VŠB - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA. Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia

VŠB - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojní Katedra Automatizační techniky a řízení 352

Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia Technická zpráva grantového projektu Fondu rozvoje VŠ MŠMT F1/0347/2001

Odpovědný řešitel:

Ing. Renata Wagnerová

Řešitelé:

Doc. Ing. Miluše Vítečková, CSc.

Ostrava - prosinec 2001

Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia

OBSAH SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ .........................................................................2 ÚVOD ..........................................................................................................................7 1. DELTA OPERÁTOR...............................................................................................8 1.1 Základní vlastnosti delta operátoru ............................................................8 2. D-TRANSFORMACE .............................................................................................10 2.1. Základní vlastnosti D-transformace ..........................................................11 2.2. Obrazy některých základních diskrétních časových funkcí ......................20 2.3. Určování originálů z obrazů ......................................................................25 2.3.1. Rozklad na parciální zlomky ......................................................25 2.3.2. Metoda reziduí ............................................................................28 3. DELTA MODELY...................................................................................................30 3.1. Vztah mezi delta stavovým modelem a spojitým stavovým modelem.....................................................................................................................41 3.2. Řešení lineárních delta diferenčních rovnic ..............................................45 4. ANALÝZA A SYNTÉZA LINEÁRNÍCH REGULAČNÍCH OBVODŮ ......................52 4.1. Číslicové regulátory...................................................................................52 4.2. Analogové regulátory ................................................................................53 4.3. Spojitý LSDS s tvarovačem a vzorkovačem .............................................54 4.4. Diskrétní LSDS a jejich stabilita ...............................................................56 4.5. Stabilita lineárních regulačních obvodů ....................................................61 4.6. Trvalé regulační odchylky.........................................................................63 4.7. Metoda inverze dynamiky (metoda modelu).............................................69 4.7.1. Regulované soustavy ..................................................................69 4.7.2. Syntéza regulačních obvodů metodou inverze dynamiky ..........70 4.7.3. Odvození stavitelných parametrů regulátorů..............................73 ZÁVĚR.........................................................................................................................81 LITERATURA.............................................................................................................82 PŘÍLOHY.....................................................................................................................84

1


SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ a

- koeficient vystupující ve vztahu na zesílení regulátoru

A

- koeficient

AC

- stavová matice systému u spojitého stavového modelu

AD

- stavová matice systému u diskrétního stavového modelu

Aδ

- stavová matice systému u delta stavového modelu

bC

- stavová matice (vektor) řízení u spojitého stavového modelu

bD

- stavová matice (vektor) řízení u diskrétního stavového modelu

bδ

- stavová matice (vektor) řízení u delta stavového modelu

b, c, ci

- koeficienty

c

- výstupní matice (vektor) systému stavového modelu

C

- cesta integrace, koeficient

d

- relativní diskrétní dopravní zpoždění

D

- operátor přímé D-transformace

D −1

- operátor zpětné D-transformace

e

- regulační odchylka, základ přirozených logaritmů e =& 2,71828

ev

- regulační odchylka způsobená poruchovou veličinou

ev (∞)

- trvalá regulační odchylka způsobená poruchovovou veličinou

ew

- regulační odchylka způsobená žádanou veličinou

ew (∞) - trvalá regulační odchylka způsobená žádanou veličinou E

- obraz regulační odchylky

Ev

- obraz regulační odchylky způsobené poruchovou veličinou

Ew

- obraz regulační odchylky způsobené žádanou veličinou

f k , gk

- diskrétní časové funkce

g

- výstupní matice řízení, impulsní funkce (charakteristika)

gS

- impulsní funkce regulované soustavy

gT

- impulsní funkce tvarovače

G

- přenos

Gev

- odchylkový přenos poruchy

2


Gew

- odchylkový přenos řízení

Go

- přenos otevřeného regulačního obvodu

GR

- přenos regulátoru

GS

- přenos regulované soustavy

GSC

- celkový přenos regulované soustavy

GT

- přenos tvarovače

Gvy

- přenos poruchy

Gwy

- přenos řízení

h

- přechodová funkce (charakteristika)

H

- obraz přechodové funkce

hv

- přechodová funkce regulačního obvodu vyvolaná poruchovou veličinou

hw

- přechodová funkce regulačního obvodu vyvolaná žádanou veličinou

I

- jednotková matice

Im

- imaginární část

j

- imaginární jednotka, j = − 1

k

- relativní diskrétní čas ( k = 0,1,2...)

ko

- zesílení otevřeného regulačního obvodu

koa

3

- zesílení otevřeného regulačního obvodu zajišťující mezní aperiodický regulační pochod

kP

- zesílení regulátoru

k1

- koeficient přenosu regulované soustavy

kT

- diskrétní čas

lim

- limita

L

- operátor přímé L-transformace

L−1

- operátor zpětné L-transformace

m

- řád pravé strany lineární diferenční rovnice, stupeň mnohočlenu M

M

- mnohočlen v čitateli přenosu

Mo

- mnohočlen v čitateli přenosu otevřeného regulačního obvodu

n

- řád levé strany lineární diferenční rovnice, stupeň mnohočlenu N

ni

- násobnost i-tého kořene (pólu)

N

- mnohočlen ve jmenovateli přenosu, charakteristický mnohočlen


No

- charakteristický mnohočlen otevřeného regulačního obvodu

Re

- reálná část

res

- reziduum

s

- komplexní proměnná v L-transformaci

si

- kořeny charakteristické rovnice N(s) = 0

t - spojitý čas tk

- diskrétní čas, tk = kT

T

- vzorkovací perioda

Td

- dopravní zpoždění, Td = d T

TD

- derivační časová konstanta

Ti

- setrvačné časové konstanty

TI

- integrační časová konstanta

T0

- setrvačná časová konstanta u proporcionálního členu se setrvačností 2. řádu

Tw

- setrvačná časová konstanta uzavřeného regulačního obvodu

u

- vstupní signál, akční veličina

uT

- tvarovaný vstupní signál, tvarovaná akční veličina

U

- obraz vstupního signálu, obraz akční veličiny

v

- komplexní proměnná v bilineární transformaci, poruchová veličina

vi

- kořeny transformované charakteristické rovnice N(v) = 0

V

- obraz poruchové veličiny

w

- žádaná veličina

W

- obraz žádané veličiny

x

- obecná časová funkce

xk = x(kT )

- obecná diskrétní časová funkce

X

- obraz obecné časové funkce

y

- výstupní signál, regulovaná veličina

yP

- přechodná část odezvy

yR

- vynucená (relaxovaná) část řešení

yU

- ustálená část odezvy

yV

- volná část řešení

Y

- obraz výstupního signálu, obraz regulované veličiny

z

- komplexní proměnná v Z-transformaci

4


5

zi

- kořeny charakteristické rovnice N(z) = 0

α, β

- konstanty závislé na překmitu

αi

- koeficienty levé strany lineární delta diferenční rovnice

βi

- koeficienty pravé strany lineární delta diferenční rovnice

γ

- komplexní proměnná v D-transformaci

γi

- póly přenosu, kořeny chrakteristické rovnice N(γ) = 0 (kořeny mnohočlenu N(γ))

γ 0j

- nuly přenosu, kořeny mnohočlenu M(γ)

δ

- delta operátor, je definován jako relativní dopředná diference

δ (kT ) - delta Diracův impuls, ( δ (kT ) =

1 pro k = 0, jinak δ ( kT ) = 0 ) T

∆

- dopředná diference, přírůstek

φ (t )

- fundamentální matice, φ (t ) = e AC t

Φ (s)

- L-obraz fundamentální matice

η (kT ) - diskrétní Heavisideův skok

κ

- překmit

ω

- úhlový kmitočet, ω = 2πf

ω0

- netlumený úhlový kmitočet

ξw

- koeficient poměrného tlumení uzavřeného regulačního obvodu

ξ0

- koeficient poměrného tlumení u proporcionálního členu se setrvačností 2. řádu

A/Č

- analogově číslicový převodník

AFKCH - amplitudofázová kmitočtová charakteristika AR

- analogový regulátor

Č/A

- číslicově analogový převodník

ČR

- číslicový regulátor

I

- integrační regulátor

LSDS

- lineární stacionární dynamický systém

P

- proporcionální regulátor

PD

- proporcionálně derivační regulátor, proporcionálně diferenční regulátor

PI

- proporcionálně integrační regulátor


PID

- proporcionálně integračně derivační regulátor

PS

- proporcionálně sumační regulátor

PSD

- proporcionálně sumačně diferenční regulátor

S

- sumační regulátor

∇

- zpětná diference

*

- optimální, vzorkovaný

=

- korespondence

=&

- po zaokrouhlení rovno

≈

- přibližně rovno

*

- konvoluce

6


7

ÚVOD Teorie automatického řízení se zabývá řízením jak spojitých, tak i diskrétních systémů. Závěry získané pro tyto systémy sice vychází ze společných obecných principů, ale jsou vzájemně odlišné co se týče konkrétních řešení problémů. Tento rozpor není principiálního rázu, avšak způsobuje některé prakticky nepříjemné důsledky. Je známo, že standardní algoritmy diskrétní teorie používané pro syntézu a analýzu diskrétních systémů řízení jsou pro vysoké kmitočty vzorkování špatně numericky podmíněné. Jako perspektivní se jeví použití delta modelů ( δ -modelů). Vlastnosti delta modelů způsobují, že odpovídající delta algoritmy jsou i pro vysoké kmitočty vzorkování dobře numericky podmíněné. Velmi významné rovněž je, že delta modely sjednocují teorii automatického řízení pro spojité a diskrétní systémy a umožňují provádět analýzu a syntézu spojitých i diskrétních systémů z jednotného hlediska. Podobně jako pro standardní lineární diskrétní modely (v rekurentním tvaru) se používá Z-transformace, pro delta modely se používá D-transformace, která umožňuje sestavovat delta modely diskrétních lineárních dynamických systémů v oblasti komplexní proměnné a rovněž podstatně zjednodušuje jejich analýzu a syntézu. V limitním případě přechází delta modely na spojité modely. Spojitý lineární systém může být v časové oblasti modelován pomocí lineární diferenciální rovnice a pomocí L-přenosu v oblasti komplexní proměnné. Podobně diskrétní lineární systém může být v časové oblasti modelován pomocí delta diferenční rovnice a pomocí D-přenosu v oblasti komplexní proměnné. Předložená zpráva si klade za cíl popsat základní vlastnosti delta modelů a Dtransformace z hlediska teorie automatického řízení a využít získané poznatky pro analýzu a syntézu jak diskrétních, tak i spojitých lineárních regulačních obvodů. Pro volbu vhodného regulátoru a jeho seřízení se ve zprávě používá původní metoda modelu (metoda inverze dynamiky), jejíž výhody spočívají v jednoduchosti a v možnosti použití i pro regulační obvody s dopravním zpožděním. Uvedená problematika je vysvětlována tak, aby byla snadno pochopitelná pro studenty studijních oborů z oblasti technické kybernetiky.

8


1. DELTA OPERÁTOR Předpokládejme, že diskrétní čas je dán vztahem: t k = kT , kde k je relativní diskrétní čas (k = 0,1,2...), T - vzorkovací perioda. Diskrétní časová funkce je posloupnost hodnot a lze ji zapsat těmito způsoby:

{x(t k )} = {x(kT )} = {x(k )} = {xk } . Nechť tedy máme posloupnost hodnot {x ( kT )}. Pak lze definovat operátor dopředné diference ∆ jako

∆ x(kT) = x[(k+1)T] - x(kT),

k = 0, 1, 2, ...

(1.1)

Dopředná diference n-tého řádu je pak dána rekurentním vztahem

∆n x(kT ) = ∆n−1 x[(k + 1)T ] − ∆n−1 x(kT ) ,

∆0 x(kT ) = x(kT ) ,

n = 0, 1, 2, ...,

(1.2)

delta operátor ( δ operátor) relativní dopředné diference definujeme jako (viz [6, 8, 10])

δx(kT ) =

∆ x(kT ) T

=

x[(k + 1)T ] − x(kT ) . T

(1.3)

Delta diference n-tého řádu je dána rovněž rekurentním vztahem

δ n x(kT ) =

∆n x(kT ) Tn

=

δ n−1 x[(k + 1)T ] − δ n−1 x(kT ) T

, δ 0 x(kT ) = x(kT ) , n = 0, 1, 2, ...,

(1.4)

Je zřejmé, že operátory ∆ i δ jsou lineární. Výhodou delta operátoru je, že pro T → 0 přechází na operátor běžně používané d derivace zprava . Z tohoto hlediska může delta operátor přispět ke sjednocení spojité dt a diskrétní teorie. Další výhodou modelů vyjádřených pomocí delta operátoru je odolnost odpovídajících algoritmů proti ztrátě numerické podmíněnosti vlivem zvyšujícího se kmitočtu vzorkování. S rostoucím kmitočtem vzorkování se vzorkovací perioda blíží k nule, tj. T → 0 , a proto příslušný diskrétní model degeneruje, tj. x[(k+1)T] → x(kT), a tedy ∆ x(kT ) → 0 . Vlivem degenerace musíme velmi přesně počítat (na velký počet desetinných míst). Zavedením delta operátoru se tyto nepříjemné numerické problémy eliminují. U delta modelů, je-li vzorkovací perioda T velmi malá, bude malý i přírůstek ∆ x(kT) a tedy model pro T → 0 nedegeneruje (existuje konečná limita) [6, 8, 10].

1.1 Základní vlastnosti delta operátoru Dále budeme vycházet z diferenčního počtu, neboť delta operátor je dán jako podíl dopředné diference a vzorkovací periody. Pravidla tvoření diferencí jsou zčásti analogické pravidlům pro derivování, jak bude zřejmé z následujících vztahů: 1) součet ( rozdíl ) funkcí


δ ( f k ± g k ) = δf k ± δg k

9

(1.5)

2) pro c = konstanta platí a)

δc = 0

(1.6)

b)

δ (c f k ) = cδf k

(1.7)

3) součin funkcí

δ ( f k g k ) = δf k g k +1 + f k δg k = f k +1δg k + δf k g k

(1.8)

4) podíl funkcí

δ

f k δf k g k − f k δg k = , gk g k g k +1

g k g k +1 ≠ 0

(1.9)

5) pro libovolná přirozená čísla m, n platí

(

)

(

)

δ m δ n fk = δ n δ m fk = δ m+n fk

(1.10)


10

2. D-TRANSFORMACE Definujme novou komplexní proměnnou

γ=

z −1 , T

(2.1)

kde z je komplexní proměnná v Z-transformaci. Přímá D-transformace je pak definována vztahem (viz [6, 8, 10]): D{x ( kT )} = X (γ ) = T

∞

∑ x(kT )(1 + γ T )− k

.

(2.2)

k= 0

Inverzní D-transformace je definována následovně (viz [6, 8, 10]): x (kT ) = D −1{ X (γ )} = kde

1

2π j C∫

X (γ ) (1 + γ T ) k −1 dγ ,

(2.3)

X(γ) - D-obraz, x(kT) - diskrétní originál, C - cesta integrace uvnitř oblasti konvergence X(γ), která obklopuje všechny singularity X(γ) jednou ve smyslu proti směru chodu hodinových ručiček, T - vzorkovací perioda, D - operátor přímé D-transformace, −1 D - operátor zpětné D-transformace, γ - komplexní proměnná v D-transformaci. Aby diskrétní časová funkce x(kT) mohla být originálem, musí být [19, 21, 22]:

- nulová pro záporné k tj.  x ( kT ) pro x ( kT ) =  pro 0

k = 0,1,2,K , k <0

(2.4)

- exponenciálního řádu, tzn. musí vyhovovat nerovnosti  x(kT ) ≤ M e a 0 kT  M > 0, a0 ∈ (− ∞, ∞ ), k = 0,1,2...

(2.5)

První podmínku lze splnit vynásobením dané diskrétní časové funkce diskrétním Heavisideovým skokem definovaným vztahem 1 0

η (kT ) = 

pro pro

k = 0,1,2,... . k <0

(2.6)

Zápis x(kT) η (kT ) budeme zjednodušovat vynecháním symbolu η (kT ) . Na základě vztahu (2.6) budeme pro k ≥ 0 symbol η (kT ) zastupovat 1. Je-li funkce x(kT) nespojitá pro určitou hodnotu k, pak budeme uvažovat její pravostrannou limitu [19] x ( kT ) = x ( kT +) = lim x ( kT + ε ) . ε >0 ε →0


11

Dále budeme předpokládat, že všechny diskrétní časové funkce jsou originály. Srovnáme-li definiční vztahy přímé Z-transformace (viz [6, 8, 10]) a D-transformace, viz (2.2), vidíme, že mezi D-obrazem a Z-obrazem platí vztahy X (γ ) = T X ( z )

z =1+γ T

X ( z) =

.

1 X (γ ) γ = z − 1 T T

(2.7)

Výhodou D-transformace je, že lze limitním přechodem z diskrétních modelů obdržet spojité modely. Dosaďme do výrazu (2.1) známý vztah mezi Z- a L-transformací (viz [19]) z=e Ts ,

(2.8)

pak je zřejmé, že pro limitní přechod platí: e Ts − 1 = lim se Ts = s . T →0 T →0 T

lim γ = lim

T →0

(2.9)

Při výpočtu limity bylo použito de L´Hospitalovo pravidlo (viz [3]). Ze vztahu (2.9) vyplývá vztah mezi D-obrazem a L-obrazem lim X (γ ) = X ( s ) .

(2.10)

T →0

Skutečnost, že pro T → 0 komplexní proměnná z degeneruje na konstantu, tj. z=e → 1 znemožňuje v Z-transformaci provést limitní přechod od komplexní proměnné z ke komplexní proměnné s a v časové oblasti od diskrétního modelu ke spojitému modelu. Ts

2.1. Základní vlastnosti D-transformace 1) LINEARITA D{a1 x1 ( kT ) ± a2 x2 ( kT )} = a1 X 1 (γ ) ± a2 X 2 (γ )

(2.11)

Důkaz: ∞

D{a1 x1 ( kT ) ± a2 x2 ( kT )} = T ∑ [a1 x1 ( kT ) ± a2 x2 ( kT )](1 + γ T ) − k = k =0

∞

∞

k =0

k =0

= a1T ∑ x1 ( kT )(1 + γT ) − k ± a2T ∑ x2 ( kT )(1 + γ T ) − k = a1 X 1 (γ ) ± a2 X 2 (γ ).

