Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Pavel Brožek Zobecnění metody analytického prodloužení ve vazbové konstantě Ústav teoretické fyziky MFF UK
Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jiří Horáček, DrSc. Studijní program: Fyzika Studijní obor: Teoretická fyzika
Praha 2013
Rád bych poděkoval vedoucímu práce prof. RNDr. Jiřímu Horáčkovi, DrSc. za odborné vedení, pomoc a rady při zpracování diplomové práce.
Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle §60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne 11. září 2013
Pavel Brožek
Název práce: Zobecnění metody analytického prodloužení ve vazbové konstantě Autor: Pavel Brožek Katedra: Ústav teoretické fyziky MFF UK Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jiří Horáček, DrSc., Ústav teoretické fyziky MFF UK Abstrakt: V předložené práci studujeme metodu výpočtu rezonančních energií – zobecněnou metodu analytického prodloužení ve vazbové konstantě, která je založena na prodlužování vazbové konstanty λ jako funkce momentu k. Pro sféricky symetrický potenciál složený z konečného počtu δ-funkcí je odvozen tvar funkce λ(k) a je zkoumán její Taylorův rozvoj v nule. Pro separabilní potenciál je zkoumán Taylorův rozvoj funkce λ(k) v nule a její asymptotika v nekonečnu. Na příkladech je zkoumána vhodná volba parametrů přidaného potenciálu. Je popsána metoda určení pólů funkce λ(k) v případě sféricky symetrického potenciálu s přidanou δ-funkcí a na příkladu je testováno, zda znalost pólů funkce λ(k) může přispět ke zpřesnění určení rezonančních parametrů původního potenciálu. Klíčová slova: rezonance, analytické prodloužení, vazbová konstanta
Title: Generalization of the method of analytical continuation in coupling constant Author: Pavel Brožek Department: Institute of Theoretical Physics Supervisor: prof. RNDr. Jiří Horáček, DrSc., Institute of Theoretical Physics Abstract: In the thesis we study a method for determining resonance energies – generalization of the method of analytical continuation in the coupling constant, which is based on continuation of the coupling constant λ as a function of the momentum k. A formula for λ(k) is derived for spherically symmetric potential consisting of finite number of δ-functions and its Taylor series is studied. Taylor series of λ(k) and its asymptotic behavior is studied for separable potential. Proper choice of added potential parameters is studied on examples. A method for determining λ(k) poles is described for spherically symmetric potential with added δ-function. It is tested whether the knowledge of λ(k) poles can be useful to improve the accuracy of the determination of the resonance parameters of the original potential. Keywords: resonances, analytical continuation, coupling constant
Obsah Úvod
2
1 Sféricky symetrický potenciál 1.1 Schrödingerova rovnice, rezonanční stavy 1.2 Potenciál složený z δ-funkcí . . . . . . . 1.3 Rozvoj vazbové konstanty v nule . . . . 1.4 Volba pozice δ-funkce . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 3 4 7 10
2 Separabilní potenciál 2.1 Vazbová konstanta pro přidaný separabilní potenciál . . . . . 2.2 Vazbová konstanta pro samotný separabilní potenciál ranku 1 2.3 Rozvoj vazbové konstanty v nule . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Asymptotika pro samotný separabilní potenciál ranku N . . . 2.5 Příklady separabilního potenciálu ranku 1 . . . . . . . . . . . 2.6 Příklad separabilního potenciálu ranku 2 . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
17 17 19 20 23 26 30
. . . .
33 33 33 34 36
3 Analytické prodloužení se znalostí 3.1 Aproximace funkce λ(k) . . . . . 3.2 Padé aproximace se znalostí pólů 3.3 Póly funkce λ(k) . . . . . . . . . 3.4 Dvě δ-funkce . . . . . . . . . . . .
pólů . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Závěr
40
Seznam použité literatury
41
1
Úvod Ve fyzice se často setkáváme s problémem, kdy máme rezonanci a potřebovali bychom určit její parametry – rezonanční energii a šířku rezonance. Znalost rezonančních parametrů je například významná při studiu procesu přenosu energie mezi elektrony a molekulami, který zahrnuje vibrační excitaci molekul nízkoenergetickými elektrony, disociativní záchyt elektronu, asociativní odtržení elektronu a další procesy. S problémem určení rezonančních energií se setkáváme například v astrofyzice, kde hrají rezonance podstatnou roli při vzniku nových hvězd, v plazmové fyzice, ale například i u velkých molekul v biologii (složky DNA). Ačkoli má studium rezonancí velký význam, určit přesně rezonanční parametry je v dnešní době stále poměrně komplikovaný problém, protože vlnová funkce příslušející rezonanci není kvadraticky integrabilní. Tento problém se snaží obejít metoda analytického prodloužení ve vazbové konstantě tím, že určíme energie vázaných stavů pro mírně pozměněný model a z nich dopočítáme rezonanci v modelu, který nás skutečně zajímá. Konkrétně se postupuje tak, že k danému potenciálu přidáme přitažlivý potenciál parametrizovaný konstantou λ (jestliže studujeme molekulu, můžeme například jako parametr použít kladný náboj jader, který zvětšíme). Spojitou změnou parametru λ se spojitě mění i energie rezonance. Při hodnotách parametru λ, kdy se stane přidaný potenciál dostatečně přitažlivým, se z rezonance stane vázaný stav. V dnešní době nepředstavuje spočítání energie vázaného stavu s dostatečně velkou přesností velký problém, existují komerční programy, které toto umožňují. Pokud známe závislost energie vázaného stavu E = k 2 na hodnotě parametru λ v určitém oboru hodnot λ, můžeme analytickým prodloužením funkce k(λ) do hodnoty λ = 0 získat energii rezonance. Tuto metodu výpočtu rezonanční energie nazýváme analytické prodloužení ve vazbové konstantě (resp. ACCC z anglického analytical continuation in coupling constant). Funkce k(λ) však zpravidla není jednoznačná, pro jednu hodnotu λ může existovat mnoho stavů s různou energií. V některých případech (např. když přidáváme potenciál úměrný δ-funkci nebo separabilní potenciál ranku 1) je však jednoznačná inverzní funkce λ(k), potom je vhodnější provést analytické prodloužení pro tuto funkci a řešit rovnici λ(k) = 0. Tuto metodu nazýváme zobecněná metoda analytického prodloužení ve vazbové konstantě. Cílem této práce je zkoumat zobecněnou metodu analytického prodloužení ve vazbové konstantě. Ukazuje se, že funkce λ(k) má jisté zajímavé vlastnosti, které by mohly být využity pro efektivnější a přesnější provedení analytického prodloužení v reálných modelech. V této práci budou tyto vlastnosti popsány a dokázány pro některé jednoduché modely. V první kapitole se zaměříme na sféricky symetrický potenciál, který bude složený jen z δ-funkcí, v druhé kapitole pak budeme zkoumat funkci λ(k) pro separabilní potenciál a nakonec se ve třetí kapitole budeme zabývat tím, zda znalost pólů funkce λ(k) může být užitečná při provádění analytického prodloužení a jak tyto póly najít v případě sféricky symetrického potenciálu, do kterého přidáváme δ-funkci.
2
1. Sféricky symetrický potenciál 1.1
Schrödingerova rovnice, rezonanční stavy
Abychom určili rezonanční energii E pro daný hamiltonián, řešíme stacionární Schrödingerovu rovnici ˆ |Ψi = E |Ψi , H kde v přirozené soustavě jednotek (~ = 1 a 2m = 1) ˆ = pˆ2 + Vˆ H a E = k 2 . Předpokládáme-li, že potenciál Vˆ je lokální a sféricky symetrický, tedy Vˆ |ri = V (r) |ri = V (r) |ri , a přepíšeme-li Schrödingerovu rovnici v souřadnicové reprezentaci, dostaneme tvar −∆Ψ(r) + V (r)Ψ(r) = k 2 Ψ(r), který dále můžeme přepsat díky separaci proměnných ve sférických souřadnicích Ψ(r) = 1r ψl (r)Ylm (θ, φ) jako −ψl′′ (r) +
l(l + 1) ψl (r) + V (r)ψl (r) = k 2 ψl (r), r2 ˆl2 Y m (θ, φ) = l(l + 1)Y m (θ, φ), l l
kde Ylm (θ, φ) jsou samozřejmě známé sférické harmonické funkce. Pro funkci ψl (r) volíme Siegertovy okrajové podmínky ψl′ (r) → ik, ψl (r)
ψl (0) = 0,
(1.1)
pro r → ∞ [1]. V této práci budeme uvažovat potenciály, které mají konečný dosah, tedy existuje nějaké R takové, že V (r) = 0 pro r > R. Řešení Schrödingerovy rovnice se v takovém případě pro r → ∞ chová jako ψl (r) ≈ N e−ikr + Sl (k)eikr ,
kde N je normalizační konstanta a Sl (k) je element S-matice. Z podmínky (1.1) je zřejmé, že pokud má Sl (k) pól, pak vlnová funkce bude splňovat okrajovou podmínku v nekonečnu. Pro k na kladné imaginární ose (k = iκ, κ > 0) nazýváme póly funkce Sl (k) vázanými stavy, protože vlnová funkce bude mít tvar ψl (r) ∼ e−κr ,
s r rostoucím do nekonečna exponenciálně klesá a je tedy kvadraticky integrabilní. Póly na záporné imaginární ose (k = −iκ, κ > 0) nazýváme virtuálními stavy. Vlnová funkce virtuálních stavů v nekonečnu exponenciálně poroste ψl (r) ∼ eκr . 3
Nakonec póly v bodech k = k1 −ik2 , kde k1 , k2 > 0 nazýváme rezonančními stavy, vlnová funkce bude mít pro r → ∞ tvar ψl (r) ∼ eik1 r ek2 r . Vázaným a virtuálním stavům odpovídá reálná záporná hodnota energie E. U rezonancí však energie nabývá komplexní hodnoty i E = ER − Γ, 2
1.2
(1.2)
(ER = k12 − k22 , Γ = 4k1 k2 ).
Potenciál složený z δ-funkcí
Mějme sféricky symetrický potenciál Vˆ složený z n δ-funkcí V (r) =
n X λi i=1
ai
δ(r − ai ),
0 < a1 < a2 < . . . < an ,
kde ai jsou pozice δ-funkcí a λi jsou vazbové konstanty. Najděme nyní řešení Schrödingerovy rovnice pro sféricky symetrický potenciál l(l + 1) d2 2 + V (r) − k ψ(r) = 0 − 2+ dr r2 s okrajovými podmínkami (1.1). U vlnové funkce ψl (r) pro přehlednost už nepíšeme index l. Z podmínky spojitosti pro vlnovou funkci ψ(r) a ze Schrödingerovy rovnice plynou v bodě ai podmínky ψ+ (ai ) = ψ− (ai ), ′ ′ ψ+ (ai ) = ψ− (ai ) +
(1.3) λi ψ− (ai ), ai
(1.4)
kde index – resp. + značí limitu zleva resp. zprava v bodě ai . Schrödingerova rovnice s nulovým potenciálem má řešení ψ(r) = Aφ1 (r) + Bφ2 (r), kde A, B jsou konstanty a φ1 , φ2 tvoří fundamentální systém řešení, v tomto případě je vhodné zvolit φ1 (r) = ˆjl (kr), φ2 (r) = n ˆ l (kr),
(1.5)
kde ˆjl (z) ≡
πz 12 2
n ˆ l (z) ≡ (−1)l
Jl+ 1 (z) = z 2
l+1
∞ X n=0
πz 12 2
(−1)n z 2n , 2n n!(2l + 2n + 1)!!
J−l− 1 (z) = z −l 2
4
∞ X (−1)n (2l − 2n − 1)!! n=0
2n n!
(1.6) z 2n
jsou Riccati-Besselova a Riccati-Neumannova funkce a J je Besselova funkce [2]. Jelikož se ve Schrödingerově rovnici nevyskytuje člen úměrný první derivaci, je Wronskián dvou řešení rovnice nezávislý na r a je roven [3] W (φ1 (r), φ2(r)) = φ1 (r)φ′2 (r) − φ′1 (r)φ2 (r) = ′ ′ ˆ ˆ = k jl (kr)ˆ nl (kr) − jl (kr)ˆ nl (kr) =
(1.7)
= −k.
