ÚVOD DO TEORIE TVAROVÉ OPTIMALIZACE Formulace abstraktní úlohy, řešitelnost a aproximace

´ VOD DO TEORIE TVAROVE´ OPTIMALIZACE U Formulace abstraktnı´ u´lohy, rˇesˇitelnost a aproximace Jirˇ´ı V. Hora´k Katedra matematicke´ analy´zy a aplikacı´ matematiky, Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta, Universita Palacke´ho, Tomkova 40, 771 46 Olomouc e-mails: [email protected], [email protected]

Abstrakt

Prˇ´ıspeˇvek je u´vodem do matematicke´ teorie tvarove´ optimalizace. Pro spojity´ prˇ´ıpad je formulovańa abstraktnı´ u´loha tvarove´ optimalizace a prˇedpoklady zajisˇt’ujıćı´ jejı´ ˇresˇitelnost. K odstraneˇnı´ nehladkosti stavove´ u´lohy je uvedena metoda regularizace a prˇedpoklady umozˇnˇujıćı´ rˇesˇitelnost i aproximativnost odpovı´dajıćı´ optimalizacˇnı´ u´lohy (konvergence „regularizovanyćh“ optima´lnıćh rˇesˇenı´ k optima´lnı´mu rˇesˇenı´ spojite´ho prˇ´ıpadu). Pro diskretnı´ prˇ´ıpad je definovańa aproximace stavove´ i optimalizacˇnı´ u´lohy a prˇedpoklady garantujıćı´ konvergenci prˇiblizˇnyćh optima´lnıćh rˇesˇenı´ k rˇesˇenı´ spojite´ formulace. Nakonec je uveden ilustrativnı´ prˇ´ıklad nehladke´ a nekonvexnı´ optimalizace.

Summary

In the paper we present an introduction to the theory of optimal shape design. In the continuous case, we define an abstract formulation of optimal shape design problem and assumptions guarantying its solvabillity. Next we define regularization technique to the state problem to obtain a smooth one. The assumptions implying convergence of the regularized optimal solutions to the solution of continuous case has also been given. In the discrete case, approximation of the state and optimal problem has been given. Assumptions and proofs of the convergence results are given. Finally, the illustrative example of non-smooth and non-convex optimization has been given.

12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –1–

Obsah prˇedna´sˇky: ´ vod 1. U 1.1 Pouzˇity´ apara´t 1.2 Variacˇnı´ pocˇet 2. Abstraktnı´ u´loha na´vrhu optima´lnı´ho tvaru oblasti 2.1 Tvarova´ optimalizace – Spojity´ prˇ´ıpad 2.2 Regularizace stavove´ u´lohy 2.3 Aproximace u´lohy optima´lnı´ho na´vrhu oblasti 3. Prˇ´ıklady: 3.1 Typy cenovyćh funkciona´lu˚ 3.2 Nehladka´ a nekonvexnı´ optimalizace Za´veˇrecˇne´ pozna´mky, aplikace vy´sledku˚ Prˇehled literatury


1

U´VOD

´ vod 1 U Problematika optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ a navrhovańı´ je velmi obsa´hla´, v tomto prˇ´ıspeˇvku se omezı´me jen na jejı´ jednu malou cˇa´st, to je na problematiku navrhovańı´ optima´lnıćh tvaru˚ vysˇetrˇovanyćh teˇles „optimal shape design“, a navıć jen na strucˇny´ u´vod do jejı´ matematicke´ teorie, viz naprˇ´ıklad [1], [2], [3], atd. Z matematicke´ho pohledu ma´ u´loha optima´lnı´ho navrhovańı´ tvar minimalizace vhodne´ho kriteria (cenove´ho funkciona´lu) J : X → R nad mnozˇinou prˇ´ıpustnyćh na´vrhovyćh parametru˚ (reprezentujıćıćh tvary oblastı´) Uad ⊂ X , prˇicˇemzˇ navıć pozˇadujeme splneˇnı´ specia´lnı´ vazbove´ podmıńky: dane´ kriterium J je slozˇene´ zobrazenı´ ve ktere´m je zahrnuto take´ rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy odpovı´dajıćı´ zvolene´mu na´vrhove´mu ´ lohu tedy mu˚zˇeme forma´lneˇ zapsat ve tvaru parametru. U ¯ ∈ Uad : ?Ω

¯ ≤ J (Ω) ∀ Ω ∈ Uad . J (Ω)

Jde tedy o u´lohu nalezenı´, v jiste´m smyslu nejlepsˇ´ı geometrie tvaru oblasti Ω ⊂ Rn a Ω ∈ O, kde O je vhodneˇ zvoleny´ syste´m prˇ´ıpustnyćh oblastı´, jehozˇ prvky mohou by´t reprezentovańy podmıńkou ∂Ω ∈ Uad , kde Uad musı´ mı´t takove´ vlastnosti (naprˇ´ıklad neˇjaky´ typ kompaktnosti), jezˇ garantujı´, zˇe minimalizacˇnı´ u´loha bude mı´t rˇesˇenı´. Na kazˇde´ oblasti Ω ∈ O je zadańa prˇ´ıslusˇna´ jednoznacˇneˇ rˇesˇitelna´ stavova´ u´loha (P) s rˇesˇenı´m oznacˇeny´m u(Ω) (tedy definujeme zobrazenı´ P : Ω → u(Ω)). Stavova´ u´loha (P), podle pu˚vodu proble´mu, ktery´ je vysˇetrˇovań, mu˚zˇe mı´t obecneˇ tvar linea´rnı´ cˇi nelinea´rnı´ rovnice (viz [4]), nerovnice (viz [14]) nebo dokonce jen inkluze (vedoucı´ na formulaci u´lohy ve tvaru hemivariacˇnı´ nerovnice, viz [17], nebo take´ u´lohu minimalizace superpotencia´lu, jezˇ nemusı´ by´t ani diferencovatelny´, ani konvexnı´, atd., pro podrobnosti viz [18], zde se ovsˇem objevı´ za´sadnı´ potı´zˇe se zajisˇteˇnı´m jednoznacˇnosti rˇesˇenı´). Kriterium vy´beˇru „optimality“ J (u) ≡ I(u; Ω(u)) mu˚zˇe by´t voleno opeˇt nejru˚zneˇjsˇ´ım zpu˚sobem, od potencia´lu stavove´ u´lohy (lze uka´zat, zˇe takovy´ vy´beˇr ma´ prˇ´ıznive´ du˚sledky pro proces optimalizace i vy´sledny´ tvar oblasti), azˇ po minimalizaci sˇpicˇek napeˇtı´ na kontaktnıćh zońaćh. Z du˚vodu˚ strucˇnosti ponecha´me zcela stranou problematiku rˇesˇitelnosti stavove´ u´lohy (rozsah te´to problematiky je mimo mozˇnosti i cı´le tohoto prˇ´ıspeˇvku), tedy budeme vzˇdy prˇedpokla´dat, zˇe stavova´ u´loha ma´ rˇesˇenı´, a zˇe toto rˇesˇenı´ je pra´veˇ jedno, to znamena´, zˇe zobrazenı´ P : Ω → u(Ω) je dobrˇe definovańo a nenı´ vıćeznacˇne´. Da´le budeme potrˇebovat, aby toto zobrazenı´ (to je od na´vrhovyćh parametru˚, definujıćıćh vhodny´m zpu˚sobem oblasti, ke rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy) bylo „vhodny´m“ zpu˚sobem spojite´, viz da´le a nebo take´ [1]. Za´kladnı´m cı´lem nasˇeho prˇ´ıspeˇvku je sezna´mit, byt’jen ve velmi strucˇne´, ale prˇesto rigoro´znı´ podobeˇ, uzˇivatele SW ANSYS s matematicky´mi za´klady problematiky tvarove´ optimalizace, to je s tak zvanou abstraktnı´ formulacı´ u´lohy tvarove´ optimalizace, jezˇ mu˚zˇe slouzˇit jako dostatecˇneˇ obecny´ vzor pro metodiku rˇesˇenı´ konkre´tnıćh u´loh optima´lnı´ho navrhovańı´ v praxi. 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –3–

