,x(ť)),

kde x je přesné řešení diferenciální rovnice.

2.3.2

Runge-Kuttovy metody

Runge-Kuttovy metody jsou jednokrokové metody, které ale oproti Eulerově metodě provádí další výpočty uvnitř kroku a tím dosahují lepších výsledků, resp. menších

22


chyb. Tyto metody jsou založeny na aproximaci přesného řešení Taylorovým polyno mem (viz. [2]). Obecný vzorec pro Runge-Kuttovu metodu je k\

=

J\ti,Xi)

K = f(U + aph, Xi + h^2ßpqkq)

p = 2,..., s

(2.17)

9=1

Xí+i

=

Xi + h(wiki + . . . +

wsks),

kde Wp, ap, ßp jsou konstanty volené tak, aby metoda měla maximální řád. Následující metody jsou dvě konkrétní metody, v praxi asi nejpoužívanější. Runge-Kuttova metoda 2. řádu.

Runge-Kuttově metodě 2. řádu, kterou si nyní

uvedeme se také říká modifikovaná Eulerova metoda. Vypočítá se podle násle dujících vzorců: h

=

f(U,Xi)

k2 = f(U + -h, xl + -hkl) Xj_|_i

=

Xi +

(2.18)

llk2]

tedy dle (2.17) s = 2, wx = 0, w2 = 1, ,a2 = \, ßn = \ Runge-Kuttova metoda 4. řádu.

Tato Runge-Kuttova metoda 4. řádu patří

k nejužívanějším metodám. Často, mluví-li se o Runge-Kuttových metodách, myslí se právě tato metoda. Vypočítá se podle následujících vzorců: k\

=

jytijXi)

k2 = f(U + -h, Xi + -hki) h

= f(U + -h, xl + -hk2)

h

= f (U + h, Xi + hk3)

Xi+i

=

Xi + -h(ki

o

(2.19)

+ 2k2 + 2k3 + k4)

tedy dle (2.17) s = 4, w\ = w4 = | , w2 = w3 = | , a\ = 0 , a2 = a3 = | , CÜ4 = 1) ß\2 = A3 = A4 = 2> A3 = A4 = A4 = 0

23


V souvislosti s Runge-Kuttovými metodami jsme zavedli tzv. řád metody. V uvede ných metodách 2. a 4. řádu se řád metody shoduje s počtem koeficientů ki} resp. s číslem s ze vzorce (2.17). Existují i Runge-Kuttovy metody vyšších řádů, než jsme zde uvedli, ale metody řádů vyšších než 4 mají hodnotu čísla s větší než je řád (viz. [2]). Obecně platí, že čím vyšší řád Runge-Kuttovy metody, tím přesnější výpočet. Ale metody vyšších řádů řeší velice složité algebraické rovnice, proto se častěji používají metody zde uvedené. Odhad chyby Runge-Kuttových metod Předpokládejme, že ve vhodném okolí bodu [U,Xi] platí ßi+jf

\f(t,x)\<M,

<

dŕdxi

Li+j M3-

i + j < p.

Pak pro lokální chybu obecné Runge-Kuttovy metody 2. řádu platí \L(x(U);h)\<

4

6

2

a\w2

WML2

(2.20)

Dosazením Q!2 = | , u>2 = 1 do (2.20) dostáme lokální chybu výše uvedené R-K metody:

\L{x(U);h)\ < \L(x(U);h)\

<

(4 i - I ( i

hsML2

0,5-h3ML2

Vzorec pro lokální chybu obecné Runge-Kuttovy metody 4. řádu je příliš zdlouhavý, proto uvedeme pouze tvar pro konkrétní námi uvedenou metodu: \L(x(U);h)\

<

^ M L \

Kapitola 3 Teoretický základ systémové dynamiky 3.1

Üvod

V této kapitole bude představena systémová dynamika a její teoretický základ. Zave deme pojem komplexních dynamických systémů, příčinného smyčkového diagramu, struktury akumulací a toků a pojem simulace. Pojmy užívané v této kapitole nemají svůj přesně vymezený matematický smysl.

3.2

Vznik systémové dynamiky

Systémová dynamika je prakticky orientovaná vědní disciplína založena profesorem J. Forrestrem na Sloan School of Management, která je součástí Massachusetts In stitute of Technology (MIT). Byla založena v 50. letech 20. století jako manažerský nástroj sloužící k analýze dopadů rozhodnutí a opatření u komplexních úloh v bezri zikovém prostředí počítače. Principiálně vychází z poznání, že chování komplexních sociálních systémů, tedy systémů závislých na lidském chování s výskytem dyna mické komplexity (složitosti), interdependence (vzájemné závislosti), zpětných vazeb, zpoždění, nelinearity a nejistoty, je na tolik složité a kontraintuitivní, že naše běžné schopnosti pro hledání řešení řady problémů v této oblasti nedostačují, [7].

24

3. T E O R E T I C K Ý ZÁKLAD S Y S T É M O V É DYNAMIKY

3.3

25

Komplexní dynamické systémy

Systémová dynamika funguje na prostoru komplexních dynamických systémů. Pojem systém je znám z kapitoly 1, prvek systému zde budeme nazývat činitelem. Na systém se obecně neklade žádné omezení. Činitele volíme v souladu s problémem, který řešíme. Není vždy snadné uvědomit si, které prvky reálného systému je nutné do modelu zahrnout a které mohou zůstat mimo jeho rámec. Model je zjednodušení reality s chováním v souladu s realitou. Vzhledem k tomuto není užitečné zahrnovat do modelu všechny možné prvky reálného systému, nesmí však chybět žádný, který může významně ovlivnit chování modelovaného systému. Dynamická komplexnost je důsledkem interakcí mezi činiteli v průběhu času, komplexní zde znamená se všemi souvislostmi, jak ukazuje následující výčet. Komplexně dynamické systémy jsou [6]: • dynamické — měnící se v čase • těsně propojené — činitelé vzdálení prostorově a časově spolu často úzce souvisí • řízeny zpětnovazebně — chování činitele, který je součástí systému, ovlivní stav tohoto systému a v budoucnu ovlivní chování tohoto činitele, tedy důsledky chování činitele se přes systém dostanou zpět k činiteli a mění jeho následné chování • nelineární — chování činitelů v reálném světě je málokdy popsatelné lineárními rovni cemi • závislé na historii — v této souvislosti hovoříme také o ireverzibilitě (nemožnost zpětného pře vodu, vrácení zpět) a závislosti na zvolené předchozí cestě (path dependance)


26

— věci nelze vrátit zpět • sebeorganizující — struktura systému generuje samovolně chování tohoto systému • adaptivní — změna chování na základě předchozích zkušeností; evoluce • kontraintuitivní — konkrétní působení vyvolává nečekaný následek, což může být způsobeno tím, že příčina a následek nemusí být v prostoru ani čase blízké, nebo skutečná příčina může být skrytá jejich souvislost není zřejmá • rezistentní vůči nápravám — snaha o napravení některých problémů v důsledku neuvědomení si všech souvislostí a zpětných vazeb problémy ještě zhorší • s typickými trade-offs — řešení dlouhodobá s pozvolným vyřešením a odstraněním skutečných pří čin problémů zpočátku generují ještě větší zhoršení problému, díky této vlastnosti a dlouhodobém horizontu bývají nepopulární — řešení krátkodobá s rychlým vyřešením problému vedou za nějaký čas k ještě horším problémům Systémová dynamika je pak nástroj, který se snaží podchytit procesy v takto kom plexních systémech v reálných souvislostech.


3.4

27


Příčinný smyčkový diagram (causal loop diagram - CLD) je grafickým vyjádřením vztahů mezi prvky systému. Slouží k zachycení mentálních modelů 1 2 , tj. toho, jak daný systém vnímáme. CLD nerozlišuje různé typy prvků systému, zachycuje stejným způsobem stavy, přírůstky i konstanty. Jeho hlavním účelem je zachytit základní návaznosti v systému. CLD se skládá z činitelů znázorněných body a z vazeb znázorněných šipkami. Body jsou spojeny šipkami, které naznačují orientaci závislosti mezi činiteli. Šipky směřují od nezávislého prvku k závislému a nesou označení o způsobu této závislosti prostřed nictvím polarity. V systémové dynamice užíváme pojmy kladná (pozitivní) polarita a záporná (negativní) polarita. Slova pozitivní a negativní nemají význam dobrý či špatný, nýbrž určují, jakým směrem se změní závislý prvek při změně nezávislého prvku za jinak nezměněných podmínek. Kladná polarita pak naznačuje souhlasný směr změny prvků, tj. růst (resp. pokles) nezávislé vede k růstu (resp. poklesu) zá vislé, a záporná indikuje směr opačný. V diagramu jsou polarity naznačeny nejčastěji pomocí znamének + a - . 3 Celková polarita posloupnosti stejnosměrně orientovaných vazeb je kladná, pokud polarita závislosti mezi prvním a posledním prvkem je kladná. Jsou-li navíc první a poslední členy posloupnosti shodné, pak tato posloupnost tvoří tzv. uzavřenou smyčku. Uzavřené smyčky jsou základním stavebním kamenem dynamických sys témů, neboť způsobují změnu způsobu chování systému v čase. Chování prvku v sys tému v daném čase ovlivní přes mechanismus zpětné vazby jeho chování v příštích obdobích. Stejně jako rozlišujeme polarity vazeb, tak rozlišujeme i polarity celých smyček. Pro kladnou smyčku se používá pojmu zesilující (reinforcing-R), pro zá pornou smyčku používám pojem vyrovnávající (balancing-B). V CLD se pro jejich 1

Podle teorie mentálního modelu (pojem kognitivních věd, psychologie) veškeré vnímané podněty

a pozorování ukládáme do paměti ve formě modelu. Model je vytvářen na základě smyslových informací a je kombinován s dosud uloženými informacemi. [8], str. 12 2

Mentální model je soubor předpokladů o vztazích příčin a následků, hranic, pravidel rozhodování

a posuzování, strategií, cílů a znalostí, které ovlivňují naše vnímání a zarámování problému. [7], str. 1 3

Jiná konvence používá symbolů s a o vycházející z anglického same (stejný) a opposite (opačný)

28


označení používají buď znaménka + , - nebo písmena R a B.

3.4.1


Mějme pět prvků systému: populace, rození, umírání, míra porodnosti a míra úmrt nosti. Prvky měnící se v čase uvnitř tohoto systému (endogenně) nazveme proměnné a konstantní členy, které jsou dány exogénne (vně systému), nazveme konstanty. Po pulace, rození a umírání jsou prvky, které se v rámci tohoto systému mění v čase, jsou to tedy proměnné a míry porodnosti a úmrtnosti předpokládejme konstantní. Čím větší je rození, tím je větší populace a čím je větší populace, tím je větší rození. Čím je větší populace, tím je také větší umírání a čím je větší umírání, tím je menší populace. Větší míra rození (resp. umírání) způsobuje větší rození (resp. umírání) (viz. Obr. 3.1).

rozeni

umíraní

míra umíraní

míra rozeni Obrázek 3.1: CLD populace V obrázku 3.1 se vyskytují dvě uzavřené smyčky: • rození populace - rození • umírání populace - umírání

První z uvedených smyček je zesilující a druhá vyrovnávací. Míra rození ani umírání se v žádné smyčce nevyskytují, neboť jsou to konstantní členy, do kterých nemohou jít vstupy, a předpoklad pro uzavření smyčky pro ně tudíž nemůže být splněn.


29

Z uvedeného příkladu můžeme vidět, že CLD nerozlišuje povahu prvku systému, z grafického znázornění nepoznáme, zda-li se jedná o konstantu, přírůstek či stav. Přístup vedoucí k odstranění tohoto nedostatku je vysvětlen v následující podkapitole.

3.5


Příčinný smyčkový diagram je vhodný nástroj pro vymezení prvků systému a pro hrubou představu o vztazích mezi nimi. Je používán nejvíce pro prvotní zmapování zpětných vazeb v systému. Jedním z největších omezení pro širší použití CLD je neschopnost zachytit systém akumulací a toků. Akumulace a toky spolu se zpětnou vazbou tvoří dva ústřední koncepty teorie dynamických systémů. Provedeme nyní rozšíření CLD tím, že rozlišíme prvky systému. Prvky systému mohou být: • Akumulacemi • Toky • Pomocnými proměnnými • Konstantami Vymezení • Akumulace — Akumulace charakterizuje stav systému, jinými slovy je to stavová pro měnná. Vyjadřujeme ji v nějakých jednotkách. U akumulace předpoklá dáme počáteční stav, ze kterého vycházejí stavy následující. Stav v něja kém okamžiku je důsledkem stavů minulých. Z tohoto důvodu bývá ozna čována jako paměť systému. V Systémové dynamice se používá pojmu akumulace namísto stavové proměnné, neboť je zde důležitá právě před stava akumulování. Akumulace představují proměnné, které se akumu lují (hromadí) v případě, že přibývá (přitéká) větší množství jednotek než ubývá (odtéká). V této souvislosti jsou akumulace označovány jako zpož dění v systému (akumulováním - hromaděním se jednotky zadržují nebo-li


30

zpožďují). Akumulace se mění pouze prostřednictvím toků (viz. následující bod). • Tok — Tok je proměnná přidružená k akumulaci. Tokem se mění stav akumulace v čase. Udává se v určitých jednotkách za jednotku času, kde jednotka je shodná s jednotkou související akumulace. Tok je tedy přírůstek akumu lace, který v tomto kontextu může být kladný i záporný, v prvním případě pak hovoříme o přítoku, ve druhém o odtoku. • Pomocná proměnná — Pomocná proměnná je proměnná, která se mění v závislosti na čase, ale nikoliv na základě svých minulých stavů a prostřednictvím toků, ale na základě výpočtu aktuálních hodnot ostatních prvků systému. Hodnota po mocné proměnné lze vyjádřit pouze funkcí stavů akumulací a konstant. • Konstanta — Konstanta je exogénni veličina jejíž hodnota se nemění na základě cho vání systému. Konstantou nazýváme obecně vstupy. Nemusí být tedy kon stantní v matematickém smyslu, tedy neměnná. Konstanta může nabývat různých hodnot v závislosti na čase vlivem změn exogenních vlivů. Grafické znázornění Grafické znázornění akumulací a toků vychází z představy nádrže (akumulace), kde se hromadí (zachytává, zpožďuje) voda, a potrubí s kohoutkem(tok), kterým voda přitéká a odtéká. Pro zakreslení akumulací do diagramu se pak používá symbol ob délníku. Toky jsou značeny dvojitými šipkami, které směřují do akumulace (přítoky) nebo z akumulace (odtoky). Symbol podobný mraku na krajích šipek označuje oblast za hranicemi modelu (Obr. 3.2). I v diagramech akumulací a toků zakreslujeme infor mační šipky (informují o existenci a způsobu závislosti mezi proměnnými) a můžeme zakreslit i polaritu smyček (Obr. 3.2). Vztahy na obr. 3.2 by se příčinným diagramem zakreslily způsobem, jakým ukazuje obr. 3.3

