Vasbeton lemezek törőterhének meghatározása Képlékeny lemezelmélet alapfogalmai és alkalmazása

Vasbeton lemezek törőterhének meghatározása v.1.0.

Hidak és Szerkezetek Tanszéke

Vasbeton lemezek törőterhének meghatározása – Képlékeny lemezelmélet alapfogalmai és alkalmazása – 1., Határozzuk meg az ábrán látható, két oldala mentén befogott, harmadik oldala mentén szabad peremű vasbeton lemez törőterhét. A teher koncentrált, támadáspontja „P”. A lemez nyomatéki teherbírása: mx-=my-=8kNm/m mx+=my+=4kNm/m (mx jelen értelmezés szerint az a nyomaték, ami az x irányban futó vasak teherbírásából számítható). nyomaték

nyomaték

mRd

III.

b

mRd a

II.

I.

c

d

A lemezdarabok rugalmas alakváltozását elhanyagoljuk. A keresztmetszetet tökéletesen merev-képlékeny modellel vizsgáljuk.

görbület görbület 1. ábra. Egy vb. keresztmetszet "valódi" és a képlékeny lemezelméletben alkalmazott egyszerűsített nyomaték-görbület összefüggése

a mEd<mRd

b mEd=mRd

c

d

mEd=mRd

mEd=mRd

2. ábra. A képlékeny csukló kialakulása

A törőteher meghatározását az energiamódszer és az egyensúlyi módszer segítségével mutatjuk be. Mindkét eljárás a globális, hajlítási tönkremenetelek elemzésére alkalmas. Mindkét módszer esetén első lépés, hogy egy mozgásképes mechanizmust hozzunk létre. A törésvonalak vázolásakor abból az alapfeltevésből indulunk ki, hogy a törésvonalak mentén képlékeny csuklósorok alakulnak ki, tehát a törésvonal mentén a lemez eléri nyomatéki teherbírásának csúcsértékét, de nem merül ki alakváltozási képessége, így a további szögelfordulás nem jár együtt a nyomatéki ellenállás növekedésével. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a törésvonal mentén a lemezdarabok a további terhekre nézve ellenállás nélkül tudnak elfordulni. Ezért nevezzük ezt a tartományt képlékeny csuklónak. A töréskép helyes megalkotásához elengedhetetlen, hogy tudjuk, a lemeznek csak a nyomatéki teherbírása merül ki, a nyírási teherbírása nem. Így a lemezdarabok között a folytonosságnak meg kell maradnia minden törésvonal mentén (nem lehet benne lépcső). A törésvonalak segítségével úgy hozhatunk létre az előbbieknek megfelelő, mozgásképes mechanizmust, ha a törésképet a következő szabályoknak megfelelően szerkesztjük: - Minden lemezdarab a saját elfordulási tengelye mentén fordul el. - Minden vonalmenti támasz (csuklós/befogott) elfordulási tengely. - A befogott perem csak úgy lehet elfordulási tengely, ha a támaszvonal mentén negatív nyomatéki törésvonal alakul ki.

Készítette: Völgyi István

1/6

2007. február



- Az elfordulási tengelyek metszéspontjából minden esetben pozitív nyomatéki törésvonal indul ki. A törésvonalak megalkotásához sok esetben fel kell használnunk azt a geometriai tézist, hogy a párhuzamos egyenesek a végtelenben metszik egymást. Így sok esetben a párhuzamos támaszok között mindkettővel párhuzamosan ugyancsak kialakul egy pozitív törésvonal. - A pontszerű támaszokon minden esetben átfut egy elfordulási tengely. (iránya általában ismeretlen) - A koncentrált teher támadáspontja alatt metszik egymást a törésvonalak. - Szimmetrikus geometriájú, teherbírási és terhelési paraméterekkel rendelkező lemez törésképe is szimmetrikus. A szimmetria lehet középpontos, tengelyes vagy forgásszimmetria. Megjegyzendő, hogy a fent említett elvek alapján nem készíthető minden esetben egyértelmű töréskép egy lemezre. Ez esetben minden lehetséges törésképet elemezni kell, illetve paraméterek segítségével kell megkeresni a törőteher legkisebb, valódi értékét. A fent említett alapelvek alkalmazásával az ábrán látható töréskép vehető fel a lemezünkön. 2 4

x

1,5

1

3

P sz

ad ab

pe

m re

P

2

P

szintvonal esésvonal

y

3. ábra. A lemez geometriája, a felvett töréskép és a számításhoz használt modell

