1
Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde 1. Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden π van ? 2 (A) sin x = 0 (D) cos 2x = 0
(B) cos x = 0 (E) sin 3x = 0
(C) sin 2x = 0
2. Alle katten met blauwe ogen zijn sloom. Een slome kat kan geen muizen vangen. Alle witte katten hebben blauwe ogen. Ik zag mijn kat Bourbaki een muis vangen. Wat kan je zeker besluiten? (A) (B) (C) (D) (E)
Bourbaki had voordien nog nooit een muis gevangen. Bourbaki is sloom. Bourbaki is niet wit. Bourbaki heeft blauwe ogen. Bourbaki heeft bruine ogen.
3. In een meetkundige rij is de eerste term 1 en de zevende 2. Wat is de vijfentwintigste term? (A) 5
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 16
4. Voor welk van volgende parallellogrammen in het vectorvlak (met oorsprong O) geldt: ~ +R ~ −S ~ = O? ~ P~ − Q
Q.......................................................................................... R
(A)
P
S
5.
r
1 1− 2 × 2 √ (A)
S
R S ............................................................................................... Q
(D)
... .... .... .... ... .... .... ... . . . . . . . .... .... .... .... .... .... ................................................................................................
P
.. .. .... .... ... .... .... .... ... .... . . . . . .... .... .... .... ... .... ...............................................................................................
P
R............................................................................................... Q
(C)
Q.......................................................................................... S
(B)
.. .. .... .... .... .... .... ... ... .... . . . . . . .... .... .... .... ... ... .................................................................................................
... ... .... .... .... .... ... .... . . . . . . . .... .... .... .... .... .... ..............................................................................................
P
(E) Dit hangt af van de ligging van O. r
2 2
1 1− 2 × 3
r
1 1− 2 ×···× 4
5 (B) 7
r
1−
√ 4 3 (C) 7
Copyright Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 2010
1
R
1 = 492 √ 5 2 (D) 7
√ 2 7 (E) 7
6. Als g(x) = 2010 − x2 en f (g(x)) = (A)
119 15
(B) −
1 135
2010 − x2 , dan is f (−15) gelijk aan x2 (C) 1785
(D) −
119 15
(E)
1 225
7. De som van 25 opeenvolgende natuurlijke getallen is steeds deelbaar door (A) 50 (D) 125
(B) 75 (E) Geen van de vorige
(C) 100
8. Kijk naar de rij van opeenvolgende n-demachtswortels van het getal 2010 en hun decimale benadering: √ √ √ 3 4 2010 ≈ 44, 833 2010 ≈ 12, 62 2010 ≈ 6, 696 . . . Bepaal het kleinste natuurlijk getal n zodat de n-demachtswortel uit 2010 kleiner is dan 2. (A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 10
(E) 11
9. Met n! bedoelen we het product van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met n. Zo 2n · n! geldt: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Stellen we nu f (n) = . Voor welk natuurlijk getal n 25n is f (n) het kleinst? (A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
(E) 13
10. In warenhuis RUYLCOT staan 13 kisten met in totaal 2010 appels. Zij x het aantal appels in een kist die er het meeste bevat. Wat is de kleinst mogelijke waarde van x? (A) 152
(B) 153
(C) 154
2
(D) 155
(E) 156
11. Je kan 25 stippen plaatsen in een patroon zoals in de figuur. Daarom is 25 een voorbeeld van een gecentreerd achthoeksgetal. Dit betekent: rond de middelste stip liggen alle stippen op n achthoeken met een stip op elk hoekpunt en achtereenvolgens 2, 3, . . . , n + 1 stippen op elke zijde. Welke natuurlijke getallen zijn precies de gecentreerde achthoeksgetallen?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(A) (B) (C) (D) (E)
•
..... ........ ................ ......... ......... ......... ......... ........ ......... . . . . . . . . ......... ...... . . . . ........ . . . ... .... ...... .. . .. . .. .. . .. .. .. . ................... . . .. .. . . . . . . ......... .. ..... . . . .. . . . . . . . . . . .. ....... ....... .. ... . .. .. .. . ... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. . . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. . . .. . .. .. . . .. . .. .. .. .. .. . . . .. . . .. . . . . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ....... ... .. .. ......... ......... . . . . . .. . . . . . . . . . ........ ........ . .. .......... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ......... .. ......... ......... ........ ......... ......... ......... ........ ........ . . . . . . ......... . . ......... ............... .........