31


přítok

akumulace

+

odtok

«3

+

Obrázek 3.2: Obecný diagram akumulací a toků s informačními spoji

prítok

odtok

Obrázek 3.3: CLD analogický Obecnému diagramu akumulací a toků s informačními spoji Pro pomocné proměnné se používá nejčastěji symbolu kolečka a pro konstanty koso čtverec (Obr. 3.4).

proměnna

konstanta

Obrázek 3.4: Symboly pro pomocnou proměnnou a konstantu

3.5.1


Mějme stejný příklad jako v minulém odstavci. Dynamika populace s pěti prvky bude mít následující strukturu (Obr. 3.5):

32


• akumulace: populace (počet lidí) • toky: rození (počet lidí za rok); umírání (počet lidí za rok) • konstanty: míra rození a míra umírání

rozeni

populace

míra rozeni

umíraní

míra umíraní

Obrázek 3.5: Populace v diagramu akumulací a toků

3.6

Simulace

Vyjádříme-li vztahy zakreslené v diagramu pomocí rovnic, pak můžeme přejít k si mulaci (viz. kap. 1). Na začátku každé simulace zadáme počáteční hodnoty. Simulaci v systémové dynamice provádíme téměř výhradně užitím simulačního softwaru. Mezi nejznámější patří: Powersim Studio, Vensim, IThink a Stella. Simulační výpočty po čítač provádí prostřednictvím numerických metod (viz. kap. 2), které spojité systémy diskretizují a počítají konečným počtem kroků.

Simulace chování konkrétního systému je zpracována v praktické části diplomové práce.

Kapitola 4 Matematický základ systémové dynamiky 4.1 4.1.1

Příčinný smyčkový diagram Základní pojmy z teorie grafů

Orientovaným grafem G nazveme trojici G = (V, H, p), kde V je konečná ne prázdná množina, jejíž prvky nazýváme vrcholy, H je konečná množina, jejíž prvky nazýváme hrany, a p : H —• V x V je zobrazení, které nazýváme vztahem inci dence. Toto zobrazení přiřazuje každé hraně h E H dvojici vrcholů (x, y) E V x V, kde x nazýváme počáteční vrchol hrany, ozn. vp(h) a y nazýváme koncový vrchol hrany, ozn. Vk(h).Říkáme také, že hrana vystupuje, resp. vysupuje z (do) vrcholu x, je-li x počáteční, resp. koncový vrchol hrany. Je-li vp(h) = vîh) pak hranu h nazveme smyčkou. Mějme orientovaný graf G = (V, H, p). Číslo m E N+ udávající počet hran vstu pujících do vrcholu v se nazývá polostupeň vstupu, resp. výstupu vrcholu v. Ori entovaným sledem délky n v grafu G nazýváme posloupnost vrcholů a hran tvaru v0hiVih2v2

• •

33

34

4. M A T E M A T I C K Ý ZÁKLAD S Y S T É M O V É DYNAMIKY

jestliže pro každou hranu hi této posloupnosti platí vp(hi) = Vi-\ a Vk(hi) = VÍ. Vr chol Vo nazýváme p o č á t e č n í m v r c h o l e m sledu a vrchol vn nazýváme k o n c o v ý m v r c h o l e m sledu. Orientovaný sled, v němž se žádná hrana neopakuje (vyskytuje se nejvýše jednou), nazýváme orientovaný t a h a orientovaný sled, v němž se neopa kuje žádný vrchol, nazýváme orientovaná cesta. Sled se nazývá uzavřený, jestliže ô = vn. Uzavřený sled se nazývá uzavřenou cestou, vyskytuje-li se v něm každý vrchol kromě v0 = vn nejvýše jednou. Orientovaná uzavřená cesta se nazývá cyklus. Mějme graf G = (V, H, p), dále mějme zobrazení / : V —• E a g : H —• E, pak / nazveme v r c h o l o v ý m o h o d n o c e n í m grafu Gag n o c e n í m grafu G. Dvojice (G,f),

nazveme h r a n o v ý m o h o d

resp. (G, g) se nazývá vrcholově, resp. hranově

ohodnocený graf.

4.1.2


Pokud platí, je-li p(vi, Vj) = hk, kde VÍ = vp(h) a Vj = Vk(h), pak 3 funkce u : V —• V : vj = U(VÍ), tj. vede-li hrana z VÍ do Vj, pak to znamená, že vj závisí na vi} pak sestrojíme orientovaný graf, který má následující vlastnosti: 1. obsahuje alespoň jednu uzavřenou cestu 2. je hranově ohodnocený s funkcí g : H —• { — 1,1} 3. mezi dvěma vrcholy existuje nejvýše jedna hrana. Tento graf nazveme Příčinný smyčkový diagram. Vrchol v nazýváme činitelem (někdy jen prvkem systému), množinu V množinou či nitelů, hranu h nazýváme vazbou a množinu H množinou vazeb. Uzavřenou cestu nazýváme smyčka. (Je to smyčka v jiném slova smyslu než v od stavci 4.1.1) Hranovému ohodnocení říkáme polarita. Vzhledem k tomu, že polarita nabývá pouze hodnot + 1 a —1, zakreslujeme ji do grafu pouze znaménky + a —. Pak hovoříme o

35


kladné polaritě vazby či jen zkráceně o kladné vazbě, resp. záporné polaritě či vazbě.

Mějme smyčku s definovanou posloupností VohiVih2V2 • • -vn-ihnvn,

pak sgn(s)

=

sgn(h\ • YÍ2 • • • hn-i • hn) se nazývá polarita smyčky.

K o n v e n c e grafického vyjádření P ř í č i n n é h o smyčkového diagramu 1. Vrcholy a hrany by měly mít takové uspořádání, aby se hrany nekřížily. 2. Hrany se zakreslují oblouky kružnic, popř. jinými křivkami tak, aby smyčky tvořily uzávěr nějaké konvexní množiny.

4.1.3

Polarita

Nechť množina činitelů V je nyní tvořena n prvky^j.F = { 1 , . . . , n}. Mějme prosté funkce f i : E ra —• E takové, že XÍ = fi(x\,..., řadí uspořádané dvojici vrcholů (i,j)

xn), pak funkce p~l : V x V —• H při

vazbu , resp. hranu hi takovou,že vp(hi)

i a Vk(hi) = j právě tehdy, když existují x\,... •^í > ^

,XÍ-I,X},X?,XÍ+I

... ,xn,

x\

= ^

Jjvî > • • • J %í— i j •£% > %í+i j • • • j •^n) T1 Ij Kpî )••••> %í—i > •£% > %í+i j • • • j •^n) •

že ^ z á v i s í na Xi.

Předpokládejme, že (XÍ,XJ) jsou spojeny vazbou (XJ závisí na xi). Platí-li, že Xj

JjyXi,

• • • , Xi, • • • , Xnj

<^

JjyXi,

• • • , \Xi -\- Clj, . . . , XnJ

Xj

J j yX\ , . . . , Xi, . . . , XnJ

^>

Jj yX\ , . . . , \Xi

Clj , . . . , XnJ ,

pro Va G E + , pak vazba hi má kladnou polaritu a naopak je-li Xj

JjyXi,

• • • , Xi, • • • , xViJ

^>

JjyElj

Xj

J j ^ x i , . . . , XJ , . . . , x r a J

<^

Jj \X\ , . . . , ^x j

pro Va G E + , pak vazba /^ má zápornou polaritu.

• • • > V"^í ~~r a j , . . . , XraJ Clj, . . . , Xn) ,


4.2

36


Činitelé mohou mohou být jedním z následujících typů: • Stavová proměnná • Tok • Pomocná proměnná • Konstanta Souvislosti mezi proměnnými uvedeme pomocí systémů diferenciálních rovnic. Sys témová dynamika používá ještě teorie diferenčních a integrálních rovnic. Uveďme si pro srovnání všechny tři systémy: Nechť x je n-rozměrný vektor proměnných systému, pak n-rozměrný systém diferen ciálních rovnic, jak bylo uvedeno v kapitole 2, je tvaru x' = f ( í , x ) , kde ' = | a f = ( / i , . . . , fn)' jsou funkce definované na množině G C E r a + 1 . Systém diferenčních rovnice můžeme obecně zapsat jako xí+i = f(í,xt)

Integrální rovnice jsou implicitní rovnice typu F ( í , x , / x.(s)ds) = 0. J to V dalším textu budeme tedy pracovat pouze se systémy diferenciálních rovnic. Mějme tedy m-rozměrný vektor stavových proměnných x a m a -rozměrný vektor kon stant a, pak TO-rozměrný systém diferenciálních rovnic je tvaru x' = f ( í , x , a),

4. M A T E M A T I C K Ý ZÁKLAD S Y S T É M O V É

37

DYNAMIKY

kde ' = ^ a f = ( / i , . . . , f m ) ' jsou funkce definované na množině G C R m + m "+ 1 Pro i-tou a j-tou stavovou proměnnou dostáváme rovnice Xj

Xj

Ji\i,

X\, . . . j Xi, Xj j • • • ) 2 - w i ) " l ) • • • j ®"ma )

Jj\L,Xi,...,

Xi, Xj , . . . , x T O , u i , . . . , Oifna) ,

kde závislosti na jednotlivých proměnných nemusí být nutně nekonstantní. Funkce ji je funkce definující přírůstek proměnné x% a nazýváme ji tok.

Poznámka.

V příčinných smyčkových diagramech zakreslujeme toky vždy spolu se

stavy. Máme-li tok ji ke stavu xi} pak hi = p~1(fi,xi)

vždy existuje a má polaritu

rovnu jedné, tj. + . Nechť závislost na x j je nekonstantní ve funkci f i. Pak říkáme, že přírůstek proměnné Xi závisí na Xj. Existuje tedy vazba hj = p~ľ(xj,

f i)

—- xj

H ^~.

Je-li J

dxj

>0,

pak je to vazba s kladnou polaritou.

,Xj ,

ie-li dfi dxj pak je to vazba se zápornou polaritou. Ji -<*

-— xj

Máme-li Xi a fi, pak navíc existuje vazba z fi do Xi. Je-li fi > 0, pak vazba má kladnou polaritu, je-li fi < 0, pak má vazba zápornou polaritu.

38


Poznámka.

Pomocné proměnné jsou proměnné, které můžeme vyjádřit pouze jako

funkce stavových proměnných a konstant. V modelu je zavádíme pro lepší přehled nost, pochopení a případnou úpravu výstupu. Přestože se mohou vyskytovat ve funk cích toků, neuvádíme je do definičního oboru právě z důvodu možného vyjádření pouze prostřednictvím stavových proměnných a konstant (fi,i = 1 . . . m jsou složené funkce).

4.3

Základní smyčky

V tomto odstavci se pokusíme popsat a analyzovat elementární smyčky. Mějme mno žinu vrcholů V = {f,x}, tj. x' = f(x)

kde / je tok a x je stavová proměnná, které tvoří smyčku,

(Obr. 4.1 a Obr.4.2 ).

Obrázek 4.1: Základní smyčka

£>

i> X

f Obrázek 4.2: Základní smyčka pomocí akumulací a toků Je-li

d_l> 0 , dx

dostáváme smyčku s kladnou polaritou, tzv. zesilující smyčku (Obr. 4.3) a je-li

39


Obrázek 4.3: Zesilující smyčka

df dx

Obrázek 4.4: Vyrovnávací smyčka <0,

dostáváme smyčku se zápornou polaritou, tzv. vyrovnávající smyčku (Obr. 4.4). V následujících podkapitolách se budeme snažit popsat trajektorii stavové proměnné x (i) v těchto jednoduchých smyčkách.

4.3.1

Zesilující smyčka

Máme zesilující smyčku s jednou stavovou proměnnou x (i), jedním tokem x' =

f(x)

a nerovností -^ > 0. Pokusíme se zjistit průběh funkce x(ť) v zesilující smyčce (Obr.4.3). Máme následují rovnosti: (4.1)

x x"

f{x)-x'

= f{x)-f{x)

= f{x)

Nechť / > 0, tj. x1 > 0, pak x(ť) je rostoucí. Z podmínky -J> 0 dostáváme dx

*'WM-g>o. Tedy pro x' > 0 je x(t) rostoucí konvexní funkce. Nechť naopak / < 0, tj. x' < 0,

0/ dx

(4.2)

4. MATEMATICKÝ ZÁKLAD SYSTÉMOVÉ

40

DYNAMIKY

pak x(t) je klesající. Z podmínky gf > 0 dostáváme

;^/(*)-g<0. Tedy pro x' < 0 je x (i) klesající konkávni funkce.

Příklad zesilující smyčky - Připisování úroků na účet Předpoklad: Mějme účet v bance, na kterém se kumuluje množství peněz. Přírůstek peněz je přímoúměrný úrokové míře a aktuálnímu zůstatku na úctě. Předpokládejme spojité připisování úroků. x = x(t) Označení:

Xo

r

. .. •

..

