TĚŽIŠTĚ TĚLESA (hmotný střed tělesa)

TĚŽIŠTĚ TĚLESA (hmotný střed tělesa) Těžiště tělesa objemu V, které budeme označovat T = [xT, yT, zT], je působiště výslednice r r tíhových sil G i ( G i = Gi ) působících na y jednotlivé elementy tělesa. Rozdělíme-li těleso na elementární částice o hmotnosti mi, r kde i je počet částic, tvoří tíhové síly G i působící na jednotlivé částice (předpokládáme-li, že tíhové síly jsou prakticky rovnoběžné) soustavu rovnoběžných sil. Výslednice těchto r rovnoběžných sil je tíhová síla tělesa G , určená rovnicí r r (1) G = ∑Gi .

T = [ xT , yT , z T ] mi Gi

O

xT =

i

⋅ xi

G

,

yT =

z iT yT

xiT

V dalších vztazích pracujeme jen s váhami Gi tíhových sil. Polohu těžiště vzhledem k souřadnicovým osám vypočítáme z podmínky rovnosti statických momentů i

G

yiT

i

∑G

m

x zT

xT

z

Obr. 1: Poloha těžiště tělesa

∑G

i

i

G

⋅ yi ,

zT =

∑G

i

i

G

⋅ zi .

(2)

Poloha těžiště vzhledem k tělesu se nemění, jestliže tělesem pootočíme. Přímka procházející r těžištěm, která je nositelkou výslednice tíhových sil G i pro dané natočení tělesa, se nazývá těžnice. Zjistíme-li polohu těžnice ve dvou vzájemně natočených polohách tělesa, je poloha těžiště určena průsečíkem obou těžnic. Těžnice na stranu b y

α

b b/ 2

c T = [ xT , yT ]

β

xT

γ

yT

x

a/ 2 a

Těžnice na stranu a Obr. 2: Poloha těžiště určena z průsečíku těžnic spuštěných na strany obecného trojúhelníka.

1

Vztah (1) lze přepsat na vztah (3) rozepsáním váhy tíhové síly Gi na součin hmotnosti r r elementární částice mi a velikosti tíhového zrychlení g i , g i = g i příslušného elementární částici. m ⋅ g = ∑ mi ⋅ g i .

(3)

i

Předpokládáme-li stejnorodé (homogenní) tíhové pole, je velikost tíhového zrychlení všech elementárních částic shodné. Vztah (2), (3) lze dále zjednodušit a polohu těžiště lze vyjádřit jen v závislosti na hmotnosti tělesa a hmotnosti jeho elementárních částic. m = ∑ mi ,

(4)

i

xT =

∑m

⋅ xi

i

i

yT =

,

m

∑m

⋅ yi

i

i

zT =

,

m

∑m

⋅ zi

i

i

.

m

(5)

Hmotnost m tělesa o objemu V a u stejnorodého (homogenního) tělesa i hmotnost mi částice tělesa o objemu Vi lze vyjádřit pomocí měrné hmotnosti ρV ( [ ρ V ] = kg ⋅ m −3 ) (hustoty tělesa).

Potom m = ρ V ⋅ V a mi = ρV ⋅ Vi . Dosazením těchto vztahů do rovnice (5) a zkrácením měrnou hmotností ρV obdržíme

xT =

∑V

i

⋅ xi

i

yT =

,

V

∑V

i

⋅ yi

i

,

V

zT =

∑V

i

⋅ zi

i

.

V

(6)

Z těchto rovnic je zřejmé, že poloha těžiště stejnorodého tělesa je závislá pouze na tvaru tělesa a nezávislá na jeho hmotnosti. Stejným způsobem určíme polohu těžiště plochy S, označíme-li její elementy Si a plošnou hustotu ρS ( [ ρ S ] = kg ⋅ m −2 ), podle rovnice

xT =

∑S

i

⋅ xi

i

yT =

,

S

∑S

i

⋅ yi

i

,

S

zT =

∑S

i

⋅ zi

i

.

S

(7)

Podobně těžiště čáry délky l, označíme-li její elementy li a délkovou hustotu ρl ( [ ρ l ] = kg ⋅ m −1 ), má souřadnice

xT =

∑l

i

⋅ xi

i

yT =

,

l

∑l

i

i

l

⋅ yi ,

zT =

∑l

i

i

l

⋅ zi .

(8)

U rovinných ploch a čar vystačíme se dvěma souřadnicemi, tj.

xT =

∑S

i

i

S

⋅ xi ,

yT =

∑S

i

i

S

⋅ yi ,

a

xT =

∑l

i

i

l

⋅ xi ,

yT =

∑l

i

i

l

⋅ yi .

