T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
Term´eszeti viszonyok. Kedvez˝o f¨oldrajzi ´es ´eghajlati viszonyok. Szinte minden oldalr´ ol term´eszetes, nehezen ´athatolhat´ o hat´arok: ´eszakon ´es keleten tenger, d´elen az Etiop magasf¨ old, nyugaton a Nubiai sivatag; bej´arat” csak a Sinai f´elsziget fel¨ ol. ” A (sokhely¨ utt keskeny) foly´ ov¨ olgy v´edett a h´ od´ıt´ okt´ ol, k¨ uls˝ o hat´asokt´ ol. Nincsenek puszt´ıt´ o es˝ ok, de a Nilus rendszeresen ´arad,
Az Egyiptomi K¨oz´epbirodalom matematik´aja. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
I I
2015. szeptember 8.
I
ez v´ız + szerves anyag ut´anp´ otl´ast jelent, lehet˝ os´eg nagy mennyis´eg˝ u gabona termel´es´ere. Ez´ert e vid´ek sz´amos ´ okori birodalom ´el´eskamr´ajak´ent” funkcion´alt. ”
A Nilus rendszeres ´arad´asa csillag´aszati megfigyel´esekre t´amaszkodva napt´arrendszer¨ uk alapja lett. Ez az ´arad´asok miatti f¨ oldm´er´esek r´ev´en az itt ´el˝ o n´epek matematik´aj´anak fejl˝ od´es´ere is hatott.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
1 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
2 / 45
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
Az egyiptomi civiliz´aci´o kezdete.
Els˝o egyes´ıt´es.
Az egyiptomi mitol´ogia: a legf˝obb istenek.
A predinasztikus kor v´ege
Kezdet: a Napisten,
Narmer Fels˝ o-Egyiptom uralkod´ oja a IV. ´evezred v´eg´en megh´ od´ıtja Als´ o-Egyiptomot.
RA vagy R´e, Amonr´e.
A Narmer paletta
Gyemekeik az isten p´ar”: SU ´es TEFNUT, ” a sz´arazs´ag” ´es a nedvess´eg” isteni p´arja. ” ” ´ ´es GEB a F¨ Gyermekeik az isten p´ar”: NUT az Eg old istene. ” Gyermekeik a k´et isten p´ar”: OZIRISZ ´es IZISZ valamint SET ´es ” NEFTISZ. A k´et p´ar f´erfi tagjainak, Ozirisznek ´es Setnek ´alland´ o harca.
A k´et kir´alys´ag. Als´o- ill. Fels˝o Egyiptom, elt´er˝ o temetkez´esi szok´asok. Kapcsolat Mezopot´ami´aval a 4. ´evezred v´ege fel´e. Az els˝o ´ır´as, a hieroglifikus, kialakul´asa. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
3 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
4 / 45
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
Els˝o egyes´ıt´es.
A h´arom birodalom. A dinaszti´ak. I.e. 280 k¨ or¨ ul uralkodott (hell´en korbeli) II. Ptolemaiosz (Philadelphusz) utas´ıt´as´ara egy Manetho nev˝ u pap
Narmer paletta: el˝olap Narmer neve a tetej´en olvashat´ o (korai hieroglif ´ır´as) a Hathor-fejek k¨ozt, az uralkod´o Fels˝o-Egyiptom feh´er koron´aj´at viseli,
list´at k´esz´ıtett az uralkod´ okr´ ol (uralkod´ o csal´adokr´ ol), amely 31 u ´n. dinaszti´at sorolt f¨ ol.
´ Az Obirodalom.
az Als´o-Egyiptomot szimboliz´al´ o fejedelemre s´ ujt, Als´o-Egyiptom jelk´ep´et H´orusz isten megk¨ ot¨ ozi.
Narmer Als´o-Egyiptom v¨or¨ os koron´aj´at viseli,
Az els˝ o egyes´ıt´es I.e. 3100 k¨ or¨ ul (3200 ´es 2800 k¨ oz¨ otti id˝ opontok olvashat´ ok), Narmer ut´ oda: Men´esz (H´ orusz Aha n´even is szerepel) stabiliz´alja a h´ od´ıt´ast. ´ Kezdet´et veszi az Obirodalom kora.
k¨or¨ ul¨otte lefejezett ellens´egek.
