UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE
VÝUKA PRVKŮ MATEMATICKÉ ANALÝZY NA STŘEDNÍ ŠKOLE S VYUŽITÍM ICT Disertační práce
Autor: Mgr. Jiří Hátle Školitel: doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc.
Olomouc 2015
Tato disertační práce je duševním vlastnictvím Mgr. Jiřího Hátleho a podléhá právní ochraně podle § 2 zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon).
Prohlašuji, že jsem disertační práci vypracoval samostatně a použil jen uvedených pramenů a literatury.
V Olomouci dne
………………………………………… Mgr. Jiří Hátle
Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Stanislavu Trávníčkovi, CSc., za odborné vedení disertační práce, cenné rady a připomínky. Zvláštní poděkování patří mé rodině a přátelům za pomoc a podporu.
Bibliografická identifikace Název práce:
Výuka prvků matematické analýzy na střední škole s využitím ICT
Autor:
Mgr. Jiří Hátle
Katedra:
Katedra algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci
Školitel:
doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc.
Studijní program:
Matematika
Studijní obor:
Didaktika matematiky
Jazyk:
Český
Počet stran:
116
Počet příloh:
1
Rok obhajoby:
2015
Klíčová slova:
matematika, matematická analýza, ICT, program, využití, vyučování
Abstrakt:
V této práci je zpracován přehled prvků matematické analýzy v učebních dokumentech středních škol, dále informačních a komunikačních technologií a jejich využití ve výuce a softwaru pro výuku matematiky s možnostmi a návrhy jeho využití ve vyučovací hodině. Disertační práce obsahuje výsledky výzkumu, který se zabývá využitím ICT ve výuce matematiky na středních školách.
Bibliographical identification Title:
Teaching parts of mathematical analysis at secondary school using ICT
Author:
Mgr. Jiří Hátle
Department:
Department of Algebra and Geometry of Faculty of Science of Palacký University in Olomouc
Supervisor:
doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc.
Study Programme:
Mathematics
Field of Study:
Didactics of Mathematics
Language:
Czech
Number of pages::
116
Number of appendices:
1
The year of presentation:
2015
Keywords:
mathematics, mathematical analysis, ICT, programme, use, teaching
Abstract:
Our project introduces a summary of mathematical analysis in teaching documents at secondary school, information and communication technologies and their use in lessons. Moreover it presents software for teaching mathematics and suggestions for its use in lessons. It includes results of our research, which discusses the use of ICT in teaching mathematics at secondary schools.
Obsah 1 Úvod…………………………………………………………………………………9 I. Teoretická část 2 Prvky matematické analýzy na střední škole………………………………………..12 2.1 Vymezení prvků matematické analýzy………………………………………...12 2.2 Matematická analýza v učebnicích pro střední školy………………………….14 2.3 Matematická analýza ve středoškolském vzdělávání………………………….15 2.3.1 Matematická analýza ve druhé polovině 90. let 20. století………………15 2.3.1.1 Gymnázia……………………………………………………………15 2.3.1.2 Učební obory………………………………………………………..17 2.3.2 Matematická analýza po roce 1989………………………………………18 2.3.3 Matematická analýza v rámcovém a školním vzdělávacím programu…...20 2.3.3.1 Základní vzdělávání…………………………………………………22 2.3.3.2 Gymnaziální vzdělávání…………………………………………….23 2.3.3.3 Střední odborné vzdělávání s maturitou…………………………….28 2.3.3.4 Střední odborné vzdělávání s výučním listem………………………34 3 ICT ve výuce………………………………………………………………………..37 3.1 Hardware pro výuku…………………………………………………………...37 3.2 Software pro výuku……………………………………………………………39 3.2.1 Rozdělení…………………………………………………………………39 3.2.2 Software pro výuku matematiky………………………………………….41 3.2.3 Podpora výuky prostřednictvím internetu………………………………..60 3.3 Obecné aspekty použití ICT ve výuce…………………………………………..64 II. Empirická část 4 Příprava, realizace a vyhodnocení výzkumu………………………………………..66 4.1 Příprava a realizace…………………………………………………………….67 4.1.1 Tvorba dotazníku…………………………………………………………67
4.1.2 Sonda a předvýzkum……………………………………………………..68 4.1.3 Dotazníkové šetření………………………………………………………68 4.2 Analýza získaných dat…………………………………………………………69 4.2.1 Vyhodnocení získaných dat po otázkách…………………………………69 4.2.2 Další vyhodnocení získaných dat………………………………………...86 4.2.3 Ověřování statistických hypotéz………………………………………….89 4.2.3.1 Vliv aprobace ICT na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky…………………………………………………………90 4.2.3.2 Vliv délky pedagogické praxe na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky………………………………………………….91 4.2.3.2 Vliv typu školy na využití počítačových učeben pro výuku matematiky…………………………………………………………93 4.3 Závěry a interpretace výsledků………………………………………………….94 5 Využití softwaru při výuce matematické analýzy…………………………………..97 5.1 Grafy funkcí……………………………………………………………………97 5.2 Derivace funkce………………………………………………………………100 5.3 Vyšetřování průběhu funkce………………………………………………….101 5.4 Určitý integrál………………………………………………………………...103 5.5 Posloupnosti…………………………………………………………………..104 5.6 Limita funkce…………………………………………………………………106 6 Závěr……………………………………………………………………………….108
Seznam zkratek………………………………………………………………………..111 Seznam zdrojů a literatury…………………………………………………………….112 Přílohy………………………………………………………………………………...117
1 Úvod
1.1 Předmluva V současné době se informační a komunikační technologie (ICT) a hlavně internet vyvíjejí a rozmáhají obrovským způsobem a rychlostí. Vyskytují se ve všech oblastech lidské činnosti, od vědy a výzkum počínaje, přes průmysl, dopravu, obchod a další odvětví dále až po každého člověka, lidského jedince, konče. ICT jsou všude kolem nás a mají vliv na náš každodenní život. Stejně tak se nelze ubránit faktu, že ICT pronikly a dále s vývojem nových forem pronikají do vzdělávání na všech typech škol. Pokrok nelze zastavit. Otázkou zůstává, zde takovýto trend zasahující do vzdělávání je správný, nebo jestliže je to v jistých mezích, zda je to vhodné či dokonce prospěšné. Možná se jednou naše děti budou v první třídě učit psát na tabletu, nebo jiné moderní technologii, místo „klasického“ psaní perem na papír. Kdo ví… Domnívám se, že v současné době je na místě přiměřenost v používání ICT ve výuce a uvážlivost, zda to v dané situaci opravdu je, nebo není vhodné. Hlavními cíli této disertační práce je zpracovat přehled matematické analýzy v matematice středních škol, informačních a komunikačních technologií využitelných pro výuku matematiky na středních školách v České republice a navrhnout jejich možné využití při výuce témat z matematické analýzy v hodinách matematiky a zmapovat současný stav použití ICT ve výuce matematiky. Práce je rozdělena do dvou částí – teoretické a empirické, celkem se práce skládá ze šesti kapitol, přičemž první je Úvod a poslední je Závěr. Ke zpracování daného tématu bylo potřeba definovat a vymezit pojem matematická analýza, čemuž se věnuje druhá kapitola nazvaná Prvky matematické analýzy na střední škole. Kromě samotného vymezení pojmu matematická analýza se zde věnujeme analýze a porovnání výskytu prvků matematické analýzy v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol v minulosti a současnosti. Cílem třetí kapitoly pojmenované ICT ve výuce je vymezit pojmy ICT, hardware a software a jejich rozdělení. Hlavním cílem však je analyzovat, rozkategorizovat a porovnat počítačové programy vhodné k použití ve výuce
9
matematiky a zpracovat přehled internetových zdrojů užitečných pro výuku. Poslední podkapitola je věnována obecným aspektům využití ICT ve výuce. Ve čtvrté kapitole se zabýváme přípravou, realizací a vyhodnocením výzkumu, který byl proveden mezi učiteli matematiky SŠ v celé ČR. Tématem výzkumu souvisejícím s disertační prací je využití počítačů ve výuce matematiky na SŠ. Zjišťovali jsme četnost použití počítačů ve výuce matematiky, které počítačové programy vhodné pro výuku matematiky učitelé mají, znají a používají, při kterých tematických celcích a jakým způsobem je ICT využito atd. Pátá kapitola obsahuje vytvořené návrhy a ukázky využití vybraného softwaru při výuce prvků matematické analýzy v hodinách matematiky na SŠ s cílem nabídnout učitelům matematiky obohacení jejich portfolia témat vyučovaných s využitím ICT.
1.2 Cíle práce, výzkumné otázky a hypotézy, výzkumné metody Hlavní cíle disertační práce jsou:
vymezit pojem matematická analýza v kontextu středoškolské matematiky;
analyzovat a porovnat výskyt prvků matematické analýzy a její postavení v matematice v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol ČR v současnosti a historii;
vymezit pojmy ICT, hardware a software;
analyzovat, utřídit, vybrat, popsat a porovnat software vhodný pro výuku matematiky na SŠ;
analyzovat, vybrat a popsat internetové zdroje vhodné pro výuku matematiky na SŠ;
popsat obecné aspekty požití ICT ve výuce;
prostudovat domácí odbornou literaturu a zdroje o ICT a jeho využití ve výuce;
zjistit aktuální stav používání ICT ve výuce matematiky na SŠ;
vytvořit a navrhnout ukázky uplatnění ICT v hodině matematiky při probírání učiva matematické analýzy.
10
Cílem výzkumného šetření je, kromě zjištění aktuálního stavu používání ICT ve výuce matematiky na SŠ, zjistit odpovědi na související výzkumné otázky:
Jaká je četnost používání ICT v hodinách matematiky na SŠ?
Jaká je vybavenost škol prostředky ICT?
Používají učitelé ICT ve výuce? Do jaké míry?
Jakou odbornou literaturu, časopisy a zdroje k výuce matematiky s využitím ICT učitelé sledují?
V čem učitelé matematiky ze SŠ spatřují výhody a nevýhody v použití ICT ve výuce matematiky?
Jakou podporu by učitelé uvítali pro výuku matematiky s počítači?
a ověřit tyto hypotézy:
Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají druhou aprobaci ICT, používají ICT ve výuce častěji.
Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají delší pedagogickou praxi, nepoužívají ICT ve výuce častěji.
Počítačové učebny se pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách používají stejně často. Pro zjištění odpovědí na výzkumné otázky a ověření hypotéz byla použita
metoda sběru dat formou dotazníku, při jehož zpracování byly použity statistické metody kvalitativní a kvantitativní:
analýza;
komparace;
rozbor;
tabulky četností;
diagramy a grafy;
aritmetický průměr, modus, medián;
test nezávislosti chí-kvadrát pro kontingenční tabulku.
11
I. Teoretická část 2 Prvky matematické analýzy na střední škole
Matematika se věcně i historicky rozčleňuje na několik relativně samostatných částí podle úrovně pohledu. Tradiční dělení na aritmetiku, algebru, matematickou analýzu, geometrii atd. však nikterak neznamená, že tyto celky jsou samy v sobě uzavřené. Jsou mezi nimi jednak významné vazby teoretické a přirozeně se prolínají zejména v aplikacích. S vědomím této skutečnosti se v další práci soustředíme na vymezení prvků matematické analýzy a na její postavení ve středoškolské matematice v České republice. První objevy na poli matematické analýzy, ovšem s ohledem na tehdejší dobu, znalosti, terminologii i chápání světa, můžeme najít již ve starověku a v antickém Řecku, např. funkční závislosti, nekonečné posloupnosti a řady, limity posloupnosti. Za „zlaté období“ matematické analýzy, kdy dochází k největšímu rozvoji a rozkvětu matematické analýzy, lze považovat 17. a 18. století. V této době nezávisle na sobě položili anglický matematik, fyzik a astronom Isaac Newton (1643 – 1727) a německý matematik
a
filozof
Gottfried
Wilhelm
Leibnitz
(1646
–
1716)
základy
infinitezimálního počtu (diferenciálního a integrálního počtu). Více viz Polák (2014). S matematickou analýzou je také spjat zajímavý a důležitý pojem 2. krize matematiky, neboli potíže růstu diferenciálního a integrálního počtu. K vyřešení krize došlo v 19. století vybudováním logických základů matematické analýzy (Schwabik, 1998).
2.1 Vymezení prvků matematické analýzy Matematická analýza je velká oblast matematiky založená na pojmech funkce, derivace a integrál. Do této oblasti spadá kromě diferenciálního a integrálního počtu mnoho disciplín, jako jsou diferenciální rovnice (obyčejné i parciální), integrální 12
rovnice, funkce komplexní proměnné, diferenciální geometrie, variační počet a další (Šilov, 1974), které jsou však už za hranicemi středoškolského učiva. K němu se vztahují prvky matematické analýzy, jak jsou vymezeny např. v knihách Přehled matematické analýzy 1 a 2 (Danilov, 1968 a Ljusternik, 1969) vymezeny následujícím způsobem: funkce (jedné i více proměnných), posloupnosti, limity funkcí a posloupností, číselné řady, řady funkcí, diferenciální a integrální počet. S ohledem na téma a zaměření této práce se zmíníme o prvcích matematické analýzy ve výuce matematiky na středních školách v pojetí různých autorů. Nejdříve uveďme definici: Matematická analýza je souhrn matematických oborů vyšetřujících vlastnosti funkcí reálné proměnné, komplexní proměnné, posloupností a řad. Ve školské matematice mají z matematické analýzy největší význam diferenciální počet a integrální počet (Leibnitz, Newton). Další součástí matematické analýzy je teorie obyčejných diferenciálních rovnic, teorie parciálních diferenciálních rovnic, teorie integrálních rovnic, teorie funkcí komplexní proměnné, variační počet a funkcionální analýza. S geometrií má matematická analýza styčnou oblast v diferenciální a integrální geometrii, s geometrií a fyzikou pak vektorovou a tenzorovou analýzu (Slovník školské matematiky, 1981). Fuchs a Hrubý (2006) ve svém návrhu rozdělují učivo matematiky na gymnáziu do tematických celků Úvod do studia matematiky, Aritmetika a algebra, Elementární geometrie, Analytická geometrie, Pravděpodobnost a statistika, Matematická analýza. V posledně jmenovaném celku nalezneme podkapitoly Posloupnosti a řady, Diferenciální počet, Integrální počet. Hejný a kol. (1990) uvádí, že studium matematické analýzy na střední škole je zaměřené především na seznámení se s elementárními funkcemi a pojmy limita, derivace a integrál. Naproti tomu Polák (2014) do jedné ze čtrnácti kapitol středoškolské matematiky Matematická analýza řadí témata: limita funkce, spojitost funkce, spojitost funkce na intervalu, diferenciální počet (derivace funkce, derivace základních elementárních funkcí, vyšetřování vlastností funkcí pomocí derivací, výpočet limit funkcí pomocí derivací, slovní úlohy na globální extrémy funkce – optimalizační úlohy) a integrální počet (primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrační metody, určitý integrál, metody výpočtu určitých integrálů, výpočet obsahů rovinných obrazců užitím určitých integrálů, výpočet objemů těles užitím určitých integrálů). Kapitoly Funkce, Goniometrie (uvažujme goniometrické funkce) a Posloupnosti a nekonečné 13
řady však stojí samostatně mimo matematickou analýzu. Obdobně již dříve (Polák, 1995) vyčlenil kapitoly Funkce a Posloupnosti a řady a do kapitoly Matematická analýza zařadil prvky limita a spojitost funkce, derivace funkce, užití diferenciálního počtu k vyšetřování průběhu funkcí, primitivní funkce, neurčitý integrál, určitý integrál a jeho aplikace. Tato různá rozčlenění však lze považovat jen za technickou záležitost umožňující lepší orientaci v příslušných knihách. Já se budu ve své práci zabývat těmito tematickými celky matematické analýzy ve středoškolské matematice:
funkce
posloupnosti a řady
diferenciální počet
integrální počet
2.2 Matematická analýza v učebnicích pro střední školy Jedním z významných prvků učebních pomůcek jsou učebnice a učební texty a sbírky úloh. Jaký je odraz matematické analýzy v učebnicích matematiky pro střední školy? Široce používanou sadou učebnic na gymnáziích jsou učebnice vydavatelství Prometheus – Matematika pro gymnázia, které jsou vydávány ve spolupráci s Jednotou českých matematiků a fyziků. V těchto učebnicích není učivo matematiky zpracováno podle ročníků, ale podle tematických celků, a lze je tedy používat podle toho, do kterého ročníku je dané téma ve škole zařazeno. Prvky matematické analýzy zde nalezneme v učebnicích Funkce (Odvárko, 2008), Goniometrie (Odvárko, 2002), Posloupnosti a řady (Odvárko, 1995) a Diferenciální a integrální počet (Hrubý, Kubát, 1997). Toto rozdělení je v souladu s kategorizací tematických celků matematické analýzy uvedenou výše.
14
2.3 Matematická analýza ve středoškolském vzdělávání Jaké zastoupení měla matematická analýza ve středoškolské matematice dříve a hlavně jaké má zastoupení v současné době se pokusíme zmapovat a porovnat v následujících kapitolách.
2.3.1 Matematická analýza ve druhé polovině 90. let 20. století V jednotném školství 50. – 80. let minulého století bylo vzdělávání realizováno podle učebních osnov (Normativní pedagogické dokumenty stanovující cíle, vymezující obsah, rozsah, posloupnost a distribuci učiva vyučovacích předmětů do jednotlivých ročníků a časových úseků vyučování. Zpravidla doporučují také specifické metody a organizační formy. Byly tradičně vypracovávány izolovaně pro jednotlivé předměty, jako program vyučování určený učiteli (Průcha, Walterová, Mareš, 2009).) a učebních plánů (Dříve normativní vymezení časových dotací předepsaných vyučovacích předmětů, zavedené po roce 1945. Učební plány byly sestavovány centrálně jako závazná norma pro všechny školy daného stupně nebo typu (Průcha, Walterová, Mareš, 2009).).
2.3.1.1 Gymnázia Gymnaziální vzdělávání bylo rozděleno na větev přírodovědnou a humanitní, každá z větví byla ještě dále dělena podle zaměření, např. pedagogické, na matematiku a fyziku, na tělesnou výchovu atd. Každé větvi a jejím zaměřením byl předepsán počet hodin matematiky v jednotlivých ročnících a tematické celky s probíranými pojmy. V učebních osnovách gymnázia matematiky (Ministerstvo školství České socialistické republiky, 1977 a 1981) pro přírodovědnou větev můžeme najít následující prvky matematické analýzy (v závorce je uvedeno rozšíření pro zaměření na matematiku a fyziku):
Relace, zobrazení, funkce Relace, graf relace. Zobrazení z množiny do množiny. Prosté zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení. Zobrazení v R2. Funkce, způsoby určení funkce. Funkce rostoucí a klesající. 15
Funkce konstantní, lineární a kvadratické Konstantní a lineární funkce. Grafy funkcí a relací s absolutními hodnotami. Lineární interpolace. Maximum a minimum funkce. Sudé a liché funkce. Kvadratické funkce. Grafická řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Omezená funkce. (Průběh funkce. Parametrické systémy lineárních a kvadratických funkcí.)
Mocniny a mocninné funkce Mocniny
s přirozeným
exponentem.
Nepřímá
úměrnost.
Mocniny
s celočíselným exponentem. Inverzní relace a inverzní funkce. Odmocniny. Mocniny s racionálním exponentem. Mocniny s iracionálním exponentem.
Exponenciální a logaritmické funkce Exponenciální funkce. Logaritmické funkce, logaritmus. Věty o logaritmování součinu,
podílu
a
mocniny.
Dekadické
logaritmy.
Tabulky
hodnot
logaritmických funkcí, logaritmické pravítko. Užití logaritmů k výpočtům. Logaritmické a exponenciální rovnice. (Změna základu logaritmu.)
Goniometrické funkce Periodické funkce. Velikost úhlů v obloukové míře. Orientovaný úhel. Funkce sinus a kosinus. Funkce tangens a kotangens. Vlastnosti goniometrických funkcí a vztahy mezi nimi. Složené funkce. (Skládání funkcí. Funkce 𝑦 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑).)
Další vlastnosti goniometrických funkcí. Trigonometrie Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Goniometrické funkce součtu argumentů, dvojnásobného a polovičního argumentu. Součet a rozdíl goniometrických funkcí. Goniometrické rovnice. Sinová a kosinová věta. Řešení trojúhelníku. Použití trigonometrie v praxi.
Posloupnosti a řady Metody důkazu matematickou indukcí. Posloupnost, n-tý člen posloupnosti, rekurentní
určení
posloupnosti.
Aritmetická
posloupnost,
geometrická
posloupnost. Nulová posloupnost, limita posloupnosti. Nekonečná geometrická řada, součet nekonečné geometrické řady. (Věty o limitách.)
Diferenciální a integrální počet Okolí bodu. Aproximace čísla a výpočty s aproximacemi. Směrnice tečny. Limita a spojitost funkce. Operace s funkcemi a limita. Funkce spojité na
16
intervalu. Derivace, pravidla počítání derivací. Monotónnost a derivace. Lokální a globální extrémy. Druhá derivace. Derivace složené funkce. Derivace funkce určené implicitně. Primitivní funkce. Určitý integrál. Přibližný výpočet určitých integrálů. Obsah rovinných útvarů, objem rotačních těles. (Rolleova věta. Lagrangeova věta o přírůstku funkce. Řešení složitějších úloh z praxe. Metody integrace.
Řešení
nejjednodušších
diferenciálních
rovnic.
Řešení
úloh
s fyzikálními náměty.) Je možno konstatovat, že dnešní požadavky na žáky jsou výrazně nižší (viz podkapitola 2.3.3.2). Otázkou je, zda je to dobře či špatně, ale to není předmětem zájmu této práce. Každopádně je obecně platný fakt, že nároky a požadavky na žáky v jejich vzdělávání, a to napříč celého školství, se snižují.
2.3.1.2 Učební obory Krátce se ještě zastavme u učebních osnov středoškolského vzdělávání v tříletých učebních oborech (Ministerstvo školství České socialistické republiky, 1985). Následující tematické celky obsahují prvky matematické analýzy v rozsahu:
Funkce Lineární funkce, přímka. Definiční obor funkce. Obor hodnot funkce. Grafy funkcí. Kvadratická funkce, parabola. Rostoucí a klesající funkce. Nepřímá úměrnost, hyperbola.
Exponenciální a logaritmické funkce Exponenciální funkce a její vlastnosti. Logaritmická funkce a její vlastnosti. Logaritmy, dekadický logaritmus. Logaritmická stupnice. Exponenciální a logaritmické funkce v přírodovědné a technické praxi.
Goniometrické funkce Orientovaný úhel.
Funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens. Grafy
goniometrických funkcí. Vlastnosti goniometrických funkcí. Určování hodnot goniometrických funkcí.
17
Ze srovnání výše uvedených učebních osnov a současných požadavků (viz podkapitola 2.3.3.4) vyplývá, že dříve vyučovaná matematická analýza v učňovských oborech se zúžila na pouhé základní poznatky o funkcích a konkrétně na přímou a nepřímou úměrnost a lineární funkce.
2.3.2 Matematická analýza po roce 1989 Novela školského zákona v roce 1990 vymezila první kroky liberalizace obsahu a organizace vzdělávání v regionálním školství. Školy získaly pravomoc formulovat a realizovat vlastní strategie rozvoje vzdělávací nabídky, přizpůsobovat obsah vzdělávání určený schválenou pedagogickou dokumentací. Byly uvolněny učební plány, posíleny pravomoci ředitelů škol v rozhodování o tom, kterým předmětům se bude vyučovat (možnost – upravit učební plán v rozsahu 10 % hodinové dotace, upravit obsah učebních osnov jednotlivých předmětů v rozsahu 30 % hodinové dotace), současně byla dána volnost v používání učebnic a učebních pomůcek (MŠMT, 2009). Gymnaziální vzdělávání Tato reforma a uvolnění se projevilo v platných učebních dokumentech pro gymnázia (MŠMT ČR, 1999) a dotklo se i výuky matematiky. Tematické celky byly rozděleny na devět částí: Základní poznatky z matematiky, číselné obory, Algebra, Planimetrie, Funkce, Goniometrie a trigonometrie, Stereometrie, Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika, Posloupnosti, Analytická geometrie v rovině a na tři doporučené rozšiřující tematické celky: Komplexní čísla, Analytická geometrie v prostoru a Základy diferenciálního a integrálního počtu. Prvky matematické analýzy jsou obsaženy v těchto:
Funkce Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf funkce. Konstantní funkce, lineární funkce, přímá úměrnost. Funkce s absolutními hodnotami. Kvadratická funkce a její při řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Rovnost funkcí. Funkce monotónní, funkce prostá, funkce omezená, funkce sudá a lichá, maximum a minimum funkce. Periodická funkce. Složená funkce. Lineární lomená funkce, nepřímá úměrnost. Mocninné funkce s přirozeným a celým mocnitelem. Inverzní funkce. Funkce druhá a
18
třetí odmocnina. Definice n-té odmocniny. Operace s odmocninami. Mocniny s racionálním a reálným exponentem. Úpravy algebraických výrazů s mocninami a odmocninami. Exponenciální a logaritmická funkce. Logaritmus, věty o logaritmech. Logaritmy o různých základech, přirozený logaritmus. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice. Doporučené rozšiřující učivo: Konstrukce grafu funkce y = a . f(bx + c) + d. Parametrické systémy funkcí. Polynomická a racionální funkce, mocninné funkce s racionálním mocnitelem. Složitější exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice a jejich soustavy.
Goniometrie a trigonometrie Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové. Orientovaný úhel. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Graf složené funkce typu y = a. sin (bx + c) + d. Součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument. Úpravy goniometrických výrazů. Jednoduché goniometrické rovnice a nerovnice. Sinová a kosinová věta. Řešení obecného trojúhelníku, aplikace. Doporučené rozšiřující učivo: Složitější goniometrické rovnice a nerovnice a jejich soustavy. Cyklometrické funkce.
Posloupnosti Posloupnost, její určení, vzorec pro n-tý člen, rekurentní vztah, součet prvních n členů posloupnosti. Graf posloupnosti. Vlastnosti posloupností. Aritmetická a geometrická posloupnost, aplikace. Matematická indukce. Doporučené rozšiřující učivo: Limita posloupnosti. Věty o limitách. Užití limit posloupností. Nevlastní limita. Konvergentní a divergentní posloupnost. Nekonečná geometrická řada. Číslo π a číslo e jako limita posloupnosti racionálních čísel. Základy diferenciálního a integrálního počtu Elementární funkce, vlastnosti, grafy. Okolí bodu. Spojitost funkce v bodě a intervalu. Limita funkce v bodě. Limita funkce v nevlastním bodě. Věty o limitách. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam. Derivace elementárních funkcí. Derivace součtu, součinu a podílu funkcí. Derivace složené funkce. Druhá derivace. Průběh funkcí. Užití diferenciálního počtu. Primitivní funkce. Primitivní funkce k
19
základním funkcím. Určitý integrál. Výpočet obsahu obrazce. Objem rotačního tělesa. Fyzikální aplikace určitého integrálu. Pro srovnání Fuchs, Kubát a kolektiv (2001) řadí tematické okruhy s prvky matematické analýzy Funkce, Goniometrie a Posloupnosti do tzv. základního standardu (to, co by měl znát každý absolvent čtyřletého gymnázia) a Řady a Diferenciální a integrální počet do maturitního standardu (to, co by měl zvládnout maturant z matematiky).
2.3.3 Matematická analýza v rámcovém a školním vzdělávacím programu Po školské reformě, která probíhala postupně na různých typech škol v jednotlivých etapách zhruba mezi roky 2005 a 2012 a která je zakotvena v zákoně č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání, se v současnosti uskutečňuje vzdělávání žáků od 3 do 19 let podle platných Rámcových vzdělávacích programů (RVP). Tyto Rámcové vzdělávací programy stanovují na státní úrovni očekávané výstupy a úroveň vzdělání všech absolventů jednotlivých typů a stupňů škol. Samotné vzdělávání na jednotlivých typech a stupních škol probíhá podle školních vzdělávacích programů (ŠVP), které si v souladu s RVP dle vlastních požadavků a svého zaměření vytvářejí školy individuálně. Nyní se zaměříme na výskyt prvků matematické analýzy ve vzdělávání na čtyřletých gymnáziích a vyšších ročnících víceletých gymnázií, dále na středních odborných školách a na středních odborných učilištích. Pro úplnost uvedeme na začátku i stopy matematické analýzy na 2. stupni základních škol a v odpovídajících ročnících víceletých gymnázií. Pro lepší představu, větší přehled a snadnější orientaci v RVP uvedeme obsah např. RVP pro gymnázia. Struktura, nikoli obsah a jednotlivé podkapitoly, RVP pro jiná vzdělávání jsou velice podobná. ČÁST A 1. Vymezení Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia 1.1 Systém kurikulárních dokumentů 20
1.2 Principy Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia ČÁST B 2. Charakteristika vzdělávání 2.1 Organizace vzdělávání 2.2 Podmínky přijetí ke vzdělávání 2.3 Způsob a podmínky ukončování vzdělávání a získání dokladu o dosaženém stupni vzdělání ČÁST C 3. Pojetí a cíle vzdělávání 3.1 Pojetí vzdělávání 3.2 Cíle vzdělávání 4. Klíčové kompetence 5. Vzdělávací oblasti 5.1 Jazyk a jazyková komunikace 5.1.1 Český jazyk a literatura 5.1.2 Cizí jazyk 5.1.3 Další cizí jazyk 5.2 Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika a její aplikace 5.3 Člověk a příroda 5.3.1 Fyzika 5.3.2 Chemie 5.3.3 Biologie 5.3.4 Geografie 5.3.5 Geologie 5.4 Člověk a společnost 5.4.1 Občanský a společenskovědní základ 5.4.2 Dějepis 5.4.3 Geografie 5.5 Člověk a svět práce 5.5.1 Člověk a svět práce 5.6 Umění a kultura 5.6.1 Hudební obor 5.6.2 Výtvarný obor 21
5.7 Člověk a zdraví 5.7.1 Výchova ke zdraví 5.7.2 Tělesná výchova 5.8 Informatika a informační a komunikační technologie 5.8.1 Informatika a informační a komunikační technologie 6. Průřezová témata 6.1 Osobnostní a sociální výchova 6.2 Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech 6.3 Multikulturní výchova 6.4 Environmentální výchova 6.5 Mediální výchova 7. Rámcový učební plán 7.1 Obecné poznámky 7.2 Poznámky ke vzdělávacím oblastem 8. Zásady pro tvorbu školního vzdělávacího programu pro čtyřletá gymnázia a vyšší stupeň víceletých gymnázií ČÁST D 9. Vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami 9.1 Vzdělávání žáků se zdravotním postižením a zdravotním znevýhodněním 9.2 Žáci z odlišného kulturního a sociálně znevýhodňujícího prostředí 10. Vzdělávání mimořádně nadaných žáků 11. Podmínky pro vzdělávání na gymnáziu Slovníček použitých výrazů
2.3.3.1 Základní vzdělávání Základní vzdělávání má žákům pomoci utvářet a postupně rozvíjet klíčové kompetence a poskytnout spolehlivý základ všeobecného vzdělání orientovaného zejména na situace blízké životu a na praktické jednání (RVP pro základní vzdělávání, 2013). Ve vzdělávacích oblastech je zařazena oblast Matematika a její aplikace, jejíž vzdělávací obsah je rozdělen na čtyři okruhy: Číslo a proměnná, Závislosti, vztahy a práce s daty, Geometrie v rovině a v prostoru a Nestandardní aplikační úlohy a
22
problémy. Všimněme si těch okruhů, ve kterých se vyskytují prvky matematické analýzy.
