Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdons´ agai. Poisson-folyamatok. L´ attuk, hogy a Wiener-folyamat teljes´ıti az u ´gynevezett funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ ast´etelt. Ez az eredm´eny durv´an sz´olva azt fejezi ki, hogy ha olyan f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat vesz¨ unk, amelyek teljes´ıtik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel felt´eteleit, akkor ezek r´eszlet¨ osszegeinek seg´ıts´eg´evel term´eszetes m´ odon defini´alhatunk olyan t¨or¨ ottvonalf¨ uggv´enyeket, amelyek viselked´ese hasonl´o a Wiener-folyamat´ehoz. A Wiener folyamatok seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen lehet defini´alni egy Wiener-bridge-nek (vagy Brown-bridge-nek) nevezett (Gauss) sztochasztikus folyamatot, amelyre az igaz, hogy f¨ uggetlen, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okb´ ol k´esz´ıtett empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyek normaliz´altjai gyeng´en konverg´ alnak a Wienerbridge eloszl´ as´ahoz. Ez az eredm´eny rendk´ıv¨ ul fontos a matematikai statisztika sz´am´ara, ez´ert ´erdemes a fent megfogalmazott ´ all´ıt´ ast r´eszletesebben ´es pontosabban kifejteni. El˝osz¨ or megadom a Wiener-bridge definici´ oj´at. Wiener-bridge definici´ oja. Egy B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-bridge olyan folytonos trajekt´ ori´ aj´ u Gauss-folyamat, amelyre EB(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, ´es EB(s)B(t) = min(s, t) − st, 0 ≤ s, t ≤ 1. A k¨ ovetkez˝ o k´et feladat feladat megfogalmazza a Wiener-bridge n´eh´ any fontos tulajdons´ag´ at. Speci´ alisan, ezen feladatok eredm´eny´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy val´ oban l´etezik Wiener-bridge. 1. feladat. Legyen W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. Ekkor a B(t) = W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-bridge, amely f¨ uggetlen a W (1) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol. Megford´ıtva: Legyen B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-bridge, ´es η a B(t) Wiener-bridge-t˝ ol f¨ uggetlen standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Ekkor W (t) = B(t) + tη Wiener-folyamat a 0 ≤ t ≤ 1 intervallumon. A fenti feladat pontos meg´ert´ese ´erdek´eben id´ezz¨ uk fel a k¨ ovetkez˝ o definici´ ot. Sztochasztikus folyamatok f¨ uggetlens´ ege. Legyen adva k´et X(t), t ∈ T , ´es Y (t′ ), t′ ∈ T ′ sztochasztikus folyamat. Azt mondjuk, hogy az X(t) sztochasztikus folyamat f¨ uggetlen az Y (t′ ) sztochasztikus folyamatt´ ol, ha minden {t1 , . . . , ts } ⊂ T ´es {t′1 , . . . , t′s′ } ⊂ T ′ v´eges halmazra az (X(t1 ), . . . , X(tk )) ´es (Y (t′1 ), . . . , Y (t′s′ )) v´eletlen vektorok f¨ uggetlenek egym´ ast´ ol. A feladat megold´ as´ anak alapgondolata: Norm´ alis eloszl´ as´ u vektorok eloszl´ as´at egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza azok v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es kovariancia m´ atrixa. Egy norm´ alis eloszl´ as´ u vektor koordin´ at´ ai f¨ uggetlenek, ha korrel´alatlanok. A m´ asodik feladat megfogalmaz´asa el˝ ott megadom az eloszl´ asf¨ uggv´eny, illetve normaliz´alt eloszl´ asf¨ uggv´eny definici´ oj´at. Empirikus eloszl´ asf¨ uggv´ eny definici´ oja, ´ es annak normaliz´ altja. Legyen adva egy F (x) eloszl´ asf¨ uggv´eny, ´es legyen ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen F (x) eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi 1
v´ altoz´ ok sorozata. Ekkor a ξ1 , . . . , ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata (a matematikai statisztika sz´ ohaszn´ alat´ aban minta) a ´ltal meghat´ arozott Fn (x) empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyt a k¨ ovetkez˝ o k´eplet adja meg: Fn (x) =
1 × azon j, 1 ≤ j ≤ n, indexek sz´ama, amelyekre ξj < x, n
−∞ < x < ∞.
(C1)
Az Fn (x) empirikus eloszl´ asf¨ uggv´eny normaliz´ altja a Gn (x) =
√
n(Fn (x) − F (x))
(C2)
f¨ uggv´eny. Az el˝ obbi definici´ o tetsz˝oleges F (x) eloszl´ asf¨ uggv´eny eset´en ´erv´enyes. Viszont a k¨ ovetkez˝ o (egyszer˝ u) feladat lehet˝ ov´e teszi, hogy statisztikai feladatok vizsg´alat´aban figyelm¨ unket csak a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ assal foglalkozzunk. Feladat. Legyen az F (x) eloszl´ asf¨ uggv´eny folytonos f¨ uggv´eny, ξ1 , . . . , ξn F (x) eloszl´ as´ u minta. Ekkor az ηj = F (ξj ), 1 ≤ j ≤ n, f¨ uggetlen a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata, azaz az ηj , 1 ≤ j ≤ n, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es G(x) = P (ηj < x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1, G(x) = 1, ha x > 1, G(x) = 0, ha x < 0. Megjegyz´es. Az η = F (ξ) transzform´ aci´o ´ altal´ anos´ıtott (v´eletlen´ıtett) transzform´ aci´ oja seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges eloszl´ as´ u minta transzform´ alhat´ o a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ ashoz tartoz´o mint´av´a. Bizonyos ´ all´ıt´ asok (k´enyelmesebb) megfogalmaz´asa ´erdek´eben ´erdemes bevezetni az empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyek, illetve azok normaliz´altj´ anak olyan alkalmas m´ odos´ıt´ as´at bevezetni, amely folytonos f¨ uggv´eny. M´ odos´ıtott empirikus eloszl´ asf¨ uggv´ eny definic´ oja, illetve annak normaliz´ altja. Legyen ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. Tekints¨ uk az e sorozat a ´ltal a (C1) k´eplet seg´ıts´eg´evel defini´ alt Fn (x) empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyt. Ennek mod´ os´ıt´ asa a k¨ ovetkez˝ o F˜n (x) f¨ uggv´eny, 0 ≤ x ≤ 1, ∗ amelynek egyszer˝ ubb megfogalmaz´ asa ´erdek´eben bevezetem a ξ0∗ = 0, ξn+1 = 1 jel¨ ol´est. ∗ ∗ ∗ Ezenk´ıv¨ ul legyen ξ1 < ξ2 < · · · < ξn a ξ1 , . . . , ξn mint´ ab´ ol k´esz´ıtett rendezett minta, azaz e sorozat elemeinek nagys´ ag szerint sorbarendezett v´ altozata. Ezekkel a jel¨ ol´esekkel legyen F˜n (ξj∗ ) = Fn (ξj∗ ),
(F˜n (ξj∗ ) =
0 ≤ j ≤ n + 1,
∗ x − ξj−1 ξj∗ − x ∗ F (ξ ) + Fn (ξj∗ ), Fn (x) = ∗ n j−1 ∗ ∗ ξj − ξj−1 ξj∗ − ξj−1
´es
˜ n (x) = G
√
n(F˜n (x) − x). 2
j n
ha 0 ≤ j ≤ n)
(C1′ )
(C2′ .)
2. feladat. Legyen ξ1 , . . . , ξn√f¨ uggetlen, F (x) eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. asf¨ uggv´enye teljes´ıti a Ezek normaliz´alt Gn (x) = n(Fn (x) − F (x)) empirikus eloszl´ k¨ ovetkez˝ o azonoss´agokat: EGn (x) = 0 minden −∞ < x < ∞ sz´amra, Cov (Gn (x), Gn (y)) = min(F (x), F (y)) − F (x)F (y),
−∞ < x, y < ∞.