4. ábra Az elmozdult lemez axonometrikus képe

Az energiamódszer lényege, hogy a külső terheknek az alattuk számítható eltolódáson végzett külső munkáját teszi egyenlővé a képlékeny csuklósorok, vagyis a törésvonalak mentén a nyomatékoknak az egységnyi eltolódásból számítható elfordulásokon végzett belső munkájával. Fontos, hogy a külső munka esetén az erők munkáját a hatásvonalukba eső eltolódás-komponens segítségével számítsuk. A nyomatékok munkáját mindig a törésvonalra merőleges metszetben számítható elfordulás segítségével adjuk meg.


2/6

2007. február



A külső munka számítása általánosságban az eltolódásfüggvény és a teherfüggvény szorzataként számítható, ami a lemez területe mentén történő integrálás segítségével hajtható végre. E külső munka számítása a szokványos terhek esetén lényegesen egyszerűbb. Egyenletesen megoszló teher működésekor a teher intenzitását az elmozdult lemezalak és a terheletlen alak közötti térrész térfogatával szorozva kaphatjuk. Koncentrált teher esetében a tehernek a támadáspontja alatt leolvasható eltolódással történő szorzása útján kaphatjuk a külső munkát. Esetünkben a külső munka számítása: Π k = P ⋅ 1m A belső munka a nyomatéki teherbírás, a törésvonal hossz és az elfordulás szorzataként számítható: 1 1 1 1 Π B = m x− ⋅ 3m ⋅ + m y− ⋅ 4m ⋅ + m x+ ⋅ 1,5m ⋅ + m y+ ⋅ 2m ⋅ = 41,67 kNm 2 1,5 2 1,5

E m 0 , 5 e ts z et

E-

3

1,5

A külső és a belső munka egyenlőségéből az ismeretlen törőteher kifejezhető, esetünkben 41,67kN. Izotróp lemez esetén a számítást nem csak úgy végezhetjük 2 E el, hogy a ferde törésvonalat bontjuk fel a két 4 K L koordinátatengellyel párhuzamos darabokra, hanem azt is U megtehetjük, hogy az elfordulás nagyságát határozzuk meg T a törésvonalra merőleges metszet segítségével. P Az E-E metszetet KP felezőpontján keresztül, a S törésvonalra merőlegesen vesszük fel. Így a T pont 0,5/0,9375+ E +0,5/1,667= eltolódása 0,5m. ST és TU hossza az eredetihez hasonló M =0,8333 KST és KTU háromszögekből határozható meg. KT 6. ábra. Szögelfordulás hossza KP fele, vagyis 1,25m. a törésvonalra merőlegesen ST = 1,667 m TU = 0,9375m . A pozitív nyomatéki törésvonal mentén számítható belső munka: Π +B = m + ⋅ 2,5m ⋅ 0,8333 = 8,333kNm Megjegyzendő, hogy a negatív (befogási) törésvonalak mentén a munka számítása az előzővel azonos. Természetesen a számítható törőteher is azonos az előzővel. A törőterhet az egyensúlyi módszer segítségével is meghatározhatjuk. Ekkor az egyes lemezdarabok elfordulási tengelyére írunk fel nyomatéki egyensúlyi egyenletet. A lemezdarabon elhelyezkedő külső terhek által képviselt külső nyomatékkal tart egyensúlyt az elfordulási tengellyel párhuzamos törésvonalak mentén összegzett nyomatéki teherbírás. Szabad szélre kifutó törésvonal kialakulásakor az egyensúlyi módszer csak akkor ad pontos eredményt, ha a törésvonal két oldalán egy-egy, lemezre merőleges, Q erőt veszünk fel. Ezek nagysága m+*ctgα, ahol α a törésvonalnak a szabad széllel bezárt szöge. Ha α>90°, az összefüggés negatív eredményt ad. Ekkor a Q erő irányát úgy kell felvenni, hogy az adott lemezdarab forgástengelyén negatív