Závislosti, vztahy a práce s daty Očekávané výstupy: Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data porovnává soubory dat určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti vyjádří funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů Učivo závislosti a data – příklady závislostí z praktického života a jejich vlastnosti, nákresy, schémata, diagramy, grafy, tabulky; četnost znaku, aritmetický průměr funkce – pravoúhlá soustava souřadnic, přímá úměrnost, nepřímá úměrnost, lineární funkce Nestandardní aplikační úlohy a problémy Očekávané výstupy: Žák užívá logickou úvahu a kombinační myšlení při řešení úloh a problémů a nalézá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací, řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí Učivo číselné a logické řady číselné a obrázkové analogie logické a netradiční geometrické úlohy
2.3.3.2 Gymnaziální vzdělávání Vzdělávání ve čtyřletých gymnáziích a na vyšším stupni víceletých gymnázií má žáky vybavit klíčovými kompetencemi a všeobecným rozhledem na úrovni
23
středoškolsky vzdělaného člověka a tím je připravit především pro vysokoškolské vzdělávání a další typy terciárního vzdělávání, profesní specializaci i pro občanský život (RVP pro gymnázia, 2007). Výuka matematiky na gymnáziu rozvíjí a prohlubuje pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného světa, utváří kvantitativní gramotnost žáků a schopnost geometrického vhledu. Ovládnutí požadovaného matematického aparátu, elementy matematického myšlení, vytváření hypotéz a deduktivní úvahy jsou prostředkem pro nové hlubší poznání a předpokladem dalšího studia. Osvojené matematické pojmy, vztahy a procesy pěstují myšlenkovou ukázněnost, napomáhají žákům k prožitku celistvosti. Matematické vzdělávání napomáhá rozvoji abstraktního a analytického myšlení, rozvíjí logické usuzování, učí srozumitelné a věcné argumentaci s cílem najít spíše objektivní pravdu než uhájit vlastní názor. Těžiště výuky spočívá v osvojení schopnosti formulace problému a strategie jeho řešení, v aktivním ovládnutí matematických nástrojů a dovedností, v pěstování schopnosti aplikace. Matematika přispívá k tomu, aby žáci byli schopni hodnotit správnost postupu při odvozování tvrzení a odhalovat klamné závěry (RVP pro gymnázia, 2007). Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace se skládá z pěti tematických celků: Argumentace a ověřování, Číslo a proměnná, Práce s daty, kombinatorika, pravděpodobnost, Závislosti a funkční vztahy a Geometrie. Matematická analýza je zastoupena v následující oblasti. Závislosti a funkční vztahy Očekávané výstupy: Žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů aplikuje
vztahy
mezi
hodnotami
exponenciálních,
goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí 24
logaritmických
a
řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice Učivo obecné poznatky o funkcích – pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi posloupnost – určení a vlastnosti posloupností, aritmetická a geometrická posloupnost Z výše uvedeného přehledu je zřejmé, že matematická analýza nemá tak velké zastoupení v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia, jak by mohl někdo očekávat. To ovšem neznamená, že by se více matematické analýzy na gymnáziích nemohlo vyučovat. Rámcové vzdělávací programy obecně určují pouze rámce a výstupy závazné pro příslušné typy škol a jejich absolventy. Každá škola tak může podle své profilace nebo podle požadavků přidávat učivo mimo to předepsané v RVP. A zde je právě jistý manipulační prostor, se kterým mohou školy pracovat. Mohou tak zařadit do školního vzdělávacího programu pro předmět matematika další kapitoly týkající se, samozřejmě nejen, matematické analýzy. Výsledkem prostudování několika ŠVP náhodně vybraných gymnázií je, že poměrně často gymnázia zařazují z matematické analýzy do matematického vzdělávání řady, limity funkcí, spojitost funkcí, diferenciální a integrální počet. Pozor, není to však obecně platné tvrzení a ne všechna gymnázia o výše uvedená témata, nebo alespoň některá z nich, své vzdělávání v matematice rozšiřují. To je čistě v jejich kompetenci. V některých případech, jak doporučují autoři Fuchs a Hrubý (2006), se rozšíření učiva matematiky provádí ve volitelném předmětu, semináři z matematiky, ten už ale není povinný pro všechny žáky gymnázií.
25
Ukažme si na příkladu Školního vzdělávacího programu Slovanského gymnázia Olomouc, které prvky matematické analýzy, ať už povinné podle RVP pro gymnázia, či navíc doplněné, se vyskytují. Osnovy předmětu matematika jsou rozděleny do šestnácti tematických celků: Teorie čísel, Teorie množin, výroková logika, Algebraické výrazy, mocniny a odmocniny, Rovnice a nerovnice, Planimetrie, Shodná a podobná zobrazení, Funkce,
Goniometrie,
Stereometrie,
Komplexní
čísla,
Analytická
geometrie,
Kombinatorika a pravděpodobnost, Práce s daty, Posloupnosti a řady, Limita funkce, diferenciální a integrální počet, Systematizace poznatků. Nyní se podrobněji zaměříme na celky týkající se matematické analýzy.
Funkce Učivo:
Školní výstup – žák:
Obecné poznatky o funkcích – pojem Načrtne grafy elementárních funkcí (v funkce, definiční obor a obor hodnot, graf základním i posunutém tvaru) a určí jejich funkce,
vlastnosti
monotónnost,
funkcí
ohraničenost,
(parita, vlastnosti. extrémy, Formuluje
a
zdůvodňuje
vlastnosti
periodičnost).
studovaných funkcí
Lineární funkce.
Využívá poznatky o funkcích při řešení
Kvadratická funkce.
rovnic
Funkce s absolutní hodno-tou.
kvantitativních vztahů.
Lineární lomená funkce.
Aplikuje
a
nerovnic,
vztahy
při
mezi
určování
hodnotami
Mocninné funkce (s přirozeným a celým exponenciálních a logaritmických funkcí a exponentem). Mocniny s
racionálním vztahy mezi těmito funkcemi.
exponentem, n–tá od-mocnina.
Modeluje závislosti reálných dějů pomocí
Inverzní funkce.
známých funkcí.
Exponenciální
a logaritmické funkce, Řeší exponenciální a logaritmické rovnice
logaritmy, vlastnosti logaritmů.
Řeší aplikační úlohy s využitím poznatků
Exponenciální a logaritmické rovnice.
o funkcích.
Goniometrie Učivo:
Školní výstup – žák:
Oblouková míra a orientovaný úhel.
Umí
Goniometrické
funkce,
vztahy
mezi funkcí.
26
zakreslit
grafy
goniometrických
goniometrickými funkcemi. Goniometrické
Aplikuje goniometrické vzorce při úpravě
rovnice,
využití goniometrických výrazů.
goniometrických vzorců.
Řeší goniometrické rovnice.
Trigonometrie pravoúhlého a obecného Aplikuje trojúhelníku,
vzorce
pro
praktické
úlohy
na
řešení
obsah obecného trojúhelníku popř. čtyřúhelníku.
trojúhelníku, sinová a kosinová věta Posloupnosti a řady Učivo:
Školní výstup – žák:
Definice a určení posloupností (vzorcem Vysvětlí rozdíl mezi posloupností a funkcí pro n–tý člen a rekurentně). Důkaz reálných čísel. matematickou indukcí
Formuluje
Vlastnosti posloupností.
studovaných posloupností.
Aritmetická a geometrická posloupnost.
Řeší aplikační úlohy s využitím poznatků
Finanční matematika.
o posloupnostech.
Limita
posloupnosti,
konvergentní
řada,
konvergentní
zdůvodňuje
vlastnosti
a Interpretuje z funkčního hlediska složené
divergentní posloupnost. Nekonečná
a
úrokování, aplikuje exponenciální funkci a a geometrickou posloupnost ve finanční
divergentní řada, kritéria konvergence, matematice. součet nekonečné geometrické řady.
Vysvětlí pojem limita posloupnosti, zná základní věty o limitách posloupností a umí
je
využít
při
výpočtu
limit
posloupností. Vysvětlí pojmy nekonečná řada a součet nekonečné kritérií
řady,
pomocí
konvergence
jednodušších
řad,
základních
určí pro
chování
nekonečnou
geometrickou řadu zná podmínku její konvergence a umí určit její součet. Limita funkce, diferenciální a integrální počet Učivo:
Školní výstup – žák:
Limita a spojitost funkce, věty o limitách. Interpretuje pojem limity funkce, řeší
27
Nevlastní limity, limity v nevlastních úlohy o limitách funkcí. Rozumí pojmu derivace funkce. Ovládá
bodech.
Derivace funkce, derivace součtu, rozdílu, použití pravidel pro derivace a umí je součinu a podílu dvou funkcí, derivace aplikovat v praktických úlohách. Užitím složené funkce. Druhá derivace a její diferenciální počtu umí vyšetřit průběh význam. Aplikace diferenciálního počtu. funkce. Průběh funkce. Primitivní
funkce,
Rozumí pojmu primitivní funkce, neurčitý neurčitý
integrál. a
určitý
integrál.
Ovládá
základní
Základní typy integrací. Určitý integrál. integrační metody a umí je aplikovat v Aplikace integrálního počtu.
praktických úlohách.
Doplňme a vyzdvihněme pro nás důležitou poznámku, která je u témat Funkce a Goniometrie: Využití matematického softwaru pro kreslení grafů funkcí.
2.3.3.3 Střední odborné vzdělávání s maturitou Matematické vzdělávání má v odborném školství kromě funkce všeobecně vzdělávací ještě funkci průpravnou pro odbornou složku vzdělávání. Obecným cílem matematického vzdělávání je výchova přemýšlivého člověka, který bude umět používat matematiku v různých životních situacích (v odborné složce vzdělávání, v dalším studiu, v osobním životě, budoucím zaměstnání, volném čase apod.) (RVP pro obor vzdělání Strojírenství). Kurikulární rámce pro oblast Matematického vzdělávání jsou tvořeny sedmi tematickými celky: Operace s čísly a výrazy, Funkce a její průběh, řešení rovnic a nerovnic, Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie v rovině, Posloupnosti a jejich využití a Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika v praktických úlohách. V oborech vzdělání se zvýšenými nároky na matematické vzdělávání rozšíří škola ve svém školním vzdělávacím programu matematické vzdělávání v souvislosti s potřebami odborného vzdělávání zejména o: − operace s komplexními čísly a řešení kvadratických rovnic v množině C; − řešení aplikačních úloh s využitím funkcí, posloupností a trigonometrie; − analytickou geometrii kuželoseček (RVP pro obor vzdělání Strojírenství).
28
Funkce a její průběh, řešení rovnic a nerovnic Očekávané výstupy: Žák rozlišuje jednotlivé druhy funkcí, načrtne jejich grafy a určí jejich vlastnosti řeší lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy, lineární a kvadratické nerovnice třídí úpravy rovnic na ekvivalentní a neekvivalentní převádí jednoduché reálné situace do matematických struktur, pracuje s matematickým modelem a výsledek vyhodnotí vzhledem k realitě znázorní goniometrické funkce v oboru reálných čísel, používá jejich vlastností a vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic i k řešení rovinných i prostorových útvarů Učivo základní pojmy – pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí lineární rovnice a nerovnice racionální funkce kvadratická rovnice a nerovnice exponenciální a logaritmické funkce, logaritmus goniometrie a trigonometrie – orientovaný úhel, goniometrické funkce ostrého a obecného úhlu, řešení pravoúhlého trojúhelníku, věta sinová a kosinová, řešení obecného trojúhelníku goniometrické rovnice Posloupnosti a jejich využití Očekávané výstupy: Žák vysvětlí posloupnost jako zvláštní případ funkce určí posloupnost: vzorcem pro n-tý člen, výčtem prvků, graficky rozliší aritmetickou a geometrickou posloupnost provádí výpočty jednoduchých finančních záležitostí a orientuje se v základních pojmech finanční matematiky
29
Učivo aritmetická a geometrická posloupnost finanční matematika Z tematických celků pro možné rozšíření ŠVP vypíchněme Řešení aplikačních úloh s využitím funkcí, posloupností a trigonometrie, protože zde se prvky matematické analýzy vyskytují. Na příkladu ŠVP Střední průmyslové školy Přerov si ukážeme korespondenci mezi ŠVP a RVP v matematice, konkrétně nás budou zajímat opět prvky matematické analýzy. V ŠVP pro obor 23-41-M/01 Strojírenství tak nalezneme tematické celky: Lineární funkce, rovnice a nerovnice Učivo
Výsledky vzdělávání
Pojem funkce
● vysvětlí pojem funkce, definiční obor,
Lineární funkce
obor hodnot a graf funkce
Lineární rovnice
● načrtne graf lineární funkce
Lineární nerovnice
● řeší lineární rovnice a jejich soustavy
Lineární
rovnice
a
nerovnice
s ● řeší lineární nerovnice a některé jejich
absolutními hodnotami
soustavy
Lineární rovnice s parametrem
● řeší lineární rovnice i nerovnice
Soustavy lineárních rovnic
s jednou nebo více absolutními hodnotami
Soustavy lineárních nerovnic
● řeší rovnice s parametrem, vysvětlí
Slovní úlohy
význam parametru a vzhledem k němu provádí diskusi řešení ● řeší slovní úlohy ● rozlišuje ekvivalentní a důsledkové úpravy
Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice Učivo
Výsledky vzdělávání
Pojem kvadratické funkce
● vysvětlí pojem funkce, definiční obor,
Graf kvadratické funkce
obor hodnot a graf funkce
Kvadratická rovnice
● načrtne graf kvadratické funkce
30
Kvadratická nerovnice
● řeší kvadratické rovnice a nerovnice
Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou
● řeší soustavu lineární a kvadratické
Soustava lineární a kvadratické rovnice
rovnice
Rovnice s neznámou pod odmocninou
● řeší kvadratické rovnice s jednou nebo
Slovní úlohy
více absolutními hodnotami ● řeší slovní úlohy ● řeší iracionální rovnice a vysvětlí nutnost provedení zkoušky ● rozlišuje ekvivalentní a důsledkové úpravy
Funkce Učivo
Výsledky vzdělávání
Vlastnosti funkcí
● rozlišuje jednotlivé druhy funkcí,
Lineární
a
kvadratická
funkce
s načrtne jejich grafy a popíše jejich
absolutními hodnotami
vlastnosti
Lineární lomená funkce
● popíše pojem inverzní funkce
Mocninná funkce
● rozliší dekadický a přirozený logaritmus
Exponenciální funkce
● definuje logaritmus, používá pravidla
Logaritmická funkce
pro počítání s logaritmy
Logaritmy, věty o logaritmech
● řeší exponenciální a logaritmické
Exponenciální a logaritmické rovnice
rovnice
Exponenciální a logaritmické nerovnice
● používá grafy k řešení exponenciálních a logaritmických nerovnic ● používá kalkulátor
Goniometrie Učivo
Výsledky vzdělávání
Goniometrické funkce, jejich vlastnosti a ●
popíše
vlastnosti
goniometrických
grafy
funkcí a načrtne jejich grafy
Goniometrické vzorce
● ovládá metody řešení goniometrických
Úpravy goniometrických výrazů
rovnic
Goniometrické rovnice
goniometrických nerovnic
31
a
používá
grafy
k řešení
Goniometrické nerovnice
● užívá goniometrické vzorce při úpravě
Věta sinová a kosinová
goniometrických výrazů a určí podmínky,
Slovní úlohy
kdy má daný goniometrický výraz smysl ● užívá sinovou a kosinovou větu při řešení obecného trojúhelníku a při řešení slovních úloh
Posloupnosti a jejich využití Učivo
Výsledky vzdělávání
Pojem posloupnosti a její určení
● vysvětlí posloupnost jako zvláštní
Vlastnosti posloupnosti
případ funkce
Aritmetická posloupnost
● určí posloupnost vzorcem pro n-tý člen,
Geometrická posloupnost
výčtem prvků a graficky
Užití posloupností
● rozliší aritmetickou a geometrickou
Limita posloupnosti
posloupnost, popíše jejich vlastnosti
Nekonečná geometrická řada
● určí r-tý a n-tý člen, diferenci a součet
Užití nekonečné geometrické řady
prvních n členů aritmetické posloupnosti
Základy finanční matematiky, složené ● určí r-tý a n-tý člen, kvocient a součet úrokování
prvních n členů geometrické posloupnosti ● řeší pomocí vztahů v posloupnostech jednoduché slovní úlohy ● užívá věty o limitách posloupností ● vysvětlí pojem limita posloupnosti, definuje
posloupnost
konvergentní
a
divergentní ●
charakterizuje
nekonečnou
geometrickou řadu, používá její součet a užívá ji při řešení úloh ●
provádí
výpočty
finančních záležitostí v základních matematiky
32
jednoduchých a orientuje se
pojmech
finanční
Zajímavý příklad toho, jak lze nad rámec RVP zařadit rozšiřující tematický celek, je vidět níže, kdy není tedy rozšířen předmět samotný, ale je vytvořen volitelný předmět Aplikovaná matematika zařazený do třetího a čtvrtého ročníku, v němž se vyskytují tematické celky Lineární algebra, Základy diferenciálního počtu, Integrální počet a opakování, procvičování a upevňování znalostí z kapitol matematiky probíraných dříve v předmětu Matematika. Základy diferenciálního počtu Učivo
Výsledky vzdělávání
Elementární funkce, vlastnosti a grafy
● převádí jednoduché reálné situace
Okolí bodu, spojitost funkce v bodě a
do matematických struktur, pracuje s
intervalu
matematickým modelem a výsledek
Limita funkce v bodě, věty o limitách
vyhodnotí vzhledem k realitě
funkcí
● definuje limitu funkce v bodě, aplikuje
Limita funkce v nevlastním bodě, věty
věty o limitách v konkrétních úlohách
Derivace funkce, geometrický a
● užitím diferenciálního počtu určí
fyzikální význam
okamžitou změnu veličiny a
Derivace elementárních funkcí
směrnici tečny i normály k dané křivce
Derivace součtu, součinu a podílu
vyjádřené funkční rovnicí
funkcí
● vyšetří monotónnost, extrémy
Derivace složené funkce
● ovládá vztah limity a derivace funkce
Druhá derivace
● ovládá základní derivační postupy,
Monotónnost funkce, extrémy funkce
pracuje s derivačními vzorci
Fce konvexní, konkávní, inflexní body
● aplikuje derivaci při řešení
Průběh funkce
geometrických a fyzikálních problémů
Užití diferenciálního počtu
● vyšetří průběh jednodušší neelementární funkce ● používá derivaci jako další efektivní nástroj problémů
33
pro
řešení
matematických
Integrální počet Učivo
Výsledky vzdělávání
Primitivní
funkce,
neurčitý
integrál, ● vysvětlí pojem primitivní funkce a
základní vzorce
definuje neurčitý integrál
Výpočet neurčitého integrálu
● používá základní vzorce pro integrování
Metoda per partes
a užívá integračních metod při výpočtech
Substituční metoda
●
Určitý integrál a jeho výpočet
geometrický význam
Obsah rovinného obrazce
● určuje obsah rovinného obrazce a objem
Objem rotačního tělesa
rotačního tělesa užitím určitého integrálu
Technické a fyzikální aplikace
● aplikuje integraci při řešení technických
definuje
určitý
integrál
a
jeho
a fyzikálních úloh ● určuje délku křivky a obsah rotační plochy užitím určitého integrálu
2.3.3.4 Střední odborné vzdělávání s výučním listem Vzdělávání směřuje k tomu, aby žáci dovedli využívat matematických poznatků v praktickém životě, efektivně numericky počítat, používat a převádět, matematizovat jednoduché reálné situace, užívat matematický model a vyhodnotit výsledek řešení vzhledem k realitě, zkoumat a řešit problémy, orientovat se v matematickém textu a porozumět zadání matematické úlohy, kriticky vyhodnotit informace kvantitativního charakteru získané z různých zdrojů (grafů, diagramů a tabulek), správně se matematicky vyjadřovat (RVP pro obor vzdělání Autoelektrikář). Obsah matematického vzdělávání je rozdělen na sedm tematických celků: Operace s reálnými čísly, Výrazy a jejich úpravy, Řešení rovnic a nerovnic v množině R, Funkce, Planimetrie, Výpočet povrchů a objemů těles a Práce s daty. V oborech vzdělání, které mají vyšší nároky na matematické vzdělávání s ohledem na odborné vzdělávání, rozšíří škola ve svém školním vzdělávacím programu matematické vzdělávání v souladu s potřebami oboru (kvadratická funkce a kvadratická rovnice, goniometrické funkce obecného úhlu, jejich vlastnosti, grafy a jejich užití při řešení praktických úloh, statistika) (RVP pro obor vzdělání Autoelektrikář).
34
Funkce Očekávané výstupy: Žák sestrojí graf funkce, určí, kdy funkce roste nebo klesá aplikuje v úlohách poznatky o funkcích, úpravách výrazů a rovnic Učivo základní pojmy: pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf druhy funkcí: přímá a nepřímá úměrnost, lineární funkce Je zřejmé, že v odborném vzdělávání je cílem právě odbornost, která je proto společně s praxí upřednostňována před pouhými teoretickými znalostmi. Po nahlédnutí do ŠVP Střední školy polytechnické Olomouc pro obor Autoelektrikář a porovnání s příslušným RVP je patrné, že kapitoly z matematiky v ŠVP: Operace s reálnými čísly, Planimetrie, Výrazy a jejich použití, Řešení rovnic a nerovnic v množině R, Funkce, Stereometrie a Práce s daty odpovídají tematickým celkům z matematiky v RVP. Prvky matematické analýzy v ŠVP taktéž odpovídají RVP:
Funkce Výsledky vzdělávání
Učivo
je seznámen s pojmy funkce, definiční
Základní pojmy pravoúhlá soustava souřadnic
obor funkce a obor hodnot funkce sestrojí pravoúhlou soustavu souřadnic a určí polohu daného bodu
pojem funkce, definiční obor, obor hodnot funkce
rozlišuje nezávisle proměnnou a funkční
funkce rostoucí, klesající
hodnotu v daném bodě (závisle
Druhy funkcí
proměnnou)
funkce lineární, přímá úměrnost,
vyjádří funkční závislost tabulkou
konstantní
a sestrojí graf funkce - lineární, přímá úměrnost, nepřímá úměrnost
grafické řešení soustavy lineárních rovnic
určí, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající
funkce nepřímá úměrnost praktické úlohy s využitím funkční
orientuje se v grafu funkce a určí z něj potřebné hodnoty
35
závislosti
je seznámen s grafickým řešením soustavy lineárních rovnic vyjádří v praktických úlohách funkční závislosti tabulkami, zapíše je rovnicemi a znázorní graficky
36
3 ICT ve výuce
ICT je zkratka anglického Information and Communication Technologies, která označuje informační a komunikační technologie, v češtině se také používá zkratka IKT. Zkratka ICT se vyvinula z dříve používané zkratky IT (Information Technologies), kdy počítače a uzavřené sítě mezi sebou začaly komunikovat, proto se do zkratky přidalo slovo komunikační. Informační a komunikační technologie zahrnují všechny informační technologie používané pro komunikaci a práci s informacemi. ICT se dělí na:
hardware – veškeré fyzické zařízení na zpracování údajů, technické vybavení, technické prostředky (Kraus a kol., 2005), např. počítače a příslušenství, notebooky, servery, PDA, navigace, mobilní telefony, tablety atd.;
software (SW) – vybavení počítače programovacím jazykem a programem, programové vybavení počítače (Kraus a kol., 2005), např. operační systém, síťové protokoly, internetové vyhledávače, programy atd. V současnosti má zkratka ICT ještě další význam ve školství, kdy se tak někdy
jmenuje předmět dříve nazývaný výpočetní technika nebo informatika.
3.1 Hardware pro výuku Hardwarovou součástí ICT není pouze počítač a jeho vstupní nebo výstupní periferie (klávesnice, myš, monitor, reproduktory, tiskárna atd.). I když je představitelné, že učitel něco ukazuje na svém počítači postupně všem žákům, není to praktické a efektivní a v praxi se to neděje. Aby tedy výuka podporovaná počítačem měla alespoň základní předpoklady pro smysluplné využití a přínos, je potřeba k počítači připojit:
dataprojektor, což je zařízení umožňující promítání obrazu z počítače, notebooku nebo jiného zdroje na plátno či zeď;
37
interaktivní tabuli, což je dotykově-senzitivní plocha, prostřednictvím které probíhá vzájemná interaktivní komunikace mezi uživatelem a počítačem (Dostál, 2009);
interaktivní dataprojektor, což je projektor se zabudovaným snímačem a doplňuje ho pero. Snímač sleduje polohu pera a umožňuje uživateli přenášet tahy perem do počítače a z počítače přes projektor zpět na projekční plochu (http://www.interaktivni-projektory.cz/). Promítat lze téměř na libovolnou plochu – zeď, plátno nebo tabule. Další variantou využití počítačů ve výuce je výuka v počítačové učebně, kdy
nejen vyučující, ale i žáci, jednotlivě, ve dvojicích nebo malých skupinkách, pracují na počítačích. K tomu je tedy zapotřebí vybavená počítačová učebna. Počítač, ať už v případě jeho propojení s dataprojektorem, nebo počítače v počítačové učebně je možné nahradit jinými prostředky ICT.
Notebook – je zařízení, ve kterém je integrována skříň počítače, monitor, klávesnice, „myš“, reproduktory a kamera v jeden celek. Notebooky mají akumulátor, a proto ke své činnosti nutně nevyžadují připojení do elektrické sítě (Dostál, 2007).
Netbook – je přenosný počítač menší než notebook, s nižší spotřebou a váhou. Je ale určen pro méně náročné akce, hlavně pro přístup k internetu a kancelářské práce.
Ultrabook – je zvláštní kategorie notebooků s přesně definovanými parametry a požadavky např. na procesor, výdrž baterie, váhu nebo tloušťku.
Tablet – je lehký, přenosný, plochý počítač s dotykovou obrazovkou, která slouží k jeho ovládání. Významným zástupcem tabletů je iPad od společnosti Apple Inc.
38
3.2 Software pro výuku 3.2.1 Rozdělení Nejen počítačové programy vhodné pro provádění výpočtů či konstrukcí v matematice a vyučování matematiky lze rozdělit do skupin dle různých kritérií. Jedním z hledisek jsou nároky programu na hardwarové a softwarové vybavení počítače. U hardwaru jsou uváděny požadavky převážně na výkon procesoru, operační paměť, místo na pevném disku a někdy na grafickou kartu, aby program bylo možné nainstalovat a následně hladce fungoval. U softwaru je důležité, pro který operační systém a jeho verzi, případně které operační systémy a jejich verze, neboť jeden program může fungovat pod více operačními systémy, je program určen. S výrazným rozdílem je nejpoužívanějším operačním systémem Microsoft Windows, v malé míře se používá pro počítače Macintosh určený operační systém společnosti Apple Inc. Mac OS a na rozdíl od prvních dvou zmíněných volně šiřitelný OS Linux. Pro využití SW ve vzdělávání je důležitým faktorem, v jaké softwarové licenci je distribuován. Jednoduše řečeno, záleží, zda je program možné legální cestou získat a používat zdarma, bez placení, nebo je nutné ho zakoupit. Druhy a rozdělení softwarových licencí, kterých je samozřejmě více než dvě laicky popsané výše, uvádí Štědroň (2010). Nám však postačí zvolené následující rozdělení a vysvětlení pojmů (Štědroň, 2010).
Freeware – je software, který je šířen zdarma, např. na internetu. Program je možné provozovat zdarma po neomezenou dobu a je možné jej i zdarma šířit dále. Není však dovoleno šířit jej za úplatu. Autorská práva k takovému počítačovému programu drží jeho autor a není tedy dovoleno jej bez jeho souhlasu jakkoliv měnit či upravovat pro komerční účely.
Shareware – je software s povolením šířit kopie (bezúplatně), přičemž uživatel jej může po určenou dobu vyzkoušet, ale jestliže se rozhodne jej trvale používat, má povinnost zaplatit licenční poplatek.
Komerční software – je software, který je šířen za úplatu, čili uživatel si jej musí zakoupit u autora nebo oprávněného distributora. 39
Dalším důležitým rozdělením, které už je určeno programům pro využití v matematice, je podle jejich typu a zaměření. Nesnažme se však o komplexní rozdělení programů, ale uveďme a zaměřme se na ty kategorie, které jsou pro nás podstatné.
Zkratkou CAS (z anglického Computer algebra system), česky počítačové algebraické systémy, jsou označovány programy umožňující numerické nebo symbolické (většinou však oboje) zpracování a výpočet matematických výrazů, grafické zobrazení dat či tvorbu matematických dokumentů. V některých případech lze využít vestavěný programovací jazyk k tvorbě algoritmů a vlastních funkcí. Příkladem softwaru typu CAS jsou Mathematica, Maple, Derive, Maxima, Matlab nebo Sage. Software typu CAS obsahují i např. grafické kalkulátory. Nevýhodou pro českého uživatele může být, že programovací jazyk a příkazy bývají v angličtině.
Zkratkou DGS (z anglického Dynamic geometry software), česky programy dynamické geometrie, označujeme software na vytváření geometrických konstrukcí, v němž nejsou sestrojené objekty statické, ale lze s nimi po jejich vytvoření dále manipulovat, měnit jejich tvar, velikost a polohu v nákresně i pozici vzhledem k ostatním objektům (při zachování určitých invariantů, jimiž jsou definované vztahy mezi objekty) (Vaníček). Příkladem softwaru dynamické geometrie jsou C.a.R., Cabri II Plus, Cinderella, GeoGebra, GEONExT a další. Poznámka: Někdy se pro tento typ programů používá zkratka DGE z anglického Dynamical geometry environment, česky prostředí dynamické geometrie.
Tabulkový procesor, někdy také tabulkový kalkulátor, anglicky spreadsheet, je program pro zpracování dat v tabulce (virtuálním listu). V jednotlivých políčkách tabulky, tzv. buňkách, mohou být vložena data ve formě konstant nebo vzorců (příkazy, funkce). Součástí tabulkového procesoru bývají nástroje pro grafickou prezentaci výsledků. Tabulkový procesor bývá jedním z programů kancelářského balíku. Jako příklady uveďme Microsoft Excel, OpenOffice Calc nebo KSpread.
K vizualizaci a předávání informací se používají prezentační programy pro vytváření a předvádění elektronických prezentací jako Microsoft PowerPoint nebo OpenOffice Impress, které jsou součástí kancelářských balíků.
40
Výukovým programem rozumíme takový software, který žákovi předkládá jistý celek učiva a zajišťuje osvojení (zpětnou vazbou) jeho obsahu žákem (Dostál, 2007). Některé výukové programy jsou vhodnější pro samostudium žáka, některé lze použít při výuce ve třídě.
Další kategorií jsou programy, které nepatří stoprocentně do žádné z předchozích kategorií, neboť pouze částečně zasahují do jedné i více kategorií, nebo jsou mimo uvedené kategorie. Zařaďme sem programy „specializované“, úzce zaměřené. V našem případě např. Funkce, Graph, Analýza.
Speciální kategorií jsou programy, které si učitel sám naprogramuje. Trávníček (2009) považuje za vhodné, když si učitel matematiky dokáže pořídit, hlavně pro svůj domácí počítač, drobné jednoúčelové prográmky, které mu pomáhají v přípravě na výuku a které mají tu výhodu, že jsou levné, neboť si je učitel připraví sám. Také je dobré, že mohou umět to, co jiné programy nedokáží, a autor si je uzpůsobí ke svému obrazu, potřebám a jednoduchosti ovládání. Na závěr zmiňme ještě jedno možné rozdělení či kritérium, které může být pro
některé uživatele poměrně zásadní, a to je jazyková mutace. Některé programy nejsou přeloženy do češtiny, nebo nejsou přeložené celé včetně nápovědy a manuálů k nim. Pro některé uživatele to může být problém, pro některé naopak výzva a možnost dalšího sebevzdělávání a osobního rozvoje.
3.2.2 Software pro výuku matematiky Funkce Jak již název napovídá, český program Funkce verze 2.01 je vhodný pro podporu výuky grafů funkcí a jeho hlavní předností je používání parametrů v předpisech funkcí, jejichž změna hodnot se okamžitě projevuje ve vykreslovaných grafech. Program vytvořil jako svou diplomovou práci Daniel Míča v programovacím prostředí Delphi. Program Funkce je zdarma a je volně stažitelný z webu http://funkce.argh.cz/default.aspx, kde lze nalézt i Manuál a příručku Využití programu Funkce. Program zabírá na disku necelých 600 kB, což je skutečně málo, a má malé nároky na hardware i software. Instalace je jednoduchá a rychlá.
41
Program má jednoduché, přesto velice funkční, prostředí. Hlavní okno programu (obrázek 3.1) je členěno do tří základních částí. V pravé největší části je bílá kreslící plocha pro zobrazení osového kříže a grafu funkcí. V levé části postupně nalezneme předpis funkce (jedné až tří najednou), zápis hodnot použitých parametru náležících jednotlivým funkcím, rozsahy souřadnic a hodnoty souřadnic bodu z grafu. Ve třetí spodní části je umístěn panel s posuvníky pro plynulou změnu použitých parametru (Míča, 2005). Jednotlivé položky druhé a třetí zmiňované části lze v nastavení aplikace skrýt, což lze z didaktického hlediska při výuce vhodně použít.