•
•
•
•
•
•
•
Alle achtvouden vermeerderd met ´e´en Alle vijfvouden Alle kwadraten van oneven getallen Alle kwadraten van vijfvouden Alle kwadraten van oneven vijfvouden
12. Er zijn 25 natuurlijke getallen kleiner dan 100 met precies twee positieve delers. Hoeveel natuurlijke getallen kleiner dan 100 hebben precies drie positieve delers? (A) 0
(B) 2
13. Hoeveel is
(A) 1
(C) 3
(D) 4
(E) 8
2 + 22 + 23 + · · · + 22010 ? 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + 2010 2 2 2 2 (B) 2
(C) 22009
(D) 22010
(E) 22011
14. Een driecijferig getal met cijfers a, b en c is gelijk aan a! + b! + c! Hoeveel is dan a + b + c? (A) 7
(B) 8
(C) 10
15. In elke rechthoekige driehoek ABC geldt: (A) (B) (C) (D) (E)
ˆ + sin Cˆ = 0 sin Aˆ + sin B ˆ ˆ + sin 2Cˆ = 0 sin 2A + sin 2B ˆ + sin 3Cˆ = 0 sin 3Aˆ + sin 3B ˆ + sin 4Cˆ = 0 sin 4Aˆ + sin 4B ˆ ˆ sin 5A + sin 5B + sin 5Cˆ = 0
3
(D) 11
(E) 12
16. Drie personen denken elk aan een natuurlijk getal van 1 tot en met 10. De kans dat 7 minstens twee personen aan hetzelfde getal denken, is dan gelijk aan , waarbij n gelijk n is aan (A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
17. Een vlak α is evenwijdig met het grondvlak van een piramide T ABCD en verdeelt die piramide in twee delen met gelijke inhoud. Als H het voetpunt is van de loodlijn uit de top T op het grondvlak ABCD en H 0 het voetpunt is van de loodlijn uit T op het vlak α, |T H 0 | dan is gelijk aan |T H|
(E) 50
T ..... ......... ... ..... ..... .. .. .. ... .. ... ... . .. ... ..... . . .. .. . .. ... .. . .. .. ... .. . .... .... .. . .. .... ... ... .... .. ... .. .. ... .. . .. ... .. ... ... .. ... ... .. . ... .. .. ... ... .. .. .. ... ... ... .. ... . ... .. ... .. .... . ... ... .. ... ... ... .. ....... . ... . ... . . . ... ..... ... ...... ....... ... . . . ....... . . . ... . . . .. .... ..... ..... .. ... . . . ........ ... . .. . .... . . . . ... .. . .. ... .. ... ... ... .. .. ..... . . 0 .. .. ... ...... ......... .. .... . . . ... . . . . . .... .... . ... ..... ... .. ... ... . ... .. ....... ... ... .. ... .... .. ....... . . .. .. .. .. . . . . . ..... ... ..... .. .. . .. ..... .... ....... . . . . ... . ............................................................................................................... . . ... . ... .. .. .. ... ... .... .. . .. . . .. . ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ... .. .. .. . . ... .. .. .. .. .. .. .. .... .. . .. . .. . .. . ... ....................................................................................................................................................
