Po átky teorie obvod - formulace základních zákon Úvod Studijní text je ur en pro poslucha e magisterského studia, zejména pro obory: U itelství pro zvláštní školy a 1. stupe speciálních základních škol, 2. stupe – technická a informa ní výchova. Cílem je nastínit vývoj základních zákon teorie obvod , upoutat pozornost studenta, který m že poznatky uplatnit i v pozd jší pedagogické praxi. Poslucha i jsou nabídnuty p íklady, pomocí nichž si m že procvi it ešení obvod . Doporu ená literatura k prostudování: 1. MAYER, D. Pohledy do minulosti elektrotechniky. 2. vyd. eské Bud jovice : KOOP, 2004. 427 s. ISBN 80-7232-219-2 2. MYSLÍK, J. Hlavolamy z elektrotechniky. 1. vyd. Praha : BEN – technická literatura, 1996. 175 s. ISBN 80-901984-6-5 3. VOBECKÝ, J., ZÁHALA, V. Elektronika sou ástky a obvody, principy a p íklady. 2. vyd. Praha : GRADA Publishing, 2001. 192 s. ISBN 80-7169-884-9 4. KOLOMÝ, R. Z historie. Georg Simon Ohm – 150 let od úmrtí. Matematika – fyzika informatika. asopis pro výuku na základních a st edních školách. Praha : Prometheus, 2004. ro . 13, . 10. str. 630 – 634. ISSN-1210-1761 5. BLAHOVEC, A. Elektrotechnika 1. 3. vyd. Praha : Informatorium, 1999. 191 s. ISBN 80-860-73-49-1 6. SMEJKAL, J. Elektrotechnika. 1. vyd. Brno : Vysoké u ení technické, 1991. 254 s. ISBN 80-214-0388-8 Georg Simon Ohm (1789 – 1854) Ohm v zákon Historie Ohmova zákona Prvenství ve formulaci ohmova zákona náleží H. Gavendishovi a nezávisle na n m jej pozd ji znovu objevil a jako první jej publikoval G. S. Ohm. Nejvýznamn jší Ohmovou prací, jíž se zapsal do d jin elektrotechniky, je jeho lánek „Úber Leitungsfähigkeit der Metalle für Elektrizität“ (O elektrické vodivosti kov ) z roku 1825. V této práci Ohm vysv tlil závislost elektrického proudu na nap tí zdroje a na odporu vodi e. Ohm si vytvá el p edstavy o vlastnostech elekt iny na základ analogie mezi elektrickým proudem a tepelným tokem. Ohm ukázal, že pom ry v jednoduchém elektrickém obvodu jsou jednozna n ur eny t emi veli inami: proudem, nap tím zdroje a odporem, jenž je p ímo úm rný délce vodi e a nep ímo úm rný jeho pr ezu. (1, str. 172) Ohm up esnil fyzikální pojmy: elektrický odpor, elektrická vodivost a zavedl nové pojmy (4, s. 630).
1
obr. . 1 Ohm zprvu dosp l k nesprávným výsledk m. Ukázalo se, že p í ina byla v tom, že p i svých pokusech používal jako zdroj nap tí Volt v lánek a nepo ítal s tím, že jeho nap tí b hem m ení klesá. Profesor Poggendorff, vydavatel význa ného v deckého asopisu Poggendorff´s Analen, komentoval Ohm v omyl poznámkou: „Bylo by žádoucí, aby si autor nalezl volnou chvíli a podnikl svá vyšet ení pomocí termoelektrického lánku, jehož p sobení je mnohem stálejší…“. Ohm roku 1826 této rady uposlechl a provedl adu m ení proud ve vodi ích r zných délek a z r zných kov , p ipojených na termo lánek m – vizmut. (1, str. 172)
obr. . 2 2
Na obrázku je m ící p ístroj, který použil Ohm p i svých experimentech. Je to torzní ampérmetr s termo lánkem, kde m, m´ jsou p ívody uložené v kontaktech se rtutí; t je magnetka nastavovaná do nulové polohy nato ením torzní hlavice r, p i emž úhel nato ení vyjad uje velikost m eného proudu. Spoje termo lánku ab a a´b´ byly umíst ny jednak ve vroucí vod , jednak v tajícím ledu, tedy na teplotním rozdílu 100 °C. Jeden z mnoha Ohmových experiment spo íval v tom, že z m d ného vodi e si p ipravil osm vzork , r zných délek. Ty pak postupn p ipojoval k baterii a torzním ampérmetrem m il magnetické p sobení protékajícího proudu (tj. ode ítal úhel nato ení hlavice). Získal tyto výsledky: délka vodi e (v palcích) 2 4 6 nato ení hlavice 305 282 258 ¼
10 223 ½
18 34 178 124 ¾
66 130 78 44