. ..

množství peněz na úctě v čase t počáteční stav na úctě úroková míra

Model: x'(t)

=

r • x(t)

x(t0)

=

x0

Řešení: x' dx

=

r •x r •x

~ďt dx

r • dt

X

ľ dx

J \nxx

r • dt

J

= rt + c

\x\

=

X

=

ert+c

Kert,

Xo = K

x{t)

x 0e

rt

kdeK

=

(sgnx)é

41

4. MATEMATICKÝ ZÁKLAD SYSTÉMOVÉ DYNAMIKY

úrok

úroková míra

R

množství peněz

+

Obrázek 4.5: CLD účtu Zakreslíme příčinný smyčkový diagram (Obr. 4.5), do kterého pro úplnost zakreslu jeme i konstantu úrokové míry.1

množství peněz

úroková míra Obrázek 4.6: Účet v diagramu akumulací a toků Dále zakreslíme diagram akumulací a toků (Obr. 4.6).2 Simulace: Do simulačního programu typu Powersim Studio, Vensim, Stella ap. zadáváme dia gramy akumulací a toků ale již nutně se všemi vazbami a proměnnými. Jednotlivé proměnné se poté zadefinuj í rovnicemi. 1

Příčinný smyčkový diagram neslouží jako vyčerpávající informace o skladbě modelu, slouží spíše

pro zmapování a uvědomění si základních vazeb, proto je na modeláři, které proměnné, resp. kon stanty zahrne a které ne. K jednomu modelu často existuje více příčinných diagramů s různou mírou podrobností. 2

Diagram akumulací a toků je primárně pouze rozšíření příčinného smyčkového diagramu ve

smyslu rozlišení typu proměnných, proto také nemusí nutně obsahovat všechny proměnné a vazby systému.

42

4. M A T E M A T I C K Ý ZÁKLAD S Y S T É M O V É D Y N A M I K Y

Pro simulaci dále musíme zadat počáteční stav, hodnotu konstanty a délku simulace. Vložme na účet 50000 a nechme je t a m 50 let při roční úrokové míře 8%. Zadané hodnoty: xo

=

10000

r

=

0,08

t b

— ^n max

U J

^

Výsledky simulace: x (50) = 469016,1251 při zvolení Eulerovy integrační metody x(50) = 543791,6905 při zvolení Runge-Kuttovy integrační metody druhého řádu x(50)

=

545980, 8029 při zvolení Runge-Kuttovy integrační metody čtvrtého řádu

Srovnání s matematickým výpočtem z(50)

=

10000 • e 0 ' 08 ' 50

x (50)

=

545981,5003

Graf stavu účtu v závislosti na čase 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 1 1 1 ' i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' I ' i 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 i

i-commercial use onlylP

Obrázek 4.7: Graf stavu účtu v závislosti na čase V grafu na obr. 4.7 máme k porovnání vývoj stavu na účtu v období t = 0 až t = 50 pro Eulerovu metodu a pro matematický výpočet. Křivky jsou konvexní a rostoucí, tedy jsou v souladu s očekávaným průběhem, jak jsme odvodili v odstavci 4.3.1. Diskuze výsledků: Při předpokládaném spojitém úročení vkladů na úctě má nejlepší výsledky RungeKuttova integrační metoda 4. řádu. V tomto případě dává téměř shodný výsledek jako přesný matematický výpočet. Celkové diskretizační chyby v posledním kroku simulovaných výpočtů dostáváme užitím (2.16) tyto:

4. MATEMATICKÝ ZÁKLAD SYSTÉMOVÉ DYNAMIKY

eiQ

= 76965, 3752 (0,14096700)

... pro Eulerovu metodu

e§0 = 2189, 8097 (0, 00401077)

... pro R-K 2 metodu

e3Q


= 0 , 6974 (0, 00000127)

43

Čísla v závorkách udávají podíl této chyby a skutečného výsledku. Z podílové hodnoty můžeme vidět, že Runge-Kuttova metoda 4. řádu je opravdu velice přesná. Eulerova metoda dává výsledky odpovídající situaci, kdy se vklady úročí jednou za (na konci) období (období je zde 1 časový krok), tedy diskrétně. Tento postup je v praxi dokonce pravděpodobnější. K matematickému výpočtu vkladů úročených na konci období bychom použili diferenční rovnice namísto diferenciálních.

4.3.2

Vyrovnávací smyčka

Máme vyrovnávací smyčku s jednou stavovou proměnnou x (i), jedním tokem x' = f(x) a rovností ^ < 0. Pokusíme se zjistit průběh funkce x(t) ve vyrovnávací smyčce s použitím (4.1), (4.2): Nechť / > 0, tj. x' > 0,

pak x(ť) je rostoucí. Z podmínky gf < 0 dostáváme

x" = Jyf(x)! ~

dx

< 0.

Tedy pro x' > 0 je x(t) rostoucí konkávni funkce. Nechť naopak / < 0, tj. x' < 0, pak x(ť) je klesající. Z podmínky ^f < 0 dostáváme x" = f(x) Jy ! • ^f > 0. dx Tedy pro x' < 0 je x (i) klesající konvexní funkce.


Příklad vyrovnávací smyčky - Optimální příjem Předpoklady: Obchodík má hladinu příjmů, která je pro něj optimální. Pracuje-li obchodník tak, že vydělá více, než kolik potřebuje, pak práci omezuje. Pracuje-li obchodník tak, že vydělá méně, než kolik potřebuje, pak práci zvyšuje. Příjmy jsou přímoúměrné práci. Označení: x = x (i) ... Xo . . .

příjmy v čase t počáteční příjmy

u

...

optimální příjmy

a

...

doba přizpůsobování

Model:

Řešení:

x'(ť)

=

(u — x(ť))/a

x(t0)

= Xo

44

45


x'(ť) dx

(u — x(t))/a (u — x)/a

~ďt dx (u — x) ľ dx J (u-x) In \u — x\~l

dt a ľ dt J a t - +c

\u — x\ 1

\u — x\ • e c

1

(u — x) • e« • K, kde

x X

K

x(t)

u • e« • K — 1 e t -K 1 u

Xo

K = ecsgn(u — x)

e« • K 1

u

1- K

(u - Xo) (u - Xo) u

e"

optimálni príjmy + príjmy

doba přizpůsobování Obrázek 4.8: CLD optimální příjem Zakreslíme příčinný smyčkový diagram (Obr. 4.8) a poté i diagram akumulací a toků (Obr. 4.9). Simulace:

46


pnjmy lárůst příjmů optimální příjmy

doba přizpůsobování Obrázek 4.9: Optimální příjem v diagramu akumulací a toků Mějme:

x0 = 10000 u = 12000 a = lax

12

= 50

Výsledky simulace: x (50)

=

11974, 2010 při zvolení Eulerovy integrační metody

x(50)

=

11968,8327 při zvolení Runge-Kuttovy integrační metody druhého řádu

x(50)

=

11968,9922 při zvolení Runge-Kuttovy integrační metody čtvrtého řádu

Srovnání s matematickým výpočtem x(50) =

12000

(12000 - 10000) 50

e i2

x(50) =

11968,9923

V grafu na obr. 4.10 máme k porovnání vývoj příjmů v období t = 0 až t = 50 pro Eulerovu metodu a pro matematický výpočet. Křivky jsou konkávní a rostoucí, tedy jsou v souladu s očekávaným průběhem, jak jsme odvodili v odstavci 4.3.2. Diskuze výsledků: Podobně jako v předchozím modelu, dává Runge-Kuttova metoda 4. řádu nejlepší výsledek v porovnání s analytickým matematickým řešením. Celkové diskretizační chyby v posledním kroku simulovaných výpočtů dostáváme užitím (2.16) tyto:

4. MATEMATICKÝ ZÁKLAD SYSTÉMOVÉ

47

DYNAMIKY

Graf příjmů v závislosti na čase

— simulace_euler matematicky

10 000 | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i | i i i i |

only! r

Obrázek 4.10: Graf příjmů v závislosti na čase

-"50

- 5 , 208762 (-0,00043518801)

... pro Eulerovu metodu

-"50

0,159602 (0, 00001333459)


-"50

0, 000056 (0, 00000000465)


Čísla v závorkách udávají podíl této chyby a skutečného výsledku.

Kapitola 5 Závěr Předmětem této práce bylo sblížit pojmově systémovou dynamiku a matematiku. V první kapitole byl představen proces modelování a simulace. Druhá a třetí kapitola zavedla odděleně pojmy z matematiky a systémové dynamiky a následující kapitola se již zabývala propojováním a srovnáváním těchto dvou disciplín. V kapitole 2 byla formulována teorie systémů obyčejných diferenciálních rovnic, na které systémově dy namické modely vedou, a numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic - Eulerova metoda a Runge-Kuttovy metody, které využívají počítačová řešení pro simulaci systémově dynamických modelů. Kapitola 3 položila teoretický základ sys témové dynamiky, kde vymezila komplexní dynamické systémy, příčinné smyčkové diagramy a diagramy akumulací a toků.

V následující kapitole byly využity pojmy z teorie grafů pro definování základních struktur mapování v systémové dynamice, tj. pro definování příčinných smyčkových diagramů a diagramů akumulací a toků. Dále byly analyzovány základní smyčky prostřednictvím konkrétních modelů, kde bylo porovnáváno analytické řešení ma tematického modelu a řešení získané simulací v programu Powersim Studio 2005. Při zvolení Runge-Kuttovy integrační metody čtvrtého řádu, byly výsledky simulace téměř shodné s výsledky analytického řešení.

48

Část II Dynamický model změny vztahu soupeření na vztah spolupráce

49

Kapitola 1 Úvod V reálném světě se často můžeme setkat se systémy, kde jsou vztahy mezi skupi nami nastaveny tak, že chování jedné skupiny zhoršuje podmínky druhé, nebo že chování jednotlivých skupin v celku, chovají-li se odděleně, zhoršuje podmínky v ce lém systému a tedy i podmínky pro ně samé. Skupiny v tomto nastavení označíme za soupeřící, každá z nich, pokud se chová izolovaně, ale působí v rámci celku, zhoršuje podmínky ostatním a v důsledku toho i sobě sama. Pokud by ale tyto skupiny byly motivovány ke spolupráci, pak by mohly zlepšit podmínky celého systému a tím i sobě.

Jedním z konkrétních systémů se dvěmi výraznými zájmovými skupinami je pojiš ťovna. Pro její fungování je rozhodující chování a vzájemné ovlivňování dvou zájmo vých skupin: skupiny obchodních zástupců, dále jen O b c h o d , a skupiny likvidátorů pojistných událostí, dále jen Likvidace. Jejich přirozené nastavení v systému je ta kové, že svým autonomním chováním si navzájem zhoršují podmínky a v důsledku toho i negativně ovlivňují fungování celé pojišťovny.

V následujícím textu se pokusíme modelovat chování Obchodu a Likvidace v po jišťovně a navrhnout politiku, která by změnila vztah soupeření na vztah spolupráce.

50

51

1. ÚVOD

Postup vytváření modelu

Při vytváření modelu budeme postupovat v následu

jících krocích 1 : • Formulace problému • Formulace dynamické hypotézy • Formulace simlačního modelu • Simulace a hodnocení politik Model byl sestavován v úzké spolupráci s odborníky z oblasti pojišťovnictví. Hlavními konzultanty byli Ing. Petr Prokop, C S c , MBA. - výkonný ředitel české pojišťovny, a.s. v letech 2000 - 2002 a Ing. Česlav Veselý - ředitel pojištění regionu Jižní Morava, Česká pojišťovna, a.s. v letech 2002 - 2004 a ředitel Centra likvidace PU - majetek a odpovědost, Kooperativa pojišťovna, a.s. od r. 2005.

Zpracováno dle [6]

Kapitola 2 Formulace problému 2.1

Definice problému

Chování Obchodu a Likvidace je při optimalizaci jejich vlastních užitků neefektivní vzhledem k maximalizaci zisku pojišťovny, resp. Obchod a Likvidace maximalizují jednotlivě svůj užitek, což způsobuje, že efektivita pojišťovny, měřeno ziskem, je suboptimální. Pro zvýšení efektivity pojišťovny definujeme: Efektivní Obchod:

Při maximalizaci svého užitku uzavíráním smluv za účelem

získání provizí uzavírá smlouvy s nejnižší možnou rizikovostí. Efektivní Likvidace:

Při maximalizaci svého užitku likvidováním za mzdu zvy

šuje výkonnost při nárůstu pojistných událostí. V praxi se přirozená neefektivita řeší dodatečnými nařízeními a omezeními vyda nými managementem - dalším omezováním rizikovosti, tlakem na zvýšení výkonnosti. Cílem této studie je navrhnout politiku, která bude autoregulační a bude genero vat efektivní chování, tj. zavést do systému dodatečné mechanismy, které by vedly k efektivnímu chování bez zásahů managementu.

52

2. F O R M U L A C E P R O B L É M U

2.2

53

Základní p o j m y

P o j i s t n á smlouva: je smlouva o poskytnutí pojistného krytí, kterou uzavírá pojiš ťovna s klientem. Uzavření smlouvy za úplatu zprostředkovává obchodní zástupce, dále jen obchodník. Cena za sjednané pojistné krytí je pojistné, které platí kli ent pojišťovně v pravidelných intervalech, obvykle měsíčních, čtvrtletních či ročních. Pojistná smlouva se uzavírá na dobu určitou nebo neurčitou. Uzavřením pojistné smlouvy mezi klientem a pojišťovnou se pojišťovna zavazuje vyplatit náhradu škody při vzniku p o j i s t n é události dle sjednaných podmínek v pojistné smlouvě (tzv. po jistných podmínek).

P o j i s t n á událost: je událost, v jejímž důsledku vzniká klientovi právo na pojistné plnění.

2.3

Klíčové p r o m ě n n é

Proměnné s určujícím vlivem na chování systému označujeme jako klíčové proměnné. Jejich hodnoty nejen charakterizují systém v daném okamžiku, ale, a to zejména, jsou určující pro jeho chování v budoucnosti.

