BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke
VASBETON LEMEZEK KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSA
Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György
Budapest, 2001. május hó
8. VASBETON LEMEZEK KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSA A rugalmas lemezelmélet alkalmas a szerkezet viselkedésének leírására a gyakran előforduló terhek hatására, használati határállapotokban. A terhelések növekedése következtében, a szerkezet teherbírásának kimerüléséhez közeledve, a leginkább igénybevett keresztmetszetekben egyre több helyen éri el az igénybevétel a keresztmetszet vasalása, geometriai és anyagjellemzői alapján meghatározott törőigénybevételt. Ezek a keresztmetszetek a teher további növeléséből keletkező többlet- igénybevételeket már nem képesek felvenni, ezért itt, (a hajlító igénybevételek szempontjából) ún. képlékeny csuklók alakulnak ki. A szerkezet statikai határozatlanságától függően, megfelelő számú képlékeny csukló kialakulása után a rendszer labilissá válik és ekkor bekövetkezik a tönkremenetel. Egy vasbeton lemez jellegzetes “teher – lehajlás” diagrammját mutatja a K1. ábra a teher növekedésének függvényében.
K1. ábra A vasbeton lemez viselkedésének egyes fázisai a következők: a) Rugalmas viselkedés Ebben a fázisban a lemez úgy viselkedik, mint egy homogén, izotróp, rugalmas anyagú szerkezet, repedések nem alakulnak ki, I. feszültségi állapotban van minden keresztmetszete. b) Berepedt állapot A terhek növekedése következtében a húzott zónákban repedések alakulnak ki, a berepedt keresztmetszetek merevsége jelentősen csökken. A hajlítónyomatékok emiatt átrendeződnek, a terhek további növeléséből származó nyomatékok gyakrabban nőnek a még be nem repedt zónákban, mint a már berepedt metszetekben. A húzott acélbetétek még rugalmas állapotban vannak, ezért a repedések megnyílása korlátozott. A lemez II. feszültségi állapotban van.
c) Képlékeny állapot kialakulása További tehernövekedésnél a leginkább igénybevett keresztmetszetekben a húzott acélbetétekben keletkező feszültség egyre több helyen éri el a folyási határfeszültséget. Ezek a keresztmetszetek ettől kezdve többlet-nyomatékot már nem képesek felvenni, de tovább alakváltoznak, ezért a nyomatékok átrendeződése a teher növelése esetén még nagyobb mértékű lesz, mint az előző fázisban volt. A képlékeny állapot fokozatosan terjed tovább azokban a sávokban, ahol a repedések tágassága a legnagyobb. Az ilyen sávokat a jelenség modellezésének leegyszerűsítése érdekében csuklósoroknak tekinthetjük. Ezek a csuklósorok a lemez alakjától, megtámasztási viszonyaitól és terhelésétől függően alakulnak ki, többékevésbé egyenesnek tekinthető vonalak mentén. d) Törési állapot Ha a kialakuló képlékeny csuklósorok, vagy törésvonalak hálózata következtében a szerkezet labilissá válik, akkor a lemez alakváltozásai további tehernövekedés nélkül is növekszik egészen addig, míg a képlékeny zónákban a nyomott oldalon a beton összemorzsolódik és a szerkezet teherbírása ezzel kimerül. Az ezen állapotot előidéző terhet nevezzük a lemez képlékeny teherbírásának, a lemez törőterhének. A fenti állapotleírásban előforduló fontosabb fogalmak: A képlékeny csukló Ha egy gerenda valamely keresztmetszetében fellépő hajlítónyomaték eléri az MR képlékeny törőnyomatékot, akkor ott, azon a helyen a görbület a végtelenhez tart. Ez a keresztmetszet gyakorlatilag “csuklóként” működik, mivel a metszethez csatlakozó két rúdszakasz között θ relatív elfordulás jön létre. Mivel ez az elfordulás csak a képlékeny nyomatéki teherbírásnak megfelelő irányú és nagyságú nyomaték hatására jöhet létre, ezért ezeket - a hagyományos csuklóktól való megkülönböztetés érdekében - képlékeny csuklóknak nevezzük.