Obr. 3.1 Okno programu Funkce Menu programu je složeno ze čtyř částí - Soubor, Funkce, Nástroje a O programu. V menu Soubor můžeme otevírat dříve vytvořené nebo stažené soubory, ukládat soubory, uložit grafické okno jako obrázek ve formátu .bmp nebo tisknout. V menu Funkce nalezneme nabídku autorem předepsaných funkcí: Konstantní, Lineární, Kvadratické, Racionální, Goniometrické, Mocninné, Exponenciální a logaritmické a velmi zajímavou a užitečnou Uživatelem zadanou. Pokud se náročnější 42
uživatel nespokojí s nabízenými funkcemi, může si zadat funkcí vlastním předpisem. V podmenu jednotlivých funkcí je ještě nabídka S absolutní hodnotou, kde si můžeme vybrat předpis funkce s absolutní hodnotou. V menu Nástroje se skrývá funkce programu Vyhledat průsečíky, přičemž je možné si nechat zobrazit i jejich souřadnice buď do grafu, nebo do okna. Na ose x se dají zobrazit násobky čísla π, což je užitečné při zobrazování goniometrických funkcí. Program má příkladné využití k vykreslování grafů nejrůznějších funkcí, ale také ke studiu změn vlastností a průběhu funkce v závislosti na změnách hodnot parametrů a dále ke grafickému řešení rovnic a soustav rovnic.
Analýza Program Analýza je určen k provádění základních numerických výpočtů diferenciálního a integrálního počtu. Program neobsahuje žádné grafické ani symbolické funkce (Hanzák, 2005). Český program vytvořený Tomášem Hanzákem je zcela zdarma. Poslední verze Analýza 1.2 z roku 2005 je dostupná na webu autora www.sweb.cz/thanzak, kde jsou i jeho další programy, a na www. slunecnice.cz. Program není potřeba instalovat, stačí stáhnout komprimovaný soubor velikosti 181 kB a extrahovat soubory do složky, kde pak zabírají 488 kB na disku. V horní části hlavního okna (obrázek 3.2), které lze minimalizovat, přesouvat po pracovní ploše, ale nelze zvětšit či zmenšit, je pět karet Funkce, Parametrická křivka, Implicitní křivka, Určitý integrál a Diferenciální rovnice. Mezi kartami si uživatel vybírá a přepíná, podle toho, co chce počítat. V dolní části hlavního okna nalezeme ovládací tlačítka Vypočti, Nápověda, O programu a Konec.
43
Obr. 3.2 Okno programu Analýza V jednotlivých kartách lze vypočítat, v pořadí viz výše:
funkční hodnota, první a druhá derivace a poloměr křivosti reálné funkce jedné reálné proměnné v bodě;
souřadnice bodu, první a druhá derivace a poloměr křivosti parametricky zadané rovinné křivky v bodě;
první a druhá derivace a poloměr křivosti implicitně zadané rovinné křivky v bodě;
obsah obrazce, délka křivky, povrch pláště a objem tělesa určený grafem funkce jedné reálné proměnné na intervalu;
řešení obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu na intervalu.
Jak bylo uvedeno již v úvodu, program Analýza provádí pouze numerické výpočty a nedává žádné grafické výstupy. To z něj činí jakýsi specializovaný druh kalkulátoru, jehož odpovědí jsou číselné výsledky. Využití programu tak spatřuji v kontrole výsledků při počítání. Uvítal bych ještě jednu oblast výpočtů, a to limity funkcí, které by mohly být v další kartě.
44
Graph Program Graph slouží nejen k vykreslování funkcí zadaných (explicitní) rovnicí, parametricky a polárně rovnicí, ale i tečny a kolmice k dané funkci v bodě, derivace funkce, regresních křivek posloupností bodů, dále dokáže spočítat integrál, délku křivky součet řady a další. Praktickým nástrojem pro zvýšení názornosti je šrafování. Tento program je zdarma a volně šiřitelný. V květnu roku 2001 vytvořil jeho první verzi Ivan Johansen. Poslední verze, nebereme-li v potaz existující beta verzi, Graph
4.4.2
byla
vydána
29.
prosince
2012
a
lze
ji
získat
na
webu
http://www.padowan.dk/. Instalační soubor má velkost 9,6 MB, po bezproblémové a rychlé instalaci zabírá program 24,5 MB na disku. Program je primárně určen pro operační systém Windows, případně funguje i pod OS X, operačním systém společnosti Apple. Program i nápověda mají různé jazykové mutace včetně češtiny. Po spuštění programu se objeví hlavní okno, viz obrázek 3.3. Toto okno má v pravé části oblast grafu se souřadnicovým systémem. V této oblasti se vykreslují grafy funkcí, které uživatel zadá. Použitím položek menu nebo tlačítky na liště nástrojů lze vyvolat různá dialogová okna, pomocí kterých vkládáme funkce, upravujeme je, mažeme je, skrýváme je atd. Lištu nástrojů je možné přizpůsobit svým potřebám. Stavový řádek na spodním okraji okna ukazuje ve své levé části nápovědu k tlačítkám na liště nebo jiné informace, v pravé části potom souřadnice polohy ukazatele myši v oblasti grafu (Johansen, 201). V levé části okna nahoře je výpis zobrazených i skrytých objektů, dole se objevuje okno při použití výpočtu.
45
Obr. 3.3 Okno programu Graph Ze zajímavých funkcí tohoto programu je vhodné zmínit:
Možnost vykreslit regresní křivku posloupnosti bodů, které nemusí uživatel zadávat přímo do programu, ale lze je vložit ze souboru MS Excel.
Pro odpovídající průběh grafů funkcí je vhodné použít Zobrazení → Čtvercové, kdy jsou zachována stejná měřítka na obou souřadnicových osách.
Na osách lze nastavit zobrazení násobků π.
V Graphu si uživatel může definovat vlastní funkce a konstanty, což následně usnadní a zrychlí práci v programu.
Za povšimnutí stojí možnost animace, menu Výpočty → Animovat. Program umožňuje vytvořit animaci, krátké video, ve kterém mohou být použity objekty programu. V závislosti na změně předem definovaného parametru (Funkce → Vlastní funkce/konstanty), se vše „dá do pohybu“. Lze tedy animací ukázat např. vliv parametru na průběh funkce. 46
Objekty Graphu lze vkládat do aplikací obsahující funkci OLE (Object Linking and Embedding) klienta, např. produkty MS Office.
V programu je implementována funkce if, díky níž můžeme např. zadat funkci po částech.
Výstupem z programu je buď soubor s příponou .grf, se kterým jde dále v programu Graph pracovat, nebo obrázek ve formátu .emf, .svg, .bmp, .png, jpg, jpeg či .pdf.
Cabri Geometrie Programy Cabri Geometrie patří mezi placené programy dynamické geometrie. Existuje varianta Cabri II Plus pro konstrukce v rovině a Cabri 3D pro prostorovou geometrii. Zaměřme se na dynamickou geometrii v rovině. Počítačový program Cabri Geometrie byl vytvořen v 80. letech ve výzkumném pracovišti CNRS (Centre National De Recherche Scientifique) a na univerzitě Josepha Fouriera v Grenoble ve Francii. V současné době je program Cabri Geometrie vyvíjen a distribuován společností Cabrilog, kterou založil v březnu 2000 Jean-Marie Laborde, ředitel výzkumu v CNRS a virtuální otec celé rodiny Cabri (Bainville, 2003). Jak již bylo řečeno, program je placený a v České republice ho distribuuje výhradně firma Akermann Electronic Praha s. r. o. Pro představu uveďme, že školní multilicence stojí 18.643Kč
s DPH
(http://www.akermann.cz/standardni-it/software-cabri/vsechny-
licence.html). Program je možné vyzkoušet na 30 dní zdarma, přičemž všechny funkce programu jsou dostupné, ale po patnácti minutách se program zavře a také v něm nelze vytvořené konstrukce ukládat. Poslední verzi Cabri II Plus 1.4.5 je možné nainstalovat a používat v OS Microsoft Windows a OS X. Instalační soubor pro OS MS Windows má velikost 56 MB a pro instalaci na pevný disk program vyžaduje volný prostor 74 MB. Po spuštění programu se standardně otevře okno programu, jehož většinu zabírá prostor pro tvorbu konstrukcí, který je tvořen virtuálním listem papíru o velikosti 1 m × 1 metr. Pro manipulaci s rýsovacím prostorem slouží posuvník vlevo a dole. V horní části okna je umístěno panel Menu, pod ním panel nástrojů a úplně dole stavový řádek, ve kterém vidíme informaci, který nástroj je právě aktivní. V Menu → Nastavit můžeme zobrazit či skrýt panel grafiky (klávesová zkratka F9), který se zobrazuje v okně vlevo, a zápis konstrukce (klávesová zkratka F10), který se zobrazuje v okně napravo (viz obr.
47
3.4). V Menu → Nápověda si ještě můžeme zobrazit nebo skrýt Nápovědu (klávesová zkratka F1), jejíž informační panel se objevuje v dolní části okna nad stavovým řádkem.
Obr. 3.4 Okno programu Cabri II plus Program Cabri II Plus je intuitivní, lehce ovladatelný program dynamické geometrie. Snadnou manipulaci při konstrukci objektů a práci s nimi zajišťuje panel nástrojů, ve kterém si stačí vybrat ze sad (např. body, přímky, křivky, měření, texty a konstrukce) příslušný nástroj. Dále uveďme poznámky k programu.
Přestože je Cabri II Plus primárně program dynamické geometrie, lze právě díky dynamičnosti využít k vyšetřování vlastností funkcí a sestrojování jejich grafů, o kterém píše Musílek (2005).
Program, nápověda a manuál mají český překlad.
V Cabri II Plus lze vytvářet vlastní makrokonstrukce nebo používat předem připravené.
V programu můžeme využít funkci Krokovat konstrukci – postupné vykreslení obrázku po jednotlivých krocích.
48
Výsledné obrázky lze ukládat na disk jako Cabri soubory (.fig), kopírovat je do textových a grafických editorů, exportovat obrázky (.png), exportovat soubory pro CAS kalkulačky (TI-83/84, TI-89, TI-92, TI-92+, Voyage 200) nebo vytvářet applety na webových stránkách.
Nevýhodou programu je jeho zpoplatnění.
Portál http://www.pf.jcu.cz/cabri/ nabízí širokou nabídku informací a podpory.
GEONExT GEONExT patří mezi programy dynamické geometrie. Jeho doménou je tedy konstrukční geometrie, ale zároveň obsahuje některé výpočetní funkce, které zvětšují možnosti použití tohoto programu. Program, který byl vyvinut pracovníky Universität Bayreut v Německu jako následovník programu GEONET, je v licenci The GNU General Public License a je volně šiřitelný. Poslední verze programu GEONExT 1.74 je ke stažení na webu http://geonext.uni-bayreuth.de/. Instalační soubor, který obsahuje různé jazykové mutace včetně češtiny, má 9,5 MB a po instalaci zabírá program na disku 10,7 MB. Program si mohou nainstalovat uživatelé operačních systémů Microsoft Windows a Linux. K řádnému běhu programu je nutné mít nainstalovanou Javu. Po nainstalování a spuštění programu se otevře hlavní okno. Abychom ale mohli vytvářet konstrukce a používat další funkce programu, musíme nejdříve otevřít novou Kreslící plochu, která zaujímá největší část hlavního okna. V horní části okna je Menu, které obsahuje položky k ovládání a práci s programem, pod ním jsou některé funkce z Menu pro rychlý přístup a použití graficky znázorněny ikonou, viz obr. 3.5. V levé části je sloupeček Lišta nástrojů, ve které jsou ikony nástrojů z podmenu Objekty, díky nimž provádíme konstrukce bodů, kružnic, přímek, grafů atd. Dvojitým kliknutím na ikonu se nám „rozbalí“ podrobnější nabídka geometrických objektů. Lištu nástrojů si lze dle svých preferencí upravit v Menu → Úpravy → Nastavení. V dolní části hlavního okna nalezneme zleva ikony Vlastnosti objektu a Smazat a další nástroje z podmenu Náhled a Kreslicí plocha.
49
Obr. 3.5 Okno programu GEONExT Jak již bylo uvedeno, GEONExT je především program pro dynamickou geometrii. Umí však i další věci. Do jeho nástrojů patří v podmenu Graf funkce, Parametrická křivka a Křivka stopy, takže můžeme vykreslovat grafy předdefinovaných nebo námi zadaných funkcí zadaných explicitně či parametricky. Program obsahuje tzv. GEONExT algebra systém (zkratka GAS odkazuje na souvislost s CAS), vlastní výpočetní systém s předdefinovanými funkcemi, operacemi nebo konstantami. Na ukázku zmiňme funkce derivovat, integrovat nebo logické funkce a implementované konstanty π a e. Program umožňuje vytvářet screenshoty pracovní plochy a z nich pak jednoduchou diashow pro internetový prohlížeč, ve které je rozfázován postup konstrukce na jednotlivé kroky. Dalším výstupem, mimo soubor samotného programu s příponou .gxt, je export do webové stránky (html), bitmapový obrázek (.png) nebo soubor projektu Intergeo (.i2g) – více viz podkapitola 3.2.3. K nevýhodám
programu
patří
to,
že
v něm
není
možné
vytvářet
makrokonstrukce, což se hodí při složitějších konstrukcích, neobsahuje nápovědu 50
v češtině (dostupná je v němčině), a pravděpodobně nebude dále vyvíjen, neboť delší dobu nevyšla aktualizovaná verze a již existuje obecnější systém JSXGraph (http://jsxgraph.org). Online verze programu GEONExT lze spustit jako applet v internetovém prohlížeči na stránkách http://geonext.uni-bayreuth.de/index.php?id=2458, k čemuž je zapotřebí mít nainstalovanou a povolenou Javu.
GeoGebra GeoGebra je stále se vyvíjející multiplatformní, pro nekomerční použití volně dostupný program, který v sobě spojuje nejen algebru, matematickou analýzu a geometrii, ale umožňuje práci v dalších oblastech matematiky. Program GeoGebra začal v roce 2001 vyvíjet Markus Hohenwarter jako program pro výuku a učení se matematiky a v současné době na něm pracují vývojáři a překladatelé z celého světa. Program, který dostal několik ocenění za nejlepší vzdělávací software, je volně dostupný a poslední verze 5.0.122.0 je k bezplatnému stažení dostupná na http://www.geogebra.org/ pro operační systémy Microsoft Windows, Linux a Mac OS X. Instalační soubor má velikost 50 MB, po nainstalování na disk program zabírá 150 MB. Ke správné funkčnosti a běhu programu je třeba Java. V hlavním okně programu si můžeme otevřít okna v závislosti na tom, co chceme dělat. Od toho a podle vlastního uspořádání se odvíjí jeho vzhled. Na obrázku 3. vidíme vlevo Algebraické okno, uprostřed Nákresnu a vpravo CAS. Dále si můžeme otevřít okno Nákresna 2, Tabulka, Zápis konstrukce a od verze 5 také okno Grafický náhled 3D a Pravděpodobnostní kalkulačka. Předností GeoGebry je, že objekty v jednotlivých oknech jsou spolu provázány, tzn. jakmile v jednom okně provedeme změnu objektu, okamžitě se projeví v druhém okně. K dalším částem hlavního okna patří nahoře umístěné Menu, pod ním Panel nástrojů a v dolní části Vstupní pole.
51
Obr. 3.6 Okno programu GeoGebra Vstupní pole je zásadním prvkem GeoGebry, který z ní dělá výjimečný program mezi ostatními programy dynamické geometrie. Můžeme tak zadávat algebraickým zápisem objekty, které se zobrazí i geometricky v nákresně, a nejen je, ale i další příkazy a operace s objekty. Práci s programem nám usnadňuje Panel nástrojů. Ten se mění v závislosti na tom, ve kterém okně právě pracujeme, a podle toho nám k tomu nabízí určené nástroje. Pomocí tlačítek panelu nástrojů můžeme do aktivního okna vkládat objekty, manipulovat s nimi, zjišťovat jejich vlastnosti a vzájemné vztahy, provádět výpočty, další operace a jiné úpravy. Kliknutím na šipečku umístěnou vpravo dole na každém tlačítku otevřeme nabídku dalších tematicky zaměřených možností, mezi kterými pak můžeme libovolně přepínat. Celkově je ovládání programu jednoduché a program nabízí široké možnosti využití (Viz Honzík, Tichý, 2010.). Nyní vypišme několik předností či zajímavých vlastností programu.
Jedním z mnoha nástrojů GeoGebry je Posuvník, kterým zadáváme proměnný parametr, čímž se ještě více zvyšuje interaktivnost programu.
Bohatá nabídka umožňuje uložení či výstup vyhotovené práce jako: soubor GeoGebra (.ggb), dynamický pracovní list HTML, obrázek (.png, 52
.svg, .pdf, .eps, .emf), tisk na papír, zdrojový soubor pro LaTeX, applet nebo publikovat konstrukci na GeoGebraTube (viz podkapitola 3.2.3).
Program samotný, manuál i webové stránky programu jsou, kromě mnoha jiných jazyků, v češtině.
Kdo nechce GeoGebru instalovat, může používat online verzi.
GeoGebra existuje ve verzi pro tablety a připravuje se verze pro telefony SmartPhone.
Derive Derive patří mezi počítačové algebraické systémy (CAS). Program provádí numerické i symbolické výpočty, vykresluje grafy v rovině i prostoru. Program Derive vyvinula americká firma Texas Instruments. Jejich produkt je placený, ale vzhledem k tomu, že roku 2007 byl vývoj ukončen, nelze ho již zakoupit. Distribuci
české
lokalizace
programu
zajišťovala
firma
Europeon
(http://derive.europeon.cz) a školní multilicence pro základní či střední školy vyšla na 16.256 Kč s DPH. Poslední dostupná verze programu byla verze 6.1 pro OS Microsoft Windows. Instalační soubor má necelých 6 MB a po snadné instalaci program zabírá 10 MB na disku. Po spuštění programu nás uvítá hlavní okno, ve kterém provádíme veškeré výpočty, úpravy a příkazy, tzv. algebraické okno. V horní části se nachází Menu a pod ním panel nástrojů, což je v podstatě grafická verze Menu. Vlevo dole najdeme panel Řecká písmena, vpravo panel Matematické symboly a nad těmito panely Vstup výrazu, do kterého vepisujeme příkazy, výrazy atd. Nad ním je ještě jakýsi stavový řádek. Kromě algebraického okna můžeme otevřít 2D-grafické okno a 3D-grafické okno pro znázornění příslušných grafů. Potom je vhodné si okna uspořádat, což nastavíme v Menu → Okno a zvolit Kaskáda, Horizontální dlaždice nebo Vertikální dlaždice (viz obr. 3.7). V závislosti na tom, v kterém okně právě pracujeme, se přizpůsobuje i Menu a panel nástrojů.
53
Obr. 3.7 Okno programu Derive Naučit se základy práce s programem Derive je poměrně jednoduché. Existují návody, např. od Haška (2004), materiály a velice užitečná je i nápověda programu, kde nalezneme všechny příkazy a funkce programu. Program Derive je užitečným pomocníkem pro své numerické i symbolické výpočty, úpravy výrazů, řešení (i grafické) rovnic, nerovnic, soustav a matic, schopnost vypočítat limity, derivovat, integrovat, kreslit grafy funkcí (díky posuvníku i animace s proměnnými parametry) a další.
Za zmínku stojí možnost
programování
v jednoduchém jazyce programu.
Mathematica Mathematica je počítačový program, který nabízí široké spektrum využití – nejen v matematice, ale ve vědě, technice, ekonomii, fyzice, geografii a dalších odvětvích.
54
U zrodu programu stál Stephan Wolfram, který založil společnost Wolfram Research, Inc. Tato společnost od roku 1987 až do současnosti vyvíjí software Mathematica. Ten byl revoluční ve své komplexnosti. Do té doby totiž byly programy úzce zaměřeny na řešení úloh např. numerických, algebraických, grafických a jiných (Chramcov, 2005). Program je placený a v ČR ho distribuuje společnost ELKAN, spol. s r.o. (http://www.mathematica.cz/index.php). Střední školy pro používání poslední verze Mathematica 10 mohou zvolit buď celoškolní trvalou licenci (škola do 1 000 žáků – 39 090Kč), nebo pronájem celoškolní licence (škola do 1 000 žáků: 726 GBP/rok). Program lze nainstalovat pro operační systémy MS Windows, Mac OS X a Linux. Instalační soubor má 1,86 GB a pro instalaci je potřeba 8,8 GB místa na disku. Výpočty, grafické znázorňování, simulace a další se vytváří v okně, tzv. Notebooku. V něm se pracuje v buňkách, do kterých zadáváme příkazy a informace k výpočtu a ve kterých se zobrazují výsledky. Práci v Notebooku usnadňují Palety, které pomáhají jednoduchým způsobem používat jednotlivé funkce programu, a také našeptávač, který se aktivuje, jakmile začneme formulovat příkaz v buňce. Pokud neznáme odpovídající syntaxi příkazu, můžeme použít tzv. „volný jazykový vstup“. Po zadání vstupu v anglickém jazyce ho Mathematica převede do syntaxe programu a následně provede příslušný výpočet (Říha a kol., 2012). Nebo necháme program využít server Wolfarm|Alpha a dostaneme zpracované výsledky a data jak z internetového vyhledávače (viz podkapitola 3.2.3). Dalším pomocníkem je interaktivní nápověda (Help → Wolfram Dokumentation), která kromě vysvětlení obsahuje i názorné příklady, nebo příručky autorů Wellin a Calkins (2011) nebo Mangano (2010).
55
Obr. 3.8 Okno programu Mathematica Upozorněme ještě na některá fakta k programu Mathematica:
Program
obsahuje
příkazy
Manipulate
a
Animate
k vytváření
interaktivních objektů (změna parametrů např. funkce nebo rovnice).
Programovací jazyk, příkazy i nápověda jsou pouze v anglickém jazyce, stejně tak i mnoho příruček k programu.
Mathematica má využití v nejrůznějších oborech.
Software umožňuje kromě provádění výpočtů a vykreslování 2D i 3D grafů tvorbu prezentací, testů i publikací.
Díky programu Mathematica Player si kdokoli může zobrazit již vyhotovené skripty v internetovém prohlížeči bez nutnosti instalace programu Mathematica.
56
Maxima Tento volně dostupný program se řadí mezi systémy počítačové algebry. Je vhodný k algebraickým výpočtům a zobrazování grafů ve 2D i 3D. Software Maxima vychází ze systému Macsyma, což byl první systém založený na symbolických výpočtech, který inspiroval další komerční algebraické systémy jako např. Maple a Mathematica. Maxima i její grafické rozhraní wxMaxima jsou volně šiřitelné programy, jejich využívání pro nekomerční účely je zcela zdarma, dostupné na http://maxima.sourceforge.net/. Jedná se o licenci The GNU General Public License (http://home.pf.jcu.cz/~math4all/vyuziti_pocitacu_wxmaxima_u.php).
Program
je
možné používat v OS MS Windows, Mac OS X a Linux a existuje i verze pro Android. Instalační soubor verze 5.35.1, kterou popisujeme, vydané 25. 12. 2014 má velikost 51 MB a po jednoduché instalaci program zabírá 210 MB na disku. Grafické rozhraní wxMaxima je verze 14.12.1. Pro zajímavost uveďme, že 6. 5. 2015 vyšla verze Maxima 5.36.1. Po spuštění grafického prostředí wxMaxima uvidíme hlavní okno programu (viz obrázek 3.9) a zjistíme, že prostředí je automaticky v češtině. Ovšem příkazy a jejich parametry a nápověda k programu zůstává v angličtině. V horní části hlavního okna nalezneme Menu a pod ním panel nástrojů, ve kterém jsou ikony pro nejpoužívanější akce.
57
Obr. 3.9 Okno programu wxMaxima Díky panelu nástrojů lze program ovládat bez hlubší znalosti samotného programu a hlavně příkazů k akcím a výpočtům. Začátečníkům mohou být ku prospěchu užitečné tipy zobrazované při spuštění programu (lze vypnout). Příkazy se jinak zapisují do buněk jako vstup např. (%i3), odpověď programu je výstup označený (%o3). Program umožňuje vkládání textu a lze v něm tak vytvořit např. studijní oporu. Kromě uložení souboru grafického prostředí wxMaxima s příponou .wxm lze výsledky exportovat do html stránek a do formátu TeX. V programu si uživatel může definovat vlastní výrazy a funkce, což mu zrychluje a usnadňuje práci. Program je celkově vhodný pro jednoduché výpočty, úpravy výrazů, řešení rovnic a jejich soustav, maticový počet, diferenciální a integrální počet, vykreslování grafů a další.
58
Microsoft Excel a OpenOffice Calc Jak jeden tak druhý výše jmenovaný SW patří do skupiny tabulkových procesorů. Ty slouží ke zpracování informací a dat, programování a provádění výpočtů a k vizualizaci výsledků. Oba programy jsou si velice podobné co do vzhledu (na obrázku 3.10 je vidět okno programu MS Excel, ve kterém je v horní části panel nástrojů Rychlý přístup, pod ním menu v podobě Pásu karet, Pole názvů s Řádkem funkcí, tabulka a v dolní části stavový řádek), ovládání i toho, co dovedou. Jsou součástí tzv. kancelářských balíků, skupiny vzájemně propojených a podporujících se softwarových produktů pro využití v kanceláři. MS Excel patří do balíku Microsoft Office pro OS Windows a Mac OS X, OpenOffice Calc od Apache OpenOffice pro OS Windows, Mac OS X, Linux a další. Zásadním rozdílem mezi nimi je, že kancelářský balík Apache OpenOffice je zdarma ke stažení na http://openoffice.apache.org/. Vzhledem k faktu, že MS Excel je mezi uživateli počítačů rozšířený a známý, nebudeme se jím nyní dále zabývat. Ukázku možného využití uvedeme v kapitole 5.
Obr. 3.10 Okno programu MS Excel
59
3.2.3 Podpora výuky prostřednictvím internetu Internet je mohutnou a stále dynamicky se rozvíjející studnicí informací, troufám si říci, všeho druhu a zasahující do každé oblasti (Hátle, 2008). Internet a jeho využití pro podporu výuky je nedílnou součástí implementace ICT do vzdělávání. Na internetu existuje spousta českých a zahraničních webových stránek s informacemi a materiály ke vzdělávání určených pro učitele, žáky i širokou veřejnost. Metodický portál RVP.CZ (http://rvp.cz/) Původním smyslem a cílem tohoto webu byla metodická podpora učitelů při zavádění RVP ve školách. Postupně se portál rozšiřoval o další celky a v současnosti zde uživatelé mohou nalézt články, výukové materiály, e-learningové kurzy, diskuzi a další informace. V portálu je začleněn dříve samostatně fungující web Učitelský spomocník (http://spomocnik.cz/), jehož cílem bylo přispět ke zvýšení schopnosti našich učitelů pracovat s moderními technologiemi, přispět k jejich umění využívat tyto technologie správným způsobem a co nejefektivněji (http://spomocnik.rvp.cz/).
DUMy.cz (http://dumy.cz/) DUMy.cz je internetový portál, který má za cíl nabídnou pomocnou ruku pedagogům a školám při tvorbě, sdílení a archivaci digitálních učebních materiálů vzniklých v rámci projektu EU Peníze školám (http://dumy.cz/). Pro návštěvníky portálu je připraven vyhledávač umožňující nalézt a následně stáhnout požadovaný učební materiál. Portál o školství a vzdělávání INFO.EDU.CZ (http://info.edu.cz/) Portál INFO.EDU.CZ poskytuje služby:
v rovině informační - jako jednotný a komplexní systém informací o školství, výchově a vzdělávání;
v rovině komunikační - jako komunikační platforma pro poradenství, výměnu názorů a zkušeností mezi školami, institucemi státní správy a koncovými uživateli;
60
v rovině vzdělávací - jako zdroj informací a metodické podpory vhodných
pedagogických
a
vzdělávacích
metod
a
nástrojů
(http://info.edu.cz/). Zdrojem informací, které není nutné dále představovat či komentovat, je web Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR (http://www.msmt.cz/) nebo České školní inspekce (http://www.csicr.cz/). Své místo na internetu má také matematika. Najdeme zde stránky základních a středních škol, kde organizují matematické kroužky, semináře a projekty, stránky fakult a kateder vysokých škol a univerzit zabývajících se matematikou, osobní stránky studentů a učitelů matematiky, či lidí, pro které je matematika velkým zájmem a koníčkem (Hátle, 2008). Jak již bylo uvedeno v předchozí podkapitole, některé programy fungují bez nutnosti jeho instalace v okně internetového prohlížeče. U některých programů lze vytvářet applety pro internetové prohlížeče. Existují webové stránky, které se zaměřují na podporu výuky právě díky appletům, flashovým animacím, videím, výukovým materiálům, diskuzím, námětům k výuce a dalším. Při používání internetových stránek a zdrojů by však měl být uživatel obezřetný a dávat si pozor na správnost a odbornost předkládaných informací, pokud se nejedná o oficiální webové stránky společností a institucí, a nevěřit slepě všemu, co na internetu objeví. Učitel matematiky, který se rozhodne použít ve výuce internet (applet, online program atp.), si musí uvědomit riziko, že mu plány může překazit např. výpadek internetového připojení, momentální nedostupnost webové stránky aj. V následující části, jsou některé webové stránky vyjmenovány a krátce představeny.
e–Matematika (http://www.e-matematika.cz/) Portál s podtitulem „Nesnesitelně snadná matematika“ se snaží uspokojit poptávku žáků, studentů i učitelů všech typů škol (ZŠ, SŠ a VŠ). Nabízí texty, ukázkově řešené příklady, příklady k procvičení, písemky i čtvrtletní práce některé zdarma, některé za poplatek.
Matematika.cz (http://www.matematika.cz/) Portál Matemtika.cz se skládá ze dvou hlavních částí. První částí je „Matematika polopatě“ (dříve na http://matematika.havrlant.net a jako Matweb.cz) zaměřená na žáky a studenty základních, středních a vysokých škol, kteří zde naleznou srozumitelně 61
napsané texty, vysvětlené postupy, příklady a testy. Druhou částí je „Matematické fórum“, které slouží k hledání materiálů, rad nebo odpovědí na otázky formou diskuzního fóra.
Cifrikova Matematika (http://www.matematika.webz.cz/obsah/) Na stránkách zájemce nalezne teorii a řešené příklady, obojí si může ve většině případů stáhnout ve formátech .doc, .pdf nebo .zip. Stánky jsou rozděleny do kategorií: algebra, matematická analýza, ostatní, vzkazy, hry (logické a další online hry, online kalkulačka) a odkazy. Sám autor upozorňuje, že stránky nejsou bez chyb.
Intergeo – Společná interaktivní geometrie pro Evropu (http://i2geo.net) Projekt EU, jenž byl realizován v letech 2007 – 2010, měl za cíl vytvořit databázi hodnocených a dobře vyhledatelných materiálů dynamické geometrie pro výuku matematiky v celé Evropě a společný souborový formát (http://i2geo.net). Na portálu je ke stažení několik tisíc vytvořených materiálů ve formátech DGS, většina jich není v češtině. Matematika – fyzika – informatika (http://mfi.upol.cz/index.php/mfi) Webové stránky časopisu pro výuku na základních a středních školách, Matematika – fyzika – informatika, jsou cenným zdrojem informací pro pedagogy a zájemce o matematiku, fyziku nebo informatiku. Na stránkách lze najít příspěvky z aktuálního čísla časopisu i jeho archiv. Nezanedbatelná část článků se věnuje využití počítačů a softwaru ve výuce matematiky.
GeoGebraTube (http://tube.geogebra.org/) GeoGebraTube je webový portál, na němž uživatelé sdílí své vyhotovené interaktivní materiály v programu GeoGebra s ostatními. Funguje tak jako knihovna nápadů, demonstrací a vypracovaných úloh, kterých je přes dvě stě tisíc v nejrůznějších jazycích.
GeoGebra online (http://web.geogebra.org/app/) Jak již bylo uvedeno v předchozí podkapitole, program GeoGebra lze používat online bez nutnosti instalace na počítač. Veškeré ovládání a funkce programu zůstávají zachovány. K funkčnosti appletu v internetovém prohlížeči je nutná Java. 62
Vypočítej to – online kalkulačky a výpočty (http://www.vypocitejto.cz/) Tyto webové stránky se dělí na kategorie Matematika, Převody jednotek, Finance, Energie a paliva a BMI kalkulačka. V jednotlivých kategoriích zájemce nalezne online kalkulačky pro různé výpočty. V Matematice to jsou např. výpočty obsahu a obvodu rovinných útvarů, objem a povrch těles, řešení rovnic atd. Matematické výpočty online (MAW) (http://user.mendelu.cz/marik/maw) Aplikace Mathematical Assistant on Web (MAW) je původní aplikace vyvíjená od roku 2007 na Ústavu matematiky Mendelovy univerzity v Brně. Jedinečnost této aplikace spočívá v tom, že zobrazuje nejenom výsledek, ale i postup výpočtu úlohy. Jedná se o nadstavbu nad výpočetním jádrem založeným na open-source systému počítačové
algebry
Maxima.
