´ DISPERZE VLIV GEOMETRICKE ˇ ´I NAPE ˇ TOV ˇ YCH ´ NA Sˇ´IREN VLN Petr Hora? ?
´ ˇ Centrum diagnostiky materi´alu, Ustav termomechaniky AV CR, Veleslav´ınova 11, 301 14 Plzeˇ n, e-mail:
[email protected] Abstrakt
The effect geometrical dispersion is that the energy in a wave-packet propagates at different speeds depending on its frequency. This manifests itself as a spreading of the wave-packet in space and time as it propagates through a structure. It is shown that duration of a wave-packet increases linearly with propagation distance and also that the duration of a wave-packet after a given propagation distance depends on the input signal. Some conclusions are made concerning the Lamb wave propagation in a steel plate.
1
´ Uvod
Tento pˇr´ıspˇevek se zab´ yv´a vlivem geometrick´e disperze na ˇs´ıˇren´ı napˇet’ov´ ych vln zejm´ena vzhledem k moˇznosti vyuˇzit´ı guided waves pro kontrolu konstrukc´ı na velk´e vzd´alenosti. Pˇr´ıspˇevek vych´az´ı z ˇcl´anku [WLC01]. ˇ Sirok´ y rozsah prac´ı publikovan´ ych na t´ema pouˇzit´ı guided waves pro u ´ˇcely kontroly konstrukc´ı lze nal´ezt v [CHI97]. Pouˇzit´ı guided waves pro u ´ˇcely nedestruktivn´ıho vyˇsetˇrov´an´ı spad´a s ohledem ke vzd´alenosti ˇs´ıˇren´ı do dvou kategori´ı. Prvn´ı kategorie, ˇs´ıˇren´ı na kr´atk´e vzd´alenosti, obsahuje aplikace, u nichˇz jsou guided waves pouˇz´ıv´any k z´ısk´an´ı informac´ı o testovan´em vzorku. Tyto oblasti zahrnuj´ı napˇr. urˇcen´ı elastick´ ych vlastnost´ı materi´alu, detekce defekt˚ u v okol´ı rozhran´ı atd. V tˇechto aplikac´ıch je rozhoduj´ıc´ım krit´eriem citlivost. Vzhledem k mal´ ym vzd´alenostem je vliv disperze vcelku ned˚ uleˇzit´ y. Zde se soustˇred´ıme na druhou kategorii aplikac´ı guided waves, pˇri kter´e je naopak vzd´alenost, po n´ıˇz se vlny ˇs´ıˇr´ı, velk´a. Tyto aplikace zahrnuj´ı kontrolu kompozit˚ u, potrub´ı a desek. V t´eto kategorii je hlavn´ım c´ılem pˇredevˇs´ım rychle zkontrolovat velk´e oblasti vzork˚ u. Guided waves jsou vybuzeny kr´atk´ ym energeticky siln´ ym impulzem aplikovan´ ym vhodn´ ym budiˇcem do jednoho m´ısta na vzorku. Vybuzen´ı vyvol´a bal´ık guided waves, kter´ y se ˇs´ıˇr´ı od
sn´ımaˇce do okoln´ıho prostˇred´ı. K detekci sign´al˚ u vyvolan´ ych odrazy od okoln´ıch rozhran´ı nebo defekt˚ u je pouˇzit bud’ stejn´ y nebo druh´ y sn´ımaˇc. Probl´emy spojen´e s vyuˇzit´ım guided waves pro u ´ˇcely kontroly spoˇc´ıvaj´ı jak v existenci v´ıce m´od˚ u guided waves, tak v disperzn´ım chov´an´ı (tj. jejich f´azov´e rychlosti jsou z´avisl´e na kmitoˇctu) tˇechto m´od˚ u. Abychom ze syst´emu pouˇz´ıvaj´ıc´ım guided waves dostali uˇziteˇcn´a data, je nezbytn´e selektivnˇe vybudit a detekovat pouze jeden m´od. Pˇr´ıklady sn´ımaˇc˚ u, kter´e lze pouˇz´ıt k vybuzen´ı a detekci guided waves jsou uvedeny v [MWC97] a [AB87]. Vstupn´ımi sign´aly jsou radioimpulzy s vhodnou ok´enkovou funkc´ı, pˇresnou stˇredn´ı frekvenc´ı a omezenou ˇs´ıˇrkou p´asma. D˚ uvodem pro omezen´ı ˇs´ıˇrky p´asma je jednak odstranˇen´ı neˇz´adouc´ıho vybuzen´ı okoln´ıch m´od˚ u a d´ale redukce vlivu disperze na ˇs´ıˇren´ı poˇzadovan´eho m´odu, coˇz je t´ema tohoto pˇr´ıspˇevku.