V modelovaném problému se vyskytují tyto klíčové proměnné: • bohatství obchodníka • výkonnost obchodníka • počet smluv • rizikovost smluv • počet pojistných událostí • výkonnost likvidace • doba likvidace

2. F O R M U L A C E P R O B L É M U

54

• spokojenost klienta Za základní časovou jednotku jsme zvolili měsíc, který se pro modelování daného problému jeví jako nejvhodnější, neboť je to nejkratší perioda, která se vyskytuje v modelovaných rozhodovacích mechanizmech. Aby se chování modelovaného systému se základní časovou jednotkou jeden měsíc mohlo dostatečně projevit, je nutné zvolit časový horizont pozorování několika let.

Kapitola 3 Formulace dynamické hypotézy 3.1

Formulace výchozí hypotézy

Obchodník obchoduje, aby zvýšil své bohatství prostřednictvím uzavírání smluv, za jejichž sjednání dostává provize. Zároveň se mu ale bohatství snižuje prostřednic tvím výdajů. Motivaci k pracovnímu výkonu obchodník získává poměřováním svého bohatství s cílovým bohatstvím, kterého by chtěl dosáhnout. Bude-li jeho současné bohatství menší než cílové bohatství, bude obchodník sjednávat pojistné smlouvy, a to tím více, čím je rozdíl větší.

Obchodník je odměňován za objem uzavřených smluv, nikoliv za jejich kvalitu, proto, pokud není nějakým nařízením omezován, obchoduje, bez ohledu na kvalitu, smlouvy, které jsou k obchodování nejsnazší. Kvalitou pojistné smlouvy rozumíme její ri zikovost, tedy náchylnost k opakovanému výskytu škod v průběhu trvání pojistné smlouvy.

Určité procento smluv je škodových, tzn. vznikne na nich pojistná událost. Poměr počtu pojistných událostí vzniklých za jedno pojistné období, v modelu jeden rok, a počtu smluv se nazývá frekvence škod. Frekvence škod roste s rostoucí rizikovostí smluv.

55

3. FORMULACE DYNAMICKÉ HYPOTÉZY

56

Úkol Likvidace je likvidovat pojistné události, tj. realizovat vypořádání PU od oka mžiku nahlášení do jejího vyplacení. Likvidace je za práci odměňována fixní mzdou a je omezena normami o minimálním výkonu za tuto mzdu. Likvidátor není motivován na větší výkon než je určená norma, proto se drží tohoto výkonu a nemá důvod tento stav měnit. Pokud má Likvidace velké množství nevyřízených PU, pak může nabírat nové likvidátory. Doba náboru ale prodlužuje interval mezi dobou, kdy je potřeba zvýšit výkonnost Likvidace a dobou, kdy tato výkonnost opravdu bude k dispozici. Klient, kterému vznikla škoda, chce dostat náhradu škody v co nejkratším čase. Tedy chce, aby doba likvidace byla co nejkratší. Při prodlužování doby likvidace vzrůstá klientova nespokojenost. Nespokojenost klienta se projeví jeho sníženou ochotou uza vírat smlouvy (buď odejde ke konkurenci, nebo bude trvat na změně podmínek uza vření, bude Obchod tlačit k méně kvalitním smlouvám).

3.2

Výchozí příčinný smyčkový diagram

Na obr. 3.1 máme výchozí příčinný smyčkový diagram, který znázorňuje základní vazby a propojení v modelované pojišťovně. Proměnné z diagramu jsou psané kurzí vou. B l a B2: Smyčky obchodníka

Obchodník má určitou úroveň bohatství současné

bohatství (dále jen bohatství), které zvyšuje příjmy z provizí a snižuje výdaji. Výdaje nejsou fixní, ale závisí na velikosti bohatství. Tento předpoklad odpovídá přiroze nému chování jedince, kdy výdaje jednice rostou se zvyšováním jeho bohatství, tyto výdaje ale zpětně toto bohatství snižují. Tuto závislost výdajů a bohatství zachycuje vyrovnávací smyčka B l . Obchodník má nějaké cílové bohatství, které považujeme za exogénni. Porovnáním cílového se skutečným (současným) bohatstvím (rozdíl: cílové — současné bohatství) dostáváme deficit, který motivuje obchodníka k výkonnosti. Tato výkonnost obchodníka pak určuje spolu s jinými faktory uzavírání smluv, ze kte rých plynou obchodníkovi provize. Provize, resp. příjmy z provizí jsou kromě počtu uzavřených smluv dány ještě výší ročního pojistného sjednané smlouvy a provizni


57

sazby jako procenta z tohoto ročního pojistného. Příjmy z provizí pak obchodníkovi zvětšují jeho bohatství, čímž uzavírají vyrovnávací smyčku B2. B3: Cyklus smlouvy

Uzavírání smluv je závislé mimo jiné výkonností jednot

livého obchodníka, která se utváří ve smyčce B2, a počtem obchodníků. Uzavřené smlouvy zvyšují celkový počet smluv. Na určitém procentu smluv určeném frekvencí škod vznikne pojistná událost. Vzniklé pojistné události zvyšují celkový počet pojist ných událostí (nahlášené, ale nezlikvidované). Čím více je pojistných událostí tím delší je (za jinak nezměněných podmínek) doba likvidace. Delší doba likvidace vede ke snížení spokojenosti klienta, který má nějakou očekávanou dobu likvidace, ke které poměřuje skutečnou dobu likvidace. Přičemž, čím je očekávaná doba likvidace delší, tím je klient se skutečnou dobou likvidace spokojenější. Spokojenost klienta poté ovlivňuje počet uzavřených smluv. Tím se uzavírá vyrovnávací smyčka B3. R l : Riziko

Na smyčku B3 blízce navazuje zesilující smyčka R l , která ukazuje

další projevy nespokojenosti klienta v systému. Spokojenost klienta ovlivňuje množ ství uzavřených smluv (B3) a také jejich kvalitu. Pokud obchodník chce uzavřít stejné množství smluv, ale klient je nespokojen, pak se mu to podaří nejspíše pokud sleví z podmínek, tj. uzavře méně kvalitní (více rizikovou) smlouvu. Naopak, je-li obchod ník omezen maximálním povoleným rizikem, pak při menší spokojenosti klienta se mu pravděpodobně podaří uzavřít smluv méně. Zesilující smyčka tedy znázorňuje kauza litu, kdy menší spokojenost klienta vede k většímu zobchodovanému riziku, které zvýší frekvenci škod, čímž se při daném počtu smluv zvýší vznik a tedy i počet PU, které vedou k prodloužení doby likvidace a k následné menší spokojenosti klienta. Smyčka R l je tedy opravdu zesilující (nespokojený klient zhorší rizikovost a přes zvýšený počet PU je ještě více nespokojený). B4 a B5: Smyčky likvidátorů

Smyčka B5 popisuje proces likvidace PU. Podle

počtu PU se mění výkonnost likvidace. Pokud nejsou likvidátori motivováni jinak (v tomto případě nejsou), pak tento vztah platí pouze ve směru snižování výkonu, tj. pokud je málo PU, pak likvidátori mají malou výkonnost, směrem opačným zvyšují likvidátori výkonnost pouze do výše normy normy likvidátora, kterou musí splnit,

58

3. F O R M U L A C E D Y N A M I C K É H Y P O T É Z Y

více pracovat nepotřebují, při fixním platu mají vyděláno splněním normy. Svoji vý konností pak ovlivňují (resp. vykonávají) likvidaci PU, která snižuje počet PU.

Smyčka B 4 je smyčkou zvyšováním výkonu Likvidace prostřednictvím náboru. Vyšší počet PU vede k náboru nových likvidátorů, kteří zvýší počet likvidátorů celkovou výkonnost

a tím i

likvidace a tím sníží počet PU. I nově nabraní likvidátori jsou

motivovaní fixním platem a omezení normou. Zpoždění 1 mezi PU a náborem je způ sobeno časovou prodlevou mezi okamžikem, kdy se zvýší PU a okamžikem, kdy se rozhodne o náboru nových likvidátorů. Nábor nových likvidátorů je ale také časově náročný a mezi tím, kdy se začnou nabírat noví likvidátori a kdy začnou likvidovat PU, tj. kdy se skutečně zvýší počet likvidátorů, je také zpoždění.

3.3

Určení problému

Neefektivita Obchodu ve vztahu k fungování pojiťovny spočívá v zobchodovaném ri ziku. Obchod není ničím motivován, aby uzavíral méně rizikové smlouvy oproti více rizikovým, jediné opatření jsou restrikce v podobě exogenního maximálního

povole

ného rizika.

Stejně tak Likvidace má svá omezení. Likvidátor má fixní plat a není tedy moti vován k tomu, aby při zvýšení počtu PU zvýšil svoji výkonnost. Jediná možnost zvýšení výkonu Likvidace je tedy nábor nových likvidátorů. Náborem likvidátorů se ale výkonnost nezvýší hned v okamžiku vzniku potřeby, ale až za nějaký čas, který je potřeba pro nábor a zaškolení nového likvidátora. Vznikají zde zpoždění mezi oka mžikem potřeby výkonu a okamžikem, kdy je potřebný výkon k dispozici, což vnáší, jak bude ukázáno dále, nestabilitu do celého systému.

Problematická místa, která způsobují výše popsané neefektivity tohoto systému, jsou ve smyčkovém diagramu na obr. 3.1 označena modře. Proměnné, které jsou určující 1

V diagramu je zpoždění znázorněno přeškrtnutím spojovací šipky.


59

pro chování Obchodu a Likvidace, jsou přímo závislé na faktorech, které jsou v mo delu exogénni. Pro chování Obchodu je určující jeho provize a ta je zde dána pouze počtem smluv a exogénne určenou provizní sazbou a ročním pojistným na zobchodovaných pojistných smlouvách. Likvidace nastavuje svoji výkonnost pouze podle stanovené normy. Vidíme tedy, že pokud bychom chtěli nějak optimalizovat chování těchto subjektů, museli bychom se zabývat určením těchto parametrů, přičemž tyto parametry by nadále znamenaly jen omezení a nařízení a nikoliv rozhodnutí, které uskutečňují subjekty samy na základě svých preferencí.

3.4

Návrh řešení

V příčinném smyčkovém diagramu na obr. 3.2 je návrh na zabudování dodatečných vazeb, které by nedostatky popsané v odstavci 3.3 zmírnily.

Tento model zavádí finanční motivaci Likvidace na výkonnost a finanční motivaci Obchodu na rizikovost. Existuje zde následující mechanismus: Provizní sazba je stále určena pevnou - fixní sazbou, ale o vzniklou provizi se obchodník dělí s Likvidací v zá vislosti na zobchodovaném riziku. Obchoduje-li tedy obchodník rizikovější smlouvy, pak dojde k většímu přerozdělení provizí od Obchodu k Likvidaci. Přerozdělené pro vize pro Likvidaci vstupují do tzv. rezervních odměn a při vniku PU jsou k dispozici na zaplacení zvýšeného výkonu Likvidace.

Tímto dodatečným mechanizmem jsou vyřešeny dvě následující okolnosti: • Při obchodování rizikovějších smluv je větší pravděpodobnost vzniku PU, tedy je potřeba více peněz pro Likvidaci, aby vzniklé PU zlikvidovala. Přerozdělo váním provizí se pokryjí dodatečné náklady na zaplacení likvidátorů. • Přerozdělování provizí také působí jako motivační faktor pro Obchod, který při maximalizaci svých příjmů musí ve svých rozhodnutích zohledňovat rizikovost smluv.

60


V navrhovaném řešení vycházíme z předpokladu, že obchodník je schopen rizikovost smluv u daného klienta určit na základě historických zkušeností, empirického odhadu nebo jinak dostupných informací. B6:

Čím je zobchodované riziko větší, tím je větší přerozdělování provizí od Obchodu

k Likvidaci, což ale vede ke snížení zobchodovaného

rizika v souladu s podmínkou, že

obchodník chce větší provize. Tuto kauzalitu zachycuje vyrovnávací smyčka B 6 . B7 a B8:

Likvidace není ohodnocena fixním platem ale podobně jako Obchod je

ohodnocena za výkon. Tedy čím víc je PU, tím víc si může likvidátor vydělat, tj. tím více odměn je k dispozici. Možnost vydělat si více vede likvidátora ke zvýšení efektivity jeho práce a tedy i ke zvýšení výkonnosti

efektivitou. Smyčka B 7 pak tedy

reguluje počet PU přes zvýšenou výkonnost Likvidace pomocí efektivnosti.

Smyčka B 8 je vyrovnávací smyčkou, která působí proti smyčce R l tím, že zmír ňuje dopady snížené spokojenosti

klienta, resp. nespokojenosti klienta na zvětšující se

riziko a nárůst PU. Přizpůsobuje výkonnost likvidace aktuálním potřebám vzhledem k počtu PU a rychlejší likvidací zmenšuje nespokojenost

klienta.

61


očekávaná doba likvidace

+

počet likvidátoru

norma likvidátora

Obrázek 3.1: Příčinný smyčkový diagram

62


rezervování odměn

očekávaná doba likvidace

+

norma likvidátora

Obrázek 3.2: Příčinný smyčkový diagram s navrhnutou politikou

Kapitola 4 Formulace simulačního modelu V následující části sestavíme simulační model podle výše popsaných hypotéz a si mulací ověříme relevantnost našich úvah. Pro simulační model použijeme program Powersim Studio 2005 1 . O b e c n é předpoklady: • Uvažujeme pojišťovnu, kde smlouvy uzavíráme na dobu určitou - jeden rok. • Při úvahách o chování obchodníka, resp. likvidátora uvažujeme reprezentanta se středním (průměrným) chováním. Poznámka.

Model budeme sestavovat po částech, po tzv. konstrukčních diagramech

(dále jen diagramech). Tyto diagramy jsou mezi sebou propojeny, každý z nich má tedy nějaké vstupy, které jsou buď exogénni nebo jsou výstupem jiné části, a výstupy, které jsou vstupy do ostatních diagramů.

Vstupy daného diagramu jsou zvýrazněny červeně a výstupy jsou zvýrazněny modře (Obr. 4.1). Prvky, které se vyskytují pouze v daném diagramu jsou bílé. Prvek zvý razněný 4-mi rožky po obvodu je kopií stejnojmenného prvku, který se v diagramu již jednou vyskytuje. Kopie jsou využívány pro větší přehlednost diagramů (Obr. 4.1). 1

http://www. powersim. com/ products/studio, asp

63

64

4. F O R M U L A C E SIMULAČNÍHO M O D E L U

© • vstup

výstup

n

kopie

Obrázek 4.1: Grafické vyjádření vstupů, výstupů a kopií Poznámka.

