Mekanika
VII. MOMENTUM LINEAR DAN TUMBUKAN 1. PUSAT MASSA Dalam gerak translasi, tiap titik pada benda mengalami pergeseran yang sama dengan titik lainnya sepanjang waktu, sehingga gerak dari salah satu partikel dapat menggambarkan gerak seluruh benda. Tetapi, walaupun di dalam geraknya, benda juga berotasi atau bervibrasi, akan ada satu titik pada benda yang bergerak serupa dengan gerak partikel, titik tersebut disebut pusat massa. m1 m2 mn x1 x2 xn Misalkan terdapat n buah partikel dengan massa masing-masing, m1, m2, ..., mn, sepanjang garis lurus dengan jarak dari titik asal masing-masing x1, x2, ..., xn didefinisikan mempunyai koordinat pusat massa : m1x1 + m2x2 + ... + mn xn m1 + m2, + ... + mn mixi mi mixi M Dengan cara yang sama bila partikel terdistribusi dalam 3 dimensi (ruang), koordinat pusat massanya adalah mixi M miyi M mizi M Untuk benda pejal, misalkan bola, silinder dsb, dianggap benda tersebut tersusun atas partikel-partikel yang terdistribusi secara kontinu. Bila benda terbagi menjadi n buah elemen dengan massa masing-masing m dan untuk m 0 koordinat pusat massanya :
37
Mekanika
mixi mi
x dm dm
x dm M
miyi mi
y dm dm
y dm M
mizi mi
z dm dm
z dm M
2. GERAK PUSAT MASSA Terdapat sekumpulan partikel dengan massa masing-masing : m1, m2 , ... , mn dengan massa total M. Dari teori pusat massa diperoleh : M rpm = m1r1 + m2r2 + ... + mn rn dengan rpm adalah pusat massa susunan partikel tersebut. Bila persamaan tersebut dideferensialkan terhadap waktu t, diperoleh M drpm /dt= m1 dr1/dt + m2 dr2/dt + ... + mn drn/dt M vpm = m1v1 + m2v2 + ... + mn vn Bila dideferensialkan sekali lagi, diperoleh M dvpm /dt= m1 dv1/dt + m2 dv2/dt + ... + mn dvn/dt M apm = m1 a1 + m2 a2 + ... + mn an Menurut hukum Newton, F = m a, maka F1 = m1 a1, F2 = m2 a2 dst.
F1 F2
Fn M apm = F1 + F2 + ... + Fn Jadi massa total dikalikan percepatan pusat massa sama dengan jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada sekelompok partikel tersebut. Karena gaya
38
Mekanika
internal selalu muncul berpasangan (saling meniadakan), maka tinggal gaya eksternal saja M apm = Feks Pusat massa suatu sistem partikel bergerak seolah-olah dengan seluruh sistem dipusatkan di pusat massa itu dan semua gaya eksternal bekerja di titik tersebut.
3. MOMENTUM LINEAR Untuk sebuah partikel dengan massa m dan bergerak dengan kecepatan v, didefinikan mempunyai momentum : p = m v. Untuk n buah partikel, yang masing, masing dengan momentum p1, p2 , ... , pn, secara kesuluruhan mempunyai momentum P, P = p1 + p2 + ... + pn P = m1v1 + m2v2 + ... + mn vn P = M vpm “Momentum total sistem partikel sama dengan perkalian massa total sistem partikel dengan kecepatan pusat massanya”. dP/dt = d(Mvpm)/dt = M dvpm/dt dP/dt = M apm Jadi Feks = dP/dt
4. KEKEKALAN MOMENTUM LINEAR Jika jumlah semua gaya eksternal sama dengan nol maka, dP/dt = 0 atau
39
Mekanika
P = konstan Bila momentul total sistem P = p1 + p2 + ... + pn, maka p1 + p2 + ... + pn = konstanta = P0 Momentum masing-masing partikel dapat berubah, tetapi momentum sistem tetap konstan.