K2. ábra. Képlékeny csukló kialakulása. Vasbeton keresztmetszetek esetében a képlékeny csukló kialakulásához szükséges egyrészt, hogy a keresztmetszet vasalásának mennyisége elegendően nagy legyen a repedések kialakulásának pillanatában bekövetkező betonacél szakadás elkerülésére, másrészt a keresztmetszet vasalásának mennyisége ne legyen túlzottan nagy, hogy biztosítva legyen a képlékeny elfordulási képesség és a keresztmetszet ne a nyomott betonöv összemorzsolódása következtében menjen tönkre a húzott acélok megfolyása előtt. Derékszögű négyszög alakú
keresztmetszetek esetén ez a feltétel általában teljesül ha a húzott vasalás fajlagos keresztmetszeti területe a betonkeresztmetszet 0,15 - 1,5 % - a között van. A törési mechanizmus Statikailag határozatlan (rúd)szerkezetek esetén egy képlékeny csukló kialakulásakor a szerkezet statikai határozatlanságának foka eggyel csökken. Egy kezdetben statikailag határozott szerkezet ezért egyetlen képlékeny csukló kialakulásakor statikailag instabillá válik. Ezt az instabil szerkezetet törési mechanizmusnak nevezzük. Egy ilyen mechanizmus képlékeny csuklókkal egymáshoz kapcsolódó rúdelemekből, vagy lemez esetén képlékeny csuklósorokkal kapcsolódó lemeztáblákból áll. Azt a terhet, amelynek hatására a törési mechanizmus létrejön a szerkezet törőterhének nevezzük. Néhány törési mechanizmust mutat rúdszerkezetek esetén a K3. ábra.
K3. ábra. Törési mechanizmusok 8.1 SZÁMÍTÁSI MÓDSZEREK A rugalmas számítási módszerekkel ellentétben a képlékeny alakváltozások és feszültségek között nincs egyértelmű összefüggés és a képlékeny alakváltozások nem reverzibilisek. A szerkezetek képlékeny teherbírás vizsgálatánál a következő feltételeket kell kielégíteni: Egyensúly, mely szerint a szerkezetre működő összes erőnek (ide értve a reakcióerőket is) egyensúlyban kell lennie. Teherbírás, melynek értelmében a szerkezet összes keresztmetszetében a külső terhekből keletkező igénybevételek nem haladhatják meg az adott keresztmetszet törőteherbírását, mely a keresztmetszetben lévő acélbetétek és beton teherbírásának kimerülésekor jön létre. Mechanizmus, mely a szerkezet törési mechanizmusának kialakulásához elegendő számú képlékeny csuklónak kell létrejönnie a törési állapot bekövetkezéséhez. (Meg kell jegyezni, hogy a rugalmasságtanban az első két feltétel azonos, a harmadik feltételt pedig a szerkezet kompabilitásával kell helyettesíteni.) A képlékenységtan előző három alapfeltevésének kielégítéséhez a következő két számítási módszer alkalmazható:
Statikai módszer A statikai módszer olyan statikailag megengedett nyomatékmezők meghatározásán alapul, amelyek kielégítik az egyensúlyi és a törési feltételeket. A statikai tétel kimondja, hogy minden olyan Qi terhelés, amelynek egy Mi statikailag megengedett nyomatékmező felel meg kisebb, vagy legfeljebb azonos a szerkezet QR teherbírásával. Statikailag megengedett nyomatékmezőket mutat az K4. ábra háromnyílású, megoszló teherrel terhelt gerenda esetén.