1

U´VOD

Samotny´ text prˇ´ıspeˇvku slouzˇ´ı prˇedevsˇ´ım k archivaci prˇedna´sˇky, a je tedy omezen pouze na jejı´ doplneˇnı´ a uprˇesneˇnı´, neklade si na´rok ani na u´plnost a ani ucelenost vy´kladu cele´ matematicke´ teorie optima´lnı´ho navrhovańı´. Dalsˇ´ı podrobnosti k uvedene´ problematice, varianty i celou rˇadu prˇ´ıkladu˚ lze nale´zt naprˇ´ıklad v citovane´ literaturˇe, nebo pracech tam uvedenyćh. Autor prˇ´ıspeˇvku povazˇuje za du˚lezˇite´ na tomto mı´steˇ poznamenat, zˇe za´kladnı´ matematicka´ strategie i vedenı´ du˚kazu˚ tvrzenı´ zde prˇedlozˇenyćh vycha´zı´ z monografie [1].

1.1

Pouzˇity´ apara´t

Formulace u´lohy, diskuse o jejı´ rˇesˇitelnosti a aproximace abstraktnı´ formulace u´lohy tvarove´ optimalizace jsou v dalsˇ´ım textu formulovańy vy´hradneˇ obecneˇ, protozˇe ani konkre´tnı´ charakter stavove´ u´lohy nenı´ v te´to analy´ze nijak precizovań; pro jednoduchost lze prˇi prvnı´m cˇtenı´ prˇedpokla´dat, zˇe stavova´ u´loha ma´ naprˇ´ıklad na´sledujıćı´ podobu skala´rnı´ u´lohy (viz [1]) Ω ∈ Uad dańo, hleda´me u = u(Ω; f, g) tak, zˇe ∆u = f v Ω,

u = g na ∂Ω,

nebo take´ podobu vektorove´ u´lohy Ω ∈ Uad dańo, hleda´me u = u(Ω; f , g, P ) tak, zˇe Au = f v Ω,

u = g na ∂1 Ω, ∂n u = P na ∂2 Ω,

hleda´me vektor posunutı´ u = u(Ω; f , g, P ), to je u = {ui (Ω; f , g, P )}ni=1 , f = {fi }ni=1 , g = {gi }ni=1 , P = {Pi }ni=1 , reprezentujıćı´ 2D (pro n = 2) nebo 3D (pro n = 3) linea´rnı´ u´lohu matematicke´ pruzˇnosti s opera´torem A a Dirichletovy´mi nebo smı´sˇeny´mi okrajovy´mi podmıńkami, viz [15], [14]. Pro jednoduchost a snazsˇ´ı orientaci v problematice, je mozˇne´ prˇedstavit si pod pojmem „vhodny´“ podprostor funkcı´ V (Ω), na ktere´m hleda´me zobecneˇne´ rˇesˇenı´ (viz [4], [6] nebo [7]) stavove´ u´lohy, neˇjaky´ podprostor Hilbertova prostoru s normou indukovanou skala´rnı´m soucˇinem, reprezentujıćı´ (podle typu stavove´ u´lohy) prostor kinematicky prˇ´ıpustnyćh posunutı´ vycˇleneˇnyćh z odpovı´dajıćı´ho prostoru funkcı´ s konecˇnou energiı´ (podle typu stavove´ u´lohy to budou neˇjake´ Sobolevovy prostory typu W k,p (Ω), prˇ´ıpadneˇ jejich karte´zske´ soucˇiny pro vıćedimenziona´lnı´ prˇ´ıpady, podrobnosti mohou by´t nalezeny naprˇ´ıklad v [4], [9], [7], [8], [14] atd.) Ani dalsˇ´ı, v tomto prˇ´ıspeˇvku pouzˇ´ıvane´ pojmy, nejsou z du˚vodu˚ strucˇnosti definovańy ani analyzovańy, vsˇechny podrobnosti ty´kajıćı´ se oblastı´ s lipschitzovskou hranicı´, definice plosˇne´ho (povrchove´ho) integra´lu, definice opera´toru stop v Dirichletoveˇ a Neumannoveˇ smyslu, odpovı´dajıćıćh tvrzenı´ o existenci opera´toru˚ stop, jejich vlastnostech i interpretaci, Greenovyćh veˇt o integraci „per partes“ na W k,p (Ω), tvrzenı´ o ekvivaletnıćh normaćh na W k,p (Ω), kompaktnosti vnorˇenı´ prostoru˚ W k,p (Ω) do 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –4–

1

U´VOD

W m,q (Ω) a prostoru˚ hladkyćh funkcı´ i hustoty hladkyćh funkcı´ v Sobolevovskyćh prostorech mohou by´t nalezeny naprˇ´ıklad v [4], [9], [11], pro obecnou podobu Greenovyćh veˇt a definici Neumannova opera´toru stop viz take´ [5], atd. Pokud jde o diskretizaci stavove´ i optimalizacˇnı´ u´lohy, mu˚zˇeme za pouzˇity´m abstraktnı´m apara´tem (viz [5]) videˇt naprˇ´ıklad aproximace vytvorˇene´ pomocı´ MKP, pro podrobnosti viz [12], [14] a [1].

1.2

Variacˇnı´ pocˇet

Za´kladnı´m apara´tem pro du˚kazy existence rˇesˇenı´ jak stavove´ u´lohy (ale pouze v symetricke´m (!) prˇ´ıpadeˇ, jinak je nutno pouzˇ´ıt naprˇ´ıklad linea´rnı´ cˇi nelinea´rnı´ varianty Laxovy – Milgramovy veˇty, Lionsovyćh – Stampacchiovyćh veˇt, teorie monotońnıćh opera´toru˚, atd., viz [4], [6], [8], [13] a [16]), tak i optimalizacˇnı´ u´lohy bude v tomto prˇ´ıspeˇvku tak zvana´ „za´kladnı´ veˇty variacˇnı´ho pocˇtu“, prˇ´ıpadneˇ neˇktera´ z jejich cˇetnyćh variant (viz naprˇ´ıklad [8]). Zde pouzˇ´ıva´me tuto veˇtu v na´sledujıćı´m tvaru. Veˇta 1 Necht’X je reflexivnı´ Banachu˚v prostor a necht’J : X → R je slabeˇ zdola polospojity´ funkciona´l, ktery´ je navıć koercivnı´. Potom existuje alesponˇ jeden prvek x¯ ∈ X realizujıćı´ minimum funkciona´lu J nad X. Jinak rˇecˇeno minimalizacˇnı´ u´loha typu ?¯ x∈X :