Model vychází ze vztahů popsaných v příčinných smyčkových diagramech

v kapitole 3. Zatímco příčiné smyčkové diagramy jsou mapováním základních vztahů a slouží pro kvalitativní pochopení problému a uvědomění si důležitých zpětných va zeb, model je již konkrétním popsáním každého ze vztahů a je mnohem podrobnější. Je nejen kvalitativním, ale také kvantitativním nástrojem.

Proměnné z příčinných smyčkových diagramů se vyskytují i v tomto modelu. Vzhle dem k tomu, že model postihuje veškeré detaily zkoumaného problému, vyskytuje se v něm proměnných více a některé nemusí mít přesně shodný název s názvem užitým v příčinném smyčkovém diagramu. Analogie mezi oběma modely by však měly být zřejmé.

4.1

Motivační cyklus obchodníka

Hlavní proměnnou tohoto schématu je současné

bohatství

Na základě současného

bohatství se obchodník rozhoduje, jak hodně bude obchodovat. Současné

bohatství

je akumulace. Je zvyšováno příjmy, příjmy jsou tedy přítok současného bohatství, a snižováno výdaji (odtok). Současné bohatství začíná na zvolené počáteční hod notě, která je daná exogénne konstantou ini bohatství. Výdaje předpokládáme přímo úměrné současnému bohatství. Obchodník své současné bohatství porovnává s cílo vým bohatstvím, které je v modelu exogénni a konstantní. Porovnáním mu vznikne deficit = cílové bohatství - současné

bohatství. A na základě deficitu si obchodník

stanovuje žádoucí příjem za daný měsíc.

65

4. FORMULACE SIMULAČNÍHO MODELU

motivační cyklus obchodníka

*2)

ST_ současnc bohatství počet obchodníků

provize obchodu

í/ize obchodníka

výdaje

příjmy

deficit

cílové bohatství

zadouci prijmy obchodníka

doba vyrovnání deficitu

-^9>

Obrázek 4.2: Motivační cyklus obchodníka

Proměnná žádoucí příjmy obchodníka je určena již zmíněným deficitem, dále pak dobou, kterou si obchodník určí, za kterou by tento deficit chtěl vyrovnat, pokud by obchodoval po celou dobu se stejnou výkonností - doba vyrovnání deficitu. Žádoucí příjmy vyjadřují, kolik by si obchodník potřeboval vydělat za měsíc, aby dosáhl cílo vého bohatství v této době (doba vyrovnání deficitu).

4.2

Rozhodování obchodníka o riziku

Model chování obchodníka při rozhodování o riziku, které bude obchodovat, je za ložen na jednoduché smyčce učení. Obchodník jako ekonomicky racionální subjekt hledá maximum příjmu z obchodování smluv. Toto maximum hledá v závislosti na

66


rozhodováni obchodníka o riziku riziko

m

C

initial riziko

<\zapomeň

max povolené riziko minula úprava úprava rizika

impulz na úpravu rizika

provize obchodníka

Obrázek 4.3: Rozhodování obchodníka o riziku rizikovosti uzavíraných smluv. Trh smluv s vyšším rizikem je větší než trh smluv s ri zikem nižším, tudíž se na něm snáze obchoduje a obchodník za časové období jednoho měsíce uzavře takových smluv více. Opatření ze strany pojišťovny proti uzavírání ne omezeně rizikových smluv je dvojího druhu. Za prvé je to maximální povolené

riziko

jako nařízení ze strany managementu a za druhé je to progresivní provizní sazba, která je snižována se zvyšováním rizika. Optimum rizika k obchodování především v tomto druhém případě není zřejmé. Obchodník postupuje intuitivně a v těchto kro cích:

Z výchozí úrovně rizika - initial risk zkusí zvýšit rizikovost o malou hodnotu, pokud tento krok vedl ke zvýšení provizí obchodníka zopakuje tento krok v dalším měsíci. Riziko zvyšuje do té doby, než narazí na omezení a pak nadále obchoduje na této úrovni rizika, nebo až se po posledním kroku jeho provize v porovnání s minulým měsícem sníží. Jakmile toto nastane, obchodník si uvědomí, že pravděpodobně opti-

67


mální bod již přešel, a učiní krok o poloviční velikosti opačným směrem, tedy sníží o polovinu posledního kroku právě obchodované riziko. A opět pokračuje v krokování tak dlouho, dokud mu provize roste. Tímto intuitivním iteračním postupem nalezne úroveň rizika, která mu přináší již dále nerostoucí provize. Tento postup v sobě ob sahuje jisté neefektivity, nicméně je robustní snadno pochopitelný a blízký uvažování obchodních zástupců. Navíc vede k cíli i pro měnící se parametry odměňování ob chodní služby. V modelu je takto popsaný postup zaveden následovně:

V daném měsíci porovná obchodník provize (obchodníka) vztažené k žádoucím

pří

jmům obchodníka, tj. poměr {provize obchodníka / žádoucí příjmy obchodníka) s tímto poměrem v předchozím obdobím a dle toho uskuteční impulz na úpravu rizika buď s hodnotou minulá úprava nebo (- minulá úprava/2).

Skutečná úprava rizika pak se

děje v souladu s podmínkou o nepřekročení max povoleného rizika. Výstupem tohoto diagramu je riziko a je to ta úroveň rizika, kterou obchodník skutečně obchoduje.

4.3

Produkce pojistných smluv produkce pojistných smluv zadouci prijm obchodníka

rocni pojistné

provizní sazba spokojenost klienta

riziko produkce obchodu uzavíráni smluv

počet obchodníků

Obrázek 4.4: Produkce pojistných smluv

68


Předchozí dva diagramy modelovaly rozhodovací procesy obchodníka o počtu a kva litě (rizikovosti) uzavíraných smluv. Obchodník je motivován na obchodovaní tím, že chce dosáhnout cílového bohatství. V daném měsíci má určené příjmy, které by si chtěl vydělat, aby dosáhl cílového bohatství za požadovanou dobu (viz diagram Motivační cyklus obchodníka na obr. 4.2), což vyjadřuje proměnná žádoucí

příjmy

obchodníka. Čím větší jsou tyto žádoucí příjmy, tím více je obchodník motivován na obchodování. Dále je připraven obchodovat smlouvy s určitým rizikem, o kterém si myslí, že mu přinese největší příjem (viz. diagram Rozhodování obchodníka o riziku na obr. 4.3). Dalším významným faktorem, který určí kolik smluv obchodník skutečně zobchoduje (jaká bude jeho produkce) je spokojenost

klienta. Vztahy mezi produkcí

obchodníka (množstvím zobchodovaných smluv za měsíc) a uvedenými proměnnými jsou následující: Produkce obchodníka je tím větší, • čím víc je obchodník motivován uzavírat smlouvy, tj. čím větší jsou příjmy

žádoucí

obchodníka,

• čím větší je spokojenost

klienta,

• čím větší je riziko. Konstanty provizní sazby a ročního pojistného,

slouží k převedení žádoucích příjmů

obchodníka z jednotek peněz na počet smluv, neboť platí, že: příjmy = smlouvy * roční pojistné * provizní sazba. Výstupem tohoto diagramu je produkce obchodu, která je celkovou produkcí všech obchodníků.

4.4

Koloběh smluv

V diagramu koloběh smluv je modelován životní cyklus pojistných smluv. Smlouvy zkoumáme z hlediska dvou procesů - procesu uzavírání smluv (a ukončení smluv) a procesu vzniku a likvidace pojistných událostí (PU). V prvním procesu plyne po jišťovně ze smlouvy příjem z pojistného za uzavřené smlouvy (tj. uzavírané a již uzavřené). A v druhém procesu jsou na tytéž smlouvy, resp. část z nich, klientem nárokována pojistná plnění, pojišťovně tedy v druhém procesu vznikají výdaje.

69


P r o c e s uzavírání smluv:

Smlouvy jsou uzavírány na dobu určitou, na dobu jed

noho roku. Proměnná smlouvy je akumulací, která v daném okamžiku obsahuje cel kový počet (kmen) uzavřených a dosud neukončených smluv. Počet smluv narůstá uzavíráním smluv produkce obchodu-uzavírání

smluv - a klesá vypršením

smluv po

12-ti měsících. Initial smlouvy je výchozí počet smluv (na počátku simulace).

Do modelu zavádíme účelovou proměnnou risk units, která je použita pro lepší pro mítnutí rizikovosti uzavřených smluv na vznik PU. Rizikovější smlouvy mají větší frekvenci škod, mají tedy větší pravděpodobnost vzniku PU. Označíme-li smlouvu, na které je pravděpodobnost vzniku PU 0,01 rizikem s hodnotou 1,00, pak smlouva s hodnotou rizika 2,00 má pravděpodobnost vzniku PU 0,02. Pravděpodobnost vzniku PU u jedné smlouvy s rizikem 2,00 je tedy stejná jako pravděpodobnost vzniku PU na dvou smlouvách s rizikem 1,00.

O tuto úvahu se opírá konstrukce zmíněných risk units. Risk units jsou rizikově ohodnocené smlouvy, tj. určují nám, kolika jednotkově rizikovým smlouvám odpo vídá daný kmen smluv.

Risk units rostou s uzavíráním smluv: nárůst risk units = produkce

obchodu-uzavírání

smluv * riziko a klesají s vypršením smluv po 12-ti měsících: pokles risk units je roven nárůst risk units před 12-ti měsíci. P r o c e s v z n i k u a likvidace P U :

Frekvenci škod uvažujeme neměnnou na úrovni,

která odpovídá frekvenci škod jednotkově rizikových smluv, tedy smluv s rizikem 1,00, a touto frekvencí pak násobíme risk units, abychom dostali počet vzniklých PU.

Vzniklé PU vstupují do portfolia PU. Portfolio PU je soubor PU rozdělený dle stáří PU. Rozlišujeme PU staré do 1 měsíce, do 2 měsíců, , do 5-ti měsíců a do 6-ti a více měsíců, (celkem 6 segmentů portfolia). Vzniklé PU vstupují do portfolia jako PU se stářím do 1 měsíce. V každém následujícím měsíci se PU se stářím do z-tého měsíce se stávají PU se stářím do (i + 1) měsíce, pro i = 1 . . . 5.

70


Střední doba PU je průměrná doba stáří PU vypočítána váženým průměrem s vahami počtu PU s daným stářím. PU celkem je celkový počet pojistných událostí v port foliu. Likvidování pojistných událostí s různým stářím probíhá tak, že se primárně likvidují nejstarší smlouvy. Likvidování PU tedy probíhá postupně od nejstarších po nejnovější PU. Vstupem pro likvidování PU je výkonnost likvidace, která udává, ko lik PU je Likvidace schopna v daném měsíci zlikvidovat. Výstupem je likvidace PU, která udává skutečný počet zlikvidovaných PU: je-li výkonnost likvidace < PU celkem, pak likvidace PU = výkonnost likvidace, je-li výkonnost likvidace > PU celkem, pak likvidace PU = PU celkem.

4.5

Výkonnost Likvidace

Výkonnost Likvidace jako celku závisí primárně na dvou faktorech: • na výkonnosti jednotlivých likvidátorů a • na počtu likvidátorů. I model se nám rozpadá do dvou částí podle těchto kritérií.

4.5.1

Výkonnost jednotlivých likvidátorů

Výkonnost jednotlivých likvidátorů je závislá na jejich finanční motivaci, a proto je různá pro dvě uvažované varianty motivace - fixní plat a výkonový plat. Výkonnost likvidátorů při výkonovém platu:

Výkonovým platem rozumíme

odměnu likvidátorovi za jeho práci v závislosti na výkonu, tj. za počet zlikvidova ných PU. Předpokládejme maximální výkonnost likvidátora jako takovou, kterou je likvidátor schopen dosáhnout při maximální efektivitě své práce. Likvidátorovi je za zlikvidování PU slíbena odměna ve výši sazby za zlikvidování PU. Likvidátor bude


71

likvidovat PU až do výše své maximální výkonnosti, pokud je na kontě pro výplatu likvidátorů dostatek peněz na pokrytí jeho platu. Výkonnost Likvidace v podmínkách výkonového platu je následující: • Je-li maximální výkonnost všech likvidátorů větší nebo rovna počtu všech PU, tj. (počet likvidátorů+ počet likvidátorů ve výpovědní lhůtě) * maximální vý konnost likvidátora > PU celkem, pak — je-li na kontě pro výplatu likvidátorů dostatek prostředků na jejich zapla cení, pak výkonnost likvidace = PU celkem, — není-li na kontě pro výplatu likvidátorů dostatek prostředků na jejich za placení, pak výkonnost likvidace = konto pro výplatu likvidátorů/ sazby za zlikvidování PU, tj. likvidátori budou likvidovat jen tolik PU, kolik jim bude zaplaceno. • Je-li maximální výkonnost všech likvidátorů menší než počet všech PU, tj. (po čet likvidátorů+ počet likvidátorů ve výpovědní lhůtě) * maximální výkonnost likvidátora < PU celkem pak — je-li na kontě pro výplatu likvidátorů dostatek peněz na jejich zaplacení. Pak výkonnost likvidace = (počet likvidátorů-!- počet likvidátorů ve výpo vědní lhůtě) * maximální výkonnost likvidátora, — není-li na kontě pro výplatu likvidátorů dostatek peněz na jejich zaplacení, pak výkonnost likvidace = konto pro výplatu likvidátorů/ sazby za zlikvi dování PU, tj. likvidátori budou likvidovat jen tolik PU, kolik jim bude zaplaceno. Výkonnost likvidátorů při fixním platu:

Likvidátor dostává fixní plat, který

není vázán na jeho výkonnost. Likvidátor tedy není motivován dělat více než musí, aby si mohl udržet své místo. Je-li jeho místo podmíněno nějakou minimální výkon ností, tzv. normovanou výkonností, pak likvidátor se bude s největším pravděpodob ností snažit dělat právě na této úrovni. Výkonnost likvidace v podmínkách fixního

72


platu je tedy na úrovni normované torů, tj. Výkonnost

výkonnosti

likvidace = normované

násobeno počtem výkonných likvidá

výkonnosti

* (počet likvidátorů + počet

likvidátorů ve výpovědní lhůtě) (viz. násl. odstavec).