(http://user.mendelu.cz/marik/akademie/).
Online
kalkulátory určí vlastnosti, průběh a graf funkce, spočítají derivace a integrály či vyřeší nerovnice a jejich soustavy a diferenciální rovnice.
Wolfram|Alpha (http://www.wolframalpha.com/) Tento portál plně využívá server Wolfram|Alpha nejen k matematickým výpočtům ale i ke zjištění informací z nejrůznějších oborů. Tuto funkci má v sobě integrovanou program Mathematica, zde je volně přístupná na internetu. Funguje jako webový vyhledávač. Do vyhledávacího pole stačí zadat srozumitelný vstup v angličtině, na který dostaneme odpověď v podobě internetové stránky s různými možnými výsledky opět v angličtině. Nutnost používání angličtinx může být pro některé uživatele omezující. V oblasti matematiky pak můžeme provádět výpočty jako na kalkulačce, zobrazovat 2D a 3D grafy, řešit rovnice, nerovnice a jejich soustavy, derivovat, integrovat atd. Podrobněji se tématu Wolfram|Alpha věnuje Honzík (2013) a Říha, Látal a Říhová (2015).
63
3.3 Obecné aspekty použití ICT ve výuce Příprava hodiny podporované počítačem není zcela jednoduchá a přináší učiteli některé problémy a otázky, které musí řešit a zodpovědět (Hátle, 2007).
Jednou z prvních otázek by mělo být, jaké hardwarové prostředky ICT bude učitel používat. Samozřejmě, že může použít ty, které má škola k dispozici, a které jsou pro výuku v učebně dostupné. Musí také rozhodnout, zda bude používat počítač, příp. notebook, a dataprojektor, nebo počítač (notebook) a interaktivní tabuli, příp. interaktivní projektor, nebo zda má možnost jít se třídou do počítačové učebny (učebny vybavené notebooky), za předpokladu, že ta je pro výuku jiného předmětu než ICT volná a přístupná.
S prvním bodem úzce souvisí volba metod vyučování. Jestliže učitel chce předložit žákům novou látku, použije metodu slovní, např. vyprávění, vysvětlování nebo přednáška (Maňák, Švec, 2003), a postačí mu počítač (notebook) a dataprojektor s připravenou prezentací. Pro větší interaktivitu a zapojení žáků je vhodné s využitím počítače a interaktivní tabule aplikovat některou z metod názorně-demonstračních (dle Maňáka a Švece (2003) jsou to předvádění a pozorování, práce s obrazem, instruktáž). Pokud chce, aby si žáci sami osvojili nové poznatky, objevili platné zákonitosti atd., použije některou z metod
dovednostně-praktických
(např.
manipulování,
laborování
a
experimentování) nebo aktivizující metody. K tomu je nejvhodnější uskutečnit výuku v počítačové učebně.
Učitel se také musí rozhodnout, jaký software, který má k dispozici, je vhodný k aplikaci a bude proto použit. Je zřejmé, že učitel musí mít přehled o tom, které programy má škola k dispozici a že tyto programy zná a ovládá. V podstatě podle nich volí učivo prezentovatelné užitím těchto programů. V případě, že zná vhodný program, který by uplatnil při výuce, dá impuls vedení školy k jeho zakoupení, pokud to není volně šiřitelný software (Hátle, 2007). V praxi často učitel vyhledává a používá programy dostupné zdarma.
Důležitým aspektem je, aby se žáci příliš nezabývali a časově nezdržovali s ovládáním a použitím programu, ale aby jim práce v programu přinesla co nejvíce nových a užitečných poznatků (Hátle, 2007). Pokud je pro žáky 64
náročnější a zdlouhavější naučit se pracovat s programem, než si pak díky programu osvojit nové poznatky, pozbývá použití počítače ve výuce smysl. Petty (2008) pak pokládá otázku, zda nebude žákům trvat seznamování s ovládáním programu natolik dlouho, že jeho vzdělávací hodnota nebude stát za to. Proto je zásadní rolí učitele, zvážit pro a proti tohoto aspektu, a rozhodnout o použití, nebo nepoužití programu, případně zvolit takový program, pokud ovšem má možnost nějaký takový program zvolit, který není úzce zaměřen pouze na některou část učiva, ale lze ho použít v nejrůznějších situacích a probíraných tématech.
Na učiteli, na jeho znalostech, schopnostech a uvážení, závisí, zda zvolené učivo vyložené pomocí ICT bude pro žáky přínosné.
Učitel by měl dobře rozmyslet frekvenci využití ICT při výuce. V rozumné míře je využití přínosné, ozvláštňující, motivující, podporující názornost a lepší zapamatování poznatků (vnímaných více smysly) atd. Ale je třeba mít na paměti, že příliš časté používání ICT ve výuce může mít také negativní efekt!
Je nutné si uvědomit, že veškeré učební pomůcky realizované prostřednictvím počítače (prezentace, programy, pořady atp.) jsou pouhými pomůckami a zprostředkovateli, nikoliv cílem výuky. K dosažení cílů jen napomáhají (Dostál, 2007).
Pokud učitel používá nějaký program, především v počítačové učebně, kde s ním pracují také žáci, je žádoucí, aby tento program měli k dispozici žáci i doma.
Učitel nevyužívá počítač a ICT jen ve výuce samotné, ale i jinými způsoby, které pak mají dopad a vliv na výuku. Prostřednictvím počítače a internetu se vzdělává, sleduje odborné informace, připravuje se na výuku, vytváří si přípravy, učební materiály, sbírky příkladů, zadání písemných prací a domácích úkolů a je tak aktivním uživatelem.
65
II. Empirická část 4 Příprava, realizace a vyhodnocení výzkumu
V této kapitole se budeme věnovat přípravě, realizaci a vyhodnocení výzkumu, který je zaměřen na zjištění současného stavu možnosti a realizace využití informačních a komunikačních technologií ve výuce matematiky na středních školách v České republice. Informační a komunikační technologie neustále přibývají, vyvíjí se a více a více ovlivňují každodenní život. Zde vyvstalo několik výzkumných otázek, které jsme chtěli podrobit dalšímu zkoumání.
Jaká je četnost používání ICT v hodinách matematiky na SŠ?
Jaká je vybavenost škol prostředky ICT?
Používají učitelé ICT ve výuce? Do jaké míry?
Existuje významný rozdíl mezi učiteli matematiky s druhou aprobací ICT a učiteli matematiky s druhou jinou aprobací v používání ICT ve výuce matematiky?
Jakou odbornou literaturu, časopisy a zdroje k výuce matematiky s využitím ICT učitelé sledují?
V čem učitelé matematiky ze SŠ spatřují výhody a nevýhody v použití ICT ve výuce matematiky?
Jakou podporu by učitelé uvítali pro výuku matematiky s počítači?
Spolu s těmito otázkami byly formulovány hypotézy:
Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají druhou aprobaci ICT, používají ICT ve výuce častěji.
Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají delší pedagogickou praxi, nepoužívají ICT ve výuce častěji.
Počítačové učebny se pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách používají stejně často. 66
4.1 Příprava a realizace 4.1.1 Tvorba dotazníku Pro zjištění situace a získání odpovědí k výše uvedenému tématu byla zvolena metoda dotazníku, kterou písemným kladením otázek respondentům získáváme příslušné písemné odpovědi a jejíž výhodou je především možnost získat velké množství informací při malé časové náročnosti (Emanovský, 2013). Dotazník byl sestaven s ohledem na základní pravidla pro tvorbu otázek (Chráska, 1998):
Položky v dotazníku musí být všem respondentům jasné a srozumitelné.
Musíme respektovat to, jakým respondentům je dotazník určen (věk, vzdělání, motivace).
Položky v dotazníku by měly být formulovány co možná nejstručněji.
Formulace položek v dotazníku musí být naprosto jednoznačná a nesmí připouštět chápání více způsoby.
Dotazník by neměl být příliš rozsáhlý.
Dotazník musí vždy obsahovat jasné pokyny k vyplňování.
Při konstrukci dotazníku je třeba dbát na to, aby získané údaje bylo možno snadno třídit, tabelovat a zpracovávat. Forma dotazníku a jeho distribuce byla zvolena, namísto obvyklé papírové,
elektronická. Dotazník byl vytvořen v aplikaci Formuláře Google. Tato služba je zdarma a uživatel si jen musí vytvořit účet a přihlásit se. Při tvorbě si vybere vzhled formuláře a dále vkládá úvodní text, jednotlivé otázky, u kterých si vybírá z nabídky typu odpovědí, např. text, zaškrtávací políčka, měřítko a další, a na závěr poděkování. Po vypracování stačí vygenerovat odkaz (URL) na dotazník a rozeslat ho e-mailem respondentům.
67
4.1.2 Sonda a předvýzkum Nejdříve ale byla provedena sonda v podobě konzultace se školitelem a interview s několika učiteli a předvýzkum. Cílovou skupinou pro předvýzkum, který proběhl na začátku března 2015, byli zvoleni učitelé matematiky středních škol v Olomouckém kraji. Na základě zkušeností z předvýzkumu byly některé otázky v dotazníku přeformulovány a upraveny, např. otázka 1.1 byla pro snazší vyhodnocení změněna z otevřené otázky na otázku s výběrem jedné možnosti ze tří nabízených, u otázek 1.2 a 1.3 byly navýšeny počty tříd k odpovědi, u otázek 1.7, 2.5 a 3.6 byly doplněny některé programy atd.
4.1.3 Dotazníkové šetření V následném dotazníkovém šetření byli cílovou skupinou učitelé matematiky středních škol v celé České republice, kromě těch z předvýzkumu. Před realizací celého výzkumu jsem z internetových stránek krajských úřadů získal volně přístupné seznamy školských zařízení v daném kraji a na jejich základě vytvořil kompletní databázi všech středních škol ČR. Z této databáze středních škol byly použity e-mailové adresy k oslovení ředitelů s prosbou o předání dotazníku (viz příloha č. 1) předsedům předmětových komisí pro matematiku a učitelům matematiky. Jednalo se celkem o téměř jeden tisíc jedno sto e-mailových zpráv, z nichž 63 se vrátily jako nedoručitelné. Pět škol reagovalo, že se z objektivních důvodů dotazníkového šetření nezúčastní. Vyplněných dotazníků se tazateli z celé republiky vrátilo celkem 323. Dotazník byl anonymní, z osobních otázek bylo potřeba vyplnit pouze pohlaví respondentů, délka pedagogické praxe a vystudované aprobace. Rozdělen byl do čtyř částí. Po úvodním oslovení a podání informací k dotazníku jsme v první části dotazníku zjišťovali informace o škole, na níž respondent vyučuje. Ve druhé části jsme se chtěli dozvědět údaje o respondentovi, v další části byly položeny otázky ohledně výuky matematiky a využití ICT a závěrečné čtyři otázky měly zjistit zhodnocení daných témat.
68
4.2 Analýza získaných dat Po získání a shromáždění dotazníků bylo provedena kontrola a byly vyřazeny ty dotazníky, které byly z velké části nevyplněny. Pro další zpracování jsme použili metodu třídění, kterou Chráska (2007) definuje jako postup, pomocí něhož zjišťujeme, kolik respondentů má společný buď jeden, nebo dva, popř. více společných znaků. Podle toho pak mluvíme o třídění prvního, druhého popř. třetího stupně.
4.2.1 Vyhodnocení získaných dat po otázkách Vyhodnocení získaných dat jsme provedli po jednotlivých otázkách, avšak tam, kde to bylo vhodné, jsme pro zajímavost přistoupili k třídění druhého stupně. Otázka č. 1.1 Druh střední školy, na které učíte:
Druh střední školy
Absolutní četnost
Relativní četnost
gymnázium
102
32 %
střední odborná škola
186
58 %
střední odborné učiliště
30
9%
neodpovědělo
5
1%
Tabulka 4.1 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.1 První otázkou jsme chtěli zjistit zastoupení učitelů z gymnázií, středních odborných škol a středních odborných učilišť v dotazníkovém šetření. Tento údaj jsme použili v dalším vyhodnocování pro třídění získaných dat.
69
Otázka č. 1.2 Celkový počet učeben školy:
35
absolutní četnost
30 25 20 15 10 5 0 1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 počet učeben
Graf 4.1 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.2 Školy, na kterých respondenti vyučují, mají průměrně 22 učeben, modus 𝑥̃ = 20 učeben a medián 𝑥̂ = 21 učeben. Zajímavá je zvýšená četnost odpovědí pro 20, 25 a 30 učeben, což lze interpretovat tak, že dotazovaní nevěděli přesný celkový počet učeben školy, a tak zaokrouhlili k výše uvedeným hodnotám. Překvapivým výsledkem je vysoká četnost u odpovědi 40 učeben. Je zřejmé, že některé školy jsou velké (např. školy, které vznikly sloučením několika samostatných škol do jednoho celku s vidinou snížení finančních nákladů zřizovatele) a mají celkem více než 40 učeben, což bylo nejvíce z nabízených možností, proto ji učitelé volili. Ačkoliv byla nabídka možností odpovědí v dotazníku navýšena na základě získaných dat z předvýzkumu, nebylo toto navýšení dostatečné.
70
Otázka č. 1.3 Počet učeben s počítačem a dataprojektorem:
100 90 absolutní četnost
80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 počet učeben
Graf 4.2 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.3 Školy, na kterých respondenti vyučují, mají průměrně 13 učeben s počítačem a dataprojektorem, modus 𝑥̃ = 20 takových učeben a medián 𝑥̂ = 14 učeben s počítačem a dataprojektorem. V předvýzkumu opět nebyla odhalena skutečnost o tak velkém maximálním počtu učeben s počítačem a dataprojektorem, aby byla ještě více navýšena nabídka odpovědí a dosažena větší přesnost šetření.
71
Otázka č. 1.4 Počet učeben s počítačem a interaktivní tabulí resp. interaktivním dataprojektorem:
60
absolutní četnost
50 40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
počet učeben
Graf 4.3 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.4 Průměrný počet učeben s počítačem a interaktivní tabulí resp. interaktivním dataprojektorem jsou čtyři, modus 𝑥̃ = 2, medián 𝑥̂ = 3. Vysoká četnost odpovědí u počtu deseti (nebo více) učeben vypovídá o úrovni vybavenosti škol touto technikou.
absolutní četnost
Otázka č. 1.5 Počet počítačových učeben:
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
počet učeben
Graf 4.4 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.5
72
10
více než 10
Nejvíce škol má dvě počítačové učebny (modus 𝑥̃ = 2), průměrně tři a medián 𝑥̂ = 3. Otázka č. 1.6 Počítačové učebny jsou pro výuku matematiky dostupné
odpověď
absolutní četnost
relativní četnost
běžně
88
28 %
mimořádně
194
62 %
vůbec
30
10 %
Tabulka 4.2 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.6 Z odpovědí vyplývá, že vyučovat matematiku v počítačových učebnách lze běžně na 28 % škol. Na 62 % škol se učitel matematiky do počítačové učebny dostane mimořádně a na 10 % škol vůbec. Otázka č. 1.7 Které z následujících počítačových programů k výuce matematiky má
Program
Vaše škola k dispozici?
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella Geonext GeoGebra Derive Mathematica Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint Ostatní 0
50
100
150
200
250
absolutní četnost
Graf 4.5 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.7
73
300
350
Microsoft Excel
OpenOffice Calc
Cabri
Cinderella
Geonext
GeoGebra
Derive
Mathematica
Maple
Maxima
MathCad
Microsoft PowerPoint
Ostatní
292
90
97
1
9
164
37
29
8
8
3
236
38
relativní četnost
94 %
29
31 %
0.3 %
3 %
53 %
12 %
9 %
3 %
3 %
1
76 %
12 %
program absolutní četnost
%
%
Tabulka 4.3 Četnosti odpovědí na otázku č. 1.7 Z tabulky 4.3 a přehledného grafu 4.5 vyplývá, že školy, resp. její zaměstnanci a hlavně dotazovaní učitelé matematiky, mají k dispozici pro podporu výuky a výuku matematiky k dispozici nejvíce programy Microsoft Excel a Microsoft PowerPoint, které jsou součástí kancelářského balíku Microsoft Office a jsou na většině počítačů s operačním systémem Windows. Z programů zaměřených na matematiku je nejdostupnější freeware GeoGebra (na 53 % škol), další velmi dostupná je Cabri Geometrie. Otázka č. 2.1 Pohlaví
absolutní četnost / relativní četnost
odpověď
SOŠ
G
SOU
celkem
žena
56
55 %
122
66 %
12
40 %
190
60 %
muž
45
45 %
63
34 %
18
60 %
126
40 %
Tabulka 4.4 Četnosti odpovědí na otázku č. 2.1 Z celkového počtu dotazovaných bylo 60 % žen a 40 % mužů, což odpovídá údajům Českého statistického úřadu o počtech učitelů a učitelek ve středním vzdělávání v uplynulých několika školních rocích (https://www.czso.cz/csu/czso/3-vzdelani1778). Jak můžeme vyhodnotit z tabulky 4.4, na gymnáziích je zastoupení mužů a žen 74
vyučujících matematiku poměrně vyrovnané, na SOŠ je rozdíl značný a počet žen a mužů je v poměru 2 : 1, naopak je tomu na SOU, kde působí více mužů, což je docela logické.
Otázka č. 2.2 Počet let učitelské praxe v předmětu matematika
30
absolutní četnost
25 20 15 10 5 0 0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 počet let praxe
Graf 4.6 Četnosti odpovědí na otázku č. 2.2 Průměrný počet let pedagogické praxe respondentů v předmětu matematika je 19,6 let, modus 𝑥̃ = 25 let a medián 𝑥̂ = 15 let. Tři dotazovaní uvedli počet let pedagogické praxe 0 let, což znamená, že učí první rok, nejvíce let praxe, 45, uvedli dva učitelé. Rozložení odpovědí je vidět v grafu 4.6. Z něho je patrné, že někteří učitelé zaokrouhlovali počet let pedagogické praxe k násobkům pěti. Otázka č. 2.3 Aprobace z matematiky
absolutní četnost / relativní četnost
odpověď
SOŠ
G
SOU
celkem
ano
100
99 %
167
91 %
26
87 %
293
93 %
ne
1
1%
17
9%
4
13 %
22
7%
Tabulka 4.5 Četnost odpovědí na otázku č. 2.3
75
7 % respondentů z celkového počtu dotazovaných uvedlo, že nemají aprobaci z matematiky. Při pohledu na tabulku 4.5 vidíme, že na gymnáziích tito učitelé tvoří jedno procento, ale na středních odborných školách 9 % a na středních odborných učilištích dokonce 13%. Tuto skutečnost můžeme vysvětlit dvěma způsoby, a to, že „ne“ odpovídali učitelé matematiky, kteří si svou způsobilost momentálně dostudovávají, nebo to jsou odborníci, učitelé odborných předmětů a experti z praxe, kteří mohou v současné době zatím na školách učit, pokud se řediteli konkrétní školy nepodařilo najít adekvátní náhradu. Druhé vysvětlení potvrzují odpovědi na následující otázku č. 2.4, kdy tito učitelé uvádějí jako druhou aprobaci již zmíněné odborné předměty a jiné. Otázka č. 2.4 Další aprobace:
absolutní četnost / relativní četnost
aprobace předmětu
SOŠ
G
SOU
celkem
fyzika
48
49 %
48
28 %
6
23 %
102
35 %
ICT
22
23 %
38
22 %
9
35 %
69
23 %
chemie
9
9%
26
15 %
3
12 %
38
13 %
biologie
12
12 %
14
8%
2
8%
28
9%
neodpovědělo
5
5%
14
8%
4
15 %
23
8%
zeměpis
6
6%
16
9%
1
4%
23
8%
deskriptivní geometrie
9
9%
10
6%
2
8%
21
7%
tělesná výchova
5
5%
6
3%
3
12 %
14
5%
základy techniky
0
0%
8
5%
4
15 %
12
4%
cizí jazyk
2
2%
8
5%
1
4%
11
4%
ostatní
3
3%
6
3%
0
0%
9
3%
odborné ekonomické předměty
0
0%
8
5%
0
0%
8
3%
hudební/výtvarná výchova
1
1%
4
2%
0
0%
5
2%
76
odborné předměty
0
0%
2
1%
1
4%
3
1%
odborné elektro předměty
0
0%
2
1%
0
0%
2
1%
odborné dřevařské předměty
0
0%
2
1%
0
0%
2
1%
odborné zemědělské předměty
0
0%
2
1%
0
0%
2
1%
Tabulka 4.6 Četnosti odpovědí na otázku č. 2.4 V tabulce 4.6 jsou předměty, které mají učitelé v aprobaci k matematice, seřazeny od nejvyšší četnosti po nejnižší. Nejvíce odpovídajících učitelů má jako druhou aprobaci fyziku, a to nejen celkově, ale i na všech druzích škol, přičemž na gymnáziích je jich výrazně více. Následující nejzastoupenější aprobací je ICT, kterou má 23 % učitelů. Následující chemie, biologie a další už tolik zastoupeny mezi respondenty nejsou. Pro zajímavost uveďme, že 54 dotazovaných sdělilo, že kromě aprobace z matematiky mají další dvě i více aprobací.
programy
Otázka č. 2.5 Které počítačové programy k výuce matematiky znáte?
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella Geonext GeoGebra Derive Mathematica Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint Ostatní 0
50
100
150
200
absolutní četnost
Graf 4.7 Četnosti odpovědí na otázku č. 2.5
77
250
300
350
Microsoft Excel
OpenOffice Calc
Cabri
Cinderella
Geonext
GeoGebra
Derive
Mathematica
Maple
Maxima
MathCad
Microsoft PowerPoint
Ostatní
302
107
181
12
37
221
88
136
72
20
29
255
39
relativní četnost
96 %
34 %
58 %
4 %
12 %
70 %
28 %
43 %
23 %
6 %
9 %
81 %
12 %
programy absolutní četnost
Tabulka 5.7 Četnosti odpovědí na otázku č. 2.5 Z odpovědí respondentů vyplývá, že k nejznámějším programům používaných k výuce matematiky patří MS Excel a MS PowerPoint (96 % a 81 %), následuje GeoGebra (70 %), Cabri (58 %) a Mathematica (43 %). Další programy byly uvedeny s četností menší než 35 %. Otázka č. 2.6 Sledujete odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky? Uveďte konkrétní názvy.
absolutní četnost / relativní četnost
odpovědi
SOŠ
G
SOU
celkem
neodpovědělo
55
54 %
105
56 %
17
57 %
177
56 %
ne
27
57 %
55
68 %
10
77 %
92
65 %
občas
2
4%
7
9%
0
0%
9
6%
Matematika – fyzika – informatika
2
4%
3
4%
1
8%
6
4%
10
21 %
3
4%
0
0%
13
9%
Chip, Počítač pro každého, PC World, Extra PC, Computer
78
webové stránky a internetové zdroje
7
15 %
7
9%
2
15 %
16
11 %
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Učitel matematiky
2
4%
4
5%
0
0%
6
4%
odborná literatura, učebnice, sborníky
1
2%
4
5%
0
0%
5
4%
Tabulka 4.8 Četnosti odpovědí na otázku č. 2.6 56 % respondentů na otázku č. 2.6 vůbec neodpovědělo. Z těch, kteří odpověděli, tak 65 % uvedlo, že nesledují odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky vůbec a 6 % pouze občas. 11 % vyhledává na internetu, 9 % sleduje časopisy o počítačích a 4 % časopis Matematika – fyzika – informatika. Otázka č. 3.1 Z celkového počtu Vámi vyučovaných hodin matematiky v rámci pololetí využíváte počítač + dataprojektor:
procentuální využití
0%
1–20 %
21–40 %
41–60 %
61–80 %
81–100 %
absolutní četnost
38
151
52
31
23
25
relativní četnost
12 %
47 %
16 %
10 %
7%
8%
Tabulka 4.9 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.1 Necelá polovina všech dotazovaných používá ve výuce matematiky počítač a s dataprojektorem v rozsahu 1–20 % z počtu vyučovaných hodin. 12 % respondentů nepoužívá tuto techniku vůbec a pouze 8 % využívá v maximálním rozsahu.
79
Otázka č. 3.2 Z celkového počtu Vámi vyučovaných hodin matematiky v rámci pololetí využíváte počítač + interaktivní tabuli resp. interaktivní dataprojektor:
procentuální využití
0%
1–20 %
21–40 %
41–60 %
61–80 %
81–100 %
absolutní četnost
156
95
23
16
15
12
relativní četnost
49 %
30 %
7%
5%
5%
4%
Tabulka 4.10 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.2 30 % respondentů využívá počítač a interaktivní tabuli resp. interaktivní dataprojektor v rozmezí 1 až 20 % z vyučovaných hodin matematiky a téměř celá polovina jich tuto techniku nepoužívá vůbec. Otázka č. 3.3 Z celkového počtu Vámi vyučovaných hodin matematiky v rámci pololetí využíváte počítačovou učebnu:
procentuální využití
0%
1–20 %
21–40 %
41–60 %
61–80 %
81–100 %
absolutní četnost
126
164
18
5
0
5
relativní četnost
39 %
51 %
6%
2%
0%
2%
Tabulka 4.11 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.3 Výuku
matematiky
v počítačových
učebnách
realizuje
61
%
všech
dotazovaných, drtivá většina z nich pouze v rozmezí 1 až 20 % z vyučovaných hodin matematiky, 39 % dotazovaných počítačové učebny k výuce matematiky nevyužívá.
80
Otázka č. 3.4 Jakým způsobem výše uvedené prostředky používáte:
způsob použití
absolutní četnost
relativní četnost
frontální výuka
235
81 %
řízená práce žáků
182
62 %
samostatná práce žáků
192
66 %
domácí práce žáků
113
39 %
ostatní
15
5%
Tabulka 4.12 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.4 Nejvíce učitelé matematiky používají informační a komunikační prostředky při frontální výuce, a to z 81 %. Velká část učitelů, 62 % a 66 %, používá ICT pro řízenou nebo samostatnou práci žáků a významná část (39 %) pro domácí práci žáků. Z ostatních způsobů využití uveďme: projektová výuka, zadání písemné práce nebo skupinová práce žáků. Otázka č. 3.5 Při kterém učivu je využíváte?
relativní četnost
učivo G
SOŠ
SOU
celkem
funkce
72 %
65 %
62 %
67 %
stereometrie
41 %
24 %
19 %
29 %
řešení rovnic a nerovnic
26 %
28 %
48 %
29 %
planimetrie
38 %
24 %
14 %
28 %
pravděpodobnost a statistika
22 %
22 %
0%
20 %
vždy
10 %
15 %
33 %
15 %
analytická geometrie
7%
19 %
5%
14 %
grafy
15 %
10 %
14 %
12 %
81
diferenciální a integrální počet (limity, derivace, integrály)
21 %
6%
0%
10 %
shodná a podobná zobrazení
12 %
9%
0%
9%
geometrie
10 %
5%
14 %
7%
kombinatorika
6%
8%
0%
7%
konstrukční úlohy
11 %
5%
0%
7%
goniometrie
7%
6%
5%
6%
algebraické výrazy a jejich úpravy
5%
6%
10 %
6%
posloupnosti a řady
5%
5%
0%
4%
řezy těles
5%
3%
0%
4%
kuželosečky
7%
1%
0%
3%
kdy se to hodí
2%
3%
0%
3%
objem a povrch těles
4%
1%
0%
2%
slovní úlohy
5%
0%
5%
2%
finanční matematika
4%
1%
0%
2%
komplexní čísla
5%
1%
0%
2%
logika a výroky
2%
0%
0%
1%
Tabulka 4.13 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.5 Přehled odpovědí na otevřenou otázku č. 3.5 nalezneme v tabulce 4.13, kde jsou položky seřazeny sestupně dle celkové relativní četnosti. Odpověď s výrazně nejvyšší relativní četností (67 %) je přiřazena k učivu matematické analýzy - funkcím, u kterého jsou nejvíce využívány ICT nezávisle na druh školy. Dalším učivem, při jehož výuce shodně necelých 30 % respondentů používá ICT, je planimetrie, stereometrie a řešení rovnic a nerovnic. 15 % učitelů uvádí, že používá ICT vždy, nezávisle na učivu. Porovnáním odpovědí učitelů z gymnázií, středních odborných škol a středních odborných učilišť můžeme vysledovat korespondenci mezi tím, co se na daném druhu středních škol v matematice s ohledem na rámcové vzdělávací programy vyučuje a co ne. Např. pravděpodobnost a statistika se v RVP pro obory středních odborných učilišť
82
nevyskytuje na rozdíl od RVP pro G a RVP pro obory SOŠ. To samé platí pro učivo shodná a podobná zobrazení. Protože učitelé SOU toto učivo s žáky neprobírají, nepoužívají k tomu ani ICT a v tabulce 5.13 je v příslušné kolonce 0 %.
programy
Otázka č. 3.6 Které počítačové programy k výuce matematiky používáte:
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella Geonext GeoGebra Derive Mathematica Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint Ostatní 0
50
100
150
200
250
absolutní četnost
OpenOffice Calc
Cabri
Cinderella
Geonext
GeoGebra
Derive
Mathematica
Maple
Maxima
MathCad
Microsoft PowerPoint
Ostatní
absolutní četnost
211
27
59
0
3
130
19
21
7
3
1
174
65
relativní četnost
76 %
10 %
21 %
0 %
1 %
47 %
7
8 %
3 %
1 %
0.5 %
62 %
23 %
program
Microsoft Excel
Graf 4.8 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.6
%
Tabulka 4.14 Četnosti odpovědí na otázku č. 3.6
83
Z grafu 4.8 je letmým pohledem vidět, že učiteli nejpoužívanějšími programy pro výuku matematiky je v sestupném pořadí MS Excel, MS PowerPoint a GeoGebra. Z ostatních
používaných
programů
uveďme
Graph,
Funkce,
WolframAlpha,
Graphmatica nebo Smart Notebook. Otázka č. 4.1 Jaké výhody vidíte v užití počítačů při výuce matematiky:
výhody
absolutní četnost
relativní četnost
úspora času
142
46 %
zvýšení názornosti
276
89 %
lepší motivace žáků
100
32 %
lepší aktivizace žáků
122
39 %
ostatní
22
7%
Tabulka 4.15 Četnosti odpovědí na otázku č. 4.1 Ze získaných odpovědí, jejichž četnosti jsou zaznamenány v tabulce 4.15, vyplývá, že učitelé spatřují největší výhodu použití počítačů při výuce matematiky ve zvýšení názornosti (89 %). Využití počítačů přináší časovou úsporu, což uvádí necelá polovina učitelů. Názor, že používání počítačů ve výuce matematiky žáky lépe aktivizuje, resp. motivuje, zastává 39 %, resp. 32 %, učitelů. Jako další výhody učitelé uvedli interaktivitu, přehlednost, přesnost (v geometrii při rýsování) nebo zpestření výuky.
84
Otázka č. 4.2 Jaké nevýhody má podle Vás užití počítačů při výuce matematiky:
absolutní četnost
relativní četnost
problémy s technikou
121
41 %
chybějící software
85
28 %
organizační problémy
111
37 %
náročná příprava
148
50 %
nedostatek dostupných materiálů
73
24 %
ostatní
60
20 %
nevýhody
Tabulka 4.16 Četnosti odpovědí na otázku č. 4.2 Polovina učitelů vidí jako nevýhodu použití počítačů v hodinách matematiky náročnost přípravy, 41 % jich varuje před problémy s technikou, 37 % uvádí organizační problémy a 28 % upozorňuje na chybějící software. Kromě nedostatku dostupných materiálů (24 %) učitelé dále vyjmenovávají pasivitu žáků (kteří se domnívají, že za ně počítač vymyslí a udělá vše sám), zastaralý či pomalý hardware, chybějící finance na software, časová náročnost a náročná kontrola žáků, aby dělali, co mají. Otázka č. 4.3 Jakou podporu byste uvítali pro výuku matematiky s počítači:
způsob podpory
absolutní četnost
relativní četnost
více počítačových učeben
75
27 %
školení o programech
114
40 %
didaktické příručky
104
37 %
webové stránky s materiály
182
64 %
nový software
54
19 %
ostatní
32
11 %
Tabulka 4.17 Četnosti odpovědí na otázku č. 4.3
85
Nejvíce by učitelé uvítali pro podporu výuky matematiky s počítači webové stránky s materiály (64 %), dále školení o programech (40 %), didaktické příručky (37 %), více počítačových učeben (27 %) a nový software (19 %). Dle svých vyjádření by ještě uvítali vyšší hodinovou dotaci matematiky, nový hardware, přenosná zařízení (notebooky nebo tablety) pro žáky nebo také aktivní žáky. Otázka č. 4.4 Budete nadále používat počítače ve výuce matematiky?
spíše ne 9%
ne 2%
nevím 7%
spíše ano 24%
ano 58%
Graf 4.9 Četnosti odpovědí na otázku č. 4.4 Z grafu lze snadno vyčíst jednoznačnou odpověď na otázku č 4.4. Více než polovina učitelů matematiky bude v hodinách dále používat počítače, čtvrtina odpověděla, že spíše ano, 9 % spíše nebude, 2 % ne a 7 % neví.