J (¯ x) ≤ J (y) ∀y ∈ X

ma´ alesponˇ jedno rˇesˇenı´. Jak zna´mo, lze jednoznacˇnost minimize´ru zajistit naprˇ´ıklad pomocı´ prˇedpokladu na vlastnosti zkoumane´ho funkciona´lu implikujıćıćh jeho ryzı´ konvexitu. Jak se vsˇak uka´zˇe v dalsˇ´ım, typickou vlastnostı´ zobrazenı´ I(Ω, u(Ω)) od na´vrhovyćh promeˇnnyćh k hodnoteˇ cı´love´ho funkciona´lu (zvolene´ho kriteria optimality) je nekonvexita a tedy obecneˇ nebude k dispozici ani tvrzenı´ o jednoznacˇnosti optima´lnı´ho na´vrhu ! Pro uprˇesneˇnı´, varianty za´kladnı´ veˇty variacˇnı´ho pocˇtu a dalsˇ´ı podrobnosti viz [8], pro detaily k optimalizaci, to je minimalizaci cenove´ho funkciona´lu viz naprˇ´ıklad [1]. Pro ilustraci situace v prˇ´ıpadeˇ kvadraticke´ho funkciona´lu prˇipomıńa´me na´sledujıćı´ skutecˇnosti. Necht’ je dań Hilbertu˚v prostor H a kvadraticky´ funkciona´l G : H → R prˇedpisem G(v) = 1/2 a(v, v) − hF, vi, v ∈ H, kde a(., .) : H ×H → R je bilinea´rnı´ symetricka´ forma reprezentujıćı´ v mechanickyćh u´lohaćh potencia´lnı´ energii vnitrˇnıćh sil a F ∈ H ∗ je spojity´ linea´rnı´ funkciona´l reprezentujıćı´ potencia´lnı´ energii vneˇjsˇ´ıch sil. Pokud je mechanicky´ syte´m „dobrˇe“ zadany´, to je bilinea´rnı´ forma a(., .) je na neˇjake´m podprostoru V ⊂ H spojita´ (cozˇ neby´va´ obtı´zˇne´ splnit) a positivneˇ definitnı´ 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –5–

1

U´VOD

(cozˇ naopak mu˚zˇe by´t zcela klıćˇovy´m proble´mem), jinak rˇecˇeno forma je V – elipticka´, to je platı´ ∃ c = konst. > 0 tak, zˇe a(v, v) ≥ c||v||2H ∀v ∈ V, je u´loha minimalizace funkciona´lu celkove´ potencia´lnı´ energie ? u¯ ∈ V :

G(¯ u) ≤ G(u) ∀ u ∈ V

ekvivalentnı´ s u´lohou (majıćı´ tvar analogicky´ principu virtua´lnıćh pracı´) ? u¯ ∈ V :

a(¯ u, v) − hF, vi = 0 ∀v ∈ V,

jak plyne z vlastnostı´ funkciona´lu a tvaru jeho prvnı´ a druhe´ derivace ve smyslu Gateaux (snadno je videˇt, zˇe zde, v du˚sledku prˇedpokladu˚ existujı´ tyto derivace i ve smyslu Frećhetoveˇ) D(1) G(u; h) = a(u, h) − hF, hi ∀ u, h ∈ H, D(2) G(u; h, k) = a(h, k) ∀ u, h, k ∈ H. V tomto prˇ´ıpadeˇ je totizˇ ihned videˇt, zˇe Eulerova nutna´ podmıńka pro existenci minima funkciona´lu a(¯ u, v) − hF, vi = 0, ∀v ∈ V, je jednak vy´sˇe uvedeny´m principem virtua´lnıćh pracı´ a v prˇ´ıpadeˇ V – elipticke´ formy i postacˇujıćı´ podmıńkou, nebot’ funkciona´l je ryze konvexnı´, jak plyne z jeho druhe´ derivace. Analogicke´ u´vahy bychom mohli prove´st pro prˇ´ıpad minimalizace s omezenı´mi, s tı´m rozdı´lem, zˇe v minimalizacˇnı´ u´loze bychom nahradili podprostor V ⊂ H vhodnou konvexnı´ podmnozˇinou K ⊂ H a charakterizace extre´mu by meˇla tvar elipticke´ variacˇnı´ nerovnice (v uvedene´m prˇ´ıpadeˇ 1. druhu), viz naprˇ´ıklad [16] nebo [6], to je u´loha minimalizace ? u¯ ∈ K : G(¯ u) ≤ G(u) ∀ u ∈ K je za uvedenyćh prˇedpokladu˚ charakterizovańa podmıńkou D(1) G(u; v − h) ≥ 0 ∀ v ∈ K, a tedy, jak plyne z prˇedchozı´ho i ekvivalentnı´ s variacˇnı´ nerovnicı´ ? u¯ ∈ K :

a(¯ u, v − u¯) ≥ hF, v − u¯i, ∀v ∈ K.


2 FORMULACE ABSTRAKTNI´ U´LOHY NA´VRHU OPTIMA´LNI´HO TVARU

2

Formulace abstraktnı´ u´lohy na´vrhu optima´lnı´ho tvaru

2.1

Tvarova´ optimalizace – Spojity´ prˇ´ıpad

Jak bylo rˇecˇeno v prˇedchozı´m, omezı´me se zde pouze na problematiku tvarove´ optimalizace. Proto na´vrhovy´mi parametry myslı´me oblasti, nebo jejich hranice, prˇ´ıpadneˇ take´ funkce reprezentujıćı´ vhodny´m zpu˚sobem cˇa´st hranice oblasti. V dalsˇ´ım textu a bez neusta´le´ho upozornˇovańı´, budeme z du˚vodu˚ strucˇnosti uzˇ´ıvat pro na´vrhove´ parametry na´sledujıćı´ho ztotozˇneˇnı´ O 3 Ω ↔ ∂Ω ∈ Uad ↔ Γ ⊂ ∂Ω ↔ p : I → R, p ∈ Uãd , tedy budeme ztotozˇnˇovat na´vrhovy´ parameter „oblast“ s hranicı´ te´to oblasti, prˇ´ıpadneˇ jen s jejı´ cˇa´stı´ nebo s funkcı´ popisujıćı´ tuto cˇa´st hranice. Mu˚zˇeme tedy prˇistoupit k definici soustavy „na´vrhovyćh parametru˚“ (to je soustavy prˇ´ıpustnyćh oblastı´ Ω) a definici pojmu „konvergence“ v tomto syste´mu (je zrˇejme´, zˇe tato konvergence mu˚zˇe by´t definovańa ru˚zny´m zpu˚sobem, naprˇ´ıklad jako stejnomeˇrna´ konvergence posloupnostı´ funkcı´ {pn } reprezentujıćıćh cˇa´sti hranice oblasti, nebo jako konvergence mı´ry oblastı´ {µ(Ωn )}, atd). Tedy definujeme ˜ • Za´kladnı´ syste´m prˇ´ıpustnyćh oblastı´ O, rozsˇ´ırˇeny´ syste´m O ˜ O⊂O • Za´kladnı´ typ prostoru rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy a prˇirˇazenı´: ˜ prˇirˇadı´me vhodny´ prostor V (Ω) kazˇde´ prˇ´ıpustne´ oblasti Ω ∈ O Ω → V (Ω), kde V (Ω) je linea´rnı´ prostor kinematicky prˇ´ıpustnyćh posunutı´ odpovı´dajıćı´ stavove´ u´loze v za´vislosti na zvolenyćh okrajovyćh podmıńkaćh. Pro jednoduchost a ve skala´rnı´m prˇ´ıpadeˇ lze V (Ω) definovat jako vhodny´ podprostor standardnı´ho Hilbertova prostoru (zrˇejmeˇ Wok,p (Ω) ⊂ V (Ω) ⊂ W k,p (Ω)). Da´le zava´dı´me na´sledujıćı´ ˜ – Definice konvergence oblastı´ v syste´mu O: ˜ ˜ ˇ´ıme Pro posloupnost oblastı´ {Ωn }∞ n=1 , kde Ωn ∈ O, n ∈ N a Ω ∈ O, znac jejich konvergenci na´sledovneˇ ˜ O