2) POSUNUTÍ V ČASOVÉ OBLASTI VPRAVO (ZPOŽDĚNÍ) a) zpoždění o vzorkovací periodu T D{ x[( k − 1)T ]} =

1 X(γ ) 1+ γT

Důkaz: ∞

D{x[( k − 1)T ]} = T ∑ x[( k − 1)T ] (1 + γ T) − k k =0

Položme i = k - 1, pak

(2.12)

12

Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia ∞

D{x[( k − 1)T ]} = T ∑ x (iT )(1 + γT ) − i −1 . i = −1

Aby mohla funkce x(iT) být originálem, musí být pro záporný čas nulovám, tzn. x(-T) = 0. Výše uvedený výraz pak lze přepsat na: ∞

D{x[( k − 1)T ]} = T ∑ x ( iT )(1 + γ T ) − i −1 . i=0

Dalšími úpravami obdržíme ∞

D{x[( k − 1)T ]} = T ∑ x ( iT )(1 + γ T ) − i (1 + γ T ) −1 = i=0

∞

= (1 + γ T ) −1T ∑ x ( iT )(1 + γ T ) − i = i=0

1 X (γ ). 1+ γT

b) zpoždění o mT kde m je libovolné přirozené číslo D{x[( k − m )T ]} = (1 + γ T ) − m X (γ )

(2.13)

Důkaz: Pro odvození výše uvedeného vztahu (2.13) použijeme již odvozený vztah (2.12) pro zpoždění o T. Postačí odvodit si obraz např. zpoždění o 3T a ten pak zobecnit. Označme x[( k − 1)T ]= x1,

x1[( k − 1)T ] = x2 ,

x2 [( k − 1)T ] = y ,

pak je zřejmé, že y = x[( k − 3 )T]. Po D-transformaci obdržíme (1 + γ T ) −1 X (γ ) = X 1 (γ ),

(1 + γ T ) −1 X 1 (γ ) = X 2 (γ ),

(1 + γ T ) −1 X 2 (γ ) = Y (γ ).

Z předchozích rovnic si vyjádříme Y(γ), což je zároveň obraz zpoždění o 3T: Y (γ ) = D{x[( k − 3)T ]} = (1 + γT ) −3 X (γ ) . 3) POSUNUTÍ V ČASOVÉ OBLASTI VLEVO (PŘEDSTIH) a) předstih o vzorkovací periodu T D{x[( k + 1)T ]} = (1 + γ T ) X (γ ) − T (1 + γ T ) x (0) Důkaz: ∞

D{x[( k + 1)T ]} = T ∑ x[( k + 1)T ](1 + γT ) − k k =0

Položme i = k + 1, pak ∞

D{x[( k + 1)T ]} = T ∑ x (iT )(1 + γT ) − i +1 − T (1 + γT ) x (0) = i=0

∞

= (1 + γT )T ∑ x (iT )(1 + γT ) − i − T (1 + γT ) x (0) =(1 + γT ) X (γ ) − T (1 + γT ) x (0). i=0

(2.14)

13


b) předstih o mT kde m je libovolné přirozené číslo m −1

D{x[( k + m )T ]} = (1 + γT ) m X (γ ) − T ∑ x ( kT )(1 + γ T ) m −k

(2.15)

k =0

Důkaz: Výše uvedený vztah odvodíme např. pro m = 3 za použití obrazu předstihu o T a zobecníme. Označme x[( k + 1)T ] = x1 ( kT ),

x1[( k + 1)T ] = x2 ( kT ),

x2 [( k + 1)T ] = y ( kT ),

tedy y(kT) = x[(k+3)T]. Po D-transformaci obdržíme (1 + γT ) X (γ ) − T (1 + γT ) x (0) = X 1 (γ ), (1 + γT ) X 1 (γ ) − T (1 + γT ) x1 (0) = X 2 (γ ), (1 + γT ) X 2 (γ ) − T (1 + γT ) x 2 (0) = Y (γ ). Vyjádříme si Y(γ) Y (γ ) = (1 + γT ){(1 + γT )[(1 + γT ) X (γ ) − T (1 + γT ) x (0)] − T (1 + γT ) x1 (0)} − T (1 + γT ) x 2 (0) .

Pro k = 0 platí : x (T ) = x1 (0) a x1 (T ) = x 2 (0) = x ( 2T ) . Po dosazení: Y (γ ) = D{x[(k + 3)T ]} = (1 + γT ) 3 X (γ ) − T (1 + γT ) 3 x(0) − T (1 + γT ) 2 x(T ) − T (1 + γT ) x(2T ) .

4) OBRAZ DOPŘEDNÉ DIFERENCE a) dopředná diference 1. řádu D {∆x(kT )} = γT X (γ ) − T (1 + γT ) x(0)

(2.16)

Důkaz: D{∆x(kT )} = D{x[(k + 1)T ] − x(kT )} Nyní využijeme vlastnosti linearity D-transformace (vztah 2.11). D{∆x(kT )} = D{x[(k + 1)T ]} − D{x(kT )} = = (1 + γT ) X (γ ) − T (1 + γ T ) x(0) − X (γ ) = γ TX (γ ) − T (1 + γT ) x(0) b) dopředná diference n-tého řádu n −1

D{∆n x(kT )} = (γT ) n X (γ ) − T (1 + γT ) ∑ (γT ) n−i −1 ∆i x(0)

(2.17)

i=0

Důkaz: Odvození provedeme např. pro dopřednou diferenci 3. řádu, tzn. n = 3 a zobecníme. Zaveďme si: ∆x(kT ) = x1 (kT ),

∆x1 (kT ) = x2 (kT ),

∆x2 (kT ) = y (kT ).

Je zřejmé, že y (kT ) = ∆3 x(kT ) . Provedeme D-transformaci a obdržíme:

14


γT X (γ ) − T (1 + γT ) x (0) = X 1 (γ ), γTX 1 (γ ) − T (1 + γT ) x1 (0) = X 2 (γ ), γTX 2 (γ ) − T (1 + γT ) x2 (0) = Y (γ ). Dále si vyjádříme Y(γ), což je zároveň obraz dopředné diference 3. řádu. Y (γ ) = γT {γT [γTX (γ ) − T (1 + γT ) x (0)] − T (1 + γT ) x1 (0)} − T (1 + γT ) x2 (0)

Dále platí pro k = 0: x1 (0) = ∆ x(0) a x2 (0) = ∆ x1 (0) = ∆2 x(0) . Pak platí: Y (γ ) = (γT ) 3 X (γ ) − T (1 + γT )(γT ) 2 x(0) − T (1 + γT )γT ∆ x(0) − T (1 + γT )∆2 x(0) .

5) OBRAZ ZPĚTNÉ DIFERENCE a) zpětná diference 1. řádu D{∇x ( kT )} =

γT X (γ ) 1+γT

(2.18)

Důkaz: D{∇x(kT )} = D{x(kT ) − x[(k − 1)T ]} = D{x(kT )} − D{x[(k − 1)T ]} = = X (γ ) −

1 γT X (γ ) = X (γ ) 1 + γT 1 + γT

b) zpětná diference n-tého řádu  γT D{∇ x ( kT )} =  1+ γT n

n

  X (γ ) 

(2.19)

Důkaz: Odvození provedeme pro zpětnou diferenci 3. řádu (n = 3) a zobecníme. Zaveďme si: ∇x ( kT ) = x1 ( kT ),

∇x1 ( kT ) = x2 ( kT ),

∇x2 ( kT ) = y ( kT ).

Tedy y ( kT ) = ∇3 x ( kT ) . Provedeme D-transformaci a dostaneme:

γT X (γ ) = X 1 (γ ), 1+ γT

γT X 1 (γ ) = X 2 (γ ), 1+ γT

γT X 2 (γ ) = Y (γ ). 1+ γT

Pak 3

 γT  Y (γ ) =   X (γ ) .  1 + γT  6) OBRAZ DOPŘEDNÉ SUMACE (odpovídá dopředné diferenci) k−1

D{T

1

∑ x(iT )} = γ

X (γ )

i= 0

Důkaz: Dopředná sumace je dána vztahem:

(2.20)


15

k −1

y ( kT ) = T ∑ x (iT ) . i=0

Předpokládáme, že y(0) = 0 . Odvození obrazu dopředné sumace provedeme pomocí dopředné diference ∆ y(kT), kterou vypočteme následovně: k

k −1

i=0

i=0

∆y (kT ) = y[(k + 1)T ] − y (kT ) = T ∑ x(iT ) − T ∑ x(iT ) = T x(kT ) . Provedeme-li D-transformaci vztahu ∆ y (kT ) = T x(kT ) , dostaneme:

γTY (γ ) = T X (γ ) . Pak Y (γ ) =

1

γ

X (γ ) .

7) OBRAZ ZPĚTNÉ SUMACE (odpovídá zpětné diferenci) k

D{T ∑ x (iT )} = i=0

1 + γT

γ

X (γ )

(2.21)

Důkaz: Zpětná sumace je dána vztahem: k

y ( kT ) = T

∑ x(iT ) .

i= 0

Obraz zpětné sumace určíme pomocí zpětné diference ∇ y(kT). k

k −1

i=0

i=0

∇y (kT ) = y (kT ) − y[(k − 1)T ] = T ∑ x(iT ) − T ∑ x(iT ) = T x(kT ) Provedeme D-transformaci vztahu ∇y ( kT ) = T x ( kT ) a obdržíme:

γT Y (γ ) = TX (γ ) . 1+γT Pak Y (γ ) =

1 + γT

γ

X (γ ) .

8) OBRAZ DELTA DIFERENCE a) delta diference 1. řádu D{δx ( kT )} = γX (γ ) − (1 + γT ) x (0) Důkaz:

(2.22)

16

Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia ∞

x[( k + 1)T ] − x ( kT ) (1 + γ T) − k = T k =0

D{δx ( kT )} = T ∑ =

∞

∑ x[(k + 1)T ](1 + γ T )− k −

k =0

∞

∑ x(kT )(1 + γ T )− k =

k =0

1 1 (1 + γ T ) X (γ ) − (1 + γT ) x (0) − X (γ ) = T T = γ X (γ ) − (1 + γT ) x (0)

=

b) delta diference n-tého řádu n −1

D{δ n x ( kT )} = γ n X (γ ) − (1 + γT ) ∑ γ n − i −1δ i x (0)

(2.23)

i=0

Důkaz: Odvození provedeme pro n = 3 a zobecníme. Zaveďme si:

δx( kT ) = x1 ( kT ),

δx1 ( kT ) = x( kT ),

δ x2 ( kT ) = y ( kT ).

Je zřejmé, že y (kT ) = δ 3 x(kT ) . Po D-transformaci výše uvedených vztahů obdržíme:

γX (γ ) − (1 + γT ) x(0) = X 1 (γ ), γ X 1 (γ ) − (1 + γT ) x1 (0) = X 2 (γ ), γ X 2 (γ ) − (1 + γT ) x2 (0) = Y (γ ). Pak Y (γ ) = γ {γ [γ X (γ ) − (1 + γ T ) x (0)] − (1 + γT ) x1 (0)} − (1 + γ T ) x2 (0) .

Dále platí pro k = 0 : x1 (0) = δx (0) a x2 (0) = δx1 (0) = δ 2 x (0) . Po dosazení: Y (γ ) = γ 3 X (γ ) − γ 2 (1 + γ T ) x (0) − γ (1 + γ T )δx (0) − (1 + γ T )δ 2 x (0) . 9) KONVOLUTORNÍ SOUČET k

D{T ∑ u(iT ) g[( k − i )T ]} = U (γ )G (γ ) = G (γ )U (γ )

(2.24)

i=0

Důkaz: Konvolutorní součet lze zapsat těmito způsoby (viz [19]): k

k

i=0

i=0

y ( kT ) = T ∑ u(iT ) g [( k − i )T ] = T ∑ g (iT )u[( k − i )T ] = g ( kT ) ∗ u( kT ) = u( kT ) ∗ g ( kT ) . Pro odvození obrazu konvolutorního součtu si nejprve upravíme vztah pro jeho výpočet, a to takto: k

∞

i= 0

i= 0

y (kT ) = T ∑ u (iT ) g[(k − i )T ] = T ∑ u (iT ) g[(k − i )T ] − T

∞

∑ u (iT ) g[(k − i)T ] .

i= k +1


17

∞

Výraz T

∑ u(i ) g[(k − i )T ]

je roven nule, protože argument u funkce g[(k - i)T] je

i = k +1

záporný. Aby funkce g[(k - i)T] mohla být originálem, musí být pro záporný čas nulová. Pak lze psát: ∞

y (kT ) = T ∑ u(iT ) g[(k − i )T ] . i=0

Provedeme D-transformaci předchozího vztahu a obdržíme: ∞ ∞  ∞  D{T ∑ u (iT ) g [( k − i )T ]} = T ∑ {T ∑ u(iT ) g[( k − i )T ]}(1 + γT ) − k  = i=0 k = 0 i = 0 

}

∞ ∞   = T ∑ u(iT ){T ∑ g[( k − i )T ](1 + γ T ) − k  = i = 0 k =0  ∞

= T ∑ u(iT )(1 + γT ) − i G (γ ) = U (γ )G (γ ). i= 0

10) POČÁTEČNÍ HODNOTA V ČASOVÉ OBLASTI Z definičního vzorce D-transformace (2.2) dostaneme přímo vztah pro výpočet počáteční hodnoty v časové oblasti : 1 X (γ ) . γ →∞ T

x (0) = lim

(2.25)

11) KONCOVÁ HODNOTA V ČASOVÉ OBLASTI x ( ∞ ) = lim γX (γ ) γ →0

(2.26)

Důkaz: Z definičního vzorce (2.2) obdržíme: ∞

1

X (γ ) . ∑ x(kT ) = γlim →0 T

k =0

Na základě již dříve odvozené korespondence viz (2.16) a výše uvedeného vztahu lze psát: ∞

1

[γT X (γ ) − T (1 + γ T ) x(0)] . ∑ ∆x(kT ) = γlim →0 T

k =0

Protože platí: ∞

∑ ∆x(kT ) = x(∞) −x(0) ,

k =0

proto po úpravě dostaneme hledaný výraz pro výpočet koncové hodnoty v časové oblasti u Dtransformace: x ( ∞ ) = lim γ X (γ ) . γ →0


18

12) DERIVACE V OBLASTI KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ D{kT x(kT )} = −(1 + γ T )

d X (γ ) d X (γ ) d X (γ ) =− −γT dγ dγ dγ

(2.27)

Důkaz: Z definičního vzorce (2.2) vyplývá: D{x ( kT )} = X (γ ) = T

∞

∑ x(kT )(1 + γ T )− k .

k= 0

Po derivaci výše uvedeného vztahu podle komplexní proměnné γ: ∞ d X (γ ) 1 D{ kTx(kT )} . = −T ∑ kT x(kT )(1 + γ T ) −k −1 = − dγ 1+ γ T k=0

Pak je zřejmé, že D{kT x(kT )} = −(1 + γ T )

d X (γ ) d X (γ ) d =− −γT X (γ ) . dγ dγ dγ

13) HODNOTA SUMY V ČASOVÉ OBLASTI ∞

1

X (γ ) ∑ x(kT ) = T γlim →0

k= 0

∞

1 d X (γ ) ∑ kT x(kT ) = − T γlim →0 d γ k= 0

(2.28)

Důkaz: Z definičního vzorce D-transformace (2.2) přímo po úpravě vyplývá: ∞

1

X (γ ) . ∑ x(kT ) = T γlim →0

k= 0

Jestliže provedeme derivaci definičního vzorce (2.2) podle komplexní proměnné γ, obdržíme: ∞ d X (γ ) = −T ∑ kT x ( kT )(1 + γ T ) − k −1 . dγ k=0

Po úpravě obdržíme výsledný vztah: ∞

1

∑ kT x(kT ) = − T γlim →0

k= 0

d X (γ ) . dγ

14) OPERACE PODLE NEZÁVISLÉHO PARAMETRU Při odvození dále uvedených vztahů se vycházelo ze vztahů pro Z-transformaci uvedených v [19] a došlo se k těmto závěrům:


19

D{x (kT,a )} = X (γ,a ) D{ lim x ( kT,a )} = lim X (γ,a ) a →a0

a →a0

 ∂ x ( kT,a )  ∂ X (γ,a ) D = ∂a  ∂a 

(2.29)

 a 2 a 2 D  ∫ x ( kT,a ) d a  = ∫ X (γ,a ) d a  a1  a1

15) OBRAZ PERIODICKÉ FUNKCE (perioda = mT) D{x(kT ) + x[(k − m)T ] + x[(k − 2m)T ] + ...} =

1 X (γ ) 1 − (1 + γ T ) −m

(2.30)

Důkaz: D{x(kT ) + x[(k − m)T ] + x[(k − 2m)T ] + ...} = X (γ )[1 + (1 + γT ) − m + (1 + γT ) −2 m + ...] = 1 X (γ ) = 1 − (1 + γT ) −m Při odvození bylo využito vztahu (2.13) a vlastnosti následující geometrické řady (viz [3, 19]): 1 + v + v 2 + ... =

1 , 1− v

kde pro náš případ v = (1 + γT ) − m . 16) NÁSOBENÍ EXPONENCIÁLNÍ FUNKCÍ V ČASOVÉ OBLASTI 1  D{e m akT x ( kT )} = X  ( e ± a T − 1) + γ e ± a T  T 

(2.31)

Důkaz: ∞

∞

k =0

k =0

D{e m akT x(kT )} = T ∑ e m akT x(kT )(1 + γ T ) −k = T ∑ x(kT )[(1 + γ T )e ± aT ]−k = ∞

= T ∑ x(kT )(1 + uT ) −k = X (u ) k =0

Bylo použito následující substituce:

1 + uT = (1 + γ T )e ± aT , 1 tedy u = [e ± aT − 1] + γ e ± aT . T 17) ZMĚNA MĚŘÍTKA (PODOBNOST) 1-c + γ T  D{c k x(kT )} = X    cT 

Důkaz:

(2.32)

20


Dosazením za e aT = c do vztahu (2.31) obdržíme 1-c+γ T  1 1  1  D{c k x ( kT )} = X   − 1 + γ  = X  . c T T  c  c   

2.2. Obrazy některých základních diskrétních časových funkcí 1) OBRAZ DISKRÉTNÍHO HEAVISIDEOVA SKOKU D{η ( kT )} =

1 + γT

(2.33)

γ

Důkaz: Diskrétní Heavisideův skok je definován (viz [19]): 1 pro k = 0,1,2,... . 0 pro k < 0

η (kT ) = 

(2.34)

Pak: ∞

D{η ( kT )} = T ∑η ( kT )(1 + γT ) − k = k =0

= T [1 + (1 + γ T ) −1 + (1 + γ T ) − 2 + ...] = T

1+ γT 1+ γT = . γT γ

Při odvození bylo využito vlastnosti následující geometrické řady: 1 + v + v 2 + ... =

1 , 1− v

(2.35)

kde pro náš případ v = (1 + γ T ) −1 . 2) OBRAZ DELTA DIRACOVA IMPULSU D{δ ( kT )} = 1

(2.36)

Důkaz: Delta Diracův impuls je definován v [6, 8, 10]:

1

 δ ( kT ) =  T pro k = 0 .  0 pro k ≠ 0

(2.37)

Pak: ∞

D{δ ( kT )} = T ∑δ ( kT )(1 + γT ) − k = T δ (0)(1 + γT )0 = 1 . k =0

3) OBRAZ kT D{kT } =

1 + γT

γ2

(2.38)

21


Důkaz: ∞

D{kT } = T

∑ kT (1 + γ T )− k = T 2 [(1 + γ T )−1 + 2(1 + γ T )− 2 + 3(1 + γ T )−3 + ...]