Piramis´ep´ıt´esek: a Kir´alyok v¨ olgye. Abu Simbel sziklatemploma.
Narmer paletta: h´atlap
Szobr´aszati eml´ekek: a guggol´ o ´ırnok, Nofretete. Irodalmi alkot´asok: Imhotep (Ptahhoptep) intelmei. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
5 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
6 / 45
T¨ ort´ eneti m´ erf¨ oldk¨ ovek
A h´arom birodalom.
A h´arom birodalom.
A K¨oz´epbirodalom.
M´asodik ´atmeneti kor.
I.e. 2200-t´ol hanyatl´as, majd az els˝ o ´atmeneti kor: a birodalom kett´eszakadt.
I.e. 1750 k¨ or¨ ul a XII. dinasztia v´eg´en, r´eszben k¨ uls˝ o (hikszosz) t´amad´as k¨ ovetkezt´eben, megbukik az egys´eges birodalom, ism´et k´et kir´alys´ag.
I.e. 2040 k¨or¨ ul II. Mentuhotep (XI. dinasztia, Fels˝ o Egyiptom) ism´et egyes´ıti a k´et kir´alys´agot: kezdet´et veszi a K¨ oz´epbirodalom kora. ´ ıt´eszet: a Fajjumi v´ızt´aroz´ Ep´ o.
Elk´esz¨ ul a Rhind papirusz egy m´asolata, sok tov´abbi matematikai tekercs. Kerekes j´arm˝ uvek, fazekaskorong.
Irodalom: Szinuhe t¨ort´enete,
´ Az Ujbirodalom.
Fontos matematikai papirusztekercsek: Rhind (British Musem), Moszkvai (Golenisev) (Puskin M´ uzeum).
1600 k¨ or¨ ul a XVIII. dinasztia uralkod´ oi ism´et egyes´ıtik a birodalmat: ´ l´etrej¨ on az Ujbirodalom.
A hieratikus ´ır´as megjelen´ese.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
7 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
8 / 45
´Ir´ asos eml´ ekek.
´Ir´ asos eml´ ekek.
Az egyiptomi ´ır´asok ´es megfejt´es¨uk.
Az egyiptomi ´ır´asok ´es megfejt´es¨uk. A d´emotikus ´ır´as.
A hieroglifikus ´ır´as.
´ Az Ujbirodalom v´ege fel´e, kb. a I.e. VII. sz´azadban tov´abbi egyszer˝ us´ıt´es, kurziv´al´as r´ev´en l´etrej¨ ott a d´emotikus ´ır´as.
A hieroglifikus ´ır´as egyfajta k´ep´ır´as, hasonl´ o a m´asutt, pl. Mezopot´ami´aban haszn´althoz. Eredete nem vil´agos. ´ Els˝o v´altozata v´elhet˝oen m´eg az Obirodalom el˝ otti id˝ ob˝ ol sz´armazik.
A hieratikus ´ır´as. A hieroglifikus ´ır´as I.e. 2500 k¨ or¨ ul kezdett egyszer˝ us¨ odni, kurz´ıvabb´a” v´alni. ” Hosszabb folyamat eredm´enyek´ent a K¨ oz´epbirodalom idej´en l´etrej¨ ott a hieratikus ´ır´as. Ez v´alt ´altal´anosan haszn´altt´a, a hieroglifikust csak szakr´alis c´elokra haszn´alt´ak ezut´an. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
9 / 45
Az ´ır´asok megfejt´ese. 1799, a Rosetta k˝ o megtal´al´asa. A British Museumban ˝ orzik. A I.e. II. sz´azad elej´er˝ ol sz´armazik. K´etf´ele egyiptomi (hieroglifikus valamint d´emotikus) ´ır´assal, ´es g¨ or¨ og nyelven szerepel ugyanaz a sz¨ oveg: Memphis f˝ opapja istenk´ent, istenek fiak´ent k¨ osz¨ onti V. Ptolemaioszt.
A megfejt´es. 1820-t´ ol Champolion ´es T. Young el˝ obb megfejtett´ek a k´et egyiptomi ´ır´ast, majd interpol´aci´ oval megkapt´ak a hieratikus ´ır´as megfejt´es´et is. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
´Ir´ asos eml´ ekek.
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
10 / 45
Csillag´ aszat.