4.5.2

Počet likvidátorů - model náboru a propouštění

Mechanizmus náboru a propuštění je shodný pro schéma fixního i výkonového platu. Při náboru nebo propouštění se rozhodujeme na základě porovnání aktuálního počtu likvidátorů s potřebným počtem likvidátorů. Potřebný počet likvidátorů je určité roz mezí minimálního a maximálního počtu likvidátorů. 2 Minimální počet likvidátorů je takový, který by byl schopen zlikvidovat předpokládaný počet PU v době, za kterou by se mělo vše zlikvidovat3

při maximální

výkonnosti

likvidátora. Maximální počet

likvidátorů je nejnižší možný, kdy ještě výkonnost na jednotlivce neklesne pod mini mální výkonnost

likvidátora.

Potřeba náboru = (minimální potřeba likvidátorů - (počet likvidátorů +

likvidátori

v náboru)) Potřeba propuštění

= ( počet likvidátorů

— maximální potřeba

Je-li potřeba náboru > 0, pak dochází k náboru likvidátorů. zvyšujeme počet likvidátorů

likvidátorů).

Náborem likvidátorů

v náboru. Doba od náboru po zaškolení likvidátorů je

nenulová, v našem případě 3-měsíční. Po této době přechází likvidátor v náboru mezi běžné likvidátory, jejichž počet je zachycen v akumulaci počet

Je-li potřeba propouštění

likvidátorů.

> 0, pak dochází k výpovědi. Likvidátor neodchází z po

jišťovny hned, ale až po výpovědní lhůtě. Během této doby ještě pořád likviduje PU. Výpovědí se tedy likvidátor stává likvidátorem teprve dojde k propuštění

Předpokládaný 2

ve výpovědní lhůtě a po této lhůtě

likvidátora.

počet PU = PU celkem - likvidace PU + předpokládaný

vznik PU,

V modelu je potřebný počet likvidátorů proměnná pole se dvěma prvky, pole je vyznačeno

dvojitými čarami. 3 Tato doba bývá dána pojišťovně formou nařízení, např. ze zákona.

73


kde předpokládaný vznik PU vychází z aktuálního vzniku PU.

4.6

Spokojenost klienta

Klientovy 4 požadavky na kvalitu služeb pojišťovny se nejvíce projevují v momentě, kdy klientovi vznikne škoda a očekává pojistné plnění, tj. proplacení náhrady škody pojišťovnou. Klient vnímá určitou dobu likvidace (tj. dobu od vzniku PU po zlikvi dování PU) jako přijatelnou. Pokud výplata pojistného plnění pojišťovně trvá déle než klient očekává, pak je nespokojen, resp. spokojenost klienta klesá (to se poté pro jeví v ochotě uzavírat smlouvy). Klient porovnává jím vnímanou přijatelnou likvidace se střední dobou PU, dobou od vzniku PU. Rozdíl mezi přijatelnou

dobou

a střední

dobou likvidace pak určuje spokojenost klienta. Čím je rozdíl větší tím je klient méně spokojen.

4.7

Přerozdělování provizí

V modelu jsou v závislosti na způsobu odměňování likvidátorů uplatněna dvě sché mata vyplácení provizí obchodníkům za sjednání pojistných smluv: • s fixní provizní sazbou — Obchodník dostane provize, které jsou určeny pouze počtem smluv, které uzavře, hodnotou pojistného a fixní provizní sazbou. • s progresivní provizí v závislosti na riziku — Obchodník dostane provize, které jsou určeny počtem smluv, které uzavře, hodnotou pojistného a provizní sazbou, která je efektivně závislá na riziku. M o d e l přerozdělování provizí při progresivní provizní sazbě: podle pevně dané provizní sazby určí stoprocent násobením 'produkce obchodu-uzavírání 4

Pojišťovna

(plnou výši) provizí, které určí vy

smluv', ročního pojistného

a provizní

sazby.

V tomto modelu klientem není míněn jednotlivec, ale skupinová entita zahrnující (resp. repre

zentující) všechny klienty pojišťovny.

74


Tyto provize by obchodník dostal, pokud by sjednané pojistné smlouvy nesly riziko s hodnotou 1,00. Obchoduje-li s rizikem vyšším než 1,00, pak jeho provize budou přerozděleny prostřednictvím koeficientu

přerozdělení.

Koeficient

přerozdělení

má

následující vlastnosti: • je nerostoucí funkcí rizika, • leží v intervalu (0;1), kde 0 znamená 100% přerozdělení v neprospěch Ob chodu, tj. nulové provize Obchodu, a 1 znamená 0% přerozdělení v neprospěch Obchodu, tj. stoprocentní provize Obchodu, • určuje jaký podíl provizí bude Obchodu skutečně vyplacen, • určuje jaký podíl provizí za sjednané smlouvy půjde pro likvidaci. Tento podíl je (1- koeficient

přerozdělení).

Pojišťovna vždy vyplatí stoprocent provizí, ale v závislosti na přerozdělovacím

koefi

cientu jsou tyto provize rozděleny mezi Obchod a Likvidaci. Provize obchodu je pro měnná, která udává skutečně vyplacené provize obchodníkům a provize od obchodu k likvidaci je proměnná udávající kolik je rezervováno na krytí mezd Likvidace. Po třeba vyššího krytí je vyvolána vyšší rizikovostí, která způsobuje vyšší nárůst PU a proto vyvolává potřebu vyššího výkonu likvidátora, který musí být zaplacen. 5

Progresivní provizní sazba (vzhledem k riziku) zde není explicitně vyjádřena, nicméně ve vztahu k motivaci obchodníků sjednávat pojistné smlouvy s nižším rizikem, je obsa žena v mechanizmu přerozdělování. Číselnou hodnotu této progresivní sazby bychom dostali vynásobením fixní provizní sazby a koeficientem

Při fixních sazbách je koeficient přerozdělení

přerozdělení.

= 1 pro všechna rizika a veškerá

provize bez závislosti na rizikovosti sjednaných smluv směřuje k obchodníkům.

K přepínání mezi funkčností koeficientu přerozdělení slouží přepínač provizních 5

sazeb.

V tomto bodě z důvodů tematického zaměření práce pomíjíme a dále nediskutujeme rovněž

významný důsledek zvýšení rizikovosti smluv, které vede k růstu nákladů na pojistná plnění.

75


4.8

Výplata Likvidace

Model výplaty Likvidace opět pracuje se dvěma výše uvedenými schématy fixních a progresivních provizních sazeb. M o d e l v ý p l a t y Likvidace při progresivní provizní sazbě:

Požadavky na sys

tém výplat Likvidace je následující: • Pro likvidátory musí být vyhrazeny prostředky (peníze), které by je motivovaly k vyššímu výkonu při větší míře vzniku PU. • Takto zarezervované peníze mohou být vyplaceny až v okamžiku zlikvidování, tj. až za provedenou službu likvidátorem. Idea mechanizmu splňující tyto podmínky je následující:

Zavedeme konto pro výplatu Likvidace, které bude bude zajišťovat krytí budoucích výdajů na výplaty likvidátorům. Při uzavření smlouvy je s určitou pravděpodobností (rovnou frekvenci škod) očekáván vznik PU. s každou uzavřenou smlouvou by tedy pojišťovna měla rezervovat předpokládané náklady na budoucí službu likvidátora. S vyšší rizikovostí smlouvy je tato částka přirozeně vyšší neboť pravděpodobnost vniku PU je také vyšší. Bude-li pojišťovna s každou uzavřenou smlouvou rezervovat pevnou částku na konto pro výplaty likvidátorů - příspěvek na výplaty likvidace a při vyšší rizikovosti uzavíraných smluv, přerozdělí-li část provizí od obchodu k likvidaci, pak si zajistí dostatečné krytí nákladů pro budoucí výplatu Likvidace.

Pak tedy: Rezervování

pro výplaty likvidátorů

= paušál provize * produkce obchodu — uzaví

rání smluv + provize likvidaci. Rezervování

pro výplaty likvidátorů je přítokem do

akumulace konta pro výplatu likvidace. Odtok z akumulace jsou výplaty Výplaty likvidátorům

likvidátorům.

jsou dané sazbou za zlikvidování PU a počtem zlikvidovaných

PU - suma likvidace PU.

76


M o d e l v ý p l a t y Likvidace při fixní provizní sazbě:

Likvidátori jsou odmě

ňování fixním platem, který nezohledňuje výkonnost likvidátora, ani nijak nesouvisí s počtem uzavíraných smluv. Konto pro výplatu likvidace je tedy plněno v závislosti na počtu likvidátorů a na platu likvidátora a tato částka je pak celá vyplacena likvi dátorům bez ohledu na jejich výkonnost.

Poznámka:

Model s fixní sazbou by samozřejmě nepotřeboval konstrukci s kontem

Likvidace, ale my jsme ji zde využili i pro toto schéma odměňování, aby bylo možné obě metody snáze porovnat.

4.9

Zisk

Diagram zisku je monitorovací a nemá žádný výstup, který by vstupoval do jiné části modelu. Zisk narůstá s výnosy a klesá prostřednictvím nákladů. Výnosy mají pouze 1 složku: • roční pojistné

celkem = smlouvy

* roční pojistné] pojistné se do výnosů roz

pouští po měsících. Náklady se skládají z následujících položek: • náklady na pojistná plnění = vznik PU * průměrná výše plnění • provizní a mzdové náklady = rezervování pro výplaty likvidátorů * provize obchodu • náklady na nábor a propouštění = (nábor + výpověd) * náklady na nábor či propuštění 1 likvidátora Měsíční zisk = výnosy — náklady.

77


koloběh smluv

produkce obchodu uzavirar i smluv

riziko

£>

~Z^ nárůst risk units

vypršení smluv

H> risk; units

^sr

Pokles risk units

Obrázek 4.5: Koloběh smluv

*3

výkonnost při výkonovém platu

vznik P

výkonnost likvidace

vidace P J

předpoklad vznik PU

výkonnost při fixním platu

předpo počs

o er i-i

a> doba za kterou by se melo vse zlikvidovat

<

o o

počet likvidátoru

<

ao

<£> propuštění likvidátorů

nábor likvidátorů

ini počet likvidátorů

likvidátori ve výpovědní lhůtě

79


spokojenost klienta

•

přijatelná doba ikvidace

«

spokojenost klienta

rozdil mezi přijatelnou a stredni dobou likvidace stredni doba PU

Obrázek 4.7: Spokojenost klienta

koeficient přerozděleni

přerozdělování provizí stoprocent provizi

O

přepínač provizních sazeb

provizní sazba

rocni pojistné riziko

provize obchodu

Obrázek 4.8: Přerozdělování provizí

produkce obchodu uzavíráni smluv

80


výplata likvidace

politika: pevný plat likvidátora

fixní plat likvidátora

p 0 cet/ikvidatoru

příspěvek na produkce obchoduprovize od obchodu výplaty likvidace uzavíráni smluv k likvidaci

sazba za zlikvidování PU

suma

Obrázek 4.9: Výplata likvidace

,

llkvldace PU

portfolio PU

81


Ö smlouvy

zisk

^"^

rocni p o j i s t n e ^ ^ - ^ celkem

rocni pojistné

<\ vynos

1

^ N .

(í^) provize obchodu

--

• rezervováni pro /yplaty likvidátoru

j*á"klady na pojistrreL plnění

• vznik PU

z •k

provizní a mXdové náklady\

•

^ ^

naklac /

^ průměrná výše plnění

nábor l i k v i d á t o r ů / ^

d

•

nájsřtódy na nábor a /ypropouštění

l5

výpovědi

náklady na nábor či propuštění 1 likvidátora

Obrázek 4.10: Zisk

^Ä /měsíční zisk

Kapitola 5 Simulace a hodnocení politik Simulační krok:

1 měsíc

Simulační období:

leden 2006 - leden 2016

Integrační metoda:

Eulerova prvního řádu

Počáteční nastavení:

všechna počáteční nastavení a definice proměnných jsou v příloze, vybraná počáteční nastavení jsou u hodnocení výstupů simulace dále v této kapitole.

Poznámka.

Na obr. 5.1 je označení srovnávaných politik v grafech, kde

• Reference označuje Simulace systému v podmínkách fixních provizních sazeb Obchodu a fixních mezd Likvidace a • Current označuje Simulace systému v podmínkách progresivních provizních sazeb Obchodu a výkonových mezd Likvidace.

— Current - Reference

Obrázek 5.1: Označení PROGRES a FIX varianty v grafech Výše zmíněné politiky budeme v textu označovat pro jednoduchost zkráceně: F I X politika a P R O G R E S politika.

82

83

5. S I M U L A C E A H O D N O C E N Í P O L I T I K

5.1

Bohatství Obchodu a uzavírání smluv

Počáteční nastavení: •

současné bohatství

100.000

•

cílové bohatství

1.200.000

•

doba za jako chce obchodník dosáhnout cílového bohatství

15 měsíců

•

počáteční počet smluv

200.000

Z křivek na obr. 5.2 a p o č á t e č n í h o nastavení m ů ž e m e dovodit:

• C u rre n t Reference

1. I 2 0 0 6 1. I 2 0 0 8 1. I 2 0 1 0 1. I 2012 1. I 2 0 1 4 1. I 2 0 1 6

|Non-com mercial use only!|-

°

• C u rre n t Reference

600 0 0 0 - -

1. I 2 0 0 6 1. I 2 0 0 8 1. I 2 0 1 0 1. I 2 0 1 2 1. I 2 0 1 4 1, I 2 0 1 6 IM„„

™„„

Obrázek 5.2: Grafy současného bohatství a smluv

• Na počátku zkoumaného období je dán do systému impulz motivací obchodníka, který má veliký deficit mezi současným a cílovým bohatstvím a tedy obchoduje veliké množství smluv. • Po počátečním impulzu se po nějakém čase produkce smluv ustálí jako důsledek ustálení bohatství Obchodu na dlouhodobě udržitelné hladině. • Současné bohatství se ustálí v okamžiku, kdy obchodníkovy příjmy jsou shodné s výdaji.