=

k= 0

= T 2 (1 + γ T ) −1[1 + 2(1 + γ T ) −1 + 3(1 + γ T ) − 2 + ...] =

1+γT

γ2

Při odvození bylo využito vlastnosti této geometrické řady (viz [3, 19]): 1 + 2v + 3v 2 + ... = (1 − v ) −2 , kde v = (1 + γT ) −1.

(2.39)

4) OBRAZ e − a kT D{e − akT } =

T (1 + γ T ) 1 + γ T − e − aT

(2.40)

Důkaz: ∞

D{e − akT } = T

∑ e− akT (1 + γ T )− k = T

k= 0

∞

∑[e − aT (1 + γ T )−1 ] k

=

k= 0

= T{ 1 + e − aT (1 + γ T )) −1 + [e − aT (1 + γ T ) −1 ]2 + ...} =

T (1 + γ T ) 1 + γ T − e − aT

Při odvození bylo použito vlastnosti stejné geometrické řady jako při odvozování obrazu diskrétního Heavisideova skoku (vztah 2.35) s tím rozdílem, že pro tento případ je v = e − aT (1 + γT ) −1 . 5) OBRAZ kT e − akT D{kTe − akT } =

T 2 (1 + γ T )e − aT (1 + γ T − e − aT ) 2

(2.41)

Důkaz: Využijeme již odvozeného obrazu funkce e − akT a následující vlastnosti D-transformace viz (2.29):  ∂x(kT,a )  ∂X (γ,a) D . = ∂a  ∂a  Pak: D{e −a kT } = D{kT e −a kT } =

T (1 + γT ) 1 + γT − e −aT

∂ ∂a

T 2 (1 + γT )e −aT . (1 + γT − e −aT ) 2

6) OBRAZ (kT ) 2 e −a kT D{(kT ) 2 e − akT } =

T 3e − aT (1 + γ T )(1 + γ T + e − aT ) (1 + γ T − e − aT )3

(2.42)


22

Důkaz: Při odvozování využijeme stejného principu jako v bodě 5) . T 2 (1 + γ T )e − aT

D{kTe −a kT } =

(1+γ T − e

2 − akT

D{(kT ) e

2 −a kT

D{(kT ) e

}= }=

− aT 2

)

∂ ∂a

T (1+γ T )(1+γ T − e − aT )e − aT +2T 3 (1+γ T )e −2aT 3

(1+γ T − e

− aT 3

)

T 3e − aT (1+γ T )(1+γ T+e − aT ) (1+γ T − e − aT ) 3

7) OBRAZ sin ωkT , cos ωkT D{sinωkT } =

T (1+γ T )sin ωT (1+γT ) 2 − 2(1+γ T )cos ωT+1

(2.43)

D{cosωkT } =

T (1+γ T ) 2 − T (1+γ T )cos ωT (1+γ T ) 2 − 2(1+γ T )cos ωT+1

(2.44)

Důkaz: Využijeme následujícího již odvozeného vztahu (2.40): D{e ± akT } =

T (1+γ T ) . 1+γ T − e ± aT

Dosaďme za a=jω a obdržíme: D{e ± jωkT } =

T (1+γ T ) . 1+γT − e ± jωT

Dále využijeme tyto Eulerovy vztahy, viz [3, 18, 19]: 1 jωkT − jωkT [e +e ], 2 1 sin ωkT = [e jωkT − e − jωkT ]. 2j cos ωkT =

Pak D{sin ωkT } =

T (1+γ T )  1  T (1+γ T ) −  = jωT 2 j 1+γ T − e 1+γ T − e − jωT 

T (1+T ([e jωT − e − jωT ] 1 = = 2 j (1+γT ) 2 − (1+γT )[e jωT − e − jωT ]+1 T (1+γ T )sin ωT . = (1+γT ) 2 − 2(1+γT ) cos ωT+1 Je zřejmé, že e jωT − e − jωT = 2 j sin ωT

a

e − jωT + e jωT = 2cos ωT .


D{cosωkT } =

23

1  T (1+γ T ) T (1+γ T )  +  = jωT 2 1+γ T − e 1+γ T − e − jωT 

=

1 2T (1+γ T ) 2 − T (1+γ T )[e − jωT +e jωT ] = 2 (1+γ T ) 2 − (1+γT )[e − jωT +e jωT ]+1

=

T (1+γ T ) 2 − T (1+γT ) cos ωT (1+γ T ) 2 − 2(1+γ T ) cos ωT+1

8) OBRAZ (m a ) k PRO a ≠ 0 D{( m a) k }=

T (1+γ T ) 1+ γ T ± a

(2.45)

Důkaz: ∞

D{( m a ) k }=T ∑ (m a) k (1+γ T ) −k = k =0

=T [1+(m a )(1+γ T ) −1+(m a ) 2 (1+γ T ) −2 +...]=

T (1+γ T ) 1+ γ T ± a

Při odvození bylo využito vlastnosti stejné geometrické řady viz (2.35) jako při odvození obrazu diskrétního Heavisideova skoku s tím rozdílem, že pro tento případ je v = (m a )(1+γ T ) −1 . 9) OBRAZ b + akT PRO b > 0 D{b+ akT }=

T (1+γT ) 1+γ T − b + aT

(2.46)

Důkaz: K odvození využijeme tuto již odvozenou korespondenci mezi obrazem a originálem, viz (2.45): D{(m a) k }=

T (1+γT ) . 1+ γ T ± a

položme nyní a=b+ aT a obdržíme výsledený vztah: D{b+ akT }=

T (1+γ T ) . 1+γ T − b + aT

10) OBRAZ ( 1 − e − akT ) D{(1 − e − akT }=

(1+γT )(1 − e − aT ) γ (1+γ T − e − aT )

(2.47)

Důkaz: Odvození provedeme na základě vlastnosti linearity D-transformace a již odvozených obrazů (2.33) a (2.40).


D{(1 − e −akT }=D{η (kT )} − D{e −akT }= =

1+γ T

γ

−

24

T (1 + γ T ) = 1+γ T − e −aT

(1+γ T )(1 − e −aT ) γ (1+γ T − e −aT )

11) OBRAZ (kT) 2 D{(kT ) 2 }=

(1+γT )(2+γ T )

γ

(2.48)

3

Důkaz: Využijeme již odvozené korespondence (2.42). D{(kT ) 2 e −akT }=

T 3 (1+γ T )e − aT (1+γT+e − aT ) . (1+γ T − e −aT ) 3

Jestliže položíme a = 0, obdržíme výsledný vztah: D{(kT ) 2 }=

(1+γ T )(2+γ T )

γ3

.

12) OBRAZ ka k , k 2 a k D{k a k }=

aT (1+γ T ) (1+γ T − a ) 2

D{k 2 a k }=

(2.49)

aT (1+γ T )(1+γ T+a ) (1+γ T − a) 3

(2.50)

Důkaz: Odvození provedeme na stejném principu, který jsme použili při odvozování obrazu kTe v bodě 5). Využijeme korespondenci (2.45). − akT

D{a k }=

T (1+γ T ) 1+γ T − a

D{k a k −1}= D{k a k }=

∂ ∂a

T (1+γ T ) (1+γ T − a) 2

⋅a

aT (1+γ T ) (1+γ T − a ) 2

Jestliže tento postup zopakujeme, obdržíme výše uvedený vztah (2.50) pro obraz k 2 a k . 13) OBRAZ η[(k − 1)](k − 1)T D{η[(k − 1)T ](k − 1)T } =

1

γ2

(2.51)

25


Důkaz: ∞

D{η[(k − 1)T ](k − 1)T } = T 2 ∑η[(k − 1)T ](k − 1)(1 + γ T ) −k = k =0

= T 2 [(1 + γT ) −2 + 2(1 + γ T ) −3 + ...] =

1 T2 [1 + 2(1 + γ T ) −1 + 3(1 + γ T ) −3 + ...] = 2 2 (1 + γ T ) γ

Při odvození bylo použito vlastnosti geometrické řady, viz vztah (2.39). 14) OBRAZ

1 η[(k − 1)T ](kT − 2T ) 2

1 1 D{ η[(k − 1)T ](kT − T )(kT − 2T )} = 3 2 γ

(2.52)

Důkaz: 1 T3 ∞ D{ η[(k − 1 )T ](kT − T )(kT − 2T )} = η[(k − 1)T ](k − 1)(k − 2)(1 + γ T ) −k = ∑ 2 2 k =0 T3 [2(1 + γ T ) −3 + 6(1 + γ T ) −4 + 12(1 + γ T ) −5 + ...] = 2 1 T3 = [1 + 3(1 + γ T ) −1 + 6(1 + γ T ) −2 + ...] = 3 3 γ (1 + γ T ) =

Při odvození bylo využito vlastnosti následující řady, viz [3]: (1 − v) − m = 1 + mv +

m(m + 1) 2 m(m + 1)(m + 2) 3 v + v + ... 2! 3!

kde m > 0

(2.53)

V našem případě m = 3 a v = (1 + d T ) −1 . Obrazy ostatních originálů uvedených v Základním slovníku D-transformace (viz Přílohy tab.1) bychom velice snadno odvodili použitím obdobných postupů uvedených v bodech 1) až 14) a pomocí odvozených korespondencí v těchto bodech, popř. pomocí základních vlastností D-transformace.

2.3. Určování originálů z obrazů 2.3.1. Rozklad na parciální zlomky Při zpětné D-transformaci používáme odpovídající slovník. Někdy však musíme originál z daného obrazu určit sami. Definiční vztah (2.3) můžeme sice použít pro výpočet inverzní transformace, ale vyhodnocení integrálu je obtížné. Proto v případech, kdy obraz může být vyjádřen jako podíl mnohočlenů, je mnohem jednodušší provést rozklad obrazu na parciální zlomky. Má-li obraz X(γ) tvar ryze racionální lomené funkce


M (γ ) bmγ m + bm−1γ m−1 + ... + b1γ + b0 X (γ ) = , n>m, = N (γ ) anγ n + an−1γ n−1 + ... + a1γ + a0

26

(2.54)

pak ho dále uvedeným postupem rozložíme na parciální zlomky, jejichž originály najdeme ve slovníku D-transformace. Získaný originál má pak uzavřený tvar. 1 a po provedení 1+ γ T rozkladu obraz zpětně vynásobíme výrazem (1+ γT). Originál dostaneme ve tvaru součtu diskrétních časových exponenciálních funkcí. Tento postup vyplývá z rozkladu obrazu při Ai L-transformaci (viz [18, 19]), kde jednoduché parciální zlomky mají tvar a odpovídají s − si Často je vhodné obraz před rozkladem vynásobit výrazem

jim spojité originály Ai e sit . D-transformace diskrétní časové exponenciální funkce Ai e

si kT

e siT − 1 = Ai (1 + aiT ) , kde ai = má tvar : T k

Ai (1 + aiT ) k = Ai

1+ γ T . γ − ai

(2.55)

Protože rozklad ryze racionální lomené funkce X(γ) dává parciální zlomky tvaru Ai

1 , γ − ai

X (γ ) , po rozkladu výsledek vynásobíme výrazem (1+γT) a 1+ γ T obdržíme parciální zlomky v požadovaném tvaru (2.55). provádíme rozklad pro

Postup při rozkladu na parciální zlomky

Pokud stupeň jmenovatele "n" není větší než stupeň čitatele "m", je třeba provést úpravu obrazu vydělením čitatele jmenovatelem. Pro mnohočlen ve jmenovateli platí : N (γ ) = anγ n + ... + a1γ + a0 = a n (γ − γ 1 )(γ − γ 2 )...(γ − γ n ) ,

kde γ 1 , γ 2 ,..., γ n jsou kořeny mnohočlenu N(γ) a současně póly obrazu X(γ) (též singulární body), tzn. jsou to kořeny rovnice N (γ ) = anγ n + ... + a1γ + a0 = 0 .

Uvažujme nyní tyto případy: a) všechny kořeny γ 1 , γ 2 ,..., γ n jsou jednoduché reálné

V tomto případě lze ryze racionální lomenou funkci (2.54) rozložit na částečné zlomky ve tvaru: X (γ ) =

An A1 A2 + + ... + . γ −γ1 γ −γ 2 γ −γ n

Konstanty A1 , A2 ,..., An určíme ze vztahu [18, 19, 22]

(2.56)

27


 M (γ )  Ai = lim (γ − γ i ) γ →γ i  N (γ ) 

i = 1,2,...,n

(2.57)

b) kořeny γ 1 , γ 2 ,..., γ i −1 jsou jednoduché a kořen γ i je ni - násobný (i = n − ni + 1)

V tomto případě rozklad racionální lomené funkce (2.54) na částečné zlomky bude mít tvar : X (γ ) =

Ai ,ni −1 Ai −1 A Ai1 A1 A2 . + + ... + + i0 + + ... + γ −γ1 γ −γ 2 γ − γ i −1 γ − γ i (γ − γ i ) 2 (γ − γ i ) ni

Konstanty A1 , A2 ,..., Ai −1 určíme ze vztahu (2.57). Zbývající konstanty Ai 0 , Ai1 ,..., Ai ,ni −1 vypočteme ze vztahu [18, 19, 22]: Ai , j −1 =

1 d ni − j lim (ni − j )! γ →γ i d γ ni − j

 ni M (γ )  (γ − γ i ) N (γ )  pro j = 1,2,..., ni .  

(2.58)

Tyto vztahy platí jak pro reálné tak pro komplexní kořeny. Konstanty v čitatelích částečných zlomků můžeme rovněž určit tak, že odstraníme zlomky a srovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin komplexní proměnné γ. Tento postup je ale pracný a zdlouhavý. Příklad 2.1

Určete originál ze zadaného obrazu rozkladem na parciální zlomky. a) X (γ ) =

1+ γ T , γ 2T − γ

b)

X (γ ) =

(1 + γ T )(1 + γ 2 ) (γ + 1)γ 2

Řešení:

ad a) A A2 X (γ ) 1 = = 1+ 1 + γ T γ (γ T − 1) γ γ T − 1   1 A1 = lim γ  = −1 γ →0  γ (γ T − 1)    1 A2 = lim (γ T − 1) =T 1 γ (γ T − 1)  γ→  T

X (γ ) = −

1+ γ T

γ

+

T (1 + γ T ) 1 + γ T 1 + γ T = − 1 γ T −1 γ γ− T

Po zpětné D-transformaci (použijeme korespondence 3 a 8 v Základním slovníku D-transformace, viz Přílohy) : x(kT ) = 2 k − η (kT ) .

28


ad b) A A A X (γ ) 1+ γ 2 = = 1 + 20 + 21 2 γ +1 γ 1 + γ T (γ + 1)γ γ2  1+ γ 2  =2 A1 = lim (γ + 1) 2 γ → −1 + γ γ ( 1 )   2  2γ (γ + 1) − (1 + γ 2 )  1 d  2 1+ γ  = A20 = lim γ lim     = −1 1! γ →0 d γ  (γ + 1)γ 2  γ →0  (γ + 1) 2  2  1+ γ  A21 = lim γ 2 =1 2 γ→0 + γ γ ( 1 )   Pak 2(1 + γ T ) 1 + γ T 1 + γ T X (γ ) = − + . γ +1 γ γ2 Provedeme zpětnou D-transformaci a obdržíme ( korespondence 3, 5 a 11 v Základním slovníku D-transformace viz Přílohy) : x(kT ) = 2(1 − T ) k − η (kT ) + kT .

2.3.2. Metoda reziduí Při zpětné D-transformaci můžeme využít přímo definičního vzorce pro zpětnou D-transformaci, kde integrál počítáme jako součet reziduí ve všech singulárních bodech obrazu X(γ) (viz [18, 19, 22]), tj. x(kT ) = D −1{X (γ )} =

[

1 X (γ )(1 + γ T ) k −1 d γ = ∑ res X (γ )(1 + γ T ) k −1 ∫ γ =γ i 2πj C i

]

(2.59)

k = 0,1,2...