Speci´alisan, ha F (x) megegyezik az egyenletes eloszl´ as eloszl´ asf¨ uggv´eny´evel a [0, 1] intervallumon, akkor a Gn (x), 0 ≤ x ≤ 1, ´es egy B(x), 0 ≤ x ≤ 1, Wiener-bridge kovariancia f¨ uggv´enye egyenl˝o. (Mind a k´et sztochasztikus folyamat nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okb´ ol ´ all.) Seg´ıts´eg a 2. feladat megold´ as´ ahoz. Minden −∞ < x < ∞ sz´amra ´es 1 ≤ j ≤ n indexre defini´aljuk az ηj (x) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat az ηj (x) = 1, ha ξj < x, ηj (x) = 0, ha n P ξj ≥ x. Ekkor Fn (x) = n1 ηj (x). Ezen ´eszrev´etel seg´ıts´eg´evel a keresett v´ arhat´ o j=1
´ert´eket ´es kovarianciaf¨ uggv´enyt ki tudjuk sz´amolni egyszer˝ u f¨ uggetlen v´eletlen vektorok osszeg´enek a vizsg´alat´aval. ¨
A 2. feladat ´ all´ıt´ asa azt jelenti, hogy egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozat´ab´ ol elk´esz´ıtett Gn (x) empirikus eloszl´ asf¨ uggv´eny v´ arhat´ o ´ert´ek ´es kovariancia f¨ uggv´eny strukt´ ur´ aja megegyezik a Wiener-bridge-´evel. Ezenk´ıv¨ ul a t¨obbdimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol az is kiolvashat´ o, hogy a Gn (x) v´eges dimenzi´ os eloszl´ asai konverg´alnak a Wiener-bridge megfelel˝ o koordin´ at´ ainak v´eges dimenzi´os eloszl´ asaihoz. Ezek az eredm´enyek azt sugallj´ ak, hogy a normaliz´alt empirikus folyamatok gyeng´en konverg´alnak a Wiener-bridge eloszl´ as´ahoz, azaz a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelhez hasonl´o ´ all´ıt´ as ´erv´enyes ebben az esetben is. Ez az elk´epzel´es helyes. Az al´ abb kimondott t´etel megfogalmazza a pontos a´ll´ıt´ ast. T´ etel normaliz´ alt empirikus eloszl´ asf¨ uggv´ enyek gyenge konvergenci´ aj´ ar´ ol a Wiener-bridge-hez. Legyen adva egy f¨ uggetlen ξ1 , . . . , ξn , a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okb´ ol a ´ll´ o sorozat. K´esz´ıts¨ uk el seg´ıts´eg¨ ukkel a (C2) k´epletben defini´ alt normaliz´ alt empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyt, vagy annak a (C2′ ) k´epletben defini´ alt v´ altozat´ at. (Jelen esetben F (x) a [0, 1] intervallumban egyenletes ˜ n (x), 0 ≤ x ≤ 1, sztochaszeloszl´ as eloszl´ asf¨ uggv´enye.) Ekkor mind a Gn (x) mind a G tikus folyamatok gyeng´en konverg´ alnak a Wiener-bridge eloszl´ as´ ahoz, ha n → ∞. Megjegyz´es: Annak az ´ all´ıt´ asnak a jelent´ese, hogy a Gn (x) v´eletlen f¨ uggv´enyek sorozata gyeng´en konverg´ al a Wiener-bridge eloszl´ as´ahoz tov´ abbi magyar´ azatra szorul. Ugyanis a Gn (x) sztochasztikus folyamat trajekt´ori´ ai nem folytonos f¨ uggv´enyek, ´ıgy ez nem tekinthet˝ o C([0, 1]) t´erbeli val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak. Viszont gyenge konvergenci´ at csak valamely szepar´ abilis metrikus t´er ´ert´ekeit felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asaira defini´altunk. Ezen a technikai jelleg˝ u neh´ezs´egen lehet seg´ıteni. Az irodalomban bevezett´ek az u ´gynevezett D([0, 1]) teret, amely a [0, 1] intervallumon balr´ol folytonos ´es minden pontj´aban jobboldali hat´ar´ert´ekkel is rendelkez˝ o f¨ uggv´enyekb˝ ol a´ll, ´es ezen 3
a t´eren alkalmas metrik´ at is bevezettek. Ezen a t´eren dolgozva a fenti T´etelben kimondott a´ll´ıt´ asnak pontos ´ertelme van. Mi egy egyszer˝ ubb megold´ ast v´ alasztottunk. ˜ Bevezett¨ uk a m´ odos´ıtott Gn (x) normaliz´alt empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyeket, amelyek m´ ar folytonos (v´eletlen) f¨ uggv´enyek ´es alig k¨ ul¨ onb¨oznek a Gn (x) empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyekt˝ ol. Ezek gyenge konvergenci´ aj´ar´ ol a Wiener-bridge eloszl´ as´ahoz minden el˝ ok´esz´ıt´es n´elk¨ ul jogunk van besz´elni. Ez az eredm´eny ugyanolyan j´ ol haszn´ alhat´ o, mint a fenti t´etel els˝ o´ all´ıt´ asa. Val´ oj´aban a k´et eredm´eny ekvivalens. A normaliz´alt empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyek gyenge konvergenci´ aj´ar´ ol sz´ol´ o t´etelnek fontos k¨ ovetkezm´enyei vannak. Sz´ amos a matematikai statisztik´aban szerepl˝ o eredm´eny √ ´ k¨ ovetkezik ebb˝ol az eredm´enyb˝ol. Igy p´eld´aul az a t´eny, hogy a sup n|Fn (x) − F (x)| 0≤x≤1 √ vagy sup n(Fn (x)−F (x)) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak van hat´areloszl´asuk, ha n → ∞, 0≤x≤1
ahol Fn egy n-elem˝ u minta empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enye, F (x) pedig a mintaelemek val´ odi eloszl´ asf¨ uggv´enye ad´ odik innen. (Az els˝ o kifejez´est Kolmogorov statisztik´anak a m´ asodikat Szmirnov statisztik´anak h´ıvj´ ak.) Az els˝ o esetben a hat´areloszl´as megegyezik a sup |B(x)| a m´ asodik esetben pedig a sup B(x) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´aval, 0≤x≤1
0≤x≤1
ahol B(x), 0 ≤ x ≤ 1, egy Brown-bridge. Ezen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ as´at bizonyos nem trivi´ alis m´ odszerek seg´ıts´eg´evel ki lehet sz´amolni. Annak t´argyal´ asa, hogy ezt a sz´amol´ ast hogyan lehet v´egrehajtani, nem r´esze ennek az el˝ oad´asnak. Megjegyzem, hogy a matematikai ´gynevezett von Mieses statisztik´akat is R ∞statisztik´aban szokt´ak az u tekinteni. Ezek n −∞ (Fn (x)−F (x))2 F ( dx) alak´ u statisztik´ak. Ezeknek is van limesze, R1 2 amely megegyezik az 0 B (x) dx val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´aval. A von Mieses-f´ele statisztik´akr´ ol sz´ol´ o hat´areloszl´ast´etel is k¨ ovetkezik a fenti gyenge konvergencia t´etelb˝ ol. Wiener-folyamat trajekt´ ori´ ainak a viselked´ese. L´ attuk, hogy a Wiener-folyamat trajekt´ori´ ai folytonosak. (Pontosabban azt, hogy ezt feltehetj¨ uk, azaz l´eteznek olyan a Wiener-folyamat definici´ oj´aban el˝ o´ırt v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es kovariancia f¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o Gauss-folyamatok, amelyeknek a trajekt´ori´ ai folytonosak.) M´asr´eszt ezek a trajekt´ori´ ak egy´ebk´ent el´eg rossz s´ımas´agi tulajdons´agokkal rendelkeznek. N´eh´ any ilyen jelleg˝ u eredm´enyt ismertetek. Az, hogy a Wiener-folyamatok rossz folytonoss´agi tulajdons´agokkal rendelkeznek tulajdonk´eppen nem meglep˝ o. Heurisztikus szinten ez azzal magyar´ azhat´o, hogy a Wiener-folyamatok v´eletlenszer˝ uen fejl˝odnek, ´es ez bizonyos szab´alytalans´ agot k¨ olcs¨on¨oz a viselked´es¨ uknek. El˝osz¨ or a k¨ ovetkez˝ o eredm´enyt ismertetem. T´ etel Wiener-folyamat trajekt´ ori´ ainak viselked´ es´ er˝ ol. Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. A Wiener-folyamat teljes´ıti az al´ abbi rel´ aci´ ot: 2 2n X k−1 k =1 ,ω − W ,ω W lim n→∞ 2n 2n k=1
majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre. 4
A t´etel bizony´ıt´ asa. Vegy¨ uk ´eszre, hogy r¨ogz´ıtett n indexre az ηk,n
2 k k−1 = W ,ω − W ,ω , 2n 2n
k = 1, . . . , 2n
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u, 2−n sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok n´egyzetei. Ez´ert ηk,n = 2−n , Var ηk,n = 2 · 2−2n , ahonnan k¨ ovetkezik, hogy 2 ! 2n X k−1 k ,ω − W ,ω = 1, W 2n 2n
E
k=1
Var
2 ! 2n X k k−1 W ,ω − W ,ω = 2 · 2−n , 2n 2n
k=1
´es a Csebisev egyenl˝otlens´eg alapj´ an P
2n ! 2 X k−1 k ,ω − W ,ω − 1 > ε ≤ 2−n ε−1 W 2n 2n k=1
minden ε > 0 sz´amra. Mivel a
∞ P
n=1
2−n ε−1 < ∞ minden ε > 0-ra, ez´ert a Borel–Cantelli
lemma alapj´ an a fenti egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ ovetkezik a t´etel ´ all´ıt´ asa. A fenti t´etel h´atter´eben az a t´eny ´ all, hogy a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel alapj´ an egy kis [s, t] intervallumban a Wiener-folyamat megv´ altoz´ asa (t−s)1/2 nagys´agrend˝ u, ´es diszjunkt intervallumokra e megv´ altoz´ asok f¨ uggetlenek. Ez´ert e megv´ altoz´ asok n´egyzetosszege k¨ ¨ ozel van e n´egyzet¨ osszegek v´ arhat´ o ´ert´ek´ehez. Megjegyzem, hogy s´ıma, p´eld´aul differenci´ alhat´ o f (x) (a [0, 1] intervallumon defini´alt) f¨ uggv´enyek korl´ atos v´ altoz´ as´ uak, k P azaz teljes´ıtik a |f (xj ) − f (xj−1 )| < K egyenl˝otlens´eget valamely csak az f f¨ uggj=1
v´enyt˝ol f¨ ugg˝o k sz´ammal a [0, 1] intervallum tetsz˝oleges 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 feloszt´ asra. A fenti t´etel eredm´eny´eb˝ ol az is k¨ ovetkezik, hogy a Wiener-folyamat trajekt´ori´ ai nem korl´ atos v´ altoz´ as´ uak. Megfogalmazom ennek a t´etelnek egy lehets´eges altal´ ´ anos´ıt´ as´at is. Az ´ altal´ anos´ıtott t´etel bizony´ıt´ as´at, amely a marting´ alok elm´elet´enek az eredm´enyein alapul, elhagyom. A Wiener-folyamat trajekt´ ori´ ainak viselked´ es´ er˝ ol sz´ ol´ o t´ etel ´ altal´ anos´ıt´ asa. Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. Tekints¨ uk a [0, 1] (n) (n) (n) asait n = 1, 2, . . . , intervallum egyre finomod´ o 0 = t0 < t1 < · · · < tkn feloszt´ (n)
(n)
(n)
(n+1)
(azaz teljes¨ ulj¨ on a {t0 , t1 , . . . , tkn } ⊂ {t0 5
(n+1)
, t1
(n+1)
, . . . , tkn+1 } felt´etel) u ´gy, hogy
lim
(n)
(n)
ori´ aja teljes´ıti sup (tk −tk−1 ) = 0. A Wiener-folyamat majdnem minden trajekt´
n→∞ 1≤k≤kn
az al´ abbi rel´ aci´ ot: lim
n→∞
kn h X j=1
i2 (n) (n) =1 W tj , ω − W tj−1 , ω
majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre.
A k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u feladat az´ert is ´erdekes sz´amunkra, mert lehet˝ ov´e teszi azt, hogy a Wiener-folyamat trajekt´ori´ ainak a [0, 1] intervallumban meg´ allap´ıtott tulajdons´agait “´at¨ or¨ ok´ıts¨ uk” a trajekt´ori´ ak m´ as intervallumokban val´ o viselked´es´ere is. Feladat: Ha W (t) Wiener-folyamat valamely az [a, b] intervallumot tartalmaz´ o interval1 ¯ √ lumon, akkor W (t) = b−a (W (a + t(b − a)) − W (a)), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat a [0, 1] intervallumon. Ha W (t), 0 ≤ t ≤ a, Wiener folyamat valamely [0, a] intervallumon, akkor a ta−1/2 W at , t ≥ 1, sztochasztikus folyamat Wiener-folyamat az [1, ∞] intervallumon, (azaz eloszl´ asa megegyezik egy a [0, ∞) f´elegyenesen defini´alt Wienerfolyamatnak a megszor´ıt´ as´aval a [1, ∞) f´elegyenesre.) A fenti feladatb´ ol ´es az el˝ oz˝ o t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy egy W (t) Wiener-folyamat trajekt´ori´ ainak egy tetsz˝oleges [a, b] intervallum feloszt´ asain vett megv´ altoz´ asaira igaz, hogy azok n´egyzet¨ osszegei a fent kimondott t´etelhez hasonl´o tulajdons´agot teljes´ıtenek. Ez a t´eny az´ert is ´erdekes, mert a sztochasztikus folyamatok elm´elet´eben vagy a nem param´eteres statisztik´ak elm´elet´eben t¨obbsz¨ or megjelenik az a feladat, hogy sz´am´ıtsuk ki egy sztochasztikus folyamat eloszl´ as´anak egy m´ asik sztochasztikus folyamatra eloszl´ asa szerinti s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et, azaz Radon–Nikodym deriv´altj´ at. Ilyen s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny nem mindig l´etezik. Elk´epzelhet˝o (s˝ot gyakran el˝ ofordul), hogy k´et sztochasztikus folyamat egym´ asra n´ezve szingul´aris, mert trajekt´or´ aik m´ as tipus´ u f¨ uggv´enyek csal´adj´ aban vannak. L´ assuk be a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ ast. Feladat: Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, egy Wiener folyamat a [0, 1] intervallumon. L´ assuk be, hogy a W (t, ω) ´es 2W (t, ω) sztochasztikus folyamatok egym´ asra n´ezve szingul´arisak, azaz l´etezik a C([0, 1]) t´ernek k´et olyan (m´erhet˝ o) A ´es B halmaza, amelyekre teljes¨ ulnek az A ∩ B = ∅ ´es P (ω : W (t, ω) ∈ A) = 1, P (ω : 2W (t, ω) ∈ B) = 1 tulajdons´agok. Megfogalmazom (bizony´ıt´ as n´elk¨ ul) az al´ abbi k´et eredm´enyt, amely Wiener-folyamatok trajekt´ori´ ainak folytonoss´agi modulus´ at, illetve az u ´gynevezett iter´alt logaritmus t´etelt ´ırja le. T´ etel Wiener-folyamatok folytonoss´ agi modul´ as´ ar´ ol. Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. Teljes¨ ul a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ ag: |W (t, ω) − W (s, ω)| q sup P lim = 1 = 1. ε→0 (s,t) : 0≤s
Iter´ alt logaritmus t´ etel Wiener-folyamatokra. Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. Ekkor teljes¨ ul a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ ag:
|W (t, ω)| = 1 = 1. P lim q t→0 1 2t log log t Feladat: L´ assuk be az egyik kor´ abbi feladat eredm´enye seg´ıts´eg´evel, hogy a Wienerfolyamatokra megfogalmazott iter´alt logaritmus t´etel ekvivalens az al´ abbi a´ll´ıt´ assal: Ha W (t) Wiener folyamat a t ≥ 0 f´elegyenesen, akkor P
|W (t, ω)| lim √ = 1 = 1. t→∞ 2t log log t
A k¨ ovetkez˝ o eredm´eny a Wiener-folyamatok trajekt´ori´ ainak egy ´erdekes tulajdons´ag´ at fogalmazza meg. T´ etel a Wiener-folyamat trajekt´ ori´ ainak nem differenci´ alhat´ os´ agi tulajdons´ agair´ ol. Egy a [0, 1] intervallumban tekintett W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat trajekt´ ori´ ai 1 val´ osz´ın˝ us´eggel sehol sem differenci´ alhat´ oak. A t´etel bizony´ıt´ asa. Jel¨olje D azt az esem´enyt, hogy a Wiener-folyamat trajekt´ori´ aja differenci´ alhat´ o valamely pontban. Ha ω ∈ D, akkor valamely 0 ≤ s(ω) ≤ 1 sz´ amra a W ′ (s, ω) v´eges deriv´alt l´etezik. Vegy¨ uk minden el´eg nagy n eg´esz sz´amra azt a nj , j+1 n intervallumot, j = j(s, n), amelyre s ∈ nj , j+1 . Ekkor s < 1 eset´ e n a W (·, ω) f¨ u ggv´ e ny n deriv´alhat´ os´ag´ ab´ ol az s pontban k¨ ovetkezik, hogy alkalmas L eg´esz sz´amra a W j + 1 , ω − W j , ω ≤ L , n n n
´es
L j + 2 j + 1 W ,ω − W , ω ≤ n n n
W j + 3 , ω − W j + 2 , ω ≤ L n n n
egyenl˝otlens´egek mindegyike teljes¨ ul. Fontos, hogy az ezekben az egyenl˝otlens´egekben szerepl˝o L sz´am nem f¨ ugg az n sz´amt´ o, mert ekkor ol. (Az s = 1 sz´am esete kiss´e elt´er˝ intervallumt´ o l jobbra fekv˝ o intervallumot. Viszont j +1 = n ´es nem vehet¨ unk a nj , j+1 n ebben az esetben fel´ırhatjuk az W j , ω − W j − 1 , ω ≤ L n n n 7
´es
W j − 1 , ω − W j − 2 , ω ≤ L n n n
egyenl˝otlens´egeket minden el´eg nagy n ≥ n0 (ω) sz´amra. A fent elmondottakb´ ol k¨ ovetkezik, hogy ha a W (·, ω) trajekt´ori´ anak van olyan pontja, ahol ez a f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o, akkor el´eg nagy L0 = L0 (ω) ´es m = m(ω) eg´esz sz´amra igaz, hogy minden 3 T j+s−1 L ≥ L0 ´es n ≥ m sz´amra a C(j, n, L) = ω: W j+s ,ω ≤ L n ,ω − W n n , s=1
1 ≤ j ≤ n − 3, esem´enyek k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik teljes¨ ul. Ez azt jelenti, hogy D⊂
ahol
∞ [
L=1
3 \
C(j, n, L) =
s=1
∞ [
m=1
∞ \
n=m
n−3 [
j=0
C(j, n, L) ,
L j + s j + s − 1 ω : W . ,ω − W , ω ≤ n n n
Ez´ert a t´etel bizony´ıt´ as´ahoz el´eg bel´ atni azt, hogy
P
∞ \
n=m
n−3 [
j=0
C(j, n, L) = 0
minden m ´es L pozit´ıv eg´esz sz´amra, ami k¨ ovetkezik a
n−3 [
lim P
n→∞
j=0
C(j, n, L) = 0 minden L = 1, 2, . . . sz´amra
(C3)
all´ıt´ ´ asb´ ol. Viszont a C(j, n, L) esem´eny h´arom f¨ uggetlen esem´eny metszete, ´es ezek mindegyike olyan esem´eny, amelyben azt tekintj¨ uk, hogy egy 0 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es n1 sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o abszolut ´ert´eke kisebb, mint L . Ez´ e rt n
n−3 [
L 3 1 C(j, n, L) ≤ nP W P , ω ≤ n n j=0
3 3 L 8L3 2L ≤ nP |ξ| ≤ √ ≤n √ = √ , n n n
ahol ξ standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Ebb˝ ol az egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ ovetkezik a (C3) rel´ aci´o, ez´ert a T´etel ´ all´ıt´ asa is. 8
Wiener-folyamatok jellemz´ ese. Megadom a Wiener-folyamat n´eh´ any fontos jellemz´es´et. Ezek ismertet´es´enek ´erdek´eben el˝ osz¨ or bevezetek n´eh´ any fogalmat. F¨ uggetlen n¨ ovekm´ eny˝ u folyamat definici´ oja. Legyen adva egy X(t, ω), −∞ ≤ a < t < b ≤ ∞, sztochasztikus folyamat valamely [a, b] (v´eges vagy v´egtelen) intervallumban. Azt mondjuk, hogy az X(t, ω) sztochasztikus folyamat f¨ uggetlen n¨ ovekm´eny˝ u, ha minden k ≥ 2 eg´esz sz´ amra ´es tetsz˝ oleges a ≤ t1 < t2 < · · · < tk ≤ b val´ os sz´ amokra az [a, b] intervallumban az X(tj+1 , ω) − X(tj , ω), 1 ≤ j < k, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. Stacion´ arius n¨ ovekm´ eny˝ u folyamat definici´ oja. Legyen adva egy X(t, ω) sztochasztikus folyamat a −∞ < t < ∞ egyenesen vagy a 0 ≤ t < ∞ f´elegyenesen. Azt mondjuk, hogy az X(t, ω) sztochasztikus folyamat stacion´ arius n¨ ovekm´eny˝ u, ha minden ¯ u > 0 sz´ amra az X(t, ω) = X(t+u, ω)−X(u, ω) sztochasztikus folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asai megegyeznek az X(t, ω) folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asaival. M´ ask´epp megfogalmazva azt k¨ ovetelj¨ uk meg, hogy minden u > 0 sz´ amra, ´es minden k ≥ 1 eg´esz sz´ amra valamint t1 < t2 < · · · < tk sz´ amokra a sz´ amegyenesen, illetve a {t : t ≥ 0} f´elegyenesen az X(tj , ω), 1 ≤ j < k, k-dimenzi´ os ´es X(tj + u, ω) − X(u, ω), 1 ≤ j < k, k-dimenzi´ os v´eletlen vektorok eloszl´ asai egyezzenek meg. A k´es˝obben t´argyaland´o t´em´ak meg´ert´ese ´erdek´eben vezess¨ uk be a stacion´arius folyamatok fogalm´at is. Stacion´ arius folyamat definici´ oja. Legyen adva egy X(t, ω) sztochasztikus folyamat a −∞ < t < ∞ egyenesen, vagy a t = 0, ±1, ±2, . . . eg´esz sz´ amok halmaz´ an. Azt mondjuk, hogy az X(t, ω) sztochasztikus folyamat (er˝ os ´ertelemben) stacion´ arius, ha minden u > 0 sz´ amra (a sz´ amegyenes eset´eben, ´es minden u > 0 eg´esz sz´ amra, ha a sztochasztikus folyamat az eg´esz sz´ amokkal van indexelve) “az X(t, ω) sztochasztikus ¯ ω) = X(t + u, ω), −∞ < t < ∞, (vagy folyamat u sz´ ammal val´ o eltoltja” az X(t, t = 0, ±1, ±2, . . . ), sztochasztikus folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asai megegyeznek az X(t, ω) folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asaival. M´ ask´epp megfogalmazva azt k¨ ovetelj¨ uk meg, hogy minden u > 0 (eg´esz) sz´ amra, ´es minden k ≥ 1 eg´esz sz´ amra valamint −∞ < t1 < t2 < · · · < tk < ∞ sz´ amokra az X(tj , ω), 1 ≤ j < k, k-dimenzi´ os ´es X(tj + u, ω), 1 ≤ j < k, k-dimenzi´ os v´eletlen vektorok eloszl´ asai egyezzenek meg. Megjegyzem, hogy az er˝ os ´ertelemben stacion´arius folyamatnak van egy megfelel˝ oje, amelyet u ´gy h´ıvnak, hogy gyeng´en stacion´arius folyamat. Megadom ennek a definici´ oj´at is. Gyeng´ en stacion´ arius folyamat definici´ oja. Legyen adva egy X(t, ω) sztochasztikus folyamat a −∞ < t < ∞ egyenesen, vagy a t = 0, ±1, ±2, . . . eg´esz sz´ amok halmaz´ an, ´es legyen EX(t, ω)2 < ∞ minden t param´eterre. Azt mondjuk, hogy az X(t, ω) sztochasztikus folyamat gyenge ´ertelemben stacion´ arius, ha l´etezik olyan M sz´ am, hogy EX(t, ω) = M , minden t sz´ amra, azaz a v´ arhat´ o ´ert´ek nem f¨ ugg a t sz´ amt´ ol, ´es l´etezik olyan ρ(s) f¨ uggv´eny (−∞ < s < ∞, ha a sztochasztikus folyamat a val´ os, ´es s = 0, ±1, ±2, . . . , ha a sztochasztikus folyamat az eg´esz sz´ amokkal van indexelve), u ´gy, hogy Cov (X(t, ω), X(t+ 9
