Vlaamse Wiskunde Olympiade 2012-2013: de eerste ronde 1. De som van drie opeenvolgende natuurlijke getallen is S. Het kwadraat van het middelste getal is dan (A)
S2 9
(B)
S2 6
S2 4
(C)
(D)
S2 3
(E) S 2
C
2. In deze vijfhoek zijn alle zijden even lang en staan de zijden ˆ [AB] en [DE] loodrecht op [AE]. Hoe groot is de hoek B?
(A) 140◦
(B) 145◦
(C) 150◦
B
D
A
E
(D) 155◦
(E) 160◦
3. Als de volgende getallen van groot naar klein worden gerangschikt, welk getal staat dan in het midden? 1 2013 1 (D) 2013 − 2013
(A) 2013 ·
(B) 2013 :
1 2013
(C) 2013 +
1 2013
1
(E) 2013 2013
4. Als 2x = 6 en 6y = 1024, dan is xy gelijk aan (A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
(E) 16
5. Dylan heeft een getal x in zijn hoofd. Hij deelt dit getal door 3 en vermenigvuldigt het resultaat met 7. Van deze uitkomst trekt hij het oorspronkelijke getal af en vermenigvuldigt daarna het resultaat met 3. Ten slotte telt hij 10 bij dit getal op en trekt hij er het oorspronkelijke getal van af. Wat is het resultaat? (A) x + 3
(B) 3x + 10
(C) 10 + x
(D) 13 + x
(E) 10x + 3
6. Bij de talentenjacht “X 2 Factor” wordt een deelnemer door drie juryleden beoordeeld. Elk jurylid geeft als score 0, X of X 2 . De eindscore is het product van deze drie beoordelingen. Hoeveel eindscores zijn er mogelijk? (A) 4
(B) 5
(C) 6
Copyright Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2013
1
(D) 7
(E) 8
7. Een rooster met 13 × 13 vakjes wordt opgevuld zoals in de figuur. 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4
4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5
5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1
1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2
2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3
3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4
4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5
5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1
1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2
2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3
3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4
4 2 5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5
5 3 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 1
Welk cijfer komt het minst voor? (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
8. Als de veelterm 24x − 16 gelijk is aan a(b − 3x), dan is b − a gelijk aan (A) −10
(B) −6
(C) 2
(D) 6
9. Welke van de volgende gelijkheden is correct voor elke x ∈ ]0, 1 − cos x cos x = sin x 1 − sin x 1 − cos x sin x (C) = sin x 1 + cos x
(E) 10 π [? 2
1 − sin x sin x = cos x 1 + cos x 1 − sin x cos x (D) = cos x 1 − sin x cos x 1 + cos x = (E) sin x 1 + sin x
(A)
(B)
10. De grafiek van de functie f met als voorschrift f (x) = (x + 1)(x 2 − 16) snijdt de y -as in het punt P en de positieve x-as in het punt Q. De rechte P Q heeft als vergelijking (A) 4x − y − 16 = 0 (C) x − 4y − 16 = 0
(B) 4x − y + 16 = 0 (D) x + 4y + 16 = 0 (E) 4x − 16y + 1 = 0
11. Bij het uitbreken van een griepepidemie in een school is 10 % van de leerlingen ziek. Een week later is nog eens 10 % van de overige leerlingen ziek en is ook 10 % van de oorspronkelijk zieke leerlingen weer gezond. Hoeveel procent van de leerlingen is op dat moment ziek? (A) 16 %
12. Als a 6= b en a − (A) −4
(B) 17 %
(C) 18 %
(D) 19 %
(E) 20 %
(D) 2
(E) 4
1 1 = b − , dan is ab gelijk aan a b (B) −1
(C) 1
2
13. Als we in 125125 het grondtal en de exponent allebei met vijf vermenigvuldigen, dan wordt het getal zelf vermenigvuldigd met (A) 55
(B) 515
(C) 5145
(D) 5625
(E) 52125
ˆ = 60◦ en Cˆ = 80◦ . Welke van volgende beweringen 14. In een driehoek ABC is Aˆ = 40◦ , B is juist? ˆ (A) cos Cˆ ≥ cos B ˆ (D) tan Aˆ ≥ tan B
ˆ (B) sin Cˆ ≥ tan B ˆ ≥ cos Aˆ (E) sin B
(C) sin Cˆ ≥ 2 sin Aˆ
15. Meneer Enigma zegt: “Als je een kwart van de tijd van middernacht tot nu optelt bij de helft van de tijd van nu tot middernacht, dan heb je precies 7 uur en 12 minuten.” Hoe laat is het nu? (A) 4u.48
(B) 9u.36
(C) 12u.00
(D) 14u.24
(E) 19u.12
16. De verzameling van alle punten (x, y ) waarvoor x + |x| = y + |y | wordt voorgesteld door
(A)
(B)
(D)
(E)
(C)