4.2.2 Další vyhodnocení získaných dat V předchozí podkapitole jsme vyhodnocovali dotazníky a z nich získaná data po jednotlivých otázkách. Nyní se zaměříme na vyhodnocení dat z několika otázek najednou.
86
V dotazníkovém šetření jsme se třikrát učitelů ptali na počítačové programy využitelné v hodinách matematiky. Pokaždé ale otázka zjišťovala něco jiného. V otázce č. 1.7 jsme se ptali, které programy mají respondenti na škole k dispozici, v otázce č. 2.5, které programy znají, a v otázce č. 3.6, které programy v hodinách matematiky používají. Jestliže zaměníme ve vyhodnocení pořadí otázek, získáme graf 4.10, ve kterém je znázorněno, kolik učitelů daný program „zná, má a používá“.
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella programy
Geonext GeoGebra
Derive Mathematica Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint 0
50
100
150
200
250
300
absolutní četnost Program, který učitelé znají. Program, který učitelé mají. Program, který učitelé používají.
Graf 4.10 Četnosti odpovědí na otázky č. 2.5, 1.7 a 3.6 Provedením kontroly ověříme korektnost zodpovězení otázek. U každého programu totiž platí vztah, že četnost odpovědí na otázku 2.5 je větší, než četnost odpovědí na otázku 1.7, která je vyšší než četnost odpovědí na otázku 3.6. Z grafu 4.10 můžeme identifikovat a následnou další prací s daty a výpočty ověřit některé zajímavé jevy.
Z počtu 302 respondentů (tj. 95 % ze všech dotazovaných), kteří znají MS Excel, ho 97 % má k dispozici.
87
350
Program Maple má k dispozici pouze 11 % učitelů, kteří tento program znají, ale z těch, kteří ho znají, ho 88 % používá.
Volně šiřitelný software OpenOffice Calc zná jedna třetina všech dotazovaných a velká část z nich (84 %) ho má k dispozici. Ale z těch ho používá jen 30 %. Celkové využití ICT při výuce matematiky na středních školách můžeme získat
z otázek 3.1, 3.2 a 3.3, ve kterých jsme postupně zjistili procentuální využití počítače a dataprojektoru, počítače a interaktivní tabule (interaktivního dataprojektoru) a počítačových učeben.
relativní četnost počítač + dataprojektor
počítač + interaktivní tabule / dataprojektor
počítačová učebna
celkem
0%
12 %
49 %
39 %
34 %
1–20 %
47 %
30 %
51 %
43 %
21–40 %
16 %
7%
6%
10 %
41–60 %
10 %
5%
2%
5%
61–80 %
7%
5%
0%
4%
81–100%
8%
4%
2%
4%
odpovědi
Tabulka 4.18 Četnosti odpovědí na otázky č. 3.1, 3.2 a 3.3
88
50% 45%
četnost odpovědí
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0%
1–20 %
21–40 %
41–60 %
61–80 %
81–100%
odpovědi
Graf 4.11 Celková četnost odpovědí na otázky č. 3.1, 3.2 a 3.3 Nejvyšší četnost odpovědí využití informačních a komunikačních technologií ve výuce matematiky je v rozsahu 1–20 % a průměrné využití je 17 %. Z grafu 4.11 je vidět kladné zešikmení rozdělení četností.
4.2.3 Ověřování statistických hypotéz Podle Chrásky (2007) je při ověřování hypotéz vhodné dodržovat následující postup. Hypotézy o vztazích mezi jevy, které jsme vyslovili před začátkem celého šetření, tzv. věcné hypotézy, je nutné nejdříve přeformulovat a převést na tzv. statistické hypotézy. Statistické hypotézy jsou hypotetická tvrzení o vztazích mezi jevy vyjádřená ve statistických termínech tak, aby tyto jevy bylo možno změřit. Statistickou hypotézu neověřujeme přímo, nýbrž vždy proti nějakému jinému tvrzení, obyčejně proti tzv. nulové hypotéze. Nulová hypotéza je domněnka, která prostřednictvím statistických termínů tvrdí, že mezi proměnnými, které zkoumáme, není vztah. Pokud se při statistické analýze ukáže, že nulovou hypotézu je možno odmítnout, přijímáme tzv. alternativní hypotézu. Pro ověření hypotéz použijeme v našem případě statistický test nezávislosti chí-kvadrát pro kontingenční tabulku, který je vhodný pro rozhodnutí, zda existuje závislost mezi dvěma jevy. Testování významnosti provedeme na hladině významnosti α = 0,05 nebo α = 0,01, což je pravděpodobnost (5 % resp. 1 %), že nesprávně odmítneme nulovou hypotézu. V každém políčku kontingenční tabulky jsou 89
zapsány tzv. pozorované četnosti P získané dotazníkovým šetřením a v závorkách tzv. očekávané četnosti O, což jsou vypočítané teoretické četnosti, které by odpovídaly platnosti nulové hypotézy. Pro každé pole kontingenční tabulky následně vypočítáme hodnotu
(𝑃−𝑂)2 𝑂
. Testové kritérium 𝜒 2 pak vypočítáme jako součet hodnot
(𝑃−𝑂)2 𝑂
pro všechna pole kontingenční tabulky. Pro posouzení vypočítané hodnoty 𝜒 2 je dále třeba určit počet stupňů volnosti kontingenční tabulky. Pro tabulku o r řádcích a s sloupcích určíme počet stupňů volnosti 𝑓 = (𝑟 − 1) ⋅ (𝑠 − 1). Na závěr pro vypočítaný počet stupňů volnosti a pro zvolenou hladinu významnosti nalezneme ve statistických tabulkách kritickou hodnotu testového kritéria a porovnáme s vypočítanou hodnotou testového kritéria. Jestliže je hodnota testového kritéria větší než hodnota kritická, musíme odmítnout nulovou hypotézu a přijmout hypotézu alternativní, jestliže je ale hodnota testového kritéria menší než hodnota kritická, nelze odmítnout nulovou hypotézu.
4.2.3.1 Vliv aprobace ICT na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky Jednou z otázek a hypotéz bylo, zda učitelé matematiky na SŠ, kteří mají jako druhou aprobaci ICT, používají ICT při výuce matematiky častěji. Ke zjištění odpovědi postupujme dle výše uvedených kroků. H10: Mezi četnostmi odpovědí na otázku frekvence používání ICT v hodinách matematiky a druhou aprobací učitelů není statisticky významná závislost. H1A: Mezi četnostmi odpovědí na otázku frekvence používání ICT v hodinách matematiky a druhou aprobací učitelů je statisticky významná závislost.
90
ICT
ostatní Σ
0%
1–20 %
21–40 % 41–60 % 61–80 %
81–100%
56
85
27
16
6
11
(65,4)
(88,2)
(19,8)
(11,3)
(7,1)
(9,2)
228
298
59
33
25
29
(218,6)
(294,8)
(66,2)
(37,7)
(23,9)
(30,8)
284
383
86
49
31
40
Σ 201
672 873
Tabulka 4.19 Kontingenční tabulka pro ověření hypotézy H1 Vypočítaná hodnota testového kritéria 𝜒 2 = 8,552. Počet stupňů volnosti f = 5. Hladina významnosti α = 0,05. 2 Kritická hodnota testového kritéria 𝜒0,05 (5) = 11,07.
Protože je vypočítaná hodnota testového kritéria menší než hodnota kritická, nelze zamítnout nulovou hypotézu H10. To znamená, že skutečnost, že učitelé matematiky mají také aprobaci z ICT, neovlivňuje významným způsobem to, jak často používají ICT ve výuce matematiky.
4.2.3.2 Vliv délky pedagogické praxe na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky Další vyřčenou hypotézou bylo, že učitelé matematiky na SŠ, kteří mají větší pedagogickou praxi, nepoužívají ICT při výuce matematiky častěji. H20: Celková četnost používání ICT v hodinách matematiky se statisticky významně neliší u učitelů s kratší pedagogickou praxí (≤ 10 let) a u učitelů s delší pedagogickou praxí. (> 10 let). H2A: Celková četnost používání ICT v hodinách matematiky se statisticky významně liší u učitelů s kratší pedagogickou praxí (≤ 10 let) a u učitelů s delší pedagogickou praxí. (> 10 let).
91
≤ 10 let
> 10 let Σ
0%
1–20 %
21–40 % 41–60 % 61–80 %
81–100%
105
96
21
3
11
7
(81,3)
(105,1)
(23,5)
(12,9)
(9,8)
(10,4)
209
310
70
47
27
33
(232,7)
(300,9)
(67,5)
(37,1)
(28,2)
(29,6)
314
406
91
50
38
40
Σ 243
696 939
Tabulka 4.20 Kontingenční tabulka pro ověření hypotézy H2 Vypočítaná hodnota testového kritéria 𝜒 2 = 22,737. Počet stupňů volnosti f = 5. Hladina významnosti α = 0,01. 2 Kritická hodnota testového kritéria 𝜒0,01 (5) = 15,086.
Vypočítaná hodnota testového kritéria je výrazně větší než hodnota kritická, a to nejen pro hladinu významnosti α = 0,05, ale i pro zde zvolenou α = 0,01, proto lze zamítnout nulovou hypotézu H20 a přijmout hypotézu alternativní. Takže délka pedagogické praxe učitelů matematiky na SŠ má statisticky významný vliv na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky.
92
50,00% 45,00% četnost odpovědí
40,00% 35,00% 30,00% 25,00%
≤ 10 let
20,00%
> 10 let
15,00% 10,00% 5,00% 0,00% nikdy
1–20 %
21–40 %
41–60 %
61–80 %
81–100%
odpovědi
Graf 4.12 Relativní četnosti odpovědí na otázku frekvence používání ICT ve výuce matematiky na SŠ učiteli v závislosti na délce jejich pedagogické praxe
4.2.3.3 Vliv typu školy na využití počítačových učeben pro výuku matematiky H30: Celková četnost využití počítačových učeben pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách se statisticky významně neliší. H3A: Celková četnost využití počítačových učeben pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách se statisticky významně liší. V kontingenční tabulce 4.21 jsme sloučili četnosti odpovědí 61–80 % a 81–100 % do jedné možnosti.
0%
1–20 %
21–40 %
41–60 %
61–100 %
Σ
G
25 (39,2)
63 (51,1)
7 (5,9)
2 (1,4)
2 (1,4)
99
SOŠ
87 (72,8)
83 (94,9)
10 (11,1)
2 (2,6)
2 (2,6)
184
Σ
112
146
17
4
4
283
Tabulka 4.21 Kontingenční tabulka pro ověření hypotézy H3
93
Vypočítaná hodnota testového kritéria 𝜒 2 = 13,256. Počet stupňů volnosti f = 4. Hladina významnosti α = 0,05. 2 Kritická hodnota testového kritéria 𝜒0,05 (4) = 9,488.
Vypočítaná hodnota testového kritéria je výrazně větší než hodnota kritická, proto lze zamítnout nulovou hypotézu H30 a přijmout hypotézu alternativní.
4.3 Závěry a interpretace výsledků Dotazníkovým šetřením byly zjištěny zajímavé skutečnosti. Zde uvádím výběr některých z nich.
V otázce 1.2 bylo zjištěno, že část škol má více než 40 učeben celkem.
Nejvyšší četnost odpovědí využití informačních a komunikačních technologií ve výuce matematiky je v rozsahu 1–20 % a průměrné využití je 17 %. Je k diskusi, zda je to málo, či nikoli. Jsem toho názoru, že pokud je toto používání vhodné a efektivní, je to lepší, než používat ICT častěji, ale nesmyslně a ke škodě výuky.
Nejčastěji uvedenými programy pro použití ve výuce matematiky jsou MS Excel, MS PowerPoint z kancelářského balíku programů MS Office a zdarma dostupný SW GeoGebra. Tyto tři programy také učitelé nejčastěji znají a také ve výuce používají. Soudím, že MS Excel „zvítězil“, protože je dostupný na téměř každém počítači, učitelé i žáci s ním umí pracovat a má poměrně široké využití. MS Powerpoint je často a hojně využíván pro svou prezentační funkci. GeoGebru používají učitelé nejen pro svou funkci dynamické geometrie, ale i pro výpočetní funkce, a v neposlední řadě pro bezplatné používání.
56 % respondentů neodpovědělo na otázku, zda sledují odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky. Dovolím si tvrdit, že nesledují, neboť v opačném případě by se tím „pochlubili“ a uvedli to. Z těch, kteří odpověděli, tak 65 % uvedlo, že nesledují odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky vůbec a 6 % pouze občas. Obecně lze říci, že učitelé se v tomto směru dále nevzdělávají a nevyhledávají nové
94
náměty a materiály pro výuku, ačkoliv takové informace jsou dostupné. To je v rozporu s dalším zjištěním.
Učitelé by uvítali podporu při výuce matematiky, nejvíce webové stránky s materiály a didaktické příručky. Jsem přesvědčen, že takových zdrojů je dostupných dostatek (Viz podkapitola 3.2.3.). Přitom je stačí vyhledat, sledovat a používat.
Nejčastěji vyučovaným učivem z matematické analýzy i celkově z matematiky na SŠ s využitím ICT jsou funkce. To odpovídá zařazení tematickému celku v RVP všech typů SŠ. Porovnáním odpovědí učitelů z gymnázií, středních odborných škol a středních odborných učilišť také můžeme vysledovat korespondenci mezi tím, co se na daném druhu středních škol v matematice s ohledem na rámcové vzdělávací programy vyučuje a co ne. Např. pravděpodobnost a statistika se v RVP pro obory středních odborných učilišť nevyskytuje na rozdíl od RVP pro G a RVP pro obory SOŠ. To samé platí pro učivo shodná a podobná zobrazení. Protože učitelé SOU toto učivo s žáky neprobírají, nepoužívají k tomu ani ICT a v tabulce 5.13 je v příslušné kolonce 0 %.
Při testování hypotéz byly zjištěny následující platné skutečnosti.
H10: Mezi četnostmi odpovědí na otázku frekvence používání ICT v hodinách matematiky a druhou aprobací učitelů není statisticky významná závislost. To znamená, že skutečnost, že učitelé matematiky mají také aprobaci z ICT, neovlivňuje významným způsobem to, jak často používají ICT ve výuce matematiky. Z pohledu pedagogické praxe je dobře, že i učitelé matematiky bez aprobace ICT používají ICT ve výuce stejně často, ačkoliv jejich kolegové s aprobací pro výuku ICT proto mohou mít lepší předpoklady. Objevení skutečné příčiny této skutečnosti je námětem k dalšímu zkoumání.
H2A: Celková četnost používání ICT v hodinách matematiky se statisticky významně liší u učitelů s kratší pedagogickou praxí (≤ 10 let) a u učitelů s delší pedagogickou praxí. (> 10 let). Délka pedagogické praxe učitelů matematiky na SŠ má statisticky významný vliv na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky. Nabízí se vysvětlení, že učitelé s menší praxí jsou tací, kteří v
95
nedávné době absolvovali vysokou školu, začínají učit, nebo již několik let učí, jsou mladí, zvyklí v každodenním životě používat ICT a připravení ze studií používat ICT ve výuce matematiky, a proto jsou to oni, kdo více využívají ICT ve výuce matematiky. Opak je ale pravdou, jak je průkazné z tabulky 5.21. Zjištění důvodů a vysvětlení této skutečnosti je námětem k dalšímu zkoumání.
H3A: Celková četnost využití počítačových učeben pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách se statisticky významně liší. Byla tedy prokázána statisticky významná souvislost mezi typem střední školy a četností využití počítačových učeben pro výuku matematiky. Při hlubší analýze dat ze získaných odpovědí lze objevit možnou příčinu skutečnosti, že na SOŠ jsou počítačové učebny používány pro výuku matematiky častěji než na gymnáziích. Zatímco na gymnáziích je z průměrných 23,4 učeben celkem 2,4 učeben počítačových, na SOŠ je to 3,9 počítačových učeben z 21,7 celkových. Toto vysvětlení je podpořeno i analyzováním odpovědí v otázce 1.6. Četnost odpovědí učitelů SOŠ, že počítačové učebny jsou pro výuku dostupné běžně, je větší než četnost odpovědí učitelů gymnázií.
96
5 Využití softwaru při výuce matematické analýzy
Názornost hraje významnou roli nejen při vyučování matematice, ale i v matematice samé (Kuřina, 1989). Právě využití ICT při vyučování pomáhá zvyšovat názornost při vysvětlování nového učiva a pojmů nebo řešení úloh. Tento názor zastávají i dotazovaní učitelé matematiky, viz tabulka 4.15 v kapitole 4. Jak ale varuje Dostál (2007), to, že výuka bude názorná, neznamená, že žákům bude učivo jasné a srozumitelné a pochopí ho. Proto je nutné dbát na využití ICT, v případě, že se jej rozhodneme použít, tím správným způsobem. V následujících příkladech se pokusím ukázat možné využití ICT a vhodného softwaru v hodině matematiky, konkrétně při probírání učiva matematické analýzy na SŠ.
5.1 Grafy funkcí Funkce, jejich vlastnosti a grafy patří ve středoškolské matematice k nejzastoupenější části matematické analýzy napříč všemi druhy SŠ. K tomuto tématu matematické analýzy možná právě proto existuje nejvíce programů, které jsou vhodné k vykreslování grafů funkcí. Jsou to jak programy pro znázorňování grafů přímo určené, např. Graph, Funkce, Gnuplot, programy CAS, které umožňují grafický výstup, např. Derive, Mathematica, Maxima, Sage aj., tabulkové procesory MS Excel a OpenOffice Calc, tak i programy DGS jako Cabri, GeoGebra nebo GEONExT. Ve větší části programů lze najít, nebo vytvořit a využít funkci posuvníku, díky kterému lze měnit parametry zadané funkce a studovat tak závislosti změn parametrů na vlastnosti a graf funkce. K tomu je vhodné použít např. heuristickou metodu výuky. Heuristické metody jsou zaměřeny na tvůrčí řešení problémů. Učitel nesděluje žákům poznatky přímo v hotové podobě, ale vede je k tomu, aby poznatky sami objevovali (Švarcová, 2011).
97
Graf kvadratické funkce v Excelu (Hátle, 2007) Řekněme, že učitel probírá s žáky na střední škole funkce. Probral s nimi základní pojmy a vlastnosti a zopakoval lineární funkci. Nyní si chystá přípravu na další hodinu, kdy chce učit o kvadratické funkci. Rozhodne se využít počítačů k seznámení se žáků s novým učivem. Je vhodné zvolit za nástroj MS Excel, neboť ten je nainstalován na každém počítači. Je si vědom toho, že žáci v Excelu pracovat umí, ale považuje za vhodné jim předpřipravit soubor, v němž bude zhotoveno vše potřebné pro hladký průběh vyučování (výhodné je také to, že žáci mají na začátku vše stejně zadané a nastavené). Tento soubor umístí na sdílený disk, odkud si ho žáci na začátku hodiny stáhnou do počítače, u kterého sedí, a spustí. Učitel tedy připraví v Excelu základní soubor. Jeho představa hodiny je taková, že na začátku seznámí žáky s definicí kvadratické funkce a uvede je do učiva. Cílem programu je motivovat žáky a pomoci jim objevit a poznat vlastnosti kvadratické funkce y ax 2 bx c , a, b, c R, a 0 , v závislosti na koeficientech a, b, c a význam těchto koeficientů. Nabízí se tu příležitost následně ukázat žákům možnost využít Excel a grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Základní soubor může mít více různých podob. Např. můžeme „ručně“ měnit hodnoty koeficientů v buňkách, čímž se nám v návaznosti na změny bude překreslovat graf, ale je výhodné použít nástroje Posuvník k snadnějšímu zadávání změn. Učitel by měl zvolit vhodný typ grafu v Průvodce grafem a měl by výsledné zobrazení grafu upravit tak, aby jednotky na osách x a y byly stejné a žáci si vytvořili správnou představu o grafech (např. že přímka y x je osou I. a III. kvadrantu). Více o tvorbě grafu kvadratické funkce v Excelu uvádí Matyáš (2007). V samotné výuce může učitel po úvodu do učiva začít s žáky tím, že jim zadá úkol: zjistěte změny tvaru a otočení grafu paraboly v závislosti na změnách koeficientu a, přičemž b c 0 . Jeví se tedy vhodné, aby v základním souboru byly již takto parametry zadány, tedy bude vykreslena základní kvadratická funkce y x 2 . Viz obr. 5.1. Žáci objeví, že pokud je koeficient kvadratického členu záporný, pak je parabola „vrcholem vzhůru“ (funkce má maximum), že pro 0 a 1 je parabola „rozevřenější“ a pro a 1 je parabola „sevřenější“. V dalším kroku žáci zjišťují vliv absolutního členu c u tvaru kvadratické funkce y ax 2 c , který posouvá graf ve směru osy y. Učitel by
98
měl v této části výuky klást žákům předem připravené a promyšlené otázky, které budou žáky motivovat a vést k hledání a objevování nových poznatků. Při dalším zkoumání žáci zjistí, že nelze jednoznačně určit vztahy mezi koeficienty a vlastnostmi grafu pro koeficient b a také pro c, b 0 . Zde jim učitel
b b2 odvodí úpravu vyjádření funkce y ax bx c na tvar y a x c , 2a 4a 2
2
b b2 kde ; c jsou souřadnice vrcholu paraboly, do kterého posuneme vrchol 4a 2a paraboly funkce y ax 2 a dostaneme tak graf funkce y ax 2 bx c . Na závěr neškodí žákům ukázat a mohou si sami zkusit, že pro a 0 přejde funkce kvadratická ve funkci lineární nebo ve funkci konstantní (Kdy?).
a=
1
-10
10
b=
0
-20
500 20
c= -10
550
0
500 10
Obr. 5.1 Graf kvadratické funkce v MS Excel
99
5.2 Derivace funkce Úloha využití počítačů a softwaru při výuce diferenciálního počtu je nezanedbatelná. Konkrétní využití ICT v tématu derivace funkce nemusí být pouze v tom, že si v některém programu připravíme prezentaci, nebo k zadání souhrnu příkladů, kdy následně využijeme vhodného softwaru k jejich výpočtu a kontrole žákovských řešení, ale i k samostatné práci žáků. Jednou z možností je, že si žáci při pokusech o výpočet hodnot derivací a jejich grafické zobrazení v MS Excel uvědomí, upevní a procvičí znalost pojmu derivace (Trávníček, Matyáš, 2009). Jinou možností je, že žáci ověřují geometrický význam derivace funkce a zkoumají vztah změn parametrů funkce a její derivace v SW GeoGebra.
Derivace funkce v programu GeoGebra Výhod programu GeoGebra a jeho využití je hned několik, viz podkapitola 3.2.2. Připomeňme, že software GeoGebra je široce využitelný, dynamický a zdarma. Mohou ho instalovat a používat učitelé i žáci ve školách i doma. Díky multifunkčnosti je to vhodný nástroj pro žáky každého věku, s intuitivním a jednoduchým ovládáním. Navíc v ročníku, kdy se toto učivo probírá, již žáci program dávno umějí používat. V následující ukázce je využit pro domácí práci žáků. V situaci, kdy učitel s žáky zavede a probere pojmy související s derivací funkce, ukáže vlastnosti derivací, derivaci složené funkce a derivaci základních elementárních funkcí, je na místě zmínit fyzikální význam derivace funkce v bodě a geometrický význam derivace funkce v bodě. K získání názornější představy poslouží domácí cvičení. Učitel zadá žákům stručné instrukce. Každý žák graficky znázorní přidělenou funkci s koeficienty (lineární, kvadratickou, sinus, kosinus) pomocí posuvníku. Znázorní její derivaci (příkaz Derivace[
]). Na ose 𝑥 vytvoří pohyblivý bod 𝐴, zobrazí jeho souřadnice, vypočítají hodnotu derivace v bodě 𝐴 (příkaz 𝑓′(𝐴)) a sestrojí tečnu k zadané funkci v tomto bodě (příkaz Tecna[ , ]). Při manipulaci s bodem 𝐴 si všímají hodnoty derivace v 𝐴 a směrnice tečny v bodě 𝐴 – jsou si rovny, geometrický význam derivace funkce v bodě. Dále sledují, jak změny parametrů předepsané funkce ovlivňují její graf (opakování učiva o funkcích) a graf její derivace. Jejich závěrem by mělo být, že jediný koeficient, který nemá vliv na derivaci a graf derivace, je konstanta přičtená k předpisu funkce (např. pro funkci 𝑦 = 𝑎 ∙
100
𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 je to právě koeficient 𝑑). Protože derivace konstanty je nula. V následující hodině tak učitel zkontroluje vypracované úkoly a na základě zjištění a odpovědí žáků společně formulují závěry.
Obr. 5.2 Derivace funkce v programu GeoGebra
5.3 Vyšetřování průběhu funkce K základním úlohám diferenciálního počtu patří vyšetřit průběh funkce. V takových úlohách je hlavním úkolem nejen sestrojení grafu funkce, ale také určení základních vlastností funkce (Hrubý, Kubát, 1997). Role využití počítače může být v tomto případu dvojí. Buď nám bude počítač pomocníkem, tzn. zadáváním příkazů bude provádět všechny dílčí výpočty a na si necháme vykreslit graf funkce, nebo jakýmsi kontrolorem našich výsledků, tzn. po vlastním vyšetření průběhu funkce a načrtnutí grafu si na počítači zkontrolujeme správnost výpočtů a výsledný graf. K takové činnosti jsou nejvhodnějším nástrojem programy CAS. Jestliže nám postačí
101
zkontrolovat graf funkce, využijeme k tomu některý z programů uvedený v podkapitole 5.1.
Vyšetřování průběhu funkce v aplikaci MAW Předpokládejme, že jsme s žáky probrali kapitoly z diferenciálního počtu. Na závěr jim chceme ukázat využití dříve nabytých poznatků a vědomostí z diferenciálního počtu na příkladu vyšetřování průběhu funkce. Vysvětlíme, jak obvykle postupujeme a uvedeme činnosti, ze kterých se vyšetřování průběhu funkce skládá: 1. Definiční obor, body nespojitosti. 2. Obor hodnot, omezenost; nulové body funkce; intervaly, kde je funkce kladná, kde je záporná. 3. Funkční vlastnosti funkce: parita, periodičnost. 4. Limity (jednostranné) v bodech nespojitosti funkce, v krajních bodech definičního oboru, resp. v – ∞, + ∞. 5. Intervaly monotónnosti (kde funkce roste, kde klesá) nebo konstantnosti. 6. Lokální extrémy funkce. 7. Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8. Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9. Asymptoty grafu funkce. 10. Sestrojení grafu funkce (Trávníček, Calábek, Švrček, 2014). Na vzorových příkladech si postup společně ukážeme a začneme upevňovat poznatky na dalších úlohách. Na konci hodiny žákům zadáme z učebnice, sbírky příkladů nebo vlastního učebního materiálu, úlohy k domácímu procvičování. Aby měli žáci kontrolu, zda potupovali správně, mohou si své závěry ověřit ve výsledcích většinou umístěných na konci učebnice, resp. sbírky, pokud je obsahuje ke všem příkladům. V opačném případě žákům doporučíme webovou aplikaci Matematické výpočty online MAW na http://user.mendelu.cz/marik/maw. Zde si zvolí Průběh funkce a následně zadají předpis funkce, jejíž průběh chtějí vyšetřit, a rozsah grafu. Po potvrzení zadaných dat jim aplikace předloží výsledky. Viz obr. 5.3. Ověří si tak, že vyšetřovaná funkce y
x3 (Ukázka 1), není ani sudá, ani lichá, nemá asymptoty v x 1
±∞, bod nespojitosti je 𝑥 = 1, průsečík grafu s osou 𝑥 je v počátku soustavy souřadnic.
102
Dále si může zkontrolovat výpočet první a druhé derivace, stacionární a inflexní (kritické) body a samozřejmě graf.
Obr. 5.3 Výstup z aplikace MAW
5.4 Určitý integrál Ukažme si jednoduché využití programu Graph při probírání tohoto učiva matematické analýzy. Určitý integrál v programu Graph Při vysvětlování dané látky učitel využije programu Graph a jeho funkcí ke zvýšení názornosti při zavádění pojmu určitého integrálu a jeho geometrického 𝑏
významu. Geometrickým významem určitého integrálu ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
je obsah
křivočarého lichoběžníku ohraničeného osou 𝑥, přímkami 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 a grafem
103
funkce 𝑓. Program Graph umožňuje vykreslení grafu funkce a výpočet určitého integrálu s grafickým znázorněním vyšrafovaného rovinného útvaru, jehož obsah se vypočítává. Dolní a horní mez můžeme snadno zadat a změnit. Zde je na místě ukázat, že jestliže funkce na uzavřeném intervalu 〈𝑎, 𝑏〉 změní znaménko, obsah oblasti pod osou 𝑥 má záporné znaménko, čili tento obsah se odečítá. Změnou koeficientů v předpisu funkce lze sledovat změny v grafu a příslušném určitém integrálu, viz obr. 5.4.
Obr. 5.4 Určitý integrál v programu Graph Další funkcí programu Graph je výpočet délky křivky na daném intervalu, což je jednou z aplikací určitého integrálu. Po zobrazení grafu funkce a zadání intervalu můžeme zkontrolovat, zda žáky vypočítaný výsledek tužkou na papír, či na tabuli, je správný.
5.5 Posloupnosti Z didaktického hlediska je při výuce velmi důležité a užitečné grafické znázornění posloupností, určitého počtu prvních členů, jež dává názornou představu o 104
jejich vlastnostech (Polák, 2014). Ke znázornění je vhodné použít tabulkový procesor MS Excel, příp. OpenOffice Calc, jelikož je jednoduché v něm posloupnost zadat jednoduchými výpočty v tabulce a následně graficky zobrazit. Podrobněji píše o využití MS Excel pro výuku posloupností a řad Matyáš (2006), o posloupnostech ve finanční matematice s MS Excelem pojednává Pražák a Pražáková (2008).
Fibonacciova posloupnost v MS Excel Jednoduchou ukázkou a vysvětlením rekurentně zadané posloupnosti je Fibonacciova posloupnost, pro kterou jsou dány první dva členy (1, 1) a každý následující člen dostaneme jako součet dvou předchozích. Učitel si materiál může připravit předem, ale vhodnější je ho tvořit přímo v hodině, kdy metodou rozhovoru zapojuje žáky do tvorby ukázky v MS Excelu. Pro grafické znázornění je vhodné použít XY bodový graf.
Obr. 5.5 Posloupnost v MS Excel
105
Z grafu lze pak odhadnout některé vlastnosti této posloupnosti, které následně ověří učitel s žáky ve třídě. Zajímavostí, kterou by učitel mohl ukázat, je, že součet prvních deseti členů Fibonacciovy posloupnosti je dělitelný sedmým členem a jedenácti. To platí i pro jiné posloupnosti, ve kterých jsou první dva členy přirozená čísla a každý další člen vznikne součtem dvou předchozích. Zde se nabízí možnost zadat žákům domácí úlohu, aby platnost tvrzení ověřili na vlastní posloupnosti s libovolně zvolenými prvními dvěma členy.
5.6 Limita funkce Pojem limita funkce patří k nejzákladnějším pojmům nejen infinitezimálního počtu, ale vůbec celé matematiky (Hrubý, Kubát, 1997). Proto je vhodné, aby tomuto pojmu žáci dobře rozuměli. K lepšímu pochopení a větší názornosti je vhodné použít ICT. Při zavádění a vysvětlení pojmu limita funkce v hodině matematiky používá Matyáš (2006) tabulkový procesor MS Excel. Zde si ukažme možné použití SW Mathematica v jiné situaci.
Limita funkce v programu Mathematica Program Mathematica může učitel použít k zadání početních úloh o limitách funkcí. Postupně, jak žáci na tabuli a v lavicích do sešitu počítají příslušné limity funkcí, jednoduchým potvrzením příkazu učitel nechá limitu funkce spočítat a zobrazit výsledek v Mathematice. Porovnáním výsledků zjistíme správnost žákovských řešení. Navíc jednoduchým příkazem, který si učitel také může předem připravit, aby se v hodině ani chvilku nezdržoval, nechá vykreslit graf dané funkce pro vizuální kontrolu správnosti výsledku.