3/6

2007. február



nyomatékot okozzon, vagyis felfelé mutasson. Ha α <90°, a Q erő lefelé mutató. Esetünkben: α1=106,26° ; m+ *ctg α1=-1,167 kN. A jelenség elméleti háttere fellelhető a szakirodalomban. Az 1 jelű lemezdarab egyensúlya: ΣMk= ΣMb

P1 ⋅ 1,5m − Q1 ⋅ 1,5m = m y− ⋅ 4m + m +y ⋅ 2m → P1 = 27,83kN A 2 jelű lemezdarab egyensúlya: P2 ⋅ 2m + Q2 ⋅ 2m = m x− ⋅ 3m + m x+ ⋅ 1,5m → P2 = 13,83kN A lemez törőterhe az egyes lemezdarabokon számítható erők összege:

P = ∑ Pi = 41,67kN A fent megoldott feladat esetén a peremen felvett erők támadáspontja éppen egyezik a külső teher támadáspontjával, ezért a törőterhet nem, csak annak a két lemezdarab közötti eloszlását befolyásolja. Általában a törőteher értéke is változik.

1/1,5

D A

A-A metszet 1

c 1/1,5 C a(d)

C

c a

d b

b D

1 A

B

B-B metszet

3

1/1,5

D-D metszet

3

B

2., Határozzuk most meg az ábrán látható négy oldala mentén befogott vasbeton lemez törőterhét, ha egyenletesen megoszló teher terheli. mx-=my-=8kNm/m mx+=my+=4kNm/m A töréskép csak az ábrán látható alakú lehet, hiszen a szerkezet A-A és B-B metszetek vonalára egyaránt szimmetrikus geometriai és statikai értelemben egyaránt.

C-C metszet a d c(b) 1/1,5

8. ábra. Geometria, töréskép, szögelfordulások a törésvonalak mentén

Elsőként energiamódszer segítségével adjuk meg a törőteher értékét. A külső munka számításakor, ahogy már korábban említettük, a külső tehernek az eltolódásokon végzett munkáját kell kiszámítanunk. Ez algebrailag az elmozdult alak által létrehozott „medence” térfogatának a teher intenzitásával történő szorzataként adódik. A meghatározandó térfogat 4 darab egybevágó háromszög alapú gúla. 1m ⋅ 3m ⋅ 1,5m Πk = p ⋅ ⋅ 4 = 3m 3 ⋅ p 2⋅3

A belső munka az előző mintapéldában bemutatott elvek alapján számítható. Π b = 2 ⋅ 3m ⋅ m x− ⋅


1 1 1 1 + 2 ⋅ 3m ⋅ m −y ⋅ + 2 ⋅ 3m ⋅ m x+ ⋅ + 2 ⋅ 3m ⋅ m +y ⋅ = 96kNm 1,5 1,5 1,5 1,5

4/6

2007. február


p=

A törőteher értéke:


96kNm kN = 32 2 3 3m m

Ezt a lemezt is vizsgálhatjuk egyensúlyi módszerrel. Itt nincs szabad szélre kifutó perem, tehát a számítás egyszerűbb. Négy egybevágó háromszöget hoz létre a töréskép. A négy lemezdarab egyensúlyát kifejező egyenlet tehát azonos. Így elegendő csak az egyiket felírni. A lemezdarab elfordulási tengelyére (a támaszvonalra) számítható külső nyomatékkal tart egyensúlyt a lemezdarabnak az elfordulási tengellyel párhuzamos törésvonalak mentén számítható nyomatéki teherbírása. p ⋅ 1,5m ⋅ 3m 1,5m kN ⋅ = 3m ⋅ m x− + 3m ⋅ m x+ → p = 32 2 2 3 m A fenti feladat megoldása alaposan megváltozik, ha a megtámasztási viszonyokat megváltoztatjuk.

A valódi töréskép

A

A

A-A metszet 1/1,5 1 (1/1,5)*2

C c 1/K a(d)

C c

K

D-D metszet

3

L

1,5

a

d b

b

K=1,5m-L/2 C-C metszet a d c(b) 1/1,5 D

3

D

Legyen most a lemez két oldala mentén befogott, két oldala mentén csuklós megtámasztású!