[

]

res X (γ )(1 + γ T ) k −1 =

γ =γ i

[

1 d ni −1 lim (γ − γ i ) ni X (γ )(1 + γ T ) k −1 (ni − 1)! γ →γ i d γ ni −1

]

kde γ i je ni - násobný singulární bod (pól) obrazu X(γ). Příklad 2.2

Metodou reziduí určete originál k obrazu z příkladu 2.1 b). Obraz je dán: X (γ ) =

(1 + γT )(1 + γ 2 ) . (γ + 1)γ 2

Řešení:

Obraz X(γ) má dva póly, z toho jeden dvojnásobný: d1 = −1 , d 2,3 = 0. Pak originál bude dán vztahem:

(2.60)

Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia 2

[

x(kT ) = ∑ res X (γ )(1 + γ T ) k −1 i =1

γ =γ i

]

Výpočet příslušných reziduí:

[

]

 (1 + γ T )(1 + γ 2 )  res X (γ )(1 + γ T ) k −1 = lim  (1 + γ T ) k −1  = 2(1 − T ) k 2 γ →−1 γ = −1 γ    d  (1 + γT )(1 + γ 2 ) res X (γ )(1 + γ T ) k −1 = lim (1 + γT ) k −1  =  2 γ → 0 dγ γ =0 γ   d  (1 + γ T ) k (1 + γ 2 )  = lim   = kT − 1 γ → 0 dγ γ2  

[

]

Originál tedy bude: x(kT ) = 2(1 − T ) k + kT − 1 . Obdrželi jsme shodný výsledek jako v příkladě 2.1.

29

30


3. DELTA MODELY Delta modely matematicky popisují vlastnosti lineárních stacionárních dynamických systémů (LSDS). Popisují diskrétní systémy, v limitním případě pro T → 0 spojité systémy [6, 8, 10]. Dále uvažujme LSDS s jedním vstupem u(kT) a jedním výstupem y(kT) schematicky naznačený na obr.3.1. y (kT )

u (kT ) LSDS

Obr. 3.1. Lineární stacionární dynamický systém s jedním vstupem a jedním výstupem. 1. LINEÁRNÍ DELTA DIFERENČNÍ ROVNICE S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY - popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Delta diferenční rovnice je dána vztahem: n

m

i =0

j =0

∑α iδ i y(kT ) =∑ β jδ j u (kT ) , kde

δ i y (kT ) =

δ i −1 y[(k + 1)T ] − δ i −1 y (kT ) T

přičemž pro i = 0 platí : δ

0

(3.1) , α , β jsou konstany,

y (kT ) = y (kT ) .

Obdobný vztah platí i pro δ i u (kT ) . Obecně uvažujeme nenulové počáteční podmínky : y(0), δy (0),δ 2 y (0),...,δ

n -1

u(0), δu (0),δ 2 u (0),..., δ

m -1

y (0) , u (0) ,

máme celkem "n + m" počátečních podmínek. Protože výstupní signál nemůže předbíhat vstupní signál, zavádíme tzv. podmínky fyzikální realizovatelnosti: n=m

slabá podmínka fyzikální realizovatelnosti,

n>m

silná podmínka fyzikální realizovatelnosti.

Závislost mezi výstupem a vstupem v ustáleném stavu (pokud existuje) je dána vztahem: y=

β0 u α0

,

α0 ≠ 0 .

Pro spojité systémy platí:  i d i x(t k ) δ x(kT ) → T →0  dt i .  x(kT ) → x(t k )

31


2. D-PŘENOS G(γ)

D-přenos popisuje vlastnosti LSDS v oblasti komplexní proměnné γ. Je dán poměrem D-obrazu výstupní veličiny k D-obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách. Proveďme D-transformaci rovnice (3.1) a obdržíme :

α nγ nY (γ ) + ... + α1γY (γ ) + α 0Y (γ ) − L(γ ) = β mγ mU (γ ) + ... + β1γU (γ ) + β 0U (γ ) − R(γ ) , kde L(γ) - mnohočlen nejvýše n-tého stupně určený počátečními podmínkami levé strany delta diferenční rovnice, R(γ) - mnohočlen nejvýše m-tého stupně určený počátečními podmínkami pravé strany delta diferenční rovnice. Po úpravě dostaneme: Y (γ ) =

M (γ ) L(γ ) − R(γ ) , U (γ ) + N (γ ) N (γ )

(3.2a)

kde M (γ ) = β mγ m + ... + β1γ + β 0 ,

(3.2b)

N (γ ) = α nγ n + ... + α1γ + α 0 .

D-přenos je dán podílem D-obrazu výstupní veličiny k D-obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách, tj. L(γ ) = R(γ ) = 0

G (γ ) =

Y (γ ) , U (γ )

Z (3.2) obdržíme Y (γ ) D{ y (kT )} β mγ G (γ ) = = = U (γ ) D{u (kT )} α n γ

m n

+ ... + β 1γ + β 0 . + ... + α 1γ + α 0

(3.3)

Podmínky fyzikální realizovatelnosti : n = m slabá podmínka,

n > m silná podmínka. Vztah

mezi

výstupem

a

vstupem

v ustáleném stavu (pokud y = [lim G (γ )] u , α 0 ≠ 0.

existuje)

:

γ →0

L-přenos (spojitý systém):

G( s ) = lim G(γ ) .

Z-přenos (diskrétní systém):

1 Y (γ ) Y ( z) T G( z) = = = G (γ ) γ = z −1 . U ( z ) 1 U (γ ) T z −1 T γ=

T →0

T

3. DISKRÉTNÍ IMPULSNÍ (VÁHOVÁ) FUNKCE g(kT)

Diskrétní impulsní funkce g(kT) popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Je to odezva y(kT) diskrétního dynamického systému na diskrétní vstupní signál u(kT) ve tvaru diskrétního

32


delta Diracova impulsu δ (kT ) . Grafickým zobrazením impulsní funkce je impulsní charakteristika. y (kT ) = g (kT )

u (kT ) = δ ( kT ) LSDS

δ (kT )

g (kT )

⇒

1 T

0

0

kT

kT

Obr. 3.2. Způsob získání impulsní funkce LSDS. Vstupní signál a jeho D-obraz jsou [viz (2.36) a (2.37)]:  1

pro k = 0

0

pro k ≠ 0

δ (kT ) =  T

,

U(γ) = 1 .

Pak D-obraz výstupního signálu bude : Y(γ) = G(γ)U(γ) = G(γ) a v časové oblasti : g (kT ) = D −1 {G (γ )} .

(3.4)

Počáteční podmínky : nulové. Je zřejmé, že diskrétní odezva g(kT) nemůže vzniknout před přiložením diskrétního vstupního signálu δ (kT ) , tj. před okamžikem k = 0, a proto musí být splněny následující podmínky fyzikální realizovatelnosti : slabá g(kT) = 0 pro k < 0 , silná Vztah

mezi

výstupem

a

g(kT) = 0 pro k ≤ 0.

vstupem

Impulsní funkce (spojitý systém):

v ustáleném stavu k   y =  lim T ∑ g (iT ) u .   k →∞ i = 0

(pokud

existuje)

:

g (t ) = L−1{lim G (γ )} T →0

4. DISKRÉTNÍ PŘECHODOVÁ FUNKCE h(kT)

Diskrétní přechodová funkce h(kT) popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Je to odezva y(kT) diskrétního lineárního dynamického systému na vstupní signál u(kT) ve tvaru diskrétního Heavisidova skoku η (kT ) . Grafickým znázorněním diskrétní přechodové funkce je diskrétní přechodová charakteristika.

33


y (kT ) = h(kT )

u ( kT ) = η ( kT ) LSDS

η (kT )

h(kT )

⇒

1

0

0

kT

kT

Obr. 3.3. Způsob získání přechodové funkce LSDS. Vstupní signál a jeho obraz viz (2.33) a (2.34) :

1 0

η (kT ) = 

pro k ≥ 0 , pro k < 0

U (γ ) =

1+ γ T

γ

.

Pak obraz výstupního signálu bude : H (γ ) = G (γ )U (γ ) =

1+ γ T

γ

G (γ )

a v časové oblasti:

 1 + γ T h(kT ) = D −1 {H (γ )} = D −1  G (γ ) .   γ

(3.5)

Počáteční podmínky :

nulové.

Podmínky fyzikální realizovatelnosti :

slabá

h(kT) = 0 pro k < 0,

silná

h(kT) = 0 pro k ≤ 0.

Vztah

mezi

výstupem

a

vstupem

Přechodová funkce (spojitý systém):

v

ustáleném stavu y =  lim h(kT ) u .  k →∞ 

(pokud

h(t ) = L−1{lim H (γ )} . T →0

Vztah mezi impulsní a přechodovou funkcí

V oblasti komplexní proměnné platí H (γ ) =

1+ γ T

γ

G (γ ) ,

G (γ ) =

γ H (γ ) 1 + γT

a v časové oblasti pak budou platit vztahy (viz vlastnosti D-transformace) k

h(kT ) = T ∑ g (iT ) , i =0

existuje)

:


g (kT ) =

34

1 {h(kT ) − h[(k − 1)T ]} . T

 e jT ω − 1   5. KMITOČTOVÝ PŘENOS G  T  

Kmitočtový přenos popisuje vlastnosti LSDS v kmitočtové oblasti. Obdržíme ho dosazením následujícího výrazu do přenosu G(γ) za komplexní proměnnou γ

γ=

e jT ω − 1 . T

(3.6)

K tomuto vztahu dospějeme následujícím způsobem: Pro vztah mezi komplexní proměnnou γ u D-transformace a komplexní proměnnou z u Z-transformace platí [viz (2.1)]

γ=

z −1 , T

dále platí vztah mezi komplexní proměnnou z u Z-transformace a komplexní proměnnou s u L-transformace z = e sT ,

položíme-li s = jω pak z = e jT ω a γ =

e jT ω − 1 . T

Kmitočtový přenos je tedy dán vztahem  e jT ω − 1   = G (γ ) e jT ω −1 . G γ=  T T  

(3.7)

Vztah (3.6) lze dále zjednodušit použitím Padého rozvoje s uvažováním pouze prvních dvou členů T jω 2 e −1 −1 T jTω − 1 − jω jω e jTω − 1 e 2 2 = ≈ = γ= . T T T T 1 − jω 2 jTω 2

1+

Pak m

   jω   = G(γ ) jω G γ=  1 − T jω  T 1- jω   2 2  

Počáteční podmínky :

     jω   jω   + β0  + ... + β1  βm   1 − T jω   1 − T jω      2 2     = . n      jω   jω   +α0  + ... + α1  αn   1 − T jω   1 − T jω      2 2    

musí být nulové .

(3.8)

35


Podmínky fyzikální realizovatelnosti : n = m

slabá podmínka,

n>m

silná podmínka.

Vztah

mezi

výstupem

a

vstupem

v ustáleném stavu (pokud existuje)     jω     u , α 0 ≠ 0. y= lim G T ω →0     1 − jω   2   

:

Grafickým znázorněním kmitočtového přenosu je amplitudofázová kmitočtová 2π charakteristika (AFKCH), která je periodická s periodou ω s = , viz [6, 8, 10]. AFKCH má T tedy význam pouze pro 0 ≤ω ≤

2π . T

Amplitudofázová kmitočtová charakteristika vyjadřuje závislost amplitudy (modulu) a fáze kmitočtového přenosu na úhlovém kmitočtu. U diskrétních systémů je kmitočtový přenos málo používaný.    jω  . Kmitočtový přenos (spojité systémy): G ( jω ) = lim G T T →0    1 − jω  2  

6. DELTA STAVOVÝ MODEL

Delta stavový model popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Je to vnitřní popis na rozdíl od předchozích modelů. Pro jeden systém lze získat mnoho různých stavových modelů, je to nejobecnější popis.

δx (kT ) = A δ x (kT )+bδ u (kT )

(3.9a)

y (kT ) = c T x (kT )+du (kT )

(3.9b)

Rovnice (3.9a) je tzv. stavová rovnice, která vyjadřuje dynamiku systému. Rovnice (3.9b) je výstupní rovnice. V rovnicích (3.9) je:

Aδ (n, n) - stavová matice systému, bδ (n,1) - stavový vektor řízení, c T (1, n)

- výstupní vektor systému,

d (1,1) - výstupní jednoprvková matice řízení. x (0) , celkem "n" počátečních podmínek. Počáteční podmínky : Podmínky fyzikální realizovatelnosti : d = 0 silná podmínka, d ≠ 0 slabá podmínka.

Vztah mezi výstupem a vstupem v ustáleném stavu (pokud existuje): V ustáleném stavu je δ x( kT ) = 0 , pak lze psát

36


0 = A δ x + b δ u ⇒ x = − Aδ−1b δ u ,

tedy y = [−c T A δ−1b δ + d ] u ,

det Aδ ≠ 0 . δx (k ) → x& (t k )  x (k ) → x (t )  k , T →0  A A → δ C   bδ → bC

Pro spojité systémy :

kde stavový popis spojitého systému má tvar x& (t ) = AC x (t ) + bC u (t )

y (t ) = c T x (t ) + du (t )

.

Jestliže provedeme D-transformaci delta stavového modelu dostaneme (za předpokladu nulových počátečních podmínek):

γX (γ ) = Aδ X (γ ) + bδ U (γ )

(3.10a)

Y (γ ) = c T X (γ ) + d U (γ )

(3.10b)

U (γ )

bδ

1

γ

X (γ )

I

Y (γ )

c

T

Aδ

d

Obr. 3.4. Blokové schéma systému popsaného delta stavovým modelem (3.9) v oblasti obrazů

Získání D-přenosu z delta stavového modelu : Z rovnice (3.10a) si vyjádříme X (γ ) : X (γ ) = (γ I − Aδ ) −1 bδ U (γ )

a dosadíme do rovnice (3.10b) Y (γ ) = [c T (γ I − Aδ ) −1 bδ + d ]U (γ ) .

Pak bude G(γ ) =

Y (γ ) = c T (γ I − Aδ ) −1 bδ + d . U (γ )

Pro ustálený stav (jestliže existuje) mezi výstupem a vstupem bude platit: y = lim[c T (γ I − Aδ ) −1 bδ + d ] u . γ →0

(3.11)

37


Získání delta stavového modelu z D-přenosu Tato transformace je nejednoznačná. Budeme hledat stavový popis ve Frobeniově tvaru. Uvažujme, že je splněna slabá podmínka fyzikální realizovatelnosti tedy n = m a že α n = 1 . V tom případě D-přenos bude G (γ ) =

β n′ γ n + β n′ −1γ n−1 + ... + β1′ γ + β 0′ . γ n + α n−1γ n−1... + α1γ + α 0

Vydělíme čitatele D- přenosu jmenovatelem a dostaneme G (γ ) = β n′ +

β n−1γ n−1 + ... + β1γ + β 0 . γ n + α n−1γ n−1... + α1γ + α 0

(3.12)

Pak  0  0  .  Aδ =  .   .  0 − α  0 c = [β 0 T

1

0

0 .

1 .

.

.

. 0

. 0

− α1

−α2

0  0   0  ... 0  . . .    . .  , bδ =  .  ,    . .  . ... 1  0  1 ... − α n−1   

...

β1 β 2 ... β n−1 ],

(3.13)

d = β n′ .

Pro m > n bude d = 0.

Příklad 3.1 Pro diskrétní lineání dynamický systém s D-přenosem G (γ ) =

1− c , γ T +1− c

c = e −aT =

určete impulsní charakteristiku, kmitočtovou charakteristiku.

1 , T =1 2

přechodovou

Řešení: Impulsní funkce je dána vztahem : g (kT ) = D −1 {G (γ )} =

1 k −1 c (1 − c)η[(k − 1)T ]. T

Přechodová funkce: h(kT ) = D −1 {H (γ )}, kde H (γ ) =

1 + γT

γ

G (γ ) =

(1 − c)(1 + γT ) . γ (γT + 1 − c)

Provedeme rozklad H(γ) na parciální zlomky

charakteristiku

a

amplitudofázovou


38

A A2 1− c H (γ ) = , = 1+ 1 + γT γ (γT + 1 − c) γ γT + 1 − c 1− c = 1, γ →0 γT + 1 − c

A1 = lim

A2 = lim

1− c

γ

c −1 γ→ T

= −T .

Pak H (γ ) =

1 + γT

γ

−

T (1 + γT ) . γT + 1 − c

Po provedení zpětné D-transformace dostaneme vztah pro přechodovou funkci h(kT ) = η (kT ) − c k . Vypočteme prvních pět hodnot impulsní a přechodové funkce. k 0 1 2 3 4

g(kT) 0 0,5 0,25 0,125 0,0625

h(kT) 0 0,5 0,75 0,875 0,9375

Správnost výpočtu si lze ověřit pomocí vztahů mezi hodnotami impulsní a přechodové funkce. Musí platit vztahy: g (kT ) =

1 {h(kT ) − h[(k − 1)T ]}. T k

h(kT ) = T ∑ g (iT ) . i =0

Z tabulky výsledků je zřejmé, že se výsledky v obou případech shodují.

Obr. 3.5. Impulsní charakteristika k příkladu 3.1

39


Obr. 3.6. Přechodová chrakteristika k příkladu 3.1 Kmitočtový přenos:   ω 2T 2   ( 1 − c ) 1 − c − ( 1 + c )    jω  4 1− c ωT (1 − c)  −j = . GS  = 2 2 2 2 jω  1 − T jω  ω T ω T 2 2 2 2 T +1− c   (1 − c) + (1 + c) (1 − c) + (1 + c) 2  1 − T jω  4 4 2 Pro konkrétní zadané hodnoty 3 2    jω  1 − ω 2ω 4 = . −j GS  9 2  1 − T jω  1 + 9 ω 2 1+ ω   4 2 4   0

0.2

Im( ω ) 0.4

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Re( ω )

Obr.3.7. Amplitudofázová kmitočtová charakteristika k příkladu 3.1.

1


40

Příklad 3.2 Pro lineární delta diferenční rovnici ve tvaru T 2δ 2 y (kT ) + 4Tδy (kT ) + 4 y (kT ) = u (kT ) s nulovými počátečními podmínkami určete D-přenos a delta stavový model a pak z delta stavového modelu zpětně D-přenos.

