UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE
OSVĚTLENÍ VE STŘEDOVÉM PROMÍTÁNÍ A LINEÁRNÍ PERSPEKTIVĚ Bakalářská práce
Vedoucí práce:
Vypracovala:
RNDr. Lenka Juklová, Ph.D.
Martina Vinklářová
Rok odevzdání 2012
M-DG, 3. ročník
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně pod vedením RNDr. Lenky Juklové, Ph.D., a že jsem uvedla všechnu použitou literaturu. V Olomouci 26.srpna 2012
…………….
Na tomto místě bych ráda poděkovala RNDr. Lence Juklové, Ph.D., za pečlivě vedené přednášky, čas, který mi věnovala a za cenné rady, které přispěly ke zkvalitnění této práce.
Obsah Obsah ................................................................................................................................................4 Úvod ..................................................................................................................................................5 1.
Základní pojmy a postupy..........................................................................................................6
2.
Osvětlení ...................................................................................................................................9
3.
Rovnoběžné osvětlení ve středovém promítání ......................................................................11
4.
5.
3.1.
Postupy konstrukce rovnoběžného osvětlení ve středovém promítání ..........................11
3.2.
Příklady rovnoběžného osvětlení ve středovém promítání .............................................13
Rovnoběžné osvětlení v lineární perspektivě ..........................................................................21 4.1.
Postupy konstrukce rovnoběžného osvětlení v lineární perspektivě ...............................21
4.2.
Příklady rovnoběžného osvětlení v lineární perspektivě .................................................23
Zrcadlení ..................................................................................................................................32 5.1.
Zrcadlení ve vodní hladině ...............................................................................................33
5.2.
Zrcadlení ve svislém zrcadle ............................................................................................34
5.3.
Zrcadlení v šikmém zrcadle..............................................................................................35
Závěr ...............................................................................................................................................36 Literatura ........................................................................................................................................37 Přílohy .............................................................................................................................................38
Úvod Tato bakalářská práce se zabývá rovnoběžným osvětlením těles, obsahuje základy teorie a řešené úlohy, ukazuje základní postupy konstrukcí při řešení úloh o rovnoběžném osvětlení. Jednotlivé úlohy jsou řešené ve dvou zobrazovacích metodách, těmi jsou středové promítání a lineární perspektiva. U čtenáře se předpokládá základní znalost těchto zobrazovacích metod. Ve všech úlohách je středové promítání zadáno pravoúhlým průmětem promítání a distanční kružnicí . Lineární perspektiva je dána horizontem bodem
, distancí
středu , hlavním
a základnicí . V příloze jsou obsažena zadání jednotlivých úloh.
Práce je rozdělena do pěti kapitol. První kapitola stručně shrnuje důležité pojmy a postupy konstrukcí z obou promítacích metod, které jsou použité v této práci a kterým je nutné rozumět. Druhá kapitola se zabývá osvětlením v prostoru a stručně shrnuje všechny obecné poznatky o osvětlení. Třetí kapitola obsahuje principy rovnoběžného osvětlení těles ve středovém promítání a soubor několika řešených příkladů. Ve čtvrté kapitole jsou popsány principy rovnoběžného osvětlení těles v lineární perspektivě a opět řešené konkrétní příklady. Pátá kapitola obsahuje základní poznatky zrcadlení s ukázkou zrcadlení ve svislém i šikmém zrcadle a ve vodní hladině. Obrázky a úlohy jsou narýsovány pomocí programu AutoCAD.
5
1. Základní pojmy a postupy Jak již bylo řečeno, tato práce se zabývá pouze rovnoběžným osvětlením. Uvažujeme rozšířený euklidovský prostor. Přesto, že u čtenáře předpokládám základní znalost těchto zobrazovacích metod, v této kapitole shrnuji některé základní pojmy a postupy konstrukcí.
Základní pojmy a postupy
středové promítání je zadáno průmětnou
, středem promítání
(
a
distancí
pravoúhlý průmět středu promítání do průmětny nazýváme hlavní bod a značíme
úsečka
je kolmá na průmětnu
= distance , většinou je určena distanční kružnicí se středem v
a
poloměrem
rovinu rovnoběžnou s průmětnou a procházející středem promítání
nazýváme
středová rovina
průsečík přímky
středový průmět nevlastního bodu přímky
s průmětnou nazveme stopník přímky, značíme ho nazveme úběžník přímky, značíme
ho
středový průmět průsečíku přímky
se středovou rovinou je nevlastní bod,
nazýváme ho protiúběžník a značíme
průsečnici roviny
s průmětnou nazýváme stopa roviny, značíme ji
6
středový průmět nevlastní přímky roviny
nazýváme úběžnice roviny, značíme
ji
středový průmět průsečnice roviny
se středovou rovinou je nevlastní přímka,
nazýváme ji protiúběžnice a značíme
poloha bodu
v prostoru, je určena, je-li dán jeho středový obraz (zadané jejím stopníkem
obraz jeho nositelky
a úběžníkem
a středový )
přímka leží v rovině, leží-li její úběžník a stopník na úběžnici a stopě roviny
přímka je rovnoběžná s rovinou, leží-li úběžník přímky na úběžnici roviny
přímky jsou různoběžné, jsou-li spojnice jejich úběžníků a stopníků rovnoběžné
dvě přímky jsou rovnoběžné, mají-li společný úběžník
úběžník spádových přímek roviny
nazýváme hlavní úběžník roviny a
značíme
úběžník přímek kolmých k rovině
při určování skutečné velikosti úsečky
nazýváme úběžník normál a značíme ležící na přímce
kružnici, tou je kružnice se středem v bodě kružnici zvolíme bod [S], stopníkem přímky a označíme ji
využijeme dělicí
a poloměrem
, na této
vedeme rovnoběžku s přímkou
, z bodu [S] promítneme na přímku
body
,
vzdálenost průmětů těchto bodů je skutečnou velikostí úsečky
otáčení roviny do průmětny využijeme při sestrojování rovinných útvarů, otočené útvary budeme značit indexem
mezi středovým průmětem a otočenou polohou roviny
kolem její stopy do
průmětny existuje kolineace, osou této kolineace je stopa roviny kolineace je otočený střed promítání do průmětny kolem úběžnice roviny
stopníky jsou samodružné body pro protiúběžnici
sklopenou do průmětny platí
7
=
, středem
Lineární perspektiva je vlastně částečně omezené středové promítání a to především proto, aby byly obrazy názornější a vzbuzovaly představu skutečnosti.