Jestliže si označíme a0 ≡ 0 a an+1 ≡ ∞, pak na intervalu (ai , ai+1 ), kde i ∈ {0, . . . , n}, má Schrödingerova rovnice řešení ψ(r) = Ai φ1 (r) + Bi φ2 (r), kde Ai a Bi jsou konstanty. Jestliže toto vyjádření řešení dosadíme do podmínek (1.3) a (1.4), dostaneme pro konstanty Ai a Bi následující vztahy (pro přehlednost budeme v následujících výpočtech vynechávat argument funkcí φ1 a φ2 , který bude vždy ai ): Ai φ1 + Bi φ2 = Ai−1 φ1 + Bi−1 φ2 , Ai φ′1 + Bi φ′2 = Ai−1 φ′1 + Bi−1 φ′2 +
λi (Ai−1 φ1 + Bi−1 φ2 ) . ai
Toto je soustava dvou rovnic pro dvě neznámé Ai a Bi . Pro další výpočty je vhodné soustavu zapsat pomocí matic φ1 φ2 Ai−1 φ1 φ2 Ai . = φ′1 + λaii φ1 φ′2 + λaii φ2 Bi−1 φ′1 φ′2 Bi Determinant matice na levé straně je zřejmě roven Wronskiánu W (φ1 , φ2 ) = −k a soustava má tedy vždy právě jedno řešení −1 φ1 φ2 φ1 φ2 Ai Ai−1 = = φ′1 + λaii φ1 φ′2 + λaii φ2 φ′1 φ′2 Bi Bi−1 1 φ′2 −φ2 φ1 φ2 Ai−1 =− = φ′1 + λaii φ1 φ′2 + λaii φ2 Bi−1 k −φ′1 φ1 − λaii φ22 1 φ1 φ′2 − φ′1 φ2 − λaii φ1 φ2 Ai−1 =− = λi 2 Bi−1 φ φ1 φ′2 − φ′1 φ2 + λaii φ1 φ2 k ai 1 λi λi 2 1 + ka φ φ φ A 1 2 i−1 2 ka i i = . λi 2 λi B − ka φ 1 − φ φ i−1 1 2 1 ka i i Definujeme matice λi 2 λi φ1 φ2 φ 1 + ka kai 2 i Mi = λi 2 λi − ka φ 1 − ka φ1 φ2 i 1 i a pomocí vztahu Mi = 1 + 5
λi Ni kai
(1.8)
matice φ1 φ2 φ22 φ2 φ1 φ2 . Ni = = 2 −φ1 −φ1 φ2 −φ1
Dále označíme vektor koeficientů
Vi =
Ai . Bi
Nyní můžeme konečně snadno zapsat vztah mezi koeficienty řešení nalevo a napravo od i-té δ-funkce: λi Vi = Mi Vi−1 = 1 + Ni Vi−1 . kai Z tohoto vztahu je dobře vidět, že pro λi = 0 budou koeficienty nalevo a napravo od bodu ai stejné. Toto chování očekáváme, protože λi = 0 odpovídá tomu, že v bodě ai potenciál úměrný δ-funkci vymizí a tedy na celém intervalu (ai−1 , ai+1 ) je potenciál nulový. Snadno se můžeme přesvědčit, že matici inverzní k Mi dostaneme pouhou záměnou λi za −λi : λi λ2 λi λi λi Ni Ni = 1 + Ni − Ni + 2 i 2 Ni2 = 1, 1+ 1− kai kai kai kai k ai protože Ni2 = 0, matice Mi je tedy vždy regulární. Předpokládejme, že máme zadány okrajové podmínky v nule a v nekonečnu. Výběr takové okrajové podmínky odpovídá tomu, že po řešení na okraji požadujeme, aby jeho koeficienty vzhledem k fundamentálnímu systému byly úměrné nějakému vektoru V , v případě okrajové podmínky v nule V0 a v případě okrajové podmínky v nekonečnu Vn . Z okrajových podmínek, spojitosti vlnové funkce (1.3) a skoku derivace (1.4) v bodech ai dostáváme rovnici KVn = Mn Mn−1 · . . . · M1 V0 ,
(1.9)
kde K může být libovolná konstanta. Tento vztah představuje dvě rovnice, kde konstanta K je libovolná, její eliminací tak dostaneme jedinou rovnici, která implicitně popisuje vztah mezi vazbovými konstantami λi a momentem k. Ve všech předchozích výpočtech jsme postupovali obecně a všechny vazbové konstanty pro nás byly rovnocenné. Podívejme se však nyní na případ, kdy máme daný potenciál složený z určitého počtu δ-funkcí a chceme k němu přidat novou δ-funkci tak, abychom z nějaké rezonance vytvořili vázaný stav. Takový případ dostaneme jednoduše tím, že jednu z δ-funkcí budeme považovat za přidanou a příslušnou vazbovou konstantou λ budeme nastavovat, jak moc přitažlivý potenciál bude. Předpokládejme, že touto δ-funkcí je i-tá δ-funkce. Úpravou (1.9) dostaneme −1 KMi+1 · . . . · Mn−1 Vn = Mi Mi−1 · . . . · M1 V0
a tedy KVi = Mi Vi−1 , 6
(1.10)
kde −1 Vi = Mi+1 · . . . · Mn−1 Vn , Vi−1 = Mi−1 · . . . · M1 V0 .
Ve vztahu (1.10) závisí na λi pouze matice Mi . Rozepíšeme matici Mi pomocí matice Ni , která už na λi nezávisí a upravíme, λi KVi = 1 + Ni Vi−1 kai λi Ni Vi−1 = Vi−1 . KVi − kai Poslední rovnost můžeme přepsat maticově jako soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé K a λi , K 1 Vi − kai Ni Vi−1 = Vi−1 . λi
Tato soustava bude mít právě jedno řešení, pokud determinant matice na levé straně bude nenulový. Podívejme se tedy, za jakých okolností může nastat případ, kdy by byl roven nule. 1 Vi − 1 Ni Vi−1 = Ai − 1kai φ2 (Ai−1 φ1 + Bi−1 φ2 ) = kai Bi φ (Ai−1 φ1 + Bi−1 φ2 ) kai 1 1 (Ai−1 φ1 + Bi−1 φ2 ) (Ai φ1 + Bi φ2 ) = = kai 1 ψ− (ai )ψ+ (ai ). = kai
Vidíme tedy, že pokud je hodnota k taková, že řešení původního potenciálu splňující okrajovou podmínku v nule (to nemusí splňovat okrajovou podmínku v nekonečnu) nebo řešení splňující okrajovou podmínku v nekonečnu (to nemusí splňovat okrajovou podmínku v nule) nabývá v bodě ai nulové hodnoty, pak nemůžeme hodnotou parametru λi zajistit splnění obou okrajových podmínek zároveň. Buď máme řešení splňující okrajovou podmínku v nule i v nekonečnu zároveň pro libovolné λi nebo alespoň jedna okrajová podmínka splněna není pro každé λi . Předpokládejme, že hodnota k je taková, že determinant je nenulový a soustava má tedy právě jedno řešení. Zajímá nás jen λi , to dostaneme pomocí Cramerova pravidla Vi Vi−1 A B − Bi Ai−1 = kai i i−1 λi = . (1.11) Vi − 1 Ni Vi−1 ψ− (ai )ψ+ (ai ) ka i
1.3
Rozvoj vazbové konstanty v nule
Podívejme se nyní, jak vypadá Taylorův rozvoj funkce λi (k) v nule. Konkrétně nás bude zajímat tvrzení následující věty.
7
Věta 1. Jestliže 1 lim ψ− (ai )ψ+ (ai ) 6= 0, k→0 k
(1.12)
pak Taylorův rozvoj funkce λi (k) neobsahuje liché mocniny k do řádu 2l−1 včetně. Důkaz. V důkazu budeme pracovat s mocninnými řadami, v kterých budou chybět liché mocniny. Přitom nás nebude zajímat konkrétní tvar mocninné řady. Je proto vhodné zavést pro takovou mocninnou řadu označení, které ji bude zastupovat, abychom nemuseli mocninnou řadu vypisovat explicitně. Vzhledem k tomu, že nám bude vždy stačit informace, že daný výraz se dá zapsat jako mocninná řada bez lichých mocnin, ale koeficienty řady nás nezajímají, je pro nás dostatečné takovou řadu vždy značit stejně, volíme označení S. S≡
∞ X
ai k 2i ,
ai ∈ C
(1.13)
i=0
Je zřejmé, že když sečteme dvě takové řady, opět dostaneme řadu, která je tvaru (1.13), můžeme tedy výraz S + S nahradit výrazem S. Toto a další pravidla nahrazování, která budou v důkazu použita, jsou S + S → S, S · S → S, k 2i S → S,
i ∈ N.
Zápisem šipky → a výrazu máme na mysli to, že existují řady (1.13) takové, že výraz napravo se rovná původnímu výrazu, z kterého jsme vycházeli. Pro názornost uveďme jednoduchý konkrétní příklad takového nahrazování: (1 + k 3 )(1 + k 2 ) → (S + k 3 S) · S → S · S + k 3 S · S → S + k 3 S → S + kS. Ve výrazu (1.11) vystupují vektory V – v čitateli přímo jejich složky, ve jmenovateli pak prostřednictvím ψ− (ai ) = Ai−1 φ1 (ai ) + Bi−1 φ2 (ai ) ψ+ (ai ) = Ai φ1 (ai ) + Bi φ2 (ai ).
(1.14)
Všechny vektory V můžeme dostat z vektorů V0 a Vn postupným násobením maticemi Mj , resp. Mj−1 pro různá j. Jak jsme ukázali, matici Mj−1 dostaneme pouhou záměnou λj za −λj , stačí tedy najít rozvoj matice Mj . K tomu budeme potřebovat fundamentální systém (1.5) a jeho rozvoj (1.6), který zřejmě je φ1 (r) = k l+1 S, φ2 (r) = k −l S. Pro matici Mj z (1.8) pak dostáváme S −2l−1 −l 2 S + Sk · k l+1 S · k −l S S k S (k S) k Mj → → . S (k l+1 S)2 S + Sk · k l+1 S · k −l S k 2l+1 S S k 8
Vzhledem k linearitě při násobení vektoru maticí je vhodné vektory V0 a Vn rozvinout do báze 0 1 , {e1 , e2 } ≡ 1 0 a zjistit nejprve, jak matice Mj působí na tyto vektory. Vektor e1 resp. vektor e2 je jistě tvaru 0 S resp. S 0 a tedy i tvaru
S k 2l+1 S
resp.
−2l−1 k S , S
kde řady S u mocnin k budou nulové řady. Ukážeme nyní, že tento tvar zůstane zachován i po vynásobení maticí Mj . Nejprve pro e1 : S S k −2l−1 S S = = Mj k 2l+1 S k 2l+1 S S k 2l+1 S S · S + k −2l−1 S · k 2l+1 S → = k 2l+1 S · S + S · k 2l+1 S S+S → → k 2l+1 S + k 2l+1 S S . → k 2l+1 S Pro e2 analogicky: −2l−1 −2l−1 k S S k −2l−1 S k S Mj = = 2l+1 S k S S S S · k −2l−1 S + k −2l−1 S · S = → k 2l+1 S · k −2l−1 S + S · S −2l−1 k S + k −2l−1 S → → S+S −2l−1 k S → . S Podle okrajové podmínky (1.1) se musí chovat řešení v okolí nuly jako funkce φ1 (r) (což je zřejmé z rozvoje (1.6), φ2 (r) totiž nejde pro r → 0 do nuly), proto musí být vektor V0 tvaru V0 = αe1 + 0e2 a tedy −2l−1 S k S S . = +0· Vi−1 → α · 2l+1 k 2l+1 S S k S Vektor Vn je obecně tvaru Vn = α1 e1 + α2 e2 a vektor Vi bude tedy mít rozvoj −2l−1 S + k −2l−1 S k S S . → + α2 · Vi → α1 · 2l+1 S + k 2l+1 S S k S 9
Nyní upravíme rozvoje pro ψ− (ai ) a ψ+ (ai ) dosazením do (1.14): ψ− (ai ) → S · k l+1 S + k 2l+1 S · k −l S → k l+1 S,
ψ+ (ai ) → (S + k −2l−1 S)k l+1 S + (S + k 2l+1 S)k −l S → k l+1 S + k −l S.
Vydělíme-li jmenovatele z (1.11) k, dostaneme výraz s rozvojem 1 1 ψ− (ai )ψ+ (ai ) → · k l+1 S · (k l+1 S + k −l S) → S + k 2l+1 S. k k
(1.15)
Z předpokladu věty je absolutní člen rozvoje (1.15) nenulový (označme ho pro tuto chvíli C), platí tedy 1 1 ψ (a )ψ+ (ai ) k − i
1 1 → → S + k 2l+1 S C + k 2 S + k 2l+1 S ∞ 1 1 1 X 2 → · (k S + k 2l+1 S)i → = 2 2l+1 C 1+k S+k S C i=0
→
→
(1.16)
1 (S + k 2l+1 S) → S + k 2l+1 S. C
Nyní už můžeme najít přímo rozvoje funkce λi podle (1.11): λi = ai (Ai Bi−1 − Bi Ai−1 ) · → S (S + k −2l−1 S)k
1
1 ψ (a )ψ+ (ai ) k − i 2l+1 2l+1
S − (S + k
→ S)S · (S + k 2l+1 S) →
→ (k 2l+1 S + S + S + k 2l+1 S) · (S + k 2l+1 S) → (S + k 2l+1 S) · (S + k 2l+1 S) → → S + k 2l+1 S + k 4l+2 S → S + k 2l+1 S. V rozvoji λi se mohou vyskytovat liché mocniny k teprve s nejnižší mocninou k 2l+1 , nižší mocniny v rozvoji tedy chybí, což jsme měli dokázat. Poznámka. Věta obsahuje předpoklad (1.12), o němž obecně nevíme, pro jaký potenciál bude splněn. Pokud se ovšem podíváme například na potenciál tří δ-funkcí a spočítáme limitu z (1.12) pro případ, kdy je přidaná prostřední δ-funkce (tabulka 1.1) a pro případ, kdy je přidaná δ-funkce nejvzdálenější od počátku (tabulka 1.2), uvidíme, že předpoklad není splněn jen pro speciální volbu parametrů potenciálu. Pro všechny ostatní volby parametrů je předpoklad splněn a tvrzení věty platí. Pro jiné potenciály složené z δ-funkcí bychom dostali podobné výrazy, které zde však již neuvádíme. Podstatné zjištění, které bychom si měli z tohoto odnést, je, že nesplnění předpokladu věty je výjimečné.