K4. ábra Statikailag megengedett nyomatékmezők Kinematikai módszer A kinematikai módszer az egyensúlyi és a mechanizmus kialakulására vonatkozó feltételek kielégítésén alapul; olyan kinematikailag lehetséges törési mechanizmusok felvétele alapján, amelyeknél a felvett képlékeny csuklóban a törőnyomaték lép fel, a csuklók közötti tartószakaszok pedig egyensúlyban vannak. A kinematikai tétel szerint minden olyan Qi terhelés amely megfelel egy kinematikailag lehetséges törési mechanizmusnak, nagyobb a QR tényleges teherbírásnál, vagy legfeljebb egyenlő azzal. A statikai tétel alapján: Qi stat < QR valamint, a kinematikai tétel alapján: Qi kin > QR, figyelembevételével kimondható az unicitási tétel, amely szerint: ha egy kinematikailag lehetséges törési mechanizmushoz hozzárendelhető egy statikailag megengedett nyomatékmező, akkor a hozzájuk tartozó Qi közös terhelés a szerkezet tényleges teherbírásával azonos.
K5. ábra. Az unicitási tétel
Példaképpen határozzuk meg a következő, egyik végén megtámasztott, másik végén befogott, két koncentrált erővel terhelt gerenda törőterhét a statikai és a kinematikai módszer alapján. Egy lehetséges statikailag megengedett nyomatékmezőt és kinematikailag lehetséges törési mechanizmust mutat az K6. ábra.
K6. ábra A statikai módszer alapján (K6/a. ábra ) RA = RB = Q a felvett nyomatékmezőből, ezzel MR =
Q⋅l 3M R és innen QR ≥ 3 l
A kinematikai módszerrel (K6/b. ábra ) a felvett kinematikailag lehetséges mechanizmus alapján a képlékeny csuklók közötti szakaszok egyensúlya a szerkezetre működő terhek és igénybevételek által végzett LK külső és LB belső munkák egyenlősége alapján biztosítható: 9M R l LK = Q ⋅ Θ ⋅ = M R ⋅ Θ + M R ⋅ 2Θ = LB innen QR ≤ l 3
A kétféle módszerrel meghatározott törőteher tehát nem azonos, a kinematikailag lehetséges teher a statikailag megengedettnek háromszorosa!
Vizsgáljuk most az K7. ábrán feltüntetett statikailag megengedett nyomatékmezőt és kinematikailag lehetséges mechanizmust:
K7. ábra A statikai módszer szerint (K7/a ábra ) : RA = Q +
MR l
és
RB = Q −
MR l
ezzel M R = RB
l l M =Q − R 3 3 3
ebből
QR ≥
4M R l
Az K7/b ábrán felvett mechanizmusból a kinematikai módszer alapján a külső és belső erők virtuális munkájának egyenlőségéből: l 2l LK = Q ⋅ Θ ⋅ + Q ⋅ Θ ⋅ = M R ⋅ Θ + M R ⋅ 3Θ = LB 3 3
ebből
QR ≤
4M R l
A statikai és a kinematikai módszer tehát ebben az esetben azonos eredményre vezetett, amely elvileg az adott elrendezésű teher esetén a tényleges törőterhet határozta meg. 8.2. ALKALMAZÁS VASBETON LEMEZEK ESETÉN Vasbeton lemezek méretezése elvileg a statikai és a kinematikai módszerrel is elvégezhető. A továbbiakban itt csak a Johansen által kidolgozott törésvonal elmélettel foglalkozunk, mely a kinematikai módszeren alapul. A módszer lényege, hogy a lemezt képlékeny csuklósorok, vagy másképpen törésvonalak lehetséges konfigurációinak felvételével olyan törési mechanizmussá alakítjuk, amelyhez - például a virtuális munkák egyenlőségének biztosításával - meghatározható a szerkezet törőterhének felső korlátja. A módszer előnye, hogy alkalmazásával bonyolultabb alaprajzú és megtámasztási viszonyú lemezek teherbírása is viszonylag egyszerűen megbecsülhető.