2
Geometrick´ a disperze
Disperzi lze definovat jako jev, pˇri kter´em se vlnov´e sloˇzky ve vlnov´em bal´ıku ˇs´ıˇr´ı r˚ uzn´ ymi f´azov´ ymi rychlostmi v z´avislosti na frekvenci. To se projevuje jako prodluˇzov´an´ı vlnov´eho bal´ıku v prostoru a ˇcase pˇri jeho ˇs´ıˇren´ı strukturou. Na obr. 1 je zn´azornˇen bud´ıc´ı vstupn´ı sign´al ve tvaru radioimpulzu o 5-ti cyklech s Hannov´ ym ok´enkem a stˇredn´ı frekvenc´ı 2 MHz, tj. ˇs´ıˇrka pulzu je 2.5 µs. 1
amplituda [−]
0.5
0
−0.5
−1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [µs]
Obr. 1 Bud´ıc´ı vstupn´ı sign´al ve tvaru radioimpulzu o 5-ti cyklech s Hannov´ ym ok´enkem a stˇredn´ı frekvenc´ı 2 MHz. Na obr. 2 je zn´azornˇen jev geometrick´e disperze na pˇr´ıkladu ˇs´ıˇren´ı Lambova m´odu S0 v 1 mm siln´e ocelov´e desce pˇri vstupn´ım sign´alu dle obr. 1. Tuto konfiguraci budeme d´ale v textu naz´ yvat vzorov´ ym pˇr´ıkladem.
1 0 −1 1 0 −1 1 0 −1 1 0 −1 1 0 −1 1 0 −1 0
10
20
30 t [µs]
40
50
60
Obr. 2 Numerick´a simulace jevu geometrick´e disperze vzorov´eho pˇr´ıkladu pro vzd´alenosti 0, 20, 40, 60, 80 a 100 mm (shora dol˚ u). Jevy zvˇetˇsov´an´ı ˇcasov´eho trv´an´ı vlnov´eho bal´ıku a zmenˇsov´an´ı amplitudy vyvolan´e disperz´ı jsou pro testov´an´ı rozs´ahl´ ych struktur, kter´e vyuˇz´ıv´a guided waves, neˇz´adouc´ı. Rozˇsiˇrov´an´ı vlnov´eho bal´ıku v prostoru a ˇcase redukuje dosaˇziteln´e rozliˇsen´ı. Tento probl´em se ˇcasto vyskytuje pˇri pokusu detekovat defekt v tˇesn´e bl´ızkosti zmˇeny struktury, napˇr. v bl´ızkosti svaru. V takov´em pˇr´ıpadˇe m˚ uˇze b´ yt defekt detekov´an, pouze pokud lze jeho odraz spolehlivˇe odliˇsit od odrazu vyvolan´eho zmˇenou struktury.
Redukce amplitudy disperzn´ıho vlnov´eho bal´ıku redukuje citlivost testovac´ıho syst´emu. Zmenˇsov´an´ı amplitudy vlnov´eho bal´ıku m˚ uˇze b´ yt odhadnuto pouˇzit´ım z´akona o zachov´an´ı energie. Na jeho z´akladˇe a pˇri zanedb´an´ı jin´ ych ztr´at lze v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı pˇredpokl´adat, ˇze amplituda vlnov´eho bal´ıku se bude zmenˇsovat u ´mˇernˇe s druhou odmocninou jeho ˇcasov´eho trv´an´ı.