Ωn −→ Ω,

pro n → ∞,

kde vy´znam bude opeˇt uprˇesneˇn podle typu stavove´ u´lohy. 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –7–

2 FORMULACE ABSTRAKTNI´ U´LOHY NA´VRHU OPTIMA´LNI´HO TVARU – Analogicky pro posloupnost funkcı´ {un }∞ n=1 , kde un ∈ V (Ωn ), n ∈ N a u ∈ V (Ω), znacˇ´ıme konvergenci un → u,

pro n → ∞,

˜ pro Ωn , Ω ∈ O. ˜ je vybaven vhodnou topologiı´, Prˇedpokla´da´me, zˇe syste´m prˇ´ıpustnyćh oblastı´ O a zˇe obeˇ konvergence jsou dobrˇe definovańy. Jejich prˇesna´ specifikace za´visı´ na typu vysˇetrˇovane´ u´lohy. • Definujeme zobrazenı´ od na´vrhove´ho parametru k rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy u : Ω ∈ O → u(Ω) ∈ V (Ω),

(P )

kde u(Ω) ∈ V (Ω) je rˇesˇenı´ dane´ stavove´ u´lohy (P) nad oblastı´ Ω. Pra´veˇ prˇedpoklad jednoznacˇne´ rˇesˇitelnosti stavove´ u´lohy zajisˇt’uje, zˇe toto zobrazenı´ je dobrˇe definovane´. Stavova´ u´loha mu˚zˇe by´t v procesu optimalizace zadańa ru˚zny´m zpu˚sobem (podle toho jaky´ proble´m rˇesˇ´ıme), tedy naprˇ´ıklad ve tvaru (zde a je odpovı´dajıćı´ bilinea´rnı´ forma) – Klasicke´ linea´rnı´ variacˇnı´ rovnice (P)

{u ∈ V (Ω) : a(u, v) = hF, vi

∀v ∈ V (Ω),

– Jednoduche´ nelinea´rnı´ variacˇnı´ rovnice (P (+) )

n

u ∈ V (Ω) : a(u+ , v) = hF, vi

∀v ∈ V (Ω),

– Obecne´ nelinea´rnı´ variacˇnı´ rovnice (P (N ) )

{u ∈ V (Ω) : a(u, v) + ψ(u, v) = hF, vi

∀v ∈ V (Ω),

– Standardnı´ variacˇnı´ nerovnice 1. druhu (

(P(1.vn) )

u ∈ V (Ω) : a(u, v − u) ≥ hF, v − ui ∀v ∈ K ⊂ V (Ω),

– Standardnı´ variacˇnı´ nerovnice 2. druhu s nediferencovatelny´mi cˇleny (

(P(2.vn) )

u ∈ V (Ω) : a(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ hF, v − ui

∀v ∈ V (Ω),

prˇ´ıpadneˇ ve tvaru hemivariacˇnı´ nerovnice, ale to je podstatneˇ komplikovaneˇjsˇ´ı situace, proto takovou u´lohu prozatı´m z dalsˇ´ıch u´vah vyloucˇ´ıme. 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –8–

2 FORMULACE ABSTRAKTNI´ U´LOHY NA´VRHU OPTIMA´LNI´HO TVARU • Definujme graf G zobrazenı´ (P ) G = {(Ω, u(Ω)) : Ω ∈ O} • Kriterium vy´beˇru nejlepsˇ´ıho na´vrhove´ho parametru (tvaru oblasti), tedy „cenovy´ funkciona´l“ definujeme na mnozˇineˇ ∆ = {(Ω, y) : Ω ∈ O, y ∈ V (Ω)} „vhodny´m“ prˇedpisem I : ∆ → R (viz take´ ilustrativnı´ prˇ´ıklady cenovyćh funkciona´lu˚ na konci tohoto textu), jeho restrikci na graf G zobrazenı´ (P ) oznacˇ´ıme J(Ω) ≡ I(Ω, u(Ω)),

to je

J ≡ I|G

Nynı´ ma´me vsˇe prˇipraveno k formulaci abstraktnı´ u´lohy na´vrhu optima´lnı´ho tvaru oblasti (to je k definici u´lohy tvarove´ optimalizace). Abstraktnı´ u´loha tvarove´ optimalizace ma´ tvar (

(P)

nale´zt Ω∗ ∈ O, J(Ω∗ ) ≤ J(Ω) ∀Ω ∈ O,

kde dvojici (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G nazy´va´me optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (P). Pro formulaci tvrzenı´ o existenci rˇesˇenı´ u´lohy (P) a k jeho du˚kazu vyuzˇijeme v prˇedchozı´m textu formulovanou za´kladnı´ veˇtu variacˇnı´ho pocˇtu. Za tı´m ućˇelem je vsˇak trˇeba zformulovat celou rˇadu dostatecˇneˇ obecnyćh prˇedpokladu˚, jezˇ zajistı´ existenci rˇesˇenı´ abstraknı´ u´lohy tvarove´ optimalizace (P). Tedy prˇedpokla´da´me (E(i) ) „Kompaktnost“ grafu G v na´sledujıćı´m smyslu: necht’je dańa posloupnost oblastı´ {Ωn }∞ n=1 , kde Ωn ∈ O, potom existuje podpo∞ ´ prvek (Ω, u(Ω)) ∈ sloupnost {(Ωnk , u(Ωnk ))}k=1 ⊂ {(Ωn , u(Ωn ))}∞ n=1 a takovy G, zˇe platı´ O Ωnk −→ Ω, pro k → ∞, u(Ωnk ) → u(Ω) pro k → ∞ (E(ii) ) „Spojitost“ kriteria´lnı´ho (cenove´ho) funkciona´lu J ve vhodne´m smyslu: prˇedpokla´da´me zˇe J je polospojity´ zdola v na´sledujıćı´m smyslu: necht’jsou dańy posloupnosti oblastı´ a funkcı´ {Ωn }∞ n=1 , Ωn ∈ O,

{vn }∞ ˇe n=1 , vn ∈ V (Ωn ) tak, z

O

Ωn −→ Ω ∈ O,

pro n → ∞,

vn → v ∈ V (Ω) pro n → ∞, potom lim inf n→∞ I(Ωn , vn ) ≥ I(Ω, v) 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le –9–


Nynı´ lze formulovat tvrzenı´, ktere´ za uvedenyćh prˇedpokladu˚ lze snadno doka´zat. Platı´ totizˇ veˇta Veˇta 2 Necht’jsou splneˇny prˇedpoklady (E(i) ) a (E(ii) ). Potom existuje alesponˇ jedno rˇesˇenı´ Ω∗ ∈ O optimalizacˇnı´ u´lohy (P). Du˚kaz veˇty: standardnı´m zpu˚sobem definujeme α = inf J(Ω) Ω∈O

a odpovı´dajıćı´ minimizacˇnı´ posloupnost oznacˇ´ıme {Ωn }∞ ´ me n=1 , kde Ωn ∈ O, tedy ma J(Ωn ) −→ α,

pro n → ∞.