Rosetta k˝o.
Csillag´aszat. A N´ılus ´arad´asai. Megfigyelt´ek, hogy a a Nilus ´evenk´enti, rendszeres ´arad´asa r¨ oviddel az ut´an k¨ ovetkezik be, hogy a Sziriusz csillag k¨ ozvetlen¨ ul a Nap f¨ olkelte el˝ ott jelenik meg a horizonton. Az ezt k¨ ovet˝ o napokon a csillag hosszabb ideig l´athat´ o a napkelte el˝ ott eg´eszen addig, am´ıg a Nap f´enye elhom´alyos´ıtja. Azt a napot, amelyen a csillag megjelent v´alasztott´ak az ´ev kezd˝ onapj´anak, ugyanis e naphoz volt k¨ othet˝ o a Nilus rendszeres ´arad´as´anak kezdete, ´es A N´ılus ´arad´asai alapvet˝ o fontoss´ag´ uak voltak mez˝ ogazdas´agukban.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
11 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
12 / 45
Csillag´ aszat.
Csillag´ aszat.
Csillag´aszat.
Csillag´aszat.
A tanuls´agok. Azt tapasztalt´ak, hogy k´et ´arad´as, a Sziriusz k´et megjelen´ese k¨ oz¨ ott 365 nap telik el.
A napt´ar bevezet´ese.
Ezt tekintett´ek egy ´evnek.
Egyes forr´asok szerint az egyiptomiak e napt´arukat I.e. 4241-ben vezett´ek be,
Pontosabb sz´am´ıt´asok szerint A Sziriusz k´et megjelen´ese k¨ oz¨ ott kb. 365 14 nap telik el.
de ezen d´atum komolyan megk´erd˝ ojelezhet˝ o.
Ezen elt´er´es a k´es˝obbiek sor´an sz´amos probl´em´at okozott,
E d´atum Censorinus r´ omai csillag´asz I.sz. 238-as sz´am´ıt´asain alapul, szerinte az egyiptomi napt´ar legut´ obb I.sz. 139-ben volt ¨ osszhangban a csillag´aszatival.
napt´arreformok sor´at ind´ıtotta el.
Extrapol´aci´ os sz´am´ıt´asai eredm´enyezt´ek a I.e. 4241-es bevezet´est.
Az els˝o napt´ar. Az ´evet” 12 egyenk´ent 30 napos h´ onapra osztott´ak, ´es volt m´eg 5 ” extra nap”. ” Az 14 napos elt´er´es miatt a rendszer 1460 ´evenk´ent ker¨ ult ¨ osszhangba a val´os´aggal. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
13 / 45
H´arom ciklussal sz´amolt, de val´ osz´ın˝ ubb a k´et ciklussal kor´abbi, azaz I.e. 2773-as bevezet´es.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
14 / 45
2015. szeptember 8.
16 / 45
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Hieratikus ´es d´emotikus sz´amok
Hieroglifikus sz´amok
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
15 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
Aritmetika
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Sz´am´ır´asuk.
Szorz´as kett˝oz´esekkel (hieroglifikusan). 12 · 12
10-es alap´ u ´es nem helyi´ert´ekes, a 10 hatv´anyainak k¨ ul¨onb¨ oz˝ o jele volt. T¨orteket is haszn´altak, DE ...
Aritmetika: o¨sszead´as. Addit´ıv jelleg˝ u, kezdetben minden m˝ uveletet a kett˝ oz´esre vezettek vissza, k´es˝obb t´ızszereztek ´es feleztek is. Ebben a rendszerben egyszer˝ u¨ osszeadni.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
17 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
18 / 45
2015. szeptember 8.
20 / 45
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Szorz´as kett˝oz´esekkel (mai jel¨ol´esekkel). Ism´etelt ¨osszead´ask´ent v´egezt´ek: kett˝ oz´esek ut´an.
Szorz´as t´ızszerez´essel ´es felez´essel (hieroglifikusan).
