Vlaamse Wiskunde Olympiade 2014-2015: eerste ronde 1. Tussen Suske en Wiske staan drie blauwe kopjes op een rij. Suske ziet de kopjes zoals in de figuur. Hoe ziet Wiske de kopjes? (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2. Een repeterend decimaal getal noteren we met een streepje boven de periode. Bijvoorbeeld: 0,3 = 0,333 . . . en 0,09 = 0,090909 . . . Welk van de volgende getallen is het kleinst? (A) 0,01
(B) 0,010
(C) 0,0101
(D) 0,01010
(E) 0,010101
3. Iedere jaargang van de Junior Wiskunde Olympiade (JWO) of de Vlaamse Wiskunde Olympiade (VWO) bestaat uit twee rondes. Elke ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Momenteel loopt de eerste ronde van de veertiende JWO en de dertigste VWO. Sinds de eerste jaargang van JWO werden per ronde vijf dezelfde vragen in JWO en VWO gesteld. Hoeveel verschillende meerkeuzevragen heeft de jury na afloop van de tweede ronde van deze jaargang gesteld? (A) 1250
(B) 1320
(C) 2015
(D) 2500
(E) 2640
4. Sam koopt bij Zolonda 4 kledingstukken en betaalt per kledingstuk gemiddeld 25 euro. Na levering besluit ze een bloesje kosteloos terug te sturen. Ze betaalt uiteindelijk 60 euro aan Zolonda. Wat was de prijs van dat bloesje? (A) 20 euro
(B) 25 euro
(C) 30 euro
(D) 35 euro
(E) 40 euro
5. Marie is vandaag jarig. Het laatste cijfer van haar leeftijd is vandaag dubbel zo groot als gisteren. Het eerste cijfer is nu het dubbele van het laatste. Hoe oud is Marie geworden? (A) 12
(B) 21
6. Als x = 2015, dan is (A) 2x 2
(C) 42
(D) 63
(E) 84
(x + 1)(x − 1) + (1 + x )(1 − x ) gelijk aan (x − 1)(x + 1) − (1 − x )(1 + x )
(B) 0
(C) 1
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2015
1
(D) x 2 + 1
(E)
x2
1 +1
7. Kwak liegt op maandag, dinsdag en vrijdag; op de andere dagen van de week spreekt hij de waarheid. Boemel liegt op dinsdag, woensdag, donderdag en zaterdag; op de andere dagen van de week spreekt hij de waarheid. “Morgen zal ik liegen”, zegt Kwak. “Grappig,” antwoordt Boemel, “ik ook!” Op hoeveel dagen van de week kunnen ze allebei zeggen: “Morgen zal ik liegen”? (A) 0
(B) 1
8. Zij a, b ∈ R0 met a 6= b. Als (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
b a = , dan is a3 + b3 gelijk aan b a (C) a − b
(D) 2a3
(E) 2b3
9. De graad van de veelterm (1 + x 2 )3 (1 − x 3 )4 is gelijk aan (A) 5
(B) 7
(C) 12
(D) 18
(E) 72
10. De hoeken α en β zijn hoeken uit het derde kwadrant en α = 5◦ + β. Welke van volgende uitspraken is correct? (A) sin α = sin 5◦ + sin β (C) sin α < sin β
(B) cos α = cos 5◦ + cos β (D) cos α < cos β (E) tan α < tan β
11. De som van de cijfers van het getal 27 · 33 · 57 is gelijk aan (A) 9
(B) 14
(C) 18
(D) 27
(E) 43
12. Een kubus is opgebouwd uit 27 identieke kubusjes. Hoeveel kubusjes moet je minstens wegnemen opdat de oppervlakte van het bouwwerk kleiner kan worden? (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
13. De rechthoek ABCD ligt in het vierde kwadrant zoals in de figuur. Voor elk hoekpunt delen we het tweede co¨ ordinaatgetal door het eerste co¨ ordinaatgetal. Voor welk punt is deze waarde het kleinst?
(E) 6
y
1
(A) (B) (C) (D) (E)
A B C D Dat is afhankelijk van de grootte van de rechthoek.