průmětnou je svislá rovina
základní rovina je kolmá na průmětnu, její stopu nazýváme základnice, značíme , její úběžnici nazýváme horizont a značíme
hlavní bod
přeznačíme na
je určena distančníky
, průsečíky distanční kružnice s horizontem
nazýváme levý a pravý distančník, značíme
, průsečíky distanční kružnice
s kolmicí na horizont vztyčenou v hlavním bodě nazýváme horní a dolní distančník a značíme je
všechny vodorovné roviny mají společnou úběžnici
kružnice se středem přímky
a poloměrem
nazýváme dělicí kružnice
její průsečík s horizontem nazýváme dělicí bod a značíme ho
z dělicího bodu promítneme úsečku získáme body
,
(ležící v základní rovině) na základnici a
je skutečná velikost úsečky
8
2. Osvětlení Při zobrazování objektů se snažíme docílit jejich nejvěrnějšího a nejnázornějšího zobrazení. Pro názornější zobrazení a lepší prostorový dojem využíváme osvětlení. Díky němu na objektu dobře vidíme osvětlenou část, část ve vlastním stínu a stín vržený na okolní objekty. Pro zjednodušení konstrukce osvětlení nahrazujeme světelné paprsky přímkami a zdrojem světla je bod. Středové osvětlení má zdroj světla ve vlastním bodě, zdrojem světla rovnoběžného osvětlení je bod nevlastní. Dále budeme předpokládat, že osvětlované objekty světelné paprsky zcela pohlcují, tzn., že tělesa jsou neprůhledná a neodrážejí světlo. Jak již bylo zmíněno, tato práce se zabývá pouze osvětlením rovnoběžným. Průmět zdroje světla do průmětny (nevlastního bodu úběžník
světelných paprsků.
Osvětlujeme-li stínem
v prostoru) budeme značit jako
bodu
bod
,
vedeme
do roviny
jím
světelný
paprsek
je průsečík světelného paprsku směru
Osvětlujeme-li přímku , vedeme světelný paprsek směru paprsky tvoří světelnou rovinu . Vrženým stínem této světelné roviny
s rovinou
vržený stín na vrženém stínu směru osvětlení světelnou plochu křivka, která je průnikem roviny
směru
přímky
Osvětlujeme-li úsečku
,
vrženým
s rovinou
.
každým jejím bodem, tyto do roviny
je průsečnice
ležící na přímce , leží její
této přímky. Při osvětlování těles tvoří styčné přímky , vrženým stínem osvětlovaného tělesa do roviny
je
se světelnou plochou .
Hranice vrženého stínu se nazývá mez vrženého stínu. Metodou zpětných paprsků určíme na osvětlovaném objektu jeho osvětlenou a neosvětlenou část, získáme tak vlastní stín objektu, jeho hranicí je mez vlastního stínu. Vedeme-li všemi body meze stínu vlastního daného objektu světelné paprsky, jejich vrženými stíny do roviny
jsou body
meze vrženého stínu tohoto objektu. Zpětné paprsky využijeme také při určení meze vrženého stínu jednoho objektu na druhý. Z průsečíků vržených stínů vedeme přímky směru osvětlení a na objektu najdeme body, jejichž vržené stíny splývají, potom bod, ležící blíže zdroji světla, vrhá stín na ostatní.
9
Vržený stín budeme znázorňovat výraznějším šrafováním než stín vlastní, osvětlené části ponecháme bez šrafování. Vržený stín bodu
na ostatní objekty budeme značit .
s B A B´ A
Obr. 2.1.
10
3. Rovnoběžné
osvětlení
ve
středovém
promítání
3.1.
Postupy konstrukce rovnoběžného osvětlení ve
středovém promítání Osvětlení je určeno směrem světelných paprsků, konkrétně jejich úběžníkem
, a je
dána rovina , do které osvětlujeme. Pravoúhlé průměty světelných paprsků do roviny jsou určeny úběžníkem Vržený stín
bodu
, ten leží na úběžnici roviny . do roviny ρ je průsečíkem světelného paprsku směru
procházejícího bodem
s rovinou
procházejícím bodem
a další přímkou procházející tímto bodem. Bod
průsečnici světelné roviny s rovinou
. Světelná rovina je určená světelným paprskem a na světelném paprsku směru
Sestrojíme ho tedy jako průsečík tohoto paprsku s průsečnicí roviny
leží na
vedeném bodem . a světelné roviny
procházející bodem . Při hledání vrženého stínu bodu
do roviny
můžeme využít dvou různých postupů
(úloha 3.2.1.). První se nejčastěji používá, je-li objekt, jehož stín hledáme, v obecné poloze nebo jeho hrany nejsou kolmé k rovině
(Obr. 3.1.1.). Druhého postupu se využívá
v případech, že hledáme vržený stín kolmých hranolů, jehlanů, válců či kuželů s podstavou rovnoběžnou s rovinou roviny
(Obr 3.1.2.). Tím, že známe pravoúhlý průmět
, se nám značně zjednoduší celý postup. Úběžník
světelných paprsků leží na úběžnici roviny roviny
a spojnice
bodu
do
pravoúhlých průmětů
prochází úběžníkem normál
. Vržený stín libovolného bodu tělesa sestrojím jako průsečík přímky směru
osvětlení, která prochází tímto bodem, s jejím pravoúhlým průmětem do roviny
11
us s´
S2
S A n
1
Rs
As
A´
r
A´s s
Rs
Obr. 3.1.1.
us S2
s1 A
1
Rs
p 1s
n
As A´
s´
A1
s´1
A´s
s 1 As
ps
Rs
Obr. 3.1.2. 12
S
Příklady rovnoběžného osvětlení ve středovém
3.2.
promítání Úloha 3.2.1. Sestrojte vržený stín bodu světelnými paprsky s úběžníkem nositelkou
. Rovina
do roviny . Rovnoběžné osvětlení je určeno je zadaný středovým průmětem
. Bod
je určena úběžnicí
a stopou
a
.
us n
Uas N
p
us
as rs
N
As
a
S2
ps A´s
Rs
n
Řešení:
Bodem
což je vržený stín přímky
vedeme světelný paprsek bodu
a určíme jeho průsečík s rovinou ,
do roviny . Přímkami
a
, sestrojíme její stopu a úběžnici. Vržený stín
průsečnici
roviny
s rovinou
. Bod
je určena světelná rovina bodu
do roviny
leží na
je tedy průsečík světelného paprsku
s průsečnicí . Středový průmět rovinu
světelného paprsku
určíme její úběžnicí
stopa prochází stopníkem leží stopník
. Úběžnice
a stopou přímky
světelného paprsku
středového průmětu
prochází body
. Pomocnou světelnou
a
prochází úběžníky
a je rovnoběžná s úběžnicí . Středový průmět
světelného paprsku
bodu
a
. Na stopě roviny je průsečíkem průsečnice .