Řešení: a) Určení D-přenosu z delta diferenční rovnice Provedeme D-transformaci zadané lineární delta diferenční rovnice (T 2γ 2 + 4Tγ + 4)Y (γ ) = U (γ ) . Pak D-přenos je: G (γ ) =

Y (γ ) 1 . = 2 2 U (γ ) T γ + 4Tγ + 4

b) Určení delta stavového popisu z D-přenosu D-přenos si upravíme následujícím způsobem 1 T2 . G (γ ) = 4 4 2 γ + γ+ 2 T T

Pak již lze určit delta stavový popis přímo z D-přenosu na základě (3.12) a (3.13)  0 Aδ = − 4  T 2  1 cT =  2 T

1  4 −  , T  0 , 

0  bδ =   , 1  d=0.

c) Určení D-přenosu z delta stavového popisu D-přenos určíme z delta stavového popisu na základě vztahu (3.11): G(γ ) =

Y (γ ) = [c T (γ I − Aδ ) −1 bδ + d ]. U (γ )

Výpočet: 4  γ + T adj(γ I − Aδ ) =  4 − 2  T

 1  , γ 

det(γ I − Aδ ) =

4  γ +  adj(γ I − Aδ ) 1 T = (γ I − Aδ ) −1 =  4 4 4 det(γ I − Aδ ) γ 2 + γ + 2 − 2 T T  T

1 , 4 4 γ2+ γ + 2 T T

 1  . γ 


41

Pak G (γ ) =

1 4 4 γ2+ γ + 2 T T

 1  T 2

4  γ+  T 0  − 4  T2

1  1  0  T2 . =   4 4 γ  1 γ 2 + γ + 2  T T

3.1. Vztah mezi delta stavovým modelem a spojitým stavovým modelem Jednou z cest získání diskrétních delta stavových modelů je nejprve nalézt rekurentní diskrétní tvar stavového modelu a ten převést na delta stavový model. Rekurentní diskrétní tvar stavového modelu :

x[(k + 1)T ] = AD x (kT ) + bD u (kT ) y (kT ) = c T x (kT ) + du (kT )

.

(3.14)

Delta stavový model :

δx (kT ) = Aδ x (kT ) + bδ u (kT ) y (kT ) = c T x (kT ) + du (kT )

.

Z rekurentního diskrétního tvaru stavového modelu dosazením do definičního vztahu relativní dopředné diference si teď odvodíme vztah mezi rekurentním diskrétním a delta stavovým modelem:

δx (kT ) =

b x[(k + 1)T ] − x (kT ) ( AD − I ) = x (kT ) + D u (kT ) . T T T

Pak je zřejmé, že platí

Aδ =

( AD − I) b , bδ = D . T T

(3.15)

Výstupní rovnice zůstane nezměněna. Vztahy (3.15) jsou sice správné, ale toto není nejlepší cesta k získání delta stavových modelů, protože numerické problémy spojené se standardním diferenčním tvarem jsou přenášeny na delta modely. Lepší metodou je určit delta model přímo ze spojitých stavových rovnic :

x& (t ) = AC x (t ) + bC u (t ) y (t ) = c T x (t ) + du (kT )

.

(3.16)

Z rovnic (3.16) lze odvodit následující řešení stavové rovnice (viz [15]): t

x (t ) = e AC (t −t0 ) x (t 0 ) + e AC t ∫ e − AC τ bC u (τ )dτ .

(3.17)

t0

Provedeme diskretizaci rovnice (3.17) za předpokladu, že použijeme tvarovač nultého řádu. Budeme brát řešení na intervalu jedné vzorkovací periody T. Dosaďme do vztahu (3.17)


42

za t 0=kT a za t = (k+1)T, přičemž předpokládejme, že u(t) = u(kT) pro kT ≤ t<(k+1)T (uvažujeme pravostrannou limitu). Pak rovnice (3.17) přejde na tvar :

x[(k + 1)T ] = e

ACT

x (kT ) + e

AC T ( k +1)

( k +1)T − AC τ

∫e

bC u (kT )dτ .

(3.18)

kT

Rovnici (3.18) převedeme na delta tvar :

δx (kT ) = =

x[(k+1)T ] − x (kT ) = T

1 ACT 1 (e − I) x (kT )+ e ACT ( k+1) T T

( k +1)T − ACτ

∫e

bC u (kT )dτ =

(3.19)

kT

= Aδ x (kT )+bδ u (kT ) , kde

Aδ =

1 AC T (e − I) , T

1 bδ = e AC T ( k +1) T

( k +1)T − ACτ

∫e

(3.20)

bC dτ .

(3.21)

kT

Dále upravíme vztah (3.21) pro výpočet matice bδ . Vztah (3.21) lze přepsat na (pro k = 0): T

1 bδ = e AC T ∫ e − ACτ bC dτ , T 0

(3.22)

pak

bδ =

1 ACT e [−e − ACτ ]T0 AC−1 bC , T

bδ =

1 ACT (e − I ) AC−1bC = Aδ AC−1bC T

(3.23)

Limitním přechodem pro T → 0 z delta stavového modelu zpětně získáme spojitý stavový model tzn. lim Aδ = AC ,

T →0

lim bδ = bC .

T →0

Lze dokázat, že

Aδ = M A AC ,

(3.24)

kde M A je tzv. matice diskretizace (viz [12]) daná vztahem ∞

MA =

( AC T ) i ∑ (i + 1)! . i =0

(3.25)


43

Důkaz : Již víme (vztah 3.20), že Aδ =

1 ACT (e − I) . T

Rozvinutím funkce e AC T v Taylorovu řadu obdržíme : Aδ =

 1 ∞ ( AC T ) k 1  ∞ ( AC T ) k I . − ∑ = ∑ T  k = 0 k!  T k = 1 k!

Nyní položme i = k - 1, pak Aδ =

1 ∞ ( AC T ) i + 1 ∞ ( ACT ) i =∑ AC = M A AC . ∑ T i = 0 (i + 1)! ( i + 1)! i=0

Rovněž lze dokázat, že bδ = M A bC .

(3.26)

Důkaz :

1 bδ = [e AC T − I ] AC−1bC=Aδ AC−1bC=M A AC AC−1bC=M AbC . T Výsledný delta stavový model získaný pomocí spojitého stavového modelu bude :

δx (kT ) = M A AC x (kT ) + M AbC u (kT ) y (kT ) = cT x (kT ) + du (kT )

.

Poznámka k výpočtu e AC T Pokud je matice AC nesingulární tzn., že det AC ≠ 0 lze výraz e AC T vypočítat pomocí fundamentální matice (viz [15]) definované takto :

φ (t ) = e A t . C

Postup : 1 - vypočteme obraz fundamentální matice daný vztahem: Φ ( s ) = ( sI − AC ) −1 , 2 - provedeme zpětnou Laplaceovu transformaci obrazu fundamentální matice

φ (t ) = L−1{Φ ( s)} , 3 - položíme t = T a obdržíme hledaný výraz φ (T ) = e AC T . Příklad 3.3

Daný spojitý stavový model − 1 0  1 1  x +  u x& =   0 − 2  1

y = [− 1 1]x

převedeme na delta stavový model.


Protože matice AC je nesingulární, můžeme k výpočtu e AC T fundamentální matice.

44

použít L-obraz

L-obraz fundamentální matice: s + 1

0  1 s+  2

Φ ( s) = ( sI − AC ) −1 =  0  

−1

 1 s +1 =  0  

 0  1 .  1 s+ 2 

Provedeme zpětnou L-transformaci: e − t φ (t ) =   0

0  t − . e 2 

Pak e

ACT

 e −T =  0

0  T . e 2  −

Stavové matice delta stavového modelu pak budou:

Aδ =

(

1 ACT e T

 e −T − 1  T −I =    0 

   , T −  e 2 − 1 T  0

)

 e −T − 1  T −1 bδ = Aδ AC bC =    0 

 1 − e −T     0  T   − 1 0 1     T ⋅ −  . T ⋅   =     −  2 1− e 2   e 2 − 1  0 − 2 1       T    T

Výstupní rovnice zůstane nezměněna. Příklad 3.4 Daný spojitý stavový model 0 0  1  x& =  x +  u  1 0  0  y = [1 1]x

převeďte na delta stavový model. V tomto případě je matice AC singulární, proto pužijeme následující vztah pro výpočet e

AC T

: N

1 ( AC T )k = I + AC T + 1 ( AC T )2 + ... 2 k = 0 k!

e ACT = ∑


45

Pro zadaný stavový model je 0 0  AC =   , 1 0

AC2 = AC3 = ... = ACN = 0 ,

pak  1 0 e ACT =  . T 1 Stavová matice systému u delta stavového modelu tedy bude: Aδ =

(

)

0 0  1 ACT −I =  e . T 1 0 

Protože AC je singulární, musíme pro výpočet matice (vektoru) bδ použít vztah (3.22) bδ =

T T 1 ACT − ACτ 1  1 0  1 e ∫e dτ bC =  T T T 1 ∫0 − τ 0

0  1   1  = T  . dτ 1 0   2

Výstupní rovnice opět zůstane nezměněna.

3.2. Řešení lineárních delta diferenčních rovnic Lineární delta diferenční rovnice s konstantními koeficienty má tvar [6, 8, 10, 14]:

α nδ n y (kT ) + ... + α1δy (kT ) + α 0 y (kT ) = β mδ m u (kT ) + ... + β1δu (kT ) + β o u (kT ) ,

(3.27)

n ≥ m, počáteční podmínky jsou:

y (0), δy (0),..., δ n−1 y (0), u (0), δu (0),..., δ m−1u (0), kde u(kT) je diskrétní vstupní funkce a y(kT) je diskrétní výstupní funkce (řešení). Rovnice tohoto typu se dají s výhodou řešit použitím D-transformace. Rovnici (3.27) n-tého řádu se zadanými počátečními podmínkami transformujeme z časové oblasti (prostoru originálů) do oblasti komplexní proměnné (prostoru obrazů), kde jí odpovídá algebraická rovnice n-tého stupně. Zpětnou D-transformací obrazu řešení pak získáme originál řešení. Tento postup je znázorněný na obr. 3.8 a dává řešení v uzavřeném tvaru.

46


prostor originálů

prostor obrazů

D{

delta rovnice

}

klasické řešení

originál řešení

algebraická rovnice

řešení algebraické rovnice

D −1{

}

obraz řešení

Obr. 3.8. Obecné schéma řešení lineárních delta diferenčních rovnic s konstantními koeficienty pomocí D-transformace Proveďme D-transformaci rovnice (3.27):

α nγ nY (γ ) + ... + α1γ Y (γ ) + α 0Y (γ ) − L(γ ) = β mγ mU (γ ) + ... + β1γ U (γ ) + β 0U (γ ) − R(γ ) , kde

L(γ) - mnohočlen nejvýše n-tého stupně určený počátečními podmínkami levé strany delta diferenční rovnice, R(γ) - mnohočlen nejvýše m-tého stupně určený počátečními podmínkami pravé strany delta diferenční rovnice. Obraz řešení je pak dán :

Y (γ ) =

M (γ ) L(γ ) − R(γ ) U (γ ) + , N (γ ) N (γ )

(3.28)

kde

M (γ ) = β mγ m + ... + β1γ + β 0 , N (γ ) = α nγ n + ... + α1γ + α 0 . Vidíme, že obraz řešení se skládá ze dvou částí :

Y (γ ) = YR (γ ) + YV (γ ) , kde

YR (γ ) =

M (γ ) L(γ ) − R(γ ) U (γ ) , YV (γ ) = , N (γ ) N (γ )

YR (γ ) - obraz vynucené (relaxované) části řešení (odezva na vstup),

YV (γ ) - obraz volné části řešení (odezva na počáteční podmínky). Společný jmenovatel obrazu řešení (3.28) zásadním způsobem ovlivňuje vlastnosti řešení

y (kT ) = y R (kT ) + yV (kT ) , kde


47

y R (kT ) = D −1 {YR (γ )}, yV (kT ) = D −1 {YV (γ )}

a proto se nazývá charakteristický mnohočlen delta diferenční rovnice. Jestliže ho položíme rovný nule, dostaneme charakteristickou rovnici příslušné delta diferenční rovnice

α nγ n + ... + α1γ + α 0 = 0 . Kořeny γ 1 , γ 2 ,..., γ n charakteristického mnohočlenu, respektive charakteristické rovnice, rozhodují o stabilitě řešení delta diferenční rovnice. Lineární delta diferenční rovnice je stabilní, když omezené vstupní funkci u(kT) odpovídá omezené řešení y(kT) (viz [18, 19, 21]). Nutná a postačující podmínka stability má tvar (viz [6, 8, 10]): 1 + γ iT < 1,

i = 1,2,..., n . Im

nestabilní oblast

γ

stabilní oblast −

2 T

−

1 T

Re

Obr. 3.9. Stabilní a nestabilní oblast pro kořeny charakteristického mnohočlenu N(γ). V praxi je též často používán rekurentní tvar diferenční rovnice :

an y[(k + n)T ] + ... + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + ... + b1u[(k + 1)T ] + b0u (kT ) .(3.29) Tento tvar získáme z delta tvaru tak, že dosadíme za

δ 0 y (kT ) = y (kT ),

y[(k + 1)T ] − y (kT ) , T δy[(k + 1)T ] − δy (kT ) y[(k + 2)T ] − 2 y[(k + 1)T ] + y (kT ) δ 2 y (kT ) = = , T T2 M

δy (kT ) =

δ n y (kT ) =

δ n−1 y[(k + 1)T ] − δ n−1 y (kT ) T

.

Rekurentní tvar diferenční rovnice umožňuje při znalosti počátečních podmínek přímo rekurentním způsobem určit řešení. Nevýhodou ovšem je, že výsledek nebude mít uzavřený tvar. Výše uvedené postupy ilustrujeme na příkladě.


48

Příklad 3.5 Řešte diferenciální rovnici pomocí D-transformace d 2 y (t ) dt

+ ω 2 y (t ) = 0 ,

2

y (0) = 0, y& (0) = 3

Řešení: Převedeme danou diferenciální rovnici na přibližnou delta diferenční rovnici pomocí vztahu: d i y (tk ) dt

i

≈ δ i y (kT ) ,

potom

δ 2 y (kT ) + ω 2 y (kT ) = 0 ,

y( 0 ) = 0, y& (0 ) = 3 .

Použijeme D-transformaci

γ 2Y (γ ) − (1 + γ T )[γ y (0) + δy (0)] + ω 2Y (γ ) = 0 . Po dosazení počátečních podmínek si vyjádříme obraz výstupu :

Y (γ ) =

3(1 + γ T ) . γ 2 +ω 2

Pro zpětnou D-transformaci musíme použít korespondenci v řádku 31 v Základním slovníku D-transformace viz Přílohy :

e −a kT sin ΩkT = c k sin ΩkT =

T c(1 + γ T )sin ΩT . (1 + γ T ) − 2c(1 + γ T ) cos ΩT + c 2 2

Obraz výstupu lze upravit následujícím způsobem : Y (γ ) = =

3T 2 (1 + γ T ) 3T 2 (1 + γT ) = = γ 2T 2 + ω 2T 2 γ 2T 2 + ω 2T 2 + 1 + 2γ T − 1 − 2γ T

3T 2 (1 + γ T ) 3T 2 (1 + γ T ) = . (1 + γ T ) 2 − 2γ T − 2 + 2 − 1 + ω 2T 2 (1 + γ T ) 2 − 2(1 + γ T ) + 1 + ω 2T 2

Porovnáním:

c = 1 + ω 2T 2 , 1 . cos ΩT = 1 + ω 2T 2 Pak: sin ΩT = 1 − cos 2 ΩT =

ωT

,

1+ ω T sin ΩT 1 tg ΩT = = ωT ⇒ Ω = arctgωT . T cos ΩT 2

2

Obraz lze dále upravit v souladu s výše uvedenými vztahy takto:

49


ωT 2 (1 + γ T ) Y (γ ) = . ω (1 + γT ) 2 − 2(1 + γT ) + 1 + ω 2T 2 3

Po zpětné D-transformaci dostaneme přibližné řešení: y (kT ) =

3

ω

c k sin ΩkT =

(1 + ω T ) ω 3

2

k 2 2

sin ΩkT .

Toto přibližné řešení je nestabilní, neboť platí :

(

lim 1 + ω 2T 2

k →∞

)

k 2

=∞

Přesné řešení zadané rovnice obdržíme takto : Y ( s ) = lim Y (γ ) = T →0

3 s2 + ω 2

=

3 ω = sin ωt . ω s2 + ω 2 ω 3

Přesné řešení je na mezi stability, protože platí : s1, 2 = ± jω ,

tzn . Re{s i } = 0.

Nutnou a postačující podmínkou stability spojitých systémů je (viz [18, 19, 21, 22]): Re{si } < 0 . Přibližné řešení bude tím stabilnější, čím bude menší vzorkovací perioda, protože : lim Ω = ω ,

T →0

[

 3 lim  1 + (ωT )2 T →0 ω 

]

k 2

 3 sin ΩkT  = sin ωt .  ω

Příklad 3.6

Pomocí D-transformace vyřešte lineární delta diferenční rovnici 2. řádu T 2 δ 2 y (kT ) + 4T δy (kT ) + 4 y (kT ) = u (kT )

(3.30)

při počátečních podmínkách y (0) = 1, δy (0) = −

1 T

a pro vstupní diskrétní funkci u (kT ) = η (kT ) . Řešení :

Danou rovnici transformujeme

{

}

T 2 γ 2 Y (γ ) − (1 + γT )[γ y (0) + δy (0)] + 4T [γY (γ ) − (1 + γ T ) y (0)] + 4Y (γ ) = U (γ ) . Po úpravě Y (γ ) = YR (γ ) + YV (γ ) =

1 T 2γ 2 + 4T γ + 4

U (γ ) +

(1 + γ T )[(T 2γ + 4T ) y (0) + T 2 δy (0)] T 2γ 2 + 4Tγ + 4

.