s, ω)) = ρ(s), azaz az X(t, ω) ´es X(t+s, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok kovarianciaf¨ ugggv´enye nem f¨ ugg a t sz´ amt´ ol, hanem csak a t ´es t + s sz´ amok s k¨ ul¨ onbs´eg´et˝ ol f¨ ugg. A k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u lemm´aban megfogalmazok egy egyszer˝ u kapcsolatot az er˝ osen ´es gyeng´en stacion´arius sztochasztikus folyamatok k¨ oz¨ ott. Lemma. Ha X(t, ω) er˝ osen stacion´ arius sztochasztikus folyamat, ´es EX(t, ω)2 < ∞, akkor X(t, ω) gyeng´en stacion´ arius folyamat. Megford´ıtva, ha X(t, ω) gyeng´en stacion´ arius sztochasztikus folyamat, ´es egyben Gauss-folyamat, akkor X(t, ω) er˝ osen stacion´ arius folyamat. A lemma bizony´ıt´ asa. A Lemma els˝ o ´ all´ıt´ asa ny´ılv´anval´ o. A m´ asodik a´ll´ıt´ as igazol´asa szint´en egyszer˝ u, ha meg´ertj¨ uk, hogy egy t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi vektor eloszl´ as´at meghat´ arozza annak v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es kovariancia m´ atrixa. A k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asokat feladat form´aj´aban fogalmazom meg. Ezek megold´ asa is azon alapul, hogy egy t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor eloszl´ as´at meghat´ arozza annak v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es kovariancia m´ atrixa. Feladat: Egy Wiener-folyamat f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u ´es stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u Gauss-folyamat. Megford´ıtva, minden f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u ´es stacion´ arius n¨ovekm´eny˝ u, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u (´es folytonos trajekt´ori´ aj´ u) Gauss-folyamat egy Wiener folyamat konstansszorosa. Feladat: Legyen adva egy W (t, ω), 0 ≤ t < ∞, Wiener-folyamat a pozit´ıv f´elegyenesen, t ´es defini´aljuk a Z(t, ω) = We(et/2,ω) , −∞ < t < ∞, sztochasztikus folyamatot. A Z(t, ω) sztochasztikus folyamat stacion´arius EZ(t, ω) = 0, −∞ < t < ∞, v´ arhat´ o ´ert´ekkel, ´es EZ(t, ω)Z(u, ω) = e−|u−t|/2 , −∞ < t, u < ∞ kovariancia f¨ uggv´ennyel. Megjegyz´es: A fenti feladatban defini´alt Z(t, ω) sztochasztikus folyamatot Ornstein– Uhlenbeck folyamatnak h´ıvj´ ak az irodalomban. A k¨ ovetkez˝ o tartalmasabb eredm´enyben megadom a Wiener-folyamatok egy nemtrivi´ alis jellemz´es´et. T´ etel a Wiener-folyamatok egy jellemz´ es´ er˝ ol. Legyen X(t, ω), EX(t, ω) = 0, 0 ≤ t < ∞, f¨ uggetlen ´es stacion´ arius n¨ ovekm´eny˝ u sztochasztikus folyamat a pozit´ıv f´elegyenesen, amelyre teljes¨ ul az EX(t, ω)2 < ∞ rel´ aci´ o minden t > 0 sz´ amra. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy az X(t, ω) sztochasztikus folyamat minden trajekt´ ori´ aja folytonos. Ekkor az X(t, ω) sztochasztikus folyamat egy Wiener-folyamat konstansszorosa. A fenti eredm´enyben nem tett¨ uk fel, hogy a tekintett sztochasztikus folyamat Gauss-folyamat. K´es˝obb ismertetni fogom ennek az eredm´enynek egy ´eles´ıt´es´et is, amelyben marting´ alok seg´ıts´eg´evel jellemezz¨ uk a Wiener-folyamatot. Ezen a´ltal´ anosabb ´ t´etel t´argyal´ ashoz viszont sz¨ uks´eges meg´erteni a marting´ alok o¨nmag´ aban is ´erdekes 10
elm´elet´enek a legfontosabb eredm´enyeit, illetve ´ atism´etelni a marting´ alok definici´ oj´aban fontos szerepet j´ atsz´o felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek fogalm´at. A fenti t´etel, illetve e t´etel (marting´al t´ıpus´ u) ´eles´ıt´es´enek a bizony´ıt´ as´at elhagyom. Viszont szeretn´em legal´ abb heurisztikus szinten elmagyar´ azni, hogy mi´ert fontos a Wiener-folyamatok egy jellemz´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etelnek az a a felt´etele, hogy a sztochasztikus folyamat trajekt´ori´ ai folytonosak. Az itt nem ismertetett bizony´ıt´ as f˝ o gondolata az, hogy a T´etel felt´eteleit teljes´ıt˝ o sztochasztikus folyamatok Gauss-folyamatok. Ezt a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel seg´ıts´eg´evel lehet megmutatni. A bizony´ıt´ as f˝ o r´esze annak megmutat´ as´ab´ ol ´ all, hogy ha tekint¨ unk valamely 0 ≤ s < t sz´amokat, akkor az X(t, ω) − X(s, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o norm´ alis eloszl´ as´ u. Ennek megmutat´ asa ´erdek´eben ´erdemes az [s, t] intervallum finom s = t1 < t2 < · · · < tk = t feloszt´ as´at tekinteni, (azaz olyan feloszt´ as´at, amelyre sup (tj+1 −tj ) kicsi), ´es be 1≤j
bevezethetj¨ uk az ηj (ω) = X(tj+1 , ω) − X(tj , ω), 1 ≤ j < k, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Az k−1 P ηj , 1 ≤ j < k, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es X(t, ω) − X(s, ω) = ηj (ω). Be j=1
szeretn´enk l´atni, hogy az [s, t] intervallum egyre finomod´o feloszt´ asaihoz tartoz´o el˝ obb defini´alt o¨sszegekre alkalmazhat´o a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel, ez´ert az X(t, ω)−X(s, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o norm´ alis eloszl´ as´ u. Be lehet l´atni, hogy a sztochasztikus folyamatok trajekt´ori´ ainak folytonoss´aga biztos´ıtja az ηj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra azt a kicsis´egi felt´etelt, (a Lindeberg felt´etel teljes¨ ul´es´et), amely sz¨ uks´eges a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel teljes¨ ul´es´ehez. A Poisson-folyamat al´ abb ismertetett konstrukci´ oja mutatja, hogy a trajekt´ori´ ak folytonoss´ag´ ar´ ol sz´ol´ o felt´etel nem hagyhat´ o el ebb˝ol a t´etelb˝ ol.