13
,
a
Us
us 1 Rs
as N
n
N
a
As
ps
S2
A s1
U
A´s
ns
n s
ps1 Rs
rs
n us
ns
Jiný způsob řešení: Tentokrát sestrojíme vržený stín bodu jako průsečík světelného paprsku s jeho pravoúhlým průmětem do roviny Sestrojíme pomocnou rovinu
roviny
Průsečnice rovin
a
.
vedeme normálu
Bodem
určenou přímkou
je pravoúhlým průmětem roviny
a normálou
do roviny
do roviny
světelných paprsků do roviny
a leží na úběžnici roviny . Vržený stín
je úběžníkem pravoúhlých průmětů těchto
úběžnicí
. Pomocnou rovinu
, která prochází úběžníky
Sestrojíme středový průmět
a středový průmět
obsahující přímku , její stopa
a
průsečnice
rovin
průmětem normály je pravoúhlý průmět úběžník
bodu
a
a
. 14
normály
a normálu
, určím
je rovnoběžná s úběžnicí
.
, její průsečík se středovým
do roviny
pravoúhlých průmětů světelných paprsků. Vržený stín
je průsečík přímek
je průsečíkem
procházejícího bodem A s jeho pravoúhlým průmětem do roviny .
Známým způsobem sestrojíme úběžník normál procházející bodem
.
Pravoúhlý průmět
úběžníku světelných paprsků světelného paprsku
roviny
. Na úběžnici bodu
leží
do roviny
Úloha 3.2.2. Sestrojte rovnoběžné osvětlení krychle s podstavou v rovině . Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem určená bodem podstavy
, osvětlujeme do roviny podstavy. Krychle je
a středem podstavy
. S0
us R
Cs Os
D´s
Ds
C s1
C´s
S2
R
s
1 s
(S)
B´s
D s1
Bs
Os Bs1
Us n
O0
1
As
Řešení:
Nejprve s pomocí otočení roviny
narýsujeme krychli
a úběžníku normál této roviny v tomto případě nezobrazuji, protože
(bod
jeho poloha neovlivňuje mez vrženého stínu). Dále na úběžnici
sestrojíme úběžník
pravoúhlých průmětů světelných paprsků. Následně sestrojíme vržené stíny jednotlivých hran krychle, vržené stíny hran dolní podstavy splývají s odpovídajícími hranami. Vržené stíny
bodů druhé podstavy sestrojím na průsečnicích roviny
se
světelnými rovinami směru osvětlení, které procházejí jednotlivými hranami. Mez vrženého stínu krychle do roviny
je křivka
vlastní stín této krychle, tím jsou strany
. Nakonec ještě určíme a
15
.
Úloha 3.2.3. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kosého jehlanu do roviny podstavy. Rovnoběžné osvětlení je dáno úběžníkem podstavou v rovině s nositelkou
světelných paprsků. Jehlan s pětiúhelníkovou
je zadán bodem podstavy
, jejím středem
a vrcholem
. S0
vs v
Us
us
Nv
u
s
n Cs
Ds
Os
Es
Vs
(S)
S2
V´s
ps
Rs
Bs
n rs As
Řešení:
O0
Nejprve pomocí již známých konstrukcí sestrojíme jehlan s podstavou a vrcholem
tedy pouze vržený stín pomocné světelné roviny vržený stín
. Vržené stíny bodů podstavy s těmito body splývají, hledáme vrcholu
směru osvětlení, která prochází vrcholem
ležící na světelném paprsku
Následně sestrojíme vržený stín pobočné stěny
. Protože je jehlan kosý, bude výhodnější využít
a
bodu
a na průsečnici
. Získáme tak rovin
a
.
a mez stínu vlastního, vlastním stínem jsou
.
16
Úloha 3.2.4. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kolmého hranolu se čtvercovou podstavou v rovině . Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem . Hranol je určený středem podstavy
, jejím bodem
, osvětlujeme do roviny
a výškou , rovina
je zadaná
svou stopou a úběžnicí. v u
s =u s
´
Us Gs Hs
Cs
Ds
(S)
S2 [S]
Os Fs
Bs
1
EH
Es
E´s
AD
O0
A´s
rs
D´s B´s G´ s
n
F´ s
rs
u
BC
s
Rs
n
rs FG
Řešení:
´
Us C´s
H´s As
n
rs
Sestrojíme hranol
s podstavou v rovině
rovinou horní podstavy. Protože roviny
a
, rovina
je
nemají speciální polohu (nejsou
rovnoběžné ani vzájemně kolmé), bude při řešení výhodnější využít pomocných světelných rovin směru osvětlení, které procházejí hranami obou podstav hranolu. Vržené stíny jednotlivých hran leží na průsečnicích paprsky
těchto světelných rovin s rovinou
a jsou určeny
směru osvětlení, které prochází odpovídajícími vrcholy obou podstav. Získám
vržené stíny obou podstav křivku vlastním stínu leží stěny
a následně mez vrženého stínu jako
,
, kde bod 1 je průsečík vržených stínů obou podstav. Ve a
17
.
Úloha 3.2.5. Sestrojte rovnoběžné osvětlení dutého šestibokého jehlanu do roviny
.
Jehlan má vrchol
a
bodem
v rovině
, podstavu v rovině
určenou středem
). Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem
(
.