Po dosazení počátečních podmínek a obrazu vstupní diskréní funkce U (γ ) = D{η (kT )} =

1 + γT

γ

obdržíme

YR (γ ) =

YV (γ ) =

1+ γ T = γ (T γ + 4Tγ + 4) 2 2

1+ γ T 2

2 γT  γ +  T 

2

,

T (1 + γ T )(3 + γ T ) (1 + γT )(3 + γ T ) = . 2 T 2γ 2 + 4T γ + 4 2   T γ +  T 

Provedeme rozklad na parciální zlomky: 1 T2

A A YR (γ ) A21 = = 1 + 20 + , 2 2 1+ γ T γ γ+2  2 2  γ γ +  T  γ + T  T  1 2 1 A1 = lim T 2 = , γ →0 4 2  γ +  T   d  1  1  1  2  = lim  − 2 2  = − , A20 = lim     2 2 4 γ →− d γ  γ T  γ →−  γ T  T T 1 1 = − . 2 2 2T γ →− γ T

A21 = lim

T

Po dosazení a úpravě YR (γ ) =

1 1 + γ T 1 T (1 + γ T ) 1 T (1 + γ T ) − − . 4 γ 4 γT + 2 2 (γ T + 2) 2

Na parciální zlomky rozložíme i obraz volné části řešení

γT + 3 YV (γ ) B10 B11 T = + = , 2 2 2  1+ γ T  2 2  γ+ γ +  γ +  T T T   d 2 γ →− d γ

B10 = lim

T

B11 = lim

2 γ →− T

γT +3   = 1,  T 

γT +3 T

1 = . T

Po dosazení a úpravě

50


YV (γ ) =

51

T (1 + γ T ) T (1 + γ T ) . + γT + 2 (γ T + 2) 2

Ze slovníku D-transformace snadno najdeme originály

[

]

1 1 1 1 y R (kT ) = η (kT ) − (−1) k + k (−1) k = 1 + (− 1)k (2k − 1) , 4 4 2 4 yV (kT ) = (−1) k − k (−1) k = (−1) k (1 − k ) .

Řešení zadané delta diferenční rovnice má tedy tvar: y (kT ) = y R (kT ) + yV (kT ) =

[

]

1 1 + (−1) k (3 − 2k ) . 4

Rovnici (3.30) převedeme na rekurentní diferenční rovnici dosazením za: y[(k + 1)T ] − y (kT ) , T δy[(k + 1)T ] − δy (kT ) y[(k + 2)T ] − 2 y[(k + 1)T ] + y (kT ) = . δ 2 y (kT ) = T T2

δy (kT ) =

Po dosazení a úpravě máme : y[(k + 2 )T ] + 2 y[(k + 1)T ] + y (kT ) = u (kT ) .

(3.31)

Rovněž musíme přepočítat počáteční podmínky : y (0) = 1, 1 y (T ) − y (0) δy (0) = = − ⇒ y (T ) = 0. T T Z rekurentního tvaru (3.31) lze přímo vypočítat hodnoty výstupní diskrétní funkce y(kT) v okamžicích 0, T, 2T,..., přičemž prvních "n" hodnot je dáno "n" počátečními podmínkami: y[(k + 2 )T ] = −2 y[(k + 1)T ] − y (kT ) + u (kT )

k = 0,1, 2,...

Pro počáteční podmínky y(0) = 1 , y(T) = 0 , jsou další hodnoty diskrétní funkce y(kT) k =0

y (2T ) = −2 y (T ) − y (0) + u (0) = 0

k =1

y (3T ) = −2 y (2T ) − y (T ) + u (T ) = 1

k =2

y (4T ) = −2 y (3T ) − y (2T ) + u (2T ) = −1

k =3

y (5T ) = −2 y (4T ) − y (3T ) + u (3T ) = 2

M

Obdrželi jsme řešení diferenční rovnice v otevřeném tvaru.

52


4. ANALÝZA A SYNTÉZA LINEÁRNÍCH REGULAČNÍCH OBVODŮ Mezi nejdůležitější vlastnosti lineárních regulačních obvodů patří stabilita, která je hlavní náplní jejich analýzy. Syntéza lineárních regulačních obvodů zahrnuje volbu vhodného regulátoru a jeho seřízení dle určitého kritéria. Většinou regulujeme spojitou soustavu a to buď číslicovým, nebo analogovým regulátorem. V této práci bude uvedena původní metoda pro seřízení a volbu regulátoru, tzv. metoda inverze dynamiky (metoda modelu) [20]. Její výhoda spočívá ve snadném používání a v možnosti použití i pro regulované soustavy s dominantním dopravním zpožděním. v(t ) w(t)

e(t )

AR

y (t )

u (t ) S

Obr. 4.1. Schéma regulačního obvodu s analogovým regulátorem v(t ) w(kT ) e(kT )

u (kT ) ČR

y (t )

uT (t ) Č/A

S

y (kT ) A/Č

Obr.4.2. Schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem Na obr. 4.1 a 4.2 znamená : w e y u uT v

- žádaná veličina - regulační odchylka - regulovaná veličina - akční veličina - tvarovaná akční veličina - poruchová veličina

S ČR Č/A A/Č AR

- regulovaná soustava - číslicový regulátor - číslicově analogový převodník - analogově číslicový převodník - analogový regulátor

4.1. Číslicové regulátory Do regulátoru vstupuje regulační odchylka a vystupuje z něj akční veličina. Mezi konvenční typy číslicových regulátorů patří regulátory P, S, PS, PD a PSD, kde P je proporcionální složka, S je sumační složka (místo S lze též psát I, což je číslicová integrační složka) a D je diferenční (číslicová derivační) složka. Závislost mezi výstupem a vstupem PSD regulátoru je dána výrazem (použijeme zpětnou obdélníkovou sumaci a zpětnou diferenci):


 T u (kT ) = k P e(kT ) + TI  kde

kP TI TD T

-

k

T



∑ e(iT ) + TD {e(kT ) − e[(k − 1)T ] , 

i =0

53

(4.1)

zesílení regulátoru, integrační časová konstanta, derivační časová konstanta, vzorkovací perioda.

Proveďme D-transformaci rovnice (4.1)  1 + γ T TD γ   E (γ ) . U (γ ) = k P 1 + + T γ 1 γ T + I  

D-přenos PSD regulátoru lze pak psát : GR (γ ) =

 1 + γ T TD γ  U (γ )  = k P 1 + + γ 1 γ T + T E (γ ) I  

(4.2)

D-přenosy ostatních typů regulátorů : P

GR (γ )=k P

S (I)

G R (γ ) =

1+ γ T TI γ

(4.4)

PS (PI)

 1+ γ T   GR (γ ) = k P 1 + TI γ  

(4.5)

PD

 T γ  GR (γ ) = k P 1 + D   1+ γ T 

(4.6)

(4.3)

4.2. Analogové regulátory L - přenosy základních konvenčních typů regulátorů si lze odvodit i z příslušných delta přenosů číslicových regulátorů, neboť platí : G R ( s )= lim GR (γ ) . T →0

L - přenosy základních typů regulátorů tedy jsou : P

GR ( s )=k P

I

GR ( s )=

1 TI s

(4.8)

PI

 1   G R ( s )=k P 1+  TI s 

(4.9)

PD

G R ( s )=k P (1+TD s )

(4.10)

(4.7)

54


  1 GR ( s )=k P 1+ +TD s    TI s

PID

(4.11)

4.3. Spojitý LSDS s tvarovačem a vzorkovačem Při regulaci spojitých LSDS pomocí číslicového regulátoru vystupuje problém zastoupení spojitého LSDS s L-přenosem GS (s ) diskrétním LSDS s D-přenosem GS (γ ) . Po provedení tzv. diskretizace lze regulační obvod na obr.4.2 zastoupit regulačním obvodem na obr. 4.3. E (γ )

W (γ )

V (γ )

G R (γ )

U (γ )

Y (γ )

G S (γ )

Obr. 4.3. Schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem a diskretizovanou regulovanou soustavou v oblasti obrazů Nyní provedeme rozbor zapojení na obr. 4.4, kde před spojitým LSDS (regulovanou soustavou) je umístěn tvarovač s vzorkovačem a za systémem vzorkovač. Reálný vzorkovač lze považovat za matematickou idealizaci A/Č převodníku, vzorkovač a tvarovač pak za Č/A převodník (viz [18]). VZORKOVAČ TVAROVAČ SYS TÉM VZORKOVAČ

u * (t )

u (t )

uT (t ) g S (t )

g T (t ) u (kT )

U * (s) U * ( s) U (γ )

y * (t )

y (t )

y (kT )

U T (s ) GS (s )

GT (s ) GSC (s )

Y (s ) Y (s )

GS (γ )

Y (γ )

Obr. 4.4. Spojitý lineární dynamický systém s tvarovačem a vzorkovačem Určíme celkový D-přenos GS (γ ) na základě celkového L-přenosu GSC ( s ) = GT ( s )GS ( s ) , kde

55


1 − e −Ts GT ( s ) = s

je L-přenos tvarovače nultého řádu (viz [18]),

GS (s )

je L-přenos LSDS (regulované soustavy).

Po dosazení GSC ( s ) =

G ( s ) GS −Ts 1 − e −Ts GS ( s ) = S − e = H S ( s ) − H S ( s )e −Ts , s s s

kde H S (s ) je L-obraz přechodové funkce hS (t ) dynamického systému s L-přenosem GS (s ) . Jestliže přivedeme na vstup delta Diracův impuls daný vztahem (2.37), který má L-obraz

U * ( s) =

1 , T

obdržíme na výstupu impulsní funkci s L-obrazem Y ( s ) = GSC ( s )U * ( s ) = GSC ( s )

[

]

1 1 = H S ( s ) − H S ( s )e −Ts . T T

Celková delta impulsní funkce je pak dána vztahem g SC (t ) = L−1 {Y ( s )} =

1 [hS (t ) − hS (t − T )] . T

Po diskretizaci g S (kT ) = g SC (kT ) =

1 {hS (kT ) − hS [(k − 1)T ]} T

a následné D-transformaci dostaneme GS (γ ) = D{g S (kT } =

1 [D{hS (kT }− D{hS [(k − 1)T ]}] = 1 D{hS (kT )}− 1 D{hS (kT )} . T T 1+ γ T 

Po úpravě obdržíme výsledný vztah pro diskretizaci spojitého LSDS GS (γ ) =

  G ( s)   γ DL−1  S  t=kT  1 + γT   s  

(4.12)

Obdrželi jsme vlastně diskrétní náhradu spojitého LSDS s L-přenosem GS (s ) invariantní vzhledem k přechodové funkci (v diskrétních okamžicích kT se zachovává přechodová funkce). Vyplývá to přímo z toho, že vzorkovač s tvarovačem nemění Heavisideův skok (viz [18]). Diskrétní náhrady nejčastěji se vyskytujících spojitých systémů jsou uvedeny v tab. 3, viz Přílohy. Příklad 4.1

Pro regulovanou soustavu s L-přenosem GS ( s ) =

1 1 + T1 s

určete její diskrétní náhradu invariantní vzhledem k přechodové funkci.


56

Řešení:

GS (γ ) =

      G ( s)   γ γ 1 DL−1  DL−1  S  t=kT  =  t = kT  1+ γ T   s   1 + γ T   s(1 + T1 s )  

 − γ GS (γ ) = D1 − e T 1+ γT 

kT 1



  γ 1 + γ T T (1 + γ T ) − =  T −  1 + γ T  γ T1 γT +1− e 

    

Po úpravě obdržíme pro výše upravený L-přenos odpovídající D-přenos GS (γ ) =

1− e

−

T T1

γT +1− e

−

T T1

.

4.4. Diskrétní LSDS a jejich stabilita Uvažujme diskrétní LSDS s D-přenosem: Y (γ ) M (γ ) β mγ m + ... + β1γ + β 0 G (γ ) = = = U (γ ) N (γ ) α nγ n + ... + α1γ + α 0

(4.13)

a D-obraz diskrétního vstupního signálu U (γ ) =

M 1 (γ ) . N1 (γ )

(4.14)

Potom D-obraz výstupního signálu bude: Y (γ ) = G (γ )U (γ ) =

M (γ )M 1 (γ ) . N (γ ) N1 (γ )

(4.15)

Za předpokladu, že LSDS má charakteristický mnohočlen N (γ ) = α n γ n + ... + α1γ + α 0

s jednoduchými kořeny γ 1 , γ 2 ,..., γ n a mnohočlen N1 (γ ) má jednoduché kořeny γ 10 , γ 20 ,..., γ s0 lze D-obraz Y(γ) rozložit na částečné zlomky s Bj Y (γ ) YP (γ ) YU (γ ) n Ai = + =∑ +∑ , 1 + γ T 1 + γ T 1 + γ T i =1 γ − γ i j =1 γ − γ 0j s 1+ γ T 1+ γ T Ai + ∑ Bj , 0 i =1 γ − γ i j =1 γ − γ j n

Y (γ ) = YP (γ ) + YU (γ ) = ∑

(4.16)

kde YP (γ ) je D-obraz přechodné části a YU (γ ) je D-obraz ustálené části řešení (výstupního signálu). Originál y(kT) získáme pomocí zpětné D-transformace:


n

s

y (kT ) = y P (kT ) + yU (kT ) = ∑ Ai (1 + γ iT ) + ∑ B j (1 + γ 0j T ) k i =1

k

57

(4.17)

j =1

Konstanty Ai a B j závisí na tvaru D-přenosu G(γ) a D-obrazu diskrétního vstupního signálu U(γ). Průběh přechodné části diskrétního výstupního signálu y P (kT ) závisí na pólech D-přenosu, tj. kořenech charakteristické rovnice. Proto přechodná část n

y P (kT ) = ∑ Ai (1 + γ iT ) k

(4.18)

i =1

se též nazývá charakteristický (vlastní) pohyb diskrétního LSDS a výraz Ai (1 + γ iT ) k ,

pro i = 1,2 ,...,n

se nazývá charakteristická složka (mód). Pro kořeny γ i charakteristické rovnice též používáme název charakteristická (vlastní) čísla. Průběh ustálené části diskrétního výstupního signálu s

yU (kT ) = ∑ B j (1 + γ 0j ) k

(4.19)

j =1

je dán průběhem u(kT) a proto se též nazývá vynucený pohyb diskrétního LSDS. Stabilita je taková vlastnost diskrétního LSDS, kdy odezva na ohraničený vstupní signál je též ohraničená. Ze vztahu (4.17) vyplývá, že při ohraničeném vstupním signálu u(kT) diskrétní výstupní signál bude ohraničený tehdy a jen tehdy, když bude ohraničená jeho přechodná část y P (kT ) . Proto u stabilního diskrétního LSDS musí s rostoucím "k" vymizet přechodná část diskrétní odezvy, tzn. pro k → ∞ lze psát

y (kT ) ≈ yU (kT ), lim y P (kT ) = 0.

(4.20)

k →∞

Vidíme, že stabilita diskrétního LSDS je schopnost systému ustálit diskrétní výstupní signál při ustáleném diskrétním vstupním signálu. Je zřejmé, že všechny závěry budou platit i pro násobné kořeny mnohočlenů N(γ) a N1 (γ ) , protože např. přičtením zanedbatelně malých různých čísel k násobným kořenům se tyto změní na jednoduché a taková změna za předpokladu, že změněné kořeny jsou ve stabilní oblasti, nemůže podstatně ovlivnit vlastnosti LSDS. Nutná a postačující podmínka stability zní (viz tab. 4.1, [6, 8, 10]): 1 + γ iT < 1

i = 1,2 ,...,n

(4.21)

Z tab. 4.1 vyplývá opět důležitá výhoda D-transformace oproti Z-transformaci a to, že pro T → 0 oblast diskrétní stability u D-transformace konverguje na oblast spojité stability. Toto ovšem neplatí pro oblast stability u Z-transformace. Ke kontrole stability lze s výhodou použít bilineární transformaci definovanou vztahem

58


γ=

v , vT 1− 2

(4.22)

která zobrazí kružnici v komplexní rovině γ na imaginární osu v komplexní rovině v a vnitřek kruhu v komplexní rovině γ na levou polorovinu komplexní roviny v (viz obr. 4.5). Po této transformaci pak lze použít všechna kritéria známá pro kontrolu stability u spojitých systémů, např. Hurwitzovo, Nyquistovo aj. Tab. 4.1 Oblasti stability. Komplexní proměnná

Oblast stability

Mez stability

Grafické znázornění Im

s (L-transformace)

Re si < 0

s

Re si = 0 0

Re

γ

Im

γ (D-transformace)

1 + γ iT < 1 1 + γ iT = 1

−

2 T

−

Im

z (Z-transformace)

zi < 1

0

1 T

1

zi = 1

Re

z Re

−1

0

−1

1

59


γ =

γ

Im

−

2 T

−

1 T

v vT 1− 2

0

Im

0

Re

v=

v

Re

γ γT

1+

2

Obr. 4.5. Bilineární transformace (stabilní oblast je vyznačena šedou barvou) Důkaz :

Mezi L- a Z-transformací platí vztah: z = e sT .

Již dříve bylo ukázáno, že

z = 1+ γ T . Pak 1 + γ T = e sT . Provedeme Padého rozvoj e sT s uvažováním pouze prvních dvou členů : sT

e sT =

e2 e

−

sT 2

sT 2 . ≈ sT 1− 2 1+

Položíme-li s = v, pak

vT 2 . 1+ γ T = vT 1− 2 1+

Jestliže si vyjádříme komplexní proměnnou γ:

γ=

v . vT 1− 2

60


Platí tedy : 1 + γ T > 1 ⇔ Re v > 0, 1 + γ T = 1 ⇔ Re v = 0, 1 + γ T < 1 ⇔ Re v < 0. Pomocí bilineární transformace transformujeme charakteristickou rovnici

N(γ) = 0 na

N(v) = 0, pro kterou je nutnou a postačující podmínkou stability Re vi < 0

i = 1,2,...,n .

(4.23)

Příklad 4.2

Vyznačte v rovině parametrů ( a0 , a1 ) stabilní oblast pro diskrétní lineární dynamický systém popsaný D-přenosem G (γ ) =

b1γ T + b0 . γ T 2 + γ T a1 + a0 2

Řešení:

Charakteristická rovnice v tomto případě bude

γ 2T 2 + γ T a1 + a0 = 0 . Provedeme bilineární transformaci dosazením za γ =

v a po úpravě získáme : vT 1− 2

a   a v 2T 2 1 + 0 − 1  + vT (a1 − a0 ) + a0 = 0 . 4 2  Pro charakteristický mnohočlen 2. stupně je nutnou a postačující podmínkou stability Stodolova podmínka (viz [18, 19]), která říká, že všechny koeficienty charakteristického mnohočlenu musí existovat a musí být kladné. V našem případě: a0 > 0, a1 − a0 > 0 ⇒ a1 > a0 , 1+

a0 a1 a − > 0 ⇒ a1 < 2 + 0 . 4 2 2

Oblast stability je ukázána na obr. 4.6.