A törésvonal-elmélet alkalmazásakor a következő alapfeltevéseket tesszük: - a törésvonalak mentén a nyomaték állandó és az acélbetétek megfolyásához tartozó törőnyomatékkal azonos, - a törésvonalak által határolt lemeztáblák merev test szerűen fordulnak el az egyszerűen megtámasztott, vagy befogott peremek körül, - oszloppal megtámasztott lemez esetén az elfordulási tengely átmegy az oszlop tengelyén Ezen alapfeltevésekből az alábbi következmények származtathatók: - egy befogott peremen mindig törésvonalat kell feltételeznünk a mechanizmus kialakulásához. - a törés pillanatában a rugalmas alakváltozások a képlékeny deformációkhoz képest kicsik, a méretezésnél ezért elhanyagolhatók. Ebből következik, hogy a törésvonalak egyenesek. - minden törésvonal átmegy annak a két lemeztáblának az elfordulási tengelyének a metszéspontján, amelyeket elválaszt. - ha a törésvonalak a lemez felületét n lemeztáblára osztják fel és ha minden elfordulási tengely ismert, akkor n-1 geometriai paraméterrel lehet teljesen leírni a törési mechanizmust. - általános esetben nem minden lemeztábla elfordulási tengelye ismert. Ha ξ a nem-ismert elfordulási tengelyek számát jelenti, akkor a törési mechanizmus i=n-1+ξ geometriai paraméterekkel jellemezhető egyértelműen
A virtuális munkatétel alkalmazása A törési mechanizmus kialakulása után egy a törésvonalak, illetve a lemez széle által határolt lemeztáblára a következő terhek hatnak: • a külső terhek (önsúly és hasznos terhelés) a felületen megoszló q, vagy vonal mentén megoszló q_, vagy koncentrált Q erők formájában, • a törésvonalak mentén fellépő m hajlító és mT csavarónyomatékok és • a törésvonalak mentén, a két csatlakozó lemeztábla között keletkező nyíróerők. Legyen a lemez egy végtelenül kicsi eleme dxdy felülettel jellemezve, ha ennek a virtuális elmozdulása δ(x,y) akkor a teljes lemezre a külső erők virtuális munkája: L K = ∫∫ q δ ( x , y )d x d y + ∫ q ⋅ δ ( l ) d l + ∑ Q δ i A l
Legyen θi a törési mechanizmus egy lemezelemének virtuális elfordulása, si egy az elemet határoló törésvonal szakasz hossza, és mi az si törésvonalon működő fajlagos nyomaték. Ekkor a nyomatékok belső virtuális munkája a teljes lemezre:
( )
( )
L = ∑ m s ⋅Θ = ∑ s m Θ B ii i i i i i i ahol az m i Θ i skalárszorzat m ⋅ Θ= m ⋅ Θ ⋅ cos m,Θ .
( )
A csavarónyomatékok és a nyíróerők munkája teljes lemezre zérus ( mivel a törésvonal két oldalán ezek azonos értékűek, de ellenkező előjelűek).
A külső és belső munkák egyenlősége alapján ( LK=LB ) , az m nyomatékok meghatározhatók a qR törőteher és a törésképet jellemző λi paraméterek függvényében: a) A feladat megoldása az m=m(λ1,λ2...λn, qR) függvény maximálásából áll és a következő egyenletrendszer megoldására vezet: ∂m = 0; ∂λ 1
∂m = 0 ; ... ∂λ 2
∂m = 0 ∂λ n
Az egyenletrendszert megoldva λi értékei és az m nyomaték, a qR függvényében meghatározhatók (i = 1, 2, …n). b) Egy másik lehetséges megoldás: a qR törőteheret határozzuk meg a lemez ismert vasalásából számítható törőnyomatékok és a töréskép jellemző λi paramétereinek függvényében. Ekkor a qR(λ1,λ2...λn, mR) függvény minimumát kell kiszámítani a következő egyenletrendszerből: ∂qR ∂qR = 0; = 0 ; ... ∂λ 1 ∂λ 2
∂qR = 0 ∂λ n
(i = 1, 2, …n).
Ez a megoldás az adott vasalású lemez törőterhének felső korlátját adja.
