Teorie elektromagnetického pole Laboratorní úlohy Martin Bruchanov 31. května 2004
1. Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek 1.1. Vlastní indukčnost cívky Naměřené hodnoty • Napětí na primární cívce U1 = 4,423 V • Proud tekoucí primární cívkou I1 = 90,55 mA • Kmitočet napětí U1 f = 1000 Hz • Indukčnost primární cívky L1 L1 =
4,423 U1 = = 7,77 mH I1 ω 90,55 · 10−3 · 2π · 1000
1.2. Vzájemná indukčnost obou cívek Naměřené hodnoty • Napětí indukované na sekundární cívce U2 = 0,595 V • Vzájemná indukčnost M12 M12 =
U2 0,595 = = 1,05 mH I1 ω 90,55 · 10−3 · 2π · 1000
1.3. Závislost vzájemné indukčnosti cívek na úhlu natočení mezi primární a sekundární cívkou Naměřené hodnoty α [◦ ] U2 [V] M12 [mH]
0 0,595 1,046
10 0,584 1,026
20 0,556 0,977
30 0,509 0,895
40 0,440 0,773
1
50 0,373 0,656
60 0,280 0,492
70 0,217 0,381
80 0,130 0,228
90 0,025 0,044
Graf závislosti M12 = f (α) Vzájemná indukčnost M [mH]
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Úhel natočení α [ ] ◦
1.4. Vzájemná indukčnost 1.4.1. Vzájemná indukčnost změřená pomocí můstku Naměřené hodnoty • Indukčnost primární cívky L1 = 7,71 mH • Indukčnost sekundární cívky L2 = 6,62 mH • Indukčnost obou cívek zapojených v sérii při souhlasném směru vynutí L = L1 + L2 + 2M12 = 16,45 mH • Indukčnost obou cívek zapojených v sérii při nesouhlasném směru vynutí L0 = L1 + L2 − 2M12 = 12,25 mH • Výpočet vzájemné indukčnosti M12 M12 =
L − L0 16,45 − 12,25 = = 1,05 mH 4 4
1.4.2. Výpočet vzájemné indukčnosti Vypočet vzájemné indukčnosti mezi cívkami za předpokladu, že magnetické pole je po celé ploše sekundární cívky konstantní a je rovno magnetickému poli uprostěd primární cívky. Primární cívku považujeme při tomto výpočtu za elementární závit (tloušťka a výška cívky je zanedbatelná vůči poloměru cívky). • Permeabilita vakua µ0 = 4π · 10−7 N · A−2 • Počet závitů primární cívky N1 = 100 • Střední poloměr primární cívky r1 = 0,155 m
2
• Počet závitů sekundární cívky N2 = 160 • Střední poloměr sekundární cívky r2 = 0,0688 m 0 • Vzájemná indukčnost M12 0 M12 = µ0
100 · 160 N1 N2 2 πr2 = 4π · 10−7 π · 0,06882 = 0,9645 mH 2r1 2 · 0,155
1.4.3. Srovnání naměřených a vypočítáných hodnot 0 δ • Rozdíl mezi hodnotami M12 a M12
δM =
0 M12 − M12 1,05 − 0,9645 100 = 100 = 8 % M12 1,05
Rozdíl 8 % mezi teoretickou hodnotou, symbolicky vypočítanou díky značnému zjednodušení problému, oproti naměřené hodnotě lze považovat za dobrý.