17. Als de oplossingen van de vierkantsvergelijking x 2 − 61x + c = 0 priemgetallen zijn, dan ligt c in het interval (A) [80, 100] (D) [140, 160]
(B) [100, 120] (E) [160, 180]
(C) [120, 140]
18. Tom Dice gooit elke morgen bij het opstaan ´ e´ en keer met een blauwe en een rode dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat het aantal ogen op de rode dobbelsteen strikt kleiner is dan het aantal ogen op de blauwe dobbelsteen? (A)
1 3
(B)
5 12
1 2
(C)
(D)
7 12
(E)
2 3
19. Boer Bavo kweekt konijnen. In zijn hokken zitten momenteel m moeren (wijfjes) en r rammelaars (mannetjes) met m < r . Hoeveel moeren moet boer Bavo aan het huidige aantal konijnen toevoegen opdat 70 % van het totale aantal konijnen moeren zouden zijn? (A)
7 r 3
(B)
7 m 3
7 m−r 3
(C)
3
(D)
7m − 10r 7 (E) r − m 3 3
20. In een doos zitten 16 ballen genummerd van 1 tot 16. Iemand trekt zonder teruglegging 13 ballen uit de doos. Hoe groot is de kans dat hierbij vier ballen zitten met opeenvolgende nummers? (A) 0 %
(B) 25 %
(C) 50 %
(D) 75 %
(E) 100 %
21. Een vergadering met vijf aanwezigen, uitsluitend elfen of trollen (minstens ´ e´ en van elke categorie), wordt bijgewoond door Aislin, Bevan, Calum, Deirde en Erin. Trollen liegen altijd, elfen spreken altijd de waarheid. Aan de vergadertafel gebeuren de volgende uitspraken: Aislin: “Calum en Deirde zijn allebei elfen.” Bevan: “Ik behoor niet tot dezelfde categorie als Calum.” Calum: “Bevan en Deirde zijn allebei elfen.” Deirde: “Ik ben een elf.” Erin: “Aislin is een elf.” Hoeveel trollen zitten er aan tafel? (A) 1 (D) 4
(B) 2 (C) 3 (E) Het aantal is niet eenduidig te bepalen.
22. Voor elk re¨ eel getal x defini¨ eren we bxc als het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan x. Bijvoorbeeld: bπc = 3 en b−πc = −4. Hoeveel van de volgende gelijkheden gelden voor alle re¨ ele getallen x ≥ 1 en y ≥ 1? bx + by cc bx − by cc bx · by cc bx : by cc (A) 0
(B) 1
(C) 2
= = = =
bbxc + y c bbxc − y c bbxc · y c bbxc : y c (D) 3
(E) 4
23. Een toren bestaat uit 2013 dozen. In de bovenste doos zit 1 appel en in de andere dozen zit telkens 1 appel meer dan in de doos erboven. Elke keer als spookje Boe over de toren vliegt, neemt hij de bovenste doos met a appelen en de doos daar net onder met b appelen weg. Hij eet 2b − ab appelen op en zet een doos met de rest van de appelen weer op de toren. Uiteindelijk blijft er van de toren maar ´ e´ en doos over. Hoeveel appelen zitten in die doos? (A) 0
(B) 1
(C) 2
4
(D) 2013
(E) 20132
24. Een rotatie om hoekpunt M over de kleinst mogelijke hoek brengt een regelmatige vijfhoek van stand 1 in stand 2 (zie figuur).
3 2 M
1
Op dezelfde wijze gaan we van stand 2 naar stand 3 en zo verder. Hoe vaak moeten we deze rotatie uitvoeren om de vijfhoek voor het eerst terug op de oorspronkelijke plaats te doen belanden? (A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(E) 30
25. In de figuur hiernaast is β gelijk aan α
β
(A) 90◦ − α (D) 180◦ − 2α
(B) 90◦ − 2α (E) 180◦ − 3α
(C) 180◦ − α
26. Het kleinste getal dat kan worden geschreven als som van 11, van 12 en van 13 opeenvolgende natuurlijke getallen is (A) 143
(B) 858
(C) 1144
5
(D) 1716
(E) 2013
27. Een vierkant van 2 cm bij 2 cm wordt verdeeld in 3 driehoeken. Wat is dan zeker waar? (A) De grootste van die driehoeken heeft oppervlakte 2 cm2 . (B) De kleinste van die driehoeken heeft oppervlakte 1 cm2 . (C) Minstens 2 van die driehoeken zijn rechthoekig. (D) Geen van die driehoeken is stomphoekig. (E) Minstens 1 van die driehoeken is scherphoekig.
28. Driehoek KOE is gelijkbenig met top K en |OE| = 2. Het midden van [EK] is B. Driehoek BOE is gelijkbenig met top O. De oppervlakte van driehoek KOE is gelijk aan √ √ √ √ (A) 2 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 2 2
29. In de figuur hiernaast is x gelijk aan 2
4 3
6
7
x (A) 7,5
(B) 8
(C) 8,5
(D) 9
(E)
√
185
30. Twee cirkels raken elkaar en hun gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen staan loodrecht op elkaar zoals in de figuur. De verhouding van de straal van de grote cirkel tot die van de kleine cirkel is gelijk aan
√ (A) 2 + 3 √2 (D) 3 + 2 2
(B) 5 (E) 6
(C) 2(1 +
6
√
3)