3
Modelov´ an´ı geometrick´ e disperze
Abychom mohli dˇelat kvantitativn´ı mˇeˇren´ı ˇs´ıˇren´ı napˇet’ov´ ych vln, mus´ıme b´ yt schopni modelovat, jak se vlnov´ y bal´ık za pˇr´ıtomnosti disperze ˇs´ıˇr´ı. Obvykl´ y zp˚ usob spoˇc´ıv´a ve vyuˇzit´ı samotn´e definice disperzn´ıho jevu, tj. jevu, pˇri kter´em se energie ve vlnov´em bal´ıku ˇs´ıˇr´ı r˚ uzn´ ymi rychlostmi v z´avislosti na frekvenci. Uvaˇzujme pˇr´ıpad, kdy vhodn´ y mˇeniˇc vybud´ı ve struktuˇre guided waves. Pˇredpokl´adejme, ˇze je mˇeniˇc ide´aln´ı, tj. vybud´ı pouze jeden m´od a to pouze v jednou smˇeru. Mˇeniˇc je nap´ajen elektrick´ ym sign´alem d´elky V (t), kter´ y se mˇen´ı na akustickou energii. Tato energie se ˇs´ıˇr´ı od mˇeniˇce ve smˇeru osy x jako jednoduch´ y m´od guided wave. Pˇredpokl´ad´a se, ˇze v m´ıstˇe mˇeniˇce, x = 0, je zmˇena parametru v desce, napˇr. vertik´aln´ı v´ ychylka u vzhledem k ˇcasu t, pˇr´ımo u ´mˇern´a V (t). Funkci u (t) lze povaˇzovat za ˇrez v ˇcaso-prostorov´e rovinˇe funkce u (x, t), kter´ y proch´az´ı bodem x = 0. Pokud zn´ame disperzn´ı kˇrivky (z´avislost f´azov´e rychlosti na frekvenci) pro dan´ y syst´em, pak m˚ uˇze b´ yt vypoˇcteno u (x, t) v libovoln´em bodˇe ˇcaso-prostorov´e roviny dle n´asleduj´ıc´ıho algoritmu. Nejprve provedeme pˇrevod do frekvenˇcn´ı oblasti 1 Z∞ u (t) e−iωt dt, 2π −∞
U (ω) =
(1)
kde ω je u ´hlov´a frekvence. Hodnota u (x, t) odpov´ıdaj´ıc´ı individu´aln´ı spektr´aln´ı sloˇzce U (ω) je d´ana ˇreˇsen´ım vlnov´e rovnice ve frekvenˇcn´ı oblasti U (ω) ei(k(ω)x−ωt) ,
(2)
kde k (ω) je vlnov´e ˇc´ıslo, kter´e lze z´ıskat z f´azov´e rychlosti cf (ω) vztahem k (ω) =
ω . cf (ω)
(3)
Hodnota u (x, t) je d´ana integrac´ı pˇr´ıspˇevk˚ u vˇsech frekvenˇcn´ıch sloˇzek U (ω) u (x, t) =
Z
∞
U (ω) ei(k(ω)x−ωt) dω.
(4)
−∞
K vyhodnocen´ı tohoto integr´alu lze s v´ yhodou pouˇz´ıt FFT. Pro u ´ˇcel predikce hranic vlnov´eho bal´ıku je vhodnˇejˇs´ı pracovat s ob´alkou vlnov´eho bal´ıku, kterou z´ısk´ame pomoc´ı Hilbertovy transformace.
4
Definov´ an´ı trv´ an´ı vlnov´ eho bal´ıku
Abychom dovedli kvantifikovat disperzi, je nezbytn´e umˇet zmˇeˇrit trv´an´ı vlnov´eho bal´ıku, coˇz znamen´a vˇedˇet, kde vlnov´ y bal´ık zaˇc´ın´a a kde konˇc´ı. Jednou z moˇznost´ı je definovat zaˇc´atek a konec vlnov´eho bal´ıku pomoc´ı ˇcaso-prostorov´e mapy u (x, t), ve kter´e si definujeme zaˇc´atek a konec body, ve kter´ ych ob´alka klesne pod danou referenˇcn´ı u ´roveˇ n. Na obr. 3 jsou zn´azornˇeny dva pˇr´ıpady volby referenˇcn´ı u ´rovnˇe pro n´aˇs vzorov´ y pˇr´ıklad: a) za referenˇcn´ı u ´roveˇ n se vol´ı glob´aln´ı maximum ob´alky (ˇspiˇckov´a hodnota ob´alky zdrojov´eho sign´alu), b) pro kaˇzdou vzd´alenost se vol´ı nov´a reference. Druh´a moˇznost je pro u ´ˇcely sledov´an´ı disperzn´ıho chov´an´ı vhodnˇejˇs´ı.
b)
distance [mm]
a) 0
0
10
−2
20
−4
30
−6
40
−8
50
−10
60
−12
70
−14
80
−16
90
−18
100 0
20
40 t [µs]
60 0
20
40
60
−20
t [µs]
Obr. 3 Dvˇe r˚ uzn´e definice referenˇcn´ı u ´rovnˇe: a) reference (0 dB) je ˇspiˇckov´a hodnota ob´alky pro distanci rovnou nule, b) reference je pˇrepoˇc´ıt´ana pro kaˇzdou vzd´alenost jako ˇspiˇckov´a hodnota ob´alky pro danou vzd´alenost. Procedura Fourierovy dekompozice je pro z´ısk´an´ı trv´an´ı vlnov´eho bal´ıku velice neefektivn´ı i pˇres pouˇzit´ı FFT, proto uvedeme jinou moˇznost, kter´a se op´ır´a o znalost frekvenˇcn´ı ˇıˇrku p´asma vstupn´ıho sign´alu z´avislosti grupov´ ych rychlost´ı. Mˇejme n´aˇs vzorov´ y pˇr´ıklad. S´ z´ısk´ame nalezen´ım frekvenc´ı, ve kter´ ych amplituda spektra pad´a o 20 dB, viz obr. 4. Frekvenˇcn´ı z´avislosti grupov´ ych rychlost´ı pro n´aˇs vzorov´ y pˇr´ıklad jsou zn´azornˇeny na obr. 5. Vertik´aln´ı ˇc´ary v tomto obr´azku vyznaˇcuj´ı ˇs´ıˇrku p´asma dle obr. 4 a vodorovn´e ˇc´ary vyznaˇcuj´ı minim´aln´ı a maxim´aln´ı grupovou rychlost nach´azej´ıc´ı se v dan´em frekvenˇcn´ım p´asmu, tj. cg,min = 1.75 mm/µs a cg,max = 4.88 mm/µs.