1.4
Volba pozice δ-funkce
Při vkládání δ-funkce do původního potenciálu by na přesnost aproximace mohla mít vliv pozice, kde je přidaná δ-funkce umístěna. V této kapitole budeme tento vliv zkoumat. Konkrétně nás bude zajímat, kde se vyskytují póly funkce λ(k), které provedení analytického prodloužení komplikují, a jestli je možné vždy převést rezonanční stav na vázaný stav pouhou změnou λ v oboru reálných hodnot. 10
Tabulka 1.1. Limita z předpokladu věty pro potenciál tří δ-funkcí v závislosti na l. Přidaná je prostřední δ-funkce.
l
limk→0 k1 ψ+ (ai )ψ− (ai )
0
(a2 +λ1 (a2 −a1 ))(a3 +λ3 (a3 −a2 )) a3
1
(3a32 +λ1 (a32 −a31 ))(3a33 +λ3 (a33 −a32 )) 27a22 a33
2
(5a52 +λ1 (a52 −a51 ))(5a53 +λ3 (a53 −a52 )) 125a42 a53
3
(7a72 +λ1 (a72 −a71 ))(7a73 +λ3 (a73 −a72 )) 343a62 a73
Tabulka 1.2. Limita z předpokladu věty pro potenciál tří δ-funkcí v závislosti na l. Přidaná je krajní δ-funkce nejvzdálenější od počátku.
l
limk→0 k1 ψ+ (ai )ψ− (ai )
0
a2 (a1 λ1 (λ2 −1)+a3 (λ1 +1)(λ2 +1))−a1 a3 λ1 λ2 −a22 λ2 (λ1 +1) a2
1
a32 (a31 λ1 (λ2 −3)+a33 (λ1 +3)(λ2 +3))−a31 a33 λ1 λ2 −a62 λ2 (λ1 +3)
2
a52 (a51 λ1 (λ2 −5)+a53 (λ1 +5)(λ2 +5))−a51 a53 λ1 λ2 −a10 2 λ2 (λ1 +5)
3
a72 (a71 λ1 (λ2 −7)+a73 (λ1 +7)(λ2 +7))−a71 a73 λ1 λ2 −a14 2 λ2 (λ1 +7)
27a32 a23
125a52 a43
343a72 a63
11
Nejprve se podíváme na potenciál složený ze čtyř δ-funkcí umístěných v bodech 2, 4, 6 a 8. Všechny tyto δ-funkce budou mít vazbovou konstantu rovnou 1, potenciál je tedy čistě odpudivý. V tomto případě se budeme zabývat pouze parciální vlnou l = 0. Tento potenciál má rezonanční stavy nejbližší počátku přibližně v bodech1 k = ±0, 47−0.12i. Pokud bychom polohu této rezonance neznali a chtěli ji určit přidáním přitažlivé δ-funkce z energií vázaných stavů, na které rezonance přejde, analytickým prodloužením, pak bychom přitažlivou δ-funkci měli umístit na takové místo, které nejlépe umožní analytické prodloužení. Testovali jsme pět různých pozic a přidané δ-funkce s vazbovou konstantou λ – pozici a = 1, kdy je ze všech δ-funkcí nejblíže počátku, potom pozice a = 3, 5, 7, kdy je δ-funkce postupně mezi ostatními δ-funkcemi, a nakonec pozici a = 9, kdy je přidaná δ-funkce nejdále od počátku ze všech δ-funkcí. Na obrázku 1.1 jsou pro všechny tyto případy zobrazeny křivky s nulovou imaginární částí λ(k) (modře), křivky s nulovou reálnou částí λ(k) (červeně), body, kde má původní potenciál rezonance (modré body), póly funkce λ(k) (zelené body) a šipky na místech, kde se vyskytují rezonance pro hodnotu λ(k) = −1, s vyznačeným směrem, kam se budou rezonance posouvat při zesilování přidaného přitažlivého potenciálu. Na prvním grafu z obrázku 1.1 pro a = 1 je patrné, že rezonance nejbližší počátku je v těsné blízkosti jednoho pólu funkce λ(k). Při zesilování přidaného přitažlivého potenciálu se zřejmě dvě rezonance potkají v blízkosti bodu k = 0, stanou se z nich virtuální stavy a posléze z jednoho z nich stav vázaný. Z druhého, třetího a čtvrtého grafu na obrázku 1.1 pro a = 3, 5, 7 je patrné, že pól funkce λ(k), který byl pro a = 1 v těsné blízkosti rezonance původního potenciálu, se od rezonance se zvyšujícím se a vzdaluje směrem dále od počátku. Naopak se k rezonanci přibližuje jiný pól funkce λ(k), který leží na reálné ose a posouvá se k počátku. Při zesilování přidaného potenciálu je opět možné z rezonancí vytvořit vázaný stav, jediný rozdíl oproti případu a = 1 je v tom, že se rezonance potkávají na imaginární ose stále dále od počátku. V posledním případě a = 9 na pátém grafu z obrázku 1.1 vidíme, že pól funkce λ(k) na reálné ose se dostal poměrně blízko k rezonanci. Podstatná změna oproti předchozím případům je však v tom, že nyní už není možné rezonanci zesilováním přidaného potenciálu převést na vázaný stav. Rezonance se při zesilování přidaného potenciálu bude přesouvat směrem k blízkému pólu funkce λ(k) na reálné ose. V předchozích případech pro velmi přitažlivý přidaný potenciál existoval virtuální stav, který se pohyboval do −i∞, a vázaný stav, který se pohyboval do +i∞. V tomto případě však „zapnutím“ přitažlivého potenciálu vznikne virtuální stav v −i∞ (v tomto případě totiž platí limκ→−∞ λ(κ) = 0 a λ(κ) < 0 pro κ ∈ R) a ten se se zesilováním přitažlivého potenciálu postupně přesouvá po imaginární ose nahoru až se z něj stane vázaný stav a pro λ → −∞ skončí v +i∞. Z uvedených poznatků vyplývá, že pro tento potenciál by bylo pravděpodobně nejvhodnější volit a = 5, tedy pozici přímo uprostřed mezi ostatními δ-funkcemi. V této poloze lze totiž rezonanci převést na vázaný stav a v blízkosti rezonance se nevyskytuje žádný pól funkce λ(k), všechny takové póly jsou od počátku více vzdálené než rezonance. Očekávali bychom tedy, že pro tuto polohu by měla metoda analytického prodloužení dávat nejlepší výsledky. 1
Tuto hodnotu jsme získali přidáním další δ-funkce a numerickým nalezením bodů, kde je výraz (1.11) nulový.
12
a=1 0. æ æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
-0.25
-1.
0.
-0.5
0.5
1.
a=3
0.
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
-0.5 0
-1
1
a=5
0.
æ
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
-0.5 0
-1
1
a=7
0.
æ
æ
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
-0.5 0
-1
1
a=9
0.
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ æ
-0.5 0
-1
1
Obrázek 1.1. Křivky v komplexní rovině k s ℑ(λ(k)) = 0 (modře) a křivky s ℜ(λ(k)) = 0 (červeně) pro l = 0 a čtyři δ-funkce ve vzdálenostech 2, 4, 6 a 8 od počátku s vazbovou konstantou 1, pátá přidaná δ-funkce je v bodě a. Šipky odpovídají λ = −1. Póly λ(k) jsou vyznačeny zeleně, póly S-matice modře. 13
Viděli jsme, že v případě, kdy byla přidaná δ-funkce umístěna až do oblasti mimo dosah původního potenciálu, nebylo možné rezonanci převést na vázaný stav. Nyní se podrobněji podíváme, zda toto nastává i v případě jiných potenciálů nebo to nastalo náhodně. Budeme se opět zabývat potenciálem složeným z δ-funkcí, ke kterým přidáme další δ-funkci na pozici nejvzdálenější od počátku, vyšetřovat budeme případy parciálních vln l = 0, 1, 2, 3. Na obrázku 1.2 jsou znázorněny čtyři trojice grafů, každá trojice odpovídá jedné volbě l. Nejprve rozebereme, co grafy představují v rámci každé trojice bez ohledu na hodnotu l. V dané trojici vždy první graf znázorňuje funkci λ1 (k), kdy máme volný hamiltonián a k němu přidáme jednu δ-funkci do vzdálenosti 1 od počátku parametrizovanou vazbovou konstantou λ1 . Na grafu jsou znázorněny šipky, které odpovídají hodnotě λ1 = 1 a tedy představují rezonanci potenciálu s jednou δ-funkcí. Směr šipky udává směr, kterým se bude rezonance pohybovat, budeme-li zmenšovat hodnoty λ1 , tedy budeme z odpudivého potenciálu vytvářet postupně potenciál přitažlivý. V tomto případě na grafu není žádná modrá tečka odpovídající rezonanci původního potenciálu, protože původní potenciál je nulový a žádnou rezonanci tedy nemá. Budeme-li nyní tuto jednu δ-funkci považovat za původní potenciál (přitom volíme λ1 = 1) a přidáme k ní další δ-funkci do vzdálenosti 2 od počátku parametrizovanou vazbovou konstantou λ2 , dostaneme funkci λ2 (k), která je znázorněna na druhém grafu z každé trojice. Šipka z prvního grafu odpovídá rezonanci původního potenciálu, proto se ve stejném místě druhého grafu objeví nula funkce λ2 (k). Šipky na druhém grafu odpovídají volbě λ2 (k) = 1 a tedy představují rezonanci potenciálu dvou odpudivých δ-funkcí. Směr šipek znázorňuje posun rezonance při zmenšování hodnoty λ2 . Pokud na grafu vyjdeme ze šipek v jejich směru a půjdeme po modrých křivkách, tak se v některých případech dostaneme pro hodnotu λ2 = 0 do rezonance původního potenciálu. Nakonec, budeme-li obě dvě δ-funkce považovat za původní potenciál (volíme λ1 = 1 a λ2 = 1) a přidáme k nim třetí δ-funkci do vzdálenosti 3 od počátku parametrizovanou vazbovou konstantou λ3 , dostaneme funkci λ3 (k), která je znázorněna na třetím grafu v každé trojici. Obdobně jako v případě druhého grafu i nyní se šipky z druhého grafu stanou nulami funkce λ3 (k). Šipky odpovídají hodnotě λ3 = 1. V případě l = 0 se z rezonance jedné ani z rezonance dvou δ-funkcí nemůže stát vázaný stav. Při zesilování přitažlivého potenciálu rezonance nejbližší počátku postupně skončí v pólu funkce λ(k) na reálné ose. V případě l = 1 je situace pro původní potenciál jedné δ-funkce a dvou δ-funkcí velmi podobná. Na imaginární ose existuje virtuální stav, ten se při zesilování přitažlivého potenciálu potká s jiným virtuálním stavem, vytvoří dvě rezonance, které se posléze potkají v bodě k = 0 a vytvoří vázaný stav a virtuální stav. Rezonance nejbližší počátku skončí v pólu funkce λ(k) na reálné ose. Pro l = 2 a l = 3 už je situace odlišná v tom, že existují dvě rezonance původního potenciálu, z kterých je možné zesilováním přitažlivého potenciálu vytvořit vázaný stav. Další rezonance vzdálenější od počátku opět skončí v některém z pólů funkce λ(k) na reálné ose. Studiem grafů na obrázku 1.2 jsme zjistili, že pro nenulový potenciál má S-matice l pólů v blízkosti záporné imaginární osy. Dva z těchto pólů (pro případy l ≥ 2, aby vůbec dva póly existovaly) se zesilováním přidaného přitažlivého 14
n=1, l=0
n=1, l=1
1
1
0
æ
0
æ
-1
æ
æ
æ
-1
-2
-2 -4
0
-2
2
4
-4
0
-2
n=2, l=0 1 0
2
4
n=2, l=1 1
æ
æ
æ
æ
æ
0
æ
æ
æ
æ
æ
æ æ
æ
-1
-1
æ
æ æ
-2
-2 -4
0
-2
2
4
-4
0
-2
n=3, l=0
2
4
n=3, l=1
1
1
0
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
0
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ æ
æ
-2
0
2
4
2
4
æ
-1
æ
æ
æ
æ
-1
-2
-2 -4
0
-2
2
4
-4
n=1, l=2
n=1, l=3
1
1
0
0
-1
-1 æ
æ
-2
æ
-2
æ æ
-3
-3
-4
-4 -4
0
-2
2
4
-4
0
-2
n=2, l=2
n=2, l=3
1 0
1 æ
æ
æ æ
0
æ
æ
æ
æ
-1
æ
-1 æ
æ æ
æ
-2
æ
-2
æ
æ
-3
æ
-3
-4
æ
-4 -4
0
-2
2
4
-4
0
-2
n=3, l=2 1 0
2
4
n=3, l=3 1
æ æ
æ
æ
æ æ
æ
-1
æ
æ
æ
0
æ æ
æ
æ
æ
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
-1
æ
æ
æ æ
-2
-2 -4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
Obrázek 1.2. Křivky v komplexní rovině k s ℑ(λ(k)) = 0 (modře) a křivky s ℜ(λ(k)) = 0 (červeně) pro různá l a různý počet δ-funkcí n. δ-funkce jsou v pozicích 1 nebo 1 a 2 nebo 1, 2 a 3, přidaná δ-funkce je vždy na pozici nejvzdálenější od počátku, vazbová konstanta ostatních δ-funkcí je 1. Šipky odpovídají λ = 1. Póly λ(k) jsou vyznačeny zeleně, póly S-matice modře.