84


• Dalším impulzem pro větší výkonnost obchodníka by bylo zvýšení jeho cílového bohatství, zvýšení výdajů či zkrácení doby pro dosažení cílového bohatství. • PROGRES politika se rychleji než FIX politika stabilizuje na udržitelné úrovni. • FIX politika se dostává do stabilní fáze po několika rozkmitech, které jsou způsobeny nepružností systému, kde zejména Likvidace není schopna rychle reagovat na zvýšený nárůst PU a klientská nespokojenost pak způsobí zhoršení podmínek při uzavírání smluv. • Obě politiky se ustálí na stejném počtu smluv, ale při FIX politice je větší konečné bohatství.Je to proto, že FIX obchodník dostává 100% provizí, i když obchoduje rizikovější smlouvy, ale PROGRES obchodník, který najde své opti mální riziko výše než na hodnotě 1,00, dostává provize snížené.

5.2

Riziko

P o č á t e č n í nastavení: • počáteční riziko •

l

maximální povolené riziko

1,00 2,00

Z křivek na obr. 5.3 a p o č á t e č n í h o nastavení m ů ž e m e dovodit: • Obchodníci se poměrně rychle ustálí na stabilní hladině rizika, která — u FIX obchodníka je blízko maximálního povoleného rizika, neboť obchod ník není peněžně odměňován dle výše rizika a vysoké riziko se mu snáz obchoduje, — u PROGRES obchodníka je stabilní hladina pod úrovní 1,5, tato úroveň je zřetelně nižší než maximální povolená a je taková na níž obchodník optimalizuje dvojici parametrů příjem a námaha za sjednané smlouvy. 1

V tomto bodě z důvodů tematického zaměření práce pomíjíme a dále nediskutujeme potenci

álně významnou okolnost, že vlivem nižších příjmů dosažitelná úroveň skutečného bohatství může způsobit ztátu zájmu obchodníků o práci v pojišťovně a k jejich následnému odchodu.

5. S I M U L A C E A H O D N O C E N Í

85

POLITIK

"It o • C u rre n t Reference

1,0-1. I 2006

H

1 1. I 2010

1

h 1. I 2014 -

Obrázek 5.3: Graf rizika • Zavedením progresivní provizní sazby tedy pojišťovna dosáhne nižší úroveň při jímaného rizika.

5.3

Vznik P U , likvidace

Počáteční nastavení: počet likvidátorů

6

normovaná výkonnost likvidátora

80

maximální výkonnost likvidátora

160

doba náboru

3 měsíce

výpovědní lhůta

2 měsíce

maximální povolená doba na zlikvidování

3 měsíce

Z křivek na obr. 5.4 a p o č á t e č n í h o nastavení m ů ž e m e dovodit: • Zvýšeným výkonem Obchodu, tedy i zvýšeným uzavíraných smluv dochází k po čátečnímu prudkému nárůstu PU (graf PU celkem). • U FIX politiky je výrazně vyšší počet PU celkem, je to způsobeno vyšší ri zikovostí uzavírání smluv obchodníky, kteří obchodují v podmínkách fixních provizních sazeb oproti podmínkám progresivních provizních sazeb. • U FIX politiky je jediná možná odezva na zvýšení PU nábor nových likvidá torů, tato odezva trvá 3 měsíce, což způsobuje nárůst střední doby PU a vnáší


86

nestabilitu do systému. • PROGRES politika finanční motivací je schopna zvýšit výkonnost stávajících likvidátorů a reagovat tak na nárůst PU pružněji. • U PROGRES politiky nedochází k tak výraznému nárůstu střední doby PU právě kvůli schopnosti zareagovat rychle na změnu počtu PU (graf střední doba PU). • Počet likvidátorů je výrazně vyšší u FIX politiky a to ze dvou důvodů: — celkový počet PU je vyšší kvůli uzavírání rizikovějších smluv, — výkonnost likvidátora je nižší, neboť není dostatečně finančně motivován. • Absolutní výkonnost Likvidace se v podmínkách FIX politik vzhledem k vyš šímu počtu PU a tím i likvidátorů ustálí na vyšší hladině. • Při PROGRES politice likvidátor dosahuje vyšší mzdy než je tomu ve FIX podmínkách, kdy likvidátor má fixní úroveň platu.

5.4

Klient

P o č á t e č n í nastavení: •

přijatelná doba likvidace

1 měsíc

Z křivek na obr. 5.5 a p o č á t e č n í h o nastavení m ů ž e m e dovodit: Poznámka.

Pro přehledné srovnání zde uvádíme i graf střední doba PU z předchozího

odstavce. • Klient je spokojený v závislost na porovnání doby, jak dlouho čeká na zlikvido vání PU, a doby, která je pro něj přijatelná. • Spokojenost klienta tedy přesně odráží střední dobu PU, jak můžeme vidět z grafů.

87


• Tím, že klient takto reaguje na délku doby likvidace PU, přenáší se výkon nost Likvidace na obchodníky, pro které nespokojený klient znamená zhoršené podmínky k obchodování. • Přes klienta se tedy rozkmity způsobené zpožděním v náboru likvidátorů pře nesou na Obchod a tedy i do celého systému.

5.5

Zisk

P o č á t e č n í nastavení: •

roční pojistné

12.000

•

provizní sazba

10 %

•

průměrná výše plnění

500.000

•

náklady na nábor či propuštění 1 likvidátora

50.000

•

(fixní) plat likvidátora

20.000

•

odměna za zlikvidování 1 PU

200

Z křivek na obr. 5.2 a p o č á t e č n í h o nastavení m ů ž e m e dovodit: • Obě politiky dojdou ke stabilnímu měsíčnímu zisku. • U PROGRES politiky je měsíční a tedy i celkový zisk vyšší než u FIX politiky. • Provizní a mzdové náklady jsou u obou politiky srovnatelné, ale PROGRES varianta je stabilnější, nedochází při ní k významným oscilacím. • Náklady na pojistná plnění jsou u FIX politiky vyšší v důsledku rizikovějších smluv a tedy i většího počtu PU.

5.6

Celkové zhodnocení

Při simulacích dvou systémů se shodně nastavenými počátečními podmínkami ale s rozdílným nastavením politik odměňování jsme dospěli k následujícím výsledkům:


88

Politika s progresivní provizní sazbou a s výkonovým odměňováním Likvidace je oproti politice s fixní provizní sazbou a fixním platem: • stabilnější nedochází v ní k významným oscilacím, • pružnější - jednotlivé subjekty rychleji reagují na změnu vstupů, • ziskovější. Obchodníci při aplikaci této politiky sice neobchodují nejnižší možné riziko, protože svoji příjmovou situaci optimalizují s ohledem na obchodovatelnost smluv, nicméně hladina rizikovosti je snadno regulovatelná pomocí rizikově závislých provizních sa zeb. Z pohledu jednotlivých zájmových skupin:

Nevýhoda PROGRES politiky • pro Obchod: — Nižší hladina dosaženého bohatství Výhoda PROGRES politiky • pro Obchod: — Stabilnější prostředí pro obchodování — Spokojenější klient — Jistota plnění závazků (vyplacení provizí) prosperující společností • pro Likvidaci: — finanční ohodnocení za odvedenou práci — možnost vyššího výdělku — finanční zhodnocení efektivnější práce

89

5. SIMULACE A HODNOCENÍ POLITIK

— C u rre n t — Reference

1. I 2006

1. I 2008

1. I 2010

1. I 2012

1. I 2014 1. I 2016 j N o n - c o m m e r c i a l use only!

3 O. ro .o o

— Current Reference

T3

C •D

1. I 2 0 0 6

1. I 2 0 0 8

1. I 2 0 1 0

1. I 2 0 1 2

1. I 2 0 1 4

1. I 2 0 1 6

:
i

500--

! - Current Reference

VI

o c c o

s 1. I 2 0 0 6

1. I 2 0 0 8

1. I 2 0 1 0

1. I 2 0 1 2

1. I 2 0 1 4

1. I 2 0 1 6

I

- C u rre n t Reference

a u o

a 1. I 2006

1. I 2008

1. I 2010

1. I 2012

1. I 2014

1. I 2016

J

30 000 L.

o

4-1

25 0 0 0 - | -

•o 20 0 0 0

>


Jŕ

4J

ro a

15 000 + 10 000

1

5 000 1. I 2006 1. I 2008 1. I 2010 1. I 2012 1. I 2014 1. I 2016

Obrázek 5.4: Grafy likvidace

90


3 O. ra

o

• Current Reference

•o

c

•o

a;

1. I 2006

1. I 2008

1. I 2010

1. I 2012

1. I 2014

1. I 2016

- Current Reference

1. I 2006

1. I 2008

1. I 2010

1. I 2012

1. I 2014

1. I 2016

Obrázek 5.5: Grafy klienta

91


300 000 0 0 0 - -

200 000 000

c


100 000 000 --,

E

Non-commercial use onlyl|~

20 000 000 0 0 0 - -

- C u rre n t

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - -

Reference

•|Non-cc

e onlylf-

600 ooo ooo--

:řv o Q. (0


400 000 000

c

>•

•o . _ (D C

200 000 000

I=

1. I 2 0 1 4

C Q.

commercial use onlylf-

>

o -o

120 000 0 0 0 - -

N

E n c

100 0 0 0 0 0 0 - >•

N "2 ._ m


80 000 000

O

c *re* a c

^JU

Obrázek 5.6: Grafy zisku

Kapitola 6 Změna vztahu soupeření na vztah spolupráce Pokud zanalyzujeme vztahy a chování dvou základních entit systému - organizace pojišťovací společnosti - likvidátorů a obchodníků, lze dojít k těmto závěrům. Obě entity se přirozeně chovají tak, že maximalizují svůj užitek při minimalizaci svých nákladů s tím spojených.

Ve variantě FIX, jak již bylo dříve konstatováno, obchodníci preferují snazší trh s vyšším rizikem. Ve svých v preferencích se posouvají směrem k vyššímu riziku až do doby, kdy narazí na omezení stanovená vnitřními předpisy pojišťovny. Potom nadále obchodují smlouvy s rizikem blízkým tomuto omezení. Z pohledu ekonomiky pojiš ťovny je tato situace nákladná jak z hlediska nákladů na vynucování dodržování limitů rizika, tak, a to zejména, z hlediska výše nákladů na pojistná plnění, které jsou díky maximální přípustné rizikovosti hodně vysoké. Management pojišťovny však může přistoupit k dalšímu snižování limitu rizika.

Vysoká frekvence škod více rizikových smluv vyvolává nadměrné nároky na likvi daci pojistných událostí. Ve variantě FIX jsou likvidátori motivováni k práci pouze fixním platem. Svůj užitek tak optimalizují podle hesla Pracuji do výše svého platu!, tzn. pracují zvoleným tempem bez ohledu na množství vzniklých a nezlikvidovaných

92

6. ZMĚNA VZTAHU SOUPEŘENÍ NA VZTAH SPOLUPRÁCE

93

PU. Tento postoj vyvolaný nevhodně zvolenou motivací vede k prodlužování doby likvidace PU, zvyšování klientské nespokojenosti a zhoršování reputace pojišťovny na trhu. Nákladem likvidátorů z této situace je zejména tlak vyvolávaný managemen tem v obdobích vysokého výskytu PU, který zhoršuje jinak bezproblémovou pracovní pohodu. Ve variantě tak FIX spolu soupeří entita obchodníků a entita likvidátorů. Přestože se nejedná o otevřený boj, soupeření lze spatřovat zejména v systematickém zhoršování pozice druhé entity vlivem optimalizace vlastní pozice. Obchodníci optimalizují svůj užitek sjednáváním smluv s vysokým rizikem. Tím zhoršují nejen ekonomickou situaci pojišťovny ale i pozici likvidátorů, na které je při nezměněném pracovním tempu vy víjen psychicky nepříjemný tlak. Likvidátori naopak vzhledem ke své nulové motivaci na výkonnost zhoršují pozici obchodníků na trhu tím, že PU likvidují stále svým tem pem, což v době zvýšeného výskytu PU vede ke vlivem klientské nespokojenosti ke zhoršování pozice pojišťovny na trhu. Obchodníkům se tak vrací s určitým časovým zpožděním důsledek jejich chování při obchodování smluv, nepružnost likvidátorů při likvidaci zvýšeného počtu PU se jim obdobně po určité době vrací formou ohrožení jejich pracovních míst v důsledku ztrátovosti a potenciálního ukončení podnikání po jišťovny.

Popsanou situaci tak lze zobecnit tak, že ze dvou entit se každá snaží najít pro sebe tu nejvýhodnější variantu chování, což ve svém výsledku vede ke zhoršování výsledku nejen druhé entity ale i sebe samé a celku jako takového. Varianta PROGRES soupeření dvou entit převádí do stavu ekonomické motivace na jejich spolupráci. Obchodníci jsou ekonomicky formou progresivní provize moti vováni na obchodování smluv s nižším rizikem. Vedeni svoji motivací a požadavky trhu pak obchodují smlouvy na úrovni rizika, které jim poskytuje v závislosti na trž ních podmínkách nejvyšší výnosy. Úroveň rizika tak lze místo restriktivních opatření řídit formou ekonomicky stanovených pravidel provizních odměn. Do portfolia po jistných smluv tak přicházejí smlouvy s nižší

řiditelnou úrovní rizika. Likvidátori

6. Z M Ě N A V Z T A H U SOUPEŘENÍ N A V Z T A H S P O L U P R Á C E

94

mají možnost být za více práce v okamžiku zvýšeného výskytu škod odměněni, mají tak pozitivní motivaci nepříznivou situaci řešit a zabránit tak v maximální možné míře zhoršování klientské nespokojenosti a celkové pozice pojišťovny na trhu.