D
•H
C
•
H
A (A)
1 2
√ 3 2 (B) 2
√ 3
3 2
(C)
B (D)
√ 3
4 2
(E)
√ 3
5 2
18. De waarde van een edelsteen is recht evenredig met het kwadraat van zijn massa. Een waardevolle edelsteen breekt bij het slijpen in twee ongelijke stukken. Samen behouden beide stukken nog 52% van de oorspronkelijke waarde. Bepaal de verhouding van de massa’s van het grootste tot het kleinste stuk van de edelsteen. (A) 2 : 1
(B) 3 : 1
(C) 4 : 1
4
(D) 3 : 2
(E) 4 : 3
D..0....................................................................................................................................................................................C 0
A0 B 0 C 0 D0 19. In de kubus met ribbe 1 ABCD beschouwen we de regelmatige viervlakken ACB 0 D0 en BDA0 C 0 (zie figuur hiernaast). De unie van deze twee viervlakken is een nieuw, niet convex, veelvlak V . Het volume van dat veelvlak V is gelijk aan
A
.. ... ........... .... .... ...... ...... .... ............ .... .... .. . ... ................ .... . ... .... .... .... ................................. ... .. .... . .... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........................................ .... .... .... . .. .... ... . . . . . . . . . . . . ..... ... .... .... .. ... .... ... ..................................... .. . .. ... .... ................................................. .... ................ .. .... ... . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... .. ................... . .... ............................. .... . ... . .... . . . . . . . . .. .... . .... . .. ... .... ........................................ ... . .... .... ... . . . . . . ... ............................... .... . ....... ... . . . . ... 0........................................................................................................................................................................................................... 0 . . . ... . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... ..... ... . . .. ................................................................................... ... ... .. .. . ... .. ... ... . .. ..................................................................... ... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . ................................................. . . . .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .............................................................................. .. ... . ... . . ... ... ..................................................... .. .. .... . ... ................................................................................... .. ... ... .. .... ... .............................................................................................. ..... ... . ... .. ................................................................................. .... ........ ............ . ... .... .......... ................................ .... . . . ..... .. . . . . .................... .. .... ............... ................................................ ..... ... .................... ... ... . ... ............. . ..... ... ........... . ..................... . . . . . . ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . .. ............. .. . ............................................. ................................. . .... ... . . . . . . . . ................. .... . . . ... ........................................................ ..... ....... ............................... .... .... ... .......................................................... ...................... ... ...................................... .. ... ... . ......................... .......................................... . . . ... . . . . .. . ... ..................................................... ......................................... . .. ... ............................................. .... ..... ....................... .. .. ....... ... ......................................................................... ... . . . . . . . . . . . . ... . . . . .................................................. .. .. .. ... .... .................................................... . . .... . ... .................................................................................. .. . ... .. .... .... ... ..................................................................................... .. .. .. .. ... . ... ........................................................................................... .. . .... . . .. ... .. ... . ... ..................................................... .. . ... ... ... ... ... ... ............................................................... .... .... ... ... . ...... ... .............................................. .. .... . . .... . . . ... .............................. .. . ... . ... ... .......................... .. ........ ... ... ...............................................................................................................................................................................
B
A (A)
1 3
(B)
1 2
√ 3 (C) 3
C
B
(D)
3 4
(E)
5 6
20. Welke van de volgende figuren is geen ontwikkeling van een veelvlak?
(A)
(D)
.... ..... ....... ...... ...... .. ...... ...... .... ........... ...... .... ........... ...... ...... ...... ...... ... ... ...... ................ ...... ... . ............ ... . .... .. ... .. .. ....... .. ...... ... ....... .... ......... ...... ... ........... .... ........... ... ........... ..... .. ...... ... ...... ...... ... ...... . ... ... . .......... ........... . ... . . . . . . . . . . . . . .... . .. .. ..... ........... ...... ........... .. ...... ...... ... ........... ...... .... ...... ... ...... .... ........... ...... .. ...... ... ....
... ... ... .. .... ... ... . .. .. ... ... ........................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ...... .. . . . . ... ... .... ... .... .. ... .. ... .. ... ... ... .. .. . . . ... .. ... ... ... . . . ..................................................................................... .... .. . .. . ... ..... .. .... .. ..... . . . ... ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... ... .... ... .... ... ... . . ... ... . ........................................... .......................................
(B)
(E)
... ...... .. ....... ... ..... ... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ........... ...... .. .. .. ........ ...... .... . . . . . . . . ...... ..... . . ... . . . . . . . . . . . . .. ....... . ............ . . . . . . ... . .. ... ....... . ....... ... ....... .. ....... .... ...... .. ........................................................ .... ... . . . . ... . . ... ............ ............
(C)
............................................................................ .. .. .. ... ... .. .. .. ..... .. .. .. .. .. . . . . . . ... .. ... .. .. .. ... .. ............................................. ... .. ... .. . .. .. ... .. . .. . .. ... ... .. ....