15
potenciálu potkají v bodě k = 0 a vytvoří vázaný stav. Kromě těchto l pólů se však ostatní póly S-matice při zesilování přitažlivého potenciálu vždy nakonec dostanou pouze do pólu funkce λ(k) na reálné ose.
16
2. Separabilní potenciál 2.1
Vazbová konstanta pro přidaný separabilní potenciál
Doposud jsme se zabývali pouze sféricky symetrickým potenciálem. V této kapitole se budeme věnovat nelokálnímu separabilnímu potenciálu, jelikož je poměrně snadné odvodit pro takový potenciál mnoho výsledků analyticky. Separabilní potenciál má tvar VˆS = −λ |gi hg| , kde λ je vazbová konstanta a |gi je nějaký vektor takový, že hg | gi < ∞. Operátor VˆS je definován na prostoru příslušném jedné konkrétní hodnotě momentu hybnosti l. Takový potenciál nazýváme separabilní potenciál ranku 1, sumu N potenciálů ranku 1 VˆS = −
N X
λi |gi i hgi |
i=1
pak nazýváme separabilním potenciálem ranku N [4]. Mějme hamiltonián ˆ =H ˆ 0 + Vˆ = pˆ2 + Vˆ H a přidejme k němu separabilní potenciál VˆS , ˆλ = H ˆ + VˆS . H Vyřešíme-li Lippmann-Schwingerovu rovnici ˆλ = G ˆ+G ˆ VˆS G ˆλ G
(2.1)
ˆ λ (E) = (E − H ˆ λ )−1 , kde G(E) ˆ ˆ −1 , dostaneme pro Greenův operátor G = (E − H) ˆλ = G ˆ− G
N X
ˆ |gi i τij hgj | G, ˆ G
(2.2)
i,j=1
kde elementy matice τij jsou dány pomocí inverzní matice ˆ (τ −1 )ij = δij λ−1 i + hgi | G |gj i ,
(2.3)
kde δij je Kroneckerovo delta. Toto řešení můžeme dostat např. tak, že rozvineme pravou stranu rovnice (2.1) do řady a řadu sečteme. Tento postup je správný pouze pokud by řada konvergovala. Můžeme se však dosazením do pravé strany (2.1) přesvědčit, že výsledek (2.2) splňuje rovnici (2.1) obecně, což nyní provedeme: ! ! N N X X ˆ+G ˆ VˆS G ˆλ = G ˆ+G ˆ − ˆ− ˆ |gj i τjk hgk | G ˆ = G λi |gi i hgi | G G i=1
ˆ− =G
N X
j,k=1
ˆ |gi i hgi | G ˆ+ λi G
i=1
N X
i,j,k=1
17
ˆ |gi i hgi | G ˆ |gj i τjk hgk | G. ˆ λi G
Upravíme část posledního členu N X
N X −1 ˆ −δij λ−1 + δ λ + hg | G |g i τjk = ij i i j i
ˆ |gj i τjk = hgi | G
j=1
j=1
=−
N X
δij λ−1 i τjk
j=1
−λ−1 i τik
=
N X ˆ |gj i τjk = + δij λ−1 + hg | G i i j=1
+
N X
(τ −1 )ij τjk = −λ−1 i τik + δik
j=1
a dosadíme zpět ˆ+G ˆ VˆS G ˆλ = G ˆ− G
N X
ˆ |gi i hgi | G ˆ+ λi G
i=1
ˆ− =G
N X
ˆ |gi i (−λ−1 τik + δik ) hgk | G ˆ= λi G i
i,k=1
N X
ˆ |gi i τik hgk | G ˆ=G ˆ λ. G
i,k=1
Pro potenciál ranku 1 pak speciálně máme ˆλ = G ˆ− G
ˆ |gi hg| G ˆ G . ˆ |gi λ−1 + hg| G
(2.4)
Identitu můžeme pomocí rozkladu vzhledem k vlastním vektorům hamiltoˆ (o kterém budeme předpokládat, že má spojité spektrum a bodové niánu H spektrum s pouze nekladnými vlastními hodnotami −κ2n ) napsat jako Z ∞ X ˆ1 = |κn i hκn | + |k+i hk+| k 2 dk, 0
n
ˆ + |ki je vycházející rozptylový kde |κn i je vázaný stav s energií −κ2n , |k+i = Ω ˆ stav, Ω+ je Møllerův operátor a |ki stav volného hamiltoniánu s impulsem k. Přitom jsme zvolili normalizaci stavů hκn | κn′ i = δnn′ , 1 hk+ | k ′ +i = 2 δ(k − k ′ ), k hκn | ki = 0. Předpokládáme, že stavy |κn i jsou nedegenerované a že pro každé n je hg | κn i = 6 0. ˆ Spektrální rozklad hamiltoniánu H je Z ∞ X 2 ˆ =− H κn |κn i hκn | + k 2 |k+i hk+| k 2 dk 0
n
a Greenův operátor můžeme zapsat jako ˆ G(E) =
X |κn i hκn | n
E+
κ2n
+
18
Z
∞ 0
|k+i hk+| 2 k dk. E − k2
(2.5)
Vlastní hodnoty hamiltoniánu jsou určeny póly příslušného Greenova operátoru. V případě separabilního potenciálu ranku 1 je ze vztahu (2.4) pro Greenův opeˆ λ zřejmé, že G ˆ λ může mít pól pouze v bodech, kde G ˆ má pól nebo pokud rátor G ˆ v En = −κ2n ≤ 0 je jmenovatel λ + hg| G |gi nulový. Můžeme ale ukázat, že póly G ˆ λ pro nenulové λ: nemohou být póly G ˆ λ (−κ2 ) = lim (−κ2 + κ2n )G
κ→κn
2 ˆ |gi hg| G(−κ ˆ (−κ2 + κ2n )G + κ2n ) = ˆ |gi (−κ2 + κ2 ) κ→κn λ−1 (−κ2 + κ2 ) + hg| G
= |κn i hκn | − lim
n
n
|κn i hκn | gi hg | κn i hκn | = |κn i hκn | − = 0. hg | κn i hκn | gi Všechny póly pro E = −κ2 ≤ 0 tedy odpovídají nulám jmenovatele výrazu (2.4) a jsou určeny vztahem 2 ˆ λ−1 = − hg| G(−κ ) |gi .
(2.6)
Analogicky v případě separabilního potenciálu ranku N nuly determinantu ˆ λ . Póly G ˆ podobně jako v případě separabilního potenmatice1 τ −1 určují póly G ciálu ranku 1 nemusíme uvažovat [5].
2.2
Vazbová konstanta pro samotný separabilní potenciál ranku 1
V případě volného hamiltoniánu, ke kterému přidáme pouze separabilní potenciál ranku 1, je vztah mezi vazbovou konstantou λ a energií E = −κ2 dán vztahem ˆ=G ˆ 0 je Greenův operátor volného hamiltoniánu. Volný hamiltonián (2.6), kde G nemá žádné vázané stavy a |k+i = |ki, vazbová konstanta λ tedy splňuje vztah Z ∞ Z ∞ hg | ki hk | gi 2 | hk | gi |2 2 −1 λ =− k dk = k dk. (2.7) −κ2 − k 2 κ2 + k 2 0 0 Hodnotu hk | gi označíme g(k). Aby potenciál reprezentoval skutečný fyzikální problém, musíme na funkci g(k) klást určité podmínky [6]. Požadujeme, aby se funkce g(k) na okolí nuly chovala jako k l , aby funkce byla analytická v komplexní rovině kromě konečného počtu bodů na imaginární ose a aby funkce pro reálné hodnoty k nabývala reálných hodnot. Vztah (2.7) pak můžeme přepsat do tvaru Z ∞ g(p)2 2 −1 p dp. (2.8) λ = κ2 + p2 0 Tento vzorec určuje vztah mezi λ a κ > 0, kde k = iκ je impuls. Známe tak závislost λ(k) pro hodnoty k na kladné imaginární ose. Budeme předpokládat, že funkce λ(k) je analytická a lze ji tedy rozšířit mimo imaginární osu. 1
V tomto případě τ −1 neznačí matici inverzní k matici τ , protože matice τ samozřejmě neexistuje. τ −1 je v tomto případě pouze označení pravé strany vztahu (2.3).
19
2.3
Rozvoj vazbové konstanty v nule
V kapitole 1.3 jsme dokázali větu 1, která se týkala Taylorova rozvoje vazbové konstanty jako funkce impulsu v nule pro sféricky symetrický potenciál složený z δ-funkcí. V této kapitole dokážeme obdobnou větu pro separabilní potenciál ranku 1. Na funkci g(p) charakterizující separabilní potenciál budeme klást požadavky z předchozí kapitoly, ke kterým přidáme požadavky sudosti nebo lichosti a dostatečného poklesu v nekonečnu, které umožní využít v důkazu reziduové věty. Věta 2. Jestliže je funkce g(p) lichá nebo sudá, analytická v komplexní rovině až na konečnou množinu jednoduchých pólů na imaginární ose, v okolí nuly se chová 1 jako pl a existuje C takové, že |g(p)| < C|p|− 2 −ε pro nějaké ε > 0 a pro velké hodnoty |p|, pak Taylorův rozvoj funkce λ(k) neobsahuje liché mocniny k do řádu 2l − 1 včetně. Důkaz. Zřejmě stačí vyšetřovat Taylorův rozvoj funkce λ(κ), protože funkce λ(k) má vzhledem ke vztahu k = iκ v rozvoji nulové stejné členy. Provedeme nejprve rozvoj funkce λ(κ)−1 , tedy pravé strany rovnosti (2.8). Pro výpočet integrálu použijeme reziduovou větu, tím upravíme výraz do tvaru, z kterého bude již možné lépe určit Taylorův rozvoj. Integrační křivku volíme podle obrázku 2.1.