Z prˇedpokladu (E(i) ) dosta´va´me existenci podposloupnosti {(Ωnj , u(Ωnj ))}∞ j=1 ⊂ ∗ ∗ {(Ωn , u(Ωn ))}∞ , Ω ∈ O a prvku (Ω , u(Ω )) ∈ G tak, z ˇ e nj n=1 O

Ωnj −→ Ω∗ ,

pro j → ∞, ∗

u(Ωnj ) → u(Ω ) pro j → ∞. Uzˇitı´m prˇedpokladu (E(ii) ) o spojitosti cenove´ho funkciona´lu pak dosta´va´me tvrzenı´ α = limn→∞ J(Ωn ) = lim inf nj →∞ I(Ωnj , unj ) ≥ I(Ω∗ , u(Ω∗ )) ≥ α, tedy α = I(Ω∗ , u(Ω∗ )) = J(Ω∗ ) a tvrzenı´ veˇty je doka´zańo.

12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 10 –


2.2

Regularizace stavove´ u´lohy

V te´to cˇa´sti zmıńı´me uzˇitecˇnou techniku regularizace stavove´ u´lohy, pomocı´ nı´zˇ lze v prˇ´ıpadeˇ, kdy zobrazenı´ (P ) od na´vrhovyćh parametru˚ k rˇesˇenı´ odpovı´dajıćı´ stavove´ u´lohy (P) nenı´ dostatecˇneˇ hladke´ (naprˇ´ıklad nemusı´ mı´t „vsˇude“ derivaci), situaci podstatneˇ vylepsˇit. Zmıńeˇna´ situace mu˚zˇe naprˇ´ıklad nastat pokud je stavova´ u´loha (P) zadana´ ve tvaru variacˇnı´ nerovnice 1.druhu (P(1.vn) ) (nebo 2. druhu (P(2.vn) ), prˇ´ıpadneˇ jejich kombinace nebo v jesˇteˇ obecneˇjsˇ´ı podobeˇ). Potom zobrazenı´ (P ) u : Ω → u(Ω) nemusı´ by´t obecneˇ diferencovatelne´. Tuto potı´zˇ je mozˇne´ obejı´t nahrazenı´m pu˚vodnı´ u´lohy (P(1.vn) ) se zobrazenı´m (P ) novou u´lohou (Pεk ) se zobrazenı´m (Pk ) pro neˇjake´ parametry k a εk (v podstateˇ aproximujeme pu˚vodnı´ u´lohu posloupnostı´ vhodneˇ definovanyćh u´loh {(Pεk )} (viz take´, v jiste´m smyslu analogickou metodu penalizace [16] nebo specia´lneˇ [1]) a rˇesˇit optimalizacˇnı´ proble´m pro pevneˇ zvoleny´ parametr k a stavovou u´lohou ve tvaru (Pεk ), to je uvazˇovat zobrazenı´ (Pk ). Odpovı´dajıćı´ u´lohu tvarove´ optimalizace potom oznacˇ´ıme (Pk ), viz da´le. Vza´jemny´ vztah u´lohy (P) a u´lohy (Pk ) v za´vislosti na parametru k budeme analyzovat pomocı´ regularizacˇnı´ metody aplikovane´ na stavovou u´lohu (P). Tedy vysˇetrˇujeme vztah (P) ←→ {(Pk )}∞ k=1 Ideu i postup prˇi uzˇitı´ metody regularizace aplikovane´ na stavovou u´lohu, a take´ jejı´ korektnost ilustrujeme na na´sledujıćı´m obecne´m postupu: + ˇ de´mu parametru εk Definujeme posloupnost parametru˚ {εk }∞ k=1 , εk → 0 a kaz prˇirˇadı´me u´lohu (Pεk ), tedy definujeme zobrazenı´ (Pk )

uεk : Ω ∈ O → uεk (Ω) ∈ V (Ω),

to je namı´sto naprˇ´ıklad u´lohy (P(1.vn) ) (zobrazenı´ (P )) uvazˇujeme celou posloupnost ∞ stavovyćh (regularizovanyćh) u´loh {(Pεk )}∞ k=1 (to je posloupnost zobrazenı´ {(Pk )}k=1 ). Pro kazˇde´ εk oznacˇ´ıme Gεk = {(Ω, uεk (Ω)) : Ω ∈ O} graf odpovı´dajıćı´ zobrazenı´ (Pk ) a Jεk (Ω) ≡ I(Ω, uεk (Ω)), odpovı´dajıćı´ cenovy´ funkciona´l se stavovou u´lohou (Pεk ). Potom u´loha optima´lnı´ho na´vrhu tvaru oblasti s regularizovanou (perturbovanou) stavovou u´lohou (Pεk ) ma´ tvar (

(Pk )

nale´zt

Ω∗k ∈ O,

Jεk (Ω∗k ) ≤ Jεk (Ω) ∀Ω ∈ O,

kde dvojici (Ω∗k , u(Ω∗k )) ∈ G nazy´va´me optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (Pk ). 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 11 –


Pro „dostatecˇnou aproximativnost“ dane´ u´lohy (Pk ), to je pro du˚kaz „dostatecˇne´ blı´zkosti“ syste´mu u´loh {(Pk )}∞ ´ lohy (P) (cı´lem je uka´zat, zˇe optima´lnı´ rˇesˇenı´ k=1 a u s regularizovany´mi stavovy´mi u´lohami konvergujı´ v jiste´m smyslu k rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ optimalizacˇnı´ u´lohy pokud k → ∞) zavedeme na´sledujıćı´ prˇedpoklady. (R(i) ) „Kompaktnost“ syste´mu grafu˚ {Gεk } vzhledem ke grafu G: necht’je dańa posloupnost dvojic {(Ωk , uεk (Ωk ))}∞ k=1 , kde (Ωk , uεk (Ωk )) ∈ Gεk , ∞ potom existuje podposloupnost {(Ωkj , uεkj (Ωkj ))}∞ j=1 ⊂ {(Ωk , uεk (Ωk ))}k=1 a prvek (Ω, u(Ω)) ∈ G tak, zˇe O

