Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012: tweede ronde 1. Op hoeveel manieren kan deze ronde van de wiskunde olympiade opgelost worden met precies ´ e´ en antwoord dat foutief of blanco is? (A) 30
(B) 120
(C) 150
(D) 294
(E) 295
2. Van supers gaan er 64 in een kilogram en van jumbo’s 40. Hoeveel weegt een jumbo meer dan een super? (A) 6,25 g
(B) 7,5 g
(C) 8 g
(D) 9,375 g
(E) 10 g
3. In de figuur is sin β + cos γ gelijk aan γ 8 β 6 (A)
4 5
(B)
4 3
7 5
(C)
(D)
8 5
(E)
25 12
4. Welk cijfer moet op de plaats van het vraagteken staan in de volgende gelijkheid? 29973 = 26 919 080 9?3
(A) 1
5. Als
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9
(D) 2012
(E) 2013
x 1 x +y = , dan is gelijk aan y 2012 x (A)
6. De som (A)
2012 2013
√ √
12 +
39
(B)
√
2013 2012
27 is gelijk aan √ (B) 72
(C) 2011
(C)
√ 75
Copyright Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2012
1
(D)
√
90
(E)
√
108
7. Welke van de volgende drie uitdrukkingen zijn gelijk aan elkaar voor alle a ∈ R\{1}? a+
a a−1
a·
a a−1
a−
a 1−a
(A) Geen enkele, want ze zijn alle drie verschillend. (B) Slechts de eerste en de tweede. (C) Slechts de eerste en de derde. (D) Slechts de tweede en de derde. (E) Alle drie zijn ze aan elkaar gelijk.
8. Hoeveel verschillende re¨ ele getallen (A) 2
(B) 3
x y z + + bestaan er, waarbij |x| = |y | = |z| 6= 0? y z x (C) 4
(D) 5
(E) 6
9. De gemiddelde leeftijd van de leerkrachten wiskunde van onze school is 44 jaar. Er zijn 12 leerkrachten wiskunde inclusief de co¨ ordinator. Laten we die laatste buiten beschouwing, dan stijgt die gemiddelde leeftijd met 1 jaar. Hoe oud is de co¨ ordinator? (A) 32
(B) 33
(C) 44
(D) 55
(E) 56
10. Een trapezium is omgeschreven aan een cirkel. Een opstaande zijde van het trapezium vormt met twee middellijnen van de cirkel de hoeken α en β zoals in de figuur. Voor de som van die hoeken geldt:
α
β
(A) α + β <
π 3
(B) α + β =
(D) α + β =
π 2
(E)
π 3
(C)
π π < α+β < 3 2
π 2π < α+β < 2 3
11. Septimus schrijft zeven opeenvolgende natuurlijke getallen neer en stelt vast dat de som van de kwadraten van de kleinste vier gelijk is aan de som van de kwadraten van de grootste drie. Het middelste van die zeven getallen is (A) 12
(B) 15
(C) 18 2
(D) 21
(E) 24
12. Wat is de grafiek van (x − y )2 − (x − y ) = 6? (A) ´ e´ en rechte (D) een bergparabool
(B) twee rechten (E) een cirkel
(C) een dalparabool
√ 13. Als x < 0, dan is −x 7 gelijk aan √ √ 3 −x (A) −x√ (B) −x 3 x (E) geen van de vorige (D) x 3 −x
√ (C) x 3 x
14. In de winkel van Ahmed blijken de appelen 20 % goedkoper dan de kiwi’s en de kiwi’s 40 % duurder dan de bananen. Dan zijn (A) de bananen 12 % goedkoper dan de appelen. (B) de bananen 20 % goedkoper dan de appelen. (C) de bananen 28 % goedkoper dan de appelen. (D) de appelen 12 % duurder dan de bananen. (E) de appelen 28 % duurder dan de bananen.