10
fmin (1.37 MHz)
spektrum [dB]
0
fmax (2.63 MHz)
5
−5 −10 −15 −20 −25 −30
1
1.5
2 f [MHz]
2.5
3
Obr. 4 Spektrum vstupn´ıho sign´alu s vyznaˇcen´ım -20 dB frekvenˇcn´ıho rozsahu.
6 S0 5 cg,max (4.88)
S1 S2
3
g
c [mm/µs]
4
0 0
fmin (1.37)
1
fmax (2.63)
2 cg,min (1.75)
1
2
3 f [MHz]
4
5
6
Obr. 5 Frekvenˇcn´ı z´avislosti grupov´ ych rychlost´ı pro 1 mm silnou ocelovou desku ve vakuu. Vertik´aln´ı ˇc´ary vyznaˇcuj´ı ˇs´ıˇrku p´asma dle obr. 4. Vodorovn´e ˇc´ary vyznaˇcuj´ı minim´aln´ı a maxim´aln´ı grupovou rychlost nach´azej´ıc´ı se v dan´em frekvenˇcn´ım p´asmu.
Na obr. 6 je porovn´an´ı metody Fourierovy dekompozice a metody grupov´e rychlosti (ˇc´arkovan´a ˇc´ara) pro n´aˇs vzorov´ y pˇr´ıklad.
0
0
20 distance [mm]
−5 40 cg,max
cg,min
−10
60 −15 80
100 0
10
20
30 t [µs]
40
50
60
−20
Obr. 6 Porovn´an´ı dvou metod predikce trv´an´ı vlnov´eho bal´ıku: metoda Fourierovy dekompozice a metoda grupov´e rychlosti.
5
Z´ avˇ er
V pˇr´ıspˇevku byla prezentov´ana jednoduch´a metoda pro modelov´an´ı ˇs´ıˇren´ı vln za pˇr´ıtomnosti geometrick´e disperze. Vliv geometrick´e disperze spoˇc´ıv´a v r˚ uzn´e rychlosti ˇs´ıˇren´ı energie vlnov´eho bal´ıku v z´avislosti na frekvenci, coˇz se pˇri pr˚ uchodu vzorkem (strukturou) projevuje prodluˇzov´an´ım vlnov´eho bal´ıku v prostoru a ˇcase. Uk´azalo se, ˇze trv´an´ı vlnov´eho bal´ıku se zvˇetˇsuje line´arnˇe se vzd´alenost´ı a tak´e, ˇze trv´an´ı vlnov´eho bal´ıku z´avis´ı na tvaru vstupn´ıho sign´alu. Veˇsker´e v´ ypoˇcty byly prov´adˇeny pro pˇr´ıklad tenk´e (1 mm) ocelov´e desky.
Podˇ ekov´ an´ı ˇ e republiky prostˇrednictv´ım Tato pr´ace byla podporov´ana Grantovou agenturou Cesk´ grantu ˇc.: 106/01/0396 - Hodnocen´ı struktury a vnitˇrn´ıch napˇet´ı funkˇcn´ıch materi´al˚ u ” ultrazvukov´ ymi metodami“ .
Reference [AB87]
Alers, G. A.; Burns, L. R.: EMAT designs for special applications. Mater.˙Eval., 45, 1987, 1184-1194
[CHI97]
Chimenti, D. E.: Guided waves in plates and their use in materials characterization. Appl. Mech. Rev., 50, 1997, 247-284
[MWC97] Monkhouse, R. S. C.; Wilcox, P.; Cawley, P.: Flexible inter-digital PVDF transducers for the generation of Lamb waves in structures˙Ultrasonics, 35, 1997, 489-498 [WLC01] Wilcox, P.; Lowe, M.; Cawley, P.: The effect of dispersion on long-range inspection using ultrasonic guided waves. NDT&E International, 34, 2001, 1-9