2
1 D
x C
A
B
14. Als x x = 5, dan is 5x 5x gelijk aan (A) 52
(B) 53
(C) 54
(D) 55
(E) 56
15. De omtrek van een trapezium is gelijk aan 5. De lengten van de zijden zijn natuurlijke getallen. Hoe groot zijn de kleinste twee hoeken van dit trapezium? (A) 60◦ en 60◦ (D) 30◦ en 60◦
(B) 30◦ en 30◦ (E) 45◦ en 90◦
(C) 45◦ en 45◦
16. Hoe groot is de oppervlakte van de driehoek bepaald door de rechte y = −x + 8 en de co¨ ordinaatassen? (A) 4 17. Als
(B) 8
(C) 16
a+b+c +d +e +f a +b+c +d +e +f
dan is a gelijk aan (A) 3
(B) 4
a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c
+d +d +d +d
+e +f +e +f +e +f +e +f
(C) 5
(D) 32
= = = = = =
(E) 64
25 24 23 22 21 20
(D) 6
(E) 7
18. Professor Ana Lytisch heeft drie sleutelbossen en weet niet meer welke sleutel van de voordeur is. Ze neemt sleutelbos 1 en zegt: “Ik heb 1/3 kans dat de juiste sleutel hieraan hangt.” Jammer genoeg lukt het haar niet met de eerste sleutelbos. Vervolgens neemt ze de tweede sleutelbos waaraan 1 sleutel meer hangt. Ze probeert vijf sleutels van de tweede bos tevergeefs uit en zegt daarna: “De kans dat de volgende sleutel mijn voordeursleutel is, is nu dubbel zo groot als toen ik aan deze bos begon.” Hoeveel sleutels hangen er aan de derde sleutelbos van professor Lytisch? (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
19. De grafiek van de functie f is een rechte. Als f (5) = f (1) + 20 = f (n) − 25, dan is n gelijk aan (A) −8
(B) 0
(C) 5
20. Hoe lang is het langste pad dat je in ´e´en pennentrek kan tekenen over de lijnstukken in volgende figuur, als je elk lijnstuk hoogstens ´e´en keer mag gebruiken?
(D) 10
(E) 12,5 3
4 3
4
4
3 3
(A) 52
(B) 53
(C) 54
3
(D) 55
4 (E) 56
21. Hoeveel natuurlijke getallen n zijn er zodat de kwadratische vergelijking x 2 − nx − 22015 = 0 minstens ´e´en natuurlijk getal als oplossing heeft? (A) 1007
(B) 1008
(C) 2014
(D) 2015
(E) 2016
22. Een veelvlak bestaat uit een aantal vierkanten en acht driehoeken. Elk hoekpunt van dat veelvlak behoort tot precies drie vierkanten en ´e´en driehoek. Het aantal ribben van dat veelvlak is gelijk aan (A) 24
(B) 32
(C) 48
(D) 72
23. Het hart in de figuur bestaat uit twee rakende halve cirkels met straal 1 en twee cirkelbogen met middelpunten A en B. Hoe groot is de zijde van [BC] van de rechthoek ABCD?
(A)
√
13
(B)
√
15
(C) 4
(D)
(E) 96
A
B
D
C
√
17
(E)
√
21
24. Hoeveel driehoeken kan je maken waarvan de drie zijden diagonalen van een gegeven regelmatige achthoek zijn? (A) 8
(B) 16
(C) 18
(D) 20
Q
A
25. In rechthoek ABCD is |AB| = 5 en |BC| = 3. Het lijnstuk [P Q] is evenwijdig met de diagonaal [BD] zoals in de figuur. Hoe groot moet |AP | zijn opdat de oppervlakte van ∆AP Q een derde zou zijn van de oppervlakte van de rechthoek?
(E) 40 B
P
D (A) 2
√ 25 6 (B) 3
(C)
5 2
C (D)
5 3
(E)
√
6
26. Een tuinier moet 20 bomen op ´e´en rij planten. Hij kan kiezen uit platanen en lindes. Tussen 2 platanen mogen nooit precies 3 bomen (platanen of lindes) staan. Wat is het grootste aantal platanen dat de tuinier in deze bomenrij kan planten? (A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
(E) 16
27. De som van de hoeken van een convexe veelhoek, op ´e´en hoek na, is 2015◦ . Hoe groot is de overblijvende hoek? (A) 65◦
(B) 85◦
(C) 105◦ 4
(D) 125◦
(E) 145◦
28. Voor elk oneven getal x is x 3 + 5x 2 + 3x − 9 deelbaar door (A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
29. Hoe groot is de grootste hoek van een driehoek waarvan de zijden vanuit het middelpunt van de omgeschreven cirkel gezien worden onder de hoeken 10◦ , 30◦ en 40◦ ? (A) 80◦
(B) 100◦
(C) 120◦
(D) 140◦
(E) 160◦
30. We kiezen een willekeurig re¨eel getal x uit het interval [0, 5] en een willekeurig re¨eel getal y uit het interval [0, 2]. Wat is de kans dat x groter is dan y ? (A) 40 %
(B) 60 %
(C) 70 %
5
(D) 75 %
(E) 80 %