Ωkj −→ Ω,

pro j → ∞,

uεkj (Ωkj ) → u(Ω) pro j → ∞, (R(ii) ) „Spojitost“ cenove´ho funkciona´lu I ve druhe´ slozˇce: prˇedpokla´da´me zˇe pro kazˇdou, libovolneˇ zvolenou oblast Ω ∈ O, a posloupnost funkcı´ ˇe {vn }∞ n=1 , vn ∈ V (Ω) takovou, z

vn → v ∈ V (Ω),

pro n → ∞ platı´

limn→∞ I(Ω, vn ) = I(Ω, v) (zde vn → v ∈ V (Ω) znacˇ´ı konvergenci v normeˇ prostoru V (Ω)), (R(iii) ) „Aproximativnost“ syste´mu u´loh {(Pεk }): prˇedpokla´da´me, zˇe pro kazˇdou, libovolneˇ zvolenou oblast Ω ∈ O platı´ limk→∞ uεk (Ω) = u(Ω) (opeˇt konvergence je v normeˇ prostoru V (Ω)). Nynı´ mu˚zˇeme zformulovat na´sledujıćı´ tvrzenı´. Veˇta 3 Necht’ jsou splneˇny prˇedpoklady (E(i) ) a (R(i) ) azˇ (R(iii) ). Prˇedpokla´dejme, u´loha (Pk ) ma´ alesponˇ jedno rˇesˇenı´ Ω∗k pro kazˇdy´ parametr εk > 0. ∗ ∗ ∞ Potom existuje podposloupnost {(Ω∗kj , uεkj (Ω∗kj ))}∞ j=1 ⊂ {(Ωk , uεk (Ωk ))}k=1 a prvek (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G tak, zˇe O

Ω∗kj −→ Ω∗ , uεkj (Ω∗kj )

pro j → ∞, ∗

→ u(Ω ) pro j → ∞,

kde oblast Ω∗ rˇesˇ´ı optimalizacˇnı´ u´lohy (P) a u(Ω∗ ) je rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy (P) na Ω∗ . Navıć, kazˇdy´ hromadny´ bod (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G posloupnosti optima´lnıćh dvojic {(Ω∗k , uεk (Ω∗k ))}∞ ´ loha´m (Pk ) je optima´lnı´m prvkem odpovı´dajıćı´ k=1 odpovı´dajıćıćh u u´loze (P). 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 12 –


Du˚kaz tvrzenı´ veˇty: Necht’pro kazˇde´ k, je (Ω∗k , uεk (Ω∗k )) je optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (Pk ), to je (Ω∗k , uεk (Ω∗k )) ∈ Solution (Pk ) Potom z prˇedpokladu (R(i) ) dosta´va´me existenci podposloupnosti {(Ω∗kj , uεkj (Ω∗kj ))}∞ j=1 a prvku (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G s pozˇadovany´mi vlastnostmi v tvrzenı´ veˇty. Zby´va´ uka´zat, zˇe prvek (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G je optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (P). Prˇ´ımo z definice rˇesˇenı´ u´lohy (Pkj ) plyne I(Ω∗kj , uεkj (Ω∗kj )) ≤ I(Ω, uεkj (Ω)) ∀Ω ∈ O. Zvolme tedy pevneˇ oblast Ω ∈ O a necht’ funkce u(Ω) ∈ V (Ω) je rˇesˇenı´m stavove´ u´lohy (P) na te´to oblasti Ω. Potom z prˇedpokladu (R(iii) ) dosta´va´me limj→∞ uεkj (Ω) = u(Ω). Tedy s uva´zˇenı´m pra´veˇ doka´zanyćh vztahu˚ a prˇedpokladu˚ (E(ii) ) a (R(ii) ) dostaneme, zˇe nerovnost I(Ω∗ , u(Ω∗ )) ≤ lim inf I(Ω∗kj , uεkj (Ω∗kj )) ≤ lim inf I(Ω, uεkj (Ω)) = I(Ω, u(Ω)) j→∞

j→∞

platı´ pro kazˇdou oblast Ω ∈ O, to znacˇ´ı, zˇe dvojice (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G je optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (P). Snadno lze nynı´ videˇt, zˇe kazˇdy´ prvek (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G pro ktery´ existuje neˇjaka´ ∞ ∗ ∗ podposloupnost dvojic {(Ω∗kj , uεkj (Ω∗kj ))}∞ k=1 ⊂ {(Ωk , uεk (Ωk ))}k=1 konvergentnı´ ve smyslu tvrzenı´ veˇty je rˇesˇenı´m u´lohy (P).



2.3

Aproximace optimalizacˇnı´ u´lohy

Pro numericke´ rˇesˇenı´ optimalizacˇnı´ u´lohy (P) (prˇ´ıpadneˇ optimalizacˇnı´ u´lohy s regularizovanou stavovou u´lohou (Pk ), cozˇ zde nebudeme diskutovat, nebot’ jde o zcela analogicky´ postup) je nutno formulovat vhodnou aproximaci (Ph ) (analogicky (Pk )h ) spojite´ho prˇ´ıpadu u´lohy (P) (analogicky regularizovane´ho prˇ´ıpadu (Pk ) ). Nı´zˇe uvedene´ formulace i apara´t odpovı´dajı´ pouzˇitı´ metody konecˇnyćh prvku˚. Oznacˇ´ıme h > 0, h → 0+ diskretizacˇnı´ parametr, kazˇde´mu parametru h > 0 ˜ Rˇ´ıka´me, zˇe Oh je prˇirˇadı´me aproximovany´ syste´m Oh ⊂ O. vnitrˇnı´ aproximace syste´mu O vneˇjsˇ´ı aproximace syste´mu O

Oh ⊂ O ˜ Oh 6⊂ O Oh ⊂ O,

je-li

je-li

Kazˇde´ prˇ´ıpustne´ oblasti Ωh ∈ Oh prˇirˇadı´me vhodny´ konecˇneˇ dimensiona´lnı´ prostor Vh (Ωh ) ⊂ V (Ωh ) a definujeme konvergence ˜ O

pro h → 0+

Ωh −→ Ω,

pro h → 0+

uh → u,

˜ (Ωh ∈ Oh , Ω ∈ O),

(uh ∈ Vh (Ωh ), u ∈ V (Ω))

stejneˇ jako ve spojite´m prˇ´ıpadeˇ. Diskretizovanou stavovou u´lohu na Ωh oznacˇ´ıme (Ph ), odpovı´dajıćı´ zobrazenı´ ma´ tvar uh : Ωh → uh (Ωh ) ∈ Vh (Ωh ),

(Ph ) s grafem

Gh = {(Ωh , uh (Ωh )) : Ωh ∈ Oh } a definujeme ∆h = {(Ωh , yh ) : Ωh ∈ Oh , yh ∈ Vh (Ωh )} a prˇedpis Ih : ∆h → R1 zı´skla´me diskretizacı´ cenove´ho funkciona´lu I, polozˇ´ıme Jh (Ωh ) ≡ Ih (Ωh , uh (Ωh )),

pro Ωh ∈ Oh

Aproximace u´lohy na´vrhu optima´lnı´ oblasti (diskretizovana´ u´loha tvarove´ optimalizace) ma´ tvar (

(Ph )

nale´zt

Ω∗h ∈ Oh ,

Jh (Ω∗h ) ≤ Jh (Ωh ) ∀Ωh ∈ Oh ,

kde opeˇt dvojici (Ω∗h , uh (Ω∗h )) ∈ Gh nazveme optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (Ph ). 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 14 –


Opeˇt se objevuje za´kladnı´ ota´zka, jaky´ je „vztah“ mezi u´lohami (Ph ) a (P) ? Je navrzˇena´ aproximace zvolena dobrˇe ? Aby tomu tak opravdu bylo je potrˇeba zformulovat prˇedpoklady, ktere´ zajistı´, zˇe vsˇe bude v porˇa´dku, alesponˇ v tom smyslu, zˇe u´loha (Ph ) neˇjak vhodneˇ aproximuje u´lohu (P) (prˇesny´ vy´znam aproximace je uveden v na´sledujıćı´ veˇteˇ). Tedy zava´dı´me na´sledujıćı´ prˇedpoklady: (A(i) ) „Aproximativnost“ syste´mu Oh : prˇedpokla´da´me, zˇe pro kazˇdou oblast Ω ∈ O existuje posloupnost oblastı´ {Ωh }h , kde Ωh ∈ Oh tak, zˇe platı´ O

pro h → 0+ .