61


a1 3 2 1 1

0

2

3

a0

Obr. 4.6. Oblast stability k příkladu 4.2

4.5. Stabilita lineárních regulačních obvodů Předpokládejme lineární regulační obvod dle obr. 4.7. V W

E

GR

U

GS

Y

Obr. 4.7. Lineární regulační obvod Pokud v dále uvedených vztazích nebude uvedena komplexní proměnná, pak tyto vztahy platí jak pro diskrétní, tak i pro spojité regulační obvody. Pro daný regulační obvod mají základní přenosy tento tvar: - přenos otevřeného regulačního obvodu

G o = G R GS ,

(4.24)

- přenos řízení

Gwy =

Go Y = , W 1 + Go

(4.25)

- přenos poruchy

Gvy =

Y 1 = = 1 − Gwy , V 1 + Go

(4.26)

- odchylkový přenos řízení

Gew =

1 E = , W 1 + Go

(4.27)


62

- odchylkový přenos poruchy

Gev =

1 E =− . V 1 + Go

(4.28)

Stabilitu lineárních regulačních obvodů určíme na základě charakteristického mnohočlenu:

N = No + M o .

(4.29)

Mo , No

(4.30)

kde

Go =

Ke kontrole stability použijeme stejného postupu jako v kapitole 4.4 s tím rozdílem, že charakteristický mnohočlen určíme ze vztahu (4.29). Po provedení bilineární transformace můžeme pro kontrolu stability použít libovolnou metodu pro spojité lineární regulační obvody. Příklad 4.3

Určete, pro jakou hodnotu integrační časové konstanty TI u číslicového I regulátoru je regulační obvod stabilní. Soustava je popsána D-přenosem

GS (γ ) =

1− c , c = e −aT = 0,5 , T = 1 γ T +1− c

Řešení :

Určíme D-přenos otevřeného regulačního obvodu

Go (γ ) = G R (γ )GS (γ ) =

(1 − c)(γ T + 1) . TI γ (γT + 1 − c)

Charakteristický mnohočlen je dán jako součet čitatele a jmenovatele přenosu otevřeného regulačního obvodu [viz (4.29)]

N (γ ) = (1 − c)(γ T + 1) + TI γ (γ T + 1 − c) = TI Tγ 2 + γ (1 − c)(TI + T ) + 1 − c . Provedeme bilineární transformaci a po úpravě dostaneme 1− c   1+ c N (v) = v 2T  TI −T  + v(1 − c)TI + 1 − c . 2 4   Pro charakteristický mnohočlen 2. stupně je Stodolova podmínka nutnou a postačující podmínkou stability (viz [18, 19]):

TI

1+ c 1− c T (1 − c) −T > 0 ⇒ TI > 2 4 2(1 + c)

(1 − c)TI > 0 ⇒ TI > 0 1− c > 0

splněno pro libovolné a > 0.

Pro konkrétní hodnoty: TI > 0,17

63


Obr. 4.8. Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu k příkladu 4.3 pro TI = 5

4.6. Trvalé regulační odchylky Při návrhu regulátoru je třeba splnit požadavek, aby při ustálených vstupních signálech byly trvalé regulační odchylky regulačního obvodu nulové. Hodnotu ustálené regulační odchylky vypočteme nejsnáze pomocí věty o koncové hodnotě v časové oblasti (viz Přílohy tab.1 vztah č. 26):

x(∞) = lim γ X (γ ) .

(4.31)

γ →0

Podmínky pro nulovou regulační odchylku v ustáleném stavu stanovíme pro regulační obvod uvedený na obr. 4.9. V W

E

GR

U

GS

Y

Obr.4.9. Regulační obvod s poruchou působící na výstupu regulované soustavy Pro tento regulační obvod lze D-přenos otevřeného regulačního obvodu vyjádřit ve tvaru: k β mγ m + ... + β1γ + β 0 Go (γ ) = = oq G1 (γ ) , n q +1 q α nγ + ... + α q +1γ + α qγ γ

kde

q - stupeň astatismu, k o - zesílení otevřeného regulačního obvodu. Zesílení otevřeného regulačního obvodu lze určit ze vztahu

(4.32)


ko = lim γ qGo (γ ) .

64

(4.33)

γ →0

Pak po dosazení (4.32) do (4.33) obdržíme ko =

β0 , αq

přičemž platí lim G1 (γ ) = 1 .

γ →0

Důkaz :

Vztah (4.32) lze upravit na:

βm m β γ + ... + 1 γ + 1 β β0 β0 Go (γ ) = 0 q . α q +1 α qγ α n n − q γ + ... + γ +1 αq αq

(4.34)

Pak porovnáním (4.34) s (4.32) dostaneme, že ko =

β0 , αq

βm m β γ + ... + 1 γ + 1 β0 β0 G1 (γ ) = , α q +1 αn n−q γ + ... + γ +1 αq αq a tedy lim G1 (γ ) = 1 .

γ →0

Jako žádaný vstupní signál nejčastěji používáme následující signály:

w(kT ) = w0 = w0

1+ γ T

w(kT ) = w1kT = w1

- skoková změna polohy,

γ 1+ γ T

- skoková změna rychlosti,

γ2

w(kT ) = w2 (kT ) 2 = w2

(1 + γ T )(2 + γ T )

γ3

- skoková změna zrychlení

a obecně

w(kT ) = wi (kT )i = wi kde

F (γ )

γ i +1

,

F(γ) - mnohočlen, i - stupeň vstupního signálu.

i = 0,1,2

(4.35)


65

Pro regulační obvod na obr. 4.9 je odchylkový D-přenos řízení dán vztahem: 1 Ew (γ ) γq = = Gew (γ ) = W (γ ) 1 + Go (γ ) γ q + koG1 (γ )

(4.36)

a odchylkový D-přenos poruchy

Gev (γ ) =

EV (γ ) 1 =− = −Gew (γ ) . V (γ ) 1 + Go (γ )

(4.37)

Ze vztahu (4.37) je zřejmé, že vše co odvodíme pro žádanou veličinu w(kT) bude platit i pro poruchovou veličinu v(kT) působící na výstupu regulované soustavy až na znaménko. Dále se tedy budeme zabývat odvozením trvalých regulačních odchylek na skokové změny žádané veličiny w(kT). Z (4.36) je D-obraz regulační odchylky

Ew (γ ) = Gew (γ )W (γ ) .

(4.38)

Po dosazení (4.35) a (4.36) do (4.38) je

Ew (γ ) =

γq

F (γ )wi

γ + koG1 (γ ) γ i +1 q

.

Aplikujeme větu o koncové hodnotě v časové oblasti, pak

γ q −i F (γ )wi . γ → 0 γ q + k G (γ ) o 1

ew (∞) = lim γ Ew (γ ) = lim γ →0

(4.39)

Nyní si rozebereme následující případy:

a) stupeň astatismu větší než stupeň vstupního signálu q > i V tomto případě je dle vztahu (4.39) trvalá regulační odchylka

ew (∞) = 0 , b) stupeň astatismu menší než stupeň vstupního signálu q < i ew (∞) = ∞ ,

c) q = i = 0 ew (∞) =

w0 , 1 + ko

d) q = i = 1 ew (∞) =

w1 , ko

e) q = i = 2 ew (∞) =

2w2 . ko

Závěrem lze říci, že pokud požadujeme nulovou trvalou regulační odchylku na skokové změny žádané nebo poruchové veličiny u regulačního obvodu se strukturou danou na obr. 4.9,

66


musíme vždy volit takový regulátor, který zajistí, aby stupeň astatismu regulačního obvodu byl větší než je stupeň vstupního signálu. Příklad 4.4 −

T T1

Je dán regulační obvod na obr. 4.10, kde A = 1 − e . Určete trvalé regulační odchylky na skokovou změnu polohy a rychlosti žádané i poruchové veličiny. V W

E

kP

U

k1 A γT + A

Y

Obr.4.10. Schéma regulačního obvodu k příkladu 4.4

Řešení:

Pro regulační obvod na obr. 4.10 je D-přenos otevřeného regulačního obvodu Go (γ ) =

k P k1 A γT + A

a stupeň astatismu q = 0. Zesílení otevřeného regulačního obvodu je ko = lim Go (γ ) = k P k1 . γ →0

Trvalé regulační odchylky na skokovou změnu žádané veličiny : a) skoková změna polohy i = 0 ew (∞) =

w0 w0 = , 1 + ko 1 + k P k1

b) skoková změna rychlosti i = 1 ew (∞) = ∞ .

Trvalé regulační odchylky na skokovou změnu poruchové veličiny : a) skoková změna polohy i = 0 ev (∞) = −

v0 v0 =− , 1 + ko 1 + k P k1

b) skoková změna rychlosti i = 1 ev (∞) = ∞ .

Vypočtené výsledky si ověříme simulací.


67

Volíme tyto hodnoty: konstanty zesílení P regulátoru žádaná hodnota porucha vzorkovací perioda

k1 = 2,5 , A = 0,5 , k P = 0,1 , w0 = 2 ,

v0 = 5 , T=1.

Pak trvalá regulační odchylka - na skokovou změnu polohy žádané veličiny - na skokovou změnu polohy poruchové veličiny

ew (∞) = 1,6 , ev (∞) = −4 .

Obr.4.11. Zobrazení trvalé regulační odchylky na skokovou změnu polohy žádané veličiny (poruchová veličina je nulová)

Obr.4.12. Zobrazení trvalé regulační odchylky na skokovou změnu rychlosti žádané veličiny (poruchová veličina je nulová)


68

Obr.4.13. Zobrazení trvalé regulační odchylky na skokovou změnu polohy poruchové veličiny (žádaná veličina je nulová)

Obr. 4.14. Zobrazení trvalé regulační odchylky na skokovou změnu rychlosti poruchové veličiny (žádaná veličina je nulová) y (t ) = hw (t ) ,

Na obr. 4.11 a 4.12 je: ------

w(t). y (t ) = hv (t ) ,

Na obr. 4.13 a 4.14 je: ------

v(t).

4.7. Metoda inverze dynamiky (metoda modelu) Tato metoda umožňuje provádět syntézu lineárních regulačních obvodů i s dominantním dopravním zpožděním [20]. V této práci je výběr regulátoru proveden pouze z


69

hlediska vlastností regulované soustavy a požadavku na nulovou trvalou regulační odchylku způsobenou skokovou změnou polohy žádané veličiny w, resp. poruchy v působící na výstupu regulované soustavy, tj. předpokládá se, že regulační obvod má stupeň astatismu rovný jedné. 4.7.1. Regulované soustavy

Dále budeme předpokládat, že regulované soustavy mají některý z následujících náhradních L-přenosů: GS ( s ) =

k1 −Td s e s

(4.40)

GS ( s ) =

k1 e −Td s T1s + 1

(4.41)

GS ( s ) =

k1 e −Td s s (T1s + 1)

(4.42)

GS ( s ) =

k1 e −Td s (T1s + 1)(T2 s + 1)

(4.43)

GS ( s ) =

k1 2 2

T0 s + 2ξ 0T0 s + 1

e −Td s

(4.44)

k1 > 0, T0 > 0, 0,5 < ξ 0 ≤ 1, T1 ≥ T2 > 0, Td ≥ 0, kde je s k1

T0 , T1 , T2

ξ0 ω0 =

- komplexní proměnná v L- transformaci (rozměr = čas −1 ), - koeficient přenosu (rozměr = podíl rozměrů výstupní a vstupní veličiny, u integračních regulovaných soustav je nutno tento rozměr vynásobit čas −1 ), - setrvačné časové konstanty (rozměr = čas), - koeficient poměrného tlumení (bezrozměrný),

1 - netlumený úhlový kmitočet (rozměr = čas −1 ). T0

Pokud regulovaná soustava nemá ani jeden z výše uvedených tvarů, je nutné ji aproximovat. Postup aproximace regulovaných soustav náhradními přenosy je popsán např. v [20]. 4.7.2. Syntéza regulačních obvodů metodou inverze dynamiky

Předpokládá se, že budou použity pouze standardní typy analogových a číslicových regulátorů (4.2 až 4.11). Je to dáno jejich značnou univerzalitou a velkým rozšířením v technické praxi, viz [20]. Odpovídající Z-přenosy číslicových regulátorů lze získat snadno z −1 . Dále se předpokládá, že regulovaná z D-přenosů (4.1) – (4.6) po dosazení za γ = T soustava je popsána některým ze základních tvarů náhradních přenosů (4.40) – (4.44). V tomto případě doporučené regulátory jsou konvenčního typu a trvalá regulační odchylka

70


ew (∞) způsobená skokovou změnou žádané veličiny w je nulová. Rovněž i trvalá regulační odchylka ev (∞) způsobená skokovou změnou poruchy v je nulová za předpokladu, že porucha působí na výstupu regulované soustavy, viz obr. 4.15. V W

E

U

GR

GS

Y

Obr.4.15. Blokové schéma lineárního regulačního obvodu V souladu s obr. 4.15 pro přenos poruchy platí : Gvy =

Y = 1 − Gwy , V

Y je přenos řízení. Cílem řízení je, aby regulovaná veličina byla shodná se W žádanou veličinou, tzn. Y → W ⇒ Gwy → 1 ⇒ Gvy → 0 . Je tedy zřejmé, že regulační obvod

kde Gwy =

optimálně seřízený vzhledem k žádané veličině w, je současně optimálně seřízený i vzhledem k poruchové veličině v působící na výstupu regulované soustavy. Při použití doporučeného regulátoru na základě tab. 4.2 kvalita regulačního pochodu je dána pouze zesílením regulátoru k P* . Jeho volbou lze získat požadovaný průběh přechodové charakteristiky. U regulovaných soustav bez dopravního zpoždění se při seřízení regulátoru vychází z požadavku, aby regulační obvod s analogovým regulátorem měl L-přenos řízení Gwy =

Y (s) 1 = . W ( s ) Tw s + 1

(4.45)

Po diskretizaci přenosu, viz (4.45), obdržíme odpovídající D-přenos řízení invariantní vzhledem k přechodové charakteristice 1 − cw , Gwy (γ ) = 1 + γ T − cw

cw = e

−

T TW

,

(4.46)

kde T w je časová konstanta (rozměr = čas) a T je vzorkovací perioda (rozměr = čas). U regulovaných soustav s dopravním zpožděním se při seřízení regulátoru vychází z požadavaného relativního překmitu κ . Nejprve je třeba vlastnosti regulované soustavy vyjádřit některým ze základních tvarů L-přenosů. Pak na základě tabulky 4.2 určíme pro danou regulovanou soustavu typ regulátoru a optimální hodnoty jeho stavitelných parametrů. Je zapotřebí uvažovat dva případy: Td > 0 a Td = 0.

71


Obr. 4.16. Přechodová charakteristika regulačního obvodu pro Td = 0

Obr. 4.17. Přechodová charakteristika regulačního obvodu pro Td > 0 Tab.4.2 REGULÁTOR

REGULOVANÁ SOUSTAVA

TYP

<

k P∗ Td = 0 2

1

k1 −Td s e s

P

2

k1 e − Td s T1s + 1

PI

3

k1 e − Td s s( T1s + 1)

PD

k1 (2Tw + T )

4

k1 e − Td s T s T s + 1 + 1 ( 1 )( 2 ) T1 ≥ T2

PID

2TI∗

k1 (2Tw + T ) 2TI∗

k1 (2Tw + T )

2

k1 (2Tw + T )

ANALOGOVÝ T = 0 ČÍSLICOVÝ

T>0

TI∗

TD∗

-

-

Td >0

a k1 aTI∗ k1

a k1 aTI∗ k1

T1 −

T 2

T1 + T2 − T

T1 −

T 2

T1T2 T − T1 + T2 4

72


5

k1 T02 s 2 + 2ξ0 T0 s + 1 0,5 < ξ0 ≤ 1

e − Td s

PID

2TI∗

k1 (2Tw + T )

aTI∗ k1

2ξ0 T0 − T

T0 T − 2ξ0 4

Tab 4.3

κ α β

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1,282 0,984 0,884 0,832 0,763 0,697 0,669 0,640 0,618 0,599 0,577 2,718 1,944 1,720 1,561 1,437 1,337 1,248 1,172 1,104 1,045 0,992

V případě, kdy dopravní zpoždění Td >0, se nejdříve na základě požadovaného relativního překmitu κ (0 ≤ κ ≤ 0,5) u přechodové charakteristiky hw (t ) uzavřeného regulačního obvodu (obr. 4.17) a tab. 4.3 určí nejdříve koeficient a=

1 . α T + β Td

Pak teprve z tab. 4.2 určíme optimální hodnoty stavitelných parametrů doporučeného regulátoru. Pokud dopravní zpoždění Td je velmi malé, hodnotu určeného koeficientu a je třeba vhodně snížit s ohledem na omezení akční veličiny a maximální nastavitelnou hodnotu zesílení regulátoru k P max . V případě Td = 0 určíme hodnoty stavitelných parametrů přímo z tab. 4.2 pro daný typ regulované soustavy. Požadovaný průběh přechodové charakteristiky hw (t ) uzavřeného regulačního obvodu se v tomto případě předpokládá podle obr. 4.16. Časová konstanta Tw musí být zvolena s ohledem na omezení akční veličiny a maximální nastavitelnou hodnotu zesílení regulátoru k P max a u regulačního obvodu s číslicovým regulátorem musí platit Tw > (2 až 3)T [20]. Pro T > 0 tabulka 4.2 platí pro číslicové regulátory a pro T = 0 pro analogové regulátory. Pro analogové regulátory je třeba ve všech vztazích uvažovat T = 0. 4.7.3. Odvození stavitelných parametrů regulátorů

Nyní se budeme zabývat odvozením stavitelných parametrů číslicových regulátorů. Pro T → 0 můžeme plynule přejít od optimálních hodnot stavitelných parametrů číslicových regulátorů k optimálním hodnotám stavitelných parametrů analogových regulátorů, což přímo vyplývá z dříve uvedeného vztahu GR ( s ) = lim GR (γ ) . T →0

Uvažujme nejprve regulovanou soustavu bez dopravního zpoždění. Regulovanou soustavu vyjádřenou L-přenosem v některém ze základních tvarů [viz (4.40 až 4.44)] převedeme na odpovídající D-přenos na základě vztahu GS (γ ) =

  1  γ  D  L−1  GS ( s ) , 1 + γT   s  t =kT 

(4.47)


73

který odpovídá použití vzorkovače a tvarovače nultého řádu, viz (4.2). Pak určíme přenos číslicového regulátoru G R (γ ) tak, aby přenos otevřeného regulačního obvodu byl roven 1 − cw Go (γ ) = , γT

cw = e

−

T TW

,

(4.48)

což vede na výsledný přenos řízení ve tvaru (4.46). Abychom mohli použít standardní typy regulátorů budeme muset zastoupit zesílení číslicového regulátoru k P (γ ) závislé na komplexní proměnné γ konstantním zesílením k P = lim k P (γ ) γ →0

(4.49)

zachovávajícím pouze shodu v ustáleném stavu. Toto zjednodušení i když získané za cenu určité nepřesnosti umožňuje kromě použití standardních typů regulátorů odstranit případnou kmitavost akční veličiny. Postup odvození pro Td = 0 ukážeme na příkladě regulované soustavy s L-přenosem tvaru: GS ( s ) =

k1 . s(T1s + 1)

(4.50)

Použitím vztahu (4.47) obdržíme delta přenos regulované soustavy GS (γ ) =

k1 ( Aγ + B) , γ (γT + B)

(4.51)

kde A = T − T1 (1 − c1 ), B = 1 − c1 , c1 = e

−

T T1

.