106
Obr. 5.6 Limity funkcí v programu Mathematica
107
6 Závěr
Cílem disertační práce bylo zpracovat přehled prvků matematické analýzy v učivu matematiky středních škol, analyzovat, rozdělit a porovnat software a internetové zdroje vhodné pro výuku matematiky, upozornit na některá hlediska využití informačních a komunikačních technologií ve vyučování, navrhnout a popsat možnosti využití ICT při výuce matematické analýzy a provést výzkumné šetření o využití počítačů při výuce matematiky na SŠ. Tyto cíle byly splněny v následujících kapitolách. Práce je rozdělena do šesti kapitol, přičemž první je Úvod a poslední je Závěr, a v každé z nich se zaměřujeme na danou problematiku. Ve druhé kapitole jsme se zaměřili na vymezení pojmu a výčet prvků matematické analýzy podle různých autorů. Kromě samotného vymezení pojmu matematická analýza a výčtu prvků matematické analýzy jsme se zde věnovali výskytu prvků matematické analýzy a jejímu postavení v matematice v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol, tzn. gymnázií, středních odborných škol a středních odborných učilišť, nejen v současnosti, ale i v minulosti. Z tohoto srovnání vyplynul závěr, že témat matematické analýzy předepsaných státem, zastupovaným ministerstvem školství, žákům středních škol ke zvládnutí postupem času ubývá. Dalším závěrem je, že největší zastoupení ve výuce má z prvků matematické analýzy učivo o funkcích. V další kapitole byla pozornost zaměřena na informační a komunikační technologie. Kromě definice pojmu ICT, jsme provedli analýzu, kategorizaci a komparaci hardwaru a softwaru, a to i s ohledem na vyučování. Významnou částí této kapitoly je podkapitola Software pro výuku matematiky, kde z prozkoumaného a otestovaného SW jsou vybrány a představeny programy vhodné pro výuku matematiky se svými klady i zápory. Tento přehled programů s jejich popisem a zhodnocením je užitečný pro učitele nejen středních škol, kteří se rozhodnou, že by chtěli ICT a programy ve výuce matematiky používat, ale nevěděli, nebo si nebyli jistí, který vybrat, a pro studenty učitelství matematiky na vysoké škole. Dalším přínosem pro 108
pedagogickou praxi je, po prostudování a analyzování dostupných zdrojů, výběr internetových stránek, včetně popisu, užitečných pro podporu výuky obecně a také konkrétně pro podporu výuky matematiky. V závěru kapitoly jsme se zabývali obecnými aspekty použití ICT ve výuce, které by měl učitel vzít v potaz a zvážit předtím, než se rozhodne ICT ve výuce použít. Ve čtvrté kapitole jsme se věnovali výzkumnému šetření, které bylo zaměřeno na využití ICT při výuce matematiky na středních školách. V úvodu byla věnována pozornost nastínění problematiky, teorii tvorby dotazníku a jeho následnému vyhotovení, sondě, předvýzkumu a samotné realizaci šetření. Dotazník byl rozeslán plošně na všechny střední školy v České republice, jež jsou uloženy v databázi, kterou jsem si k tomuto účelu pro tuto práci sám vytvořil a která obsahuje téměř jeden tisíc jedno sto SŠ v ČR. V první části dotazníku jsme zjistili informace o škole, na níž respondent vyučuje. Nejvíce dotazníků z celkového počtu 323 navrácených bylo 58 % od učitelů matematiky ze SOŠ. Z šetření vyplývá, že školy jsou dobře vybavené, jak počítači, tak programy vhodnými k využití při výuce matematiky. Ve druhé části jsme se dozvěděli údaje o respondentovi, které jsme dále použili pro třídění druhého stupně. Zajímavým zjištěním byl rozpor v tom, že učitelé málo sledují odbornou literaturu a internetové stránky věnující se použití počítačů ve výuce, přitom z dalšího šetření vyplývá, že by podporu ve formě webových stránek s materiály a didaktických příruček uvítali. Já se domnívám, že dostupných zdrojů je dostatečné množství. Učitelé je jen musí vyhledat a používat. V tomto ohledu je jim tato práce nápomocna, neboť jim předkládá několik návrhů. V další části bylo zjištěno, že využití ICT je realizováno v pětině hodin matematiky, že nejpoužívanějšími programy jsou nejrozšířenější tabulkový procesor MS Excel, prezentační MS PowerPoint a multifunkční SW GeoGebra, jež je zdarma, a že k výuce učiva matematické analýzy – funkcím, jsou využívány ICT nejčastěji. Závěrečné čtyři otázky zjistily názory učitelů a tato fakta: nejčastěji uváděnou výhodou užití počítačů při výuce matematiky je zvýšení názornosti, naopak nevýhodou je náročnost přípravy, nejvíce zmiňované požadované podpory pro výuku matematiky s počítači jsou webové stránky s materiály, školení o programech a didaktické příručky. Z toho můžeme usoudit, že učitelé by uvítali vyhotovené materiály pro zvýšení názornosti učiva, čímž se sníží náročnost jejich přípravy na hodiny s využitím ICT a 109
bude o to snazší. To dává příslib, že má smysl zabývat se nadále využitím ICT ve výuce matematiky a podpořit učitele tvorbou materiálů k výuce. Na otázku, zda budou nadále využívat počítače při hodinách matematiky, totiž více než polovina respondentů odpověděla „ano“. Cílem poslední kapitoly bylo, mimo jiné na základě podnětu zjištěného dotazníkovým šetřením, vytvořit návrhy a ukázky uplatnění ICT v hodině matematiky při probírání učiva matematické analýzy. Některé ukázky jsou navrženy pro použití v počítačové učebně, některé pro prezentaci problematiky učitele žákům, jiné pro samostatnou práci žáků doma atd. V ukázkách jsou využity různé, dříve představené, programy. Za celkový přínos této práce lze považovat nejen zpracování uceleného materiálu k problematice využití ICT ve výuce matematiky se zaměřením na matematickou analýzu, ale i vytvoření konkrétních návrhů využití ICT v praxi. Teoretické informace, výsledky výzkumného šetření a návrhy využití mohou být zdrojem informací a inspirace pro pedagogy na středních školách, studenty učitelství matematiky na vysokých školách a další zájemce o danou problematiku.
110
Seznam zkratek
ČR
Česká republika
CAS
Computer algebra system, počítačové algebraické systémy
ČŠI
Česká školní inspekce
DGS
Dynamic geometry software, programy dynamické geometrie
DUM
digitální učební materiál
EU
Evropská unie
G
gymnázium
ICT
informační a komunikační technologie
MAW
Mathematical Assistant on Web
MS
Microsoft
MŠMT
Ministerstvo školství mládeže a tělovýchovy
OLE
Object Linking and Embedding
OS
operační systém
PDA
Personal digital assistant, osobní digitální pomocník
RVP
rámcový vzdělávací program
SOŠ
střední odborná škola
SOU
střední odborné učiliště
SŠ
střední škola
SW
software
ŠVP
školní vzdělávací program
URL
Uniform Resource Locator, jednotná adresa zdroje
ZŠ
základní škola
111
Seznam zdrojů a literatury [1]
BAINVILLE, E. Cabri Geometrie II Plus : Příručka pro uživatele [online]. Přel. Antonín Vrba. 2003 [cit. 2014-06-06]. Dostupné na www:
[2]
ČŠI. Výroční zpráva České školní inspekce za školní rok 2013/2014. [online] 2014. [cit. 2015-01-11]. Dostupné na www:
[3]
DANILOV, V. L. a kol. Přehled matematické analýzy I. Praha: SNTL, 1968.
[4]
DOSTÁL, J. Interaktivní tabule ve výuce. In Journal of Technology and Information Education. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2009.
[5]
DOSTÁL, J. Počítač ve vzdělávání, Modul 1. Olomouc: Votobia Olomouc, 2007.
[6]
EMANOVSKÝ, P. Úvod do metodologie pedagogického výzkumu. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013.
[7]
FUCHS, E., HRUBÝ, D. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu – čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2006.
[8]
FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001.
[9]
HANZÁK, T. Analýza – uživatelský manuál. [online] 2005. [cit. 2014-09-30]. Dostupné na www: < www.sweb.cz/thanzak>
[10]
HAŠEK, R. Derive 6 – Řešení vybraných úloh z matematiky [online]. 2004 [cit. 2015-03-13]. Dostupné na www:
[11]
HÁTLE, J. Matematika na internetu. In MFI. Praha: Prometheus, 2008.
[12]
HÁTLE, J. Úloha učitele při výuce matematiky podporované počítačem. In Užití počítačů ve výuce matematiky. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2007.
[13]
HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN, 1990.
[14]
HONZÍK, L. Wolfram|Alpha. In. MFI [online] 2013. [cit. 2015-02-18]. Dostupné na www:
[15]
HONZÍK, L., TICHÝ, M. GeoGebra – více než dynamická geometrie. In MFI. Praha: Prometheus, 2010.
[16]
HRUBÝ, D., KUBÁT, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997.
112
[17]
http://dumy.cz/
[18]
http://funkce.argh.cz/default.aspx/
[19]
http://geonext.uni-bayreuth.de/
[20]
http://home.pf.jcu.cz/~math4all/vyuziti_pocitacu_wxmaxima_u.php
[21]
http://i2geo.net/
[22]
http://info.edu.cz/
[23]
http://jsxgraph.org
[24]
http://maxima.sourceforge.net/
[25]
http://mfi.upol.cz/index.php/mfi
[26]
http://openoffice.apache.org/
[27]
http://rvp.cz/
[28]
http://thanzak.sweb.cz/
[29]
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/
[30]
http://www.akermann.cz/standardni-it/software-cabri/vsechny-licence.html
[31]
http://www.cabri.com/
[32]
http://www.geogebra.org/
[33]
http://www.interaktivni-projektory.cz/
[34]
http://www.mathematica.cz/index.php
[35]
http://www.padowan.dk/
[36]
http://www.pf.jcu.cz/cabri/
[37]
https://www.czso.cz/csu/czso/3-vzdelani1778
[38]
CHRAMCOV, B. Základy práce v prostředí Mathematica. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2005.
[39]
CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu. Praha: Grada, 2007.
[40]
CHRÁSKA, M. Úvod do výzkumu v pedagogice. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2003.
[41]
CHRÁSKA, M. Základy výzkumu v pedagogice. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, 1998.
113
[42]
JOHANSEN, I. Graph – Verze 4.4 [online] 2012. [cit. 2014-09-01]. Dostupné na www:
[43]
KRAUS, J. Nový akademický slovník cizích slov. Praha: Academia, 2005.
[44]
KUŘINA, F. Umění vidět v matematice. Praha: SPN, 1990.
[45]
LJUSTERNIK, L. A. a kol. Přehled matematické analýzy II. Praha: SNTL, 1969.
[46]
MAŇÁK, J., ŠVEC, V. Výukové metody. Brno: Paido, 2003.
[47]
MANGANO, S. Mathematica Cookbook. USA, Sebastopol (CA), 2010.
[48]
MATYÁŠ, V. Graf funkce s parametry v Excelu. In MFI. Praha: Prometheus, 2007.
[49]
MATYÁŠ, V. Posloupnosti a řady v Excelu. In MFI. Praha: Prometheus, 2006.
[50]
MATYÁŠ, V. Užití Excelu při znázorňování limit funkcí. In MFI. Praha: Prometheus, 2006.
[51]
MÍČA, D. Manuál [online] 2005. [cit. 2015-04-24]. Dostupné na www:
[52]
MÍČA, D. Využití programu Funkce [online] 2005. [cit. 2015-04-24]. Dostupné na www:
[53]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ ČESKÉ SOCIALISTICKÉ REPUBLIKY. Soubor učebních osnov všeobecně vzdělávacích předmětů pro tříleté učební obory. Praha: SPN, 1985.
[54]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ ČESKÉ SOCIALISTICKÉ REPUBLIKY. Učební osnovy pro gymnázia – Matematika (povinný předmět). Praha: SPN, 1977.
[55]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ ČESKÉ SOCIALISTICKÉ REPUBLIKY. Učební osnovy pro gymnázia – Matematika (povinný předmět). Praha: SPN, 1981.
[56]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY ČESKÉ REPUBLIKY. Učební dokumenty pro gymnázia. Praha: Fortuna, 1999.
[57]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Rámcový vzdělávací program pro obor vzdělání Autoelektrikář [online]. [cit. 2015-03-02]. Dostupné na www:
[58]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Rámcový vzdělávací program pro obor vzdělání Strojírenství [online]. [cit. 2015-03-02]. Dostupné na www:
[59]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Zpráva o vývoji českého školství od listopadu 1989 (v oblasti regionálního školství) [online]. 2009 [cit. 2015-03-10]. Dostupné na www: <www.msmt.cz/file/10376_1_1/download/>
114
[60]
MUSÍLEK, M. Vykreslování grafů funkcí pomocí interaktivního geometrického náčrtníku Cabri Geometrie II Plus [online] 2005. [cit. 2014-10-22]. Dostupné na www:
[61]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia – Funkce. Praha: Prometheus, 2008.
[62]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Praha: Prometheus, 2002.
[63]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia – Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 1995.
[64]
PETTY, G. Moderní vyučování. Praha: Portál, 2008.
[65]
POLÁK, J. Didaktika matematiky: Jak učit matematiku zajímavě a užitečně. Plzeň: Fraus, 2014.
[66]
POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1995.
[67]
PRAŽÁK, P., PRAŽÁKOVÁ, B. Excel a rekurentně zadané posloupnosti ve finanční matematice. In MFI. Praha: Prometheus, 2008.
[68]
PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E., MAREŠ, J. Pedagogický slovník. Praha: Portál, 2009.
[69]
Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. Praha: VÚP, 2007.
[70]
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha: MŠMT, 2013.
[71]
ŘÍHA, J. a kol. Software Mathematica v přírodních vědách a ekonomii. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2012.
[72]
ŘÍHA, J., LÁTAL, F. ŘÍHOVÁ, V. WolframAlpha ve výuce přírodovědných a ekonomických předmětů. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2015.
[73]
SCHWABIK, Š. Druhá krize matematiky aneb potíže růstu diferenciálního a integrálního počtu. In Matematika v proměnách věků I. Praha: Prometheus, 1998.
[74]
Slovník školské matematiky, Praha: SNP, 1981.
[75]
ŠILOV, G. J. Matematická analýza. Bratislava: Alfa, 1974.
[76]
ŠTĚDROŇ, B. Ochrana a licencování počítačového programu. Praha : Wolters Kluwer Česká republika, 2010.
[77]
ŠVARCOVÁ, I. Základy pedagogiky. Praha: Vydavatelství VŠCHT Praha, 2011.
[78]
TRÁVNÍČEK, S. Lomené čáry jako grafy funkcí s absolutními hodnotami. In MFI. Praha: Prometheus, 2009.
[79]
TRÁVNÍČEK, S., CALÁBEK, P., ŠVRČEK, J. Matematická analýza I (pro učitelské obory). Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2014.
115
[80]
TRÁVNÍČEK, S., MATYÁŠ, V. Derivace v Excelu. In MFI. Praha: Prometheus, 2009.
[81]
VANÍČEK, J. Dynamická geometrie [online]. [cit. 2014-10-10]. Dostupné na www:
[82]
WELLIN, P., CALKINS, H. M101: A First Course in Mathematica. USA, Champaign (IL): Wolfram Research, Inc., 2011.
116
Přílohy Příloha č. 1: Dotazník pro učitele matematiky SŠ
117
Příloha č. 1 Vážení a milí kolegové, rád bych vás touto cestou požádal o vyplnění dotazníku. Jedná se o anonymní výzkum k mé disertační práci, která se zabývá využitím počítačů při výuce matematiky. Vyplnění dotazníku vám zabere 10 - 15 minut. Všechny uvedené údaje budou použity výhradně pro vyhodnocení dotazníku. Předem vám moc děkuji za spolupráci a pomoc. V případě jakéhokoliv dotazu či připomínky mě neváhejte kontaktovat. S pozdravem a přáním krásného dne Jiří Hátle [email protected]
1. Informace o škole 1.1 Druh střední školy, na které učíte: Označte jen jednu možnost. o o o
gymnázium střední odborná škola střední odborné učiliště
1.2 Celkový počet učeben školy: Označte jen jednu možnost. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
118
o o o o o o o o o o o o o o o o o o
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1.3 Počet učeben s počítačem a dataprojekotrem: Označte jen jednu možnost. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1.4 Počet učeben s počítačem a interaktivní tabulí resp. interaktivním dataprojektorem: Označte jen jednu možnost. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119
1.5 Počet počítačových učeben: Označte jen jednu možnost. o o o o o o o o o o o o
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 více než 10
1.6 Počítačové učebny jsou pro výuku matematiky dostupné: Označte jen jednu možnost. o o o
běžně mimořádně vůbec
1.7 Které z následujících počítačových programů k výuce matematiky má Vaše škola k dispozici: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o o o o o o o o o
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella Geonext Geogebra Derive Mathematica Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint Jiné:
2. Informace o vyučujícím 2.1 Pohlaví Označte jen jednu možnost. o o
žena muž
120
2.2 Počet let učitelské praxe v předmětu matematika: Např.: 14 …………………………………
2.3 Aprobace z matematiky: Označte jen jednu možnost. o o
ano ne
2.4 Další aprobace: …………………………… 2.5 Které počítačové programy k výuce matematiky znáte: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o o o o o o o o o
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella Geonext Geogebra Derive Mathematica Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint Jiné:
2.7 Sledujete odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky? Uveďte konkrétní názvy: …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
3. Informace o výuce 3.1 Z celkového počtu Vámi vyučovaných hodin matematiky v rámci pololetí využíváte počítač + dataprojektor: Označte jen jednu možnost. o o o o o o
0% 1–20 % 21–40 % 41–60 % 61–80 % 81–100%
121
3.2 Z celkového počtu Vámi vyučovaných hodin matematiky v rámci pololetí využíváte počítač + interaktivní tabuli resp. interaktivní dataprojektor: Označte jen jednu možnost. o o o o o o
0% 1–20 % 21–40 % 41–60 % 61–80 % 81–100%
3.3 Z celkového počtu Vámi vyučovaných hodin matematiky v rámci pololetí využíváte počítačovou učebnu: Označte jen jednu možnost. o o o o o o
0% 1–20 % 21–40 % 41–60 % 61–80 % 81–100%
3.4 Jakým způsobem výše uvedené prostředky používáte: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o
frontální výuka řízená práce žáků samostatná práce žáků domácí práce žáků Jiné:
3.5 Při kterém učivu je využíváte? Např.: grafy funkcí, shodná zobrazení, výpočet limit, řešení rovnic... …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
3.6 Které počítačové programy k výuce matematiky používáte: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o o o o
Microsoft Excel OpenOffice Calc Cabri Cinderella Geonext Geogebra Derive Mathematica 122
o o o o o
Maple Maxima MathCad Microsoft PowerPoint Jiné:
4. Vyhodnocení 4.1 Jaké výhody vidíte v užití počítačů při výuce matematiky: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o
úspora času zvýšení názornosti lepší motivace žáků lepší aktivizace žáků Jiné:
4.2 Jaké nevýhody má podle Vás užití počítačů při výuce matematiky: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o o
problémy s technikou chybějící software organizační problémy náročná příprava nedostatek dostupných materiálů Jiné:
4.3 Jakou podporu byste uvítali pro výuku matematiky s počítači: Zaškrtněte všechny platné možnosti. o o o o o o
více počítačových učeben školení o programech didaktické příručky webové stránky s materiály nový software Jiné:
4.4 Budete nadále používat počítače ve výuce matematiky? Označte jen jednu možnost. o o o o o
ano spíše ano spíše ne ne nevím
Děkuji za vyplnění dotazníku!
123
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE
Mgr. Jiří Hátle
VÝUKA PRVKŮ MATEMATICKÉ ANALÝZY NA STŘEDNÍ ŠKOLE S VYUŽITÍM ICT Autoreferát k disertační práci
Olomouc 2015
Název práce:
Výuka prvků matematické analýzy na střední škole s využitím ICT
Autor:
Mgr. Jiří Hátle
Studijní obor:
Didaktika matematiky
Školitel:
doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc.
Oponenti:
doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc. doc. PaedDr. Jana Škrabánková, Ph.D.
Místo a termín obhajoby:
Katedra algebry a geometrie Přírodovědecké fakulta Univerzity Palackého v Olomouci 28. 8. 2015
Místo vystavení práce:
Přírodovědecké fakulta Univerzity Palackého v Olomouci 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE
Mgr. Jiří Hátle
VÝUKA PRVKŮ MATEMATICKÉ ANALÝZY NA STŘEDNÍ ŠKOLE S VYUŽITÍM ICT Autoreferát k disertační práci
Olomouc 2015
Obsah 1 Úvod………………………………………………………………………………….3 I. Teoretická část 2 Prvky matematické analýzy na střední škole…………………………………………6 3 ICT ve výuce………………………………………………………………………..13 II. Empirická část 4 Příprava, realizace a vyhodnocení výzkumu………………………………………..20 5 Využití softwaru při výuce matematické analýzy…………………………………..24 6 Závěr………………………………………………………………………………...27 Seznam zkratek………………………………………………………………………....30 Seznam zdrojů a literatury……………………………………………………………...31 Životopis………………………………………………………………………………..35 Přehled publikační činnosti…………………………………………………………….36 Aktivní vystoupení na konferencích……………………………………………………38 Vědecko-pedagogické aktivity…………………………………………………………39 Anotace, abstrakt……………………………………………………………………….40 Annotation, abstract…………………………………………………………………….42
1 Úvod V současné době se informační a komunikační technologie (ICT) a hlavně internet vyvíjejí a rozmáhají obrovským způsobem a rychlostí. Vyskytují se ve všech oblastech lidské činnosti, od vědy a výzkum počínaje, přes průmysl, dopravu, obchod a další odvětví dále až po každého člověka, lidského jedince, konče. ICT jsou všude kolem nás a mají vliv na náš každodenní život. Stejně tak se nelze ubránit faktu, že ICT pronikly a dále s vývojem nových forem pronikají do vzdělávání na všech typech škol. Pokrok nelze zastavit. Otázkou zůstává, zde takovýto trend zasahující do vzdělávání je správný, nebo jestliže je to v jistých mezích, zda je to vhodné či dokonce prospěšné. Možná se jednou naše děti budou v první třídě učit psát na tabletu, nebo jiné moderní technologii, místo „klasického“ psaní perem na papír. Kdo ví… Domnívám se, že v současné době je na místě přiměřenost v používání ICT ve výuce a uvážlivost, zda to v dané situaci opravdu je, nebo není vhodné. Hlavními cíli této disertační práce je zpracovat přehled matematické analýzy v matematice středních škol, informačních a komunikačních technologií využitelných pro výuku matematiky na středních školách v České republice a navrhnout jejich možné využití při výuce témat z matematické analýzy v hodinách matematiky a zmapovat současný stav použití ICT ve výuce matematiky. Práce je rozdělena do dvou částí – teoretické a empirické, celkem se práce skládá ze šesti kapitol, přičemž první je Úvod a poslední je Závěr. Ke zpracování daného tématu bylo potřeba definovat a vymezit pojem matematická analýza, čemuž se věnuje druhá kapitola nazvaná Prvky matematické analýzy na střední škole. Kromě samotného vymezení pojmu matematická analýza se zde věnujeme analýze a porovnání výskytu prvků matematické analýzy v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol v minulosti a současnosti. Cílem třetí kapitoly pojmenované ICT ve výuce je vymezit pojmy ICT, hardware a software a jejich rozdělení. Hlavním cílem však je analyzovat, rozkategorizovat a porovnat počítačové programy vhodné k použití ve výuce matematiky a zpracovat přehled internetových zdrojů užitečných pro výuku. Poslední podkapitola je věnována obecným aspektům využití ICT ve výuce. Ve čtvrté kapitole se zabýváme přípravou, realizací a vyhodnocením výzkumu, který byl proveden mezi učiteli matematiky SŠ v celé ČR. Tématem výzkumu 3
souvisejícím s disertační prací je využití počítačů ve výuce matematiky na SŠ. Zjišťovali jsme četnost použití počítačů ve výuce matematiky, které počítačové programy vhodné pro výuku matematiky učitelé mají, znají a používají, při kterých tematických celcích a jakým způsobem je ICT využito atd. Pátá kapitola obsahuje vytvořené návrhy a ukázky využití vybraného softwaru při výuce prvků matematické analýzy v hodinách matematiky na SŠ s cílem nabídnout učitelům matematiky obohacení jejich portfolia témat vyučovaných s využitím ICT.
1.2 Cíle práce, výzkumné otázky a hypotézy, výzkumné metody Hlavní cíle disertační práce jsou: vymezit pojem matematická analýza v kontextu středoškolské matematiky; analyzovat a porovnat výskyt prvků matematické analýzy a její postavení v matematice v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol ČR v současnosti a historii; vymezit pojmy ICT, hardware a software; analyzovat, utřídit, vybrat, popsat a porovnat software vhodný pro výuku matematiky na SŠ; analyzovat, vybrat a popsat internetové zdroje vhodné pro výuku matematiky na SŠ; popsat obecné aspekty požití ICT ve výuce; prostudovat domácí odbornou literaturu a zdroje o ICT a jeho využití ve výuce; zjistit aktuální stav používání ICT ve výuce matematiky na SŠ; vytvořit a navrhnout ukázky uplatnění ICT v hodině matematiky při probírání učiva matematické analýzy. Cílem výzkumného šetření je, kromě zjištění aktuálního stavu používání ICT ve výuce matematiky na SŠ, zjistit odpovědi na související výzkumné otázky: Jaká je četnost používání ICT v hodinách matematiky na SŠ? Jaká je vybavenost škol prostředky ICT? Používají učitelé ICT ve výuce? Do jaké míry?
4
Jakou odbornou literaturu, časopisy a zdroje k výuce matematiky s využitím ICT učitelé sledují? V čem učitelé matematiky ze SŠ spatřují výhody a nevýhody v použití ICT ve výuce matematiky? Jakou podporu by učitelé uvítali pro výuku matematiky s počítači? a ověřit tyto hypotézy: Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají druhou aprobaci ICT, používají ICT ve výuce častěji. Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají delší pedagogickou praxi, nepoužívají ICT ve výuce častěji. Počítačové učebny se pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách používají stejně často. Pro zjištění odpovědí na výzkumné otázky a ověření hypotéz byla použita metoda sběru dat formou dotazníku, při jehož zpracování byly použity statistické metody kvalitativní a kvantitativní: analýza; komparace; rozbor; tabulky četností; diagramy a grafy; aritmetický průměr, modus, medián; test nezávislosti chí-kvadrát pro kontingenční tabulku.
5
I. Teoretická část 2 Prvky matematické analýzy na střední škole Matematika se věcně i historicky rozčleňuje na několik relativně samostatných částí podle úrovně pohledu. Tradiční dělení na aritmetiku, algebru, matematickou analýzu, geometrii atd. však nikterak neznamená, že tyto celky jsou samy v sobě uzavřené. Jsou mezi nimi jednak významné vazby teoretické a přirozeně se prolínají zejména v aplikacích. S vědomím této skutečnosti se v další práci soustředíme na vymezení prvků matematické analýzy a na její postavení ve středoškolské matematice v České republice.
2.1 Vymezení prvků matematické analýzy Matematická analýza je velká oblast matematiky založená na pojmech funkce, derivace a integrál. Do této oblasti spadá kromě diferenciálního a integrálního počtu mnoho disciplín, jako jsou diferenciální rovnice (obyčejné i parciální), integrální rovnice, funkce komplexní proměnné, diferenciální geometrie, variační počet a další (Šilov, 1974), které jsou však už za hranicemi středoškolského učiva. K němu se vztahují prvky matematické analýzy, jak jsou vymezeny např. v knihách Přehled matematické analýzy 1 a 2 (Danilov, 1968 a Ljusternik, 1969) vymezeny následujícím způsobem: funkce (jedné i více proměnných), posloupnosti, limity funkcí a posloupností, číselné řady, řady funkcí, diferenciální a integrální počet. S ohledem na téma a zaměření této práce se zmíníme o prvcích matematické analýzy ve výuce matematiky na středních školách v pojetí různých autorů. Nejdříve uveďme definici: Matematická analýza je souhrn matematických oborů vyšetřujících vlastnosti funkcí reálné proměnné, komplexní proměnné, posloupností a řad. Ve školské matematice mají z matematické analýzy největší význam diferenciální počet a integrální počet (Leibnitz, Newton). Další součástí matematické analýzy je teorie obyčejných diferenciálních rovnic, teorie parciálních diferenciálních rovnic, teorie integrálních rovnic, teorie funkcí komplexní proměnné, variační počet a funkcionální analýza. S geometrií má matematická analýza styčnou oblast v diferenciální a integrální 6
geometrii, s geometrií a fyzikou pak vektorovou a tenzorovou analýzu (Slovník školské matematiky, 1981). Fuchs a Hrubý (2006) ve svém návrhu rozdělují učivo matematiky na gymnáziu do tematických celků Úvod do studia matematiky, Aritmetika a algebra, Elementární geometrie, Analytická geometrie, Pravděpodobnost a statistika, Matematická analýza. V posledně jmenovaném celku nalezneme podkapitoly Posloupnosti a řady, Diferenciální počet, Integrální počet. Hejný a kol. (1990) uvádí, že studium matematické analýzy na střední škole je zaměřené především na seznámení se s elementárními funkcemi a pojmy limita, derivace a integrál. Naproti tomu Polák (2014) do jedné ze čtrnácti kapitol středoškolské matematiky Matematická analýza řadí témata: limita funkce, spojitost funkce, spojitost funkce na intervalu, diferenciální počet (derivace funkce, derivace základních elementárních funkcí, vyšetřování vlastností funkcí pomocí derivací, výpočet limit funkcí pomocí derivací, slovní úlohy na globální extrémy funkce – optimalizační úlohy) a integrální počet (primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrační metody, určitý integrál, metody výpočtu určitých integrálů, výpočet obsahů rovinných obrazců užitím určitých integrálů, výpočet objemů těles užitím určitých integrálů). Kapitoly Funkce, Goniometrie (uvažujme goniometrické funkce) a Posloupnosti a nekonečné řady však stojí samostatně mimo matematickou analýzu. Obdobně již dříve (Polák, 1995) vyčlenil kapitoly Funkce a Posloupnosti a řady a do kapitoly Matematická analýza zařadil prvky limita a spojitost funkce, derivace funkce, užití diferenciálního počtu k vyšetřování průběhu funkcí, primitivní funkce, neurčitý integrál, určitý integrál a jeho aplikace. Tato různá rozčlenění však lze považovat jen za technickou záležitost umožňující lepší orientaci v příslušných knihách. Já se budu ve své práci zabývat těmito tematickými celky matematické analýzy ve středoškolské matematice: funkce posloupnosti a řady diferenciální počet integrální počet
7
2.2 Matematická analýza v učebnicích pro střední školy Jedním z významných prvků učebních pomůcek jsou učebnice a učební texty a sbírky úloh. Jaký je odraz matematické analýzy v učebnicích matematiky pro střední školy? Široce používanou sadou učebnic na gymnáziích jsou učebnice vydavatelství Prometheus – Matematika pro gymnázia, které jsou vydávány ve spolupráci s Jednotou českých matematiků a fyziků. V těchto učebnicích není učivo matematiky zpracováno podle ročníků, ale podle tematických celků, a lze je tedy používat podle toho, do kterého ročníku je dané téma ve škole zařazeno. Prvky matematické analýzy zde nalezneme v učebnicích Funkce (Odvárko, 2008), Goniometrie (Odvárko, 2002), Posloupnosti a řady (Odvárko, 1995) a Diferenciální a integrální počet (Hrubý, Kubát, 1997). Toto rozdělení je v souladu s kategorizací tematických celků matematické analýzy uvedenou výše.
2.3 Matematická analýza na gymnáziu Druhá polovina 90. let 20. století V jednotném školství 50. – 80. let minulého století bylo vzdělávání realizováno podle učebních osnov (Normativní pedagogické dokumenty stanovující cíle, vymezující obsah, rozsah, posloupnost a distribuci učiva vyučovacích předmětů do jednotlivých ročníků a časových úseků vyučování. Zpravidla doporučují také specifické metody a organizační formy. Byly tradičně vypracovávány izolovaně pro jednotlivé předměty, jako program vyučování určený učiteli (Průcha, Walterová, Mareš, 2009).) a učebních plánů (Dříve normativní vymezení časových dotací předepsaných vyučovacích předmětů, zavedené po roce 1945. Učební plány byly sestavovány centrálně jako závazná norma pro všechny školy daného stupně nebo typu (Průcha, Walterová, Mareš, 2009).). Gymnaziální vzdělávání bylo rozděleno na větev přírodovědnou a humanitní, každá z větví byla ještě dále dělena podle zaměření, např. pedagogické, na matematiku a
8
fyziku, na tělesnou výchovu atd. Každé větvi a jejím zaměřením byl předepsán počet hodin matematiky v jednotlivých ročnících a tematické celky s probíranými pojmy. V učebních osnovách gymnázia matematiky (Ministerstvo školství České socialistické republiky, 1977 a 1981) pro přírodovědnou větev můžeme najít následující prvky matematické analýzy (v závorce je uvedeno rozšíření pro zaměření na matematiku a fyziku): Relace, zobrazení, funkce Relace, graf relace. Zobrazení z množiny do množiny. Prosté zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení. Zobrazení v R2. Funkce, způsoby určení funkce. Funkce rostoucí a klesající. Funkce konstantní, lineární a kvadratické Konstantní a lineární funkce. Grafy funkcí a relací s absolutními hodnotami. Lineární interpolace. Maximum a minimum funkce. Sudé a liché funkce. Kvadratické funkce. Grafická řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Omezená funkce. (Průběh funkce. Parametrické systémy lineárních a kvadratických funkcí.) Mocniny a mocninné funkce Mocniny
s přirozeným
exponentem.