ϕ2
iR z2 z1
−R
ϕ3
0
ϕ1
R
Obrázek 2.1. Integrační křivka v komplexní rovině pro proměnnou p. Podle reziduové věty platí Z g(z)2 2 z dz = 2πi 2 2 Γ κ +z
X
w,ℑw>0,|w|
Resz=w
g(z)2 2 z , κ2 + z 2
(2.9)
kde Γ je křivka složená z částí ϕ1 , ϕ2 a ϕ3 vyznačených v obrázku 2.1 a R je kladné reálné číslo. Díky sudosti nebo lichosti funkce g(p) platí Z 0 Z R Z g(p)2 2 g(−p)2 g(z)2 2 z dz = p dp = (−p)2 dp = 2 2 2 2 2 2 −R κ + p 0 κ + (−p) ϕ3 κ + z Z R Z g(p)2 2 g(z)2 2 = p dp = z dz. 2 2 2 2 0 κ +p ϕ1 κ + z 20
Provedeme-li pro integrál přes křivku ϕ1 limitu R → ∞, dostaneme zřejmě hledaný integrál Z ∞ Z g(p)2 2 g(z)2 2 z −→ p dp 2 2 R→∞ 0 κ2 + p2 ϕ1 κ + z a tedy i
Z
ϕ3
g(z)2 2 z −→ κ2 + z 2 R→∞
Z
∞ 0
g(p)2 2 p dp. κ2 + p2
Integrál přes křivku ϕ2 můžeme pro dostatečně velké hodnoty R odhadnout díky předpokladu chování funkce g(p) pro velké hodnoty |p| následovně (integrační křivku parametrizujeme z = Reiθ , kde θ ∈ (0, π)): Z π Z iθ 2 2 g(Re ) g(z) 2 iθ 2 iθ = ≤ z dz (Re ) · iRe dθ 2 2 2 iθ 2 0 κ + (Re ) ϕ2 κ + z Z π Z π g(Reiθ )2 |g(Reiθ )|2 2 dθ ≤ ≤ R · R R3 dθ ≤ κ2 + (Reiθ )2 2 + (Reiθ )2 | |κ 0 0 Z π Z π iθ − 21 −ε 2 2πC 2 ) 3 (C|Re | −2ε 2 . R dθ ≤ 2R C 1 dθ = ≤ 1 R2ε |(Reiθ )2 | 0 0 2 Pro R → ∞ bude integrál v absolutní hodnotě odhadnutý shora výrazem klesajícím do nuly, i limita samotného integrálu tedy musí být nulová: Z g(z)2 2 z −→ 0. 2 2 R→∞ ϕ2 κ + z Dáme-li výsledky pro všechny části křivky Γ dohromady, zjistíme, že Z ∞ Z g(z)2 2 g(p)2 2 z −→ 2 p dp. 2 2 R→∞ κ2 + p2 Γ κ +z 0
Provedení limity R → ∞ na pravé straně rovnosti (2.9) znamená pouze sčítání přes všechna z v horní komplexní polorovině, v kterých má funkce pól. Vyjádříme-li tedy integrál, který se snažíme spočítat, dostaneme Z ∞ X 1 g(z)2 2 g(p)2 2 p dp = 2πi z . Resz=w 2 κ2 + p2 2 κ + z2 0 w,ℑw>0 w je pól
Funkce na pravé straně má pól v bodě iκ a v pólech funkce g(z). Vzhledem k tomu, že nás zajímá chování pro κ → 0, můžeme předpokládat, že bod iκ je různý od všech pólů funkce g(z), protože počet těchto pólů je dle předpokladu věty konečný. Sumu tak můžeme rozepsat X X g(z)2 2 g(z)2 2 g(z)2 2 Resz=w 2 Res z = Res z + z = z=w 2 z=iκ 2 2 2 2 κ + z κ + z κ + z w,ℑw>0 w,ℑw>0 w je pól
w je pól g(z)
2
=
g(iκ) (iκ)2 + 2iκ
1 = iκg(iκ)2 + 2
X
w,ℑw>0 w je pól g(z)
X
w,ℑw>0 w je pól g(z)
21
Resz=w
Resz=w
g(z)2 2 z = κ2 + z 2
g(z)2 2 z . κ2 + z 2
Označme póly funkce g(z) s kladnou imaginární částí jako wi , kde i = 1, . . . , n. Všechny tyto póly jsou jednoduché, můžeme proto funkci g(z) pro libovolné i napsat jako g(z) =
gi (z) , z − wi
kde gi (z) je funkce, která už nemá v bodě wi pól. Reziduum v bodě wi tak můžeme vypočítat Resz=wi
g(z)2 2 gi (z)2 z = Res z2 . z=w i 2 2 2 2 2 κ +z (κ + z )(z − wi )
Funkce, jejíž reziduum nyní počítáme, má v bodě wi pól druhého řádu. Podle standardního vzorce pro výpočet rezidua funkce s pólem druhého řádu dostáváme ′ gi (z)2 g(z)2 2 2 2 = z = lim (z − wi ) · 2 z Resz=wi 2 z→wi κ + z2 (κ + z 2 )(z − wi )2 ′ 1 2 2 = lim z gi (z) · 2 = z→wi κ + z2 2z 1 2 2 ′ − z gi (z) 2 = = lim 2zgi (z)(gi (z) + zgi (z)) 2 z→wi κ + z2 (κ + z 2 )2 1 2wi = 2wi gi (wi )(gi (wi ) + wi gi′ (wi )) 2 − wi2 gi (wi )2 2 = 2 κ + wi (κ + wi2 )2 C2 (wi ) C1 (wi ) + 2 , = 2 2 κ + wi (κ + wi2 )2 kde C1 (wi ) a C2 (wi ) jsme označili příslušné výrazy nezávislé na κ. Shrneme-li naše dosavadní výsledky, máme ! n X C (w ) C (w ) 1 2 i 1 i + 2 = λ−1 = πi iκg(iκ)2 + 2 2 2 + w2 2 κ (κ + w ) i i i=1 (2.10) n X 1 C (w ) C (w ) 2 i 1 i = − πκg(iκ)2 + πi + . 2 κ2 + wi2 (κ2 + wi2 )2 i=1 Pokud budeme znát rozvoje funkcí κg(iκ)2 ,
κ2
1 , + wi2
(κ2
1 , + wi2)2
zjistíme tak i rozvoj funkce λ−1 . Vzhledem k předpokladu o chování funkce g(z) ∼ z l v okolí nuly můžeme psát 2
κg(iκ) = κ (iκ)
l
∞ X
ai (iκ)
i=0
i
!2
2l+1
=κ
∞ X
bi κi ,
i=0
kde ai a bi jsou koeficienty, které nás nemusí zajímat. Vidíme tedy, že tato funkce neobsahuje liché mocniny κ do řádu 2l − 1. Zbylé dvě funkce jsou v κ sudé, 22
neobsahují tedy liché mocniny κ vůbec. Využijeme-li zápisu zavedeného v kapitole 1.3, můžeme psát λ−1 = S + κ2l+1 S. Absolutní člen na pravé straně získáme pouhým výpočtem z (2.8) pro κ = 0: Z ∞ −1 λ = g(p)2 dp > 0. κ=0
0
Ze stejných důvodů jako dříve ve výpočtu (1.16) tedy můžeme psát konečný výsledek λ(k) = S + k 2l+1 S.
Poznámka. Jestliže budeme předpokládat normovanost |gi, tedy hg | gi < ∞, pak 3 je zřejmé, že funkce g(p) musí pro p → ∞ klesat rychleji než p− 2 a předpoklad 1 existence C takového, že |g(p)| < C|p|− 2 −ε , je proto splněn.
2.4
Asymptotika pro samotný separabilní potenciál ranku N
V předchozí části jsme se zabývali chováním funkce λ(k) v okolí k = 0 pro separabilní potenciál ranku 1. Nyní zjistíme, jak se λ(k) chová pro k → ∞ a to dokonce pro separabilní potenciál ranku N, kde první člen s vazbovou konstantou λ1 (dále nebudeme psát index 1, λ1 ≡ λ) budeme považovat za přidaný potenciál, Vˆ = −λ |gi hg| −
N X
λi |gi i hgi | .
(2.11)
i=2
Pro určování asymptotiky využijeme větu o limitě integrálu závislého na parametru (věta 13.29 z Matematické analýzy pro fyziky (III) [7] formulovaná pro jednodimenzionální integrál): Věta 3. Nechť M je měřitelná množina, A ⊂ R, α(0) ∈ A′ .2 Nechť funkce f : M × (A \ {α(0) }) → R splňuje následující podmínky: 1) Pro každé α ∈ (A \ {α(0) }) je funkce f (x; α) měřitelná na M jako funkce x. 2) Pro skoro všechna x ∈ M existují vlastní limity limα→α(0) f (x; α) = F (x). 3) Existuje g ∈ L(M) (integrabilní majoranta) taková, že |f (x; α)| ≤ g(x) pro skoro všechna x ∈ M a všechna α ∈ (A \ {α(0) }). Potom platí: I. Pro každé α ∈ (A \ {α(0) }) je f (x; α) ∈ L(M) a F ∈ L(M). 2
A′ značíme množinu hromadných bodů množiny A.
23
f (x; α) dx má v bodě α(0) limitu vzhledem k A rovnou Z Z Z f (x; α) dx = lim f (x; α) dx = F (x) dx. lim ϕ(α) = lim
II. Funkce ϕ(α) =
α→α(0)
R
M
α→α(0)
(0) M α→α
M
M
Nyní formulujeme větu o asymptotice funkce λ(k), kterou budeme dokazovat. Věta 4. Jestliže hg | gi < ∞ a hgi | gi i < ∞ pro i ∈ {2, . . . , N}, pak pro separabilní potenciál (2.11) ranku N, kde první člen s vazbovou konstantou λ považujeme za přidaný, platí3 λ(k) = −
k2 + o(k 2 ). hg | gi
Důkaz. Závislost λ(k) je dána podmínkou nulovosti determinantu matice τ −1 defi1 nované vztahem (2.3). Budeme tedy nejprve vyšetřovat asymptotiku funkce λ(κ) . Greenův operátor je v tomto případě Greenův operátor volného hamiltoniánu. Označíme si ˆ 0 |gj i , gij = hgi | G ˆ 0 dosadíme z (2.5) kde pro tyto účely značíme |gi ≡ |g1 i. Za G Z ∞ Z ∞ gi (p)gj (p) 2 hgi | pi hp | gj i 2 p dp = − p dp gij = 2 2 −κ − p κ2 + p2 0 0 a budeme počítat limitu 2
lim κ gij = − lim
κ→∞
κ→∞
Z
∞ 0
gi (p)gj (p) 2 2 p dp. 1 + κp
Nyní potřebujeme zaměnit limitu a integrál, k čemuž nám poslouží věta 3. Její první dva předpoklady jsou zřejmě splněny, zbývá najít integrabilní majorantu. Zřejmě platí g (p)g (p) i j 2 gi (p)gj (p)p2 . ≤ p 2 1+ p κ
Přitom ale víme, že Z ∞ q 2 gi (p)gj (p)p dp = | hgi | gj i | ≤ hgi | gi i hgj | gj i < ∞, 0
kde jsme využili Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti a předpokladu konečného normování |gi i a |gj i. Lebesgueův integrál měřitelné funkce je konečný právě když je konečný Lebesgueův integrál absolutní hodnoty funkce, proto i Z ∞ |gi (p)gj (p)p2 | dp < ∞ 0
3
o je Landauův symbol malé o.
24
a funkce |gi (p)gj (p)p2 | je tedy integrabilní majorantou. Předpoklady věty 3 jsou splněny a můžeme tedy zaměnit pořadí limity a integrálu: Z ∞ Z ∞ gi (p)gj (p) 2 2 gi (p)gj (p)p2 dp = − hgi | gj i . lim κ gij = − lim p dp = − p 2 κ→∞ κ→∞ 0 0 1+ κ Můžeme tedy psát
hgi | gj i gij = − +o κ2
1 κ2
.
Nyní budeme upravovat determinant matice τ −1 , přičemž požadujeme jeho nulovost. Zajímat nás budou jen dominantní členy, ostatní budeme postupně zahrnovat do o κ12 . Provedeme Laplaceův rozvoj determinantu podle prvního sloupce. 1 + g11 g12 ... g1N λ 1 g12 + g22 . . . g2N λ2 −1 |τ | = .. = .. .. .. . . . . 1 g1N g2N . . . λN + gN N 1 + g22 g . . . g 23 2N λ 2 1 + g33 . . . g3N 1 1 g23 λ3 = + g11 +o . . . . . . . . λ κ2 . . . . g2N g3N . . . λ1N + gN N
Chování determinantu v posledním výrazu už určíme snadno – jediné členy, které 1 nemůžeme zahrnout do o κ2 , vzniknou z vynásobení všech prvků na diagonále. Kdybychom totiž vzali alespoň jeden prvek mimo diagonálu, museli bychom vzít i jiný prvek mimo diagonálu a dostaneme tak pokles alespoň jako κ14 . Přitom ze součinu prvků na diagonále opět stačí brát členy, kde je maximálně jeden činitel g. 1 1 1 1 1 −1 |τ | = ··· (1 + λ2 g22 + . . . λN gN N ) + o + g11 +o = 2 λ λ2 λN κ κ2 1 g11 1 1 1 = + (1 + λ2 g22 + . . . λN gN N ) + o +o 2 λ λ2 · · · λN κ λ2 · · · λN κ2 Provedeme-li limitu hranaté závorky pro κ → ∞, dostaneme 1 1 1 (1 + λ2 g22 + . . . λN gN N ) + o . = lim 2 κ→∞ λ2 · · · λN κ λ2 · · · λN
Tato limita je různá od nuly a tedy pro dostatečně velká κ je hranatá závorka vždy různá od nuly. Můžeme proto pro velká κ touto závorkou vydělit obě strany rovnosti |τ −1 | = 0. Na levé straně rovnosti si ponecháme už pouze λ1 : g11 1 1 1 − . = +o λ [. . .] λ2 · · · λN κ2 Nyní vynásobíme obě strany κ2 a provedeme limitu κ → ∞. κ2 1 κ2 g11 1 2 − lim = = lim +κ o κ→∞ λ κ→∞ [. . .] λ2 · · · λN κ2 κ2 g11 1 2 = λ2 · · · λN · lim − +κ o = − lim κ2 g11 = hg | gi 2 κ→∞ κ→∞ λ2 · · · λN κ 25
To můžeme přepsat jako λ 1 = κ→∞ κ2 hg | gi lim
a tedy κ2 λ(κ) = + o(κ2 ). hg | gi Přejdeme-li k proměnné k = iκ, dostaneme konečně požadovaný výsledek λ(k) = −
k2 + o(k 2 ). hg | gi
Dokázaná věta nám poskytuje informaci o asymptotice v případě, že stavy |gi i jsou normalizovatelné. V případě potenciálu ranku 1 však můžeme využít mezivýsledku z důkazu věty 2 a odvodit v tomto případě, jak bude vypadat asymptotika pro některé separabilní potenciály ranku 1, které nesplňují podmínku hg | gi < ∞. Úpravy provedené v důkazu věty 2, které vedly ke vztahu (2.10), nevyužívaly toho, že k je malé, kromě toho, že k muselo být různé od pólů funkce g(p). Proto vztah platí i pro k (resp. κ) jdoucí do nekonečna. Budeme-li zkoumat asymptotiku funkce λ(k), stačí tedy zjistit asymptotiku výrazu na pravé straně (2.10). Předpokládejme, že se bude funkce g(p) chovat pro p → ∞ jako p−n . Aby funkce g(p) klesala v nekonečnu dostatečně rychle podle předpokladu věty 2, musí být n > 12 . Přitom pro n > 23 už víme podle věty 4, že asymptotika odpovídá κ2 . Tento rozbor už se tedy týká pouze n ∈ 21 , 23 . První člen z (2.10) se chová jako 1 − πκg(iκ)2 ∼ κ1−2n . 2 Vzhledem k tomu, že nás zajímají pouze n ∈ 21 , 32 , tak platí 1 − 2n ∈ [−2, 0). Chování funkce λ(k) je tedy určeno právě tímto prvním členem, protože suma z (2.10) nemůže klesat pomaleji než κ−2 . Např. pro n = 1 tak v nekonečnu dostáváme asymptotiku λ(k) ∼ k.