S0
(S)
S2
u Rs
A´s 1´ F´ s
2´ B´s C´s
D´s
A
s
E´s Bs 2 s
1s
=
u
s
Fs
_
_
s
Es
Es
Ds
Cs n
Ds
Vs n
Řešení:
Nejprve sestrojíme dutý jehlan
a je kolmá na rovinu
, jeho osa prochází bodem
. Dále využijeme prvního způsobu konstrukce vrženého stínu a
sestrojíme pomocné světelné roviny, které procházejí hranami podstavy a jsou určené směrem osvětlení, na jejich průsečnicích s rovinou
určíme vržené stíny bodů podstavy.
Vrchol je zároveň i vrženým stínem vrcholu. Mezí vrženého stínu je křivka a vlastním stínem jsou pobočné stěny do roviny
,
a
(konstrukce vržených stínů
zde nejsou znázorněny, protože postup je stejný jako v předchozích
příkladech). Dále osvětlíme i vnitřní strany jeho stěn, tedy sestrojíme vržené stíny hran podstavy na vnitřní stěny. Stěny
,
a 18
budou ve vlastním stínu. Ten
sestrojíme jako průsečíky světelných rovin hran . Průsečnice s rovinou
a
se stěnami
,
jedné ze světelných rovin je přímka
, ta
protíná vržený stín podstavy v době 1 (1 bod
a
) a plášť jehlanu v povrchové přímce
leží na této površce a na světelném paprsku, který prochází bodem
vrženým stínem bodu bodů
,
,
a
na stěnu
. Bod
, je
Stejným způsobem sestrojíme vržené stíny
. A následně i vržené stíny
a
19
na vnitřní stěny.
Úloha 3.2.6. Sestrojte rovnoběžné osvětlení válce do roviny podstavy. Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem dolní podstavy
. Dále jsou dány středy
je rovinou dolní a rovina
. Rovina
,
obou podstav a bod
je rovinou horní podstavy.
us = us ´
O*´ s T* s t*s
Rs
S2
T*´ s
(S) T´s
O*s
n ´
Ts T*1s
ts
Os
r
s
n
1
Ts O
As
Řešení:
Sestrojíme zadaný válec, v tomto případě protiúběžnice neprotíná kružnici v
otočení, proto se podstava zobrazí jako elipsa. Dále pomocí světelné roviny směru osvětlení procházející středem horní podstavy
narýsujeme vržený stín
bodu
.
Při sestrojování vržených stínů ostatních bodů využijeme osové afinity, je určena body
a její osa odpovídá úběžnici
. Z bodu
podstavy ležící v rovině
, tečné body nazveme
podstavy jsou body
a
a
vedeme tečny k elipse spodní , jim odpovídající body horní
. Víme, že vržený stín sdružených průmětů elipsy jsou
sdružené průměty jejího stínu. Sestrojíme tedy vržený stín sdružených průmětů elipsy, její vržený stín a následně mez stínu vrženého křivku
. Povrchové přímky
určují hranici mezi osvětlenou částí tělesa a částí ve stínu, tyto přímky jsou tečny tečných rovin směru osvětlení. Mezí stínu vlastního je křivka
20
.
4. Rovnoběžné osvětlení v lineární perspektivě
4.1.
Postupy
konstrukce
rovnoběžného
osvětlení
v lineární perspektivě Rovnoběžné osvětlení v lineární perspektivě je určeno směrem průmětem
a jeho pravoúhlým
na základní rovinu. Protože jsou všechny přímky směru
rovnoběžné, mají společný úběžník
navzájem
, jejich pravoúhlé průměty na základní rovinu jsou h. Spojnice
také rovnoběžné a jejich společným úběžníkem je bod
je úběžnicí
světelných rovin kolmých k základní rovině, protože je to úběžnice pravoúhle promítací roviny směru osvětlení na základní rovinu a je kolmá na horizont Vržený stín bodu
na základní rovinu
světelného paprsku procházejícího bodem paprsku
procházejícího bodem
konstrukci bodu
označíme jako
. Určíme ho jako průsečík
se základní rovinou, tedy průsečík světelného
a jeho pravoúhlého průmětu
je třeba nejprve najít kolmý průmět
na základní rovinu. Při na základní rovinu.
bodu
Přímka
je perspektivou světelného paprsku směru
přímka
je perspektivou pravoúhlého průmětu tohoto paprsku na základní rovinu.
Potom vržený stín bodu s perspektivou spojnice
jejího a
procházejícího bodem
a
sestrojím jako průsečík perspektivy přímky směru
pravoúhlého
průmětu
na
základní
protínají právě v perspektivě vrženého stínu
rovinu,
tzn.,
že
.
Mezi perspektivou rovinného útvaru a perspektivou vrženého stínu tohoto útvaru na základní rovinu je kolineace se středem ve středu osvětlení a osou, která je průsečnicí roviny útvaru se základní rovinou. Takže vrženým stínem kuželosečky je opět kuželosečka. V rovnoběžném osvětlení je střed kolineace nevlastní bod, vrženým stínem kružnice je tedy elipsa.
21
H
h S s´1
s
R1
s
A A´ s
A
s
A1
s A´
s1
A1
s´
R
s
Obr. 4.1.
22
z
4.2.
Příklady
rovnoběžného
osvětlení
v lineární
perspektivě Úloha 4.2.1. Sestrojte vržený stín již sestrojené fotbalové branky
na trávník
(základní rovinu). Rovnoběžné osvětlení je dáno úběžníkem světelných paprsků perspektiva je zadaná základnicí distančníkem
U
, hlavním bodem
, horizontem
,
a dolním
.
s
h Rs
H A
s
s
p1 B
1
s
s
A´
s A1
B´ s z
ps
s
B1 R D
Řešení:
s
d
Na tomto příkladě si názorně ukážeme použití poznatků z kapitoly 4.1. při
konstrukci vrženého stínu. Perspektiva je zadaná základnicí, horizontem, hlavním bodem, dolním distančníkem a osvětlení je dáno úběžníkem
světelných paprsků. Nejprve
sestrojíme úběžnici světelných rovin, ta je kolmá na horizont, její průsečík s horizontem je úběžník pravoúhlých průmětů světelných paprsků bod paprsek . Perspektiva
paprsku
průsečíkem světelného paprsku Perspektivu vrženého stínu
je určena body
vedeme světelný
. Vržený stín
a
bodu
je
a jeho pravoúhlého průmětu na základní rovinu. bodu
určíme jako průsečík přímky
pravoúhlým průmětem na základní rovinu stínu
. Bodem
s jejím
. Stejně postupujeme při hledání vrženého
bodu . Vrženým stínem je tedy křivka 23
.