Nepřímá
úměrnost.
Mocniny
s celočíselným exponentem. Inverzní relace a inverzní funkce. Odmocniny. Mocniny s racionálním exponentem. Mocniny s iracionálním exponentem. Exponenciální a logaritmické funkce Exponenciální funkce. Logaritmické funkce, logaritmus. Věty o logaritmování součinu,
podílu
a
mocniny.
Dekadické
logaritmy.
Tabulky
hodnot
logaritmických funkcí, logaritmické pravítko. Užití logaritmů k výpočtům. Logaritmické a exponenciální rovnice. (Změna základu logaritmu.) Goniometrické funkce Periodické funkce. Velikost úhlů v obloukové míře. Orientovaný úhel. Funkce sinus a kosinus. Funkce tangens a kotangens. Vlastnosti goniometrických funkcí a vztahy mezi nimi. Složené funkce. (Skládání funkcí. Funkce
).) Další vlastnosti goniometrických funkcí. Trigonometrie Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Goniometrické funkce součtu argumentů, dvojnásobného a polovičního argumentu. Součet a rozdíl
9
goniometrických funkcí. Goniometrické rovnice. Sinová a kosinová věta. Řešení trojúhelníku. Použití trigonometrie v praxi. Posloupnosti a řady Metody důkazu matematickou indukcí. Posloupnost, n-tý člen posloupnosti, rekurentní
určení
posloupnosti.
Aritmetická
posloupnost,
geometrická
posloupnost. Nulová posloupnost, limita posloupnosti. Nekonečná geometrická řada, součet nekonečné geometrické řady. (Věty o limitách.) Diferenciální a integrální počet Okolí bodu. Aproximace čísla a výpočty s aproximacemi. Směrnice tečny. Limita a spojitost funkce. Operace s funkcemi a limita. Funkce spojité na intervalu. Derivace, pravidla počítání derivací. Monotónnost a derivace. Lokální a globální extrémy. Druhá derivace. Derivace složené funkce. Derivace funkce určené implicitně. Primitivní funkce. Určitý integrál. Přibližný výpočet určitých integrálů. Obsah rovinných útvarů, objem rotačních těles. (Rolleova věta. Lagrangeova věta o přírůstku funkce. Řešení složitějších úloh z praxe. Metody integrace.
Řešení
nejjednodušších
diferenciálních
rovnic.
Řešení
úloh
s fyzikálními náměty.)
Současný stav Po školské reformě, která probíhala postupně na různých typech škol v jednotlivých etapách zhruba mezi roky 2005 a 2012 a která je zakotvena v zákoně č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání, se v současnosti uskutečňuje vzdělávání žáků od 3 do 19 let podle platných Rámcových vzdělávacích programů (RVP). Tyto Rámcové vzdělávací programy stanovují na státní úrovni očekávané výstupy a úroveň vzdělání všech absolventů jednotlivých typů a stupňů škol. Samotné vzdělávání na jednotlivých typech a stupních škol probíhá podle školních vzdělávacích programů (ŠVP), které si v souladu s RVP dle vlastních požadavků a svého zaměření vytvářejí školy individuálně. Nyní se zaměříme na výskyt prvků matematické analýzy ve vzdělávání na čtyřletých gymnáziích a vyšších ročnících víceletých gymnázií, dále na středních odborných školách a na středních odborných učilištích.
10
Vzdělávání ve čtyřletých gymnáziích a na vyšším stupni víceletých gymnázií má žáky vybavit klíčovými kompetencemi a všeobecným rozhledem na úrovni středoškolsky vzdělaného člověka a tím je připravit především pro vysokoškolské vzdělávání a další typy terciárního vzdělávání, profesní specializaci i pro občanský život (RVP pro gymnázia, 2007). Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace se skládá z pěti tematických celků: Argumentace a ověřování, Číslo a proměnná, Práce s daty, kombinatorika, pravděpodobnost, Závislosti a funkční vztahy a Geometrie. Matematická analýza je zastoupena v následující oblasti. Závislosti a funkční vztahy Očekávané výstupy: Žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice
Učivo obecné poznatky o funkcích – pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné
funkce,
funkce
druhá
goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi
11
odmocnina,
exponenciální,
logaritmické
a
posloupnost – určení a vlastnosti posloupností, aritmetická a geometrická posloupnost
Z výše uvedeného přehledu je zřejmé, že matematická analýza nemá tak velké zastoupení v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia, jak by mohl někdo očekávat. To ovšem neznamená, že by se více matematické analýzy na gymnáziích nemohlo vyučovat. Rámcové vzdělávací programy obecně určují pouze rámce a výstupy závazné pro příslušné typy škol a jejich absolventy. Každá škola tak může podle své profilace nebo podle požadavků přidávat učivo mimo to předepsané v RVP. A zde je právě jistý manipulační prostor, se kterým mohou školy pracovat. Mohou tak zařadit do školního vzdělávacího programu pro předmět matematika další kapitoly týkající se, samozřejmě nejen, matematické analýzy. Výsledkem prostudování několika ŠVP náhodně vybraných gymnázií je, že poměrně často gymnázia zařazují z matematické analýzy do matematického vzdělávání řady, limity funkcí, spojitost funkcí, diferenciální a integrální počet. Pozor, není to však obecně platné tvrzení a ne všechna gymnázia o výše uvedená témata, nebo alespoň některá z nich, své vzdělávání v matematice rozšiřují. To je čistě v jejich kompetenci. V některých případech, jak doporučují autoři Fuchs a Hrubý (2006), se rozšíření učiva matematiky provádí ve volitelném předmětu, semináři z matematiky, ten už ale není povinný pro všechny žáky gymnázií. Je možno konstatovat, že dnešní požadavky na žáky jsou výrazně nižší, než byly dříve. Otázkou je, zda je to dobře či špatně, ale to není předmětem zájmu této práce. Každopádně je obecně platný fakt, že nároky a požadavky na žáky v jejich vzdělávání, a to napříč celého školství, se snižují.
12
3 ICT ve výuce ICT je zkratka anglického Information and Communication Technologies, která označuje informační a komunikační technologie, v češtině se také používá zkratka IKT. Zkratka ICT se vyvinula z dříve používané zkratky IT (Information Technologies), kdy počítače a uzavřené sítě mezi sebou začaly komunikovat, proto se do zkratky přidalo slovo komunikační. Informační a komunikační technologie zahrnují všechny informační technologie používané pro komunikaci a práci s informacemi. ICT se dělí na: hardware – veškeré fyzické zařízení na zpracování údajů, technické vybavení, technické prostředky (Kraus a kol., 2005), např. počítače a příslušenství, notebooky, servery, PDA, navigace, mobilní telefony, tablety atd.; software (SW) – vybavení počítače programovacím jazykem a programem, programové vybavení počítače (Kraus a kol., 2005), např. operační systém, síťové protokoly, internetové vyhledávače, programy atd. V současnosti má zkratka ICT ještě další význam ve školství, kdy se tak někdy jmenuje předmět dříve nazývaný výpočetní technika nebo informatika.
3.1 Hardware pro výuku Hardwarovou součástí ICT není pouze počítač a jeho vstupní nebo výstupní periferie (klávesnice, myš, monitor, reproduktory, tiskárna atd.). I když je představitelné, že učitel něco ukazuje na svém počítači postupně všem žákům, není to praktické a efektivní a v praxi se to neděje. Aby tedy výuka podporovaná počítačem měla alespoň základní předpoklady pro smysluplné využití a přínos, je potřeba k počítači připojit: dataprojektor, což je zařízení umožňující promítání obrazu z počítače, notebooku nebo jiného zdroje na plátno či zeď; interaktivní tabuli, což je dotykově-senzitivní plocha, prostřednictvím které probíhá vzájemná interaktivní komunikace mezi uživatelem a počítačem (Dostál, 2009);
13
interaktivní dataprojektor, což je projektor se zabudovaným snímačem a doplňuje ho pero. Snímač sleduje polohu pera a umožňuje uživateli přenášet tahy perem do počítače a z počítače přes projektor zpět na projekční plochu (http://www.interaktivni-projektory.cz/). Promítat lze téměř na libovolnou plochu – zeď, plátno nebo tabule. Další variantou využití počítačů ve výuce je výuka v počítačové učebně, kdy nejen vyučující, ale i žáci, jednotlivě, ve dvojicích nebo malých skupinkách, pracují na počítačích. K tomu je tedy zapotřebí vybavená počítačová učebna. Počítač, ať už v případě jeho propojení s dataprojektorem, nebo počítače v počítačové učebně je možné nahradit jinými prostředky ICT. Notebook – je zařízení, ve kterém je integrována skříň počítače, monitor, klávesnice, „myš“, reproduktory a kamera v jeden celek. Notebooky mají akumulátor, a proto ke své činnosti nutně nevyžadují připojení do elektrické sítě (Dostál, 2007). Netbook – je přenosný počítač menší než notebook, s nižší spotřebou a váhou. Je ale určen pro méně náročné akce, hlavně pro přístup k internetu a kancelářské práce. Ultrabook – je zvláštní kategorie notebooků s přesně definovanými parametry a požadavky např. na procesor, výdrž baterie, váhu nebo tloušťku. Tablet – je lehký, přenosný, plochý počítač s dotykovou obrazovkou, která slouží k jeho ovládání. Významným zástupcem tabletů je iPad od společnosti Apple Inc.
3.2 Software pro výuku Nejen počítačové programy vhodné pro provádění výpočtů či konstrukcí v matematice a vyučování matematiky lze rozdělit do skupin dle různých kritérií. Jedním z hledisek jsou nároky programu na hardwarové a softwarové vybavení počítače. U hardwaru jsou uváděny požadavky převážně na výkon procesoru, operační paměť, místo na pevném disku a někdy na grafickou kartu, aby program bylo možné 14
nainstalovat a následně hladce fungoval. U softwaru je důležité, pro který operační systém a jeho verzi, případně které operační systémy a jejich verze, neboť jeden program může fungovat pod více operačními systémy, je program určen. S výrazným rozdílem je nejpoužívanějším operačním systémem Microsoft Windows, v malé míře se používá pro počítače Macintosh určený operační systém společnosti Apple Inc. Mac OS a na rozdíl od prvních dvou zmíněných volně šiřitelný OS Linux. Pro využití SW ve vzdělávání je důležitým faktorem, v jaké softwarové licenci je distribuován. Jednoduše řečeno, záleží, zda je program možné legální cestou získat a používat zdarma, bez placení, nebo je nutné ho zakoupit. Druhy a rozdělení softwarových licencí, kterých je samozřejmě více než dvě laicky popsané výše, uvádí Štědroň (2010). Nám však postačí zvolené následující rozdělení a vysvětlení pojmů (Štědroň, 2010). Freeware – je software, který je šířen zdarma, např. na internetu. Program je možné provozovat zdarma po neomezenou dobu a je možné jej i zdarma šířit dále. Není však dovoleno šířit jej za úplatu. Autorská práva k takovému počítačovému programu drží jeho autor a není tedy dovoleno jej bez jeho souhlasu jakkoliv měnit či upravovat pro komerční účely. Shareware – je software s povolením šířit kopie (bezúplatně), přičemž uživatel jej může po určenou dobu vyzkoušet, ale jestliže se rozhodne jej trvale používat, má povinnost zaplatit licenční poplatek. Komerční software – je software, který je šířen za úplatu, čili uživatel si jej musí zakoupit u autora nebo oprávněného distributora. Dalším důležitým rozdělením, které už je určeno programům pro využití v matematice, je podle jejich typu a zaměření. Nesnažme se však o komplexní rozdělení programů, ale uveďme a zaměřme se na ty kategorie, které jsou pro nás podstatné. Zkratkou CAS (z anglického Computer algebra system), česky počítačové algebraické systémy, jsou označovány programy umožňující numerické nebo symbolické (většinou však oboje) zpracování a výpočet matematických výrazů, grafické zobrazení dat či tvorbu matematických dokumentů. V některých případech lze využít vestavěný programovací jazyk k tvorbě algoritmů a vlastních funkcí. Příkladem softwaru typu CAS jsou Mathematica, Maple,
15
Derive, Maxima, Matlab nebo Sage. Software typu CAS obsahují i např. grafické kalkulátory. Nevýhodou pro českého uživatele může být, že programovací jazyk a příkazy bývají v angličtině. Zkratkou DGS (z anglického Dynamic geometry software), česky programy dynamické geometrie, označujeme software na vytváření geometrických konstrukcí, v němž nejsou sestrojené objekty statické, ale lze s nimi po jejich vytvoření dále manipulovat, měnit jejich tvar, velikost a polohu v nákresně i pozici vzhledem k ostatním objektům (při zachování určitých invariantů, jimiž jsou definované vztahy mezi objekty) (Vaníček). Příkladem softwaru dynamické geometrie jsou C.a.R., Cabri II Plus, Cinderella, GeoGebra, GEONExT a další. Poznámka: Někdy se pro tento typ programů používá zkratka DGE z anglického Dynamical geometry environment, česky prostředí dynamické geometrie. Tabulkový procesor, někdy také tabulkový kalkulátor, anglicky spreadsheet, je program pro zpracování dat v tabulce (virtuálním listu). V jednotlivých políčkách tabulky, tzv. buňkách, mohou být vložena data ve formě konstant nebo vzorců (příkazy, funkce). Součástí tabulkového procesoru bývají nástroje pro grafickou prezentaci výsledků. Tabulkový procesor bývá jedním z programů kancelářského balíku. Jako příklady uveďme Microsoft Excel, OpenOffice Calc nebo KSpread. K vizualizaci a předávání informací se používají prezentační programy pro vytváření a předvádění elektronických prezentací jako Microsoft PowerPoint nebo OpenOffice Impress, které jsou součástí kancelářských balíků. Výukovým programem rozumíme takový software, který žákovi předkládá jistý celek učiva a zajišťuje osvojení (zpětnou vazbou) jeho obsahu žákem (Dostál, 2007). Některé výukové programy jsou vhodnější pro samostudium žáka, některé lze použít při výuce ve třídě. Další kategorií jsou programy, které nepatří stoprocentně do žádné z předchozích kategorií, neboť pouze částečně zasahují do jedné i více kategorií, nebo jsou mimo uvedené kategorie. Zařaďme sem programy „specializované“, úzce zaměřené. V našem případě např. Funkce, Graph, Analýza. Speciální kategorií jsou programy, které si učitel sám naprogramuje. Trávníček (2009) považuje za vhodné, když si učitel matematiky dokáže pořídit, hlavně pro svůj domácí počítač, drobné jednoúčelové prográmky, které mu pomáhají
16
v přípravě na výuku a které mají tu výhodu, že jsou levné, neboť si je učitel připraví sám. Také je dobré, že mohou umět to, co jiné programy nedokáží, a autor si je uzpůsobí ke svému obrazu, potřebám a jednoduchosti ovládání. Na závěr zmiňme ještě jedno možné rozdělení či kritérium, které může být pro některé uživatele poměrně zásadní, a to je jazyková mutace. Některé programy nejsou přeloženy do češtiny, nebo nejsou přeložené celé včetně nápovědy a manuálů k nim. Pro některé uživatele to může být problém, pro některé naopak výzva a možnost dalšího sebevzdělávání a osobního rozvoje.
Přehled softwaru pro výuku matematiky Funkce, Analýza, Graph, Cabri Geometrie, GEONExT, GeoGebra, Derive, Mathematica, Maxima, Microsoft Excel a OpenOffice Calc
Přehled internetových zdrojů pro výuku matematiky Metodický portál RVP.CZ (http://rvp.cz/) DUMy.cz (http://dumy.cz/) Portál o školství a vzdělávání INFO.EDU.CZ (http://info.edu.cz/) e–Matematika (http://www.e-matematika.cz/) Matematika.cz (http://www.matematika.cz/) Cifrikova Matematika (http://www.matematika.webz.cz/obsah/) Intergeo – Společná interaktivní geometrie pro Evropu (http://i2geo.net) Matematika – fyzika – informatika (http://mfi.upol.cz/index.php/mfi) GeoGebraTube (http://tube.geogebra.org/) GeoGebra online (http://web.geogebra.org/app/) Vypočítej to – online kalkulačky a výpočty (http://www.vypocitejto.cz/) Matematické výpočty online (MAW) (http://user.mendelu.cz/marik/maw) Wolfram|Alpha (http://www.wolframalpha.com/)
17
3.3 Obecné aspekty použití ICT ve výuce Příprava hodiny podporované počítačem není zcela jednoduchá a přináší učiteli některé problémy a otázky, které musí řešit a zodpovědět (Hátle, 2007). Jednou z prvních otázek by mělo být, jaké hardwarové prostředky ICT bude učitel používat. Samozřejmě, že může použít ty, které má škola k dispozici, a které jsou pro výuku v učebně dostupné. Musí také rozhodnout, zda bude používat počítač, příp. notebook, a dataprojektor, nebo počítač (notebook) a interaktivní tabuli, příp. interaktivní projektor, nebo zda má možnost jít se třídou do počítačové učebny (učebny vybavené notebooky), za předpokladu, že ta je pro výuku jiného předmětu než ICT volná a přístupná. S prvním bodem úzce souvisí volba metod vyučování. Jestliže učitel chce předložit žákům novou látku, použije metodu slovní, např. vyprávění, vysvětlování nebo přednáška (Maňák, Švec, 2003), a postačí mu počítač (notebook) a dataprojektor s připravenou prezentací. Pro větší interaktivitu a zapojení žáků je vhodné s využitím počítače a interaktivní tabule aplikovat některou z metod názorně-demonstračních (dle Maňáka a Švece (2003) jsou to předvádění a pozorování, práce s obrazem, instruktáž). Pokud chce, aby si žáci sami osvojili nové poznatky, objevili platné zákonitosti atd., použije některou z metod
dovednostně-praktických
(např.
manipulování,
laborování
a
experimentování) nebo aktivizující metody. K tomu je nejvhodnější uskutečnit výuku v počítačové učebně. Učitel se také musí rozhodnout, jaký software, který má k dispozici, je vhodný k aplikaci a bude proto použit. Je zřejmé, že učitel musí mít přehled o tom, které programy má škola k dispozici a že tyto programy zná a ovládá. V podstatě podle nich volí učivo prezentovatelné užitím těchto programů. V případě, že zná vhodný program, který by uplatnil při výuce, dá impuls vedení školy k jeho zakoupení, pokud to není volně šiřitelný software (Hátle, 2007). V praxi často učitel vyhledává a používá programy dostupné zdarma. Důležitým aspektem je, aby se žáci příliš nezabývali a časově nezdržovali s ovládáním a použitím programu, ale aby jim práce v programu přinesla co nejvíce nových a užitečných poznatků (Hátle, 2007). Pokud je pro žáky 18
náročnější a zdlouhavější naučit se pracovat s programem, než si pak díky programu osvojit nové poznatky, pozbývá použití počítače ve výuce smysl. Petty (2008) pak pokládá otázku, zda nebude žákům trvat seznamování s ovládáním programu natolik dlouho, že jeho vzdělávací hodnota nebude stát za to. Proto je zásadní rolí učitele, zvážit pro a proti tohoto aspektu, a rozhodnout o použití, nebo nepoužití programu, případně zvolit takový program, pokud ovšem má možnost nějaký takový program zvolit, který není úzce zaměřen pouze na některou část učiva, ale lze ho použít v nejrůznějších situacích a probíraných tématech. Na učiteli, na jeho znalostech, schopnostech a uvážení, závisí, zda zvolené učivo vyložené pomocí ICT bude pro žáky přínosné. Učitel by měl dobře rozmyslet frekvenci využití ICT při výuce. V rozumné míře je využití přínosné, ozvláštňující, motivující, podporující názornost a lepší zapamatování poznatků (vnímaných více smysly) atd. Ale je třeba mít na paměti, že příliš časté používání ICT ve výuce může mít také negativní efekt! Je nutné si uvědomit, že veškeré učební pomůcky realizované prostřednictvím počítače (prezentace, programy, pořady atp.) jsou pouhými pomůckami a zprostředkovateli, nikoliv cílem výuky. K dosažení cílů jen napomáhají (Dostál, 2007). Pokud učitel používá nějaký program, především v počítačové učebně, kde s ním pracují také žáci, je žádoucí, aby tento program měli k dispozici žáci i doma. Učitel nevyužívá počítač a ICT jen ve výuce samotné, ale i jinými způsoby, které pak mají dopad a vliv na výuku. Prostřednictvím počítače a internetu se vzdělává, sleduje odborné informace, připravuje se na výuku, vytváří si přípravy, učební materiály, sbírky příkladů, zadání písemných prací a domácích úkolů a je tak aktivním uživatelem.
19
II. Empirická část 4 Příprava, realizace a vyhodnocení výzkumu Pro zjištění situace a získání odpovědí k výše uvedenému tématu byla zvolena metoda dotazníku, kterou písemným kladením otázek respondentům získáváme příslušné písemné odpovědi a jejíž výhodou je především možnost získat velké množství informací při malé časové náročnosti (Emanovský, 2013). Dotazník byl sestaven s ohledem na základní pravidla pro tvorbu otázek podle Chrásky (1998). Forma dotazníku a jeho distribuce byla zvolena, namísto obvyklé papírové, elektronická. Dotazník byl vytvořen v aplikaci Formuláře Google. Tato služba je zdarma a uživatel si jen musí vytvořit účet a přihlásit se. Při tvorbě si vybere vzhled formuláře a dále vkládá úvodní text, jednotlivé otázky, u kterých si vybírá z nabídky typu odpovědí, např. text, zaškrtávací políčka, měřítko a další, a na závěr poděkování. Po vypracování stačí vygenerovat odkaz (URL) na dotazník a rozeslat ho e-mailem respondentům. Nejdříve ale byla provedena sonda v podobě konzultace se školitelem a interview s několika učiteli a předvýzkum. Cílovou skupinou pro předvýzkum, který proběhl na začátku března 2015, byli zvoleni učitelé matematiky středních škol v Olomouckém kraji. Na základě zkušeností z předvýzkumu byly některé otázky v dotazníku přeformulovány a upraveny, např. otázka 1.1 byla pro snazší vyhodnocení změněna z otevřené otázky na otázku s výběrem jedné možnosti ze tří nabízených, u otázek 1.2 a 1.3 byly navýšeny počty tříd k odpovědi, u otázek 1.7, 2.5 a 3.6 byly doplněny některé programy atd. V následném dotazníkovém šetření byli cílovou skupinou učitelé matematiky středních škol v celé České republice, kromě těch z předvýzkumu. Před realizací celého výzkumu jsem z internetových stránek krajských úřadů získal volně přístupné seznamy školských zařízení v daném kraji a na jejich základě vytvořil kompletní databázi všech středních škol ČR. Z této databáze středních škol byly použity e-mailové adresy k oslovení ředitelů s prosbou o předání dotazníku (viz příloha č. 1) předsedům předmětových komisí pro matematiku a učitelům matematiky. Jednalo se celkem o téměř jeden tisíc jedno sto e-mailových zpráv, z nichž 63 se vrátily jako nedoručitelné.
20
Pět škol reagovalo, že se z objektivních důvodů dotazníkového šetření nezúčastní. Vyplněných dotazníků se tazateli z celé republiky vrátilo celkem 323. Dotazník byl anonymní, z osobních otázek bylo potřeba vyplnit pouze pohlaví respondentů, délka pedagogické praxe a vystudované aprobace. Rozdělen byl do čtyř částí. Po úvodním oslovení a podání informací k dotazníku jsme v první části dotazníku zjišťovali informace o škole, na níž respondent vyučuje. Ve druhé části jsme se chtěli dozvědět údaje o respondentovi, v další části byly položeny otázky ohledně výuky matematiky a využití ICT a závěrečné čtyři otázky měly zjistit zhodnocení daných témat. Po získání a shromáždění dotazníků bylo provedena kontrola a byly vyřazeny ty dotazníky, které byly z velké části nevyplněny. Pro další zpracování jsme použili metodu třídění, kterou Chráska (2007) definuje jako postup, pomocí něhož zjišťujeme, kolik respondentů má společný buď jeden, nebo dva, popř. více společných znaků. Podle toho pak mluvíme o třídění prvního, druhého popř. třetího stupně.
4.3 Závěry a interpretace výsledků Dotazníkovým šetřením byly zjištěny zajímavé skutečnosti. Zde uvádím výběr některých z nich. V otázce 1.2 bylo zjištěno, že část škol má více než 40 učeben celkem. Nejvyšší četnost odpovědí využití informačních a komunikačních technologií ve výuce matematiky je v rozsahu 1–20 % a průměrné využití je 17 %. Je k diskusi, zda je to málo, či nikoli. Jsem toho názoru, že pokud je toto používání vhodné a efektivní, je to lepší, než používat ICT častěji, ale nesmyslně a ke škodě výuky. Nejčastěji uvedenými programy pro použití ve výuce matematiky jsou MS Excel, MS PowerPoint z kancelářského balíku programů MS Office a zdarma dostupný SW GeoGebra. Tyto tři programy také učitelé nejčastěji znají a také ve výuce používají. Soudím, že MS Excel „zvítězil“, protože je dostupný na téměř každém počítači, učitelé i žáci s ním umí pracovat a má poměrně široké využití. MS Powerpoint je často a hojně využíván pro svou prezentační funkci. GeoGebru používají učitelé nejen pro svou funkci dynamické geometrie, ale i pro výpočetní funkce, a v neposlední řadě pro bezplatné používání. 56 % respondentů neodpovědělo na otázku, zda sledují odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky. Dovolím si tvrdit, že 21
nesledují, neboť v opačném případě by se tím „pochlubili“ a uvedli to. Z těch, kteří odpověděli, tak 65 % uvedlo, že nesledují odbornou literaturu, knihy, časopisy o počítačích při výuce matematiky vůbec a 6 % pouze občas. Obecně lze říci, že učitelé se v tomto směru dále nevzdělávají a nevyhledávají nové náměty a materiály pro výuku, ačkoliv takové informace jsou dostupné. To je v rozporu s dalším zjištěním. Učitelé by uvítali podporu při výuce matematiky, nejvíce webové stránky s materiály a didaktické příručky. Jsem přesvědčen, že takových zdrojů je dostupných dostatek (Viz podkapitola 3.2.3.). Přitom je stačí vyhledat, sledovat a používat. Nejčastěji vyučovaným učivem z matematické analýzy i celkově z matematiky na SŠ s využitím ICT jsou funkce. To odpovídá zařazení tematickému celku v RVP všech typů SŠ. Porovnáním odpovědí učitelů z gymnázií, středních odborných škol a středních odborných učilišť také můžeme vysledovat korespondenci mezi tím, co se na daném druhu středních škol v matematice s ohledem na rámcové vzdělávací programy vyučuje a co ne. Např. pravděpodobnost a statistika se v RVP pro obory středních odborných učilišť nevyskytuje na rozdíl od RVP pro G a RVP pro obory SOŠ. To samé platí pro učivo shodná a podobná zobrazení. Protože učitelé SOU toto učivo s žáky neprobírají, nepoužívají k tomu ani ICT a v tabulce 5.13 je v příslušné kolonce 0 %. Při testování hypotéz byly zjištěny následující platné skutečnosti. H10: Mezi četnostmi odpovědí na otázku frekvence používání ICT v hodinách matematiky a druhou aprobací učitelů není statisticky významná závislost. To znamená, že skutečnost, že učitelé matematiky mají také aprobaci z ICT, neovlivňuje významným způsobem to, jak často používají ICT ve výuce matematiky. Z pohledu pedagogické praxe je dobře, že i učitelé matematiky bez aprobace ICT používají ICT ve výuce stejně často, ačkoliv jejich kolegové s aprobací pro výuku ICT proto mohou mít lepší předpoklady. Objevení skutečné příčiny této skutečnosti je námětem k dalšímu zkoumání. H2A: Celková četnost používání ICT v hodinách matematiky se statisticky významně liší u učitelů s kratší pedagogickou praxí (≤ 10 let) a u učitelů s delší
22
pedagogickou praxí. (> 10 let). Délka pedagogické praxe učitelů matematiky na SŠ má statisticky významný vliv na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky. Nabízí se vysvětlení, že učitelé s menší praxí jsou tací, kteří v nedávné době absolvovali vysokou školu, začínají učit, nebo již několik let učí, jsou mladí, zvyklí v každodenním životě používat ICT a připravení ze studií používat ICT ve výuce matematiky, a proto jsou to oni, kdo více využívají ICT ve výuce matematiky. Opak je ale pravdou, jak je průkazné z tabulky 5.21. Zjištění důvodů a vysvětlení této skutečnosti je námětem k dalšímu zkoumání. H3A: Celková četnost využití počítačových učeben pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách se statisticky významně liší. Byla tedy prokázána statisticky významná souvislost mezi typem střední školy a četností využití počítačových učeben pro výuku matematiky. Při hlubší analýze dat ze získaných odpovědí lze objevit možnou příčinu skutečnosti, že na SOŠ jsou počítačové učebny používány pro výuku matematiky častěji než na gymnáziích. Zatímco na gymnáziích je z průměrných 23,4 učeben celkem 2,4 učeben počítačových, na SOŠ je to 3,9 počítačových učeben z 21,7 celkových. Toto vysvětlení je podpořeno i analyzováním odpovědí v otázce 1.6. Četnost odpovědí učitelů SOŠ, že počítačové učebny jsou pro výuku dostupné běžně, je větší než četnost odpovědí učitelů gymnázií.
23
5 Využití softwaru při výuce matematické analýzy Názornost hraje významnou roli nejen při vyučování matematice, ale i v matematice samé (Kuřina, 1989). Právě využití ICT při vyučování pomáhá zvyšovat názornost při vysvětlování nového učiva a pojmů nebo řešení úloh. Tento názor zastávají i dotazovaní učitelé matematiky, viz tabulka 4.15 v kapitole 4. Jak ale varuje Dostál (2007), to, že výuka bude názorná, neznamená, že žákům bude učivo jasné a srozumitelné a pochopí ho. Proto je nutné dbát na využití ICT, v případě, že se jej rozhodneme použít, tím správným způsobem. V následujících příkladech se pokusím ukázat možné využití ICT a vhodného softwaru v hodině matematiky, konkrétně při probírání učiva matematické analýzy na SŠ.
5.1 Grafy funkcí Funkce, jejich vlastnosti a grafy patří ve středoškolské matematice k nejzastoupenější části matematické analýzy napříč všemi druhy SŠ. K tomuto tématu matematické analýzy možná právě proto existuje nejvíce programů, které jsou vhodné k vykreslování grafů funkcí. Jsou to jak programy pro znázorňování grafů přímo určené, např. Graph, Funkce, Gnuplot, programy CAS, které umožňují grafický výstup, např. Derive, Mathematica, Maxima, Sage aj., tabulkové procesory MS Excel a OpenOffice Calc, tak i programy DGS jako Cabri, GeoGebra nebo GEONExT. Ve větší části programů lze najít, nebo vytvořit a využít funkci posuvníku, díky kterému lze měnit parametry zadané funkce a studovat tak závislosti změn parametrů na vlastnosti a graf funkce. K tomu je vhodné použít např. heuristickou metodu výuky. Heuristické metody jsou zaměřeny na tvůrčí řešení problémů. Učitel nesděluje žákům poznatky přímo v hotové podobě, ale vede je k tomu, aby poznatky sami objevovali (Švarcová, 2011).
5.2 Derivace funkce Úloha využití počítačů a softwaru při výuce diferenciálního počtu je nezanedbatelná. Konkrétní využití ICT v tématu derivace funkce nemusí být pouze v tom, že si v některém programu připravíme prezentaci, nebo k zadání souhrnu 24
příkladů, kdy následně využijeme vhodného softwaru k jejich výpočtu a kontrole žákovských řešení, ale i k samostatné práci žáků. Jednou z možností je, že si žáci při pokusech o výpočet hodnot derivací a jejich grafické zobrazení v MS Excel uvědomí, upevní a procvičí znalost pojmu derivace (Trávníček, Matyáš, 2009). Jinou možností je, že žáci ověřují geometrický význam derivace funkce a zkoumají vztah změn parametrů funkce a její derivace v SW GeoGebra.