A 12 · 13 kisz´am´ıt´asa (mai sz´am´ır´assal): 1
13
2
26
o4
52
o8
104
16 · 16
Az els˝o oszlopban a o-mal jelzett sorokban 4 + 8 = 12 ´all, ´ıgy a m´asodik oszlop alapj´an 12 · 13 = 52 + 104 = 156.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
19 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
Aritmetika
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika. Szorz´as mindk´et u´ton (hieroglifikusan)
Szorz´as t´ızszerez´essel ´es felez´essel (mai jel¨ol´esekkel) A 17 · 13 kisz´am´ıt´asa t´ızszerez´essel ´es felez´esel: a 1
13
o 2
26
o10
130
o 5
65
sz´amol´as alapj´an a 17 · 13 szorzat, l´ev´en 17 = 2 + 10 + 5, nem m´as, mint 26 + 130 + 65, azaz 221.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
21 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
22 / 45
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika. Oszt´as. Bonyolultabb azonban a helyzet akkor, ha a h´anyados nem eg´esz. Meg kell vizsg´alni: hogyan sz´amoltak t¨ ortekkel,
Oszt´as.
egy´altal´an milyen t¨ ortekkel tudtak sz´amolni.
Az el˝obbi szorz´as alapj´an az oszt´as is elv´egezhet˝ o akkor, ha a h´anyados eg´esz, ugyanis
T¨ortek.
addit´ıv aritmetik´ajukban az a : b azt jelentette, hogy
A korabeli egyiptomiak sz´am´ara ´altal´aban nem l´eteztek az csak az n1 alak´ uak.
sz´amolj b-vel addig, am´ıg a-t kapsz.
m n
alak´ u t¨ ortek,
T¨ortek: jel¨ol´esek. Saj´at jele csak az fogja jel¨ olni.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
23 / 45
1 n
alak´ u t¨ orteknek, valamint a 23 -nak volt. Ezeket n ´es 3
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
24 / 45
Aritmetika
Aritmetika
Az egyiptomi aritmetika.
Az egyiptomi aritmetika.
Oszt´as.
Sz´amol´as t¨ortekkel.
Tekints¨ uk a 21 : 8 oszt´ast, azaz sz´amoljunk nyolcas´aval addig, am´ıg 21-et kapunk. 1
8
o2
16
o2
4
4
2
o8
1
teh´at, 21 : 8 = 2 + 2 + 8 = 2 +
1 2
H´arom formula a Londoni b˝ ortekercsb˝ ol. 6+6=3 6+6+6=2 3+3=3 Ezekb˝ ol k¨ onnyen kaphat´ ok a Rhind-papiruszon gyakran alkalmazott 3+6=2
+ 18 .
2+3+6=1
A Rhind-papirusz 21. probl´em´aj´anak megold´asa alapj´an: az oszt´asn´al — a szorz´asn´al haszn´alt t´ızszerez´es analogonjak´ent — tizedr´eszt is vettek a sz´amol´as r¨ovid´ıt´es´ere. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
25 / 45
3=2+6
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
26 / 45
A Rhind-papirusz
Az egyiptomi aritmetika.
Az elemi t¨ortek k´etszerez´ese.
K´et sor a Rhind-papirusz 2 : n t´abl´azat´ab´ ol.
Sz´amol´as t¨ortekkel.
Els˝ o 2 : 31 A papiruszon ez ´all:
2+3=3+6
1 + 2 + 20 az 20,
3+2=1+6
4 az, 124
5 az 155.
´Igy
egyenl˝os´egek.
2 = 20 + 124 + 155. 31
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
27 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
28 / 45
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Az elemi t¨ortek k´etszerez´ese.
Az elemi t¨ortek k´etszerez´ese. Interpret´aci´o. A sz´amol´as t¨ om¨ or, csak sejthet˝ o hogyan j¨ ott r´a. Val´ osz´ın˝ u, hogy az els˝ o sor ut´an — amit a tizedr´esz felez´es´evel kap — az eredm´enyt kieg´esz´ıti 2-re, ´es k¨ ozben haszn´alja az ugyancsak a b˝ ortekercsen tal´alhat´ o 20 + 5 = 4 egyenl˝ os´eget.
A m¨og¨ottes sz´amol´as: 1 31 1 20 1 + 2 + 20 /4 124 4 /5 155 5
A m´asodik sor. 2 : 35
ugyanis (1 + 2 + 20) + 4 + 5 = 2.
A papiruszon ez ´all:
6 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
29 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
1 + 6 az 30 7 Mat. Kult´ urt¨ ort.
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Az elemi t¨ortek k´etszerez´ese.
