Junior Wiskunde Olympiade 2014-2015: tweede ronde 1. De massa van zout en de massa van zuiver water in zeewater verhouden zich als 7 en 193. Hoeveel kilogram zout zit er in 1000 kg zeewater? (A) 35 kg
(B) 36 kg
(C) 37 kg
(D) 38 kg
(E) 39 kg
2. Welke van volgende uitspraken is fout? (A) 2 is een deler van 2112 (B) 3 is een deler van 321123 (C) 4 is een deler van 43211234 (D) 5 is een deler van 5432112345 (E) 6 is een deler van 654321123456
3. Welke van de volgende ruimtefiguren heeft het grootste volume? (A) Een bol met diameter 1 (B) Een kubus met ribbe 1 Een piramide met hoogte 1 en met grondvlak een vierkant met zijde 1 (D) Een cilinder met hoogte 1 en diameter van het grondvlak 1 (C)
(E) Een kegel met hoogte 1 en diameter van het grondvlak 1
4. Een gelijkbenige driehoek heeft een hoek van 100◦ . Dan geldt: (A) Twee van de hoeken van die driehoek zijn gelijk aan 100◦ . (B) Twee van de hoeken van die driehoek zijn gelijk aan 80◦ . (C) Twee van de hoeken van die driehoek zijn gelijk aan 60◦ . (D) Twee van de hoeken van die driehoek zijn gelijk aan 40◦ . (E) Twee van de hoeken van die driehoek zijn gelijk aan 20◦ .
5. De elfjes Iene, Miene en Mutte ontmoeten elkaar op een verlaten wolk. Iene zegt: “Ik zie 10 vleugels.” Miene zegt: “Ik zie 8 vleugels.” Mutte zegt: “Ik zie 6 vleugels.” De elfjes kunnen hun eigen vleugels niet zien, maar wel die van de anderen. Hoeveel vleugels heeft Mutte? (A) 6
(B) 8
(C) 9
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2015
1
(D) 10
(E) 12
6. Van een rijtje van vijf opeenvolgende natuurlijke getallen, dat begint met het getal m, is het gemiddelde gelijk aan n. Wat is het gemiddelde van het rijtje van de vijf opeenvolgende natuurlijke getallen dat begint met het getal n? (A) m + 3
(B) m + 4
(C) m + 5
(D) m + 6
(E) m + 7
7. Emma heeft hoogstens 40 snoepjes. Als ze er twee opeet, dan kan ze de rest eerlijk verdelen over haar vier broertjes. Als ze er maar ´e´en opeet, dan kan ze de rest eerlijk verdelen over haar vier broertjes ´en de drie buurmeisjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk buurmeisje dan? (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
8. Als x en y gehele getallen zijn met x > 2015 > y , dan is de kleinst mogelijke waarde van x 2 + y 2 − 2x y gelijk aan (A) −4
(B) 0
(C) 1
(D) 4
(E) 4064256
9. E´en Brits pond is 25 % meer waard dan ´e´en euro. E´en Amerikaanse dollar is 20 % minder waard dan ´e´en euro. Hoeveel procent is ´e´en Amerikaanse dollar minder waard dan ´e´en Brits pond? (A) 20 %
(B) 36 %
(C) 45 %
(D) 56,25 % (E) 60 %
10. Wat is het grootste getal dat je kan verkrijgen door twee getallen uit de verzameling ß
1 1 −20, −12, − , , 1, 11 3 5
™
door elkaar te delen? (A) 11
(B) 33
(C) 55
(D) 60
(E) 100
11. Welke van volgende figuren is geen ontvouwing van een kubus?
(A)
(B)
(D)
(E)
(C)
12. Sam vermenigvuldigt twee natuurlijke getallen die elk uit twee cijfers bestaan en verkrijgt 2015. Wat is de som van die twee getallen? (A) 44 (D) 96
(B) 49 (C) 89 (E) Onmogelijk te bepalen
2
13. In een kubus met ribbe 4 hangt een kubus met ribbe 2 aan acht even lange kabels zoals in de figuur. Wat is de lengte van zo’n kabel?