15. Een balk heeft gehele lengte, breedte en hoogte die elk groter zijn dan 1. Het volume van de balk is 2012. Hoeveel bedraagt de som van de oppervlaktes van de zes zijvlakken? (A) 924
(B) 2012
(C) 4032
(D) 6036
(E) 12072
16. Als F (x) = x 2012 · (x − 1)2012 , dan is F (3) · F (4) gelijk aan (A) F (5)
(B) F (6)
p
17. De uitdrukking p
7+ 7−
√
√
13 13
7 (A) 6
(C) F (7)
(D) F (9)
is gelijk aan
(B)
7+
√
√ 7 − 13 √ (C) 7 + 13
13
6√ 7 + 2 13 √ (E) 7 − 2 13
6 √ (D) 7 + 13
(E) F (12)
18. Het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan x wordt voorgesteld door bxc. Voorbeelden zijn: bπc = 3, b−πc = −4 en b2012c = 2012. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking x 4 − bxc = 4? (A) 0
(B) 1
(C) 2 3
(D) 3
(E) 4
19. Kies twee van de zes getallen 1, 3, 4, 7, 8, 9 en tel ze bij elkaar op. Tel daarna ook de vier andere getallen bij elkaar op. Maak het product van de twee sommen. De grootst mogelijke waarde van dit product is (A) 196
(B) 220
(C) 255
(D) 256
(E) 288
2012 20. Als x het grootste geheel getal is waarvoor 2 een geheel getal is, dan is x gelijk x − 18 aan (A) 19
(B) 20
(C) 22
(D) 32
(E) 2030
21. De bissectrice (deellijn) van de scherpe hoek gevormd door de rechten y = x en y = 3x heeft een richtingsco¨ effici¨ ent die gelijk is aan (A) het rekenkundig gemiddelde van 1 en 3, nl. 2. √ (B) het meetkundig gemiddelde van 1 en 3, nl. 3. 3 2 1 = 2. 1+ 3 r 12 + 32 √ = 5. (D) het kwadratisch gemiddelde van 1 en 3, nl. 2 √ 1+ 5 (E) het getal van de gulden snede, nl. . 2
(C) het harmonisch gemiddelde van 1 en 3, nl.
22. Een doos heeft een vierkante bodem van 8 bij 8 cm. Op die bodem liggen 4 bollen elk met straal 2 cm. Boven op die vier bollen, in het midden, wordt een vijfde bol, ook met straal 2 cm, gelegd. Wat is de afstand van het hoogste punt van de vijfde bol tot de bodem van de doos? √ √ (C) 6 (A) 2 2 √ (B) 2(1 + √ 2) (E) 2(2 + 3) (D) 2(2 + 2)
23. Hoeveel bedraagt de sinus van de hoek tussen twee zijvlakken van een regelmatig achtvlak (octa¨ eder) welke een ribbe gemeen hebben? r √ √ 1 2 2 2 3 (A) √ (E) 1 (B) (C) (D) 3 3 3 2 4
24. De firma Sleutelbosch ontwerpt een type sleutels, waarbij het getand gedeelte in zes zones is verdeeld. In elke zone komt ´ e´ en van de patronen A, B of C voor (zie figuur): patroon A, B of C
6 zones Hoeveel verschillende sleutels van dit type zijn er mogelijk, als elk van de drie patronen precies twee keer voorkomt? (A) 36
(B) 64
(C) 72
(D) 90
(E) 729
25. De vijfhoek ABCDE is ingeschreven in een [ = 75◦ en dat cirkel zodanig dat BAE
A
|BC| = |CD| = |DE|.
75◦
[ gelijk aan Dan is BCD
E
D B C (A) 110◦
(B) 120◦
(C) 130◦
(D) 140◦
26. In het midden van een vierkante tuin van 12 meter op 12 meter bevindt zich een vierkant bloemperk van 4 meter op 4 meter. Het midden van het bloemperk valt samen met het midden van de tuin en de vier zijden van het bloemperk zijn evenwijdig met de vier zijden van de tuin (zie nevenstaande figuur). Als iemand vanuit hoekpunt A naar het overstaande hoekpunt B wandelt zonder het bloemperk te betreden, dan is de kortst mogelijke afstand (in meter) die hij aflegt √ (A) 12√ 2 + 8 (D) 8 5
√ (B) 8√ 2 + 8 (E) 4 5
(E) 150◦
A
B
√ (C) 12 2 − 8
27. Noem r de straal van de ingeschreven cirkel en R de straal van de omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek. De omtrek van die driehoek is gelijk aan (A) 2(r + R) (D) 4r + 2R
(B) 2r + 4R (E) 4(r + R) 5
(C) 3(r + R)
28. Driehoek ABC is rechthoekig in B. Op [AB] neemt men een punt D en op [BC] een punt E zodat |AD| = 4 en |EC| = 3. M is het midden van [DE] en N het midden van [AC]: B D |
M |
4 ||
A
E
3
||
N
C
Dan is |MN| gelijk aan (A) 2,5
(B) 2,75
(C) 3,25
(D) 3,5
29. In een rechthoekige gelijkbenige driehoek ABC wordt de tophoek Aˆ in drie gelijke delen verdeeld. Hierdoor wordt de hypotenusa in drie stukken [BD], [DE] en [EC] opgedeeld. Dan geldt:
(E) 3,75
B
D E
A √ (A) |AD| = √2|BD| (D) |AD| = 3|DE|
√
C (C) |BD| = 2|DE|
(B) |BD| = 2|DE| (E) |AB| = 3|DE|
30. Bram en Ward gooien herhaaldelijk een eerlijk muntstuk op. Bij kop krijgt Bram een punt en bij munt krijgt Ward een punt. Ze spelen totdat iemand twee punten meer heeft dan de andere. Als je weet dat Bram op het einde van het spel 11 punten heeft, wat is dan de kans dat hij gewonnen heeft? (A)
1 5
(B)
1 2
2 3
(C)
6
(D)
3 4
(E)
4 5