Přenos regulátoru určíme na základě požadovaného přenosu otevřeného regulačního obvodu, viz (4.48) a použitím vztahu: G R (γ ) =

Go (γ ) . GS (γ )

Po dosazení a úpravě T B(1 − c w )( γ + 1) B . GR (γ ) = k1T ( Aγ + B)

(4.52)

Porovnáním s přenosem číslicového PD regulátoru G R (γ ) =

k P [γ (TD + T ) + 1] 1+ γ T

obdržíme hodnoty stavitelných prametrů. Tedy:

(4.53)


k P (γ ) = TD =

B(1 − c w )(1 + γT ) , k1T ( Aγ + B)

Tc1 . 1 − c1

74

(4.54) (4.55)

Odstraníme závislost zesílení regulátoru na komplexní proměnné γ a obdržíme výsledný vztah pro výpočet zesílení PD regulátoru : k P = lim k P (γ ) = γ →0

1 − cw . k1T

(4.56)

Podobným postupem byly určeny hodnoty stavitelných parametrů regulátorů i pro zbývající regulované soustavy. Vztahy (4.55) a (4.56) lze dále zjednodušit uvažováním aproximace (viz [20]): e−x

x 2. ≈ x 1+ 2 1−

(4.57)

Pak kP =

1 − cw 2 ≈ , k1T k1 (2Tw + T )

(4.58)

TD =

T c1 T ≈ T1 − . 1 − c1 2

(4.59)

Podobně byly zjednodušeny další řádky v tab. 4.2. V posledním 5. řádku byla použita aproximace (viz [20]) cos x ≈ 1 −

x2 . 2

(4.60)

V případě Td > 0 určíme přenos číslicového regulátoru tak, aby přenos otevřeného regulačního obvodu byl roven [viz (4.68)] Go (γ ) =

ko (1 + γ T ) − d , γT

(4.61)

kde d=

Td je diskrétní dopravní zpoždění, T

(4.62)

k o je zesílení otevřeného regulačního obvodu. Odvození ukážeme na příkladě regulované soustavy s L-přenosem : GS ( s ) =

k1 e −Td s . s (T1s + 1)

Odpovídající D-přenos je :

(4.63)


k1 ( Aγ + B) (1 + γ T ) − d , γ (γ T + B)

GS (γ ) =

75

(4.64)

kde A = T − T1 (1 − c1 ), B = 1 − c1 , c1 = e

−

T T1

.

Přenos regulátoru pak určíme jako podíl požadovaného přenosu otevřeného regulačního obvodu a přenosu soustavy . Po úpravě: γT  + 1 ko  Go (γ ) B   = G R (γ ) = . GS (γ )  T   k1T γ  − T1  + 1    B

(4.65)

Porovnáním s přenosem PD regulátoru [viz (4.53)] obdržíme: k ko (1 + γ T ) = o , γ →0  T   k1T k1T γ  − T1  + 1    B

k P = lim

TD =

T c1 . 1 − c1

(4.66)

(4.67)

Pro zjednodušení byla použita aproximace (4.57). Problém syntézy nyní spočívá v určení zesílení otevřeného regulačního obvodu k o , které zajistí požadovanou kvalitu regulačního obvodu. Přenos řízení regulačního obvodu na obr. 4.15 určíme ze vztahu Go (γ ) ko (1 + γ T ) − d . Gw (γ ) = = 1 + Go (γ ) γ T + ko (1 + γ T ) − d

(4.68)

Charakteristický mnohočlen je umístěn ve jmenovateli přenosu řízení a v našem případě má tvar: N (γ ) = k o + γ T (1 + γ T ) − d .

(4.69)

Najdeme nyní takové zesílení ko , pro které přechodová charakteristika hw (kT ) bude mít mezní aperiodický průběh. Meznímu aperiodickému průběhu odpovídají násobné reálné kořeny charakteristického mnohočlenu. Využijeme větu o násobných kořenech (viz [3]) a pro n = 2: N(γ) = 0, d N (γ ) = 0, dγ a pro zesílení

76


ko =

koa

1  d  =   d + 1 d + 1

d

(4.70)

obdržíme dvojnásobný reálný kořen

γ 1, 2 = −

1 . T (d + 1)

(4.71)

Nutná a postačující podmínka stability (viz [6, 8, 10]): 1 + γ iT < 1 .

V našem případě 1−

1 < 1, 1+ d

d < 1. d +1 Im

nestabilní

γ

oblast

stabilní oblast −

2 T

−

1 T

Re

γ 1, 2 = −

1 T (d + 1)

Obr.4.18. Rozložení kořenů charakteristického mnohočlenu (4.69) v oblasti komplexní proměnné γ Pro vyjádření zesílení otevřeného regulačního obvodu koa , které zajišťuje mezní aperiodický regulační pochod, je mnohem vhodnější použít následující aproximace [20] d

koa

1  d  1 . =  ≈  4 + e(d − 1) d + 1 d + 1

(4.72)

Provedeme úpravu (4.72) s uvažováním vztahu (4.62) ko = ad =

Obecně

1 T = . T  d  T (4 − e) + eTd 4 + e − 1 T 

(4.73)

77


ad =

T , α , β - reálné konstanty, αT + β Td

(4.74)

přičemž pro mezní aperiodický průběh (κ = 0 ) :

α = 4 − e =& 1,282, β = e =& 2,718. Hodnoty konstant α , β v závislosti na požadovaném překmitu κ jsou uvedeny v tabulce 4.3 a jsou určeny pomocí číslicové simulace (viz [20]). Zaveďme si nyní koeficient a=

ad 1 = . T αT + β Td

(4.75)

Pak lze výraz (4.66) pro výpočet optimálního zesílení regulátoru přepsat na k P* =

a . k1

(4.76)

Příklad 4.5 Pro regulovanou soustavu GS ( s ) =

1 (12s + 1)(10s + 1)(s + 1)(0,5s + 1)

určete metodou inverze dynamiky vhodný analogový i číslicový regulátor a seřiďte ho tak, aby přechodová charakteristika hw (kT ) vykazovala překmit kolem κ = 10% .

Řešení: Nejdříve musíme přenos regulované soustavy převést na jeden ze základních tvarů: GS ( s ) ≈

k1 e −Td s . (T1 s + 1)(T2 s + 1)

Úpravu provedeme tak, že malé časové konstanty budeme uvažovat za dopravní zpoždění [24], pak dostaneme: k1 = 1, T1 = 12, T2 = 10, Td = 1 + 0,5 = 1,5 . a) analogový regulátor Pro zadanou soustavu je dle metody inverze dynamiky vhodný PID regulátor. Výpočet optimálních hodnot stavitelných parametrů PID regulátoru provedeme na základě vztahů uvedených v řádku 4 tab. 4.2, ve kterých položíme T = 0. Pro κ = 0,10 je z tab.4.3

α = 0,884, β = 1,720. Pak

78


1 1 = =& 0,3876 . αT + β Td β Td

a=

Optimální hodnoty stavitelných parametrů: TI* = T1 + T2 = 22 ,

k P* =

aTI* =& 8,5, k1

TD* =

T1T2 =& 5,5. T1 + T2

b) číslicový regulátor Velikost vzorkovací periody T volíme : T = 0,5. Pro κ = 0,10 je z tab.4.3

α = 0,884, β = 1,720. Pak a=

1 =& 0,331 . αT + β Td

Z tab. 4.2 vyplývá, že pro zadanou regulovanou soustavu je třeba použít PID regulátor. Vztahy pro určení stavitelných parametrů regulátoru: TI*

= T1 + T2 − T =& 21,5

k P*

aTI* = =& 7,11 k1

TD* =

T1T2 T − =& 5,4 T1 + T2 4

Na obr. 4.19 jsou výsledné průběhy přechodových charakteristik uzavřeného regulačního obvodu. I přes velmi hrubou aproximaci původního přenosu regulované soustavy získané průběhy přechodových charakteristik uzavřeného regulačního obvodu jsou přijatelné jak pro číslicový, tak i analogový regulátor.

Obr. 4.19. Přechodové chrakteristiky uzavřeného regulačního obvodu k příkladu 4.5

79


Příklad 4.6 Pro regulovanou soustavu GS ( s ) =

1 25s + 6s + 1 2

určete metodou inverze dynamiky vhodný analogový i číslicový regulátor a seřiďte ho.

Řešení: Regulovanou soustavu lze přepsat na tvar GS ( s ) =

T02 s 2

k1 , + 2ξ 0T0 s + 1

kde k1 = 1, T0 = 5 , ξ 0 = 0,6 . Časovou konstantu uzavřeného regulačního obvodu volíme: Tw = 5 . a) analogový regulátor Z tab. 4.2 je zřejmé, že musíme použít PID regulátor. Optimální hodnoty stavitelných parametrů určíme z řádku 5 tab. 4.2, přičemž položíme T = 0. Optimální hodnoty stavitelných parametrů regulátoru: TI*

= 2ξ 0 T0 = 6,

k P*

TI* = = 1,2, k1Tw

TD* =

T0 =& 4,2. 2ξ 0

b) číslicový regulátor Volíme vzorkovací periodu T = 1. Pak hodnoty stavitelných parametrů číslicového PID regulátoru jsou: TI* = 2ξ 0T0 − T = 5 ,

k P* =

2TI* =& 0,9 , k1 (2Tw + T )

TD* =

T0 T − =& 3,9 . 2ξ 0 4


Obr. 4.20. Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu s analogovým regulátorem k příkladu 4.6

80


81

ZÁVĚR Tento projekt sledoval tyto cíle: 1)

Popsat základní vlastnosti delta modelů a D-transformace z hlediska použití v teorii automatického řízení a odvodit základní korespondence mezi obrazy a originály v D-transformaci.

2)

Využít delta modely a D-transformaci pro analýzu a syntézu lineárních diskrétních i spojitých regulačních obvodů.

ad 1) Základní vlastnosti delta modelů a základní korespondence mezi obrazy a originály v D-transformaci byly uspořádány do tabulkové formy a jsou uvedeny v Přílohách v tab.1 a tab.2. V práci byly rovněž rozpracovány převodní vztahy mezi jednotlivými druhy modelů a možnosti získání originálů z obrazů v D-transformaci. Vše je dokumentováno na konkrétních příkladech. Výhodou delta modelů je sjednocení spojité a diskrétní teorie. Delta modely sice popisují diskrétní systémy, ale pro T → 0 přechází na modely pro spojité systémy. K řešení delta diferenčních rovnic je výhodné použít Dtransformaci. Postup řešení delta diferenčních rovnic je ukázán na konkrétních příkladech. ad 2) Syntéza regulačních obvodů spočívá ve volbě vhodného regulátoru a v jeho seřízení dle určitého kritéria. V úvodu kapitoly 4, která se zabývá analýzou a syntézou regulačních obvodů, jsou odvozeny D-přenosy základních typů regulátorů. Protože většinou regulujeme spojité soustavy, a to jak analogovými tak i číslicovými regulátory, a delta modely popisují diskrétní systémy, bylo nutno odvodit diskretizaci spojité regulované soustavy. V oblasti číslicové regulace se používá diskretizace invariantní vzhledem k přechodové charakteristice. Tento druh diskretizace odpovídá zapojení regulované soustavy s Č/A převodníkem před touto soustavou a A/Č převodníkem za soustavou. V tab.3 viz Přílohy jsou uvedeny D-přenosy nejčastěji se vyskytujících regulovaných soustav. Hlavním požadavkem kladeným na regulační obvod při jeho syntéze je jeho stabilita. Ke kontrole stability se v této zprávě využívá bilineární transformace, která převádí oblast stability diskrétních systémů v oblasti komplexní proměnné γ u D-transformace na oblast stability spojitých systémů v oblasti komplexní proměnné s u L-transformace. Po provedení bilineární transformace se pak pro kontrolu stability dají použít známá kritéria pro spojité systémy. Dalším důležitým požadavkem je požadavek nulových trvalých regulačních odchylek na konkrétní druhy skokových změn žádané i poruchové veličiny. Velikost trvalých regulačních odchylek pro určitou strukturu regulačního obvodu uvedenou v kapitole 4.6 lze přímo určit pomocí vztahů odvozených v této zprávě. Pro konkrétní seřízení regulátorů pro daný typ regulované soustavy je v této zprávě uvedena metoda inverze dynamiky (metoda modelu). Její výhodou je jednoduchost a možnost aplikace na regulované soustavy s dopravním zpožděním, které může být i dominantní. Nevýhodou ovšem je, že se dá použít pouze pro základní typy regulovaných soustav. U ostatních regulovaných soustav musíme provést převod na jeden z těchto základních typů. Pro výpočet stavitelných parametrů standardních lineárních regulátorů jsou odvozeny univerzální vztahy, které se dají použít jak pro regulační obvody s číslicovými, tak i analogovými regulátory.


82

LITERATURA [1]

BALÁTĚ, J.: Vybrané statě z automatického řízení. Brno, skripta FS VUT Brno, 1991

[2]

BALDA, M. 1986

[3]

BRONŠTEJN, I. N. - SEMENĎAJEV, K. A.: Príručka matematiky pre inženierov a študujúcích. Bratislava, SVTL, 1961

[4]

FARANA, R. - SMUTNÝ, L. - VÍTEČEK, A.: Zpracování odborných textů z oblasti automatizace a informatiky. Ostrava, skripta FS VŠB-TU Ostrava, 1999

[5]

FARANA, R.: Univerzální simulační program SIPORO 3.4. Uživatelská příručka. Ostrava, skripta FS VŠB-TU Ostrava, 1996

[6]

FEUER, A. – GOODWIN, G. C.: Sampling in Digital Signal Processing and Control. Boston – Basel – Berlin, Birkhäuser, 1996

[7]

FAZARINC, Z.: Jeden z pohledů na infinitezimální počet. Bulletin 2/88, Československá společnost pro mechaniku při ČSAV

[8]

GOODWIN, G. C. – GRAEBE, S. F. – SALGADO, M. E.: Control System Design. New Jersey, Prentice –Hall, 2001

[9]

HANUŠ, B. - BALÁTĚ, J.- ŠVARC, I.- aj.: Teorie automatického řízení I. Liberec, skripta Vysoké školy strojní a textilní, 1982

HANUŠ, B. - a kol.: Základy technické kybernetiky. Praha, SNTL/ALFA,

[10] MIDDLETON, R. H. - GOODWIN, G. C.: Digital Control and Estimation. A Unified Approach. Englewood Cliffs, Prentice-Halll, Inc., 1990 [11] MINDEKOVÁ, D.: Použití delta modelů při syntéze lineárních regulačních obvodů. Ostrava, diplomová práce (vedoucí DP: M. Vítečková), FS VŠB-TU Ostrava, 1996 [12] MOŠNA, J. - ŠIMANDL, M.: DELTA model lineární diferenciální soustavy. Automatizace 8/1990, str. 212 - 216 [13] MUKHOPADHYAY, S. at all: New Class of Discrete-time Models for Continous-time Systems. Int. J. of Control, vol. 55, No 5/1992 [14] PETROV, B. N. - SOKOLOV, N. I. - LIPATOV, A. V.: Sistemy avtomatičeskovo upravlenia objektami s peremennymi parametrami: Inženernyje metody analiza i sinteza. Mašinostrojenije, Moskva, 1986 [15] STREJC, V.: Stavová teorie lineárního diskrétního řízení. Praha, Academia, 1978 [16] STREJC, V.: Syntéza regulačních obvodů s číslicovým počítačem. Praha, Nakladatelství ČSAV, 1965 [17] STREJC, V.: Teorie lineární regulace. Praha, skripta ČVUT Praha, 1970 [18] VÍTEČEK, A.: Matematické metody automatického řízení. Transformace L a Z. Ostrava, skripta FS VŠB-TU Ostrava, 1988 [19] VÍTEČKOVÁ, M.: Matematické metody v řízení. L- a Z- transformace. Ostrava, skripta FS VŠB-TU, 1999 [20] VÍTEČKOVÁ, M.: Syntéza lineárních regulačních obvodů. Metoda inverze dynamiky. Ostrava, skripta FS VŠB, 1999


83

[21] ZÍTEK, P.: Matematické a simulační modely 1. Modely v komplexním oboru. Praha, skripta ČVUT v Praze, 2001 [22] ZÍTEK, P.: Matematické metody automatického řízení. Praha, skripta ČVUT v Praze, 1994

VŠB - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA. Začlenění delta transformace do výuky bakalářského a magisterského studia

Recommend Documents