Az elemi t¨ortek k´etszerez´ese.
2015. szeptember 8.
30 / 45
Interpret´aci´o
Az el˝obbi sz´amol´as. 1 + 6 az 30 6 7
1. lehet˝ os´eg: a 7 ´es az 5 nem m´as, mint a hatodok sz´ama az els˝ o sorbeli 1 + 6 ´es 3 + 6-ban, s ekkor az el˝ ol ´all´ o 6-os szerepe is vil´agos, hatodokr´ ol van sz´ o.
3 + 6 az 42 5
2. lehet˝ os´eg: a 6, 7, 5 ford´ıtottan ar´anyos a 35, 30, 42-vel, s ´ıgy egyenesen ar´anyos 35, 30, 42-vel.
´Igy
Az ut´ obbit t´amasztja al´a, hogy a papiruszon lev˝ o k´et sor a k¨ ovetkez˝ o sz´amol´ast rejtheti:
2 = 30 + 42. 35
1 35 /30 1 + 6 /42 3 + 6
A piros sz´amok. A papiruszon szerepl˝o piros sz´amok az els˝ o pillant´asra nehezen interpret´alhat´ok. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
3 + 6 az 42 5
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
Amib˝ ol
31 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2 = 30 + 42. 35 Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
32 / 45
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Az elemi t¨ortek k´etszerez´ese.
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol. A 21. feladat.
Interpret´aci´o
Mi eg´esz´ıti ki a 3 + 15-¨ ot 1-re?
Tekints¨ unk egy mai sz´amol´ast.
Az eredm´eny.
2 12 7 5 1 1 = = + = + , 35 210 210 210 30 42 azaz, t¨ortek sz´aml´al´oik´ent funkcion´alnak.
10 1
osszesen: 10 a marad´ek 4. ¨
A megold´as.
Ezt m´as sz´amol´asaik is al´at´amasztj´ak.
Sz´amolj 15-tel, m´ıg 4-et kapsz.
Kieg´esz´ıt´es 1-re.
1 15 10 1 + 2 o5 3 o15 1
Eml´ekezz¨ unk: a 2 : 31 kisz´am´ıt´as´an´al 2 + 20-at kellett kieg´esz´ıteni 1-re. Kieg´esz´ıt´esk´ent 4 + 5 ad´odott, de a probl´ema nem trivi´alis. Egy kieg´esz´ıt´esi technik´at ad a Rhind 21. feladata. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
A jelzett sorok jobb oldal´an 3 + 1 = 4 tal´alhat´ o, ´ıgy 5 + 15 az, amit hozz´a kell adni. 2015. szeptember 8.
33 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
34 / 45
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol. A Rhind 23. probl´em´aja.
Interpret´aci´o. A v¨or¨os kiseg´ıt˝o sz´amok ism´et tekinthet˝ ok sz´aml´al´ oknak k¨ oz¨ os nevez˝ ore hoz´askor. Ugyanis
Eg´esz´ıts¨ uk ki 4 + 8 + 10 + 30 + 45-¨ ot 3-ra.
3 + 15 = ¨ Osszeg¨ uk 11, teh´at m´eg
4 od 15 -¨
10 1 + 15 15
A (hi´anyos) sz´amol´as.
hi´anyzik.
4 + 8 + 10 + 30 + 45 11 + 4 5+2+8 4+2 1+2 1
Tekints¨ unk egy nehezebb kieg´esz´ıt´est, a Rhind 23. probl´em´aj´at. Ebben a v¨ or¨os kiseg´ıt˝o sz´amok nevez˝ok´ent val´ o interpret´al´asa els˝ o l´at´asra problematikus.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
35 / 45
Az eredm´eny. Teh´at 9 + 40-et kell hozz´aadni, hogy 3-at kapjunk.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
36 / 45
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Ellen˝orz´es.
Rekonstrukci´o.
4+ 8+ 9+ 10+ 30+ 40+ 45+ 3 11 + 4 5 + 2 + 8 5 4 + 2 1 + 8 1 + 2 1 15
Ha a t¨ ortek k¨ oz¨ os nevez˝ oj´enek a 45-¨ ot v´alasztjuk, akkor a sz´aml´al´ ok” ¨ osszege ”
Az ¨osszeg 1. (11 + 4) + (5 + 2 + 8) + (4 + 2) + (1 + 2) + 1 = 23 + 2 + 4 + 8 A tov´abbi r´eszletek hi´anyoznak a papiruszr´ ol, de megadhat´ o egy lehets´eges rekonstrukci´o.
lenne.