5.3 Vyšetřování průběhu funkce K základním úlohám diferenciálního počtu patří vyšetřit průběh funkce. V takových úlohách je hlavním úkolem nejen sestrojení grafu funkce, ale také určení základních vlastností funkce (Hrubý, Kubát, 1997). Role využití počítače může být v tomto případu dvojí. Buď nám bude počítač pomocníkem, tzn. zadáváním příkazů bude provádět všechny dílčí výpočty a na si necháme vykreslit graf funkce, nebo jakýmsi kontrolorem našich výsledků, tzn. po vlastním vyšetření průběhu funkce a načrtnutí grafu si na počítači zkontrolujeme správnost výpočtů a výsledný graf. K takové činnosti jsou nejvhodnějším nástrojem programy CAS. Jestliže nám postačí zkontrolovat graf funkce, využijeme k tomu některý z programů uvedený v podkapitole 5.1.
5.4 Určitý integrál Funkce, kterou obsahuje programu Graph, motivuje k jednoduchému využití tohoto SW při probírání uvedeného učiva matematické analýzy a grafickému znázornění.
5.5 Posloupnosti Z didaktického hlediska je při výuce velmi důležité a užitečné grafické znázornění posloupností, určitého počtu prvních členů, jež dává názornou představu o jejich vlastnostech (Polák, 2014). Ke znázornění je vhodné použít tabulkový procesor MS Excel, příp. OpenOffice Calc, jelikož je jednoduché v něm posloupnost zadat
25
jednoduchými výpočty v tabulce a následně graficky zobrazit. Podrobněji píše o využití MS Excel pro výuku posloupností a řad Matyáš (2006), o posloupnostech ve finanční matematice s MS Excelem pojednává Pražák a Pražáková (2008).
5.6 Limita funkce Pojem limita funkce patří k nejzákladnějším pojmům nejen infinitezimálního počtu, ale vůbec celé matematiky (Hrubý, Kubát, 1997). Proto je vhodné, aby tomuto pojmu žáci dobře rozuměli. K lepšímu pochopení a větší názornosti je vhodné použít ICT. Při zavádění a vysvětlení pojmu limita funkce v hodině matematiky používá Matyáš (2006) tabulkový procesor MS Excel. Zde si ukažme možné použití SW Mathematica v situaci, kdy jej může učitel použít k zadání početních úloh o limitách funkcí. Postupně, jak žáci na tabuli a v lavicích do sešitu počítají příslušné limity funkcí, jednoduchým potvrzením příkazu učitel nechá limitu funkce spočítat a zobrazit výsledek v Mathematice. Porovnáním výsledků zjistíme správnost žákovských řešení. Navíc jednoduchým příkazem, který si učitel také může předem připravit, aby se v hodině ani chvilku nezdržoval, nechá vykreslit graf dané funkce pro vizuální kontrolu správnosti výsledku.
26
6 Závěr Cílem disertační práce bylo zpracovat přehled prvků matematické analýzy v učivu matematiky středních škol, analyzovat, rozdělit a porovnat software a internetové zdroje vhodné pro výuku matematiky, upozornit na některá hlediska využití informačních a komunikačních technologií ve vyučování, navrhnout a popsat možnosti využití ICT při výuce matematické analýzy a provést výzkumné šetření o využití počítačů při výuce matematiky na SŠ. Tyto cíle byly splněny v následujících kapitolách. Práce je rozdělena do šesti kapitol, přičemž první je Úvod a poslední je Závěr, a v každé z nich se zaměřujeme na danou problematiku. Ve druhé kapitole jsme se zaměřili na vymezení pojmu a výčet prvků matematické analýzy podle různých autorů. Kromě samotného vymezení pojmu matematická analýza a výčtu prvků matematické analýzy jsme se zde věnovali výskytu prvků matematické analýzy a jejímu postavení v matematice v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol, tzn. gymnázií, středních odborných škol a středních odborných učilišť, nejen v současnosti, ale i v minulosti. Z tohoto srovnání vyplynul závěr, že témat matematické analýzy předepsaných státem, zastupovaným ministerstvem školství, žákům středních škol ke zvládnutí postupem času ubývá, a že největší zastoupení ve výuce má z prvků matematické analýzy učivo o funkcích. V další kapitole byla pozornost zaměřena na informační a komunikační technologie. Kromě definice pojmu ICT, jsme provedli analýzu, kategorizaci a komparaci hardwaru a softwaru, a to i s ohledem na vyučování. Významnou částí této kapitoly je podkapitola Software pro výuku matematiky, kde z prozkoumaného a otestovaného SW jsou vybrány a představeny programy vhodné pro výuku matematiky se svými klady i zápory. Tento přehled programů s jejich popisem a zhodnocením je užitečný pro učitele nejen středních škol, kteří se rozhodnou, že by chtěli ICT a programy ve výuce matematiky používat, ale nevěděli, nebo si nebyli jistí, který vybrat, a pro studenty učitelství matematiky na vysoké škole. Dalším přínosem pro pedagogickou praxi je, po prostudování a analyzování dostupných zdrojů, výběr internetových stránek, včetně popisu, užitečných pro podporu výuky obecně a také 27
konkrétně pro podporu výuky matematiky. V závěru kapitoly jsme se zabývali obecnými aspekty použití ICT ve výuce, které by měl učitel vzít v potaz a zvážit předtím, než se rozhodne ICT ve výuce použít. Ve čtvrté kapitole jsme se věnovali výzkumnému šetření, které bylo zaměřeno na využití ICT při výuce matematiky na středních školách. V úvodu byla věnována pozornost nastínění problematiky, teorii tvorby dotazníku a jeho následnému vyhotovení, sondě, předvýzkumu a samotné realizaci šetření. Dotazník byl rozeslán plošně na všechny střední školy v České republice, jež jsou uloženy v databázi, kterou jsem si k tomuto účelu pro tuto práci sám vytvořil a která obsahuje téměř jeden tisíc jedno sto SŠ v ČR. V první části dotazníku jsme zjistili informace o škole, na níž respondent vyučuje. Nejvíce dotazníků z celkového počtu 323 navrácených bylo 58 % od učitelů matematiky ze SOŠ. Z šetření vyplývá, že školy jsou dobře vybavené, jak počítači, tak programy vhodnými k využití při výuce matematiky. Ve druhé části jsme se dozvěděli údaje o respondentovi, které jsme dále použili pro třídění druhého stupně. Zajímavým zjištěním byl rozpor v tom, že učitelé málo sledují odbornou literaturu a internetové stránky věnující se použití počítačů ve výuce, přitom z dalšího šetření vyplývá, že by takovou podporu (webové stránky s materiály, didaktické příručky) uvítali. Já se domnívám, že dostupných zdrojů je dostatečné množství. Učitelé je jen musí vyhledat. V tomto ohledu je jim tato práce nápomocna. V další části bylo zjištěno, že využití ICT je realizováno v pětině hodin matematiky, že nejpoužívanějšími programy jsou nejrozšířenější tabulkový procesor MS Excel, prezentační MS PowerPoint a multifunkční SW GeoGebra, jež je zdarma, a že k výuce učiva matematické analýzy – funkcím, jsou využívány ICT nejčastěji. Závěrečné čtyři otázky zjistily názory učitelů a tato fakta: nejčastěji uváděnou výhodou užití počítačů při výuce matematiky je zvýšení názornosti, naopak nevýhodou je náročnost přípravy, nejvíce zmiňované požadované podpory pro výuku matematiky s počítači jsou webové stránky s materiály, školení o programech a didaktické příručky. Z toho můžeme usoudit, že učitelé by uvítali vyhotovené materiály pro zvýšení názornosti učiva, čímž se sníží náročnost jejich přípravy na hodiny s využitím ICT a bude o to snazší. To dává příslib, že má smysl zabývat se nadále využitím ICT ve výuce matematiky a podpořit učitele tvorbou materiálů k výuce. Na otázku, zda budou nadále
28
využívat počítače při hodinách matematiky, totiž více než polovina respondentů odpověděla „ano“. Cílem poslední kapitoly bylo, mimo jiné na základě podnětu zjištěného dotazníkovým šetřením, vytvořit návrhy a ukázky uplatnění ICT v hodině matematiky při probírání učiva matematické analýzy. Některé ukázky jsou navrženy pro použití v počítačové učebně, některé pro prezentaci problematiky učitele žákům, jiné pro samostatnou práci žáků doma atd. V ukázkách jsou využity různé, dříve představené, programy. Za celkový přínos této práce lze považovat nejen zpracování uceleného materiálu k problematice využití ICT ve výuce matematiky se zaměřením na matematickou analýzu, ale i vytvoření konkrétních návrhů využití ICT v praxi. Teoretické informace, výsledky výzkumného šetření a návrhy využití mohou být zdrojem informací a inspirace pro pedagogy na středních školách, studenty učitelství matematiky na vysokých školách a další zájemce o danou problematiku.
29
Seznam zkratek ČR
Česká republika
CAS
Computer algebra system, počítačové algebraické systémy
ČŠI
Česká školní inspekce
DGS
Dynamic geometry software, programy dynamické geometrie
DUM
digitální učební materiál
EU
Evropská unie
G
gymnázium
ICT
informační a komunikační technologie
MAW
Mathematical Assistant on Web
MS
Microsoft
MŠMT
Ministerstvo školství mládeže a tělovýchovy
OLE
Object Linking and Embedding
OS
operační systém
PDA
Personal digital assistant, osobní digitální pomocník
RVP
rámcový vzdělávací program
SOŠ
střední odborná škola
SOU
střední odborné učiliště
SŠ
střední škola
SW
software
ŠVP
školní vzdělávací program
URL
Uniform Resource Locator, jednotná adresa zdroje
ZŠ
základní škola
30
Seznam zdrojů a literatury [1]
BAINVILLE, E. Cabri Geometrie II Plus : Příručka pro uživatele [online]. Přel. Antonín Vrba. 2003 [cit. 2014-06-06]. Dostupné na www:
[2]
ČŠI. Výroční zpráva České školní inspekce za školní rok 2013/2014. [online] 2014. [cit. 2015-01-11]. Dostupné na www:
[3]
DANILOV, V. L. a kol. Přehled matematické analýzy I. Praha: SNTL, 1968.
[4]
DOSTÁL, J. Interaktivní tabule ve výuce. In Journal of Technology and Information Education. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2009.
[5]
DOSTÁL, J. Počítač ve vzdělávání, Modul 1. Olomouc: Votobia Olomouc, 2007.
[6]
EMANOVSKÝ, P. Úvod do metodologie pedagogického výzkumu. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013.
[7]
FUCHS, E., HRUBÝ, D. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu – čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2006.
[8]
FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001.
[9]
HANZÁK, T. Analýza – uživatelský manuál. [online] 2005. [cit. 2014-09-30]. Dostupné na www: < www.sweb.cz/thanzak>
[10]
HAŠEK, R. Derive 6 – Řešení vybraných úloh z matematiky [online]. 2004 [cit. 2015-03-13]. Dostupné na www:
[11]
HÁTLE, J. Matematika na internetu. In MFI. Praha: Prometheus, 2008.
[12]
HÁTLE, J. Úloha učitele při výuce matematiky podporované počítačem. In Užití počítačů ve výuce matematiky. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2007.
[13]
HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN, 1990.
[14]
HONZÍK, L. Wolfram|Alpha. In. MFI [online] 2013. [cit. 2015-02-18]. Dostupné na www:
[15]
HONZÍK, L., TICHÝ, M. GeoGebra – více než dynamická geometrie. In MFI. Praha: Prometheus, 2010.
[16]
HRUBÝ, D., KUBÁT, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997.
[17]
http://dumy.cz/
[18]
http://funkce.argh.cz/default.aspx/
[19]
http://geonext.uni-bayreuth.de/
[20]
http://home.pf.jcu.cz/~math4all/vyuziti_pocitacu_wxmaxima_u.php
[21]
http://i2geo.net/
[22]
http://info.edu.cz/
31
[23]
http://jsxgraph.org
[24]
http://maxima.sourceforge.net/
[25]
http://mfi.upol.cz/index.php/mfi
[26]
http://openoffice.apache.org/
[27]
http://rvp.cz/
[28]
http://thanzak.sweb.cz/
[29]
http://user.mendelu.cz/marik/akademie/
[30]
http://www.akermann.cz/standardni-it/software-cabri/vsechny-licence.html
[31]
http://www.cabri.com/
[32]
http://www.geogebra.org/
[33]
http://www.interaktivni-projektory.cz/
[34]
http://www.mathematica.cz/index.php
[35]
http://www.padowan.dk/
[36]
http://www.pf.jcu.cz/cabri/
[37]
https://www.czso.cz/csu/czso/3-vzdelani1778
[38]
CHRAMCOV, B. Základy práce v prostředí Mathematica. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2005.
[39]
CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu. Praha: Grada, 2007.
[40]
CHRÁSKA, M. Úvod do výzkumu v pedagogice. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2003.
[41]
CHRÁSKA, M. Základy výzkumu v pedagogice. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, 1998.
[42]
JOHANSEN, I. Graph – Verze 4.4 [online] 2012. [cit. 2014-09-01]. Dostupné na www:
[43]
KRAUS, J. Nový akademický slovník cizích slov. Praha: Academia, 2005.
[44]
KUŘINA, F. Umění vidět v matematice. Praha: SPN, 1990.
[45]
LJUSTERNIK, L. A. a kol. Přehled matematické analýzy II. Praha: SNTL, 1969.
[46]
MAŇÁK, J., ŠVEC, V. Výukové metody. Brno: Paido, 2003.
[47]
MANGANO, S. Mathematica Cookbook. USA, Sebastopol (CA), 2010.
[48]
MATYÁŠ, V. Graf funkce s parametry v Excelu. In MFI. Praha: Prometheus, 2007.
[49]
MATYÁŠ, V. Posloupnosti a řady v Excelu. In MFI. Praha: Prometheus, 2006.
[50]
MATYÁŠ, V. Užití Excelu při znázorňování limit funkcí. In MFI. Praha: Prometheus, 2006.
[51]
MÍČA, D. Manuál [online] 2005. [cit. 2015-04-24]. Dostupné na www:
32
[52]
MÍČA, D. Využití programu Funkce [online] 2005. [cit. 2015-04-24]. Dostupné na www:
[53]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ ČESKÉ SOCIALISTICKÉ REPUBLIKY. Soubor učebních osnov všeobecně vzdělávacích předmětů pro tříleté učební obory. Praha: SPN, 1985.
[54]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ ČESKÉ SOCIALISTICKÉ REPUBLIKY. Učební osnovy pro gymnázia – Matematika (povinný předmět). Praha: SPN, 1977.
[55]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ ČESKÉ SOCIALISTICKÉ REPUBLIKY. Učební osnovy pro gymnázia – Matematika (povinný předmět). Praha: SPN, 1981.
[56]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY ČESKÉ REPUBLIKY. Učební dokumenty pro gymnázia. Praha: Fortuna, 1999.
[57]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Rámcový vzdělávací program pro obor vzdělání Autoelektrikář [online]. [cit. 2015-03-02]. Dostupné na www:
[58]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Rámcový vzdělávací program pro obor vzdělání Strojírenství [online]. [cit. 2015-03-02]. Dostupné na www:
[59]
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Zpráva o vývoji českého školství od listopadu 1989 (v oblasti regionálního školství) [online]. 2009 [cit. 2015-03-10]. Dostupné na www: <www.msmt.cz/file/10376_1_1/download/>
[60]
MUSÍLEK, M. Vykreslování grafů funkcí pomocí interaktivního geometrického náčrtníku Cabri Geometrie II Plus [online] 2005. [cit. 2014-10-22]. Dostupné na www:
[61]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia – Funkce. Praha: Prometheus, 2008.
[62]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Praha: Prometheus, 2002.
[63]
ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia – Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 1995.
[64]
PETTY, G. Moderní vyučování. Praha: Portál, 2008.
[65]
POLÁK, J. Didaktika matematiky: Jak učit matematiku zajímavě a užitečně. Plzeň: Fraus, 2014.
[66]
POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1995.
[67]
PRAŽÁK, P., PRAŽÁKOVÁ, B. Excel a rekurentně zadané posloupnosti ve finanční matematice. In MFI. Praha: Prometheus, 2008.
[68]
PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E., MAREŠ, J. Pedagogický slovník. Praha: Portál, 2009.
[69]
Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. Praha: VÚP, 2007.
[70]
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha: MŠMT, 2013.
[71]
ŘÍHA, J. a kol. Software Mathematica v přírodních vědách a ekonomii. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2012.
33
[72]
ŘÍHA, J., LÁTAL, F. ŘÍHOVÁ, V. WolframAlpha ve výuce přírodovědných a ekonomických předmětů. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2015.
[73]
SCHWABIK, Š. Druhá krize matematiky aneb potíže růstu diferenciálního a integrálního počtu. In Matematika v proměnách věků I. Praha: Prometheus, 1998.
[74]
Slovník školské matematiky, Praha: SNP, 1981.
[75]
ŠILOV, G. J. Matematická analýza. Bratislava: Alfa, 1974.
[76]
ŠTĚDROŇ, B. Ochrana a licencování počítačového programu. Praha : Wolters Kluwer Česká republika, 2010.
[77]
ŠVARCOVÁ, I. Základy pedagogiky. Praha: Vydavatelství VŠCHT Praha, 2011.
[78]
TRÁVNÍČEK, S. Lomené čáry jako grafy funkcí s absolutními hodnotami. In MFI. Praha: Prometheus, 2009.
[79]
TRÁVNÍČEK, S., CALÁBEK, P., ŠVRČEK, J. Matematická analýza I (pro učitelské obory). Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2014.
[80]
TRÁVNÍČEK, S., MATYÁŠ, V. Derivace v Excelu. In MFI. Praha: Prometheus, 2009.
[81]
VANÍČEK, J. Dynamická geometrie [online]. [cit. 2014-10-10]. Dostupné na www:
[82]
WELLIN, P., CALKINS, H. M101: A First Course in Mathematica. USA, Champaign (IL): Wolfram Research, Inc., 2011.
34
Životopis Jméno a příjmení
Mgr. Jiří Hátle
Datum a místo narození
28. dubna 1983 v Hořicích v Podkrkonoší, okr. Jičín
Adresa
Dr. Milady Horákové 220/35, 779 00 Olomouc
Státní příslušnost
ČR
Kontakt
[email protected]
Vzdělání 2006 – dosud
Postgraduální (doktorské) studium didaktiky matematiky na Katedře algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty UP v Olomouci
2001 – 2006
PřF UP v Olomouci, Učitelství pro střední školy: Matematika – Deskriptivní geometrie
1994 – 2001
Gymnázium Hořice
Pracovní zkušenosti školního rok 2009/2010
výuka na Střední odborné škole služeb s.r.o. v Olomouci (matematika a ICT)
školní rok 2007/2008
výuka na Slovanském gymnáziu v Olomouci (matematika) a na Církevním gymnáziu Německého řádu v Olomouci (deskriptivní geometrie)
od školního roku 2006/2007 výuka na katedře algebry a geometrie PřF UP v Olomouci
35
Přehled publikační činnosti [1] HÁTLE, J. Mini – Jarmark na ZŠ v Pasece u Olomouce. In Nové metody propagace přírodních věd mezi mládeží (sborník příspěvků). Olomouc: VUP, 2006. s. 64. ISBN 8024415240 [2] HÁTLE, J. Výpočet BMI v Excelu. Matematika – fyzika – informatika. Praha: Prometheus, 2007. s. 559 – 563. ISSN 1210-1761 [3] HÁTLE, J. Využití shodných zobrazení v konstrukčních úlohách v programu Cabri Geometrie. In XXV. Mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Brno: Univerzita obrany, 2007. 978-80-7231-228-3 [4] HÁTLE, J., MOLNÁR, J., NOCAR, D. Přírodovědný klokan 2006/2007. Olomouc: VUP, 2007. ISBN 978-80-244-1761-5 Podíl J. Hátleho na publikaci: 40 %. [5] HÁTLE, J. Úloha učitele při výuce matematiky podporované počítačem. In Užití počítačů ve výuce matematiky (sborník příspěvků). České Budějovice: 2007. ISBN 978-807394-048-5 [6] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan. In Nové metody propagace přírodních věd mezi mládeží aneb věda je zábava (sborník příspěvků). Olomouc: VUP, 2007. s. 39. ISBN 978-80-244-1808-7 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [7] HÁTLE, J. Matematika na internetu. In MFI. Praha: Prometheus, 2008. s. 109-113. ISSN 1210-1761 [8] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan 2006/2007 – kategorie Kadet. In Jak učit matematice žáky ve věku 11-15 let (sborník příspěvků). Plzeň: Vydavatelský servis, Plzeň, 2007. s. 55-60. ISBN 978-80-86843-17-9 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [9] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan. In Nové metody propagace přírodních věd mezi mládeží aneb věda je zábava (sborník příspěvků). Olomouc: VUP, 2008. s. 77-78. ISBN 978-80-244-2127-8 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [10] HÁTLE, J., SLEZÁKOVÁ, J. Vybrané křivky v programu CABRI GEOMETRIE. In 28. konference o geometrii a grafice (sborník příspěvků). Brno: Ediční středisko MZLU v Brně, 2008. ISBN 978-80-7375-249-1 Podíl J. Hátleho na publikaci: 50 %. [11] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan 2007/2008. Olomouc: VUP, 2008. ISBN 978-80-244-2129-2 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [12] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan 2006/2007 - kategorie Junior. In MAKOS 2007 (sborník příspěvků). 2008. ISBN 978-80-7399-586-7 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [13] HÁTLE, J., BOTUR, M.: The Position of Mathematics in The Scientific Kangaroo Contest. In International conference Presentation of Mathematics ’08 – Liberec (sborník příspěvků). Liberec: Technická univerzita v Liberci, 2009. s.147 – 154. ISBN 978-80-7372434-4 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [14] HÁTLE, J., MOLNÁR, J.: Přírodovědný klokan 2008/2009. Olomouc: VUP, 2009. ISBN 978-80-244-2257-2 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [15] HÁTLE, J.: Přírodovědný klokan. In Ani jeden matematický talent nazmar (sborník příspěvků). UK v Praze, 2009. ISBN 978-80-7290-417-4 36
[16] HÁTLE, J. Třetí ročník přírodovědné soutěže. In MAKOS 2008 (sborník příspěvků). Olomouc: VUP, 2010. ISBN 978-80-244-2585-6 [17] HÁTLE, J., MOLNÁR, J., TLÁSKAL, J.: Přírodovědný klokan 2009/2010. Olomouc: VUP, 2010. ISBN 978-80-244-2633-4 Podíl J. Hátleho na publikaci: 40 %. [18] HÁTLE, J.: Matematický klokan 2010. Olomouc: VUP, 2010. ISBN 978-80-2442666-2 [19] HÁTLE, J., MOLNÁR, J., TLÁSKAL, J.: Přírodovědný klokan 2010/2011. Olomouc: VUP, 2011. ISBN 978-80-244-2793-5 Podíl J. Hátleho na publikaci: 40 %. [20] HÁTLE, J. Matematický klokan 2011. Olomouc: VUP, 2011. ISBN 978-80-2442914-4 [21] HÁTLE, J. Myslím, tedy jsem... matematik. In: Kvítek, Libor. Přírodní vědy pod drobnohledem. Olomouc: VUP, 2012. ISBN 978-80-244-2962-5 [22] HÁTLE, J. Matematika jako hra. In: Kvítek, Libor. Přírodní vědy pod drobnohledem. Olomouc: VUP, 2012. s. 99 – 103. ISBN 978-80-244-2962-5 [23] HÁTLE, J. Rekreační matematika. In: Kvítek, Libor. Aplikace výsledků základního výzkumu v oblasti přírodních věd do praxe. Olomouc: VUP, 2012. s. 73 – 78. ISBN 978-80-244-3187-1 [24] HÁTLE, J. Apolloniovy a Pappovy úlohy a kruhová inverze. In: Kvítek, Libor. Metody výzkumu v oblasti přírodních věd. Olomouc: VUP, 2012. s. 49 – 54. ISBN 97880-244-3186-4 [25] MOLNÁR, J., ŠVRČEK, J., VANĚK, V. a HÁTLE, J. Vybrané úlohy z matematiky (nejen pro střední školy). Olomouc: VUP, 2012. ISBN 978-80-244-3103-1 Podíl J. Hátleho na publikaci: 20 %. [26] HÁTLE, J. Matematický klokan 2012. Olomouc: VUP, 2012. ISBN 978-80-2443231-1 [27] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan 2011/2012. Olomouc: VUP, 2012. ISBN 978-80-244-3232-8 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [28] HÁTLE, J. Matematický klokan 2013. Olomouc: VUP, 2013. ISBN 978-80-2443881-8 [29] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan 2012/2013. 1. vyd. Olomouc: VUP, 2013. ISBN 978-80-244-3880-1 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %. [30] HÁTLE, J. Matematický klokan 2014. 1. vyd. Olomouc: VUP, 2014. ISBN 978-80244-4306-5 [31] HÁTLE, J., MOLNÁR, J. Přírodovědný klokan 2013/2014. 1. vyd. Olomouc: VUP, 2014. ISBN 978-80-244-4307-2 Podíl J. Hátleho na publikaci: 60 %.
37
Aktivní vystoupení na konferencích 1. Nové metody propagace přírodních věd mezi mládeží, Olomouc, 14. – 15. 12. 2006. 2. Klokani v Jeseníkách, Malá Morávka, 18. – 21. 1. 2007. 3. XXV. International Colloquium on the Management of Educational Process, Brno, 17. 5. 2007. 4. MAKOS 2007 (Mezinárodní podzimní škola péče o talenty v matematice), Mariánská u Jáchymova, 11. – 13. 10. 2007. 5. Užití počítačů ve výuce matematiky, České Budějovice, 8. – 10. 11. 2007. 6. Jak učit matematice žáky ve věku 11-15 let, Litomyšl, 18. – 20. 10. 2007. 7. Nové metody propagace přírodních věd mezi mládeží, Olomouc, 15. – 16. 11. 2007. 8. Klokani v Jeseníkách, Malá Morávka, 24. – 27. 1. 2008. 9. MAKOS 2008 (Mezinárodní podzimní škola péče o talenty v matematice), Velké Karlovice, 8. – 11. 10. 2008 10. 28. konference o geometrii a grafice, Lednice, 8. – 11. 9. 2008. 11. International conference Presentation of Mathematics ’08, Liberec, 16. – 19. 9. 2008. 12. Nové metody propagace přírodních věd mezi mládeží aneb Věda je zábava, Olomouc, 6. – 7. 11. 2008. 13. Klokani v Jeseníkách, Malá Morávka, 8. – 11. 1. 2009 14. Ani jeden matematický talent nazmar, Hradec Králové, 16. – 18. 4. 2009. 15. MAKOS 2009 (Mezinárodní podzimní škola péče o talenty v matematice), Janské Lázně, 7. – 10. 10. 2009. 16. Setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol 2010, Srní, 4. – 6. 11. 2010. 17. Klokani v Jeseníkách, Malá Morávka, 13. – 16. 1. 2011. 18. Mensa pro rozvoj nadání, Prostějov, 19. 11. 2014.
38
Vědecko-pedagogické aktivity 1. výuka na Katedře algebry a geometrie PřF UP v Olomouci 2. projekty a granty – člen řešitelského týmu a. STM-Morava, NPV II č. 2E06029 b. Přírodovědec, CZ.1.07/2.3.00/09.0040 c. Rozšíření akreditace učitelství matematiky a učitelství deskriptivní geometrie na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou, CZ.1.07/2.2.00/18.0013 d. A-Math-Net
Síť
pro
transfer
znalostí
v
aplikované
matematice,
CZ.1.07/2.4.00/17.0100 e. Pevnost poznání, CZ.1.05/3.2.00/09.0171 f. Univerzita Palackého - centrum vědy pro všechny, CZ.1.07/2.3.00/35.0011 g. Algebraické metody v kvantové logice, CZ.1.07/2.3.00/20.0051 h. Badatelsky orientovaná výuka ve školním a neformálním vzdělávání, CZ.1.07/2.3.00/45.0035 i. Moderní přístup k aplikaci matematických dovedností v přírodovědných a ekonomických oborech, CZ.1.07/2.2.00/28.0168 j. Zvyšování kvality ve vzdělávání v SO ORP Šternberk, CZ.1.07/1.1.00/46.0009 3. stáže a. Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, listopad 2013 b. Univerzita Komenského v Bratislave, duben 2014 4. další a. garant celorepublikové soutěže Přírodovědný klokan b. vedoucí Klubu nadaných dětí Olomouc
39
Anotace, abstrakt Název práce:
Výuka prvků matematické analýzy na střední škole s využitím ICT
Autor:
Mgr. Jiří Hátle
Katedra:
Katedra algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci
Školitel:
doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc.
Studijní program:
Matematika
Studijní obor:
Didaktika matematiky
Jazyk:
Český
Počet stran:
116
Počet příloh:
1
Rok obhajoby:
2015
Klíčová slova:
matematika, matematická analýza, ICT, program, využití, vyučování
Abstrakt Práce se věnuje využití informačních a komunikačních technologií při výuce učiva matematické analýzy v hodinách matematiky na středních školách v České republice jak po stránce teoretické, tak výzkumné. Práce je rozdělena na část teoretickou a empirickou. Práce obsahuje šest kapitol, kde první je Úvod a poslední je Závěr. Ve druhé kapitole kromě samotného vymezení pojmu matematická analýza věnujeme analýze a porovnání výskytu prvků matematické analýzy v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol v minulosti a současnosti.
40
Ve třetí kapitole jsou vymezeny pojmy ICT, hardware a software a jejich rozdělení. Hlavní částí této kapitoly je analýza, výběr a popis některých programů a internetových zdrojů vhodných pro využití v přípravě a realizaci hodin matematiky. Ve čtvrté kapitole se zabýváme přípravou, realizací a vyhodnocením výzkumu, který byl proveden mezi učiteli matematiky SŠ v celé ČR. Tématem výzkumu je využití počítačů ve výuce matematiky na SŠ. Pátá kapitola obsahuje vytvořené návrhy a ukázky využití vybraného softwaru při výuce prvků matematické analýzy v hodinách matematiky na SŠ s cílem nabídnout učitelům matematiky obohacení jejich portfolia témat vyučovaných s využitím ICT. Za celkový přínos této práce lze považovat nejen zpracování uceleného materiálu k problematice využití ICT ve výuce matematiky se zaměřením na matematickou analýzu, ale i vytvoření konkrétních návrhů využití ICT v praxi. Teoretické informace, výsledky výzkumného šetření a návrhy využití mohou být zdrojem informací a inspirace pro pedagogy na středních školách, studenty učitelství matematiky na vysokých školách a další zájemce o danou problematiku.
41
Annotation, abstract Title:
Teaching parts of mathematical analysis at secondary school using ICT
Author:
Mgr. Jiří Hátle
Department:
Department of Algebra and Geometry of Faculty of Science of Palacký University in Olomouc
Supervisor:
doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc.
Study Programme:
Mathematics
Field of Study:
Didactics of Mathematics
Language:
Czech
Number of pages::
116
Number of appendices:
1
The year of presentation:
2015
Keywords:
mathematics, mathematical analysis, ICT, programme, use, teaching
Abstract
Our paper deals with the use of ICT in teaching mathematical analysis at secondary schools in the Czech Republic. It is divided into two parts: theoretical and practical.
The paper contains six chapters, with the first one being the Introduction and the last one the Summary. The second chapter defines the term mathematical analysis and compares occurrence of mathematical analysis in mathematical teaching materials and education documents at secondary schools in the past and now.
In the third chapter, we define the terms ICT, hardware and software and how they distinguish. The main part of this chapter is the analysis, selection and description of some programmes and online sources useful for mathematical lessons. 42
The forth chapter describes the preparation, realization and interpretation of the research which was conducted among maths teachers at secondary schools in the Czech Republic. The topic of the research is the use of computers in teaching mathematics at secondary schools.
The fifth chapter contains newly created examples how to use the software in teaching mathematical analysis at secondary schools. Its aim is to offer maths teachers support and broaden their portfolio of lessons taught by ICT.
We believe that our complex material about the use of ICT in teaching mathematical analysis and creating suggestions how to use ICT in teaching will be beneficial to readers. Theoretical information, results of our research and practical suggestions can be a source of information and inspiration for teachers at secondary schools, students at universities and other people interested in the topic.
43