5. SISTEM DENGAN MASSA BERUBAH
t + t
t
M
M v
u
M - M v + v
Sebuah sistem bermassa M dengan pusat massa bergerak dengan kecepatan v. Pada sistem bekerja gaya eksternal Feks. Selang waktu t sistem melepaskan massaM yang pusat massanya bergerak dengan kecepatan u terhadap pengamat dan massa sistem berubah menjadi M - M dan kecepatannya menjadi v + v. Dari hukum Newton, Feks = dP/dt Feks P/t = (Pf -Pi)/ t dengan Pi adalah momentum mula-mula = M v, dan Pf adalah momentum akhir = (M - M) (v + v) + M u Feks [{(M - M) (v + v) + M u} - M.v ] /t Feks = M v/t + [ u - (v + v) ] M/t Untuk v 0, v/t dv/dt M/t - dM/dt v 0 maka Feks = M dv/dt + v dM/dt - u dM/dt atau Feks = d(Mv)/dt - u dM/dt atau Feks = M dv/dt + (v - u) dM/dt
40
Mekanika
M dv/dt = Feks + (u - v) dM/dt dimana (u - v) merupakan kecepatan relatif massa yang ditolakkan terhadap benda utamanya. M dv/dt = Feks + vrel dM/dt Untuk kasus roket, vrel dM/dt merupakan daya dorong roket. 6. IMPULS dan MOMENTUM Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif.
v’
v
Perubahan gaya impulsif terhadap waktu ketika terjadi tumbukan :
F(t)
Fr
t t Tampak bahwa gaya impulsif tersebut tidak konstan. Dari hukum ke-2 Newton diperoleh F = dp/dt
41
Mekanika
tf pf F dt = dp ti pi tf I = F dt = p = Impuls ti Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan menghitung luas daerah di bawah kurva F(t) (yang diarsir). Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan, yaitu dari harga rata-ratanya, Fr , maka I = Fr t = p Fr = I /t =p/t “ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel “.
7. KEKEKALAN MOMENTUM DALAM TUMBUKAN
F12
F21 m1
m1
m2
Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel saling memberikan gaya (aksi-reaksi), F12 pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F21 pada partikel 2 oleh partikel 1. Perubahan momentum pada partikel 1 : tf p1= F12 dt = Fr12 t ti Perubahan momentum pada partikel : tf p2 = F21 dt = Fr21 t ti Karena F21 = - F12 maka Fr21 = - Fr12 oleh karena itu p1 = - p2
42
Mekanika
Momentum total sistem : P = p1 + p2 dan perubahan momentum total sistem : P = p1 + p2 = 0 “Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah momentum total sistem”. Catatan : selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan. 8. TUMBUKAN SATU DIMENSI Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga kinetik selama proses. Bila tenaga kinetiknya kekal, tumbukannya bersifat elstik. Sedangkan bila tenaga kinetiknya tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi setelah tumbukan kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik sempurna. 8.1. Tumbukan elastik sebelum m1
sesudah m2
v1
m1 v2
m2 v’1
v’2
Dari kekekalan momentum : m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2 Dari kekekalan tenaga kinetik : 1/2 m1 v12 + 1/2m2 v22 = 1/2m1v’12 + 1/2 m2v2’2 Dan diperoleh : v1 - v2 = v’2 - v’1 8.2. Tumbukan tidak elastik Dari kekekalan momentum : m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2 Kekekalan tenaga mekanik tidak berlaku, berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini berubah/berasal dari tenaga potensial deformasi (perubahan bentuk). 43
Mekanika
Dari persamaan ketiga tumbukan elastis dapat dimodifikasi menjadi : v1 - v2 v’1 - v’2 e : koefisien elastisitas, e=1 untuk tumbukan elastis 0 < e < 1 untuk tumbukan tidak elastis e = 0untuk tumbukan tidak elastis sempurna 8.3. Tumbukan tidak elastis sempurna. Pada tumbukan ini setelah tumbukan kedua benda bersatu dan bergerak bersama-sama. Dari kekekalan momentum : m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2)v’
9. TUMBUKAN DUA DIMENSI
y
v’2 m2 m1
v1
2 1
x v’1
Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah x : m1 v1 = m1v’1 cos 1+ m2v’2 cos 2 untuk komponen gerak dalam komponen y : 0 = m1v’1 sin 1- m2v’2 sin 2 44
Mekanika
Bila dianggap tumbukannya lenting : 1/2 m1 v12 + 1/2m2 v22 = 1/2m1v’12 + 1/2 m2v2’2 Bila keadaan awal diketahui, masih ada 4 besaran yang tidak diketahui, tetapi persaamannya hanya 3, oleh karena itu slah satu besaran keadaan akhir harus diberikan.
45