2. Měření magnetického pole dlouhého solenoidu 2.1. Ocejchování sondy • Průměr sondy S = 1,32 cm2 • Počet závitů N = 790 • Indukované napětí Ui = 24,08 V • Proud procházející primární cívkou I = 0,443 A • Měření provedeno uprostřed x = 68 cm • Délka solenoidu l = 120 cm • Počet závitů solenoidu N2 = 790 • Průuměr solenoidu 2a = 9 cm • Intenzita magnetického pole H v místě x: H0 =
N2 I 1640 · 0,443 = = 605,4 A · m−1 h 1,2
• Konstanta posuvné sondy K K=
605,4A · m−1 H0 = = 24,91 A · m−1 · mV−1 Ui 24,08 mV
3
2.2. Naměřená data V následujícím měřením bylo použito toto značení: • x – vzdálenost sondy od okraje solenoidu • z – vzdálenost sondy od středu vynutí • UI – indukované napětí v místě x • H – intenzita elektromagnetického pole určená pomocí konstanty posuvné sondy K = 24,91 A · m−1 · mV−1 ze vztahu: H = UI · K • H(z) – teoretická hodnota intenzity elmag. pole pro měřený případ:
H(z) =
h 2
h 2
−z +z NI q +q 2h h h 2 2 2 2 a + ( 2 − z) a + ( 2 + z)
• δ – odchylka H vztažená k hodnotě H0 (z = 0) naměřené uprostřed solenoidu δ=
H − H0 100 H0
• δH(z) – odchylka naměřené hodnoty H od teoretické hodnoty intenzity H(z) δH(z) =
H − H(z) 100 H(z)
4
2.2.1. Měření pro délku h = 120 cm • Proud protékající cívkou I = 0,443 A • Indukčnost L zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L=
NH 1640 · 605,43 µ0 πr2 = µ0 π · 0,0452 = 17,92 mH I 0,443
• Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ ≤ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: 0 ≤ z ≤ 10 cm x [cm]
z [cm]
UI [mV]
H [A · m−1 ]
H(z) [A · m−1 ]
δ [%]
δH(z) [%]
68 58 48 28 18 13 11 10 9 8 5 0
0 10 20 40 50 55 57 58 59 60 63 68
24,08 24,11 23,48 23,60 22,96 21,10 19,00 17,20 15,27 12,49 5,63 1,75
605,43 606,19 590,35 593,36 577,27 530,51 477,71 432,45 383,93 314,03 141,55 44,00
603,74 603,59 603,06 597,74 578,52 527,49 470,41 425,44 368,17 302,50 134,60 38,69
0,00 0,12 −2,49 −1,99 −4,65 −12,38 −21,10 −28,57 −36,59 −48,13 −76,62 −92,73
0,28 0,43 −2,11 −0,73 −0,22 0,57 1,55 1,65 4,28 3,81 5,17 13,73
800 Naměřená hodnota Teoretická hodnota
Intenzinta H [A·m−1 ]
700 600 500 400 300 200 100 0 −80
−60
−40
0
−20
20
Vzdálenost od středu z [cm]
5
40
60
80
2.2.2. Měření pro délku h = 60 cm • Proud protékající cívkou I = 0,860 A • Indukčnost zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L = 8,59 mH • Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ ≤ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: 0 ≤ z ≤ 15 cm x [cm]
z [cm]
UI [mV]
H [A · m−1 ]
H(z) [A · m−1 ]
δ [%]
δH(z) [%]
68 66 64 62 60 58 48 38 28 23 18 15 13 10 8
−30 −28 −26 −24 −22 −20 −10 0 10 15 20 23 25 28 30
24,96 33,87 39,25 42,00 43,42 44,57 45,50 44,80 45,00 44,88 43,90 42,40 40,03 32,27 24,54
627,56 851,58 986,85 1055,99 1091,69 1120,60 1143,99 1126,39 1131,42 1128,40 1103,76 1066,05 1006,46 811,35 617,00
586,02 824,58 976,20 1055,77 1097,67 1121,21 1157,32 1162,33 1157,32 1147,63 1121,21 1079,89 1022,52 824,58 586,02
−44,29 −24,40 −12,39 −6,25 −3,08 −0,51 1,56 0,00 0,45 0,18 −2,01 −5,36 −10,65 −27,97 −45,22
7,09 3,27 1,09 0,02 −0,55 −0,05 −1,15 −3,09 −2,24 −1,68 −1,56 −1,28 −1,57 −1,60 5,29