Ωh −→ Ω,

(A(ii) ) „Kompaktnost“ syste´mu grafu˚ {Gh } vzhledem ke grafu G: necht’ je dańa posloupnost dvojic {(Ωh , uh (Ωh ))}, kde (Ωh , uh (Ωh )) ∈ Gh , potom existuje podposloupnost {(Ωhj , uhj (Ωhj ))} ⊂ {(Ωh , uh (Ωh ))} a prvek (Ω, u(Ω)) ∈ G tak, zˇe O

Ωhj −→ Ω,

pro j → ∞,

uhj (Ωhj ) → u(Ω) pro j → ∞, (A(iii) ) „Spojitost“ syste´mu cenovyćh funkciona´lu˚ {Jh } vzhledem k na´vrhovy´m parametru˚m Ω: necht’je dańa posloupnost oblastı´ {Ωh }h , kde Ωh ∈ Oh a Ω ∈ O tak, zˇe platı´ O

pro h → 0+ ,

Ωh −→ Ω,

a necht’uh ∈ Vh (Ωh ) a u ∈ V (Ω) jsou rˇesˇenı´ stavovyćh u´loh (Ph ) a (P) tak, zˇe platı´ uh (Ωh ) → u(Ω) pro h → 0+ , potom lim Jh (Ωh ) = J(Ω).

h→0+

Nynı´ lze formulovat a doka´zat na´sledujıćı´ veˇtu Veˇta 4 Necht’ jsou splneˇny prˇedpoklady (A(i) ) azˇ (A(iii) ) a prˇedpokla´dejme, zˇe pro kazˇdy´ diskretizacˇnı´ parametr h > 0 ma´ u´loha (Ph ) alesponˇ jedno rˇesˇenı´ Ω∗h . ∞ ∗ ∗ Potom existuje podposloupnost {(Ω∗hj , uhj (Ω∗hj ))}∞ j=1 ⊂ {(Ωh , uh (Ωh ))}h=1 a prvek ∗ ∗ (Ω , u(Ω )) ∈ G tak, zˇe O

Ω∗hj −→ Ω∗ ,

pro j → ∞,

uhj (Ω∗hj ) → u(Ω∗ ) pro j → ∞, kde prvek (Ω∗ , u(Ω∗ )) je optimalizacˇnı´ dvojice pro u´lohu (P). Navıć, kazˇdy´ hromadny´ bod (Ω∗ , u(Ω∗ )) posloupnosti optima´lnıćh dvojic diskretizovane´ u´lohy {(Ω∗h , uh (Ω∗h ))}∞ ´ lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (P). h=1 je optima 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 15 –


Du˚kaz tvrzenı´ veˇty: Necht’ {(Ω∗h , uh (Ω∗h ))}∞ ´ lnıćh dvojic odpovı´dajıćıćh u´loh=1 je posloupnost optima ha´m (Ph ). Potom podle prˇedpokladu (A(ii) ) existuje podposloupnost {(Ω∗hj , uhj (Ω∗hj ))} ⊂ {(Ω∗h , uh (Ω∗h ))} a prvek (Ω∗ , u(Ω∗ )) ∈ G tak, zˇe O

Ω∗hj −→ Ω∗ , uhj (Ω∗hj )

pro j → ∞, ∗

→ u(Ω ) pro j → ∞,

Zby´va´ pouze uka´zat, zˇe prvek (Ω∗ , u(Ω∗ )) je optima´lnı´ dvojicı´ pro u´lohu (P). Z doka´zanyćh limitnıćh prˇechodu˚ a uzˇitı´m prˇedpokladu (A(iii) ) dosta´va´me Ihj (Ω∗hj , uhj (Ω∗hj )) → I(Ω∗ , u(Ω∗ )) pro j → ∞(hj → 0+ ). Pro libovolnou, ale pevneˇ zvolenou oblast Ω ∈ O existuje podle prˇedpokladu A(i) podposloupnost oblastı´ {Ωhj } ⊂ {Ωh }, Ωh ∈ Oh tak, zˇe platı´ O

Ωhj −→ Ω,

pro hj → 0+

a podle prˇedpokladu A(ii) existuje podposloupnost {uhj (Ωhj )}, to je rˇesˇenı´ stavovyćh u´loh (Phj ), oznacˇ´ıme ji opeˇt {uhj (Ωhj )}, takova´, zˇe platı´ uhj (Ωhj ) → u(Ω) pro j → ∞. Nynı´ stacˇ´ı uzˇ´ıt definice u´lohy (Ph ), doka´zanyćh limitnıćh prˇechodu˚ a prˇedpokladu A(iii) ), abychom mohli psa´t I(Ω∗ , u(Ω∗ )) = lim Ihj (Ω∗hj , uhj (Ω∗hj )) ≤ lim Ihj (Ωhj , uhj (Ωhj )) = I(Ω, u(Ω)) j→∞

j→∞

platı´ pro kazˇdou oblast Ω ∈ O, a du˚kaz veˇty je ukoncˇen.


3

PRˇI´KLADY

3 Prˇ´ıklady Pro specia´lnı´ situaci tvarove´ optimalizace, kdy cˇa´st hranice oblasti je pevna´ a zby´vajıćı´ cˇa´st, oznacˇena´ Γ(α) ⊂ ∂Ω mu˚zˇe by´t optimalizovańa, tedy je ekvivalentneˇ definovańa na´vrhovy´m parametrem ve tvaru rea´lne´ funkce α ∈ Uad , kde Uad je konvexnı´ mnozˇina vhodneˇ zvolenyćh funkcı´ (viz [1]), ma´me α → Ω(α) → u(α) → I(α, u(α)) ≡ J(Ω(α)),

α ∈ Uad ,

kde u(α) je rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy (P(α) ) na Ω(α). Tedy O = {Ω(α) : α ∈ Uad } a u´loha na´vrhu optima´lnı´ho tvaru oblasti je min J(Ω(α)).