(9)

Dosud jsme se zabývali jen těžištěm jednoho tělesa. Nalézt těžiště více těles je obdobné. Známe-li těžiště jednotlivých těles, lze pak jednoduchou úpravou vztahu (6) pro homogenní těleso upravit na vztah pro soustavu těles, která mají stejnou objemovou hustotu ρV.

2

∑V ⋅ x = ∑V k

xT

k

kT

∑V ⋅ y = ∑V k

,

k

k

yT

kT

¨k

∑V ⋅ z = ∑V k

,

k

zT

k

kT

(10)

,

k

k

k

kde k je počet těles soustavy, Vk je objem k - tého tělesa a [ x kT , y kT , z kT ] jsou souřadnice těžiště k - tého tělesa. Obdobným způsobem bychom získali těžiště soustavy ploch a soustavy čar. V dalším výkladu se budeme zabývat úvahami o tělesech stejnorodých. Má-li těleso rovinu souměrnosti, leží těžiště v této rovině a k jeho určení je potřeba určit jen zbývající dvě souřadnice. Je-li rovin souměrnosti u tělesa více, leží těžiště na jejich průsečnicích. Má-li těleso osu souměrnosti (např. rotační válec), leží těžiště na této ose a k jeho určení je třeba jen jediné souřadnice. Má-li těleso více os souměrnosti, leží těžiště na jejich průsečíku. Má-li těleso střed souměrnosti (např. koule), leží těžiště v tomto středu. Věty platí obdobně pro geometrické útvary rovinné i prostorové.

ϕ

ϕ

S≡ T

T

T

R

π

ψ

θ

o

o

Obr. 3: Rovina π, osa o a střed S souměrnosti.

Věty Pappusovy-Guldinovy Věty Pappusovy-Guldinovy lze použít pro určení polohy těžiště čar a ploch. Původním úkolem vět bylo popsat způsob, kterým je možné vypočítat povrchy rotačních těles, vznikajících rotací rovinné křivky kolem osy (ležící v její rovině, ale křivku neprotínající) a objem rotačních těles, vzniklých rotací plochy kolem osy (ležící opět v rovině této plochy, ale neprotínající ji). 1. věta Pappusova-Guldinova Otáčením rovinné čáry délky l okolo osy o v její rovině vznikne rotační plocha S. Element jejího povrchu dS vytvořený při této rotaci prvkem čáry délky dl má velikost dS = 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ dl

(11)

Celou plochu obdržíme integrací l

l

0

0

S = ∫ 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ dl = 2 ⋅ π ⋅ ∫ x ⋅ dl = 2 ⋅ π ⋅ xT ⋅ l ,

(12)

kde byl využit vztah pro výpočet těžiště čáry z (8) jen s tím rozdílem, že element čáry li

3

byl nahrazen velmi malým elementem dl a operátor

∑

byl nahrazen operátorem

∫

součtu nekonečně malých elementů.

dS

l

ω

dl

o Obr. 4: Rotační plocha vzniklá rotací čáry l kolem osy o, čáru neprotínající. Ze vztahu (12) je tedy zřejmý výpočet těžiště čáry známé délky l, známe-li obsah rotační plochy, která vznikne rotací čáry kolem osy, čáru neprotínající

xT =

S 2 ⋅π ⋅ l

.

(13)

Povrch rotačního tělesa je roven součinu z délky tvořící čáru a z délky kružnice opsané při rotaci těžiště čáry (první věta Guldinova) 2. věta Pappusova-Guldinova Otáčením plochy S okolo osy o vznikne rotační těleso objemu V. Jeho element dV má velikost dV = 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ dS a celý objem tělesa je V = ∫ 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ dS = 2 ⋅ π ⋅ ∫ x ⋅ dS = 2 ⋅ π ⋅ x T ⋅ S ,

(14)

S

S

xT =

V 2 ⋅π ⋅ S

.

(15)

Objem rotačního tělesa je roven součinu z velikosti plochy S a z délky kružnice opsané při rotaci těžiště plochy (druhá Guldinova věta). dV

ω dS

V

S

o Obr. 5: Rotační těleso vzniklé rotací plochy S kolem osy o.

4

Těžiště jednoduchých rovinných útvarů Tvar desky

Obsah plochy

Poloha těžiště

y a a

S = a⋅a

a a T =[ , ] 2 2

S = a ⋅b

a b T =[ , ] 2 2

S = π ⋅r2

T = [0, 0]

S = a⋅c

a c T =[ , ] 3 3

S = a ⋅ va

a v T =[ , a ] 2 3

x

y b a

x

y x

r

y b

c •

a

x

y b va

b

•

a

x

Tab. 1: Těžiště jednoduchých rovinných útvarů.

5