Úloha 4.2.2. Sestrojte rovnoběžné osvětlení věže z kostek stojící na základní rovině do této roviny, znáte-li pravoúhlý průmět středů podstav jednotlivých kostek bod
,
pravoúhlé průměty podstav v otočení a jednotlivé výšky kostek. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků a výšky
. Na základní rovině stojí kostka tvaru kvádru, podstavy
, na ní stojí kostka tvaru kvádru, podstavy
podstavy
a výšky
, na ní stojí krychle
a na této krychli stojí pravidelný čtyřboký jehlan výšky
, jehož podstava je
totožná s horní podstavou krychle.
D
M
l
E A
s
Bs
s
I
s
I*
s
F E* s F* s
s
s
s
R1 K
J
s
K*
J* s
s
Hs s
G*
G s
I´
s
C
I*´
s
s
E´s
M´
s
1
2
G´ C´ s
s
K´
s
s
R
s
v4 s s
C*
O1
v2s
s
s
A*
v1 s
z B* s
Řešení:
Nejdříve sestrojíme průměty podstav na základní rovinu a postupně
naneseme jednotlivé výšky. Dále sestrojíme úběžnici světelných rovin, jejíž průsečík s horizontem je úběžník pravoúhlých průmětů světelných paprsků
. Nyní najdeme vržené
stíny vrcholů všech těles, z nich určíme mez vrženého stínu na základní rovinu. Vržené stíny hran
a
se protínají v bodě ,
stínu je křivka ,
a
v bodě . Mezí vrženého
a ve vlastním stínu leží stěny ,
,
, a
.
Následně určíme mez stínu vrženého jednotlivých těles na ostatní tělesa. K tomu využijeme metodu zpětných paprsků. Nejprve najdeme průsečíky vržených stínů hran tělesa, zde jsou to body
. Bodem
vedeme paprsek směru osvětlení a určíme jeho
průsečík s odpovídajícími hranami. Průsečík, který leží blíže zdroji světla, vrhá stín na druhý. V našem případě světelný paprsek vedený bodem Průsečík tohoto světelného paprsku s hranou vrhá tedy stín na hranu hranu
protíná hrany
24
.
leží blíže zdroji světla. Hrana
. Stejným způsobem najdeme vržený stín hrany
.
a
na
Úloha 4.2.3. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kosého šestibokého hranolu s podstavou v základní rovině, středem podstavy v bodě
a poloměrem . Střed druhé podstavy
leží v rovině , ta je rovnoběžná se základní rovinou a zadaná stopou. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
. u
r
ps
s
n
s
R1
H K
s
L
G
Js
n I
Hs
K´ s
F1
s
E1
s
D1
L
s
O1
s
A1
O0
J´s
z
I´ s
s
*s
O1
s
s
s
J1
1
C1 B1
s
H´ s
K 1s
s
s
I1 rs
G 1s
R
s
H1 D
Řešení:
s
s
O *s
s
h=u
s
ks
d
Sestrojíme šestiboký hranol
a úběžnici
světelných rovin, jejíž průsečík s horizontem je úběžník pravoúhlých průmětů světelných paprsků bod
. Pomocí pomocných rovin, které jsou kolmé na základní rovinu a
procházejí jednotlivými hranami horní podstavy, sestrojíme pravoúhlý průmět horní podstavy na základní rovinu. V obrázku je sestrojena pomocná rovina kolmicí
v bodě
a přímkou
(procházející body
na základní rovinu leží na průsečnici
). Pravoúhlé průměty
základní roviny s rovinou
kolmých k základní rovině, které procházejí body body
, která je určena bodů
a na přímkách
. Stejným způsobem sestrojíme
. Nyní můžeme již známým způsobem sestrojit vržený stín horní
podstavy na základní rovinu, vržený stín dolní podstavy je incidentní s dolní podstavou. Dále sestrojíme mez vrženého stínu, tou je křivka leží stěny
,
a
.
25
Ve vlastním stínu
Úloha 4.2.4. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kolmého šestibokého jehlanu s podstavou v rovině . Jehlan je určen jedním vrcholem podstavy
, středem podstavy
a výškou .
Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
, osvětlujeme na základní rovinu.
Perspektiva je zadaná základnicí
, hlavním bodem
distančníkem
, horizontem
a pravým
.
V
u
s
s
v
B
Cs D
H R
s
E
V´ s
1
EF
E´
O s
C´ s
s
V B´s s 1 D1 A´s
s
F
s
D´s
rs
s
A
s
n
D
p
h
s
s
C1
F´ s s E1
s
V
rs
CB
rs
s
B1 s
F1
A s1
AD
rs
z
us
EF
EF
n
R
s
Řešení: Sestrojíme jehlan vrcholů
. Dále najdeme pravoúhlé průměty jeho , při jejich hledání použijeme pomocných rovin kolmých
na základní rovinu. Zvolíme rovinu, která prochází hranou
a je kolmá na základní
rovinu. Určíme ji stopou a úběžnicí. Na průsečnici této roviny se základní rovinou a na přímkách kolmých k základní rovině, které procházejí body
, leží pravoúhlé průměty
. Stejným způsobem najdeme pravoúhlé průměty ostatních bodů. Tak získáme pravoúhlý průmět daného šestibokého jehlanu na základní rovinu. Dále sestrojím úběžník pravoúhlých průmětů světelných paprsků
a již známým způsobem vržené stíny všech
vrcholů jehlanu na základní rovinu. Mez vrženého stínu je křivka stínu leží stěny
a
.
26
. Ve vlastním
Úloha 4.2.5. Sestrojte rovnoběžné osvětlení pravidelného dutého trojbokého hranolu na základní rovinu. Hranol leží na jedné stěně, obě jeho podstavy leží v rovinách kolmých k základní rovině. Hranol je určen body je určeno úběžníkem světelných paprsků
ležícími v základní rovině. Osvětlení .