α∈Uad

3.1

Prˇ´ıklady cenovyćh funkciona´lu˚

Za kriterium vy´beˇru optima´lnı´ho na´vrhove´ho parametru lze volit nejru˚zneˇjsˇ´ı cenove´ funkciona´ly, podle potrˇeb a cı´lu˚ rˇesˇitelu˚. Typicka´ modelova´ kriteria jsou naprˇ´ıklad • Minimum objemu (tı´hy) Z

J(Ω(α)) =

1dx

Ω(α)

• Minimalizace odchylky vy´sledne´ho posunutı´ od zadane´ho pru˚beˇhu uD ∈ Y J(Ω(α)) =

Z Ω(α)

(uD − u(x))2 dx

• Maxima´lnı´ tuhost soustavy – minimalizace integra´lu z vy´sledne´ho posunutı´ J(Ω(α)) =

Z

u(x)dx

Ω(α)

• Minimalizace pru˚beˇhu napeˇtı´ J(Ω(α)) =

Z

|∇(u(x))|2 dx

Ω(α)

• Minimalizace kontaktnıćh napeˇtı´ (toku prˇes hranici, atd.) J(Ω(α)) =

Z Γ(α)

∂n (u(x))ds


3

3.2

PRˇI´KLADY

Prˇ´ıklad nehladke´ a nekonvexnı´ optimalizace

Pokud je stavova´ u´loha ve tvaru variacˇnı´ nerovnice, mu˚zˇe se sta´t, zˇe odpovı´dajıćı´ optimalizacˇnı´ u´loha je nehladka´ a nekonvexnı´, jak ukazuje na´sledujıćı´ modelovy´ prˇ´ıklad na optima´lnı´ rˇ´ızenı´ (Mignot and Puel (1984)). Prˇ´ıklad: na u´lohu optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ pravou stranou. Necht’ prˇ´ıslusˇnost rˇ´ıdıćı´ho parametru α do prˇ´ıpustne´ mnozˇiny Uad a prˇedpis pro rˇ´ızenı´ pravou stranu y = y(α) funkciona´lu G jsou zadańy na´sledovneˇ α ∈ Uad ≡ R, α → y(α) = (α − 1)+ , a potencia´l stavove´ u´lohy ma´ tvar G(x) = 1/2x2 − y(α)x. Pro pevneˇ zvoleny´ rˇ´ıdıćı´ parametr α ∈ Uad definujeme stavovou u´lohu jako u´lohu minimalizace nad konvexnı´ mnozˇinou vazeb K ≡ h0, ∞), tedy ve tvaru ? x(α) ∈ K : G(x(α)) ≤ F(z) ∀z ∈ K, nebo ekvivalentneˇ ve tvaru variacˇnı´ nerovnice 1. druhu ? x(α) ∈ K : x(α)(z − x(α)) ≥ y(α)(z − x(α)) ∀z ∈ K Snadno lze zjistit, zˇe jediny´m rˇesˇenı´m stavove´ u´lohy je element x(α) = (α − 1)+ ≡ y(α). Necht’je dań cenovy´ funkciona´l pro optima´lnı´ rˇ´ızenı´ ve tvaru J (α) = (x(α) − 1)2 + α2 , α ∈ Uad a u´loha optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ necht’je dańa na´sledovneˇ ?¯ α ∈ Uad : J (¯ α) ≤ J (α) ∀α ∈ Uad Ze znalosti rˇesˇenı´ stavove´ u´lohy vidı´me, zˇe za´vislost funkciona´lu J na rˇ´ıdıćı´m parametru α ma´ tvar J (α) = (y(α) − 1)2 + α2 = ((α − 1)+ − 1)2 + α2 = 2α2 − 4α + 4 pro α ≥ 1, J (α) = (y(α) − 1)2 + α2 = ((α − 1)+ − 1)2 + α2 = α2 + 1 pro α ≤ 1, a tedy cı´lovy´ funkciona´l J (α) pro optima´lnı´ rˇ´ızenı´ je nehladky´ i nekonvexnı´ v rˇ´ıdıćı´ promeˇnne´ α ∈ Uad . 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 18 –

REFERENCE

Reference [1] Haslinger, J., Neittaanmaki, P.: Finite Element Approximation for Optimal Shape, Material and Topology Design, second edition, John Wiley and Sons, Chichester, 1997. [2] Pironneau, O.: Optimal Shape Design for Elliptic Systems, Springer Series in Computational Physics, Springer–Verlag, New York, 1984. [3] Sokolowski, J., Zolesio, J.P.: Introduction to Shape Optimization, Shape Sensitivity Analysis, Springer Series in Computational Mathematics 16, Springer–Verlag, Berlin, 1992. [4] Necˇas, J.: Les Me´thodes Directes en Theórie des Equations Elliptiques, Masson, Paris 1967 [5] Aubin, J.P.: Approximation of Elliptic Boundary - Value Problems, WileyInterscience, London 1972 [6] Lions, J.L.: Neˇkatoryje metody resˇenija nelinejnych krajevych zadacˇ, (v rusˇtineˇ), Izdatelstvo Mir, Moskva 1972 [7] Rektorys, K.: Variacˇnı´ metody v inzˇeny´rskyćh proble´mech a v proble´mech matematicke´ fyziky, TKI SNTL, Praha 1974 [8] Fucˇ´ık, S., Kufner, A.: Nelinea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnice, TKI SNTL, Praha 1978 [9] Adams, R.A.: Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975 [10] Duvuat, G., Lions, J.L.: Inequalities in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1976 [11] Kufner, A., John, O., Fucˇ´ık, S.: Function Spaces, Academia, Praha 1977 [12] Ciarlet, P.G.: The Finite Element Method for Elliptic Problems, Noth-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978 [13] Aubin, J.P.: Applied Functional Analysis, J.Wiley and sons, New York, 1979 [14] Hlavaćˇek, I., Haslinger, J., Necˇas, J., Lovı´sˇek, J.: Riesˇnie variacˇnyćh nerovnostı´ v mechanike, ALFA Bratislava 1982 [15] Necˇas, J., Hlavaćˇek, I.: U´vod do matematicke´ teorie pruzˇnyćh a pruzˇneˇ plastickyćh teˇles, SNTL,Praha 1983 [16] Glowinski, R.: Numerical Methods for Nonlinear Variationals Problems, Springer–Verlag, New York, 1984 12. ANSYS Users’ Meeting, 30. za´rˇ´ı – 1. rˇ´ıjna 2004 na Hrube´ Ska´le – 19 –

REFERENCE

[17] Panagiotopoulus, P.D.: Inequality problems in mechanics and applications. Convex and nonconvex energy functions, Birkhasuer, Boston 1985 [18] Haslinger,J., Miettinen, M., Panagiotopoulos, P.D.: Finite Element Method for Hemivariational Inequalities. Theory, Methods, Applications, Kluwer Academic Press, London 1999 Podeˇkovańı´ Autor prˇ´ıspeˇvku povazˇuje za svoji milou povinnost podeˇkovat na tomto mı´steˇ Radeˇ vla´dy Cˇeske´ republiky pro vy´zkum a vy´voj za financˇnı´ podporu jeho vy´zkumne´ cˇinnosti. Prˇedlozˇena´ praće byla realizovańa v ra´mci vy´zkumne´ho za´meˇru katedry matematicke´ analy´zy a aplikacı´ matematiky, Prˇ´ırodoveˇdecka´ Fakulta, Universita Palacke´ho Olomouc, projekt cˇ. J14/98: 1531 000 11.


ÚVOD DO TEORIE TVAROVÉ OPTIMALIZACE Formulace abstraktní úlohy, řešitelnost a aproximace

Recommend Documents