Zavedením jednoduchých pravidel v odměňování obou entit tak bylo odstraněno je jich nepřímé soupeření a bylo nahrazeno stavem, ve kterém jsou dotyčné subjekty stabilně a dlouhodobě motivovány k chování, které má charakter vzájemné podpory (nebo alespoň nezhoršování situace toho druhého) a které navíc vede k výrazně lep šímu chování pojišťovny jako celku k jejímu ziskovému rozvoji.

Kapitola 7 Závěr Ve druhé části diplomové práce bylo úkolem sestavit dynamický model změny vztahu soupeření na vztah spolupráce. Model byl zpracován na konkrétním problému sou peření dvou zájmových skupin - Obchodu a Likvidace v pojišťovně. V první části nazvané Formulace problému byl definován problém a vymezení klíčových proměn ných. V další kapitole byla určena výchozí hypotéza a popsána a zakreslena struktura vazeb v příčinných smyčkových diagramech. V příčinných smyčkových diagramech byla také navržena struktura řešící problém soupeření.

V následné kapitole Formulace simulačního modelu byl sestaven podrobný model vycházející z předchozích hypotéz a zmapovaných vztahů. Za prostředí pro vytváření simulačního modelu byl zvolen program Powersim Studio 2005.

Byla provedena simulace systému pojišťovny pro období deseti let, při které byly zkoumány projevy a dopady dvou politik, kde jedna z těchto politik vedla k soupe ření obchodu a Likvidace a druhá vedla na jejich spolupráci. Druhá ze zmíněných politik byla nově navržená v této práci a byla nazvána pracovně jako PROGRES 1 . Politika "soupeřící" byla nazvána jako FIX 2 . 1 2

dle skutečnosti, že byla zavedena progresivní provizní sazba dle skutečnosti, že byla zavedena fixní provizní sazba

95

7. ZÁVĚR

96

Při simulaci a diskuzi výsledků byla politika PROGRES zhodnocena jako • stabilnější, • pružnější, • ziskovější. A z celkového chování systému bylo možné usuzovat o změně systému ze soupeřícího na spolupracující.

Další oblasti možného rozšíření modelu jsou především následující: • personální politika Obchodu, tj. motivace obchodníků pracovat pro pojišťovnu, resp. z pojišťovny odejít, • zvyšování výkonnosti Likvidace přesčasy a trvalá neuržitelnost tohoto řešení.

Literatura [1] Hušek, R., Lauber, J.: Simulační modely, SNTL/Alfa, Praha 1987. [2] Vitásek, E.: Numerické metody. SNTL, Praha 1987. [3] Kalas, J.,Pospíšil, Z.: Spojitém modely v biologii. Masarykova Univerzita, Brno 2001. [4] Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciální rovnice. Masarykova Univerzita, Brno 1995. [5] Senge, P.: The Fifth Discipline fieldbook. Doubleday Currency, New York 1994. [6] Sterman, J.: Business Dynamics, System Thinking and Modeling for Complex World, McGraw Hill 2000. [7] Vojtko, V.: Použití systémově dynamických modelů, Acta Oeconomica Pragensia 8/2003.

[8] Šusta, M., Neumaierová, I.: Cvičení ze systémové dynamiky. VŠE/Oeconomica, Praha 2004.

[9] Kolektiv autorů: Powersim Reference manual. http://www.powersim.com/download/manuals.asp

97

Příloha V příloze je přehled všech rovnic přiřazených k proměnným, jak je vygeneroval pro gram Powersim Studio 2005. Relevantnost těchto rovnic, jakož i počátečních podmí nek byla konzultována s Petrem Prokopem a Ceslavem Veselým.

98

PŘÍLOHA

mainmodel Model pojišťovny { const cílové bohatství { autotype Real init 1200000 permanent } aux deficit { autotype Real def MAX(0:'cílové bohatstvi'-'současné bohatství') } const doba vyrovnání deficitu { autotype Real init 15 permanent } const doba za kterou by se melo vse zlikvidovat { autotype Real init 3 permanent } const fixní plat likvidátora { autotype Real init 20000 permanent } const frekvence { autotype Real init 0.01 permanent } aux impulz na úpravu rizika { autotype Real def IFCprovize obchodníka';ABS('zadouci prijmy obchodnika')-DELAYPPL('provize obchodníka'/ABS ('zadouci prijmy obchodnika'):l:0)>0.001:'minula uprava':-'minula uprava"0,5) } const iní bohatství { autotype Real init 100000 permanent } const iní počet likvidátorů { autotype Real init 6 permanent } const initial riziko { autotype Real init 1 permanent } const initial smlouvy { autotype Real init 200000 permanent } aux koeficient přerozděleni { autotype Real def IF('přepinač provizních sazeb'=0:GRAPH(riziko: 1:0,05:{1;1:1:0,986:0.98:0,977:0,964:0,955:0,93:0,92: 0,91:0.905:0.89:0.88:0.85:0.815:0.797:0.76:0.7:0.648:0.503//Min:0.3;Max:1//});1) } level konto pro výplaty likvidátoru { autotype Real init 'rezervováni pro výplaty likvidátoru' inflow {autodef 'rezervováni pro výplaty likvidátoru'} outflow { autodef 'výplaty likvidátorům'}

99

PŘÍLOHA

aux likvidace PL) { autotype Real def 'portfolio PU'.'suma likvidace PU' } level likvidátori v náboru { autotype Real init 0 outflow {autodef 'zaškolení likvidátoru'} inflow {autodef 'nábor likvidátorů'} } level likvidátori ve výpovědní lhůtě { autotype Real initO outflow {autodef 'propuštění likvidátorů'} inflow {autodef výpověď} } const max povolené riziko { autotype Real init 2 permanent } const maximálni výkonnost likvidátora { autotype Real init 160 permanent } const minimální výkonnost likvidátora { autotype Real init 50 permanent } level minula úprava { autotype Real init 0.5 inflow { autodef 'impulz na úpravu rizika'} outflow { autodef zapomeň } } aux měsični zisk { autotype Real def vynosy-naklady } aux náklady { autotype Real def 'náklady na pojistná plnéní'+'provizní a mzdové náklady'+'náklady na nábor a propouštění' } const normovaná výkonnost { autotype Real init 80 permanent } aux nábor likvidátorů { autotype Real def CEIL(IF('potreba náboru a propouštění'[1]>0:'potreba náboru a propouštění'[1];0)) } aux náklady na nábor a propouštění { autotype Real def ('nábor likvidátorů'+výpověď)"náklady na nábor či propuštění 1 likvidátora' } const náklady na nábor či propuštění 1 likvidátora { autotype Real init 50000 permanent } aux náklady na pojistná plnění { autotype Real def 'průměrná výše plnění'"vznik PU'

100

PŘÍLOHA

} aux nárůst risk units { autotype Real def 'produkce obchodu - uzavirani smluv'Yiziko } aux plat likvidátora { autotype Real def IF(přepínač=0;'fixní plat likvidatoraVvýkonnost likvidaceV('pocet likvidátorú'+'likvidátoŕi ve výpovědní lhútě')"sazba za zlikvidování PU') } level počet likvidátorů { autotype Real init lni počet likvidátorů' inflow {autodef 'zaškolení likvidátorů'} outflow { autodef výpověď} } aux pokles risk units { autotype Real def DELAYPPLMTR('nárůst risk units';12;12;'risk unitsVI2) } model portfolio PU { } aux potreba náboru a propouštění { autotype Real autodim 1.2 def {'potřebný počet likvidátorů'[1]-('likvidátoři v náboru'+'pocet likvidátorů');-'potřebný počet likvidátorů'[2] +('pocet likvidátorů')} } aux potřebný počet likvidátorů { autotype Real autodim 1.2 def ('předpokládaný počet PU')/{'maximálni výkonnost likvidátora' ;'minimální výkonnost likvidátora'}/'doba za kterou by se melo vse zlikvidovať doc <min počet likvid: max počet likvidátorů> } const počet obchodníků { autotype Real init 1500 permanent } aux Produkce obchodníka { autotype Real def SQRT(riziko)"zadouci prijmy obchodnika"SQRT('spokojenost klienta'/100)/'rocni pojistné'/'provizní sazba' doc Produkce roste s odmocninou prijímaného rizika Spokojenosti klienta a hladem obchodníka (Deficit) } aux produkce obchodu - uzavíráni smluv { autotype Real def 'Produkce obchodnika'"'počet obchodníků' } aux propuštění likvidátorů { autotype Real def DELAYPPLMTR(výpověď:.'doba zaškolení';.'doba zaškolení':0) } aux provize obchodníka { autotype Real def 'provize obchodu'/'počet obchodníků' } aux provize obchodu { autotype Real def 'stoprocent provizľ'koeficient prerozdelení' } aux provize od obchodu k likvidaci { autotype Real

101

PŘÍLOHA

def (1-'koeficient prerozdeleni')"stoprocent provizi' } aux provizní a mzdové náklady { autotype Real def 'rezervováni pro výplaty likvidatoru'+'provize obchodu' } const provizní sazba { autotype Real init 0,1 permanent } const průměrná výše plnění { autotype Real init 500000 permanent } aux PU celkem { autotype Real def ARRSUMCportfolio PU'.'portfolio PU') } aux předpokládaný počet PU { autotype Real def'PU celkem'+'pŕedpokládaný vznik PU'-'likvidace PU' } aux předpokládaný vznik PU { autotype Real def 'vznik PU' } const přepínač { autotype Real init 0 permanent } aux přepínač platů likvidace { autotype Real def přepínač } aux přepínač provizních sazeb { autotype Real def 1-přepínač } const přijatelná doba likvidace { autotype Real init 2 permanent } aux příjmy { autotype Real def 'provize obchodníka' } const příspěvek na výplaty likvidace { autotype Real init 2 permanent } aux rezervováni pro výplaty likvidátoru { autotype Real def IF('přepínač platů likvidace'=1:'provize od obchodu k likvidaci'+'príspevek na výplaty likvidace" 'produkce obchodu - uzavirani smluv';'fixni plat likvidatora'"pocet likvidátorů') } level risk units { autotype Real init smlouvy inflow {autodef 'nárůst risk units'} outflow {autodef 'pokles risk units'}

102

PŘÍLOHA

level riziko { autotype Real init 'initial riziko' inflow {autodef 'úprava rizika'} } aux rocni pojistné celkem { autotype Real def smlouvy'Yocni pojistné' } const rocni pojistné { autotype Real init 12000 permanent } aux rozdil mezi přijatelnou a stredni dobou likvidace { autotype Real def MAX(0:'stredni doba PU'-'přijatelná doba likvidace') } const sazba za zlikvidováni PU { autotype Real init 200 permanent } level smlouvy { autotype Real init 'initial smlouvy' outflow {autodef 'vypršeni smluv'} inflow { autodef 'produkce obchodu - uzavíráni smluv'} } level současné bohatství { autotype Real init 'ini bohatství' inflow {autodef příjmy} outflow {autodef výdaje} } aux spokojenost klienta { autotype Real def GRAPH('rozdil mezi přijatelnou a stredni dobou likvidace':0:0.1 :{100:99:98:97.4:96:95.5:93:92:90.3: 88.4:86.5:85:84:81:80.6:79.4:77:76:74:69.7:66:64:59:56:53:50;48.4:46:46:41;37,4:37:33;31.6:29.7:26, 5:26;24.5;24;22,6;22:20,6;19,4;19:19;18:15;14;13,5:11,6;11:11:11:11:10:10:10:8:7:6.5:6,5:6,5:6,5:6.5: 6,5:4,5:4:4:4:3;3;3;2.6:2.6:2,6;2:2:2.6:0.6;0.6;0,6;0.6:0.6;0.6:0,6;0,6:0,6:0.6;0,6;0,6:0.6//Min:0;Max: 100//)) } aux stoprocent provizi { autotype Real def'produkce obchodu - uzavíraní smluv"'provizní sazba'*'rocni pojistné' } aux stredni doba PU { autotype Real def ARRSUM(FOR(i=1..6|'portfolio PU'.'portfolio PU'[i]-i)/ARRSUM('portfolio PU'.'portfolio PU')) } aux úprava rizika { autotype Real def MIN('max povolené riziko'-riziko;'impulz na úpravu rizika') } aux výnosy { autotype Real def 'rocni pojistné celkem'/12 } aux výplaty likvidátorům { autotype Real def IF('přepínač platů likvidace'=1:MIN('konto pro výplaty likvidatoru';'portfolio PU'.'suma likvidace PU'* 'sazba za zlikvidování PU');'konto pro výplaty likvidátoru') } aux vypršeni smluv { autotype Real

103

PŘÍLOHA

def DELAYPPLMTRCprodukce obchodu - uzavirani smluv';12:12:smlouvy/12) } aux vznik PU { autotype Real def 'risk units"frekvence/12 } aux výdaje { autotype Real def'současné bohatstvi'/12 } aux výkonnost likvidace { autotype Real def MIN(IF('přepínač platů likvidace'=1:MIN(IF('PU celkem'"sazba za zlikvidováni PU'<'konto pro výplaty likvidatoru';'PU celkem':'konto pro výplaty likvidatoru'/'sazba za zlikvidováni PU');'maximální výkonnost likvidátora"('pocet likvidátorú'+'likvidátori ve výpovědní lhútě'));'normovaná výkonnosť*('pocet likvidátorú'+'likvidátoŕi ve výpovědní lhůtě')):'PU celkem') } aux výpověď{ autotype Real def FLOOR(MIN(IF('potreba náboru a propouštění'[2]>0:'potreba náboru a propouštění'[2];0);'pocet likvidátorú'-.'minimální počet likvidátorů')) } aux zadouci prijmy obchodníka { autotype Real def deficit/'doba vyrovnáni deficitu' } aux zapomeň { autotype Real def 'minula úprava' } aux zaškoleni likvidátorů { autotype Real def DELAYPPLMTR('nábor likvidátorů';.'doba naboru':.'doba naboru':0) } level zisk { autotype Real init 0 outflow { autodef náklady} inflow { autodef výnosy}

104

Dynamický model změny vztahu soupeření na vztah spolupráce

Recommend Documents