Svá m ení vyhodnotil Ohm tímto tvrzením „… Výše uvedená ísla lze posta ujícím a zp sobem vyjád it rovnicí X , (1) b x kde X je velikost magnetického p sobení vodi e, jehož délka je x, a a, b jsou konstanty, jež jsou úm rné budící síle a odporu zdroje…“ (1, str. 173) Úkol 1 Dosa te do rovnice (1) za konstanty b = 20 ¼ , a = 6800 a vepište výsledky do tabulky: délka vodi e (v palcích) Výsledné X
2
4
6
10
18
34
66
130
Vypln ná tabulka:
délka vodi e (v palcích) Výsledné X
2 4 6 10 18 34 66 130 305½ 280½ 259 224¾ 177¾ 125¼ 79 45
Výsledky se dob e shodují s nam enými hodnotami a tedy potvrzují platnost rovnice (1). Vyjád íme-li uvedený vztah (1) v dnes známém tvaru , (2) Ri Ra kde I je proud, je elektromotorické nap tí termo lánku, Ri je vnit ní odpor termo lánku a Ra je odpor vodi e p ipojeného k termo lánku a uv domíme-li si, že Ra je p ímo úm rné délce vodi e x a X je mírou proudu, je význam veli in a a b ihned patrný. (1, str. 175)
I
Poznámka: Dnes se používá jiné ozna ení veli in. Uvádím vztahy pro veli iny v dnes používaném tvaru. Elektrický proud I je dán elektrickým nábojem Q, který projde pr ezem vodi e za Q dobu t. Platí vztah I (5, str. 11). t
3
Elektrické nap tí U je definováno prací pot ebnou k p emíst ní kladného A (5, str. 12). jednotkového elektrického náboje Q. Platí vztah U Q Veli ina R vyjad uje vlastnosti prost edí, kterým prochází elektrický proud, a nazýváme ji elektrickým odporem nebo také rezistancí vodi e. Uvedenou veli inu lze l vyjád it vztahem R . (5, str. 17) . S Sou ástka, jejíž základní požadovanou vlastností je elektrický odpor, se nazývá rezistor. U (5, str. 15) Platí vztah R I
Ohm v zákon pro celý obvod Fyzika U0 I Ri Re elektrotechnika U 0 I Ri Re
Ohm v zákon pro ást obvodu U I , I GU R U
RI , U
I G
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) Kirchhoffovy zákony Historie Kirchhoffových zákon Pod vedením prof. Neumanna vypracoval student Kirchhoff seminární práci, v níž formuloval vztahy, které byly pozd ji spojeny s jeho jménem. Kirchhoffov seminární práci se dostalo zaslouženého ocen ní: po menších úpravách tvo ila jeho doktorskou disertaci a byla d vodem ke stipendiu k ro nímu postgraduálnímu studijnímu pobytu.
obr. . 3 Kirchhoff se cítil povolán p edevším k obor m teoretické fyziky, experimentování mu bylo vzdáleno. Objevy, jimiž Kirchhoff položil základy soudobé teorie elektrických obvod , u inil v pom rn úzkém asovém období let 1845 – 1849. V dalším období svého života se elektrickými a magnetickými jevy už nezabýval. 4
Je zajímavé, že Kirchhoff vykládal elekt inu a magnetismus pomocí fluid, nebo nebyl p ívržencem Maxwellovy teorie elektromagnetického pole, a práv z ní lze exaktn odvodit oba Kirchhoffovy zákony. Základními pilí i, na nichž je vybudována teorie elektrických obvod , jsou první a druhý Kirchhoff v zákon. Prof. Neumann zadal tehdy 21-letému studentu Kirchhoffovi seminární práci, v níž m l vyšet it rozložení proudové hustoty v kruhovém plechovém kotou i, jestliže p ívod a odvod proudu je proveden tenkými vodi i p ipojenými k obvodu kotou e.
Pr b h ekvipotenciál v kruhové desce – výsledek m ení, které provád l Kirchhoff ve své seminární práci
obr. . 4
V dodatku ke své seminární práci pak ješt odvodil podmínku rovnováhy Wheatstoneova mostu a práv k tomu ú elu formuloval v r. 1845 ony vztahy, které dnes ozna ujeme jako první a druhý Kirchhoff v zákon: n k 1
Ik
0
a
n
Uk
0
k 1
První Kirchhoff v zákon (zákon o zachování elektrických náboj ) vyjad uje, že v libovolném uzlu obvodu je algebraický sou et okamžitých hodnot proud vytékajících z uzlu a proud vtékajících do uzlu roven nule. P itom proudy vytékající z uzlu bereme jako kladné a proudy vtékající do uzlu jako záporné.
obr. . 5 Druhý Kirchhoff v zákon (zákon o zachování energie) vyjad uje, že v libovolné orientované smy ce obvodu je algebraický sou et okamžitých hodnot nap tí na v tvích smy ky roven nule. P itom souhlasn orientovaná nap tí s orientací smy ky bereme orientovaná kladn , nesouhlasn bereme záporn .