11
Poisson-folyamat konstrukci´ oja ´ es e folyamat n´ eh´ any fontos tulajdons´ aga. El˝osz¨ or felid´ezem a Poisson-folyamat ismertet´es´eben fontos szerepet j´ atsz´o Poisson eloszl´as definici´ oj´at. Azt mondjuk, hogy a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o Poisson eloszl´ as´ u λ, 0 < λ < ∞, parak m´eterrel, ha ξ nem negat´ıv eg´esz ´ert´ekeket vesz fel, ´es P (ξ = k) = λk! e−λ , k = 0, 1, . . . . Eml´ekeztetek tov´ abb´a a Poisson eloszl´ asnak az al´ abbi lemm´aban megfogalmazott fontos tulajdons´ag´ ara. 1. Lemma. Legyen ξ ´es η k´et f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ξ λ ´es η µ param´eterrel. Akkor ξ +η Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o λ+µ param´eterrel. A k¨ ovetkez˝ o lemma tekinthet˝ o az el˝ oz˝ o lemma megford´ıt´ as´anak. Ez lehet˝ ov´e teszi, hogy egyszer˝ u m´ odon konstru´ aljunk Poisson-folyamatokat. 2. Lemma. Legyen adva k darab urna, ´es ezekbe dobjunk be v´eletlen ξ sz´ am´ u goly´ ot, ahol ξ Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o λ > 0 param´eterrel. Legyenek az egyes dob´ asok eredm´enyei egym´ ast´ ol ´es a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol f¨ uggetlenek. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy minden egyes dob´ asn´ al a goly´ o az j-ik urn´ aba pj ≥ 0 val´ osz´ın˝ us´eggel esik, k P j = 1, . . . , k, pj = 1. Jel¨ olje ηj a j-ik urn´ aba es˝ o goly´ ok sz´ am´ at. Az az ηj , j = j=1
1, . . . , k, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es ηj Poisson eloszl´ as´ u λpj param´eterrel, j = 1, . . . , k. A 2. Lemma bizony´ıt´ asa. (l1 + · · · + lk )! l1 p1 · · · plkk l 1 ! · · · lk ! k Y (λpj )lj −λpj λ(l1 +···+lk ) l1 lk −λ p1 · · · pk e = e = l 1 ! · · · lk ! lj ! j=1
P (η1 = l1 , . . . , ηk = lk ) = P (ξ = l1 + · · · + lk )
tetsz˝oleges l1 ≥ 0, . . . , lk ≥ 0 eg´esz sz´amokra. Innen ad´ odik a 2. lemma a´ll´ıt´ asa. Az al´ abbiakban defini´alom a Poisson-mez˝ o fogalm´at, ´es bebizony´ıtom az 1. Lemma ´es 2. Lemma seg´ıts´eg´evel, hogy Poisson-mez˝ ok val´ oban l´eteznek. Poisson-mez˝ o definici´ oja. Legyen adva egy (X, X ) m´erhet˝ o t´er, ´es azon egy µ σaddit´ıv m´ert´ek. Legyen adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o, ´es azon minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre az X t´er v´eges vagy megsz´ aml´ alhat´ o sok kijel¨ olt x1 (ω), x2 (ω), . . . pontja. (A kijel¨ olt pontok sz´ ama lehet nulla is.) Azt mondjuk, hogy az ´ıgy defini´ alt rendszer Poisson-mez˝ o az (X, X ) t´eren µ sz´ aml´ al´ o m´ert´ekkel, ha minden A ∈ X , µ(A) < ∞, halmazra az A halmazba es˝ o kijel¨ olt pontok ζA (ω) sz´ ama Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o µ(A) param´eterrel, ´es diszjunkt A1 , . . . , Ak ∈ X , µ(Aj ) < ∞, 1 ≤ j ≤ k, halmazokra az ezekbe a halmazokba es˝ o pontok ζAj (ω), 1 ≤ j ≤ k, sz´ amai f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. 12
T´ etel Poisson-mez˝ ok l´ etez´ es´ er˝ ol. Tetsz˝ oleges (X, X ) m´erhet˝ o t´erhez ´es azon defini´ alt µ σ-addit´ıv m´ert´ekhez l´etezik Poisson-mez˝ o az (X, X ) t´eren µ sz´ aml´ al´ o m´ert´ekkel. A Poisson-mez˝ ok l´etez´es´er˝ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. El˝osz¨ or azzal a speci´ alis esettel foglalkozunk, amikor a µ m´ert´ek v´eges, azaz µ(X) < ∞. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o konstrukci´ ot. Vesz¨ unk v´eletlen sok ζ(ω) pontot, amelyek sz´ama Poisson eloszl´ as´ u µ(X) param´eterrel, ´es dobjuk le ezeket a pontokat az (X, X ) t´erre u ´gy, hogy mindegyik pont µ(A) osz´ın˝ us´eggel esik az A halmazba. (Ilyen konstrukci´ o lehets´eges, de ennek techµ(X) val´ nikai r´eszleteit elhagyom.) Azt ´ all´ıtom, hogy az ´ıgy defini´alt rendszer Poisson-mez˝ o az (X, X ) t´eren µ sz´aml´al´ o m´ert´ekkel. El´eg bel´ atni azt, hogy az X t´er tetsz˝oleges A1 , . . . , Ak partici´oj´ara, azaz olyan A1 , . . . , Ak esem´enyekre, amelyekre Aj ∩ Aj ′ = ∅, k S ha j 6= j ′ , Aj = Ω az A1 , . . . , Ak halmazokba es˝o ledobott pontok ζj (ω) sz´amai, j=1
f¨ uggetlen, Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µ(Aj ) param´eterrel. (Ha A1 , . . . , Ak diszjunkt halmazok, akkor kieg´esz´ıthetj¨ uk ezt a rendszert e halmazok uni´oj´anak a komplementer´evel egy partici´ov´a, ´es elegend˝ o bel´ atni, hogy e partici´o elemeibe es˝o ledobott pontok sz´amai f¨ uggetlen Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a megfelel˝ o param´eterekkel.) Viszont ez ut´ obbi ´ alll´ıt´ as k¨ ovetkezik a 2. Lemm´ ab´ ol λ = µ(X), ´es µ(Aj ) pj = µ(X) v´ alaszt´ assal.
Tekints¨ unk ´ altal´ anosan egy (X, X ) m´erhet˝ o teret egy µ σ-addit´ıv µ m´ert´ekkel. Ekkor az X t´ernek l´etezik aml´alhat´ o X1 , X2 , . . . diszjunkt halmaS olyan v´eges vagy megsz´ ul, hogy µ(Xj ) < ∞, j = 1, 2, . . . , a parzokb´ol a´ll´ o partici´oja, Aj = X, amelyre teljes¨ j
tici´o minden Xj elem´ere. Jel¨olje (Xj , Xj , µj ) azt a teret amelyre Xj az A ∈ X , A ⊂ Xj alak´ u halmazokb´ ol ´ all, ´es µj a µ m´ert´ek megszor´ıt´ asa a Xj σ-algebr´ara. Tekints¨ unk mindegyik (Xj , Xj ) t´eren egy Poisson-mez˝ ot µj sz´aml´al´ o m´ert´ekkel, amelyek k¨ ul¨ onb¨oz˝ o j indexre f¨ uggetlenek. Ekkor be S lehet l´atni az 1. lemma seg´ıts´eg´evel, hogy minden A ∈ X , µ(A) < ∞ halmazra A = (Xj ∩ A) az A halmaz felbont´asa diszjunkt halmaj P zokra ez´ert az A halmazba es˝o pontok sz´ama Poisson eloszl´ as´ u µ(A) = µ(Xj ∩ A) j
param´eterrel, ´es ha A1 , . . . , Ak diszjunkt v´eges µ m´ert´ek˝ u halmazok, akkor az ezekbe a halmazokba es˝o pontok sz´ama f¨ uggetlen. V´eg¨ ul megadom a Poisson-folyamat definici´ oj´at.