2.5
Příklady separabilního potenciálu ranku 1
Jednoduchým příkladem separabilního potenciálu ranku 1 je separabilní potenciál daný funkcí g(p) =
pl (p2 + α2 )
l+n 2
,
kde α > 0, který odpovídá rozptylu v l-té parciální vlně [6]. Pro p → ∞ se potenciál chová jako g(p) ∼ p−n . Aby potenciál vyhovoval podmínce hg | gi < ∞, musí být n > 23 . Budeme však uvažovat i případ n = 1, kdy není |gi normalizovatelný. 26
V tomto případě sice vznikají jisté potíže s vlastními vektory, ne však s vlastními hodnotami v závislosti na λ [5]. V tabulce 2.1 jsou uvedeny funkce λ(κ) pro různé hodnoty momentu hybnosti l a parametru potenciálu n. Můžeme si všimnout, že asymptotika v nekonečnu pro n = 1 odpovídá λ(k) ∼ k a pro n = 2, 3 odpovídá λ(k) ∼ k 2 a je tedy v souladu s výsledky v předchozí kapitole 2.4. Na obrázku 2.2 jsou pak pro α = 1 znázorněny křivky, kde funkce λ(k) (připomeňme, že k = iκ, grafy jsou tedy otočené o π2 oproti tomu, kdybychom zkoumali funkci λ v proměnné κ) nabývá reálných hodnot (modře) a kde nabývá ryze imaginárních hodnot (červeně). Póly funkce λ(k) jsou znázorněny jako zelené tečky. Grafy po řádcích odpovídají různým hodnotám l = 0, 1, 2, 3 a po sloupcích různým hodnotám n = 1, 2, 3. Tabulka 2.1. Funkce λ(κ) pro různé hodnoty l a n.
l
n=1
n=2
n=3
0
2(κ+α) π
4α(κ+α)2 π
16α3 (κ+α)3 π(κ+3α)
1
4(κ+α)2 π(2κ+α)
16α(κ+α)3 π(3κ+α)
32α3 (κ+α)4 π(κ2 +4ακ+α2 )
2
16(κ+α)3 π(8κ2 +9ακ+3α2 )
32α(κ+α)4 π(5κ2 +4ακ+α2 )
256α3 (κ+α)5 π(5κ3 +25ακ2 +15α2 κ+3α3 )
3
32(κ+α)4 π(16κ3 +29ακ2 +20α2 κ+5α3 )
256α(κ+α)5 π(35κ3 +47ακ2 +25α2 κ+5α3 )
512α3 (κ+α)6 π(7κ4 +42ακ3 +42α2 κ2 +18α3 κ+3α4 )
Tyto křivky je zajímavé studovat zejména ze dvou důvodů. Prvním jsou body, kde se křivky protínají. Křivky se zřejmě protínají v místech, kde je imaginární část i reálná část λ(k) nulová, tedy λ(k) = 0. Vzhledem k tomu, že se zajímáme v tuto chvíli o separabilní potenciál ranku 1, tak pro λ = 0 dostáváme volný hamiltonián, pro který zřejmě takto získaná poloha pólu S-matice nemá fyzikální význam. V případech, kdy se separabilní potenciál přidává k jinému potenciálu, bychom však v průsečících s λ(k) = 0 nalezli hledaný pól S-matice původního potenciálu, což je přesně to, o co se snažíme. Křivky se však mohou protínat i v místech, kde neplatí λ(k) = 0, a to v pólech funkce λ(k) (póly totiž odpovídají nulám funkce λ−1 (k), pro kterou zřejmě dostaneme stejné křivky). Druhým důvodem, proč jsou tyto křivky zajímavé, je pohyb pólů S-matice při změně vazbové konstanty λ. Jestliže budeme vazbovou konstantu λ měnit pouze v oboru reálných hodnot, zřejmě se póly S-matice budou pohybovat po křivkách ℑ(λ(k)) = 0, tedy po modrých křivkách. Od λ = −∞ se póly S-matice pohybují z komplexního nekonečna nebo z pólů funkce λ(k) po modrých křivkách a pro λ → ∞ opět končí v komplexním nekonečnu nebo v některém z pólů funkce λ(k). Přitom se pro určité hodnoty λ mohou dva póly (nebo i více pólů) S-matice potkat a rozptýlit se pod úhlem π2 (v případě, že se potká v jednom bodě n pólů S-matice, tak se rozptýlí pod úhlem πn ). Póly S-matice se přitom mohou potkat pouze v sedlových bodech funkce λ(k) [5]. Podívejme se nyní na několik příkladů pohybu pólů. V nejjednodušším případě, kdy l = 0 a n = 1 (graf v prvním řádku a prvním sloupci na obrázku 2.2) 27
1
gHpL=
gHpL=
p2 +1
1
gHpL=
p2 +1
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3 -2
0
-1
gHpL=
1
0
-1
p
gHpL=
p2 +1
1
1
2
-2
gHpL=
I p2 +1M32
0
-1
-1
-2
-2
-2
-3 0
gHpL=
1
2
0
-1
p2
gHpL=
I p2 +1M32
1
0
0
1
2
-2
gHpL=
I p2 +1M2
-1
-2
-2
-2
-3
gHpL=
1
2
0
-1
p3
gHpL=
I p2 +1M2
1
0
0
1
2
-2
gHpL=
I p2 +1M52
-1
-2
-2
-2
-3 1
2
1
2
I p2 +1M3
æææ
-1
0
p3
0
-1
-1
0
1
æ æ æ
-2
-1
p3
æ æ æ
-3
2
-3 -2
1
1
æ æ
-1
0
I p2 +1M52
0
-1
-1
p2
1
æ æ
-2
0
-1
p2
æ æ
-3
2
-3 -2
1
1
I p2 +1M2
æ
-1
-1
2
0
æ
-3
1 p
1
æ
-2
0
-1
p
1
0
æ
-3 -2
2
1 I p2 +1M32
-3 -2
-1
0
1
2
-2
-1
0
Obrázek 2.2. Křivky v komplexní rovině k s nulovou imaginární částí λ(k) (modře) a s nulovou reálnou částí λ(k) (červeně) pro α = 1 a různá l a n.
28
má S-matice jediný pól a ten se pohybuje s rostoucím λ po imaginární ose. Pro záporné λ a tedy odpudivý potenciál máme virtuální stav s κ < −1, pro λ = 0 pól projde hodnotou κ = −1 a teprve pro dostatečně přitažlivý potenciál λ = π2 se objeví vázaný stav, který je s rostoucím λ vázán stále silněji až pro λ → ∞ jde κ → ∞. Nyní se podíváme, jak bude situace vypadat, pokud budeme zvyšovat hodnotu momentu hybnosti l. Pro l = 1 a n = 1 (tedy graf na druhém řádku v prvním sloupci na obrázku 2.2) máme dva póly S-matice a už se objevují body, ve kterých se tyto póly potkávají. Pro velmi záporné hodnoty λ se jeden pól pohybuje na záporné imaginární ose od −i∞, jeho hodnota κ roste, druhý pól se pohybuje po záporné imaginární ose od pólu funkce λ(k) v bodě k = − 12 i do zápornějších hodnot κ, oba póly jsou tedy virtuálními stavy. Póly se potkají v bodě k = −i pro λ = 0, kde se rozptýlí pod úhlem π2 mimo imaginární osu a stanou se z nich rezonanční stavy. Na imaginární ose se opět potkají pro hodnotu λ = π4 v bodě k = 0, kde se opět rozptýlí pod úhlem π2 , z jednoho pólu se stane vázaný stav a z druhého virtuální stav. Pro λ → ∞ se vázaný stav pohybuje k nekonečnu k → +i∞ a virtuální stav k pólu k = − 12 i funkce λ(k). Pro n = 1 a l = 2 a l = 3 (spodní dva grafy v prvním sloupci obrázku 2.2) bychom pozorovali podobné chování s tím, že přibývá pólů funkce λ(k) (počet pólů bude v těchto dvou případech odpovídat l) v oblasti mezi počátkem a bodem k = −i. Pólů S-matice je celkem l + 1. Pro rostoucí λ se l pólů pohybuje v komplexní rovině od pólů funkce λ(k) směrem k hodnotě k = −i, jeden pól se pohybuje od nekonečna −i∞. Všechny póly se pro λ = 0 setkají v bodě k = −i, kde se rozptýlí. Některé póly se pak už opět dostanou do některého z pólů funkce λ(k) aniž by se srazily s jiným pólem. Vždy se však dva póly potkají v bodě k = 0, kde se z jednoho pólu stane vázaný stav a z druhého virtuální stav. Virtuální stav pak buď přímo skončí v pólu funkce λ(k) pro liché hodnoty l nebo se pro sudé hodnoty l ještě na imaginární ose srazí s jiným pólem, aby se oba póly mohly dostat k pólům funkce λ(k) ležícím mimo imaginární osu. Nyní se podíváme, co se mění, pokud naopak necháváme stejné l a zvětšujeme n, konkrétně se podíváme na l = 0 a n = 2 a n = 3. V případě n = 2 máme dva póly S-matice, které se pro rostoucí λ pohybují z nekonečna ∓∞ − i k bodu k = −i při λ = 0, kde se potkají a z rezonancí se stanou virtuální stavy. Jeden se dále pohybuje do −i∞ a z druhého se při λ = π4 stane vázaný stav, který je s rostoucím λ stále silněji vázaný. V případě n = 3 je v bodě k = −3i pól funkce λ(k). Z něj se pohybuje pól S-matice nahoru do bodu k = −i, kde se tři póly rozptýlí, jeden se bude dále pohybovat po imaginární ose nahoru podobně jako v případě n = 2, zbylé dva se rozptýlí mimo imaginární osu. Při rostoucí hodnotě λ se pak opět setkají níže na imaginární ose a rozptýlí se tak že se jeden vrátí do pólu funkce λ(k) a druhý půjde do −i∞. Podobně jako jsme pozorovali nárůst počtu pólů funkce λ(k) a smyček křivek na grafech v oblasti mezi body k = 0 a k = −i při zvyšující se hodnotě l, při zvyšující se hodnotě n bychom pozorovali nárůst počtu pólů a smyček křivek na grafech v oblasti pod hodnotou k = −i v komplexní rovině. Jak je patrné z obrázku 2.2, popsané efekty zvyšování l a n jsou nezávislé. Pro názornost ještě uvádíme obrázek 2.3 kde jsou znázorněny křivky s nulovou reálnou a nulovou imaginární částí funkce λ(k) pro l = 3 a n = 6. V grafu jsou vyznačeny šipkami i pohyby pólů S-matice při zvyšování parametru λ. Chování 29
1
0
æ
æ
æ
-1
æ
æ
-2
æ
æ
-3 -2
-1
0
1
2
Obrázek 2.3. Křivky v komplexní rovině k s nulovou imaginární částí λ(k) (modře) a s nulovou reálnou částí λ(k) (červeně) pro α = 1, l = 3 a n = 6 s vyznačeným posunem pólů S-matice při zvyšování reálného parametru λ. pólů opět odpovídá popsaným efektům zvýšení l a n dohromady. Můžeme tedy očekávat, že funkce λ(k) bude mít l pólů v oblasti mezi počátkem k = 0 a bodem k = −i, kde se všechny póly S-matice potkají při λ = 0. Dále můžeme očekávat, že funkce λ(k) bude mít n − 2 pólů v oblasti se zápornou imaginární částí k dále od počátku než hodnota k = −i. Případ n = 1 tvoří z tohoto pravidla výjimku, pro něj je počet takových pólů funkce λ(k) nulový.