5
obr. . 6 B hem svého pobytu na berlínské univerzit Kirchhoff svou práci prohloubil a formuloval další poznatky, které dnes ozna ujeme jako Kirchhoffova kombina ní pravidla a dále upozornil na platnost varia ních princip v elektrických soustavách. (1, str. 177) Záv r
Ohmovým zákonem a Kirchhoffovými zákony byly položeny základy sloužící teoretické elektrotechnice – teorie elektrických obvod .
P íklady na procvi ení: Úloha 1 Máme t i rezistory, jeden má odpor 3 R a každý ze dvou zbývajících pak R. Tyto rezistory máme spojit tak, aby výsledný odpor spojení byl 3R/7. (2, str. 7)
Obr. 1
6
Výpo et: a) úlohu m žeme vy ešit „zkusmo“. Na obr. 1 jsou nakresleny všechny r zné možnosti zapojení uvažovaných rezistor . Na první pohled vidím, že pro zapojení na obr. 1 a) je výsledný odpor 5R a pro zapojení podle obr. 1 b) pak 3R + R/2 = 7R/2. Takto tedy rezistory být zapojeny nemohou. Pro zapojení podle obr. 1 c) dostaneme 3R.R 7R R 3R R 4 pro zapojení podle obr. 1 d) R ( R 3R ) 4 R R R 3R 5 pro zapojení podle obr. 1 e) 3R ( R R ) 6 R 3R R R 5 a kone n pro zapojení podle obr. 1 f) pak 1 3R 1 1 1 7 3R R R Hledaným zapojením rezistor je tedy zapojení nakreslené na obr. 1 f).
b) úlohu m žeme ešit i úvahou. Výsledný odpor má být 3R/7 0,429 R, tedy menší než odpor 0,5 R, který m žeme získat paralelním spojením dvou rezistor s odpory R. není jiná možnost než p ipojit t etí rezistor s odporem 3R paraleln k této dvojici, 1 3R abychom výsledný odpor dále zmenšili a pak . 1 1 1 7 3R R R
Úloha 2 Máme t i rezistory, jejichž odpory R1, R2, R3 neznáme. Spojíme-li tyto rezistory podle obr. 2, potom ampérmetr A ukazuje proud I1 = 0,1 A a voltmetr V nap tí UR1 = 3 V. Spojíme-li rezistory podle obr. 3, pak ampérmetr A ukazuje proud I2 = 1 A. Nap tí zdroje je v obou p ípadech U0 = 10 V. Máme ur it velikosti odpor R1, R2, R3. (2, str. 8) Výpo et: Rovnou m žeme psát, že R1 = UR1 / I1 = 30
Podle obr. 2 v zadání úlohy je dále (R2 + R3) I1 = U0 - UR1 tedy po dosazení íselných hodnot R2 + R3 = 70
7
(a)
Druhou pot ebnou rovnici sestavíme podle obr. 3. M žeme psát
I2 U0
1 R1
1 R2
1 R3
1 1 1 30 R2 R3 Tato rovnice spole n s rovnicí (a) tvo í soustavu dvou rovnic, ze které vypo ítáme velikosti odpor R2 48,23 , R3 21,77 .
a po dosazení íselných hodnot 0,1 =
Úloha 3 Stanovte výsledný odpor spojení podle obr. 4, kde R1 = 1,8 R4 = 4,5 , R5 = 2 , R6 = 6 . (5, str. 39)
, R2 = 18
,
R3 = 3,4
Obr. 4 Výpo et: Nejd íve stanovíme výsledný odpor paraleln spojených rezistor R5 a R6 a ozna íme ho RA R5 R6 2.6 RA = R56 1,5 . R5 R6 2 6 Rezistory RA + R4 jsou spolu spojeny v sérii. Spojení ozna íme jako RB RB = RA + R4 = (1,5 + 4,5) = 6 . Rezistory R2 a RB jsou spojeny paraleln a jejich výsledný odpor ozna íme Rc
8
,
R2 R B 18.6 4,5 . R2 RB 18 6 Tímto dostáváme spojení, podle kterého m žeme stanovit výsledný odpor, kde rezistory R1, Rc a R3 jsou spojeny do série a výsledný odpor je tedy R = R1+ Rc + R3 = (1,8 + 4,5 + 3,4) = 9,7 . Rc = R2 B
Úloha 4 Stanovte odpor spojení rezistor podle zapojení na obr. 5. Hodnoty odpor rezistor jsou R1 = 4 , R2 = 5 , R3 = 1 , R4 = 1,1 , R5 = 2,5 . Pro transfiguraci m žeme použít trojúhelník složený z rezistor R1, R2, R3, nebo trojúhelník složený z rezistor R3, R4, R5. (5, str. 43)
5
Výpo et: Výpo et odpor rezistor hv zdy R1 R 2 4.5 RA = R1 R 2 R 3 4 5 1
2 ,
Rb =
R 1 R3 R1 R 2 R 3
4.1 4 5 1
0,4 ,
Rc =
R2 R3 R1 R 2 R 3
5.1 4 5 1
0,5 .