Hangs´ ulyozzuk, hogy ez csak egy lehets´eges elj´ar´as, semmi biztosat nem tudunk az eredeti gondolatmenetr˝ ol.
Ezt 45-tel osztva kapjuk a 9 + 40 kieg´esz´ıt´est.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
37 / 45
A 30-hoz m´eg hi´anyzik 6 + 8.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
38 / 45
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Az oszt´as.
A 33. feladat. 1 45 /9 5 /40 1 + 8
Egy mennyis´eghez hozz´aadva k´etharmad´at, fel´et ´es heted´et 37-et kapunk.
A sz´amol´as 1.
Teh´at a h´anyados, vagyis a kieg´esz´ıt´es
1 2 4 8 o16
9 + 40.
Vegy¨uk ´eszre. A korabeli egyiptomi k¨oz¨os nevez˝ o a legkisebb t¨ ort nevez˝ oje, de a sz´aml´al´o ´ıgy m´ar nem ´ertelmezhet˝ o mai m´ odon, hiszen gyakran nem eg´esz. Ez ˝oket nem zavarta.
1+3+2+7 4 + 3 + 4 + 28 (2 · 7 = 4 + 28) 9 + 6 + 14 (3 = 2 + 6) 18 + 3 + 7 36 + 3 + 4 + 28 28 10 + 2 1 + 2
A 36 + 3 + 4 + 28 m´ar nagyon k¨ ozel” van a 37-hez. ” Ami hi´anyzik, az 3 + 4 + 28 kieg´esz´ıt˝ oje 1-re.
Igazol´asul m´eg egy feladat. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
39 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
40 / 45
A Rhind-papirusz
A Rhind-papirusz
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol. A v¨or¨os sz´amok eredete. A sz¨ oveg alapj´an:
A sz´amol´as 2.
1 o3 2 o4 o28
A kieg´esz´ıt´es a v¨or¨os kiseg´ıt˝ o sz´amokon alapul. A k¨oz¨os nevez˝o azonban nem 28, hanem 42. Mi´ert? L´attuk: a sz´aml´al´oknak nem kell eg´eszeknek lenni¨ uk, DE ¨ osszeg¨ uk m´ar mindig eg´esz.
42 28 21 10 + 2 1+2
A folytat´as: az ¨ osszeg 40, a marad´ek 2.
Ez 28-cal m´eg nem, de 42-vel m´ar teljes¨ ul.
A 40 kiseg´ıt˝ o sz´amok ¨ osszege, ´es az egys´eg 42 kiseg´ıt˝ o egys´eget” ” tartalmaz, teh´at 2 m´eg hi´anyzik. E 2-t u ´gy kapjuk, hogy az oszt´ ot, 1 + 3 + 2 + 7-et, kiseg´ıt˝ o egys´egekben fejezz¨ uk ki. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
41 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A Rhind-papirusz
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
42 / 45
A Rhind-papirusz
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
Feladatok a Rhind-papiruszr´ol.
A sz´amol´as 3. o1 o3 o2 o7 az ¨ osszeg
42 28 7 6 97
A v´egeredm´eny. 37 : (1 + 3 + 2 + 7) = 16 + 56 + 679 + 776.
Azaz az oszt´o 97 kiseg´ıt˝o egys´eget tartalmaz, 97-ed r´esze egyenl˝ o 42-del. M´ar csak egy k´etszerez´es kell, ami a papiruszon a k¨ ovetkez˝ o: 97 56 + 679 + 776
42 21
1 2
A k´etszerez´es a Rhind bevezet˝ o t´abl´azat´ab´ ol val´ o. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
43 / 45
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
44 / 45
Egy meglep˝ o eredm´ eny.
A Moszkvai papirusz.
A 14. probl´ema. Az a alap´el˝ u, b fed˝o´el˝ u ´es h magass´ag´ u csonkag´ ula t´erfogata h V = (a2 + ab + b 2 ) · . 3
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mat. Kult´ urt¨ ort.
2015. szeptember 8.
45 / 45