(A)
√
2
14. De uitdrukking (A)
(B)
√
(C) 2
3
√ (D) 2 2
(E) 3
1 1 √ √ + is gelijk aan 1 − 2015 1 + 2015
−1 1007
(B)
−1 2014
1 1007
(C)
(D)
1 2014
(E) 1
15. Het natuurlijk getal n is een volkomen kwadraat. Hoeveel groter is het eerstvolgende volkomen kwadraat? (A) n2√− n (D) 2 n + 1
(B) 3n (E) 1
(C) 2n + 1
16. Hieronder zie je een deel van de dienstregeling van de bussen tussen het centrum en het station. De bussen rijden dag en nacht om de 10 minuten. richting Station
richting Centrum Station Neptunuskaai Uranuslaan Saturnusring Jupiterdreef Marsweg Venusstraat Mercuriuslei Centrum
6.00 6.04 6.11 6.14 6.19 6.22 6.26 6.29 6.32
6.10 6.14 6.21 6.24 6.29 6.32 6.36 6.39 6.42
6.20 6.24 6.31 6.34 6.39 6.42 6.46 6.49 6.52
Centrum Mercuriuslei Venusstraat Marsweg Jupiterdreef Saturnusring Uranuslaan Neptunuskaai Station
6.00 6.03 6.06 6.10 6.13 6.18 6.21 6.28 6.32
6.10 6.13 6.16 6.20 6.23 6.28 6.31 6.38 6.42
6.20 6.23 6.26 6.30 6.33 6.38 6.41 6.48 6.52
Hoeveel bussen zijn er minstens nodig om deze dienstregeling uit te voeren? (A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 13
(E) 14
17. Het gemiddelde van twee positieve getallen is 30 % kleiner dan het grootste van deze getallen. Hoeveel procent is het gemiddelde groter dan het kleinste getal? (A) 20 %
(B) 25 %
(C) 30 %
3
(D) 70 %
(E) 75 %
18. In een cirkel met middelpunt O en straal r wordt vanuit een punt A op de cirkel een cir¯ met als middelpunt A en zelfde kelboog BO straal geconstrueerd. Een identieke con˜ DO, ¯ ¯ structie levert de cirkelbogen CO, EO, ˜ ˜ F O en AO zoals in de figuur. Vanuit de punten A, B, C, D, E en F worden loodlijnen neergelaten op respectievelijk F O, AO, BO, CO, DO en EO. Bepaal de oppervlakte van het gekleurde deel. (A)
πr 2 12
(B)
πr 2 8
(C)
B
C
O
A
D
F
πr 2 6
(D)
E
πr 2 4
(E)
πr 2 2
19. Hoeveel natuurlijke getallen zijn een deler van zowel 211 · 314 als 312 · 513 ? (A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
20. Abdul vult kolom per kolom een rooster met alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 2015 zoals in de figuur. Als 60 in de tweede kolom staat, in welke kolom staat dan 1302?
(E) 15
1 2 3
2014 2015
(A) 21
(B) 31
(C) 41
(D) 42
(E) 43
(D) 11111
(E) 111111
21. Het getal 3333 | {z. . . 3} is deelbaar door 2015 drietjes
(A) 11
(B) 111
(C) 1111
22. Osko tekent verschillende kruisen met buitenafmetingen 3, 5 en 7. ❤ ❤
❤ ❤
❤ ❤
×
❤
×
× ❤× ❤× ❤
❤
❤
❤
❤
❤
× ❤× ❤ ❤× ❤× ❤× ❤× ❤× ❤ ❤× ❤ ❤
❤
×
❤
❤
In elk van de vakjes schrijft hij ❤ of × met telkens ❤ aan de buitenkant. In de middelste figuur (met buitenafmeting 5) kan hij zo acht keer ❤ × ❤ vormen. Hoeveel keer vormt hij ❤ × ❤ indien hij een kruis met buitenafmeting 11 op een analoge manier invult? (A) 25
(B) 32
(C) 44 4
(D) 48
(E) 50
23. In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 trekt men zoals in de figuur een loodlijn op de schuine zijde die de oppervlakte van de driehoek in twee delen met dezelfde oppervlakte verdeelt. Dan is x gelijk aan
3
x
4 (A) 2,5
(B) 3
(C) 4
(D) 1 +
√
3
√ (E) 2 2
24. Het natuurlijk getal N bestaat uit drie cijfers. Door het laatste cijfer van N vooraan te plaatsen, verkrijg je het getal 2N − 1. Wat is dat laatste cijfer? (A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
25. De verhouding van de volumes van twee kubussen is a. De verhouding van hun totale oppervlaktes is b. Dan geldt (A) a = b
(B) a2 = b
(C) a = b2
(D) a3 = b2
(E) a2 = b3
26. Een driehoek heeft hoogtelijnen met lengte 12, 15 en 20. Hoe lang is de langste zijde? (A) 15
(B) 18
(C) 20
(D) 24
(E) 25
27. Als het in Knokke minstens 27◦ C ´en zonnig is, dan zit het strand overvol. Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol. Wat kan je dan besluiten over het weer op die dag? (A) Als het minstens 27◦ C was, dan was het zonnig. (B) Als het minder dan 27◦ C was, dan was het zonnig. (C) Als het minder dan 27◦ C was, dan was het niet zonnig. (D) Het was minder dan 27◦ C en het was niet zonnig. (E) Het was minder dan 27◦ C of het was niet zonnig.
28. In een driehoek met zijden 3, 4 en 5 verdelen we de langste zijde in drie delen met lengte 1, 2 en 2 zoals in de figuur. Dan geldt
1 2 3
2
α
4 (A) α = 30◦ (D) 45◦ < α < 60◦
(B) 30◦ < α < 45◦ (E) α = 60◦
5
(C) α = 45◦
29. Een stok van 70 cm breekt in twee. Op minder dan 10 cm van een uiteinde breekt de stok nooit. Wat is de kans dat het verschil tussen het grootste en het kleinste deel minstens 10 cm is? (A) 40 %
(B) 50 %
(C) 60 %
(D) 70 %
(E) 80 %
30. De zijden van ruit ABCD hebben lengte 1. De punten P op [AB] en Q op [BC] vormen samen met D een gelijkzijdige driehoek met zijde 1. De punten P en Q zijn geen hoekpunten van de ruit. De grootste hoek van de ruit is gelijk aan (A) 92◦
(B) 94◦
(C) 96◦
6
(D) 98◦
(E) 100◦