H
s
R1
E
F
s
h
s
F´s
D s F 1s
Cs
E´ s
s
z
1
A R
Bs
us
n
Řešení:
D
d
Nejdříve sestrojíme rovinu , ta je kolmá na přímku základní roviny
prochází bodem Trojúhelník bodem
s
E1
s
. V otočení roviny
sestrojím rovnostranný trojúhelník
.
je podstavou hranolu, druhá podstava je s ní rovnoběžná a prochází
, perspektivy rovnoběžných hran mají společný úběžník. Narýsujeme hranol . Potom sestrojíme úběžník pravoúhlých průmětů světelných paprsků
vržené stíny
bodů
na základní rovinu. Body
vrženými stíny na základní rovinu. Mez vrženého stínu je křivka stínu jsou stěny
a
splývají se svými , ve vlastním
. Mezí tohoto vrženého stínu bude vržený stín
. Proložím pomocnou rovinu procházející body a
a
. Dále sestrojíme vržený stín osvětlené stěny
a
na stěny hrany
a
v křivce
ta protíná stěny
, tato křivka je zároveň mezí stínu vrženého na
vnitřní strany stěn hranolu.
27
Úloha 4.2.6. Sestrojte mez vlastního stínu a vržený stín dovnitř dutého válce ležícího na základní rovině. Podstavná kružnice válce leží ve svislé rovině stranami čtverce kružnici opsaného, úsečkami procházejí úběžníkem
. Povrchové přímky válce
, vzdálenost obou podstav určíme libovolně.
světlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
U
s 1
D
s
h
H
s
C0
Cs 2
1s
1 1
T
1
U
Ts
s
us
_ s
z
Rovnoběžné
.
D 2
a je určena dvěma
1 s
1 s B
s
B0
As
d
D
Rs
3
Řešení:
Podstavnou kružnici určíme v otočení do
kolineace s osou
a středem v dělicím bodě
válce mají společný úběžník
podle úsečky úsečky
U
s
, využijeme
. Povrchové přímky
. Jednotlivými povrchovými přímkami proložíme
světelné roviny, jejich úběžnice prochází úběžníky a světelných rovin procházejí průsečíkem úběžnic
a a
. Průsečnice roviny podstavy , úběžníkem
. Mez
vrženého stínu na základní rovinu v tomto případě není vidět, proto se její konstrukcí nebudeme zabývat. Nejprve určíme vlastní stín, mez vlastního stínu je určena tečnými rovinami směru osvětlení. Sestrojíme nejdříve tečny z bodu 28
ke kružnici podstavy,
tečnými body
a
proložíme povrchové přímky válce, ty určují mez vlastního
stínu. Dále sestrojíme stín vržený dovnitř válce. Proložíme-li povrchovou přímkou bodu světelnou rovinu, prochází tato rovina i povrchovou přímkou bodu leží vržený stín
bodu
do dutiny válce. Body
sestrojíme jako průsečík površky bodu
,
, na této površce leží v přímce. Bod
a
s přímkou směru osvětlení vedenou bodem
. Mez vrženého stínu je oblouk elipsy, vychází z bodů
29
,
a bodem
.
Úloha 4.2.7. Sestrojte rovnoběžné osvětlení dutého kolmého kužele s podstavou v rovině bodem
v základní rovině. Podstava kužele je určena středem
a vrcholem
. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
2
1
D
T s
l
.
us
s
A
a
2 _ 1
Os 1
T
h
H
s
s
R1
2´ 1´
us
Vs Rs
s
A1
z
n
Řešení:
Nejprve sestrojíme podstavu, ta se zobrazí jako elipsa. Najdeme vrchol
jako průsečík základní roviny s přímkou kolmou na rovinu
a vedenou bodem
.
Sestrojíme kužel. Sestrojíme pravoúhlý průmět bodů podstavy na základní rovinu (je naznačen elipsou a na ní ležícím pravoúhlým průmětem
bodu
na základní rovinu).
Již známým způsobem sestrojíme vržený stín podstavy a určíme mez vrženého stínu tohoto jehlanu na základní rovinu. Ke kuželu sestrojíme tečné roviny
směru osvětlení, tyto
roviny se kužele dotýkají ve dvou povrchových přímkách procházejících vrcholem body podstavy
a
leží na těchto přímkách. Z bodů
a
,
vychází mez
stínu vrženého na vnitřek kužele. Dále sestrojíme další body ležící na mezi vrženého stínu na vnitřek kužele. Podstavou prokládáme roviny směru osvětlení, každá z rovin protne plášť kužele ve dvou površkách. Vedeme-li světelný paprsek bodem podstavy
té
površky, která je blíže zdroji osvětlení, protne tento paprsek druhou površku vycházející z bodu
v bodě . Bod
je vrženým stínem bodu
sestrojíme vržené stíny dalších bodů.
30
na vnitřek kužele. Stejným způsobem
Úloha 4.2.8. Sestrojte rovnoběžné osvětlení lodžie. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
1
U
s
.
s
R1
2
H
U
s
h
s
A
A´
s
z
Rs
A
s 1
d
D
Řešení:
Tato úloha je příkladem použití rovnoběžného promítání v lineární
perspektivě v praxi. Využijeme zde všech poznatků z předchozích příkladů. Jak již víme bod
vrhá stín
na podlahu. Vržený stín zábradlí leží částečně v rovině podlahy a
částečně v rovině boční stěny. Dále je v obrázku naznačen vržený stín boční stěny a stropu na rovinu podlahy a na rovinu druhé boční stěny.
31
5. Zrcadlení Chceme-li ještě více zvýšit názornost a přehlednost perspektivního zobrazení, můžeme využít zrcadlení. Je to zobrazení objektu v rovinné souměrnosti. Nejčastěji zrcadlíme podle vodorovné roviny (vodní hladina) nebo svislé roviny (zrcadlo). Jelikož víme, že se velikost úhlu dopadu světelných paprsků rovná velikosti úhlu odrazu těchto paprsků, můžeme říci, že s každým bodem
vidíme zároveň i jeho souměrně sdružený obraz
. Body
a
jsou souměrně sdružené podle roviny zrcadla (vodní hladiny). Pro pravoúhlý průmět bodu
do roviny zrcadla platí =
=
, je-li přímka
svislá, pak také platí
. Je-li rovina zrcadla rovnoběžná se základní rovinou, kolmice na rovinu
zrcadla jsou svislé, potom na nich můžeme zrcadlené obrazy bodů sestrojit přímým přenesením velikostí úseček. Nemá-li však rovina zrcadla tuto speciální polohu, musíme sestrojit úběžník přímek kolmých k rovině. Leží-li bod bod
je průsečík této kolmice s rovinou zrcadla a bod
Platí
=
na kolmici k rovině, potom je souměrně sdružený k bodu .