. ..... ..... ... ... .. .. .. .... .. .... .. ... .. .. . . . . ... . . .. .. .. ... .. .. . ... ... ....................................................................................................................... . .. .... .. ... .. .... .. . . . . .. . .. . .. .. . . . . . . . . .. ... ... . ... ... ... ... .. ... .... .. .... .. .... ... .. ... ... .. ... .. .. . ... .......................................................................................................................... ... .. ... .. ... .... ... .. ... ... ... ... .... ... ....... . ......................................
x 1 en x1 = , x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), . . ., x23 = f (x22 ), x24 = f (x23 ) = 1. 1−x a Dan is a gelijk aan
21. f (x) =
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 24
(E) 25
22. De kleuren van een club zijn rood, wit, blauw. Bij wedstrijden dragen de fans van die club twee kousen van dezelfde kleur, een short, een shirt, een sjaal en een pet. Elk van die kledingstukken is in ´e´en van die drie kleuren en zo dat in de kledingcombinatie van iedere fan precies drie kleuren voorkomen. Hoeveel verschillende uitrustingen zijn zo mogelijk? (A) 146
(B) 147
(C) 150
5
(D) 231
(E) 243
23. Van een gelijkbenig trapezium met kleine basis 8 en grote basis 12, staan de diagonalen loodrecht op elkaar. Hoe groot is de oppervlakte van dat trapezium? (A) 64
(B) 76
(C) 96
(D) 100
(E) 144
24. De afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven en de omgeschreven cirkel van een driehoek met zijden 6, 8 en 10 bedraagt √ √ √ (C) 2 (E) 2,5 (A) 2 (B) 3 (D) 5
10 25. Een zeshoek is omgeschreven aan een cirkel en vijf van de zijden hebben achtereenvolgens als lengte 10, 12, 14, 16 en 18 zoals in de figuur. Hoe lang is dan de zesde zijde?
................................................................................................ ............... ... .... .......... ... ........... ....... .............. . ..... . ....... ..... . . ..... ...... . . . ........ ... . ........ . .. . ....... . ... .... .. . . ... ..... .. . . . . ... .... ..... ... . . .. .... . ... . .. .. ... . .. ... . .. . .. ... . . .. ... .. .. . . ... ... .... ... .. .. .. ... ..... ...... .... ... .. . ....... ... ... .. ... .. .. . ... ... ... ... ... . ... .. . . ...... ... ..... ...... .... .... .... ... .. .... ... . ... ... .. ... ... .. .... ... .. ....... ... .... . . . . ....... . ... .. ........ .... .. ... ..... .... .. ... ...... .... ................................... . . ... .......... . . . . .......... ... ...... ... ................ ..................... ... .................................. ... ................ ..................................
12
?
14
18
16
(A) 20
(B) 19
(C) 16
26. In een cirkelsector AOB met middelpuntshoek π gelijk aan kiest men willekeurig een punt C 2 zoals in de figuur. Wat is de kans dat de hoek [ stomp is? OCA
(D) 15
(E) 14
... ... ... ... ... ................................ .......... .. ... . . . ............ .... . . . . . . . . ........ .... .. ... . . . . . . ...... .... . . . . . . . . . . . . ...... ... .. ... . . . . . . . . . . . . . . ...... .... . . . . . . . ... .. .. ... . . . . . ................. . . . . . . .... .... . . ...... . ........... . . . ... . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . ... . ... . . ....... . . . . . . . .......... . . . ..... .... ..... . . . . . ......... . ... ..... .. .. ..... . .. . . . . . . . ..... . .............................................................................................................................................. .... .. ...
B
C •
O
(A)
1 4
(B)
1 3
1 2
(C)
(D)
A
1 π
(E)
2 3
27. Een driehoek heeft zijden 7, 24 en 25. Hoe lang is de hoogte uit de grootste hoek? (A) 6
(B) 6,25
(C) 6,72
(D) 7
(E) 7,29
28. In een driehoek met zijden a, b en c geldt (a+b+c)(a+b−c) = ab. Bepaal de overstaande hoek van de zijde c. (A) 30◦
(B) 60◦
(C) 90◦
6
(D) 120◦
(E) 150◦
29. Beschouw een punt D op het lijnstuk [BC[ van een gelijkzijdige ∆ABC. Op [AD [ beschouwen we het punt E zodat |BA| = |BE|. Bepaal AEC. (A) 15◦
(B) 20◦
(C) 25◦
(D) 30◦
(E) 35◦ C4 C3 C2
30. Gegeven zijn vier concentrische cirkels C1 , C2 , C3 , C4 . Er zijn ook 3 even lange koorden gegeven, die even lang zijn als de diameter van C1 : een koorde van C2 die raakt aan C1 , een koorde van C3 die raakt aan C2 en een koorde van C4 die raakt aan C3 . Welk van de vier aangeduide gebieden heeft de grootste oppervlakte?
(A) A (D) D
C1
(B) B (C) C (E) De 4 gebieden zijn even groot.
7
A
B C D