2.6
Příklad separabilního potenciálu ranku 2
V této kapitole budeme studovat separabilní potenciál ranku 2 Vˆ = −λ |gi hg| − λ2 |g2 i hg2 | , kde první člen bude představovat přidaný potenciál a druhý člen původní potenciál s rezonancí. Stavy |gi a |g2 i jsou dány následovně: p2 hp | gi = g(p) = 2 (p + α2 )2 p2 , hp | g2 i = g2 (p) = 2 (p + β 2 )2 30
rozptyl tedy odpovídá parciální vlně l = 2 a pokles funkcí g a g2 v nekonečnu je p−2 , tedy n = 2 ve značení z předchozí kapitoly. Volíme β = 1 (tato volba představuje pouze škálování) a λ2 = 1 (to jsme zvolili tak, aby původní potenciál měl rezonance). Pro tuto volbu má původní potenciál rezonance přibližně v bodech k = ±0, 56 − 0, 67i a virtuální stavy v bodech k = −2, 09i a k = −0, 57i. Funkce λ(k) má tedy nulu v těchto čtyřech bodech. Jediný další bod, kde je λ(k) = 0 je bod k = −iα, ten je čtyřnásobným kořenem (to bychom zjistili, kdybychom explicitně napsali vzorec pro λ(k) odvozený z nulovosti determinantu (2.3)). Nyní budeme zkoumat, jestli je možné z rezonančních stavů vytvořit vázaný stav pomocí zesilování přidaného přitažlivého potenciálu v závislosti na volbě α. Na obrázku 2.4 jsou pro volby různých α postupně po řádcích zobrazeny grafy, kde jsou v komplexní rovině k vyneseny křivky ℑλ(k) = 0 (modře) a ℜλ(k) = 0 (červeně). Na grafech jsou vidět čtyři modré body odpovídající rezonancím a virtuálním stavům původního potenciálu, s parametrem α se tedy jejich poloha nemění. Zajímá nás, zda je možné zesilováním přidaného potenciálu převést tyto dvě rezonance na vázaný stav, tedy zda existuje modrá křivka, po které bychom se mohli ve směru šipky dostat na kladnou imaginární osu. Na grafech jsme záměrně volili zajímavé hodnoty α, vývoj při zvyšování α nyní podrobněji popíšeme. Na prvním grafu pro α = 0, 25 vidíme okolo kořene k = −iα = −0, 25i funkce λ(k) v podstatě samostatný obrazec analogický obrazci z grafu na obrázku 2.2 pro l = 2 a n = 2. Ten určuje chování v okolí nuly a rezonance původního potenciálu se tak nemůže přeměnit ve vázaný stav. Tato situace odpovídá všem malým hodnotám α. Teprve když je α dostatečně velké, aby se bod −iα dostal do oblasti se stavy původního potenciálu, začne se obrazec výrazněji měnit. Při hodnotě α = 0, 67 na druhém grafu pozorujeme, že se modrá křivka, na které leží rezonance původního potenciálu, a modrá křivka, z které se můžeme dostat na kladnou imaginární osu, velmi přibližují. Přibližně při hodnotě α = 0, 6737110 se křivky dotknou a cesty se „prohodí“, z rezonance původního potenciálu už je možné se dostat do vázaného stavu. To znázorňuje třetí graf pro α = 0, 85. Při dalším zvyšování α se obrazec s kořenem −iα posouvá dále do záporných hodnot na imaginární ose a pro hodnotu α = 1, 83 na čtvrtém grafu vidíme, že se křivka, z které se z rezonance původního potenciálu můžeme dostat do vázaného stavu, opět potkává s jinou křivkou. Přibližně pro hodnotu α = 1, 8380259 se cesty opět prohodí a cesta z rezonance nyní vede pouze na zápornou imaginární osu, odkud se už do oblasti vázaných stavů nedostaneme (pátý graf pro α = 2, 51). Na pátém grafu je také patrné, že nyní, když je bod −iα mimo oblast stavů původního potenciálu, opět okolo bodu k = −iα vidíme obrazec podobný obrazci z obrázku 2.2. Pro ještě větší hodnoty α, které reprezentuje šestý graf s α = 4, 17, jsou křivky prakticky výhradně určeny obrazcem z obrázku 2.2, pouze v okolí stavů původního potenciálu křivky vypadají jinak. Pohyb rezonancí původního potenciálu je už omezen na velmi malou oblast. Shrneme-li pozorování, tak přibližně pro hodnoty α ∈ (0, 6737110; 1, 8380259) je možné rezonance původního potenciálu převést na vázaný stav. Pro jiné hodnoty α to možné není.
31
Α=0,25
Α=0,67
0
0 ææ æ
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ æ æ
æ
æ
æ æ æ æ
-1
-1 æ
æ
-2
-2 æ
æ
-3
-3 -2
0
-1
1
2
-2
0
-1
Α=0,85
1
2
1
2
Α=1,83
0
0 æ
æ æ
æ æ æææ
-1
æ æ
æ æ
æ
æ æ
-1
æ æ
æ
æ
æ
-2
-2 æ
æ
-3
-3 -2
0
-1
1
2
-2
0
-1
Α=2,51
Α=4,17
0
0
æ ææ
æ ææ
æ
-1
æ
-1 æ
æ æ
æ
-2
æ
æ
-2 æ
æ
æ
-3
-3 -2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
Obrázek 2.4. Křivky v komplexní rovině k s nulovou imaginární částí λ(k) (modře) a s nulovou reálnou částí λ(k) (červeně) pro separabilní potenciál ranku 2 s různými α pro λ2 = 1, β = 1, l = 2 a n = 2. Modré tečky představují póly S-matice pro λ = 0, zelené tečky pak póly λ(k). Šipky odpovídají pozici pólů S-matice pro λ = 0.5.
32
3. Analytické prodloužení se znalostí pólů 3.1
Aproximace funkce λ(k)
V této kapitole se budeme zabývat obecným sféricky symetrickým potenciálem, ke kterému budeme přidávat potenciál jedné δ-funkce parametrizovaný vazbovou konstantou λ, abychom z rezonančních stavů vytvořili stavy vázané. Jak uvidíme, v tomto případě, podobně jako v případě potenciálu složeného pouze z δ-funkcí, je funkce λ(k) jednoznačná. Jestliže zjistíme, jak se chová funkce λ(k) na kladné imaginární ose (tj. zjistíme energie vázaných stavů pro různá k, což nepředstavuje problém), můžeme funkci λ(k) analyticky prodloužit do libovolných hodnot k. To platí ovšem jen v ideálním případě, kdy známe chování funkce λ(k) pro vázané stavy přesně. V reálném případě však známe pouze omezený počet hodnot funkce λ(k) a ani tyto hodnoty neznáme s neomezenou přesností. Analytické prodloužení funkce λ(k) provedené numericky se tak se vzdáleností k od vázaných stavů stále více liší od skutečné závislosti. Zejména přítomnost pólů funkce λ(k) v oblasti, kde analytické prodloužení provádíme, výrazně zhoršuje přesnost analytického prodloužení. ¯ Pokud bychom prováděli aproximaci funkce λ(k) funkcí λ(k) bez znalosti jejích ¯ pólů, museli bychom tvar funkce λ(k) volit tak, abychom vhodným nastavením jejích parametrů póly našli. Právě takovou aproximací je např. Padé aproximace – aproximace racionální lomenou funkcí, kde stupeň jmenovatele odpovídá maximálnímu počtu pólů, které funkce dokáže vystihnout. Pokud bychom však znali polohu pólů funkce λ(k), které jsou blízko oblasti, která nás zajímá, mohli bychom ¯ tyto póly rovnou zahrnout do tvaru funkce λ(k).
3.2
Padé aproximace se znalostí pólů
Analytické prodloužení metodou statistické Padé aproximace [8] spočívá v aproximaci funkce f (x) racionální lomenou funkcí f [N,M ] (x) f (x) ≈ f [N,M ] (x) =
PN (x) , QM (x)
kde funkce PN (x) a QM (x) jsou polynomy PN (x) =
N X
i
pi x ,
QM (x) = 1 +
i=0
M X
qi xi ,
pi , qi ∈ R.
i=1
Padé aproximace stupně N, M tedy odpovídá aproximaci racionální lomenou funkcí, kde stupeň čitatele resp. jmenovatele je N resp. M. Koeficienty polynomů v čitateli a jmenovateli jsou určeny minimalizací funkcionálu 2 J X 1 PN (xj ) χ = − fj , 2 ε QM (xj ) j=1 j 2
33
(3.1)
kde xj a fj jsou naměřené dvojice dat s chybou εj a J je jejich počet. Předpokládejme nyní, že známe polohu všech pólů, které chceme aproximací vystihnout a předpokládejme, že póly jsou jednoduché a komplexně sdružené. Tyto póly zřejmě musí být kořeny polynomu QM (x). Naopak pokud je x kořenem polynomu QM (x), bude i pólem funkce f [N,M ] (x). Znalost pólů funkce f tedy odpovídá znalosti polynomu QM (x) a přitom M je počet pólů. Parametry, které budeme určovat minimalizací funkcionálu χ2 , už jsou pouze koeficienty polynomu v čitateli PN (x). Dvojice (xj , fj ) budou dvojice reálných čísel, všechny parametry aproximace tedy budou také reálné. Ve vztahu (3.1) tedy můžeme vynechat absolutní hodnotu. Budeme-li předpokládat, že všechny chyby ε jsou stejné a jsou rovny ε, můžeme psát J
1 X χ = 2 ε j=1 2
PN (xj ) − fj QM (xj )
2
.
Derivací tohoto vztahu podle parametru aproximace pk dostaneme J xkj PN (xj ) 1 X ∂χ2 2 = 2 − fj . ∂pk ε j=1 QM (xj ) QM (xj ) Abychom nalezli minimum funkcionálu χ2 , musí se všechny parciální derivace podle parametrů pk rovnat nule. Z předchozí rovnosti tak dostaneme podmínku ! J N J X X X xi+k fj xkj j pi = . Q2M (xj ) QM (xj ) j=1 i=0 j=1 Tato podmínka představuje soustavu N +1 lineárních rovnic pro N +1 neznámých pi . Tu můžeme vyřešit a dostaneme koeficienty pi a tím i hledanou aproximaci funkce f .
3.3
Póly funkce λ(k)
Podobně jako v kapitole 1.2 ukážeme, že funkce λ(k) má i v případě obecnějšího potenciálu, který není složený jen z δ-funkcí, tvar analogický (1.11). Potenciál s přidanou δ-funkcí bude mít nyní tvar λ V (r) − δ(r − a). a Vlnová funkce musí v bodě a splňovat podmínku spojitosti (1.3) a skoku derivace (1.4). Na okolí bodu a však potenciál nemusí být nulový a proto nemůžeme řešení nalevo a napravo od bodu a snadno rozepsat jako lineární kombinaci funkcí φ1 (r) a φ2 (r) (1.5). Můžeme však limitu řešení a limitu derivace řešení zapsat jako lineární kombinaci φ1 (a) a φ2 (a) resp. φ′1 (a) a φ′2 (a). Např. pro řešení nalevo od bodu a to bude ψ− (a) = A− φ1 (a) + B− φ2 (a), ′ ψ− (a) = A− φ′1 (a) + B− φ′2 (a), 34
maticově zapsáno ψ− (a) A− φ1 (a) φ2 (a) . = ′ ψ− (a) B− φ′1 (a) φ′2 (a)
Tato soustava dvou rovnic pro koeficienty A− a B− , má vždy právě jedno řešení, protože determinant matice na levé straně je vždy nenulový – podle (1.7) je roven −k. Podobně můžeme zapsat i limitu řešení zprava a limitu derivace řešení zprava: ψ+ (a) = A+ φ1 (a) + B+ φ2 (a), ′ ψ+ (a) = A+ φ′1 (a) + B+ φ′2 (a). Tvar funkce λ(k) se nyní již odvodí analogicky jako v kapitole 1.2, neuvádíme zde proto odvození, pouze výsledek A+ B− − B+ A− . λ(k) = ka ψ− (a)ψ+ (a)
Z tvaru závislosti je zřejmé, že funkce λ(k) může mít pól pouze pokud ψ− (a) nebo ψ+ (a) je nulové. Přitom ψ− (a) je řešení původního potenciálu splňující okrajovou podmínku v počátku a ψ+ (a) je řešení původního potenciálu splňující okrajovou podmínku v nekonečnu. Nabízí se tedy metoda, jak póly λ(k) nalézt – hledáním nul ψ− (a) a ψ+ (a) jako funkcí k. Pro zdůraznění, že se zajímáme o tyto funkce jako funkce momentu k, budeme značit ψ− (a) jako ψ− (a; k) a ψ+ (a) jako ψ+ (a; k). Pokud budeme o ψ− (a; k) nebo o ψ+ (a; k) mluvit jako o funkci, budeme tím myslet funkci proměnné k, hodnota a pro nás bude konstanta. Nejprve se podívejme na nuly funkce ψ− (a; k). Ty získáme tak, že budeme numericky řešit Schrödingerovu rovnici na intervalu (0, a) s okrajovou podmínkou v nule (1.1) pro různá k. Standardními metodami hledání nulového bodu funkce nalezneme nulový bod funkce ψ− (a; k). Tento nulový bod nemusí být jediný, pro nalezení všech nulových bodů v určité oblasti komplexní roviny proměnné k proto budeme muset spustit algoritmus pro hledání nulového bodu s různým počátečním bodem. V případě funkce ψ+ (a; k) je situace komplikovanější kvůli tomu, že pro nalezení hodnoty ψ+ (a; k) pro dané k musíme vyřešit Schrödingerovu rovnici na nekonečném intervalu (a, +∞). V případě potenciálu konečného dosahu (předpokládejme V (r) = 0 pro r > R) můžeme Schrödingerovu rovnici vyřešit analyticky na intervalu (R, +∞) s okrajovou podmínkou v nekonečnu (1.1) a dostat tak novou okrajovou podmínku v bodě R. Pak pro nalezení hodnoty ψ+ (a; k) zbývá vyřešit numericky Schrödingerovu rovnici na intervalu (a, R) s okrajovou podmínkou v R. Pokud zvolíme bod a, kam budeme umísťovat δ-funkci, dostatečně daleko od počátku, aby a > R, můžeme některé póly funkce λ(k) nalézt dokonce analyticky. Okrajovou podmínku v nekonečnu (1.1) splňuje vlnová funkce ˆ + (kr), ψ(r) = iφ1 (r) + φ2 (r) = iˆjl (kr) + n ˆ l (kr) = h l
ˆ + (z) je Riccati-Hankelova funkce [2]. Pro nalezení těchto pólů funkce λ(k) kde h l pak stačí najít kořeny rovnice ˆ + (ka) = 0. h l
Např. pro l = 0 tato rovnice nemá žádné řešení, pro l = 1 má jedno řešení k = − ai √ 3 a pro l = 2 má dvě řešení k = −3i± . 2a 35
3.4
Dvě δ-funkce
Část metody, která využívá už známých pólů funkce λ(k), si vyzkoušíme na příkladu potenciálu dvou δ-funkcí V (r) =
λ σ δ(r − a) + δ(r − b), a b
a < b.