1400 Naměřená hodnota Teoretická hodnota
Intenzinta H [A·m−1 ]
1200 1000 800 600 400 200 0 −30
−20
0
−10
10
Vzdálenost od středu z [cm]
6
20
30
2.2.3. Měření pro délku h = 30 cm • Proud protékající cívkou I = 1,625 A • Indukčnost zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L = 4,18 mH • Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ ≤ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: 0 ≤ z ≤ 5 cm x [cm]
z [cm]
UI [mV]
H [A · m−1 ]
H(z) [A · m−1 ]
δ [%]
δH(z) [%]
38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 11 10 9 8
−15 −13 −11 −9 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 11 12 13 14 15
42,10 50,59 70,81 76,85 79,91 81,05 81,06 82,35 82,86 82,45 81,88 80,20 77,32 71,84 67,32 62,10 54,49 45,47
1058,50 1271,96 1780,35 1932,21 2009,14 2037,81 2038,06 2070,49 2083,31 2073,01 2058,67 2016,43 1944,02 1806,24 1692,60 1561,35 1370,02 1143,23
1098,13 1547,33 1831,87 1979,73 2055,70 2095,95 2116,98 2126,09 2126,09 2116,98 2095,95 2055,70 1979,73 1831,87 1711,26 1547,33 1338,17 1098,13
−48,88 −38,57 −14,01 −6,68 −2,96 −1,58 −1,57 0,00 0,62 0,12 −0,57 −2,61 −6,11 −12,76 −18,25 −24,59 −33,83 −44,78
−3,61 −17,80 −2,81 −2,40 −2,26 −2,77 −3,73 −2,62 −2,01 −2,08 −1,78 −1,91 −1,80 −1,40 −1,09 0,91 2,38 4,11
Naměřená hodnota Teoretická hodnota
Intenzinta H [A·m−1 ]
2500 2000 1500 1000 500 0 −15
−10
0
−5
5
Vzdálenost od středu z [cm]
7
10
15
2.2.4. Měření pro délku h = 15 cm • Proud protékající cívkou I = 2,887 A • Indukčnost zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L = 0,66 mH • Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ ≤ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: 0 ≤ z ≤ 1,5 cm x [cm]
z [cm]
UI [mV]
H [A · m−1 ]
H(z) [A · m−1 ]
δ [%]
δH(z) [%]
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8
−7,5 −6,5 −5,5 −4,5 −3,5 −2,5 −1,5 −0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5
75,41 91,58 105,24 116,3 123,56 128,67 131,52 133,25 132,85 132,51 129,7 124,65 117,32 107,38 94,29 79,32
1896 2302,56 2646,01 2924,08 3106,62 3235,1 3306,75 3350,25 3340,19 3331,64 3260,99 3134,02 2949,73 2699,81 2370,69 1994,31
1889,58 2306,10 2665,48 2941,48 3136,55 3265,38 3342,74 3378,89 3378,89 3342,74 3265,38 3136,55 2941,48 2665,48 2306,10 1889,58
−43,41 −31,27 −21,02 −12,72 −7,27 −3,44 −1,30 0,00 −0,30 −0,56 −2,66 −6,45 −11,95 −19,41 −29,24 −40,47
0,34 −0,15 −0,73 −0,59 −0,95 −0,93 −1,08 −0,85 −1,15 −0,33 −0,13 −0,08 0,28 1,29 2,80 5,54
3500
Intenzinta H [A·m−1 ]
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 −8
Naměřená hodnota Teoretická hodnota −6
−4
0
−2
2
Vzdálenost od středu z [cm]
8
4
6
8
2.3. Závěr 2.3.1. Změřené průběhy intenzity ve společném grafu 3500 h = 120 h = 60 h = 30 h = 15
Intenzinta H [A·m−1 ]
3000 2500
cm cm cm cm
2000 1500 1000 500 0 −80
−60
−40
0
−20
20
40
60
80
Vzdálenost od středu z [cm]
Na grafech je vidět, že čím delší solenoid je, tím je maximum intenzity magnetického pole plošší a charakter pole vykazuje větší homogenitu. Průměrná odchylka δH(z) mezi naměřenou a teoretickou hodnotou má hodnotu přibližně 1,5 %.
9