Po dalším zjednodušení bude Rd = Rb + R4 = (0,4 + 1,1) = 1,5 , Re = Rc + R5 = (0,5 + 2,5) = 3 , Rd Re 1,5.3 Rg = 1 . Rd Re 1,5 3 Výsledný odpor spojení R = RA + Rg = (2+1) = 3 .
9
Úloha 5 Ur eme odpor rezistorového dvojpólu nakresleného na obr. 6. (2, str. 27)
Obr. 6 Pozn.: K obvodu jsou prvky p ipojeny svorkami (póly). Podle po tu svorek rozeznáváme dvojpóly, trojpóly, ty póly a obecn n-póly. Dvojpóly mají dv svorky a k posouzení jejich innosti musíme znát nap tí mezi t mito svorkami a dále proudy, které dvojpólem prochází. Nezajímá nás jenom velikost uvedených veli in, ale také jejich smysl a sm r. (6, str. 12) Výpo et: Úlohu by samoz ejm bylo možné ešit metodou transfigurace (trojúhelník – hv zda, hv zda – trojúhelník), popíšeme však elegantn jší postup ešení. Je dobrou ukázkou toho, že p ed matematickým ešením je nutno p emýšlet a na základ fyzikálního rozboru ešení úlohy optimalizovat.
Vyjd me z definice odporu U0 Rd (A) I kde U0 je svorkové nap tí a I proud dvojpólu (obr. 8).
10
Obr. 8 Nyní sta í zavést libovolnou smy ku tak, aby obsahovala v tev, ve které je (fiktivní) zdroj nap tí U0 a pro tuto smy ku napsat druhý Kirchhoff v zákon. Pro smy ku s zavedenou podle obr. 8 m žeme psát RI RI RI U0 3 6 3 RI RI RI Po dosazení za U0 z rovnice (A) je Rd I 3 6 3 a kone n pro pod lení této rovnice proudem I dostaneme výsledek R R R 5R Rd . 3 6 3 6
Pomocí výše uvedených zákon lze ešit i úlohy z elektroniky. Úloha 5 Máme obvod se t emi LED diodami – ervenou (D1), zelenou (D2) a modrou (D3). Napájecí nap tí Ucc = 5 V.
a) Jaké úbytky nap tí budou na rezistorech R1, R2 a R3, jsou-li úbytky nap tí na diodách UD1 = 1,7 V, UD2 = 2,2 V a UD3 = 3,0 V? b) Vypo t te velikosti odpor jednotlivých rezistor tak, aby jednotlivými diodami tekly proudy I1 = 12 mA, I2 = 8 mA, I3 = 20 mA.
11
c) Jaký bude celkový odb r proudu Icc ze zdroje napájecího nap tí Ucc pro p ípad b)? (3, str. 31) Výpo et: Na tomto p íkladu je ilustrována provázanost obou Kirchhoffových zákon a Ohmova zákona. a) P i výpo tu úbytk nap tí na jednotlivých rezistorech použijeme 2. Kirchhoffova zákona. Nejd íve si stanovíme proudovou orientaci v obvodu (nap íklad ve sm ru Icc, tedy ve sm ru hodinových ru i ek), napíšeme rovnice pro nap tí v jednotlivých v tvích obvodu a dosadíme: U cc U R1 U D1 0 U R1 U cc U D1 5V 1,7V 3,3V
U cc
U R2
U D2
0
U R2
U cc U D2
5V
2,2V
2,8V
U cc
U R3
U D3
0
U R3
U cc
5V
3,3V
2,0V
U D3
b) Velikosti odpor jednotlivých rezistor vypo teme p i známých hodnotách nap tí a proud z Ohmova zákona: U R1 3,3V R1 257 I1 12.10 3 A U R2 2,8V R2 350 I2 8.10 3 A U R3 2,0V R3 100 I3 20.10 3 A c) Celkový odb r proudu Icc vyplývá z 1. Kirchhoffova zákona: Icc – I1 – I2 – I3 = 0 Icc = I1 + I2 + I3 = 12.10 3 A
12