9. ábra. Lehetséges törésképek és szögelfordulások a törésvonalak mentén

A töréskép meghatározása ezúttal nehezebb feladat. A szerkezetünk most nem azonos megtámasztású x és y irányban, így a töréskép sem állhat négy egybevágó háromszögből. A két szimmetriatengely azonban most is létezik, így az ábrán látható törésképek lehetségesek. Megfigyelhető, hogy itt már szerepet kapnak a párhuzamos támaszvonalak végtelenben elhelyezkedő metszéspontjából kiinduló pozitív törésvonalak. Ha egy kicsit elővesszük az egyensúlyi módszernél alkalmazott gondolatmenetet, közelebb juthatunk a megoldáshoz. Mindegyik lemezdarabon ugyanaz az egyenletesen megoszló teher található. Ez okoz mindegyik lemezdarabon tönkremenetelt. Nyilvánvaló, hogy a befogott lemezdarabok nagyobb teherbírással rendelkeznek, így biztosan úgy fog kialakulni a töréskép, hogy a befogott peremű lemezdarabon a külső erőből számítható nyomaték nagyobb legyen a csuklós pereműnél. Így sem tudjuk azonban egyértelműen megadni, hol találkoznak a pozitív törésvonalak. A megoldás során a támasz és a metszéspont közötti távolságot (K), mint paramétert fogjuk kezelni. Az ilyen jellegű feladatokban nagy körültekintéssel kell megválasztani az alkalmazott paramétert, mert a megoldás –elsősorban a deriválás- bonyolultsága erősen változó a választott paraméter függvényében. Energia módszer: Az „a” lemezdarab térfogatát egy háromszög alapú hasáb és két háromszög alapú gúla összegeként számítjuk: Π k = p ⋅ (3m − 2 K ) ⋅ 3m ⋅


1m K 1 K 1m + 2 ⋅ 2 ⋅ p ⋅ 1,5m ⋅ ⋅ + 2 p ⋅ 3m ⋅ ⋅ = p ⋅ (4,5m − K ) ⋅ m 2 2 2 3 2 3

5/6

2007. február


Π b = 2 ⋅ 3m ⋅ m x− ⋅


1 1 1m 24kNm 2 + 2 ⋅ 3m ⋅ m x+ ⋅ + 2 ⋅ 3m ⋅ m y+ ⋅ = 48kNm + 1,5 1,5 K K

Az y irányban futó törésvonal középső, L hosszúságú része valójában különálló, az ott létrejövő szögelfordulás a kettéváló törésvonaldarabokon számítható elfordulások összege. Ezt úgy is felfoghatjuk, mintha a két törésvonal közvetlenül egymás mellett futna. Ezért számíthatjuk a fenti módon a belső munkát. kN 24kN 48 + m K A két kifejezést egyenlővé téve, a törőteher értéke: p ( K ) = 4,5m − K A valódi töréskép olyan K esetén áll elő, amelynél

dp ( K ) kN = 0 → K = 1,081m → p = 20,53 2 dK m

p(K) függvénye 25

p(K)

24 23 22 21 20 0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

K

Mechanikai szempontból az „a”,”d” illetve a „b”,”c” lemezdarabok azonosak. Az „a”, „d” lemezdarabok egyensúlya (A darabokat két háromszögre és egy téglalapra osztjuk): (1)

3m ⋅ m x− + 3m ⋅ m x+ = 2 ⋅ p ⋅ 1,5m ⋅

1,5m K 1,5m ⋅ + p ⋅ (3m − 2 K ) ⋅ 1,5m ⋅ 2 3 2

A „b” és”c” lemezdarabok egyensúlya: (2)

3m ⋅ m +y = p ⋅

K K 24kN ⋅ 3m ⋅ → p = 2 3 K2

A két ismeretlenes egyenletrendszert megoldva az előző módszerrel azonos eredményt kapunk. Megjegyzés: a dolgozatnak nem célja, hogy teljes elméleti és gyakorlati áttekintést nyújtson a képlékeny lemezelmélet témakörében. Sokkal inkább a témában fellelhető segédanyagok szemléletes kiegészítéseként szolgál.


6/6

2007. február

Vasbeton lemezek törőterhének meghatározása Képlékeny lemezelmélet alapfogalmai és alkalmazása

Recommend Documents