Poisson-folyamat definici´ oja. Egy Π(t, ω), 0 ≤ t ≤ T , T > 0, sztochasztikus folyamatot Poisson-folyamatnak nevez¨ unk λ param´eterrel a [0, T ] intervallumon, ha Π(t, ω) teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´eteleket. (i) A Π(t, ω) folyamat f¨ uggetlen n¨ ovekm´eny˝ u, azaz tetsz˝ oleges 0 < t1 < t2 < · · · < tk ≤ T pontokra a Π(t1 , ω), Π(t2 , ω) − Π(t1 , ω), . . . , Π(tk , ω) − Π(tk−1 , ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. (ii) Π(t, ω) − Π(s, ω) Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o λ(t − s) param´eterrel. (iii) A Π(·, ω) trajekt´ oria szigor´ uan monoton jobbr´ ol folytonos eg´esz ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny. 13
Ha Π(t, ω), t ≥ 0, teljes´ıti az (i)–(iii) felt´eteleket, akkor Π(t, ω) Poisson-folyamat a [0, ∞) f´elegyenesen. Tekints¨ unk egy Z Poisson-mez˝ ot a [0, ∞) f´elegyenesen µ = λ·Lebesgue m´ert´ek sz´aml´al´ o m´ert´ekkel. Legyen Π(t, ω) ezen Z Poisson-mez˝ o pontjainak sz´ama a 0, t] intervallumban. Ekkor Π(t, ω), t ≥ 0, Poisson-folyamat λ param´eterrel a [0, ∞] f´elegyenesen. Legyen Π(t, ω) Poisson-folyamat a f´elegyenesen λ = 1 param´eterrel, ´es legyen X(t, ω) = Π(t, ω) − t, t ≥ 0. Ekkor X(t, ω) f¨ uggetlen ´es stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u folyamat, EX(t, ω) = 0 minden t ≥ 0 sz´amra. Az X(t, ω) folyamat val´ oban stacion´arius ´es f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u folyamat, mert a Π(t, ω) Poisson-folyamat az. Teh´ at az X(t, ω) folyamat a Wiener-folyamatok jellemz´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etel minden felt´etel´et teljes´ıti, kiv´eve, hogy e folyamat trajekt´ori´ ai nem folytonos f¨ uggv´enyek. A fenti p´elda mutatja a folytonos trajekt´oria l´etez´es´enek fontoss´ ag´ at a Wiener´ folyamatok jellemz´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etelben. Erts¨ uk meg azt is, hogy a n X j−1 j ,ω − X ,ω X X(1, ω) = n n j=1 azonoss´ag jobboldal´ an megadott ¨ osszegekre az n → ∞ eset´en az´ert nem alkalmazhat´o a centr´ alis hat´areloszl´as-t´etel, mert nem teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. Ugyanis abban az esetben, ha a Poisson-folyamat nem azonosan nulla a [0, 1] intervallumban, aminek n 2 P ≥ poz´ıtiv (nevezetesen 1 − e−1 ) a val´ osz´ın˝ us´ege, akkor X nj , ω − X j−1 n ,ω j=1
(1 − n1 )2 . Ez´ert a Lindeberg felt´etel nem teljes¨ ul ebben az esetben. Abb´ol, hogy a Poisson-folyamat f¨ uggetlen ´es stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u k¨ ovetkezik az is, hogy (folytonos idej˝ u) stacion´arius Markov-l´anc. Nem neh´ez bel´ atni, hogy egy a P (n, t, t + h) = h + o(h), ha h → 0 felt´etelnek eleget tev˝ o ´ atmenet-val´ osz´ın˝ us´egekkel rendelkez˝ o sz¨ ulet´esi folyamat Poisson-folyamat. A Poisson-folyamatnak van m´ asfajta el˝ o´all´ıt´ asa is. Igaz a k¨ ovetkez˝ o t´etel.
T´ etel A. Legyenek X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen, λ param´eter˝ u, exponenci´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın P n˝ us´egi v´ altoz´ ok, S0 = 0, Sn = Xk , n = 1, 2, . . . , ´es defini´ aljunk egy Π(t) sztochaszk=1
tikus folyamatot a Π(t) = n, ha Sn ≤ t < Sn+1 , n = 0, 1, 2, . . . k´eplet seg´ıts´eg´evel. Az ´ıgy defini´ alt Π(t) sztochasztikus folyamat Poisson folyamat λ param´eterrel.
Az, hogy a T´etel A-ban defini´alt Π(t) sztochasztikus folyamat trajekt´ori´ ai a k´ıv´ant tu¯ lajdons´ag´ uak k¨ onnyen l´athat´ o. Azt is l´athatjuk, hogy egy λ param´eter˝ u Π(t) Poisson¯ ¯ folyamat eset´eben az S1 = min{t : Π(t) ≥ 1} val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o exponenci´alis eloszl´as´ u λ param´eterrel. Val´ oban, P (S1 ≥ t) = e−λt , mert P (S1 ≥ t) megegyezik annak val´ osz´ın˝ us´eg´evel, hogy a Poisson-folyamatot meghat´ aroz´o Poisson mez˝oben a [0, t] intervallumba nem esik pont. Ha h´ıvatkozhatn´ ank az el˝ oad´ason nem t´argyalt folytonos idej˝ u Markov l´ancokra ´erv´enyes er˝ os Markov tulajdons´agra, akkor be tudn´ ank bizony´ıtani azt is, hogy a Poisson-folyamatnak az az n = 1, 2, . . . pontokba t¨ort´en˝ o egym´ ast k¨ ovet˝ o 14
ugr´as id˝ opontjai k¨ oz¨ ott eltelt id˝ ointervallumok egym´ ast´ ol f¨ uggetlen, λ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Innen k¨ ovetkezik a T´etel A a´ll´ıt´ asa. A kieg´esz´ıt´esben ismertetem a T´etel A egy a Poisson-folyamat alkalmas diszkretiz´ aci´oj´an alapul´o bizony´ıt´ as´at. A diszkretiz´ aci´o lehet˝ ov´e teszi, hogy az er˝ os Markov tulajdons´agot csak egyszer˝ u, k¨ onnyen ellen˝ or´ızhet˝ o esetekben kelljen haszn´ alnunk. A Wiener-folyamatr´ol sz´ol´ o legfontosabb eredm´eny, a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel, a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel v´egtelen dimenzi´ os v´ altozatak´ent is tekinthet˝ o. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etelhez hasonl´oan l´etezik egy olyan fontos hat´areloszl´ast´etel, amelyben a limesz a Poisson eloszl´ as, b´ar ennek az eredm´enynek a jelent˝os´ege kisebb, mint a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel´e. Ennek az al´ abb ismertetett eredm´enynek l´etezik funkcion´alis hat´areloszl´ast´etel v´ altozata, amelyben a hat´ar´ert´ek a Poisson-folyamat eloszl´ asa. Ismertetem (bizony´ıt´ as n´elk¨ ul) mind a hat´areloszl´ast´etelt, mind annak funkcion´ alis hat´areloszl´ast´etel v´ altozat´ at. Ez ut´ obbi eredm´eny teljes magyar´ azat´ ahoz hozz´atartozna a gyenge konvergencia bevezet´ese az u ´gynevezett D([0, 1]) t´erben, de ezt elhagyom. A probl´ema az, hogy az ebben a t´etelben megjelen˝o hat´ar´ert´ek, a Poissonfolyamat eloszl´ asa, nem tekinthet˝ o a folytonos f¨ uggv´enyek C([0, 1]) ter´en defini´alt m´ert´eknek. Ez´ert sz¨ uks´eges alkalmas definici´ oval a balr´ol folytonos, jobbr´ol hat´ar´ert´ekkel rendelkez˝ o ( cadlag, azaz continue ` a droite, limite ` a gauche) f¨ uggv´enyek ter´et (teljes) szepar´ abilis metrikus t´err´e tenni. Ez teszi lehet˝ ov´e azt, hogy besz´elhess¨ unk az ´ert´ekeitket e t´er m´erhet˝ o halmazain felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek gyenge konvergenci´ aj´ar´ ol. Poisson eloszl´ ashoz val´ o hat´ areloszl´ ast´ etel. Legyen ξ1,1 . . . , ξ1,n1 .. .. . . ξk,1 . . . , ξk,nk .. .. . . sz´eriasorozat, azaz legyenek a k-ik sorban szerepl˝ o ξk,1 , . . . , ξk,nk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, amely teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´eteleket: 1.) A ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nem negat´ıv eg´esz ´ert´ekeket vesznek fel. n Pk λk,j = λ > 0. 2.) P (ξk,j = 1) = λk,j , lim k→∞ j=1
3.)
sup λk,j → 0, ha k → ∞, ´es
1≤j≤nk
Ekkor az Sk =
nk P
nk P
j=1
P (ξk,j ≥ 2) → 0, ha k → ∞.
