Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n × n, např.
A11 A12 A13 A = A21 A22 A23 A31 A32 A33 může reprezentovat: • matici koeficientů soustavy n lineárních rovnic o n neznámých: Ax = b
neboli
X
Aij xj = bi
j
• lineární zobrazení Rn → Rn resp. Cn → Cn x → Ax
neboli
xi →
X
Aij xj
j
• matici koeficientů kvadratické formy xT Ax
neboli
X
xi Aij xj
ij
Poznamenejme ještě, že T znamená transpozici; ve výše uvedeném vzorci naznačuje, že používáme pravidla maticového násobení. Pak x je sloupcový vektor, xT je řádkový vektor, xT y je skalární součin vektorů x a y, zatímco xy je matice. Jiná konvence používaná v kvantové teorii je bra-ket – viz níže. Pokud soustava Ax = b má řešení ∀b, říkáme, že A je regulární a řešení můžeme napsat ve tvaru x = A−1 b kde A−1 je inverzní matice, AA−1 = A−1 A = δ, kde δ = diag(1, 1, . . .) je jednotková matice (Kroneckerovo delta). Determinant matice A je číslo definované součtem přes všech n! permutací p indexů {1, 2, . . . , n}: det A =
X
sign(p)
p
1
Y
Ai,p(i)
kde sign(p) = (−1)počet transpozic p . Regulární matice má det A 6= 0. Platí det(A−1 ) =
det(AB) = det(A) det(B),
1 (pro regulární matici A) det A
Determinant diagonální nebo trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Existuje mnoho numerických metod pro inverzi matice (založených např. na LU rozkladu), „na papířeÿ je nejjednodušší použít buď Crammerovo pravidlo (do 3 × 3) nebo Gaussovu eliminaci: Eliminační operace provádíme synchronně na dané matici a na jednotkové matici, je to ekvivalentní násobením zleva jistou maticí; nakonec znásobíme zleva diagonální maticí, abychom dostali vlevo δ. Příklad. −1
1 2 1 3 −1 2 −1 1 0
1/2 −1/4 −5/4 = 1/2 −1/4 −1/4 −1/2 3/4 7/4
Orthonormální nebo též unitární matice má všechny řádky i sloupce normalizované, různé řádkovové i sloupcové vektory jsou kolmé: X
Uij∗ Ujk = δik
neboli
U ∗T U = δ
j
Tato matice je regulární, platí U −1 = U ∗T . Determinant orthonormální matice je +1 nebo −1. Lineární zobrazení x → U x v Rn představuje rotaci v n-dimenzionálním prostoru okolo počátku (pro det U = 1), resp. rotaci a zrcadlení (pro det U = −1). Vlastní vektor a vlastní číslo matice A jsou definované vztahem Av = λv
neboli
(A − λδ)v = 0
Druhou rovnic lze splnit (pro nenulové v), pouze když matice A − λδ je singulární, tedy det(A − λδ) = 0 To je algebraická rovnice n-tého stupně, která má n kořenů (vč. násobnosti). Nejčastěji se setkáte s reálnými symetrickými (Aij = Aji ) resp. komplexními Hermitovskými maticemi (A∗ij = Aji ); ovšem každá symetrická 2
matice je také Hermitovská. Např. matice (vážených) druhých derivací potenciálu pro výpočet fundamentálních vibrací je symetrická, operátory odpovídající pozorovatelným v kvantové teorii jsou často1 Hermitovské. Vlastní čísla symetrické (v R) resp. Hermitovské (v C) matice jsou reálná. Dokážeme to snadno tak, že rovnici Av = λv znásobíme zleva v T (v R) resp. v ∗T (v C). Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou kolmé. Důkaz je snadný, provedeme ho v bra-ket notaci, kde skalární součin je v2∗T v1 =