.
H
h S
s
A
z
s
A1
A
s
S1
Az A1 Sz
Az
Obr. 5. 32
5.1.
Zrcadlení ve vodní hladině
Úloha 5.1.1.
Sestrojte perspektivu domku stojícího na nábřeží a jeho zrcadlový
obraz ve vodní hladině . Domek má tvar kvádru, jeho střechu tvoří hranol s jednou stěnou incidentní s horní podstavou kvádru, hřebenem střechy je úsečka je určen body
a stojí v rovině rovnoběžné s rovinou , tato rovina je od
vzdálená o velikost
.. Vodní hladina je určena přímkami
s hranami tělesa, které procházejí bodem
V U
s
Dl
rovnoběžnými
roviny .
s
h 1
. Kvádr
2
D
1
H
s
Q A
M
S
Rs
s
N s N1
s
s
s
Sestrojíme domek (kvádr . Sestrojím bod
. K bodu
), označíme ho
),
. Těmito úběžníky prochází též
ve vzdálenosti
Nábřeží je ohraničeno přímkou
Uz
, hranol
jeho vodorovné stěny mají úběžníky
úběžníku
a s s a 1 =n s az
Qz R sz
bodem
s
Nz
z
přímky
s
s
s
v
Řešení:
U
s
O
s
Az
s
n*
s 2
s
s
A s1
U
Ds
od jeho pravoúhlého půdorysu
.
, která je rovnoběžná s přímkou
a prochází
sestrojíme bod souměrně sdružený podle přímky
(podle bodu
a nazveme zrcadlovým obrazem bodu
a sestrojit zrcadlový obraz
sestrojíme zrcadlový obraz bodu
do roviny , bod
že
=
.
Při
bodu
přímky
. Nyní můžeme využít Následujícím způsobem
. Nejdříve sestrojíme pravoúhlý průmět
je souměrně sdružený podle bodu sestrojování
využijeme úběžníků
s bodem
. Platí,
bodů
a také toho, že svislé úsečky mají stejnou velikost
jako jejich obrazy ve vodní hladině (např. nejsou ve vodní hladině viditelné.
33
=
). Některé obrazy bodů
5.2.
Zrcadlení ve svislém zrcadle
Úloha 5.2.1. Sestrojte zrcadlový obraz interiéru ve svislém zrcadle.
1
U
s
as
1
H
s Az
D
s 2
As
U
h
s
s
A 1z A*1 s
s
A1 z
Řešení:
Na rozdíl od úlohy 5.1.1. není v tomto případě rovina zrcadla kolmá na
průmětnu, při hledání zrcadlových obrazů musíme sestrojit úběžník kolmic na rovinu zrcadla
. Při hledání zrcadlového obrazu bodu
průmět na základní rovinu Bod přímky platí s přímkou
a tímto bodem a úběžníkem
je průsečíkem přímky sestrojíme =
sestrojíme jeho pravoúhlý .
s rovinou zrcadla. Pomocí dějícího bodu
zrcadlový
. Bodem
vedeme přímku
obraz
bodu
bod
,
víme,
že
vedeme kolmici k základní rovině, její průsečík
je hledaný zrcadlový obraz
bodů můžeme využít rovnoběžnosti přímek.
34
bodu
. Při sestrojování dalších
5.3.
Zrcadlení v šikmém zrcadle
Úloha 5.3.1.
Sestrojte zrcadlový obraz interiéru v šikmém zrcadle. Zrcadlo je
opřené o jednu ze stěn, nábytek je náhodně rozmístěný po pokoji.
h
z 1
U
H
As
s Az s 1z
A
s
s
A1
Dd
Řešení:
Při řešení postupujeme obdobně jako v předchozím příkladu. Najdeme
úběžník normál roviny zrcadla
, z něho vedeme bodem
kolmici na rovinu
zrcadla, určíme její průsečík s rovinou zrcadla a pomocí dělicí kružnice sestrojíme bod souměrně sdružený
s bodem
podle tohoto průsečíku. Při hledání zrcadlových
obrazů bodů neležících v základní rovině najdeme nejdříve zrcadlové obrazy jejich pravoúhlých průmětů na základní rovinu. Úběžník přímek, které nejsou rovnoběžné se základní rovinou, neleží na horizontu. Při sestrojování dalších bodů je důležité si uvědomit, že úběžníky rovnoběžných přímek se, na rozdíl od předchozího příkladu, neshodují s úběžníky rovnoběžek ležících v základní rovině (a rovinách s ní rovnoběžných).
35
Závěr Cílem této práce bylo seznámit čtenáře s jednotlivými postupy osvětlování těles ve středovém promítání a lineární perspektivě. Toto téma je v literatuře probráno pouze okrajově. Protože osvětlení používáme ke zlepšení názornosti zobrazení těles, setkáme se spíše s rovnoběžným osvětlením v lineární perspektivě nežli ve středovém promítání. Tato práce ukazuje základní principy a postupy v obou těchto zobrazeních. Součástí této práce je příloha obsahující soubor narýsovaných zadání jednotlivých úloh. Proto by tato práce mohla sloužit jako rozšiřující materiál ke studiu daného tématu. Ve většině úloh bylo zvoleno speciálních poloh těles a to za účelem zjednodušení konstrukce rovnoběžného osvětlení.