ξk,j val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak a λ param´e-
j=1
ter˝ u Poisson eloszl´ ashoz, ha k → ∞. E t´etel funkcion´ alis hat´areloszl´ast´etel v´ altozata a k¨ ovetkez˝ o eredm´eny. 15
T´ etel Poisson folyamathoz val´ o gyenge konvergenci´ ahoz. Teljes´ıtse az el˝ oz˝ o t´etelben tekintett ξ1,1 . . . , ξ1,n1 .. .. . . ξk,1 . . . , ξk,nk .. .. . . sz´eriasorozat az ott bevezetetett 1.), 2) ´es 3.) felt´eteleket, illetve a 2.) felt´etel al´ abbi er˝ osebb v´ altozat´ at: 2′ .) P (ξk,j = 1) = λk,j , lim
[tn Pk ]
k→∞ j=1
sz´ am eg´esz r´esz´et jel¨ oli. Legyen
nk P
¯ k,j = λk,j = λk , λ
j=1
λk,j = λt > 0 minden 0 < t ≤ 1 sz´ amra, ahol [x] az x
λk,j λk ,
uk,0 = 0, uk,j =
j P ¯ k,s , k = 1, 2, . . . ,, 1 ≤ j ≤ λ
s=1
nk , ´es defini´ aljuk e sz´eriasorozat seg´ıts´eg´evel az al´ abbi Xk (t), k = 1, 2, . . . , sztochasztikus folyamatokat a [0, 1] intervallumban:
Xk (t) = 0, Xk (1) =
ha 0 ≤ t < uk,1 nk X
Xk (t) =
j X
ξk,s ,
s=1
ha uk,j ≤ t < uk,j+1 ,
0 ≤ j < nk ,
ξk,s .
s=1
Ekkor az Xk (t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok eloszl´ asai gyeng´en konverg´ alnak a λ param´eter˝ u Poisson folyamat eloszl´ as´ ahoz a D([0, 1]) t´erben, ha k → ∞.
16
A T´ etel A egy lehets´ eges bizony´ıt´ asa. ¯ Tekints¨ unk egy λ param´eter˝ u Π(t) Poisson-folyamatot, ´es defini´aljuk az S¯n , n = 1, 2, . . . ¯ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, mint a legkisebb olyan t ´ert´ekeket, amelyekre Π(t) = n, minden n = 1, 2, . . . sz´amra. A T´etel A bebizony´ıt´ as´ahoz el´eg azt megmutatni, hogy az ¯ ¯ S1 , S2 , . . . illetve S1 , S2 , . . . v´eletlen sorozatok egy¨ uttes eloszl´ asai megegyeznek. Ugyanis tetsz˝oleges 0 < t1 < t2 < · · · tk id˝ opontokra ´es n1 , n2 , . . . , nk pozit´ıv eg´esz sz´amokra P (Π(t1 ) ≤ n1 , . . . , Π(tk ) ≤ nk ) = P (Sn1 ≥ t1 , . . . , Snk ≥ tk ), ´es hasonl´o rel´ aci´o ´erv´enyes ¯ a Π(t) sztochasztikus folyamatra ´es S¯1 , S¯2 , . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra is. ¯ A k´ıv´ant ´ all´ıt´ ast a Π(t) Poisson-folyamat alkalmas diszkr´et idej˝ u Markov-l´anc k¨ ozel´ıt´es´evel fogjuk igazolni, felhaszn´alva azt a t´enyt, hogy diszkr´et idej˝ u Markov l´ancok eset´eben alkalmazhatjuk az er˝ os Markov tulajdons´agot. Minden pozitiv ε > 0 sz´amra defini´aljuk az ηk (ε), k = 1, 2, . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat u ´gy, hogy ηk (ε) = 1, ha ¯ ¯ ¯ ¯ Π(kε) − Π((k − 1)ε) ≥ 1, ´es ηk (ε) = 0, ha Π(kε) − Π((k − 1)ε) = 0. Defini´ aljuk a l P ¯ ¯ η¯k = Π(kε) − Π((k − 1ε), Zl (ε) = ηk (ε), l = 1, 2, . . . , ´es Sn (ε) = ε min{l : Zl (e) ≥ n}, k=1
n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Azt ´ all´ıtom, hogy
a) Sn (ε) ⇒ S¯n , ha ε → 0 minden n = 1, 2, . . . sz´amra, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenci´ at jel¨ol. b) Az (S1 (ε), S2 (ε) − S1 (ε), . . . Sn (ε) − Sn−1 (ε)) vektorok eloszl´ asban konverg´ alnak n f¨ uggetlen, λ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ob´ ol a´ll´ o v´eletlen vektorhoz minden r¨ogz´ıtett n sz´amra, ha ε → 0. Az a) ´es b) ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy az S1 , S2 , . . . illetve S¯1 , S¯2 , . . . v´eletlen sorozatok egy¨ uttes eloszl´ asai megegyeznek. Ez´ert elegend˝ o ezt a k´et a´ll´ıt´ ast bel´ atni. l P Vezess¨ uk be a Z¯l (ε) = η¯k (ε), l = 1, 2, . . . , ´es S¯n (ε) = ε min{l : Z¯l (e) ≥ n}, n = k=1
1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat is. Az a) r´eszben megfogalmazott a´ll´ıt´ as k¨ ovetkezik az al´ abbi k´et rel´ aci´ob´ ol.
a1) lim P (ηk (ε) = η¯k (ε)minden 1 ≤ k < e−3/2 sz´amra) = 1, ´es minden r¨ogz´ıtett n ε→0 pozit´ıv eg´esz sz´amra lim P (Sl (ε) = S¯l (ε) minden 1 ≤ l ≤ n sz´amra) = 1. ε→0
a2) S¯n (ε) → S¯n 1 val´ osz´ın˝ us´eggel, ha ε → 0 minden n pozit´ıv eg´esz sz´amra.
¯ P (ηk (ε) = η¯k (ε)minden 1 ≤ k < ε−3/2 sz´amra) = P (Π(kε) − Π((k − 1)ε ≤ 1, 1 ≤ −3/2 −3/2 2 1/2 ε 1 ¯ , ahonnan k < ε−3/2 ) = 1 − P (Π(ε) ≥ 2) ≤ (1 − λ2 ε2 )ε ≤ e−λ ε , ha ε < 2λ k¨ ovetkezik az a1) els˝ o´ all´ıt´ asa. Innen lim P (Zl (ε) = Z¯l (ε)minden 1 ≤ 1 < ε−3/2 sz´amra) = 1.
ε→0
osz´ın˝ us´eggel, ha ε → 0, innen k¨ ovetkezik az a1) Tov´ abb´a, mivel Zε−3/2 (ε) → ∞ 1 val´ m´ asodik ´ all´ıt´ asa is. Az a2) ´ all´ıt´ asa ny´ılv´anval´ o az S¯n (ε) − ε ≤ S¯n ≤ S¯n (ε) o¨sszef¨ ugg´es alapj´ an. 17
A b) rel´ aci´o a k¨ ovetkez˝ o¨ osszef¨ ugg´es alapj´ an l´athat´ o. Az ηk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok −λε 2 −1 ¯ f¨ uggetlenek, ´es P (ηk = 1) = 1 − P (ηk = 0) = 1 − e = λε + O(ε ). Ez´ert az ε Sn (ε), n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok u ´gy is ´ertelmezhet˝oek, hogy f¨ uggetlen kis´erleteket v´egez¨ unk egym´ as ut´ an, amelyekben a siker val´ osz´ın˝ us´ege p(ε) = 1 − e−λε = λε + O(ε2 ), ´es ε−1 Sn (ε) jel¨oli az n-ik sikeres kis´erlet id˝ opontj´at. Ez´ert az S1 (ε), S2 (ε) − S1 (ε), . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es egyforma eloszl´ as´ uak, valamint P (S1 (ε) > kε) = k 2 u/ε (1 − p(ε)) , ahonnan P (S1 (ε) > u) ∼ (1 − λε + O(ε )) ∼ e−λu minden u > 0 sz´amra, ha az ε > 0 sz´am kicsi. Ez azt jelenti, hogy lim P (S1 (ε) > u) = e−λu . Ez´ert igaz a b) ε→0
all´ıt´ ´ as is.
18