δ-funkce s vazbovou konstantou σ > 0 bude představovat odpudivý potenciál, který má rezonanční stav. δ-funkcí s vazbovou konstantou λ pak zařídíme (volbou dostatečně záporného λ), aby se z rezonančního stavu stal stav vázaný. Budeme se zajímat o nejjednodušší případ parciální vlny l = 0. Funkce λ(k) bude v tomto případě vypadat následovně: ika ikbe−ikb + σ sinh ikb λ(k) = − , [ikbe−ik(b−a) + σ sinh ik(b − a)] sinh ika v proměnné κ = −ik pak zřejmě funkce κa κbeκb + σ sinh κb λ(κ) = − [κbeκ(b−a) + σ sinh κ(b − a)] sinh κa pro κ > 0 nabývá reálných záporných hodnot, jak bychom očekávali. Zvolíme hodnoty parametrů a = 1, b = 2 a σ = 1. Pro tyto hodnoty λ(k) = −
k(2k e−2ik + sin 2k) , (2ke−ik + sin k) sin k
λ(κ) = −
κ(2κe2κ + sinh 2κ) . [2κeκ + sinh κ] sinh κ
Tato funkce má zřejmě póly v bodech, kde je sin k = 0, tj. k = πm, m ∈ Z (kromě bodu k = 0, protože limk→0 λ(k) = − 43 ) nebo pokud 2ke−ik + sin k = 0. Druhou podmínku vyřešíme numericky. Póly nejblíže počátku jsou v bodech k = ±2.16587326 − 1.11669122i a k = ±3, 14159265. Hodnotu k pro rezonance původní δ-funkce získáme položením λ = 0, tj. řešíme rovnici λ(k) = 0, tedy 2ke−2ik + sin 2k = 0 (přitom bereme v úvahu, že kořen k = 0 samozřejmě nesplňuje λ(k) = 0). Numerickým řešením dostaneme body k = ±1.14928950 − 0.38302303i a k = ±2.71700151 − 0.59849556i, ostatní rezonanční stavy jsou více vzdálené od počátku a nebudeme se o ně tedy zajímat. Póly funkce λ(k) a rezonanční stavy jsou znázorněny na obrázku 3.1. Abychom mohli provést analytické prodloužení funkce λ(k), zbývá určit množinu dat, z které budeme vycházet. Ve skutečnosti budeme prodlužovat funkci λ(κ), kde k = iκ, protože body (vázané stavy), z kterých budeme prodlužovat, mají kladnou reálnou hodnotu κ a Padé aproximace tak bude mít reálné koeficienty. Nejprve zvolíme body r Emax − Emin ′ κj = Emin + · (j − 1), λj = λ(κ′j ), j ∈ {1, . . . , J}, J −1 kde Emin a Emax je minimální a maximální velikost energie vázaných stavů a J je počet bodů, v kterých funkční hodnotu známe. Volíme J = 50, Emin = 0, 1 a Emax = 1. Abychom simulovali situaci, kdy neznáme pro dané λ hodnotu vazbové energie E = −κ2 přesně, budeme uvažovat, že energii dokážeme změřit s danou relativní 36
2
1
0
æ
æ æ
æ
æ
æ
æ
æ
-1
æ
æ
-2
-3 -4
-2
0
2
4
Obrázek 3.1. Křivky v komplexní rovině k s nulovou imaginární částí λ(k) (modře) a s nulovou reálnou částí λ(k) (červeně) pro potenciál dvou δ-funkcí. Modrými tečkami jsou znázorněny rezonanční stavy pro λ = 0, zelenými tečkami pak póly funkce λ(k). chybou a rozdělení různých měření stejné energie bude normální. To provedeme tak, že pro daný soubor přičteme k hodnotě E ′ = −κ′2 náhodnou veličinu s normálním rozdělením (to bude mít střed v nule a směrodatnou odchylku κ′2 σE ). Tak dostaneme pro danou hodnotu κ′ hodnotu κ. Toto provedeme (se stejným σE ) pro všechny body a dostaneme tak soubor dvojic (κj , λj ). Pro takový soubor nalezneme Padé aproximaci podle kapitoly 3.2. Z aproximace určíme polohu rezonance původního potenciálu a najdeme hodnoty rezonanční energie a rezonanční šířky (1.2). Vygenerování souboru dat provedeme mnohokrát (v našem případě vždy 1000krát), vždy provedeme Padé aproximaci a nalezneme rezonanční energii a rezonanční šířku (pokud má aproximační funkce víc kořenů, volíme ten, pro který má k = iκ kladnou reálnou a zápornou imaginární část a je nejblíže počátku, jestliže žádný takový není, upustíme od požadavku záporné imaginární části). Z výsledků pro všechny soubory dat pak určíme průměrné hodnoty ER a Γ a jejich směrodatné odchylky σER a σΓ . Abychom určili, jaký vliv mělo zahrnutí pólů funkce λ(k) do tvaru funkce, kterou aproximujeme, provedeme na stejných náhodných souborech dat i aproximaci pomocí polynomu stejného řádu jako je řád čitatele v Padé aproximaci a výsledky srovnáme. Výsledky pro σE = 10−3 jsou uvedeny v tabulce 3.1 pro Padé aproximaci a v tabulce 3.2 pro aproximaci polynomem. Pokud srovnáme výsledky se správnou hodnotou, uvidíme, že v případě Padé aproximace i aproximace polynomem jsou výsledky velmi špatné a ani obecně neplatí, že by se s rostoucím stupněm zlepšovaly. Standardní odchylka některých výsledků je sice malá, ale samotný výsledek se velmi liší od správné hodnoty. Kořen aproximační funkce v těchto případech tedy příliš nezávisí na chybě vstupních dat (při dané směrodatné odchylce), ale je příliš vzdálený od správného kořene, aproximační funkce tedy dobře nevystihuje chování funkce λ(κ) v oblasti skutečného kořene. U obou aproximací 37
se výsledky nejlépe shodovaly se správnou hodnotou pro stupeň 4. V tomto případě byla standardní odchylka poměrně velká, na správné určení rezonance tedy měla podstatný vliv chyba ve vstupních datech. Tabulka 3.1. Rezonanční parametry pro σE = 10−3 a Padé aproximaci se znalostí pólů pro různé stupně čitatele. stupeň 2 3 4 5 6 přesně
ER 0,63120 1,53088 1,09456 0,67120 0,32727 1,17416
σER 0,00024930 0,011206 0,42579 0,36432 0,21546
Γ 0,10715 −0,26162 1,54714 0,57768 0,094738 1,76082
σΓ 0,0021612 0,054081 0,547028 0,679586 0,381948
Tabulka 3.2. Rezonanční parametry pro σE = 10−3 a polynomiální aproximaci různého stupně. stupeň 2 3 4 5 6 přesně
ER 1,91801 1,28248 1,25778 0,58088 0,38261 1,17416
σER 0,0053974 0,026124 0,346809 0,919297 0,277522
Γ 4,41087 1,97509 1,73490 0,22154 0,14690 1,76082
σΓ 0,039030 0,092300 0,26186 2,14490 0,53204
Porovnáme-li výsledky v případě σE = 10−3 pro Padé aproximaci a aproximaci polynomem, nepozorujeme žádný podstatný rozdíl ve správnosti výsledků, nemůžeme tedy v tomto případě říci, že by znalost pólů funkce λ(k) přispěla ke správnému určení rezonanční energie. Analogicky budeme zkoumat výsledky pro σE = 10−6 , tedy vstupní data budou výrazně přesnější. Výsledky pro Padé aproximaci jsou uvedeny v tabulce 3.3 a výsledky pro aproximaci polynomem jsou uvedeny v tabulce 3.4. Výsledky pro stupeň 2 a 3 jsou v případě σE = 10−6 prakticky stejné a tedy i stejně špatné jako v případě σE = 10−3 , jen mají menší směrodatnou odchylku. Z toho usuzujeme, že pro aproximaci funkce λ(k) jsou stupně 2 a 3 nedostatečné a je potřeba aproximovat funkci Padé aproximací vyššího stupně nebo polynomem vyššího stupně. Narozdíl od případu σE = 10−3 nyní pozorujeme, že s rostoucím stupněm aproximace se výsledky zlepšují. Pro stupeň 6 se výsledky liší od správné hodnoty v řádu jednotek procent. Směrodatná odchylka rezonanční energie je ve všech případech poměrně malá, směrodatná odchylka rezonanční šířky je malá kromě případů stupně 6. Určení rezonančních parametrů tedy příliš nezávisí na konkrétních chybách vstupních dat. I v případě σE = 10−6 je rozdíl mezi správností výsledků Padé aproximace a aproximace polynomem prakticky zanedbatelný. Pro stupeň 6 dává Padé apro38
Tabulka 3.3. Rezonanční parametry pro σE = 10−6 a Padé aproximaci se znalostí pólů pro různé stupně čitatele. stupeň 2 3 4 5 6 přesně
ER 0,63119 1,53143 0,92516 1,15936 1,16506 1,17416
σER 2,41633 · 10−7 1,07542 · 10−5 4,73182 · 10−4 3,09250 · 10−3 9,22077 · 10−3
Γ 0,10698 −0,26112 1,91107 1,65527 1,76196 1,76082
σΓ 2,11825 · 10−6 5,16565 · 10−5 7,02184 · 10−4 8,65782 · 10−3 0,11807
Tabulka 3.4. Rezonanční parametry pro σE = 10−6 a polynomiální aproximaci různého stupně. stupeň 2 3 4 5 6 přesně
ER 1,91855 1,28141 1,16701 1,19477 1,19957 1,17416
σER 5,31810 · 10−6 2,46658 · 10−5 3,65360 · 10−4 2,96533 · 10−3 4,19925 · 10−3
Γ 4,40755 1,97109 1,89387 1,86527 1,80441 1,76082
σΓ 3,82509 · 10−5 8,75311 · 10−5 2,77494 · 10−4 3,72787 · 10−3 0,060540
ximace lepší výsledky, to by mohlo naznačovat, že pro menší chyby σE a vysoké stupně aproximace bude Padé aproximace dávat lepší výsledky. Data, která máme, však nejsou dostatečně jednoznačná na to, abychom na jejich základě mohli tvrdit, že znalost pólů a jejich zahrnutí do tvaru aproximace nějak přispělo ke zlepšení výsledků.
39
Závěr V práci jsme odvodili obecný explicitní tvar funkce λ(k) pro sféricky symetrický potenciál složený z libovolného počtu δ-funkcí. Na základě odvozeného tvaru jsme dokázali větu, která říká, že za jistého předpokladu, který je v naprosté většině případů splněn, neobsahuje Taylorův rozvoj funkce λ(k) v nule liché mocniny k do řádu 2l − 1 včetně. Na příkladech jsme zkoumali, kam je vhodné umístit přidanou δ-funkci tak, aby analytické prodloužení dávalo přesné výsledky, ukázalo se, že pravděpodobně není vhodné umísťovat δ-funkci ani příliš daleko od počátku, kam už původní potenciál nedosahuje, ani příliš k počátku. Jako nejvhodnější se jevilo umístit δ-funkci do středu oblasti působení potenciálu. Dále jsme dokázali větu pro separabilní potenciál ranku 1, která říká, že za jistých předpokladů Taylorův rozvoj funkce λ(k) v nule neobsahuje liché mocniny k do řádu 2l−1 včetně. Pro separabilní potenciál ranku N jsme odvodili asymptotiku chování λ(k) v nekonečnu, která pro normalizovatelné potenciály odpovídá λ(k) ∼ k 2 . Pro separabilní potenciál ranku 1 a 2 jsme pak zkoumali polohu pólů funkce λ(k) a za jakých podmínek je možné rezonanci potenciálu ranku 1 převést zesilováním přidaného přitažlivého potenciálu na vázaný stav. Nakonec jsme se zabývali tím, zda znalost pólů funkce λ(k) může přispět k přesnosti určení rezonančních parametrů. Pro sféricky symetrický potenciál, do kterého přidáváme δ-funkci, jsme našli metodu, pomocí které je možné póly funkce λ(k) nalézt. Užitečnost znalosti pólů funkce λ(k) jsme testovali na příkladu dvou δ-funkcí. Data, která jsme získali, nenasvědčovala tomu, že by znalost pólů přispěla k přesnosti určení rezonančních parametrů. To však mohlo být způsobeno nevhodným využitím znalosti pólů (volba jiného tvaru aproximační funkce zohledňujícího polohu pólů by mohla dávat lepší výsledky). Další a podrobnější studium možností využití znalosti pólů funkce λ(k) by mohlo přinést zajímavější výsledky.
40
Seznam použité literatury [1] A. J. F. Siegert. Phys. Rev. 56, 750–752, (1939) [2] J. R. Taylor. Scattering Theory: The Quantum Theory on Nonrelativistic Collisions. John Wiley & Sons, Inc. 1972. ISBN 0-471-84900-6. [3] M. Abramowitz, I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Courier Dover Publications, 1964. ISBN 978-0-486-15824-2. [4] H. van Haeringen, L. P. Kok. J. Math. Phys. 22, 108 (1981) [5] L. P. Kok, H. van Haeringen. Annals Phys. 131, 426 (1981) [6] T. R. Mongan. Phys. Rev. 175, 1260–1274 (1968) [7] J. Kopáček. Matematická analýza nejen pro fyziky (III). Matfyzpress, 2007. ISBN 978-80-7378-020-3. [8] V. I. Kukulin, V. M. Krasnopolsky a J. Horáček. Theory of Resonances: Principles and Applications. Academia, Praha. 1989. ISBN 90-277-2364-8.
41