X
∗ v1,i = hv2 |v1 i v2,i
i
(máte-li pochyby, rozepište si výrazy pomocí sum). Zprava: hv2 |A|v1 i = hv2 |λ1 v1 i = λ1 hv2 |v1 i a zleva hv2 |A|v1 i = hv1 |A∗T |v2 i∗ = hv1 |A|v2 i∗ = hv1 |λ2 v2 i∗ = λ2 hv1 |v2 i∗ = λ2 hv2 |v1 i což může zároveň platit (pro λ1 6= λ2 ), pouze když hv1 |v2 i = 0. Pokud je k vlastních čísel stejných (degenerovaných), tvoří vlastní vektory k-dimenzionální podprostor, ve kterém můžeme vybrat orthonormální bázi z k vektorů. Symetrická nebo Hermitovská matice tedy generuje orthogonální bázi z n vektorů vi . Můžeme ji orthonormalizovat (místo v1 vezmeme v1 /|v1 |, což je také vlastní vektor). Omezme se nyní na reálné symetrické matice a sestavme matici v z sloupcových vektorů vi (v 1. sloupci je v1 = (v11 , v21 , . . .) – všimněte se „prohozenéhoÿ značení indexů). Pak Avi = λi vi ⇒ Av = diag(λ1 , λ2 , . . .)v kde diag(λ1 , λ2 , . . .) je diagonální matice s vlastními čísly na diagonále. Znásobením v −1 = v T zleva dostaneme v T Av = diag(λ1 , λ2 , . . .) Kvadratická forma odpovídající v T Av je xT v T Avx = xT diag(λ1 , λ2 , . . .)x =
X
λi x2i
i
tedy unitární transformace v (tj. rotace v n-rozměrném prostoru) převádí symetrickou (lze rozšířit na Hermitovskou) matici na diagonální. Termín diagonalizace matice je tedy prakticky to samé co výpočet vlastních čísel a vektorů. 1
V nekonečnědimenzionálních prostorech musím ještě zajistit konvergenci.
3
Příklad. Kvadratická forma x2 − 4xy + y 2 má matici A=
1 −2 −2 1
!
Charakteristická rovnice je 1 − λ −2 −2 1 − λ
det
!
= λ2 − 2λ − 3
s kořeny λ1 = −1, λ2 = 3. Vlastní vektory získáme řešením rovnic !
Av1 = −v1 Av2 = 3v2 Po normalizaci v=
1 ⇒ v1 = 1 ! −1 ⇒ v2 = 1
√ √ ! 1/√2 −1/√ 2 1/ 2 1/ 2
To je matice rotace o 45◦ . Signatura kvadratické formy resp. symetrické matice je daná počtem kladných, záporných a nulových vlastních čísel v diagonálním tvaru (na pořadí nezáleží). Např. signatura formy z příkladu je (+, −) resp. (n+ , n− , n0 ) = (1, −1, 0). Signaturu kvadratické formy lze použít k stanovení typu extrému funkce. Pro funkce f (xi ) se spojitými druhými derivacemi je podmínka extrému ∂f = 0, i = 1, . . . , n ∂xi Je-li tato podmínka splněna pro nějaké x0 , je Taylorův rozvoj funkce do 2. řádu v minimu f (x) = f (x0 ) +
X
(xi − x0i )Aij (xj − x0j ),
ij
Aij =
∂f 2 ∂xi xj |xi =x0 ,xj =x0 i
4
j
Je-li signatura matice A rovna (n, 0, 0), tj. samé +, pak matice resp. forma je pozitivně definitní a funkce f má v bodě x0 lokální minimum. Je-li signatura matice A rovna (0, n, 0), tj. samé −, pak matice je negativně definitní a funkce f má v bodě x0 lokální maximum. Obsahuje-li signatura signatura + i −, je matice indefinitní a funkce f má v x0 sedlový bod. Jiné kritérium typu extrému je Sylvestrovo. Počítáme subdeterminanty det |Aij |i,j=1 , det |Aij |i,j=1..2 , det |Aij |i,j=1..3 . Jsou-li všechny kladné, je v bodě x0 minimum; střídají-li se znaménka v pořadí −, +, −, . . ., je v bodě x0 maximum.
5