36
Literatura [1]
MACHALA, F.: Středové promítání a lineární perspektiva., 1. vyd., Olomouc,
UPOL, 1983 [2]
DRABEK, K.; et al.: Deskriptivní geometrie II., dotisk, Praha, SNTL, 1964
[3]
PISKA, R.; MEDEK, V.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL/ALFA,
1966 [4]
URBAN, A.: Deskriptivní geometrie I., 1. vyd., Praha, SNTL/SVTL, 1965
[5]
KOUNOVSKÝ, J.; VYČICHLO, F.: Deskriptivní geometrie pro samouky., 3. vyd.,
Praha, Nakladatelství Československé akademie věd, 1953 [6]
http://kag.upol.cz/
[7]
http://mat.fsv.cvut.cz/bakalari/kog/osv/
37
Přílohy Úloha 3.2.1. Sestrojte vržený stín bodu světelnými paprsky s úběžníkem nositelkou
je zadaný středovým průmětem
. Bod
je určena úběžnicí
. Rovina
do roviny . Rovnoběžné osvětlení je určeno
a stopou
a
.
a
Us
us
As N
S2
a
Rs
n
38
Úloha 3.2.2. Sestrojte rovnoběžné osvětlení krychle s podstavou v rovině . Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem určená bodem podstavy
, osvětlujeme do roviny podstavy. Krychle je
a středem podstavy
.
us
S2
R
s
Os
n
1
As
39
Úloha 3.2.3. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kosého jehlanu do roviny podstavy. Rovnoběžné osvětlení je dáno úběžníkem podstavou v rovině s nositelkou
světelných paprsků. Jehlan s pětiúhelníkovou
je zadán bodem podstavy
, jejím středem
a vrcholem
.
vs v
Us
us
Nv
S2
Os
Vs
Rs
n
As
40
Úloha 3.2.4. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kolmého hranolu se čtvercovou podstavou v rovině . Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem . Hranol je určený středem podstavy
, jejím bodem
, osvětlujeme do roviny
a výškou , rovina
svou stopou a úběžnicí.
v
u
S2
Os
n As
u Rs
n
41
s
s
je zadaná
Úloha 3.2.5. Sestrojte rovnoběžné osvětlení dutého šestibokého jehlanu do roviny
.
Jehlan má vrchol
a
bodem
(
v rovině
, podstavu v rovině
určenou středem
). Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem
.
S2
u Rs
A
s
=
u
s
s
Os
n
Vs n
42
Úloha 3.2.6. Sestrojte rovnoběžné osvětlení válce do roviny podstavy. Osvětlení je dáno světelnými paprsky s úběžníkem dolní podstavy
. Rovina
. Dále jsou dány středy
je rovinou dolní a rovina
,
obou podstav a bod
je rovinou horní podstavy.
us = us ´
Rs S2
O*s
n ´
Os
n
As
43
Úloha 4.2.1. Sestrojte vržený stín již sestrojené fotbalové branky
na trávník
(základní rovinu). Rovnoběžné osvětlení je dáno úběžníkem světelných paprsků perspektiva je zadaná základnicí distančníkem
U
, hlavním bodem
, horizontem
a dolním
.
s
h A
H
s
B
s
s
A1 z s
B1 R D
44
d
,
s
Úloha 4.2.2. Sestrojte rovnoběžné osvětlení věže z kostek stojící na základní rovině do této roviny, znáte-li pravoúhlý průmět středů podstav jednotlivých kostek bod
,
pravoúhlé průměty podstav v otočení a jednotlivé výšky kostek. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků výšky
. Na základní rovině stojí kostka podstavy
, na ní stojí kostka podstavy
této krychli stojí čtyřboký jehlan výšky
a výšky
, na ní stojí krychle podstavy
a a na
, jehož podstava je totožná s horní podstavou
D
l
k0
1
k 02
k0
3
O0
O1
s
H
z
h
v4
v2
v1
R
s
krychle.
45
Úloha 4.2.3. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kosého šestibokého hranolu s podstavou v základní rovině, středem podstavy v bodě
a poloměrem . Střed druhé podstavy
leží v rovině , ta je rovnoběžná se základní rovinou a zadaná stopou. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
.
r
h=u
H
n
O *s
z
s
O1
Rs D
d
46
s
Úloha 4.2.4. Sestrojte rovnoběžné osvětlení kolmého šestibokého jehlanu s podstavou v rovině . Jehlan je určen jedním vrcholem podstavy
, středem podstavy
a výškou .
Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
, osvětlujeme na základní rovinu.
Perspektiva je zadaná základnicí
, hlavním bodem
distančníkem
, horizontem
a pravým
.
u
h
O
H
s
A
z
R
s
v
47
s
s
n
D
d
Úloha 4.2.5. Sestrojte rovnoběžné osvětlení pravidelného dutého trojbokého hranolu na základní rovinu. Hranol stojí na jedné stěně, obě jeho podstavy leží v rovinách kolmých k základní rovině. Hranol je určen body je určeno úběžníkem světelných paprsků
ležícími v základní rovině. Osvětlení .
H
h
Cs
z s
A R
s
Bs D
48
d
Úloha 4.2.6. Sestrojte rovnoběžné osvětlení dutého kolmého kužele s podstavou v rovině a vrcholem
v základní rovině. Podstava kužele je určena středem
Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
a bodem
.
us s
A D
Os
h
H
l
Rs n
49
z
.
Úloha 4.2.7. Sestrojte mez vlastního stínu a vržený stín dovnitř dutého válce ležícího na základní rovině. Podstavná kružnice válce leží ve svislé rovině stranami čtverce kružnici opsaného, úsečkami procházejí úběžníkem
. Povrchové přímky válce
, vzdálenost obou podstav určíme libovolně. Rovnoběžné
světlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
.
D 2
U
a je určena dvěma
s
h
s
H
us s
B
z
As
d
D
Rs
50
Úloha 4.2.8. Sestrojte rovnoběžné osvětlení lodžie. Osvětlení je určeno úběžníkem světelných paprsků
1
U
.
s
2
H
U
s
h
z
Rs d
D
51
Úloha 5.1.1.
Sestrojte perspektivu domku stojícího na nábřeží a jeho zrcadlový
obraz ve vodní hladině . Domek má tvar kvádru, jeho střechu tvoří hranol s jednou stěnou incidentní s horní podstavou kvádru, hřebenem střechy je úsečka je určen body vzdálená o velikost
. Kvádr
a stojí v rovině rovnoběžné s rovinou , tato rovina je od .. Vodní hladina je určena přímkami
s hranami tělesa, které procházejí bodem
rovnoběžnými
roviny .
V
s
U
v
s
h
H Q
s
A1
s
M
s
O
s
N
s
s
n*
n
s
z
52
Úloha 5.2.1.
Sestrojte zrcadlový obraz interiéru ve svislém zrcadle.
H
h
z
53
Úloha 5.3.1.
Sestrojte zrcadlový obraz interiéru v šikmém zrcadle. Zrcadlo je
opřené o jednu ze stěn, nábytek je náhodně rozmístěný po pokoji.
h
H
z
D
d
54
